COLEGIO SAN FRANCISCO DE PAULA
Calculo de la constante de elasticidad de un muelle Laboratorio de Física Irene Cabello Gavira
Investigación basada en la le de !oo"e# creada $ara calc%lar la constante el&stica de %n '%elle# $%esta en $r&ctica en el laboratorio de (ísica# s%$ervisado $or Do)a Gracia*
Irene Cabello Gavira 11ºB
Calculo de la constante de elasticidad de un muelle Investigación Voy a investigar sobre el cálculo de la constante de elasticidad de un muelle. Cuando se estira un objeto elástico - como un resorte -, la mayor longitud se llama su extensión. La extensión de un objeto elástico es directamente proporcional a la fuerza el esfuerzo! aplicada a "l#
$ % &x $ es la fuerza en ne'tons, ( & es la constante del cuerpo elástico en (e'ton por metro n)m x es la extensión en metros, m *sta relación es conocida como la Ley de +oo&e, enunciada por primera vez por obert +oo&e en el s.V. *sta ecuación funciona siempre y cuando no se supera el l/mite elástico l/mite de proporcionalidad!. 0i un resorte se estira demasiado, por ejemplo, no volverá a su longitud original cuando se 1uita la carga. La constante de proporcionalidad. La constante de proporcionalidad &! tambi"n será llamada elástica o recuperadora. *sta constante nos describe la relación entre la fuerza aplicada y la elongación resultante. *s diferente para diferentes objetos y materiales. 0e encuentra llevando a cabo un experimento. 2urante nuestro experimento no 3emos llegado a superar el l/mite de elasticidad, por lo 1ue podemos utilizar dic3a ley para el análisis y el cálculo de variables. 4na vez 3allada toda la información pertinente sobre dic3a ley, 3emos creado un experimento para 3allar la constante de proporcionalidad en el 1ue actu" las variables del esfuerzo y la longitud producida y en el 1ue no intervengan otros factores externos 1ue puedan modificar nuestros resultados. +emos usado un muelle no sometido a un esfuerzo inicial y le 3emos ido colocando distintas masas, observando como variaba la longitud producida con respecto a un sistema de referencia de medida en este caso una regla situada junto al muelle! Obteniendo los datos 5ara 3allar el valor de & tenemos 1ue descubrir experimentalmente lo 1ue valen las variables restantes $ y x!. 5ara obtenerlas colocamos diferentes masas pesas! colgando del muelle. 2ebido al efecto de la gravedad, la fuerza provocada por estas pesas es igual a# F =m∙ g
m es la masa de la pesa colgada del muelle, g es el valor de la gravedad en nuestro caso -6,7 m)s! y $ es la fuerza provocada por el producto de las dos anteriores. *sta fórmula viene de la segunda Ley de (e'ton $ % m8a!, esta ley dice 1ue la aceleración se produce cuando una fuerza act9a sobre una masa. Cuanto mayor sea la masa del objeto está acelerado!, mayor será la cantidad de fuerza necesaria para acelerar el objeto!.
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:odas las masas usadas las medimos con una balanza de precisión para obtener los valores más precisos posibles. La elongación del muelle se 3a medido con una regla. *n nuestro sistema de referencia utilizamos como valor cero la longitud del muelle sin ninguna masa, sin ninguna fuerza aplicada. :odos los valores 3allados fueron positivos, por lo tanto mayores 1ue este. *n la tabla 1ue podemos ver a continuación recoge todas las variables 1ue 3an intervenido en la experimentación y los datos obtenidos experimentalmente. ;un1ue sabemos 1ue no solamente intervienen esas variables. *l rozamiento del aire, la variación de la gravedad dependiendo del punto en el 1ue estemos en la superficie terrestre, etc< son variables 1ue tambi"n afectan a nuestro proceso, pero son tan m/nimas las diferencias 1ue no las vamos a considerar.
-
Variables Cuantitativas La masa de las diferentes pesas colgadas en el muelle
-
La elongación del muelle al colgar de una masa
Variables dependientes - La elongación del muelle al colgar de una masa
-
Variables independientes - La masa de las diferentes pesas colgadas en el muelle
La fuerza a la 1ue se somete el muelle, causada por la masa de las pesas 1ue cuelgan del muelle.
Variables controladas - Temperatura ambiente ( 18 ℃ ) si esta aumenta puede dilatar objetos, afectándonos a la hora de medir la elongación
Variables no controladas - La elongación del muelle al colgar de una masa
-
La fuerza a la 1ue se somete el muelle, causada por la masa de las pesas 1ue cuelgan del muelle.
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; continuación podremos observar los datos obtenidos en el laboratorio de f/sica utilizando una balanza para las masas! y una regla para la longitud del muelle!# !asa de las distintas pesas ( ± 0.0001 k g) =,>6?@ =,A=B =,>66A =,=666
"orta pesas "esa #$g "esa %$g "esa &$g
=,>6?A =,A=B= =,>66? =,=667
=,>6?B =,A=BB =,>66? =,=666
'ongitud del muelle con respecto a la posición inicial ( ± 0.001 m) "esa $g "esa $g "esa #$g "esa *$g "esa +$g
=,=7 =,=BD =,=@B =,=AA =,=D>
=,=? =,=BD =,=@A =,=AB =,=DB
=,=? =,=B@ =,=@@ =,=AA =,=D@
=,=D =,=BA =,=@@ =,=A@ =,=DB
=,=? =,=BA =,=@@ =,=A@ =,=DB
epresentación gráfica de la relación entre la fuer-a . la elongación
2ado 1ue la relación entre el esfuerzo al 1ue está sometido el muelle por las masas y el incremento de la longitud es lineal, podemos afirmar 1ue el valor de la constante de prolongación es la pendiente de la recta. ;ntes tenemos 1ue transformar nuestras masas en fuerzas aplicando la segunda ley de ne'ton $ % m8a $ % m8g!. 0abemos 1ue la gravedad es constante -6,7m)s ! por lo 1ue si este tuviese alg9n error ser/a sistemático y constante as/ 1ue no nos afectar/a. 5rimero debemos 3allar la media de las masas en cada peso y despu"s 3allar el valor del error absoluto de dic3a media# /istintas masas de la pesa ( ± 0.0001 k g)
=,=666
"esa &$g
x i =
=,=667
0,0999 + 0,0998 + 0,0999 3
Media= x n= *rror media
E media=
1
=,=666
=¿
n
∑¿
=,=667?A&g
n i=1
| x máx − xmín| |0,0999− 0,0998| 2
=
2
=± 0,00005 kg
Pesa 10 g :0,099875 ( ± 0.00005 ) kilogramos /istintas masas de la pesa ( ± 0.0001 k g) "esa %$g
=,>66A
=,>66?
=,>66?
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x i=
0,1995 + 0,1997 + 0,1997 3
Media= x n= *rror media
E media=
1
=¿ =,>66D&g
n
∑¿
n i= 1
| x máx − xmín| |0,1997 − 0,1995| 2
=
= ± 0,0001 kg
2
Pesa 20 g :0,19962 ( ± 0.0001 ) kilogramos /istintas masas de la pesa ( ± 0.0001 k g)
=,A=B
"esa #$g
x i=
=,A=B=
0,5032 + 0,5030 + 0,5033 3 1
Media = x n= *rror media
E media=
=,A=BB
=¿ =,A=B>&g
n
∑¿
n i=1
| x máx − xmín| |0,5033 − 0,5030| 2
=
= ± 0,00015 kg
2
Pesa 50 g :0,5031 ( ± 0.00015 ) kilogramos /istintas masas de la pesa ( ± 0.0001 k g)
=,>6?@
"orta pesas
x i =
=,>6?A
0,1974 + 0,1975 + 0,1973 3
Media= x n= *rror media
E media=
1
=,>6?B
=¿ =,>6?@&g
n
∑¿
n i =1
| x máx − xmín| |0,1975− 0,1973| 2
=
2
=± 0,0001 kg
Pesa 50 g :0,1974 ( ± 0.0001 ) kilogramos ;3ora, una vez obtenida las masas, calcularemos las fuerzas creadas por cada masa. ;un1ue la fuerza sea negativa vamos a utilizar su módulo ya 1ue as/ nos serán más fáciles los cálculos y la representación gráfica. $% m8g $ % m8-6,7 30 g → F 1 = ( m 1+ m2 ) ∙− 9,8=( 0,099875 + 0,19962 ) ∙− 9,8=−2,935051 N
40 g → F 1=( m1 + m 2 ) ∙ −9,8 =( 0,19962 + 0,19962 ) ∙ −9,8=−3,912552 N 50 g → F 1 =m1 ∙− 9,8=0,5031 ∙− 9,8 =−4,93038 N 60 g → F 1 =( m1+ m2 ) ∙− 9,8=( 0,099875 + 0,5031 ) ∙− 9,8=−5,909155 N 70 g → F 1 =( m1+ m2 ) ∙− 9,8=( 0,5031 + 0,19962 ) ∙−9,8 =−6,886656 N
*l error de las fuerzas tiene 1ue ser calculado por propagación de errores#
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F =mg→
∆ F ∆ m = F m
5odemos ver 1ue el error absoluto se asemeja muc3o, siento el relativo el mismo, por lo 1ue podemos 3allar los errores relativos de la fuerza para cada error relativo de la masa. :enemos 1ue multiplicar por cien los errores relativos para convertirlos en porcentuales# ∆ m1 ∆ m3 0,0001 0,0001 −2 −2 ∙ 100 = ∙ 100 =3,33 ∙ 10 ∙ 100 = ∙ 100 =1,99 ∙ 10 m1 m3 0,299495 0,5031 ∆ m2 m12
∙ 100 =
0,0001
∆ m4
−2
0,39924
∙ 100= 2,5 ∙ 10 ∆ m5 m5
∙ 100 =
m4
0,0001
∙ 100=
0,0001
−2
0,602975
∙ 100= 1,67 ∙ 10
−2
0,70272
∙ 100 = 1,42 ∙ 10
La longitud producida por las pesas del muelle# 'ongitud del muelle con respecto a la posición inicial ( ± 0.001 m) "esa $g
=,=7 x i=
=,=?
=,=?
0,028 + 0,027 + 0,027 + 0,026 + 0,027 3
Media= x n = *rror media
=,=D
E media=
1
n
=,=?
=¿ =,=? m
n
¿ ∑ = i 1
| x máx − xmín| |0,028 −0,026| 2
=
=± 0,001 m
2
'ongitud del muelle con respecto a la posición inicial ( ± 0.001 m) "esa $g
=,=BD x i=
=,=BD
=,=B@
0,036 + 0,036 + 0,034 + 0,035 + 0,035 3
Media= x n = *rror media
=,=BA
E media=
1
n
=,=BA
=¿ =,=B@ m
n
∑= ¿ i 1
| x máx − xmín| |0,036 − 0,034| 2
=
= ± 0,001 m
2
'ongitud del muelle con respecto a la posición inicial ( ± 0.001 m) "esa #$g
=,=@B x i=
=,=@A
=,=@@
0,043+ 0,045 + 0,044 + 0,044 + 0,044 3
Media = x n= *rror media
=,=@@
E media=
1
=¿ =,=@@ m
n
∑¿
n i=1
| x máx − xmín| |0,045 −0,043| 2
=
2
=± 0,001 m
'ongitud del muelle con respecto a la posición inicial ( ± 0.001 m)
=,=@@
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=,=AA
"esa *$g
x i=
=,=AB
=,=AA
0,055+ 0,053 + 0,055 + 0,054 + 0,054 3
Media= x n = *rror media
=,=A@
E media=
1
n
=,=A@
=¿ =,=A@ m
n
∑= ¿ i 1
| x máx − x mín| |0,055 −0,053| 2
=
=± 0,001 m
2
'ongitud del muelle con respecto a la posición inicial ( ± 0.001 m)
=,=D>
"esa +$g
=,=DB
=,=D@
0,061 + 0,063 + 0,064 + 0,063 + 0,063
x i=
3
Media= x n= *rror media
=,=DB
E media=
1
n
=,=DB
=¿ =,=D7 m
n
∑= ¿ i 1
| x máx − xmín| |0,064 − 0,061| 2
=
= ± 0,0015 m
2
Una vez obtenidos los valores, creamos una tabla con los puntos para la recta que representa la leyObtenidos estos valores se procederá a crear una tabla con los puntos para la recta que de Hooke y su pendiente será la constante elástica: y = mx + n n= 0 F = kx →
0uer-a "esa $g "esa $g "esa #$g "esa *$g "esa +$g
−2
0,299495 ± 3,33 ∙ 10
0,39924 ± 2,5 ∙ 10
0,5031 ± 1,99 ∙ 10
0,602975 ± 1,67 ∙ 10
0,70272 ± 1,42 ∙ 10
−2
−2 −2
2rafico representando la función 0345
−2
1longación (± 0,001 m ) 0,027 ± 0,001 m 0,034 ± 0,002 m 0,044 ± 0,001 m 0,0542 ± 0,001 m 0,0628 ± 0,0015 m
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0.8 0.7
f(x) = 11.18x + 0 R² = 1
0.6 0.5
!"#$a (=mg) (%) 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
Elongación (±0,001 m)
;l gráfico le 3emos aEadido el punto =,= ya 1ue
F = k ∙ 0= 0 !
La recta es la l/nea de tendencial lineal. +emos 3allado la ecuación con el programa dado. F =11,184 → k =11,18 4 ( N /m ) F ( N ) = k ( N ) Las unidades de la constante serán N / m dado 1ue# m x ( m ) Vemos 1ue el coeficiente de relación se acerca muc3o al > por lo 1ue nuestros datos están muy relacionados.
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2rafica representando las diferentes pendientes
Fuerza (F=mg) (N)
*longación F=,==> m! 5ara 3allar la pendiente de una funcion se divide el incremento de G entre el incremento de ∆y !. ;3ora calcularemos la pendiente maxima y la minima y posteriormente el error ∆x absoluto de la pendiente. ∆y N mmín = → mmáx =14,2493 ( ) ∆x m ∆y N mmáx = → m máx =9,7917 ( ) ∆x m |mmáx− mmín| |14,2493−9,7917 | = =± 2,2288 ( N ) Error = m 2 2 m=
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Calculando la constante anal6ticamente
0i sustituimos los valores 3allados en la formula de la Ley de +oo&e, podemos obtener la constante analiticamente en cada elongancion y fuerza diferente. F =k x Pesa 30 g 0,030 ± 0,001 m N k 1= 11,09240 ( ) m k i=¿ n Pesa 40 g 0,034 ± 0,001 N !edia 1 k 2= 11,74235 ( ) ¿ Media=k n= m n i=1 N Pesa 50 g 0,044 ± 0,001 k 3 =11,43409 ( ) m ¿ 11,316742 Pesa 60 g 0,054 ± 0,001 N k 4=11,12505 ( ) N m ¿ m P esa 70 g 0,063 ± 0,0015 N k 5 = 11,18982 ( ) m *rror media y con respecto a la media | xmáx − x mín| Error media = →± 0,324975 ( N / m)
∑
2
Pesa 30 g 0,030 ± 0,001 Pesa 40 g 0,034 ± 0,001 Pesa 50 g 0,044 ± 0,001 Pesa 60 g 0,054 ± 0,001 Pesa 70 g 0,063 ± 0,0015
N ) m N k 2= 11,74235 ( ) m N k 3 =11,43409 ( ) m N k 4=11,12505 ( ) m N k 5 =11,18982 ( ) m k 1=11,09240 (
1rror con respecto a la media7 ¿ x media− x n 8
N ) m N ± 0,425608 ( ) m N ± 0,117348( ) m N ± 0,191692( ) m N ± 0,126922( ) m ± 0,224342(
Conclusión Hbservando el incremento de la longitud con respecto a la longitud del muelle en reposo al colgar pesas en este 3emos 3allado el valor de la constante elásticas de mismo. *sta constante está directamente relacionada con los valores de elongación y de fuerza, como podemos
comprobar con la Ley de +oo&e.
F =k x
+emos 3allado dos valores diferentes para &, uno con cada m"todo usado, gráficamente y anal/ticamente. La diferencia entre las dos & 3alladas es de =,>B?@ N/m!. 5odemos ver la incertidumbre de los aparatos en las medidas obtenidas a trav"s de los errores relativos. Los valores menores en longitud por estar más próximos al valor de la incertidumbre no aportan valores menos precisos y exactos.
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5odemos concluir en base a los datos experimentales 1ue no podemos concluir con exactitud el valor de la constante, apoyandonos en el calculo de errores podemos decir 1ue el rango aproximado en el 1ue se 3ayara estara en 11,184 ± 2,2288 ó 11,316742 ± 0,324975 . La constante 3allada graficamente tiene un rango algo mayor 1ue la obtenida analiticamente por lo 1ue podemos decir 1ue es un poco mas imprecisa. Con el apoyo de los datos, con el de los cálculos de errores 3emos obtenido unos valores co3erentes para responder a la pregunta de investigación. ;demas, como ya dije antes, vemos 1ue el coeficiente de relación se acerca muc3o al > por lo 1ue nuestros datos estan my relacionados. Como ya dije anteriormente, a la 3ora de utilizar la fuerza utilizamos su valor absoluto para 1ue nos fuese mas facil el representarla graficamente pero en realidad al ser la gravedad negativa y la masa positiva, el valor de la constante elastica ser/a tambi"n negativo, y as/ cumpliendo la igualdad $ % &x m 8 -g! % -&!x
*l m"todo 1ue 3emos utilizado es bastante correcto para 3allar respuesta a la pregunta de investigacion.
"untos fuertes de la investigacion
;l ser la gravedad una constante el valor obtenido es siempre proporcional y directo con
•
respecto a la variable por lo tanto si la gravedad tu viese algun error ya 1ue varia dependiendo en 1ue localizacion de la superficie terrestre estemos, este error seria •
sistematico y constante, por lo 1ue no afectaria a la precision de los calculos. La ley dice 1ue el aumento de la longitud y la fuerza son proporcinales, por lo 1ue una fuerza mayor, digamos 1ue el doble, la longitud aumentara, el doble. *n el proceso comprobamos eso ya 1ue no teniamos pesa de B=g, lo 1ue 3icimos fue utilizar una de >= y una de =. ;L poner la de diez la longuitud del muelle aumento y al ponerle los =g mas el muelle se alargo el doble 1ue lo 1ue se alargo al poner la primera pesa. ;l ver en el primer grafico la correlacion lineal entre los puntos comprobamos 1ue la proporcionaldad entre la longitud y la fuerza es cierta por lo 1ue prueba la Ley de
•
+oo&e. *l experimento 1ue 3icimos en el laboratorio utiliza todas las variables 1ue intervienen en la Ley de +oo&e, la fuerza y la prolongación producida, por lo 1ue nos 3a sido fácil
•
3allar la constante relacionando estas dos variables. (o utilizamos el valor de las masas 1ue ven/an ya en las pesas por el fabricante si no 1ue las medimos para obtener resultados más precisos y exactos. Comprobamos 1ue los valores de las pesas se alejaban de su masa real midi"ndolas en una balanza cuya incertidumbre es de =,===> &g.
"untos d9biles de la investigación •
*l sistema de medición usado no fue el más correcto ya 1ue para medir la longitud utilizábamos una regla 1ue estaba alejada del muelle por lo 1ue ten/amos 1ue mirar a ojo, aproximando la prolongación del muelle, siendo eso
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poco preciso y exacto, sin saber con certeza cuál era el valor real. *ste tipo de error es llamado error de paralaje. *stuvimos limitados pues por el material del •
laboratorio. ;un1ue el valor de las masas si fue calculado con precisión el valor de la longitud fue medido con una regla cuya incertidumbre es de =,==>m, por lo 1ue el valor de la elongación no es tan preciso. La incertidumbre deber/a 3aber sido como m/nimo igual 1ue el de la balanza. ;demás, la prolongación del muelle es una medida pe1ueEa por lo 1ue la incertidumbre deber/a de ser a9n más
•
pe1ueEa. 2eber/amos de comprobar si nuestra conclusión es correcta 3allando la elongación
para
nuevas
fuerzas
anal/ticamente
y
despu"s
3acerlo
experimentalmente para comprobarlo. Con esto estar/amos probando la Ley de •
+oo&e experimentalmente (o consideramos cual era el l/mite de elasticidad del muelle por lo 1ue los valores cercanos a este cambiar/a el comportamiento del muelle. 2eber/amos diseEar un m"todo para comprobar si en los valores cercanos a dic3o l/mite la
•
ley se sigue cumpliendo o se incumbir/a debido al esfuerzo extremo. 0olo calculamos la constante de elasticidad en un muelle determinado. 2eber/amos de 3aber utilizado muelles diferentes para comprobar 1ue la constante de elasticidad es diferente en cada muelle. *sto deber/amos de mirarlo
•
en futuros experimentos. *nlazándolo con el punto anterior, deber/amos ver si la constante &! se corresponde con la 1ue el fabricante del muelle nos da, para ver si los factores externos como la oxidación 3an podido afectar a dic3a constante.
!ejoras . sugerencias •
5odr/amos mejorar si diseEamos un m"todo para comprobar la ley de +oo&e antes de decir 1ue es cierta, darle un enfo1ue diferente. *ste m"todo lo usar/amos para el
•
cálculo de la constante &. 0olo 3emos calculado la constante de elasticidad en un muelle determinado. 5odr/amos 3aber utilizado muelles diferentes para comprobar 1ue la constante de elasticidad es diferente en cada muelle. ;s/ nuestra investigación estudiar/a en más
•
detalle la ley de +oo&e y tendr/amos un experimento muc3o más completo. Considerar cual era el l/mite de elasticidad del muelle por lo 1ue los valores cercanos a este cambiar/a el comportamiento del muelle. 2iseEando un m"todo para comprobar si en los valores cercanos a dic3o l/mite la ley se sigue cumpliendo o se incumbir/a
•
debido al esfuerzo extremo, mejorar/amos nuestro experimento. 5odr/amos utilizar una regla más precisa, con menos incertidumbre, es decir, con un rango de datos mayor. ;demás, para solucionar el error de la paralaje podr/amos utilizar un láser para ver exactamente cuál es la prolongación del muelle con cada masa. (uestro experimento ser/a muc3o más preciso, exacto.
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:ibliograf6a -
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