TEORIA DE LA ELASTICIDAD, TIMOSHENKO

{}

+ ~2 sen2 9,

en las que (J es el ángulo medido a partir de la dirección de ecuaciones pueden escribirse:

ee

= 'Hel + E2) + i(El -

El) COS

se ve que los valores de E8 y ! Yo están representados por el punto "de la circunferencia de la figura 18c. Si 8 toma el valor rP, P se convierte el punto A de la figura 18b fortnanc;lo FA con el eje E el ángulo 2 . Si, finalmente, (} toma el valor p + a + P, se mueve hasta e aumentando el ángulo en BFe = 2{J Y siendo la abstambién medida, Ea,p+.¡.. Partiendo de esto vamos a estudiar ahora dibujar el circulE) cuando se conocen esas tres abscisas y los dos ána y p. del círculo de Mobr a partir de las medidas con una roseta. Tomemos un eje E horizontal con un cualquiera O' (fig. 18b) a partir del cual se llevan las deformaciomedidas €.¡., €a.~ y Ea.p_.p. Por los puntos así determinados tra: cemos rectas normales al eje e. Elegido un punto cualquiera D en la normal Ea "'~' se trazan las rectas DA y De que forman con esa normal los a y p y que cortan a las otras en los puntos A y e. La circunfey su centro F está buscada es la que pasa por los puntos B, A, por la intersección de las mediatrices de los segmentos y DA. Dado que el ángulo AFB es 2a por ser doble del ADB y que por mismo el BFe es 2f3, ocurre que los tres puntos A, B Y e representan deformaciones en la dirección de los, extensómetros. Los puntos A, y e, en efecto, guardan dentro del círculo el intervalo angular requerido tienen las abscisas correctas. Si trazamos ahora el eje Eo, que se canean OF, las distancias de O a las intersecciones de la circunferencia este eje nos dan El y E•• El ángulo 2

e

Fu:;. 18

es =

43

€¡.

Las mismas

28,

\ Ecuaciones diferenciales de equilibrio. Consideremos ahora ,: ,,~f.equilibrio de un pequeño bloque rectangular de espesor unidad cuyas : '9tras dimensiones son h y k (fig. 19). Las tensiones que actúan sobre las " 'caras 1, 2, 3, 4- y sus direcciones positivas son indicadas en la figura. Puesto ,,'que las tensiones que actúan en el material varían de un punto a otro el valor de (/%, por ejemplo, no es exactamente el mismo en la cara 1 que en '" la cara 3. Los símbolos U z , ay, 7:",y se refieren al punto (x, y), punto central
, I

N.

J.

Glenn Murphy, Hoff, ibíd.

.'J. Applied Mecha/lics (Tralls. A.S.M.E.), vol. 12, pág. A-209, 1945;

Uno considernción más exacta introduciría infinitésimos de orden superior que desapa,recen en el proceso.,final en el que se tiende al límite. I

TEORIA DE LA ELASTICIDAD

44

Las fuerzas másicas que actúan sobre el bloque, que fueron despreciadas por ser un infinitésimo de orden superior al considerar el equilibrio del prisma triangular de la figura 12, deben ser ahora tenidas en cuenta puesto que son del mismo orden de magnitud que los términos debidos

¡;t

(O"Y}4

(roc:y~

Iy

"":::";:=:4:1.===:....

Estas son las ecuaciones diferenciales de equilibrio, correspondientes ':' á problemas elásticos bidimension!lles.

14. Condiciones de contorno. Las ecuacIOnes (18) o (19) deben ser satisfechas en todos los' puntos de! cuerpo considerado. Ahora bien, , las componentes de la tensión varían de punto 11 punto de la placa y al llegar a sus bordes deberán equilibrar las fuerzas exteriores aplicadas en :' los' mismos, de modo tal que dichas fuerzas pueden ser consideradas como una continuación de la distribución interna de los esfuerzos. Las

"

(.:l:.y)

2

(t:;,;;y).t (t:;cy)z

(O"y'z

FIC.19

FIC. 20

a la variaCl0n de los componentes de la tensión, términos éstos que son considerados ahora. Si X e Y indican los componentes de la fuerza másica por unidad de volumen la ecuación de equilibrio para las fuerzas que actúan en la dirección x queda así:

condiciones de equilibrio en e! borde de la placa pueden deducirse de las ',c'cuaciones (12). Suponiendo al prisma triangular elemental aBC de la figura 12, dispuesto de manera que la cara BC coincida con un elemento 'superficial del contorno de la placa, como se ve en la figura 20, y llamando X e Y 11 las componentes de las fuerzas superficiales, por unidad de superficie en ese punto del contorno, dichas ecuaciones serán para este caso:

(G'",hk - (G'.)"k

+ (r=vhh -

(r",,)¡h

+ (r""h -

(r:v),

+ Xhk

= O

que dividiendo por hk da (er.)1 - (cr",h

l~

h

X = ler. + m;o:y

+X =O

y

Si ahora hacemos tender el volumen del bloque a cero, es decir h ....,.. 0, k -+ O e! límite de [(0'.)1 - (u",)a]/h es OU,jOT Y de forma semejante el de [(1:,..). - (1:",,)4]/k es OrTvloy • Si el mismo proceso es seguido con fuerzas que actúan en la dirección y, las ecuaciones de equilibrio quedan así: au., + fJr:v + X = O fJ:c ay (18)

~~ +aro:y ay

éJx

= .mcru

(20)

+ lrzv

en las cuales 1 y 1n son los cosenos directores de la normal N al contorno. En el caso particular de una placa rectangular, se toman, por lo ge, lleral, los ejes coordenados paralelos a sus cantos y las condiciones de contorno expresadas en (20) pueden simplificarse. Tomando, por ejemplo, un borde de la placa paralelo al eje x, tendremos para esta parte del contorno que la normal N es paralela al eje y, de modo que 1 = Oy m = ± 1 con Jo que las ecuaciones (20) se reducen a: '

,','

+y =o

En las aplicaciones prácticas la única fuerza másica existente es el peso. En consecuencia, tomando el eje y vertical y hacia abajo y llamando f! a la densidad, las ecuaciones (18) sc convierten en:

(19)

Se deberá tomar el signo pOSItIVO cuando la normal N tenga el sentido del semieje positivo de las y y el signo negativo para el sentido contrario de N. De aquí resulta, que las componentes de las tensiones que se desarrollan en el contorno de la placa son iguales a las componentes de las fuerzas superficiales, ,referidas a la upidad de á~ea periférica.

.

.

15. Ecuaciones de compatibilidad. El problema de la teoría de la elasticidad con:siste, en general, en determinar el estado tensioIlal que

TEORIA DI! LA EI./lSTICIDAD

s~

orIgma en un cuerpo sometido a la acción de determinadas fuerzas.

cuerpo es la única fuerza másica, al cual corresponden las ecuaciones equilibrio (19). Diferenciando la primera de éstas respecto a x y la :sel(U:naa respecto a y y luego sumándolas se tiene:

'En el caso de problemas bidimen1lionales, es necesario para ello resolver· las ecuaciones diferenciales de equilibrio (18) y la solución debe ser tal, que satisfaga las condiciones de contorno (20). Dichas ecuaciones .deducidas de las ecuaciones de la estática, aplicables a cuerpos absolutamente rígidos, contienen las tres componentes uz , au , 'XII' no bastando para la detenninación de las mismas. El problema es estáticamente indeterminado y para su solución es necesario considerar la deformación elástica del cuerpo. La expresión matemática de la condición de compatibilidad entre la distribución de tensiones y la existencia de las funciones continuas u, v, 'W, que definen la deformación se obtiene a partir de las ecuaciones (2). En los problemas bidimensionales deberán considerarse solamente tres componentes de la deformación, a saber: ell

av = éJy'

2 a2T""

(::2 + :;2)

1

lJ'T""

(ITe -

VITv)

aa (IT1/ + ax2

+ (Iv)

= O

(24)

-(1

+ v) (~; + ~~)

(25)

En el caso de una deformación plana (§ 8) se tiene: 0', = v(fT~ + O'JI) .Y de acuerdo con la ley de' Hooke [ecuaciones (3)) resultará: 1 = E [(1 - 1'2)0'= - 1'(1 + 1')0'11] 1 = 1Jj [(1 - !l S)lTu - v(l + 1')11':] 2(1 + v) "1=11 = E E:

2(1

+ v)

E

!lIT:)

'I'=v

= 2(1

+

v) a2T=1I ax ay

(b)

(a + 02) +éJx2

aya (0'%

IT,¡)

=-

1 1-

l'

(ax + ay ay) éJx

(28)

Las ecuaciones de equilibrio (18) o (19) conjuntamente con las condiciones de contorno (20) y una de las ecuaciones de compatibilidad que . quedan consignadas, constituyen un sistema de ecuaciones que, por lo permite la determinación completa de la distribución de las ten. l:1iones en un problema bidimensional'. Más adelante se tratan los C'Il
:.

Mediante las ecuaciones de equilibrio podemos dar a esta ecuación una forma diferente. En primer término, consideremos el caso en que el peso

(27)

en la ecuaClOn (21) y teniendo en cuenta, como antes, las ecuaciones de equilibrio (19) concluimos que la ecuación de compati.b.ilidad (24), es válida también en el caso de la deformación plana. Para ·.el caso general de fuerzas másicas las ecuaciones (21) y (18) nos permiten bir la ecuación de compatibilidad bajo la forma siguiente:

(22)

(23)

'I''''lI

(26)

Eu

2

1

1Jj (0'11 - VIT~)

y sustituyendo en (21) se tiene:

az ay2

(U.,

(O~2 + aéJ;a) (0'% + 0'1/) =

(a)

eu =

=

a2crll ay2

Si se procede análogamente con las ecuaci9nes generales de equilibrio tendrá:

Esta ecuaClon diferencial se llama condici6n de compatibilidad y debe ser satisfecha por las componentes de la deformación, para asegurar la existencia de las funciones u y v vinculadas a aquéllas por las ecuaciones (a). Aplicando la ley de Hooke [ecuaciones (3)J la condición (21) puede expresarse en función de los componentes de la tensión. En el caso de un estado tensional plano las ecuaciones (3) se reducen a:

'Y:w =

IT", _

ax2

sustitución de estos valores en la ecuación (b) se llega a la ecuación compatibilidad en función de las componentes de la tensión:

+

1

= _ ;Ja

iJx ay

Estas tres componentes de la deformación son expresables en función de u y v y, por lo tanto, sus valores no pueden ser arbitrarios sino que han de estar ligados entre sí. La relación existente -entre ellos se deduce fácilmente de (a). Derivando dos veces respecto a y la primera ecuación de (a), dos veces respecto a x la segunda y respecto a x e y la tercera, obtenemos: éJ 2e", a2Eu a 2"(=1I (21) aya ox 2 = ax ay

E~ =. E (O'., - VfTu),

47

TENSIONES PLANAS Y DEFORMACIONES PLANAS

TBORIA DE LA ELASTICIDAD

De eS!l Illanera podremos obtener diversas soluciones para las ecuaciode equilibrio (a),· entre las cuales, aquella que satisfaga también a ecuación de compatibilidad (b) será la verdadera. Remplazando en la (b) las expresiones (29) de las componentes del esfuerzo conque la función de tensión es la solución de la ecuación: éJ4~

+ éJr"" = iJy

au" ay + éJr"" ax + pg = 2 ( éJx 2 8

= O

x= _aV i);¡;

y

=

(e)

_av ay

V es la función potencial. Las ecuaciones (18) se transforman en:

~ (O". - V) éI:l;

(
+ !hay•• = O + aTilz•• = O

son de la misma forma que las ecuaciones (a) )' quedarán sutisfechlls tomnndo: éJ'q,


+

iJ2) ay2 (u",

+
=

O

(b)

a las cuales se deberá añadir las condiciones de contorno (20). El método corriente para resolver estas ecuaciones se basa en la introducción de una nueva función llamada función de tensión 2• Fácilmente se comprueba que r;s ecuaciones (a) quedan satisfechas por una función ~ (x, y) relacionada con las componentes de la tensión por medio de l!ls expresiones siguientes: (29)

, Esta afirmación puede necesit.r ser modificada cuando la placa o el Cilindro tienen agujeros pues entonces, para llegar a la solUCIón conecta, debernos considerar los desplazamientos además de 1M tensIones. Véase el § 39. . ! Esta función que a veces es Uamada función de tellSió" de Airy fue introducida en la solución de los problemas bidimensionales por G. B. Airy, Bril. Assoc. AdvaltcemeJ/t Sci. Rept., 1862.

(30)

Consideremos ahora el caso más general éle vari"s fuerzas másicas y admitamos ellas deriven de un potencial. Entonces, las componentes X e Y de las ecuacio(18) estarán dadas por las ecuaciones:

.! fJy

O

04~

Resolver un problema de elasticidad en dos dimensiones, en el cual el peso la única fuerza másica; consiste pues, tan sólo, en buscar una :.H~I!U'''lV'H de la ecuación (30) -que satisfaga a la condición de contorno (20) cOlrresp,onCUt:nte al caso particular planteado. En los capÍtu)¡Js siguientes ·aplica para resolver una serie de problemas de interés práctico.

O (a)

éJ4~

a? + 2 i.lx2 ay2 + ay~

16. Función de tensión. Hemos demostrado que para resolver los problemas bidimensionales, basta con hallar las soluciones de las ecuaciones diferenciales de equilibrio, que satisfagan la ecuación de compatibilidad y las condiciones d~ contorno. Si aplicamos esto en primer lugar al caso en que la única fuerza másica es el peso del cuerpo, las ecuaciones que habrá que resolver son [véase las ecuaciones (19) y (24)J Bu: 8x

49

TENSIONES PLANAS Y DEFORMACIONES PLANAS

. particulares en los que es necesario agregar otras consideraciones (§ 39). $s . interesante destacar que cuan~o las fuerzas másicas son constantes, en las ecuaciones que determinan la distribución de (as tensiones no apa·recen las constantes elásticas del material, lo que quiere decir que la distribución de las tensiones es igual para todos los materiales isátropos, con tal que las ecuaciones sean suficientes para la completa determinación de las tensiones. Esta conclusión es de mucha importancia práctica, pues como veremos más tarde (§ 42), por procedimientos basados en el uso de luz polarizada se pueden hallar las tensiones que se producen en ma~eriales transparentes como el vidrio y la baquelita y los resultados así obtellidos podrán ser, en muchos casos, inmediatamente aplicados a cualesquiera otros materiales, tales como, por ejemplo, el acero. Señalaremos asimismo, que cuando las fuerzas másicas son constantes,.· la ecuación de compatibilidad (24) es de aplicación tanto a los· casos de tensión plana como a los· de deformación plana. En consecuencia, la dis., tribución de las tensiones será igual en ambos casos, siempre que se trate de contornos idénticos y de un mismo sistema de fuerzas exteriores ' .

~

(al)

es la función de tensión. Remplazando estas últimas en In ecuacIón de com-

I"""L>II""'U

(25), que corresponde a un estado elástico plano, se llega a: a1tJ¡

(Jz'

il'tJ¡

8'<1>

+ 2 81:' ily' + ay'

= - (1 - v)

(a.v a.v) a;¡;i + iJy'

(32)

. Para el caso de una deformación plana se puede obtener una ecuación análoga, . ·utilizando un procedimiento similllr. ; Cuando la fuerza másica actuante se reduce al peso, el potencial V es - egy . . En este caso el miembro derecho de la ecuación (32) se reduce a cero. Si tomamos 4> = O cornil ~olueión de (32) (J (30) S" deduce, de (J1) o (29),

=

-PUy,

r••

;= O

(d)

·'·es una pO~lble solución. Este estado es el de una ~resión'hidrostátic!l b,dlmensloml¡ '!gy que se anula paJ:~ l' =, 0, y que supuesto que se apliquen las fuerzas de contorno .4-l"IiOHIA

oc

lA Pusnc:::lnAn

TEORIA DE LA ELASTICIDAD

5.0

corr~spondientes puede darse en una placa o cilindro de forma cualquiera. De la consideración de un elemento de contorno cualquiera, tal como el que representaría ia figura 12, y aplicando las ecuaciones \(13) se deduce que la fuerza actuante sobre el contorno consiste en una presián nonnal egy y una tensión· tangencial nula. Si sobre la placa o el cilindro actúan otras fuerzas tenemos q!le añadir una tensián normal egy a las nuevas fuerzas. El conjunto de las dos estará en equilibrio y la determinación de sus efectos es un problema de fuerzas de contorno sin intervención. de las fuerzas másicas 1 •

TENSIONES PLANAS Y DEFORMACIONES PLANAS

51

La placa de la figura que se prolonga en un ~diente., se encuentra en un estado tensión plano. Sobre los bordes c;lel diente (las dos líneas rectas) no actúa ninguna

Problemas 1. Demostrar que las ecuaciones (12) siguen siendo válidas cuando el elemento de la figt¡ra 12 se mueve con una aceleración cualquiera. . 2. Hallar gráficamente las deformaciones principales y sus direcciones siendo las medidas dadas por una roseta. 'afil+4> 0= 0,95 X 10-' cm/cm. c.¡. .. 2 X 10-', . ~+'i =- 1,35 X 10-3, ~ = 45°. 3. Demostrar que entre los elementos lineales que pasan por .el punto x, y aquellos en que se da la máxima y minima rotación son los paralelos y perpendiculares a la dirección determinada por () siendo () el ángulo que cumple.

y~

=

tg 28

011 - -OU). / = ( -ay iJa;

(av- +-ayau) éire

4. Las tensiones existentes en un disco (de espesor unidad) en rotación, pueden hallarse considerando el disco parado y sometido a un campo de fuerzas másicas igual a la fuerza centrífuga. Demostrnr que tales fuerzas admiten el potencial V = -1/2 ero'(x' + y') donde e es la densidad y tJJ la velocidad angular de rotación (alrededor del origen). 5. Las fuerzas gravitatorias que actúan sobre un disco cuyo eje es horizontal viene!"! dadas por las ecuaciones (el) del § 16. Realizar un diagrama de las fuerzas de contorno que soportan su peso. Represéntese mediante otro diagrama las fuerzas de contorno del problema auxiliar, que debe ser resuelto cuando el peso del disco es soportado completamente por una superficie horizontal sobre la cual se apoya. 6. Las fuerzas gravitatorias que actúan sobre un cilindro cuyo eje es horizontal, vienen dadas por las ecuaciones (el) del § 16. Los extremos del mismo se encuentran confinados e~ltre dos planos rígidos fijos que obligan al estado de deformación plana. Realícese un diagrama. de las fuerzas que actúan sobre su superficie incluyendo los .extremos. .-. 7. Introduciendo las relaciones tensión-deformación y las ecuaciones (a) del § 15 en las ecuaciones de equilibrio (18), demuéstrese que en ausencia de fuet;zas másicas y para estados tensionales planos los dcsphlzamientos deben satisfacer la expresión:

a'u + iJ'U + ~~ (/tu + ov) = ·0··

az 2

ay"

1-v8z az

8y.

así como la ecuación compañera. I Este problema y .1 caso general de un potencial V que anula el miembro derecho de (32) ha sido tratado por M. Biot, J. Applied MecJumics (1'rans. A.S.M.E.), 1935, póg. A-41.

Demuéstrese que no elCÍste tensión alguna en el vértice del diente. (Nota Este no es cierto en el caso de que se trate de un diente entrante.)

re~¡U!·"'OLO

53

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS RECTANGUI,ARES

Problemas bi en coordenadas

"direcciones perpendiculares entre sí y una tensión tangencial uniforme. Según se explicó en el § 15, las fuerzas ejercidas sobre el contorno deben iguales a las tensiones existentes en los puntos del mismo. Tales son dibujadas en la figura 21, que corresponde a una placa reccuyos lados son paralelos a los ejes coordenados.

ITYYIV',

r---~----------U---,X

y Flo.21

17. Soluciones polinómicas.

Como se ha visto, la solución de problemas bidimensionales en los que las fuerzas másicas son nulas o constantes, se reduce a la integraciÓn de la ecuación diferencial

a ,p + 2 ~ 4

ax4

a;¡;2 ay?;

+ aaycf¡4 = O 4

Ca)

cuenta tenida, de las condiciones de contorno (20) que correspondan al caso particular en estudio. Cuando se tratan placas rectangulares largas y estrechas las soluciones en forma polinómica de la ecuación (a) presentan un notable interés. Utilizando polinomios de diversos grados, en efecto, y ajustando convenientemente los coeficientes, se puede resolver un buen número de problemas de importancia práctical • Para empezar, consideremos un polinomio de segundo grado,

(b) que, evidentemente, satisfará la ecuación (a). De la ecuación (29), haciendo flg = 0, se deduce

Las tres componentes de la tensión son pues constantes en cualquier punto del cuerpo y la función de tensión (b) representa, 'en consecuencia, una combinación de tensiones uniformes, de tracción o compresión2 , en dos , Mesnager, A., Cmnpt. yend., vol. 132, pág. 1475, 1901. Véuse también A. 'l'impe, Z. Math. Physik, vol. 52, pág. 348, 1905. u, b•• direcciones de las tensiones re, Que Sea una u otra depende de los signos presentadas eIl la figura 21 corresponden a valores pOSitivos
u. y L,,,

Consideremos ah'ora de tercer grado

Ulla

función de tensión consistente en un poli-

(e) polinomio satisface también la ecuaClOn (a). Usando las ecuaciones y poniendo flg = O llegamos a las expresiones

placa rectangular, como la que puede verse en la figura 22, se ensometida a una flexión simple si todos los coeficientes del polinoexcepto d3 son nulos. En cambio, si sólo a3 es distinto de cero obteun estado de flexión simple creado por esfuerzos normales que sobre los costados de la placa de ecuación •V = ± c. Si b3o: ¡ e

~.

t

! 1.~

y

x

y F.:IG. 22

FIC. 23

54-

TEQRIA DE LA ELASTICIDAD

55

PROBLf>"MAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS RECTANGULARES

son distintas de cero, además de las' tensiones nonnales tendríamos tensi.ones tangenciales actuando sobre los bordes laterales de la placa. La figura 23, por ejemplo, representa el caso en que todos los coeficientes de (e) salvo ha son cero. Los sentidos con que se han dibujado las tensiones corresponden a valores positivos de bao A lo largo de los bordes y = ± e tenemos una distribución uniforme de tensiones de tracción y c()mpresitin, respectivamente, y de tensiones tangenciales proporcionales a X. En el borde x = 1 tenemos simplemente una tensión tangencial constante e ig'ual a -bal y en la cara x = O no existe tensión alguna. Se obtiene una distñbución de tensiones análoga si se toma C3 distinto de cero. Al tomar como función de tensión polinomios de segundo o tercer grado se tiene completa libertad en la elección del valor de los coeficientes pues la ecuación (a) es satisfecha cualesquiera que sea su valor. En el caso de polinoIPios de mayor grado, sin embargo, la ecuaci?n (a~ sólo es satisfecha si los coeficientes. cumplen, entre ellos, determmadas relaciom!s. Tomando, por ejemplo, como función de tensión un polinomio de cuarto grado

conjunto de tensiones tangenciales actuantes sobre el contorno de la produce el par

1 d c2 '

2

4 . 20 - '3 "2 . 2c • l = '3 d 4c3l

par compensa el producido por las fuerzas nonnales que actúan sobre cara x = l. --+ - -

I

+

¡ I

I

e r---"---+-~~

t..

l y FIG.24

Supongamos ahora que se toma como función de tensión un polide quinto grado

(d) y llevándolo a la ecuación (a) se encuentra que esta ecuación se cumple solamente si 84 = -(2c{ a4)

d4c2l

2

.M =

.

a6

=5'4:t

s

+ 4·g:ty b& + 3'2 06 a + do + 4'3 /lo xy + f. XY RXY n 4

+

2

2 3

4

Y

5 (

f)

en Ca) se obtiene que esta ecuación es satisfecha si

Las compenentes de la tensión en este caso son:

e6

=-

(20¡

+ Sas)

jr, = -t(b ó + 2ds)

componentes de la tensión correspondiente son, por lo tanto, O'

2 a = aay2ifJr, = ~ 3 x + d&x y

U lI

= éJ:r/

2

~

a2 ifJ

Los coeficientes a4, .... d4 • que figuran en estas expresiones, son arbitrarios y eligiendo sus valores convenientemente podemos obtener distintas condiciones de carga sobre la placa rectangular. Tomando, por ejemplo, todos los coeficientes menos d4 iguales a cero resulta O'v

= OJ

(e)

Si tomamos d 4 positivo la distribución de fuerzas que actúa sobre la placa rectangular y que produce las tensiones expresadas por Ce) es la mostrada en la figura 24. Sobre los bordes longitudinales y = ± c existe una distribución uniforme de tensiones tangenciales y sobre los extremos de lii placa l~ distribución de esas tensiones sigue una ley parabólica.

-

(205

.

+ 3a6)xy2 -

1 -3

(b 6

+ 2d6)y3

d

= a6x3 + b5x 2y + C5Xy2 + 3's ya

Tz;¡¡ = - ozéJy ~ = - -3 bóx· - cóx2y - d6Xy2 1

+ -31 (206 + 3a6)y8

coeficientes a., ... , d s, son, de nuevo, arbitrarios y eligiéndolos convese obtienen las soluciones correspondientes a distintas conde carga de la placa. Tomando, por ejemplo, todos los coeficientes excepto d. iguales a cero '. obtiene ."•.m:'.'L
u=

u" 1'%11

I

= d&(x,2y = íday 3 = -d Gxy2

Se considera una placa de espc.qnr unidad.

jy~)

(g)

!

¡ I I

I

II

II

I

¡ I

I

56

TEORIA DE LA ELt\STICIDt\D

- --- --- - i:-L

~---+----------+---x

¿

---I

(

:r

:r

t

+ t

~I

t

(6)

(a)

FIG.25

Puesto que la ecuación (a) es lineal, la suma de varias soluciones de ella es también solución. Podemos, por lo tanto, superponer las soluciones elementales que hemos estudiado y llegar a nuevas soluciones de interés práctico. Más adelante este principio de superposición será usado varias veces. 18. Principio de Saint-Venant l • En el párrafo anterior se estudiaron distintos casos referentes a placas rectangulares, llegándose a la solución exacta de las mismas, mediante sencillas expresiones de la función de tensión $. Estas soluciones satisfacen todas las ecuaciones de la elasticidad, pero su exactitud está condicionada a que las fuerzas superficiales se distribuyan de una determinada forma. En el caso de flexión simple de la figura 22, por ejemplo, el momento flector debe ser producido por tracciones y compresiones que, actuando sobre los extremos, sean proporcionales a la distancia al eje neutro. De otra parte la s~jeción, si existe, de la extremidad de la pieza, no deberá influir en la deformación de la superficie plana que la limita. Si tales condiciones no se cumplen, esto es, si el momento flector se aplica de una manera diferente, o si la sustentación impone a la sección terminal otros esfuerzos, la solución dada en el § 17 deja de ser exacta. La utilidad práctica de dicha solución, sin embargo, no está limitada a, caso tan especial sino que puede aplicarse con suficiente exactitud a casos de flexión en los que las condiciones en los extremos no son riguro.

57

PROBLEMAS lllDlMENSIONALES EN COORDENADAS RECTANGULARES

Las fuerzas normales se distribuyen uniformemente sobre los b01:des longitudinales de la placa (Hg. 25a), mientras que sobre la cara x = l constan de dos partes, una que depende linealmente de y, y otra que es función parabólica de tercer grado de la misma coordenada y. Las fuerzas tangenciales son proporcionales a x sobre las caras longitudinales y siguen una ley parabólica a lo largo del borde x = l. La distribución de todas estas tensiones es mostrada en la figura 25b.

. I Este prl~clp\O flle ",tllbleCldo por Samt-Venant en su famosa memoria sob,.e la torsIón:

Mem. raval/I. elrauger., vol 14.1855. Su relaCIón con el pnnClplO de con.ervución de la energla será dIscutida más adelanle (§ 47).

sarnente satisfechas. Tal extensión en la aplicación de la solución se basa en el llamado pri11cipio de Saint-Venallt. Este principio establece que si las fuerzas que actúan sobre un pequeño elemento de la superficie de un cuerpo elástico son remplazadas por otro sistema de fuerzas actuando sobre la misma porción de superficie y estáticamente equivalente al anterior, la alteración que la nueva distribución de cargas induce en el antiguo estado tensional, aunque localmente importante, resulta despreciable a distancias grandes respecto a las dimensiones de la superficie sobre la cual han cambiado las fuerzas. Por ejemplo, en el caso de flexión simple de una barra (Hg. 22) cuyas dimensiones transversales son pequeñas comparadas con su longitud, la ma¡lem en que se ílplique el momento flector exterior int1uye en la distribución tensional que se produce en la vecindad de los extremos, pero no en aquella correspondiente a secciones distantes, para las cuales· coincide prácticamente con la dada por la solución a que se refiere la figura 22. Lo mismo ocurre con los esfuerzos axiales. La distribución de tensiones depende de la forma en que se aplique la carga, solamente en las zonas próximas a los extremos. En las secciones alejadas la distribución de tensiones es prácticamente uniforme. Algunos ejemplos ilustrando la validez de este aserto y mostrando la rapidez con que la distribución se hace uniforme serán presentados más adelante (§ 23). 19. Determinación de los desplazamientos. Una vez deducidas las componentes de la tensión a partir de las ecuaciones anteriores, las componentes de los desplazamientos se obtienen mediante la ley de Hooke, ,. ecuaciones (3) y (6). Los desplazamientos, u y v, se obtienen entonces a partir de las ecuaciones

au

Bu

ay

Bx = e:::,

av

+ ax

= 'Y=v

(a)

Más adelante encontraremos numcrosos ejemplos de aplicación de estas ecuaciones, cuya integración en cada caso pal1:icular no pr.esenta difi~ultades. Se ve en seguida que las componentes de la deformación no . c!lmbian si añadimos a u y v las funciones lineales Ul =

a

+ by,

VI

= e - bx

(b)

en las que a, b y e son constantes. Esto significa que las tensiones y deformaciones no determinan completamente los desplazamientos y que a los causados por las deformaciones internas pueden añadirse otros, análogos a los que experimenta un cuerpo rígido. Las constantes a y e de-. finen una traslación y la b un pequeño ángulo de giro del cuerpo rígido alrededor del eje En el § 15 se demostró que para fuerzas más'icas constantes la distribución de tensio.~es es la misma para estados tensionales planos que para

z:

.

j: I1

!I

!I

58

estados de deformación plana. Los desplazamientos, sin embargo, son ~Iisi:intos, dado que para el primer caso las componentes de la deformación que figuran en las ecuaciones (a) vienen dadas por E",

=

E1 (<1" -

/I(f'1/),

EII

= E1 (0"1/

59

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS RECTANGULARES

nORIA DE LA ELASTICIDAD

que la fuerza actuante sobre los bordes y que

= ±

e sea nula es nece-

- /lIT,.),

mientras que para el segundo caso de defonnación plana las componentes de la deformación son Ez

= El1 [O"",

- 11(0""

v2)0".. - 11(1

EII

= El1 [(f'1/

-

v2)0"1/ -

'"(=11

=

+ 0'.)] = E1 {Cl 1 1I«(f'= + O'.)J = E [(1 -

cumpla la condición de que en el extremo cargado la suma tangenciales sea igual a P se ha de cumplir quel

+ 11)0'1/] 11(1 + /1)<1,.]

- fe T",,' dy fe (b2 -e

-e

= P

G.T:;v

Se comprueba fácilmente que estas ecuaciones pueden obtenerse de las anteriores, para estado tensional plano, sin más que sustituir E, en estas últimas, por E/(l - p2) Y p por '1'/(1 - y). Estas sustituciones no alteran G que es Ej2(1 + v). Al estudiar algunos problemas especiales se indicará el procedimiento de integración de las ecuaciones (a). 20. Flexión de una pieza en voladizo 1 con carga en su extremidad libre. Sea una pieza en voladizo, de sección rectangular delgada, que supondremos de anchura unidad, flectada por la acción de una fuerza aplicada en su extremo libre (fig. 26). Sobre los bordes superior e inferior

¡

l

:0

b2 =

3P

- "2 ca xy, 7=11

= _ 3P

(f'u

N. del '1: También recibe el nombre de ménsula.

(a)

"!

que 2/3 cf! es el momento de inercia 1 de la sección trans.. ·:Versal de la pieza tenemos

T=u

=O

,

2

Pxy

Flc. 26

d~. -"2 y-

(1 _!t\ cJ

- T'

.'-t-

(f'= = d.:cy, b2 7=11 = -

4c

(f'" = O

.: Y. advirtiendo

'c p

3P

4c

Sustituyendo los valores obtenidos de d y b2 en (a) se obtiene

~

no actúa ninguna carga, mientras que sobre el extremo correspondiellte a x = O se distribuyen fuerzas tangenciales de resultante P. Tales condiciones pueden ser satisfechas mediante una combinación apropiada de un estado de esfuerzo cortante simple y de las tensiones dadas por las ecuaciones (e) del § 17, representadas en la figura 24. Sumando la tensión tangencial "1/ = - ba y las tensiones (e) se tiene

I

~ y2)· dy e

=

1

PI 2 =- 1 2" (c -

1]""

= O

(b)

y2)

coincidencia de esta solución con lu deducida de forma elemental en los tratados de resistencia de materiales es completa. Debe advertirse, .. sin embargo, que ella es exacta tan sólo cuando las fuerzas tangenciales sobre las extremidades se distribuyen siguiendo la ley parabólica de las i:e~siones tangenciales '=" y las fuerzas normules en el empotramiento son proporcionales a: y. Si las fuerzas sobre los extremos se distribuyen de otra manera, In distribución de tensiones (h) no es una solución correcta en los extremos de la pieza, aunque sí lo es, en virtud del principio de Saint:. Venant, en las secciones transversales alejadas d~ los mismos. I El s'gno menos, precediendo a la integral, provi"ne de la regla de signos· dada para las tensiones tangencial~s. L. tensión <..ven el extremo x = O es positiva si se dirige ·huc.. arriba.

60

Consideremos ahora los desplazamientos' correspondientes a lus tensiones (h), Aplicando la ley de Hooke se deduce que: .

Bu

E",

Pxy

If",

= Bx = E = - El'

7"", =

Bu ay

+ Bu Bx =

r.",

7J

= -

Eu

=

élv oy

P 2 2IG (c

-

=y2

vPa;y E = El

VU'"

v

'U V

)

Cd)

vPxy2

= 2EI + h(z)

donde 1(1') y /¡(x) son funciones de y y dc x desconocidas. Sustituyendo estos valores de u y v en la ecuación (el) se llega a:

_ Px 2 2El

+ df(y) + vPy2 + df¡(x) = _ ~ ( ~ _ dy

2El

2IG e

dx

2)

Y

dy

+

2lG

y la ecuación puede escribirse F(x)

+ G(y) = K

Tal ecuación implica que F(x) es una constante d y G(y) otra e. De no ser así F(x) y G(y) variarán con x e y y variando la x o la y solamente, la igualdad anterior dejaría de cumplirse. En cOl1secuencia (e)

+

= _

Py2 2EI

6

(g)

+

Pl3

g = O,

h=---dl 6EI

i

(g). De esta manera:

Px 3

Pl3

(v)v_o = 6EI - 6EI - del - x)

(~v)",=¡ = vX 1/=0

I

(h)

(Je)

O

1

Ir

!í ,

! !

.

Que se fije un elemento vertical de la sección transversal en el punto A. misma condición queda entonces = ( BU)"'_1 ay 1/=0

+ Py2 + 2lG

+

constantes d, e, g, y h pueden ser determinadas ahora mediante la (e) y mediante las tres condiciones de vínculo, necesarias para ,,.,,np.,rttr que la viga pueda moverse como un cuerpo rígido en el plano Supongamos que el punto A, baricentro de la sección transversal "' .... 'en;I''''' esté fijo. Entonces II y V son nulos para x = 1, y = O Y de las (g) se deduce

y

df(y) dy

+ +

+

:iJa determmación de la constante de esta última ecuación exige el empleo la tercera condición de vínculo, la cual elimina la posibilidad de una de la viga en el plano xy alrededor del punto fijo A, Esta sujeción realizarse de varias fonnas. Consideremos dos casos: 1) Que un to del eje de la viga esté fijado en el extremo A. Entonces la conde vínculo se escribe:

vPy2 _ Py2

2EI

expresiones halladas para u y v conducen a: pz2y' vPy. P y3 = - 2EI - 6EI 61G ey g vPxy2 Px. = 2EI BEl dx h

IilS

~urva de deflexión se obtiene sustituyendo y = O en la segunda de las

y

En esta ecuación algunos términos dependen solamente de x, otros solamente de y, y uno es independiente de ambos. Indicando estos grupos por F(x), G(y) y K tenemos: G( ) = rlf(y)

sustituidas en

(e)

Las cIJmponeJltcs U y v de los desplazamientos se obtienen integrando lHS ecuaciones (e) y (d), Integrando (e) tenemos la expresión;

Px2y u = - 2EI + f(y),

61

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS RECTANGULARES

'l'EOlIlA DE LA ELASTICIDAD

O

. En el primer caso, la ecuación (h) permite escribir

Pl2

Las funciones l(Y) y ll(x) son entonces

d = - 2EI ; y la ecuación (e) nos da

. (l)

(: i\

,1

I¡ ji )1

IIt: '1

11

}i

Ji

¡I

,1

li '1

1I

;I~ ,';

.¡

62

,De la comparación 'de esta ecuación con la (n), se deduce' que debido al ,'giro de la extremidad A del eje de la pieza en voladizo (fig. 27b), su flecha : ~umenta en la cantidad

Sustituyendo todas las constantes en (g) tenemos _ U -

V

=

63

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS RECTANGULARllS

TEORIA DE I.A ELASTICIDAD

"PyS Py' (Pl2 PC~) 2EI - 6El + 61G + 2EI - 21G Y "Pxy 2 Px 8 Pl2X PP 2El + 6El - 2El + 3El Px2y

-

3P

Pc 2

(m)

2IG (l - x) = 4cG (l - x)

que representa, pues, el llamado efecto de las fuerzas cortantes la flexión de la viga (flecha adicional).

La ecuación de la curva de deflexión es (n)

que da para la flecha del extremo cargado (x = O) el valor Pf/3EI, que coincide con el valor que se deduce en los textos elementales de resistencia de materiales. Con .el fin de mostrar 'la distorsión de las secciones transversales producida por las tensiones tangenciales consideremos el desplazamiento ¡¿ del extremo empotrado (x = l). Las ecuaciones (m) nos .dan para dicho plano: {bJ

ppya - 2EI

Py2

+ 21G -

Pc2

-2IG=

Pc 21G 2

(o)

3P

-4cG

Flc.27

práctica las condiciones en el empotramiento difieren de las en la figura 27. La sección fija no es libre en general para y la distribución de fuerzas en este extremo es diferente de en (b). Esta solución es, sin embargo, satisfactoria para piezas eQ relativamente largas, en puntos distantes de los extremos.

rlm,rn.m""

y la fonna que la seCClOn transversal adquiere como consecuencia de esa deformación es la indicada en la figura 27a. Debido a la tensión tangencial .",y = - 3P/4c actuante en el punto A, el elemento de sección transversal centrado en A, gira en el plano xy alrededor del punto A el ángulo 3P/4cG en el sentido de las agujas del reloj. Si en lugar de fijar un elemento horizontal del eje se considera realizada la fijación de un elemento vertical de la sección transversal (fig. 27b), se tendrá, de acuerdo con las ecuaciones (e) y la primera de las (g)

p¡a

21. Flexión de una viga uniforInemente cargada. Consídereuna viga de sección rectangular estrecha y de anchura unidad, apoe,n sus extremos, sometida a flexión bajo una carga uniformemente de intensidad q, como indica la figura 28. Las condiciones en : bordes superior e inferior son (7'=v)u-±,c = O,

e = 2EI

los extremos x

Sustituyendo en (e) se deduce

¡O-o

y remplazando en la segunda de las ecuaciones (g) llegamos a

(r)

7':&11

=

±

dy = =t=rzl,

(qu)u=+c

= O,

(qll)u--c = -q

(a)

1

f"-o q::dy = 0,

to u~ydy = O

(b)

dos últimas ecuaciones (b) establecen que sobre los extremos de la no actúa ninguna fuerza longitudinal ni dingún par flector. Las (a) y (b) pueden ser satisfechas combinando ciertas soluciopolinómicas,.fle las obtenidas en el § 17. Empecemos con la solución

(g) ilustrada por la figura 25. Con el fin de suprimir los esfuerzos de tracción que actúan sobre el borde y = e y los esfuerzos tangenciales existentes a lo largo de las caras y = ± e superponemos una compre-

·'.t>'
r-q1

1 ~fl

;)C

65

I'ROBLEMAS !llIlIMENSIONALES EN COORDENADAS RECTANGULARES

TEORIA DE LA ELASTICIDAD

64

f

e -o

o-",y dy

=

fa [- ~~ (lZY 40 -d

~3 iJ;¡) + daY] y dy =

O

.2

:JI

(ó)

(a)

{o}

FJG.28

sión simple !ly = a., de la solución (b), (§ 17) Y las tensiones !ly y 7:,,, = -bax .(fig. 23). De esta forma se llega a las expresiones: 2 (J: = d 6(x y -¡y3) Uy = td5!J3 + bay a. = -d 6xy' - ba:!:

+

"':y

=

u = - ~ i. '" 4 ca

q

baJo

= -21 (l2

-d 5e' - ba = O

+

¡¡

_ x 2 )y

2

+ -21q(2-3 ya -

2) 5

(33)

- c7J

primer término de esta expresión representa las tensiones que se dede la aplicación de la teoría elemental de la flexión, correspondiendo segundo a una corrección. Esta corrección independiente de x es pecomparada con la máxima tensión normal de flexión, siempre la luz de la viga sea considerable en relación con su altura, de manera en vigas de ese tipo, la teoría elemental de la flexión proporciona valor suficientemente exacto pura las tensiones o-z. Es de advertir 'la expresión (33) es una solución exacta sólo si las fuerzas normales actúan sobre los extremos x = ± 1 se distribuyen según la ley

(e)

Teniendo en cuenta las condiciones (a) resulta: ¡dle l baO -ldlc a - bac

(X2". _ ~3 ya) + 4~ go (~e - ~) y 5

+ a. = O + a. = -g

de donde /la =

-~,

ba

= 43qe

--J

.

ds

3 q

= - 4&

Sustituyendo en las ecuaciones (e) y advirtiendo que 2c'j3 es el momento de inercia 1 de la sección transversal rectangular de anchura unidad, se obtiene:

(d)

Puede comprobarse fácilmente que estas componentes de la tensión satisfacen no sólo las condiciones (a), existentes en los bordes longitutlinales, sino también las. dos primeras condiciones (b), que se dan en los

es decir, si las fuerzas normales en los extremos son iguales a los valores (J,c para x = :1:: 1 deducidos de (33). Estas fuerzas tienen como resul· tante un par y una fuerza nulos y, por 10 tanto, según se deduce del prin'cipio de Saint-Venimt, podemos despreciar su influencia sobre las ten· siones en puntos alejados de los extremos, para distancias, por ejemplo, ·del orden de la altura de la viga. Para tales puntos y cuando las fuerzas X . s'on nulas, la solución (33) puede considerarse como suficientemente exacta. La discrepancia entre la solución exacta dada por (33) y la aproximada expresada por el primer término de (33), proviene de que en el caílculo de esta última, se supone que las fibr-as longitudinales de la viga se en·cuentran sometidas a' una tracción simple. La soiución (d), sin embargo, '. muestra que entre las distintas fibras se ejercen unas tensiones de com. presión Uy • Esta~ tensiones son las responsables del segundo término

· de

5 -TOOIIIA Da LA FLASTtClDo\D

de correcclOn de la solución (33). La distribución de esas tensiones de compresión U v n lo largo de la altura de la viga es mostrada en la figura 28c. En cuanto a las tensiones tangenciales 'l'''1I' la tercera de hlS ecuaciones (d) da su distribución en una sección transversal de la viga, la cual coincide con la que se obtiene aplicando la teoría elemental. Cuando la carga que se aplica a la viga es su propio peso en lugar de la fuerza distribuida q, la solución debe modificarse haciendo q = Zegc en (33) y en las dos últimas ecuaciones de (d), y añadiendo las tensiones a. = poCe - U),

a", = O,

T.~

= O

(e)

Esta distribución de tensiones puede deducirse aplicando las ecuaciones (29) a:

1>

=

lpg(cz'

+ y'/3)

representando, por tanto, .un. posible estado tensional producido por el peso y las ~uerz.as de contorno. Sobre el borde superior y = - e tenemos (Yu = 2egc y en el lIlfenor y = e, rr. = O. De esta forma cuando las tensiones (e) son añadidas a la sol,:ción anterior, en la que se 'ha hecho q = 2agc,.la tensión sobre umbos bordes horIzontales es cero, y la carga aplicada a la viga consiste simplemente en su peso. Los desplazamientos u y v pueden ser calculados mediante el método indicado en el § 20, Suponiendo que el desplazamiento horizontal del baricentro de la sección transversal media (definido por x = O, Y = O) sea nulo y que el vertical sea igual a la flecha iJ se deduce de (d) y (33).

2~I [ (l2Z- i) y + z (i yS - ~ ~2!J) + vz (j 1l - c2y + ~ ca) ] = - 2~I {~ - C~2 + ~ c y + (LZ _ ~ + ~ _ ~ C

u= IJ

3

-

2~1

V [

2y2

X2)

p;2 - ~; - k + (1 + ~ v) C2X2

]}

2 2 C X ]

+Q

. ~uponiendo nula la flecha del punto central de los extremos (x deduce . . Ii

= ~ ql' 24 El

De la expresión de v se deduce la ecuación de la curva de deflexión

1

q [l2X~ o - -2EI -2 - x' - - -5 C2X2 + 12

(1)] 1 +2 V

C2;¡;2

(f)

5

l)

(34)

2

2

(35)

d:¡;2

'lue nos permite establecer que la curvatura no es exactamente propor. .cional al momento flector 1 q(l" - x 2)/2. El ténnino adicional encerrado por los corchetes tiene el significado de una corrección que debe aplicarse a la fónnula elemental corriente. Un estudio más amplio de la curvatura .~e las vigas lleva a la conclusión~ de que la corrección indicada por el :·término que incluye la expresión (35), puede emplearse en todos aquellos ::c~sos de carga de intensidad variable en fonna continua. En el § 36 se . el efecto de la fuerza transversal sobre la deformación de una viga sometida a flexión bajo una carga concentrada. Un cálculo elemental del efecto de la fuerza transversal sobre la curvatura de la curva de deflexión de las vigas ha sido hecho por Rankine J en Inglaterra y Gra. shof· en Alemania. Considerando como deformación transversal máxima en el eje .; neutro de una viga rectangular de ancho unitario, bajo la acción de una fuerza trans-

valo~ 3/2 ( 2~G

), el

correspond1n~inc).remento de la curvatura está

.. dado por su derIvada respecto a x, o sea, 3/2 \ 2cG ·.~Iemental,

• De acuerdo con el cálculo

se llega a la siguiente expresión para la curvatura corregida: q

_7Jqz () U u-o - 2E

5

[lZ -2 x + c2 (i5 + ~)] ( d2¡;)u-o = ...!l.. El 2

I1

-

z'

El' -2-.el eje directriz está sujeto a una tracción a la que corresponde la deformación ¡¡q/2E, teniéndose por lo tanto .

[1 +12 fl2 (~+ ~)]

= ±

factor que precede a los corchetes, es el valor que se obti~ne para la aplicando la teoría elemental, bajo 'el supuesto de que las secciones . de la viga permanezcan planas durante la flexión. El segundo dentro del corchete, representa la corrección que corresponde . . llamado efecto de la fuerza transversal, ..... Derivando dos veces con respecto a x la ecuación (f) de la curva de : deflexión, encontramos para la curvatura la siguiente expresión

. versal Q, el

A la vista de la expresión de u puede deducirse que la línea neutra de la viga no pasa por su eje ya que ¡) causa de la tensión compresiva

(V)II_O =

67

PUOBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS RECTANGULARES

TEORIA DE LA ELAS'rICIDAD

a i = Elq [12~.+ - e'(l + .) + 22cG :1;'

]

Se observa que el valor de la corrección, así obtenida, es exagerado en comparación con el de la expresión (35) '. El término correctivo de la ecuación de la curvatura (35) no puede atribuirse l Esla observación es debida a K. Peorson, Quart. Jour. Math" vol. 24, pág. 63, 1889. , \'éase el trabajo de T. V. Karman, Abhandl. aerody/lam, Inst. Tech, Hochschule, Aachen vol. 7, pág. 3, 1927. ' , Rankine, Appliud Mecha"ics, 14.' edición, pág. 3#, 1895. ., Grashof, Elastizitat wld Festigkeit, 2.' edición, 1878. : , Una mayor aproximación se consigue mediante consideraciones energéticas, Véase S. Tirnoshenko, StrlnJ/f.th of Materials, 2.' edición, yol. 1, pág. 299,

tan sólo al esfuerzo cortante, pues deriva del hecho de que las tensiones de compresión ". no están uniformemente distribuidas en I~ alt~~a de la. vig~. El ensanc~a­ miento lateral que estas tensiones producen en la dueCClon x, dlsmmuye de arrtba a abajo, de manera que se origina una curvatura inversa (de convexidad, hacia.arriba). Si a esta curvatura se une el efccto de la fucrza transversal, quedara exphcado el término correctivo de dicha ecuación.

22. Otros casos de flexión de vigas bajo cargas continuas. Aumentando el grado de los polinomios que representan las soluciones de los problemas bidimensionales (§ 17), podemos resolver diversos casos de flexión de vigas sometidas a cargas que varían de un punto a o.tro con continuidad¡. Tomando, por ejemplo, una solución en forma de poliy

FlG. 29

nomio de sexto grado y combinándola con las soluciones dadas en el § 17, podemos determinar las tensiones que origina una presión hidrostática en una estructura vertical empotrada, como la representada en la figura 29, y demos t rll.r que el siguiente sistema de tensiones satisface todas las condiciones de equilibrio en las caras longitudinales (1z

(1u

7'>11

= q:;r + 4~3 ( -2xy3 + =

(ya -"'2 + ªx 40 q:u

3 -

¡

trans'vc¡'sal alejada de los extremos de la viga (a una distancia mayor que la altura puede ser calculado en forma aproximada mediante las siguientes ecua-

+ q (lt _.!1t) 2e' lOe "'v = _!J.2 + 'l (!!JI _4c' Y') 4e

a'.

3Y) 40

(a)

+ 4~3 ~

_.!L (c4 - y4) +.J....~ C2(02 803

En el caso general de una distribución de carga dada por una ley de v.ariación de intensidad q (fig. 30), la distribución de tensiones en cualquier sección

.wu,,'''u'~

2

e2(e 2 - y2)

En estas expresiones q es el peso específico del fluido, de manera que la intensidad de la carga a la profundidad x es qx y la fuerza transversal 2 3 y el momento flector a la misma profundidad qx f2 y qx f6. Como puede advertirse fácilmente, los primeros términos de las expresiones de (J", y T.. son los que para estas tensiones dan las fórmulas elementales. v En la parte superior de la estructura (x = O) la tensión normal es nula y la tangencial viene dada por; >fI

Estas tensiones, aunque distintas de cero, son muy pequeñas y además u resultante es nula, por lo que a efectos prácticos podemos considerar que el extremo superior de la estructura se encuentra libre de fuerzas ..' exteriores. . El efecto del peso de la estructunl sobre la distribución de tensiones tenido en cuenta sin más que añadir a la exptesión de (f~ en las ecuacio(a) el término -q¡x, donde q¡ es el peso específico del material de 'la estructura. La solución así obtenida ha intentado aplicarse al cálculo 'de las tensiones existentes en las presas de mamposteria de s'ección rectangular. Debe advertirse, sin embargo, que tal solución no satisface jas condiciones existentes en la sección de asiento del muro. La solución (b) es exacta si las fuerzas actuantes sobre esa sección se reparten como las ·tens:iones U x y T",y dadas por (a). En los casos reales la base de la presa está trabada a la fundación y las condiciones existentes son distintas a las que k solución que estudiamos exige. De acuerdo con el principio de SaintVenant podríamos deducir que el efecto de dicho vínculo sería despreciaa distancias grandes de la base pero dado que las dimensiones transde una presa de mampostería no son despreciables frente a su altura, la influencia que consideramos no puede ser despreciada 2• Tomando como función de tensión un polinomio de séptimo grado obtenerse la distribución de tensiones en una viga sometida a una de caLgas que obedezca a una ley parabólica.

e x y)

= 38q~2 (0 2 - y2) - Sªs (e' - y4) (l o

T =

69

PROBLEMAS IIlDlMllNSIONALliS EN COORDENADAS RECTANGULARES

TEORlA DE LA ELASTICIDAD

68

4035

I Véunse los trabajo. dc T.mpe, loe. cit.; W. R. Osgood, vol. 28, pág. 159, 1942.

J.

_

y2)

Researeh Natl. Bur. Standards

T.V

= My

I

=

-s.

(0 2 -

(36)

y')

las que lIti es el momento flector, Q la fuerza trunsversal, calculada en la forma . y q la intensidad de la carga en la sección transversal considerada. Estas • M. Levy, Compt. relld., vol. 126, púg. 1235, 1898. El problema de las tenSIones que se producen en lAS presas de mampostería tIene gran práctICO y ha s.do tratado por dIversos autores. Véase K. Pen,"oo. On sorne Dlsrcg'lfdt:d m the Stablltty of Mnsonry Dams, en Drapers' Co. Rescare/¡ Mems., 1904; K. Pearson An Experimental Stut.ly of the Stresses In Mnsonry Dams, en Drapers' Co. Re¡'ldems., 1907. Véanse tambIén los tf'abajos de L. F. Rlchardson, Trans. RoJ'. Soco (L,.nvol. 210, serlC A, pág ..307, 1910; Y S. D. Cal'othels, Proc. ~CJY. Suc., Edmburgo, vol. 33, 1913. l. Muller, PllbliCilt;OIlS du laboratnire de pltata-élai!icité, Zurlch, 1930.F,llunger, Wachsehr. Ólleni/. Eaudlenst, 1913, Heft, 45. K. Wolf, Sttzber. Akad. WISS. Wlell, 123, 1914. I F. Seewald, Abltandl, "erady"a",. Irlsl. Teeh. Hnschschule, Aachell, vol. 7, pág. 11, 1927. ~

TEORIA DE LA ELASTICIDAD

70

71

PItOBLIlMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS RECTANGULARES

ecuaciones concuerdan con las obtenidas anteriormente para una viga sometida a una curga uniforme (§ 21).

, La función de tensión ·resulta entonces

sen ax(C¡ ch ay

,h

+ C. ~h ay + C.y eh ay + C,y sh ay)

(d)

las eomponéhtes de la tensión están dadas por

e

t1r .=

.

"'y

y .u = -

Si la carga de intensidad q, que actúa de arriba hacia abajo, está distribuida a lo largo del borde inferior (y = +c) de la viga, la expresión de las tensiones se obtiene a partir de· (36) añlldiendo una tensión de tracción 11. = q. Tenemos entonces: <1'

MlI 1

-

• -

+ "2& n (X. _.! 11) 10 e

Y')

2q +!l (SY 40 - 4ci .,.•• = ~ (c' _ y') <1'.

=

.

[CI(I' ch rLy

+ C.,,' sh

= -a" sen ax(CI ch ay

o' ay tP

ox

m1l'z

= sen -¡- I(y)

20<'1" (y)

+ fIY(y) = O

+ ay sh ay)] + Coy ch ay -1- C,y sh ay)

(e)

+ Cl(1 eh ay + C.(ch (ly + "y sh ay) + C,(sh "y + ay ch
FIG. 31

los valores positivos de A y de B. La distribución de las tensiones en este obtenerse mediante las ecuaciones (e). En cuanto a las constantes de C" ...• C" pueden detenninarse teniendo en cuenta las condiciones en los bordes superior e inferior de la viga (y = ±c). Estas condiciones son:

(a)

(b)

(e)

La integral general de esta ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes es

fey) = C I ch ay

ay

(S6')

. :para y =

+c

en la cual11l es un número entero y f(y) una función de y únicamente. Remplazando este valor en la ecuación (a) y empleando la notación m1lfl = a. se llega a la siguiente ecuación para la determinación de 1(Y): a'f(y) -

+ C, sh

~~n~!derando el caso p~rticular .de .un~ viga simple de sección rectangular sujeta . la aeclOn ~e fu~rzns. vertICales, ~Jstt1~uJdas en fonna continua a lo largo de sus super!or e mferIor y cuyas mtensldades sean A sen ax y B sen a.:t', respectivaLa fIgura 31 corresponde al caso particular en el cual a = 411fl e indica

puede ser satisfecha adoptando para la función (; la forma

-1- CJ /l(2 sh uy

= _. acos ax[Cla sh 'jY

23. Solución del problema de la elasticidad plana por medio de una serie de Fourier. Como se ha visto, el problema de la determinación de las tensiones que se originan en una viga de sección rectangular estrecha, bajo la acción de una carga distribuida en forma continua a lo largo de la misma, pucde ser resuelto bajo.la forma de WI polinomio. Si la carga es discontinua deberá emplearse, para llegar a la solución, una función de tensión que tenga la forma de una serie trigonométrica l. La conocida ecuación

él' o' él' 8Z,+2 a;¡;2éJ y 2+8y' =0


-1- ay ch ay) -1- ('¡u(2 ch "y

~:t

= Flo.30

t

~2 = sen ax

+ C, sh ay + Ca)' ch ay +'.C,y sh ay

1 La solución del problema de las vigas mediante series trigonométricas fue introducida por M. C. Ribiere en su tesis .Sur divers cas de la f1exion des prisme. rectangles', Burdeos, 1889. Véuse también el trabajo del mismo autor publicado en Campe. rmil., vol. 126, pógs. 402-104 Y 1190-1192. Posteriormente, L. N. G. Filon, Phil. Trarrs., serie A, vol. 201, pág. 63, 1'103, ha realizado nuevos progresos en la aplicación del método. Diversos casos particulares h.m sido estudiados por F. Bleich, Bauingenit:Ur, vol. 4, pág. 255, 1923.

't"J:!I

=

0,


= --B sen ax

T:: V

=

O,

(fu

= -A sen

(f) aX

sustitución de estos valores en la tercera de las c·cuaciones del grupo (e) se llega a sh

(lC

-1-

C." ch
+ C,(ch (le +/le sh C,

-c.

C , = -C,

-1- ae ch "e) = O

/le) _... C,(sh ae

+ ae ch "e)

= O

a eh (le chae+acshae sh

ashrL/." + uC ch ae

etC

(g)

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COOltDIlNAlJAS RECTANGULARES

73

Pam vigas muy largas ae igual u m~c/I, es pequeño, siempre que el número

11/

mORIA DE LA ELASTICIDAD

Si en \~ segunda ecuación del grupo (e) se tiene en cuenta las eondicumes correspondientes a las caras y = ±e, encontramos:

,,'(e, eh ae a'(C, ch (le

+ C. sh ae·1 C, sh ae

e,e

:.

. de

01lUIIS

no sea grande. 1':n este caso, si se sustituye en (1) resulta:

sh O/e =

Cae eh ue -r sh "e) = B C3 e eh ue -1 C,e sh (le) -= A .


+ (llIe)' + (O/C)6 + . . . . 6

120'

·oh (l/e .. 1

+ (llIe)" + ("'0)4 + 2

24

Y despreciando los infinltésimos de orden superior" (I1C) , se llega u

Por suma r resta de estas ecuaciones y teniendo en cuenta

¡¡lS

ecuacioncs (g) se llega a fT.

+ B,

C = A

sh ae -<- /le ch ac a' sh 2"c + 2"e .I1-B ch ae + "csh ue C'.=--r' sh 2tlC - 21le IX eh ue Ca = --,,-.-' A - B sh 2ac ... 2ae I

e, = _

A

..

-+-

(h)

=

-A sen O/a;

(1 - (~~')

aquí resulta, que pu.ra, valol'Cs pequeños de ae, la distribución de las tensiones plano mediO es pract,cam~nte la misma que la que corresponde a ambos cantos (y ,= ±c) de I~ viga y, por tanto, que las prcsiones se transmiten a viga o placa 8111 modificación apreciable, siempre que ellas no varíen . . riípi,darnelnte a lo largo de las caras.

B, _~--=uc..:s:..:h"--,,ctc=-e,,--__ sb 2ILe + 2{le

u" .

y finalmente, sustituyendo en las ecuaciones (e) se obtiene para las componentes de la tensión, las expresiones siguientes

+ E)

(ae

ch
_ CA _ E)

(ae

sh ae - ch (le) sh riv - !.Ly ch ay eh ae • sen ux sh 2ae - 2"e

a, = CA

(f,

= _ (A

+ E)

(ae eh ae

+ sh ae) eh sh 2ac

+ (A

_ B)

("C

sh

_ (A 1- B) (le ch

+(A

lAC

(1'

+ eh

{Ir

+ 2ae

uy sh ay sh ae 'sen

y FIC. 32

aX

(k)

/le) sh ay - ay eh ay ch (le sh 2"o - 2ILc

sh (IV - Ily eh 'Iy sh uC sh 2uc t 2ae

'sen ux

. cos "x

B) ~ sh oe ch "y. "}' sh '"V eh u( . cos sh 21lc - 21le

al.'

La~ tensiones que dan las expresIones (h) satisfacen a las condicIOnes consignadlL~ en la figura :31 en lo que respect~ a las caus ;)' = ±e. En las extremidades

de la viga, .\' = O y.,,< = l, las tensiones 11, son nuluR y sólo existe la tensión tangencial Est.'l tensión está representada por dos términos, como se ve en los ecuaciones (h): el primer tém1ino es .proporcional a A + B y representa las tensiones que para las mitades superior e inferior de la cara externa, son de igual valor, pero de signos contrarios, La resultante de estas tensiones en la cara extrema es cero. El segundo término proporcional a A - E, tiene resultantes en las extremidades de la viga, que equilibran a las cargas aplicadas a las caras longitudinales 6' = :1- e). Si estas curgas fueran iguales para ambas curas, el coefiCiente A sería igual a B y las reacciones en los extremos desaparccerlan. Para tratar con más detalle estc caso particular, supongamos que la longitud de la viga sea grande en comparación con la altura, De acuerdo con la segunda de las· ecuaciones (k), las tensiones normales 11" que actltan en el plano medio, :v = 0, de la \'iga, están dadas por

E',l este caso ~as te~sion~ transversales r '" son muy pequeñas y se suman, en nutades supenor e mferlor de los bordes verticales, a las pequeñas resultantes se requieren para equilibrar la cqca.a diferencia entre las presiones que se ejercen los bordes horizontales (y = ~.l:c). y el plano medio (y = O), . En el cas? más. gen~ral, la distribución de lna cargos verticales a lo largo de los b.or~es superIOr e mfenor de una viga (fig, 32) se puede representar por las series SigUIentes 1: Para el borde superior qu

= A, +

"/1-=

ch r.LC 5h 2ac

(le

1-

-+

sh 2ac

ae

sen

llX

(l)

.,

sen ~+ 1

1

Para el borde mfcrlor

"w'

-2A

'" ¿ A"

q¡ = B,

+

LB.

m=l

¿

A' m"z .. cos-r

m-l

(m)

.,

sen ;:t.E 1

+

LB'

m,r,¡; '" coa -1-

m=l

.: l.,os términos constantes A., Bo representan una carga uniformemente distribuida .sobre la viga, c?so que se ha visto en ~l § 21. La,s tensioncs originadas por los térq~e contIenen ~e~ (m.:;rx!lJ sc obtienen med,ante la suma de las soluciones (h), tenSIOnes que ongman los términos que contienen cos (nmJl:/l) se determinan illte~'cambiando en las ecuaciones (h) sen 1/...... por co~ ~ y viceversa y . . cambiando el signo de r."" , Pm;, ~studiar las s~r¡es de Fauner véase Osgood, .Ad'L'allcea Culculzu, 1928; o B}'crly, SCI'ICS atld SplterlCal HartnolUCs, 1902; o ChurchIlI, Faune, Series ami Balll1dary Value Proble/lls, 1941, '.

nORIA DE Lt\ ELASTICIDAD

74

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS RECTANGULARES

El caso representado por la figura 33 nos penn'itirá desurrolIar W1 ejemplo ilustrativo de este método general de cálculo de las tensiones quc se producen en las plncas rectangulares, Para este caso en que la carga es simétrica, los ténninos que contienen sen (7n1tx/f) desaparecen de lns expresiones (m) y los coeficientes A. y Ano' se obtienen como de ordinario m1rft a 2qsen-l(n) Ao = Bo = A",' = B",' -G g cos dz = m.".

r'

=}

J

75

" \l,Iffibién revela que en las caras superior e inferior de la viga las tensiones son con"slder.ables en tanto qUe en su parte"media prácticamente no actúan tensiones ten, genclales.

nP

7

:L~r-

b

~óll

Los términos A. y B. representan una compresión uniforme igual a qall de dirección y. Las tensiones que corresponden a los ténninos trigonométricos se obtienen intercambiando en las soluciones (k) sen ax por cos ax y mediante el cumbio del signo de 71", ••

)h;n- ~c

1.

2t FIG,

35

t·

En el problema que se ilu.tm en la figura 34 se ve que por r' . d' , , O no su fnra "" i' dzonc:sb e Slmetna y = ntngun d esp azamlento vertical ni nctua' 1/ . hnea . , . 1 I . d ' • ra so re e a DIO tenslOn tangenclII. Ja mIto supenor de la viga representa I lámina elástica apoyada sobre una base rígida perfectamente'lis~I~S, e caso (k

C!. 1,5

q

~

o o

~ 1.0

:;c

,O

Q)

~O,L f:!

q

<> ;; > O

l

.J

:y FICl. 33

-z

-1 O I 2 Valores de x/e FIG,34

La tensión nonnal a., única que actúa en el plano medio y tener utilizando la segunda de las ecuaciones (k): qa

4q

-T--;:

3

'" 2:

m,ra

sen -¡-

--m--'

+ h mll'c -¡- s -¡-

m1l'c h m ..c

-z- c

sh~+2~

=

O, se puede ob-

o8

"'~ r-['\ I

O,4

-*2:f '/.1. ~ h \"b

. O,6

m..:t

.coa-¡-

l

• L. N,'G. Filon, Tralls. Roy. Soco [.01tdorl, serie A. vol. 201, ¡Jág; 67,1903. El mismo problemn fue estudiado por A. Timpc, Z. Muth. P!ty,.,k, vol. 55, pág. 149, 1907; G. Mcsmcr, Vargleieh."rle sp8mlUngsoptisc!te Ulltersuclllmgen .... Dissertatioll, Gotinga, 1929; F. Seewnld, Abh. aerodYllam. 111$&. Teeh. Hochschule, Aaehe1I, vol. 7, pág. 11, 1927; Y H. Bay, ¡7IgenieurArchiv, vol. 3, pÁg. 435, 1932. M. Pigeoud obtuvo una solución aproximada del problema en Compt. rend., vol. 161, pág. 673, 1915. J. N. Goodier,J. Applied MecFumics ITTans. A.S.M.E.), vol. 54, núm. 1S, pág. 173, 1932. estudió el problema para el caso de placa rectangular de longitud finita.

D

~>r-~.L/ O 10

I 1/

o, 2

1

\c·s

~=f

~=co

o

l Esta tensión ha sido calculada por Filon I para el caso de una faja infinitamente larga, en la cual el valor de a es muy pequeño o 10 que es lo mismo, para una fuerza concentruda P = 2qa. La figura 34 resume gráficamente los resultados de estos cálculos y demuestra que ay disminuye muy rápidamente con x para reducirse a cero en correspondencia del valor x/e = 1,35 Y ser entonces remplazado por una tracción. El mismo autor ha estudiado el caso que muestra la figuro 35, que es aquel en que las fuerzas P no tienen la misma recta de acción. En ese caso la distribución de los esfuerzos tangenciales en la sección transversal 1m es de interés práctico; está representada en la figura 36, la cual nos dice que para valores pequeños de la relación ble esta distribución se aparta de la ley parabólica deducida de la, teoría elemental; m=l

o P ~2c-

p

-o,2 -0,4

-Op -0,8 -1,0 0

\

\

-"- ~

~~~

~ ;...:: 0.5

¡...-- V

1,0· 1,5 2,0

20zo""" .P

FIG,36

~)

2.5 3,0 3,5

'P

Y FIG.37

Veamos otro caso extremo, como el de una pla(;n cuya altura 2e, sea consideramayor que la longitud 2/ (fig. 37). Este caso nos servirá para demostrar con que la distribución de las tensiones en las secciones transversales se a una ley de repartición uniforme, al aumentar lu distancia al punto de 'pllca'CICIO de las fuerzas P. Con tal objeto emplenremos l,a segunda de las ecuacioI El caso de una uas. n;> I.isa ~a sido .estudiado por K. Ma~guerre, lt'g. Archiv, vol. 2, 108,1931, Y el de una lamIna mextens,ble pero flexible embebida en un material elástico en mecñnica'9c sucio., por M. A. Biot, Physics, vol. 6, pág. 367, 1935. '

,[

TllORIA DE I.A ELASTICIDAD

.76

PROBLEMAS BlDIMENSIONAI.F.5 EN COORDh'NADAS RECTANGULARES

ncs (k) c(m cos a.x en lugar de sen ~ y las expresiones (n) para y B",' iguales. Resulta entonces la expresión (lIe

eh

sh (,e) el1 ay sh 2"e + 2ae

(JC

U)'

108

coeficientes A,:

sh ay sh ue • cos

/LX

77

.de la figura 37 para el caso en qUl:l e = 21, encontrándose que en [n sección eXIste una compresión prácticamente uniforme lo que concuerda con la

(P) (a)

en la cual qa = P12. Para el caso supuesto, en que 1 resulta pequeño comparado con e, (lC es grande y puede despreciarse en el denominador frente a sh /te. También podemos escribir sh /le = eh ele = hu, _

~~IIP ~ z¡

<;:s"

_

(!JJ

~

ra secciones transversules distuntes ue In parte ccntml de la plat.11 podemos tambIén p~mcr sh "y _ eh "y - 112 fU') )' slI!
P

..

_..J

c-y=t

lh~.\ II

G'

= _

~ l

1/

"

_

~ ~ 1r

~

s"211 ",a, [Cae

m

+ 1)&aC"c) -

"1/8aCo - o)} cos

~

",=1

.

= _ 9!! _ !!1 !

2:'" sen~

__1_ [n:1r (1: 271~

11'

y)

•

+ 1J

E!!!:(lI- o) e¡

(e!

~lli1IlIIlllm~Wlllllllmru[Irr ~ N

m~

coa -l-'.

m=l

Si e - y no fuese muy pequeño, por ejemplo e - JI "> 112, esta serie es de rápida convergencia y para calcular "", solamente se necesita considerar unos pocos términos. Si tomamos entonces sen m~a _ mZa

c-y=2l

PIC. 38

38c. Las tensiones existentes en los puntos próxImos' ,,1 de llpliclICiólI de las P serán estudiados en el ~ 33.

24. ,Otras aplicaciones de las series'de :¡;·ourier. Caso en que la carga conSiderar es el peso. Los problemas considerados en el § 23 se Teferíall a 'i
p

P

11', .. - 2i - 7

< <

fL. [m". T (e -

y)

.\

+ 1] e~"(lI-c) cos -1-

m7l'!l)

1

m~l

f-t----t---...¡

Para y = e - J, por ejemplo, se obtiene O'

u

PC---. . o"+1 cos -..l

P = - - - 21 /

;1;

2.".+1

2.-z -1- -._(J'" eos - /

+

3.-+1

- - 3-

6 ..

&x eos - /

Véase el trabujo de F. IJlclch, 10l. cil. K Goocllcr, Trans. A.3.M.E., .vc>!. 54, pág. 173, 1932.

• J.

I,

;1

+

Con [os tres primeros térmmos de la serie basta para lograr una buena aproximaCión, y calculando así, se obtiene la distribución de tensIOnes representada en la figura 38b, que cuntit:'ú: ¡1~imlSmo las distnbuciones que corresponden a e - JI = 1(2 y e - y = 2l t. La distribuci6n de esfuerzos que corresponde a una distancia de la extremidad igual al ancho de la faja es prácticamente uniforme, lo que confirmaría la conclusión comúnmente establecida por la aplicación del principio de Saint-Venant. En el CIISO de \lm1 faja alargada tal como la indicnda en .'11 figura 37 las tensiones 11. se transmitirán sin apenas cambiar a través de la anchura 21, supuesto que lo velocidad de variación a 10 largo del borde no sea grande. A causa de esto, sin embargo, la solución obtenida requiere alguna corrección especialmentE: en 111 proximidad de los extremos y=- loco Mediante un método diferente' se ha resuelto el t

;1 "

y ponemos 2aq = P llegaremos u

J

Jfl 2b

FHJ. 39

representan estados tensionales periódicos, existentes en largas cultas la dirección X. Tal situación se darlÍ, por ejemplo, en las vigas continuas COIGsiste,nt,oo en II! sucesión de varias vigas «individuales. de iguales luces todas eUns cargas iguales en cada tramo. Si, como ocurre en ciertns construcciones IlU1UIl/,lun armado, la viga es esellcialml!nte un muro soportado en puntos sepa(regularmente) una distancia comparable 11 ~1I altura (fig. 39),10 teoría elementdl ~.Ie las vigas no es adecuada, obteniéndose, sin embargo, r,esultados útiles mediante d método que estudiamos l. El caso de una carga ql upiformemente distribuida' 1 Problemas de este tipo son estudiados en el libro Die Sta/lk int EisellbelOllbau de te. Deyer, edición, pág. 723,1934; véase tambIén H. Cmemer, lngellier-Archiv, vol. 7, pág. :325, 1936.

,1

J

:i ·1

.,'1 '.~

·í

·1.JI

'l

J ::!" .;1 ...!

'.78

TEORIA DE LA ELASTICIDAD

PROBLEMAS BIDIMIlNSlON.ALES EN COORDENADAS RECTANGULARJ!S

sobte el borde inferior, soportada por reacciones qúe se distribuyen unifomlemente segmentos de longitud 2b separados pna distancia 1 puede ser representado por la ecuación (m) del § 23. El estado tensional que esas cargas producen sumado con el correspondiente a una presión q, aplicada sobre los bordes inferior y superior es el producido cuando la carga· lb es aplicada en el borde superior. Si la carga a considerar es el propio peso de la viga el problema de fuerzas másicas resultante puede convertirse fácilmente en otro de cargas en los bordes. A la sencilla distribución tensional

en'

(1'",

= O,

"" = -pg(lf

+ e),

"'.v ... O

que satisface las ecuaciones (19) y (24) de equilibrio y de compatibilidad corresponde, en efecto, una 'preSión de valor 2egc unifonnemente distribuida sobre el borde inferior en la figura 39. La condición de que en ese borde, con excepción de en los soportes (de anchura 2b),
79

6. Supongamos que lu ménsula de la figura 26 sea de sección rectangular ancha, en lugur de estrecha, que P sea la fuerza por unidad de espesor y que la pieza se mantenga en un estado de deformación plano mediante la aplicación de las fuerzas necesarias sobre sus caras verticales. ' , Justifíquese el que las tensiones d"" d~, t'"u. sean las mismas que'las obtenidas en el § 20. Dedúzcase la expresión de <1% y realícese un diagrama de su distribución a lo largo de las caras de la pieza. Obtener las expresiones de las componentes tl y 'IJ , de los desplazamientus cuando en el extremo." 1 st' mantiene fijo un elemento horizontal del eje. '

7. Demostrar que si Ves una función armónica, lo que quiere decir que satisy") V satisfacen la ecuación (a) face la ecuación de Laplace, las funcionesxV,yV, (x' del § 17, pudiendo ser usadas, por tanto, como funciones de tensión. La e,cuación , de Laplace es la

+

8. Demuéstrese que (Ae"u

Problemas 1. Hallar qué problema tensional plano es resuelto por la función

d~

tensión

J.=3F(:r:¡¡_'JJ¡/') +~yJ 3e'

't'4c

2

+ Ba-au + Oye"v + Dye-a.) sen

~

\' b

L,¡

2. Hallar a qué problema corresponde la función

m~l

F tP = - (ji :r:¡¡2(3d - 2y),

se

la cual aplica a la región de valores positivos de x comprendida entre las rectas y = O, y = d Y x = O. 3. Demostrar que

ti> =

~. ["'. (ya -

30'11 + 2c»

-

~

ya (yo -

",al

es una función de tensión. " Deducir la expresión en serie de las tensiones causadas en una placa semiindefinida (y > O), pOI' una presión normal aplicada sobre el borde y = O cuyo .valor viene dado por tn".;¡:

msen-Z-

Demostrar que la tensión <1" en un punto del borde es una compresión igual ,a la presión aplicada en ese punto. Supóngase que las tensiones tienden a anularse al aumentar y. 9. Demuéstrese que la~ tensiones (11) ele! § 23 Y las elel problema 8 satisfacen la ecuución (b) del § 16.

20:)]

es una función de tensión y encuéntrese cuál es el problema al que corresponde cuando es aplicada a la región de valores positivos de x comprendida en tre las rectas y = ±c y x = O. 4. Tomemos la función

,(1

:ey'

:ey>

Iy. Iy')

4>=8 4:r:¡¡-Tc-4ci+4e +4c'

como solución correspondiente al caso de una pieza en voladizo (y = ±c, O < x < 1) sometida a tensiones tangenciales uniformes en el borde inferior (sobre el borde superior y el extremo x = 1 no actúa ninguna fuerza). ¿En qué aspectos es imperfecta esta solución? Comparar la expresión de las tensiones obt~nidas con la deducida de las fórmulas elementales de tracción y flexión. 5. Deducir la expresión de las componentes u y v de los desplazamientos que se dan en la viga de la figura 28, cuando la carga a la cual es sometida es su propio peso en lugar de la fuerza de intensidad q, aplicada sobre el borde superior. Obténgase también una expresión para el cambio de espesor de la pieza (originalmente igual a la unidad).

:¡:

,, ,

81

PUOBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS POLARES

(Jo, .T/J) ~ClIl dl·higll.ld", p()r (<1r )" etc., en la figura 40. La fuerza radial ··que actúa sobre 111 cara 1, de ·radio T10 viene dada por O'rlr¡dO, que puede . escribirse (O"Tr)1 dO, y de forma semejante la que actúa sobre la cara 3, . radio r3, es - «(JTr)3 dO. La fuerza normal que actúa sobre la carn 2 tiene componente según el radio OP que vÍe1).e dada por - «(Jo). (r1 - 1'3) (dO/2), expresión que puede escribirse - «(Jo)2 dr (dO¡2) y por lo mismo componente correspondiente a la fuerza normal que actúa sobre la cara 4 - (0'0)4 (dO/2). Finalmente, las fuerzas tangenciales que actúan sobre . ~as caras 2 y 4 nos dan [(Tro)~ - ('rO)IJ dr .. Sumando todas las fuerzas de dirección radial, las anteriormente indicadas y la fuerza másica R que actúa sobre la unidad de volumen, de la 'que supondremos que actúa en la dirección radial, obtenemos la ecuación equilibrio:

dO (O"rrh dO - (O"Tr)a dO - (0"8h dr"2 - (0"0)4

dO ar "2

+ [(Ttoh 25. Ecuaciones generales en coordenadas polares. Al estudiar la distribución de tensiones en anillos y discos circulares, piezas curvas de sección rectangular estrecha y directriz circular, etc., es conveniente hacer uso de las coordenadas polares. La posición de un punto cualquiera del plano medio de la pieza que estudiamos vendrá dada por la distancia del mismo al origen O (fig. 40) y por el ángulo O formado por r y un determinado eje Ox del plano.

(1",8)4] dr

+ Rr dO dr = O

dividiendo por dr dO queda: (tT,rh

dr (lTrj'h -

~ [(1T0)2 + (o-o)J

+ (1"Toh ~ (r,o)i + Rr =

O

Si de forma análoga hallamos la condición de equilibrio para las fuerzas de dirección tangencial y hacemos tender a cero las dimensiones del elemento 1234, las dos ecuaciones de equilibrio se reducen a:

c-~r-----------X

()o-T

ar

+ !.r aTr~ +~ +R = {JO r ! alTo + arro + 2r,8 = r ao

ar

O

O

(37)

r

Estas ecuaciones son las que corresponden a las (18) para el caso de coordenadas polares y si las fuerzas másicas R son nulas son satisfechas por las expresiones:

r=OP r

Consideremos ahora el equilibrio del pequeño elemento 1234, delimitado por las secciones radiales 04 y 02 y por las superficies cilíndricas 3 y 1 normales todas ellas a la pieza plana que consideramos. Las componentes normales de la tensión de dirección radial y tangencial son designadas por 0', y (Jo respectivamente y la componente tangencial por 'rO, refiriéndose todos estos símbolos a la tensión en el punto central P del element~, ·definido por T y O. Debido a la variación· de las tensiones, los valores de:la misma en los puntos centrales de las caras 1, 2, 3 Y 4 no son

-.!r ocf> + 1:r aéJ0

FIG.40

2

-

ITO

=

T,B

=

2

a2

(38)

iJr 2

O

~ ~! - ~a!2:o = - ir ~:)

en las que rP funció·n de r y e es la función de: tensión. Que ello es así puede comprobarse por sustitución directa o bien'deducirse como haremos a continuación . . .. 6 -·TEOIUh

Dh LA ELASTlClDAD

Para que la función represente una distribución de tensiones posible ha de satisfacer la condición de compatibilidad, que en coordenadas cartesianas queda así: (a)

ecuación y la identidad

iJ',p

a:¡;'

8 f r/>

á'
+ 2 iJ:¡;2 (Jy2 + iJy( =

(a' c3X2

(12) (02
la ecuación de compatibilidad Ca) expresada en coordenadas

Para expresar esa condición en coordenadas polares recordemos las siguientes relaciones:

x

de las cuales se obtiene

or a:c

:¡;

08 oX

=

r

_J!..= r2

ar= JI.. r

ay

= sen 9

x

(JO

_~,

cos

La primera y segunda de las expresiones (38) se siguen de las ecuaciones (b) (e). Si elegimos, en efecto, un punto cualquiera y hacemos pasar por el eje x,

(J

iJy =;:z = _r-

r

(39)

ecuación diferencial entre derivadas parciales nos pennitirá resolver de elasticidad plana en coordenadas polares para diversas cOJnd:iclc,nces de contorno. En este capítulo se éiesarrollarán algunos ejemproblemas de este tipo. "

8 = arctg JI..

-=-"=0089,

83

PROBLEMAS BIDIMENSIONI\.LES EN COORDENADAS POLARES

TEORIA DE LA HLAS"f!ClDAD

82

"= O Y 11:, C1"u coinciden con ir" O llegamos a:

Utilizando estas últimas expresiones y considerando a rP función de r y (J encontramos:

(fr ... (1'. ""

11"

de fonna que sustituyendo en (e) el valor cero

(a1rf»

ay' e_o

... ! arf> +1. a"rf>I r ar r" aS

ésta que, naturalmente, seguirá representando 11, aunque cambiemos la ,rie:ntación del eje x. De forma análoga poniendo O = O en (b) tenemos: (fU

La derivada segunda con respecto a x se obtiene con sólo repetir la operación anterior y así resulta:

02rJ>

8x~

(.!

i.)

= cos 8_~ sen (J (8,p8r coa f) - !r oq,(JO sen 8) 8r r 80 = éJ2tf; C 'O _ 2 82q, senOcos (J iJq,~ + 2 8.psen8 2cos IJ 8r 2 os éJ8 éJr r iJr r 88 r +"

(J2q, sen' IJ

+ éJ81 --;:t

(b)

éJ2.p _ iJl.p

2

O

+2

(1'.

=

(a

2


i)z' O-o

asimismo la expresión de -

=

a'",l iJr

o' tP I oxOy

82cp sen /1 coa 8 + iJ.p ~ iJ8 iJr r or r _ 2 o'¡' sen (J coa 00

rl

(J

+ ~ coas 11 "00=

rl

(e)

tendremos la tercera expre-

26. Distribución de tensiones simétricas respecto a un eje. Si distribución de tensiones es simétrica respecto a un eje perpendicular plano xy que pasa por O (fig. 40), las componentes de la tensión no v",.u~,~u de O y son función solamente de r. Se deduce también que por de simetría la tensión 'TO es nula y, en consecuencia, las ecuaciode equilibrio (37) se reducen a la primera, quedando:

a(f"+~+E=O or r

Análogamente se llega a: oy2 - or l sen

=

(40)

la fuerza másica R es cero podemos usar la función de tensión 4> la dependerá sólo de r, por lo que la ecuación de compatibilidad (39) así:

y sumando las ecuaciones (b) y (e) tendremos: -

(d)

(41)

84

85

TEORIA DE LA ELASTICIDAD

PROBLEMAS BIDIMI!NSIONALES EN COORDENA.DAS POLARES

Esta es una ecuaClOn diferencial ordinaria,' que puede reducirse a una ecuación diferencial de coeficientes, constantes introduciendo una nueva v~riable t, tal que r = el. De esta ~anera, puede obtenerse fácilmente la solución general de la ecuación (41), que tendrá cuatro constantes de integración, las que deberán determinarse mediante las condiciones dl' contorno. Por sustitución, puede comprobarse que la solución general L'R:

sustituyendo en la primera de las ecuaciones (44) se obtienen las siguientes para determinar A ,y c: , .

+

rP = A log r

Br 2

lag r

+

Cr 2

+D

A -+2C Z a

r ur

uo 1'rO

l'

+ B(l + 2lagr) + 2C

¡PtjJ A = !i2 ur = - z r + B(3 + 2 lag r) + 2C

-p,

A b2

+ 2C = -p.

A

= a 2b2 (p. -

(42)

a partir de la cual pueden hallarse las soluciones de todos los problemas de distribución de tensiones simétricas y fuerzas másicas nulas. Las componentes correspondientes de la tensión se deducen de (38) y son:

léJe/> A u. = - '!l'= -2

=

2C

= p¡a 22 b

j{h:r"~,IOT'¡>"

Pi)

ba - a Z -

p.b

a

estos valores en las ecuaciones (44) se obtienen las siguientes para las componentes de la tensión:

_ abb2-a2 (p" - p,) 1 p.a p.b ";:z+ bZ-a2 2 2

(43)

= O

Si no existe ningún agujero en el origen de coordenadas las constantes

A y B se anulan, pues de no ser así las componentes de la tensión dadas por (43) serían infinitas para r = O. Resulta, pues, que una placa sin

2

2

2 -

2

(1r,-

_ a Zb2 (po - Pi) 1 ae - ba _ a2 • 7=2

+

p,a 2

-

p.b2

(45)

ba _ a2

(45) se deduce que la suma (Jr -1- (Jo es una constante. En consecuen~ia tensiones (Jr Y (10 producen un alargamiento o un acortamiento uni-

fuerzas másicas que no presente un agujero en el origen ~ólo admite una distribución de tensiones simétricas, aquella para la cual (Jr = (Jo = constante; lo que significa que la placa se encuentra en un estado equitensional de tracción o compresión uniforme en todas las direcciones de su plano. Si existe un orificio en el origen, las expresiones (43) permiten obtener soluciones distintas de una tracción o una compresión uniforme. Haciendo, pOI' ejemplo B igual a cero l , las ecuaciones (43) quedan (Jr

A = '2 r + 2(1 A

(18

= - -2 r

+ 2(1

FIG ...1

(44)

Esta solución se adapta al caso de la distribución de tensiones que se produce en un cilindró hueco sometido a una presión uniforme interior y exteriormente" (fig. 41). Si a y b son los radios interior y exterior del cilindro y p, y Po las presiones uniformes interior y exterior las condiciones de contorno serán:

en la dirección del eje del cilindro y las secciones norm'ales a ese conservan planas. A causa de ello la deformación producida por las (45) en un elemento de cilindro contenido entre dos secciones "",,,..,,,,,,,,,,, próximas, no interfiere con la deformación de los elementos lo que justifica considerar al elemento en un estado de tensión , tal como hemos hecho en el estudio anterior. En el caso particular en que Po = O las ecuaciones (45) se transfor-

(a) I La prueba de' que B debe anularse eXIge la conSIderaCIón de los desplazamientos, Véase párraro 29. • La solUCIón de este problema se debe a Lamé, l.erol/s sur la IMuri/! de l' elaslicité, París, 1852,

(46)

86 Es~as

y

U9

~el

ec::uaciones muestran que I1 r es siempre una tensión de compresión una tracción. La última de ellas es máxima en la superficie interior cilindro, donde:

(47) La tensión (0"0 )max es siempre mayor en valor absoluto que la preSlOn interior, a la cual tiende cuando b aumenta de forma que nunca puede ser inferior a Pi' por mucho material que se añada exteriormente. Diversas aplicaciones de las ecuaciones (46) y (47) al diseño. de máquinas son estudiadas en los textos elementales de resistencia· de materialesl • El problema correspondiente a un cilindro con un agujero excéntrico, que será considerado en el § 66, fue resuelto por G. B. Jeffery2. Si el radio del orificio es a, el del cilindro b y la distancia entre sus centros es e, la tensión máxima que se origina cuando el cilindro es sometido a una presión interior Pi> es la tensión tangencial 3 correspondiente al punto de la superficie interior en que es mínimo el espesor (si e< i a) y su valor es: 2b2(b2 a 2 - 2a8 _ 8 2) ] U = Pi [ (a2 b2) (b2 _ a 2 _ 2ae _ e2) - 1

+

87

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS POLARES

TEORIA DE LA ELASTICIDAD

+

Si e = O, este valor coincide con el dado por la ecuación (47).

27. Flexión simple de piezas curvas. Consideremos el caso de una pieza curva de sección rectangular estrecha4 , de directriz circular,

onlet:loa a flexión en el plano de curvatura mediante los pares M aplicaen sus extremos (fig. 42). EL momento flector, en este caso, es constante lo largo de la pieza y es natural esperar que la distribución de tensiones la misma en todas las secciones transv~sales de dirección radial y, consecuencia, que la solución del problema pueda obtenerse aplicando fórmula (42). Llamando a.y b a los radios de los contornos interior y y considerando el espesor de la sección rectangular igual a uno, las de contorno son

(1) (2)

Uf

Lb

CTe

= Opara r = a

y r

Lb aer dr =

dr = 0,

=b -M

(a)

"re = O en el contorno

(3)

condición (1) significa que sobre los contornos convexo y cóncavo la pie7..3 no actúa ninguna fuerza normal; la ecuación (2) indica que tensiones normales que actúan sobre los extremos dan lugar solamente par M, y la condición (3) que sobre los contornos no actúa ninguna tangencial. Utilizando la primera de las ecuaciones (43) conjunta¡as condiciones (a) se obtiene:

A

+ B(l + 2 lag a)· + 2(1 = O A ¡j2 + B(l + 2 lag b) + 2(1 = O

(iii

(b)

condición (2) del grupo de fórmulas (a) nos conduce a:

¡b ¡b a

(jo dr =

¡J2
aor

J
sustituyendo 1> por su expresión (42) tenemos:

[~ + B(b + 2b lag b) + 2Gb] - [~ + B(a + 2a lag a) + 2(1a J = O

o :¡O'IG.

42

1 VénRe, por ejemplo, S. Timoshenko, Strengllz o/ Materials, vol. 2, pág. 236, 1941. • Trans. RoJ'. Soco [,ondon, serie A, vol. 221, pág. 265, 1921. Véase wmbién Bril. Assoc. IIdvancement Sd. Repis., 1921. . J N. del T. En este Cllpltulo llamamos a veces tenSIón tangenclal a la tensión nomtal d. ,lIrecclón tangencIal u,. Creemos, sin embargo, que el sentido del texto evita toda confusión. I De la discusión general de los problemas bidimensionales (§ 15) se deduce que la soluCIón que obtengamos, será válida también para el otro caso extremo en que la dimensión perpendicular al plano de curvatura sea muy grande, como por ejemplo en un túnel abovedado (fig. 10), si la· carga, a lo largo del mismo, es constante.

(e)

.• Comparando esta expresión con (b), es fácil ver· q~e la (e) es satisfecha '.y las fuerzas aplicadas en los extremos pueden redUCIrse a un par de ~uer­ . zas, con tal que las condiciones contenidas e~ (b) queden cu¡nphdas. • Para ·que el piu flector sea igual a M es necesario que se cumpla la condición

{b

la

uardr =

(b i:J2q, :. ar2 rdr =·-M

Ja

Cd)

"

I

I I

I I I I

.1 '1

!

88

Ahora bien;

l

lb 'lb -dr at/J = laet> - r lb fJr"

fJ2q, rdr fJr

= la -T ar a

b -2

B

-

8r

a

Ilb cf¡ , "

y como de la ecuación (b) resulta

fJet> rlb = O IfJr " se deduce de (el)

o bien, sustituyendo el valor de r/J dado por la expresión (42) A

log~ + B(b 2 ,log b a

- a 2 log a)

+ C(b

2

a 2) = M

-

Ce)

Esta ecuación junto con las (h), determina completamente las constantes A, B Y C, las cuales vienen dadas 'por las expresiones

,'actúan sobre los extremos es la dada por la segunda de las ecuaciones :, (48); Si las fuerzas que producen el par M se distribuyen sobre los extre'inos en forma diferente, las tensiones en dichos extremos no serán las "dadas por (48); pero de acuerdo con el principio de Saint-Venant las 'A;fM·pnri ..,,,, senln muy pequeñas y podrán ser despreciadas para distancias los extremos que sean mayores que, o del orden de, la altura de la pieza. , Resulta de interés práctico comparar la solución (48) con la que suelen : dar los textos de resistencia de materiales. Si la altura de la pieza b - a, pequeña frente al radio de la directriz de la misma (b + a)/2, se adopta la distribución de tensiones que corresponden a piezas de eje recto. Si la altura de la pieza no es pequeña se supone en la práctica que sus secciones transversales se conservan planas durante la flexión, donde resulta que 'la distribución de las tensiones normales (fo sigue ley hiperbólica' . En todos los casos pueden representarse los valores y mínimo de la tensión (10 por una expresión de la forma 11'8

4M 2 2 b N a b log ü:

A = -

M

C = N [b 2

a2

-

B

+ 2(b

S

2M

= - N ' 2

lag b -

a,

(b

2

-

a2 )

= (b 2 -

(

2

)2 -

10g a)]

COEFICIENTE

4a 2b2 (lag

~y

(g)

Ley lineal de distribución de tensiones

Sustituyendo los valores que para las constantes A; B y C dan las fórmulas (f) en (43) resulta: Ur

= -

= Tre = O !T&

4M

(a

2 2

N 7b

(a

lag 2 2

4M N - 7b

.±. 66,67 ± 6,000

ab + b lag rb + a lag ra)

b lag i.i

2

+b

+

2

2

r+ a log ra+ ba - a )

lag ¡;

2

2

(48)

,.'

Estas fórmulas dan la distribución ,le tensiones que satisface todas las condicionés de contornd (a) para la flexión simple y representan la solución exacta del problema, si la distribución de fu~rzas normales que

M =m0,2

(h)

tabla siguiente da los valores del factor m calculado por los dos métodos mencionados y por la fórmula exacta (48)":

(f)

donde para simplificar hemos puesto;

N

89

PROBLIlMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS POLARES

TIlORIA DIl LA IlLAS1'IClUAD

1,500

m

DE LA IlCUACIÓN

Ley hiperbólica de distribución de tensiones

+72,98 7,725 2,285

+ +

-61,27 4,863 - 1,095

eh)

Solución exacta +73,05 + 7,755 -1- 2,292

-61,35 4,917 -- 1,130

A la vista de esta tabla puede deducirse que la solución elemental basada la hipótesis de la conservación de las secciones planas conduce a resIJImuy exactos. Como veremos más adelante en el caso de flexión simple las secciones rron.',,"'·.~IA. se conservan planas y la discrepancia entre las soluciones

i i

!]

~I

¡ Esta teona aproiumad. fue desarrollada por H. RéMlI, Ann. mil/es, plÍg. 617, 1862, Y E. WlOkler, Zivili71gelljeur, vol. 4, pág. 232, 1858; véase también su hbro Die Le/m .'on de, 'f-Iusli"itüt "lid Festigkeit, cnpitulo 15, Praga, 1867. El desarrollo ultenor de la teoría fue reah:lado por F. Grashof, Elaslizitat U/Id Festigl
",-::,

\ Esta solUCión fue dada por H. Golo"m, Tram.

II1SI.

Tech, San Petersburgo, 1881.

m trabajo, pubhcndo en ruso, no fue conocido en otros paises y el mismo problema fue resuelto más tarde por M. C. Rlb¡ere (COn/pi. rend., vol. 108, 1889 Y vol. 132, 1901) Y por L. Prandtl. Véase A. Foppl, VO/'/f!1tsungen ¡¡bey lec/misehe McchOlzik, vol. S, pág. 72, 1907; y también A. Timpe, Z. Matiz Physik, vol. 52, pág. 348, 1905.

'1

90

TEORII\. DE LA ELASTICIDAD

elementales y exactas provienen del hecho de que en la primera no se tiene en cuenta la componente ~r de la tensión, suponiéndose que las fibras longitudinales de la pieza están sujetas a tracción o compresión simples.

m

10

B ~l'ls 6 ti 4 lP2a

,

2 {l O

t'--

2

-.......

"'. ¿4 -...... .n 6 1,0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7' 1.8 1.9 2,0 Valores de {¡-

fJ l.5

~1~1.2 eq,: ,n

/)"~a I:§.

0.9

{l0,6

I ¿O ti

V

.-/.

._-"

1,0

1'-.. ~l

. En consecuencia, la deformación unitaria del elemento abed en la direcradial será:

I

II!r

i'

V

FIG.44

Mdx (1070)

~ 0,3

tl1

__

"- f'. Jle neutro <-V = 1.443)

11 ~

~

Coxnponentes de la deforxnación en coordenadas polares. estudiar los desplazamientos en coordenadas polares designaremos u y v las componentes del mismo en las direcciones radial y tangencial :;resol~ctívamemt,e. Si u es el desplnzamientci radial de la cara ad del elemento 44), el desplazamiento radial de la cara be será u + (au¡ar)dr. o·~~-.~--------

\.

91

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS POLI\RES

~

l,z 1.3 1,4 1,5 1,6 1,7 1.8 1.9 2.0 Valores de .L o

éiu =éJr

'En lo que se refiere a la deformación del elemento abcd en la dirección debe observarse que depende no sólo del desplazamiento v, sino también del radial u. Suponiendo, por ejemplo, que .puntos a y d del elemento abcd (fig. 44) sufran solamente un desplazaradial la nueva longitud del arco ad es (r + u)dO y la deformación ing:en,cíal resultará, entonces:

F(G.43

(r

+ u) dO rdO

La primera de las ecuaciones (48) nos dice que la tensión es siempre positiva cuando la flexión tiene el sentido que indica la figura 42. La misma conclusión surge inmediatamente teniendo en cuenta el sentido de las tensiones 110 que actúan en los elementos n - n, indicados en la figura 42. Las resultantes de los correspondientes esfuerzos tangenciales son de dirección radIal y tienden a separar las fibras longitudinales y a provocar tensiones de tracción en esa dirección; éstas aumentan al aproximarse a la superficie neutra y alcanzan su máximo en la proximidad de la misma .. Este máximo es siempre mucho menor que (~Q)m.". Por ejemplo, para b/a = 1,3, (O'r)l1Iax= 0,060 (O"o)max; ·para. b/a = 2, (O"r):",,= = 0,138 (O'o)ma,,; para b/a = 3. (ur)m.~= 0,193 (l1o)nI'~' La figura 43 en la cual se representa gráficamente la distribución de 0'0 y O'r para b/a = 2. nos hace ver la desviación. que con respecto a la línea neutra y hacia el centro de curvatura, experimenta el punto en que aparece la máxima tensión 0',.

(49)

r d(J

u r

V

diferencia de los ~splazamientos tangenciales de los lados ab y cd elemento abcd será (a¡t/ae)de Y. por lo tanto la deformación tangencial por el desplazamiento v es av/roO. La deformación tangencial es pues!:

ConSIderando ahora la deformación tangenCial angular o deslizamiento, sea .d' la posición que ocupa el elemento abcd después de.producirse.la de.;r.c,rn:lac·!ón (fíg. 44). El ángulo que forman ad y a'd' , causado pO"r el despla"zarniento radial u, es igual a éJu/rao y de igual forma ei ángulo comprendido a'b ' y ab es avIar: Es de advertir que sólo parte de este ángulo, la sombreada en la figura contribuye a la deformación angular, ya que la I En el § 10 el símpo)o fo fue usado con otro SIgnificado.

otra parte, igual a ~}Ir, representa el desliza·miento angular causado por 1i1···rdtilitióri del elemento abcd, considerado como un cuerpo rígido, alrededor ·del eje que pasa por O. Por 10 tanto, la variación total que experimenta· el ángulo dab, o sea, la deformación angular o tangencial, será: = -

"(rO

uu

T

08

v (

élv élr

+ - - T-

.l )

l¡~ruv~AI.t,t

. donde ¡ler) es función de r solamente. Sustituyendo Ca) y (b) en la (51) y teniendo· presente que puesto que y,o es nula ha de obtenemos: ... '- f'~ 1;"",1,,'4} M Ir~ er¡/~rt""J

. ir af(O) + af¡(r) + .!. f f(8) a6 IJO iJT r .

(51)

'

Sustituyendo ahora las expresiones (49), (50) Y (51) de las componentes la deformación en las ecuaciones de ¡-Iooke!:

1 =E (0". -

ViT8)

ES

=

.j (0"8 -

ViTr)

'Yre =

. (I¡"'f'yf~h'¡rS

J

jl(r)

.

1

GTrs

u

1[ =E -

(1

+r v)A + 2(1

+ (1 -31') B + 2(1 . -

v)C]

4BrO

=1E [-

(1

.

= -r + Fr + H cos 8 que los valores de A, B y e v

v

+r v)A + 2(1

- v)Br log r - B(1

+ v)r

+ 20(1 -

v)r]

- v)Br logr - B(1

+ f(9)

~mlCJ(Jnt:s

(a)

(1 donde feO) es función de O solamente. De la segunda de las ecuaciones (52) y mediante la fórmula (50) obtenemos:

~ -élr = O para 6 =

= 0,

Oy r

= 4IJ;~

-

f

f(6) dO

+ b(r)

1 Suponemos que tenemos un estado plano de tensiones, es deCIr, que I)árrafo 7).

(b)

(J%

es nula (véase

= ro = a+b -2-

estos valores a las expresiones (53) obtenemos las siguientes para el cálculo de las constantes de integración F, H Y K:

+ro v)A + 2(1 _

v)Bro lag ro - B(l

+ v)ro

+ 20(1 F

de cuya integración resulta:

(53)

K sen 6

élu = 4Br _ f(9) iJlJ E

1}

+ v)r

varían para cada caso particular. Conpor ejemplo, el caso de la flexión simple. Si suponemos rígidafijados el baJ:Ícentro de la sección transversal adoptada como origen medida de los ángulos (fig. 42) Y un elemento del radio corresponlas condiciones de vínculo serán: ((I"'¡"¡'~tI" Jt Ycr+h"(Ci.~)

e integrando se llega a:

u

(d)

+ 20(1 ~ v)rJ + H sen (} + K cos (}

29. Distribución simétrica de tensiones: desplazamientos. Sustituyendo en la primera de las ecuaciones (52) las componentes de la tensión dadas por las ecuaciones (43) encontramos

- p)B log r

f(6) == H sen O+ K cos O

= Fr,

H Y K son constantes a determinar mediante las condiciones que limitan la movilidad de la pieza curva o anillo. Sustitulas expresiones (ti) en las ecuaciones (a) y -eh) llegamos a las siguientes para· los· desplazamientos!:

(52)

*

El [(1. +/)A + 2(1 r

U}

(1'•

.t.

lit"" !'((t r.)

obtenemos suficientes ecuaciones para determinar u y v_

éJu = ~

(e) (;¡,f1r,6r

.!.Il(r) = O. r

e se deduce:

.qe

e.

93

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS POLARES

TBORIA DE LA ELASTICIDAD

92

= .

p)ro]

+K

Fro

+H

= O

= O F =0

H = O Y para los desplazamientos v obtene-

4Br17 v=-r-Kscn8

(54)

I La ."uución (e) quedo satIsfecha só!" cuando la 1 J(O)dO es tomada de (el) sin la preseneJa ninguna constante aditlva.

94

"l'EORIA DE LA ELASTICIDAD

PRO~LEMAS

,,~S~9, !lignifica. que los desplazamientos c9.ns~s~en en una traslación - K sen

de cualqui~r se~ción transversal e, igual para todos sus puntos, y a:derriás un giro de su plano igual a 4BO/E, efectuado alrededor del centro . ~e curvatura O (fig. 42). "5{(CI"~ +MI¡IVl¡,s41 Como vemos 'Ias secciones transversales se conservan planas en el caso . de l¡¡ flexión simple, tal· como se supone corrientemehte en la teoría ~Ie. mental de la flexión de piezas curvas. . Al discutir la distribución simétrica de tensiones en un anillo completo (§ 26) hicimos cero la constante B de la solución general (43), con lo que llegamos. a una solución del problema de. Lamé. Ahora, a lu vista de las c:x:presiones .($3), vemos que implicaba la anulación de B. B contribuye ái 'desplaZamieIlto v mediante el término 4Bre/E. Este término no es (~ ~. u~iforme puesto que admite más de un valor para un misrl!o punto al ';(;'6 aúmentar () en 2n. Tal expresión multiforme es físicamente absurda r para un anillo completo, por lo que debemos tomar B = O en la solución ti tll general (43), ;)"\'11> El anillo, completo o. corona circular es un ejemplo tic UII l uerpo '1 múltiplemente corlexo, es decir, un cuerpo que puede ser cortado trlln8versalmente sin que quede dividido en dos. Al determinar las tensiones ~n tales cuerpos se llega generalmente a la conclusión de que ¡as condiciones de contorno referentes a las tensiones en el mismo, no bastan para determinar 'por completo la distribución tensional, siendo necesario hacer uso. de las ecuaciones adicionales que exigen que el valor de los desplazamientos sea único (véase § 39). El significado físico de las soluciones multiformes puede'ser explicado considerando las tensiones iniciales posibles en un cuerpo' pluralmente

El mismo' desplazamiento obtenido para el valor O =' 2:r en la eeua..ción (54) será:


dos expresiones anteriores, (e) y lf), nos permiten obtener

aE

B = &r

¡ r

;f

(g)

j.:

í

. constante B que figura en el término ~ultiforme de la fórmula (54) ahora un valor definido, que dependerá de los mediós que se 'hayan .~mpleado para I?rovocar en el anillo las tensiones iniciales. Sustituyendo (g) 'en las ecuacIones lf) del § 27, obtendremos la expresión que corresal momento flector, que es necesario introducir para volver a unir extremos del anillo de la figura 45, a saber:

eh) ~'JDI~Cllenao el momento flector, las tensiones iniciales en el anillo se pueden caliCUlar· utilizando la ecuación (48), que corresponde a la 'flexión simple.

Discos giratorios. La distribución de tensiones en discos ciranim~dos de un movimiento de rotación es de gran importancia ·nrar.lt'r.,o'. Si el espesor del disco es pequeño frente a su radio la variación tensiones en el espesor del mismo podrá ser despreciada2 ' y el proble": entonces, puede ser resuelto fácilmente·. Si el espesor del disco es t.:U.IlS1Larm, puede entonces aplicarse la ecuación (40) sin más que considerar fuerza másica la fuerza de inercia 4

R = pw'lr

Ca)

e es la densidad del material del disco y w la velocidad angular su rotación. La ecuación (40) puede escribirse en la forma:

FIO. 45

conexo .. Si mediante dos cortes que sigan secciones radiales adyacentes retirarnos un sector del anillo (fig. 45) Y unimos luego los bordes por soldadura u otro medio, se obtiene un anillo con tensiones iniciales, lo. que quiere decir que sin la presencia de fuerzas exteriores existen' esfuerzos en el anillo. Si a es el ángulo en el centro, muy pequeño, que forman las secciones radiales de corte; para reunir los extremos planos del anillo. será necesario realizar un desplazamiento tangencial: v = OIr

95

BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS POLARES

(6)

(b) J Una discusión completo del problema, así como la bibliografía que sobre éL ~"iste ~s • P?r A. St~dola, D,amp!-und Gas·1'urbmen, ó•• edición, págs. 312 y 889, 1924. ' Para ~m d.sco uOlfonne qu~, tenga la fonua de Wl elipsoide de revolución achatodo, .~pesor••!!ual a un o~t~vo del dlO~etro, C. Chr•• ha demostrado: que l. diferencia entre l. maxuna y la mlO11lla en el eje de rotoción es tan sólo el 5 % de la tensión máxima o Roy. Soco London, vol. 58, pág. 39, 1895). . En el § 119 se desarrolla mlÍs detalladame.nte el problema. 4 El peso del disco 'es despreciado.

!;:',' 'j"

Esta ecuación quedará satisfecha si deducimos·los componentes de la tensión de una función F, función de tensión, del siguiente modo:

de las fórmulas (g) se deducirán las siguientes componentes de la tensión: u, = 3

(e)

Para el caso en que exista simetría, las componentes de la deformación de acuerdo con las ecuaciones (49) Y (50) son E,

=

du dr'

ES

7 2)

(55)

valor m¡íximo de las tensiones, que se da en el centro del disco, es:

=-;

(56)

deo Ee-Er+r-=O

(d)

dr

Sustituyendo las componentes de la deformación por sus expresiones en función de las componentes de la tensión (52) y usando las ecuaciones (e), se demuestra que la función de tensión F deberá satisfacer la siguiente ecuación (e) r~d2F' r dF _ F (3 lI)pw~r3 = O

+

t "p~~(b2 ~

1t

Elimin:¡¡ndo u entre estas ecuaciones se llega a:

dr2

97

PROBLEMAS llIDIMIlNSlONALES EN COORDENADAS POLARES

TEOHIA DE LA ELASTICIDAD

96

Cuando el disco tiene Un agujero circular de radio a en el centro, las :OTlst:anltes de integración de las ecuaciones (g) se deducen de las condicioexistentes en los bordes interior y exterior. Si sobre tales contornob actúa fuerza alguna tenemos (u,)..-.

= O,

{U,)r-b

=O

(h)

resulta

+ +

dr

euya solución general, como puede comprobarse por sustitución, es:

estos valores en (g) tenemos

(f)

(57) y mediante las ecuaciones (e) se llega a

+ 11 + C1121 - 3-S-pw2r 1 + 3v e - el -r1 - --pw r S

u, = C

2

=

2 Z

UD

(g)

tensión radial máxima se obtiene para r -=

de donde:

e=

3+)) 2b 2 -S-PW

donde:

+

v 3 = -S- . pw 2(b (58) . - a)2 según la tangente corresponde nI borde interior del

2

Las constantes de integración e y el se d~terminan mediante las condiciones de contorno. Si se trata de un disco macizo (lleno) debemos poner el = 0, pues de no ser así las tensiones (g) se harían infinito en el centro. En lo que se refiere a la consta:llte e se determina temcnuo en cuenta las condiciones en la periferia del disco r = b. Si en ésta no existe ninguna fuerza, tendremos:

vfCib

(Ur) =

3+v ( (uo) .... .= -4-. - púJ2 b2

+ 3l-P) + va 2

(59)

como puede verse es mayor que (0",)1\1" Cuando. el radio a del orificio disminuye tendiendo a cero la tensión . de dirección tangencial tiende a un valor doble del que corresa un disco lleno (56), lo que significa que las tensiones máximas duplican al practicar un pequeño orificio circular. en el centro de un giratorio (véase~el § 32). : . Suponiendo que las tensiones no varían a través del espesor del disco método que acabamos de desarrolIar puede extenderse a discos de --TOlRI¡\, 1)8 lA LI.A'i'I'ICIlMU

espesor variable. Si h es el espesor del discó, variable con 1', la ecuación de equilibrio de un elemento como el representado en la figura 40 es:

(k)

ecuación que queda satisfecha poniendo

dF' Mo = dr

99

PHOllLliMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS POLARES

TEORIA DE LA ELAS'l'lCIDAD

98

+ hpw"r z

1 ,

ico, estudiado por muchos autores suele ser calculado dividiendo disco en partes que se consideran como de espes()r constante 2 • .31. Ménsula curva cargada en su . extremo libre 3 • Comenzacon el caso sencillo de la figura 46. Una pieza de sección rectangular y directriz circular está empotrada en su extremo inferior, siendo en el extremo superior a la acción de una fuerza radial P. El flector que actúa sobre cualquier sección transversal rrm es a sen ~ y de acuerdo con la teorín elemental de la flexión piezas curvas la tensión normal <10 es proporcional al momento Elector.

donde F es nuevamente una función de tensión. Sustituyendo estas expresiones de las componentes de la tensión en la ecuación de compatibilídad (d), llegllmos a la· siguiente ecuación para la función de tensión F:

r2 R dr 2

+ r ndr -

F

+ (3 +/I)pcu hr 2

3

-

hr~(B dr l' dr - uF

)

= O (l)

De esta forma el problema de l.'llcontl'.li· la distribución de tensiones en un disco de espesor variable queda reducido a la solución de la ecuación (l). En el caso pl11'li('ul¡¡r. en que el espesor varía según la ley: Fw. -16

h = Ut··

Cm)

en la que e es una constante y n un númem cualquiera, la ecuaClOn (/) puedtl ser fácilmente integrada!. La solución gentlraL tiene la forma:

F

=

mrn+3

+ Ara + BrP

en la que

l!p>ollllellldo que esto se cumple, suposición que se verá justificada por deducimos de la segunda de las ecuaciones (38) que la tensi6n

1 ()

1 ( 2) (024)

+ r ¡¡;. + T2 iJ8

ser proporcional a sen

éJr 2

2

(J.

1 oq,

+r

éJr

1 ()2q,)

+ T2 iJrj2

x 2 -nx+vn-l=O y A y B dos constantes de integración que se determinan a partir de lus condiciones de contorno. Los casos reales de discos giratorios de diversas formas pueden ser resuelt<>s, con suficiente aproximación, dividiéndolos"en partes y tratando de ajustar a cada una de ellas una curva del tipo (m)2. El caso del disco I Este caso fue estttd",do por Stoc!"la, lIJe." cit. Véase también H. Holzer, Z. ges. TlIrbi'WIIUeSetl, 1951. , Véase M. Grilbler, V.D.l., vol. 50, pag, 535, 1906.

(a)

Tomando

.p = f(r) sen () a y fJ son las raíces de la ecuación de segundo grado

= O

(b)

sustituyendo en la ecuación (a) encontramos que J(T) debe satisfacer ecuación diferencial: d2 d (d 2f di (e) ( dr 2 T dr - Ti dr 2 :¡: dr - Ti = O

+1

1)

+1

f)

, V"a6e A. Flscher, Z. oesterr. l/lg. Areh. V.reí/ls., vol. 74, pág. 46, 1922. H. M. Marlm, :/lR""ee,;",!. vol. lIS, pág. l. 1923; B. HodklllSOIl, Hngilzeeri"g, vol. 116, plÍg. 27·1, .1923; K. E. J. Applzed lvlechmrics (1'rclII ••4.S.M.H.), vol. 11, pág. A-l, 1944. método file desnrrollndu por M. Donllth en su libro Die Bererhlllll/g rot.erende, u"d RÍ1zge, Berlín, 1912. l' ,,"-descrito en mglés por H. Hearle en R/lgl/leerillg, vol. 106. , 1918. Postenormen.te ha s.do desarrollado por R. GramOlel, Di/lglers Po(~'tech. J., 8, p'¡g. 217, 1923. M. Grilhler. en V.D.l., vol. 41, pág. 86Q Y vol. 4-1, pág. 1157, 1900, el caso en el que el mater...1 110 sIgue la ley de Hooke. Véase taml'lIén H. Schlechtwcg, 'ltIgezu. Mal". Mech., vol. 11, pág. "17, 1931, e Illgellleur-ArclIJv, vol. 2, púg. 212. 1931. 1 H. Golcivm, loc. ·.f.i!.

101

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS POLARES

TEORIA DI! LA ELASTICIDAD

100

.E~t.a ecuaClOll puede convertirse en una eéuación diferencial lineal, de

'coeficientes constantes (véase § 26), cuya solución gentlral es: j(r)

Ar3

=

N

+ B -1l' + Cr + Dr lag l'

en. la q)le A, B, e y D son constantes de integración que vienen deterr\1ii1ada~ parlas condiciones de contorno. Sustituyendo la solución (d) en la expresión (b) de la. función de tensión y usando las fórmulas generales (38) encontramos la siguiente expresión para las componentes de la tensión: cf> = -1r -ot/l + '1'2-1 a-~ 01' élO 2

(f r

(f8 = éJ2rJ> = (!>Al' iJr 2 ' . '1' 8

r

=

-.!!.. or

= ( 2Ar - 2B 3"" l'

= a2 -

" b2 + (a2

+b

2)

b lag a

"~";h"".nrl~

los valores (g) de las constantes de integración en las eCU8(60), obtenemos las expresiones de las componentes de· la tensión. el extremo superior, O = O, encontramos

eh)

+ -D) sen O T

+ 2~ + .P-) sen 8 l'

(60)

. el extremo inferior O = :n:/2

T

(1 él'\ = - (2Ar - 2~ + Q)' r iJU)

r

r

(k)

cos 8

Puesto que no actúa ninguna fuerza sobre los bordes interior y exterior de la pieza se ha de cumplir que: IFr := Tre = O para r = a y r = b

expresiories (60) constituyen una solución exacta del problema, sólo las fuerzas en los extremos de la pieza curva se distribuyen en la

o, de las ecuaciones (60) 2Aa2Ab -

2B D -+a a = 3

2B

D

17 + b

:=

O (e)

O

Con' arreglo a la última condición, la suma dc las fuerzas tangenciales que se distribuyen sobre el extremo superior de la ménsula debe ser , igual a P. Considerando el ancho de la sección transversal igual a uoo, o bien a P como carga por unidad de espesor de la pieza, obtendremos para O = O

J"(b TrO. dr = =

-lb .!!.. (~ 00 "fJr

IAr

2

r

ot/» 'dr =

I~r 0"'1" DO b

+ ~ + e + D lag TI: =

p

P 2N'

D

.1 J'
' ' -8'

(f)

tensional en las zonas próximas a los extremos será distinto al por la solución (60), pero a distancias mayores la solución será según el principio de Saint-Venant. Los cálculos demuestran que simplificada, basada en el supuesto de la conservación de las plaoas durante la flexión, da aquí tampién resultados satis-

(g)

figura 47 muestra la distribución de las tensiones tangenciales 'u lo largo de la, sección transversal O = O (para los casos b = 3a, 2a,

De las ecuaciones (e) y (j) resulta' =

("-a)

~------__ . FIG. 47 ~•. .' r~:A ~::~ d~iJt tl QfiJ6','l /1dJ;J ;':"1.5''1 /

-----..:..._-----[:;/ e-"O dada por las ecuaciones (h) y (k). Para otra distribución de las mismas

o bien

A

___

1--= ¡íj·H Il~k h kliJ(

v.f...

tI¡

102

.y 1,3a). En esta gráfica las abscisas representan las distancias al borde interior (r·= a), medidas según un radio; y las ol'denadas los coeficientes que es necesario aplicar a la tensión tangencial media P/(b .,- a) para

H, K Y L son constantes arbitrarias a determinar a partir de las de vínculo. De (m) .. y. (n) deducimos las componentes de los mientes que resultan:

;}lI'~!"'¡UII";:O.

obtener la tensión cortante correspondiente al punto considerado, El valor

. - .2D E ocos () + sen ire [ D(l

1,5 de ese factor nos da la tensión tangencial máxima, calculada de acuerdo con una distribución parabólica para vigas rectilíneas de sección rectangular, Según evidencia la figura, la distribución de las tensiones tangenciales se apro¡¡ima a la ley parabólica cuando la altura de la sección transversal es pequeña. PUede aceptarse; por lo tanto, que para las proporciones usuales de arcos y. bóvedas la distribución parabólica de las tensiones tangenciales, al igual que para las piezas rectillneas de sección rectangular, es suficientemente exacta. Consicieremos. ahora los desplazamientos producidos por la fuerza P (Hg. 46). Usando las ecuaciones (49) y (52) Y sustituyendo en ellas las expr.esiones (60) de las componentes de la tensión tenemos:

ra + v) + rD (1 -

sen O[ 2B 8r = -E- 2Ar(1 - 3v) (1

81¿

av

éJ() =

v)

= r. a()

, ~ 2D Osen 8 _ cos e (A(5 E

E

r2

(16)0_0 = L

Integrando la primera de estas ecuaciones obtenemos

. (g) deducimos,

+ feO)

IJ

+ Hr

(r)

~onstante L se obtiene de l~l condición existente en el empotramiento 46). Para IJ = n/2 tenemos, v = O, avIar = 0, y en consecuencia segunda de las ecuaciones (q) resulta:

H=O,

- v) lag r ]

cos () - IJ sen

radial del borde libre de la pieza se obtiene poniendo O = O expresión de u, lo que nos da:

v

+ TiB (1 + 11) + D(l

(q)

;.t'iif>tlt>x,ión

+ ar - r

seno[ Ar2 (1 - 3v) u . = lE

+ B(l r+ v)] + K sen O + L coa () + v)r2 + B(l + v)

+ Del E+ 11) coa () + K

-D(l - v) lag r ]

(l)

av

- v) log r + A(l - 311)r 2 2

]

rES - u

ou

'Yr8

103

PROBLEMIIS BIDIMENSION¡\I.ES EN COORDENADAS POl.ARES

TEORIA DE LA ELASTICIDAD

L =D'lI' E

(s)

lo tanto, que la deflexión del extremo superior

pOl'

(m)

(61)

donde/Ce) es función de (} solamente. Sustituyendo (m) en la segunda de las ecuaciones (l) junto con la expresión de Eo e integrando, tenemos: 1J

cos e [ Ar2(5 + v) + Ti B (1 + v) =- E

+ D(l

adelante se dan algunas nplicaciories de esta fórmula. Cuando b tiende de a y la altura de la piezaLh = b - a, se hace pequeña frente a bacer uso de,¿ la expresión ,.. .n ..!:J. :11+· 6-1", 46 -;{- J. ._-~/·l"'", IJ a " ti

- D 1og r(l - v)

- v) ] -

f

f(e) d()

+ F(r)

b~ a

(n).

en la que F(r} es función de r solamente. Sustituyendo ahora (m) y (n) en la t:JiI.rcera de las ecuaciones (1) llegamos a la ecuación

f ·+ f(8) dO

!'(O)

+ rF'(r)

- F(r)

¡(O) = -

2D

= - .4Dcoso .. E

E Ocos 8 + K sen O+ L cos ()

h 1 h2 1 h3 a = -a - -2 -a2 + -3 -a3

-

despreciando los términos de grado superior

311'aap (16)8_0 = - - 3

Eh

Esta ecuación es satisfecha si ponemos

F(r) = Hr,

~(+ -h)

lag - = lag l

...~

vv;,

~._-

11/

,,¡-

_;?V'·~* ..

coincide con la fórmula elemental que se da para el caso que tratamos l • (p)

.. I

Véase S, TlmOshe'1ko, Stre/lg lit of Materials. vol, 2. arto 13, 1941.

104

TEORlJ\. DE LA ELI\ST1C1DAD

Dando a la, función de tensión la forma

4> = f(r) cos

8

y procediendo de forma análoga, obtenemos la solución para el caso ,en que sobre el extremo superior de'la pieza (fig. 46) actúen, un' par y una fuerza vertical. Restando de esta solución las tensiones producidas por el par (véase § 27), nos quedarán las tensiones debidas a la fuerz~ ,yeJ;tical '~plicada al extremo libre de la 'pieza. Si la fuerza que actúa sobre ese extremo es oblicua su efecto se hallará sumando los efectos correspondientes a la fuerza horizontal y vertical en que aquélla se descompone. En el estudio anterior supusimos siempre que se cumplían las ecuacioncs(e) y. que los bordes' circulares de la pieza cstaban libres de cualquier carga. Si se toman para las expresiones (e) valores distintos de cero obte~c .:., nemos el caso en que fuerZas normales 'y tangenciales proporcionales a sen O y cos () actúan sobre los contornos circulares. Combinando tales soluciones con las obtenidas anteriormente pan¡ el caso de flexión simple y de flexión por una fuerza aplicada en el extremo, nos podemos aproximar a las condiciones de carga que se dan en una bóveda cubierta de arena o tierra'.

*

32. Influencia de un orificio circular sobre la distribución de tensiones existentes en una placa. La figura 48 representa una pla(;a sometida a una tracción uniforme de valor S en la dirección x.

PI10BLEMAS IlIDIMENSIONALES EN COORDENADAS POLARES

105

Consideremos la porción de placa contenida en un círculo, concén,', :,~rico con el orificio; de radio b" grande en comparación con a. Las tensiones ~ los puntos de radio b son las mismas que, existirían en la placa si no ,hubiera _agujero y vienen dadas por io' tanto, por *jpJq(C,o~: 'Vt~ JI/S ¿(4/tc,lIIltC

"~~i1'y=0

'

I:l

",

'jt;S

~"fe (.hlle (uf).-o = 8 cos 2 8 = iS(l cos 28) ( l-t.lq(,,~ ) (,o¡.)lh1/I1r (rTo)r=b = - t8 sen 2 8 ' a p,lm1J 1.

+

6h1·

•

.

".

Y(d,f/¡j"/~l'er

•.•

, Es~as fuerzas, al actuar en la ,pe~lfer~~ del amllo, de radlOs l~ter¡o.r y ex:"tenor a y b, provocan una dlstrlbuclOn de tensIOnes en su mterlor que '"podemos considerar compuesta. de dos partes. La primera es debida a la ~ S d e 1as fu erzas norma1es y las tensIOnes . :'
f(r) cos 20

(b)

esta expresión en la ecuación de compatibilidad

82 1 8 ( or2 + ar

r

1 ( 2 ) (éJ24>

+ :¡:2 a0 2

1 acf> 1 a2
r

=

O

la siguiente ecuación diferencial ordinaria que determina

La solución general de la misma es

J(T) = Ar 2

+ Br4 + G2r1 + D

,por lo tanto, la función de tensión es; (e) 'Y F'G. 48

Si en el centro de la placa se hace un pequeño orificio circular la distribución de tensiones en su proximidad habrá cambiado, pero de acuerdo con el principio de Saint-Venant podemos pensar que la alteración del estado tensional es despreciable a distancias grandes frente al radio del agujero. , Vnnos ejemplos 00 este Ilpo h,m sIdo estudIados por Golovm, loco dl.,y Rlb,~re loe. cit. y Cumpl. ,""d.• vol. 132, pág. 315, 1901.

las correspondientes componentes de la tensión, de acuerdo con (38),

(d)

(vx¡6)' z¡ , ;;

+7¡'H1,¡I"r tI>

)e (JI¡.

(,l

"Ir

J..)

1 ero-

106

TEORlA DE I.A ELASTICIDAD

PROBLEMAS lllDIMENSIONALES EN COORDENADAS POLARF.5

de fonna que..existe en ellos· una tensión de compresión en la dirección .tangenciaL Para la sección transversal de la· placa que pasa por el centro del agujero circular y es normal al eje de las x; O = 71/2, Y entonces las· ecuaciones (62) nos dan:

...Las constantes de integración se determinarán ahora a partir de la con·dición (a), referel1te al conto·rno exterior, así como también a partir de la que establece que sobre· el borde del orificio no actúa fuerza alguna. Esas condiciones 110S dan ·Ios resultados siguientes: 2A 2A

+ 4D + 60 b' b

_ _ 1S

2

BO

4D

+ -¡ +a a

-2

+ BRb

2

-

___"

-

"*' 6J'J.,r=h:: t-Yv:{, b eJ(prrtiiO~

= O

,. \ (íJ.¡

6C _ ':D = _ ~ S b4 b2 2 2A + GRa2 _ 6C _ 2D = a' a2 2A

2 _

°

Resolviendo estm; eculldone;; y poniendo a/h una placa () laja indefinida obtenemos:·

8 = --, 4

A

~

=i 5

(15

Ja-

7"rO

(T"

ext,r/¡' (tri A~~I~

.

1.5 Si! ·1~,rJ1/ fVIo

~rvf~

0, c~ llt-dr, suponiendo

107

= 0,

.

U8

2 a4) = -S2 ( 2 + -ar2 +8r4

El efecto del orificio es evidentemente de carácter muy localizado tendiendo la .tensión (Jo rápidamente a S cuando r aumenta. La distribución de esta tensión es mostrada en la figura mediante el área rayada. El carácter localizado de las tensiones que se originan alrededor del orificio· justifica la aplicación de la solución (e), deducida para una laja indefinida, a una placa de anchura finita. Si la anchura de la placa es superior a cuatro·vece·s .. el diámetro del agujero, el error cometido al usar la solución (62) para. calcular (tro) .. "" no excede del 6 %1.

B =0,

Sustituyendo estos valores· de las constantes en las ecuaciones (d) y sumando las tensiones producidas por la tensión uniforme t S que actúa sobre el contorno exterior, las cuales son calculadas mediante (45) encontramos1:

~r = ~ (1 - ~) + ~ (1 +3r~4 _ ~~2) cos 28 Uo

= ~ (1 + ~) = _

q r

~2

~ (1 + 3r~~) cos 28

(1 _3a + 2ar2 4

74

2 )

sen

(62)

28

Si r es muy grande (fr y T,Q tienden a los valores dados en las ecuaciones (a). En el borde del orificio r ==- a tenemos: tr~ =

u, = r,8 = 0,

8 - 28 cos 28

Puede verse que los valores máximos de (fo se dan para (j = ",,/2 y O = 3¡¡;/2, es decir, en· los extremos 111 y n del diámetro normal a la dirección de la tensión (fig. 48). En esos puntos (ay)",,,. = 3S. Esta es la tensión máxima de tracción y su valor es tres veces el de la tensión unifonne 8 aplicada en los extremos de la placa. En los puntos p y.q, cn los que O = n y O = () u~

=-

S

I Esta solUCIón, obtenIda por el profe.,or G. Klrsch (véase V.D.!., vol. 42, 1898), ha sido' confIrmada muchas veces medmnte medid"" de deformaciones y ensayos fotocJ¡\sticos (véase el capítulo 5 y los libros citados en el § 42).

'Y Fm.49

Una vez obtenida la solución (d) para tracción o compreSlOn en una dirección, pueden resolverse fácilmente por superposición los casos de . tracción o compresión en dos direcciones perpendiculares. Considerando, por ejemplo, el caso de dos te~siones de tracción iguales a ··S y actuando en. dos direcciones perpendiculares encontramos que el contorno del orificio se encuentra sometido a la tensión de tracción 00 = 28 (véase § 30). Si en la dirección x actúa una tensión de tracción S y en lu dirección y una tensión de compresión, también igual a S (fig. 49) tenemos una solicitación de esfuerzo cortante. Las tensiones ·según la dirección de la tangente, deducidas de (62) son entonces:

(ju

=

S - 28 cos 28 - [8 - 28 cos (20 - 'Il")]

Para O = ¡r/2 o () =,3 -¡¡/2, es decir, en los puntos 17 y m, tenemos que = 4S. Para O = ó () = 71, puntos ni Y 00 = -48. En conse-:-

°

trl¡

m,,;

Véase S. Tlmoshcnko, Bull. Po/ytech. IIISI., l(iev, 1907. Se debe tomar S 19u~l a la fuer,m diVIdIda por el área.. total de lo chapa. I

108

TEORI~

, cuenciu, para una placa grande cargada a esfuérzo cortante las tensiones máximas en la dirección de las tangentes, existentes en el borde del orificio, son cuatro veces mayores que la aplicada. La considerable concentración de tensiones existente en el contorno de un agujero es de gran importancia práctica. El caso de las aberturas practicadas en los puentes de los barcos puede citarse como ejemplo, pues su presencia da origen a altas concentraciones de las tensiones de tracción o compresión que experimenta el puente cuando el casco trabaja a flexión; las olas, al chocar repetidamente, originan ciclos de tensiones que pueden determinar, en los lugares fuertemente solicitados, fisuras de fatiga l • '

',zonas no alterad~ls por la presencia de! orificio, siempre que rnn sea pequeño frente ,a np. G. B. Jeffery ha estudiado también el caso en que una pre~ión normal ,Wliforme p, actúa sobre el con torno del agujero. Este problema" de interés , . es el de las tensiones que se producen en la vecindad de un agujero remache al introducir bajo presión el roblón, en estado plástico, por I¡¡, ¡lcción del calor., Si el agujero está lejos 'del borde rectilíneo, la tensión su contorno, con arreglo a las ecuaciones, (46) (§ 27), resulta: (1"6

'i$11 -+-

= p"

próximo al borde rectilíneo, las tensiones tangenciales ser constantes en su contorno, dándose el valor máximo de la

s .1c

109

PRoBr.ElVlAs BIDIMF.NSIONAUS EN COORDllNAllJ\S POLJ\IIES

DE LA EL/lSTIClDAD

(63)

1

2.-

p

en los puntos k y l. Comparemos este valor, con la tensión de tracción existente en el punto la cual viene dada por la fórmula: , 0'8

FW.50

A menudo es necesario reducir la coltcentración de tensiones en los agujeros, tales como los existentes, por ejemplo, en el fuselaje y las alas de los aviones. Esto puede hacerse añadiendo un reborde2 o un anillo de refuerzo2 • El problema analítico correspondiente ha sido resuelto mediante una extensión del método que acabamos de aplicar, al estudio de la influencia de un orificio y los resultados han sido comparados con las medidas realizadas con bandas extensométricas3 • El caso en el que existe un orificio circular próximo al borde recto de una placa semiindefinida sometida a una tensión paralela al contorno (fig. 50), fue estudiado por G. B. Jeffery~. R. D. Mindlin s, ha tratado ulteriormente el problema aportando ciertas correcciones y r~alizando un estudio fotoelástico, del mismo. La tensión existente en n, punto éste el más próximo al borde recto, es igual a muchas veces su valor en las I Véase el trabajo de T. L. Wllson. Th. S, S, J.evia/hall, D.mage. Repatrs and Strength Anulysls, presentllndo 01 Congl'cso ele 111 (.Amerle"n SOClety of Nnvnl Archltects and Marine Engmeer.' ~ll novl~mbre úe 1930. , • V óase S. Tlm05henl,0. J. Frollklti, [nrl .• vol. 197. pág. 505, 190'¡; véase tambIén la obra del mIsmo lIutor, S!rel/g/h uf 11-1,,'er;11Is, segundll ediCIón, vol. 2, Pllg. 317. J S. Lcvy, A. E. McPherson r F. C. SlIltlh, J. Appl,.t/ Mechanr"" (Trcllls. A.S.M.E.!. vol. 15, p~g. 160, 1948. En este trabajO pueúen encontrarse las referenCIas de los trabajOS lIntcnores sobre el tcmn. , Trans. Roy. SOL. (].Ol1doll). sene A, \'01. 221. pág. 265, 1921. • Proc. Soco E\pl. Stress A1ldlySlS, vol, S, pág. 56. 1948.

4p,r 2 = da _ r2

(64)

d = rV3 las' dos expresiones dan el mismo valor. Si d es mayor r..j3"la máxima tensión se produce en el contorno' circular y si es en el ,punto m.

FrG.51

El caso de una placa o laja de anchura finita con un orificio circular 'en su eje de simetría ha sido estudiado por R. C. J. Howland'. Este'autor encontró, por ejemplo, que para 2,' = ! d (Jo = 4,3,5' en el ,punto n y (Jo = 0,75S en el m. , El método desarrollado en 10 que antecede, pa,ra el análisis de las ',.tensiones que se producen en torno de un pequeño orificio circular, puede ser aplicado al caso de una placa sujeta 11 flexión simpleS. , R. C. J. Howland, Traris. Ruy. Soco (LUlldoll), a~rt. A, vol. '229, póg. 49. Z. TUZI, Phil. /l![ag .• febrero, 1930, pág.. 21O; véase tambIén Se" Papm JI/st. Phy•. Chem. Rescareh (Tokyo). vol. 9, pág. 65, 1928. El prohlcma corrcspondu!nte con un onflclO elíptico fue resuelto postenormerte pOI' K, Wolf, Z. lecho Phy..", 1922, púg. 160. El caso tic una placa J

110

TEORlA DE LA ELASTICIDAD

·~lásticas

distintas a la 'del materhIl de la placa (estado plano de tensiones) cuerpo (estado plano de deformación), nos encOntramos.con el.problema qe una inclusión rígida o elástica, el cual. ha sido tratado para inclusiones circulares l y elípticas a• Los resultados obtenidos.para una inclusión circular han sido confirmados por los ensayos fotoelásticos~. Las tensiones que dan 'las ecuaciones (62) para el problema represen: tado en la figura 48, son las mismas para un estado tensional plano que · .para un estado de deformación plano. En este último caso, sin embargo, qcbe actuar una' tensión axial:

Asimismo han sido estudiados:.también los casos de una fila de ,orificios circulares en una placa' indefinida l • 2 • 3 , semiindefinidn 3 o de anchura finita 3.·1 y de una laja con un anillo dé orificios"· (en todos los casos la solicitación aplicada ha sido una tracciÓn). El caso de una placa cuadruda en la que existe un orificio' y a la ·que se aplican tracciones iguales en las dos direcciones o, o que es sometida a esfuerzo cortante 7, ha sido estudiado mediante. un método deducido .por Hengst. Asimismo, se han resuelto los 'casos, en los que las fuerzas son aplicadas en ei contorno del orificio, existente en una placa indefinidaS o de anchura finita 0, o en los contornos de una fila de agujeros, paralela y próxima al borde de una laja semiindefinida lO (fila de agujeros de remache). Si una placa indefinida, con un orificio ·elíptico, es sometida a una tracción S paralela a uno de los ejes principales de la elipse, la tensión c"xistentc en los extremos del otro eje princ.:ipal (perpendicular a la dirección de la tracción) 'viene dada por: .

•

=S0+2~

111

PROBLEMAS BlDEMENSIONALES EN COORDENADAS POLARES

,.0

•• = V(O'r

· sobre los extremos de la pieza, paralelos al plano xy, con el fin de anular . La supresión de tales esfuerzos, extremos libres, produce otras ten· siones de carácter no bidimensional. Si el diámetro del 'orificio es pe· ,qúeño com parado con el espesor de la pieza la aÍteración estará confinada ,a las zonas próximas a los extremos de la misma. Si, por el contrario, el diámetro y el espesor son del mismo orden de magnitud, el problema debe ser considerado como tridimensional. Estudios de este ti p0 1 han demostrado que 0'0 sigue siendo la mayor componente de la tensión y :que su valor es muy parecido al dado por 111 teoría bidimensional.

0~

en donde 2a es el eje' de la elipse perpendicular a la tensión y 2b el otro eje. Este y otros problemas concernientes a orificios elípticos, hiperbólicos y a dos agujeros circulares son estudiados en el capítulo 7, en el cual se dan las referencias correspondientes. Un agujero muy angosto perpendicular a la dirección ele la tracción produce una gran concentración de tensión ll, lo que explica que las fisuras perpendiculares a las fuerzas aplicadas tiendan a extenderse. Tal extensión puede ser detenida taladl'ando los extremos. de la fisura lo que elimina la pronunciada curvatura, responsable de la elevada concentración de tensiones. Cuando un agujero está ocupado por un material rígido o de constantes de anchura finIta COn un onficlo circular fue estudiado por R. C. J. Howlnnd y A. C. Stevenson. Trans. Roy. s~C'. (tondO/I), serIe A, vol. 232, pág. 155, J933. Una prueba de la conv"rsonL'la de lu sene solución es duda por R. C. Knlgbt, Qllarf. j. J1!/ath. O-,/ord series, vol. 5, pág. 255. 1934. I M. Sadowsky, Z. a/lgew. Mat/¡. Mech., vol. B, plÍg. 107, 1928. : R. C. J. Howlund, Proc. Roy. Soco (London), serie A, vol. 148. pág. +71. 1935, , K J. Schulz, Proc. NedPT/. Akad: van We/etJschappen, vol. 45, pógs. 233, 1+1. 457. 5H. 1942; vol. 48, págs. 2&2 y 292, 1945. 1 C. B. Llng, P. S. Wang, y K. S. Jmg, Ter/¡. Repl., núm. 9, BI/r. AerollQllt. R.,,,,/l¡¡, Chengtu, Cbina, enero. 1944. 'c. B. LlIlg Y P. S. Wang, Tech. Rapt., núm. 6, ihíd, junIO 1943, • H. Hengst, Z. m'gl!'lv. ¡vIalh. Mech., vol. 18, pág. 44, 1938. .. 'C. 1<. Wang, J. Applzed Mceltames (Trans. A.S.M.E.), vol. 13, pág. A·77, 19~6. • W. G. BIc1c1cy, Tralls. Ro)'. So('. (!.ondoll), SCrIe A, vol. 227, púg. 383, 192t!. " R. C. [(nl~ht, Phil. M"g .• serIe 7, \'01. 19, p,íg. 517, 1935. 111 C. B. Llng Y M. C. Hsu, Tech. Rept., núm. 16, Bur. Aerollaur. Researelr, Cbengtu, Ch,"", febrel'o, 1945. " El caso de una ranura angosta fue tratado pOI' M. Sadowsky, Z. ""gew. Mal'" Mech., \'01. 10, plÍg. 77, 1930. .

+ lf'o)

"*

33. Fuerza 'concentrada en un punto de un borde rectilíneo. Consideremos ahora el caso de una fuerza vertical concentrada P, que actúa sobre el borde recto y horizontal AB de una placa semi indefinida (fig. 52a). La distribución de la earga a través del espesor de la placa es uniforme, tal como se muestra en la figura 52b, y el espesor es uno, de forma . que P es la carga por unidad de espesor. . La distribución de tensiones que se origina recibe el nombre de distribución radial simpleS. Cualquier elemento e distante r del punto de . aplicación de la carga se encuentra sometido a una tensión de compresión en la dirección radial, de valor

2P cos 11 ---r ?l'

.

(66)

I K Sezawa y G. Nishlmura, Rept. Aerollolll. Researrh Inst. Tokyo Imp. Univ., vol. 6. núm. 25, 1931; J. N. Goodicr, Trans. A.S.lVl.E.• vol. 55, pág. 39, 1933. , L. H. Donnell, 1'haodare VUIl KármlÍ .. Alllliversar}' Volume, póg. 293. Pasadena, 1941 ., W. E. Thlbodefu) y L. A. Wood,j. Research Natl. Bur. Srandards, vol. 20, pág. 393, 1938 'A. E. Green, Tram. Roy. Soco (London), son. A, vol. 193, pág. 229, 1948; E. Stemberg M. S"dowsky, j. Applted JvIecJ¡an;es. (TrllllS. A.S.M.E.J. vol. 16, pág. 27, 1949. , Ln "".Iu, IIl11 de este problema fu. obtenIda encarándolo como un caso de soliCItaCIón tridtmensmnal. por Flamant, ComPI. rlmd., vol. 114, póg. 1465. 11192, Paris. La extensIón ¡¡,. lo solUCión al cnso de una fuerza mclmada se dobe a Bousslllosq,:jCo7llpt. r."d., vol. 114, p,í. glUU 1510. 1892. Vé.lsc también el trabajo de J. H. Mlchell, Proc. Londo" Mat/¡. Soc., vol. 32. pág. 35, 1900. La lllVesugaclon expenmentlll de la diStribUCIón de tensUlIles que sugirió la teoría precedente fue re""zoda por Caru. WIIson, Phil. IV/ag., vol. 32, pág. .f81, 1891.

112

113

I'ROllLllMAS DlDIMIlNSIONALES llN COORDIlNJlDAS POLARES

'rEORIA DE LA ELASTICIDAD

En cuanto a la tensión de dirección' tangcnciál <10 y a 111 tensión tangencial cortante propiamente dicha '1"0, son en este caso nulas. Se ve fácilmente que estos valores de las componentes de la tensión satisfacen las ecuaciones de equilibrio' (37) (§ 25); también quedan satisfechas las condiciones de contorno porque dO y T,O son nulas a lo largo del borde rectilíneo de la placa, que está libre de fuerzas exteriores. En el pUl1to de aplicación de la carga (r = O), U r alcanza un valor infinito. La resultante de las fuerzas que actúan sobre una superficie cilíndrica de radio r

como ~c \'c, nos dan la solución (66). Sustituyendo la función (11) ecuación (39), podcmos ver fácilmente que esta eCllllción es s¡ltispor lo que (a) representa la verdadera función de tensión y las ecuaes (66') dan la distribución de tentliones correcta. Si consideramos una circunferencia de cualquier diámetro d centrada el eje x y tangente al eje y en O (fig. S2a) ocurre que para cualquier e de la misma d cos O = r. En consecuencia, como se deduce de ecuaciones (66), resulta

p

2P 7rd

U r ;::::. -

'Y A que nos dice, que ]a tensión vale lo mismo e~ todos los puntos de la :¡n:UIue:relnC:la salvo en el O, punto de aplicación de ]a carga. En un punto cualquiera, M, de un plano horizontal mn distante a borde de la placa, las componentes normal y tangencial de la tensión calculan partiendo del valor de la compresión simple radial. Tendremos (fig. 52a)

~~---------4----------~ x

=

{f'v

= 0',sen 2 O = - 2P sen 2 IJ

(ó)

(a)

FlG, 52

7'""

debe equilibrar a la fuerza P (fig. 52b) Y se obtiene por integración de las componentes verticales elementales, O',r dO cos O, que obran sobre cada elemento, rdO de la superficie. Proct'cJicmlo de eRta mnncra encontramos 2

!o~ o

0'",

4Plai

cos O• r dO = - -

1f'

o

00S2

8 dO = - P

2P cos3 8

cos 2 8 = - -

IT.

{f'r

1f'

0',

sen

O

('os

()

'/!'

2Psen 8

.A

(a)

2P cos O

(67)

00S2

r

8

2P

- -sen ?ra

{J

cos 3 O

¡p

13

~

/0

°1

O2 S8

:;. e. V

~.......

.;..-

--

./ '7

~/

"-

1Ta

"- ~ D

(66' ) :;c ",

JUl qn

I"~ %l!

.,/V

como puede verificarse, utilizando las ecuaciones (38)

- -71' - ' r

cos 4 O '

00S2 ()

= - -;-

.. ,

P

'ITa

la figura 53 se representa gráficamente la distribución de las tensiones y '1",11 a 10 largo del plano horizontal m11. En el punto de aplicación de la carga, teóricamente, .13 tensión es intamente grande, ya que se trata de una fuerza de valor finito que actúa

Para probar que la expresión (66) es la solución exacta del problema, debemos hacer intervenir también la ecuación de compatibilidad (39). Dicha solución se dedllce de la función de tensión '" = - - rO sen {]

r

'lTa

=

2P

-- = - -

Fw. 53

'~ K W;

;;- ¡fi -- ,. -

--

lI1rrmrr

114

TEOlllA DE I.A ELASTICIDAD

115

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS POLARES

en un área infinitamente pequeña. En la práctica se produce un fenómeno de flujo plástico eje cierta magnitud ep el entorno del punto de aplicación, de manera que la carga viene a repartirse en un área de extensión finita. Si imaginamos que la porción de material que experimenta la deform!!,ción plástica es separada de la placa mediante una pequeña perforación éilíndrica (fig. 52b), las ecuaciones de la elasticidad podrán aplicarse a la porción restante de la placa.

. La funCllln de tensión (a) puede emplearse, igualmente, en el caso en que sobre : el borde ~"ctilíneo de una placa semiindefinida actúa un p:lr tll' fllcr:¡:as (fig, 560). . fi e ve, fácIlmente que para el caso en que la tracción P se apliclI en el punto O" .que dista a del origen, la función de tensión se obtiene de la ecuación (a) considemomentáneamente a ,p. como función de x e y en vez de serlo de r y 8, escri. y + a en lugar de y, y sustituyendo P por -P. La combinación de esta de tensión con la función original ,¡, nos da la función que corresponde caso de dos fuerzas iguales y de signos contrarios, aplicadas en O y 0 1 , bajo la forma -(x,1J

+ a) + .p(z,y)

a tiende a cero, la función tiende al valor
oy

:::;tlstl.tu'~eIlldo (a)

(b)

en la ecuaciÓn (b) y teniendo en cuenta (§ 25) que

= {l4> sen 8 + o

{I.p FIO, 55

Fm. 54

Una solución análoga puede ser obtenida si la carga aplicada en el borde rectilíneo de la placa semíindefinida es una fuerza horizontal P (fig. 54). Las componentes de la tensión vienen dad~s de nuevo por las ecuaciones (66') siendo sólo necesario medir el ángulo e a partir de la dirección de la fuerza tal como se muestra en la figura. Calculando la resultante de las fuerzas que actúiln sobre una superficie cilíndrica tal como la mostrada en la figura 54 mediante la línea a trazos tendremos:

2P!a"o cos

- -

11"

2

e de

=- ~

[p cos

ex cos

Pa

M

= -;- (8 +sen 8 cos /J) = -;; (8 + sen 8 coa 8)

(69)

la cual ]JI! es el momento del par aplicado.

p

M

y'-,--------~~--_4~

y.--,r---~,.,..:..--!-~~~

= -p

Esta resultante equilibra la fuerza exterior P y puesto que las componentes de la tensión 'rO Y (fo se anulan sobre el borde, la solución (66') satisface las condiciones de contorno. Cuando se trata de fuerzas cilíndricas oi:>licuas, el problema se resuelve por superposición, aplicando las soluciones que corresponden a las fuerzas vertical y horizontal. Descomponiendo la fuerza P en sus componentes vertical P cos a y horizontal P sen a (fig. 55) obtendremos la tensión radial en cualquier punto e, a partir de las ecuaciones (66'). (J'r

4>1

e+ P sen a cos (~ + o)] 2P .., = - -cos (a 1rT

+ O)

(68)

Las ecuaciones (66') pueden ser usadas, por lo tanto, cualquiera que sea la dirección de la fuerza, supuesto que el ángulo O sea medido a partir de esa dirección.

(a) FIO. 56

Si se trata de ?OS pares de fuerzas 'de igual magnitud y dirigidos en sentidos .. que actuan en los puntos O y O" muy próximos (fig, 56b), la función téns~~n q., puede obtenerse por un rllzonamiento análogo, mediante derivación de funCIon
q,~

=
(4), + iJalY a) = - ao.p, ay

= -

~ cosO O 7fT

(70)

los sentidos de rotación de los pares se intercambian bastará modificar el signo la función (70). . ' : Una serie de funciones de tensión obtenidas por diferebciación sucesiva ha sido para la determinación ?~ la concentración de tensiones, cread~ por la de una ent~lladura semicircular en una placa semiindefinida sometida a

116

117

TEORIA DE LA ELASTICIDAD

PROBLEMAS BIDIMIlNSIONALES IlN COORDENADAS POLARES

una tracción paralela al borde de la misma'. La' tensión máxima es ligemmente mayor que el triplo de la tensión existente en las zonas alejadas de la entalladura. El caso de una placa de anchura finita con unll entalladura semicircular en cada borde ha sido también estudiado'. El factor de concentración de tensión (relación de la tensión mlÍxima a la media, existentes en la sección más pequeña) es menor de tres, tendiendo a la unidad cuando las cnt"lladur,," ,'1II11(:ntan.

ii:i¡;,oJ1,gam()s que, como condición de vínculo de ]a placa de la figura 52, que los puntos situados en. el eje x no admiten desplazamiento esto es, que para IJ = O, v = 0, 'con lo cual la segunda de las :ua:cí(>n~:s (g) nos da A = O y = O; mediante esto~ valores de las consde integración, el desplazamiento vertical de los puntos del eje x entonces, 2P (u)a_o = - '/TE lag r + B (h)

Una vez conocida la distribución de tensiones podemos obtener los deslizamientos en la forma usual, aplicando las ecuaciones (49) a (51). Para el caso de una fuerza normal al contorno (fig. 52) tenemos E,

=

au ar = u

7rE -r-

2Pcos8

=

r + r ae =

']) 7rE -r-

= r

éJu éJv ao + ar -

;. = O

Eo

"Ira

determinar la constante B, vamos a supone¡' que un punto del eje x diste d del origen, no pueda moverse verticalmente. En la ecuación se tendrá r = d, luego:

2P cos 8

av

(e)

B

2P

'/TE cos 810g T

+ f(e)

(d)

V

O-

f

¡(e) de

+ F(r)

(tt)a=i = -

(1 - p)P feO) = - --E-8 sen O 'IT'

+ A sen 8 + B

F(r)

cos O,

= Cr

(f)

donde A, B y e son constantes de integración que se determinan a partir de las condiciones de vínculo. Las expresiones de los desplazamientos, ueducidlls de (d) y (e), son: u

2P = - 1f'E -cos 6 log r

2vP

v = 1f'E sen 8

2P

-

(1 - p)P

E

'Ir'

.

+ '/rE lag r sen (J

-

8 sen

e + A sen 6 -1- B cos ()

(1 - JI)P 'lT'E 8 cos

+ r;l.-;'SJl)P sen (J + A cos (J -

(O)

(J.

B sen

(J

(1 - /I)P 2E I

(U)9 __ ~ = -

(1 - JI)P

2E

(71)

(e)

en la que F(r) es función de r solamente. Sustituyendo (d) y (e) en la tercera de las ecuaciones (e) se llega a •

2P

-Elogd '/T'

todas las constantes de integración, pueden termtna:rse los desplazamientos de cualquier punto de la,placa semiinmediante las ecuaciones (g). por ejemplo, los deslizamientos de los puntos del de la placa. Las componentes horizontales de los mismos se obponiendo e = ± ;n;j2 en la primera de las ecuaciones (g). Tenemos

donde f( O) es función de () solamente. Sustituyendo en la segunda de las ecuaciones (e) e integ~ando resulta

2~ Ren 8 -1- 'lT'E 2P lag r sen = :;rE

=

V

Integrando la primera de estas ecuaciones obtenemos u = -

e

+ e"

, F. G. MaunselJ, Phi!. Mag., vol. 21, plÍg. 765, 1936. 'c. B. Llng, J. Applied Mecha1lics (Tram. A.S.M.E.), vol. 14, pág. A·275, 1947; H. Pontsky, H D. Snlvely, y C. R. Wy!Je, ¡bid., vol. 6, pág. A-63, 1939.

nos dice que todos los puntos del borde rectilíneo experimentan desplazamientos, dirigidos hacia el origen, lo cual puede ser confísicamente factible, ya que, como se recordlmí, hemos supuesto suprimido' la parte de material limitada por una superficie ciHnde radio pequeño, en tomo al punto de aplicación de P (fig. 52b), cual no son llplicables las ecuaciones de la elasticidad. En realidad, porción de material experimenta una deformación plástica que permite desplazamientos (71) a 10 largo del canto recto. En cuanto a los desmientas verticales que corresponden al borde, se calculan aplicando 'scgundla de las ecuaciones (g). El desplazamiento hacia abajo a una disr del origen se obtiene recordando que r es positivo si el movimiento en el sentido del crecimiento de los ángulos e y que la defores simétricll respecto al eje de las x. De esta manera obtendremos (V)

.. = - (v) .. = 2P lag ~ _ (1 -1- p)P a=-'2. 6='2 '/TE r 7rE

(72) ~

ecuación aplicada nI origen dll un desplazamiento infinitamente grande. obviar esta dificultad podemos suponer que la porción. de material rodea el punto"de aplicación de la carga es retirada, cortando segiJn

una superficie cilíndrica ¡:le pequeño radio.' Para otros puntos del borde la ecuación (72) da desplazamientos finitos.

34. Caso general de carga normal al borde recto de una placa. Si suponemos que las curvas ti", y 1'' '11 de la figura 53 (§ ~3) .represen~an los valores de las tensiones originadas por una fuerza Unltana, por ejemplo 1 kg, dichas curvas serán las líneas de influencÜJ de las tensione~ l1", y.1'xu , 10 que quier~ decir que la tensión a" ori!ilinada po.r l~ fuerza de mtensIdad P en un punto H del plano mn, se obtiene multlphcando por P la ordenada HK. . fA"

:Y

119

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS POLARES

TEORIA DE LA IlLASTICIDAD

11&

para la fuerza P, de manera que su origen sea el punto de aplirespectivo 01> Oa ... De ·10 dicho se desprende que la tensión l1", ducida, por ejemplo, por la fuerZa P 1 en el plinto D del plano mn se multiplicando PI por la ordenada HtKi' De igual forma la ~ensión producida por Pa en D es H 2 K 2 xP2 y así sucesivamente para las otras La tensión total normal producida en D por las fuerzas P, PI,

·HvmSH.llno"

consecuencia, la curva (1'" d~ la figura 53 es la línea de influencia de tensión normal l1., en el punto D y la curva 1:"11 será la línea de influencia la tensión tangencial en el punto D sobre el plano 11ln. Teniendo estas curvas, se pueden obtener fácWnente las componentes la tensión en D para cualquier carga vertical aplicada al borde AB. Si en lugar de tratarse de fuerzas concentradas nos encontramos con fuerza, de intensidad q, distribuida sobre el segmento ss del borde 53), la tensión normal 11", en D se obtiene multiplicando por q el área la parte de diagrama correspondiente, rayada en este caso en la figura, que llamaremos superficie de influencia. . El problema de una carga distribuida uniformente puede resolverse otra manera mediante una función de tensión de la forma

Ca) Las componentes de la tensión correspon-

(b)

Fw. 57

Si sobre el borde horizontal, AB, de la placa semiinfinita que co~­ sideramos actúan varias fuerzas verticales P, PI, P2, ... las tensiones originadas en el plano mn se obtienen sumando los valores que corres¡:>onden a cada una de ellas, las cuales resultan de trasladar las curvas de ti", y 1''''v

la placa semiindefinida esto se traduce en la distribución de cargas en la figura 57a. Sobre el borde de la misma actúa una fuerza cíal cortante, uniformemente distribuida, de intensidad ·-A y normal, también uniformemente distribuida, de intensidad An cuyo cambia bruscamente en el origen O. Para asignar a las fuerzas su correcto, nos guiaremos por los signos de las componentes de la que actúan en un elemento C. Trasladando el origen a 0 1 y cambiando el signo de la función de ten,¡, se tendrá la distribución de cargas de la:: figura 57b. Mediante de los dos casos de distribución de 'cargas (fig. 57a y 57b) el de 'qua carga uniforme sobre un segmento del borde de la

::.:: ...

...

"filaRlA DE LA ELASTICIDAD

.pla.ca, tal como se muestra en la figura c~~ga sea q hacemos

2A71" = q,

121

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS POl.ARES

57c. Para que la intensidad de esa

1 A =-q 2?J'

La tensIOn en cualquier punto de la placa viene entonces dada por la función de tensión' (e) A la vista de las ecuaciones (b), se dedul.<· lI1ie el primer término de la función (e) representa, para cualquier plinto M de la placa (fig. SHtI). lIn estado equitensional

11 este e'ifucrzo cortante, 'y el radio CD representa la tensión tangencial, - A, en el plano 1/111 perpendicular a r. Para ,c1.lalquier plano 1n,Il" que farOla con mn un ángulo P (fig. 58a) las componentes de lu tensión L.,.¡tÍn duu.,> !,Ol" 1,,5 coordenadas (1 y , del punto a de In circunferencia de Mohi-, siendo aCD igual a 2/1. Para ootener las componentes de la tensión.originaua por el esfuerzo cortante simple de dirección r, se puede emplear la misma circunferencia (§ 9). Considerando de nuevo el plano 11/,11, y observando que In normal al mismo forma un ángulo" - {J con la dirección Y, (fig. -58a), resultará que las componentes de la tensión están dadas por las coordenadas de! punto II de la circunf~renci ... ·Pum tener en cuenta el signo del esfuerzo cortante correspondiente" In dirección '" deben cllmbimse los SIgnOS de las componentes de la tensión y dI: eSIl munenl se obtiene el punto H, de hl circunferencia. La tensión total que actúa sobre el plano m,ll, viene dada por el vector CK, de componentes, la tensión nonnal - (11 11,) Y la tensión tangencial"1 - ,. El vector CK no varía, cualquiera que sea el valor del ángulo fi ya que la magnitud de sus componcntes CH, y ca, así como el ángulo que forman, lT - 2" son independientes de {l. Vemos, pues, -que combinando dos solic.itaciones de esfuerzo cortante ootenemos otro esfuerzo 'cortante simple (véase § 9). Los ángulos fI para los que TI ._- T = O, corresponden a una de las direcciones de las tensiones principales en .M. A la vista de la figura deducimos que T y TI son iguales en valor absoluto cuando 2fJ = 2(" - (J), es decir, fi = 1..1/2. La dirección de la tensión principal bisectn pues el ángulo formado por r y 1', Y las magnitudes de las tensiones principales son:

+

(e) ±211 = ±2A sen 2{i = ±2A sen tl _ Combinando estos volares con la cquitcnsión (el) obten'emos que las tensiones principales en el punto M son: (f) sen ,,) -2A(1l + sen ,,), -2A("

FIG.

Dada una circunferencia que plise por O y O, el ángulo" se mantiene constante para cualquier punto de la misma, ocurriendo lo mismo, por tanto, con lns tensiones principales (J) en esos puntos. En el borde, y pllru los puntos comprendidos entre O- y O, (fig. 58,,) el ángulo " es iguul a "7 de dnndl' 1". d()~ tensiones principales (J) son iguales a 2:rA - .- q. En el resto dd borde" = O \ las dos tensiones principales se anulan. .

58

(de tracción) de valor 2AO junto con un esfuerzo cortante simple igual a A. De igual forma el segundo término de la función de tensión representa un estado equitensional (de compresión) de valor - 2AO, y un esfuerzo cortante igual a A. Los estados equitensionales de tracción y comprcsión pueden sumarse directamente resultando otro estado equitcnsional de valor (d)

p = 2.1.1.0 - 2.1.1.0, = 2.1.1.(0 - 9,) = -2Aa

siendo u el ángulo formado por los nldlOs , y r,. Compondremos los dos esfuerzos cortante~ SImples, de direcciones r y 1'" haciendo uso dcl círculo de Mohr (fig. 58b), cuyo radio será iguall1 In tensión tangencial A. Tomando los diámetros DD, y FI'~ paralelo y pcrpcndiculnr respectivamente, como ejes de T y u 'obtendremos la representación del esfuerzo cortante simple que corresponde u la dirección r. Los radios CF y CF, representan llls tensiones principales A y ·_·A (que forman ángulos 11'/4 con r en el punto M) que !=orresponden

,f',

, Estu soluci6n se 'debe a

J.

H. Michell, Proc. úmdo71 .M"I"

,t;"", nI. 34, pág. 134,

1902.

En consecuencia, si una distribución arbitral"ia ele carga (fig. 59) es descompuesta en un gran número de curgns de. intensidudes varinbles uctuundo sobre pequeños elementos del borde, la tensión horizontal 11% existente en. un elemento (tal como el indicaelo en la fig. 59) está motivada solamente por la carga actuante sobre ese elemento, siendo ' (f,

=nlJ-= ._q

(g)

TEORIA·DE LA ELASTICIDAD 122 .. Otros casos de cargas distribuidas sobre el borde recto de una placa semiinÍmita han sido estudiados por S. D. Carothers' y M. SadowskyJ. En el § 41 se estudia op-a manera de resolver este problema. .'

La flecha del borde recto de la placa puede ser hallada mediante las ecuaciones (72) obtenidas para el caso de una fuerza concentrada. Si q es la intensidad de la distribución vertical de carga (fig. 59) la deflexión de 0, producida por el elemento de carga q dr, distante r de O y rayado en la figura, será de acuerdo con la ecuación (72)

123

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS POLARES

35. Cuña con carga en la punta. La sencilla distribución radial de tensiones discutida en el § 33 puede ser usada también en el estudio de las tensiones que crea. en una cuña, la aplicación de una carga en el vértice de la misma. Consideremos el caso simétrico,. mostrado en la figura 62, en el que suponemos que la cuña tiene un espesor unidad. p

2q 1 d d (1 + p)q d 'll"E ogr r 'll"E r

i'

y la deflexión total de O VQ

2 +:>: d = 'll"E ~ .. qlog-dr r :>:

viZ+"; qdr

1+ -E '11"

(h)

'"

Si la distribución de carga es uniforme, q es constante y entonces Vo

2q [

= 1rE (l

+ $) lag L +d z -

dJ + --:;;;r1- qZ p

z10g Z

Fra. 62

(i)

Flo. 63

Las condiciones existentes en las caras () = ± a, quedan satisfechas tomando como componentes de la tensión los valores dados por las expresiones 0',

:y FIG. 61

Flc. 60

De igual forma, para un punto situado dentro de la zona cargada (fig. 60) tendrá

2q [

d

= 1rE (1 - x) log l _ a;

1- p + :c log Zd] + --:;;;rql

(j)

La ecuación (h) puede emplearse también para determinar la intensidad q de la distribudón de carga que produce una determinada deflexión del borde recto. Admitiendo, por ejemplo, que el desplazamiento de los puntos del borde es constante en la longitud cargada (fig. 61), se puede demostrar que la distribución de la presión a lo largo de la misma viene dada por la ecuación3

p

va

q=--=== 2 71'

-

ZZ

I Proe. ROj. Sac. (Landoll), serie A, vol. 97, pág. 110, 1920. • Z. ang/!W. Malh. Meeh., vol. 8, pág. 107, 1928. • Sadowsky, /oc. cil.

kP eos 8 <1'6

1

r

= 0,

(a)

en las que. la: constante k se detenninará de manera que quede satisfecha la condición de equilibrio para el punto O. Haciendo igual a -P la resultante de las presiones que actúan sobre la superficie cilíndrica (indicada a trazos en la figura), obtenemos .

8

(1' )

2 -2)0re< kP cos r rd8=-l.-Pa+ sen2a=-P Z

~e

Vo

=

de donde k

=

a

+i

1

sen 2a

Las ecuaciones (a) quedan entonces así'; P cos 8

<1' r

= -

-r('a--;+-'ll'"-se-n"""'2"a')

(73)

Tomando a = :n/2 llegl!fl1os a la solución (66) ya estudiada, que corresponde a una placa semiindefinida. I Esta solucion fue dada por MichelJ, loco cit. Véase también A. Mesnager, Ann. el chanssées, 1901. .

pO/ltS

.1.24 .

'.:. Como"
(2'~a

J...

2

coa O· 7' dO

(J"r

=

-p

-a

de la cual se deduce

estando dada, por lo tanto, la tensión en direcéión radial por

P cos O

= - 1'(0: - tsen2a)

(74)

Las tensiones existentes en una sección transversal mn cualquiera vienen expresadas por PllX sen4 (} - y3(a - i sen 20:) (b) p.,·"sen 1 O r"", = -

figuras 62 Y 63, podemos tratar el caso en que la fuerza P tenga una dirección cualquiera en el plano .:ry, descomponiendo la fuerza en sus dos componentes ..y aplicando el principio de. superposiciónl • Debe advertirse que las soluciones (73) y (74) son exactas, únicamente en el caso en que en el extremo fijo, la cuña es sostenida por las fuerzas radiales cuyo valor es el dado por esas ecuaciones.' De no ser así tales soluciones son válidas solamente en puntos distantes del apoyo. El problema de una cuña sometida a un par M, contenido en su plano y aplicado en el vértice de la misma se resuelve mediante la función de tensión2 .
k = __ 1 __ . o: - t ¡¡en 20:

crr

125

PROllLllMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS POLARES

TEORlA DH LA ELASTICIDAD

y3ra=- í señ ~a)

= ][ ...sen 20 - 20 cos 21X 2(5en 21X - 21X cos 2a)

(d)

donde el ángulo (} es el· señalado en la figura 62 y el par aplicado, k/, tiene un sentido con.trario al de lns agujas del reloj. Las tensiones resultantes son: M 4 ~--o::----;::----;:;:, . - sen 28 G'9 = O rJ"r = 2(sen 21X - 20: COS 20:) . 1'2 • , (e) JI! 2 . '1"rO = 2( 2 2 . 2--)' . 2 (e os 20 cos 20:) sen ex ~ ex cos o: l' 36. Carga concentrada sobre una viga. El problema de la distribución de tensiones en una viga sometida a la acción de una carga concentrada es de gran interés práctico. En el § 22 se demostró que la distribución tensional que una carga uniformemente distribuida origina

pudiendo ponerse cuando a es pequeño: 20: - sen 2a = (2a)3 ()

e

Representando entonces, por 1 el momento de inercia de la sección transversal mn, podemos escribir las ecuaciones (h) en la forma: Uu ~

..

=

~------~~----~~

. Pyz

--y-

(e)

'

1'''11

c.x

=

Para valores pequeños de a el factor (

t~, '!_)'

,<

sen 4 O puede tomarse

muy aproximadamentc igual a uno y entonces la expresión de Uy coincide con la que da la teoría elemental de la flexión. La máxima tensión tangencial se da en los pu~tos 111 y n y su valor es doble del deducido por la teoría elemental para el baricentro de la sección rectangular de unll viga. Obtenidas las soluciones para los problemas representados en las

¡.'1Cl.6+

en lus vigas de sección rectangular estrecha, puede calcularse con exactitud satisfactoria utilizando la teoría elemental de la flexión. En la proximidad del punto de aplicación de una fuerza concentrada ocurre sin embargo, una perturbación local de la distribución de tensiones, que hace 1 Varios ejemplos relatIvos a la d,strIbuc,ón de tensIones en las cuños han SIdo anah.ados por Aklro MlUrn en Spannti"gskrrmell j" rcchteckigen l/lid keilfb,¡nrgeJl Trag('/II, Berlín, 1')28 El caso en el que las fuer..as no "e aplican e[, la punla de la cuña h~ SIUO estudIado por j. H. A B[·.,htz, Ph,YSLCS, vol. +. pág. 56, 1933 Y por W. M. Shepherd, Proc; Roy. Soco (Lol/doll). ser!< .\.

'01. 148, prig. 28+, 1935. . .2 C. E. Ingll., Tran.s. 111sl. Nav. Areh. (LUllIlutl), 1922, vol. 64.

TEORIA DE LA ELASTICIDAD

127

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS POLARES

. rié~~a;io,un,estudio m!iÍs detenido. Tal estudio Ha sido realizado por pri'~~~" ;e~ ·por. earus Wilson' , quien ensayó por métodos fotoelásticos (yéase. § 42) .una viga rectangular de vidrio, libremente apoyada en sus dos extremos y,cargada en el centro (fig. 64). Mediante 105 ensayos realizados encontró que en el punto A de aplicación de la carga, la distribución dé ,tensiones se aproxima.a la producida en una placa semiindefinida por

de la viga, es igual a la diferencia entre el momento de la reacción P/2 y el momento de todas las fuerzas' de tracción, de dirección radial, correspondientes a una de las mitades de la' viga. Este momento se calcula fáciimente, pues esta distribución radial es estáticamente equivalente a 'la de las presiones que actúan sobre el cuadrante ah que rodea al punto A (fíg. 65c) o bien, teniendo en cuenta la ecuación (66), al conjunto de una fuerza horizontal Pln y una fuerza vertical PI2 aplicadas en A (fjg. 65d). Por lo tanto el momento flector, es decir, el momento respecto a 0, es p

P

- l - -e 2 '11' a

A

e

~ A

y las tensiones de flexión correspondientes!

A estas tensiones debe añadirse el estado equitensional de valor PI2nc producido por la fuerza Pln. Las tensiones normales que actúan sobre la sección AD, obtenidas de esta forma elemental son, en consecuencia: 11'",

FIG.65

una fuerza concentrada. A lo largo de la sección AD la tensión normal no sigue una ley lineal y en el punto D la tensión de tracción es inferior 11 la que resultaría de aplicar la teoría elemental de la flexión. Estos resultados han sido explicados por G. G. Stokes' recurriendo a ciertas suposiciones empíricas. Según dicho autor, el sistema representado en la figura 64 puede obtenerse por superposición de los dos sistemas mostrados en la figura 65. Las tensiones radiales de compresión que actúan sobre las la laja semiindefinida (fig. 65a) son compensadas secciones mn, np y pq por tracciones radiales, de igual valor, que actúan en los costados de la viga rectangular apoyada en.n y p (fig. 65b). Para realizar el caso tratado por Stokes, se deben superponer las tensiones existentes en esa viga, a las que "orresponden a la placa semiínfinita. . Aplicando la fórmula elemental de la flexión al cálculo de las tensiones se tendrá: el momento flector en la sección transversal media AD 11",

de

Loe. cit. • Wilson. loe. cit.; v •• se también O. G. Stokes, Mathematical and Physical Papers, vol. S, pág. 238,

=

(i _!!.)

3P 2c 3 2

7r

y

+ 2m: ~

fórmula que' coincide con la propuesta por Stokes. Se obtiene una mayor aproximación si hacemos uso de las ecuaciones (36') y observamos que sobre el borde inferior de la viga (fig. 65b) existe una distribucion continua de carga. En el punto D la intensidad de esta carga es Plne como se deduce de las ecuaciones (66). Sustituyendo este valor en (36') y teniendo en cuenta el encontrado anterionnente para a"" obtenemos en segunda aproximación

(a)

Para obtener las tensiones totales a lo largo de las sección AD, debe agregarse a estas últimas expresiones las tensiones (f",

= 0,

2P rt" = -

?r(c

+ y)

(b)

como para el caso de una placa semiindefinida. La comparación de . las expresiones anteriores con una solución más

.i

1

Consideramos a P, como hicimos antes, como la fuerza por unidad de espesor de la placa.' ". I

129

TIlORIA DE LA ELASTICIDAD

PROBLEMAS BllJlMENSIONALES EN COORDENADAS POLARES

.,exacta (véase la. tabla de la pág. 131) muestra que las ecuaciones (a) y (b), 'dan las tensiones con una gran aproximación, salvo en el punto D, donde i~ corrección que aportan al valor dado por la teoría elemental es:

el caso de una viga de longitud indefinida vendrá representada por una integral de Fourier. De esta forma Kánnán llega a la función de tensión

\128

3P

2;é

P

lP

+ z.;;:;; +:5;;:C =

-

P 0,254.;

mientras que la teoría exacta da tan sólo -0,133 (PIe). El primer intento para obtener una solución del problema más exacta, es debido a J. Boussinesql. que hizo uso de la solución de Flamant para placas semiindefinidas (véase el § 33), mediante correcciones s\lcesi\ a:;. Comienza por anular las tensiones sobre el contorno np (fig. 65a), superponiendo un sistema de tensiones iguales y de signo contmrio; luego considera que la viga es una placa semiindefinida que se extiende por encima de la línea lIP y e;r:nplea de nuevo la solución de Flamant. Como esta corrección introduce tensiones suplementarias sobre el borde superior de la viga es necesaria la utilización de una nueva solución de Flamant para compensarlas. Este proceso se aplica sucesivamente, pero dado que converge muy lentamente, no conduce a resultados satisfactorios. L. N. G. Filon2 ha dado una solución al problema por medio de series trigonométricas. Los resultados que obtuvo pam diversos casos de fuerzas concentradas (véase el § 23) cuadran bastante bien con los obtenidos en las investigaciones más recientes. H. Lamb3 realizó ulteriormente progresos en la búsqueda de la solución correcta. Considerando una viga de longitud indefinida, sobre la que actúan hacia abajo y hacia arriba, alternadamente, fuerzas iguales equidistantes, Lamb pudo simplificar la solución del problema bidimensional y obtuvo para diversos casos la curva de deflexión.· Demostró, asimismo, la gran exactitud de la teoría elemental de la flexión de Ber.noulli-Euler cuando la altura de la viga es pequeña fl'ente a su longitud, y también que la corrección de esfuerzo cortante 'dada por Rankine y Grash
su

l1n estudio máq detllllnclo de la dIstribución tcn8ional y dc 111 curvutura en el entorno del punto de IIp!tc>lción de In carga <:OllLcntl'uda, hu sido rcahzudo por T. V. K'¡rmán' v F. Sccwuld'. El primero con&ld"ru tina viga infinitamente Iargu y hllce uso de la ~olución correspondiente al caso de una placa semllndcfinidn, sobr~ la cual actúan dos pares iguales y opuestos en puntos próximos del borde (fig. 56b). Las tensiones así introducidas en el borde mferior de la viga pueden ser eliminada' usando una s()lucióQ, cuya fonna es la de una serie trigor!mi1étrica (§ 23), que en I eOll/pI.' relld., vol. 11 +, púg. 1510, J 892. , L. N. G. Flloll, Tram. Ray. Silr (LOlldoll), serie A, vol. 201, pÁg. óJ, 1903. I H. Lrunb, Att. IV cOI/gr. l/Iterl/. /l/a/elllol., vol. 3, plÍg. 12. Roma, 1909. , Fllon llegó" la misma conclUSIón en su trabajo Iloc. cil.). 'Ablza"dl. aerodYllam. Jnst. Terl. Hochschule, A.lchen, \'01. 7, 1927.

ti>

= Ma r" ". Jo

r"

_ Ma .. Jo

+ sh ac) eh. ay ~ eh exC ah ay· ay sh. 2a.c + 2ac Cae sh ",e + eh ae) sh ay - eh ae eh a.y. ay (ac eh

ocC

coa aX da coa


da

(e)

ah Zac - Zac

Esta función da la distribución de tensiones en una viga en el caso en que el diagrama del momento flector sea un rectángulo muy estrecho, tal como el ,mostrado en la figUra 66. Para el caso más general de cargas verticales que obran sobre el borde superior de la viga 1, el momento flector correspondiente puede dividirse en rectán-' gulos elementales, como el de la figura 66, y la función de tensión corre;pondientc se obtiene integrando la expresión (e) a lo largo de la viga.

y FlG. 66

Seewald ha aplicado este método al caso de una viga sometida a una fuerza concentrada P (fig. 64), Y ha demostrado que la tensión 11" puede ser descompuesta en dos partes: una calculable mediante la fórmula elemental de las vigas y otra que represerita el efecto local en el entorno del punto de aplicación de la carga; esta última, llamada 1Iz', puede ser representada en la forma fJ(Plc), donde fJ es un factor numérico cuyo valor depende de la posición del punto para el cual se calcula la tensión local. Los valores de este factor vienen dados en la figura 67. Las otras dos componentes de la tensión lIy y 'zy pueden ser representadas también en la forma fJ(P/c). Los valores correspondientes de P'son dados en las figuras 68 y 69. A la vista de estas figuras sc deduce que las tensiones locales disminuyen muy rápidamente cuando aumenta la distancia al punto de aplicación de la carga y que a una distancia igual a la altura de la viga, su valor es prácticamente despreciable. En la página 131 se inserta una tabla de valores de las tensiones locales en cinco puntos de la sección transversal AD, que contiene a la vertical de la carga (fig. 6+), valores que se pueden comparar con los de las tensiones locales', calculadas para los inismos puntos mediante las ecuaciones (a) y (17). Como puede verse, la exacl'Ítud que con estas ecuaciones puedc obtenerse para las tensiones, es satisfactoria. Conocidas las tensiones pueden calcularse fácilmente la curvatura y la deflexión de la viga. Estos cálculos muestran que tanto la curvatura como la deflexión vienen , El case:. de una carga nplicada a la mitad de la altura de la vigo, fue estudiado por R. C. J. Howland, Proc. Roy. Soco (Landan), vol. 124, pág. 89, 1929 (véase las págs. 115 y .igs.)· y el de dos fuerzas actuando en el interIor de la viga por K. Girkmann, lngenieur-Archiv, vol. 13, pág. 273, 1943. El caso de vigas en 1 sobre las que actúan fuerzo~ longitudinales concentradas, ha sido considerado por Girkmann en Oes/err. Ingenieur-Archiv., vol. 1, pág. 420, 1~46. J Nos referimos con esa expresión a las tensiones que deben ser añadidas a las obtenidas mediante la fónnula -,elemental. 9 -THORIA DE LA eu.srICIDhD

131

PROBLEMAS BlDlMENSIONA,LES EN COOHDENADAS POLARES TEORIA DE LA, ELASTICIDAD

130

T"BLA DE, LOS FACTORES {I PAn" EL CENTRO DE LA VIGA

'y

y.-o

V

vV

1--V

~

~

0,5 1,0

-0,133 ;::

O

~

<:i -¡.

x e

Solución aproximada

-0,254 O

1,5 2,0 2.5 3,0 (a)

j y=-~ 2

fJ 2,0

3.0 2,5

1,5

fJ

1,0

0,5 -

05 1,0

1\ ~'" ~I/ '?~ ~~

tl

••

-lo


1\V'r

V

~

1'0.'1'

10

<:S

•

<:SI

~ l!l<:S

•

25 3,0

~


~

~

~

B ~

t:S 'f.

(a)

x e

y. () 3,0 2,5

20

1,5

fJ

1,0

t'--

0,5 1,0 1,5 2.0 2,5 3.0

1,0 O,?

2,0

V

•

~~~ta~ ~<:i ~¡¡: ;. ... . Pf<:3~<:i

1.5

O

1\

3.0 2.5 2.0 I.S

c

c/2

~

~~ ~<:i <:S~ I~~ ,~~ ~ ~ I--!

3.0 2,5 2.0 1,5 1,0 0,5

o

,1

Solución exacta

'1\ V ,~

O '

-c/2

-e

(e)

05

r-l'\

05 10 15 2.0 25 3.0 1 O ~ ~ ~k:t; ~ ;;:; ~
~~~I~ <:S<:S

~ ¡..;.

I

I

~

...


<:i

.

<:S

~

(:)

-¡.

(b)

,O

['o,~""S!;~ 'i~ 3,0 2,5 2,0

1,5 1,0 0,5

..... ".

~' ~~~ ,~ 0,5 1,0 1,5

"-

~

...


I -¡.

2.0 2.5 3,0

(á) y=+c

--

(e)

¡'-r-..

.0

~ ~~~

:g~",

9~

3.0 2.5 2,0 1.5

1,0 0,5

vI-

-¡. -¡..,.

0,5

1,0

~ ~

os ~

:;;

~

.,.

<:S

1.5 2,0 2,5 (e)

;1t

~...

3,0

FIG.

x e

ó~

dadas por expresiones que pueden ser descompuestas en dos partes: una. la 1 línea central de la:' viga puede representur~l' por la fórmula "

1

F.o. 67 ",

P

r="'Eo'

(el)

133

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS POLARES

. en la que (1 es un factor· numérico que varía a lo largo de la viga. Algunos valores de ese factor son dados en la figuro 70. Como puede verse para secciones transversales cuya distancia a la central sea mayor que la mitad de la altura de la viga, la curvatura adicional es despreciable.

P

h"

Y"-f ~~ :¡¡~

3.0

1,5

2,0

~'" ~~ -¡. ., <:S <:S -¡.

0,5

1.0

-

~

~

~

~

I\l

<:S 'i-

3.0

1

'" V ~I

§1

!/ ~ ~~ 1,0

~

0,5

lL


I;:¡

:-:t'!;'1 1,0

~ I

¡i

~

I

+2B.

e

I,S 2,0 2,5 3,0

~ <:SI;:¡

l
~ I;:¡

3.0

T

.BC;FJjJ2~

(11)

t

A

FIG.71

iS

~II

.. 1,0 0,5

De esta flecha debe restarse o., pequeño término correctivo cuyo objeto es hacer desapareCer el cambio brusco de pendiente en el punto A. Su valor calculado por

vP'

Seewald es:

~~ ~ "'''' <::sC::S ~

V~0,5

110 V

La flecha correspondiente al punto medio es: (f)

la..,

c::s 1,0 1,5 2,0

~ (~ - l~E - !i:)

1-

:y",+f

-

"\!;.<:s~q

(I,S

1,0 0,5

1,5

'Y '"

/

,8H-

1,5

~~

En virtud del efectp localizado sobre la curvatura, a que nos hemos referido, se puede considerar que las dos ramas de la curva ·de deflexión AB y AC (fig. 71) forman un ángulo igual a

1I

2,0

3.0 2,5 2,0

11

O 0,5

3,0

1I~ :;.¡

~.

y~O

1,5

1

.... /

FIG.70

jJ

2,0

.......

;t,\~~~~

(a)

1\

3,0

t;:s~~~_

~

1

¡-

~ 1,0 1,5 2,0

~

O 0,5

-

:t .P F"U,ílJiif

a [\..

1,0

1/

~ c::s

1.5 2,0

p

~

~

<:S

3,0

o. = 0.21 E x e

Designando ahora por c" la flecha que daría la teoría elemental, el valor total de la misma será: (75)

te) que tomando v = 0,3 queda F.o. 69

Pl' [ 1 '.~ = 4sEí

+ 2,85 (2C)' T -

0.84

(2C)'] T

'ni!?'~l'e~ent:ál"de

Rnnkine-Grashof (§ 21) da en esto

8'~

135

PRODLIlMhS DIDIMENSIONALES EN COORDENADAS POLARES

· . '. '. 'TEoiUA DE LA ELASTICIDAD

4::[ [1 + S.90 (~rJ

CIlSO

(o)

" ': : "'q\.le parece ser un valor demasiado grande para la corrección debida al esfuerzo

·cortarite. Ninguna de las fórmulas anteriores toma en cuenta la deformación local que se produce en los apoyos.

37. Tensiones en' un disco circular. Comencemos considerando el caso sencillo de un disco sometido a la acción de dos fuerzas iguales y opuestas P que actúan en los extremos de un diámetro AB del mismo

Si sobre la periferia del disco no actúan fuerzas exteriores la tensión en cualquier punto se obtiene, pues, agregando a las des distribuciones radiales simples de tensiones, antes menci~)Oadas, una tracción en el plano del disco, de magnitud 2P/ nd. Consideremos ahora la tensión existente en la sección diametral horizontal del disco que pasa por N. Por simetría se deduce que no actuará ninguna tensión tangencial sebrela misma; en cuanto a la tensión normal que resulta de las dos compresiones' radiales iguales valdrá: 2Pcos 8 - - . cosz (J 71" r -

-2 ' -

p

en la que r es la distancia AN y Oel ángulo formado por AN y el diámetro vertical. Superponiendo a este valor la tracción uniforme 2P/nd, tenemos, para la tensión normal total existente en el plano horizontal que pasa por N, el valor .

d

~~~r--1-------4D~~x que usando. la igualdad

d cos O = -;r.;;:=;==;==;¡ Vd2 +4X2 y FIG.72

qued!lllsí:

(fig. 72). Suponiendo que cada una de las fuerzas produce una distribución radial simple de tensiones [ecuación (66)], podremos calcular qué fuerzas habrá que aplicar a la periferia del disco para mantener dicha distribución. En cualquier punto M del contorno tendremos compresiones en la dirección de r y

Yl

de valor igual

2P cos

!I

1/"

1

pectivamente • Dado que r y d el diámetro del disco,'

YI

(J

La máxima tensión de cempresión en el diámetro del disco donde

'y 2P COS (JI res71"

Tl

O"y

son perpendiculares entre sí y que siendo

cos 8 -r-

l'

(b)

COS

81

1

= ----rx- = d

(a)

se deduce, que las dos tensiones principales en M son dos compresiones igual~ de valor 2P/ nd. En consecuencia, esta misma tensión de compresión actúa sobre cualquier plano, perpendicular al plano. del disco, que pase por M y una fuerza normal de compresión, de valer 2P/:rcd, deberá ser aplicada sobre la periferia del disco con objete de mantener el par de distribuciones radiales simples de tensiones que se ha supuesto existen, , Se supone que P es la fuerza por unidad de espesor del disco.

= -

eD

se da en el centro

6P 1rd

mientras que en los extremos del diámetro O"y se anula. Consideremos ahora el caso de dos fuerzas iguales y opuestas, actuando en los extremos de una cuerda, AB (fig. 73) en la dirección de la misma. Suponiendo de nuevo dos distribuciones radiales de tensiones, que parten de A y B, la tensión en un plano tangente a la circunferencia en el punto NI, se obtiene por superposición de dos compresiones radiales,

2P 'cos 8 y 2P 7t

r

11:

COS

81

,

de direcciones r y r1 respectivamente. La

rl

normal MN a la tangente en M es el diámetro deLdisco¡ de manera que MAN y MBN son triángulos rectángulos y los ángulos que forma la nqrmal N/O 'con .'( y rl son 'n/2 - 81 y n/2 - (J, respectivamente, Las

136

, tensiones nonnal y tangencial que corresponden a un elemento del contorno eI\ el punto M, serán, por lo tanto: O'

= _ 2P cos Ocos2 T

'Ir

(! _

Ih) _ 2P coa 01 cos2

2

_ 2P (cos Osen2 01

2

2

1

(o)

'TI

'.,. = - -2P (cos - -Osen 01 cos T

'Ir

(!. _o)

+ cos 0 sen fJ)

T

'Ir

TI

'Ir'

COS TI

el -

= d sen Ih,

en equilibrio, aplicadas 'a su periferia '. Consideremos una de estas fuerzas aplicada en .A según la dirección de la cuerda AB (fig. 74). Suponiendo de nuevo que la distribuci6n de tensiones es radial tendremos en el punto M una compresión simple radial de valor (2P¡ 310) cos etlT1 dirigida según AM. Tomando el punto O como origen de las coordenadas polares y midiendo O en la forma que se indica en la figura, las componentes normal y tangencial de la tensión que actúa sobre el elemento tangencial que comprende el punto M, pueden ser calculadas fácilmente si se observa que el ángulo que forma la normal MO a dicho clemento con ,la dirección T1 de la co~pcesión vale n/2 - O.. Tendremos, pues:

01 sen e cos e)

fT.

--

'1"1

11'

En el triángulo AMN,

= d sen O


Sustituyendo en las ecuaciones (e) tenemos: O'

2P = - 'lI"d sen (O

+ (1),

= _ 2P cos 8'sen; 8.

"'.8 = -

Estas ecuaciones pueden ser simplificadas si observamos que en los triángulos MAN y MBN se verifica:

r

T,

=

O

T'

•

(6)

2P cos 8, sen 8. cos 8, 'l!'

T1

= d sen O,,· luego las ecuaciones (e) pueden escribirse:

P sen (O, + 8,) = - "lrd P

- ;d coa (8,

T

137

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS POLARES

TEORIA DH LA ELASTICIDAD

+ fJJ)

-

.!... sen (O. "Ira p

-

8,)

;;el cos (O, - 8,)

(n

(d)

+

De la figura 73 se deduce que e'[ valor de sen (O 8,) pennanece constante en toda la periferia, por lo ql,le para que las distribuciones radiales de tensiones supuestas se den en el disco, es necesario aplicar sobre el contorno del mismo una fuerza de compresión uniforme de valor 2P/nd' ¡;en (O + O,).

FIG. 74

Esta tensión que actúa sobre el elemento, tangente a la periferia en el punto M, puede obtenerse por superposición de las tres tensiones siguientes: 1) Una tensión normal que se distribuye unifonnemente a 10 largo del contorno p

- ;;¡ sen (8, + 8,)

(g)

2) Una tensión tangencial que se distribuye unifoffilemente sobre el contorno Flc.73

(h.)

En el caso en que tal fuerza de compresión no exista la tensión en el disco, será la que resulta de añadir a las dos distribuciones radiales simples arriba indicadas una tracción unifonne de intensidad 2P/nd· sen (O + O,). Podemos abordar ahora el problema más general, de la distribución de tensiones que se obtiene en un disco sujeto a la acción de un sistema cualquiera de fuerzas

I

Los problemas examinados en este pármfo fueron resueltos por H. Hertz, Z. Math.

Physick, vol. 28, 1883, o Gesamllle/te Werke, vol. 1, pág. 283; Y pqr J. H. Michell, Proc.un/do" Math. Soc., voL 32, pág. 44, 1900 y vol. 34, pág. 134, 1901. El; problema correspondiente a In figura 72 en el que el disco ha sido remplazado por un rectángulo ha sido estudiado por

J. N. Goodier, TTam. A.S.M.E., vol. 54, pág. 173, 1932, incluyéndose el efecto de que la carga sea aplicada

sob~e

pequeños segmentos del contorno.

. -rEORIA DE LA ELASTICIDAD

.138

-3) Una tensión cuyas componentes normal y tangencial son P . y' - - sen (0, - 01) lId

(k)

Observando que el ángulo fonnado por la fuerza P y la tangente en M es O, - O puede deducirse que la tensión (k) vale 'P/",d y actúa en sentido opuesto al de dich~ fuerzaP. Suponiendo ahor~ que son v~ria~ fu~;zas la.s que actúan sobrc el disco y que cada una de ellas produce una dlstrtbuclOn radial simple dc tensiones las fuerzas que deberán ser aplicadas sobre el contorno .del disco para mantener ~al distribución serán: . 1) Una fuerza normal, distribuida uniformemente sobre el contorno, de valor

-l;5 2)

Fuer~as

sen (o.

+ O,)

(l)

+ O,)

Cm)

tangenciales de intensidad

,\,p

- L,¡:;;J COS (01

139

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS POLARES

3) Una fuerza, cuya intensidad y dirección se obtienen sumando vectorialmente los expresiones (k), suma que debe extcnderse a todas las fuerzas que obran sobre

la periferia.

actllc un pur sobre el disco (fig. 75), compensado por otro Pllr aplIcado en el centro. Admitiendo dos distribuciones rndilllcs iguales en los puntos A y E, vemos que en este caso la fue ....!... (l) y la suma de"las teTlsiones (h) es cero, por lo que para' mantener lás distribuciones radiales de tensiones sólo es necesario aplicar las fuerzas tangenciales (m). La intensidad de tajes fuerzas será: 2P - ...d COB (0 1

+ O.)

2M,

= - ".d'

(1')

donde Me es el momento del par de fuerzas aplicado. Para que la periferia del disco quede libre de esfuerzos tangenciales y pueda efectuarse la traslación, al centro del disco, del par de fuerzas equilihrante de las fuerzas P, que constituyen el pal' que actúa sobre la circunferencia de la pieza, es necesario añadir a las distribuciones radiales simples, las tensiones que se indican en la figura 75b, las cuales corresponden al caso de tensiones originadas por unn tensión cortari te círcuferencial, fácilmente calculable; tal resulta de observar que las tensiones tangenciales deben originar un par MI en cada uno de los Círculos 'concéntricos, así que siendo T el radio,. se ttmdrá: . (p)

Estas tensiones podrlan ser deducidas también mediante las ecuaciones (38) partiendo de la función de tensión (g)

de la que se deduce
FIG.75

De la figura 74 resulta que el momento total de todas las fuerzas exteriores con relación al punto 0, es

. y como .este mumento debe ser cero por tratarse de un sistema en equilibrio, se deduce que las fuerzas t;m¡¡encinles (m) deben s~ nulas. La suma de las tensiones (k) es una fuerza proporcIonal JI la suma geométrIca de las fuerzas extcriores y también será nula para un sistema en equilibrio. Se desprende, pues, que para mantener las distribucione.~.?e te~sión radiale~ simples sólo será necesario aplicar periféricsmente la comprcslOn umfonne (1). SI sobre el contorno no existe compresión uniforme se obtendrá la tensión en un punto del disco, superponiendo a las distribuciones radiales simp les la tracción uniforme: '\; P . ~;d sen(8,

+ o.)

Usundo este método general se pueden resolver fácilmente otros casos de distl'Íbución de tensiones en los discos '. Podernos escoger, por ejemplo, el caso en que I

Varios casos de interés han .,do estudiodos por ]. H. Michell, loe. cit.

=

0"9

= 0,

38. Placa indefinida con carga concentrada en un punto. Si una fuerza P actúa en el plano medio de una placa indefinida (fig. 76a), la distribución de tensiones resultante puede obtenerse fácilmente por superposici6n de sistemas que ya hemos estudiado. No puede resolverse el problema, sin embargo, superponiendo simplemente las soluciones que corresponden a las placas semiinfinii:as que se muestran en las figuras 76b y 76c. En efecto, si bien los desplazamientos verticales sQn iguales en ambos casos, los que se producen horizontalmente convergen hacia O en el caso de la figura 76c y divergen en el de la 76b. La magnitud de estos desplazamientos, en ambos casos, deducidos de la ecuación (71), es:

1-

11

4li· P

(a)

La diferencia entre los desplazamientos horizontales puede ser eliminada combinando los casos 76b y 76c con los 76d y 76e en los que nctúru¡ fuerzas tangenciales sobre e'l borde rectilíneo. Los despl~zamientos c~:rrespon­ dientes a estos casos, pueden obtenerse a partir de lok resultados obtenidos en, 'el problema, de. la flexión de una pieza curva, que se muestra en la

TEORIA DE LA ELASTICIDAD

Teniendo en cuenta los distintos ejes polares tomados en las figuras 46 y 76 Y usando las ecuaciones'''(60), las tensiones en la barra curva, midiendo f) como se indica en la figura 76, valdrán íTr ;:::::::

. Q P

~

(óJ

D cos 8 1 - 'V P cos 8 --r-- = -:¡:;---rD cos 8

1-

Daenf]

1- IJPsen 6

--r- =

71 P

cos

(J

rJ"o

=

Tr8

= --r- = ~ --r-

~--T-

Si se. combinan estos valores con los que da la fórmula (66) para las ten-siones que origina la carga P12, se obtiene la siguiente distribución de tensiones para la placa de extensiÓn ilimitada

~,

O

141

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS POLI\RES

. : "fi~~f~:;~~'6¡;':~ad~nd(rtender el radio interior y. el exterior de. esta pieza ' ... ~','~~í$:"(lrtfJnito respectivamente, obt~nemos el caso de una placa semi-

-~)

2

1 -

71

P cos 6

P

(3 -/- v)P cos ()

('OS ()

Cfr

= -:¡;;:---r- - --;.;:-

CTO

=

-~--r-

l-7IPcos6

-:;¡;- --r-

(76)

1-vPsen6 411" r

T'rq=-----

Si suponemos ahora que en el punto O de la placa aislamos un pequeño cilindro de radio r y proyectamos sobre los ejes x e y las fuerzas que actúan sobre el contorno de dicho cilindro, tendremos:

FIO. 76'

x = 2 lo'" (Cf

indefinida. La ecuación (61) nos da el valor del deslizamiento que tiene lugar a lo largo del borde rectilíneo de esta placa, en la dirección de la fuerza cortante que actúa sobre el mismo:

D1I"

E

(b)

siendo D una constante de integración que debe ser ajustada co~ objeto de que el desplazamient~l.-fesultante de (a) y (b) se anule. En consecuencia:

D1I" 1- p E = -lA' P,

(e)

y realizado .este ajuste, se obtiene como resultado de la superposición de los CllSOS 76b, 76c, 76d y 76e, el de una placa indefinida cargada en un

punto (fig. 76a). Las tensiones correspondientes se obtienen ahora, fácilmente, sumando las tensiones que se presentan en una placa semiindefinida sobre. cuyo borde actúa una fuerza normal P/2 y las existentes en una barra curva, en cuyas expresiones figura la constante de integración D.

y = 2 lo""

r

(rJ"r

coa

(J -

sen /1

+

'frO

sen/l)r d/l

'fro COS

=P

8)r dO = O

expresiones éstas, que igualan las fuerzas que actúan sobre el contorno del elemento cilíndrico a la carga P aplicada en O. Usando ahora las ecuaciones (13) podremos deducir de (76) la expresión de las compo-. nentes de la tensión en coordenadas cartesianas rJ"",

P coa

(J

= 4'11"-r- [-(3

11" =

+ IJ) + 2(1 + v)sen

P cos IJ 411"-r- [1 - v -

. P sen O r"" = - 41I:-r- [1 -

Zn + IJ)5en O] v + 2(1 + IJ) cos

2

2

2

(J]

(77)

6]

Las fórmulas (77) resuelven el caso de una fuerza concentrada y permit~n obtener, Por. superposición, las soluciones correspondientes a

143

TllORIA DE LA ELASTICIDAD

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS POI.ARES

otros tipos de carga. Consideremos, por ejemplo; el caso mostrado en la . figura 77, en el que dos fuerzas iguales y opuestas son aplicadas a una placa indefmída en los puntos O y Oh cuya distancia d, es muy pequeña.

Como puede verse las componentes de la tensión disminuyen muy rapldamente cuando r aumenta y para valores de r grandes, frente a d, su valor se hace prácticamente despreciable, resultado este previsible, con ~rreglo al principio de Saint-Venant, por tratarse de dos fuerzas iguales y opuestas actuando en puntos muy próximos. Superponiendo dos distribuciones tensionales de las dadas por las ecuaciones (78), podemos resolver el problema mostrado en la figura 78. En este caso las componentes de la tensión 1 son:

142

dP

(F"

(fu = 2(1 - v)

X

FIG.77

T%lI

La tensión en c~alquier punto M se calcula sumando las producidas por las fuer.zas que actúan en O y 0 1 , Considerando, por ejemplo, en M un elemento plano perpendicular al eje x y designando por 11", la tensión normal producida en el elemento por la fuerza de O, la tensión normal IUtal 11/ producida por las dos fuerzas representadas en la rr

I '"

=

11 z

+ OU"') - d (er"o:r;

= - d -ou",

d (orr: seno) -or cos O - -orr", -o:r; = 00 r

Vemos pues, que para el caso de la figura 77 las componentes de la tensión se obtienen por diferenciación de las ecuaciones (77). Procediendo así tendremos er. = 4dP2 [- (3 '/Tr

+ v) cos

dP-

111

= 4m. 2 [(1 -

11)

2

8

+ (1

cos 2 8 + (1

+ 8(1 + v) sen

- 11) sena O

- 8(i T""

=

¿~2 [ - (O + 2/1)

Ocos 2 8]

+ 8(1 + v) sen .....

(78)

+ /1) sena Ocos

dP

(1 - 2 sen 2 O)

4'/1"1'2

dP

= -2(1 - JI) 41rr 2 sen 20

La misma distribución tensional expresada en coordenadas polares queda así: dP dP TrB = O (79) (fa = 2(1 - v) 4~' (F, = -2(1 v) 4'/1"1'2' 1I'r La solución (46), correspondiente al caso de un cilindro de pared gruesa sometido a la acción de una presión interior, coincide con las expresiones (79) cuando el diámetro exterior del cilindro se hace infinitamente' grande. De igual manera podemos resolver el caso mostrado en la figura 79a. Las componentes de la tensión' son (fr

= (fq = 0,

T,I

= -

M

2;T2

(SU)

Estas tensiones ·son las producidas por un par M aplicado en el Ol:igen 2

.+ 3/1) sen2 O 2

= -2(1 - 11) 4'11"1'2 (1 - 2sen 2 O)

2

O]

(fig.79b). Si en lugar de una placa indefinida se trata de una tira infinitamente larga 80n la acción de una fuerza P longitudinal (fig. 80), podemos comenzar tomando la solución (77) como si la placa fuera indefinida en todas las direcciones. Las ten-

m~tidn

Ol sen O C08 O

p,

O

I :r

[Jx

Fw. 80

siones que entonces aparecen a lo largo de los bordes de la tira, pueden ser .anuladas añadiendo un sistema correctivo igual y contruri(), que produce unas tensiones que pueden ser detenninadas usando el método general descrito en el § 23. Los cálculos realizados por R. C. J. Howland' muestran que las tensioI?es local~s producidas

:x Flc.78

, A. E. H. Luve, 'l'heory oJ Elastidcy. pog. 214. Cambridge. Loe. cit. Véase también el trabajo de E. Melan, Z. arrgr:zu. Math. lvIech., vol. S, pág. 314, .

J

Fw. 79

192~

...... :

.

145

TEOIUA DE LA ELASTICIDAD

PROBLEMAS BllllMENSIONALES EN COORDENADAS POLARES

la·:·fuerza. ..concentrada· P,. disminuyen rápidamente al aumentar la distancia al . de aplicación de la carga, de fonna que a distancias superiores a·1a anchura . la tira la distribución de tensiones en una sección transversal de la misma es prác. ticamente imifOlme. En la tabla siguiente damos algunos valores de U z y Uv calculados suponiendo que la barra es sujetada en el extremo x = +00 y que el coeficiente de Poisson vale 1/4.

Los tres primeros términos del segundo miembro representan la solución correspondiente a una distribución de tensiones, simétrica respecto al origen de coordenadas (véase el § 26). El cuarto término da la distribución correspondiente al caso mostrado en la figura 57. El quinto la correspondiente al caso de la figura 7Sb. El primer término de la segunda línea es la distribución .radial simple para una carga de dirección () = O. Los restantes términos de la segunda línea representan la solución para una porción de un anillo circular fleetado por una fuerza radial (fig. 46). La combinación de todos los términos de la segunda linea da la solución para el caso de una fuerza que actúa sobre una placa indefinida (§ 38). Soluciones análogas se obtienen también a partir de la tercera línea de la expresión (81), sin otra difcren~ia que el ca~bio en 11/2 de la dirección de la fuerza. Los restantes términos de la expresión (81) representan las soluciones para fuerzas normales y tangenciales proporcionales a sen nO y cos nO, que obran en los bordes exterior e interior de un anillo circulor. Un ejemplo de este tipo referente tI la distribución de tensiones alrededor de un pequeño orificio circular ha sido estudiado en el § 32. En el caso de un sector de anillo circular, las constantes de integración de (81) pueden ser calculadas fádlmente a partir de las condiciones de contorno. Si se trata de un anillo completo la determinación de tales constantes exige a veces un estudio adicional de los desplazamientos. Consideraremos el caso general de un anillo completo y supondremos que las fuerzas normales y tangenciales en los contornos T = a y T = b vienen dadas por las siguientes series trigonométricas

=-= e

y=o y=c y=o

<1,,2e

-P-=

<1",2e -p-= uv 2e _

-P--

-x

e

y=o

=

n -3

n -9

18

- 30 -n

-0,118

-0,992

......

. ....

00

+0,159

+0,511

0,532

0,521

0,500

0,110

·0,364

.. - ..

.....

.. ......

11

-9n

-n

-'"2

1,118

1,002

-"

30

<1,,2e

.. ...

-P-=

11

18 ......

°

3

-

1,992

y=e

--¡;- =

<1,2c

0,479

0,468

0,489

0,841

0,973

y=o

-P-=

u1l 2c

.....

......

0,364-

-0,110

-0,049

1 +1 . + 1 o. ..

ear)r... '"' Aa

+

n=l

(Or)r'"

= A.'

39. Solución general del problema bidimensional en coordenadas polares. Una vez estudiados diversos ejemplos del problema bidimensional, estamos preparados para obtener la solución general del mismo. La expresión general de la función de tensión ,p, que satisface la ecuación de compatibilidad (39) es! 4>

= a. log r + bor2 + CoT' log r + doT'!) + a.'O . + 1fT8 sen e + (b,T' + a,'r-' + b¡'T log r) coa 8 - ~ re C06 ~. + (d,T' + c¡'r-¡ + d,'T log r) sen e

+

l,,-2'"

(anT"

+ b"T·+' + an'r-" + bn'r~+2) cos nO

..

+l

(cnr·:t d"r n+,

+ c.'r.... + d..'r""'¡") sen nO·

(81)

n=2

Z. Q/lgew. Malh. Mech., vol. 12, pág. 343, 1932. Esta solución fue dada por]. H. Michell, Proc. Lonáon Mat/¡. Soc., yol. 31, póg. 100 1899. \léase también A. Timpe, Z. Moth. P/¡ysik., yol. 52, pág. 384, 1905, quien dio una .olu~ ción análoga aplicable al caso de un anillo eHptico, Math. Z., vol. 17, plÍg. 189,1923. I

J

(1"<6)r __ =

O.

A,,' cos

..

11.=

(Tri/)r'" = (Jo'

+

Bn sen n8 Bn' sen nO

n8

11.=1

cos nO

(a)

D.senn8

.

n=l

1

2:

+

n=1

,,-1

Las tensiones que en una placa semiindefinida orlgma una fuerza aplicada a una cierta distancia del borde han sido estudiadas por E. Melan '.

I .. +I .. +I al

A. cos nO

(Jo'

COS 118

n=1

+

ID,.'

sen na

n-1

en las cuales, las constantes A., A., B n , ••• se calculan de la manera usual a partir de la distribución de carga en los bordes (§ 23). Calculando las componentes de la tensión a partir de la expresión (81), mediante las ecuaciones (38), y comparando los valores de estas componentes para T = a y T = b con los valores dados por las ecuaciones (a), obtenemos un número de ecuaciones suficiente para determinar las constantes de integración C!I1 todos los casos en que n ;;" 2. Para n = O, es decir, para todos los términos- de la primera línea de la expresión (81) y para n = 1, es decir, para los términos de la segunda y tercera línea es llec~s3rio un examl'n más detenido. Si se toma como función de tensión la que constituyen los ténninos de la primera línea de la expresión (81), la constante 00' quedará detelminada por la magnitud de las fuerzas tangenciales uniformemente distribuidas en la periferia e§ 37). La repartición de tensiones que nos da el término que contiene el coeficiente ~ es multiforme (§ 34) y, en el caso. de un anillo completo, deberm¡s suponer ~ = O. Para la determinación de las restantes constantes 00, bo y Ca disp¡onemos tan ·sólo de ·dos ecuuciones: -... (cr')F~ = Ao IO-TEORI.\

os

L,\ EL.-\IJ,.¡CJUALI

y

(IT,),.." =

Aa'

TEORIA DE LA EI.AS'f1ClDAD

147

PROBLEMAS BIP1MI1NSIONALES EN COORDENADAS POLARES

,,:' ¡;~ro pod;emos obtener la tercera co 'd" . ser una función unifonne d, O N' nSl el and,o los desplazamientos, 1,,1\ clIoles deben ' " e . uestro antenor estudIO n h d con d IClon queda cumplida SI' pon O( os a emostrado que estu las otras dos, constantes 00 y huemas d LO = d véase el § 26) Y entonces se detemlinun arriba consignadas,' , e aeuer o con las dos condiciones de contorno , Consideremos ahora más detaIladam 1 - . Para la determinación de las ()ch ente os terminas para los cuales n = 1 o constantes a b d 'f' . segunda y tercera de la expresio'n (81) 1 1 I 1, ... , I que Jguran en las líneas t " utJ'1'Izando esta parte de la fu , "ca cu ensJOn, rfi aremos E h 'las com ponentes fI', y T,IJ de la ~ ig~alando los coeficientes correspo:~~:nt~ C ando mano de los condiciones (a) interior y exterior, llegamos a las ocho e , e se? n~ y cos nO para los bordes cuaCJones SiguIentes:

d

(e, (e,

2a,'a- 3 '" Al 2a,'b-' = Al 2d,a - 2e¡'a-' '" E, 2d,b - 2c,'b-' = BI'

+ d,')a-' + + d,')b-1 +

2d,a 2d lb '. ,_2b,a 2b,b -

Comparando las ecuaciones (h)

11

en las ecuaciones (g) y b¡' por D en las (q), hallarnos para los desplay 'V, respectivamente, los siguientes términos multiformes: a, l - " 2b , ' 2'-r 8senO +T 8'senO

!:! 1 2

~1 - v 2 E

+ b¡'b- I =

le)

D,'

(el)

e,'

(B

,+ e, )

== b(B,'

+ (JI')

(e)

~as ecuaCiones (e) quedlln siem re " . el anillo están cn equilibrio P dsatlsfechas s, las fuerzns que actúan sobw ' como se emuestra 'b' d ' d 1 ' escn ¡en o por ejemplo que la suma e as proyecciones de tod l ' as as ,uerzas sobre 1a d' '- d Ix'es nula; P r Oce d'¡end o así cncan tramos: 'IreCClon e eje (2" [ [b(..,),•• - a(..,),•• ] cos e -

[b(T,O)'_~

- a(r,o)t•• ] sen O) de =

o

y si sustituimos los valores de (J d ', de las ecuaciones (e), AriáJoga~~n:~9 ~~~ a la expr~s\On (a), llegaremos a la primefu d si proyectarnos las fuerzas sobre el', en remos a segunda de las ecuaciones (e) C' d eje y. uan o a, Y e, son determinados a partir de l ' a~ ecuacIOnes los dos sistemas de ecuaciones (b) y (e) se hacen idénticos e nes para ?etenninar las seis constantes ~ s~co~t~andonos con sol~ cuatro ecuacios que necesItamos se obtienen consl'de de lan e>d , Las dos ecuacIOnes adicionales , ' ran o os esplazarnl'ent'" L ,. la segun d a 1mea de la expresión (81) , os, os termmos de combinación de distribución radial simr~pres~rtan l~ funCIón de tensión para una tada (fig. 46). Sumando I entonces 1 p e y , e tensIOnes en una pieza curva f1ecde estos dos casos, a sabe;, las ecuadio~::c;r~~ln§~3gelera(le)sddel los desplaz~mientos l ' Y as q e § 31, Y sustituyendo Debe advertltse que debe ~u~tituirse O por 8 + (12) , 1 ' de un !!jo vertical (fig, 52) en Jugor de a partir de u ," h ~,e anguJo es medido a partir

(g)

Las ecuaciones (j) y (g) junto con la.<; (b) y (e) nos bastarán, entonces, para determinar todas las constantes de la función de tensión, representada por la seguñda y tercera líneas de la expresión (81). Llegarnos a la conclusión de que en el caso de un anilJo completo las condiciones de contorno (a) son insuficientes para determinar la repartición de tensiones y resulta entonces necesario cunsiderar los desplazamientos, 'Estos deberán responder en el caso de una corona circular completa a la condición de ser de valor único y para satisfacerla se deberá tener: 00

a

O

c,(l - .) el,' = - '--4--

de las que se desprende ,

E

Procediendo en fonna análoga con la tercera línea de la expresión (81) obtencmos

() y e, se ve que san compatibles solamente si se verifica:

atA, - D,) == b(A,' - DI')'

+ 2b,' =

(f)

+ d,'a-' = -(JI 2c,'b- 3 + dl'b-' '" -(JI' 2al'a- 3 + /J,'a-I' =]),

+

+ 2bt' ecos 9 E

En el caso de un anillo completo estos ténninos deben anularse y entonces:

2CI'a-3

2a,'b- 3

- " Ocos 8

E

(h)

a,a-' = A, - ]), a,b-' = A>' - D,' c,a- I '" BI al clb-1 = B,' +

Jr)

PI"

o bien

+ h,')a-' + 2b,a (a, + b,')b-' + 2ó,b -

(al

a"2 por zamientos

= O,

b,'

= - ~1!...=..!:2, .¡

dI' = - C¡(J - v) -4-

(82)

Se desprende de tales resultados, que las constantes bl ' Y dI' son funciones del coeficiente 'de Poisson, lo qUI: quiere decir quc en un anillo completo la distribución de las tensiones depende de los propiedades elásticas del material. Unicamente en el caso en que a, Y e, desaparezcan, e~ decir, conforme a las ecuaciones (82), que b,' = d, ' = 0, dicha distribución resultará independiente de las características elás-' ticas, Según resulta de las ecuaciones (ti) este caso particular ocurrirá si: y

B, =

-e,

Tal condición se cumplirá !:uando se anule la reHultllnte de las fuerzas aplicadas a cada uno de los contornos del anillo, Tomemos, por ejemplo, la componente :le de la resultante de las fuerzas aplicados ai borde r = a, De (a) se deduce que esta componente es:


n eje

orlzontal (fig, 46),

y si desaparece se desprende que A, = DI, De igual forma, proyectando las fuerzas en la dirección y, obtenemos B, = -G" cuando la componente de dirección y es

nulll, Se concluye, pues, que si la resultante de las fuerzas aplicados u coda contorno es nulu, la distribución de tensiones en un anillo completo 'no dl.'P"ndc- de 1,,8 propiedades elásticas del material y ello sin necesidad de que"cl moml'''I'' ell' dichns fuerzas sea nulo. ' , Las conclusiones obtenidas par!! un anillo circular siguen sienuo v i a, p,¡ra el caso más general del'prublema bidimensional de un cuerpo múltiplen e1\ (, ceolle,o,

149

PROBLEMAS BIDIMENSIONAI.P.s EN COORDENADAS POLARES

.. '
. generales' realizadas por J. H. Michell ' , se sigue que paru . conexos (fig. 81), se obtienen ecuaciones análogas a las (82), unicidad de los valores de los desplazamientos para cada uno de independientes, tales como las marcadas en la figura por A y B. La dis. tensiona! en tales cuerpos depende generalmente de las constantes elásticas del inaterial, salvo que la resultante de las fuerzas que actúan sobre cada uno de los contornos se anule'. Cuantitativamente, sin embargo, el efecto del valor del módulo sobre la tensión máxima es generalmente muy pequeño, pudiendo ser despreciado en la práctica l. Esta conclusi6n es de interés práctico, pues, como veremos más adelante, existen ciertos materiales transparentes, tilles como el vidrio o la baquelita, en los que pueden determinarse las tensiones mediante métodos ópticos que utilizan luz pnlarizada (§ 42). En consecuencia, debido a la conclusión anteriormente obtenida, los resultados que se obtienen al experimentar con esos materiales transparentes, pueden ser aplicadas de manera inmediata a cualquier otro material, tal como el acero, a igualdad de condiciones geométricas y estáticas.

40. Aplicaciones de la solución general en coordenadas polares. Como primera aplicación de 111 solución del problema bidimensional en coordenadas polares consideremos-·tI11 anillo circular comprimido por dos fuerzas iguales y opuestas diri~idas según un diámetro J (fig. 83a). Comencemos considerando la solüción .correspondiente a un disco macizo. La realización t:tl él de un orificio circular de radIO a crea fuerzas normales y tangenciales distribuidas en la circunferencia del orificio, que pueden ser anuladas superponiendo un sistema de fuerz~ iguales'y opuesto. Este sistema de fuerzas puede ser expresado mediante lo~ pnmeros termu;t0s de una serie de Fourier y las tensiones en el anillo se determman entonces aplicando la solución general que estudiamos en el § 39. Estas tensiones, junto con los cal.culadas para un disco macizo, constituyen las tensiones totales existente.s en elamllo. La relación u" : 2pl:n:b correspondiente a diversos puntos de las secciones transversales mn y mln" calculada de esta manera para el caso en que b = 2a es tabulada a continuación ' . r=

O,9b

b

0,8h

0_,7_b_LO,6b

.-1..._

0,5b

TeorÍa exacta

-8,942

10,147 Distribución hiperbólica de tensiones (h)

(a) FIG. 81

Corno se ha dicho anteriormente (§ 29), el significado físico de las soluciones múltiples queda explicado por la consideración de las tensiones inicia1es en un cuerpo múltiplemente conexo. Supongamos, por ejemplo, que la ecuación (f) no se satisfaga: el correspondiente desplazamiento, indicado en la figura 82a puede producirse mediante un 'corte en el anillo y la apIlcación de las fuerzas P. Si las extremidades del anillo se reúnen luego por soldadura u otro medio, se habrá obtenido un anillo c()n tensiones iniciales, CUY'd magnitud depende del desplazamiento inicial di. Análogo efecto se obtiene cortando el anillo a lo largo de un radio vertical y provocando una traslación inicial de uno de los extremos con respecto al otro, en dirección vertical (fig. 82b). Las tensiones iniciales que se producen en los casos ilustrados por las figura~ 820 y 82b corresponden ¡¡ los términos multif(lnnes de la solución general cuando las ecuacione~ (j) y (o) no quedan satisfechas. La solución completa de estos problemas puede ser obtenida aplicando los resul. tados del § 31. Los despla'zamicntos dados por las ecuaciones (q) del § 31 puede verse que presentan el tipo de discontinuidad requerido cuando se aplican a un anillo (véase el problema 4).

Loe. cit• • nebe recordarse que se ha considerado nu las a las fuerzas másicas. • Un estudio de este tema ha sido realizada por L. N. G. Filon, BrÚ. ·Assoc. Ad~a"cemell/ Scj. Rept., 1921. Véase E. G. Coker y L. N. O. Filon, Photoelas/idty, 6.07 y 6.16. , Un estudio de tales tensiones ha sido r~ulizado por A. Timpe, Z. Math. Phys"k, vol. 52, pág. 348, J905. V. Vult~rra desarrolla una teoría general, A,m. ér.ole "orm., París, serie 3, vol. 24. págs. 401-517,1907. Véase tambIén A. E. H. Lave, Malh.mat"cal Theary of Elasticily, 4." edic¡ón, pág. 221, 1927; J. N. Oaadier. Proc. FiJth [mem. emlgr. Applied Mech(","cs, 1938, páJ

gina

129.

--8,653 11,18

FIG. 82

Distribuci6n lineal de tensiones

-7,04

tnn __ nZlnl

~~~~~

____- L____L -__

~

___

8,67

~

_ _ _ __

En la misma tabla se dan los valores de la tensión, calculada con arreglo a las dos . teonas elementales, basadas en las siguientes hipéltesis: .1) las secciones. rect~s. se mantienen planas, en cuyo caso las tensiones normales .slguen una ley hlpcrbohcfl¡ 2) las tensiones se distribuyen de acuerdo con una ley.bne.a.l. La tabla muestra q~e pllra lu sección recta 11In, distante de los puntos de a~J¡caclon de la carga P, la dIStribución hiperbólica de tensiones da resultad()s casI ex~c;tos; el error correspondiente a la tensión máxima es sólo del 3 %. Para la secclon recta 11I¡ 1I1 los errores de la solución aproximada son mucho mayores. Es intere~~nte advertir que la resultante de las tensione.~ normales que actúan sobre la secclon 11l¡n¡ es Pln, resultado éste que era de esperar si recordamos la acción de cuña de la carg~ c?nce.~trada . ilustrada en la figura 65d. En las figums 83b y 83c .se muestra. la dlstnbuclOn de las tensione.q normales en las secciones 111'1 Y 11/,1JJ calculadas por los tres métodos antedichos. El método que se ha aplicado en lo que antecede al caso de dos fuerzas

, I Véase S. T¡moshenko, B,;U. Po/y/echo Inst. Ki.... • 1910, Y PhiFMag., vol. 44, pág. W14, 1922. Véase tambIén K. W¡eghardt, Sit:::bcr. Akad. Wiss., Vienu, vol. 124, Dpto. 11, póg. 1119, 1915 • • Se consIdera una pl~c~ de espesor UnIdad.

151

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS POLARES

'l'EORIA DE LA ELASTICIDAD

150

iguales y opuestas, puede emplearse paro el caso general de un anillo circular sobre sobre el que actúan fuerzas concentradas '. .

Dé

ciones I1l11 Y 1/I,nl para "la = 4 Y bJa = 2 ' . Debe advertírseque como en este coso las fuerll3s que actúan sobre cada un9 de los contornos tiene resultan te nula, la distribución de tensiones depende de las constantes elásticas del material, En los cálculos anteriores se ha tomado el coeficiente de Poisson igual a 0,3.

\ 1-_ _+-l-----_,..----,'I-a04s2

'\ ,~

1\, p

.

r-----~r_--~~r_--r-~~----~n

i», \ 10~ .\ ~FZ 10~f0 ~ 10 ,\

'"

"'

~,

~~ ~f0 ~ Ó O,9ó

"'"

~(\ !P:DJó.

¡:;]i6ó O b b

0.9b 0,86 10 .h I%Q ¡;~~P; ~~F.% f%::

~0 ~ ~

~I' l:'l. f%::

\~¡e;;

K-; ~ ~

p

~~

~~ I'''l~ ~

(a)

~~

~ ~ .'í~

-f/,44

+o.tJó8

+.J,8S

~,~

8=0'

~ I~

(}=90'

1\\

0.

~

1]

,

II, ..0,/69

(e)

(ó).

FIG. 83

Como segundo ejemplo consideremos el extremo de una cbiela de ojO.2 (fig. 84). La distribución de presiones en el borde del orificio depende de la holgura existente entre el pasador y el agujero. Se supoue que sobre los contornos interior Y exterior sólo actúan presiones nonnales cuyo valor es'

(0',),.,

= -'-·2Pcos8 -;- a para - ,..2 ~

(O")'.b = FIG. 84

z:; eo:

8 para

~

:,; IJ

8 ~

~

41. Cuña cargada sobre sus caras. La solución general (81) puede aplicarse también en el caso en que una distribución polinómica de carga actúa sobre las caras de una cuña'. Calculando a partir de (81) las componente.~ de la tensión en la forma usual y tomando solamente los términos r" con n ~ O obtenemos las siguientes expresiones para las componentes de la· tensión:

+ 2d.8 + 211. cos 28 + 2(', sen 28 +6r(b, cos O + el, sen 9 + o. ros 30 + e, scn 30) .+12r'(b, cos 28 + el, scn 20

0'9 = 2b.

+ a, cos 48 + e. sen 40) · ............. . (n + 2) (n + l)r"[b" coa nU + el .. sen nO + a.+! t'OS (1' + :::)0 + c,,+, sen(n + 2)8] · .................. - ... .

11'

2

:;r

.....

es decir, las presioncs están repartidas en la mitad inferior del borde interno y la \ mitad superior del borde externo. Una vez desarrollada esta distribución en series trigonométricas pueden calcularse las tensiones hacieodo uso de la solución general (81). La figura 85 representa los valores de Cfn : PJ2a, correspondientcs· a las secI L. N. G. Filon, The Stresses In a circular ring, Salected Engincerillg Papers, nlun. 12, Londres, 1924, publicado por l. Cllnstitution of Civil Engmeers». , H. R~issner, Jahrb. wiss. GrselIsch. [.ufrjahrt, pág. 126, 1928: H. Reissner y F. Strauch, 11lgemeur-Archiv., vol. 4, pág. 481, 1933. I P es la fuerza por unidad de espesor de la placa.

7,0

(83)

= -do -t 2(1, sen 20 - 2c. cos 2/1 T(2ú, sen O - 2,1, cos /1 + (ia3 sen38 - oc, cos 30) r>(6b! sen 28 - Od, coa 20 -1- 12a,sen40 -.l2c. cos 49)

+

+

+ Tuln(n + l)b .. sen /18 (1

11(11

+' ~en(/1

-1- l)d" ~os

+ Z)O

-

+ (n + l)(n + 2) + l)(n + 2)c,,+, ('os tI< + :::)61

nO

tI.

, En lo que se refIere ,,1 chlUUIO experimental de las tensIones en bielas de ojó medIante el nlétodo fotoelástico, véase E. G. Coker y L. N. G. Filon, Photoelasticity, 6.18 y K. Takemu.ra e Y. Hosoknwa, Rept., .12,1926, Aeronnut. Resenrch (nst. Tol,yo fmp. Umv. L., dIstribución de tensIOnes en biela. de ojo ele acero fue estudiada por l.' Mathar, ForschUl'!fsarbetlerl, núm. 306, 1928. • Véase S. Timoshcnko, Te.TIa de /t¡ Elasticidad, edICIón rusa, póg. 119, San Petershurgo, 1914. ....

Cada llnR de las potencias de r está ligada, como se ve, con cuatro parámetros arbitrarios de manera que si las tensiones aplicadas en las superficies límites (} = a, (J = l/vienen dadas en forma de polinomios de "t, quedan determinadas las tensiones de la cuña comprendida entre dichos límite.~. Si las condiciones de contorno son, por ejemplo ':

(rto)o-« = No + N,r + N,T' + .. (rto)e-P = No' + N,'T + Nb· 2 + .. (T,8)0-a = So + S,T + S,f' + .. . (r,o)o..fl = So' + S,'T + S/r' + .. . la igualación de los coeficientes de las distintas potencias de

.Llevando estos valores a las ecuaciones (83) obtenemos I

g(

1

-~

-r,B

=

H~

lT,

=

~ (-k + ~

1

tg f3 ~en 26 tg f3 - 8 -

1)

t~ ~cos20+2sen28

~ cos 26)

(e)

~ sen20 + ~

tg f3

t·,," 28)

T

+ do", + a. cos 2", + e, sen 2,,) + d,scn" + a, cos 3", + es sen 3",)

nos da

= No = N,

(b)

De manera análoga se pueden obtener las componentes de la tensión para cualquier otro ténnino de la distribución polinómica de carga (a). El método que acabamos de desarrollar para el cálculo de las tensiones· en una curva e.~ aplicable n una placa semiindefinida sin más que igualar el ángulo ¡J a n. Las tensiones, por ejemplo, para el ca90 de la figura 87 ge obtienen poniendo f3 = 7T en las ecuaciones (e). Obtenemos entonces: .

rrB = - ..!l ( ... - 8 + !.sen28) 2·

y, en general: (71

..

rro=¡; -k+2" tg f3-0-·2

(a)

2(bo

6(b, cos '"

153

PUOBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS POLArulS

TEORIA DE LA ELASTICIDAD

152

+ 2) (n + l)[b" ros n", + d~ senn", + an;.O cos (n + 2)",

1',.6

+ C"+' sen(n + 2),,] =

= -.:}; (1 _·cos 20)

(d)

N"

=

con otros tres grupos de ecuaciones para efa en O fJ y T, o en O = a y O = /3. Estas ecuaciones son suficientes para determinar las constantes que entran en la solución (83).

.

Problemas

q

l

1. Probar la validez de la ecuación (d) del § 2S haciendo uso de la función

.p

Fw.87

Consideremos, por ejemplo, el caso present~do en la figura 86. Un~ presión normal uniforme q actúa sobre la cara O = 0, mIentras la cara O = fI esta libre de fuerzas. Usando solamente las primeras líneas de las expresiones (83) de 110 y T,q las ecuaciones que pem:.iten determinar las constantes bo, do, a, y c, son:

2b.

2b o

+ 2do~ + 2a. cos 2~ -1-do - 2<:, = O -do + 2a,sen 2{3 - 2c, cos 2f3 == O

.1

a. == -

ti - P)

UU 4k'

se deduce

d

o

q

= - 2,ié'

2bu

- '(

+ !L!LP. 21.:

Los ténnlnos Nn', NOf Su Y Su' no son lndt:ptmdientes. Sólo tres de ellos lo son, pues

representnn la tensión en la punta de la cuña r = O.

2. Estudiar el significado de la función de tensión en la que e es una constante. Apüquese a un anillo a < r < b y a una placa indefinida. Un anillo, fijado en r = a, es sometido a fuerzas tangenciales en T = b cuya resultante es un par M. Obtener la expresión del desplazamiento circunferencial v en r = b, a partir de las ecuaciones (49), (50) Y (51). J. Demostrar que si en el problema de la figura 45 el radio interior a es pequeño comparado con el exterior b, el valor de efa viene dado por a.E

4,..

(1 _2log 2.) a

siendo, por tanto, negativo y grande en valor absoluto, cuando a es positivo (el corte ha sido cerrado). ¿Cuál es el valor máximo del corte (definido por a), que se puede volver a cerrar sin sobrepasar el límite elástico, siendo bla = 10, E = 20,7 X 10" newton/cm' y el límite elástico 27,5 x 10' newton/cm2 ? . 4. Utilizando los resultados del § 31, escribir las fórmulas que dan las tcnsio-

+ 2a,

= -q 2c, sen 2{3 == O

de las cuales (escribiendo k ~ tg

== .!1.. 41c'

y' = (z' +y')(z' - yO) = r' ~os 28

co

FIO. 86

G.

=:1)1 -

I A esta solUCión llegó por otro método M. Levy, Compl. Te"d., vol. 126, pág. 1235, 1898. Véase también P. Fillunger,· Z. MatÍl. P/¡ysik, vol. 60, 1912. Vé~se tamb,én.1a aplicaCión de funciones de tensión de este t,po a ciertas Vigas por E. Relssnilr, J. A.Tona/l!. Sd., vol. 7, pág. 353, 1940. Los casos correspondientes a cuños sometIdas a otros tipos de carga SOn e~tu­ diados por C. J. Trancer, Quart.]. Meeh •. cmd Appl. Math., vol. 1, pág. 125, 1948, .

154

PROBLEMAS BIDlMENSIONAI.JlS EN coormENADAS POLAllllS

TEORIA DE LA ELASTICIDAD

nes, resultantes del cierre del corte paruldo h de:: la figuru 88a y Jel deslizun1icntu J de la figura 88b en [unción de (j. ' 5. Determinar por suptrposición de los resultados obtenidos con las ecuaciones (62), las tensiones existentes en una placa indefinida en la que existe un orificio, cuando los puntos del infinito de la misma se encuentran en un estado equitensional de valor S. Los resultados obtenidos deberán coincidir con los que dan las ecuaciones (45) cuando bJa -->- 00, p, = O Y Po = _·S.

(a)"

= C[r'{a

Zcr]

- 9)

+ ,.' sen 8 ~os O-r' coso 8

tg "']

I~ FLG. 91

6. Obtener las expresiones de los despluzamientos correspondientes a las tensiones (62) y comprobar que son uniformes. 7. Expresar en coordenadas cartesianas la función de tensión (a) del § 33 Y deducir los valores de u., ay, 'rv, que equivalen a la distribución definida por las ecuaciones (66'). Demostrar que esos valores tienden a cero cunndo la distancia al punto de aplicación de la fuerza aumenta en una dirección cualquiera.

FIC. &9



155

la función de tensión.

que satisface las condiciones de contorno existentes en los bordes superior e mfedor .de la placa triangular de la figura 91. Evaluar las componentes a.,·, r~v de la tensión en la sección vertical 71ln. Trazar las curvas para el caso de a = 20° Y también, n fin de comparar, In correspondiente a )(1 teoría elemental de la flexión de vigas.

88

.

e en

Determinar cuál es el valor de

(h)

FIG.

.B

12.

S

~

1~~:

p~a._.

13.

Encontrar qué valor ha de tomar la constante

8. Demostrnr que para el caso particular en que a = 1
en la función de tensión

.para que se satisfagan las condiciones 110""

O,

= O,

rTS

en 8 = -s en O

'(rO = S

a

'rr8 =

=

-o:

correspondientes a la aplicación de fuerzas tangenciales uniformes (de dirección la . que se aleja del vértice) sobre cada uno de los bordes de una cuña. Comprobar que sobre el vértice de la cuña no actúa ninguna fuerza concentral ni ningún par. 14. Obtener una función de tensión del tipo a,f" cos 3 O + bi l,3 cos que satisfaga las condiciones ao = O, = 0,

-x-FIC. 90

e

= Cr'{cos 20 - cos 2",)



110

en 9 =: « -sr en 8 =

1'r8 ~ sr 'Tr8

=

-(1'

en las que s es una constante. Representar la distribución de tensiones para valores positivos de s. 15. Obtener una función de tensión del tipo a,r' cos 49

+ b,r4 cos 28

que satisfaga las condiciones 110 =' 110

16.

0,

1'r8 =

= 0,

1'rO

=

ST~

en

e=

a

-sr 2 en 9 =

-a.

que s es una constante. Representar la distribución de tensiones. Demostrar que la distribución de tensiones 'P (

er. = -;;:

y

arctg;; I1v

Xli) + XO+tÍ"

r_v

XII)

= -;;:l' ( arctg;;'1 - ",-2-+-'-y-2

P 1/' - ;;: I'-'+-¡ji

157

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS POLARES

20.

,[véase la ecuación (a) del § 34] :.:..: :71" ( (Z2

.

..

.. ~os ejes

+ y')

arctg

~-

Demostrar que la función de tensión . '" = _ ..L

Zy)

271"a

. del problema de la placa scmiindefinida representada La carga: se extiende indefinidamente hacia

indicados~

[(13 z' -1- x y .)· nrctg !l + ~ y' log (z' + y") Z .

~ Z'11J•.

resuelve el problema de la placa semiindefinida de la figura 94, en el·que la compresión (que crece linealmente) se extiende indefjnidamente hacia la izquierda. 21" Demostrar que si en el problema anterior remplazamos la compresión p por una fuerza tangencial $ la función de tensión· se convierte en

x

4> = ..!..-

2~a

[XY' log (z' + y') + (z'1/ -

y') arctg 1!. z

3.rv'J

22. Dcmostrllr que las reparticiones de carga repl'esentadas en la figura 95. pueden obtenerse por superposición de reparticiones del tipo indicado en la figura 94. FIG.

92

FIG. 93

Estudiar el valor.de 1".y: a) cuando nos aproximamos a Ó a 10 largo del eje Ox; . b) cuando nos aproxImamos a O a lo largo del eje Oy (la discordancia es causada por In discontinuidad de la carga en O). 17. Demostrar que la función de tensión

'" = ;. [~ y2 log

(z.

+ y') + xy

FIG.95

arctg

~-

v.]

resuelve el problema de la placa semiindefiniúa representada en la figura 93 en la que la fuerza tangencial u~if~,,?e se extiende indefinidamente hacia la izq~ierda. Demos.trar que ". Se hace mfmlto cuando nos aproximamos a O en una dirección cu~lqulera. (Esto es debido a la discontinuidad de la carga en O. Se obtiene un valor fimto ~ua.~do la carga decrece de forma continua, valor que depende de la curva de vanaclon de la carga en la proximidad de O.) . . 18. Por s.uperposición, utilizando los resultados del problema número 16, escribIr las expresIones de "., "VI -ro. para el caso en que actúa una presión constante p sobre el segmento -a.-:;:' x < a, del borde rectilíneo de una placa semi indefinida. Demostrar que la tenslOn tangencial es . ro. = _ ~ 71" [(x - a)'

23. Demostrar que la repartición parabólica representada en la figura 96 viene dudu por la función de tensión:

r.' - [a'"4 + 1 , 2 (x

XY' -;;:p { - 3a; log ;.~;

,(

+!I)

.r' 1 - 6a'

y' ) ] + 2(1' a 2 1 + 3a.r:¡3 + zay ( 1

z'

- 3a'

+ Y')} (i2

4axy'

+ y'J[(x + a)' + y']

y examinar cómo varía esta tensión al acercarnos al punto x a) del borde; b) de la recta x = a.

= O, Y = O a lo

largo:·

PICI. 96

para el caso dI:: una compresión y por 8 { y' ;; 6a' (3(1' - 3x'

7,' z" (r' + y') log T;1 + 32 ay{3 + 3~'

- 3y' - 3a!)"

4Z Y'} + 3a

para el de fuerzas tangenciales siendo

:Y FIG. 94

19.

Representar, usando los resultados del problema número 17, la variación de U z ~ lo largo del borde y = O, en el caso en que una fuerza tangencial uniforme ~ es aphcada sobre el segmento -a < x < a de ese borde.

" = 01

-

rl' = (x - a)' -1- y', 2aq O, = arctg z' y' _ a"

r,'

= (.r

+ al' + y'

+

24. Demostrar que en el problema de la figura 72 ·~xiste una tensión de tración '" = 2P/:.d a lo largo del diámetro vertical, salvo en 'los puntos A y B. Explicar el equilibrio de la porción semicircular ADB, considerando pequeños semicírct.!los alrededor de los puntos A Y B, de igual manera que en las figuras 65c y 65d.

158 25.

TEOIUA DIl LA IlLASTICIDAD

Comprobar que la función de tensión

P .¡, = - ;

{cos1 O - 4' (1 if¡r

v)r lag

T ~os

IJ _.

12

rO sellO

+~Iogr -~ 4 32

(3 - ..)~~sol T

(

El método jo

satisface las condiciones de contorno, para el caso en que una fuerza P es aplicada en el interior de un orificio existente en una placa indefinida, en la que las tensiones son nulas en el infmito. Demostrar que la tensión normal de dirección tangencial en todos los puntos del orificio, salvo en el A (fig. 97), viene dada por

p

~d12

+ (3

- J,) COS OJ

.Demostrar quc los desplazamientos son uniformes.

Fro.97 . 26. Deducir del problema precedente, integrando, la tensión existente en la periferia del orificio, cuando en su interior actúa una presión p. Contrastar los resultados con las ecuaciones (46). 27. E?colltrar la forma general de f(r) en la función de tensión Oj(r) y escribir la. expresIOnes de las componentes a" (J"., T. o. ¿Puede aplicarse una función tal a un llnillo cerrado?

42. Medida fotoelástica de tensiones. En las placas estUdiadas en los capítulos anteriores el contorno- tenía siempre una forma 'geomé'trica sencilla, 10 que permitió obtener la solución analítica del problema. 'Si el contorno tiene una forma más compleja llegar a tal solución resulta, sin embargo, muy difícil por lo que es necesario recurrir a métodos numéricos (que se estudian en el apéndice) o a métodos experimentales, tales 'como la medida de las deformaciones superficiales mediante extensómetros O el método !otoelástt·co. El fundamento de esta técnica experimental se ,encuentra en el descubrimiento de David Brewster, de que cuando una pieza de vidrio cargada es observada mediante luz polart"zada transmitida a su través, aparece un dibujo brillantemente coloreado causado por las tensiones que hay en la pieza. Brewster sugirió que este fenómeno podría ser utilizado para medir las tensiones que se presentan en estructuras tales como puentes de albañilería, estudiando mediante luz pola,rizada el comportamiento de modelos de vidrio, sometidos a diversas ~,~Jndiciones de carga. MaxwelP. comparó los esquemas fotoelásticos con las soluciones analíticas y mucho m¡'Ís tarde la sugerencia de Brewster, 'largo tiempo olvidada, fue adoptada por Wilson 3 quien aplicó dicho ,método al estudio de las tensiones originadas en una viga por una carga ~oncentrada y por Mesnager 4 en su estudio de los puentes de arco. Mlís , tarde E. G. Coker" desarrolló e hizo gran uso del método, utilizando nitroI

D. Brewster, Trans. Roy. Soco (LondO/,), 1816, pág. 156.

• J. Clerk Maxwell, Sej. Papers, vol. 1, pág. 30. 3 C. Wilson, Phi/o Mag., vol. 32, pág. 481, 1891• A. Mesnager, AmI. ponts el cha.mées, 4.° trimestro, pág. 129, 1901; Y 9." serie, vol. 16, " pág. 135, 1 9 1 3 . . , Las numerosas publicaciones del profesor Coker se encuentran reunidas en sus trab>\Íos: Gm. Elec. Rev., vol. 23, pág. 870, 1920 Y J. [i'rU1lkli71 blS/., vol. 199, pág. 289, 1925. Véase iambién el libro de E. G. Coker y L. N. Filon, PIzoto·elastjcily, Cambridge UnJversity Press, 1931. .', '

160

161

TEORIA DE LA ELASTICIl>AD

EL METODO FOTOELASTICO

celulosa como material' para los modelos. Posteriormente se ha hecho uso también de la baquclita y más recientemente de la fosterita 1 • En 10 que sigue (donde vam'os a hablar solamente del equipo totoelástico más sencillo"), consideraremos la luz ordinarja como un conjunto de oscilaciones que se producen en todas las direcciones normales a la

Sea abcd (fig. 99a)·un pequeño elemento de la cara izquierda qel IDQdelo M, en el cual las direcciones de las tensiones principales a", y ay se toman vertical y horizontal por con veriiencia. Un rayo, normal al plano de papel, y polarizado en el plano DA (fig. 99) llega desde P: La vibración es armónica y puede representarse por la elongación s de dirección DA

L

P

•

.M (a)

:

A

I: ~~ : ~ : ~~ : I

8

L

PQp

M

~A

S

(b)

fo'lO. 98

recta que define geométricamente el rayo luminoso. Por reflexión del mismo sobre una placa de vidrio, una de cuyas caras está pintada de negro, o por transmisión a través de un polarizador (un prisma de Nicol o una lámina de Polaroid) se obtiene un haz de luz polarizada, en mayor o mellar . grado, en el cual predomina la vibración transversal correspondiente a una dirección determinada. El plano que contiene esta dirección y la del rayo se llama plano de pqlarización. Este tipo de luz, que en lo que sigue elegiremos además monocromática, es la que se utiliza en la investigación fotoelástica de las tensiones.

s = a cas pt

(a)

en la que p es 2.n veces la frecuencia, que depende del color de la luz, y t el tiempo.

La oscilación (a) contenida en el plano DA puede descomponerse en sus componentes según Dx y Oy que serán:

x = a cos a cos pt,

y = a sen a cos pt

(b)

El efecto. de las tensiones principales 0"" y O"y, que actúan en el punto O de la placa, es alterar las velocidades con que las componentes (b) se propagan a través de la misma. Llamando v" y V y a las velocidades de propagación de la luz en los planos Dx y Oy, respectivamente y h al- espesor de la placa, los tiempos necesarios para que las componentes de la vibración la atraviesen serán:-

ta

h

Ce)

=Vv

Por 10 tanto las oscilaciones (b) después de haber atravesado la placa vendrán expresadas por las ecuaciones: Xl

(a)

(e) FIO. 99

La figura 98a representa el diagrama de un polariscopio plano. El haz de luz originado en L pasa a través del polarizador P, a continuación a través del modelo transparente M, que modifica la luz de acuerdo con el estado tensional en que se encuentra, después a través del analizador A (otro polarizador) llegando finalmente a la pantalla S .&Qhre la c\,lal se forman las franjas de interferencia (figs. 100 !I 104). 'M. M. Leven, Proc. Soco Expl. Stre..· AI/ulysis, vol. 6, nllm. 1, pág. 19, 1948. 1 Un tratamiento más complete> puede encontrarse en los libros: Handbonk 01 Egpen. m""tal Stress Aualysis, ¡ 950; M. M. Frocht, Pllotoelasticity, 2 vals., 1941 y 1948; y en el libro CItado en la nota 5.

== a cos a cos

p(t - ti),

Yl = asen a cos p(t -

t2 )

(d)

lo que indica que al abandonar la placn existe una diferencia de fase entre las dos componentes que viene dada por ,1 = p(t• ._. tI). Experimentalmente se ha encontrado que para un determinado material, a una temperatura dada, y con luz de una cierta longitud de onda la diferencia de fase es proporcional a la diferencia entre las tensiones principales y al espesor de la placa. Tal proporcionalidad es expresada por la siguiente ecuación:

(e) en la que A es la longitud de onda (en el vacío) y e la constante fotoelást~'ca, que se determina experimentalmente y que depende de la longitud de onda de la luz así como del material y de la temperatura a la que éste se encuentra. El analizador A transmite solamente las vibraciones o las componentes de las mismas que se encuentran en su plano de· polarlzación. Si. este plano es normal al del polarizador y quitamos el modelo, el analizador A I

Se dice entonces que polarizador y analizador están 'cruzado...

162

EL METODO FOTOELASTICO

TIlOR1A DE LA BI.AST1CIDAD

no dejará pasar ninguna luz a la pantalla. Consideremos ahora lo que pasa cuando el modelo está presente. Las. componentes (d) 11 su llegada al analizador vendrán expresadas por las ecuaciones Xa

=

a cos

a

COS

.p,

ya = a sen

acos (if¡

- a)

(f)

ya que la diferencia de fase ¿J se conserva en el camino de M a A. Aquí 7J1 es igual a pt más una constante. Las componentes de las vibraciones (f) que son transmitidas por el analizador (cuyo plano de polarizllción es representado por mn en la fig. 99a) serán la proyec~ión de las mismas sobre la dirección Om, cuyo valor es: X2

sen a =

ia sen 2a cos "',

-Y2

COS

a = -~a sen2a cos (t/! -

.1)

163

11.1Z blanca, como bandas coloreadas. De la ecuación (e) se deduce que el vf!lor de cs. - cs. es doble para ¡,ma isocromática de segundo orden que para una de primero, triple para una de tercer orden, etc. En consecuem:ia, para evaluar la diferencia entre las tensiones principales, es necesario , conocer tanto el orden de la isocromática como la diferencia correspondiente a la iso cromática de primer orden llamada valor de franja. El valor de franja para un cierto material puede determinarse ensaa tracción una lámina rectangular del mismo. Puesto que el ~stado que se obtiene es uniforme toda la pieza se presentará igualte iluminada. Para una carga nula, la imagen que se obtiene en la será oscura, iluminándose al aumentar la carga hasta que vuelve . oscurecerse cuando la diferencia de tensiones (igual aquí a la tracción ."tJ"~,,u.al se aproxima al valor de franja. Un aumento ulterior de la carga

y la vibración resultante. según mn será

~ a sen2a [e os '"

- cos CI{I - a)] = -asen 2a

sen~ sen('t' -~)

El factor sen ('11 - d/2) de la misma representa una función armónica del tiempo cuya amplitud es: .1

asen 2a sen 2

(g)

Se sigue de esta expresión, que la luz llegará a la pantalla a menos que sen = O ó sen d/2 = O. Centrándonos en el primer caso, el hecho de que sen 2a = O indica que las direcciones de las tensiones principales son paralelas (perpendiculares) a las direcciones de polarización de P y A. Los rayos que pasen por tales puntos de M se extinguirán y los puntos correspondientes de la pantalla S aparecerán en negro. Estos puntos se encuentran generalmente en una o más curvas indicadas por líneas oscuras en S. Tales curvas se llaman (cisodinas». Trazando en numerosos puntos de ellas pequeños segmentos paralelos a los ejes de P y A tendremos registradas las direcciones de las tensiones principales en esos. puntos. Dando distintas orientaciones a P y A (que se mantienen cruzados) obtendremos nuevas ¡soclinas y los segmentos indicadores de las direcciones principales cubrirán el campo teí:i.sional (igual que hacen las limaduras de hierro en el campo de un imán), siendo entonces posible trazar curvas tangentes en cada punto a los ejes principales de las tensiones. Tales curvas reciben . el nombre de (cisostáticasll. El otro caso en que se produce oscuridad en un punto es cuando en él sen 11/2 = O. Entonces ti = 2nn siendo 11 = O, 1, 2, ... Cuando J = O las tensiones principales son iguales y los puntos donde eso ocurre se llaman puntos isótropos. Cuando n = 1 tenemos una franja de primer orden, para n = 2 una franja de segundo orden, etc., recibiendo todas estas líneas el nombre de isocromáticas por presentarse, cuando se utiliza

2a

FIG. 100

a iluminar la imagen hasta que para una tensión igual al doble del de franja vuelve a oscurecerse, repitiéndose sucesivamente este prode iluminación y oscurecimiento si seguimos aumentando la carga. . Estos mismos ciclos se darán en un punto cualquiera de un campo . no uniforme al aumentar la carga, supuesto que la diferencia tensiones en el punto llegue a ser un múltiplo del valor de franja. A ciclos de un punto individual corresponde, visto el campo tensional . ·su totalidad, el movimiento gradual de las franjas (incluyendo laentraoa .. nuevas) al aumentar la carga. En consecuencia, el orden de las 'V'.LVll""""", puede determinarse observando su movimiento y contánplaca estrecha, por ejemplo, sometida a flexión simple dará el de isocromáticas que se reproduce en la figura lOO, indicando franjas paralelas que en todas las secciones verticales, alejadas de los . de aplicación de las cargas, la distribución de·tensiones es la misma. la )magen de la pantalla mientras' aumentamos. gradual-

165

EL MIlTODO FOTOELASTICO

que aparecen nuevas isocromatlcas en los de la pieza que se mueven hacia el eje neutro, de se van espesando cada vcz más. En el eje neutro se presenta, la isocromática de orden cero (n = O).

43. Polariscopio circular. Hemos visto que, para un determinado ángulo, el polariscopio plano muestra junto con las isocromátícas las ¡sodinas correspondientes a ese ángulo. En la figura 100, por lo tanto, debieran aparecer en negro todos aquellos puntos en los que las direcciones de las tensiones principales coinciden con las orientaciones de polarizador y analizador. La figura 100 fue obtenida en reaiídad con Un polariscopio circular, el cual es una modificación del polariscopio plano diseñada con el fin de eliminar las ¡sodinas!. Su esquema es el mostrado en~ la figura 98b, y corresponde al dé la figura 98a, sin más que añadir las dos láminas cuarto de onda Qp y QA' Una lámina cuarto de onda es una placa cristalina, con dos ejes de polarización, que afecta a la luz de igual forma que un modelo en estado tensional uniforme, introduciendo una diferencia de fase Ll, dada por if), pero cuyo espesor es tal qu.e IJ = :;r/2. Usando las ecuaciones (J) con ese valor de Ll y eligiendo pal'a a, ángulo formado por el plano de polarización de P y uno de los ejes de Qp, el valor de 45°, obtenemos las siguientes expresiones para las componentes de la luz que sale de Qp. ,

a:2 =

a

.1,

y'2 ces '1',

11~' =

. 52

cos (if; -

~)

=

:2

sen if;

(h)

. Aquí X.I corresponde al eje «rápido~ de la lámina cuarto de onda. La elongación expresada por estas ecuaciones (en las que 'P es de la forma pt + + constante para un punto cualquiera del rayo luminoso) corresponde a un 'movimiento circular, por lo que una luz tal se dice que está circularmente polarizada. Llamando P al ángulo formado por x/ y la dirección de r1,. en el modelo (fig. 99b), LJ a la diferencia de fase producida por el elemento sometido a tensión y habida cuenta de que las componentes (h) corresponden a los ejes de polarización de Q P, tendremos las expresiones siguientes para las .componentes de la luz, producidas por xa /, que salen del modelo. Xa

=

a

---= cos (3

y2

cos 1/1,

ya =

a V2 sen fJ cos

(1/1 - Ll)

(i)

, Si se gira el polarizador y el analizador, manteniéndolos cruzados, las isocromáticas se mantendrán estacionarias mientrns que las i.oclinas se moverún. Si tal rotación se realiztl rápidamente, las ¡sodinas dejarán de Verse. Este mismo efecto es el conseguido por el polariscopio circular por métodos puramente ópticos.

y para

las componentes c..Iebidas a y~' Xa =

- ~sen {3sen.p,

y2

.

Ya =

a

.

V2 cos {J sen (if; -

A)

(J)

Sumando las componentes de las ecuaciones (¡) y 0) tenemos para la luz que sale del modelo Xa

=

a .// .y2 cos '1',

Ya =

../2

sen (1/1' - A)

(k)

+

donde 'PI = 'P f3. . Antes de examinar la influencia de Q,1 y A conviene representar las ecuaciones (k) como superposición de dos movimientos circulares. Llamando 'JI" a 'l -(LJ/2) Y b a a/V2 las ecuaciones (h) toman la forma $3

=

b cos

(if;1I +~)

ys = b sen ("''' -

(COi:l~COS if;" - sen~ senifil/)

(l)

~) = b (COS ~ sen"'" - sen~ cos '¡'fI)

(m)

= b

que representa, en la figura 99b (en la que ~l rayo norma~ al papel entra en él), la superposición de un movimiento clrcular de radIO b co~ (.-1/2) y sentido el de las agujas del reloj y otro de radio b sen (Ll/2) y sentido contrario al de las agujas del reloj. Podemos ahora demostrar que si el eje de polarización de A forma 450 con los de QA uno de estos movimientos circulares es transmitido hasta la pantalla S, mientras que el otro es interceptado consiguiéndose así el resultado que buscamos de eliminación de las isodinas. Las componentes Xa e Ya de las ecuaciones (l) y (m) tienen las direcciones c..Ie las ten. siones principales del modelo. Un cambio de los ejes del movimiento circular no hace más que alterar el ,íngulo de fase ?JI" en una constante. En consecuencia el movimiento circular puede ser expresado empleando los ejes de QA mediante las componentes $4=CCOS"',

Y4=csenv-

(n)

en las que 1JI tiene de nuevo la forma pt + cte. Identificando x con el eje «rápido') de Q A tendremos que a la salida de esta lámina cuarto de onda X; =

ecos 1/1,

Ys

=

csen (" - ;) = -c cos '"

(o)

donde 'P ha cambiado de. nue~o en una constante. Si; coloc~mos ahoru e~ analizador de forma que su eje forme con OX 4 Y O,Y4 un angula de 4S (fig. 99c) la resultante de las componentes (o) a lo largo de él será· . ecos 45° cos 1/1 - e ces 45°

CQS '"

El. METODO FOTOIlLASTICO .

TEORlA DU LA ELASTICIDAD

166

lo cual es cero, con lo que el movimiento circular de i:lentido, el de las agujas del reloj, es interceptado. . Considerando de la misma manera 111 parte de las ecuaCIOnes (1) y (m) correspondientes al movimiento de sentido contrario al de las agujas del reloj, es decir, (n') y/ = -e cos '" xi = -csen f, tendremos que la elongación transmitida por el eje del analizauor es:

V2c

o

_r .t:. v2bsenZ

o

asen

oscuro. Si giramos el analizador _900 respecto a'O" lo tendremos, por el contrario, instalado para la observación en campo' iluminado,' en la que 'aparecen como franjas iluminadas las que antes se presentaban.en negro. Este mismo efecto se consigue en el polariscopio plano colocando paralelamente, en lugar de normalmente, los ejes de polarizador'Y analizador.

. 44. Ejetnplos de determinación fotoelástica de las tensiones.. La aplicación del método fotoelástico ha permitido obte~er resultados de suma importancia en el estudio de las concentraciones de tensiones que

-e cos 45° sen f - ecos 43° sen '" siendo su amplitud

167

t:.

Z

(p)

si recordamos que' b es u/V'X y que a es la amplitud a la salida del polarizador. Comparando este resultado con el (g) del polariscopio plano observamos que el factor sen 2a está ausente, con lo que sobre la pantalla aparecerán las isocromáticas pero no las isodinas. En este estudio no se ha tenido en cuenta la absorción de luz por el aparato. Si I es cero también lo es la amplitud (P), lo que quiere decir que si no hay modelo o si éste no está cargado, la pantalla aparecerá en negro. Tenemos entonces instalado el instrumento para la observación en campo

Frc. 102

PIC. 103

FIG. 101

· 'aparecen en el contorno de los orificios y ángulos entrantes. En tales caso::; '. la tensión má.'dma se produce en el borde, y como una de las tensiones · principales se anula en el contorno libre, aquélla puede obtenerse direct,i· mefite por el método óptico.

168

EL MBTODO FOTOELAS'l'ICO

'!'HORIA DE LA ELASTICIDAD

La figura 101 muestra la distribución de isocromáticlIs para una b¡lrra curva), flectada por los pares M, cuyo diámetro exterior es tres veces el interior. El orden de las isocromáticas marcado en el extremo derecho de la pieza, presenta un máximo de valor 9 en la parte superior e inferior de la barra y el regular espaciado de las mismas, en esta zona, corresponde

3

, "\

169

~

Factores de concentracoón de esfu~rzos Tensión

p

o-D/d:J

~

c-D/d"l.5

0\

~

-1 t ~

¡"'-

'ir- r-

0.1

FIG. 104

0.3 Relación R/d Fll.. 105

a ia distribución lineal de las tensiones flectoras. El orden de las ¡socromáticas, marcado en el extremo superior, muestnl la distribución tensional en la parte curva de la barra (el modelo completo se continúa por encima de este extremo superior, que es su eje de simetría), indicando la existencia de una tensión de compresión en el borde interior igual a 13,5 en valor relativo y de una tracción en el borde exterior igual a 6,7. Estos valores concuerdan muy bien, proporcionalmente, con los resultados teóricos «(exactos') dados en ll! última línea de la tabla del § 27. Las figuras 102 y 103 se refieren al caso de una viga flectada bajo la acción de una carga concentrada' que se aplica en su punto medio2 • La mayor densidad de franjas oscuras indica tensiones elevadas en la proximidad del punto de" HplicacÍón de la carga. El número de franjas que atraviesan las secciones transversales decrece desde el centro hacia los extremos de la pieza, a consecuencia de la correspondiente disminución del momento flector, La figura 104 representa la distribución de tensiones en una plac!l de dos unchunls diferentes, sometida a una tracción axÍli:1 e indica que la máxima tensión aparece en la terminación de la transición entre las partes de distinta sección, La relación de la tensión máxima a la tensión mediá en 1 E. E. Weibel, Tralls. A.S,M,E., vol. 56, pág. 637. 1934. 'M, M. Frocht, T,'a1IS. AS,M.E.• vol. 53, 1931.

0.'2

1·'IG,

.....

106

D.4

0.5

0.6

TEORIA DE LA ELASTICIDAD

170

45. Determinación de las tensiones principales. El polariscopio corrienté, que hemos estudiado, determina solamente la dirección de las tensiones principales y su diferencia. Cuando se desean conocer las

o-Dld=J o-pld=/,S

C[CÍl)

~ ~

I

O

0.1

..........

,.......

.Q,

0.2

-0,3

0,4

0.5

0.6

Re/ación Bid FIC. 107

tensiones principales, en el interior del modelo o en zonas del contllmo sobre las que actúa una carga desconocida, es preciso acudir bien al cálculo, bien a la realizaCión dé··otras medidas. Para la ejecución de uno u otro se han propuesto y utilizado muchos métodos, de algunos de los cuales se va a hacer una breve descripción 2 • La suma de las tensiones principales puede determinarse midiendo los cambios de espesor de la placa3 como se deduce de la __relación:

,jh =

~

(a.

+ I1v)

, Véase el trabajo cltndo de We.bcl. A Pam mayor InformaCIón \ é.m~t: 1.lb reCel cnCM~ dI:" Id nota. , Este método fue sugerIdo por I\Ilcsnager, /Ile. nI.

En consecuencia, en todo punto donde deseemos determinar !lIS tensiones podremos evaluar U x + (1v realizando !a medida de IJh, para cuya ejecución se han desarrollado diversos tipos de extensómetros 1. Asimismo, podemos realizar tal medida fotografiando las franjas de interferencia que obtienen al aplicar el modelo sobre un ellpejo plano. Tales franjas son · causadas por la lámina de aire de espesor variable, que sigue las variacio· nes de espesor del modelo, contenida entre modelo y espejo. · De otra parte, la suma de las tensiones principales cumple una ecua· ción diferencial [ecuación (b) del § 16J que es también satisfecha por la . dd1exión de una membrana, una película ·de jabón por ejemplo, unifor. ·memente estirada, de forma que si hacemos corresponder los valores de contorno, la deflexión representa 11", + ay según una ~ierta escala'. En · muchos casos los valores en el contorno de (1x a~ pueden ser determi~ados mediante los diagramas fotoelásticos. Estos métodos permiten de·terminar a .. - av solamente,. pero en un borde libre una de las tensiones ay, por ejemplo, se anula por lo que (1% - (11) y (1", ay valen lo mismó. ·Asimismo, si en un punto del contorno es aplicada una cargu normal conocida, esta carga constituye una de las tensiones principales por lo que la ;lllCUJiUi:< fotoelástica de la diferencia de las mismas basta para determinar su La misma ecuación diferencial es satisfecha por la distribución de eléctrico en el flujo de cor1'Íente a través de una placa, lo que ser el fundamento de un método eléctrico de determinación de las r",~olnn"",-. Asimismo las tensiones principales pueden ser también .. de termediante métodos puramente foto elásticos haciendo uso de insmás .elaborados que los descritos en los §§ 42 Y 43. Como altera estos procedimientos experimentales se han desarrollado métodos . uméricos que son estudiados en el apéndice.

· se

+

+

Factores de concentraCIón de tensiones Curvatura pura

\ \0

171

EL METODO FOTOELASTICO

la sección más estrecha de la placa, es llamada 'factor de concentración de tensiO?les. Su valo!" depende de la relación del radio R, de la curva de transición al ancho, d, de la placa en su parte más angosta. La figura 105 contiene diversos valores del factor de concentración obtenidos experimentalmentel y muestra que la tensión máxima aumenta rápidamente al disminuir la relación Rld, de forma que cuando Rld = 0,1, la tensión máxima supera al doble de la tensión media. La figura 106 representa la misma placa sometida a la acción de un par de fuerzas aplicado en su extremo y en el plano medio de la placn, y en la figura 107 se consignan los valores del factor de concentración para este caso.

46. Fotoelasticidad tridimensional. Los modelos usados en los fotoelásticos ordinarios son cargados a la temperatura ambiente elásticos·, de forma que los esquemas ópticos desaparecen al retirar carga. De otra parte, puesto que la luz ha de atravesar tocio el espesor ·modelo, la interpretación de los esquemas fotoelástieos es posible cuando el modelo se encuentra en un estado tensional plano tensiones, entonces, son casi cónstantes !l través del espesor). Si éste 'es el caso, como en una distribución de tensiones tridimensionales, el óptico es la integral del estado tensional a lo largo del camino re..rido por el rayo". ·Estas dificultades han sido resueltas mediante un método busudo en

(a) , Véas' M. M. Frocht, Plwtoclas/icity, vol. 2. Z. I/rlgew. Mallr. Jyfech., vol. 11, plÍg. 156. 1931. 'Vé."" R. D. Mmdhn, J. Appl,ed Plrys., vol. 10. pág. 282. 1931. . . , Véase el trabajo de D_ C_ Drucker en el Tlal/dbook 01 Expertll/elllal Slress 11.1ll1Iysi,·, dond~ un estudIO completo. sobre la fotoelastlcldnd tridImenSIonaL

'J. P. Den Hartog,

172

TEQRIA DE LA ELASTIGIIJAD EL METODO FOTOELA5TICO

las observaciones de Brewster y Clerk Maxwell 1 de que los materiales . gelatinosos, tales como el colapes (isinglass), secados bajo carga, conservan los esquemas foto elásticos al ser desc~rgados. Asimismo se ha encontrado que resinas tales como la baquelita y la fosterita, cargadas estando calientes, poseen la misma propiedad al ser descargadas. La explicaciónz se encuentra en que la estructura de estos materiales consta de un esqueleto elástico

173

Tuerca ·con borde CÓniCO

FIO. 108

fuerte (una malla molecular) rellenada por una masa de moléculas poco ligadas que se fluidiza al calentar. Cuando el modelo caliente es cargado, el esqueleto elástico es el que sostiene la carga. Al enfriar el modelo la masa asemilíquida') se. «congela. haciendo que el esqueleto conserve la deformación al descargar el modelo. El efecto óptico se conserva, en consecuencia, y no es alterado al cortar la pieza en trozos. Un modelo tridimensional puede ser··éortado en rebllnadas, cada una de las cuales puede ser estudiada con el polariscopio. El estado tensional en tales rebanadas no es plano, pero se sabe que las componentes de la tensión 7:",., 'yz y (J. no afectan al rayo de dirección z, normal a la lámina. La figura 108 muestra la repartición de franjas obtenida en la rebanada central.de un eje redondo (de fosterita) en el que existe una muesca hiperbólica 3• La tensión máxima deducida de este diagrama fotoelástico, difiere del valor teórico en un I J. Clerk MUKwdl, Sci. Paper., vol. 1, pág. 30. 'M. Hetényi,:J. Applied Phys., vol. 10, pág. 295, 1939. lLeven, loco cit.

Tuerca convencional FIG. 109

ó 3 %. La figura 109 representa las franjas obtenidas sobre un modelo baquelita) de una unión por pasador y tuercal . La tuerca inferior es del convencional. La superior de borde cónico muestra una menor conde tensiones que la convencional. 1M. Hetényi, J. Applied Mechu1Iics (Tram. A.S.M.E.J, vol. lO, pág. A·93, 1943. Resul. correspondientes a otros tipOS de tuercas pueden encontrarse en este trabajo.

.....

175

METODOS ELASTO-ENERGETICOS

Métodos elasto

47. Energía potencial elástica. Cuando una barra uniforme es sometida a una tracción, las fuerzas que actúan sobre sus extremos realizan una cierta cantidad de trabajo al estirarla. Si sobre el elemento de la figura 110, actúa solamente la tensión normal (J", la fuerza y extensión

1:3 ¿¿ttl. (al

:

dV Vo =

·HO"%E%

=

Vod:cdydz

+ rrufu + a,E. + T"","("", + 'l'V'''(II' + T,,=y~,)

(b)

(e)

la energía de deformación correspondiente a la unidad de volumen.

d.

O

'sima fracción del trabájo realizado por las fuerzas de compresión!; fracción ésta tan pequeña, que a efectos prácticos puede ser despreciada. En consecuencia, podemos aceptar que el trabajo, realizado no se emplea en la generación de calor, siendo todo él almacenado en el elemento 'en forma , de la llamada energía de deformación o energ{a potencial elástica. Se supone que el elemento sigue siendo elástico y que no es generada energía cinética. Las mismas consideraciones se aplican cuando sobre el elemento actúan las seis componentes de la tensión a"" (Jy, (J.. T",y, T",., T/I% (Hg. 3). La conservación de la energía requiere que el trabajo realizado no dependa , del orden en que se apliquen las fuerzas, sino sólo de su magnitud final. De no ser así, al cargar siguiendo un cierto orden y descargar siguiendo otro orden, al que corresponde un trabajo mayor, obtendríamos una energía .' Ilbre neta después de hacer recorrer al elemento un ciclo completo. El cálculo del trabajo realizado, es más sencillo si las fuerzas b tensiones aumentan todas simultáneamente con igual velocidad. Entonces, la rehición entre cada fuerza y el' desplazamiento correspondiente sigue siendo lineal como en la figura 11 Ob, de forma que el trabajo realizado por' todas esas fuerzas será:

e.áz

(b)

FlG. 110

correspondientes serán !T",dydz y f",dx. La relación existente entre estas dos cantidades es la representada por una recta tal como la OA de la figura 110b, y el trabajo hecho durante la deformación viene dado por el área l(adydz) (E"dx) del triángulo OAB. Llamando dV a este trabajo tendremos:

, .' En la discusión precedente se consideró que las tensiones eran las mismas en las caras opuestas del elemento y que no existinn fuer:r.3s másicas. Estudiemos ahora el trabajo hecho sobre el elemento, cuando las tensiones varian a través del cuerpo y las fuerzas másicas no son nulas. Considerando la fuerza ".,.dud, que actúa sobre , la cara 1 del elemento de la fígunl 110a, el trabajo que realiza al despla:.:arse el desplazamiento u será Hrr,u),d.,d, donde el subíndice 1 indica que las funciones rrr y 11 :, deben ser evaluadlls en el punto 1. De igual forma, la fuerza rr ,dvd, quc actúa sobre , la cara 2 realiza el trabajo - Je". u)!d.,d , siendo el trabajo total para las dos caras i[(..:uh - ("su).] dy dz

límite es: 1

siendo evidente que este mismo trabajo es realizado sobre todos los elementos de la barra suponiendo que el volumen de todos ellos sea el mismo. Sentado esto, surge la pregunta siguiente: ¿en qué tipo de energía se convierte este trabajo? En el caso de un gas, la compresión adiabática del mismo eleva su temperatura. Si es una barra de acero 10 que comprimimos adiabáticamente, la temperatura se eleva también aunque en pequ'eña cantidad. El calor correspondiente, sin embargo, representa solamente una pequeñí-

f)

2 a;; (.."u) dx dy dz

Ca)

(d)

, Calculando ahora el trabajo realizado por las tensiones tangenciales '~y y t",. sobre ,las caras 1 y 2 Y sumándolo a (d), tendremos la siguiente expresión para el trabajo , hecho sobre esas dos caras por las tres compooentes de lo tensión: 1 él

2 a; (..:u + T:,tI + T:,W) d:r; dy d~ I De no ser así habrla una diferencia sustancial entre los mÓdulos elásticos ad.abáticos e isotermos cuando en la realidad tal diferencia es muy pequeña. Véase G. F. C. Seade, Ex· ,p.,imental Elasticity, capítulo 1.

176

177

TEORIA DE I.A ELASTICIDAD

METODOS ELASTO-ENERGETICOS

do~de V ~ 'lII son las componentes del desplazamiento en la direcciones y y. z. El lrubiIJo realizado sobre los otros dos pares ,de caras puede hallarse de igual manera, encontrándose pura el trabajo total hecho por las tensiones sobre las caras la siguiente expresión:

a la componente correspondiente de la tensión. Tomando por lo tanto la derivada respecto a €" y. usando .la ecuación (11) se obtiene

1 [ iJ

:2 a;; (u"u

+ T ••U +

'T••w)

avo oe",

fJ

+ ay (.,.vv + T ••W + ..... u) + fz (.,.,1U + T••'. + "u.u) ]

dx dy dz

(6)

1 (rr" 2+ O'v2) V o -- 2E

+ Yu + Zw) d,; dy dz

(J)

y el tmbajo total será la suma de (e) y (f) q~e diferenciando (e) queda así:

....!..[IT,~+U., 2

a.'!C

(lv

ay

+G.

jlw

,¡¡z

+T,y(o~'j_aU)+T'Z(aw ih

ay

ay

+élv) GZ

(21L + ow) + u (..fuI... -r ~ + ~ + x) élz ox ih ay oz + v (.lEu.. + l.!a. +~. + y) + w (.&... + 1!.u. + + z)] d.>: dy dz h h + . .,:

~

~

+ 2Ge", =

"Tu:

~

~

Observando que las cantidades que multiplican a las componentes de la tensión son Ex> ••• , 1''''"' ... [ecuaciones (2)] y dado quc los paréntesis que afectan a u, v y w son nulos, como veremos en las ecuaciones (127) del § 76, resulta que el valor totaí del trabajo realizado sobre el elemento viene dado por (á) y (e). Estas fórmulas siguen, pues, siendo válidas lJun cuando el estado tensional no sea uniforme y no se consideren nulas las fuerzas másicas.

Mediante la ley de Hooke, ecuaciones (3) y (6), podemos expresur

Va, que viene dado por la ecuación (e), en función de las tensiones solamente. Entonces 11

- E (rr,¡t'u + rrv rr• + rr.rr,,)

+ 2~ (T"1/ + T~=2 + T".2)

.rz

= .y. = O Y de (84)

+ 2G 1 r;rJ-•

(86)

La energía potencial elástica total V de un cuerpo deformado, se obtiene integrando la energía de deformación por unidad de volumen Va:

v = JfJV

o

dx dy dz

(87)

Representa el trabajo total realizado durante el proceso de carga contra las fuerzas interiores. Si imaginamos que el cuerpo consta de un gran n(¡mero de partículas unidas entre sí por resortes, V representaría el trabajo realizado para estirar y contraer tales resortes. Usando las 'ecuaciones (84) u (85) podemos expresarlo en función de las componentes de la tensión o de la deformación, como vel'emos en las aplicaciones que se des;1rro11an a' continuación. La C'dntidad de energía potencial elástica almacenada por unidad de volumen, ,es usada a veces como base para determinar la tensión límite a la cual se produce la rotura '. Con el objeto de armonizar tal criterio con el hecho de que los materiales isótropos son capaces de soportar grandes presiones hidrostáticas sin ceder, se ha propuesto considerar dividida en dos partes la energía de deformación: una, la correspondiente al cambio de volumen, y la otra, que sería debida a la deformación, y que es la única que se toma en cuenta para determinar la resistencia". Como ]0 expresa la ecuación (8), la modificación de volumen es proporcional a la suma de las tres componentes nOffilales de la tensión, de manera que si esta suma es cero, la deformación es tal que el volumen no cambia. Cada una de dichas ~omponentes puede ser, a su vez, dividida en dos sumandos

(84)

Alternativamente, podemos usar las ecuaciones (11) y expresar Va en función de las defonnaciones. Resulta:

Ev rr"uu

-

(g)

u'"

En el caso de un estado tensional plano U z = resulta;

El trabajo realizado por las fuerzas másicas será:

í(Xu

= ),8

fl'tIS

.., "" IT,I + P

== a/ + P,

en las cuales p =

-i(... + ... + ..,)

es decir, que

<1'.'

+ u.' +.,.z'

=

te

(h)

= O

de manera que, según se ha expresado, la solicitación <1,,', G,/, G.' producirá únicamente una distorsión y la variación de volumen dependerá solamente • de la tracción

siendo e =

E"

+ fu + e.,

E1I

h = (1

+ 11) (1

- 21')

De la expreslon (85), se deduce fácilmente que Va es siempre positivo. Como puede mostrarse fácilmente usando la ecuación (85), la derivada de Va respecto a cualquier componente de la deformación, es igual'

1 En el libro de S. Timoshenko, Strengtlr 01 Materia/s, vol. 2, se estudian las diversa. teorías de la resistencia. o M. T. Huber, Caasopfsmu teehnizne, Lwóv, 1904. Véase también R. V. Mises, Gliuingell Nadlriehte/l, ,Math.-p/¡ys. Klasse, 1913, pág. 582, Y F. Sebleicper, Z. allgew. Math. Meeh .• vol. 5, pág. 199, 1925. . 3 LRS componentes" tangenl.;ales d.e la tensión T:r;UlI t'vr., "tzt: producen defonnacioncs tangel,c,.l". p"ro no alt~ran el volumen.

12 -TtOnlA

DI! LJ\ hW5TICIUt.O

178

unifonne p. De la ecuación (8), resulta que la parte de la energía total que corresponde al cambio de volumen es: ep _ 3(1 - 2_). 1 - 2_ 2E p- = ~ (
(i)

2" -

Restundo esta expresión de la (84) y usando la identidad
+ "1fT, +


=

-ílea. -

0",)'

+ (
- a,)'

+ (lfo -

a.)']

+ (a.' +
podemos expresar In parte de energía total debida a la distorsión bajo la forma;

y

D -

1 - 2"

-¡jE-

(a".

1 +_ + 0"", + u,)' = BE [(... -

.. ,)' + (a.

+ (". -

1

".)'J

- u.),

+ 2G (T:,' + T." + Tv")

(88)

En el caso, de una tracci~n simple de dirección x, tan sólo a. es distinta de cero y la energla de defonnaclón que corresponde a la distorsión resulta entonces de

1" .

(1.". En el caso de una solicitación de esfu:rzo 3 cortante aplicada, por ejemplo, a los planos xz e yz, T . . es la única tensión diferente

acuerdo conla fórmula (88) 1

de cero y la energía correspondiente a la distorsión es

2~

. i'"•. Admitiendo

como cierto que para cualquier sistema de tensiones la rotura ocurre cuando la energía de defonnación correspondiente a la distorsión alcanza un cierto límite (car~:teristico d _cada material), la relación entre el valor crítico para el caso de una 7 tenslon de tracClon sola y para el de una tensión tangencial también sola se obtiene median te la ecuaci ón

de donde result'l . T ••

=

1

-va'"

179

ME'l'ODOS ELASTO-ENERGETICOS

TEORIA DE LA ELASTICIDAD

= 0,55700:

Para e! c~so d?l acero los experimentos muestran' que la relación entre los limites de flUidez re~lstrados para tracción y esfuerzo cortante, concuerda muy bien con la dada por (j). .?~ la consideración de la energía potencial elástica, Ke deduce que el principio de Salll t-~ en~n.t es una ~on~ecu~ncia de la conservación de la energía u, De acuerdo con tal pnnClplO, dos ·dlstrrbuClOnes de carga diferentes con igual resultante que actú~n sobre una pequeña· parte de un sólido elástico, producen el mismo e~tado tenslOn?l, ~alv~ en los punto~ próximos a los de aplicación de la carga. Si una de estas dlstnbucJOnes es cambIada de signo y combinada con la otra las tensiones resulta.n.tes serán, pues, nulna salvo en los puntos citados. Las cargas combinadas se equllibr:m ~ el p.,rincipio en cuestión es, de hecho, equivalente a la afinnación de que una ·dlstnb~clon ~e .fuerzas de resultante nula, que actúe sobre una pequeña parte de un sóhdo elastJco, produce solamente tensiones locales. • 1 Vé .se IOBs tr,"bajos de W. Lodc, Z. Physik, vol. 36, pág. 913, 1926, Y Forschu1Igsarbeite1l numo 3o3, erhn, 1928. ' 2 J. N. Goodier, Phi/o Mag., serie 7, vol. 24, plÍg. 235, 1937 J Applied P/¡"s vol 13 pág. 167, 1942. ' . ~.,..

Una distribución tal reaüza un trabajo durante su aplicación puesto que s~ produce una··(¡eformación de la regiqn cargada. Fijemos en posición y orientación un elemento de superficie de esta región; sLp indica el orden de magnitud (por ejemplo, el valor ·medio) de In· fuerza por unidad de área y a es una dimensión lineal representativa (por ejemplo, el diámetro) de la zona cargada, las componentes de la deformación son del orden de (PIE) y los desplazamientos de la parte cargada del orden de palE. El trabajo realizado es, entonces, del orden de pa' . palE = p'a"IE. Puesto que de otra parte, componentes de la tensión de orden p implican una energía potencial cuyo valor por unidad de volumen es del orden de p"/E, se deduce que el traaajo realizado se extiende solamente a un volumen del orden de aS, lo que concuerda con el enunciado del principio de Saint-Venanr. En lo dicho se ha supuesto que el cuerpo era de fonoa rlgida quc obedecía a la ley de Hooke. Esta última restricción puede ser salvada haciendo que E represente a In penwente de la curva tensión-defomlación del material. Si, por el contrario, el cuerpo no es de forma rígida, como ocurre, por ejemplo, con una viga muy delgada o con una fina membrana cilíndrica, la aplicación de una distribución equilibrada de fuerzas puede dejarse sentir a distancias superiores a varias veces el espesor o el diámetro. . La discusión anterior puede ser repetida sin cambios para el caso de una carga de resultante no nula, siempre que exista un elemento de superficie fijo dentro de o próxímo a In parte cargada. Por tanto, si un material deformable está pegado a uno rígido, la presión aplicada a una pequeña parte del prímero, próxima al empalme, producirá solamente tensiones. locales l.

48. Principio de los trabajos virtuales. El princlplO de los trabajos virtuales se emplea, con ventaja, en la solución de diversos problemas de elasticidad. Para e! caso de una partícula, dicho principio establece que si un punto material, sometido a un conjunto de fuerzas, se encuentra en equilibrio, el trabajo total de esas fuerzas es nulo en toda traslación virtual. Se considera como traslación virtual de una partícula que puede moverse libremente en cualquier dirección, todo desplazamiento infinitesimal de la misma. Si bu, tÍv, c5w son las componentes de una traslación virtual en las direcciones x, y, z, respectivamente, y LX, EY, LZ, las sumas de las proyecciones de las fuerzas en las mismas direcciones, e! principio de los trabajos virtuales permite escribir las siguientes ecuaciones: /lu'1:X·= 0,

oV 2:Y = 0,

/lw'1:Z

=O

ecuaciones que quedan satisfechas para cualquier traslación ·virtual si se verifica:

1',

,. ,.

¡: 1-

l:.

¡., ¡.

¡

¡ l· ;

¡. 1: 1;

!.

¡, ¡1

:EX

= 0,

'1:Y = 0,

1;Z = O

Llegamos, así, a las conocidas ecuaciones de! equilibrio del punto-masa. Al aplicar el principio de los trabajos virtuales, las fuerzas que actúan se consideran como constantc;s durante una traslación virtual y si alguna de las fuerzas, que obran en un punto dado, fuese una reacción elástica, por ejemplo, la reacción de una barra en el caso de la articulación de una 1

:',

Gootlier, J. Applie4 Phys., loe. cit.

,,.j, l·

f¡:

(;; j"

!.

¡..

180

viga de celosía, admitiremos que los desplazámientos virtuales son tan pequeños, como para que la variación de su intensidad o' dirección pueda ser despreciada. Un cuerpo elástico, en reposo bajo la acción. de fuerza.s de superficie y másicas, constituye un conjunto de partículas, cada una de las cuales está sometida a un sistema de fuerzas en equilibrio. En toda traslación virtual, el trabajo total de las fuerzas, que actúan sobre una partícula, es nulo, y por lo tanto, también lo será el trabajo de la totalidad de las fuerzas del sistema. En el caso de un cuerpo elástico, se entenderá por traslación virtual, todo pequeño desplazamiento compatible con la condición de continuidad de la materia que lo constituye y con los vínculos que pudiesen ser establecidos para los puntos de su superficie. Si, por ejemplo, se establece como condición la inmovilidad de una parte de la superficie del cuerpo, dígase la extremidad empotrada de una viga, o bien un desplazamiento muy pequeño, la traslación virtual para esa parte debe ser igual a cero. Vamos a examinar, como ejemplo d~ aplicación, el caso de una placa sometida a un estado plano de .tensión. Denotaremos con u y v a las componentes de los desplazamientos efectivos debidos a las cargas y con ¿¡u y t~V a las componentes de una traslación virtual que se efectúa a partir de la posición de equilibrio de la pieza bajo carga, las cuales son cantidades infinitamente pequeñas arbitrarias que satisfacen a las condiciones de continuidad propias de una deformación elástica, es decir, funciones continuas de x e y. Cualquiera que sea el sistema de traslaciones que se lleve a efecto, el trabajo realizado para vencer las acciones mutuas entre las partículas es igual a la energía de deformación almacenada por el cuerpo, esto es, la energía potencial elástica que corresponde a aquellas traslaciones. Por lo tanto, si en lugar de u y v tomamos óu y óv, el trabajo realizado para vencer los vínculos internos será igual a la energía de deformaci6n consiguiente a u OU, v ¿¡v, menos la energía de la deformación que corresponde a u y a v. La influencia de los desplazamientos virtuales ou, Ov en las componentes de la deformación, se expresa por:

+.

+

os z

= él

oU;'

ax

él Bv oey =--, ay

avo avo avo .. = -,,oez + -,,OEU + -;-- 6-y"", = G"z DE. + G"u oe. + T~ O'Y~ ve: "fU a'Yru

Como h¡¡ quedado establecido, la variación de la energía potencial de deformación es la medida del trabajo efectuado para vencer las acciones mutuas que se ejercen entre' las partículas. Para obtener este trabajo se debe cambiar el signo de aquélla, así que la expresiQn del trabajo efectuado durante la traslación virtual por las fuerzas que estamos considerando será: (b) -JI OVo dx dy Al efectual' el cálculo del trabajo de las fuerzas exteriores durante una traslación virtual, debe tomarse en cuenta las fuerzas aplicadas en el contornó de la placa, así como las fuerzas másicas. Designemos por g e ji' a las componentes de las fuerzas que obran en el contorno de la pieza, referidas a la unidad de área; para el trabajo de estas fuerzas, durante el desplazamiento virtual, cuyas 'componentes son óu y óv, puede, sin más, . escribirse la expresión:

Iex OU + Y ov) ds

(a)

La variación de energía potencial de deformación correspondiente a todo el cue,po se obtendrá mediante j'J¿¡Vodxdy, en la cual la integración se debe extender al área total de la placa de espesor unidad.

(e)

en la cual, la integración se extiende a todo el contorno, s, de la placa. De una manera análoga, se tendrá como trabajo de las fuerzas másicas (d) Jf(X OU + Y ov) dx dy en donde X e Y son las componentes de la fuerza ponderal específica, y, como en el caso anterior, la integración se extiende a toda el área de la placa. La cotidición que expresa la nulidad del trabajo total, desarrollado durante la traslación virtual, resulta de las expresiones (b), Ce) y (d) y es la siguiente:

J(X OU + Y liY) ds + .ff(X OU + Y

011) dxdy -

JI llVodxdy =

O (89)

Como se ha dicho al aplicar el principio de los trablljos virtuales, las fuerzas dadas y los componentes de las tensiones reales que corresponden a la posición . de equilibrio, se consideran como constantes durante la traslación virtual, así que el signo Ii puede colocarse fuera de las integrales en la ecuación (89). Procediendo de tal forma y cambiando todos los signos, se tendrá la nueva expresión: Il[fJVo dz dy - ff(Xu

y la respectiva modificación de la energía potencial de deformación por unidad de volumen se desprende de la ecuación (85) ¡¡ V o

181

METODOS ELASTO-BNERGETICOS

TEORIA DE LA ELASTICIDAD

+ Yo) r1:& dy

- f(Xv.

+ Yv) ds]

= O

(89')

en la cual, el primer término entre corchetes es la energía potencial de defonnación. La suma de 105 ténninos segundo y tercero representa la energía potencial que .corresponde a IIlS fuerzas que actúan sobre el cuerpo, si para el estado en que no existe tensión alguna (u = v = O) dicha energía potencial se toma igual a cero. Finahnente la expresión completa, dentro de corchetes, representa la energía po~ tenGÍal total del sistema.· . Por tanto, si se comparan diversos valores úe los desplul':arnientos u y '/J, puede establecerse que las traslaciones que realmente tienen lugar en un sistema elástico, sujeto a la acción de fuerzas exteriores dadas, son aquellas que anulan la variación

182

183

METODOS ELASTO-ENERGETICOS

TEORIA DE LA ELASTICIDAD

de la energía potencial total del sistema, pan! cualquier despluzarniento virtual que ocurra a partir de la posición de equilibrio, esto es, que la energía potencial total del sistema en la posición de equilibrio es un máximo o un mínimo. Para ver si se trata de un máximo o de un mínimo, es necesario tener en cuenta los infinitésimos de orden superior que habí:m sido despreciados en el desarrollo ailterior l. Si de esa manera puede demostrarse que para toda' traslación virtual la variación de la energía potencial total del sistema es positiva, se tratará de un caso de mínimo y si ella fuera siempre negativa, se estaría en el caso de un máximo. Toda traslnció~ virtual del sistema que lo aparte del equilibrio estable exige un trabajo positivo de mnIleru que, en este caso, la energía potenCIal tOtlll del sistema en equilibri~ es un mÍ1limo.

y el incremento correlativo de la energía potencial de deformación será, según queda dicho: -s 2

l!(i-l/)2 dx o d."C

(e)

Si añadimos a la expresión (e) la energía debida a la tensión inicial, se, ", obtendrá la energía potencial totaL En este caso el principio de los trabajos virtuales conduce a la ecuación siguiente, que corresponde a la (89):

l S!al (dy)2 !ao CJ.oydx--2 o 0-'"dx dx=O

En el caso de un estado elástico tridimension.ll. SI! puede llegar fácilmente a una ecuación análoga a la (89). ' El principio de los trábajos virtuales es particularmente útil para determinar la deformación que en un cuerpo elástico origina un sistema de fuerzas determinado.' Unos cuantos ejemplos, cuya solución es ya muy conocida, ilustran la aplicación del método de q~e se trata.

(f)

la subintegral que figura en el segundo término se tendrá:

y la integración por partes, nos da, teniendo.en cuenta que' en las extre,midades del hilo óy = O: 2

S

Consideremos, en primer lugar, la deflexión de un hilo elástico y perfectamente flexible (fig. 111) estirado por la acción de las fuerzas S entre dos puntos fijos, A y B, Y sujeto a una carga vertical distribuida, de intensidad q. Suponemos que la tensión inicial del hilo es suficientemente grande como para que el incremento de esfuerzo tractor, debido a la extensión adicional durante la flexión, pueda despreciarse. Por lo tanto, el aumento que experimenta la energía potencial de deformación a causa de la flexión, se obtiene multiplicando la intensidad inicial de la fuerza S de tracción por el alargamiento que experimenta el hilo. Considerando las coordenadas confonne indica la figw'a 111, se tiene:

(d )2 [1+ (d)2]1 -d:C=2d~ d;

1

r¡

la ~:~ l

ay

dX) =

oy dx + (' q ay d:l; = o Jorz dd~ xJo

ecuación únicamente quedará satisfecha para cualquier traslación dy, si se verifica (g)

"llega, así, a la conocida ecuación diferencial 'de un hilo cargado vertical-

J¡ (dd;)2 dx

L3!l dc~prccl.mlU~ ..11 ~uponcr que en to<1(j Ilcsplm'Almlcnto vlrtunl permanedan conStan tel) los fuerzns) las tensIOnes. J

(!~; ayl: -

d:c

El alargamiento del hilo eSbl dado por

1 Jo (ds - dx) = 2

dx = 2

Sustituyendo en la ecuación (f), se obtendrá:

Flo. 111

ds-dx=dx

lo' (~;) dd~

El principio de los trabajos virtuales puede aplicarse no solamente para !!sl:al:,le':er la ecuación diferencial de la línea de deflexión como en el ejemplo sino también para el cálculo directo de las flechas l • Tomemos ejemplo, una barra prismática libremente apoyada en sus extremos cargada con una fuerza P (fig ..112). En el caso m~s general, la expresión t

Véase S. T,moshen]co, B/lll. 11ls!. Pabl., Klew, 1909, y también su hbro StTC7!gilt oJ 2." edlclón"vo!. 2, pág. 44, 1941.

184

TEORIA DE LA ELASTICIDAD

185

METODOS ELASTO-ENERGE'l'lCOS

de la curva de deflexión de una barra en ¡as condiciones indicadas puede representarse en forma de serie trigonométrica, como sigue 7rX y = alsenT + azsen' 211":1: -z- + a3 sen-1- + . . . 3'lTX

: Sustituyendo en la serie (h) el valor hallado, llegamos a la ecuación de la " curva de de flexión

eh) (o)

expresión, que llevada a la conocida fórmula que da la energía potencial de deformación de una barra prismática flectada l , nos conduce a

.. r (d' y )2 Eh' ~ V = 2" Jo ,dx = 413 L¡ n'a,,2 El

dX2

(k)

,,-1

fk-:-::I~,-,_-__

: Esta serie converge rápidamente, así que para obtener una aproximación : ~atisfactoria basta calcular unos pocos términos. Si, por ejemplo, la carga actúa en la mitad de la lu:z (e = 1/2), la flecha que ella originll será: 2Pl3 (

(Y)"=i = El?r 4 1

+ 341 + 541 + ...)

--¡r;:--j x , COIl

el primer término de la serie, se tiene para la flecha:

Pl" (Y):z:=í = 48.7EI

FlC. 112

Para obtener un despla:zamiento virtual respecto a la línea elástica real, demos a un coeficiente a", de la serie (h), un incremento infinitesimal (jan. Entonces (1)

, La correspondiente variación de la energía potencial de deformación, resultará entonces, con arreglo a la ecuación (k):

av /jan -_ wEJ.¡r' n a... oan 4

8a.

(m)

y el trabajo de la fuer:za exterior P durante el desplazamiento virtual (l) será,

, BI valor exacto para el coeficiente del denominador es 48, 10 que nos dice , que -el error cometido al considerar solamente el primer término. de la serie resultá del 1,5 % aproximadamente. , En el estudio, precedente, consideramos despla:zaÓ ;JO en una sola dirección que representamos por serie (h). Un método semejante puede aplicarse a más complicados, Consideremos una placa rec"tangular de bordes fijos (fig. 113), sobre la que actúan fuerzas másicas paralelas a su propio plano. La expresión general de los despla:zamientos u y v puede tomar FIC. 113 . Ja forma de las series

0p-a

n7l"c'

P oansen -1-

(11.)

De acuerdo con las expresiones (m) y (11), la ecuRción del' trabajo virtual resulta entonces: EJ1I"~

4

""2l3 11. an

lia n

-

P

11.7l"G

oan sen -1-

=

O

y de ahí: 2Pl3sen~ a" =

~ ~ m1rX n'trY Lt /..¡ A,." sen a sen b

v

l.¡ L.¡ Bnm sen a sen b

=

~ ~

m1rX

(p)

Tl1ry

en las que cada término se anula en el borde, quedando así satisfechas las condiciones de contorno. Pam calcular los coeficientes A ,..n y B mn procedemos como en el ejemplo de la viga y tomamos los desplazamientos virtuales en la forma:

1

oU =

-'E""Irll'~4;-n-'4-

, Véase: S. Timoshenko, Strellght of Materials, 2.~ edición, vol. 1, pág. 297, 1940.

u =

"~.

6v

m7fX

n7fy

oAmnsen-asenT

m1rZ n'trY = liB mn sen a sen b

186

TEORIA DE LA ELASTICIDAD

METO DOS

quedando entonces la ecuación (89) de los de'splazamient()s virtuales así:

DAm.. oBm..

ff ff y

aL" f f V dx dy sen m;x sen n;: d:c dy = oBm.. aL . f f V dx dy

X sen m;x sen n;: d:c dy = DA ....

O

O

(q)

Para el cálculo de la energía potencial elástica en el caso tensional plano, hacemos liSO de la fónnula

v=

fJ

VDdxdy =

JJ

[2(1

~

p2) (e. 2

ou

4 4 av

"/",,,=-+-=

éiy

ax

¿r

BOl .. cos

m;:c sen n~

y realizando las integraciones, resulta:

Eab7l"2 (m2 Amn -4- a~( 1 _ VI)

(m2

Eab¡r2 B""-4- 2a2(1 + v)

+

71

2

+ b2(1 _

)

v2)

=

..

(8)

que satisfacen las condiciones de contorno antedichas. Para ello podemos' ,elegir, por ejemplo, funciones t{10 y 11'0 que en los bordes den el valor requerido de los desplazamientos y funciones