La elasticidad es estudiada por la teoría de la elasticidad, elasticidad , que a su vez es parte de la mecánica de sólidos deformables. deformables . La teoría de la elasticidad (ETE) como la mecánica de sólidos (M) deformables describe cómo un sólido (o fluido totalmente confinado) se mueve ! deforma como respuesta a fuerzas e"teriores. La diferencia entre la TE ! la M es que la primera sólo trata sólidos en que las deformaciones son termodinámicamente reversibles ! en los que el estado tensiones deformaciones
en un punto
en un instante dado dependen sólo de las
en el mismo punto ! no de las deformaciones anteriores (ni el valor de
otras ma#nitudes en un instante anterior). $ara un sólido elástico la ecuación constitutiva funcionalmente constitutiva funcionalmente es de la forma%
donde
denota el con&unto de tensores sim'tricos de se#undo orden del espacio euclídeo.
i el sólido es omo#'neo el valor de la función anterior no dependerá del se#undo ar#umento. La propiedad elástica de los materiales está relacionada, como se a mencionado, con la capacidad de un sólido de sufrir transformaciones termodinámicas reversibles e independencia de la velocidad de deformación (los sólidos viscoelásticos ! viscoelásticos ! los fluidos fluidos,, por e&emplo, presentan tensiones dependientes de la velocidad de deformación). deformación ). uando sobre un sólido deformable act*an fuerzas e"teriores ! 'ste se deforma se produce un traba&o de estas fuerzas que se almacena en el cuerpo en forma de ener#ía potencial elástica ! por tanto se producirá un aumento de la energía interna. interna . El sólido se comportará elásticamente si este incremento de ener#ía puede realizarse de forma reversible, en este caso se dice que el sólido es elástico.
Elasticidad lineal [editar · · editar código] código] +n caso particular de sólido elástico se presenta cuando las tensiones ! las deformaciones están relacionadas linealmente, mediante la si#uiente ecuación constitutiva% constitutiva%
uando eso sucede se dice que el sólido es elástico lineal. La teoría de la elasticidad lineal es el estudio de sólidos elásticos lineales sometidos a pequeas deformaciones de tal manera que además los desplazamientos ! deformaciones sean -lineales-, es decir, que las componentes del campo de desplazamientos u sean mu! apro"imadamente una combinación lineal de las componentes del tensor deformación del deformación del sólido. En #eneral #eneral un sólido elástico lineal sometido a #randes desplazamientos no cumplirá esta condición. $or tanto la teoría de la elasticidad lineal sólo es aplicable a% •
Sólidos elásticos lineales, lineales , en los que tensiones ! deformaciones est'n relacionadas linealmente (linealidad material).
•
Deformaciones pequeñas, pequeñas , es el caso en que deformaciones ! desplazamientos están relacionados linealmente. En este caso puede usarse el tensor deformación lineal de reen/La#ran#e para reen/La#ran#e para representar el estado de deformación de un sólido (linealidad #eom'trica).
0ebido a los pequeos desplazamientos ! deformaciones a los que son sometidos los cuerpos, se usan las si#uientes simplificaciones ! apro"imaciones para sistemas estables% •
Las tensiones se relacionan con las superficies no deformadas
•
Las condiciones de equilibrio se presentan para el sistema no deformado
$ara determinar la estabilidad de un sistema a! presentar las condiciones de equilibrio para el sistema deformado.
Tensión[editar · editar código]
omponentes del tensor tensión en un punto $ de unsólido deformable.
La tensión en un punto se define como el límite de la fuerza aplicada sobre una pequea re#ión sobre un plano 1 que conten#a al punto dividida del área de la re#ión, es decir, la tensión es la fuerza aplicada por unidad de superficie ! depende del punto ele#ido, del estado tensional de sólido ! de la orientación del plano esco#ido para calcular el límite. $uede probarse que la normal al plano esco#ido n1 ! la tensión t 1 en un punto están relacionadas por%
0onde T es el llamado tensor tensión, tambi'n llamado tensor de tensiones, que fi&ada una base vectorial orto#onal viene representado por una matriz sim'trica 2"2%
0onde la primera matriz es la forma com*n de escribir el tensor tensión en física ! la se#unda forma usa las convenciones comunes en in#eniería. 0ada una re#ión en forma de ortoedro con caras paralelas a los e&es coordenados situado en el interior un sólido elástico tensionado las componentes 3 xx , 3yy ! 3zz dan cuenta de cambios de lon#itud en las tres direcciones, pero que no distorsinan los án#ulos del ortoedro, mientras que las componentes 3 xy , 3yz ! 3zx están relacionadas con la distorsión an#ular que convertiría el ortoedro en un paralelepípedo.
Deformación[editar · editar código] En teoría lineal de la elasticidad dada la pequeez de las deformaciones es una condición necesaria para poder ase#urar que e"iste una relación lineal entre los desplazamientos ! la deformación. 4a&o esas condiciones la deformación puede representarse adecuadamente mediante el tensor deformación infinitesimal o tensor de pequeas deformaciones (este tensor solo es valido para al#unas situaciones, siendo este un caso particular de los tensores de auc!/5lmans! ! reen/aint/6enant) que viene dada por%
Los componentes de la dia#onal principal contienen los alar#amientos (dilataciones), mientras que el resto de los componentes del tensor son los medios desplazamientos. Las componentes están linealmente relacionadas con los desplazmientos mediante esta relación%
Ecuaciones constitutivas de am!"#oo$e[editar · editar código] Las ecuaciones de am!"#oo$e son las ecuaciones constitutivas de un sólido elástico lineal, omo#'neo e isótropo, tienen la forma%
En el caso de un problema unidimensional, 3 7 3 88, 9 7 988, C 88 7 E ! la ecuación anterior se reduce a%
0onde E es el módulo de elasticidad lon#itudinal o módulo de :oun# ! G el módulo de elasticidad transversal . $ara caracterizar el comportamiento de un sólido elástico lineal e isótropo se requieren además del módulo de :oun# otra constante elástica, llamada coeficiente de $oisson (;) ! el coeficiente de temperatura (<). $or otro lado, las ecuaciones de Lam' para un sólido elástico lineal e isótropo pueden ser deducidas del teorema de =ivlin/Eric>sen, que pueden escribirse en la forma%
iertos materiales muestran un comportamiento sólo apro"imadamente elástico, mostrando por e&emplo variación de la deformación con el tiempo o fluencia lenta. Estas deformaciones pueden ser permanentes o tras descar#ar el cuerpo pueden desaparecer (parcial o completamente) con el tiempo (viscoplasticidad, viscoelasticidad). 5demás al#unos materiales pueden presentar plasticidad es decir pueden lle#ar a e"ibir pequeas deformaciones permanentes, por lo que las ecuaciones anteriores en mucos casos tampoco constitu!en una buena apro"imación al comportamiento de estos materiales.
