Función de Utilidad Utili dad de Elasticidad de Sustitución Constante Co nstante ±CES±CES-
?
Dada la siguiente función de utilidad U ( x1 , x 2 ) ! E x1 V
1 V V
F x 2
A
,
sujeta a
p1 x1 p 2 x 2 ! m a. Calcule las las demandas Marshallianas y las Hicksianas. Hicksianas. b. Calcule la la función de utilidad indirecta y la función de gasto. c. A través de la Identidad de Roy calcule las las Marshallianas. d. A través del Lema de Shepard calcule calcule las Hicksianas Hicksianas Respuesta:
Como 1
?
( x1 , x 2 ) ! x1 ¢
£
s.a: p1 x1 p 2 x2
x2
¡
A
!m
a. Calcule las las demandas Marshallianas Marshallianas y las Hicksianas. a.1. Demandas Marshallianas Utilizando la Relación Marginal de Sustitución RMS:
RMS !
xU ( x1 , x 2 )
V
x x1
V
xU ( x1 , x 2 )
!
x x 2
V V
?
E x1 V 1 E x1 V
1 V V 1
F x 2
A
1
?
F x V2 1 E x1 V
V
F x 2
A
V
p1
!
p 2
1
E x1 V 1 F x
V 1 2
!
p1 p 2
E x 12 V
1 V 1
F x
!
p1 p 2
Ahora:
x 12 V
x11 V
!
!
1
1 V 1
« F p1 » 1 V p1 x1 x 2 ! ¬ p 2 E p2 ¼½
1 V 2
« E p 2 » 1 V p 2 x2 x1 ! ¬ p1 F p1 ¼½
F x E E x F
1
1
« F p1 » 1 V Reemplazando en la Restricción Presupuestaria x 2 ! ¬ x1 para hallar la E p 2 ¼½ demanda marshalliana 1: 1
p1 x1
p 2
« F p1 » ¬ E p ¼ 2 ½
1
1
1 V
« F » 1 V p ¬ E ¼½
x1
! m p1 x1
1 V 1 V
p21 V
x1
! m
Sabemos que la elasticidad de sustitución es igual a W !
puede establecer que V
!
W 1 W
1 1 V
, por lo cual se
.
Reemplazando V quedaría de la siguiente manera: 1 1
1
W 1
« F » 1W 1 p1 W p1 x1 ¬ ¼ W x1 W 1 E½ W 1
p 2
!
m
W 1 W
Resolviendo: W W W W «E W p1 p W 2 F W p1W p2 » F » p1 F » p2 p1 « « p1 x1 ¬ ¼ x1 ! m p1 x1 ¬ ¼ x1 ! m ¬ ¼ x1 ! m E ½ p W 2 1 E ½ p W 2 E W p W 2 ½
Demanda Marshalliana 1:
« » E W p W 2 x1 ! ¬ W m W W W E p1 p 2 F p1 p 2 ¼½ ¤
1
Ahora reemplazamos en la Restricción presupuestaria x1
!
« E p 2 » ¬ F p ¼ 1 ½
1 V
x2 para
hallar la demanda marshalliana 2:
1
« E p 2 » 1 V x2 p 2 x 2 F p1 ¼½
p1 ¬
1
!
m
1 1 V 2
« E » 1 V p x1 p 2 x 2 V F ¼½ 1 V
p1 ¬
!
m
p1
Reemplazando V quedaría de la siguiente manera:
«E » 1 p1 ¬ ¼ F ½
1 W 1 W
1
p 2
1 W 1 W
W 1 1
p1
x 2
p 2 x 2 ! m
W W 1 W
Resolviendo: W
« E » p2W ¬ F ¼ p W 1 x2 p 2 x 2 ½ 1
W
« E » p1 p2W x p 2 x 2 !m ¬ ¼ F ½ p1W 2
!
m
«E W p1 p W 2 F W p1W p2 » ¬ ¼ x1 F W p1W ½
!
m
Demanda Marshalliana 2:
« x ! ¬ W E M 2
» ¼m p1 p F p p 2 ½ F W p1W W 2
W
W 1
a.2. Demandas Hicksianas
Dada la función de utilidad U ( x1 , x2 ) ! ?E x1 V
1 V V
F x 2
A
1
Reemplazando x 2
« F p1 » ¬ E p ¼ 2 ½
!
1 V
x1 en la función de utilidad quedaría:
1
¥
V V 1 « » ¨ ¸ V 1 © « F p1 » ¹ ¼ ¬ V ( x1 , x 2 ) ! ¬E x1 F © ¬ ¼ ¹ ¼ © E p 2 ½ ¹ ¼ ¬ ª º ½ 1
V V « » V 1 V 1 1 V p1 ¬ V F V ¼ x1 ¼ ! E x1 V V ¬ ¬ E 1 V p21 V ¼½
V 1 V
« ¬ F 1 V p1 ! x1 E V V ¬ 1 1 V ¬ E p 2 V 1
§
» ¼ ¼ ¼½
1
V
§
« » 1 ¬ V F 1 V p11 V V ¼ ! E x1 x1 ¼ V V ¬ ¬ ¼½ E 1 V p 1 V
¥
V
2
1
V 1 « » V V 1 1 V ¬ V F p1 V ¼ x1 ¼ ! E x1 V V ¬ ¬ E 1 V p 21 V ¼½
¦
1 V
V
¦
« ¬EE ! x1 ¬ ¬
V 1 V
V 1 V
V 1 V
» F 1 V p1 ¼ V V ¼ 1 V 1 V ¼½ E p 2 1
p 2
1
V
Reemplazando V quedaría de la siguiente manera: W
«EE
W 1
U ! x1 ¬
W 1 2 W 1
W
p
F
E
p 2W 1
W 1 1
p
» ¼ ½
W
«E p ¬ E
W 1 W 2 W 1 W 1 2
W
W 1
U ! x1
W 1 1
F p
p
W
« E p F p ¬ p p 2 1 U ! x1 ¬ W W ¬ E p 2 ¬ E W
W 2
W
W 1
p 2
« E p1 p W
U ! x1 ¬
W 2
F
W
» ¼ ¼ ¼ ¼ ½
W 1
p1 p 2E p
Despejando x1 quedaría:
W
« E p1 p F p p 2 » ¬ ¼ p1 p 2 ¬ ¼ U ! x1 W W ¬ ¼ E p 2 ¬ ¼ E p 2 ½ W
p p 2 E p 2 »
W
W 1 W 2
» ¼ ½
W 1
¼ ½
W 2
W
W
U ! x1
W 1
«E E p p F p p2 » ¬ ¼ E p1 p2W ½ W
W 1
W 1
W 1 2 W
W
W 1
W W 1
W
« » E p1 p ¬E E W p p W F p W p ¼ 1 2 1 2 ½ W
x1 p1 , p 2 ,U !
W 2 W
W 1
U
Normalmente se utiliza la letra h para identificar las Hicksianas:
Demanda Hicksiana 1 W
« » E p1 p ¬E E W p p W F p W p ¼ 1 2 1 2 ½ W
h1 p1 , p2 ,U !
W 2 W
W 1
U
Para hallar la demanda Hicksiana 2 se utilizará el mismo procedimiento:
Reemplazando x1
« E p 2 » ¬ F p ¼ 1 ½
!
1 1 V
x 2 en la función de utilidad , quedaría:
1
1
V 1 « ¨ » V ¸ 1 V ¹ ¬ © « E p 2 » ¼ U ( x1 , x 2 ) ! ¬E © ¬ x 2 ¹ F x V2 ¼ ¼ ¹ ¬ ©ª F p1 ½ ¼ º ½
« 1 1 V 1 V » p 2 ¬E ¼ x V2 F x V2 ¼ U ! V ¬ V ¬ F 1 V p11 V ¼½
¨
« 1 V » ¬ E p 2 V V ¼ x2 F x2 ¼ ! V ¬ V ¬ F 1 V p11 V ¼½ V 1 V
« 1 V » ¬ E p2 ¼ ! x 2 F V ¬ V ¼ 1 1 V V ¬ F p1 ¼½ 1
©
V
V
1
V 1 V
1
V
V
1
V 1 V
©
V 1 V
V 1 V
« 1 V ¬E p 2 FF p1 ! x 2 V V ¬ 1 1 V ¬ F p1 V 1
V
» ¼ ¼ ¼½
1
V
Reemplazando V quedaría de la siguiente manera: W
«E p W
U ! x 2 ¬
W 1 2
FF
W 1
W 1 1
p
F W 1 p1W 1
» ¼ ½
W
«E p ¬ F
W 1 W 2 W 1 W 1 1
W
W 1
U ! x 2
W 1 1
F p
p
W
« E p F p ¬ p p 2 1 U ! x 2 ¬ W W ¬ F p1 ¬ F W
W 2
W
W 1
p1
! x 2
W 2
W
W 1 W 1
Despejando x 2 quedaría:
W
« E p1 p F p p 2 » ¬ ¼ p1 p 2 ¬ ¼ U ! x 2 W W ¬ ¼ F p1 ¬ ¼ F p1 ½
« E p1 p F p p2 F p1 » ¬ ¼ W p1 p 2 F p ½ W
» ¼ ¼ ¼ ¼ ½
W 1
» ¼ ½
W 1
W
W 2
W
W
! x2
W 1
« E E p p F p p 2 » ¬ ¼ F p p 2 ½ W
W 1
W 1
W 1 2 W W 1
W
W 1
W W 1
W
« » F p p 2 ¬ F E W p p W F W p W p ¼ 1 2 1 2 ½ W
x 2 p1 , p 2 ,U !
W 1
W 1
U
Normalmente se utiliza la letra h para identificar las Hicksianas:
Demanda Hicksiana 2 W
« » F p p 2 ¬ F E W p p W F W p W p ¼ 1 2 1 2 ½ W
h2 p1 , p 2 ,U !
W 1
W 1
U
b. Calcule la función de utilidad indirecta y la función de gasto b.1. Función de utilidad indirecta
Para calcular la función de utilidad indirecta solamente reemplazamos las demandas Marshallianas en la función de utilidad directa , la cual quedará en función de los precios y de la renta, de la siguiente manera: Dada la función de utilidad U ( x1 , x2 ) ! ?E x1 V
1
V
F x 2
A
V
« » E W p W 2 x ! ¬ W ¼m W W W E p1 p 2 F p1 p 2 ½ « » F W p1W M x 2 ! ¬ W ¼m W W W E p1 p 2 F p1 p 2 ½ M 1
Función de utilidad indirecta 1
V V V W W W W ¨ « ¸ » « » p p E F 2 1 © ¹ V ( p1 , p 2 , m) ! E ¬ W m m F ¬ ¼ W W W W © E p1 p2W F W p1W p 2 ¼½ E p1 p 2 F p1 p2 ½ º¹ ª
La función de utilidad indirecta puede quedar igual a:
Reemplazando V quedaría de la siguiente manera: W
V ( p1 , p 2 , m
¨ © « » E W p W 2 ) ! © E ¬ W ¼ W W W © E p1 p 2 F p1 p 2 ½ ª
V ( p1 , p 2 , m
¨« ©¬ EE W 1 p W 2 1 )!© W 1 © ¬¬ E W p p W F W p W p W 1 2 1 2 ª
W 1 W
m
« F ¬ E W
» F W p1W ¼ W W W p1 p 2 F p1 p 2 ½
¸ ¹ ¹ ¹ º
W 1 W
m
W 1
W W 1 m
W
» « FF W 1 p1W 1 ¼¬ W 1 ¼ ¬ W W W W ¼½ ¬ E p1 p 2 F p1 p 2 W
m
W 1 W 1 » ¸ ¹ W ¼ ¼ ¹¹ ¼½ º
Sacando factor común: W
¨« ¸ » W ©¬ m W W W W ¼?E p 1 F p 1 A¹¹ V ( p1 , p 2 , m) ! © 2 1 W 1 © ¬¬ E W p p W F W p W p W ¼¼ ¹ 1 2 1 2 ½ ª º W 1
W 1
W « » W W 1 m W W 1 W V ( p1 , p 2 , m) ! ¬ W ?E p2 F p1 A 1 E p1 p2W F W p1W p2 ¼½
W
« »¨© « W p2W m E ( p1 , p 2 , m) ! ¬ W E p1 p2W F W p1W p 2 ¼½©ª ¬ p2
¸ W 1 W p » ¹ F ¼ p1 ½ º¹ W 1
W
« »¨ « E p1 p F p p2 » ¸¹ m ¬ E W p p W F W p W p ¼©© ¬ ¼¹ p1 p 2 ½ º 1 2 1 2 ½ª W
( p1 , p 2 , m) !
W 2
W
W 1
W 1
Utilidad Indirecta V ( p1 , p 2 , m ) ! m
1 ¨ W ¸ © ?E p1 p 2W F W p1W p 2 AW 1 ¹ © ¹ W © ¹ W 1 p p ? A 1 2 ª º
c. A través de la Identidad de Roy calcule las Marshallianas.
Como
la
función
de
utilidad
indirecta
¨ W ¸ © ?E p1 p 2W F W p1W p 2 AW 1 ¹ © ¹ W © ¹ W 1 _ p1 p 2 a ª º 1
V ( p1 , p 2 , m ) ! m
Aplicando la Identidad de Roy hallamos las Marshallianas:
Marshalliana 1:
p1 , p 2 ,
xV
I . oy? x1 A!
m
x p1
p1 , p 2 ,
xV
m
xm
!
x1
M
es
igual
a
W 1 1 « ¨ 1 W W ¸» W 1 W 1 W W W W W W W W W W W 1 ¹ © W 1 W 1 ¬ ?E p2 W F p1 p2 AE p1 p2 F p1 p2 _ p1 p2aW 1 E p1 p2 F p1 p2 p1 p2 ¹¼ W 1 ¬m© W 1 ¼ 2 © ¹ W ¬ ¼ « _ p p aW 1 » ¹ ¬ ©© ¹¼ ¬ 1 2 ¼½ ª º ¼ ! ¬ ¬ ¼ ¨ ¸ © W W W W W 11 ¹ ¬ ¼ E p1 p2 F p1 p2 ¹ © ¬ ¼ © ¹ « _ p p aW W 1 » ¬ ¼ 1 2 © ¹ ¬ ¼½ ¬ ¼ ª º ½ 1
W 1
1
1 W 2 « ¨ ¸» 1« » W W W W W 1 W W W W 1 W W ¹¼ ? E p2 WF p1 p2 AE p1 p2 F p1 p2 1 ¬_ p1 p2aW 1 ¼ ¬ © 1 W _ p1 p2 aW 1 EW p1 pW 2 F W p1W p2 W 1 p1 p2W 1 ¹¼ © ½ ¬ ! m 2 2 ¹¼ 1 1 W W ¬ © W 1 W 1 « » « » W W W W W W W W W W 1 1 © E p1 p2 F p1 p2 ¬_ p1 p2 aW 1 ¼ E p1 p2 F p1 p2 ¬_ p1 p2aW 1 ¼ ¹¹¼ ¬ © ½ ½ º½ ª
1
« ¨ ?E W p W WF W p W 1 p AE W p p W F W p W p 1 2 1 2 1 2 1 2 ! ¬m© W 1 ¬ ©ª
¸ » ¹¼ ?W 1Ap1 º¹ ¼½
« « ¨ ?E W p2W WF W p1W 1 p 2 A W ¸» » ¹¹¼ ¼ I . Roy? x1 A ! ¬ ¬m©© W W W W W 1 p ? A E F W p p p p 1 ¼ ½¼ ¬¬ ª 1 º ½ 1 2 1 2 ¨ ?E W p W 2 WF W p1W 1 p2 A p1 W E W p1 p2W F W p1W p 2 ¸ ¹¹ I . Roy? x1 A ! m©© W 1E W p1 p W 2 F W p1W p2 p1 ª º ¨ E W p1 p W 2 WF W p1W p2 WE W p1 p2W WF W p1W p 2 ¸ ¹¹ I . Roy? x1 A! m©© W 1E W p1 p 2W F W p1W p2 p1 ª º
W W ¨ ¸ E W p1 p W WE p1 p 2 2 ¹¹ I . Roy? x1 A! m©© W W W W W E F 1 p p p p p ª 1 2 1 2 1 º
Factor común:
¨ ¸ ? E W p1 p W 2 A1 W ¹¹ I . oy? x1 A! m©© W W W W W 1 p p p p p E F ª 1 2 1 2 1 º
W
W 1
1
Cambiando el signo y hacienda las respectivas cancelaciones de términos semejantes:
¨ ¸ ? E W p 2W A ¹¹m I . oy? x1 A! ©© W W W W p p p p E F ª 1 2 1 2 º
Demanda Marshalliana 1 utilizando la Identidad de Roy:
x1 M
!
¨ ¸ ?E W p W A ©© W W 2 W W ¹¹m ª E p1 p 2 F p1 p2 º
Marshalliana 2:
p1 , p 2 ,
xV
I . oy? x 2 A!
m
x p 2
p1 , p 2 ,
xV
m
xm
!
x2
M
