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Block de Pruebas 1PP Investigación de Operaciones II
Pr of esor esora: a: Paul in a Gonzalez Gonzal ez M artí ar tínez
Ayu dante: dant e: Cr istóbal Tr i go Gál vez vez
1.- Dadas las siguientes Cadenas de Markov
A)
0 0,2 0,8 0 0 0 0 , 9 0 , 1 P 0,4 0,5 0,1 0 0 0 0 1
B)
(
C)
a)
Dibujar el Diagrama de Transición.
b)
Determinar la clasificación de los estados.
0 3 / 4 1 / 4 1 / 2 0 1 / 2 Q 1/ 4 3 / 4 0
)
2.- Un taller de reparación se ocupa de dos tipos de motores. La reparación de un motor de tipo M1 requiere dos días y la del tipo M2 sólo un día. La probabilidad de avería para los motores de tipo uno es de 1/3 mientras que es de 1/2 para los de tipo dos. Los trabajos no admitidos en el taller se encargan al exterior. Sabiendo que si una jornada de reparación ha sido asignada a un motor de tipo uno, se rechaza todo trabajo que pueda presentarse al día siguiente; en otro caso se admitiría cualquier tarea si no se presenta más que una. a) Determine los estados del sistema utilizando Cadenas de Markov b) Formule la Matriz de Transición c) Dibuje el Diagrama de Transición 3.- Según el cuento, en la tierra de Oz nunca hay dos días seguidos con buen tiempo. A un día soleado siempre le sigue (con igual probabilidad) un día de lluvia o nieve. Por otra parte, si un día tenemos mal tiempo hay 2 posibilidades, que el tiempo sea el mismo al día siguiente o que cambie. De este modo, si un día nieva (o llueve) al día siguiente nevará (o lloverá) con probabilidad 1/2; pero si cambia el tiempo sólo la mitad de las veces será un día soleado.
Universidad de la Serena, 2014
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4.- Dadas las siguientes Cadenas de Markov
A)
C)
1 2 0 P 0 14 1 3
0
1
1
0
3
0
1
0
1
0
1
1
0
4
2
0
2
3
3
0 4
4
0
0 2 3 0 1 3
B)
0 0 0 0,2 0,8 0 Q 0 0 0 0 0 0 0 0
1
0
0
0
0
0
0
0,4
0,4
0
0
0
0,2
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0,7
0
0
0
0
0,3 0 0 1
0 0 0.8 0.2 0 0 0.2 0 R 0.5 0.5 0 0 0 0.2 0 0 a)
Dibujar el Diagrama de Transición.
b)
Determinar la clasificación de los estados.
5.- Una empresa fabricante de aparatos electrónicos, verifica la calidad de su producción y lo contrata a usted para que compruebe la calidad de los artículos en las líneas de producción. Usted realiza mediciones y obtiene los siguientes resultados: En un comienzo si el artículo sale de mala calidad, el segundo de buena calidad, el tercero tiene una probabilidad de 85% de salir BC. Para el caso de que el primer artí culo sea de buena calidad, el segundo mala calidad, el tercero tiene una probabilidad de un 60% de que salga buena calidad. Si los dos primeros artículos son de buena calidad, la probabilidad de que el tercero sea buena calidad es de un 90%. Si los dos primeros salen de mala calidad, el tercero tiene una probabilidad de un 25% de salir buena calidad. a) Determine los estados del sistema utilizando Cadenas de Markov b) Formule la Matriz de Transición c) Dibuje el Diagrama de Transición 6.- Una tienda mantiene inventario de cierto producto para satisfacer una demanda (aleatoria) del mismo. La demanda diaria D, tiene la siguiente distribución de probabilidades: P ( D= 0)= ¼; P(D=1) =1/2; P(D=2)=1/4; P(D≥3)=0. Sea Xt = nivel de inventario al inicio del día t y suponga que la tienda tiene una política de mantención de inventario (s ; S) que consiste en lo siguiente: Si al final del día el nivel de inventario es menor que s, se hace una orden de pedido que al inicio del día siguiente eleva las existencias al nivel S. En caso contrario, no se cursa pedido. La demanda no satisfecha se pierde. Determinar matriz de transición
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7.- Analizar las siguientes Cadenas de Markov, los estados para la matriz A={a, b, c, d, e} y los estados de la matriz B={1, 2, 3, 4, 5, 6 ,7}
1 2 0 Q0 14 1 3
A)
0
1
1
0
3
0
1
0
1
0
1
1
0
4
2
0
2
3
3
0 4
4
0
B)
0 2 3 0 1 3
a)
Dibujar el Diagrama de Transición.
b)
Determinar las clases de estado
0 0 0 0,2 0,8 0 Q 0 0 0 0 0 0 0 0
1
0
0
0
0
0
0
0,4
0,4
0
0
0
0,2
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0,7
0
0
0
0
0,3 0 0 1
8.- En la unidad de atención a clientes de una empresa de telefonía, se requiere determinar el tipo de consulta o trámite realizados por los clientes en la sucursal la primera y segunda semana de noviembre. Se recopiló la información y los resultados obtenidos son: (0,3 pts.) Clientes
Tramite I Semana Nov. Tramite II Semana 2011 Nov. 2011
Clientes
Tramite I Semana Nov. 2011
Tramite II Semana Nov. 2011
1
S/T
OTRO
16
C/E
C/E
2
CHIP
OTRO
17
OTRO
CHIP
3
C/E
CHIP
18
C/E
CHIP
4
OTRO
OTRO
19
S/T
C/E
5
C/E
OTRO
20
OTRO
S/T
6
OTRO
OTRO
21
OTRO
OTRO
7
S/T
OTRO
22
OTRO
CHIP
8
C/E
S/T
23
CHIP
C/E
9
C/E
CHIP
24
C/E
C/E
10
S/T
OTRO
25
CHIP
S/T
11
S/T
S/T
26
S/T
S/T
12
OTRO
S/T
27
OTRO
OTRO
13
CHIP
C/E
28
C/E
CHIP
14
S/T
OTRO
29
C/E
C/E
15
S/T
C/E
30
OTRO
OTRO
Los tipos de trámites realizados por los clientes fueron identificados como:
S/T = SERVICIO TECNICO
C/E = CAMBIO DE EQUIPO
CHIP = VENTA DE CHIPS
OTRO = OTROS (RENUNCIA, RECLAMOS, ETC.)
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De acuerdo a la información entregada responda: a) b) c)
¿Es posible determinar el diagrama de transición de las Cadenas de Markov?, si Ud. Considera que si, grafíquelo. ¿Es posible determinar el estado estable del sistema de atención a clientes en la sucursal de telefonía?, si Ud. Considera que si, identifíquelos. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente al cabo de 4 meses vuelva solicitando un cambio de equipo si inicialmente solicitó enviar su equipo a servicio técnico?
9.- Se ha empleado un modelo de naturaleza probabilística para predecir la duración promedio en la permanencia de un equipo determinado en la Unidad de Mantenimiento mecánico de FINNING CHILE, cuyo conocimiento se espera contribuya posteriormente a la gestión de dicha unidad de de mantenimiento. El modelo empleado corresponde a una Cadena de Markov en tiempo discreto, comúnmente utilizada en el ámbito de la Investigación de Operaciones para describir y predecir el comportamiento de ciertos sistemas bajo condiciones de incertidumbre a través del tiempo. Mediante un estudio inicial se determinó que el 12% de los equipos tienen prioridad urgente, el 14% prioridad alta, el 29% prioridad media, el 30% prioridad baja y el 15% deberán salir del taller, y además la incertidumbre de cada prioridad se describe a través del siguiente diagrama: (3 pts.)
0,1
A
B 0,3 0,5
0,2
0,2
0,3 0,1 0,6
0,15
C
D
0,1
0,6
E
Según los datos entregados por la unidad de mantenimiento de la empresa, se le pide a Ud. determinar: a) b) c)
La prioridad asignada a los equipos en un periodo de 3 meses. La prioridad asignada a los equipos en un periodo de 8 meses. Ud. Como asesor, que prioridades le recomendaría al jefe de la unidad.
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10.- A comienzos del 2012, se realizó un estudio sobre el hábito de tabaco de jóvenes en la ciudad de La Serena. Los datos obtenidos, luego de haber encuestado a 240 jóvenes entre 15 y 25 años, se muestra en la siguiente tabla adjunta: Lo ha probado, Fuma menos de Fuma los fines pero ahora no una vez por Fuma diari amente de semana fuma semana 77.7% 17.2% 3.2% 0.9% 1.0%
Nunca lo ha probado Nunca lo ha probado Lo ha probado, pero ahora no fuma Fuma menos de una vez por semana Fuma los fines de semana Según los diariamente datos: (0,5 pts. c/u) Fuma
0.0%
75.0%
12.2%
4.7%
8.1%
0.0% 0.0% 0.0%
34.0% 26.5% 6.3%
22.0% 17.6% 8.3%
12.0% 26.5% 0.0%
32.0% 29.4% 85.4%
a) ¿Cuál es la probabilidad que en 4 años, un joven que nunca ha probado el tabaco, llegue a fumar los fines de semana?
b) ¿Cuál es la probabilidad que en 6 años, un joven que fume diariamente, fume por lo menos una vez por semana? Si en la encuesta también se determinó que, para el año 2012 el 58% de los jóvenes nunca ha probado el tabaco, el 28% lo ha probado pero ahora no fuma, el 5% fuma menos de una vez por semana, y el 6% fuma diariamente. c) Para el año 2015, ¿cómo será el comportamiento del consumo de tabaco de éstos jóvenes?
d) Para el año 2020, ¿cómo será el comportamiento del consumo de tabaco de éstos jóvenes? e) ¿Cuántos jóvenes fumarán diariamente en el año 2018? 11.- Tres laboratorios farmacéuticos (A, B y C) compiten en un principio activo (mismo conjunto homogéneo en la orden de precios de referencia). Hoy sus cuotas de mercado son 30%, 20% y 50% respectivamente. ¿Cómo se repartirán el mercado dentro de 1 mes, 3 meses, 6 meses, 1 año?, ¿A largo plazo? (0,2 pts. c/u) A
B
C
A
0,8
0,1
0,1
B
0, 15
0, 82
0, 03
C
0, 13
0, 12
0, 75
12.- ____ Al incluir en un estudio la presencia de la variable aleatoria determinística tiempo se está considerando que, de alguna forma, la variable aleatoria depende del tiempo. (2 pts.) Justifique: ________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________(0,5 pts.) 13.- ____ Un proceso estocástico puede interpretarse como una variable aleatoria única que varía en el tiempo. (2 pts.) Justifique: ________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________(0,5 pts.)
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14.- ____ La medición de la velocidad de un vehículo en el instante t es un proceso discreto. (2 pts.) Justifique: ________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________(0,5 pts.) 15.- ____ Se dice que un proceso cumple la propiedad de Markov cuando toda la historia pasada del proceso se puede resumir en la posición actual que ocupa el proceso para poder calcular la probabilidad de cambiar a otro estado. (2 pts.) Justifique: ________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________(0,5 pts.) 16.- ____ En ocasiones no se conoce a ciencia cierta la ubicación del proceso en el instante inicial. (2 pts.) Justifique: ________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________(0,5 pts.) 17.- En el sistema de distribución de agua potable para los habitantes de sectores rurales de la Comuna de Ovalle, existen 4 tipos de camiones aljibes los que se clasifican según su capacidad en camión de 5.000, 9.000, 10.000 y 12.000 litros. Se sabe que los camiones llegan hasta el punto de carguío de agua potable ubicado en el sector de Los Peñones, los que posteriormente comienzan con la distribución del recurso hacia las localidades cercanas. En octubre de 2013, se realiza un estudio, y se concluye que al final de una semana de trabajo, el 20% del total de litros de una de las localidades es distribuido por el camión de 5.000 litros, el 10% por el camión de 9.000 y el 40% por el camión de 12.000. Con el estudio realizado, se pudo obtener la cantidad de agua distribuida por cada camión al final de una semana de trabajo, la que se puede modelar mediante una cadena de Markov. Los r esultados obtenidos se muestran en la siguiente matriz de transición:
Camión 5.000 Camión 9.000 Camión 10.000 Camión 12.000
Camión 5.000 0,3 0,2 0,1 0,4
Camión 9.000 0,5 0,1 0,3 0,1
Camión 10.000 0,4 0,5 0 0,1
Camión 12.000 0,1 0,2 0,1 0,6
a) b)
¿Qué porción de agua potable distribuirá el camión de 10.000 litros al final de la 7° semana? Si en una localidad cercana el agua fue distribuida por camión de 12.000 litros, ¿cuál es la probabilidad de que pasadas 4 semanas sea distribuida por el camión de 5.000 litros? c) ¿Qué recomendación le haría al encargado de la unidad de distribución de agua potable rural de Ovalle? 18.- CADENAS DE MARKOV. Una patrulla de carabineros vigila un vecindario conocido por sus actividades pandilleras. Durante un patrullaje hay 60% de probabilidades de llegar a tiempo al lugar donde se requiere la ayuda; si no sucede algo, continuará el patrullaje regular. Después de recibir una llamada, hay 10% de probabilidades de cancelación (en cuyo caso el patrullaje normal se reanuda), y 30% de probabilidad de que la unidad ya esté respondiendo a la llamada anterior. Cuando la patrulla lega a la escena del suceso, hay 10% de probabilidades de que los instigadores hayan desaparecido (en cuyo caso se reanuda el patrullaje), y 40% de probabilidades de que se haga una aprehensión de inmediato. De otro modo, los oficiales rastrearán el área. Si ocurre una aprehensión, hay 60% de
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probabilidades de trasladar a los sospechosos a la estación de po licía, de lo contrario son l iberados y la unidad regresa a patrullar. a) Determine los estados b) Exprese las actividades probabilísticas de la patrulla en la forma de una matriz de transició n. c) Si la patrulla se encuentra en este momento en la escena de una llamada, determine la probabilidad de que haga una aprehensión en 2 patrullajes. d) ¿Cuál es la probabilidad de que se realice una aprehensión después de 10 patrullajes?
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