Investigación De Operaciones Ii: Ingeniería Industrial

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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II INGENIERÍA INDUSTRIAL

Investigación de Operaciones II

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© Corporación Universitaria Remington

Cuarta edición 2018 INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II John Andersson Valencia Palacio FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA Editorial Uniremington Medellín, Colombia Derechos Reservados ©2011 Primera Segunda Tercera Cuarta

edición: edición: edición: edición:

2011 2012 2015 2018

Responsables Jorge Mauricio Sepúlveda Castaño Decano de la Facultad de Ciencias Básicas e Ingeniería [email protected]

Francisco Javier Álvarez Gómez Coordinador CUR-Virtual [email protected]

Edición y Montaje Vicerrectoría de Educación a Distancia y Virtual Equipo de diseño gráfico www.uniremington.edu.co [email protected]

Derechos reservados: El módulo de estudio del curso de INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II es propiedad de la Corporación Universitaria Remington; las imágenes fueron tomadas de diferentes fuentes que se relacionan en los derechos de autor y las citas en la bibliografía. El contenido del módulo está protegido por las leyes de derechos de autor que rigen al país. Este material tiene fines educativos y no puede usarse con propósitos económicos o comerciales. El autor(es) certificó (de manera verbal o escrita) No haber incurrido en fraude científico, plagio o vicios de autoría; en caso contrario eximió de toda responsabilidad a la Corporación Universitaria Remington y se declaró como el único responsable.

Esta obra es publicada bajo la licencia Creative Commons. Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual 2.5 Colombia


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TABLA DE CONTENIDO

Pág.

1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4

RELACIÓN DE CONCEPTOS PRUEBA INICIAL OBJETIVO GENERAL OBJETIVOS ESPECÍFICOS

7 7 9 9

1.2 TEMA 1. FORMULACIÓN DE PROBLEMAS CON VARIABLES ENTERAS 1.2.1 ELEMENTOS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA 1.2.2 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1 1.2.3 EJERCICIO DE APRENDIZAJE 2 1.2.4 TALLER DE ENTRENAMIENTO

9 9 10 13 14

1.3 TEMA 2 FORMULACIÓN DE PROBLEMAS CON VARIABLES BINARIAS 1.3.1 EJEMPLO PROTOTIPO 1.3.2 TIPOS DE RESTRICCIONES 1.3.3 EJERCICIO DE APRENDIZAJE 1 1.3.4 EJERCICIO DE APRENDIZAJE 2 1.3.5 TALLER DE ENTRENAMIENTO

16 17 19 20 21 23

2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4


26 26 28 28

2.2 TEMA 1 CONCEPTOS BÁSICOS DE TEORÍA DE COLAS 2.2.1 IMPORTANCIA DE LOS MODELOS DE COLAS 2.2.2 MODELOS DE COLAS 2.2.3 ELEMENTOS DE LOS MODELOS DE COLAS 2.2.4 COLA 2.2.5 DISCIPLINA DE LA COLA 2.2.6 EJERCICIO DE APRENDIZAJE 2.2.7 TALLER DE ENTRENAMIENTO

28 28 29 29 30 30 31 32

2.3 TEMA 2 MODELOS DE COLAS 2.3.1 TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN 2.3.2 MODELOS DE COLAS BASADOS EN PROCESOS DE NACIMIENTO Y MUERTE 2.3.3 EJERCICIO DE APRENDIZAJE 2.3.4 TALLER DE ENTRENAMIENTO

33 33 34 39 41

2.4 TEMA 3 APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE COLAS 2.4.1 EJERCICIO DE APRENDIZAJE

42 44


4 2.4.2

TALLER DE ENTRENAMIENTO

45

3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4


48 49 50 50

3.2 TEMA 1 CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE CADENAS DE MARKOV 3.2.1 PROCESO ESTOCÁSTICO 3.2.2 PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN ESTACIONARIAS 3.2.3 ECUACIONES DE CHAPMAN-KOLMOGOROV 3.2.4 CLASIFICACIÓN DE LOS ESTADOS DE UNA CADENA DE MARKOV 3.2.5 TALLER DE ENTRENAMIENTO

50 51 51 53 54 54

3.3 TEMA 2 PROPIEDADES A LARGO PLAZO DE LAS CADENAS DE MARKOV 3.3.1 TIEMPO ESPERADO DE RECURRENCIA 3.3.2 TIEMPO ESPERADO DE PRIMERA PASADA 3.3.3 ESTADOS ABSORBENTES

55 56 57 58

3.4 TEMA 3. APLICACIONES Y EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 3.4.1 TALLER DE ENTRENAMIENTO

60 62


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INVESTIGACIÓN

Brindar a los estudiantes las herramientas propias de la investigación de operaciones que les permita formular, diseñar, resolver y analizar modelos matemáticos de sistemas complejos que se presentan en la vida cotidiana, en los procesos productivos y en las líneas de investigación.


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INVESTIGACIÓN

Utilizar los modelos de investigación de operaciones para la formulación y solución de problemas frecuentes en el sector productivo, financiero, académico e investigativo; partiendo del uso de programación entera, teoría de colas y cadenas de Markov.

 Formular modelos matemáticos partiendo de programación entera y binaria que permita la solución de problemas cotidianos de asignación, decisión y optimización de objetivos.  Establecer procedimientos para la toma de decisiones en modelos de colas en los procesos productivos, partiendo de análisis costo-nivel de servicio.  Desarrollar modelos para procesos estocásticos partiendo de cadenas de markov para la toma de decisiones estratégicas sobre el comportamiento del sistema evaluado.

UNIDAD 1

UNIDAD 2

UNIDAD 3

Programación entera

Teoría de colas

Cadenas de markov


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1 UNIDAD 1. PROGRAMACIÓN ENTERA 1.1.1 RELACIÓN DE CONCEPTOS

1.1.2 PRUEBA INICIAL Pregunta

Explicación de la opción de respuesta

4 Opciones de respuesta

Incorrecto: No son el único tipo de variable de estos modelos ni tampoco es el único elemento

1. Variables Enteras Pregunta: ¿Cuál o Cuáles son os elementos principales de un modelo de programación entera?

2. Función restricciones

objetivo

y

Incorrecto: Hacen parte de los elementos principales pero aún faltan algunos

Correcto: Un modelo está compuesto 3. Función objetivo, por un objetivo, variables que variables de decisión y modifican el objetivo y una restricciones restricciones que limitan los posibles valores


8 Incorrecto: las variables binarias y las 4. Restricciones y variables variables enteras conforman las binarias variables de decisión. Pregunta


1. Cuánto producir?

Incorrecto: Este tipo de preguntas se responden a partir de variables enteras

2. Cuál o Cuáles producir?

Correcto: Las variables binarias toman el valor de 1 para determinar si se produce un producto y 0 en otro caso

Pregunta: ¿Qué tipo de preguntas responden las variables de 3. ¿Cómo producir? decisión binarias?

4. ¿por qué producir?

Pregunta

Pregunta: ¿En cuál de los siguientes problemas de producción se pueden utilizar variables de decisión enteras?



Incorrecto: Este tipo de preguntas se responden a partir de variables enteras Incorrecto: Este tipo de pregunta queda por fuera del análisis de los modelos de programación lineal y entera Explicación de la opción de respuesta

1. Número de hectáreas a Incorrecto: las hectáreas a cultivar cultivar con un determinado pueden aceptar valores decimales tipo de alimento 2. Litros de Cerveza a Incorrecto: la variable de decisión puede considerar valores continuos elaborar mensualmente Incorrecto: Estos son los dos 3. Tiempo que se debe conceptos principales asociados de destinar a la elaboración de manera directa a la idea de una pieza sostenibilidad


9 Correcto: Sólo se pueden considerar 4. Número de personas a valores enteros en los resultados de contratar el próximo mes la variable de decisión

1.1.3 OBJETIVO GENERAL Formular modelos matemáticos partiendo de la programación entera y binaria que permita la solución de problemas cotidianos de asignación, decisión y optimización de objetivos.

1.1.4 OBJETIVOS ESPECÍFICOS  Formular matemáticamente los problemas de programación entera y binaria  Analizar los resultados obtenidos en la resolución de los problemas de programación entera y binaria

1.2 TEMA 1. FORMULACIÓN DE PROBLEMAS CON VARIABLES ENTERAS 1.2.1 ELEMENTOS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA Existen problemas en la cotidianidad en las cuales las variables de decisión sólo pueden considerar valores enteros, como ejemplos se pueden considerar el número de montacargas a utilizar en un centro de distribución, número de animales a criar en un hato ganadero; el número de personas a contratar para un proyecto de construcción de viviendas; entre otros. La programación lineal entera considera tres elementos fundamentales a saber:

ELEMENTO

CARACTERÍSTICA

VARIABLES DE DECISIÓN

Son la representación algebraica de las decisiones cuantitativas que se deben tomar en el problema bajo estudio, como ejemplo se pueden considerar:


10 





El número de empleados a programar en un determinado turno, La cantidad de hectáreas destinadas a un determinado tipo de cultivo, o bien El número de vehículos asignados a una ruta de distribución de mercancías.

Es la medida de desempeño que se desea optimizar a partir de los valores asignados en las variables de decisión. Como ejemplo se puede considerar: 

FUNCIÓN OBJETIVO 



RESTRICCIONES

Maximizar la cobertura de actividades en los turnos de trabajo, Minimizar los costos de producción en los cultivos de una finca, o Minimizar la distancia recorrida por los vehículos asignados a la ruta de distribución.

Formulación matemática de problemas de programación entera.

1.2.2 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1 A continuación, se presenta un ejemplo prototipo para desarrollar la formulación matemática de problemas de programación entera. 1- La empresa Whitt Window tiene sólo tres empleados que hacen dos tipos de ventanas a mano: con marco de madera y con marco de aluminio . La ganancia es de $180 por

cada ventana con marco de madera y de $90 por cada una con marco de aluminio. Doug hace marcos de madera y puede terminar 6 al día. Linda hace 4 marcos de aluminio por día. Bob forma y corta el vidrio y puede hacer 48 pies cuadrados de vidrio por día. Cada ventana con marco de madera emplea 6 pies cuadrados de vidrio y cada una de aluminio, 8 pies cuadrados. La compañía desea determinar cuántas ventanas de cada tipo debe producir al día para maximizar la ganancia total. (Hillier, 2010).


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Para cualquier problema de programación entera, es importante identificar inicialmente cuál es la función objetivo, las variables de decisión y las restricciones. En este caso:

Función Objetivo: Maximizar la ganancia total de la empresa Variables de decisión: número de ventanas de cada tipo que deben producirse (note que la función objetivo depende estrictamente de los valores que tomen las variables de decisión) Restricciones: Número de Marcos de madera y de aluminio que se pueden hacer al dia, cantidad de vidrio disponible para hacer las ventanas. Después de hacer un análisis teórico del problema, el paso a seguir es construir un modelo matemático que represente dichas definiciones: Empecemos con las variables de decisión:

ú ú        :180 90  ≤  ≤

Sean

A partir de esta notación, se construye la función objetivo:

Finalmente se consideran las restricciones: Número de marcos de madera por día:

Número de marcos de Aluminio por día:


12

  ≤

Disponibilidad de vidrio para las ventanas:

Note que en las primeras dos restricciones se considera la variable de decisión directa debido a que cada ventana sólo posee un marco; mientras que, en la restricción tercera, se relacionan pies cuadrados de vidrio, por lo que las variables de decisión definidas deben estar acompañadas de un parámetro que indique el número de pies cuadrados que consume cada tipo de ventana. Adicionalmente, debe considerarse la restricción de no negatividad de las variables de decisión y que los valores que estás pueden tomar deben ser número enteros:

,  ≥ ; ,  ∈

2. Vincent Cardoza es el propietario y director de un taller de maquinado que trabaja sobre pedido. El miércoles por la tarde recibió llamadas de dos clientes que necesitan órdenes urgentes. Un transportista de autos compactos necesita barras estabilizadoras. Una compañía de enganches para remolques requiere barras de remolque especiales para trabajo pesado. Ambos clientes quieren la mayor cantidad posible para el fin de semana (dos días hábiles). Como los dos productos usarán las mismas dos máquinas, Vincent debe decidir e informarles esta tarde cuántos productos de cada uno fabricará en los dos días siguientes. Cada barra de remolque requiere 3.2 horas en la máquina 1 y 2 horas en la 2. Cada barra estabilizadora requiere 2.4 horas en la máquina 1 y 3 en la 2. La máquina 1 estará disponible 16 horas en los próximos dos días y la 2, 15 horas. La ganancia de cada barra de remolque producida será de $130 y la de cada barra estabilizadora será de $150. Vincent quiere determinar la mezcla de estas cantidades de producción que maximizará su ganancia total. Formule un modelo de Programación Entera para este problema.

Función Objetivo: Maximizar la ganancia total de la empresa Variables de decisión : número de barras estabilizadoras y de remolque que deben

producirse Restricciones: número de horas disponibles en la máquina 1 y en la máquina 2

Modelo matemático Variables de decisión: Sean


13

 ú      

 ú       :130 150 3.2 2.4 ≤16 2 3 ≤15


Finalmente se consideran las restricciones: Horas disponibles en la máquina 1:

Horas disponibles en la máquina 2:

No negatividad y valores enteros

,  ≥0 ; ,  ∈

1.2.3 EJERCICIO DE APRENDIZAJE 2 La línea aérea Northeastern piensa comprar jets de pasajeros grandes, medianos y chicos. El precio de compra de cada avión grande será de $67 millones, $50 millones el de los medianos y $35 millones el de los chicos. El consejo directivo ha autorizado un compromiso máximo de $1.5 mil millones para realizar estas compras. Sin que importe qué aviones se compren, se espera que las distancias de los trayectos sean lo suficientemente grandes como para que los aviones se utilicen, en esencia, a su capacidad máxima. Se estima que la ganancia neta anual (después de restar los costos de recuperación de capital) de un avión grande será de $4.2 millones, $3 millones si se trata de un avión mediano y $2.3 millones de cada avión chico. Se piensa que la compañía podrá disponer de suficientes pilotos entrenados para operar 30 aviones nuevos. La gerencia desea saber cuántos aviones de cada tipo debe comprar a fi n de maximizar la ganancia.

Función Objetivo: Maximizar la ganancia total de la empresa Variables de decisión: número de aviones grandes, medianos y pequeños a comprar


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Restricciones: presupuesto de compra, número de pilotos disponibles Modelo matemático Variables de decisión: Sean

 ú         ú       ú   ñ  


 : 4.2 3 2.3

Finalmente se consideran las restricciones: Presupuesto:

Pilotos disponibles:

67 50 35 ≤1500    ≤30 , ,  ≥0 ; , ,  ∈

No negatividad y valores enteros

1.2.4 TALLER DE ENTRENAMIENTO 1) La compañía WorldLight produce dos dispositivos para lámparas (productos 1 y 2) que requieren partes de metal y componentes eléctricos. La administración desea determinar cuántas unidades de cada producto debe fabricar para maximizar la ganancia. Por cada unidad del producto 1 se requieren 1 unidad de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricos. Por cada unidad del producto 2 se necesitan 3 unidades de partes


15 de metal y 2 unidades de componentes eléctricos. La compañía tiene 200 unidades de partes de metal y 300 de componentes eléctricos. Cada unidad del producto 1 da una ganancia de $1 y cada unidad del producto 2, hasta 60 unidades, da una ganancia de $2. Cualquier exceso de 60 unidades del producto 2 no genera ganancia, por lo que fabricar más de esa cantidad está fuera de consideración.

Formule un modelo de programación Entera. 2) La carne con papas es el plato favorito de Ralph Edmund. Por eso decidió hacer una dieta continua de sólo estos dos alimentos (más algunos líquidos y suplementos de vitaminas) en todas sus comidas. Ralph sabe que ésa no es la dieta más sana y quiere asegurarse de que toma las cantidades adecuadas de los dos alimentos para satisfacer los requerimientos nutricionales. Él ha obtenido la información nutricional y de costo que se muestra en el siguiente cuadro. Ralph quiere determinar el número de porciones diarias (pueden ser fraccionales) de res y papas que cumplirían con estos requerimientos a un costo mínimo.

Fuente: (Hillier, 2010. Pag 74)

Formule un modelo de programación entera 3) Weenies and Buns es una planta procesadora de alimentos que fabrica hot dogs y pan para hot dogs. Muelen su propia harina a una tasa máxima de 200 libras por semana. Cada pan requiere 0.1 libras. Tienen un contrato con Pigland, Inc., que especifica la entrega de 800 libras de productos de puerco cada lunes. Cada hot dog requiere 1/4 de libra de producto de puerco. Se cuenta con suficiente cantidad del resto de los ingredientes de ambos productos. Por último, la mano de obra consiste en 5 empleados de tiempo


16 completo (40 horas por semana). Cada hot dog requiere 3 minutos de trabajo y cada pan 2 minutos de este insumo. Cada hot dog proporciona una ganancia de $0.80 y cada pan $0.30. Weenies and Buns desea saber cuántos hot dogs y cuántos panes debe producir cada semana para lograr la ganancia más alta posible. Formule este problema con un modelo de programación entera.

TIPS Incorporar las restricciones de no negatividad y de valores enteros. Defina claramente los tres elementos principales de los modelos de programación entera: Función objetivo, variables de decisión y restricciones.

1.3 TEMA 2 FORMULACIÓN DE PROBLEMAS CON VARIABLES BINARIAS Existen ciertos tipos de problemas de producción, industriales y cotidianos en los cuáles la decisión no se enfoca en responder la pregunta de ¿Cuánto? Sino de definir si: Se ejecuta un proyecto en específico, Se contrata a determinado personal para un puesto de trabajo, Se construye una nueva planta de producción o bien Se hace una inversión de capital en terminado portafolio de servicios. En este tipo de situaciones, las únicas respuestas posibles son necesario la definición de variables de decisión binarias así:

–

Si o no; para lo cual se hace

  1   ó   0   ó   –


17

1.3.1 EJEMPLO PROTOTIPO Una joven pareja, Eve y Steven, quiere dividir las principales tareas del hogar (ir de compras, cocinar, lavar platos y lavar ropa) entre los dos, de manera que cada uno tenga dos obligaciones y el tiempo total para hacer estas tareas sea mínimo . La eficiencia en cada una de las tareas difiere entre ellos; la siguiente tabla proporciona el tiempo que cada uno necesita para cada tarea:

Considere los elementos principales de cualquier modelo de programación entera: Función Objetivo: Minimizar el tiempo total para realizar las tareas Variables de decisión: Note que en este caso no se trata de definir cuántas tareas hace cada uno sino cuáles tareas hace cada uno. En este caso se necesitas variables binarias que indiquen quién ejecuta cuál tarea. Restricciones: inicialmente se desea que cada uno realice exactamente dos actividades , independiente de cual sea; y segundo, cada actividad sólo puede ser realizada por uno de los dos (Esto es lo que se conoce como restricciones excluyentes). Con esto, ya se puede formular un modelo matemático de programación binaria así: Variables de decisión:

 1          ; 0    1  ;  2      1  ;2  ;3   ;4    Donde:

Función objetivo:


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4. 3: 3.4.15 7.8 3.6 2.9 4.9 2.8 TIPS

Recuerde: las variables de decisión sólo pueden tomar valores de 0 y 1. Restricciones: Exactamente dos actividades para Eve:

    2     2

Exactamente dos actividades para Steve:

Cada actividad se realiza sólo una vez: 

Para compras:



Para Cocina:



Para Lavar platos:



Para lavar ropa:

  1   1

  1   1


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1.3.2 TIPOS DE RESTRICCIONES 1.3.2.1 RESTRICCIONES EXCLUYENTES Se refiere a las situaciones en las cuales la aceptación o ejecución de una actividad implica que otra no se ejecute: En el ejemplo prototipo, las últimas restricciones son de este tipo pues si las compras son realizadas por Eve, automáticamente no puede ser realizada por Steve.

1.3.2.2 RESTRICCIONES CONDICIONANTES Se refiere a aquellas situaciones en las cuales la ejecución de una actividad depende de la realización de una actividad previa . Para el ejemplo prototipo, suponga que aquella persona que realice las compras debe realizar la actividad de lavar los platos. Esta restricción se puede representar así: Para Steve:



VARIABLE CONDICIONADA

 ≤

≤ 

VARIABLE CONDICIONANTE

En este caso, si Steve no hace las compras , tampoco tendrá que lavar los platos ; pues el valor de la derecha sería cero por lo que obligatoriamente el lado izquierdo también tendría que serlo.

1.3.2.3 RESTRICCIÓN DE COSTO FIJO Este tipo de restricciones se utiliza en aquellos problemas especialmente de producción, en los cuales la utilización o activación de la producción implica adicionalmente un costo fijo por uso de instalaciones, uso del suelo, entre otros.

Ejemplo: Suponga que un ingeniero debe decidir en cuál de sus dos líneas de producción programar la elaboración de determinada orden de trabajo. Para esto cuenta con las líneas 1 y 2. En la línea 1 la producción de la orden tiene un valor


20

unitario de 10 dólares; mientras que en la línea 2 tiene un costo unitario de 15 dólares (Esto por utilizar una tecnología avanzada). Por otra parte, se sabe que, si produce en la línea 1, se asume un costo fijo de 200 dólares, de igual manera si activa la línea 2 de asumir un costo de 100 dólares. En este caso se quiere minimizar el costo total de producción de la orden de trabajo. Función objetivo: Minimizar los costos totales (Costo de producir y costo fijo) Variables de decisión: Cantidad a producir y cuál o cuáles líneas activar Restricciones: El costo fijo se asume siempre y cuando se produzca en la línea Modelo matemático: Variables de decisión:

 ú  1   í    ; 0          í    :10 200 15 100  ≤

Función Objetivo:

Restricciones:

Donde M es un número considerablemente grande. Esta restricción implica que el costo fijo se

asumirá siempre y cuando se produzca en la línea 1. Observe que, si X1 es cero, obligatoriamente Y1 tendrá que ser cero. Similarmente para la línea 2:

 ≤

1.3.3 EJERCICIO DE APRENDIZAJE 1 Una empresa de bienes raíces, Peterson & Johnson, analiza cinco proyectos de desarrollo posibles. La siguiente tabla muestra las ganancias a largo plazo estimadas (valor presente neto)


21 que generaría cada proyecto y la inversión que se requiere para emprenderlo, en millones de dólares.

Los propietarios de la empresa, Dave Peterson y Ron Johnson, reunieron $20 millones de capital de inversión para estos proyectos. Ellos quieren elegir la combinación de proyectos que maximice la ganancia total estimada a largo plazo (valor presente neto) sin invertir más de $20 millones. Formule un modelo de Programación Binaria para este problema.

Función objetivo: Maximizar la ganancia total esperada Variables de decisión: En cuál o cuáles proyectos invertir Restricciones: Presupuesto disponible para inversión Modelo matemático: Variables de decisión:

         ;       :1 1.8 1.6 0.8 1.4 6 12 10 4 8 ≤20

Función Objetivo:

Restricciones:

De presupuesto:

1.3.4 EJERCICIO DE APRENDIZAJE 2 El consejo directivo de General Wheeis Co., estudia seis grandes inversiones de capital. Cada inversión se puede hacer sólo una vez. Estas inversiones difieren en la ganancia estimada a largo


22 plazo (valor presente neto) que generarán, así como en la cantidad de capital que requiere cada uno, como se muestra en la siguiente tabla (en millones de dólares):

Se dispone de $100 millones de dólares como capital total para estas inversiones. Las oportunidades de inversión 1 y 2 son mutuamente excluyentes, lo mismo que 3 y 4. Más aún, la oportunidad 3 no se puede aprovechar a menos que se invierta en la primera opción. No existen restricciones de este tipo sobre las oportunidades de inversión 5 y 6. El objetivo es elegir la combinación de inversiones de capital que maximice la ganancia estimada a largo plazo (valor presente neto).

a) Formule el modelo de programación binaria para este problema. Función objetivo: Maximizar la ganancia total esperada Variables de decisión: En cuál o cuáles proyectos invertir Restricciones: Presupuesto disponible para inversión, restricciones excluyentes y condicionantes. Modelo matemático: Variables de decisión:

 1        ;0      : 15 12 16 18 9 11 38 33 39 45 23 27 ≤100   ≤1

Función Objetivo:

Restricciones:

De presupuesto:

Excluyentes:


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Condicionante:

  ≤1

 ≤

1.3.5 TALLER DE ENTRENAMIENTO 1) La división de investigación y desarrollo de la Progresive Company está en proceso de desarrollar cuatro líneas de posibles nuevos productos. La administración debe decidir cuáles de estos cuatro productos fabricar y a qué niveles. Ha pedido al departamento de IO que formule un modelo de programación matemática para encontrar la mezcla de productos más redituable. La puesta en marcha de la fabricación de cualquier producto se asocia a un costo sustancial, que se proporciona en el primer renglón de la tabla. El objetivo de la administración es encontrar la mezcla de productos que maximice la ganancia total (ingreso neto total menos costos fijos).

Defina las variables de decisión continuas x1, x2, x3 y x4 como los niveles de producción de los productos 1, 2, 3 y 4. Por políticas de la empresa, la administración ha impuesto las siguientes restricciones sobre estas variables: 1. Como máximo, sólo deben fabricarse dos de estos productos. 2. El productos 3 se puede producir sólo si se fabrica el producto 2.

2) Una universidad está programando las clases para el próximo semestre académico y requiere buscar la mejor asignación posible de profesores a los distintos cursos que se deben dictar. Considere que existen 5 profesores: A, B, C, D, E y 5 cursos (asignaturas): C1, C2, C3, C4, C5. Adicionalmente, los profesores han manifestado sus preferencias por dictar los distintos cursos en una escala de 1 a 10, donde 10 es la máxima puntuación y 1 la mínima puntuación o preferencia. Se asume que cada profesor es


24 apto para dictar cualquier curso, independiente del puntaje de su preferencia. La siguiente tabla resume las puntuaciones que asigna cada profesor a cada curso: CURSOS C1 C2 C3 C4 C5

A 5 7 9 8 6

PROFESORES B C D 8 5 9 2 3 6 10 8 9 7 9 7 9 9 10

E 7 8 8 8 5

Se ha establecido como criterio que cada profesor debe dictar sólo un curso y a la vez que cada curso obviamente debe tener un profesor. En base a lo anterior se desea encontrar la asignación de profesores que maximice el total de las preferencias. 3) El entrenador de un equipo de natación debe asignar competidores para la prueba de 200 metros de relevo combinado que irá a las Olimpiadas Juveniles. Como muchos de sus mejores nadadores son rápidos en más de un estilo, no es fácil decidir cuál de ellos asignar a cada uno de los cuatro estilos. Los cinco mejores nadadores y sus mejores tiempos (en segundos) en cada estilo son los siguientes:

El entrenador quiere determinar cómo asignar cuatro nadadores a los cuatro estilos de nado para minimizar la suma de los mejores tiempos correspondientes. Formule este problema con programación binaria.


25

TIPS Recuerde: la programación binaria se utiliza para responder preguntas de Cuál o Cuáles; para problemas de asignación y decisiones cuya respuesta sea Si o no


26

2 UNIDAD 2. TEORÍA DE COLAS 2.1.1 RELACIÓN DE CONCEPTOS




1. Los vehículos que llegan Correcto: la fuente de entrada se a un taller de refiere a los clientes o usuarios mantenimiento que ingresan al sistema Pregunta: ¿Qué es una fuente de entrada en teoría 2. Las máquinas que Incorrecto: Hacen parte de la de colas? esperan ser reparadas denominada cola de espera 3. El mecánico que repara Incorrecto: Se denominan las máquinas mecanismos de servicio


27 4. número de cabinas de Incorrecto: Se denominan atención en un banco mecanismos de servicio Pregunta


Incorrecto: Este tipo de distribuciones se utilizan para eventos dicotómicos y para tasas de llegadas respectivamente

1. Binomial y Poisson

Correcto: son las distribuciones más utilizadas para describir el comportamiento en los tiempos de llegada de los usuarios

Pregunta: ¿Cuáles de los 2. Exponencial y Erlang siguientes pares de distribuciones se utilizan para los tiempos entre llegadas de los usuarios al sistema? 3. Normal y uniforme

4. Hipergeométrica Lognormal

Pregunta


Incorrecto: Son distribuciones continuas no discretas que no miden los tiempos entre llegadas Incorrecto: Son distribuciones y poco utilizadas y específicas para problemas determinados diferentes a teoría de colas



Incorrecto: Los costos de Costo de servir y el costo infraestructura no son de infraestructura considerados en los sistemas de colas Pregunta: ¿Cuáles son los dos costos principales para medir Incorrecto: Los costos fijos no son 2. El costo de esperar y los la eficiencia de un sistema de considerados en los sistemas de costos fijos colas? colas Incorrecto: Estos costos no 3. El costo de inventario y tienen relación con la teoría de los costos ocultos colas.


28 Correcto: El equilibrio entre estos 4. El costo de servir y el dos costos permite seleccionar costo de esperar un sistema de colas eficiente

2.1.3 OBJETIVO GENERAL Establecer procedimientos para la toma de decisiones en modelos de colas en los procesos productivos partiendo de análisis costo-nivel de servicio.

2.1.4 OBJETIVOS ESPECÍFICOS  Identificar las características principales de los modelos de colas  Construir modelos de colas a partir del cálculo de las principales medidas de desempeño  Desarrollar habilidades para la toma de decisiones en sistemas de colas partiendo de relaciones costo-beneficio.

2.2 TEMA 1 CONCEPTOS BÁSICOS DE TEORÍA DE COLAS A continuación, se describirán las características principales de un sistema de colas y las aplicaciones en los sistemas productivos y de servicios presentes en la cotidianidad

2.2.1 IMPORTANCIA DE LOS MODELOS DE COLAS Las colas o líneas de espera hacen parte de la vida cotidiana . Todos los individuos hacen parte

de las colas cuando van a adquirir alimentos a un supermercado, cuando van en la vía y deben pasar un peaje, cuando se desea retirar dinero de un cajero o hacer un trámite en un banco. Las colas hacen parte fundamental de muchos procesos cotidianos y afectan directamente la eficiencia de la economía y la calidad de vida de la población . En los procesos productivos

también se presentan comportamientos de este tipo: la reparaciones o mantenimientos de las máquinas cuando se cuenta con un número limitado de mecánicos; los vehículos que esperan en la zona de cargue el momento en que puedan acceder a la bahía y ser despachos por las compañías.


29

2.2.2 MODELOS DE COLAS Los modelos de líneas de espera son muy útiles a la hora de definir la capacidad de atención que debería tener el sistema productivo; pues:

Una capacidad excesiva puede generar un sobrecosto importante en el sistema; mientras que una capacidad limitada genera un incremento en las esperas y una reducción en la eficiencia de los procesos.

2.2.3 ELEMENTOS DE LOS MODELOS DE COLAS 2.2.3.1 PROCESO BÁSICO DE COLAS En la siguiente figura se presenta el proceso elemental de un sistema de colas. Una entidad o cliente ingresa a un sistema y se une a una cola de clientes que previamente se encuentran en él . Posteriormente se elige a un individuo de la cola para ser atendido de acuerdo a una determinada regla llamada disciplina de la cola. Así, el usuario es atendido a partir de un mecanismo de servicio y finalmente sale del sistema.

Fuente: (Hillier, 2010).

2.2.3.2 FUENTE DE ENTRADA Se refiere principalmente a la población o clientes potenciales que pueden ingresar al sistema de colas. El tamaño de la población puede ser Finito o Infinito. Normalmente para efectos de simplicidad, se asume que la población es infinita salvo que se exprese lo contrario en algunos casos particulares. Por otra parte, es de fundamental importancia definir el proceso estadístico que describe las llegadas de los clientes al sistema; esto se hace a partir de funciones de distribución de probabilidad que se verán más adelante.


30

2.2.4 COLA Es el espacio físico donde los clientes esperan a ser atendidos ; esta puede ser de tamaño finito (en función de la disponibilidad de espacio o celdas de espera) o de tamaño infinito incluso cuando se sabe que existe una cota superior, pero en un valor numérico lo suficientemente elevado.

2.2.5 DISCIPLINA DE LA COLA Se refiere a la manera como son atendidos los clientes que se encuentran en espera:

Primero en entrar, primero en ser atendido; orden aleatorio, orden preferencial según alguna característica de los clientes o cualquier otra regla que se pueda establecer. Lo convencional es que las líneas de espera manejen una disciplina de primeros en entrar, primeros en ser atendidos.

2.2.5.1 MECANISMOS DE SERVICIO Consiste en una o más estaciones de servicio en las cuales atienden uno o más servidores. En las líneas de espera se pueden presentar diferentes configuraciones en el mecanismo de servicio, el más usual es aquel que considera una sola estación de servicio con uno o más servidores en paralelo (como ejemplo puede considerarse el servicio de un cajero en el banco, las casetas de servicio en un peaje, los empleados de un callcenter). También pueden presentarse sistemas de líneas de espera que se configuran como un servicio en serie (es decir, primero es atendido por

un servidor, para luego pasar a la cola de otro servidor y así sucesivamente). Al igual que en la fuente de entrada, se requiere conocer la distribución estadística que caracteriza los tiempos de servicio, definidos como el espacio de tiempo requerido desde que el cliente se acerca al servidor hasta el momento en el cual el cliente sale del sistema.


31

2.2.6 EJERCICIO DE APRENDIZAJE En cada una de las siguientes situaciones, identifique al cliente, al servidor, fuente de entrada, disciplina de la cola: 1) Aviones que llegan a un aeropuerto. 2) Sitio de taxis que atiende a pasajeros que esperan. 3) Herramientas verificadas en un taller de maquinado Para a)

Cliente: Aviones Servidor: Pistas en el aeropuerto Fuente de entrada: Infinita Disciplina de la cola: Puede ser FIFO aunque se puede manejar bajo prioridades (urgencia, nivel de combustible) Para b)

Cliente: pasajeros Servidor: taxis Fuente de entrada: Infinita Disciplina de la cola: primero en entrar, primero en salir Para c)

Cliente: herramientas Servidor: mecánico que verifica la herramienta Fuente de entrada: Infinita


32

Disciplina de la cola: Aleatoria

2.2.7 TALLER DE ENTRENAMIENTO 1) En cada una de las siguientes situaciones, identifique al cliente, al servidor, fuente de entrada, disciplina de la cola:  Cartas procesadas en una oficina postal.  Inscripción para clases en una universidad.  Casos en cortes legales.  Operación de pagar en un supermercado.  Operación de un estacionamiento.  Pago de un peaje  Una llamada a una central de servicios

2) ¿Cierto o falso?  Un cliente impaciente que espera puede salirse de la cola.  Si se anticipa un largo tiempo de espera, un cliente que llega puede desistir de hacer cola.  Cambiarse de una cola a otra tiene por objeto reducir el tiempo de espera.

TIPS Recuerde: un sistema de colas está definido por una fuente de entrada, unos clientes, una cola y su respectiva disciplina, un mecanismo de servicio y un conjunto de servidores.


33

2.3 TEMA 2 MODELOS DE COLAS Los modelos que se trabajan en este módulo consideran que los tiempos de llegada al sistema y los tiempos de atención de los servidores son independientes e idénticamente distribuidos, es decir, que no se modifican en función del número de individuos que se encuentren en el sistema. Por convención, los modelos de colas se etiquetan de la siguiente manera:

Fuente: (Hillier, 2010) Donde:

M= Distribución exponencial D= Distribución degenerada Ek= Distribución Erlang G= Distribución general

2.3.1 TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN Para efectos de los modelos de cola, se utilizará la siguiente terminología y su respectiva notación: Estado del sistema= número de clientes en el sistema Longitud de la cola= número de clientes que esperan a ser atendidos

 ú                       


34

ú              ú                     ú       ú       ú                       2.3.2 MODELOS DE COLAS BASADOS EN PROCESOS DE NACIMIENTO Y MUERTE Para estos modelos, se considera que los tiempos entre llegadas al sistema se consideran con distribución de probabilidad Poisson y tiempos de servicio distribuidos de manera exponencial.

2.3.2.1 MODELO M/M/1 En este modelo se consideran que:

Los tiempos de llegada al sistema se distribuyen Poisson, los tiempos de servicio de manera exponencial y un solo servidor. A continuación, se presenta la manera de calcular cada una de las medidas de desempeño del sistema de colas para este modelo:

  1      1 


       1  

35

EJEMPLO Un restaurante de comida rápida tiene una ventanilla para servicio en su auto. Los autos llegan según una distribución de Poisson a razón de dos cada 5 minutos. El espacio en frente de la ventanilla puede acomodar a lo sumo 10 autos, incluso el que se está atendiendo. Los demás autos pueden esperar afuera de este espacio si es necesario. El tiempo de servicio por cliente es exponencial, con una media de 1.5 minutos. Determine lo siguiente: (a) La probabilidad de que la ventanilla esté ociosa. (b) La cantidad estimada de clientes que esperan ser atendidos. (c) El tiempo de espera hasta que un cliente llega a la ventanilla para hacer su pedido. (d) La probabilidad de que la línea de espera exceda la capacidad de 10 espacios Inicialmente se deben identificar las siguientes características:

Tasa de llegada: Poisson a razón de dos autos cada cinco minutos Tasa de servicio: Exponencial a razón de 1.5 minutos por auto Servidores: 1 Así entonces:

 52 0,4  1       1.5  0,66 


36 (a) La probabilidad de que la ventanilla esté ociosa

 1 0,0,646 0,394

Hay una probabilidad del 39.4 % de que la ventanilla se encuentre ociosa (b) La cantidad estimada de clientes que esperan ser atendidos.

 0. 4  0.660.660.4 0,93     0.660.0.6460.4 2.33   0. 4 0. 4  1 0.660.66 0,0015

(c) El tiempo de espera hasta que un cliente llega a la ventanilla para hacer su pedido

(d) La probabilidad de que la línea de espera exceda la capacidad de 10 espacios

Existe una probabilidad del 0,15% de que la línea de espera exceda la capacidad de 10 espacios.

2.3.2.2 MODELO M/M/1 CON COLA FINITA Esta variación del modelo anterior indica que el sistema de colas que se está analizando sólo tiene capacidad para K Clientes (es decir K-1 clientes en la cola), de tal manera que si un cliente llega justo cuando hay k clientes en el sistema, no puede ingresar y no es considerado en los cálculos de las medidas de desempeño. Las ecuaciones utilizadas paras las medidas de desempeño son las siguientes:

    11+


37

  11+ ∗ +    1∗  1  1+  1  1   1  2.3.2.2.1 EJEMPLO En la tienda de Eat & Gas funciona una estación de gasolina de una bomba. El carril que conduce a la bomba puede alojar cuando mucho 3 autos (automóviles) , excluyendo al que se le está dando atención. Los autos que llegan se van a otra parte si el carril está lleno. La distribución de los autos que llegan es de Poisson con media de 5 por hora. El tiempo para llenar el tanque y pagar es exponencial con media de 6 minutos . Determine lo siguiente: (a) El porcentaje de autos que buscarán servicio en otra parte. (b) El porcentaje de tiempo que la bomba está en uso. (c) La probabilidad de que un auto que llega no inicie el servicio de inmediato pero que encuentre un espacio vacío en el carril

Tasa de llegada: Poisson a razón de 5 autos por hora Tasa de servicio: Exponencial a razón de 6 minutos por auto Servidores: 1 Capacidad del sistema: 4 automóviles Así entonces:

     


38

    ∗      ,    ,,+ , ,    , + ∗, ,

Así entonces, el porcentaje de tiempo que la bomba estará en uso será del 48,35% Para determinar el porcentaje de autos que buscarán servicio en otra parte:

El 3,2% de los autos deberán buscar servicio en otra bomba de gasolina Ahora, para calcular la probabilidad de que un automóvil no sea atendido de inmediato pero que encuentre celda disponible se hace lo siguiente:

       ,, , 2.3.2.3 MODELO M/M/S

Para un modelo con tasa de llegadas Poisson y tiempos de servicio exponencial con múltiples servidores , se debe garantizar que:

   <1

De tal manera que el sistema de colas pueda alcanzar una condición de estado estable y se puedan utilizar las siguientes ecuaciones:

  ∑−= !  ! ∗ −  


39

  !∗ ∗ ∗  >   ! ∗ ≤   !   ∗       !   ∗     !   ∗     !   ∗   2.3.3 EJERCICIO DE APRENDIZAJE Una pequeña oficina de correos tiene dos ventanillas abiertas. Los clientes de acuerdo con una distribución de Poisson a razón de 1 cada 3 minutos . El tiempo de servicio por cliente es exponencial, con una media de 5 minutos . Todos los clientes que llegan forman una línea y acceden a las ventanillas con base en la disciplina de primero en llegar, primero en ser atendido (FCFS). (a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega espere en la línea? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas ventanillas estén ociosas? (c) ¿Cuál es la longitud promedio de la línea de espera?

Tasa de llegada: Poisson a razón de 1 persona cada tres minutos Tasa de servicio: Exponencial a razón de 5 minutos por persona Servidores: 2 Así entonces:

 31 0,33 


40

 5 1  0,2 

RECUERDE QUE SE DEBE GARANTIZAR QUE:

En este caso:

   <1

 20,03.23 <1

Es decir, se cumple con la condición de estado estable.

Como todas las medidas de desempeño dependen de calcular Po, esta debe ser el primer cálculo que se debe realizar y de esta manera se da respuesta directa a la pregunta del literal b:

   0,0,323 1,65   ∑−= !  !1 ∗1 −   1,0!65  1,1!65  1,12!65 ∗1 1,265−  11,651,1361∗5.714 0,09 Así, la probabilidad de que las dos ventanillas se encuentren ociosas es del 9% (a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega espere en la línea?

Para que un cliente tenga que esperar, debe haber por lo menos dos clientes en el sistema, es decir que se debe calcular la siguiente probabilidad:

Calculemos P1 y P2:

 1, 6 5   2! ∗0,090,074 Luego:

 ≥21 


41

 >2 1 0,090,074 0,164

Así, existe una probabilidad del 16,4 % de tener que esperar al llegar al sistema. (c) ¿Cuál es la longitud promedio de la línea de espera?

    1!   ∗        0 , 3 3 0 , 2 1 , 6 5  2 1! 20,20,33 ∗0,090,0049      2.3.4 TALLER DE ENTRENAMIENTO 1) El centro de cómputo de la U de A está equipado con cuatro maxicomputadoras idénticas. La cantidad de usuarios en cualquier momento es de 25. Cada usuario es capaz de enviar un trabajo desde una terminal cada 15 minutos en promedio, pero el tiempo real entre envíos es exponencial. Los trabajos que llegan automáticamente se van a la primera computadora disponible. El tiempo de ejecución por envío es exponencial con una media de 2 minutos. Calcule lo siguiente: *(a) La probabilidad de que un trabajo no se ejecute de inmediato inmediatamente después de enviarlo. (b) El tiempo promedio hasta que los resultados de un trabajo se le devuelvan al usuario. (c) El promedio de trabajos en espera de ser ejecutados. (d) El porcentaje de tiempo que todo el centro de cómputo está ocioso. 2) El restaurante de comida rápida McBurger opera con 3 cajas. Los clientes llegan, de acuerdo con una distribución de Poisson, cada 3 minutos y forman una línea para ser atendidos por la primera caja disponible. El tiempo para completar un pedido está distribuido exponencialmente con una media de 5 minutos. La sala de espera en el interior del restaurante está limitada. Sin embargo, la comida es buena, y los clientes están dispuestos a esperar afuera del restaurante, si es necesario. Determine a) la probabilidad de encontrar las cajas ocupadas. b) la probabilidad de que las cajas se encuentren ociosas y c) el número promedio de clientes en el sistema. 3) Los clientes llegan al Thrift Bank según una distribución de Poisson, con una media de 45 clientes por hora. Las transacciones por cliente tardan alrededor de 5 minutos y están distribuidas exponencialmente. El banco desea utilizar una sola línea y varias cajas, similar a las que se utilizan en aeropuertos y algunas dependencias. El gerente es consciente de


42 que los clientes pueden irse a otros bancos si perciben que su espera en la línea es “excesiva”. Por esta razón, el gerente desea limitar el tiempo de espera en la cola a no más de 30 segundos. ¿Cuántas cajas debe poner en servicio el banco? 4) La compañía 4M tiene un torno como pieza central del trabajo de la planta. Los trabajos llegan según un proceso Poisson con tasa media de 2 por día. El tiempo de procesado de cada trabajo tiene distribución exponencial con media de 1/4 día. Calcule todas las medidas de desempeño vistas en la sección 3.3.2

TIPS Recuerde: hacer un análisis previo para determinar la tasa de llegadas y de servicio del sistema de colas, el número de servidores. Muy importante verificar las unidades temporales de las tasas de llegada y servicio, pues deben estar en las mismas unidades (horas, minutos, días, semanas). En caso de que las tasas se encuentren en unidades diferentes, debe realizar la respectiva conversión.

2.4 TEMA 3 APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE COLAS Teniendo en cuenta el valor de la información que brindan los modelos de colas, estas medidas de desempeño tienen fundamental importancia en el diseño o rediseño de los sistemas de colas. Las decisiones más usuales para la instalación de una línea de espera son:

Número de servidores a ubicar, Eficiencia y ocupación de los servidores, Tamaño de las instalaciones para los clientes en espera,


43 Disciplina de la fila para mejorar su desempeño, entre otras. Para la toma de estas decisiones, se deben considerar dos aspectos fundamentales: el costo asociado con el servicio y el costo que genera la espera de los clientes en el sistema. Es claro que hay una relación inversa entre estos dos costos, pues

En la medida que se incremente el número de servidores, el costo de servicio aumentará mientras el costo de esperar se reduce; A su vez ofrecer un menor número de servidores genera un menor costo de servicio, pero incrementa el costo de la espera. Así, lo importante es encontrar:

Punto de equilibrio que minimice ambos costos. En la siguiente gráfica se muestra el comportamiento de los costos totales, que vienen siendo la suma de los costos de esperar y los costos de servicio; en función del número de servidores. Note que el costo de espera se reduce fuertemente al incrementar los servidores, sin embargo, luego de cierto nivel de servidores este costo se estabiliza.

Fuente (Hillier, 2010)


44 En lo que se refiere a la decisión de cuántos servidores utilizar para minimizar el costo total esperado de gestión del sistema, se puede utilizar la siguiente ecuación:

Donde:

    ∗ ∗                     

Así entonces, se trata de buscar el número de servidores que minimice dicha ecuación ; por lo tanto, el procedimiento consiste en calcular el valor de L para s= 1, 2, 3…n de tal manera que se minimice el costo o bien para comparar entre una serie de modelos de colas con diferente número de servidores, cuál de ellos es más eficiente desde el punto de vista de los costos.

2.4.1 EJERCICIO DE APRENDIZAJE Metalco va a contratar a un técnico en mantenimiento para un taller de máquinas. Se están considerando dos candidatos. El primero puede realizar reparaciones a razón de 5 máquinas por hora y gana $15 por hora. El segundo, por estar más calificado, recibe $20 por hora y puede reparar 8 máquinas por hora. Metalco estima que cada máquina descompuesta incurrirá en un costo de $50 por hora a causa de la producción perdida. Suponiendo que las máquinas se descomponen de acuerdo con una distribución de Poisson con una media de 3 por hora y que el tiempo de reparación es exponencial, ¿cuál técnico debe ser contratado? Para el mecánico 1

  $   $     á 


45

    á    .  á     ∗∗.  $    $   $     á   á       ,  á    50  20∗150∗0.6 $ ℎ Ahora calculamos L así:

Para el mecánico 2

Ahora calculamos L así:

De acuerdo con esta información, es pertinente contratar al segundo mecánico pues su costo esperado por hora es menor comparado con el mecánico 1.

2.4.2 TALLER DE ENTRENAMIENTO 1) B&K Groceries va a abrir una tienda que presumirá de constar con lectores de barras de “última generación”. El señor Bih, uno de los propietarios de B&K ha l imitado las opciones


46 a dos lectores: El lector A puede procesar 10 artículos por minuto, y el lector B puede leer 15 artículos por minuto. El costo diario de operación (10 horas) y mantenimiento de los lectores es de $25 y $35 para los modelos A y B respectivamente. Los clientes que terminan sus compras llegan a la caja de acuerdo con una distribución de Poisson a razón de 10 clientes por hora. Cada carrito lleva entre 25 y 35 artículos, distribuidos de manera uniforme. El señor Bih estima que el costo promedio por cliente que espera por minuto es aproximadamente de 20 centavos. ¿Cuál lector debe adquirir B&K? 2) La compañía Garret-Tompkins tiene tres copiadoras para uso de sus empleados. Sin embargo, debido a quejas recientes de la cantidad de tiempo que pierden en espera de que se desocupe una copiadora, la gerencia planea agregar una o más. Durante las 2 000 horas de trabajo al año, los empleados llegan al área de copiado según un proceso de Poisson con tasa media de 40 por hora. Se cree que el tiempo que cada empleado necesita una copiadora tiene distribución exponencial con media de 4 minutos. El costo promedio de la productividad perdida debida al tiempo que pasa un empleado en el área de copiado se estima en $40 por hora. La renta de cada copiadora es de $4 000 por año. Determine cuántas copiadoras debe tener la compañía para minimizar su costo total esperado por hora. 3) Jim McDonald, gerente del restaurante de hamburguesas McBurger, sabe que proporcionar un servicio rápido es la clave del éxito. Es posible que los clientes que esperan mucho vayan a otro lugar la próxima vez. Estima que cada minuto que un cliente tiene que esperar antes de terminar su servicio le cuesta un promedio de 30 centavos en negocio futuro perdido. Por lo tanto, desea estar seguro de siempre tener sufi cientes cajas abiertas para que la espera sea mínima. Un empleado de tiempo parcial opera cada caja, obtiene la orden del cliente y cobra. El costo total de cada empleado es de $9 por hora. Durante la hora del almuerzo, los clientes llegan según un proceso de Poisson a una tasa media de 66 por hora. Se estima que el tiempo necesario para servir a un cliente tiene distribución exponencial con media de 2 minutos. Determine cuántas cajas debe abrir Jim durante este tiempo para minimizar su costo total esperado por hora


47

TIPS Recuerde: Recuerda identificar el tipo de modelo de colas al que se refiere el problema, número de servidores y costos asociados. No olvides convertir todos los valores en las mismas unidades de medida.


48

3 UNIDAD 3. CADENAS DE MARKOV 3.1.1 RELACIÓN DE CONCEPTOS


49



1. un determinístico

2. un probabilístico

modelo

modelo

Pregunta: ¿Qué es una cadena de Markov? 3. un modelo estático

Explicación de la opción de respuesta Incorrecto: Las cadenas de Markov se utilizan para eventos bajo incertidumbre Correcto: Las cadenas de Markov muestran las relaciones probables de un estado presenta y unos estados futuros

Incorrecto: Las cadenas de Markov consideran los cambios en el tiempo

Incorrecto: Las cadenas de 4. Un modelo Markov son probabilísticas y determinístico y estático dinámicas Pregunta

Pregunta: ¿Tipo de estado en el cual la probabilidad de quedarse atrapado es 1?



1. Transitorio

Incorrecto: Estos estados tienen la probabilidad de ser abandonado en pocos pasos de transición

2. Absorbente

Correcto: son estados atrapantes, en caso de caer en ellos, es imposible salir en el futuro

3. Periódico

Incorrecto: Son estados que son visitados cada determinado tiempo


50 4. Recurrente

Pregunta

Incorrecto: Incorrecto: Estados que son visitados con una frecuencia alta en el futuro

2. Opciones de respuesta


Verdadero

Correcto: Correcto: Las cadenas de Markov sin estados absorbentes pueden alcanzar unas condiciones de estado estable que no dependen de la condición inicial en la que se encuentre la variable aleatoria

Pregunta: ¿Las cadenas de Markov sin estados absorbentes estabilizan sus probabilidades de transición en el largo plazo?

Falso

Incorrecto: Salvo Incorrecto: Salvo con estados absorbentes, todas las cadenas de Markov pueden encontrar condiciones de estado estable

3.1.3 OBJETIVO GENERAL Desarrollar modelos para procesos estocásticos partiendo de cadenas de Markov para la toma de decisiones estratégicas sobre el comportamiento del sistema evaluado.

3.1.4 OBJETIVOS ESPECÍFICOS  Identificar las características principales de las cadenas de Markov, uso y aplicaciones  Analizar las ecuaciones de estado estable de una cadena de Markov  Aplicar los conceptos de las cadenas de Markov para la toma de decisiones

3.2 TEMA 1 CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE CADENAS DE MARKOV Una cadena de Markov tienen la propiedad particular de que:


51

Las probabilidades que describen la forma como el proceso evolucionará en el futuro sólo depende de su estado actual, es decir, no considera los eeventos ventos pasados para pronosticar el estado futuro del evento que se esté midiendo. Como ejemplo podría considerarse el proceso en el cual se quiere determinar cuál será el estado del clima el día de mañana; si este proceso se puede describir como una cadena de Markov, la probabilidad de que mañana llueva o haga sol sólo depende de la condición actual, sin importar lo que haya pasado en los días anteriores.

3.2.1 PROCESO ESTOCÁSTICO Según (Hillier, 2010) “…Un proceso estocástico se define como una colección indexada de

variables aleatorias {Xt}, donde el índice t toma valores de un conjunto T dado.

Con frecuencia T se considera el conjunto de enteros no negativos mientras que Xt representa una característica característica de interés cuantificable cuantificable en en el tiempo tiempo t. Por ejemplo, Xt puede representar los niveles de inventario al final de la semana t; el estado de una máquina en el tiempo t; el número de clientes en una fila en el tiempo t, e ntre otros”.

3.2.2 PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN ESTACIONARIAS

{ +   |  } { +   |  } {    |   } parpara t  { +   |  } {    |  }

Las probabilidades condicionales se denomina probabilidad de transición de un solo paso y se denota como Pij (La probabilidad de encontrarse en el estado j dado que se encontraba en el estado i). Adicionalmente, si entonces se dice que las probabilidades de transición son estacionarias, es decir que no cambian con el tiempo por lo tanto se dnominan probabilidades de transición de n pasos y se denota como

2,3…n



Por otra parte, como son probabilidades condicionales, deben ser valores no negativos y adicionalmente deben satisfacer las siguientes propiedades:

0 ≤ ≤ 1   , ;   1, 2 … . =   1   ;  1, 2 …

Donde M es el número de posibles estados en los que se puede encontrar la variable aleatoria X. En síntesis, se debe garantizar que las probabilidades de transición sean un número entre


52 cero y uno y que la sumatoria de las probabilidades mutuamente excluyentes partiendo de un estado determinado, sume 1 (Lo que se conoce en estadística como probabilidad total ).

En cadenas de Markov, es usual representar estas probabilidades a partir de una denominada matriz de transición de n pasos como se muestra a continuación:

Fuente: (Hillier, 2010)

Cada valor dentro de la matriz representa la probabilidad de estar en el estado de la columna, dado que inicialmente se encontraba en el estado de la fila; es decir , los estados de la fila representan el presente, mientras que las columnas representan el futuro.

3.2.2.1 EJEMPLO Un profesor de ingeniería adquiere una computadora nueva cada dos años. El profesor puede elegir de entre tres modelos: Ml, M2 y M3 . Si el modelo actual es Ml, la siguiente computadora puede ser M2 con probabilidad 0.2, o M3 con probabilidad 0.15. Si el modelo actual es M2, las probabilidades de cambiar a Ml y M3 son 0.6 y 0.25, respectivamente. Pero si el modelo actual es M3, entonces las probabilidades de comprar los modelos Ml y M2 son 0.5 y 0.1, respectivamente. Represente la situación como una cadena de Markov. (Taha, 2004). Analicemos el problema como una cadena de Markov:

Variable aleatoria: aleatoria: Modelo de computadora que comprará en los próximos 2 años Estados: Son Estados: Son los posibles valores que puede tomar la variable aleatoria. En este caso los modelos M1, M2, M3


53

Matriz de transición M1

M2

M1 0.65 0.2 A = M2 0.6 M3 0.5

M3 0.15

0.15 0.25 0.1

0.4

Note que los valores en Negrita no fueron suministrados en el problema, sin embargo, si consideramos que la suma de las probabilidades de cada fila debe dar exactamente 1, es fácil de calcular dichos valores.

3.2.3 ECUACIONES DE CHAPMAN-KOLMOGOROV Las ecuaciones de Chapman- Kolmogorov presentan un procedimiento para calcular las matrices de transición de n paso de cualquier cadena de Markov transitoria. A continuación, se presenta en síntesis la manera como se puede hallar esta información. Para ampliar los detalles de la demostración, se remite al lector al texto de (Hillier, 2010, pag 682):

    ∗

Quiere decir que, si se requiere la matriz de transición de 2 pasos, conociendo la matriz de un solo paso simplemente se calcula lo siguiente:

Para el ejemplo del modelo de computadora, si se desea conocer la matriz de transición de dos pasos (que en este caso sería el comportamiento cuatro años después) se calcularía así:

  [0.0.665

0.0.125 0.0.1255]∗[0.0.665 0.0.125 0.0.1255] 0.5 0.1 0.4 0.5 0.1 0.4


54

  [0.0.661705

0.0.117567 0.0.220828] 0.585 0.135 0.28

3.2.4 CLASIFICACIÓN DE LOS ESTADOS DE UNA CADENA DE MARKOV Según (Taha, 2004), Los estados de una cadena de Markov se clasifican con base en la probabilidad de transición pij de P. 1. Un estado j es absorbente si está seguro de regresar a sí mismo en una transición; es decir, pij = 1.

2. Un estado j es transitorio si puede llegar a otro estado, pero no puede regresar desde otro estado.

3. Un estado j es recurrente si la probabilidad de ser revisitado desde otros estados es 1. Esto puede suceder si, y sólo si, el estado no es transitorio.

4. Un estado j es periódico con periodo de t>1 si es posible un retorno sólo en t, 2t, 3t,… pasos. Esto significa que cuando

P_ij^n=0 n no es divisible entre t

3.2.5 TALLER DE ENTRENAMIENTO 1) Pliskin and Tell (1981). Los pacientes que sufren de falla de riñón pueden conseguir un trasplante o someterse a diálisis periódicas. Durante un año cualquiera, 30% se somete a trasplantes cadavéricos y 10% recibe riñones de donadores vivos. En el año después de un trasplante, 30% de los trasplantes cadavéricos y 15% de los recipiendarios de donadores vivos regresan a la diálisis. Los porcentajes de muertes entre los dos grupos son 20% y


55 10%, respectivamente. De aquellos que están en el grupo de diálisis, 10% mueren, y de los que sobreviven más de un año después de un trasplante, 5% mueren y 5% regresan a la diálisis. Represente la situación como una cadena de Markov y calcule la matriz de transición de 2 años. 2) Una computadora se inspecciona cada hora. Se encuentra que está trabajando o que está descompuesta. En el primer caso, la probabilidad de que siga así la siguiente hora es de 0.95. Si está descompuesta, se repara, lo que puede llevar más de una hora. Siempre que la computadora esté descompuesta (sin importar cuánto tiempo pase), la probabilidad de que siga descompuesta una hora más es de 0. 5. a) Construya la matriz de transición de un paso de esta cadena de Markov. 3) Un fabricante tiene una máquina que cuando empieza a operar al inicio del día tiene una probabilidad de 0.1 de descomponerse en algún momento de ese día. Cuando esto ocurre, la reparación se hace al siguiente día y se termina al finalizar ese día. a) Formule la evolución del estado de la máquina como una cadena de Markov; identifique los tres estados posibles al final del día y después construya la matriz de transición (de un paso).

3.3 TEMA 2 PROPIEDADES A LARGO PLAZO DE LAS CADENAS DE MARKOV Para cualquier matriz de transición que represente una cadena de Markov, en la medida que se incrementa el paso n de transición, las probabilidades de cada estado j (Estado futuro) se estabilizan sin importar el estado inicial en que se haya encontrado el sistema. Es decir que, en

el largo plazo las probabilidades de encontrarse en un estado j son independientes de la condición inicial en que haya iniciado el proceso. En términos matemáticos:

  

l→∞im   >0

Donde se denomina probabilidad de estado estable o de largo plazo de encontrarse en el al ser probabilidades deben satisfacer las siguientes condiciones: estado j. Estos

  =   0,1 …


56

 1  =

Al presentar las condiciones anteriores, se generar M+1 ecuaciones lineales con M incógnitas, por lo que una de las ecuaciones se vuelve irrelevante y se puede eliminar del sistema de ecuaciones. Si aplicamos estas propiedades en el ejemplo prototipo de los modelos de computador:

 .. .. ..  . . .

Recuerde que se genera una ecuación sobrante, por lo que se puede descartar la que considere pertinente. Se recomienda eliminar aquella ecuación que contenga mayor número de incógnitas, en caso de empate puede seleccionar cualquiera de ellas. Al resolver el sistema de ecuaciones se encuentra que:

 .  .  .

Esto quiere decir que, en largo plazo, la probabilidad de comprar cualquiera de los modelos es exactamente la misma. Es importante citar que este resultado es coincidencial, no necesariamente los valores deben ser iguales.

3.3.1 TIEMPO ESPERADO DE RECURRENCIA En las cadenas de Markov y los procesos estocásticos es interesante analizar el tiempo requerido o número de transiciones necesarias para que el sistema o proceso regrese a un estado j . Esta medida se denomina tiempo esperado de recurrencia y se puede calcular a partir de las probabilidades de estado estable así:



1     1, 2 …


57 Para el caso del ejemplo prototipo:

  0,133 3    0,133 3    0,133 3 

Quiere decir, que después de haber adquirido un modelo tipo 1, se espera que, en tres periodos de dos años, es decir en 6 años, vuelva a elegir un computador de ese modelo. El análisis es igual para los demás modelos.

3.3.2 TIEMPO ESPERADO DE PRIMERA PASADA Adicionalmente a los tiempos de recurrencia, también es de interés calcular el tiempo esperado necesario para estar en un estado j por primera vez al haber iniciado el proceso en un estado i . A continuación, se expresa el procedimiento a realizar:

‖‖()−1  ≠                 é   ó  é     1   1      1 .   .  .    [ ..  .. ..] Donde:

Para el ejemplo de los modelos de computadores, si se desea conocer cuál es el tiempo esperado de primera pasada para comprarse el modelo 2 luego de haber adquirido el modelo 1 o 3; se procede así:


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    ..  ..  − − .   .   ( ) .  .   ..  ..  ..  .. ∗..  De modo que:

Quiere decir que se esperan 5.5 periodos de tiempo para que compre un modelo tipo 2 de computadora, luego de haber adquirido un modelo tipo 1, y 6.3 periodos de tiempo después de haber adquirido un modelo tipo 3.

3.3.3 ESTADOS ABSORBENTES

 

Según Hillier, un estado k se llama estado absorbente si , de manera que una vez que la cadena llega al estado k permanece ahí para siempre. Si k es un estado absorbente y el proceso comienza en el estado i, la probabilidad de llegar en algún momento a k se llama probabilidad de absorción al estado k, dado que el sistema comenzó en el estado i . Esta probabilidad se denota por .



Para calcular estas probabilidades, se deben realizar el siguiente procedimiento:


59 Identificar los estados absorbentes y los estados recurrentes.

Los estados absorbentes se deben ubicar en las últimas filas y columnas.

Llame N a la matriz generada por los estados recurrentes

Llame A a la matriz generada por las filas de los estados recurrentes y las columnas de los estados absorbentes La probabilidad de absorción en el estado k partiendo del estado i está dada por:

f_ik=(I-N)^(-1) A

3.3.3.1 EJEMPLO Suponga la siguiente matriz de transición de un solo paso:

1 0 0 0 0.0.065 0.0.1010 0.0.0225 0.0.1025

Apliquemos los pasos descritos previamente:

Paso 1. El estado 1 y 4 son absorbentes Paso 2. Reordenar la matriz


60

0. 2 5 0. 1 0 0. 6 0. 0 5  0.002 0.001 0.105 0.012  Paso 3.

00..225 0.0.11  00..65 0.0.025 − 1 0 0 . 2 5 0. 1   −   0 1 0.2 0.1 ∗00..65 0.0.025 − 0. 7 5 0. 1    −   0.2 0.9  ∗00..65 0.0.025  −   10..337 1.0.1145∗00..65 0.0.02500..87975 0.0.12035  Paso 4.

Paso 5.

En el resultado final, las filas corresponden a los estados recurrentes en el mismo orden de la matriz original , y las columnas pertenecen a los estados absorbentes de la cadena de Markov. En este caso el 89.7 % de las veces, al iniciar en el primer estado recurrente terminará absorbido en el estado absorbente 1, mientras que, si se inicia en el estado recurrente 2, el 25% de las veces terminada en el estado absorbente 2.

3.4 TEMA 3. APLICACIONES Y EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1) En el Casino del Río, un apostador puede apostar en dólares enteros. Cada apuesta gana $1 con probabilidad de .4 o pierde $1 con probabilidad de .6. Comenzando con tres dólares, el apostador se retirará si pierde todo el dinero o bien lo duplica. (a) Exprese el


61 problema como una cadena de Markov. (b) Determine la probabilidad de terminar el juego con $6. De perder los $3 2) A Joe le encanta salir a comer a los restaurantes del área. Sus comidas favoritas son la mexicana, la italiana, la china y la tailandesa. En promedio, Joe paga $10,00 por una comida mexicana, $15.00 por una comida italiana, $9.00 por una comida china, y $11.00 por una comida tailandesa. Los hábitos alimenticios de Joe son predecibles: Hay 70% de probabilidad de que la comida de hoy sea una repetición de la de ayer y probabilidades iguales de que cambie a una de los tres restantes. (a) ¿Cuánto paga Joe en promedio por su comida diaria? (b) ¿Con qué frecuencia consume Joe comida mexicana? 3) Warehouzer posee un bosque renovable para plantar pinos. Los árboles caen dentro de una de cuatro categorías según su edad: bebés (0-5 años); jóvenes (5-10 años); maduros (11-15 años), y viejos (más de 15 años). Diez por ciento de los árboles bebés y jóvenes se muere antes de llegar al siguiente grupo de edad. Por lo que se refiere a los árboles maduros y viejos, 50% se talan y sólo 5% se mueren. Debido a la naturaleza de renovación de la operación, todos los árboles talados y muertos son reemplazados con árboles nuevos (bebés) al final del siguiente ciclo de cinco años. (a) Exprese la dinámica del bosque como una cadena de Markov. (b) Si el bosque puede contener un total de 500,000 árboles, determine la composición a largo plazo del bosque. 4) Una agencia de renta de automóviles tiene oficinas en Phoenix, Denver, Chicago y Atlanta. La agencia permite rentas en una y en dos direcciones de modo que los automó- viles rentados en un lugar pueden terminar en otro. Las estadísticas muestran que al final de cada semana 70% de todas las rentas son en dos direcciones. En cuanto a las rentas en una dirección: Desde Phoenix, 20% van a Denver, 60% a Chicago, y el resto va a Atlanta; desde Denver, 40% va a Atlanta y 60% a Chicago; de Chicago, 50% va a Atlanta y el resto a Denver; y desde Atlanta, 80% va a Chicago, 10% a Denver, y 10% a Phoenix. (a) Exprese la situación como una cadena de Markov. (b) Si cada lugar está diseñado para manejar un máximo de 110 autos, ¿habría a la larga un problema de disponibilidad de espacio en cualquiera de los lugares? (c) Determine el promedio de semanas que transcurren antes de que un auto regrese a su lugar de origen.


62

3.4.1 TALLER DE ENTRENAMIENTO 1) 5. Los clientes pueden ser leales a marcas de productos, pero pueden ser persuadidos mediante publicidad y mercadotecnia inteligentes para que cambien de marcas. Considere el caso de tres marcas: A, B y C. Los clientes que se “mantienen” leales a una

marca dada se estiman en 75%, con un margen de sólo 25% para que sus competidores hagan un cambio. Los competidores lanzan sus campañas publicitarias una vez al año. Para los clientes de la marca A, las probabilidades de que cambien a las marcas B y C son de .1 y .15, respectivamente. Los clientes de la marca B son propensos a cambiar a las marcas A y C, con las siguientes probabilidades: .2 y .05 respectivamente. Los clientes de la marca C pueden cambiar a las marcas A y B con probabilidades iguales. (a) Exprese la situación como una cadena de Markov. (b) A largo plazo, ¿qué tanto segmento del mercado dominará cada marca? (c) ¿Cuánto tiempo en promedio le llevará a un cliente de la marca A cambiar a la marca B? 2) 6. En un torneo de tenis de individuales, Andre y John están jugando un partido por el campeonato. El partido se gana cuando uno de los jugadores gana tres de cinco “sets”.

Las estadísticas muestran que hay 60% de probabilidades de que Andre gane cualquier set. (a) Exprese el partido como una cadena de Markov. (b) En promedio, ¿cuánto durará el partido, y cuál es la probabilidad de que Andre gane el campeonato? (c) Si el marcador es 1 set a 2 a favor de John, ¿cuál es la probabilidad de que Andre gane?

TIPS Recuerde: identificar los estados de la cadena de Markov y la dinámica de las transiciones No olvides las leyes de probabilidad a la hora de realizar los cálculos de las matrices de transición. Un estado absorbente es aquel cuyo valor en la diagonal principal de la matriz es equivalente a 1.


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4 PISTAS DE APRENDIZAJE

Incorporar las restricciones de no negatividad y de valores enteros. Defina claramente los tres elementos principales de los modelos de programación entera: Función objetivo, variables de decisión y restricciones. Recuerde: la programación binaria se utiliza para responder preguntas de Cuál o Cuáles ; para problemas de asignación y decisiones cuya respuesta sea Si o no Recuerda: un sistema de colas está definido por una fuente de entrada, unos clientes, una cola y su respectiva disciplina, un mecanismo de servicio y un conjunto de servidores. Recuerde: hacer un análisis previo para determinar la tasa de llegadas y de servicio del sistema de colas, el número de servidores Muy importante verificar las unidades temporales de las tasas de llegada y servicio, pues deben estar en las mismas unidades (horas, minutos, días, semanas). En caso de que las tasas se encuentren en unidades diferentes, debe realizar la respectiva conversión. Recuerda identificar el tipo de modelo de colas al que se refiere el problema, número de servidores y costos asociados No olvides convertir todos los valores en las mismas unidades de medida. Recuerda identificar los estados de la cadena de Markov y la dinámica de las transiciones No olvides las leyes de probabilidad a la hora de realizar los cálculos de las matrices de transición. Un estado absorbente es aquel cuyo valor en la diagonal principal de la matriz es equivalente a 1.


64

5 GLOSARIO 









Absorción: Tipo de estado de una cadena de Markov en la cual, luego de llegar a él, es imposible salir. Binario: Se refiere al conjunto de elementos que sólo tienen dos valores posibles: cero y uno Cadena de Markov: Conjunto de posibles estados futuros de un proceso que sólo dependen de la condición actual, sin interesar el estado pasado Cola: se refiere a las situaciones en las cuales el usuario o cliente debe esperar para ser atendido por un servidor Cola finita: se puede presentar que físicamente se cuente con un espacio limitado para ubicar a los usuarios que se encuentran en espera



Costo fijo: Valor económico asociado con la activación de un recurso.



Estados: Se refiere al conjunto de posibilidades en las que puede encontrarse un proceso







Matriz de transición: Arreglo de valores probabilísticos que definen la dinámica de cambios en los estados de una cadena de Markov Servidor: es el individuo o mecanismo que genera el servicio que presta el sistema productivo Excluyente: se refiere a la condición en la cual el cumplimiento de una acción, impide de manera automática la consideración de otra.

Investigación De Operaciones Ii: Ingeniería Industrial

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