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PROBLEMAS INVESTIGACION DE OPERACIONES II PROBLEMA 1.
Un fabricante tiene cuatro órdenes órdenes de producción: A, B, C y D. La tabla que se incluye indica el número de horashombre que se requieren para fabricar estas órdenes en cada uno de los tres talleres !", #, #, $% de la industria. &s posible di'idir una orden entre 'arios talleres, por e(emplo, parte de la orden A puede ser procesada en ", parte en #, y parte en $. As) mismo, cualquier taller puede e(ecutar fracciones de 'arias órdenes.
*i el fabric fabricant ante e desea desea minimi minimi+ar +ar los costos costos de produc producció ción, n, establ estable+c e+ca a el plante planteami amient ento o del proble problema ma !unci !unción ón ob(eti ob(eti'o 'o y restric restriccio ciones nes%. %. Defina Defina las 'ariables a emplear y e-plique su sinificado. SOLUCION
"/: " !01% "2: # !0/% "3: $ !04% .5 6in7 01"/ 8 0/"2 8 04"3
&n la cuarta fila la suma de la 'ariable " no tiene horas hombres disponibles por eso no podemos seuir resol'iendo el problema
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PROBLEMA 2
Un ran(ero puede criar o'e(as, cerdos y anado 'acuno. 9iene espacio para 3 o'e(as, o ; cerdos, o 2 cabe+as de anado 'acuno, o cualquier combinación de
PROBLEMA 5
Un cierto fabricante de tornillos, ha constatado la e-istencia de un mercado para paquetes de tornillos a ranel en distintos tama=os. Los datos de la in'estiación de mercados han demostrado que se podr)an 'ender cuatro clases de paquetes con me+clas de los tres tipos de tornillos !/, 2 y 3%, siendo los de mayor aceptación por el público. Los datos de la in'estiación reali+ada indicaron las especificaciones y los precios de 'enta siuientes:
>ara estos tornillos la capacidad de la instalación y los costos de fabricación se indican a continuación:
?Cu@l ser)a la producción que debe proramar este fabricante para obtener la anancia m@-ima, suponiendo que puede 'ender todo lo que fabrique 2
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SOLUCIÓN
ariables
de
"/ 7 Cantidad de iloramos de tornillos "2 7 Cantidad de iloramos de tornillos "3 7 Cantidad de iloramos de tornillos "4 7 Cantidad de iloramos de tornillos "; 7 Cantidad de iloramos de tornillos "E 7 Cantidad de iloramos de tornillos "F 7 Cantidad de iloramos de tornillos "0 7 Cantidad de iloramos de tornillos "1 7 Cantidad de iloramos de tornillos "/ 7 Cantidad de iloramos de tornillos "// 7 Cantidad de iloramos de tornillos "/2 7 Cantidad de iloramos de tornillos
decisión del del del del del del del del del del del del
tipo tipo tipo tipo tipo tipo tipo tipo tipo tipo tipo tipo
/ 2 3 / 2 3 / 2 3 / 2 3
de de de de de de de de de de de de
la la la la la la la la la la la la
me+cla me+cla me+cla me+cla me+cla me+cla me+cla me+cla me+cla me+cla me+cla me+cla
A A A B B B C C C D D D
Las 'ariables de decisión que se presentaron anteriormente son aquellas que indicar@n la cantidad de . de tornillos que se deber@n me+clar para obtener la m@-ima utilidad !anancia%. &sta 'ariable la condicionaremos como positi'a y continua !debido a que el resultado final puede ser un decimal%. *e decidió utili+ar esta cantidad de 'ariables para poder simplificar el problema, ya que tener 'arias 'ariables no sinifica que el e(ercicio sea m@s comple(o. &laboración de unción 5b(eti'o !5%: &n el enunciado se pide encontrar una producción que se refle(e con una m@-ima anancia, esto sinifica que se debe encontrar la función utilidad !inresos G costos totales%. &n conclusión la 5 es ma-imi+ar. &l paso siuiente para encontrar la 5 es lorar enla+ar las 'ariables de decisión con tal que se pueda obtener una anancia acorde con las futuras restricciones. Como lo di(e anteriormente la utilidad se obtiene de la siuiente manera: Utilidad 7 Hnresos G Costos &n conclusión, nos queda: 6a- $ 7 E!"/8"28"3% 8 2;!"28"38"4% 8 3;!";8"E8"F% 82!"/8"//8"/2% ;!"/8"48"F8"/% G 3 !"28";8"08"//% G /0!"38"E8"18"/2% Iuntando t
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6a$ 7 /"//82"/2
/"/83"2842"32;"4;";8F"E/;"F8;"08/F"13"/
&laboración de restricciones &n las especificaciones nos encontramos con una serie de datos que me lle'ar@n a concluir las restricciones. Lo primero que debo anali+ar es que tenemos 4 me+clas !A, B, C y D%. &sto sinifica que debo incluir restricciones para cada una de ellas. 9ambior último determinar< las restricciones que tienen relación con la capacidad m@-ima de producción. Las restricciones que tendr@ el problema son las siuientes: /. "/J,4!"/8"28"3% ,E"/,4"2,4"3J !no menos del 4K% 2. estricciones de las me+clas "2M,2!"/8"28"3% ,2"/8,0"2,2"3M !no m@s del 2K% 3. "4J,2!"48";8"E% ,0"4,2";,2"EJ !no menos del 2K% 4. ";M,4!"48";8"E% ,4"48,E";,4"EM !no m@s del 4K% ;. "FJ,;!"F8"08"1% ,;"F,;"08,;"1J !no menos del ;K% E. "0M,/!"F8"08"1%,/"F8,1"0,/"1M !no m@s del /K% F. estricciones de capacidad "/8"48"F8"/M/ !capacidad m@-ima de producción de tornillos del tipo /% 0. "28";8"08"//M/ !capacidad m@-ima de producción de tornillos del tipo 2% 1. "38"E8"18"/2ME !capacidad m@-ima de producción de tornillos del tipo 3% /. "/,"2,"3,"4,";,"F,"0,"1,"/,"//,"/2 J !no neati'idad% &n conclusión el planteamiento del e(ercicio me queda de la siuiente manera: 6a$ 7 /"/83"2842"32;"4;";8F"E/;"F8;"08/F"13"/ /"//82"/2 *A ,E"/,4"2,4"3 J ,2"/8,0"2,2"3 M ,0"4,2";,2"E J ,4"48,E";,4"E M ,;"F,;"08,;"1 J ,/"F8,1"0,/"1 M "/8"48"F8"/ M / "28";8"08"// M / "38"E8"18"/2 M E "/,"2,"3,"4,";,"E,"F,"0,"1,"/,"//,"/2 J 2
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inalmente este planteamiento lo inresamos al prorama Ninqsb para obtener la información deseada, pero tenemos un peque=o problemaO el prorama no acepta que las restricciones se presenten en decimales, por lo que decid) multiplicar las primeras E restricciones por /. &sto no afecta en nada el e(ercicio, ya que en la inecuación se encuentra con ceros en el lado i+quierdo !/7%. esultados arro(ados por el prorama PHQR*B >or lo tanto la solución óptima es: "/: / "2: 4 "3: E "4: ";: "E: "F: "0: "1: "/: "//: "/2: &sto sinifica que para obtener una anancia m@-ima de E.22 U6 se debe utili+arla me+cla A. &l e(ercicio lo podemos comprobar 'erificando las restricciones y sus resultados de la siuiente manera: ariables que encontramos "/ 7 Cantidad de iloramos de tornillos del tipo / de la me+cla A !no menos del 4K% "2 7 Cantidad de iloramos de tornillos del tipo 2 de la me+cla A !no m@s del 2K% "3 7 Cantidad de iloramos de tornillos del tipo 3 de la me+cla A !cualquier cantidad% # el resultado que arro(a el prorama es el siuiente "/ 7 / !se utili+ó el ;K% "2 7 4 !se utili+ó el 2K% "3 7 E !se utili+ó el 3K% Demostración: 6a- $ 7 /"/83"2842"32;"4;";8F"E/;"F8;"08/F"1 3"//"//82"/2 7 //834842E2;;8F/;8;8/F3/82 2
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7 E.22 U6. Demostrado >or lo tanto cumple con las restricciones.
PROBLEMA 6
&n una industria peque=a de fabricación de cocinas a as se debe proramar la producción por un periodo de seis meses. 9eniendo en cuenta que la producción es eminentemente manual, no e-iste ran 'enta(a en producir randes cantidades, sino m@s bien e'itar astos e-cesi'os de almacena(e. >or consiuiente, se ha 'isto la con'eniencia de acompasar, en lo posible, la producción a las necesidades mensuales de la demanda. *e empie+a en el per)odo con un stoc de E unidades y se desea que al final del periodo quede una e-istencia de por lo menos ; unidades como stoc de seuridad. Las 'entas reali+adas en promedio en los últimos a=os es G mes a mes la se=alada en la tabla. Despu
Con los datos anteriores, establecer la proramación óptima para el per)odo de seis meses y calcular el costo total. SOLUCIÓN
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Con los datos que nos entrean en el enunciado podemos concluir la siuiente tabla 6&* &Q&5 &B&5 6A$5 ABHL 6A#5 IUQH5
D&6AQDA &*9H6ADA /0 0 24 21 2F /3
CA>ACHDAD D& >5DUCCHTQ /; /1; 2/ 2;; /1 22
*95C E 3 /4; //; 0
ariables de decisión: -t7Cantidad de unidades a fabricar por per)odo VtV it7cantidad en in'entario al final del per)odo VtV bt7Cantidad en atraso al final del per)odo VtV 6in +7/-/8/-28/-38/-48/-;8/-E8/i/8/i28/i38/i 48/i;8/iE82b/82b282b382b482b;82bE Iuntando t
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i7E Balance de Hn'entario: inalmente podemos anali+ar ambas restricciones (untas !capacidad, in'entario%, por lo que se establece que el in'entario en el periodo t debe ser iual al in'entario que se encuentra en el momento m@s la capacidad de producción y la cantidad de atraso al fi nal del periodo, y a esto rest@ndole el stoc para el siuiente periodo. i/7i8-/8b//0 i27i/8-/8b20 i37i28-/8b324 i47i38-/8b421 i;7i48-/8b;2F iE7i;8-/8bE/3 #a tenemos establecidas las restricciones y su respecti'a función ob(eti'o, por lo que estamos en condiciones de introducirla al prorama P HQR*B, lo que nos arro(a lo siuiente: Debo aclarar que el prorama no permite que se imponan las 'ariables, por lo tanto las 'ariables quedan de la siuiente manera: -/,-2,W-E: 'ariables de capacidad -F,-0,W-/3: cantidad de in'entario al final del periodo -/4,-/;,W-/1: cantidad de atraso al final del periodo inalmente, no queda: &l resultado final indica que: "/: /; unidades "2: unidades "3: unidades "4: unidades ";: unidades "E: unidades abricando estas unidades se obtiene el menor costo : F3;. U6 "F !H/%: 3 "0 !/2%: / "1 !H3%: / "/ !H4%: "// !H;%: "/2 !HE%: ; 2
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"/3 !H%: E "/4 !b/%: "/; !b2%: "/E !b3%: "/F !b4%: /3 "/0 !b;%: /2 "/1 !bE%: 3
PROBLEMA 7
Un contratista est@ considerando una propuesta para la pa'imentación de una carretera. Las especificaciones requieren un espesor m)nimo de doce puladas !/2X%, y un m@-imo de /0X. La carretera debe ser pa'imentada en concreto, asfalto, ra'illa, o cualquier combinación de estos tres elementos. *in embaro las especificaciones requieren una consistencia final iual o mayor que la correspondiente a una superficie de concreto de 1X de espesor. &l contratista ha determinado que 3X de su asfalto son tan resistentes como /X de concreto, y EXde ra'illa son tan resistentes como /X de concreto. Cada pulada de espesor por yarda cuadrada de concreto le cuesta S/, el asfalto S3,0, y la ra'illa Y/,;. Determine la combinación de materiales que el contratista deber)a usar para minimi+ar su costo. SOLUCIÓN
ariables de decisión "/ 7 Cantidad de concreto que se requiere para la pa'imentación de la carretera "2 7 Cantidad de asfalto que se requiere para la pa'imentación de la carretera "3 7 Cantidad de ra'illa que se requiere para la pa'imentación de la carretera Las 'ariables de decisión que se describieron anteriormente son aquellas que indicar@n la cantidad de material que se deber@ utili+ar para minimi+ar el costo de la pa'imentación. 2
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&laboración de la .5. La función ob(eti'o de este problema es muy sencilla ya que nos pide minimi+ar el costo de la producción y tambior ultimo tenemos las siuientes relaciones: 3"27"/O E"37"/O 2"273"3 >or lo tanto las restricciones nos quedan de la siuiente manera: "/8"28"3 M /0 "/8"28"3 J /2 "/ J 1 3"2 J 1 E"3 J 1 &l planteamiento del e(ercicio queda de la siuiente manera: 6in $ 7 /"/83,0"28/,;"3 *A "/8"28"3 M /0 "/8"28"3 J /2 "/ J 1 3"2 J 1 E"3 J 1 "/, "2, "3 J
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Al iual que en el problema ; tenemos un peque=o problema que debemos arrelar para poder utili+ar de forma correcta el prorama. Las constantes que acompa=an a las 'ariables de decisión en nuestra 5 son decimales !precio por cada pulada%, por lo que la amplificamos por /. &sto pro'oca que el resultado final est@ representando / 'eces de lo que realmente corresponde, por lo tanto tendremos que di'idirlo por /. Hnresamos los datos: esultados arro(ados por el prorama PHQR*B &n conclusión se deben utili+ar 1 puladas de concreto, 3 puladas de asfalto y /,; puladas de ra'illa. Con esta combinación se minimi+a lo m@s posible el costo, cumpliendo de iual forma el ob(eti'o !pa'imentación%.
PROBLEMA 8
Una empresa estima que la demanda de un determinado producto en los primeros cinco meses del a=o ser@ como la que se muestra en la tabla. &l costo unitario de producción es de S3. &l costo unitario de almacena(e en un periodo es S2. La capacidad de producción durante los cinco periodos es de:
&stablecer la proramación óptima para el per)odo de cinco meses y calcular el costo total. SOLUCIÓN
ariables de decisión: -t7Cantidad de unidades a fabricar por per)odo VtV it7cantidad en in'entario al final del per)odo VtV 6in +73-/83-283-383-483-;82i/82i282i382i482i; 6in +73-/8-28-38-48-;82i/8i28i38i48i; 2
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*A: Como obtu'imos el stoc es m@s f@cil de resol'er las restricciones debido a que solo se deben iualar o sumar dependiendo de cada uno de los coeficientes, por lo tanto tenemos: "/J3E "2J4 "3J/2 estricciones de capacidad "4J4 ";J/2 H/J H2J2 H3J/E estricciones de stoc H4J0 H;J/ "/8H/J/E "28H2J/E "38H3J/2 estricciones de producción "48H4J/ ";8H;J/2 >or lo tanto inresamos los datos en el prorama PHQR*B y nos arro(a lo siuiente: Cabe destacar que como el prorama solo acepta un tipo de 'ariables, las nuestras quedan de la siuiente manera: "/ !"/% "2 !"2% "3 !"3% "4 !"4% "; !";% "E !H/% "F !H2% "0 !H3% "1 !H4% "/ !H;% >or lo tanto la solución óptima es la siuiente: "/: 3E unidades "2: /2 unidades "3: 4 unidades "4: /2 unidades 2
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";: / unidades H/: unidades H2: 2 unidades H3: /E unidades H4: 0 unidades H;: / unidades 9eniendo un costo total de 3/2 U6 &sto sinifica que el prorama planteado al principio del e(ercicio era el correcto y m@s '@lido.
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