AREAS DE REGIONES TRIANGULARES II Lic. Neptalí Quezada Alvarado 1° Relación
B
B S1 S2
S1 S2
F
S1
AF FC
S1
BF FC
S2
S2
A
C
A
C
F B
BD → Ceviana
B
BM → Mediana
B
G → Baricentro
S 3S
S A n
D
S
S
S
S
C
A
3n
C
M
m
S1
αº
C
3° Relación
θº n
h1
S2
h2
S1
b
αº
S2
θº αº
a Si: α = θ
αº + θº = 180°
ó S1 S2
S S
A
2° Relación
a
S G
Si: ∆1 ~ ∆2
axb mxn
S1 S2
PRACTICA
θº b
a2 b2
2
h1 h22
.......
K
4. Si el área de la región del triángulo ABC es 36, calcular el área de la región sombreada.
Bloque I 1.
B
a) b) c) d) e)
Hallar “S” si la zona achurada es de 3m2 a) 28m2 b) 14m2 c) 10m2 d) 6m2 e) 7m2
2.
9m2
S 2m
a 3a
4m
C
b 2c
c
P
C
En un triángulo ABC, sobre AB y BC se toman los puntos “P” y “Q” respectivamente, tal que: AP = 2PB; BQ = QC. A∆ PBQ Hallar: A∆ ABC
1 2 1 D) 8
A)
3. ¿Qué fracción del área de la región del triangular ABC, representa el área de la región sombreada? B
A
2b
A
5.
3m
1/4 1/8 1 / 16 1/5 1 / 20
3 2 1 4 1,5
S
Calcular S. a) 12m2 b) 18m2 c) 33m2 d) 16m2 e) 6m2
a) b) c) d) e)
2
B)
1 4
C)
1 6
1 12 6. En la figura mostrada, calcular el área del triángulo ECA, si S∆BCE = 72cm2 B
a) 80cm2 b) 70cm2 c) 62cm2 d) 88cm2 e) 76cm2
E)
E A
18cm β 22cm
β C
5. 7. En la Fig. O y O’ son centros de las circunferencias exinscritas al triángulo ABC, recto en B. Hallar el área de dicho triángulo.
a) 3
a) 25u2 b) 50u2 c) 30u2 d) 150u2 e) 66u2
8.
B O’ C
E
B
A
Q
a) 120u2 d) 100u2
P R
C
9. Si: EF = 3(EA), calcular la relación de áreas de los triángulos AEC y ABC. 1/2 1/3 1/7 1/8 1/5
a) 5u2 d) 8u2
E C
a) 45u2 d) 50u2
En un triángulo ABC cuya región mide 72m2 se traza la mediana BM ; determinar el àrea de la región BMN. Si N ∈ BC y BN = 2 NC
3.
b) 14,4 e) 16,2
3
b) 12 e) 62
c) 48
Además MN // AC .
4.
b) 4 2 3
c) 2 3
e) 2
En un triángulo ABC: AC = 10 y la distancia del punto medio de BC a AC es 4. Calcular el área de la región triangular ABC. a) 45 d) 16
c) 4u2
b) 35 e) 61
b) 36u2 e) 66u2
c) 42u2
9. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz AD, de modo que el área del triángulo ADC es 60m2. Si AB = 13m y AC = 15m, hallar el área del triángulo original. a) 112m2 d) 124m2
En un triángulo ABC: AC = 8, calcular la longitud del segmento MN(M ∈ AB ∧ N ∈ BC ) para que las regiones MBN y AMNC sean equivalentes.
d)
b) 6u2 e ) 9u2
c) 23,3
En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BD . Si el área de la región ABC es 64 y 5AB = 3BC, calcular el área de la región ABD.
a) 4
c) 150u2
8. En el triángulo ABC, AC = BC = 10u, BD = 5u y AE = 4u, siendo D y E puntos sobre BC y AC respectivamente. Hallar el área del cuadrilátero ABDE, si EDC tiene como área 18u2.
Bloque II
a) 24 d) 36
b) 130u2 e) 144u2
C
F
A
a) 12,5 d) 18,4
D
7. En un triángulo ABC, se toma un punto E en AB y F en BC, tal que AE = 6u, AB = 10u, BC = 8u y BF = 5u; calcular el área del triángulo EBF, si la superficie del cuadrilátero AEFC es 18u2
B
a) b) c) d) e)
2.
e)
En la figura, calcular el área de la región triangular ABC, si el área de la región triangular PQR es 6u2, además AP = PQ, PR = RC y BQ = QR.
A
c) 5 3
4 2 3 6. En la figura, calcular el área del cuadrilátero ABED, si el área del triángulo DEC es 20u2. Además BE = 4u, EC = 5u, DC = 3u y AD = 7u. B
15u
A
b) 4 2
d) 6 3
O
10u
a) 30u2 b) 42u2 c) 40u2 d) 48u2 e) 36u2
1.
Calcular el área de una región triangular regular sabiendo que ésta es numéricamente igual a la longitud de su altura.
c) 40
10.
b) 132m2 e) 156m2
c) 110m2
Los lados de un triángulo ABC miden AB = 5, BC = 6, AC = 7 . Se prolonga los lados en un mismo sentido y una longitud igual a la de cada lado. Determinar el área del triángulo formado al unir los extremos de las prolongaciones. a) 6√6 d) 42√6
b) 7√6 e) N.A.
c) 24√6
11. En un triángulo ABC, recto en B, los exradios relativos a los catetos AB y BC miden 9 y 17 metros respectivamente. Hallar el área de dicho triángulo. a) 136 d) 112
b) 153 e) 130
c) 142
12. Los radios de dos circunferencias exteriores miden 3 y 8cm, respectivamente, siendo las tangentes interiores comunes perpendiculares entre sí. Hallar el área del triángulo que forman las dos tangentes interiores y una tangente exterior común. a) 21cm2 d) 25cm2
b) 22cm2 e) 5cm2
c) 24cm2
13. Sobre los lados AB y BC de un triángulo ABC se consideran los puntos P y Q respectivamente de modo que AP = 2PB y BQ = 3QC. Calcular el área de la región PBQ, si el área de la región ABC es 120. a) 30 d) 12,5
b) 25 e) 40
c) 15
14. En un triángulo ABC: AB = 4, BC = 6 y AC = 8. La circunferencia inscrita determina sobre AC el punto P. Encontrar el área de la región ABP. b) 9 15
a) 15
c) 4 15
8
3
e) 5
a) S / 12 d) S / 4
b) S/7 e) S / 6
c) S / 8
B M
F
a
21. Uno de los lados de un triángulo tiene longitud “L” . Hallar la longitud del segmento paralelo a dicho lado interceptado por los otros dos, que determina figuras equivalentes. a) L 2
b) 3L 2
c) L 3
2
L2 2 2
3
e) N.A.
22. En un triángulo ABC, de lados AB = 6, BC = 10 y AC = 14, se ha inscrito una semicircunferencia, cuyo diámetro se encuentra contenido en el lado AB . Hallar la longitud del radio de esta semicircunferencia. (UNI – 87 – I) a) 2 3
b) 2 3 5
c) 5 3 4
d) 3 3 2
e) 5 3 3
23. Por el punto O, tomado en el interior de un triángulo ABC se trazan MN // AC , TR // BC y
a) 81m2 d) 9m2
C
L
b) 8 e) 18
b) 64m2 e) 18m2
c) 16m2
c) 10
región MBN, para que MN = AC . 3
S 12 e) 3S
b)
c)
S 3
ˆ = 90º ) , 18. El área de un triángulo rectángulo ABC ( B 2 es 24cm . Exteriormente se dibujan los triángulos equiláteros AEB y BFC. Trazar EF y hallar el área del triángulo EBF. a) 10cm2 d) 20cm2
e) 24 3cm 2
c) 15 3cm 2
PQ // AB (M y T ∈ AB ; Q y N ∈ BC ). Si las áreas de las regiones MTO, OQN y PQR son 4m2, 9m2 y 16m2 respectivamente; calcular el área de la región ABC.
N
17. El área de la región triangular ABC es S, si: MN // AC (M ∈ AB ∧ N ∈ BC ). Calcular el área de la
S 9 d) 9S
d) 18 3cm 2
3
16. En la figura: AL = 10 y FC = 15. Calcular el área de la región ANF, si MNLF es un cuadrado.
a)
b) 20 3cm 2
d)
15. En un triángulo ABC se trazan las medianas AM y CN las cuales se intersecan en G. Calcular el área de la región MGN, si el área de la región ABC es S.
a) 13 d) 12
a) 30 3cm 2
2
d) 7 15 6
A
20. En un triángulo ABC, se traza la mediana BM y luego MF perpendicular a BC (F en BC ). Si “A” dista 8 3cm de BM , MF = 6cm y el ángulo MBC mide 30º, hallar el área del triángulo MFC.
b) 12cm2 e) 8cm2
c) 15cm2
19. Hallar el área de un triángulo equilátero, sabiendo que las distancias de un punto interior a los tres lados, son de 2, 3 y 4cm. a) 81cm2
b) 27 3cm 2
d) 81 3cm 2
e) 9cm2
c) 9 3cm 2
24. La base de un triángulo isósceles mide 10m y la altura relativa a uno de sus lados iguales mide 8m. Determinar la medida de la superficie que ella limita. a) 100/3 m2
b) 120/7 m2
d) 98/5 m2
e) N.A.
c) 105/ 6 m2
25. Dado el triángulo ABC, se traza la mediana AM y se marca “F” en AC , de modo que AF = 3FC. Calcule la relación de áreas de las regiones ABM y FMA. a) 3 / 5 d) 1 / 7
b)6 / 5 e) 4 / 5
c) 4 / 3
26. El área de la región triangular ABC es de 120 dm2 y “G” es su baricentro. Calcule el área de la región ABG. a) 45dm2 d) 40dm2
b) 30dm2 e) 25dm2
c) 60dm2
27. En un triángulo ABC, se traza la ceviana AF de modo que 2(BF) = 5(CF). Calcular el área de la región triangular ABC, si el área de la región triangular ABF es de 50 dm2. a) 45dm2 d) 70dm2
b) 50dm2 e) 60dm2
c) 80dm
