ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL – ÁREA DEL CÍRCULO Y SUS PARTES
TEMA Nº 7 E!ERCICIOS DESARROLLADOS %i&n &n0! 0!l" l" ABC ABC e$ e+!i e+!il& l&e e%" %"11 el 4% 4%ic ice e "#, El %i C e$ cen cen%" %",, all alla% a% el &%ea &%ea de la %e0i %e0i.n .n $"#*%eada,
ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL CAPACIDADES Al final del capi!l" el al!#n" $e%& capa' de( ) Sa*e Sa*e%% c!al c!ale$ e$ $"n $"n la$ la$ p%"p p%"pie ieda dade de$$ +!e +!e $e !ili'an en el p%"*le#a, ) C"n" C"n"ce ce%% la$ la$ c"nd c"ndic ici" i"ne ne$$ +!e +!e el p%"* p%"*le le#a #a de*e de c!#pli% pa%a la #e-"% %e$"l!ci.n, ) /a%$e c!ena c!ena c!and" c!and" !n p%"*le#a p%"*le#a le falan da"$ pa%a la $"l!ci.n,
A C I T Á M E T A M
Re$%&ci'(:
REGIÓN TRAPECIAL E$ !na %e0i.n plana1 +!e e$& li#iada p"% !n %apeci", ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL
AEC
B6C
7AC = #C 7B6 = f #E
En el AB/( 7 <=>: 8: ) f ; 8: ; f ; #A/B
S+ S+,-.
7 B = 8: #A/B A/ 7C6 = 8: p"% $e% &n0!l"$ de 7/B = #E Pe%" #A
lad"$ pe%pendic!la%e$, pe%pendic!la%e$,
8: 38: Apedida < 8p Rp)a, "*, AB e$ di&#e%"1 enc"n%a% !na %elaci.n en%e la$ &%ea$ @1 1 '1 , A pedida
#( l"n0i!d de la #ediana 2( l"n0i!d de la al!%a PROPIEDADES SOBRE ÁREAS DE REGIONES TRAPECIALES
?
= p8
N Ó I C A T U P M O C
A Í R T E M O E G
A Í R T E M O E G
ABCD: Trapeci S* + S# S*
S+
Re$%&ci'(:
SABCD +
5SGE9 – 3B
=3D
5SGE9 – 3B
ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL – ÁREA DEL CÍRCULO Y SUS PARTES
Re$%&ci'(:
Uniend" C c"n A B $e f"%#a el ACB %ec" en C1 AC CB $"n di&#e%"$ de la$ d"$ ci%c!nfe%encia$ #en"%e$, U$a#"$ la p%"piedad de la$ ln!la$ de ip.c%ae$( AACB < @ ; ' F,, =H AACB < – F,, ?H I0!aland" =H ?H( @ ; ' < – < @ ; ' ; Rp)a ,
A C I T Á M E T A M
T%a'a#"$ la $e#ici%c!nfe%encia de di&#e%" AB , /e ac!e%d" a la ln!la de ip.c%ae$( A ABC < ' ; = ,,,, = En el AB !$a#"$ la p%"piedad de la$ fi0!%a$ $e#e-ane$( Á%ea $"*%e AB < &%ea $"*%e A ; &%ea $"*%e B ; ' < @ ; ,,,, ?H S!#and" =H ?H( ; A ABC ; ' < ' ; = ; @ ;
"/, Un c!ad%ad" $e enc!en%a in$c%i" en !na ci%c!nfe%encia1 "#and" c"#" di&#e%" l"$ c!a%" lad"$ del c!ad%ad" $e %a'an $e#ici%c!nfe%encia$ e@e%i"%e$, Enc"n%a% la %elaci.n en%e la$ &%ea$ de la$ %e0i"ne$ del c!ad%ad" de la$ c!a%" ln!la$ +!e $e f"%#an, Re$%&ci'(:
A ABC
;
A %i&n0!l"
< = ; @ ; = = + @ +
#i@ilJne" ABC
D < = ; @ ; @
A Í R T E M O E G
Rp)a,
"1, a$ &%ea$ de l"$ $e#icJ%c!l"$ de di&#e%"$ AB1 BC C/ $"n @1 1 '1 , alla% ,
a$ c!a%" ln!la$ $"#*%eada$ $"n c"n0%!ene$, Aplicand" la p%"piedad de la$ ln!la$ de ip.c%ae$( ABC/ < M ; M ABA/ < M ; M S!#and"( ABC/ ; ABA/ < DM AABC/ < DM A ABC/ = = Rp)a, DM "0, El &%ea de la %e0i.n del %i&n0!l" #i@ilJne" ABC e$ D1 el &%ea de la %e0i.n de la ln!la $"#*%eada e$ =, alla% la $!#a de la$ &%ea$ de l"$ $e#icJ%c!l"$ de di&#e%"$ A B ,
5SGE9 – 3B
; < 3
N Ó I C A T U P M O C
A Í R T E M O E G
Re$%&ci'(:
=35
5SGE9 – 3B
ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL – ÁREA DEL CÍRCULO Y SUS PARTES
T%a'a#"$ el $e#icJ%c!l" de di&#e%" AC , Aplicand" la p%"piedad de la$ fi0!%a$ $e#e-ane$( En el BAC( Á%ea $"*%e BC <&%ea $"*%e AB ;&%ea $"*%e AC
aH 9 *H D15 cH > dH 5 eH = "1, MN – P < ?1 MN ; P < >1 BC LL A/ la al!%a del %apeci" ABC/ e$ i0!al a =, Calc!la% SABC/H
< @ ; ,,,,, =H En el AC/( Á%ea $"*%e A/ <&%ea $"*%e C/ ;&%ea $"*%e AC
' < ; ,,,,, ?H /e =H ?H( < @ ; a – Rp)a ,
A C I T Á M E T A M
PRÁCTICA DE CLASE
aH K *H > cH 9 dH 5 eH =? "2, ABC/ e$ !n c!ad%ad", Calc!la% el &%ea de la %e0i.n %ape'"idal ABCE,
"#, a$ *a$e$ de !n %apeci" #iden D >1 $! al!%a e$ i0!al a =, Calc!la% el &%ea del %apeci",
aH D dH K
*H 8 eH 3
cH 5
"*, En !n %apeci" ABC/1 $e %a'a MN #ediana $i BC *a$e #en"%H1 BC < 8 A/ < =, SMBCNH Calc!la%( SAMN/H
aH KL9 dH =5L=K
*H 9L=K eH DL9
aH D> dH >>
*H D eH 98
cH 89
"7, Si ABC/ e$ !n %apeci", Calc!la% el &%ea de la %e0i.n $"#*%eada,
cH =L3
N Ó I C A T U P M O C
"/, BC LL A/ 1 BC ; A/ < =1 P < 3, Calc!la% SABC/H
A Í R T E M O E G
aH =5 dH 3
*H =? eH 9
cH 8
"3, BC LL A/ 1 BC < D A/ < = 2 < 8, Calc!la% SPRH AP < PC B < /
aH 3 dH ?5
*H D5 eH ?
cH D
"0, BC LL A/ 1 BC < D A/ < = 2 < 8, Calc!la% SPRH AP < PC B < /
aH 9 dH 5
5SGE9 – 3B
=38
*H D15 eH =
cH >
5SGE9 – 3B
A Í R T E M O E G
ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL – ÁREA DEL CÍRCULO Y SUS PARTES
dH K?
"4, BC LL A/ 1 BN < NM < MA CT < TS < S/, Si( SABC/H < 31 calc!la% S MNTSH
"0- Calc!la% el &%ea de la %e0i.n del pa%alel"0%a#" ABC/1 $i( S= < Da? S ?<9!? MN LL AB H
aH 5 *H > cH = dH =? eH =5 #", BC LL A/ , Calc!la% el &%ea de la %e0i.n $"#*%eada1 $i( SABC/H < =>
aH ? dH D
aH 5!? dH =5! ?
aH ?8 *H ? dH 38 eH ?> "2- BC LL A/ , Calc!la% SABC/H
"#- BC LL A/ 1 SBSCH ; SAT/H < ?8, Calc!la% SPSCH
*H ?D eH 9
cH ?5
aH ? dH ?3
"*- En la fi0!%a ABC/ e$ !n pa%alel"0%a#", C!&l e$ la %elaci.n c"%%eca
A Í R T E M O E G
aH ' < ? ; @ dH < @ ; '
*H @ < ' – eH @ ; < '
aH =? dH ??
cH ?@ < '
5SGE9 – 3B
*H ?= eH ?D
cH 3
cH ??
*H =8 eH ?D
cH =>
En !n %apeci" ABC/ BC ( *a$e A/ #en"%H1 AB < BC < C/ < < 8, Calc!la% ? SABC/H
"3-
aH => 3 dH ?D 3 *H 8
cH =!?
N Ó I C A T U P M O C
"7- Se iene !n %apeci" ABC/1 BC LL A/ H en la p%"l"n0aci.n de /C $e !*ica !n p!n" QP al +!e( # MP/ < # / QM p!n" #edi" de AB H, Si la al!%a del %apeci" e$ i0!al a D1 calc!la% el S ABC/H $i MP <8
"/- Calc!la% el &%ea del %"#*"ide ABC/1 $i SBMC < =8 SPM/ < 9,
aH D8
*H ?5!? eH 3!?
A C I T Á M E T A M
"1- Calc!la% el &%ea del %"#*"ide ABC/1 $i SBMC < 9 SPM/ < D,
*H = cH 3 eH 5 E!ERCICIOS PROPUESTOS
aH ?8 dH 5
eH 5
*H ? 3 eH ?K 3
cH ?? 3
cH 58
=3K
5SGE9 – 3B
A Í R T E M O E G
ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL – ÁREA DEL CÍRCULO Y SUS PARTES "4- Se iene !n %apeci" %ec&n0!l" ABC/1 # A<# B < 9, En AB $e "#a !n p!n" QM al +!e MC < M/ # CM/ < 9, Si AB < >1 calc!la% S ABC/H
aH => dH D #"-
*H 3? eH 38
El &%ea del $e#icJ%c!l" e$& dad" p"%( p R? S < ? *- ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR
cH ?8 S < pR?
Calc!la% SABCH S<
A C I T Á M E T A M
< pR aH 83LD dH =>=LD
*H 83L? eH 3?L3
( "n0i!d del a%c" AB Á%ea de al0!n"$ $ec"%e$ ci%c!la%e$
cH =>=L?
<
p
CAPACIDADES Al final del capi!l" el al!#n" $e%& capa' de( ) Sa*e% c!ale$ $"n la$ p%"piedade$ +!e $e !ili'an en el p%"*le#a, ) C"n"ce% la$ c"ndici"ne$ +!e el p%"*le#a de*e de c!#pli% pa%a la #e-"% %e$"l!ci.n, ) /a%$e c!ena c!and" !n p%"*le#a le falan da"$ pa%a la $"l!ci.n,
N Ó I C A T U P M O C
?
<
p
R D
<
p
R? 3
TEMA Nº 3 ÁREA DEL CÍRCULO Y SUS PARTES
R? 8
3 p R? < >
/- ÁREA DEL SEGMENTO CIRCULAR
#- ÁREA DEL CÍRCULO
A Í R T E M O E G
S < pR?
S/ < SAOB – SAOB
< ?pR
S/ <
S<
S/ <
R? pq – =>SenqH 38
E-e%cici"(
/"nde( S( Á%ea del cJ%c!l" ( "n0i!d de la ci%c!nfe%encia
5SGE9 – 3B
R ?q R ? Senq – 38 ?
p
=3>
5SGE9 – 3B
A Í R T E M O E G
ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL – ÁREA DEL CÍRCULO Y SUS PARTES ?
?
A= p%? 7% 7 7= 7 = = 7= 7 7 A? pR? 7 7R 7 7D 7 A= = = Rp)a, A ? =8
A2"%a(
S/ < S/ <
p
En la fi0!%a $e #!e$%a %e$ "*, $e#icJ%c!l"$ $"#*%ead"$1 $!$ &%ea$ $"n D1 9 @, alla% @,
? R? – R 3 8 D
R? ?p – 3 3 H =?
0- ÁREA DE LA CORONA CIRCULAR
S < pR? – %?H S<
Re$%&ci'(:
p ABH? D
@=
p
>
A/? FF, IH
p
D = ,AB? FF, IIH > p
9 = ,BC ? FF, IIIH >
M!liplicand" IIH IIIH(
E!ERCICIOS DESARROLLADOS
?
7p 7 D,9 = 7 ,AB,BC 7 7> 7
/ee%#ina% la %elaci.n de la$ &%ea$ de "#, la$ d"$ %e0i"ne$ $"#*%eada$1 $i AC < =? B < 3,
p
8 = , AB ,BC F IH >
U$and" el e"%e#a de la an0ene( A/? < AB ; BCH , AB A/? < AB? ; AB , BC p
>
A/? =
p
>
p
AB? + AB , BC FF H >
Calc!la% el &%ea de la %e0i.n "/, $"#*%eada,
B
AC
Re$%&ci'(:
% R % = = 7 = 3 =? R D
5SGE9 – 3B
N Ó I C A T U P M O C
Ree#pla'and" IH1 IIH IH en H @
Re$%&ci'(:
A Í R T E M O E G
A C I T Á M E T A M
=39
5SGE9 – 3B
A Í R T E M O E G
ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL – ÁREA DEL CÍRCULO Y SUS PARTES
dH =?
eH =8 ?
"*, /e la fi0!%a calc!la% el &%ea de la %e0i.n $"#*%eada,
pD? < @ ; a p3? < a ; p5? < ; *
; F,, IH ; * F,, IIH ; ' F,, IIIH
aH 8p *H >p cH =?p dH 8p eH ?Dp "/, Calc!la% el &%ea de la %e0i.n $"#*%eada1 $i QO e$ cen%",
S!#and" IH IIIH( D=p < @ ; ; ' ; a; ; * F,, IH
A C I T Á M E T A M
Ree#pla'and" IIH en IH( D=p < @ ; ; ' ; 9 p @
; ; ' < 3? p
Rp)a,
Calc!la% el &%ea de la "0, $"#*%eada1 $i A < OB < BC < 8,
aH p – ? *H ?p – 3 cH ?p – ?H dH p – = eH p ; ? "0, Calc!la% el &%ea de la %e0i.n $"#*%eada, AO < OBH
%e0i.n
aH p dH Dp
Re$%&ci'(:
"1,
El OBC e$ e+!il&e%", El O/C e$ 3: 8:, O/ =
cH 3p
Calc!la% el &%ea de la %e0i.n $"#*%eada,
aH Dp dH =8p
A Í R T E M O E G
*H ?p eH 5p
*H =p eH >p
cH 8p
"2, /el 0%&fic" calc!la% el &%ea de la %e0i.n $"#*%eada,
8 3=3 3 ?
PRÁCTICA DE CLASE
Se iene d"$ cJ%c!l"$ de i0!al "#, %adi"1 al +!e $!$ &%ea$ $!#an =?> p, Calc!la% la #edida del %adi" de !n" de l"$ cJ%c!l"$, aH D ?
5SGE9 – 3B
*H >
cH =8
aH D – p dH > – p
=D
*H K – p eH 8 – p
N Ó I C A T U P M O C
cH 5 – p
5SGE9 – 3B
A Í R T E M O E G
ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL – ÁREA DEL CÍRCULO Y SUS PARTES
"7, C!&n" de*e #edi% el %adi" de !n cJ%c!l" pa%a +!e $! &%ea $ea i0!al a la de D cJ%c!l"$ de %adi" ?
aH ? dH D ?
*H ? ? eH >
cH D a? ? dH a? p – ?H
"3, Calc!la% el &%ea de la %e0i.n $"#*%eada1 $i( OB < D1 QO Q $"n cen%"$H
aH
*H a?
cH ?a?
eH a? p – DH
"/, Calc!la% el &%ea de la %e0i.n $"#*%eada1 $i( OA < OB < D P $"n cen%"$H
aH p dH Dp
*H ?p eH 8p
cH 3p
"4, En la fi0!%a $e #!e$%a el c!ad%ane AOB de %adi" ?!, Si PRO e$ !n c!ad%ad"1 calc!la% el &%ea de la %e0i.n $"#*%eada,
aH D ; ?p dH D p ; =H
*H > – ?p eH ? p – =H
cH D p – ?H
"0, Si el &%ea de !n $ec"% ci%c!la% %ep%e$ena la +!ina pa%e del &%ea del cJ%c!l" c"%%e$p"ndiene1 calc!la% la #edida del &n0!l" cen%al del $ec"%,
aH 9 dH D5
aH p – ? *H ?p – 3 cH p – D dH Dp – > eH ?p – D #", Calc!la% el &%ea de la %e0i.n $"#*%eada1 $i el lad" del c!ad%ad" #"$%ad" #ide > ?
A Í R T E M O E G
aH =8p dH 3?p
*H =>p eH 8Dp
cH 9p
aH ? D – pH dH D – p
cH K?
*H 3 p – ?H eH 8 – ?p
cH > – Dp
"2, /el 0%&fic"1 calc!la% el &%ea de la %e0i.n $"#*%eada1 $i QO e$ cen%" CO
"#, Calc!la% el &%ea del cJ%c!l" in$c%i" en !n c!ad%ad" c!" pe%J#e%" e$ =8,
*H ?p eH >p
*H 5D eH 8
cH Dp
"*, Si M N $"n p!n" #edi"$1 calc!la% el &%ea de la fi0!%a $"#*%eada,
5SGE9 – 3B
N Ó I C A T U P M O C
"1, Calc!la% el &%ea de la %e0i.n $"#*%eada1 $i( A / $"n cen%"$ AB < ?H
E!ERCICIOS PROPUESTOS
aH =8p dH 3p
A C I T Á M E T A M
=D=
5SGE9 – 3B
A Í R T E M O E G
ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL – ÁREA DEL CÍRCULO Y SUS PARTES AUTOE5ALUACIÓN Nº "* CAPACIDAD: Ra'"na#ien" de#"$%aci.n( "#,
aH ?p dH 8p
*H 3p eH >p
A C I T Á M E T A M
alla% el &%ea del T%ian0!l" B
cH Dp
m
A
"7, Calc!la% el &%ea de la %e0i.n $"#*%eada1 $i( R < ? 3
C
n
S%&ci'((
P"% p%"piedad( S = "*,
aH p – 3 dH ?p – 3 3
*H ?p – 3 eH 3p – ? 3
#,n ?
alla% el &%ea $"#*%eada
cH ?p – ? 3
a
"3, Si( MNPO e$ !n c!ad%ad" c!" lad" #ide Qa1 calc!la% el &%ea de la %e0i.n $"#*%eada,
* S%&ci'(( a,* S = ? "/, Indica la f"%#!la pa%a calc!la% el &%ea del $ec"%,
R
N Ó I C A T U P M O C
aH a? p – ?H *H a? p – ?HL? cH a? D – pH dH a? D – pHL? eH a? p – ?HL3 S%&ci'(:
A Í R T E M O E G
SR
"4, Calc!la% QR1 $i el &%ea de la %e0i.n $"#*%eada e$ i0!al al &%ea de la %e0i.n n" $"#*%eada,
"0,
?
En la 0%afica +!e %elaci.n $e c!#ple
B
A
C
aH ? ? dH ?
5SGE9 – 3B
*H ? eH 3
cH =
S%&ci'(( A%ea C < A%ea A ; A%ea B
=D?
5SGE9 – 3B
A Í R T E M O E G
ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL – ÁREA DEL CÍRCULO Y SUS PARTES "1,
alla% el &%ea del R"#*"
S=
=? 3 D
?=8 = =? 3
d?
?=8 3 3 =??1>D
=? = d=
==
S%&ci'(: d ,d S < = ? ?
7 7
=? 3 D ? = = =DD 38 3 =
7
PR = 8
7
P = =>
2=
7
=? = =??1>D
7
= = ==18#
7 93 = @?
@ 31D9 = 3 3
7 2 = =1=8
CAPACIDAD: Re$"l!ci.n de p%"*le#a$ "#, Calc!la% el &%ea de la %e0i.n del %ian0!l" ABC1 en f!nci.n del in%adi" Q%1 del e@%adi" Q%a del lad" an0ene a a#*"$( Qa,
*,2 @@ + 8H 7 => = ? ? ? ? ?=8 = @ + 8@ 7 @ + 8@ - ?=8 = @ + =>H@ - =?H = 7 @ = =? 2 = =? S=
N Ó I C A T U P M O C
B
* = @ + 8 = =? + 8 = => * = =>
%a %
"/, C!&n" de*e #edi% el lad" de !n %ian0!l" e+!il&e%" pa%a +!e $! &%ea $e i0!al a 5D#? S%&ci'((
A
a C
a,%,%a %,%a a + %H%a *H cH %a - % %a - % %a - % a% - %aH dH eH a,%,%a %a + % S%&ci'(( =, Se $a*e +!e( A = p,% F,de d"nde( aH
5SGE9 – 3B
A C I T Á M E T A M
@ @ H 7 =55 = 3 ?
"1, En la fi0!%a S BPC < =8#? BR e$ #ediana, Calc!le el &%ea del %ian0!l" BCR, S%&ci'(( S BPC S BCR = ? =8 S BCR = ? S BCR = >
"*, El &%ea de !n %ian0!l" e$ =>#?, Si la *a$e e@cede a la al!%a en 8#, Calc!le la l"n0i!d de la *a$e la al!%a, S%&ci'((
A Í R T E M O E G
=? =
*,2 S= ? @? 3= = 3 @ = 31D9
S%&ci'((
7= 7 PR = 7 7 = 7? 7 p = 3 78 = =>
7
S%&ci'((
"#, El &%ea de !n %ian0!l" e+!il&e%" ABC e$ 38 3 c#?, Si $e !ne l"$ p!n"$ #edi"$ de $!$ lad"$1 $e "*iene "%" %ian0!l" e+!il&e%" PR, Calc!le el pe%J#e%" del %ian0!l" PR, =? 3 D =DD 3 = =? 3 = = =?
5D =
"0, Calc!le la *a$e la al!%a de !n %ian0!l" +!e iene =55# ? de &%ea, Se $a*e +!e la al!%a #ide !n e%ci" de la *a$e,
CAPACIDAD: C"#!nicaci.n #ae#&ica
S=
=? 3 D ?=8 3
7
=D3
5SGE9 – 3B
A Í R T E M O E G
ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL – ÁREA DEL CÍRCULO Y SUS PARTES 7 "/, En el c!ad%ad" ABC/ de >! de lad"1 AB e$ !n c!ad%ane O e$ el cen%" del $e#icJ%c!l"1 calc!la% el &%ea de la %e0i.n del V EB6,
A % ?, Ade#&$( A = p - aH%aH p=
3, S!$i!e =H en ?H( A = D, Efec!and"( A =
A
A - aH%aH %
A ,% - a,%a % a
>! 6 /
8, /e$pe-and"( A =
a,%a,% %a - %H
M =5 !
A Í R T E M O E G
C
*H 35 !? eH 85 !?
cH D5 !?
S%&ci'(( =, P"% an0ene$ i0!ale$( BM = p - AC = 3 - ?5 7 BM = B = 5! En"nce$( A = AN = =! Ade#&$( CM = CN = =5! ?, El &%ea pedida e$( = = A AMN = ,AN,2 = =,2 = 5,2 Calc!le#"$ ? ? Q2, 3, C"#"( =5 ?5 ABC MPC( = 2 =5 7 2 = 9! D, S!$i!e en el pa$" ?H( A AMN = 59H = D5!? 5!
B 5!
53:L?
>!
6?! M ?!
/
D!
O
D!
53:
8L5 !
G
C
>L5 !
?D n"a*le AB( 2 = 5 ! 5, n"a*le MGC( 8 > MG = ! 7GC = ! 5 5 8, Aplicand" el e"%e#a de E!clide$ al VEMC( 8 >? = EM? + ?? + ?EMH H 5 =8 8 - 8 7 EM = 5 K, En c"n$ec!ene $e%&( =8 8 - 8 =8 E6 = 8 - =H - ?= 5 5 >, S!$i!e final#ene en el pa$" 3H(
D,
C
Rp)a-: C
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8!
2
>!
=5!
=5!
N Ó I C A T U P M O C
53:L?
M
=! N P
E
A C I T Á M E T A M
cH == !?
3K:
=! A
*H = !? eH =3 !?
S%&ci'(( =, P"% !n e"%e#a( /A6 = 53: en"nce$( BA6 = 3K: ?, n"a*le ABM( BM = 8! en"nce$( MC = >! - 8! = ?! 3, El &%ea pedida e$( E6,2 AEB6 = ? Calc!le#"$( E6 72 >! B A
B
N
C
O
aH 9 !? dH =? ! ?
Rp)a-: A ABC( AB < =5 ! BC < ? !, "*, En el Calc!la% el &%ea de la %e0i.n %ian0!la% AMN,
aH ?5 !? dH 55 ! ?
B
E
5, /e d"nde( A a,%a = ,%a - A % A aaa = %a - %H %
A
>!
=DD
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A Í R T E M O E G
ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL – ÁREA DEL CÍRCULO Y SUS PARTES
AEB6
=
5, 6inal#ene1 de l"$ pa$"$ 3H DH $e c"ncl!e +!e( ACE < A < q, P"% l" an"1 el V ABC e$ i$.$cele$ ( AC 3? A = = = =8! ? ? Ade#&$( M < =8 – K < 9!
= =8 ?D , 8 - =H H = ==!? ? 5 5
Rp)a-: C "0, Calc!la% el &%ea de la %e0i.n del VABC, Siend"( AC<3?! CM
A
O
aH =8? ! ? dH =9? ! ?
8, P"% l" an"( 2? < =8H9H 7 2<=?!
E
/
M
C O =
*H =K? !? eH =5? !?
K, S!$i!end" en el pa$" =H( A ABC<=8=?H<=9?!?
N
Rp)a- D
cH =>? ! ?
"1, Calc!la% el &%ea de la %e0i.n li#iada p"% el V ABC $iend"( AP<9! PB<8!
S%&ci'((
=, T%a'and" la al!%a B 1 el &%ea pedida e$( AC,2 3?,2 A ABC = = = =82 ? ? Calc!le#"$ Q2, ?, Ap%"ec2and" el di&#e%" AM 1 $e %a'a EM ( AEM<9:,
/
9! A
7 1 $e%&( la#and" Qq al ACE 7 #EM E/M = ECM = 7 E/M = q ? ) P"% l" c!al1 $e%&( 7 = #NM 7 = ?q #/M ) En"nce$( 7 #MN ?q M/N = = =q ? ? ) Ade#&$( 7 #MC M/C = MEC ? en"nce$( MEC < q D, C"#"( 7 #BEM A = MEC ? Se%&( A < q
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cH 85 5!?
N Ó I C A T U P M O C
3, P"% el e"%e#a de la an0ene AB 1 en el $e#icJ%c!l" QO=( AB? < AC , A O $ea( =5? < AC , A /
E 8! B 2
q
9!
/
%
q q
q q q q
A
O 9 ! M K !C O=
=8 ! ?5 !
*H 55 5!? eH >5 5!?
P E
C
O=
?, !e0"1 el &%ea pedida e$( AB,2 =5,2 = A ABC = ? ? Calc!le#"$ Q21 ea#"$(
q
A
O
S%&ci'(( =, Ap%"ec2e#"$ el di&#e%" AC 1 %a'and"( EC en"nce$( AEC<9:,
B
q
2
P
aH D5 5!? dH K5 5!?
)
2
E 8! B
3, !e0"1 el c!ad%il&e%" EMC/ $e%& in$c%ipi*le E ; C < =>:H
A Í R T E M O E G
A C I T Á M E T A M
O
O=
%
C
D, C"#"( E;<=>:1 el c!ad%il&e%" ECP e$ in$c%ipi*le1 p"% l" an"1 $e p!ede
N
=D5
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A Í R T E M O E G
ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL – ÁREA DEL CÍRCULO Y SUS PARTES
planea% el e"%e#a de la$ $ecane$1 ea#"$( AC , A < AE , AP AC , A < =5 ; BEH 9H
A C I T Á M E T A M
5, Ree#pla'a% DH en 3H( =5? = =5 + BEH9H ?5 = =5 + BE =! = BE 8, C"#" CB e$ *i$ec%i' del ACE( /e ac!e%d" end%e#"$ +!e( AC AB
=
2 AC 7 BE =5
=
2 AC 7 = 2
=
3 = W ?
7 AC = 3W 72 = ?W K, En"nce$1 en el AEC( E ?5!
A
?W C
3W ?
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+ ?WH =
N Ó I C A T U P M O C
?
3WH
/e d"nde( W = 5 5! P"% l" an"( 2 = ?W = = 5! >, S!$i!end" final#ene1 en el pa$" ?H( =5,= 5 ? AABC = = K5 5! ? Rp)a- D
A Í R T E M O E G
A Í R T E M O E G
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=D8
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