Descripción: Manual basico para diseño de losas circulares, elipticas y triangulares.
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G E O M E T R Í A
UNIDAD 13
Áreas I
Teorema
Región plana
Es una porción de plano, limitada por una o más líneas llamada frontera o borde de la región. Una región puede ser abierta o cerrada, estudiaremos las regiones que incluyen la frontera.
b S =a.b a Demostración
a Sx 4S a x = 4ab a–b Sx a–b S x = a·b a Sx b Sx a b
b 2 2 4S x+(a–b) = (a+b)
No convexo
m
at
Postulado del área
ic
Convexo
a1 .c
om
b
w
w
.M
at e
A cada región le corresponde exactamente un número real positivo llamado área.
w
Unidad cuadrada
S 1u S = 1 u2
Área de una región triangular S=
h b
1u
L S S = L2
L
b
c S x= Sx
α°
Teorema de Herón a p = c Sx
Postulado de congruencia
bc ⋅ Sen α 2
b
1
L L n(1) = L ⇒ S = n2 = L2
a+b+c 2
b
S S
h
Dos lados y el ángulo entre ellos
Postulado de la unidad
S
b⋅h 2
S S
U N F V – C E P R E V I
S
Sx = p(p − a)(p − b)(p − c )
73
G E O M E T R Í A
En función del inradio p =
Relación de áreas de regiones triangulares
a+b+c 2
a c S =p·r r
c a S2 S α° 1 α° b d
b
En triángulos semejantes
En función del circunradio B
c
O
A
C
b
B
B
a ⋅b ⋅c 4R
R a
S ABC = c A
S1 a ⋅ b = S2 c ⋅ d
α°
~
a
h b
β°
c’
a’
h’
α°
C A
b’
β°
C
SABC = ra(p–a)
k : Razón de semejanza
= rb(p–b)
A
Propiedades
1. S1
at e
C
w
w
.M
S1
a
h b
S =
a⋅c S 2
=
b ⋅h 2
m n
n
2. S1 = c α° α° a S2 a c S2 S1 3.
Teorema de Burlet
S
S = m·n m
=
S2
m
w
En un triángulo rectángulo c
S2
m
a S ABC = rc(p–c)
a1 .c
ABC
ic
ra S
at
B
om
En función del exradio
2 2 2 2 S ABC = a = b = c = h = ... = k 2 S A 'B'C' (a')2 (b')2 (c ')2 (h')2
S
4.
n
En un triángulo equilátero 2
S
S
S S
a 3 a 60° a S x= 4 Sx 60° 60° a
S
74
U N F V – C E P R E V I
S
G E O M E T R Í A
5.
S
1 S 1+S2 = Sx =
x
Sx
x y
S2
y
S1 Sx S S1 ⋅ S2 x S x= S2
Área de regiones cuadrangulares cuadrilátero cualquiera C
B
α°
A
SABCD =
AC ⋅ BD ⋅ Sen α 2
S
1 S x=
Sx
S1 + S2 ST = 2 3
S2
D
Nota: Si: α = 90º.
En paralelogramos
B
C
AC ⋅ BD 2
b
om
SABCD =
Sx = b . h Sx B h S x=B.h H
ic
a1 .c
A
S
S
2
S4
S
Punto cualquiera
w
w
w
S3 S 1·S2 = S3·S4 S
S
S S
.M
at e
Propiedades para todo cuadrilátero
m
at
D
S1
ST 2
S1
S2
Sx = S1+S2 = S x
S2
S3
x=
Sx
S1+S2 = S3+S4=
S x ST = 4 2
En trapecios S=m.h m
ST 5 x
x
S4
S1
ST 2
Rombo B
SABCD = A
AC ⋅ BD 2
C
h
D U N F V – C E P R E V I
75
G E O M E T R Í A
Problemas Aplicativos
6. Calcule el área de la región sombreada. a) 8 3 α α b) 6 2 8 c) 36 6 d) 2 6 e) 3 15 7
1. Calcule el área de la región triangular BOA. Si: AB=L3 a) 8 3 A b) 12 3 6 c) 2 3 d) 9 3 O e) 3 3 B
7. Calcule el área de la región sombreada. a) 36 b) 48 c) 54 d) 72 15 13 e) 63
2. Calcule el área de la región sombreada, AB=L6 A a) 2 3 b) 8 3 4 c) 6 3 B d) 12 3 e) 15 3
ic
a1 .c
om
8. Calcule el área de la región cuadrada. a) 12 b) 25 c) 16 d) 36 e) 9
at
3. Calcule el área de la región sombreada. Si A es punto de tangencia. a) 9 3 b) 12 3 c) 4 3 d) 5 3 4 e) 6 3 5
14
1
9. Calcule el área de la región cuadrada.
w
w
w
.M
at e
m
8
4. En la siguiente figura, calcule el área de la región triangular. a) 12 3 4 b) 6 3 c) 3 3 9 d) 9 3 e) 18 3 5. En la siguiente figura, calcule “a”. a) 8 6 α b) 9 c) 24 d) 10 α e) 12 2 76
4
16
a) 128 d) 64
b) 48 e) 32
c) 28
10. Calcule el área de la región rectangular ABCD, si AD=2AB. a) 72 C b) 36 D c) 24 d) 18 e) 12 B A 3
9
U N F V – C E P R E V I
G E O M E T R Í A
Problemas Propuestos
11. Calcule el área de la región sombreada. a) 36 b) 18 c) 24 P Q d) 72 O e) 39 9 4 A
1. Calcular el área de una región triangular ABC, donde AB=10u; AC=12u y mA=30°. a) 30 u² b) 45 u² c) 48 u² d) 60 u² e) 75 u² 2. Si el perímetro de un triángulo rectángulo es 36u, calcular el área correspondiente si un ángulo mide 37°. a) 36 u² b) 48 u² c) 54 u² d) 86 u² e) 108 u²
T
12. Calcule el área de la región sombreada. a) 96 B b) 84 c) 108 15 d) 134 e) 126 53° 45° A
w
w
w
.M
14. En la siguiente figura, calcule el área de la región sombreada. a) 16 b) 24 2 c) 28 d) 64 4 e) 32 4 15. Calcule el sombreada.
área
de
la
5
región a) 48 b) 15 c) 12 d) 24 e) 36
ic
a1 .c
om
4. En la figura, calcular el área de la región sombreada. B a) 10 u² 2 b) 11 u² C 8 c) 12 u² d) 8 u² α 45° e) 5 u² α P A
at
at e
m
13. Calcule el área de la región sombreada. Si el área del romboide ABCD es 120 m². M B C a) 8 b) 6 c) 12 d) 10 e) 4 A D
3. En la figura, calcular el área de la región sombreada. P a) 16 u² b) 18 u² B c) 20 u² d) 15 u² 37° e) 12 u² A Q 4 C 6
5. Calcular el área de la región sombreada, si O es centro de la circunferencia y T, P y Q son puntos de tangencia. a) 64 u² Q 4 P b) 48 u² c) 30 u² 7 9 O d) 32 u² e) 40 u² A B T 6. Si el área de la región triangular ABC es 80 m². Calcular el área de la región sombreada. B a) 18 u²
A U N F V – C E P R E V I
3a
D
a
C
b) 20 u² c) 25 u² d) 30 u² e) 10 u² 77
G E O M E T R Í A
7. Calcular el área de la región sombreada, si el área de la región triangular PBC es 15 u². B a) 2 u² a b) 3 Q c) 4 u² a d) 5 u² e) 10 u² A C P 2b 3b
12. En la figura, calcular el área de la región sombreada. Si: PC=2; PQ=3 y QD=4. 9 C a) 31 u² B b) 45 u² P c) 54 u² Q d) 59 u² e) 61 u²
8. Si: SDPQB=6 u², PC=2BP y AQ=QC. Calcular: SDABC B a) 42 u² b) 24 u² P c) 28 u² d) 32 u² e) 36 u² A C Q 9. En un romboide ABCD, AB=7 2 BC=10 y la mA=45°. Calcular el área de la región cuadrangular ABCD. a) 25 u² b) 28 u² c) 70 u² d) 35 u² e) 40 u²
13. Si las bases de un trapecio miden 7 cm y 13 cm; y la medida de su altura es de igual medida que su base media. Calcular el área de dicho trapecio. a) 120 u² b) 100 u² c) 140 u² d) 98 u² e) 75 u²
w
w
w
.M
11
D
ic
a1 .c
om
14. Si ABCD es un rombo y AE=24 u. Calcular el área de la región rombal. a) 150u² B C b) 180u² c) 144u² d) 225u² e) 296u² 53° A E D
at
at e
m
10. En la figura, calcular el área de la región sombreada. 12 B C a) 45 u² 2 b) 48 u² P c) 54 u² d) 73 u² 5 e) 64 u² A D Q 11. Si el perímetro de un rombo es de 52 u y una de sus diagonales mide 10 u, entonces calcular el área de dicho rombo. a) 240 u² b) 169 u² c) 144 u² d) 108 u² e) 120 u²
A
15. En el siguiente paralelogramo ABCD, calcular el área de la región sombreada. a) 18 m² C B b) 15 m² c) 6 m² d) 12 m² e) 9 m² 3 m² A a a D M
