ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 1
CAPÍTULO 1 Introducción y conceptos básicos 1.1 INTRODUCCIÓN Si bien el origen de la estadística es tan lejano coo la ci!ili"aci#n isa$% no alcan"# &n desarrollo notable 'asta el s&rgiiento de los Estados% aconteciiento bajo el c&al se con!irti# en &n instr&ento (reciso (ara describirlos &tili"ando eleentos n&)ricos* De a'í !iene el nobre de esta disci(lina% c&+o est&dio en s& ,ora eleental ser- objeto de &c'as de las (-ginas .&e co(onen este libro* La estadística es &n )todo cientí,ico .&e enc&entra a(licaci#n en &na gran di!ersidad de ca(os del saber '&ano + c&+aa &tilid c&+ &tilidad% ad% coo .&e .&ed# d# deost deostrad radoo desde desde el siglo siglo (asado (asado%% !a -s all- de la era era descri descri(ci (ci#n% #n% (&e (&ess (erit (eritee el desc&briiento de le+es + tendencias* Dentro de los &c'os eje(los .&e (eriten il&strar esto% basta con citar el caso del estadístico ale-n Ernesto Engel$$ /101210345 .&e ad.&iri# renobre en el terreno de las in!estigaciones econ#icas + sociales al desc&brir la le+ .&e lle!a s& nobre + .&e se en&ncia así6 7C&anto enor es el ingreso ,ailiar% a+or es la (ro(orci#n destinada destinada a la co(ra de alientos7* Con datos recabados en 1089% obser!# .&e esa (ro(orci#n era de 4:% 88: + 8;: en ,ailias de clase baja% edia + alta% res(ecti!aente* Al di,&ndirse esta le+% res<# e!idente .&e c&anto a+or es la (arte del ingreso ,ailiar .&e se in!ierte en alientos% enor es la .&e se (&ede destinar a otros ,ines /!estido% sal&d% recreaci#n% coodidades% etc*5 + !ice!ersa* Por esta ra"#n% esa (arte o (ro(orci#n 'a sido &tili"ada coo &nidad de edida del bienestar social*
El est&diante encontrar- con s&a ,acilidad &na gran !ariedad de a(licaciones del )todo estadístico% lo c&al ser- s&,iciente (ara de(oner la idea de .&e la estadística es la si(le ac&&laci#n de 'ec'os + ci,ras con ,ines eraente acad)icos o de arc'i!o< -s bien se con!encer- de .&e se trata de &na disci(lina .&e incide signi,icati!aente signi,icati!aente en la !ida cotidiana de los seres '&anos* =o obstante% coo todo instr&ento% la estadística tiene s&s liitaciones< no (&ede% (or eje(lo% dise>ar in!estigaciones ni seleccionar (robleas (ara soeterlos a est&dio% ni (&ede% (or sí sola% a(ortar res<ados !aliosos o dar inter(retaciones de res<ados en a&sencia de &na s#lida teoría* Por otro lado% todos los res<ados estadísticos% e?actos o no% se e?(resan de odo (reciso ediante n@eros* Pero (reciso no es sin#nio de e?acto< son e?actas las o(eraciones arit)ticas% (ero las ediciones .&e cond&cen a los datos .&e las 'acen (osibles no sie(re son con,iables* Por esta ra"#n los res<ados estadísticos deben ser sie(re soetidos a crítica* Pero% .&) es la estadística Desde ediados del siglo III 'asta &na cent&ria des(&)s% la estadística 'a sido objeto de &c'ísias de,iniciones% las c&ales 'an obedecido% e!identeente% a las di,erentes conce(ciones .&e se 'an tenido de ella a lo largo del tie(o* Sin ebargo% ser- s&,iciente (or a'ora con .&e nos ,ailiariceos con &na de,inici#n .&e res(onde a los objeti!os de este c&rso6 Estadística Es &n conj&nto de (rocediientos .&e sir!en (ara organi"ar + res&ir datos% 'acer in,erencias a (artir de ellos + transitir los res<ados de anera clara% concisa + signi,icati!a* signi,icati!a*
Tabi)n (odeos entender la estadística coo la ciencia .&e (erite res(onder a ciertas (reg&ntas bas-ndose en datos e(íricos% es decir% en datos .&e se originan de la obser!aci#n o la e?(eriencia* Entendida así% direos .&e es la ciencia que tiene que ver con los métodos que dan respuesta a determinadas cuestiones obser!acion iones es o las media mediante nte la recol recolecc ecci!n i!n " la interp interpret retaci aci!n !n apropi apropiada adass de datos datos empír empírico icos. s. Las obser!ac e?(eriencias .&e constit&+en los datos (&eden res<ar de la in!estigaci#n cientí,ica% de la acti!idad coercial o de la !ida cotidiana* En c&al.&ier caso% la estadística b&sca dar sentido a los datos< esto i(lica tanto la recolecci#n coo la inter(retaci#n de )stos* La recolecci!n abarca abarca el dise>o de las in!estigacio in!estigaciones nes e(íricas% e(íricas% la (laneaci#n (laneaci#n de lo .&e se .&iere obser!ar% obser!ar% la calidad + s&,iciencia de la obser!aci#n + el registro de los datos< la interpretaci!n el an-lisis + el res&en de los datos% la e?tracci#n de concl&siones a (artir de ellos + el re(orte + la (resentaci#n de los res<ados* Para s& est&dio% la estadística se di!ide en dos grandes raas6 descriptiva e in#erencial.$
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Estadística descriptiva Es un conjunto de procedimientos que sirven para organizar, describir y sintetizar datos, sin que las conclusiones que se extraigan de éstos rebasen su ámbito específico.
%or eje(lo% si al recolectar las cali,icaciones de &n gr&(o de est&diantes en &na asignat&ra deterinada las res&ios diciendo .&e la cali,icaci#n (roedio es 9*8% estaos describiendo + sinteti"ando &na característica de los datos< es decir% del total de cali,icaciones* La !alide" de esta descri(ci#n n&)rica ata>e @nicaente al gr&(o de est&diantes del c&al (ro!ienen los datos + no encierra incertid&bre* Estadística in#erencial Es un conjunto de procedimientos que se emplean para hacer inferencias y generalizaciones respecto a una totalidad, partiendo del estudio de un nmero limitado de casos tomados de esta ltima.
Las in,erencias + generali"aciones en esta raa% .&e co(leenta a la descri(ti!a% se basan en la teoría de la (robabilidad% alg&nos de c&+os ,&ndaentos ser-n est&diados en el ca(ít&lo 8* El car-cter (ro(io del )todo estadístico descansa en el est&dio de gr&(os o asas% a tra!)s de los eleentos .&e los co(onen* En estadística no interesan aisladaente las características de &n eleento de la asa* =o interesa% (or eje(lo% .&e la !ida @til de &na l-(ara de cierto dise>o sea de 1; il 'oras + la de otra de F il* Lo .&e i(orta es !er la tendencia de cierto n@ero de l-(aras .&e (&edan ser re(resentati!as de toda la (rod&cci#n< lo .&e se b&sca b&sca es desc&brir% (or (or eje(lo% .&e la !ida @til (roedio (roedio de ese ti(o de l-(aras es de 9 il 'oras* Si lo .&e se est&dia es &n gr&(o de (ersonas% no interesa .&e &na de ellas en (artic&lar (ro,ese el catoliciso + otra el (rotestantiso% (or encionar algo< lo .&e .&isi)raos conocer (odrían ser los c<os e?istentes + el .&e -s se (ro,esa en el gr&(o* El edio e(leado (ara el est&dio estadístico es la en&eraci#n o rec&ento* En&erar es ca(tar las características de los eleentos soetidos a est&dio + anotarlos o edirlos bajo las condiciones .&e se (resentan* La estadística es% b-sicaente% &n )todo de ind&cci#n basado en los grandes n@eros$ + s&s (ro(iedades% con lo c&al se eliinan los errores (ro(ios de la obser!aci#n + se a&enta la !alide" de los res<ados obtenidos*
!"ara que sirve la estadística# Explica
La Estadística puede dar respuesta a muchas de las necesidades que la sociedad actual nos plantea. Su tarea fundamental es la reducción de datos, con el objetivo de representar la realidad y transformarla, predecir su futuro o simplemente conocerla. conocerla.
El INEGI Tú y la Estadística
La Estadística es &na raa de las Gate-ticas .&e% a tra!)s de di!ersas etodologías + t)cnicas% se encar&a de la recolecci!n " or&ani'aci!n de datos acerca de personas sucesos o cosas* Asiiso% ,acilita s& an-lisis e inter(retaci#n% con el ,in de obtener concl&siones*
(a Estadística es un apo"o importante en el mane)o " an*lisis de &randes vol+menes de
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Estadística descriptiva Es un conjunto de procedimientos que sirven para organizar, describir y sintetizar datos, sin que las conclusiones que se extraigan de éstos rebasen su ámbito específico.
%or eje(lo% si al recolectar las cali,icaciones de &n gr&(o de est&diantes en &na asignat&ra deterinada las res&ios diciendo .&e la cali,icaci#n (roedio es 9*8% estaos describiendo + sinteti"ando &na característica de los datos< es decir% del total de cali,icaciones* La !alide" de esta descri(ci#n n&)rica ata>e @nicaente al gr&(o de est&diantes del c&al (ro!ienen los datos + no encierra incertid&bre* Estadística in#erencial Es un conjunto de procedimientos que se emplean para hacer inferencias y generalizaciones respecto a una totalidad, partiendo del estudio de un nmero limitado de casos tomados de esta ltima.
Las in,erencias + generali"aciones en esta raa% .&e co(leenta a la descri(ti!a% se basan en la teoría de la (robabilidad% alg&nos de c&+os ,&ndaentos ser-n est&diados en el ca(ít&lo 8* El car-cter (ro(io del )todo estadístico descansa en el est&dio de gr&(os o asas% a tra!)s de los eleentos .&e los co(onen* En estadística no interesan aisladaente las características de &n eleento de la asa* =o interesa% (or eje(lo% .&e la !ida @til de &na l-(ara de cierto dise>o sea de 1; il 'oras + la de otra de F il* Lo .&e i(orta es !er la tendencia de cierto n@ero de l-(aras .&e (&edan ser re(resentati!as de toda la (rod&cci#n< lo .&e se b&sca b&sca es desc&brir% (or (or eje(lo% .&e la !ida @til (roedio (roedio de ese ti(o de l-(aras es de 9 il 'oras* Si lo .&e se est&dia es &n gr&(o de (ersonas% no interesa .&e &na de ellas en (artic&lar (ro,ese el catoliciso + otra el (rotestantiso% (or encionar algo< lo .&e .&isi)raos conocer (odrían ser los c<os e?istentes + el .&e -s se (ro,esa en el gr&(o* El edio e(leado (ara el est&dio estadístico es la en&eraci#n o rec&ento* En&erar es ca(tar las características de los eleentos soetidos a est&dio + anotarlos o edirlos bajo las condiciones .&e se (resentan* La estadística es% b-sicaente% &n )todo de ind&cci#n basado en los grandes n@eros$ + s&s (ro(iedades% con lo c&al se eliinan los errores (ro(ios de la obser!aci#n + se a&enta la !alide" de los res<ados obtenidos*
!"ara que sirve la estadística# Explica
La Estadística puede dar respuesta a muchas de las necesidades que la sociedad actual nos plantea. Su tarea fundamental es la reducción de datos, con el objetivo de representar la realidad y transformarla, predecir su futuro o simplemente conocerla. conocerla.
El INEGI Tú y la Estadística
La Estadística es &na raa de las Gate-ticas .&e% a tra!)s de di!ersas etodologías + t)cnicas% se encar&a de la recolecci!n " or&ani'aci!n de datos acerca de personas sucesos o cosas* Asiiso% ,acilita s& an-lisis e inter(retaci#n% con el ,in de obtener concl&siones*
(a Estadística es un apo"o importante en el mane)o " an*lisis de &randes vol+menes de
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD F
in#ormaci!n% (or eje(lo% la (oblaci#n de &n (aís + di!ersos datos es(ecí,icos% coo6 edad% se?o% escolaridad + !i!ienda% entre otras* C&ando no se (&ede reali"ar &n rec&ento total del n@ero + características de &n conj&nto de (ersonas% s&cesos o cosas% la Estadística a(lica t)cnicas (recisas (ara elegir &n gr&(o re(resentati!o /&estra5% lo c&al tiene &n !alor siilar a contar todo*
El INE,I se vale de la Estadística para reunir " dar a conocer in#ormaci!n a detalle de la po-laci!n " la economía de é/ico% la c&al es &+ i(ortante (ara a(o+ar la (laneaci#n del desarrollo del (aís* T@ (odrías 'acer &n sencillo ejercicio de estadística si reali"as &na in!estigaci#n de alg&nas características de t&s co(a>eros de clase% coo6 c&-ntos son en total< c&-ntos son 'obres + c&-ntas% &jeres< s& edad + n@ero de 'eranos o de (ersonas .&e 'abitan en s& casa* Al ordenar los res<ados en tablas + anali"arlos% estar-s a(licando la Estadística*
La Estadística responde a las necesidades bélicas y fiscales de los gobernantes.
Esto
se puede conseguir con con un conocimiento conocimiento claro de la población población con la que se cuenta. cuenta. La herramienta para conseguirlo es el CES! "E #!$L%C&' y #!$L%C&' y su hermano peque(o, el #%")' *+&C%L "E %$&-%-ES. La prctica del recuento de la población y de algunas características de esta por los Estados es muy antigua /se remonta a 0111 a(os antes de Cristo en Egipto y *esopotamia2. En palabras de $ielfed, la Estadística es la ciencia que nos ense(a el ordenamiento político de todos los estados del mundo conocido , es decir, est al servicio del Estado, de hecho, la palabra Estadística deriva de Estado.
La Estadística responde a la actividad planificadora de la sociedad . Con la )evolución
&ndustrial aparecen nuevos problemas, sobre todo de desigualdades sociales. La Estadística es un instrumento para identificar estas injusticias y para producir información en el llamado Estado del $ienestar.
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD H
#ara reali3ar investigacione investigacioness e4haustivas sobre temas sociales surgen tres problemas bsicos a la hora del trabajo de campo, como el tiempo que tardaríamos en entrevistar a toda la población y el costo económico y de personal de estas entrevistas. Con las t5cnicas de *+ES-)E! *+ES-)E! se se consigue hacer buenas investigaciones sobre una peque(a parte de esa población, obteniendo obteniendo resultados vlidos para toda ella. La Estadística responde a nuevas demandas sociales.
La Estadística responde a las necesidades del desarrollo científico y tecnológico de la l a sociedad en todos sociedad. -ras la )evolución &ndustrial se produce un desarrollo de la
sus mbitos y, en particular, en el Científico y -ecnológico. Las Comunicaciones, Comunicaciones, la &ndustria, la %gricultura, la Salud... se desarrollan rpidamente rpidamente y se e4ige el m4imo rendimiento y la mejor utili3ación de estos sectores. Las t5cnicas de Investigación de Mercados permiten saber si un producto cualquiera ser bien acogido en el mercado antes de su salida a este, o bien medir la audiencia en -elevisión y )adio. El Control de Calidad permite medir las características de la calidad de un producto, compararlass con ciertos requisitos y tomar decisiones correctivas si hay diferencias entre compararla el funcionamiento real y el esperado. Con estudios estadísticos aplicados a la %gricultura y a la #esca podemos estimar los rendimientos obtenidos en una cosecha, o encontrar bancos de peces... En Medicina e Investigación farmacológica es imprescindible la Estadística, probando nuevos tratamientos en grupos de pacientes o bien, obteniendo conclusiones conclusiones sobre ciertas enfermedadess observando durante un tiempo un grupo de pacientes /saber si para el enfermedade tratamiento de cierto tipo de cncer es ms efectiva la cirugía, la radioterapia o la quimioterapia,, sin ms que observar un grupo de pacientes tratados con estas t5cnicas2. quimioterapia La Estadística responde a las necesidades bélicas y fiscales de los gobernantes . Censo De población. Padrón municipal de habitantes. Para preveer los sericios que se prestarán a los ciudadanos. A los comerciant comerciantes es con la investigació investigación n de mercados. mercados. Para er si un producto se a a
ender. Industrias productoras de bienes. Control de calidad de un producto.
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 8 En Medicina e Investigación farmacológica . #robando nuevos tratamientos tratamientos en grupos de
pacientes o bien, obteniendo conclusiones sobre ciertas enfermedades. En las Ciencias Naturales ayuda a entender datos y tomar decisiones.
CO=CEPTOS J=DAGE=TALES* J=DAGE=TALES* Descri-e Descri-e los si&uientes conceptos %o-laci!n %o-laci!n uestra uestra Elemento. Dato varia-le. Tipos de varia-les.
ESTADISTICA DESCRIPTI DES CRIPTIA A DE DATOS DATOS POBLACIO=* GJESTRA* ELEGE=TO ARIABLE* TIPOS DE ARIABLES* DATO* DATOS* EPERIGE=TO* PARAGETRO* ESTADISTICA o ESTADIKRAO* GEDICIO= DE LA I=COGODIDAD ISICA a5El &ndo es (e.&e>o (ara !iajeros rob&stos + altos* Basta (reg&ntar a Rose+ Krier% e? liniero de,ensi!o de la =L de 1*38 + 1F4 g* de (eso% .&ien ja-s encontr# alg@n a(o+ador .&e no (&diese derribar* Sin ebargo% no (&ede ganar contra los asientos de los a!iones% constr&idos (ara (ersonas de 1*98 + 99 g* Krier no esta solo* Otros 1F illones de 'obres (or lo enos iden 1*00 o (esan 1; g* Los asientos de los a!iones n&nca 'an contado con s&,iciente es(acio* Originalente ,&eron dise>ados (ara .&e c&(iese &n atleta bastante conocido6 /el joce+5 Millie S'oeaer% broea Ed Perins% editor de Cons&er Re(orts Tra!el Letter% .&e ide la distancia entre los asientos cada dos a>os* D&rante los @ltios ; a>os% las aerolíneas 'an a&entado grad&alente alrededor de &n 1;: el n@ero de asientos en s&s a!iones* En ese tie(o se 'a red&cido el es(acio .&e 'a+ entre las ,ilas de asientos en todas las aerona!es* Las ,ilas est-n 1; centíetros as (r#?ias entre sí .&e 'ace ; a>os* Cons<a el rec&adro !iajar es &n (roblea*
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 4
a5 .&ien ,&e enc&estado* b5 c&antos ,&eron enc&estados* c5 E?(lica el signi,icado de NAsientos estrec'os en a!iones 33:* d5 Por .&e se 'an re(ortado (orcentajes tan ele!ados*
P-sae la dona% .&)date con el ca,) Por =anc+ elic'
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 9 JSA Toda+ El desa+&no estado&nidense de ca(eones a'ora incl&+e -s (l-tanos + donas + enos ca,)* Se est&diaron re(ortes de cons&o de alientos de ;;; 'ogares d&rante &n (eriodo de 1H días + se llegaron a las sig&ientes (ro(osiciones*
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El ca,) sig&e siendo la bebida as (o(&lar% +a .&e se sir!e en H;: de los alientos .&e se cons&en antes del ediodía< a&n.&e esta (or debajo del 4;: re(ortado en 130H% debido en gran (arte a .&e es enos (o(&lar entre las (ersonas enores de F8 a>os de edad* Los (l-tanos son a'ora la ,r&ta n&ero &no% en l&gar de las toronjas% .&e eran las ,a!oritas en 130H* Las donas son el aliento .&e se o,rece cada !e" as en el en@* La gente coi# &n (roedio de 9 donas (or (ersona en 133F% lo .&e re(resenta &n increento con res(ecto con res(ecto a las *H .&e se cons&ían en 130H* El cons&o de '&e!os estrellados descendi# a 11 (ersonas en 133F% de los F .&e se cons&ían en 130H* El cons&o de tocino tabi)n 'a descendido% de 1 (orciones (or (ersona .&e se cons&ían en 130H a 1F (orciones (or (ersona en 133F* Las donas% los roles de a"@car + las (astas de alendras sig&en siendo (o(&lares% con &n cons&o de 1 (or (ersona en 133F con res(ecto a las 11 (or (ersona .&e se cons&ían en 130H*
1*2 Q&i)n/es5 ,&e/ron5 enc&estado/s5 *2Q&) in,oraci#n se recolect# en cada 'ogar F*2C&-l ,&e el (eriodo de tie(o .&e se too en c&enta (ara el cons&o de aliento H*2Q&e concl&si#n e?traes de las cinco (ro(osiciones .&e res&en los res<ados de la en c&esta con res(ecto a los alientos sal&dables 8*2C&al ,&e el a>o .&e se 'i"o esta enc&esta + con .&e a>o se co(ar# CO=CEPTOS J=DAGE=TALES* Jn est&diante de estadística esta interesado en deterinar el (roedio del !alor en d#lares de los a&to#!iles .&e (ertenecen al c&er(o docente de n&estra &ni!ersidad* Cada &no de los oc'o t)rinos recienteente descritos (&ede identi,icarse en esta sit&aci#n* 1*2 La po-laci!n es la colecci#n de todos los a&to#!iles .&e (ertenecen a todos los iebros del c&er(o docente de la &ni!ersidad* *2 Jna muestra es c&al.&ier s&bconj&nto de esa (oblaci#n* Por eje(lo% &na &estra serian los a&to#!iles .&e (ertenecen a los (ro,esores del de(artaento de ate-ticas*
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 0 F*2 La varia-le es el !alor en d#lares de cada a&to#!il indi!id&al* H*2 Jn dato (odría ser el !alor en d#lares de &n a&to#!il en (artic&lar* El a&to#!il del se>or S-nc'e"% (or eje(lo esta !al&ado en 3H;; d#lares* 8*2 Los datos serian el conj&nto de !alores .&e corres(onden a la &estra obtenida /3H;;< 09;;< 18 38;5* 4*2 El e/perimento serian los )todos a(licados (ara seleccionar los a&to#!iles .&e integren la &estra + deterinar el !alor de cada a&to#!il de la &estra* Podría e,ect&arse (reg&ntando a cada iebro del de(artaento de ate-ticas% o de otras ,oras* 9*2 El par*metro sobre el .&e se esta b&scando in,oraci#n es el !alor N(roedio de todos los a&to#!iles de la (oblaci#n* 0*2 La estadística .&e se enc&entre es el !alor N(roedio de todos los a&to#!iles de la &estra* Describe + da eje(los6 Par-etro* Estadistica Dato* Jn est&diante de estadística de 8 NA Nest- interesado en deterinar el (roedio del !alor en (esos de las co(&tadoras .&e (ertenecen a los aestros de n&estra &ni!ersidad* Describe cada &no de los sig&ientes t)rinos* Poblaci#n*
G&estra* Dato* ariable Par-etro Estadística*
Acti!idad* Elabora &n a(a% es.&ea diagraa o res&en de todos los ti(os de !ariables e?istentes
1.0 CONCE%TO 2UND3ENT3(E %o-laci!n Tabi)n llaada universo es todo conj&nto de (ersonas% cosas & objetos con ciertas características co&nes*
Por eje(lo6 los est&diantes de (re(aratoria con (roedio ínio de 0 en el Estado de Gic'oac-n en 1300< las ,abricas de a&to#!iles e?istentes en la Re(@blica Ge?icana 'asta el F1 de diciebre de 1303< el
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 3 conj&nto de los n@eros (rios< el conj&nto de las ,oras iaginables en .&e se (&ede re(artir la ri.&e"a nacional% etc* De estos eje(los debe .&edar claro .&e en estadística el conce(to de (oblaci#n no se re,iere necesariaente a (ersonas ni objetos ateriales* Ta(oco tiene .&e estar integrada (or &n gran n@ero de eleentos* Si decios 7los n@eros nat&rales U 1;7% estareos de,iniendo con (recisi#n &n &ni!erso .&e consta de &+ (ocos eleentos* C&ando se trata de eleentos concretos% (or eje(lo% est&diantes% ,-bricas de a&to#!iles% ejidos% !i!iendas% etc*% s& de,inici#n rig&rosa se alcan"a% (or regla general% a>adiendo a la característica la &bicaci#n o l&gar + el (eriodo% es decir% el es(acio de tie(o en el c&al se considera !-lida esa característica* 7Ejidos en el &nici(io de C#rdoba 'asta el F1 de j&nio de 130;7< 7!i!iendas con -s de F 'abitaciones en Y&cat-n 'asta el F; de ar"o de 133F7% etc*
Cada &no de los co(onentes de &na (oblaci#n recibe el nobre de elemento o unidad 4 esencial
Jn eleento (&ede ser indi!id&al o colecti!o* En &na (oblaci#n ,orada (or est&diantes% el eleento o &nidad esencial es 7el est&diante7% c&+o car-cter es% e!identeente% indi!id&al< en &na (oblaci#n ,orada (or ,-bricas de a&to#!iles% el eleento es 7la ,-brica de a&to#!iles7% de nat&rale"a colecti!a% +a .&e se trata de &n estableciiento en el .&e 'a+ &c'os obreros* e(leados% de(artaentos% etc* Es claro .&e% (ara s& est&dio% re!isten a+or co(lejidad los &ni!ersos ,orados (or eleentos de índole colecti!a* De,inida &na (oblaci#n c&al.&iera se llaa muestra a toda (orci#n de eleentos sacada de ella*
SÍ de &na (oblaci#n ,orada (or = eleentos% se toa &na (arte de ellos% esta (arte o s&bconj&nto de la totalidad ser- &na &estra* Kr-,icaente% &ni!erso% eleento + &estra se re(resentan coo en la ,ig&ra sig&iente6
Relatividad de los términos po-laci!n elemento " muestra Considereos &n &ni!erso ,orado (or todas las ,ac<ades de &na &ni!ersidad6 cada ,ac<ad ser- &n eleento de ese &ni!erso* Si to-seos &nas c&antas ,ac<ades% tendríaos &na &estra /ig* 1**5* =o obstante% el &ni!erso objeto de est&dio (odría ser rede,inido en &n oento dado* Podríaos estar interesados en est&diar &na ,ac<ad deterinada% .&e sería &n &ni!erso c&+os eleentos (odrían estar dados (or s&s (ro,esores% al&nos% e(leados% etc* /ig* 1**H5*
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 1;
Tabi)n (odeos considerar coo &ni!erso al conj&nto de todas las &ni!ersidades de &n (aís* En este caso la &ni!ersidad .&e inicialente 'abíaos considerado (asa a ser &n eleento del n&e!o &ni!erso* Si to-seos &nas c&antas &ni!ersidades del conj&nto% esa (orci#n o s&bconj&nto (asaría a ,orar &na &estra /ig* 1**F5*
Lo anterior (one de ani,iesto la relati!idad de los t)rinos (oblaci#n% eleento + &estra* uestreo in#erencia
estadística par*metro " estadí&ra#o Con ,rec&encia es i(osible o innecesario obser!ar las características de todos + cada &no de los eleentos de la (oblaci#n% es decir% reali"ar &n censo. C&ando &n )dico .&iere conocer la calidad de la sangre de &n (aciente% le basta con ordenar el an-lisis de &na &estra% +a .&e en el caso de lí.&idos o de otros c&er(os de constit&ci#n 'oog)nea% &na (orci#n o &estra es e?actaente ig&al a la totalidad* Este eje(lo il&stra .&e el an-lisis del todo no s#lo es i(osible sino innecesario* Lo iso s&cedería con otros &ni!ersos% (or eje(lo% el conj&nto de l-(aras de cierto dise>o (rod&cidas (or &na ,-brica6 si se les soete a &na (r&eba de resistencia .&e i(li.&e s& destr&cci#n (ara conocer esa característica% es i(osible (lantearse el soeter a todas a (r&eba* En este caso la necesidad de est&diar el todo% (ero a tra!)s de &na &estra% res<a indis(ensable* En otros casos% donde es &rgente conocer la sit&aci#n .&e g&arda cierto orden de cosas (ara la toa de decisiones% res<a incon!eniente le!antar &n censo (or.&e los res<ados de la indagaci#n (odrían res<ar e?te(or-neos* Por esto es necesario est&diar el todo a tra!)s de &na &estra* Ade-s% es claro .&e si &n &ni!erso es &+ n&eroso% el censo res<a &+ costoso debido a la gran cantidad de rec&rsos ateriales + '&anos .&e 'a+ .&e (oner en j&ego* Esta es la ra"#n (or la c&al los censos nacionales de (oblaci#n% de agric<&ra + ganadería o ind&striales% entre otros% s#lo (&ede ejec&tarlos el Estado ediante instit&ciones dedicadas a ello* En G)?ico el I=EKI$* El (rocediiento ediante el c&al se reco(ila in,oraci#n de los eleentos de &na &estra% se conoce con el nobre de muestreo5 di,erente al censo% .&e consiste en 'acer lo iso% (ero con todos los eleentos .&e co(onen &n &ni!erso* Anali"ado lo anterior% direos .&e c&ando es i(osible% innecesario o incon!eniente obser!ar características de todos los eleentos de &n &ni!erso% se rec&rre a estiarlas a (artir de &na o -s &estras toadas de )l*
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 11 =o obstante% la calidad de las estiaciones de(ende% b-sicaente% de la re(resentati!idad de la &estra* Jna &estra es re(resentati!a si re@ne% en t)rinos generales% las características del &ni!erso del c&al (rocede* Esta (ro(iedad no sie(re se c&(le* Si la (oblaci#n est- integrada% digaos% (or (ersonas% &na (orci#n de ellas% toada de anera arbitraria% di,ícilente tendr- las características generales del conj&nto* Así% (&es% no es ,-cil c&(lir el re.&isito de la re(resentati!idad< sin ebargo% la teoría del &estreo a(orta eleentos (ara (oder c&(lirlo en grado ace(table* En otras (alabras% e?isten (rocediientos de selecci#n de &estra .&e garanti"an altos ni!eles de re(resentati!idad% inde(endienteente del &ni!erso de .&e se trate* A'ora bien% el estiar las características de &n &ni!erso de la anera se>alada anteriorente es &n (rocediiento estadístico .&e !a de lo (artic&lar a lo general* Dic'o de otro odo% es &na in#erencia o inducci!n la c&al se de,ine así6 In#erencia estadística Es el (roceso ediante el c&al se estian características de &na (oblaci#n a (artir de las obser!aciones 'ec'as en &na &estra sacada de esa (oblaci#n*
Toda descri(ci#n n&)rica .&e sintetice in,oraci#n res(ecto a &n &ni!erso% recibe el nobre de par*metro5 si se re,iere a &na &estra% estadí&ra#o o* coo le llaan alg&nos a&tores% estadístico. Por eje(lo% 7el (orcentaje de !i!iendas en al estado7 en &n &ni!erso es &n par*metro5 en &na &estra toada de dic'o &ni!erso% &n estadí&ra#o. &ndaental en el .&e'acer estadístico es la noci#n de !ariable*
6aria-le Es toda (ro(iedad o característica .&e nos interesa est&diar + .&e (ertenece a &n conj&nto de (ersonas% & objetos + adite !ariaciones
Se dice .&e algo !aría si (&ede toar (or lo enos dos !alores% grados o ,oras o% incl&so% c&ando &na característica (&ede estar (resente o a&sente en &na sit&aci#n es(ecí,ica* Dic'o esto% (odríaos estar de ac&erdo en .&e nociones coo se?o% n@ero de 'ijos (or ,ailia% color de a&to#!il% n@ero de '&elgas an&ales% ni!el de est&dios% etc*% son !ariables% +a .&e son características .&e aditen (or lo enos dos !alores% grados o ,oras dentro de &n &ni!erso deterinado*
=o obstante% la (r-ctica docente ense>a .&e% al e(e"ar a ,ailiari"arse con este tea% los al&nos s&elen con,&ndir la característica .&e adite !ariaciones con el &ni!erso o con los eleentos del iso* Co(-rese la lista del (-rra,o anterior con esta otra6 (ersona% !i!ienda% l-(ara% a&to#!il* Estos t)rinos se re,ieren a objetos + no a características de objetos< (or lo tanto% no son !ariables* ariables serían las características .&e .&isi)raos indagar de esos objetos* Por eje(lo% de &n &ni!erso ,orado (or (ersonas (odríaos conocer s& edad% l&gar de naciiento% ni!el de escolaridad% clase social a .&e (ertenecen% etc* Estas (ec&liaridades son !ariables* Tabi)n son !ariables% de &n &ni!erso ,orado (or a&to#!iles% s& arca% odelo% color% (otencia% etc*% +a .&e son características .&e !an cabiando de a&to en a&to* Otra con,&si#n ,rec&ente se da con los datos estadísticos* Considereos estos eje(los6 7n@ero de '&elgas7 + 7(rod&cci#n de a"@car7* Si decios .&e el n@ero de '&elgas en &na regi#n + en &n (eriodo deterinados es A% estaos a(ortando in,oraci#n global del ,en#eno% .&e es &n dato estadístico% no &na !ariable* El n@ero de '&elgas se con!ierte en !ariable si se est&dia% digaos% en &n (eriodo deterinado + en di,erentes regiones% o en &na sola regi#n + en di,erentes (eriodos /an&alente% se?enalente% etc*5* Lo iso (asa si a,iraos .&e la (rod&cci#n de a"@car en el ingenio es B toneladas6 se trata de &n dato estadístico% no de &na !ariable* La (rod&cci#n de a"@car se con!ertir- en !ariable c&ando se indag&e en di,erentes ,-bricas + en &n iso oento o en &na isa ,-brica + en distintos oentos*
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 1 E)emplo 1.1 La tabla sig&iente &estra la (rod&cci#n de a"@car en la "a,ra 1300V1303% en c&atro ingenios de los -s i(ortantes del (aís /&ente6 Gan&al A"&carero Ge?icano% 133;5
Ingenio
Prod&cci#n /iles de ton*5
El (otrero Eiliano Wa(ata San Crist#bal Tala
18H*0 114*3 18F*F 118*F
E)emplo 1.0 A contin&aci#n se &estra la (rod&cci#n de a"@car en el Ingenio El Potrero% d&rante c&atro "a,ras consec&ti!as /&ente6 Ide% (* F9F56 Wa,ra
Prod&cci#n
0HV08
/iles de ton*5 1F0*
08V04 04V09 09V00
14;*H 180*; 1H4*4
Tabi)n a.&í la (rod&cci#n es &na !ariable% (or.&e se registra en &na isa ,-brica /Ingenio El Potrero5 + en di,erentes oentos*
A'ora bien% toda !ariable tiene dos ni!eles6 &no conce(t&al o te#rico + otro o(eracional o de edici#n* Si nos (reg&ntaran .&) se entiende (or alco'oliso% (or eje(lo% (odríaos decir .&e se trata de &na en,eredad (rogresi!a + ortal% e?cl&si!a de los seres '&anos% .&e consiste en la ingesti#n de bebidas alco'#licas* De ser -s o enos correcta esta de,inici#n% estaríaos en el ni!el estrictaente conce(t&al o te#rico% .&e no (erite e,ect&ar ning&na edici#n* Si% en cabio% a (artir de este conce(to de,inios al alco'oliso coo el &rado de dependencia de los seres '&anos res(ecto a la ingesti#n de bebidas alco'#licas% 'abreos (asado del ni!el conce(t&al a otro donde es (osible edir% (&es en &na (oblaci#n dada encontraríaos desde el .&e no 'a bebido ja-s &na gota de alco'ol% el absteio% 'asta el .&e no (&ede dejar de beber* La corres(ondencia entre el ni!el te#rico + el o(eracional de &na !ariable se consig&e ediante &n (rocediiento llaado medici!n .&e no debe entenderse coo &n (rocediiento arbitrario de asignaci#n de n@eros & otros síbolos a las obser!aciones6 esta asignaci#n se e,ect@a en concordancia con &n conj&nto de (rocediientos adisibles (ara la !ariable conce(t&al .&e SX est) anejando* A ni!el o(eracional o de edici#n% !ariable es &n conj&nto de n@eros & otros síbolo< asignados a las obser!aciones% .&e sir!en (ara clasi,icarlas con res(ecto a &na !ariable conce(t&al Sin ebargo% no a'ondareos en esta c&esti#n< sers&,iciente% (or a'ora% .&e se(aos identi,ica !ariables% +a .&e del ti(o a .&e (ertene"can de(ender- el (rocediiento estadístico con .&e se le< trate% tea .&e est&diareos -s adelante*
TIPOS DE ARIABLES
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 1F
$ipo de variable nominales ordinales
%unci&n 'lasificar )rdenaci&n. *ayor que
ejemplos (ombres , razas, grupos +rado de estudios. lcoholismo
'ardinales
'ontinuas -iscretas
-ecimales Enteros
-Variables cualitativas: on las variables que expresan distintas cualidades, características o modalidad. "ueden ser nominales u ordinales. a)Nominales. /ablaremos de variable nominal cuando los datos correspondan a una variable cualitativa que se agrupa sin ninguna jerarquía entre sí, como por ejemplo0 nombres de personas, de establecimientos, raza, grupos sanguíneos, estado civil. Estas variables no tienen ningn orden inherente a ellas ni un orden de jerarquía. b)Ordinales. i las categorías o valores que adopte una variable cualitativa poseen un orden, secuencia o progresi&n natural esperable, hablaremos de variable ordinal, como por ejemplo0 grados de desnutrici&n, respuesta a un tratamiento, nivel socioecon&mico, intensidad de consumo de alcohol, días de la semana, meses del a1o, escalas, etc. -Variables cuantitativas o cardinales: on las variables que se expresan mediante cantidades numéricas. demás pueden ser Continuas 'ualquier valor dentro de un intervalo. Estatura 2.32 cms. Discretas -eterminados valores dentro de un intervalo. olo enteros
1.7 TI%O DE 63RI38(E Desde el (&nto de !ista conce(t&al% e?isten tres ti(os de !ariables6 noinales% ordinales< cardinales*
6aria-les nominales Son las -s si(les + ab&ndantes + s& @nica ,&nci#n es clasi,icar* S& !ariable o(eracional corres(ondiente es &na escala noinal .&e sir!e (ara clasi,icar las obser!aciones en &n conj&nto de categorías &t&aente e?cl&+entes%7 c&+o orden de colocaci#n es indistinto* A )stas se les (&ede asignar ci,ras & otros síbolos arbitrarios con el ,in de disting&irlas< si son ci,ras% no tienen ning@n !alor intrínseco ni (ro(iedades n&)ricas coo en la arit)tica*
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 1H En la tabla 1*F*1 obser!aos .&e los síbolos 1% % F + H% si bien son los isos .&e se e(lean (ara re(resentar n@eros% no re(resentan sino distritos de riego< es decir% carecen de (ro(iedades n&)ricas* Ade-s% el orden .&e se les d) en la tabla es indistinto% +a .&e s#lo sir!en (ara disting&ir &n distrito de otro*
Ta-la 1.7.1 Distrito de rie&o
9ect*reas sem-radas
1
:;<
0
10<<
7
7<<
=
><<
)ase .&e% a ni!el de edici#n% estado ci!il en este eje(lo es &n conj&nto de cinco categorías &t&aente e?cl&+entes% c&+o orden de colocaci#n es indistinto% +a .&e (&dios 'aber (&esto (riero !i&do o casado + terinar en soltero* Ade-s% si a 7soltero7 le llaaos 1% a 7casado7 % etc*% estas ci,ras carecen de (ro(iedades n&)ricas% +a .&e s#lo sir!en (ara disting&ir &n estado ci!il de otro* A(ro!ec'areos esta e?(licaci#n (ara se>alar .&e es co@n tabi)n con,&ndir la !ariable con s&s categorías* S&ele oírse .&e en &n eje(lo coo el anterior 'a+ 8 !ariables< esto es &n error* La !ariable es s#lo &na6 estado ci!il% .&e en este caso tiene cinco categorías o (osibilidades de res(&esta en &n &ni!erso deterinado* Se debe 'ablar de las categorías 7soltero7 o 7di!orciado7% (or citar alg&nas% (ertenecientes a la !ariable 7estado ci!il7* Otras !ariables noinales serían6 se?o% nacionalidad% color de a&to#!il% ti(o de l-(ara% l&gar de naciiento% etc* 6aria-les ordinales Clasi,ican las obser!aciones en categorías &t&aente e?cl&+entes .&e e?igen ordenaci#n% +a .&e g&ardan entre sí relaciones de 7a+or .&e7* S& !ariable o(eracional es &na escala ordinal .&e !a desde la categoría -s baja a la -s alta o !ice!ersa% de odo .&e las obser!aciones .&eden en el orden a(ro(iado* Estas categorías ta(oco tienen (ro(iedades n&)ricas% a&n.&e se las re(resente (or ci,ras*
=#tese .&e en el c&adro 1*F* es (reciso ordenar las ci,ras 1% + F% (ro(&esto .&e re(resentan la gra!edad de las .&ead&ras de enor a a+or*
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 18 Tabla 1*F* Krado de las
=o de casos
.&ead&ras 1
9;
H;
F
1;
La !ariable alco'oliso% de,inida coo el grado de de(endencia res(ecto a las bebidas ebriagantes% es &n b&en eje(lo de !ariable ordinal* eaos6
=os daos c&enta .&e% a ni!el de la edici#n% 7alco'oliso7 es &n conj&nto de categorías &t&aente e?cl&+entes% .&e !an desde la (osibilidad de no beber n&nca 'asta la de beber cons&et&dinariaente% dos e?treos entre los c&ales cabrían &n sinn@ero de gradaciones* Si de,inios al bebedor reg&lar coo el .&e ingiere bebidas alco'#licas con -s ,rec&encia .&e el ocasional% (ero con enos ,rec&encia .&e el cons&et&dinario% (odeos a,irar .&e a.&)l tiene &n grado de de(endencia res(ecto al alco'ol% a+or .&e el bebedor ocasional + enor .&e el cons&et&dinario* Estas categorías tienen .&e estar ordenadas% sea .&e se les llae (or s& nobre o (or edio de ci,ras .&e carecerían de (ro(iedades n&)ricas6 la ci,ra F indicaría &n grado de de(endencia enor .&e la H + a+or .&e la % (ero nada -s* Otras !ariables del ti(o ordinal serían 7grado de escolaridad7% 7rango ilitar7 o 7jerar.&ía eclesi-stica7* 6aria-les cardinales Son las -s co(lejas* S& !ariable o(eracional es &na escala cardinal .&e se caracteri"a (or.&e las di,erencias ig&ales entre dos de s&s (&ntos son ig&ales entre sí* Las ci,ras asociadas a las categorías son e,ecti!aente c&antitati!as +% en consec&encia% se (&ede e,ect&ar con ellas o(eraciones arit)ticas*
Las !ariables cardinales se di!iden en contin&as o discretas* Continuas? Son las .&e (&eden toar c&al.&ier !alor dentro de &n inter!alo /edad% salarios% Z estat&ra% (rod&cci#n an&al de a"@car% etc*5* Discretas? Son las .&e toan s#lo alg&nos !alores dentro de &n inter!alo /'ijos (or ,ailia* n@ero de '&elgas an&ales% (rod&cci#n ens&al de a&to#!iles% etc*5* Por eje(lo% la edad de los ni>os de &na esc&ela (riaria (odría aditir coo categorías (osibles% las sig&ientes6
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 14
Sin ebargo% a&n.&e (or ra"ones (r-cticas se acost&bre re(ortar las edades de las (ersonas 2a (artir de cierto oento2 en a>os c&(lidos% bien (odríaos decir .&e &n ni>o tiene 9*8 a>os< es decir% 9 a>os F eses* Con esto .&ereos destacar .&e la !ariable (&ede toar c&al.&ier !alor entre los líites 421* Por lo tanto% 7edad7 es &na !ariable contin&a*
S&(ongaos a'ora .&e in!estigaos en &na co&nidad el n@ero de 'ijos (or ,ailia* Esta !ariable (odría aditir las sig&ientes res(&estas6
Es e!idente .&e entre los líites ;21 no (&ede caber c&al.&ier !alor< no (odríaos registrar H*8 'ijos* Por lo tanto% 7n@ero de 'ijos7 es &na !ariable discontin&a o discreta* E?(li.&eos ,inalente el signi,icado de la e?(resi#n 7las di,erencias ig&ales entre dos de s&s (&ntos son ig&ales entre sí7* Si retoaos el eje(lo de las edades de los ni>os de la esc&ela (riaria% !ereos .&e la di,erencia entre 4 + 0 es la isa .&e entre 1; + 1% o sea% a>os* Jn an-lisis (arecido (odríaos reali"ar con el n@ero de 'ijos6 la di,erencia entre 1 + es la isa .&e entre F + H # entre 11 + 1% es decir% 1 'ijo* Este bre!e an-lisis% .&e (arece ocioso% res<a de gran i(ortancia% (&es si lo re(etios con las categorías de la !ariable 7grado de las .&ead&ras7 de la tabla 1*F*% desc&brios .&e la di,erencia entre 1 + no es la isa .&e entre + F* G-s claro6 la di,erencia entre .&ead&ras de (rier + seg&ndo grado no es ig&al a la di,erencia entre .&ead&ras de seg&ndo + tercer grado< s#lo sabeos .&e &n grado de .&ead&ra es -s o enos gra!e .&e el otro*
CJADRO EPLICATIO
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 19
CAPÍ!"O # Tablas y gráficos $ECC%ON &
Estadística descriptiva. 0.1 T38(3 ET3D@TIC3 E,ect&ados la clasi,icaci#n + el conteo de los datos% es necesario (resentarlos de anera clara% sint)tica + signi,icati!a (ara s& ejor + ,-cil entendiiento* Para ello se rec&rre a la tabla estadística + el gr-,ico estadístico* De estos dos rec&rsos% la tabla j&ega el (a(el ,&ndaental% (&es es la base de la constr&cci#n de gr-,icos + del an-lisis estadístico* La tabla o c&adro estadístico consta de tres (artes% .&e reciben nobres .&e an&ncian la (ec&liaridad ,&ndaental de s& estr&ct&ra6 cabe"a% c&er(o + (ie*
(a ca-e'a o enca-e'amiento de la tabla oc&(a la (arte s&(erior de la isa + contiene6 el título .&e 'a de e?(resar clara + concisaente el contenido o signi,icado estricto de la in,oraci#n< el periodo o sea% el es(acio de tie(o (ara el c&al es !-lida la in,oraci#n< + la unidad de medida sie(re + c&ando sea co@n a toda la in,oraci#n* El cuerpo est- locali"ado en la (arte central de la tabla + en )l se enc&entra la esencia isa de la in,oraci#n% o sea% las categorías de las !ariables + s&s corres(ondientes ,rec&encias o intensidades* Por regla general% las categorías se colocan del lado i".&ierdo + s&s ,rec&encias o intensidades del lado derec'o% (ero a !eces (&ede ser al re!)s% de(endiendo del ti(o + de las (ec&liaridades de la in,oraci#n .&e se (resenta* Es decir% al res(ecto no 'a+ reglas rígidas* Alg&nos a&tores llaan tal!n " campo a las (artes i".&ierda + derec'a del c&er(o de &na tabla + 'acen l&ego &na s&bdi!isi#n de esas (artes% a las .&e asignan n&e!os nobres* =osotros no entrareos en esos detalles% (&esto .&e (retendeos .&e se asiile sin di,ic<ad el (rocediiento de constr&cci#n de tablas si(les* Sin ebargo% es @til saber .&e c&ando la &nidad de edida no es co@n a todos los datos o c&ando se re.&iere a>adir cla!es & otras indicaciones% .&e sir!an (ara identi,icar las categorías de las !ariables% se ane?an al c&er(o de la tabla col&nas bajo el nobre de 7&nidad de edida7% 7cla!e n@ero7% etc* .&e (asan a ,orar (arte del tal#n* )ase la tabla sig&iente6
Ta-la 0.1.0
&ente6 datos s&(&estos
El pie lo ,ora la (arte in,erior de la tabla% .&e est- destinada a las notas o aclaraciones indicadas en el encabe"aiento o el c&er(o /c&ando son necesarias5< ade-s enciona la ,&ente & origen de la in,oraci#n* Podrno 'aber aclaraciones en &n c&adro% (ero la ,&ente debe a(arecer al (ie* Para .&e .&ede claro lo dic'o en este s&btít&lo% analiceos a contin&aci#n la estr&ct&ra de alg&nos c&adros*
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 10 Ta-la 0.1.0 %o-laci!n rural " ur-ana. é/ico. 1A<
Total
Ur-ana
Rural
1A<< 1A1< 1A01 1A7<
17.: 1>.0 1=.= 1:.>
0.: 7.F =.> >.>
11.< 11.> A.A 11.<
1316 El censo .&e se debi# le!antar en 13; se retras# &n a>o debido al o!iiento arado de la Re!ol&ci#n Ge?icana* Poblaci#n r&ral6 enos de 8;; 'abitantes* &ente6 Censos generales de (oblaci#n% 13;;2134;*
La cabe"a de la tabla anterior nos dice% de anera clara + bre!e% .&e los datos se re,ieren a la (oblaci#n en n&estro (aís% tanto en el ca(o coo en la ci&dad% de 13;; a 13F; + .&e est-n e?(resados en illones* En el c&er(o a(arece ordenadaente el a>o% la col&na de totales + l&ego los s&andos co(onentes* Esta dis(osici#n de la in,oraci#n ,acilita &na lect&ra co'erente* Leeos% (or eje(lo% .&e en 13;; la (oblaci#n e?icana era de 1F illones 4;; il 'abitantes% de los c&ales illones 4;; il se encontraban en el edio &rbano + 11 illones en el edio r&ral% etc* Al (ie de la tabla a(arecen alg&nas notas aclaratorias + la ,&ente de donde (ro!ienen los datos* Obs)r!ese .&e si no se diera ning&na e?(licaci#n re,erida al a>o 131% se (odría (ensar .&e se escribi# al el inicio de la tercera d)cada del siglo% +a .&e los censos generales de (oblaci#n se reali"an cada decenio + al inicio del iso en n&estro (aís* Tabi)n esta (arte de la tabla nos dice lo .&e debeos entender (or (oblaci#n r&ral* Sin las notas aclaratorias al (ie de la tabla% el lector no .&edaría e?ento de d&das*
Ta-la 0.1.7 %roducci!n de a'+car en al&unas entidades é/ico. 1AFA Gilo&ramos Entidad
%roducci!n
CampecHe alisco icHoac*n 6eracru'
7<.<171<< 7:>01F=<< 17101;;<< 1 <1;=7A;><
Considereos a'ora la tabla *1*F* S& encabe"aiento nos dice .&e los datos se re,ieren a la (rod&cci#n de a"@car en alg&nos estados de la re(@blica + .&e est-n dados en ilograos* L&ego% en el c&er(o% en s& (arte i".&ierda% a(arecen las entidades .&e ,&eron objeto de est&dio% + a la derec'a% la (rod&cci#n* Leeos% (or eje(lo% .&e en 1393 Ca(ec'e (rod&jo F; illones 1F il 1;; ilograos de a"@car% etc* =#tese .&e la in,oraci#n no re.&iere ning&na aclaraci#n (ara ser co(rendida ,-cilente< (or eso al (ie del c&adro no a(arece -s .&e la ,&ente* En estr&ct&ras coo )sta% bien (odríaos trans,erir la &nidad de edida 7ilograos7 del encabe"aiento al c&er(o de la tabla% coloc-ndola debajo de la (alabra 7(rod&cci#n7% sin .&e se di,ic<e la lect&ra o se originen con,&siones* O% incl&so% ane?ando &n asterisco a la (alabra (rod&cci#n + andando al (ie la &nidad de edida* Por otro lado% con!iene saber desde a'ora .&e ab&ndan las tablas en las c&ales la &nidad de edida es e!idente + (or ello no se 'ace e?(lícita* eaos6 Ta-la 0.1.=
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 13
En el c&adro *1*H no a(arece e?(lícita ning&na &nidad de edida< sin ebargo% el encabe"aiento% al (recisar .&e se trata de al&nos de (rier ingreso (or es(ecialidad% nos 'ace co(render .&e la &nidad de edida% i(lícita% es 7&n al&no7% + .&e esta &nidad corres(onde a la col&na de totales* Así leeos .&e% de los HF al&nos .&e se inscribieron en la Esc&ela =oral S&(erior eracr&"ana 7Dr* Gan&el S&-re" Tr&jillo7 en 133;% 9F escogieron la es(ecialidad de Ciencias Sociales% etc* Antes de dar ,in a este s&btít&lo% con la enci#n de alg&nas reglas b-sicas (ara la constr&cci#n de c&adros% deteng-onos en el signi,icado de unidad de medida de la .&e 'eos 'ablado en todos los eje(los anteriores*
(a unidad de medida es el n@ero .&e indica las !eces .&e la &nidad /&no5 est- contenida en ella* La &nidad de edida 7ill#n de 'abitantes7 indica .&e la &nidad 7&n 'abitante7 est- contenida &n ill#n de !eces en la &nidad de edida toada coo base* eaos &n (ar de eje(los6 E)emplo 0.1 Jnidad de edida6 ill#n de 'abitantes* Para e?(resar en esta &nidad &n n@ero concreto% digaos 1F 4;9 83 'abitantes% si(leente se le di!ide entre &n ill#n* 1F 4;9 83V1 ;;; ;;; [ 1F*4;983
Este cociente% con *;1 de a(ro?iaci#n% se escribir- 1F*41< + con ;*1 de a(ro?iaci#n% 1F*4* En la (r-ctica% la di!isi#n se ejec&ta entalente de &na sola !e" con la a(ro?iaci#n (re!iaente de,inida* E)emplo * Jnidad de edida6 toneladas* Para con!ertir el n@ero concreto 10 F8 ilograos a toneladas% basta con di!idirlo (or il + redondear% digaos% a ;*1< así% 10 F8 ilograos (odeos e?(resarlos coo 10*F toneladas*
La &nidad de edida (ara datos de !ariable discreta (&ede escribirse esc&etaente &tili"ando @nicaente la (alabra .&e indica el n@ero de !eces .&e la &nidad est- contenida en ella* ol!iendo al eje(lo 1% en !e" de escribir 7illones de 'abitantes7% basta con escribir 7illones7 en el encabe"aiento de la tabla* La ,inalidad de introd&cir &nidades de edida en &n c&adro estadístico es si(li,icar datos .&e originalente son del orden de iles% cientos de iles% illones% etc* Esta si(li,icaci#n% si se le aco(a>a del redondeo correcto% no (rod&ce errores signi,icati!os en los datos originales + ,acilita enoreente la lect&ra + an-lisis de los isos* Por esta ra"#n% se recoienda &tili"ar &nidades de edida adec&adas c&ando los datos .&e se anejan son% (or lo enos% del orden de iles*
Importante? en todo c&adro .&e (resenta datos concretos% es decir% datos .&e se re,ieren a !ariables es(ecí,icas% sie(re e?iste la &nidad de edida% e?(lícita o i(lícita* A'ora bien% lo .&e 'eos tratado de e?(licar @ltiaente es la necesidad de introd&cir% c&ando sea necesario% &nidades de edida adec&adas .&e den coo res<ado la si(li,icaci#n +% (or lo tanto% la ,acilidad de la lect&ra de los datos* Este as&nto de la si(li,icaci#n de datos introd&ciendo &nidades de edida% se debe aclarar desarrollando &n eje(lo*
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD ; Eje(lo *F Si(li,i.&eos el c&adro sig&iente6 Tabla *1*8
oluci!n? Esta tabla contiene in,oraci#n sobre el n@ero de coidas ser!idas entre 139; + 139F en la Re(@blica de C'ile* La &nidad de edida% i(lícita% es 2e!identeente2 7&na coida7* Así% (&es% sabeos .&e% dentro del (rograa de alientaci#n escolar en C'ile% en 139; se sir!ieron 413 134 coidas + .&e F a>os des(&)s% (or eje(lo% se sir!ieron 49H 9* Si anali"aos &n (oco estos n@eros% nos daos c&enta .&e el re(ortarlos con (recisi#n de &nidades no tiene ning&na !entaja< (or lo contrario% esa (recisi#n !&el!e tediosa la lect&ra + di,ic<a el an-lisis* Bien (odeos decir 413 il coidas en 139; + 49H il tres a>os des(&)s* Esto nos indica .&e res<a con!eniente introd&cir en el c&adro &na &nidad de edida .&e si(li,i.&e la in,oraci#n% sin de,orarla de odo inadisible% + .&e ,acilite la lect&ra + el an-lisis* Podríaos eter c&al.&ier &nidad de edida6 decenas% cientos% iles% decenas de iles% illones% decenas de illones% etc* =o obstante% la -s adec&ada% dado el orden n&)rico de los datos% es 7iles7* Así% basta con di!idir (or 1 ;;; cada dato + redondear el cociente 'asta el líite (erisible% .&e en este caso (&ede ser a enteros* Estas sencillas o(eraciones arit)ticas (rod&cen la tabla *1*4% en la c&al se nota .&e el !alor de los datos si(li,icados 'a cabiado ligeraente con res(ecto a los originales% sin .&e ello i(li.&e de,oraci#n inace(table*
Ta-la 0.1.: Prograa de alientaci#n escolar* Coidas ser!idas* C'ile* 139;2139F /iles5 A>o
Total
139; 1391 139 139F
413*; 48H*; 914*; 49H*;
&ente6 LI(act de la Recession Gondiale 130H% (* 1F1% est&dio (&blicado (or s&r les En,ants% el J=ICE*
Reateos la e?(licaci#n del (rocediiento de constr&cci#n de tablas desarrollando &n (ar de eje(los*
E)emplo 0.=
El An&ario Estadístico 130H de la ac<ad de Sociología de la Jni!ersidad eracr&"ana% nos dice .&e 'asta 130F 'abía 1F9 egresados de los c&ales 0; eran 'obres + 89 &jeres% re(artidos coo sig&e6 la (riera generaci#n% salida en ,ebrero de 1301% est&!o ,orada (or 19 'obres + 11 &jeres< la seg&nda% en agosto de 1301% (or F + 18< la tercera% en ,ebrero de 0% (or 11 + 1;< la c&arta en agosto de 0% (or 8 + 1 + la .&inta% en agosto de 0F% (or H + ;* Presenteos esta in,oraci#n en &na tabla*
oluci!n? El (rier (aso consiste en locali"ar los eleentos .&e ,orarían el encabe"aiento% el c&er(o + el (ie* Si leeos con deteniiento la in,oraci#n% nos dareos c&enta .&e se re,iere a la ac<ad de Sociología de la J**< (or lo tanto% )sta es el &ni!erso* Las !ariables objeto de est&dio son6 7=o* de egresados (or generaci#n7 + 7se?o7* La &nidad de edida es $$&n egresado7% .&e en el encabe"aiento .&edaría i(lícita* El (eríodo !a de ,ebrero de 1301 a agosto de 130F* Ade-s% encontraos la ,ec'a de egreso de cada generaci#n* Por lo tanto% el encabe"aiento (odría ser el sig&iente6 E&resados por &eneraci!n #ecHa de e&reso " se/o. 2ac. de sociolo&ía U.6. 2e- ;1 B3&o ;7
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 1 El c&er(o tendría cinco col&nas6 7generaci#n7% 7,ec'a7 /de egreso5 +% res(etando el (rinci(io de lo general a lo (artic&lar% el n@ero de egresados 7'obres7 + el de 7&jeres7% (recedido del 7total7*
,eneraci!n
2ecHa
Total
9om-res
u)eres
En ,in% el c&adro seria el sig&iente6
Ta-la *1*9 E&resados por &eneraci!n #ecHa de e&reso " se/o. 2ac. de sociolo&ía U.6. 2e- ;1 B 3&o ;7 Keneraci#n
ec'a
Total 1F9
obres 0;
G&jeres 89
La
,eb01
0
19
11
a
ago 01
F0
F
18
Fa
,eb0
1
11
1;
Ha
ago 0
4
8
1
8a
ago 0F
HH
H
;
Eje(lo *8 En el ol* 0 de la Enciclo(edia de G)?ico /Fa* ed*% 1390% (* 3315 leeos el sig&iente (-rra,o re,erente al n@ero de !i!iendas del (aís6 7***Del total /0%04%F435% %H3H%38; /F;*1:5 tienen &ros de adobe% F%480%1H4 /HH*1:5 de ladrillo + %1FF%9F /8*0:5 de adera & otros ateriales***7 Esta in,oraci#n es !-lida (ara 139;% (&es el libro dice .&e (ro!iene del I Censo Keneral de Poblaci#n* Constr&+aos dos c&adros6 &no .&e e?'iba esta in,oraci#n + otro con la in,oraci#n si(li,icada% introd&ciendo &na &nidad de edida adec&ada*
oluci!n? La in,oraci#n se re,iere a las !i!iendas en el (aís< (or lo tanto% )stas son el &ni!erso* La !ariable es 7ti(o de aterial de s&s &ros7* La &nidad de edida es 7&na !i!ienda7 + el (eriodo% 139;* Así el encabe"aiento (odría ser )ste6 6iviendas por tipo de material de sus muros. é/ico. 1AF< Las col&nas .&e a(arecerían en el c&er(o serían6 7ti(o7% 7total7 + 7:7* Y la ,&ente6 7Enciclo(edia de G)?ico% Fa ed*% 1390% ol* 0% (* 3317* En ,in* el c&adro sería el sig&iente6
Tabla *1*0 i!iendas (or ti(o de aterial de s&s &ros* G)?ico* 139; Ti(o
Total 0%04%F43
: 1;;*;
Adobe
*H3H%38;
F;*1
Ladrillo
F%480*1H4
HH*1
Gadera & otro
%1FF%9F
8*0
&ente6 Enciclo(edia de G)?ico% Fa* ed*% 1390% ol* 0% (* 331* Es e!idente .&e la in,oraci#n del c&adro anterior (&ede ser si(li,icada introd&ciendo la &nidad de edida 7illones7* eaos6
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Tabla *1*3 i!iendas (or ti(o de aterial de s&s &ros* G)?ico* 139;* Ti(o
Total /illones5 0*3
: 1;;*;
Adobe
*H3
F;*1
Ladrillo
F*44
HH*1
Gadera & otro
*1F
8*0
&ente6 Enciclo(edia de G)?ico% Fa ed*% 1390% ol* 0% (* 331
Concl&ireos este (&nto 'aciendo alg&nas obser!aciones de ti(o (r-ctico% .&e (&eden ser de &tilidad6 1* Para e,ectos de si(li,icaci#n% &na &nidad de edida res<a adec&ada si al introd&cirla en &n conj&nto de datos% los res<antes (&eden ser leídos sin di,ic<ad* * E?isten al enos dos &nidades% &+ socorridas en la (r-ctica% .&e c&(len cabalente con el (&nto anterior6 las .&e tienen (or base 1 ;;; + 1 ;;; ;;;* F* C&anto a+or es el orden n&)rico de los datos originales% a+or es la necesidad de si(li,icarlos e?(res-ndolos en &na n&e!a &nidad de edida* H* La si(li,icaci#n de los datos (&ede ser recoendable (or di!ersas ra"ones% (ero en (artic&lar recoendaos 'acerla c&ando los datos en s& a+oría sean (or lo enos del orden de decenas de iles /10 88% F;8 990% 8 918 ;;% etc*5*
0.0 3(,UN3 RE,(3 %3R3 (3 CON2ECCIÓN J %REENT3CIÓN DE T38(3 ET3D@TIC3 De la (r-ctica 'an s&rgido di!ersas reglas% .&e no deben toarse coo noras rígidas% (ara la con,ecci#n + (resentaci#n de c&adros* A contin&aci#n dareos a conocer alg&nas6 1*
La tabla debe ser lo -s bre!e + concisa (osible% (ara ,acilitar s& lect&ra + an-lisis< (ero esta doble condici#n de bre!edad + concisi#n tiene &n líite6 no (&ede 'aber oisi#n de indicadores indis(ensables en el an-lisis*
*
Tanto el encabe"aiento de la tabla% coo las categorías de las !ariables + los tít&los de las col&nas de concentraciones n&)ricas% 'an de ser claros + bre!eente redactados% dejando (ara el (ie las aclaraciones & obser!aciones* 7. C&ando los datos se dan en totales% aco(a>ados de s&s s&andos co(onentes% se deben colocar sig&iendo el (rinci(io de lo general a lo (artic&lar< es decir% (riero se anotan los totales + l&ego los s&andos co(onentes /!id* tablas *1* + *1*95*
0.7 DITRI8UCIONE DE 2RECUENCI3 Las tablas .&e 'eos (resentado o constr&ido en el s&btít&lo anterior (ara e?(licar la estr&ct&ra .&e deben tener% con el ,in de .&e c&(lan con el objeti!o de transitir los res<ados de &na indagaci#n estadística de anera clara + concisa% son distrib&ciones de ,rec&encias* 4na distribuci'n de (recuencias de una variable es una descripci&n del nmero de veces, es decir, de las frecuencias con que se presentan las diversas categorías mutuamente excluyentes y exhaustivas que corresponden a esa variable.
Recordeos .&e la e?(resi#n mutuamente e/clu"entes signi,ica .&e ning&na obser!aci#n (&ede (ertenecer al iso tie(o a -s de &na categoría* A,iraos en el s&btít&lo 1*F .&e si al registrar% (or eje(lo% el estado ci!il de &n conj&nto de indi!id&os% &no de ellos era 7soltero7% este 'ec'o e?cl&ía .&e (&diese ser casado & otra odalidad del estado ci!il al iso
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD F tie(o* La (alabra e/Haustiva .&iere decir .&e las categorías incl&+en todas las obser!aciones< en otras (alabras% al edirse &na !ariable en &n conj&nto de (ersonas & objetos con características co&nes% debe 'aber categoría (ara todos ellos* Dic'o de otro odo6 ning&no .&eda sin categoría* Las categorías de &na !ariable reciben tabi)n el nobre de clases. Las distrib&ciones de ,rec&encias (&eden ser c&antitati!as o c&alitati!as* Cuantitativas si las categorías (ertenecen a !ariable cardinal< cualitativas si (ertenecen a !ariable noinal & ordinal* Por el trataiento es(ecí,ico .&e reciben% e?(licareos las distrib&ciones c&antitati!as de ,rec&encias *
0.= DITRI8UCIONE CU3NTIT3TI63 DE 2RECUENCI3 D3TO NO 3,RU%3DO C&ando se recolecta &na asa de datos (ertenecientes a &na !ariable cardinal% con!iene colocarlos en col&na 2b&scando dar ,ora al c&er(o de &na tabla2 sin re(etirlos% sig&iendo &n orden creciente o decreciente% + asociarles la ,rec&encia .&e corres(onda a cada &no* De esta anera s&rgen tablas coo la sig&iente6
Tabla 0.=.1 ariable6 A>os 19 10 13 ; 1 8 4 0 F; Total6
rec&encia 1 F F 8 H 1 8
Jna tabla coo )sta% donde a(arecen de anera ordenada las categorías n&)ricas de la !ariable con s& corres(ondiente ,rec&encia% recibe el nobre de distri-uci!n cuantitativa de #recuencias o distri-uci!n numérica de #recuencias . Es &na distrib&ci#n si(le% (&esto .&e las categorías de la !ariable no est-n agr&(adas sino colocadas &na tras otra% sin re(etici#n* En ella la s&a de ,rec&encias corres(onde al total de datos /=5*
0.> TERINO(O,@3 RE(3TI63 3 DITRI8UCIONE DE 2RECUENCI3 S&(#ngase .&e en la tabla *H*1 las categorías de la !ariable re(resentan las edades de &n gr&(o de (ersonas< si se di!ide cada &na de s&s ,rec&encias entre s& total% se obtiene &na #recuencia relativa e?(resada en deciales .&e% si se <i(lica (or 1;;% se e?(resa en (orcentaj e* Esta serie de ,rec&encias relati!as (&ede ser ane?ada a la distrib&ci#n de ,rec&encias% coo se il&stra a contin&aci#n6
Ta-la 0.>.1 5
%
f.r.678
23
2
9
2: 2= <> <2 << <@ <: ;> $otales0
; < ; ? 9 < < < 2
2< : 2< <> 2@ : : : 9 2>>
=#tese .&e% con la ane?i#n de la col&na de ,rec&encias relati!as% se logra la ejor ca(taci#n de las (artic&laridades de &na !ariable est&diada dentro de &n &ni!erso deterinado* Por eje(lo% no es lo iso decir6 del total% 8 (ersonas tienen 1
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD H a>os< .&e decir6 del total% el ;: tiene 1 a>os de edad* C&ando se 'abla en t)rinos (orcent&ales% se transite &na idea co(leta de la i(ortancia relati!a de &na característica dentro de &n &ni!erso* Por esta ra"#n% sie(re es recoendable% con ,ines de (resentaci#n% ane?ar la col&na de ,rec&encias relati!as en : a toda distrib&ci#n de datos .&e (resente &na sola !ariable* Por otra (arte% si se .&isiera saber el n@ero de (ersonas c&+as edades ,&esen% digaos% desde 19 'asta 1 a>os% se (rocedería a s&ar% es decir% a ac&&lar las ,rec&encias del dato 19 'asta la del dato 16 1\F\\F\8[ 1H* Esta ci,ra re(resenta la #recuencia acumulada 'asta el dato 1 + tiene &n signi,icado bien (reciso6 del total de (ersonas est&diadas% 1H tienen edades desde 19 'asta 1 a>os* Claro% si en l&gar de 'aber s&ado las ,rec&encias absol&tas del eje(lo% se '&biesen s&ado s&s res(ecti!as ,rec&encias (orcent&ales% se 'abría obtenido6 H\1 \ 0 \ 1 \ ; [[ 84% dato .&e sería la #recuencia acumulada relativa de claro signi,icado6 del total de (ersonas% el 84: tienen edades desde 19 'asta 1 a>os* Con lo anterior +a no es di,ícil entender .&e% si se ac&&lan las ,rec&encias absol&tas de dato a dato en todo el recorrido de &na !ariable% res<a &na distri-uci!n de #recuencias acumuladas d # a . El (rocediiento (ara constr&ir este ti(o de distrib&ci#n es &+ sencillo6 1* Se a>ade a la distrib&ci#n de ,rec&encias &na tercera col&na + se escribe en ella% en la isa ,ila del dato enor% la ,rec&encia de )ste* *
Se s&a a esta ,rec&encia la corres(ondiente al seg&ndo dato / 1 \ F [ H5< el res<ado se anota en la tercera col&na*
F*
Se s&a a la ,rec&encia anterior la corres(ondiente al tercer dato /H \ [[ 45% se anota + así s&cesi!aente*
Tabi)n se (&ede seg&ir este (rocediiento e(e"ando (or la ,rec&encia si(le del dato a+or* Inde(endienteente del (&nto de (artida% la ,rec&encia ac&&lada del @ltio dato es sie(re ig&al al total de ,rec&encias% o sea% al total de datos /=5* C&ando la ac&&laci#n de ,rec&encias e(ie"a (or la ,rec&encia si(le del dato enor% la distrib&ci#n .&e se genera recibe el nobre de distri-uci!n de #recuencias acumuladas ascendente. ,*a*/\5< c&ando se inicia (or la ,rec&encia del dato a+or% res<a &na distri-uci!n de #recuencias acumuladas descendente ,*a* B.
Ta-la *8* 2A columna
;A columna
9A columna
5
%
f.a.6B8
f.a.6C8
23
2
2
2: 2= <> <2 << <@ <: ;>
; < ; ? 9 < < < 2
9 @ = 29 2: <> << <9
<9 <2 2= 2@ 22 3 ? ; 2
Toda esta e?(licaci#n (ersig&e .&e el est&diante (&eda constr&ir de &na sola !e" &n c&adro .&e incl&+a ,rec&encias si(les% ac&&ladas + (orcent&ales + .&e est) en condiciones de leer correctaente el signi,icado de cada &na* O sea% &n c&adro coo el sig&iente6
DITRI8UCIONE CU3NTIT3TI63 DE 2RECUENCI3 D3TO NO 3,RU%3DO
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 8
Tabla *8*7 1
verla en Kord 0 7
=
>
:
F
Total
0> columnas 7 con 0 # = con 0 iiL# > con 7 iiL#r : con 0 it F con 7 it 1<< calce?cel columna 7 #/1<<total. = # # anterior L # si&uiente. De columna 0. Columna > de columna 7 #.r. #.r.L #r si&. : total totalB # c0 Columna F 1<< 1<os de edad* /56 8 (ersonas% .&e re(resentan el ;: del total% tienen 1 a>os de edad* /F56 ; (ersonas% .&e re(resentan el 0;: del total% tienen entre 19 + 8 a>os de edad* /H56 H (ersonas% .&e re(resentan el 34: del total% tienen entre 10 + F; a>os de edad* Por s&(&esto% c&al.&ier ci,ra de la seg&nda col&na en adelante s#lo (&ede ser leída en relaci#n con el dato de la !ariable .&e le corres(onda* Por eje(lo% en la col&na de ,rec&encias ac&&ladas /\5 la ci,ra 3 dice6 del total de (ersonas% 3 tienen entre 19 + ; a>os de edad* Y en la @ltia col&na% la ci,ra 0 dice6 del total de (ersonas% el 0: tiene entre 8 + F; a>os de edad*
Nota? C&adros coo el anterior son de gran &tilidad (ara el an-lisis de datos% (ero de ning@n odo (ara la (resentaci#n% de la c&al +a 'ablaos con detalle en el s&btít&lo *1* 0.: DITRI8UCIONE EN C(3E J 2RECUENCI3 D3TO 3,RU%3DO
C&ando las categorías n&)ricas de &na !ariable son distintas + n&erosas% no con!iene (resentarlas coo &na distrib&ci#n si(le de ,rec&encias% +a .&e res<aría &na larga lista .&e di,ic<aría el an-lisis* En este caso% lo ejor es agr&(arlas* Al 'acerlo% los di,erentes !alores o categorías se di!iden en inter!alos o clases +
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 4 se deterina el n@ero de casos (ertenecientes a cada clase% o sea% la ,rec&encia de clase* Jna ordenaci#n de las categorías de la !ariable en clases% re&nidas todas% e indicada la ,rec&encia de cada &na recibe el nobre de distri-uci!n en clases " ,rec&encias* Eje(lo 0.: Obser!eos el c&adro sig&iente6 Tabla 0.:.1 A&to#!iles en circ&laci#n seg@n tie(o de ser!icio
Liite in, H Liite s&( 8 Liite real in, F*8 Liite real s&( 8*8 A(lit&d o Anc'&ra a(arente 1 A(lit&d o Anc'&ra real P&nto edio H*8
A>os
=@ero de a&to#!iles 9;
;2 1 2 F H2 8 429 02 3 1;21 1F214 192; 12F;
; F; H; H; 8; 9; 9 0 8
En este c&adro la (riera clase !a de ; a 1 a>os + 'a+ ; a&to#!iles /,rec&encia de clase5 c&+o tie(o de circ&laci#n cae dentro de esos líites< la seg&nda clase !a de a F a>os e incl&+e a F; a&to#!iles% etc* *9 TERGI=OLOKÍA RELATIA A DATOS AKRJPADOS
Regreseos a los inter!alos del c&adro anterior% (ero ol!id-ndonos (or a'ora de .&e indican el tie(o de circ&laci#n% edido en a>os% de &n conj&nto de a&to#!iles< (enseos solaente .&e se re,ieren a &na !ariable contin&a* Jn síbolo coo 4 29 se conoce coo clase o intervalo de clase. Los n@eros .&e a(arecen en ese síbolo son los límites enunciados in#erior " superior. La distancia entre el líite o ,rontera in,erior + el líite o ,rontera s&(erior de &n inter!alo% recibe el nobre de amplitud o ancHura aparente de ese inter!alo* C&ando s#lo se dice a(lit&d o anc'&ra% se sobreentiende .&e es la a(arente* En el c&adro *4*1 se obser!a .&e la anc'&ra de los (rieros cinco inter!alos es 1< la del se?to% < la del s)(tio + octa!o% F< la del @ltio% 3* Toeos a'ora &n inter!alo c&al.&iera% (or eje(lo 0 2 3* Es claro .&e contiene todos los datos a+ores o ig&ales .&e 0 + enores o ig&ales .&e 3* Pero% d#nde estarían datos coo 9*9 # 3* =#tese .&e 'a+ &n es(acio entre 9 + 0 + otro entre 3 + 1;< son res<ado del odo en .&e se 'i"o el agr&(aiento6 son es(acios a(arentes% +a .&e los datos (ertenecen a !ariable contin&a* Así% los líites reales% in,erior + s&(erior% del inter!alo 023 son 9*8 + 3*8% res(ecti!aente** A'ora +a no 'a+ d&da de .&e datos coo 9*9 # 3* caen tabi)n en el inter!alo 023* Los (&ntos locali"ados a la itad de todos los es(acios a(arentes de &n conj&nto de inter!alos de clase se llaan límites o #ronteras reales de clase. En el eje(lo% los líites reales son ;*8% 1*8% F*8% 8*8% ***% ;*8 + F;*8* Estos líites deben ser &tili"ados (ara deterinar la a(lit&d real de &n inter!alo* Por eje(lo% la a(lit&d real del inter!alo 0 2 3 es 3*8 2 9*8 [ < la del inter!alo 1; 2 1 es 1*8 2 3*8 [ F< etc* Esto e!idencia .&e el c&adro *4*1 re(resenta &na distrib&ci#n c&antitati!a de ,rec&encias en la c&al la a(lit&d real de s&s inter!alos no es constante$* A'ora bien% (or sencille" en &na tabla se dan% 'abit&alente% líites en&nciados< (ero se 'a de s&(oner sie(re .&e los datos est-n agr&(ados de ac&erdo con los líites reales* Por lo iso% todos los c*lculos que involucran límites se e#ect+an con límites reales5 s#lo en la sencilla o(eraci#n (ara 'allar el (&nto edio de &na clase% a(arte de líites reales% se (&eden &sar líites en&nciados* Jn caino (ara encontrar el punto medio o marca de clase de &n inter!alo es deterinar la a(lit&d a(arente de )ste% di!idirla entre dos + s&ar el cociente al líite in,erior del inter!alo* Si se usan límites reales entonces se determina la amplitud real se la di!ide entre + se s&a el res<ado al líite real in,erior del inter!alo* E)emplo *9 Toando de n&e!o el c&adro *4*1% deterineos la arca de clase del inter!alo 1F 2 14*
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 9 oluci!n? Con los líites en&nciados6 Amplitud [ 1421F [ F
1V/F5 [ 1*8 Marca de clase = 1F\1*8 [ 1H*8
oluci!n? Con los líites reales6 Amplitud real (j) = 14*821*8 [ H
1V/j5 [ 1V/H5 [ Marca de clase [ 1*8\ [ 1H*8
$C&ando la a(lit&d real/ + ob!iaente % la a(arente5 de todos los inter!alos de &na distrib&ci#n es constante% se (&ede 'ablar a(ro(iadaente de la a(lit&d de la distrib&ci#n* si todas la clases tienen &na anc'&ra real% digaos% de F a>os se dice .&e se trata de &na distrib&ci#n c&+a anc'&ra% real es de F a>os* Desde el (&nto de !ista conce(t&al% la marca de clase de un intervalo puede ser inter(retada como el valor donde se concentran todos los datos pertenecientes a ese intervalo. 0.; RECUENTO DE D3TO
Antes de e?(licar c#o agr&(ar conj&ntos de datos en inter!alos de clase% est&dieos dos (rocediientos$ de conteo r-(ido + si<-neo de los casos .&e caen en las distintas categorías de &na !ariable deterinada* En esencia% abos consisten en 'acer% (or cada obser!aci#n% &na arca% (or lo co@n &na ra+ita% .&e se coloca a la derec'a de la categoría corres(ondiente* Estas arcas se !an cerrando% (or decirlo así% en gr&(os de cinco% con el ,in de .&e se ,acilite% al ,inal del rec&ento% ediante &na si(le o(eraci#n ental% la deterinaci#n de las ,rec&encias de cada categoría* El c&adro sig&iente il&stra dos )todos de conteo en gr&(os de cinco* Tabla 0.;.1
El )todo alternati!o consiste en &na ra+ita !ertical + otra 'ori"ontal% seg&ida de dos diagonales .&e ,oran &na estrella< la c&al% ,inalente% se encierra en &n círc&lo (ara co(letar el conteo de cinco en cinco* A este (rocediiento (odríaos darle el nobre de estrellas circunscritas. Si se est- &+ ,ailiari"ado con el de ra+itas% el alternati!o (&ede (arecerle di,ícil al (rinci(io< esta i(resi#n% sin ebargo% desa(arece r-(idaente con la (r-ctica*
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 0 2.9
3,RU%3IENTO DE D3TO EN INTER63(O DE C(3E
La (r-ctica constante en el anejo de conj&ntos de datos di!ersos + n&erosos% nos !a 'aciendo desarrollar alg&nas t)cnicas @tiles (ara agr&(arlos c&ando es necesario* Por esta ra"#n% basta .&e nos ,ailiariceos con &na t)cnica b-sica .&e il&straos a contin&aci#n6
E)emplo 0.; Co(roetidos en &na in!estigaci#n sobre los e(leados de &n s&(erercado% aco(iaos datos sobre di!ersas !ariables% &na de las c&ales es la edad* La in,oraci#n es la sig&iente6 ;< 92 ;< ;9 9< <: <:
<> ;3 ;< ;9 9< <> 99
<> ;3 <= ;> ;> << ;?
<9 ;3 9> ;> << <: 9?
<9 <@ 9> ;> ;> ;? <@
2: <@ 99 <: <9 << ;<
2: <@ 99 <: ;> <: 9>
2: <3 2: <: << ;? <>
<3 2: ;? <9 <@ <@
<@ ;< 9? <: <> <@ ;<
oluci!n? Se nota .&e% tanto (or la índole de la !ariable edad coo del &ni!erso s&(&esto% todos los datos de la (riera% en a>os% son n@eros nat&rales* C&ando esta característica est- (resente en &na !ariable% res<a recoendable el sig&iente (rocediiento6 1*
Se locali"a el enor + el a+or de los datos% + se escribe en col&nas toda la serie ordenada de n@eros nat&rales liitada (or ellos* L&ego% a(licando c&al.&iera de los )todos de conteo e?(licados en el s&btít&lo anterior% se !an arcando los casos .&e caen en cada categoría* Terinado el conteo% se !eri,ica .&e est) correcto + se anota a la derec'a de las arcas el n@ero e.&i!alente a ellas< es decir% la ,rec&encia de cada categoría*
Esta si(le estr&ct&ra de col&nas (ara la !ariable% las arcas + la ,rec&encia es &na tabla de conteo*
Ta-la 0.A.1
* Se enc&entra el recorrido de la !ariable% es decir% la di,erencia entre el enor + el a+or de los datos + se le a>ade &na &nidad (ara .&e nos de n@eros enteros* /elegios siete inter!alos*5 /H8 2 105 [ 9
9 \ 1 [[ 0
siete inter!alos 0 V 9 [H
El líite in,erior del seg&ndo inter!alo ser- el entero consec&ti!o a+or .&e el líite s&(erior del (rier inter!alo% en n&estro eje(lo% al c&al se le s&a /j 2 15 (ara obtener el líite s&(erior* \ /j 2 15 [ \ F [ 8 El líite in,erior del inter!alo sig&iente ser- 4 + el s&(erior% 3% etc*
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 3 =.
Establecidas todas las clases% se deterina el total de datos .&e caen en cada clase% es decir% la ,rec&encia de clase*
$En la (r-ctica% el total de datos (otenciales rara !e" es di!isible (or el n@ero de inter!alos elegido< esto lle!a a constr&ir &n inter!alo 2el (riero o el @ltio2 con a(lit&d enor o a+or a la de los inter!alos restantes* Otras !eces% 'abiendo constr&ido todos los inter!alos con a(lit&d constante% res<a (or lo enos &no con ,rec&encia &+ baja% lo c&al lo 'ace inj&sti,icable coo inter!alo (or.&e no &estra ning&na concentraci#n de datos< en este caso las alternati!as son di!ersas% (ero todas (arten de esto6 a5 los inter!alos (&eden tener a(lit&des constantes o !ariables< b5 los inter!alos (&eden tener abierto &no de s&s líites% el in,erior si es el (rier inter!alo% o el s&(erior% si es el @ltio* Con todo% es recoendable constr&ir% cada !e" .&e se (&eda% distrib&ciones de a(lit&d constante* Esto ,acilita la re(resentaci#n gr-,ica + (erite co(araciones adec&adas% entre otras cosas*
Cuadro 0.A.0 Edad
Trabajadores 9;
1021
1;
28
3
423
13
F;2FF
1
FH2F9
3
F02H1
H
H2H8
9
El (rocediiento de agr&(aiento en clases est- terinado* Se trata de &na distrib&ci#n c&+a a(lit&d real es de H a>os* Esta característica (erite decir% en &n caso coo )ste% .&e se 'a 'ec'o el agr&(aiento (or gr&(os c&atrienales de edad* A'ora bien% si se e?aina detenidaente la distrib&ci#n obtenida% se desc&brir- .&e el agr&(aiento tiene &na !entaja + &na des!entaja e!identes* En c&anto a la (riera% se logra la (resentaci#n de la asa de datos en &na sencilla estr&ct&ra% .&e ,acilita el 'alla"go de las relaciones .&e (&ede 'aber entre ellos* En c&anto a la seg&nda% es claro .&e e?iste &na ()rdida ine!itable de &na b&ena (arte del detalle original de los datos* Obs)r!ese .&e no es (osible saber c&-ntos trabajadores tienen% (or eje(lo% 10 a>os de edad # FF< ade-s% ni si.&iera se (&ede aseg&rar .&e 'a+a 'abido trabajadores .&e re(ortaran tener FF a>os /!id* tabla *3*15* Esta ()rdida de detalles ser- a+or c&anto enor sea el n@ero de inter!alos o% lo .&e es lo iso% c&anto a+or sea la a(lit&d de los inter!alos* Con todo% la sola !entaja encionada j&sti,ica el agr&(aiento en clases* Tablas* Resol&ci#n de (robleas
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD F; 0.1< ,RM2ICO ET3D@TICO Si &no de los objeti!os de la estadística es co&nicar los res<ados de &na in!estigaci#n de anera clara% concisa + signi,icati!a /!id* 1*15% las re(resentaciones gr-,icas de esos res<ados no obedecen a &na intenci#n eraente est)tica% sino .&e son &n !alioso rec&rso (ara ,acilitar el objeti!o* Concentrados los datos en &na tabla + de(endiendo de s& nat&rale"a + ,inalidad% se (&ede 'acer la re(resentaci#n gr-,ica corres(ondiente*
Un &r*#ico estadístico es la re(resentaci#n de datos estadísticos (or edio de ,ig&ras geo)tricas /(&ntos% líneas% rect-ng&los% etc*5% c&+as diensiones son (ro(orcionales al !alor n&)rico de los datos * S& ,in (rinci(al es (eritir% de &n solo !ista"o% la ca(taci#n r-(ida del conj&nto de características (resentadas + e!idenciar s&s !ariaciones en intensidad* El gr-,ico% coo +a se encion# en el (rier (-rra,o del s&btít&lo *1% est- basado en la tabla estadística% (ero tiene s&s liitaciones6 1* =o (&ede re(resentar tantos gr&(os de datos coo &na tabla* Esta (&ede tener H% 4 # -s col&nas de datos% (ero &n gr-,ico .&e re(resentara &n gran n@ero de indicadores di,ic<aría s& inter(retaci#n* *
Contrario a la tabla% donde (&eden darse !alores e?actos% en el gr-,ico% (or lo general% s#lo (&eden darse !alores a(ro?iados* En la tabla (&eden (resentarse incl&so (esos + centa!os% (or citar &n eje(lo% (ero tal e?actit&d es i(osible en &n gr-,ico* En s&a% )ste no toa en c&enta los detalles + no (&ede alcan"ar la isa (recisi#n .&e &na tabla estadística*
El gr-,ico es @til (ara dar &na r-(ida idea de la sit&aci#n general .&e se est- anali"ando< (erite deterinar% (or &n si(le e?aen% el -?io + el ínio de las !ariaciones de &n ,en#eno% (oniendo de relie!e lo .&e debe toarse en c&enta es(ecialente* A&n.&e e?isten &c'os ti(os de gr-,icos% est&diareos @nicaente los -s &s&ales6 alg&nos gr-,icos de barra + línea% el gr-,ico circ&lar + el (ictograa* Sal!o el gr-,ico circ&lar + el (ictograa% los de barra + de línea se dib&jan en el arco de &n sistea rectang&lar de coordenadas% en el c&al% dic'o sea de (aso% el c&adrante I es el -s &tili"ado% debido a .&e la inensa a+oría de las !ariables .&e se est&dian generan cantidades (ositi!as*
0.11 3(,UN3 RE,(3 %3R3 (3 RE%REENT3CIÓN ,RM2IC3 1* C&ando se 'ace la re(resentaci#n gr-,ica de &na sola !ariable% es cost&bre indicar los datos de )sta en el eje 'ori"ontal* * Coo ab&ndan las !ariables .&e de(enden del tie(o% las &nidades en .&e se e?(rese )ste se colocan en el eje 'ori"ontal /'oras% días% eses% a>os% etc*5* F* Al re(resentar los datos de dos !ariables /%Y5% cada &na .&eda asociada a &no de los ejes* Se acost&bra (oner los !alores de la !ariable .&e se considera inde(endiente en el eje 'ori"ontal /eje de las abscisas5 + los !alores de las de(endientes en el eje !ertical /eje de las ordenadas5*
H* En alg&nos casos% dadas d/ 2 !ariables% &na (&ede de(ender de la otra o abas de &na tercera< en tal caso% la asignaci#n de los ejes a las !ariables es arbitraria* 8*
La dis(osici#n general de &n diagraa debe a!an"ar de i".&ierda a derec'a* ]
diagraa la línea corres(ondiente al cero* 9* C&ando la línea del cero no (&eda a(arecer de odo noral en el diagraa% se le re(resenta &til-ndola coo sig&e6
Se debe (roc&rar .&e a(are"ca en el
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD F1
0* Las dos escalas deben g&ardar (ro(orcionalidad% de s&erte .&e el gr-,ico no d) la i(resi#n de !ariaciones &+ (e.&e>as o &+ e?ageradas* La a+or objeti!idad !is&al se logra con la re&la de los tres cuartos de altura .&e (&ede ser en&nciada coo sig&e6 En la re(resentaci#n gr-,ica se debe constr&ir el eje !ertical de tal odo .&e la alt&ra del (&nto -?io /.&e re(resenta el dato asociado a la ,rec&encia -s alta5 sea apro/imadamente i&ual a FVH de la longit&d .&e edia entre el origen + el @ltio dato indicado en el eje 'ori"ontal*
S&gerios anejar esta regla cada !e" .&e se (&eda% +a .&e e?iste &n &so enga>oso% no (oco ,rec&ente% de las t)cnicas de re(resentaci#n gr-,ica* Basta con anejar a>osaente los ejes de coordenadas (ara dar i(resiones radicalente di,erentes6 Si se e?tienden las abscisas en relaci#n a las ordenadas% las di,erencias entre los datos (arecen red&cidas< si% en cabio% se e?tienden las ordenadas con res(ecto a las abscisas% las di,erencias (arecen e?ageradas$* Jn gr-,ico se considera terinado c&ando c&(le con estos re.&isitos6 1*
El tít&lo de la tabla .&e dio origen al gr-,ico debe a(arecer arriba + ,&era de )ste< el (eríodo se escribe debajo del tít&lo< la &nidad de edida (&ede ,orar (arte del encabe"aiento% .&edando debajo del (eríodo% o ,&era del gr-,ico% .&edando a &n lado o arriba de la escala n&)rica* Esto @ltio es lo -s &s&al /!id* gr-,ico *1*15* * C&ando en &n gr-,ico a(arecen las categorías de -s de &na !ariable% se re(resentan (or la isa ,ig&ra geo)trica% (ero disting&i)ndolas (or di,erente color% sobreado & otra característica* El signi,icado de esta di,erenciaci#n se colocar-% de (re,erencia% dentro del gr-,ico iso< (ero si esto no es (osible% en s& (arte e?terior* *1 KR^ICO DE BARRAS
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD F Es &no de los ejores (ara reali"ar co(araciones de datos estadísticos% (or.&e ade-s de re(resentar los !alores absol&tos o relati!os de los datos en sí% da &na iagen de c#o se re(arten los eleentos del conj&nto res(ecto al total* La constr&cci#n de este gr-,ico se basa en la re(resentaci#n de &n !alor n&)rico (or &n rect-ng&lo% c&+a longit&d es (ro(orcional a ese !alor* Lo -s i(ortante es la deterinaci#n de la longit&d o alt&ra de los rect-ng&los .&e re(resentan los !alores de los datos% +a .&e del c-lc&lo correcto de esta edida de(ende la co(araci#n de los !alores* El c-lc&lo se reali"a ediante regla de tres si(le% &na !e" establecida la corres(ondiente ig&aldad entre &na &nidad de !alor + &na &nidad de edida* La ig&aldad se establece entre el dato a+or + &na edida deterinada* E)emplo 0.A Calc&leos la alt&ra de los rect-ng&los corres(ondientes a los datos c&+as ,rec&encias o
intensidades n&)ricas son6 , 3?, 9>, @>
oluci!n? Se elige &na longit&d con!eniente + se establece &na ra"#n (or cociente con el dato a+or de la distrib&ci#n* S&(ongaos .&e la longit&d es 1; c* Entonces se establece$ la relaci#n 1;V98% + con b ase en ella se (lantean (ro(orciones con los datos restantes* 1;V98 [ V8 % de donde [ 1;V98/85 [ F*F c L)ase6 1; es a 98 coo es a 8*
D2 2>F3?68 ;.;;; D< 2>F3?63?8 2>cm D; 2>F3?69>8 ?.;;; cm D9 2>F3?6@>8 :.> cm Obser!ando la sol&ci#n (ara en las (ro(orciones anteriores% nos daos c&enta .&e cada dato se 'a <i(licado (or &n ,actor constante /1;V985% .&e indica el n@ero de &nidades de longit&d (or cada &nidad de !alor* En este eje(lo corres(onde ;*1FF c a cada &nidad de !alor* La e?istencia de &n ,actor constante en toda (ro(orci#n% coo las anteriores% cond&ce a &na !ía r-(ida (ara el c-lc&lo de las longit&des o alt&ras de los rect-ng&los6 (ara deterinar las longit&des o alt&ras de las barras .&e corres(ondan a cada
&no de los datos de &n conj&nto deterinado% basta con elegir &na longit&d con!eniente + establecer &na ra"#n entre ella + la ,rec&encia a+or del conj&nto* El cociente de esta ra"#n es &n ,actor .&e% <i(licado (or cada &na de las ,rec&encias restantes% da la longit&d de cada rect-ng&lo* En n&estro eje(lo 8 /*1FF5 [ F*F c H; /*1FF5 [ 8*F c 4; /*1FF5 [ 0*; cm 98 /*1FF5 [ 1;*; c
En la construcci!n de &n gr-,ico de -arras se Han de tener en c&enta estos #actores? 1* la línea base< * el ancHo de las barras< F* la se(araci#n entre barras* La línea -ase
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD FF Todas las barras deben (artir de &na 'ori"ontal llaada línea -ase (ara (oder 'acer co(araciones entre las diensiones de las isas (or &na si(le + r-(ida ins(ecci#n* Anc'o de las barras
Es ar-itrario (ero tiene que ser i&ual para todas las barras de &n mismo gr-,ico* De(ende del n+mero de datos .&e se !a+an a re(resentar " del es(acio dis(onible (ara la constr&cci#n del &r*#ico. Se(araci#n entre las barras
(as -arras de un gr-,ico pueden o no estar se(aradas% de(endiendo del tipo de !ariable que representen. De-e Ha-er es(acio entre &na + otra c&ando los datos pertene'can a !ariable noinal & ordinal. DicHo es(acio no debe ser menor .&e la mitad del ancHo de &na barra ni a+or .&e el ancHo de la isa + 'a de ser i&ual entre todas las barras* C&ando los datos son de !ariable cardinal no de-e Ha-er se(araci#n entre las -arras .&e los representan.
Inde(endienteente de la !ariable% se debe dejar es(acio entre el origen de coordenadas + la (riera barra* Con los eleentos dados desde el inicio de este ca(ít&lo% (odeos a'ora constr&ir c&al.&ier gr-,ico (ara distrib&ciones de &na sola !ariable* E?(licareos el (rocediiento general con &n eje(lo* Eje(lo 0.1< De la tabla sig&iente% constr&+aos &n gr-,ico de barras* Tabla *1*1 Pres&(&esto$ (ara 4 &nici(ios de los -s i(ortantes del Estado de eracr&"* 1331 /illones de (esos5 G&nici(io
Total 1F9 HF9
Coat"acoalcos
F8 F4F
C#rdoba Ori"aba Po"a Rica eracr&" ala(a
1FF;3 1008 1; 4HH H83 4HH
A(robado (or la Legislat&ra del Estado* &ente6 Legislat&ra del Estado de eracr&"% Direcci#n de Contad&ría + Klosa% 1331*
Procediiento6 1* Los seis &nici(ios re(resentan categorías noinales< (or lo tanto% se &sar-n seis rect-ng&los se(arados entre sí* * Se tra"an los ejes de coordenadas + se (rocede a arcar el inicio + el t)rino de cada &na de las barras% 'abiendo ,ijado (re!iaente el anc'o + la se(araci#n entre )stas* L&ego se ide la distancia entre el origen de coordenadas + el e?treo de la @ltia barra /s&(ongaos .&e da 1 c5* F* Se deterinan los FVH de la distancia anterior + se establece &na ra"#n entre la edida res<ante + la a+or intensidad n&)rica de la distrib&ci#n /regla de los FVH de alt&ra5* /FVH5 /15 [[ 3 c Es decir% la barra corres(ondiente al (res&(&esto -s alto deber- tener 3 centíetros de alt&ra + la ra"#n de 3 c a H 83 illones de (esos da el ,actor constante *1/1;5H% .&e re(resenta el n@ero de centíetros (or cada ill#n de (esos* Para ,acilitar s& anejo% sea este ,actor* H* Se calc&lan las alt&ras de las barras corres(ondientes a los datos de la distrib&ci#n (or !ía r-(ida*
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD FH F8 F4F k = 9*8 c = 3*; c 8*
1F F;3 k [[ *0 c 1 008 k = *9 c
1; 4HH k = * c 4HH k = H*0 c
H 83 k
Se a(ro?ia la ,rec&encia -s alta de la distrib&ci#n id n@ero inediataente a+or .&e (erita &na di!isi#n a(ro(iada del eje !ertical% (re,erenteente en decenas% o &n s&b@lti(lo o @lti(lo de 1;% res(ecto a la &nidad de edida de la distrib&ci#n* Ese n@ero% en este eje(lo% es 8; ;;;% .&e se <i(lica (or (ara conocer el n@ero de &nidades de longit&d .&e le corres(onden*
8; ;;; k = 1;*4 c
L&ego se (arte 1;*4 entre 8% (ara 'allar la longit&d e.&i!alente a 1; ;;; illones de (esos* En otras (alabras% estas o(eraciones (eriten ,raccionar al eje de las ordenadas en 8 (artes ig&ales% cada &na de las c&ales es &na &nidad con!eniente (ara la lect&ra + el dib&jo del gr-,ico* 4* inalente se dib&jad gr-,ico ane?-ndole las indicaciones ínias necesarias (ara s& ,-cil co(rensi#n% seg@n las reglas con!encionales /s&btít&lo *115*
,r*#ico 0.10.1 Presupuesto para seis municipios de los ms importantes del Estado de Veracru* &++&
&ente6 Legislat&ra del Estado de eracr&"* Direcci#n de Contad&ría + Klosa% 1331*
0.17 ,RM2ICO CIRCU(3R Se le llaa tabi)n &r*#ico de pastel + es bastante @til (ara re(resentar (ro(orciones o (orcentajes* Es% de 'ec'o% &na ,ora alternati!a al gr-,ico de barras (ara re(resentar &na distrib&ci#n de !ariable noinal* En s& constr&cci#n se &tili"a &na circ&n,erencia% c&+o circ&lo se di!ide en sectores tales .&e s&s edidas ang&lares sean (ro(orcionales a los !alores .&e re(resentan* Esas edidas se obtienen% al ig&al .&e (ara el ti(o de gr-,ico +a est&diado% ediante &na regla de tres si(le% &na !e" .&e se establece la relaci#n entre &na &nidad de edida + &na &nidad de !alor* Sin ebargo% en este caso (artic&lar res<a toda!ía -s si(le% +a .&e el ,actor constante .&e s&rge de la relaci#n es sie(re el iso en todos los casos% debido a .&e toda circ&n,erencia se di!ide con!encionalente en F4;_ + la s&a de todos los datos de &na distrib&ci#n deterinada e.&i!ale al 1;;:* Así% la relaci#n .&e se establece es6 ;@>G F 2>>7 ;.@ Dic'a relaci#n da el n@ero de grados (or cada &nidad (orcent&al* Consec&enteente% (ara encontrar la edida ang&lar .&e corres(ondería a &n conj&nto de ,rec&encias (orcent&ales c&+a s&a es 1;;:% se <i(lica cada &na de )stas (or F*4*$ Los est&diosos de estas c&estiones 'an deostrado .&e% (ara lograr la #(tia legibilidad% los sectores deben ser dib&jados de a+or a enor a (artir de la (osici#n .&e e.&i!aldría en &n reloj a las 1 'oras en (&nto + en sentido de las anecillas*
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD F8 Il&strareos el (rocediiento a contin&aci#n*
E)emplo 0.11 Constr&+aos &n gr-,ico circ&lar .&e re(resente la in,oraci#n de la tabla *1*1* Instr&entos necesarios6 regla% co(-s + trans(ortador* %rocedimiento? 1* Se s&an las ,rec&encias de las categorías de la !ariable /si la s&a o total no a(arece en la tabla5* En n&estro eje(lo a(arece6 1F9 HF9* *
Se e?(resan todas las ,rec&encias en (orcentaje* Para ello% seg@n a(rendios en el s&btít&lo *8% se di!ide cada &na entre el total + el cociente se <i(lica (or 1;;* La s&a de los (orcentajes debe dar 1;;:*
F*
Se <i(lican las ,rec&encias (orcent&ales (or el ,actor constante F*4< esto da la edida ang&lar del sector re(resentati!o de cada (orcentaje* La s&a de las edidas ang&lares debe dar F4;_< a !eces% (or e,ecto de redondeo% se (resenta alg&na di,erencia insigni,icante* Esto carece de i(ortancia< si la di,erencia es -s o enos &n grado% se le resta o a&enta al sector -s grande al oento de tra"arlo*
.3; 6;.@8 =.@: 6;.@8 =.;: 6;.@8 3.39 6;.@8 ;>.==6;.@8 [email protected]:6;.@8
=;G ;?G ;9G <:G 22
H*
Se tra"a &na circ&n,erencia de radio arbitrario% en ,&nci#n del es(acio dis(onible*
8
Se tra"a &n radio !ertical + a (artir de )l se iden con &n trans(ortador los grados corres(ondientes a cada sector% +endo del a+or al enor* A edida .&e se arcan los grados en la circ&n,erencia% se !an dib&jando los radios .&e ,orar-n a s& !e" los sectores b&scados*
e puede establecer también la relaci&n de ;@>G al total de frecuencias, es decir, a la suma no expresada en porcentaje. El factor constante ya no será ;.@ sino otro valor, pero el resultado gráfico será siempre el mismo.
4
Terinado el (&nto anterior% se escriben en cada sector los datos (orcent&ales corres(ondientes< l&ego se ane?a el encabe"aiento + el (ie% con todas las indicaciones necesarias (ara 'acer co(rensible el conj&nto gr-,ico* Sie(re es con!eniente .&e a(are"ca la s&a de ,rec&encias en el encabe"aiento< eso da la o(ort&nidad de reconstr&ir% si se .&iere% el c&adro .&e dio origen al gr-,ico*
,r*#ico 0.17.1 %resupuesto para seis municipios de los m*s importantes del Estado de 6eracru' 1AA1 17F =F7 millones de pesos
&ente6 Legislat&ra del Estado de eracr&"% Direcci#n de Contad&ría + Klosa% 1331*
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD F4 0.1= %ICTO,R33 Es &no de los gr-,icos .&e -s atrae la atenci#n del lector% ra"#n (or la c&al se rec&rre a )l con ,rec&encia* Consiste en re(resentar% (or edio de ,ig&ras% deterinadas agnit&des* S& des!entaja (rinci(al es .&e no (erite co(araciones satis,actorias* Para constr&irlo se (rocede así6 1*2Se escoge &na ,ig&ra al&si!a al as&nto .&e se describe + se le asigna &n !alor o &nidad de edida* *2Las cantidades enores .&e la &nidad de edida se re(resentan ediante &n síbolo &tilado* F*2Terinado el gr-,ico% se a>aden las indicaciones necesarias (ara s& ,-cil lect&ra* eaos6
E)emplo 0.10 Re(resenteos (or edio de &n (ictograa la in,oraci#n sig&iente6 Ta-la 0.1=.1 Entidades ,ederati!as$ con -s de ;; bibliotecas* G)?ico* 130; Entidad =o de bibliotecas `alisco
0
G)?ico
8
=&e!o Le#n
;;
Oa?aca
98
P&ebla
F;
eracr&"
F18
Z E?cl&ido el D** &ente6 Agenda estadística% 1393% (* 90% Secretaria de Prograaci#n + Pres&(&esto*
oluci!n? Al&si!a a &na biblioteca (odeos escoger% (or eje(lo% la ,ig&ra de &n libro abierto% al c&al le asignaos$$ el !alor de 78; bibliotecas7* De esta decisi#n sale el sig&iente (ictograa6 Esta asignaci&n dependerá siempre del tama1o de los datos que queramos representar, está en funci&n del espacio disponible y s&lo se pide que facilite la lectura aproximada rápidamente.
,ra#ico 0.1=.1 Entidades ,ederativas con ms de # bibliotecas-/01ico. &+2
$ E?cl&ido el D** &ente6 Agenda estadística% 1393% (* 90% S*P*P*
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD F9 *18 ISTOKRAGA Y POLÍKO=O DE RECJE=CIAS Se da el nobre de Histo&ramas a los gr-,icos de barras c&ando re(resentan !ariables cardinales% (rinci(alente contin&as* Si se &nen con segentos de recta los (&ntos edios de los tec'os de los rect-ng&los% res<a &n polí&ono de #recuencias.
E)emplo 0.17 Constr&+aos tanto el 'istograa coo el (olígono de ,rec&encias de la tabla sig&iente6 Tabla *18*1 Edad de los e(leados del s&(erercado A>os
Total 9;
: 1;;
1021
1;
1H
28
3
1F
423
13
9
F;2FF
1
19
FH2F9
3
1F
F02H1
H
4
H2H8
9
1;
Este c&adro es el iso .&e el *3* del eje(lo *9< se le 'a a>adido @nicaente la col&na de ,rec&encias (orcent&ales% con el ,in de j&sti,icar las identi,icaciones di,erentes de abos c&adros* Procediiento6 1* *
Las siete categorías de la !ariable cardinal contin&a est-n agr&(adas en inter!alos de a(lit&d constante< (or lo tanto% se &sar-n siete rect-ng&los del iso anc'o% &nidos entre sí* Tra"ados los ejes coordenados% se (rocede a arcar el inicio + el t)rino de cada barra% 'abiendo ,ijado (re!iaente s& anc'&ra* P&esto .&e no e?isten datos entre el origen de las coordenadas + el (rier inter!alo% se &tila el eje 'ori"ontal (ara e(e"ar el tra"o de las barras a &na se(araci#n ra"onable del origen* L&ego se ide la distancia entre este @ltio + el e?treo del @ltio rect-ng&lo /s&(onga .&e da 1; c*5*
F*
Se deterinan tres c&artas (artes de 1; c + con este !alor /9*8 c5 + la -?ia
,rec&encia /135 se establece &na ra"#n*
9]8 ;*F3H9 k 13 la c&al indica el n@ero de centíetros (or cada &nidad de ,rec&encia% o sea% (or cada e(leado* H*
Se calc&lan las alt&ras de las barras (ara todos los inter!alos (or !ía r-(ida*
2>I ;.=cm =J ;.@ cm CCC CCC CCC CCC 3fc <.: cm
8* Se a(ro?ia la ,rec&encia -s alta de la distrib&ci#n al n@ero inediataente a+or .&e 'aga (osible &na di!isi#n a(ro(iada del eje !ertical* Ese n@ero es ;% .&e se <i(lica (or k (ara conocer el n@ero de centíetros .&e le corres(on2 den* ; k [ 9*3 c
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD F0 L&ego se ,racciona 9*3 c% digaos en 1; (artes ig&ales% (ara encontrar la longit&d e.&i!alente a &nidades de ,rec&encia% es decir% a e(leados* La decisi#n de di!idir en d)cios + no en c&artos% .&intos o !eintea!os% en este eje(lo% es (or con!eniencia< no e?iste otro oti!o*
>.
inalente se dib&ja el gr-,ico% + se le a>aden las indicaciones necesarias* ,r*#ico 0.1>.1 Edad de los empleados del
supermercado P
&ente6 datos s&(&estos
Este &r*#ico muestra tanto el 'istograa coo el (olígono de ,rec&encias* e obser!a .&e el (&nto edio de la base de cada barra es% (recisaente% la arca de clase de cada inter!alo< el inicio + el ,in de &na barra re(resentan los líites reales de &n inter!alo +% en consec&encia% el anc'o de la barra e.&i!ale a la a(lit&d real de la distrib&ci#n*
Re(rod&"caos de n&e!o el 'istograa + di!id-oslo en (e.&e>os blo.&es% cada &no de los c&ales re(resente &n e(leado /gr-,ico *18**5* ,r*#ico 0.1>.0 Edad de los empleados del supermercado P
&ente6 datos s&(&estos
%ensemos aHora que cada -loque tiene un -rea ig&al a la &nidad< entonces% el n+mero de unidades de *rea en cada rect*n&ulo o sea el -rea total de )ste% representa la #recuencia de &n intervalo de clase o de un dato si se trata de &na distrib&ci#n simple de #recuencias. Girando detenidamente el &r*#ico resulta claro que el -rea de todos los rect-ng&los representa la s&a de #recuencias o total de datos + es i&ual a la s&(er,icie liitada (or el (olígono + el eje de las a-scisas del gr-,ico 0.1>.1. ^ . De ning&na anera es &n
re.&isito .&e abos ti(os de gr-,icos se constr&+an j&ntos< con ,ines de (resentaci#n se (&ede elegir &no & otro% seg@n se (re,iera*
A'ora bien% c&ando las a(lit&des de los inter!alos son desig&ales% el (rocediiento s&,re alg&nas odi,icaciones (ara calc&lar el taa>o correcto de los rect-ng&los* Est&dieos el eje(lo .&e sig&e*
E)emplo 0.1= Constr&+aos tanto el 'istograa coo el (olígono de ,rec&encias de la tabla sig&iente* Tabla *18* Personas .&e se s&icidaron (or gr&(os de edad Edad
=@ero de (ersonas
1H2H
0
82FH
1H
F82HH
1
H828H
3
88243
3
9;298
4
&ente6 Datos s&(&estos Procediiento6
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD F3 1*
Las categorías de la !ariable cardinal contin&a est-n agr&(adas en inter!alos de a(lit&d desig&al< (or lo tanto se &sar-n 4 rect-ng&los de anc'o di,erente% &nidos entre sí*
*
Coo la a(lit&d -s ,rec&ente es 1;% corres(ondiente a los inter!alos seg&ndo% tercero + c&arto% (odeos toarla coo a(lit&d &nitaria< entonces% la a(lit&d del (rier inter!alo tendr- 1*1 !eces la a(lit&d &nitaria< la del .&into% 1*8 !eces% + la del se?to% ;*4 !eces* is&aliceos esto en el c&adro sig&iente6
datos
,rec&encia
# de !eces .&e &n inter!alo contiene a
1H2H
0
la a(lit&d &nitaria 11V1; [
[ 1*1
82FH
1H
1;V1; [
[ 1*;
F82HH
1
1;V1; •-
[ 1*;
H828H
3
1;V1; --
[[ 1*;
88243
3
18V1; -•
[ 1*8
9;298
4
4V1; [
[ ;*4
Estos !alores (eriten ,ijar las alt&ras de los rect-ng&los en ,&nci#n de la .&e se 'a toado coo &nidad* F*
La elecci#n de &n inter!alo de re,erencia c&+a a(lit&d se considera ig&al a la &nidad% da coo res<ado &na #recuencia a)ustada c&+a deterinaci#n re(resenta las alt&ras de los rect-g&los* Así%
frecuencia austada 3
frecuencia de clase............. n!mero de veces que un intervalo contiene a la amplitud unitaria
A(licando esta e?(resi#n% tendreos6 (ara el (rier inter!alo% frec. ajustada 0V1*1 [ 8*8
(ara el .&into% !rec. a"ustada =F2.? @
+ (ara el se?to% frec. ajustada [ :Q<.: 1<
Constr&ios l&ego &n c&adro .&e &estre los datos + s&s ,rec&encias si(les + aj&stadas$*
datos
,rec&encia
,rec* aj&stada
1H2H
0
8*8
82FH
1H
1H*;
F82HH
1
1*;
H828H
3
3*;
88243
3
4*;
9;298
4
1;*;
F*
inalente% se (rocede e?actaente ig&al .&e en los casos anteriores a(licando la regla de los tres c&artos de alt&ra* Se 'a de tener en c&enta% no obstante% .&e lo .&e se gr-,ica son las ,rec&encias aj&stadas + no las originales* Estas
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD H; (&eden ser anotadas arriba del rect-ng&lo corres(ondiente (ara (eritir lect&ras e?actas* El gr-,ico res<ante /'istograa + (olígono de ,rec&encias5 es el sig&iente6 H K lo que se maneja son frecuencias porcentuales, se usa la misma expresi&n 628 para calcular frecuencias porcentuales ajustadas.
,r*#ico *18*F
0.1: ,RM2ICO DE (@NE3 Es bastante @til (ara co(arar los datos de dos o -s distrib&ciones* Consiste en &nir (or edio de segentos de recta% los (&ntos de coordenadas deterinados (or los datos de dos !ariables .&e se corres(onden o de !ariables .&e de(enden del tie(o* En s& constr&cci#n tabi)n se a(lica la regla de los FVH de alt&ra* El tra"o del gr-,ico (&ede o no coen"ar en el eje de coordenadas< esto no tiene i(ortancia + de(ende del dise>o del gr-,ico* E)emplo 0.1> Gediante &n gr-,ico de línea% (resenteos la in,oraci#n de la tabla sig&iente6 Tabla *14*1 %o-laci!n rural " ur-ana. é/ico. 1A<o
Total
&rbana
r&ral
13;;
1F*4
*4
11*;
131;
18*
F*9
11*8
131
1H*H
H*8
3*3
13F;
14*8
8*8
11*;
13H;
13*9
4*3
1*0
138;
8*0
11*;
1H*0
134;
FH*3
19*9
19*
139;
8;*9
3*0
;*3
1393
49*3
HH*4
F*F
139;6 Poblaci#n corregida + (ro+ectada al F; de j&nio de 139;* 13936 Estiaciones del Consejo =acional de Poblaci#n* Poblaci#n r&ral6 Genos de 8;; 'abitantes* &ente6 7G)?ico deogr-,ico% bre!iario% 13937% (* HH* Procediiento6 1* La (oblaci#n es ,&nci#n del tie(o* Es decir% la agnit&d tie(o es la !ariable inde(endiente< (or lo tanto% seg@n las noras con!encionales% se debe &bicar las &nidades de tie(o en el eje 'ori"ontal + los datos de la (oblaci#n en el !ertical* *
F*
Tra"ados los ejes de coordenadas% se arcan (&ntos ig&alente es(aciados (ara los a>os dados* L&ego se ide la distancia entre el origen de coordenadas + el (&nto corres(ondiente al @ltio dato en el eje de las abscisas /s&(ongaos% 14 c5* Se deterinan los FVH de la distancia anterior + se establece &na relaci#n entre la longit&d res<ante + el dato a+or de la serie% .&e se locali"a en la col&na de totales*
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD H1 La ra"#n de 1 a 49*3 indicar- el n@ero de centíetros (or cada ill#n de 'abitantes* 1*; V 49*4 [ ;*1949
H*
e calc&lan las alt&ras de los datos de (oblaci#n &sando el ,actor constante% que en esta ocasi#n siboli"areos (or *
8* Se a(ro?ia 49*3 a 9; + se <i(lica este @ltio n@ero (or % (ara saber el n@ero de &nidades de longit&d .&e le corres(onden* 9; [ 1*H c
4* Se (arten los 1*H c en 9 (artes ig&ales% (ara 'allar la longit&d e.&i!alente a 1; illones de 'abitantes* 9*
ijados los (&ntos corres(ondientes a las tres distrib&ciones de datos /total% &rbana + r&ral5% se tra"a el gr-,ico 2tres c&r!as2 + se le ane?an las indicaciones ínias necesarias (ara 'acer accesible la lect&ra*
,raneo 0.1:.1 %o-laci!n rural " ur-ana é/ico 1A<
&ente6 7G)?ico Deogr-,ico% Bre!iario% 13937% (* HH% Consejo =acional de Poblaci#n*
0.1F DITRI8UCIONE 3CUU(3D3 J %O(@,ONO DE 2RECUENCI3 3CUU(3D3 Estudiamos en el s&btít&lo *8 el conce(to de ,rec&encia ac&&lada* ios que la ac&&laci#n de las ,rec&encias +% (or consig&iente% de las categorías de la !ariable% (&eden ser ,rec&encias si(les o relati!as% ascendentes o descendentes* Tabi)n a(rendios a constr&ir e inter(retar correctaente distrib&ciones de ,rec&encias ac&&ladas (ara distrib&ciones si(les de ,rec&encias% es decir% (ara datos no agr&(ados* A contin&aci#n ensanc'areos n&estro conociiento de este ti(o de distrib&ciones*
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD H ablaos con (ro(iedad de distrib&ci#n de ,rec&encias ac&&ladas sie(re + c&ando las categorías de la !ariable .&e se aneja sean ordenables* En otras (alabras6 (ara !ariables ordinales o cardinales* Si ac&&laos las categorías de enor a a+or /ac&&laci#n ascendente5% res<a &na distrib&ci#n menos de en la c&al &na ,rec&encia ac&&lada incl&+e todas las categorías enores de cierto !alor* Si las ac&&laos de a+or a enor /ac&&laci#n descendente5% res<a &na distrib&ci#n o m*s en la c&al &na ,rec&encia ac&&lada incl&+e todas las categorías a+ores o ig&ales .&e cierto !alor* Toda re(resentaci#n tab&lar de &na distrib&ci#n ac&&lada se conoce coo distri-uci!n de #recuencias acumuladas Il&streos lo dic'o* La tabla *19*1 (resenta al iso tie(o &na distrib&ci#n de ,rec&encias ac&&ladas si(le + otra (orcent&al% 7enos de7% de las edades de los e(leados del s&(erercado 77% .&e se dan en la tabla del s&btít&lo *18*
Ta-la 0.1F.1 Distri-uci!n de #recuencias acumuladas menos de de las edades de los empleados del supermercado P A>os
E(leados =o* :
Genos de
19*8
;
;
i$ o i 7 on 77 n
1*8 8*8 3*8 FF*8 F9*8 H1*8 H8*8
1; 13 F0 8; 83 4F 9;
1H 9 8H 91 0H 3; 1;;
nn
n
Este c&adro (osibilita la sig&iente lect&ra6 (or eje(lo% F0 e(leados% .&e re(resentan el 8H: del total% son enores de 3 a>os + edio< 83 e(leados% .&e re(resentan el 0H: del total% son enores de F9 a>os + edio% etc* A'ora bien% la re(resentaci#n gr-,ica de &na distrib&ci#n de ,rec&encias ac&&ladas se llaa o)iva o polí&ono de #recuencias acumuladas. =o se debe con,&ndir el (olígono de ,rec&encias ac&&ladas /oji!a5 con el (olígono de ,rec&encias* Xste% (ara s& tra"o% tiene coo base los (&ntos edios de los inter!alos de clase + liita &na s&(er,icie con el eje 'ori"ontal .&e es re(resentati!a del total de ,rec&encias /!id* gr-,ico *18*15< a.&)l se basa en los líites reales in,eriores de clase +% (or -s características% rec&erda la ,ora de &na ese. Podeos constr&ir oji!as con distrib&ciones ac&&ladas si(les o (orcent&ales* Por sencille" 'eos (re,erido las ac&&laciones (orcent&ales% a(licaos la regla de los tres c&artos de alt&ra + di!idios en 1; (artes ig&ales al eje de las ordenadas% +a .&e la distrib&ci#n sie(re abarcar- de O a 1;;:* eaos*
,r*#ico 0.1F.1
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD HF
=#tese .&e el car-cter ascendente de este gr-,ico .&eda de ani,iesto al leer los líites reales de enor a a+or% +a .&e a&enta el (orcentaje de casos .&e caen (or debajo de ellos* Los (olígonos de ,rec&encias ac&&ladas son &+ @tiles (or.&e (eriten res(onder distintas (reg&ntas sin necesidad de c-lc&lo* Por eje(lo% si en n&estra oji!a tra"aos &na (aralela al eje 'ori"ontal a (artir del (&nto .&e re(resenta el 8;:% 'asta .&e la corte% + si este (&nto de corte lo (ro+ectaos !erticalente 'asta el eje 'ori"ontal% (odeos estiar la edad /3 a>os5 bajo la c&al se enc&entra el 8;: de los e(leados* Tabi)n (odeos (roceder en sentido in!erso6 ,ijada &na edad .&e sea de n&estro inter)s% en el eje de las abscisas% (ro+ectarla 'asta .&e corte a la oji!a + leer el (orcentaje de e(leados c&+as edades son enores a ese !alor* A'ora considereos el c&adro sig&iente6 Ta-la *19*
Distri-uci!n de #recuencias acumuladas o m*s de las edades de los empleados del supermercado P A>os
E(leados =o* :
19*8 # -s
9;
1;;
1*8 7 7
4;
04
8*8 7 7
81
9F
3*8 7 7
F
H4
FF*8 7 7
;
3
F9*8 7 7
11
14
H1*8 7 7
9
1;
H8*8 7 7
;
;
En este c&adro leeos% (or eje(lo% .&e 4; e(leados .&e re(resentan el 04: del total% tienen 1 a>os + edio de edad o -s< .&e 11 e(leados% .&e re(resentan el 14: del total% tienen (or lo enos F9*8 a>os de edad< etc* A contin&aci#n ostraos la oji!a corres(ondiente a esta n&e!a distrib&ci#n ac&&lada*
,r*#ico *19*
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD HH
El car-cter descendente de esta oji!a sobresale (or.&e al leer los liites reales de enor a a+or disin&+e el (orcentaje de casos .&e est-n (or arriba de ellos* Concl&ireos diciendo .&e los (olígonos de ,rec&encias ac&&ladas (&eden ser constr&idos (ara c&al.&ier ti(o de distrib&ci#n de datos agr&(ados% sin i(ortar c&-l sea la anc'&ra de s&s inter!alos*
Capitulo #
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD H8
$edidas de tendencia central % de dispersión Gedidas de tendencia central6 Gedia% Gediana + oda* /Series de datos si(les% sin ,rec&encia asociada5 Al describir gr&(os de obser!aciones% con ,rec&encia se desea describir el gr&(o con &n solo n@ero* Para tal ,in% desde l&ego% no se &sar- el !alor as ele!ado ni el !alor as (e.&e>o coo @nico re(resentante% +a .&e solo re(resentan los e?treos* as bien .&e !alores tí(icos* Entonces sería as adec&ado b&scar &n !alor central* A estos !alores se les conoce coo edidas de tendencia central* Se les llaa así (or.&e en torno a ellas (arecen agr&(arse los datos* Sir!en (ara res&ir todo &n gr&(o de !alores* En general c&al.&ier edida de tendencia central es &n !alor edio* Gedia arit)tica* Se el de,ine coo la s&a de &n conj&nto de cantidades di!idida entre el n&ero de ellas* Se el conoce tabi)n con los nobres de !alor edio% (roedio arit)tico o si(leente edia + así lo llaareos* Se le re(resenta con la letra Gedidas de tendencia central Gedia arit)tica La edida de tendencia central -s ob!ia .&e se (&ede elegir% es el si(le (roedio de las obser!aciones del gr&(o% es decir el !alor obtenido s&ando las obser!aciones + di!idiendo esta s&a (or el n@ero de obser!aciones .&e 'a+ en el gr&(o* En realidad 'a+ &c'as clases de (roedios + )sta se la llaa edia arit)tica (ara denotar la s&a de &n gr&(o de obser!aciones di!idida (or s& n@ero* Gediana Otra edida de tendencia central .&e se &tili"a con &c'a ,rec&encia es la ediana% .&e es el !alor sit&ado en edio en &n conj&nto de obser!aciones ordenadas (or agnit&d* Gediana6 es el !alor de la serie de datos .&e se sit@a j&staente en el centro de la &estra /&n 8;: de !alores son in,eriores + otro 8;: son s&(eriores5 Goda Otra edida de tendencia central es la oda* La oda es el !alor .&e oc&rre con -s ,rec&encia en &n conj&nto de obser!aciones*
*edidas de tendencia central. datos agrupados . gregar *E-L- -E -L"EML)(. 4na medida de dispersi&n dice cuanto se desvían los datos respecto a las tendencias centrales. Nas principales medidas de -ispersi&n son0 Na desviaci&n media, desviaci&n estándar y varianza y pueden ser de datos agrupados y datos no agrupados. *edidas de dispersi&n para datos no agrupados -esviaci&n media. e define como la desviaci&n promedio de los valores absolutos de las desviaciones de los datos de una variable con respecto a su media. e expresa en las mismas unidades de la variable 6a1os, horas, etc.8
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD H4
") "M E(')($MM N -E5L'L)( *E-L. 2.Ce calcula la media. <.Ce resta la media de cada dato de la variable ;.Ce divide la sumatoria de los valores absolutos de estas separaciones 6paso <8 entre el total de datos. Ejemplo0 /allar la desviaci&n media de los datos de la variable O dados a continuaci&n0 O 2, <, ;, ?, @, 3, :,2>,22,2<
2 < ; ? @ 3 : 2> 22 2< $otal @?
?.? 9.? ;.? 2.? >.? >.? 2.? ;.? 9.? ?.? ;2
(2>
D*M =
@.?
∑ X − X
N
;2F2>;.2
-esviaci&n estándar y varianza 6datos no agrupados8. Na desviaci&n estándar es la desviaci&n promedio de los datos de una distribuci&n respecto a su media. e le conoce también como desviaci&n típica y la formula para calcularla es0
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD H9 Σ X
S =
N
2C
"ara calcular la desviaci&n estándar o desviaci&n típica primero se calcula la varianza que es el cuadrado de la desviaci&n estándar. Na formula para la varianza es P
S
=
Σ X
N
2C
4na vez calculada la varianza se calcula la raíz cuadrada y esa es la desviaci&n estándar. Ejemplo0 'alcular la varianza y la desviaci&n estándar de los datos siguientes0 ?,@,@,@,3,:,=,2>,22,2;
S =
< D @.>= <.9333 ? @ ;@ @ ;@ @ ;@ 3 9= : @9 = :2 2> 2>> 22 2<2 2; 2@=
Σ X
N
2
S =
919 248*41 1;
< x
ΣD
:2
C = 0*1
ΣD<
La des!iaci#n est-ndar es
*H999
323 C
=
48*41
Nos rangos de normalidad se calculan con la media B o menos la desviaci&n estándar :.2C <.93 y :.2B<.93 El rango de normalidad esta entre ?.@; y 2>.?3.
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD H0
$e comprender su si4ni(icado con un sencillo e5emplo. upongamos que el Promedio 67) de la medici&n de glucosa en sangre es & y su Desviaci'n Estndar 6$) es &. Esto significa que la ma8oría de los puntos estn ubicados en una (ran5a 9ue va desde &# a # lo cual constitu8e un ;ran4o de normalidad< para esa medici'n.
-esviaci&n estándar y varianza 6datos agrupados8. "ara calcular la varianza y la desviaci&n estándar se utiliza la siguiente tabla0
Datos
P&ntos edios /5
,
Σ f
,?
Σ fx
Σ fX
'alcular e interpretar la desviaci&n estándar de los datos de la tabla Qtiempo dedicado al estudioR, medida en horas a la semana, de un conjunto de alumnos . Datos ( &?&&=&@&+##-
= @ + &> &2 #& #2
Σ fx Σ f
Puntos medios 7 # > 2 && &? & # #>
> =2 #@ =@ &+ >
7#
(1
,7#
? #> @? & &+@ #2+ ? @#>
& &+ #2 =+@ #@@ &&+ &? >
# +> &@@? ?=>@ =#? ##= #2 =>
&22 Σ fX
&>?? &22?#
1
/Σ fX 5 Σ fX − ( Σ fX )
S
=
N
V N
S
<,;:;,=;@
10%0H =
−
%F0F%3F4 V 100 100
=
10%0H21%40;*8 100
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD H3 S
4141*8
=
100
S = F*0
= F*0
S = 8*9'oras seanarias
La des!iaci#n est-ndar es 8*9 'oras
Lnterpretaci&n0 la media es igual a 2,?99F2:: :.< 4n estudiante comn estudia entre <.? y 2;.= horas
F (arcial*
#robabilidad
Acti!idad* A5 De,ine .&e es &n e!ento deterinista + .&e es &n e!ento aleatorio B5 A (artir de las de,iniciones anteriores da &na de,inici#n de (robabilidad
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 8;
$odo ;aparcial $E)ML -E N "M)SSLNL-*ediante esta teoría podemos mantener el control de calidad de cualquier artículo en la industriaP fijar el monto de los seguros de vida y jugar con ventaja en los juegos de azar. %E()*E() -E$EM*L(L$ O NE$)ML). 4n fen&meno determinista es aquel en el cual podemos anticipar con toda certeza el resultado. Ejemplo0 si lanzo una piedra con una velocidad conocida, de antemano se que caerá al suelo y a cierta distancia. 4n fen&meno aleatorio en el que no podemos anticipar el resultado de certidumbre. Ejemplo0 lanzar una moneda al aire, jugar a los dardos o cualquier otro juego de azar. $odas estas actividades son el objeto de estudio de la probabilidad. E"'L) *4E$MN O E5E($) i lanzamos un dado, los resultados posibles son 2,<,;,9,?,@ de manera que el espacio muestral seria0 62,<,;,9,?,@8. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se conoce como espacio muestral. El resultado que obtenemos o esperamos obtener al realizar varias veces el experimento es un evento. Ejemplo0 si al lanzar dos volados con una moneda espero que salgan dos águilas, este seria el evento. i el experimento se repite < o mas veces el numero de resultados posibles cambian notoriamente ejemplo0 determinemos el espacio muestral de echar dos volados c Taa,ss,sa,asU << 9 medida que aumenta el nmero de repeticiones el espacio muestral se va complicando pero existe una técnica conocida como diagrama de árbol que se aplica a cualquier experimento. "ara saber el numero de posibilidades del espacio muestral es (x donde n son las alternativas y x el numero de veces que se repite el experimento. Ejemplo0 4na pareja planea tener tres hijos. !'uál será el numero de posibilidades y el espacio muestral resultante# El numero de posibilidades es. <; : las alternativas son dos y ; es el numero de veces que se repite el experimento. El espacio muestral resultante es. 6///, //*, /*/, /**, *//, */*, **/, ***8.
4na pareja de recién casados ha decidido formar una familia de solo tres hijos, a. determine la probabilidad de que tenga puros hijos varones, b. !cuál es la probabilidad de que tenga como máximo un hijo var&n, c. !cuál es la probabilidad de que su segundo hijo sea var&n. a. evento de que la familia tenga puros hijos varones T///U p68 2F: >.2 b. S evento de que la familia tenga como máximo un hijo var&n S Tningn hijo var&n o un hijo var&nU T***, /**, */*, **/U p6S8 9F: 2F< >.? c. ' evento de que el segundo hijo de la familia sea var&n
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 81 ' T///, //*, *//, */*U "6'8 9F: 2F< >.?
De,inici#n + (ro(iedades de la (robabilidad* Probabilidad es &n n@ero .&e se asigna a &n e!ento (ara indicar la (osibilidad de s& oc&rrencia* Jna (robabilidad se (&ede re(resentar con &n n@ero a+or .&e cero o enor .&e 1< (&ede tabi)n en re(resentarse en (orcentajes 'asta &n -?io de 1;;:* Eje(lo* Si el re(orte eteorol#gico in,ora .&e la (robabilidad de .&e ll&e!a es de 08: .&iere decir .&e la (robabilidad de .&e no ll&e!a es de 18:* Con deciales esto seria* La (robabilidad de .&e ll&e!a ;*08 + la (robabilidad de .&e no ll&e!a ;*18 =OTA6 Para trans,orar &na (robabilidad de ,ora decial a ,ora (orcent&al se di!ide la &nidad entre el decial + el res<ado es el denoinador del n@ero racional res<ante% siendo la &nidad el n&erador Eje(lo ;*1 e.&i!ale a 1V1; ;* e.&i!ale V1; [1V8 Para trans,orar &na (robabilidad racional a decial se di!ide el n&erador entre el denoinador* Eje(lo 1V1; e.&i!ale a ;*1 V1; e.&i!ale ;* 1VF e.&i!ale ;*FFFFF E!entos &t&aente e?cl&+entes* Dos e!entos son &t&aente e?cl&+entes c&ando al co(ararlos% el seg&ndo es la negaci#n del (riero% o el co(leento del (riero* C&ando oc&rren e!entos &t&aente e?cl&+entes la s&a de abas debe dar 1 # 1;;: Eje(lo6 &na in!estigaci#n reali"ada en &na ,ac<ad re!ela .&e la (robabilidad e .&e &n al&no dedica al est&dio% ,&era del a&la as de 1 'rs* a la seana es de ;*; # ;:* Deterina la (robabilidad de .&e est&die 1'rs o enos* Si A1 re(resenta el e!ento de -s de 1 'rs* + A el e!ento de 1 'rs* o enos + abos son &t&aente e?cl&+entes entonces* P/A15 as P/A5[ 1 entonces P/ A5[12/A15[;*0 La (robabilidad de .&e &n al&no de esa ,ac<ad est&die ,&era de clases 1 'rs* o enos de ;*0 & 0;:* Probabilidad bajo el en,o.&e cl-sico* Si (ara &n e!ento A 'a+ n res<ados ig&alente (robables% de los c&ales , son del ti(o .&e nos interesa% la (robabilidad de .&e oc&rra &n res<ado de este ti(o es ,Vn P/A5[ ,Vn (ara n res<ados ig&alente (robables* Eje(lo6 Deterina la (robabilidad de .&e al tirar &n dado% a5 a(are"ca el n&ero F< b5 no a(are"ca el n&ero F* a5 P/F5[1V4[;*14444 [14*9:* b5 P/no sea F5 [8V4[;*0FFF[ 0F*F: Res&el!e* Q&e (robabilidad en el j&ego de doino6 a5 de sacar &na &la b5 de sacar &na ,ic'a seis tres PROBABILIDAD SJB`ETIA Y PROBABILIDAD A AOR Seg@n el en,o.&e objeti!o de &na (robabilidad es &na edida del grado de certid&bre .&e se tiene res(ecto a la oc&rrencia de &n e!ento*
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 8 El e!ento s&bjeti!o asocia el s&ceso con &na edida del grado de creencia .&e &no tiene a (artir del j&icio o la !aloraci#n de e!idencias eV+ incertid&bres* Q&e signi,ica (or eje(lo .&e &n dirigente de &n (artido (olítico diga .&e la (robabilidad s&bjeti!a de .&e s& (artido ganara las elecciones en cierto &nici(io es 0;:* Otra ,ora es decir .&e s& (artido !a a ganar seria la e?(resi#n HV1 .&e res<a de di!idir las (robabilidades a ,a!or entre las (robabilidades en contra* En ocasiones% las (robabilidades s&bjeti!as se estian 'aciendo &so del conce(to de (robabilidades a ,a!or* Si la (robabilidad de oc&rrencia de &n e!ento se denota (or (* La (robabilidad de no oc&rrencia se denota (or .* .[1;;:2( (ara el caso anterior a5.[1;;:20;:[;: b5 .[12( entonces .[12;*0;[;* c5 Si los .&ereos e?(resar en (robabilidades a ,a!or% teneos .&e &tili"ar la ,or&la (V. entonces seria (V. 0;V; [ H a 1* Res&el!e* Las (robabilidades de .&e al tirar &n dado res<a &n n&ero a+or .&e es VF* E?(resar este !alor en (robabilidades a ,a!or*
I*2ARREKLOS DE J= SOLO CO=`J=TO Arreglos de un solo conjunto. Permutaciones. El orden si importa. Hay dos tipos de permutaciones: • &.&.-$e permite repetir 6 La 7combinación7 de un candado puede ser 7FFF7* Son ordenaciones de r objetos de n dados. Por ejemplo: Sea A= {A, , !, "#, $cu%ntas &palabras& de dos letras se pueden obtener' Se pide (ormar permutaciones u ordenaciones de ) letras, cuando el total de letras es *. En este caso r=) y n=*. r n )*= + Las &palabras& en total son +.
AA, AB, AC, AD BA, BB, BC, BD CA, CD, CD, CD DA, DB, DC, DD
En general, si se toman r objetos de n, la cantidad de permutaciones u ordenaciones con repetición obtenidas son: nr 4 2 =16
•
&.#.-Permutaciones sin repetici'n. "rdenaciones
En este caso, a di(erencia de las permutaciones con repetición, se reali-an ordenaciones de r objetos de n datos atendiendo a la situación de cada objeto en la ordenación. Su representación es: Pnr ó nPr Por ejemplo: Sea el mismo conjunto A= { A, B, C, #, $cu%ntas ordenaciones de dos letras sin repetición se pueden obtener' Son +) en total.
a) Sin repetición
c
n
/n
−
r
5c
no se permite AA. Si se permite AB y BA
Forma todas las palabras de dos letras que puedas con A,B,C,D; sin repetir letras
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 8F Hc
c
n
H x F x x1
nPr= / − 5c = / H − 5c = =! 1 por principio multiplicati"e #$%=! AA, AB, AC, AD BA, BB, BC, BD CA, CB, CC, CD DA, DB, DC, DD n
r
x
in repetici!n6 Teniendo 8 corredores de c&antas aneras (&eden .&edar los tres (rieros l&gares en &na carrera* =o (&edes .&edar (riero% seg&ndo + tercero a la !e"* En este caso% se reduce el n@ero de o(ciones en cada (aso* 1*2De c&-ntas aneras (&eden .&edar en los tres (rieros l&gares A58 corredores 8c
=
c
n
/n
−
r
5c
/8
−
8 x H x F x x1
F5 c
=
4;
x1
*2Eje(lo% c#o (odrías ordenar 8 bolas de billar Des(&)s de elegir (or eje(lo la 787 no (&edes elegirla otra !e"* Así .&e t& (riera elecci#n tiene 8 (osibilidades% + t& sig&iente elecci#n tiene H (osibilidades% des(&)s F% etc* Y el total de (er&taciones sería6 8?H?F??1 [8S 8,actorial [ 1; F*2Si solo .&ereos toar alg&nas del total% &tili"aos la ,or&la6 c
n
/n
−
r
5c
donde n es el n@ero de cosas .&e (&edes elegir% + eliges r de ellas
Eje(lo* Coo (&edes ordenar 8 bolas de billar de F en F 8c /8
−
=
8 x H x F x x1
= 4;
x1
F5 c
H*2De c&antas aneras (&edes ordenar 8 libros en &n librero* 8c =
/8
−
85 c
8 x H x F x x1 = 1;
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 8H
=.- Combinaciones o arre4los / ning&na re(etici#n ni (er&taci#n5* =o AA * si 'a+ AB no debe 'aber BA% etc*
•
c
n
;.2
/n
−
r
5c r c Hc
/H
ora todas las (alabras de dos letras .&e (&edas con A%B%C%D< sin ning&na re(etici#n*
− 5cc =
H x F x x1 cc
=
H x F
=&
AA, AB, AC, AD BA, BB, BC, BD CA, CB, CC, CD DA, DB, DC, DD
F* De 8 sabores de ag&a .&e son `aaica% taarindo% li#n% naranja + sandia< se seleccionaran sabores (ara la coida* De c&antas aneras distintas (&eden .&edar ,oradas las dos ag&as Escribe el es(acio &estral* Coo se deterina el n&ero de arreglos o cobinaciones Coo no se (erite re(etir la isa letra `` ni (er&taci#n si +a esta `T no se (erite T` etc* 8c 8 x H xF x x1 ; c /`T% `L% `=% `S% TL% T=% TS% L=% LS% =S5 [ [1; n
/n
−
•
r
5c r c
/8− 5cc
/F x x15/ x15
?.- permutaciones circulares.
a5 /n215C&atro (ersonas j&egan a la ronda agarrados de la ano ,orando &n circ&lo* De c&antas aneras di,erentes se (&eden organi"ar Es &na (er&taci#n circ&lar de H eleentos* PCH[/H215 [ F [ 4 aneras di,erentes* De c&antas aneras di,erentes (&eden estar ,orados `&an% Pedro% Garía + Sandra `PGS b5 /n25 De c&antas aneras di,erentes (&eden siete (ersonas 'acer &na ronda toados de la ano si `&an + Garía .&ieren estar sie(re j&ntos* Este (roblea se (&ede (ensar .&e 'a+ seis (ersonas (or.&e `&an + Garía sie(re est-n j&ntos /&na sola (ersona5* Entonces esto es &na (er&taci#n circ&lar de 4 (ersonas* PC4[ /4215 [ 8 [ 1; aneras di,erentes* Pero con `&an + Garía 'a+ dos (osiciones aría a la i".&ierda de `&an o `&an a la i".&ierda de aría* Entonces esto se con!ierte en PC4[ ?/4215 [ ?8 [ H; aneras di,erentes* Tarea con 8 (ersonas
II.B3RRE,(O DE DO O 3 CONUNTO Arreglos de dos o -s conj&ntos* /A%B%C%D5 Y /1%5 * C&-ntas aneras di,erentes se (&eden 'acer con estos conj&ntos Escribe el es(acio &estral* H?[0 /1A%1B%1C%1D% A%B%C%D5 De c&antas aneras di,erentes se (&eden seleccionar (arejas de di,erentes se?os de &n gr&(o de H 'obres + F &jeres* Escribe el es(acio &estral *
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 88 obres /Pedro% `os)% rancisco% Ra#n5 &jeres /Garía% Elena + Kreta5 H?F[1 Es(acio &estral /PG% PE% PK% `G%`E% `K% G% E% K% RG% RE%RK5
Propiedades de la probabilidad de eventos no elementales Cuando se tienen eventos elementales no existe mucho problema en el sentido del cálculo de las probabilidades, pues basta con una contabilización o el uso directo del cálculo combinatorio. Pero en el caso de eventos no elementales, ue son los compuestos por más de un evento elemental, el proceder de manera análo!a resulta muy comple"o y las operaciones pueden sobrepasar la capacidad de cálculo existente. #in embar!o, utilizando los axiomas de la probabilidad y las si!uientes propiedades, se podrán expresar las probabilidades de estos eventos en t$rminos de los eventos elementales ue lo componen, siempre y cuando se conozcan las probabilidades de $stos. %eamos la probabilidad de una unión de eventos, la cual la podremos calcular de la si!uiente manera& Propiedad 1. #i A y B son dos eventos, la probabilidad de ue ocurra A o B es i!ual a la suma de las probabilidades de ocurrencia de A y de B, menos la probabilidad de ue ocurran A y B simultáneamente. Es decir, P ' A∪B(
) P ' A( * P 'B( + P ' A∩B(
hora, si el caso es ue los eventos sean mutuamente excluyentes se tiene& Propiedad 2. #i dos eventos, A y B, son mutuamente excluyentes entonces la probabilidad de ue ocurra A o B es i!ual a la suma de las probabilidades de ocurrencia de A y de B. Es decir P ' A∪B(
) P ' A( * P 'B(
JTILIWACIO= DEL DIAKAGA E== PARA LARESOLJCIO= DE PROBLEGAS DE PROBAILIDADES Jn diagraa de enn e(lea lo sig&iente6 1*2 círc&los o rect-ng&los (ara re(resentar las di,erentes clases de e!entos* *2Entre lan"aiento de los círc&los (ara re(resentar la oc&rrencia de e!entos conj&ntos o si<-neos* Keneralente el rect-ng&lo re(resenta el es(acio &estral + cada &no de los círc&los re(resenta los di!ersos e!entos* La (orci#n del es(acio &estral no incl&ida en &n e!ento A se re(resenta coo Ac + eso es co(leento del e!ento* Eje(lo 1 6 Sea S el es(acio &estral ,orado (or los n@eros (rios /1%%F%9%11%1F%19%13%F%35 soetidos todos a selecci#n aleatoria< R el e!ento n&ero (rio enor .&e 19 + a+or .&e < T el e!ento n&ero (rio a+or .&e 11< J el e!ento n&ero (rio a+or .&e 11 + enor .&e F% 'allar las sig&ientes (robabilidades + escribe s& es(acio &estral6 A5 P/R o T5 b5 P/R o J5 c5 P /T o J5 d5 P/R c5 e5 P/Tc5 ,5 P/Jc5 R[/F9%11175 T[/17%19%13%F%35 J[/17%19%135 a5P/R o T5 [ P/R5 \ P/T52 P/R ∩T ( ) -/0*1/0+//0 )2/0 'F%9%11%1F%19%13%F%35 b5 P/R o J5 [ P/R5 \ P/J52 P/R ∩U ( ) -/0*3/0+//0 )4/0 ' F%9%11%1F%19%135 Eje(lo
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 84 Jna clase consta de 1; 'obres + ; &jeres< la itad de los 'obres + la itad de las &jeres tienen los ojos casta>os* Deterinar la (robabilidad de .&e &na (ersona elegida al a"ar6 a) Sea un 'ombre o ten(a los oos casta*os. b) Sea muer o t+n(a los oos casta*os c) o ten(a los oos casta*os.
Jni!erso /1; 'obres% ; &jeres5 total F; De los 1; 'obres /8 de ojos di,erente color% 8 de ojos color ca,)5 De las ; &jeres / 1; de ojos di,erente color% 1; de ojos color ca,)5 1;
P/5 [ F; P/C5[ a5 P/ o C5[ b5 P/G o C5[ c5 P/C5[
18 F;
1;
18 F; 18
8
\ F; 2 F; [
F; ; F;
18
;
P/G5[
F; ;
F;
1;
\ F; 2 F; [
[
8 F;
P/Cc5[ 18 [ F;
[
F 8 4
1
Tarea (riera (arte* Gi)rcoles 3 no! ;11 Ejemplo ! 6 Cul es la probabilidad que en una familia de dos hijos, a2 6los dos sean hombres7 b26 un hombre y una mujer8 c2 6dos mujeres 7 Ejemplo "! Supongamos ahora un caso de 0 hijos. 6 Cul es la probabilidad de cada una de las combinaciones posibles 7 a2 0hombres b2 9 hombres y una mujer en ese orden c2 dos hombres y una mujer en un orden cualquiera. d2 tres mujeres e29 mujeres y un hombre en ese orden f2dos mujeres y un hombre en un orden cualquiera Ejemplo #!
-ransforma las siguientes probabilidades a fracción y : 1.9;, 1.000000, 1.<, 1.<<<<<<<, 1.= Ejemplo $!
-ransforma las siguientes probabilidades a : y decimal % V8% FV0% % VF Ejemplo %!
-ransforma a fracción y decimal =1:, 9;:, 00:, 01: Ejemplo & Res&el!e* Q&e (robabilidad en el j&ego de doino6 a5 de sacar &na &la b5 de sacar &na
,ic'a seis tres C5de sacar &na blanca al enos*
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 89 Ejemplo ' E?(resa las sig&ientes (robabilidades en (robabilidades a ,a!or a54;: b59;: c5 3;: Ejemplo ( E?(resa las sig&ientes (robabilidades a ,a!or en (robabilidad si(le* a5 4VH b588VH8 c5 08V18 Ejemplo ) De las sig&ientes ,racciones se>ala c&ales (&eden re(resentar &na (robabilidad* 4V8%
;*0%
1*1% VF% HV% 11;:% 8VF% FV8% % HVF
Tarea (arte * !iernes 11 no! ;11 1*2De c&-ntas ,oras distintas (&eden sentarse oc'o (ersonas en &na ,ila de b&tacas Caso 1 no 'a+ re(eticiones* Se red&ce el n@ero de o(ciones en cada caso* *2De c&-ntas ,oras distintas (&eden sentarse oc'o (ersonas alrededor de &na esa redonda F*2C&antas di,erentes .&intas de baloncesto (&eden ,orarse con 9 j&gadores dis(onibles (ara j&gar c&al.&ier (osici#n* H*2*En &na e(resa c&atro ejec&ti!os asisten a &na j&nta donde 'a+ oc'o sillas* Calc&la de c&antas ,oras (&eden oc&(ar las sillas** H de 0 8*2De c&antas aneras se (&ede ,orar &n coit) de 8 (ersonas a (artir de &n gr&(o de 3 4*2Teniendo F corredores de c&antas aneras (&eden .&edar los tres (rieros l&gares en &na carrera* 9*2De c&antas aneras (&edes ordenar F libros en &n librero* De Probabilidad% .&íica + biología% escribe el es(acio &estral
0*2Jna clase consta de ; 'obres + 1; &jeres< la itad de los 'obres + la itad de las &jeres tienen los ojos casta>os* Deterinar la (robabilidad de .&e &na (ersona elegida al a"ar6 a) Sea un 'ombre o ten(a los oos casta*os. b) Sea muer o ten(a los oos casta*os. c) o ten(a los oos color ca-+.
3*2Sea S El es(acio &estral ,orado (or los n@eros (ares % H% 4% 0% 1;% 1% 1H% 14% 10% ;< soetidos todos a selecci#n aleatoria< J el e!ento n@ero (ar enor .&e 0< M% el e!ento n@ero (ar a+or .&e H + T el e!ento n@ero (ar a+or .&e + enor .&e 1H* allar las (robabilidades .&e se indican* a5 P/J o M5 b5 P/J o T5 c5 P/M o T5 d5 P/ Mc 5 d5 P/Tc5