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Actividad6_Calculo Diferencial e Integral6
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Actividad6_Calculo Diferencial e Integral6
tarea resuelta diciembre 2016Descripción completa...
Author:
Christopher Dominguez
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Full description
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Unidad 5: Métodos
de Integración
Cálculo diferencial e integral
Actividad 6 Nombre de la materia Cálculo Diferencial e
Integral Nombre del profesor
Nombre del alumno
Semana
6
Unidad 5: Métodos
de Integración
Cálculo diferencial e integral
Tarea 6
Forma de evaluación:
Criterios
Ponderación
Presentación, formato de tareas UTEL, ortografía y redacción
15%
Desarrollo de puntos solicitados; desarrollo de la idea principal y cada
85%
uno de los elementos solicitados, ejemplos específicos. Total
100%
Objetivo:
Identificar y aplicar los métodos de integración básicos. Realizar integrales mediante el método de cambio de variable y por partes.
Instrucciones
Estudia el ejemplo y escribe el elemento faltante dentro de los cuadros rojos.
Unidad 5: Métodos
de Integración
Cálculo diferencial e integral
Desarrollo de la actividad: Ejemplo I
Calcular mediante el método de cambio de variable la siguiente integral:
∫ + 1 Solución:
Se realiza primero el cambio de variable y se obtiene su diferencial:
Entonces
= + 1 = 2 = 2
1 ∫/ = (1)(2)/ = 1 / ∫ + 1 = ∫√ = 2 2 2 3 3 1 = 3 + 1/ + Ejercicio I
Utilizando el método de cambio de variable calcular la integral que se indica.
1 ∫/ = (1)(2)/ = 1/ ∫ 3 + 2 = ∫[√ ] = 2 6 2 3 3 = 13 3 + 2+ Ejemplo II
Unidad 5: Métodos
de Integración
Cálculo diferencial e integral
Realizar la siguiente integral utilizando el método de integración por partes:
∫ cos Solución: Tenemos que utilizar la fórmula de la integral por partes
∫ = ∫ Realizamos la identificación de cada una de las partes como sigue: = = = cos = Entonces ∫cos = ∫ = + ∫ = cos + Ejercicio II
Realizar mediante la integración por partes la siguiente integral:
∫ Solución: Utilizamos la fórmula de integración por partes
∫ = ∫ y realizamos la siguiente indentificación:
∫ = ∫ = = = sen = cos ∫ = ∫cos = ∫cos = + Ejemplo 3
Unidad 5: Métodos
de Integración
Cálculo diferencial e integral
Realizar la siguiente integral mediante el método de suma de fracciones parciales
∫ +52+ 3 3
Solución: Primero tenemos que separar el integrando
5 + 3 + 2 3
en suma de fracciones parciales. Para ello lo primero es factorizar el denominador como sigue a continuación:
+ 2 3 = + 3 1 Luego, se realiza la separación como sigue a continuación:
5 + 3 = 5 + 3 = + = 1 + + 3 + 2 3 + 3 1 + 3 1 + 3 1 De donde
5 + 3 = 1 + + 3 + 3 1 + 3 1
Como los denominadores son iguales sólo queda que los numeradores sean iguales también:
5 + 3 = 1 + +3
Las raíces del denominador son x=1 y x=-3. Sustituyendo la primera obtenemos:
51 + 3 = + 1 1 + 1+ 3 8 = + 0 + 4 8 = 4 =2 Mientras que si sustituimos x=-3 tenemos: 53 +3 = 3 1 + 3+ 3 15 + 3 = 4 + 0 12 = 4 = 3 Entonces
5 + 3 = 3 + 2 + 2 3 + 3 1
Unidad 5: Métodos
de Integración
Cálculo diferencial e integral
De donde
∫ +52+ 3 3 = ∫ +3 3 + 2 1 = ∫ +3 3 + ∫ 2 1 = 3 ∫ + 3 + 2∫ 1 = 3ln 1 + 2ln + 3 + Ejercicio 3
Realizar la siguiente integral utilizando el método de integración por suma de fracciones parciales
1 ∫ 122 3
Solución
Tenemos que separar el integrando fracciones parciales:
− −−− en suma de
2 1 + + = 1 2 3 1 2 3 Como en el caso anterior, los numeradores tienen que ser iguales:
2 1 = 2 3 + 1 3+ 1 2 Las raíces del denominador son x=1, x=2, = 3. Sustituyéndolas x=1 obtenemos:
21 1 = 1 21 3 + 1 11 3 + 1 11 2 1 = 2 + 0 +0 = 1 2 Sustituyendo x=2 obtenemos: 22 1 = 2 22 3 + 2 12 3 + 2 12 2 3 = 0 + 0 = 3 Sustituyendo x=3 obtenemos: 23 1 = 3 23 3 + 3 13 3 + 3 13 2 5 = 0+ 0 +2 = 25
Entonces, nuestra integral por suma de fracciones parciales nos queda:
Unidad 5: Métodos
de Integración
Cálculo diferencial e integral
1 ∫ 122 3 3 5/2 = 1 ∫ 3∫ = ∫ 1/2 + ∫ + ∫ 1 2 3 2 1 2 5 1 1 + 2 ∫ 3 = 2 ln 1+ 3ln 2 + 2 3 + Ejemplo 4
Realizar la integral siguiente mediante el método de sustitución trigonométrica
∫ √ 4
Solución Como el radicando del denominador tiene la forma tenemos que realizar la sustitución trigonométrica . , Al diferenciar esto nos queda
entonces
= 2 < < = 2cos Entonces =∫ 2cos 2cos ∫ √4 =∫ 2sen 4 2sen 2sen √4 4 =∫ cos =∫ cos 4 1 41 cos =∫ cos =∫ cos =∫ 1 √ √ cos =∫ =∫ =∫ = 1 cot + =∫ cos 2 Como = 2 , entonces = , por lo que: √ = Ejercicio 4 Resolver la siguiente integral mediante el método de sustitución trigonométrica
Solución
∫ √16 4
Unidad 5: Métodos
de Integración
Cálculo diferencial e integral
Como el radicando del denominador tiene la forma tenemos que realizar la sustitución trigonométrica . , Al diferenciar esto nos queda
entonces
= 2 < < = 2cos Entonces =∫ 2cos 2cos ∫ √16 = ∫ 4 2sen 16 42sen 2sen 16 64 =∫ 2 =∫ 2cos 16 1 4 1 cos =∫ =∫ 2 1 =∫ 2 √ = ∫ = 1 ∫ =∫ 2 cos =∫ 2 = 12 cot + Como = 2 , entonces = , por lo que: 4 cot =
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