Actividad6_Calculo Diferencial e Integral6

Unidad 5: Métodos

de Integración

Cálculo diferencial e integral

Actividad 6 Nombre de la materia Cálculo Diferencial e

Integral Nombre del profesor

Nombre del alumno

Semana

6

Unidad 5: Métodos

de Integración


Tarea 6

Forma de evaluación:

Criterios

Ponderación

Presentación, formato de tareas UTEL, ortografía y redacción

15%

Desarrollo de puntos solicitados; desarrollo de la idea principal y cada

85%

uno de los elementos solicitados, ejemplos específicos. Total

100%

Objetivo:

Identificar y aplicar los métodos de integración básicos. Realizar integrales mediante el método de cambio de variable y por partes.

Instrucciones

Estudia el ejemplo y escribe el elemento faltante dentro de los cuadros rojos.

Unidad 5: Métodos

de Integración


Desarrollo de la actividad: Ejemplo I

Calcular mediante el método de cambio de variable la siguiente integral:

∫  + 1  Solución:

Se realiza primero el cambio de variable y se obtiene su diferencial:

Entonces

 =  + 1  = 2   = 2

1 ∫/ = (1)(2)/ = 1 / ∫  + 1  = ∫√   = 2 2 2 3 3 1 = 3  + 1/ +  Ejercicio I

Utilizando el método de cambio de variable calcular la integral que se indica.

1 ∫/ = (1)(2)/ = 1/ ∫ 3 + 2  = ∫[√ ]  = 2 6 2 3 3 = 13 3 + 2+  Ejemplo II

Unidad 5: Métodos

de Integración


Realizar la siguiente integral utilizando el método de integración por partes:

∫ cos  Solución: Tenemos que utilizar la fórmula de la integral por partes

∫  =   ∫  Realizamos la identificación de cada una de las partes como sigue: =  =   = cos  =   Entonces ∫cos  =    ∫  =    + ∫   =     cos +  Ejercicio II

Realizar mediante la integración por partes la siguiente integral:

∫    Solución: Utilizamos la fórmula de integración por partes

∫  =   ∫  y realizamos la siguiente indentificación:

∫  =   ∫   =   =   = sen  = cos ∫   =     ∫cos =     ∫cos  =       +  Ejemplo 3

Unidad 5: Métodos

de Integración


Realizar la siguiente integral mediante el método de suma de fracciones parciales

∫  +52+ 3 3 

Solución: Primero tenemos que separar el integrando

5 + 3  + 2  3

en suma de fracciones parciales. Para ello lo primero es factorizar el denominador como sigue a continuación:

 + 2  3 =  + 3  1 Luego, se realiza la separación como sigue a continuación:

5 + 3 = 5 + 3 =  +  =   1 +  + 3  + 2  3  + 3  1  + 3   1  + 3 1 De donde

5 + 3 =   1 +  + 3  + 3  1  + 3  1

Como los denominadores son iguales sólo queda que los numeradores sean iguales también:

5 + 3 =   1 +  +3

Las raíces del denominador son x=1 y x=-3. Sustituyendo la primera obtenemos:

51 + 3 =   + 1  1 + 1+ 3 8 =   + 0 + 4 8 = 4  =2 Mientras que si sustituimos x=-3 tenemos: 53 +3 = 3  1 + 3+ 3 15 + 3 = 4 + 0 12 = 4  = 3 Entonces

5 + 3 = 3 + 2  + 2  3  + 3   1

Unidad 5: Métodos

de Integración


De donde

∫  +52+ 3 3  = ∫ +3 3 +  2 1 = ∫  +3 3  + ∫  2 1  = 3 ∫ + 3 + 2∫  1 = 3ln  1 + 2ln + 3 +  Ejercicio 3

Realizar la siguiente integral utilizando el método de integración por suma de fracciones parciales

1 ∫  122  3 

Solución

Tenemos que separar el integrando fracciones parciales:

− −−− en suma de

2  1  +  +  =   1  2  3   1   2   3 Como en el caso anterior, los numeradores tienen que ser iguales:

2  1 =   2  3 +   1  3+   1  2 Las raíces del denominador son x=1, x=2,  = 3. Sustituyéndolas x=1 obtenemos:

21 1 = 1  21  3 + 1 11 3 + 1  11  2 1 = 2 + 0 +0  = 1 2 Sustituyendo x=2 obtenemos: 22 1 = 2  22  3 + 2 12 3 + 2  12  2 3 = 0   + 0  = 3 Sustituyendo x=3 obtenemos: 23 1 = 3  23  3 + 3 13 3 + 3  13  2 5 = 0+ 0 +2  = 25

Entonces, nuestra integral por suma de fracciones parciales nos queda:

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de Integración


1 ∫   122  3  3 5/2  = 1 ∫   3∫  = ∫ 1/2  + ∫  + ∫    1   2  3 2   1  2 5  1 1 + 2 ∫   3 = 2 ln  1+ 3ln  2 + 2   3 +  Ejemplo 4

Realizar la integral siguiente mediante el método de sustitución trigonométrica

∫ √  4  

Solución Como el radicando del denominador tiene la forma tenemos que realizar la sustitución trigonométrica  . ,   Al diferenciar esto nos queda

   entonces

 = 2    <  <  = 2cos  Entonces  =∫ 2cos  2cos  ∫ √4 =∫  2sen  4  2sen 2sen √4 4   =∫ cos =∫  cos 4 1    41  cos =∫ cos =∫   cos =∫ 1  √ √ cos =∫  =∫  =∫  = 1 cot +  =∫  cos   2  Como  = 2   , entonces   = , por lo que:  √     =  Ejercicio 4 Resolver la siguiente integral mediante el método de sustitución trigonométrica

Solución

 ∫ √16 4

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de Integración


Como el radicando del denominador tiene la forma tenemos que realizar la sustitución trigonométrica   . ,   Al diferenciar esto nos queda

   entonces

 = 2    <  <  = 2cos  Entonces  =∫ 2cos  2cos  ∫ √16 = ∫ 4 2sen 16 42sen 2sen  16 64   =∫ 2 =∫ 2cos  16 1   4 1   cos =∫  =∫ 2  1  =∫  2     √    =  ∫  = 1 ∫  =∫ 2 cos =∫       2 = 12 cot +   Como  = 2  , entonces   = , por lo que:     4   cot = 

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