68668823 Libro OFICIAL Trigonometria 1

COLEGIO EL SALVADOR SAN VICENTE T.T.

Colegio El Salvador-Trigonometría

JUAN CRISTÓBAL DÍAZ OLEA JUAN PABLO LOBOS MADARIAGA MADARIAGA NICOLÁS ANDRÉS SILVA ABARCA BYRON ANDRÉ RIQUELME VÁSQUEZ GUILLERMO RENÉ MORALES YÉVENES SERGIO IGNACIO SALINAS ROZAS JUAN EDUARDO AMADO AMADO HINOJOSA


JUAN CRISTÓBAL DÍAZ OLEA JUAN PABLO LOBOS MADARIAGA MADARIAGA NICOLÁS ANDRÉS SILVA ABARCA BYRON ANDRÉ RIQUELME VÁSQUEZ GUILLERMO RENÉ MORALES YÉVENES SERGIO IGNACIO SALINAS ROZAS JUAN EDUARDO AMADO AMADO HINOJOSA


Índice

1)

Introducción

2)

Prólogo

3)

Reseña Histórica de la trigonometría

4)

Ángulos orientados

5)

Sistemas de medición de ángulos

6)

Razones trigonométricas y sus recíprocas en el triángulo rectángulo

7)

Razones trigonométricas de ángulos complementarios

8)

La circunferencia goniométrica

9)

Razones trigonométricas de ángulos notables: 30º, 45º y 60º

10) Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales 11) Resolución de triángulos rectángulos 12) Ángulos de elevación y de depresión 13) Resolución de problemas 14) Signo de la razones trigonométricas 15) Reducción al primer cuadrante 16) Grafica de la funciones trigonométricas 17) Identidades trigonométricas básicas y pitagóricas 18) Identidades trigonométricas para la suma y diferencia de ángulos 19) Identidades trigonométricas para el doble de un ángulo 20) Identidades trigonométricas para el valor medio de un ángulo 21) Ecuaciones trigonométricas 22) Teoremas fundamentales para resolución de triángulos oblicuángulos

23) Facsímil de PSU trigonometría N°1 24) Facsímil de PSU trigonometría N°2 25) Bibliografía


1.- Introducción

El texto “Introducción al Calculo Infinitesimal” ha sido creado para ayudar a los estudiantes a reforzar sus conocimientos en dicho tema; además, puede servir como respaldo a trabajos escolares y podrá responder a diferentes inquietudes que pudieren presentarse a los alumnos.

Este proyecto ayuda a comprender de variadas formas los métodos posibles para desarrollar los temas sobre la trigonometría. Personalmente, nos permitió reestudiar la materia vista este año, para no olvidar fácilmente lo aprendido.

Al entender la trigonometría, fácilmente podemos notar cómo aplicarla a la vida real.

Al determinar el ángulo dado por el extremo de una pirámide, por ejemplo, vemos que son 4 triángulos rectángulos unidos por uno de sus catetos, de manera que usando una función trigonométrica podemos obtener el valor buscado. Así como en otros casos, es necesario saber los temas que este libro abarca.

Ser un buen estudiante implica ser de los mejores, realizar las actividades y sobre todo tener las ganas. Esto dará todos los instrumentos necesarios para lograr tal objetivo.


2.- Prólogo El estudio de la matemática es, sin duda, un factor fundamental en el desarrollo de las habilidades básicas necesarias para el ser humano post-moderno, tales como la rápida comprensión, análisis, interpretación e inferencia, entre otras. Ellas son imprescindibles para enfrentar cualquier situación de nuestras vidas.

relacionados con la trigonometría, para lo cual se entregarán en este texto de manera metódica y clara los conocimientos considerados de mayor importancia por los entendidos en el tema.

La ciencia deductiva de los entes abstractos entrega instrumentos cognitivos imprescindibles al momento de enfrentarse a las dificultades propias del diario vivir, más aun la trigonometría, que tiene una aplicación mucho más concreta y aparentemente más cercana a la realidad cotidiana.

El trabajo de recopilación y adaptación de la información obtenida está hecho de tal forma, que los conocimientos transmitidos por este medio serán probablemente asimilados sin mayores dificultades, incluso, con más facilidad que un texto científico de mayor complejidad. Esto se respalda en el hecho de que los autores de la obra son justamente estudiantes, pares de los receptores, lo cual genera rápidamente una favorable empatía.

Es por los motivos anteriormente señalados, que es primordial manejar contenidos

Finalmente, es necesario dar a conocer que el objetivo de este texto es lograr que los


estudiantes de enseñanza media logren, a través del correcto uso de este material y complementándolo con la labor de un guía, internalizar de manera

satisfactoria lo más elemental de la trigonometría para su posterior correcto uso en las situaciones que sean necesarias bajo cualquier ámbito del saber .

3.- Historia de la trigonometría La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r. 300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios. Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo. Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas. A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas


El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje. A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.

Hiparco de Nicea (c. 190-120 a.C), Hiparco de Nicea fue astrónomo griego, el más importante de su época. Nació en Nicea, Bitinia (hoy Iznik, Turquía). Fue extremadamente preciso en sus investigaciones, de las que conocemos parte por comentarse en el tratado científico Almagesto del astrónomo alejandrino Tolomeo, sobre quien ejerció gran influencia. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la precisión de los equinoccios .Sus cálculos del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas. También inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes. Catalogó, hizo gráficos y calculó el brillo de unas mil estrellas. También recopiló una tabla de cuerdas trigonométricas que fueron la base de la trigonometría moderna.

Tolomeo


(c. 100-c. 170), Claudio Tolomeo, astrónomo y matemático que dominó el pensamiento científico hasta el siglo XVI por sus teorías y explicaciones astronómicas. Posiblemente nació en Grecia, pero su verdadero nombre, Claudius Ptolemaeus, dice lo que realmente se sabe de él: 'Ptolemaeus' indica que vivía en Egipto y 'Claudius' que era ciudadano romano. Contribuyó con sus estudios en trigonometría y aplicó sus teorías a la construcción de astrolabios y relojes de sol.

Euler (1707-1783), Leonhard Euler fue un matemático suizo, sus trabajos se centraron en el campo de las matemáticas puras, Euler nació en Basilea y se licenció a los 16 años. En 1727, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrático de física en 1730 y de matemáticas en 1733. En 1741 fue profesor de matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta su muerte. Aunque tuvo una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y una ceguera casi total al final de su vida, produjo obras matemáticas importantes, como reseñas matemáticas y científicas. En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), trató la trigonometría y la geometría analítica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral (1768-1770) e Introducción al álgebra (1770).

John Napier (1550-1617), Napier fue un matemático escocés nacido en Merchiston, cerca de Edimburgo. Estudió en la Universidad de San Andrés y allí fue seguidor del movimiento de la Reforma en Escocia, después de unos años tomó parte en los asuntos políticos de los protestantes y es autor de la primera interpretación importante en Escocia de la Biblia. Principalmente es conocido por introducir el primer sistema de logaritmos, (1614). Además, fue uno de los primeros, si no el primero, en utilizar la moderna notación decimal para expresar fracciones decimales de una forma sistemática.

Pitágoras de Samos


(siglo VI A.C.). Se dice que fue discípulo de Tales, pero apartándose de la escuela jónica fundo en trotona, italia, la escuela pitagórica. Los egipcios conocieron la propiedad del triangulo rectángulo cuyos lados miden 3,4 y 5 unidades, en los que se verifica la relación 5² = 3² + 4², pero el descubrimiento de la relación a² = b² +c¹ para cualquier triangulo rectángulo y su demostración de deben indiscutiblemente a Pitágoras. Se atribuye también ala escuela pitagórica la demostración de la propiedad de la suma de los ángulos internos de un triangulo y la construcción geométrica del polígono estrellado de cinco lados.

Euclides (siglo IV A.C.) escribió una de las obras más famosas de todos los tiempos llamada Elementos, que constan de trece capítulos titulados “libros”. De esta obra se han hecho tantas ediciones que solo la aventaja La Biblia Euclides construyó la geometría partiendo desde definiciones, postulados y otros teoremas. El edificio geométrico construido por Euclides ha sobrevivido hasta nuestros días. El contenido de los 13 libros es el siguiente: a) Libro I: Relación de igualdad de triángulos. Teoremas sobre paralelas. Suma de los ángulos de un polígono. Igualdad de las áreas o paralelogramos de igual base y altura. Teorema de Pitágoras. b) Libro II: Conjuntos de relaciones de igualdad entre área de rectángulos que conducen a la resolución geométrica de la ecuación de segundo grado. c) Libro III: Circunferencia, ángulo inscrito d) Libro IV: Construcción de polígonos regulares inscritos o circunscritos a una circunferencia e) Libro V: Teorema general de la medida de magnitudes bajo formas geometría, hasta los números irracionales f) Libro VI: Proporciones. triángulos semejantes.pr g) Libro VII, VIII y IX: Aritmética: proporciones, máximo común divisor y números primos h) Libro X: Números inconmensurables bajo forma geométrica a partir de los radicales cuadráticos


i) Libro XI y XII: Geometría del espacio y, en particular, relación entre volúmenes de prismas y pirámides; cilindro y cono; proporcionalidad de un volumen de una esfera al cubo del diámetro. j) Libro XIII: Construcción de los cinco poliedros regulares

Platón (Siglo IV A.C.). En la primera mitad de este siglo, se inició en Atenas un movimiento científico a través de la academia de platón. Para él, la matemática no tiene finalidad práctica sino simplemente se cultiva con el único fin de conocer. Por esta razón, se opuso alas aplicaciones de la geometría. Dividió la geometría en elemental y superior. La geometría elemental comprendía todos lo problemas que se podía resolver con regla y compas. La geométrica superior estudiaba los 3 problemas más famosos de la geometría antigua no resolubles con regla y compas 1. la cuadratura del círculo. Se trata , como indica su nombre de construir el lado de un cuadrado que tenga la misma área que un circulo dado , utilizando solamente la regla y el compas 2. la trisección del ángulo. El problema de dividir un ángulo en tres partes iguales utilizando solamente la regla y el compas no es , mas que en casos particulares, resolubles 3. la duplicación del cubo. Este problema consiste en hallar , mediante una construcción geométrica , en la que se utilice solo la regla y el compas , un cubo que tenga un volumen doble de el de un cubo dado Estos tres problemas se puede resolver con la regla y el compas con toda la aproximación que se desee. Y se resuelven exactamente utilizando curvas especiales. No se trata por consiguiente de problemas que no se hayan resuelto en la práctica, sino de problemas de importancia puramente teórica. Así pues, se pretendía clarificar la historia de la trigonometría para tener una visión mucho más amplia de su desarrollo y de igual manera un mayor entendimiento acerca del tema.


Fue así, como la trigonometría avanzó, hasta convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática. Pero esto no quiere decir que los avances, descubrimientos e investigaciones no hayan continuado. El estudio de la trigonometría actualmente no se limita a las relaciones entre los elementos de un triángulo y a sus aplicaciones. Hoy en día, la trigonometría es parte de la matemática y se emplea en muchos campos del conocimiento tanto teóricos como prácticos, e interviene en toda clase de investigaciones geométricas y algebraicas en las cuales aparecen las llamadas funciones trigonométricas, de gran aplicación además en la electricidad, termodinámica, investigación atómica etc.

No está demás aclarar que la palabra trigonometría deriva de dos raíces griegas: trigon, que significa triángulo, y metra, que significa medida, entonces, se tiende a creer su aplicación solo se limita o refiere a las varias relaciones entre los ángulos de un triángulo y sus lados. Sin embargo, el hombre la ha empleado para calcular áreas, distancias, trayectorias y en el estudio de la mecánica etc., con base en la resolución de triángulos. La trigonometría, que al principio aparece como parte de la geometría, ocupada de formular relaciones entre las medidas angulares y las longitudes de los lados de un triángulo, y que surgió para resolver inicialmente problemas de exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios por parte de los griegos, posteriormente se ha convertido también el fundamento de los cálculos astronómicos. Por ejemplo, la solución del llamado triángulo astronómico se utiliza para encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del día, la posición de una estrella y otras magnitudes. Así pues, esta misma trigonometría se dividió en dos ramas fundamentales, que son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se usa sobre todo en navegación y astronomía y estudia triángulos esféricos, es decir, triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.


4.-Ángulos orientados Un ángulo es la porción de plano comprendida entre dos semirrectas que se cortan en un punto denominado vértice; a las semirrectas se le llama lados. Para designar a los ángulos se utilizan tres letras: dos para los lados y uno para el vértice, o bien con una sola letra colocada en el vértice, normalmente del alfabeto griego.

Diremos que un ángulo está orientado en sentido positivo, si dicho ángulo está en sentido contrario a las agujas del reloj. En caso contrario se dice de sentido negativo.

Ángulo BOC es positivo


Ángulo BOA es negativo

5.- Sistemas de Medición de Ángulos Para medir ángulos pueden adoptarse distintas unidades. Los sistemas más usados son:

sistema centesimal, la circunferencia se divide en 400 partes iguales, cada una de ellas llamada grado centesimal ( g). cada grado tiene 100 minutos centesimales ( m) y cada minuto tiene 100 segundos centesimales (s). 

Sistema sexagesimal , cuya unidad de medida angular es el grado sexagesimal, que es la noventa-ava parte del ángulo recto y se simboliza 1º. La sesenta- ava parte de un grado es un minuto (1’) y la sesenta- ava parte de un minuto es un segundo (1”). 

ángulo recto 1º 90

1º 1' 60

1' 1" 60

Un ángulo llano mide 180º y un giro completo mide 360º.

Sistema circular o radial , cuya unidad de medida es el radián. La proporcionalidad que existe entre la longitud s de los arcos de dos circunferencias concéntricas cualesquiera determinados por un ángulo central α y los radios r correspondientes, permite tomar como medida arco  s . Un ángulo central de 1 radián es del ángulo el cociente 

radio r

aquel que determina un arco que tiene una longitud igual al radio. s = r , r 2 r 1

s



s 1

por lo tanto s 1 . r

s 3

2

Un

radián

es la medida del ángulo con


Ejemplo: Si  determina un arco de 6 cm en una circunferencia de 2 cm de radio, 6 cm  3 . En el sistema circular, β entonces la medida en radianes de β es: s  r 2 cm mide 3 radianes, o decimos que mide 3, sin indicar la unidad de medida. La medida en radianes de un ángulo de un giro es 2..r  2 .

r La medida en radianes de un ángulo llano, que es la mitad de un giro, es 2..  2

La medida en radianes de un ángulo recto es

. 2

Para relacionar un sistema de medición con otro, observamos la siguiente tabla: Ángulo

Sistema sexagesimal

Sistema circular

1 giro

360º

2

llano

180º



recto

90º

/2

¿A cuántos grados sexagesimales equivale un radián? Haciendo uso de las proporciones y teniendo en cuenta la medida del ángulo llano, tenemos


180º 1180º  57º 17' 45"

π

1



es aproximadamente igual a 3,14. Un ángulo de equivale a un ángulo de 180º. Pero   180. Nota: 



radianes

Actividad: 1) Expresar en radianes las medidas de los ángulos, si es posible, utilizando fracciones de : a) 30º b) 45º c) 60º d) 120º 2) Expresar en grados sexagesimales los siguientes ángulos medidos en radianes: /2 2 1/2 2 3) Efectuar las siguientes operaciones. a) Hallar el ángulo complementario de 56º 41’ 27’’ b) Hallar el ángulo suplementario de 102º 25’ c) ¿Cuánto mide el ángulo que supera en 12º 33’ a la quinta parte de 39º 40’ ? d) El minutero de un reloj es de 12 cm de largo. ¿Qué recorrido realiza la punta de la manecilla en 20 minutos? 4) Expresa en grados sexagesimales: i) 3π/5 ii)5π/3 iii) 4π/5 iv) 5π/6

v) 9π/10

vi) π/12

5) Expresa en radianes: i) 310° ii) 75° iii) 600°

v)35°

vi) 220°

iv) 12°


6.- Razones Trigonométricas y sus recíprocas en el triángulo rectángulo De un triángulo rectángulo ABC como se muestra en la figura:

Seno Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Se denota por sen B.

Coseno


Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa. Se denota por cos B.

Tangente Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo. Se denota por tan B.

Cosecante Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B. Se denota por cosec B.

Secante Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B. Se denota por sec B.


Cotangente Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B. Se denota por cotg B.

Guía de ejercicios: 1) Calcular las demás razones trigonométricas sabiendo que: i) cosA= 4/5 ii) senA= 1/√5 iii) tanA= √2/4

iv) cotgA= 2 v) cscA= 2 vi) senδ= 0,3 vii) cotgφ= 1,2 viii) senθ= 5/12

ix) tanB= 1/3 x) cosC= 7/25 2) Encuentre el valor de: i) senγ – cosγ, si tanγ= 1/b ii) cos2ω -1, si secω= (1+a)/(1-a)


7.- Razones trigonométricas de ángulos complementarios Podemos desarrollas las funciones trigonométricas de ángulos complementarios mediante triángulos rectángulos, ya que los ángulos que no son rectos son complementarios entre si: a + b = 90º entonces b = 90º-a

tg (90 - a) = cotg a cotg (90 - a) = tg a sec (90 - a) = cosec a cosec (90 - a) = sec a

Ejemplo:


8.- Circunferencia goniométrica Circunferencia goniométrica, circunferencia de radio unidad sobre la cual se representan los ángulos para que se puedan visualizar sus razones trigonométricas. Sobre un sistema de ejes coordenados con centro en el origen, O, se traza una circunferencia de radio unidad:

El vértice del ángulo se sitúa en O, el primero de sus lados, a, sobre la parte positiva del eje de las X, y el segundo lado, b, se abre girando en sentido contrario a las agujas del reloj. Este segundo lado corta a la circunferencia goniométrica en un punto P cuyas coordenadas son c = cos a y s = sen a. La tangente t se sitúa sobre la recta r tangente a la circunferencia en U y queda determinada por el punto T , en el que el lado b, o su prolongación, corta a r .

La circunferencia goniométrica – Ángulos orientados Cuando trabajamos en radianes, las medidas de los ángulos son números reales. Si definimos ángulos orientados esta medida puede tomar valores negativos. Al trabajar con un ángulo en un sistema de coordenadas cartesianas, éste está generado por la rotación de una semirrecta o rayo que parte del semieje positivo de las x.


Si el lado gira en sentido contrario a las agujas del reloj, se dice que el ángulo es positivo. Y es negativo cuando está generado en sentido horario. Puede, además, realizar más de un giro completo. Para referirnos a su ubicación, consideramos el plano cartesiano divido en cuatro sectores, llamados cuadrantes y una circunferencia con centro en el origen y radio 1 que llamaremos circunferencia goniométrica. P1

II cuadrante

I cuadrante

sen  

P0



En la figura, como r = 1 tenemos que:



y0 y 0   y0  r 1

el segmento de

ordenadas está relacionado con el sen  .



δ

P2 P3 III cuadrante

IV cuadrante

cos  

x0 x0  r 1



x0



El segmento de

abscisas está relacionado con el



Para hallar el segmento asociado al sen , se construye en el segundo cuadrante el triángulo rectángulo con las componentes de P 1 y el segmento de ordenadas corresponde a seno de . Análogamente sucede con los ángulos del tercer y cuarto cuadrante, donde el segmento de ordenada se asocia con el seno del ángulo y el segmento de abscisa, con el coseno del ángulo. Los signos de los valores de las relaciones trigonométricas de los distintos cuadrantes dependen de los signos de las coordenadas del punto sobre el lado terminal del ángulo.Esta información se resume en la siguiente tabla, que se debe completar:

Actividad: I II III

sen  +

cos  +

tg  +

cosec 

sec 

 

cotg 


IV



9.- Razones trigonométricas de ángulos notables (30º, 45º y 60º) Si dibujamos un triángulo equilátero ABC, cada uno de sus tres ángulos mide 60º y, si trazamos una altura del mismo, h, el ángulo del vértice A por el que la hemos trazado queda dividido en dos iguales de 30º cada uno. Recurriendo al Teorema de Pitágoras, tenemos que la altura es:

Seno, coseno y tangente de 45


10.- Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales °

II

I 0° 360°

°

III

IV

270°

0°

90°

180°

270°

360°

Seno

0

1

0

-1

0

Coseno

1

0

-1

0

1

Tangente

0

Cosecante Secante Cotangente

: No existe

Ejercicios:

0 1

1

0 -1

-1 0

1 0


i) sen30° + tan 45° ii) 3Tan260° - 3/4sen270° iii) (Csc270° - sen30°) 2 iv) ½Cos60° - 1/4tn30° + 1 v) cos30°cos60° - sen30°sen60° vi) sen30°cos60° + cos30° sen60° vii) Sen90° • cos45° - 3cos45° - 3cos90° • sen60° viii) (tan60° - tan30°) : (1 + tan30°tan60°) ix) (tan60° - sen45°) : -(1 + sen45° + cos45°) x) (csc30° + csc 60° + csc90°) : (sec0° + sec30° + sec60°) xi) 2sec45° - 3 sec230° xii) 3tan2 30° + 4/3(cos230°) - (sec245°)/2 – 1/3 (sen260°) xiii) ( 1 + sec 230°) : (tan60° + sec30°) – tan245° xiv) sen180° + 2 cos180° + 3csc270° + 5 cos270° - 5sec180° - 6 csc270° xv) (sen30° - cos20° + tan260°) : (3sec30° + cos 245°) xvi) [sen60° - cos30° + tan245°] : 3cosec30° xvii) (tan30°sen30°cos30°) : (tan45°cos45°) xviii) (sen45° + tan45°) : (cos45° - cotg45°) xix) sen30° + cos245° - 2tan230° xx) 5cos245° - 2cos20° + cotg 30° - 2 cotg90° + 2/3(sen180°) – sen30°cos260°

11.- Resolución de triángulos rectángulos Resolver un triángulo es conocer el valor de sus tres lados y sus tres ángulos. Una de las aplicaciones más inmediatas de la trigonometría es la


resolución de triángulos. También veremos como resolver triángulos no rectángulos por descomposición en triángulos rectángulos. El uso de las razones trigonométricas junto con el teorema de Pitágoras, nos permiten resolver cualquier triángulo rectángulo conociendo dos datos, uno de ellos ha de ser un lado.

i) Se conocen la hipotenusa y un cateto

*Resolver el triángulo conociendo: 1) 2) 3) 4)

a = 415 m y b = 280 m. sen B = 280/415 = 0.6747 B = arc sen 0.6747 = 42° 25′ C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′ c = a cos B c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m

ii) Se conocen los dos catetos



b = 33 m y c = 21 m. tg B = 33/21 = 1.5714 B = 57° 32′ C = 90° - 57° 32′ = 32° 28′ a = b/sen B a = 33/0.5437 = 39.12 m

iii) Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo


a = 45 m y B = 22°. C = 90° - 22° = 68° b = a sen 22° b = 45 · 0.3746 = 16.85 m c = a cos 22° c = 45 · 0.9272 = 41.72 m

iv) Se conocen un cateto y un ángulo agudo



b = 5.2 m y B = 37º C = 90° - 37° = 53º - a = b/sen B a = 5.2/0.6018 = 8.64 m - c = b · cotg B c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m

12.- Ángulos de elevación y depresión Los ángulos de elevación y de depresión, son los que se forman por la línea visual y la línea l ínea horizontal. Se llama línea visual (o de visión) a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lugar observado.


En la imagen, A observa a B

Ángulo de elevación Llamamos ángulo de elevación al que forman la horizontal del observador y el lugar observado, cuando éste está situado arriba del observador.

En la imagen, A observa a B. : ángulo de elevación

H : horizontal del observador observador

Ángulo de depresión Cuando el observador está más alto lo llamaremos ll amaremos ángulo ángulo de depresión. En la imagen, el observador ahora está en la torre, hablaremos entonces entonces de un ángulo de depresión. d epresión.


En la imagen B observa a A. :

ángulo de depresión

H : horizontal del observador observador

Ejemplo: Una piedra que está en el suelo se encuentra a 20 metros de un árbol con un ángulo de elevación de 60°. ¿Cuál es la altura del árbol? Solución: El árbol es perpendicular al suelo, entonces su dibujo es:

Los datos corresponden a los catetos del triángulo rectángulo y la función trigonométrica trigonométrica que los relaciona es la tangente, entonces:


Ejemplo 2: Una persona se encuentra en la parte superior de un faro de 30 metros de altura y observa un gato que se encuentra en el techo de una casa de 5 metros de altura, con un ángulo de depresión de 30º. ¿Cuál es la distancia entre el gato y la persona?

Los datos que se tienen corresponden al cateto opuesto y a la hipotenusa, del triángulo rectángulo formado. La función trigonométrica que los relaciona es el seno, entonces:


Ejercicios 1) Desde un punto al nivel del suelo y a 135 metros de la base de una torre, el ángulo de elevación a la parte más alta de la torre es 57°. Calcular la altura de la torre. [R=207,88] 2). Un cable está sujeto a lo alto de una antena de radio y a un punto en el suelo horizontal que está a 40m de la base de la antena. Si el alambre hace un ángulo de 58° con el suelo, encuentre la longitud del alambre. [R=75,48] 3) Para medir la altura de una capa de nubes, un estudiante de meteorología dirige la luz de un faro verticalmente hacia arriba desde el suelo. Desde un punto P situado a 1000m del faro, se mide el ángulo de elevación de la imagen de la luz en las nubes, siendo esta de 59°. Hallar la altura de la capa de nubes. [R=1 664,28] 4) Calcular el ángulo de elevación al sol, si una persona que mide 165cm de estatura proyecta una sombra de 132cm de largo a nivel del suelo. [R=51°] 5) Un constructor desea construir una rampa de 8m de largo que se levanta a una altura de 1.65m sobre el nivel del suelo. Encuentre el ángulo de la rampa con la horizontal. [R=12°]

13.- Resolución de Problemas A continuación, una serie de ejemplos para resolver distintos tipos de problemas sobre lo aprendido.


Nota: Todas las operaciones están aproximadas con dos o tres decimales.

Ejemplo 1: Calcula las razones trigonométricas del ángulo α : Los tres lados del triángulo son conocidos, así que para calcular las razones trigonométricas sólo tenemos que aplicar las fórmulas y sustituir. Para el ángulo α el cateo opuesto es 9, el co ntiguo 12 y la hipotenusa 15.

Ejemplo 2: Calcula las razones trigonométricas del ángulo C del siguiente triángulo Ahora en este ejercicio ya no tenemos los tres lados, falta uno de los catetos y para calcularlo vamos a utilizar el Teorema de Pitágoras.

Lo primero ponerle nombre a los lados. Vamos a llamarle con letras minúsculas a los lados que están enfrente del ángulo con la correspondiente letra mayúscula; es decir a = 14 m, b = 8 m y c es el lado que queremos calcular. Aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos:


a2 = b2 + c 2 142= 82 + c2 196 = 64 + c2 196 - 64 = c2 132 = c2 11,49 = c

y aplicando las fórmulas tenemos:

Luego c = 11, 49 m.

Ejemplo 3: Determina los ángulos del ejercicio anterior Obviamente ya sabemos que el ángulo A es el ángulo recto y por tanto A = 90º. Para calcular los otros dos vamos a hacerlo con las razones trigonométricas y con la ayuda de la calculadora. Si queremos calcular el ángulo C con los datos que parto, lo primero es identificar los lados que conozco respecto al ángulo C, que en este caso son cateto contiguo e hipotenusa y pienso en qué razón trigonométrica intervienen esos lados. La respuesta es el coseno, así que calculo cos C. Cos C = 8 / 14 = 0,57. Ahora con la calculadora sacamos cuál es el ángulo, utilizando la función inversa de la tecla "cos", y el resultado es C = 55,25º. Para calcular B puedo hacer lo mismo, pensar qué razón puedo calcular, o como ya tengo dos ángulos, sacarlo de que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180º ( A + B + C = 180). Por cualquier camino el resultado es B = 34,75º.

Ejemplo 4: De un triángulo rectángulo se sabe que uno de sus ángulos agudos es 40º y que el cateto opuesto a éste mide 10m. Calcula el ángulo y los lados que faltan.


Lo primero es hacer un dibujo que nos aclare la situación y ponerle nombre a los lados y ángulos. Esta sería nuestra situación. Para empezar los más fácil es sacar el ángulo que falta, y aplicando que la suma de los tres es 180, el ángulo B vale 50º. Vamos a calcular ahora por ejemplo el lado "b". Si me fijo en el ángulo C, el lado que sé es el cateto opuesto y el que pretendo calcular es el contiguo. Como la razón trigonométrica en la que intervienen estos es la tangente, voy a calcularla con la calculadora y despejar a partir de ahí:

Por tanto ya tenemos el lado "b". Para calcular el lado "a" podríamos aplicar Pitágoras o sacarlo por alguna razón. Vamos a seguir este camino que será más corto. Por ejemplo, fijémonos en el lado "c" y el ángulo "C", aunque ya se podría utilizar cualquiera de los datos. Para el ángulo "C", tenemos cateto opuesto y necesitamos la hipotenusa; así que habrá que utilizar el seno:

Ejemplo 5: Calcula la altura de la torre si nuestro personaje está a 7 m de la base


de la torre, el ángulo con el que está observando la cúspide es de 60º y sostiene el artilugio a una altura de 1,5 m.

Para comenzar, vamos a hacer un dibujo que aclare un poco la situación poniendo los datos que conocemos. Si nos fijamos en el triángulo, el lado c mide 7 m y una vez que tengamos calculado el lado b, para calcular la altura de la torre sólo tendremos que sumarle los 1,5 m. Así pues, vamos a calcular el lado b. Para el ángulo 60º, el lado que conozco es el cateto contiguo y el que quiero calcular es el cateto opuesto, así pues planteo la tangente de 60º.

Por tanto la altura de la torre es 12,11 m + 1,5 m = 13, 61 m.

Ejemplo 6: El seno de cierto ángulo α del segundo cuadrante vale 0,45. Calcula el coseno y la tangente.

Para resolver este ejercicio tenemos que recurrir a las relaciones trigonométricas. De la primera sacaremos el valor del coseno y una vez que lo tengamos sacaremos la tangente: Sacamos el valor del coseno despejándolo de la fórmula: sen2α + cos2α = 1.

Como nuestro ángulo está en el segundo cuadrante y en ese cuadrante el coseno es negativo, tenemos que quedarnos con el signo -, por tanto cos α = - 0,893.


Para calcular el valor de la tangente, aplicamos la segunda fórmula:

Ejemplo 7: Sabiendo que cos 42º = 0,74. Calcula: sen 222º, tg 138º, cos 48º y sen 318º sen 222º El ángulo 222º pertenece al tercer cuadrante. Vamos a ver con que ángulo del primero se re laciona: α = 222 º - 180º = 42º. Por tanto y teniendo en cuenta que el seno en el tercer cuadrante es negativo, sen222º = - sen 42º = - 0,669 (Para calcular el sen 42º seguimos el mismo procedimiento que en el ejercicio 6). tg 138º 138º está en el segundo cuadrante y se relaciona del primero con α = 180º - 138º = 42º, que vuelve a ser el ángulo que conocemos. Como la tangente es negativa en el segundo cuadrante, tg 138º= - tg 42º= -0,9 (tg 42º lo calculamos igual que en el ejercicio 6) cos 48º 48º es del primer cuadrante, pero cumple que es el complementario del ángulo que conozco 42º. Entonces cos 48º = sen 42º = 0,669. sen 318º 318º está en el cuarto cuadrante y se relaciona con 360º - 318º = 42. Entonces sen 318 º= - sen 42º = - 0,669

Ejercicios: 1) En un triángulo rectángulo isósceles la hipotenusa es igual a 7 cm. ¿Cuánto miden los catetos? 2) Un triángulo rectángulo tiene un ángulo B=37°45’28”. Calcula el ángulo C.


3) En un triángulo rectángulo ABC se conocen la hipotenusa a=15 cm y el ángulo B=20°. Halla los restantes elementos. 4) En un triángulo rectángulo ABC se conocen el lado b=102,4 m y el ángulo B=55°, Resuelve el triángulo. 5) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide a=25 m y el cateto B=20 m. resuelve el triángulo. 6) Los catetos de un triángulo miden b= 8 cm y c=24 cm. Halla los restantes elementos del triángulo. 7) Calcula el radio y el apotema de un octógono de lado 10 cm. 8) Los catetos de un triángulo rectángulo son 3 y 4 m. Halla la altura correspondiente a la hipotenusa 9) Halla el radio de la circunferencia sabiendo que una cuerda de 24,6 m tiene como arco correspondiente uno de 70°. 10) La base de un triángulo isósceles miden 10 m y el ángulo opuesto 50°. Halla el área. 11) Una moneda de 25 pesetas mide 2,5 cm de diámetro. Halla el ángulo que forman las tangentes a dicha moneda desde un punto situado a 6 cm del centro. 12) Un ángulo de elevación de la veleta de la torre es de 45°15’’, a una distancia de 172 m de la torre. Si el observador se encuentra a 1,10 metros sobre el suelo, calcula la altura de la torre.

13) Se desea calcular la altura de una torre de lanzamiento de cohetes; para ello se hacen dos observaciones desde los puntos A y B, obteniendo como ángulos de elevación 30° y 45°, respectivamente. La distancia AB=30 m. Halla la altura de la torre. 14) Pedro y Ana ven desde las puertas de sus casas una torre de televisión, bajo los ángulos de 45° y 60°. la distancia entre las casas es de 126 m y la antena está situada entre sus casas. Halla la altura de la torre. 15) Dos amigos han creído ver un OVNI, desde dos puntos situados a 800 m, con ángulos de elevación 30° y 75°, respectivamente. ¿Sabrías hallar la altura a la que se encuentra el OVNI? 16) halla el área de u pentágono regular de lado 10 m.


17) Halla el área de un octógono regular de lado 1o m. 18) En un ∆ ABC se conoce el lado a=BC=10 m., el ABC=105° y el ACB = 30°. Halla los lados y el área del triángulo. 19) Los catetos de un triángulo rectángulo son iguales y miden 10 m. Halla la altura sobre la hipotenusa. 20) Calcula el lado del pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 10m.

14.- Signo de las razones trigonométricas De acuerdo con el cuadrante en que se halle el lado terminal del ángulo y teniendo en cuenta que la distancia de un punto cualquiera al origen de coordenadas es siempre positiva, y aplicando la " ley de los signos", las razones trigonométricas pueden ser positivas o negativas.


Sea P = (a,b) punto sobre el círculo unitario que corresponde al ángulo  . Si sabemos en que cuadrante está el punto P, entonces podemos determinar los signos de las funciones trigonométricas de  . Por ejemplo, si P = (a,b) esta en el cuarto cuadrante, entonces sabemos que a >0 y que b<0.

Guía de ejercicios: En los siguientes problemas diga en que cuadrante esta el ángulo  . 1) sen  > 0, cos  < 0 2) sen  < 0, cos  > 0 3) sen  < 0, tan  < 0 4) cos  > 0, tan  > 0 5) cos  > 0, tan  < 0 6) cos  < 0, tan  > 0 7) sec  < 0, sen  > 0 8) csc  < 0, cos  < 0

15.- Reducción al primer cuadrante Es conveniente reducir una función trigonométrica de un ángulo cualquiera a su equivalente de un ángulo del primer cuadrante. Para tal efecto, vamos a deducir las fórmulas para calcular las funciones trigonométricas de (180° - a), (180° + a) y (360° - a). También, vamos a constatar que "las funciones trigonométricas de un ángulo, en el primer cuadrante, son iguales a las cofunciones del ángulo complementario".


Además, vamos a calcular las funciones trigonométricas del negativo de un ángulo.

Ángulos

Ángulos Suplementarios

Complementarios


Ángulos que difieren en 180°

Ángulos Opuestos


Ángulos Negativos


Mayores de 360°



Ángulos que suman en 270°




Ejercicios: I. Reduce al primer cuadrante cada una de las expresiones siguientes. i) sec (-830º) ii) csc(-1.200º) iii) tg2.295º iv) sen (2    ) – cos(  -



) + cot g(  -



)

v) sen195º+sec195º+csc345º vi) csc1.590º vii) sec(-945º) viii) ctg600º ix) sen225º+cos225º - tg225º x) sec(-30º) xi) cosec315º + sec 315º - cos( -315º) xii) cosec(-45º) + cot g(-60º) xiii) sen120º-2 ×cos120º xiv) tg(-60º) + cot g(-420º) II. Relaciona las razones trigonométricas de un ángulo de 210º con las de un ángulo del primer cuadrante. III. Considera un ángulo de 850º. Redúcelo a un ángulo menor a 360º y relaciona las razones trigonométricas con las de un ángulo del primer cuadrante.

16.- Gráfica de la funciones trigonométricas


Funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas son funciones muy utilizadas en las ciencias naturales para analizar fenómenos periódicos tales como: movimiento ondulatorio, corriente eléctrica alterna, cuerdas vibrantes, oscilación de péndulos, ciclos comerciales, movimiento periódico de los planetas, ciclos biológicos, etc. En aplicaciones de las funciones trigonométricas relacionadas con fenómenos que se repiten periódicamente, se requiere que sus dominios sean conjuntos de números reales. Para la obtención de valores de las funciones trigonométricas de números reales con una calculadora por ejemplo, se debe usar el modo radián.

La función seno La función seno es la función definida por: f(x)= sen x. Características de la función seno 1. Dominio: IR Recorrido: [-1, 1] 2. El período de la función seno es 2 . 3. La función y=sen x es impar, ya que sen(-x)=-sen x, para todo x en IR. 4. La gráfica de y=sen x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =n π. para todo número entero n. 5. El valor máximo de senx es 1, y el mínimo valor es -1. La amplitud de la función y=senx es 1.

y = sen x La función coseno


La función coseno es la función definida por: f(x)= cos x. Características de la función coseno 1. Dominio: IR Recorrido: [-1, 1] 2. Es una función periódica, y su período es 2 . 3. La función y=cosx es par, ya que cos(-x)=cos x, para todo x en IR. 4. La gráfica de y=cosx intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son:

,para todo número entero n. 5. El valor máximo de cos x es 1, y el valor mínimo valor es -1. La amplitud de la función y=cosx es 1.

y = cos x

Función Tangente Características de la función tangente


1. Dominio:

Recorrido: IR 2. La función tangente es una función periódica, y su período es π. 3. La función y=tan x es una función impar, ya que tan(-x)=-tan x. 4. La gráfica de y=tan x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =n , para todo número entero n.

y = tan x

17.- Identidades trigonométricas básicas y pitagóricas Una identidad trigonométrica es una relación de igualdad entre expresiones trigonométricas que son verdaderas para todas las medidas angulares para las cuales están definidas.


Ejemplo: sen2+ cos2 = 1 Las identidades trigonométricas son útiles para reducir, simplificar o transformar otras expresiones trigonométricas como también para demostrar nuevas identidades

Identidades trigonométricas básicas: B 1

sen 

c

a

csc 

csc 1

sen

cos  



C

A

b

Sen •csc = 1

sec  

tan   cot  

Csc • sen = 1

1 sec  1

Cos • sec = 1

cos  Sec •cos = 1

1 cot  1

Tan •cot  = 1

tan  Cot  •tan = 1

tan  

sen

cot  

cos

cos

sen

Identidades trigonométricas pitagóricas: B

Relaciones pitagóricas: sen 2  cos 2   1 tan   1  sec  2

2

1  cot 2   csc 2 

c

a




b

A De acuerdo al Teorema de Pitágoras: Dividiendo entre

a2 c2

c2

2

b2  2 c

a2  b2  c2

c2  2 c

2

a   b  De donde      1

 c 

 c 

2 2 Por tanto sen   cos   1

Ejercicios: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

senxcsc x  1 senx sec x  tan x cot x sec xsenx  1

sen 2 x  cos x  sec x cos x sen 2 x  1  cos2 x cot 2 xsen 2 x  1  sen 2 x 2 (1  senx)(1  senx)  cos x cos2 x  sen 2 x  1  2 sen 2 x ( senx  cos x) 2  1  2 senx cos x

x  cot2 x  1 18. Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos 2

10. csc

C


Ejemplo:

Ejercicios: i) tan( x  y ) 

ii)

cos( x  y ) cos xseny

sen( x  y )



cos( x  y ) cot y  tan x


iii) sen15º  ? iv) cos165º  ? v) tan120º  ? vi)

vii)

cos( x  y ) cos xseny



tan x  tan y

cos( x  y )  cos( x  y )

sen( x  y )  sen( x  y )

viii) tan x  tan y





tan y

sen( x  y) cos x cos y

ix) tan135º  ? x) sec15º  ?

19.- Identidades trigonométricas del ángulo doble

Ejemplo:


Ejercicios: i) 1  cos 2 x  tan xsen2 x 2 ii) ( senx  cos x )  1  sen2 x iii) sen2 x  (tan x)(1  cos 2 x) iv) tan 2 x  v) cot 2 x  vi) cot 2 x 

2 cot x  tan x cot 2 x  1 2 cot x

cot x  tan x 2

2 2 vii) sec x  (sec 2 x)(2  sec x)

viii)

2 tan x

sen2 x

ix)

tan 2 x 

x)

2 csc 2 x



sec 2 x

2 cot x cot 2 x  1 1  tan 2 x



tan x

20.- Identidades trigonométricas del valor medio de un ángulo


Ejemplo:

Ejercicios: i) sen15° + cos165° ii) tan 120° - cos22,5° iii) csc 105°cos135° iv) senXsecX = tanX v) (1 – sen2A)(1 + sen 2A) = 1 vi) 1 + tan 2X = sec2X vii) [√(1 + tan2A)] : tanA = cscA viii) tanB + cotgB = cscB/cosB ix) (1 – sen2θ)(1 + tan 2θ) = 1 x) tanβ – cscβsecβ(1 – 2cos2β) = cotgβ xi) (tanΔ – senΔ) : sen3 Δ = secΔ/(1 + cosΔ) xii) tan2Θcsc2Θcotg2Θsen2Θ = 1


xiii) (1 – 2cos2γ) : senγcosγ = tanγ - cotgγ xiv) tanXsenX + cosX = secX xv) senAcosA(tanA+ cotgA) = 1 xvi)senB : (senB + CosB) = secB : (secB+ cscB) xvii) (Rsenθcosφ)2 + (Rsenθsenφ)2 + (Rcosθ)2 = R2 xviii) (xsenA – ycosA) 2 + (xcosA + ysenA) 2 = x2 + y2 xix) cotgX + senX : (1 + cosX) = cscX xx) (secδ + cscδ) : (tan δ + cotgδ) senδ + cosδ xxi) 2 : (sec2B) = (1 – tan2B) : (1 + tan 2B) + 1 xxii) (2senXcosX) : (1 + cos2X - sen2X) = tanX xxiii) tany + cotgy = secycscy xxiv) (tan3a – cotg3a) : (tana- cotga) = tan 2a + cotg2a xxv) (1 – cos2A) : sen2A = tanA xvi) 2tanc : (1 + tan2c) = sen2c xvii) sen(45° + B) – sen(45° - B) = √2senB xviii) sen(x+y) : cos(x-y) = (tanx + tany) : (1 + tanxtany) xxix) sen(a+b)sen(a-b) = sen 2a – sen2b xxx) 2tan2X = (cosX + senX) : (cosX - senX) – (cosX – senX) : (cosX + senX)

21.- Ecuaciones trigonométricas Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas. No puede especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las funciones que aparecen allí en una sola función (es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos). Una vez expresada la ecuación en términos de una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte


trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo. En las soluciones pueden aparecer valores extraños (debido a la manipulación de las ecuaciones al tratar de reducirlas), por ejemplo: nos puede resultar un cos x = 2, el que debemos descartar, obviamente, pues el codominio del coseno se limita a [-1, 1]. También, debemos verificar todas las respuestas obtenidas y aceptar sólo aquellas que satisfacen la ecuación original. Como las funciones trigonométricas repiten su valor y signo en dos de los cuadrantes, hay que tener presente que siempre habrá por lo menos dos ángulos distintos en la solución de una ecuación trigonométrica.

Ejemplo 1:


Ejem plo 2:

Ejemplo 3:


Ejercicios:

e) Senx = sen2x f) Csc2 x = 4/3 g) Secx + tanx = 0 h) Cosx + cos2x + cos3x = 0 i) 2cosx = 1 – senx

22.- Teoremas fundamentales para la resolución de triángulos oblicuángulos


Triángulos oblicuángulos: Definición y propiedades Se denomina triángulo oblicuángulo a cualquier tipo de triángulo, siendo el triángulo rectángulo un caso particular de esta denominación.

Para construir un triángulo es necesario conocer estas dos importantes propiedades: 1ª.- En todo triángulo, la suma de los tres ángulos vale 180º. 2ª.- En todo triángulo, la suma de las longitudes de dos de sus lados es mayor que la longitud del tercero.

22.1 .- Teorema del seno y el coseno La herramienta fundamental para resolver triángulos cualesquiera son los llamados Teoremas del Seno y el Coseno.

Teorema del seno Si ABC es un triángulo oblicuángulo con los ángulos y lados marcados en la forma acostumbrada entonces:


sen sen  a



b



sen c La ley de los senos consta de las

sen sen  a b siguientes tres fórmulas:

sen  sen  b c

sen sen  a c

Por lo tanto: En cualquier triángulo, la razón entre el seno de un ángulo y el lado opuesto a ese ángulo es igual a la razón entre el seno de otro ángulo y el lado opuesto a ese ángulo.

El teorema del seno se puede aplicar cuando se conocen los siguientes datos del triángulo

1. Dados dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos. 2. Dados dos lados y un ángulo entre ellos. 3. Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.


Demostración Teorema del seno  ABC  OBLICUÁNGU LO

CD  h  Altura  ADC  RECTÁNGULO

h  h  bsen b  DBC  RECTÁNGULO h sen    h  asen  a asen   bsen sen  sen  b a sen 

AE  h  Altura  ABE  RECTÁNGULO

h1  h1  csen  c  ECA  RECTÁNGULO h sen  1  h1  bsen b csen   bsen sen  sen  b c sen  

sen sen  sen    a b c Teorema del coseno


Si ABC es un triángulo oblicuángulo, el teorema del coseno queda expresado como:

1. 2. 3.

a 2  b 2  c 2  2bc cos b 2  a 2  c 2  2ac cos  c 2  a 2  b 2  2ab cos 

Por lo tanto: El cuadrado de la longitud de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble del producto de las longitudes de los mismos lados por el coseno del ángulo entre ellos.

El teorema del coseno se puede aplicar cuando se conocen los siguientes datos del triángulo

1. Dados dos lados y el ángulo que forman entre ellos 2. Dados los tres lados


Demostración teorema del coseno CD  h  Altura  BDC  RECTÁNGULO 2

BC  DB a 2  DB

2

2

 CD

h

2

2

AB  AD  DB c  AD  DB c  AD  DB a

2

2

 DB  h  a  2

2

a 2  c 2  2c AD  AD

2

c  AD  h 2

h

2

2

 ADC  RECTÁNGULO

AD

2

h b

cos  

2

AD b

2

 AD  b cos 

a 2  c 2  2c AD  AD

2

 h  a  c  2cb cos   b 2

2

a

2

2



2

b 2  c 2  2bc cos 


Podemos ahora comenzar los problemas relativos a triángulos oblicuángulos. 1. Supongamos que queremos resolver un triángulo, del cual conocemos dos ángulos α y β y el lado comprendido c γ se calcula inmediatamente porque α + β + γ = 180◦ , luego γ = 180◦ − (α + β)

El teorema del seno nos permite calcular a y b

Ejemplo 1: Dos estaciones de radar, separadas por una distancia de 25 Km. detectan un avión que vuela justo sobre la recta que une a las dos estaciones. La primera lo ve con una elevación de 35 ◦, la segunda con elevación de 60 ◦. Calcular la distancia del avión a la primera estación. Solución: Hay que resolver un triángulo como el de figura y calcular b:


Ejemplo 2: Queremos ahora resolver un triángulo del cual sólo conocemos los tres lados a, b, y c. Tenemos que calcular los tres ángulos, por el teorema del coseno obtenemos c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ b2 = a2 + c2 − 2ac cos β

De aquí: Una vez hallados β y γ en las tablas, calculamos a. α :

Ejercicios:


Resolver los triángulos ABC, si: i)   41º ,   77º , a  10,5 ii)   20º ,   31º , b  210 iii)   27º 40' ,   52º10' , a  32,4 iv)   50º50' ,  70º30' , c  537 v)   73,01º ; a  17,31; c  20,24 vi)   113º10' , b  248, c  195 vii)   60º , b  20, c  30 viii)   45º , b  10, a  15 ix)   73º50' , c  14, a  87 x) a  10, b  15, c  12 xi) a  25, b  80, c  60 xii) a  20, b  20, c  10

23.- Facsímil PSU trigonometría N° 1


1) Sen30º + cos 60º= a) 2 b) 1/2 c) 3/2 d) 1 e) N.A. 2) Sen90º + 5cot90º + 5sec60º - 2csc30º a) 1/2 b) 2 c) 7 d) 3 e) Ninguna de las anteriores 3) Tan30º x tan60º - cos30º x sen60º a) 2 b) 1/4 c)7/2 d)5/4 e)1 4) Al reducir al primer cuadrante: Cot420º - cot225º = X X es igual a: a) 1/2 b) cos 20º c) 2 d) sen70º e) 3 + 1

5) Al reducir al primer cuadrante: Sec225º x sen225º a) 4 b) 2 c) 3/2


d) 0 e) 1 6) Sen = X X es igual a: a) Cos b) 1 c) 1/Csc d) 1/Cos e) Sec 7) En un triángulo rectángulo se cumple que 2 cos  = cot, entonces el valor de  es: a) 0º b) 30º c) 45º d) 60º e) Ninguna de las anteriores 8) Expresar 160º en radianes el resultado es: a) 5π/36 rad o 0,4363 rad b) 151π/360 rad o 1,3177 rad c) 169π/270 rad o 1,9664 rad

d) 0,2130 rad. e) 8π/9 rad o 2,7925 rad

9) Expresar e) 12º12´20´´ en radianes el resultado es: a) 5π/36 Rad. o 0,4363 Rad. b) 8π/9 Rad. o 2,7925 Rad. c) 151π/360 Rad. o 1,3177 Rad.

d) 0,2130 Rad.


e) 169π/270 Rad. o 1,9664 Rad.

10) La expresión equivalente a

(1  tg  ) 2

 (1  tg  )

2

es:

a)4tg2 b) cos2 c)2 d)2sec2 e)Ninguna de las Anteriores

11) Calcular el valor de x con tres cifras significativas

a)4,21 b)2,64 c)2,18 d)7,45 e)2,29 12) El vigía de un barco pirata observa el punto más alto de un acantilado bajo un ángulo de 60º. Si el barco se aleja 100 m se observa bajo un ángulo de 45º. Calcula la altura del acantilado. a) 150 50√3 metros. b) 150 + 25√3 c) 150 + √8 d) 150 + 100√3 e) 150 + √18


13) sen 30 = x,¿ x es? a) 1/2 b) 1/3 c) 6/3 d) √3/2 e) √2/2 14) Expresar π /4 Rad., en grados el resultado es: a) 126º b) 150º c) 14º19´26´´ d) 80º 12´51´´ e) 45º 15) Expresar ¼ Rad., en grados el resultado es: a) 14º19´26´´ b) 45º c) 126º d) 150º e) 80º 12´51´´ 16) sen 90° x cos 45° - 3cos45°-3cos90 x sen60° a) 1/2 b) 2/3 c) √2/2 d) √3/2 e) √3/3 17) Expresa en grados sexagesimales π/3 a) 171° 53’ 14’’ b) 180° c) 0° d) 171° 55’ 46’’ e) 54° 44’ 02’’


18) Calcular el valor de x con tres cifras significativas a) b) c) d) e)

8,08 7,09 7,59 8,18 8.65

19) Expresar 7/5 Rad., en grados el resultado es: a) 45º b) 126º c) 150º d) 80º 12´51´´ e) 14º19´26´´ 20) Exprese 45º en radianes el resultado es: a) π/12 b) 5π/6 c) 5π/3 d) 5π/4 e) π/4

21) En una semi circunferencia se inscribe un triángulo isósceles de base AB, igual al diámetro. La tangente del ángulo ABC es: a) 1 b) ½ 3

c) d) 3 e) Falta Información 3

22) Una colina mide 420 metros de altura. Se encuentra que el ángulo de elevación a la cima, vista desde el punto A, es de 45º. Determinar la distancia desde A hasta la cima de la colina. a) 420 m. b) 420 2 c) 840 d) 840 2 e) Ninguna de las anteriores


23) Calcular el valor de x con tres cifras significativas

a) b) c) d) e)

7,71 7,01 7,53 7,49 7,33

24) ABCD trapecio. AD = 10 cm. y BC = 13 cm. Si sen  = 0,5, entonces cos es: a) b) c) d) e)

12 5 13 12 12

13 5

A

12 5

D

C





B

13

25) Un triángulo isósceles tiene 8 cm. de base y el coseno del ángulo adyacente a ella es 2 . El perímetro del triángulo es: 3

a) 12cm b) 18cm c) 20cm d) 24cm


e) 26cm 26) Un triángulo isósceles tiene 8 cm. de base y el coseno del ángulo adyacente a ella es 2 . El perímetro del triángulo es: 3

a) 12 cm. b) 18 cm. c) 20 cm. d) 24 cm. e) 26 cm. 27) En una semi circunferencia se inscribe un triángulo isósceles de base AB, igual al diámetro. La tangente del ángulo ABC es: a) 1 b) 1 2

c)

3 3

d) 3 e) Falta Información 28) En un triángulo rectángulo se cumple que 2 cos  = cot , entonces el valor de  es: a) 0° b) 30° c) 45° d) 60° e) Ninguna de las anteriores

29) El triángulo de la figura es rectángulo en Q. PQ = 3 cm y sen Entonces PR mide: a) 2 3 cm. b) 3 cm. c) 2 cm.

P 

Q

R

= 1/2.


d)

3 2

cm.

e) 6 cm. 30) En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C, AB = 5 cm. y tg = entonces BC = a) 3 cm. b) 15 cm.

d)

10 13 15 2

2

,

B

13

c)

3

cm.

cm.

A

C

e) 2 cm.

31) Si sen  =

5 13

, donde a es el ángulo agudo de un triángulo rectángulo,

entonces el valor de cos  es: a)

13 12

12

b)

5 12

c)

13 5

d)

12

13

e)

5

32) Los valores según la figura de sen , cos y tg, respectivamente son: a) 4/3 ; 4/5 ; 3/5 b) 4/5 ; 3/5 ; 4/3 c) 3/5 ; 4/3 ; 4/5 d) 4/3 ; 3/5 ; 4/5 e) 4/5 ; 4/3 ; 3/5


33) Expresar 25º en radianes el resultado es: a) 5π/36 rad o 0,4363 rad b) 8π/9 rad o 2,7925 rad c) 151π/360 rad o 1,3177 rad d) 169π/270 rad o 1,9664 rad

e) 0,2130 rad. 34) Expresar 75º30´ en radianes el resultado es: a) 5π/36 rad o 0,4363 rad b) 151π/360 rad o 1,3177 rad c) 8π/9 rad o 2,7925 rad d) d) 169π/270 rad o 1,9664 rad

e) 0,2130 rad. 35) Una colina mide 420 metros de altura. Se encuentra que el ángulo de elevación a la cima, vista desde el punto A, es de 45º. Determinar la distancia desde A hasta la cima de la colina. a) 420 m. b) 420 2 c) 840 d) 840 2 e) Ninguna de las Anteriores 36) Expresar 7π/10 Rad., en grados el resultado es: a) 126º b) 45º c) 150º d) 14º19´26´´ e) 80º 12´51´´ 37) Una escalera apoya su pie a 3 m. de un muro. La parte superior se apoya justo en el borde del muro. El ángulo formado entre el piso y la escala mide 60º. El largo de la escalera es: a) 2 3 m. b) 3 2 m c) 6 m d) 8 m. e) No se puede determinar


38) En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C, AB = 5 cm. y tg  = entonces BC = a) 3 cm b) 15 cm.

3 2

,

B

13

c) d)

10 13 15 2

cm cm

A



C

e) 2 cm.

39) Expresar 5π/6 Rad., en grados el resultado es: a) 45º b) 126º c) 14º19´26´´ d) 80º 12´51´´ e) 150º 40) La expresión equivalente a (1  tg  ) 2  (1  tg  ) 2 es: a) 4 tg2 b) 2 cos2 c) 2 d) 2 sec2 e) Ninguna de las anteriores

41) El triángulo de la figura es rectángulo en Q. PQ = 3 cm y sen  = 1/2. Entonces PR mide: a) 2 3 cm. b) 3 cm c) 2 cm. d)

3 2

P 

Q

cm.

e) 6 cm.

R


42) Si sen =

5 13

, donde a es el ángulo agudo de un triángulo rectángulo,

entonces el valor de cos es: a) 13 12

b) c) d) e)

12 5 12 13 5 12 13

5

43) Expresar 112º40´en radianes el resultado es: a) 5π/36 rad o 0,4363 rad b) 8π/9 rad o 2,7925 rad c) 151π/360 rad o 1,3177

rad

d) 0,2130 rad. e) 169π/270 rad o 1,9664 rad

44) Expresar 225º en radianes, el resultado es: a) π/4 b) π/12 c) 5π/6 d) 5π/3 e) 5π/4

45) Expresar 225º en radianes, el resultado es:


a) π/4 b) π/12 c) 5π/6 d) 5π/3 e) 5π/4

46) Expresar 300º en radianes, el resultado es: a) 5π/3 b) π/4 c) π/12 d) 5π/6 e) 5π/4

47) Expresar 150º en radianes, el resultado es: a) π/4 b) π/12 c) 5π/6 d) 5π/3 e) 5π/4

48) expresar -60º en radianes, el resultado es: a) –π/3 a) π/4 b) π/12 c) 5π/6 d) 5π/3 e) 5π/4

49) Exprese 15º en radianes, el resultado es: a) π/4 b) 5π/6 c) 5π/3 d) π/12 e) 5π/4

50) Expresar -135º en radianes, el resultado es: a) -π/4 b) π/12 c) -3π/4

68668823 Libro OFICIAL Trigonometria 1

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