Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
GEOMETRÍA ANALÍTICA I
13
Aprendizajes esperados Aprendizajes esperados •
Ubica los puntos en el plano cartesiano.
•
Efectúa operaciones reconociendo a la abscisa y la ordenada.
Estrategias motivadoras RENÉ DESCARTES (1596-1650) Filósofo y matemático francés nacido en La Haye y fallecido en Estocolmo. Descartes usó su nombre latinizado: Renatus Cartesius. Esta es la causa de que su sistema filosófico se llame cartesiano y que el sistema más corriente sobre el que se trazan curvas que representan ecuaciones (inventado por él) se llame cartesiano. Descartes contribuyó principalmente a la ciencia con sus matemáticas. Se interesó especialmente en esta materia cuando estuvo en el ejército, ya que la inactividad de que gozó le dejaba mucho tiempo para pensar. En esta época descubrió la fórmula poliédrica, conocida como fórmula de Euler, es decir C + V = A + 2. Posteriormente sus investigaciones se dirigieron a la consecución de una regla para la construcción de las raíces de cualquier ecuación cúbica o cuártica por medio de una parábola. No está claro si ya había descubierto su geometría analítica para el año 1628, pero hay evidencias que demuestran que la invención de la geometría cartesiana no puede ser posterior a esta fecha. Su obra matemática fundamental es “La Géometrie” cuyo estudio permitió conocer la geometría analítica a sus contemporáneos. Ahora que conoces un poco más acerca de este personaje tan importante para el estudio de la geometría analítica, te invito a que encuentres las palabras de la lectura en el pupiletras. P
A
N
F
L
I
T
U
R
O
O
RENÉ
R
R
A
N
A
L
I
T
I
C
A
DESCARTES
G
E
O
M
I
T
R
E
I
A
M
B
A
N
A
L
I
T
T
I
C
A
A
D
D
E
S
C
A
R
T
E
S
MATEMÁTICO FILÓSOFO
I
B
C
U
J
M
R
E
N
O
E
FÍSICO
R
O
D
A
E
R
C
R
C
A
C
FRANCÉS
T
I
S
T
I
C
A
I
E
R
N
CREADOR
E
S
A
C
F
F
S
U
B
Z
A
M
M
A
T
E
I
S
I
C
A
R
O
S
T
O
F
O
S
O
L
I
F
E
R
A
I
E
R
O
D
A
R
C
G
A
D
E
S
C
E
R
T
O
U
GEOMETRÍA ANALÍTICA
135
Trigonometria
Euler
2016
Organizador visual
GEOMETRÍA ANALÍTICA I estudio del PLANO CARTESIANO se define Intersección entre dos rectas coordenadas perpendiculares que se intersectan en el origen O de ambos. en el gráfico
además determinamos
cuyos Elementos • O: origen de coordenadas • Eje X: eje de abscisas
IIC
4
IC Y
3
• Eje Y: eje de ordenadas • El plano cartesiano está dividido en 4 regiones llamadas cuadrantes.
Ubicación de un punto
Y
P(x, y)
2 1 –4 –3 –2 –1
0 1 2 3 4 –1
X X •
–2
P(x, y)
–3 IIIC
136
–4
IVC
abscisa
ordenada
Coordenadas del punto P
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
I.
Conceptos previos
III.
Recta numérica Los números reales, se pueden ubicar en la recta numérica, por convención los números positivos se ubican a la derecha del cero (0) y los números negativos a la izquierda de éste.
Ubicación de un punto La ubicación de un punto P en el plano cartesiano se representa mediante un par ordenado (x, y), en donde se les conoce como “coordenadas de P”.
Y –4 –3 –2 –1 0
P(x, y)
1 2 3 4
Números negativos
Números positivos X
Extiendo una relación biunívoca entre los números reales y cada punto de la recta, es decir, a cada punto de la recta le corresponde un solo número real, asimismo a cada número real le corresponde un punto de la recta. II.
• A x se le denomina abscisa del punto P. • A y se le denomina ordenada del punto P.
Determinación del plano cartesiano El plano cartesiano se determina mediante la intersección de dos recta coordenadas perpendiculares que se intersectan en el origen O de ambos.
P(x, y) ≠ P(y, x) No puedes alterar el orden de las coordenadas del punto P.
Y IIC
4
IC
3 2 1 –4 –3 –2 –1
0 1 2 3 4 –1
X
–2 –3 IIIC
–4
IVC
Elementos: • O: origen de coordenadas • Eje X: eje de abscisas • Eje Y: eje de ordenadas • 4 cuadrantes
137
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
1.
Ubique los puntos e indique en qué cuadrantes se ubican: A(–2, 3) y B(–5, –4)
a= 4 y b=–3
Resolución: Paso 1: Se ubican los puntos en el plano cartesiano.
Paso 2: Comparando la figura, reconocemos los elementos.
Reemplazando en E: E= 2(4)–3(3) E= 8+9 Rpta.: 17
Y 4 A(–2, 3)
3
3.
Del gráfico, calcule A= m–n.
2
Y
1 –5 –4 –3 –2 –1
0 1 2 3 4 –1
X
X
–2
(m, n)
(5, –2)
–3 –4 B(–5, –4)
–5
Resolución:
Paso 1: Trasladando las coordenadas de los puntos a sus ejes, tenemos:
Paso 2: Según la gráfica, A(–2, 3) está ubicado en el II cuadrante y B(–5, –4) está ubicado en el III cuadrante.
Y m
Rpta.: IIC y IIIC 2.
Del gráfico, calcule E= 2a–3b.
5
n 2
(m, n)
X
(5, –2)
Y 4
X
Paso 2: Observamos de las figuras que m es negativo y n es negativo, por lo tanto m=–5 y n=–2. Reemplazando en A:
–3
A=–5–(–2)= –5+2= –3
(a, b)
Rpta.: –3
Resolución:
Paso 1: Ubicamos el punto en el plano cartesiano. Y 4
–3
138
(4, 3)
X
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
3.
NIVEL I 1.
Ubique los puntos en el plano cartesiano y determine el cuadrante al que pertenecen. A(2, 5) ∈ _______ C(4, –3) ∈ _______
Del gráfico, calcule A= m+n2. Y 2
B(–1, 7) ∈ _______ D(0, –5) ∈ _______
X
Y –5
P(m, n) Rpta.: 29
4. X
Del gráfico, calcule L= a . b Y
P(a, b)
6
X
–3
Rpta.: ___________________________
Rpta.: –1/2 2.
Ubique los puntos en el plano cartesiano e indique el valor de verdad (V) o falsedad (F).
5.
Del gráfico, calcule E= m–n. Y
P( , )
Y
–4
5 R( , )
3
2
–6
X
8
–5
P(m, n)
X
Rpta.: 1 6. –7
A) P(–6, 5) ∈ IIC B) Q(2, –8) ∈ IIIC C) R(8, 3) ∈ IC D) P(5, –6) ∈ IIC
Del gráfico, calcule M= a2 –b. Y a
Q( , ) ............... ( ............... ( ............... ( ............... (
) ) ) )
Rpta.: ___________________________
b
X
(3, –5) Rpta.: 14
139
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría 7.
Del gráfico, determine P= ab.
11. Del gráfico, calcule:
A= m + n p+q
Y
Y
–2
X
(3, 6)
p
m
–7
8.
X
q
Rpta.: 14 Del gráfico, determine A= (m)n. n (–4, –5)
Y (m, n)
Rpta.: –1
3 12. Del gráfico, calcule:
M= ac bd
X
–2
Rpta.: –8
Y (–2, 3)
b
NIVEL II 9.
Del gráfico, calcule S= 3a+5b. c
4
X
a
Y (a, b)
d
(5, –4) Rpta.: 5/6
X
2
NIVEL III
Rpta.: 26
13. Del gráfico, calcule A= m+n.
10. Del gráfico, calcule N= 2a–6b.
Y (a, b)
–7
Y
3
X
X Rpta.: –32
140
(2, 5)
(m, n) Rpta.: –3
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría 16. Del grafico, determine K= m–n.
14. Del gráfico, calcule P= m+n. Y
Y
(m, n) (m, n)
(2, 7) X
X
Rpta.: –5 (–4, –5)
15. Del gráfico, determine E= a–b.
Rpta.: –9
Y X (a, b)
(2, –3) Rpta.: 1
NIVEL I 1.
2.
Del gráfico, calcule P=a2+b2.
Ubique los puntos en el plano cartesiano e indique el cuadrante al que pertenecen.
Y
(–3, 5)
b
M(2, 5) ∈ ___________ N(7, –3) ∈ ___________ P(–1, –4) ∈___________ Q(0, 5) ∈ ___________
X
a A) 15 D) 34
Y 3.
B) –8 E) –2
C) 14
Del gráfico, calcule L= m . n Y m
X
X
(–5, –10) A) –5 D) –1/2
B) –2 E) 1/2
n C) 2
141
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría 4.
NIVEL III
Del gráfico, calcule E= a–b. Y
8.
6
X
Calcule K= m . n
Y
(–6, 2)
A) 4 B) –3
–2 A) –4
(a, b)
B) 5
C) 4
D) 8
D) –1/3
E) 12
E) 3
NIVEL II 5.
Del gráfico, determine K= 2a–3b.
9. 3
6.
Calcule E= a–b.
Y
A) –4 B) –12 C) –1/2 (a, b) D) 2 E) 12
X
–5 B) –6
(m, n)
Y
(a, b)
A) –19
X
C) 1/3
C) –12
D) 19
(4, –8)
E) 7 10. Calcule P= m+n.
Del gráfico, calcule M= a + b . c–d
Y
A) 12 B) –6 (–3, 9) C) 6 D) –12 E) –27
Y (–2, 6)
X
a
c b
(m, n) X DESAFÍO
X
11. Del gráfico, calcule K= b . a Y A) 3/2
d
(–2, 5)
B) –2/3
(3, –9)
C) 1/3 A) –4/3 B) –1/2 C) 3/4 7.
D) 1/2
E) 7/5
X
D) –3 E) 3
Del gráfico, calcule E= mn . pq
(a, b)
Y
(2, 6)
m
(4, –6)
12. Del gráfico, calcule M= a+b+c+d. Y A) 4
p n
X
(–6, a)
B) 3 C) 0
X
D) 6 (–3, –5) A) –1 142
B) 4/5
q C) 1
E) –8 D) 5/4
E) 7/2
(b, –4)
(c, d)
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría Alumno(a) : ____________________________________________________________________ Curso
: __________________________________________________ Aula : __________
Profesor
: ____________________________________________________________________
1.
4.
Calcule M= a2+b.
Calcule B= m2–n.
Y
Y
(a, b)
2
X
–3 A) –12 2.
B) 6
C) –11
E) 11 A) 3 D) 4
Y
5. 4
–8
3.
D) 13
B) 2 E) 5
Y 2
(m, n)
–5
D) 2
C) 1
Calcule K= (a)b.
X
B) –1/2 C) 1/2
X
5
Calcule P= m . n
A) –2
(n, m)
3
E) 4
A) –1/5 D) 25
X
(b, a) B) 1/5 E) –32
C) –25
Calcule E= m–n. 6.
Y –5
Calcule K= m + n . m–n
X
(–3, 2)
–7
(n, m) B) –12
m
X
n
A) 12
Y
C) 2
D) –2
E) 6
A) –1/5 D) –5
B) 1/5 E) –1
C) 5
143
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría 7.
9.
Calcule P= 2a+3b.
Calcule M= a–b.
Y
Y
(–2, 5)
–2
X X
–5
(a, b) A) 19 D) 12 8.
(a, b)
B) –19 E) 11
Del gráfico, calcule A=
C) 14 A) 4 D) –7
m– p . n–q
B) 7 E) 3
10. Calcule E= p+q.
Y (–3, 4)
C) –3
Y n
(4, 7)
(p, q)
X q
X
m
A) –11 D) 11
p A) –1 D) 3
144
B) 1 E) 2
(3, –6) C) 4
B) –3 E) 10
C) 3
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
GEOMETRÍA ANALÍTICA II
14 Aprendizajes esperados Aprendizajes esperados •
Reconoce las distancias horizontales y verticales entre dos puntos.
•
Aplica el cálculo de las distancias horizontal y vertical en la resolución de problemas.
Estrategias motivadoras ANÉCDOTA MATEMÁTICA Bertrand Rusell, estaba tratando sobre los enunciados condicionales y sosteniendo que un enunciado falso implica cualquier cosa. Un filósofo escéptico, le preguntó: —¿Quiere usted decir que si 2+2=5, entonces usted es el Papa? Rusell contestó afirmativamente y dio la divertida “prueba”. —Si supones que 2+2=5, entonces estará de acuerdo que si restamos 2 de cada lado de la ecuación, nos da 2=3. Invirtiendo los términos, tenemos 3=2 y restando 1 de cada lado 2=1. De modo que como el Papa y yo somos dos personas y 2=1, entonces el Papa y yo somos uno. Luego yo soy el Papa.
Bertrand Rusell
145
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
Organizador visual
GEOMETRÍA ANALÍTICA II estudiaremos el CÁLCULO DE DISTANCIAS tenemos la
la
Distancia horizontal (DH)
Distancia vertical (DV) donde
donde
Y P(x1, y)
Y DH
Q(x, y2)
Q(x2, y)
DV x2
x1 se calcula
P(x, y1)
además
DH= x2 – x1
X
X
x2 > x1 se calcula DV= y 2 – y 1
además
y2 > y1
I.
Distancia horizontal (DH)
II.
Distancia vertical (DV)
Dados los puntos P(x1, y) y Q(y2, y), la distancia horizontal (DH), se calcula así:
Dados los puntos P(x, y1) y Q(x, y2), la distancia vertical (DV), se calcula así: DV= y2 – y1
DH= x2 – x1 donde x2 > x1
donde y2 > y1
En el gráfico, observamos: Y
En el gráfico, observamos:
Q(x, y2)
Y P(x1, y)
x1
146
DH
Q(x2, y)
x2
DV
X P(x, y1)
X
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
1.
Calcule la DV entre los puntos A(3, 7) y B(3, –4).
Resolución: Paso 1: Graficamos los puntos.
Luego reemplazamos: DH= x2–x1 12= 8–n n= –4
Y
Rpta.: –4
A(3, 7) DV
3.
Calcule el área del rectángulo ABCD.
X
Y B(7, 2)
A
B(3, 4)
X
De la figura observamos que: y2= 7 e y1=–4 (y2>y1)
Paso 2: Luego reemplazamos valores:
D(–4, –6)
DV= y2–y1 DV= 7–(–4) DV= 11
Rpta.: 11
C
Resolución:
Paso 1: Determinamos los vértices. Y
2.
B(7, 2)
A(–4, 2)
Calcule m en la figura. Y DH=12
(m, 3)
(8, 3)
DV
X
X
D(–4, –6)
C(7, 6) DH
Resolución:
Paso 1: Graficamos:
Paso 2: Sabemos que el área del rectángulo es: S= base × altura
Y (m, 3)
DH=12 (8, 3)
Cálculo de la base (DH) Cálculo de la altura (DV) DH= 7–(–4) DV= 2–(–6) DH= 11 (base) DV= 8 (altura) X
Reemplazando en S: 11×8=88 Rpta.: 88
Paso 2: De la figura, observamos: x2= 8 y x1= n (x2>x1)
147
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
6.
NIVEL I 1.
Si PQ= 19 u, calcule m.
Calcule la DH entre los puntos M(2, 6) y N(10, 6).
Y P(3, m)
Rpta.: 8
2.
X
Calcule la DV entre los puntos P(4, –8) y Q(4, 6). Rpta.: 14
3.
Q(3, –8)
Calcule la DH en:
Rpta.: 27 Y
(–5, 3)
(7, 3)
DH
7.
Calcule R=
DH+D V . DH –D V
X
4.
Y
(–4, 5)
Rpta.: 12
(–2, 3)
DH
(10, 3)
DV
Calcule la DV en:
X Y (5, 4)
(–4, –1)
DV
Rpta.: 3 X
(5, –2)
8. Rpta.: 6
Calcule R=
DH –D V . DH+D V Y
5.
(5, 8)
Si AB= 16 u, calcule n. DV Y A(n, 5)
DH
B(4, 5)
X (–7, –2) DH
(5, –2)
X Rpta.: –12
148
Rpta.: 1/11
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría NIVEL II 9.
13. De la figura, calcule tgφ.
Calcule el perímetro el rectángulo MNPQ.
Y
(6, 5)
Y M(–5, 6)
β
N
X
X C
(–8, –7) Q
Rpta.: 7/6
P(7, –8) Rpta.: 54 u
14. De la figura, calcule tgφ.
10. Calcule el área de la región triangular ABC. Y
(–5, 2) B(5, 7)
Y
φ X X
(4, –7)
C
A(–2, –3)
Rpta.: 1
Rpta.: 35 u2 15. Calcule DH–DV.
11. Calcule el área del rectángulo MNPQ.
Y
Y
(4, 6)
D(3, 4)
N
DV X
DH
(–5, –1)
Q
M(–7, –5)
X C Rpta.: 2
Rpta.: 90 u2 16. Calcule DH . DV
NIVEL III 12. De la figura, calcule tgα. Y
(–8, 5)
(3, 7)
Y
α DV X
X (–6, –2)
DH
C Rpta.: 1
(6, –2) Rpta.: 2
149
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
6.
NIVEL I 1.
Calcule la DH entre los puntos P(7, 4) y Q(–2, 4). A) 15 D) 6
2.
B) 16 E) 9
Y
C) 7 M(–3, b)
Calcule la DV entre los puntos M(2, –9) y N(2, 5). A) 4 D) 6
3.
B) 14 E) 8
X
C) –4 N(–3, –7)
Calcule la DH en:
A) 2 C) 3 E) 6
Y (–6, 5)
DH
(4, 5)
X A) 10 D) 14 4.
Si MN= 19 u, calcule b.
B) 12 E) 13
7.
B) 5 D) 4
Calcule el área de la región triangular ABC. Y
C) 15
C(3, 8)
Calcule la DV en: X
Y (2, 5)
B
A(–5, –4)
DV A) 24 u2 C) 12 u2 E) 72 u2
X (2, –3) A) –2 D) 2
B) 4 E) 7
C) 8
NIVEL III 8.
De la figura, calcule tgφ.
NIVEL II 5.
B) 48 u2 D) 36 u2
Y
Si CD= 14 u, calcule m.
φ
Y C(m, 4)
(3, 7)
D(6, 4) X X (–9, –3)
A) –2 D) –8
150
B) 6 E) 8
C) 7 A) 3/4 D) 4/3
B) 5/6 E) 10/3
C) 6/5
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría DESAFÍO HELICOIDAL 9.
Del gráfico, calcule tgθ.
11. Del gráfico, calcule tgθ.
Y
(4, 8)
Y
(–4, 6)
θ
(8, –4)
(–5, –4) A) 1 D) 6
B) 4/3 E) 3/4
C) 3/5
A) 2/9
B) 4/3
E) 5/6
(3, 5)
X
φ α
X (–9, –4)
(3, –6) B) 4/5 E) 3/2
D) 6/5
Y
Y
(–12, 9)
C) 3/4
12. Del gráfico, calcule ctgφ.
10. Del gráfico, calcule tgα.
A) 5/4 D) 2/3
X
θ
X
C) 1 A) 1/5 D) 2
B) 3/4 E) 1/2
C) 4/3
151
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría Alumno(a) : ____________________________________________________________________ Curso
: __________________________________________________ Aula : __________
Profesor
: ____________________________________________________________________
1.
Calcule la DH entre los puntos P(6, 5) y Q(7, 5). A) 13 D) 4
2.
B) 0 E) 1
5.
Calcule el perímetro del rectángulo ABCD.
C) 8
Y
N
P(3, 4)
Calcule la DV en: Y (–3, 7)
X
DV X
A) 6 D) –2 3.
Q
M(–7, –5)
(–3, –5)
B) 14 E) 8
A) 27 u D) 36 u
C) 12 6.
B) 41 u E) 38 u
C) 21 u
Calcule el área de la región triangular MNP. Y
Calcule n si AB= 14 u.
M(4, 9)
Y X A(–7, –2)
A) 6 D) 4 4.
X
B(n, –2)
B) 7 E) 5
P(–6, –7)
C) 8
A) 80 u2 D) 36 u2
Si PQ= 21 u, calcule a. Y
7.
(5, 13) P
N B) 42 u2 E) 52 u2
C) 21 u2
Calcule el área del rectángulo MNPQ. Y P(2, 5)
N X
X Q (5, a) A) 6 D) 8
152
B) –7 E) –8
Q
M(–3, –4) C) 7
A) 36 u D) 28 u
B) 90 u E) 19 u
C) 45 u
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría 8.
10. Del gráfico, calcule tgφ.
De la figura, calcule tgβ. Y
(2, 9)
(–6, 8)
Y
β
X
X φ
(–7, –3)
(4, –6)
A) 7/5 D) 7/2 9.
B) 3/4 E) 4/5
C) 6/7
A) 7/5 D) 5/7
B) 1 E) 4/9
C) 6/5
De la figura, calcule tgγ. Y
(2, 10)
X
γ (–3, –5) A) 4/21 D) 1/3
B) 7/13 E) 3
C) 13/7
153
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
GEOMETRÍA ANALÍTICA III
15 Aprendizajes Aprendizajes esperados esperados •
Calcula la distancia entre dos puntos.
•
Calcula el radio vector.
•
Calcula las coordenadas de un punto usando la fórmula de distancia.
Estrategias motivadoras EDMUND GUNTER
Matemático inglés (1581-1626) profesor de astronomía en el Gresham College, de Londres. Se le debe la invención de un sector para trazar las líneas de los cuadros solares y la de una regla logarítmica llamada escala de Gunter. Aparece con él la expresión co-sinu, abreviación de complemento del seno; la palabra cotangente cuyo origen es análogo al coseno; y finalmente la palabra cosecante, del complemento de secante.
154
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
Organizador visual Distancia entre 2 puntos
Radio vector definido como
observamos el gráfico
Distancia de un punto del plano cartesiano al origen de coordenadas.
Y P2(x2, y2)
y2
d
x 1, P 1(
y1
en el gráfico
y 1)
x1
X
x2
de aquí tenemos
Y
P(x, y)
r
d = (x 2 – x1)2 + (y2 – y1)2
X
se calcula así r = x 2 + y2
I.
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos cualesquiera P1(x1, y1) y P2(x2, y2) se determina así: P1(x1, y1)
y2
d
x 2, P 2(
y1 x1
y 2)
Otra forma de expresar la distancia entre dos puntos es: d = (DH )2 + (D V )2
x2
donde DH: distancia horizontal DV: distancia vertical
d = (x 2 – x1)2 + (y2 – y1)2
155
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría II.
Radio vector (r)
Es la distancia de un punto del plano cartesiano al origen de coordenadas, y se le considera siempre positivo.
Si P(x, y) es un punto del plano cartesiano, el radio vector lo calculamos así: Y
P(x, y)
r
X
r = x 2 + y2
1.
Calcule la distancia entre los puntos A(8, –10) y B(–2, 14).
Resolución:
Resolución:
r = x 2 + y2
d(A, B) = (x 2 – x1)2 + (y2 – y1)2
Reemplazando valores: 2
r = (– 13 ) + (–6)2
Reemplazando valores:
r = 13 + 36
2
d(A, B) = (–2 – 8)2 + [14 – (–10)] 2
d(A, B) = (–10) + [14 + 10]
r = 49
2
∴r = 7 Rpta.: 7
d(A, B) = 100 + 576 d(A, B) = 676
3.
Calcule x.
∴ d(A, B) = 26
Y
Rpta.: 26 A(x, 1) 2.
26
Calcule el radio vector del punto N(– 13, – 6).
X
Y X r N(– 13, – 6)
Resolución: r = x 2 + y2
156
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
Reemplazando valores y elevando al cuadrado: 2 2 2 2 ( 26) = ( x + 1 ) 26= x2+1 25= x2 x= ±5 (dos respuestas)
Como A ∈ IIC, entonces x es negativo. Rpta.: –5
7.
NIVEL I 1.
Calcule el radio vector (r).
Calcule la distancia entre los puntos A(2, 9) y B(8, 1).
Y
Rpta.: 10 X 2.
Calcule la distancia ente los puntos M(2, –3) y N(4, 1). Rpta.:
3.
r
20
Calcule d. (– 10, – 6)
B(8, 6)
Rpta.: 4
d 8.
Calcule el radio vector (r).
A(2, –2)
Y
Rpta.: 10 4.
X
Calcule d.
r M(2, 5) (3, –6) d
Rpta.: 3 5
N(–3, –7) Rpta.: 13 NIVEL II 5.
Calcule el radio vector del punto P(–3, –4). Rpta.: 5
6.
9.
Calcule y.
Calcule el radio vector (r).
Y
Y
X
(–2 3, 2) r
9 X (– 17, y) Rpta.: 4
Rpta.: –8 157
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría NIVEL III
10. Calcule x. Y
13. Si A(–4, –2), B(0, 1) y C(4, –2), calcule d(A, B)+d(B, C). Rpta.: 10
(x, 24) 25
14. Del gráfico, calcule la distancia del segmento MN.
X
Y M
5
Rpta.: –7 11. Calcule x. N
Y
–1
X
2 1
X
5 Rpta.: (x, –4) Rpta.: 3 12. Calcule y.
Y
15. Si dos vértices de un triángulo equilátero son M(3, 1) y N(7, 4), calcule su perímetro. Rpta.: 15 u 16. Si dos vértices de un triángulo equilátero son P(2, –3) y Q(–5, –2), calcule su perímetro. Rpta.: 15 2 u
(15, y) 17 X
Rpta.: 8
158
13
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
NIVEL I 1.
B) 10 E) 13
Y
C) 11
X r
Calcule la distancia entre los puntos M(3, 4) y Q(–9, 13). A) 13 D) 16
3.
Calcule el radio vector (r).
Calcule la distancia entre los puntos A(6, –4) y B(1, 8). A) 12 D) 14
2.
7.
B) 14 E) 17
C) 15 (– 15, – 10)
Calcule d.
A) 2 D) 5
B(6, 3)
B) 3 E) 6
C) 4
d NIVEL III A(–6, 7) A) 4 10 D) 2 10
B) 2 10 E) 10
8.
Calcule el radio vector (r).
C) 7 10
Y X
4.
Calcule d.
r
Q(2, 4)
(2, –1) A) 7 D) 3
P(–3, –8) A) 13 D) 16
B) 14 E) 17
B) 5 E) 11
Calcule x. Y
NIVEL II Calcule el radio vector (r) del punto M(–5, –12). A) 14 D) 16 6.
B) 13 E) 17
2
C) 15 9.
5.
C)
X
C) 15 5
Calcule el radio vector en:
(x, –4)
Y (–2, 4) A) 4 D) 3
r X
A) 6 5 D) 3 2
B) 3 5 E) 2 5
C) 4 5
B) –7 E) –3
C) –6
10. Si dos vértices de un triángulo equilátero son P(–2, –5) y Q(3, 7), calcule el perímetro del triángulo equilátero. A) 18 u D) 21 u
B) 27 u E) 15 u
C) 39 u
159
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría DESAFÍO HELICOIDAL 11. Calcule las coordenadas del centro de la circunferencia y el radio r. (6, 5)
O
r
(–2, –1) A) (2, 1) y r=10 C) (–2, –2) y r=10 E) (2, 2) y r=5
160
B) (–2, 1) y r=5 D) (2, 2) y r=10
12. Si dos vértices de un triángulo equilátero son A(2, 10) y B(8, 2), calcule el área de dicho triángulo. A) 23 2 D) 24
B) 39 E) 25 3
C) 13
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría Alumno(a) : ____________________________________________________________________ Curso
: __________________________________________________ Aula : __________
Profesor
: ____________________________________________________________________
1.
Calcule la distancia entre los puntos A(–4, 2) y B(2, 10). A) 14 B) 18 C) 16 D) 12 E) 10
2.
Calcule la distancia entre los puntos P(–2, –1) y Q(1, –2). A) 7 B) 13 C) 10 D) 11 E) 15
3.
Calcule d.
7.
X
(x, –12)
B(1, 3) A) 5 D) 7
A(–2, –1)
4.
Y
13
d
A) 6
Calcule x en:
B) 7
8. C) 8
D) 5
Calcule d.
B) –7 E) 1
Calcule y.
C) –5
Y
E) 9
X 17
L(1, –1) d
(–8, y) K(–5, –2) A) 37 D) 17 5.
3
B)
5
C)
2
C) 13
B) 33 E) 15
9.
6.
Del gráfico, calcule la distancia del segmento AB. B(4, 3)
Y r
X
X
11 A(–2, –5)
Calcule el radio vector (r). Y A) 15
X
B) 13 C) 14
r
D) 11 E)
C) –14
(–2, 1)
D) 7 E)
B) 15 E) –10
Y
Calcule r. A)
A) 10 D) –15
3
(2 3, – 1)
A) 11 D) 9
B) 12 E) 8
C) 10
10. Si dos vértices de un triángulo equilátero son A(2, 10) y B(–7, –2), calcule su perímetro. A) 20 u B) 40 u C) 45 u D) 21 u E) 30 u
161
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
CLAVES
CAP.13
AUTOEVALUACIÓN 1
2
3
4
-
D
E
D
5
6
7
8
A
C
B
E
9
10
11
12
B
A
E
C
CLAVES
CAP. 14
AUTOEVALUACIÓN 1
2
3
4
E
B
A
C
5
6
7
8
D
C
B
C
9
10
11
12
E
C
E
C
CLAVES
CAP. 15
AUTOEVALUACIÓN
162
1
2
3
4
E
C
A
A
5
6
7
8
B
E
D
B
9
10
11
12
E
C
E
E
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
GEOMETRÍA ANALÍTICA IV
16
•
Calcule las cooredenadas del punto medio de un segmento.
•
Calcule las cooredenadas de uno de los extremos de un segmento.
¿POR QUÉ NO SALEN LAS CUENTAS? Esto no es como las matemáticas, en donde dos y dos son siempre cuatro. Esta popular frase suele ser pronunciada, curiosamente, por gente que no se lleva bien con los números. Y es que muchos olvidan que lo importante en el que hacer matemático no es que dos más dos sea siempre cuatro, sino saber en qué casos el resultado es o no correcto. Por ejemeplo: Nadie duda el resultado de 2+2, o 2 – 2+2. Pero sorprendentemente, las cosas cambian si se trata de la siguiente operación. 2 – 2 + 2 – 2 + 2 – 2 + 2... en la que el número de términos que interviene es infinito. Si los agrupamos de la siguiente forma (2 – 2)+(2 – 2)+(2 – 2)+(2 – 2)... .la suma final es a todas luces cero. En cambio, si tenemos en cuenta que – 2 +2 también puede escribirse – 2(2–2), obtendremos esta otra forma: 2 – (2 – 2) – (2 – 2) – (2 – 2) ... la suma final nos dará 2. Hay otras muchas posibles combinaciones mediante las cuales se obtienen diferentes resultados. En matemáticas, este tipo de sumas en los que figuran infinitos sumandos y en las que el signo va cambiando reciben el nombre de series alternadas. No sólo el resultado final varía según la forma en que se agrupan los términos, sino que, en determinadas condiciones, se puede hacer que la suma valga el número que nosotros queramos. ¿Dejan de ser exactas las matemáticas cuando se hace intervenir el concepto de infinito?. Bueno, digamos que se vuelven inciertas. En cualquier caso, esta incertidumbre resulta ser demasiado inquietante para algunos espíritus. De hecho, existe una escuela de renombrados matemáticos que no acepta que el concepto de infinito se entrometa en ninguna de sus teorías. Son pocos, pero forman un grupo muy compacto y bien avenido.
163
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
GEOMETRÍA ANALÍTICA en este capítulo, calcularemos coordenadas del punto medio de un segmento dados
A(x1, y1)
los puntos
B(x2, y2)
observamos
Y B(x2, y2)
y2
siendo M(a, b) punto medio del segmento AB
M(a, b) y1
y calculamos las coordenadas así
a
1.
x1 x 2 2
b
A(x1, y1) x1
x2
X
y1 y2 2
Coordenadas del punto medio de un segmento El punto medio de un segmento AB divide a este en
Y
B(x2 , y2 )
dos segmentos de igual medida; luego si conocemos las coordenadas de los puntos extremos del segmento AB ; calculamos las coordenadas del punto medio
M(a, b)
M(a, b); aplicando; una fórmula muy sencilla. •
Observamos en el gráfico: Sean los puntos A(x1, y1) B(x2, y2); los extremos:
164
y1
A(x1, y1) x1
x2
X
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría Sea M(a, b) el punto medio del segmento AB . Así, tenemos:
x1 x 2 2
a
b
y1 y 2 2
Por lo tanto:
x x 2 y1 y2 M 1 ; 2 2
1.
Calcule A = x + y.
Resolución: Siendo M(3, y) el punto medio del segmento AB , calculamos:
Q (5, 7)
3
x5 2
13 7 2
M (x, y) P
y
6 x5 x 1
(3, 5)
20 2
y 10
K=(1)(10)=10
Resolución:
Rpta.: 10
Siendo M(x, y) el punto medio del segmento PQ , cuyas coordenadas, se calcule:
3.
x
53 2
y
7 5 2
x
2 2
y
12 2
x 1
B(9, 8)
M(6, 3) A(m, n)
y 6
Resolución:
Reemplazando en A A = 1 + (–6) = –5
6 Rpta.: –5
2.
Calcule las coordenadas del punto A(m, n)
Calcule K x y .
m9 2
12=m+9 m=3
3
8n 2
6=8+n n=–2 Rpta.: A(3, –2)
A(x, 7) M(3, y) B(5, 13)
165
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
1.
NIVEL I Calcule las coordenadas del punto medio del
6.
Calcule L
xy . xy
segmento AB , si A(7, 5) y B(5, 9). Rpta.: (6, 7) 2.
(3, 12)
Calcule las coordenadas del punto medio del (x, y)
segmento MN , si M(8, 4) y N(2, 8). Rpta.: (5, 6) 3.
(5, 2) Rpta.: –9
Calcule A = x + y. (7, 3)
7.
Calcule E
pq . 2
(7, 6)
(x, y) (9, 6)
(p, q) Rpta.: 11
(3, 2) 4.
Calcule Q = m – n.
Rpta.: –2
(7, 6) 8.
Calcule L
m . n
(m, n)
(13, 9)
(5, 4)
(9, 3)
Rpta.: –11
Rpta.: 1/3 5.
Calcule K x y . 2
2
NIVEL II
(3, 5)
9.
Calcule M=x+y. (9, 7)
(x, y) (7, 3)
(6, )
Rpta.: 3 (x, y)
Rpta.: 4
166
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría 10. Calcule P= x – y.
14. Calcule R = m + n.
(13, 16)
(12, 8)
(m+3, n3)
(8, 3)
(5 , 2)
(x, y)
Rpta.: 13
Rpta.: 6 15. Calcule M 11. Calcule A
x . y
a b . ab
(2, 6) (3, 5)
(x, y) (4, 1) (2 , 0) (a, b) Rpta.: 5
12. Calcule Q = x + y.
(9, 1) (6, 2)
(x, 8)
Rpta.: 3 16 . Calcule M = a2 – b2.
(5, 6)
(2, 3) (7, y)
Rpta.: 7
NIVEL III
(4, 1)
13. Calcule M = x + y.
(a, b)
(6, 18) (x+2, y2)
(3, 3)
(2, 6)
Rpta.: 0 Rpta.: 16
167
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
NIVEL I 1.
6.
Calcule las coordenadas del punto medio del
(5, 3)
segmento AB , si A(9, 7) y B(3, 1). A) (6, 4)
B) (7, 2)
D) (1, 3)
E) (4, 1)
Calcule M = p/q.
(p, q)
C) (2, 9)
(9, 9) 2.
Calcule las coordenadas del punto medio del
A) –1/2 D) –1/3
segmento MN , si M(–3, 8) y N(–9, 2).
3.
A) (5, 6)
B) (6, 5)
D) (1, 6)
E) (–6, 5)
C) (–5, 6) 7.
Calcule E
B) –3 E) 1/3
xy . xy
Calcule las coordenadas del punto medio del
(x, 8)
segmento PQ , si P(–12, –5) y Q(–8, –1).
4.
C) 3
A) (10, –3)
B) (–10, –3)
D) (7, –1)
E) (2, –3)
(1, 2)
C) (–10, 3)
(3 , y) A) 10 D) 6
Calcule A = m + n.
B) 9 E) 8
C) 4
NIVEL III 8.
(9, 3)
Calcule Q = x – y.
(x, 8)
(m, n) (1, 5) (3, 4) A) –3
B) –4
D) –1
E) –2
C) –5
(5, y) A) 0 D) –2
B) 1 E) 2
C) –1
NIVEL II 5.
Calcule L = m – n. 9.
Calcule A
(9, 7)
mn . 2
(6, 2)
(n, m)
(m1, n5) (4, 8)
(7, 1)
168
A) –2
B) 1
D) –4
E) –5
C) 4
A) 17 D) 14
B) 10 E) 15
C) 12
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría 12. Calcule A = n/m.
10. Calcule P x y .
(3, 14)
(4, 5) (m, n) b (8 , 1)
(5, 4)
A) 0 D) 3
b
B) 1 E) 4
C) 2
(x, y)
(4, 3) A) 0 D) 4
B) 1 E) 6
C) 2
DESAFÍO 11. Calcule K = m + n + p + q.
(p, q) (6, 0) (m, n) (2 , 8) A) 16 D) 14
B) 10 E) 6
C) 12
169
Trigonometria
Euler
2016
•
Trigonometría Alumno(a) : ______________________________________________________________
•
Curso
:
____________________________________________ • Aula : __________
•
Profesor
:
______________________________________________________________
1.
4.
Calcule A = m + n.
Calcule L = x2 + y2.
(12, 9)
(8, 1)
(m, n)
(x, y) (2 , 7)
(2, 5) A) 16 D) 15 2.
B) 12 E) 11
C) 14
A) 25 D) 36
Calcule L = m – n. 5.
Calcule Q
B) 24 E) 19
C) 12
xy . xy
(8, 1)
(10, 12) (m, n)
(x, y) (8, 2)
(4, 5)
A) 8 D) 1
3.
B) 3 E) 2
Calcule E
A) 6/5 D) 2/3
C) 4
mn . 2
6.
Calcule R
B) 1/2 E) 1/3
C) –3/2
mn . 2
(7, 1)
(8, 4)
(m, n)
(m, n) (3, 5)
(6, 2) A) 1 D) 0
170
B) 2 E) –2
C) –4
A) –2 D) –4
B) –3 E) –5
C) –1
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría 7.
Calcule Q = x + y.
9.
Calcule M = a – b.
(9, 7)
(5, 10)
(10, 8)
(6, 4) (x, y) A) 2 D) 3 8.
B) 1 E) 0
C) 4
(a, b)
Calcule A = x – y. (16, 2)
(3, 0)
(10, 8) A) 5 D) 4
B) 2 E) 1
C) 3
10. Calcule Q = m + n.
(3, 2)
(2, 6) (x, y)
A) 4 D) 1
B) 3 E) 0
C) 2
(2, 2)
(m, n)
(6, 2) A) 6 D) 2
B) 4 E) 7
C) 3
171
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
REPASO GENERAL
17
•
Reforza los conocimientos adquiridos en los capítulos de geometría analítica I – II – III – IV.
ERATOSTENES Eratóstenes (c. 284 – c. 192 a.C.), matemático, astrónomo, geógrafo, filósofo y poeta griego. Fue el primero que midió con buena exactitud el meridiano terrestre. Para ello ideó un sistema a partir de la semejanza de triángulos. Eratóstenes midió en primer lugar la distancia entre dos ciudades egipcias que se encuentran en el mismo meridiano: Siene (Assuán) y Alejandría. Esto lo hizo a partir del tiempo que tardaban los camellos en ir de una ciudad a otra. Después se dio cuenta que el día del solsticio de verano a las 12 del mediodia el Sol alumbraba el fondo de un pozo muy profundo en la ciudad de Siene y que a esa misma hora el sol proyectaba una sombra en Alejandría. A raíz de esta circunstancia determinó, calculando el radio de la tierra, que la longitud del meridiano debía ser 50 veces mayor que la distancia entre las ciudades. El resultado que obtuvo Eratóstenes para el meridiano, en medidas modernas, viene a ser 46.250 km, cifra que excede a la medida real sólo en un 16%. Eratóstenes también midió la oblicuidad de la ecliptica (la inclinación del eje terrestre) con un error de sólo 7' de arco, y creó un catálogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas. Su obra más importante fue un tratado de geografía general. Tras quedarse ciego, murió en Alejandría por inanición voluntaria.
172
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
GEOMETRÍA ANALÍTICA I II III IV recordamos las principales fórmulas para
cálculo de las coordenadas del punto medio de un segmento M(a, b)
cálculo del radio vector (r)
cálculo de distancias
distancia horizontal (DH)
DH=x2 x1
distancia vertical (DV)
DV=y2 y1
a
r x 2 y2
x1 x 2 2
b
y2 y1 2
d (x 2 x1 )2 (y2 y1 )2
En este capítulo, haremos un repaso general, de lo que hemos venido estudiando.
O: origen de coordenadas
A continuación, presentamos los principales fórmulas a utilizar en el desarrollo de problemas.
Eje Y: eje de ordenadas
Elementos de plano cartesiano
IIC
Y ...
Cálculo de distancias
3
DH: distancia horizontal
DH=x 2 x1
1 1 3
donde x2 > x1
D: distancia vertical
1
2
3
...
2 IIIC
El plano cartesiano está dividido en 4 regiones llamadas cuadrantes
IC
2
. . . 3 2 1
Eje X: eje de abcisas
X
DV y2 y1
donde y2 < y1
d: distancia entre dos puntos
IVC
...
d ( x 2 x1 )2 (y2 y1 )2
173
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría Radio vector (r)
Coordenadas del punto medio de un segmento
Y
B(x2 , y2 ) P(x, y) r
M(a, b)
r x 2 y2
A(x1 , y1 )
X
1.
a
x1 x 2 2
(7, 5)
Y 4
(2, 5) DH
X
(6, 1) (4, 3) 3 (4, 3) a b Observamos de las figuras que a es negativo y b es negativo, por lo tanto a=–4 b=–3
X DV (6, 4)
Reemplazando: K 4 (3)
Resolución: Calculamos la distancia horizontal (DH)
K 4 3 K 1
DH x 2 x1 En el gráfico DH = 2 – (–7) = 9 Calculamos la distancia vertical (DV)
3.
Calcule el radio vector del punto P, de la figura mostrada. Y
P(3, 6)
DV y2 y1 En el gráfico DV = 1 – (–4) = 5 DH + DV = 14
r
X
Calcule K= a – b. Resolución: Siendo r: radio vector Donde: x=–3
Y
X (a, b)
(4, 3)
Recordamos:
r (3)2 (6)2 r 9 36
Resolución: Trasladando las coordenadas a sus ejes, tenemos:
174
y1 y2 2
Calcule E = DH + DV.
Y
2.
b
r 45 r 3 5
r x 2 y2
y=6
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
5.
NIVEL I 1.
Ubica los puntos e indica el cuadrante al que pertenece: A(3, –5)
B(–4, –7)
Calcule el perímetro del rectángulo MNPQ. Y N(8, 3)
M
C(2, 7) X
Rpta.: IVC – IIIC – IC
2.
a(4, 5)
Calcule K = m + n2.
P
Rpta.: 40 u
Y 6.
Calcule y.
Y
P(m, n)
3
5
X
13
X
(2, y)
Rpta.: 4
Rpta.: –3
3.
Calcule M
7.
m . n
Relacione las fórmulas adecuadamente. Cálculo
Y
I. 3
Fórmula
Radio vector
II. Distancia entre 2 puntos
a.
x 2 x1
b.
a
x1 x 2 2
b
y1 y2 2
X
15
(n, m) III. Distancia vertical
c.
IV. Distancia horizontal
d.
V. Punto medio de
e.
x 2 y2
Rpta.: –5
4.
Calcule K
DH . DV
( x 2 x1 )2 (y2 y1 )2
y2 y1
un segmento Rpta.: Ic–IId–IIIe–IVa–Vb
(5, 9) Y 8.
DV
Calcule M
xy . 3 (9, 1)
X (4, 8)
DH
(2, 8)
(5, 3)
Rpta.: 1
(x, y) (13, 9) Rpta.: 5 175
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría NIVEL II 9.
NIVEL III 13. Calcule el área de la región triangular PQR.
Calcule el radio vector (r). Y
Y
R(6, 8)
X r (2, 4)
X P(5, 4)
Rpta.: 2 5
Q Rpta.: 66 u2
10. Calcule la longitud del segmento PQ.
Q(3, 3)
14. Calcule d.
Y (2, 1) d
P(3, 5)
X (2, 1)
Rpta.: 10 11. Calcule K=m/n.
Rpta.: 3 2
Y 15. Calcule el perímetro del triángulo equilátero ABC.
(m, n)
B (2, 4) X (10, 5)
Rpta.: –2
C(6, 2)
A
12. Calcule R = m – n.
Rpta.: 30 u 16. Calcule E = a + b + m + n.
Y
(m, n)
X (m, n)
0, 7) (a, b)
(5, 3)
(4 , 3 ) Rpta.: 14 Rpta.: –2
176
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
NIVEL I 1.
NIVEL II
Calcule A=m+n2.
5.
Calcule A=m/n
Y
m
Y
(3, 6) X
X n
(2, 5) A) 17 D) 21 2.
B) 19 E) 23
C) 20
(m, n) B) 2 E) –2
A) 3 D) –1/2
Calcule Q=m/n.
6.
C) 1/2
Calcule K = m – n.
Y (6, 4)
Y
n (5, 3)
m A) –3/2 D) 2/3 3.
(m, n)
X
X C) 3/2
B) –2/3 E) 1/3
A) 4 D) –2
B) 8 E) 2
C) –8
Calcule el perímetro del rectángulo ABCD.
Y B
C(4, 3)
7.
Calcule P
mn . 3
(6, 7) X A (6, 2) A) 24 u D) 16 u 4.
(m, n)
D B) 30 u E) 18 u
(2, 9) A) 6 D) –1/4
C) 20 u
B) –4 E) 1/4 NIVEL III
Calcule r. (r: radio vector).
8.
Calcule x. Y
Y
X
X r
4
(6, 8) A) –12 D) 10
B) –10 E) 12
C) 4
( x; 2 3)
C) 14 A)
2
D) –2
B)
3
C) 2 3
E) 2 177
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría 9.
Calcule el área de la región triangular PQR.
P(6, 5)
Y
DESAFÍO 11. Al unir los puntos M, N y P; la mayor distancia entre dichos puntos es: P(5, 4)
M(3, 2)
X R(2, 4)
Q A) 18 u2 D) 24 u2
B) 36 u2 E) 32 u2
N(1, 1)
C) 45 u2 A)
10. Calcule el perímetro del triángulo equilátero ABC.
B) 5
5
D) 6
E)
C)
61
68
12. Calcule las coordenadas del centro de la circunferencia y el radio r.
B(2, 8)
(6, 5)
O A(3, 4) A) 52 u D) 42 u
B) 30 u E) 39 u
C C) 21 u
r (2 , 1) A) (2, –1) r=5 C) (–2, 1) r=10 E) (2, 2) r=10
178
B) (2, 2), r=5 D) (2, –2) r=10
Trigonometria
Euler
2016
•
Alumno(a)
:
______________________________________________________________ Trigonometría
•
Curso
:
____________________________________________ • Aula : __________
•
Profesor
:
______________________________________________________________
1.
Calcule M = a + b2. A) B) C) D) E)
Y
(4, 5)
23 18 17 21 20
6.
b
a 2.
A) B) C) D) E)
X
Calcule Q=a/b. 7.
C) 1/4
E) –1/2
DV . DH
E) 3
(a, b) (5, 2)
8.
Y
A) 3/2 B) 2/3
DV
C) 4/3 ( 5, 7) (8, 7)
9.
N
D) 41 u
X
E) 52 u
Q
M(7, 2)
Calcule el área de la región triangular PQR. R(2, 8) Y B) 35 u2 D) 28 u2
X
E) 16 u2 P(6, 3)
Q
A) 30 u
X
B) –3
B) 24 u C) 39 u
10
D) 46 u
D) –2 E) 2
X
10. Calcule el perímetro del triángulo equilátero ABC. B (2, 8)
Y
A) –4 C) 3
(5, 3)
C) 44 u2
C) 28 u
Calcule y.
Y
A) 36 u2
P(3, 4)
B) 36 u
5.
–5 –6(m, n) (m, n) –7 –8 –9
(4, 7)
DH
Calcule el perímetro del rectángulo MNPQ. Y A) 32 u
Calcule R = m – n. A) B) C) D) E)
X
D) 7/2
X
D) 2
b
(4, 8)
4.
Y
B) 1/3
D) 2
E) 3/4
Calcule M=a/b. A) –1/2
C) 1/2
Calcule P
(x, y)
(3, 6)
X
B) –1/3
3.
3 2 4 –4 –2
(9, 11)
Y
a
A) –2
xy . 2 (7, 3)
Calcule K
(1, y)
E) 51 u
A(6, 7)
C 179
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
ÁNGULOS EN POSICION NORMAL
18
•
Define y reconoce las características de los ángulos en posición normal.
•
Aplica la definición en la resolución de problemas.
•
Reconoce los sentidos de giro y la formación de ángulos positivos y ángulos negativos.
Un mensaje ... Una reflexión
HOY APRENDI QUE
El obstáculo más grande es el MIEDO El día más bello es HOY El mayor error es DARSE POR VENCIDO La mayor satisfacción es el TRABAJO El mayor conocimiento es DIOS Lo más maravilloso del mundo es el AMOR La felicidad más grande es la PAZ
180
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
ÁNGULOS EN POSICION NORMAL son ángulos trigonométricos
también
ángulos en posición canónica
llamados cuyo
lado inicial
lado final
vértice
coincide con el
se ubica en
semieje positivo de las abcisas (Eje x positivo)
origen de coordenadas
se puede ubicar en cualquier cuadrante del plano cartesiano
además se generan
ángulos positivos
ángulos negativos
Y
Y
X X
: ángulo positivo
: ángulo negativo
181
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL A.
Definición Son aquellos ángulos trigonométricos cuyo vértice está en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el semieje positivo de las abcisas, y su lado final puede ubicarse en cualquier cuadrante o semieje del plano cartesiano. Tenemos ángulos positivos y ángulos negativos, según el sentido de giro.
Y X
: ángulo en posición normal : ángulo negativo
Y Ejemplos:
Y
X
Y 210° X
: ángulo en posición normal : ángulo positivo
1.
210° X
¿Qué ángulos están en posición normal?
Resolución: Los ángulos y están en posición normal porque tienen como vértice el origen de coordenadas y como lado inicial al semieje x positivo.
Y
2.
Calcule .
X
Y 50°
182
X
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría Resolución:
Resolución:
Y
180°
110° 70°
X
50°
50°
40°
“ ” es positivo =180°+50°
: ángulo positivo =110°
230
: ángulo negativo =–50°
110 (50) 60 3.
Calcule .
Y
70°
40°
1.
X
NIVEL I ¿Qué ángulo(s) están en posición normal?
2.
¿Qué ángulo(s) están en posición normal?
Y Y
X
X
Rpta.: y Rpta.: y
183
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría 3.
¿Qué ángulo(s) están en posición normal?
8.
Calcule .
Y
Y
X
10° X
55°
Rpta.: Rpta.: 135° 4.
Calcule . NIVEL II
Y
9.
Calcule .
40°
Y
X
50°
Rpta.: 50°
X
5.
20°
Calcule . Y
Rpta.: 240°
45°
10. Calcule .
Y
X Rpta.: 135° 6.
Calcule .
30°
Y
X
45°
60°
Rpta.: 255°
X
11. Calcule . Rpta.: –210
7.
Calcule .
Y
Y 30°
20°
135°
X
X
Rpta.: –100 Rpta.: 225° 184
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría 12. Calcule
15. Calcule A 3 2 .
Y
Y
145°
X
70°
30°
X
Rpta.: –215°
Rpta.: 20
NIVEL III 16. Calcule R
13. Calcule .
Y
.
Y
15°
30°
X
55°
20°
X
Rpta.: –10° Rpta.:
14. Calcule Q 2 3 .
3 5
Y
10°
X
40°
Rpta.: 190°
185
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
1.
NIVEL I Qué ángulo(s) están en posición normal? Fundamentar.
4.
Calcule .
Y Y
A) 150° D) –130°
2.
B)
D)
E) y
C)
Qué ángulo(s) están Fundamentar.
X
A) y
X
40°
B) 130° E) 140°
C) –140°
NIVEL II 5.
Calcule .
Y
en posición normal?
40°
Y
X
55°
X
A) 135° D) –105° 6.
3.
A)
B) y
D)
E) y
B) –125° E) 105°
C) 125°
Calcule .
C) Y
Calcule .
10°
X
20°
Y
35° X
A) 50° D) 55° 186
B) 25° E) 45°
C) 35°
A) –240° D) –120°
B) 240° E) –100°
C) 120°
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría 7.
Calcule .
10. Calcule M 2 3 . Y
Y
120°
70° X
X
10°
A) 14° D) –240°
B) –130° E) –120°
C) 120°
NIVEL III 8.
A) 420° D) –320°
B) 390° E) 560°
C) –380°
DESAFÍO HELICOIDAL 11. Calcule el valor de b es función a x.
Calcule .
Y
Y
b
40°
x X
X 30°
A) 110° D) 70° 9.
B) –70° E) 10°
C) –10°
A) b = 90° – x C) b = –x – 90° E) b = –x + 90°
B) b = –90° + x D) b = 90° + x
12. Calcule el valor de a en función a x.
Calcule Q 2 3 .
Y Y
X 30°
x
a
X 60°
A) 90° D) 120°
B) –150° E) –140°
C) –120°
A) –a = –x + 90° C) –a = 90° + x E) a = 90° + x
B) a = –90° – x D) a = –x + 90°
187
Trigonometria
Euler
2016
•
Trigonometría Alumno(a) : ______________________________________________________________
•
Curso
:
____________________________________________ • Aula : __________
•
Profesor
:
______________________________________________________________
1.
¿Qué ángulo(s) están en posición normal? Fundamente.
4.
Coloca (si) o (no) según corresponda, de acuerdo al gráfico. Y
Y
X X
está en posición normal.
( )
II. está en posición normal.
( )
I. A) 2.
B)
D) y E) y
C)
III. está en posición normal. ( ) A) si, no, no B) si, no, si C) si, si, si D) no, no, si E) no, si, si
¿Qué ángulo(s) están en posición normal?
Y
5.
Calcule .
Y
X
10°
A) y B) 3.
D)
C)
E) y
A) 130° D) 150°
X
B) 160° E) 140°
C) 170°
¿Qué ángulo(s) están en posición normal? 6.
Calcule .
Y
Y
X
X
40°
A)
188
B)
C)
D) y E) y
A) 30° D) 40°
B) –40° E) –50°
C) 50°
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría 7.
Calcule .
9.
Calcule A 2 .
Y
Y
60° 70°
X 80°
80°
X
A) –10° D) –20° 8.
B) –30° E) –50°
C) –40°
Calcule .
A) 200° D) 230°
B) 160° E) 240°
10. Calcule K 3 2 .
Y
Y 50°
50°
X
50°
A) 150° D) –210°
C) 140°
B) –100° E) –200°
X
70°
C) 100°
A) 60° D) 50°
B) 70° E) 40°
C) 80°
189
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
CLAVES
AUTOEVALUACIÓN 1
2
3
4
5
6
A
E
B
C
D
D
7
8
9
10
11
12
B
B
B
A
C
E
CLAVES
AUTOEVALUACIÓN 1
2
3
4
5
6
E
A
B
D
C
E
7
8
9
10
11
12
B
D
B
E
E
B
CLAVES
AUTOEVALUACIÓN
190
1
2
3
4
5
6
E
B
D
C
E
A
7
8
9
10
11
12
D
E
C
E
D
B
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
RT DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
19
•
Define las razones trigonométricas.
•
Calcula expresiones numéricas reconociendo los elementos en ángulo en posición normal de los gráficos.
PUPILETRAS
*
Busque en el cuadro de pupiletras, las palabras escondidas.
•
abscisa
•
ordenada
•
radio
•
vector
•
seno
•
coseno
•
tangente
•
ángulo
•
posición
•
normal
K
C
R
S
E
N
O
M
A
L
P
H
L
O
O
I
M
P
A
L
C
U
L
A
M
T
R
A
P
R
A
Y
O
V
E
R
C
A
A
M
A
S
I
C
B
A
P
C
O
N
D
D
M
C
O
S
E
N
I
A
T
C
I
T
A
O
O
N
O
R
E
S
A
O
U
A
G
S
L
S
M
T
A
P
N
S
R
L
A
M
R
O
N
O
R
O
G
E
A
D
M
V
E
E
C
T
O
S
E
N
M
V
E
E
G
P
O
S
I
I
N
O
P
C
A
N
C
I
S
O
P
C
T
Q
T
N
A
C
A
N
G
U
L
I
O
O
A
T
V
T
A
D
I
R
M
O
R
A
D
O
L
U
G
N
A
A
N
N
191
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS EN POSICION NORMAL relaciona 3 elementos Y
(x, y) ordenada abscisa
además
r r x 2 y2
X r : radio vector
: ángulo en posición normal y se definen
sen
y r
cos
x r
tg
y x
Dado un ángulo en posición normal y P(x, y) un punto del lado final del ángulo se tiene: Donde:
Y
P(x, y) ordenada de P radio vector abscisa de P cos radio vector
y r x r
ordenada de P abscisa de P
y x
sen
r: radio vector x: abscisa del punto P y: ordenada del punto P
tg
X
192
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría A.
Radio vector (r) Es la distancia de un punto del plano al origen de coordenadas y lo calculamos como:
Y
P(x, y)
r x 2 y2 r
X r: radio vector
1.
2.
Calcule sen .
Calcule A sen cos . A) 0 D) –1
X
B) –1/5 E) 1
C) 1/5
Resolución
(1, 3)
i.
Calculamos el radio vector (r):
Y
X A) 1/3
B)
3 /3
D) 1/2
E)
2 /3
C)
r (3)2 (4)2
3 /2
i.
ii. x=3 y=–4 iii. Sabemos que:
y 3
Calculamos el radio vector (r):
r (1)2 ( 3)2
sen
y 4 r 5
cos
x 3 r 5
r 1 3 r 4
r2
A sen cos
ii. Sabemos que:
sen
(3, 4)
r 25 r 5
Resolución Determinamos las coordenadas del punto:
x 1
X
r 9 16
A
y 3 r 2
4 3 5 5
A
1 5
Rpta.: B
3 sen 2 Rpta.: C
193
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
3.
Calcule P
ii. x=–2
cos . tg
y=5
r 29
iii. Sabemos que:
A) 4/5
B) 1/ 29
D) 1/5 29
E) 4/5 29
cos
C) 4/ 29
Resolución i. Calculamos el radio vector (r):
r (2) (5)
2
x r
tg
x y
Reemplazamos en P:
2 2 29 5 4 P 5 29 P
Y 2
,
(2, 5)
r 4 25
Rpta.: E
r 29 X
1.
4.
NIVEL I Calcule el radio vector del punto P(6, 8).
Calcule sen.
Rpta.:10
5, 12) 2.
Y
Calcule el radio vector.
3, 4)
Y
X
Rpta.: 12/13
X 5.
Calcule cos .
Rpta.:5
Y 3.
Calcule el radio vector.
X
Y
8, 15)
X
1, 2)
Rpta.: 8/17
Rpta.: 5
194
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría 6.
Calcule tg.
10. Calcule A cos 2 .
Y
4, 6)
Y
1, 3)
X
X
Rpta.: –3/2 Rpta.:1/10 7.
Calcule K 13 sen. 11. Calcule N=sen cos .
Y Rpta.:–6/13
X
12. Calcule P sen cos .
2, 3) Rpta.: –3 8.
Y
3, 4)
Calcule M 4 cos 2 .
( 13, 1)
Y
X
Rpta.: 1/5
X
NIVEL III 13. Calcule M sen 2 tg 2 . Rpta.: 3
NIVEL II 9.
Y
Calcule M sen . 2
X
Y
1, 2)
X
Rpta.: 24/5
2, 5) Rpta.: 25/29
195
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría 14. Calcule N cos 2 tg 2 .
16 . Calcule Q 1 tg 2 .
Y
Y X
2, 1)
X
( 2, 3)
Rpta.: 21/20
Rpta.: 11/2
15. Calcule M 29(sen cos ) .
5, 2)
Y
X
Rpta.: –3
1.
2.
NIVEL I Calcule el radio vector (r) del punto P(3, 4). A) 6 B) 7 C) 5 D) 4 E) 9
Y
sen
(8, 15)
Calcule el radio vector (r).
cos
17
Y
tg
X
(6, 8) r
A) 15 , 8 , 15 17 17 8
B)
17 17 8 , , 15 8 15
D)
15 8 15 , , 17 17 8
X
A) 11 D) 13 3.
196
B) 10 E) 14
C) 12
Complete el cuadro con las razones trigonométricas, de acuerdo a la figura.
C)
17 17 8 , , 15 8 15
E)
15 8 15 , , 17 17 8
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría 4.
NIVEL III
Calcule tg . 8.
Calcule M sen cos .
Y
Y A) –1/7
X
B) 3/7
X
C) 5/7 D) –3/5
3, 6) A) –1/3 D) 1/2
B) 2 E) –2
(4, 3)
E) –7/5
C) –1/2 9.
Calcule R 5(sen cos ). Y
NIVEL II 5.
(1, 2)
Calcule K 5 sen.
Y
(2, 1)
A) 1
X A) –3 D) –1
X
B) –2 E) 2
B) 2
10. Calcule M
C) 1
C) 3
D) –1
sen . tg Y
(3, 4)
A) 5/3 6.
E) –2
B) 5/4
Calcule M 10cos 2.
C) 3/4
D) 3/5
Y
X
E) 4/3
X
DESAFIO 11. Calcule tg siendo M punto medio..
(3, 1)
Y
A) –1 A) 4 D) 9
B) 10 E) –4
C) 1
B) –2
(9, 12)
M
C) –3 7.
Calcule K sen cos.
(3, 6)
D) –4
X
E) –5
Y
12. Calcule
X
W 3 sen 6 cos Y
A) 1
(1, 4)
B) 2 C) 3
A) 9/16 D) –5/9
B) –4/17 E) 3/4
C) –3/11
X
D) 4 E) 5
( 6, 3)
197
Trigonometria
Euler
2016
•
Trigonometría Alumno(a) : ______________________________________________________________
•
Curso
:
____________________________________________ • Aula : __________
•
Profesor
:
______________________________________________________________
1.
4.
Calcule el radio vector (r).
Calcule cos .
Y
Y X
X
(5, 12) A) 12 D) 15 2.
(15, 8)
B) 13 E) 16
C) 14
Complete el cuadro con las razones trigonométricas. 12, 5)
sen cos
Y
13
5.
B) –8/15 E) 15/17
Y
X
A)
5 12 5 , , 13 13 12
B)
13 13 12 , , 5 12 5
C)
13 13 12 , , 5 12 5
D)
5 12 5 , , 13 13 12
E)
5 15 6 , , 13 14 13
A) –1 D) –4
6.
B) –2 E) –5
C) –3
Calcule M 5 cos .
Y (2, 1)
Y
X
(8, 4)
198
X
(1, 4)
Calcule tg .
A) 4 D) 1/4
C) 15/8
Calcule K 17sen.
tg
3.
A) –17/8 D) –8/17
B) 1/2 E) –2
C) 2
A) –3 D) –1
B) –2 E) –5
X
C) –4
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría 7.
Calcule P 6 cos .
9.
Calcule N sen 2 cos 2 .
Y
Y
X
X
(3, 5)
( 5, 1)
A) 11
B) 7
D) 3
E) 5
C) 2
A) 5 D) 4
B) 2 E) 1
C) 3
10. Calcule P sen tg . 8.
Calcule M sen cos . Y
Y
(1, 3)
X
X
(2, 5)
A) –3/29 D) –2/25
B) –10/29 E) 10/29
C) 7/29
A) 3/2
B) –3/2
D)
E) 3 / 2
3/2
C)
3
199
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
RT DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL II
20
•
Define las razones trigonométricas (ctg, sec, csc).
•
Aplica las definiciones de las RT en la resolución de problemas.
PUPINÚMEROS *
200
Encuentre los números y demuestre tu habilidad y rapidez.
•
2543
•
3527
•
2308
•
7745
•
9004
•
4549
•
7228
•
5356
•
8974
•
2109
4 5 7 8 9 3 6 6 8 4 1
3 2 2 4 3 5 9 7 5 7 2
1 2 5 5 3 2 0 4 5 6 5
1 3 4 5 4 9 1 4 6 8 7
9 6 3 7 8 9 7 8 4 9 3
0 1 7 6 5 9 3 8 1 0 4
0 0 8 1 8 0 5 2 1 0 9
4 9 9 2 4 1 2 2 2 3 8
4 8 6 3 3 2 7 7 4 5 9
4 7 5 4 2 3 0 8 4 6 6
5 6 0 1 2 3 0 0 1 5 7
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL II
Y (x, y) ordenada abscisa
r
X r: radio vector
: ángulo en posición normal
y se definen
ctg
x y
sec
r x
csc
r y
Dado un ángulo en posición normal y un punto P(x, y) que pertenece al lado final del ángulo , tenemos: Donde:
Y
P(x, y) Además calculamos el radio vector (r), así:
r: radio vector x: abscisa del punto P y: ordenada del punto P
r r = x 2 + y2 X
: ángulo en posición normal
ctg sec csc
abscisa del punto P ordenada del punto P radio vector abscisa del punto P radio vector ordenada del punto P
x y r x r y
201
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
1.
ii. Reemplazamos:
Calcule sec .
(3, 4)
r x r csc y sec
Y
13 3 13 2
iii. Efectuamos:
X
13 13 3 2 13 K 6 13 K 6 K
A) –5/4 B) 3/4 C) 5/4 D) –5/3 E) 5/3 Resolución i. Calculamos el radio vector (r):
Rpta.: B
r (3)2 (4)2 , r 25 3.
Calcule M ctg sec . 2
2
r5 ii. Luego reemplazamos:
Y
sec
r 5 x 3
sec
X
5 3
( 2, 1)
Rpta.: D 2.
A) 5/2 D) –5/2 Resolución
Calcule K sec csc .
B) –7/2 E) 7/2
C) 3/4
Y i.
Calculamos al radio vector (r): r ( 2)2 (1)2
r 3
X ii. Reemplazamos:
(3, 2)
M ctg 2 sec 2 A) 12/5 B) –13/6 C) 13/6 D) –13/5 E) 13/5 Resolución i. Calculamos el radio vector (r):
r (3)2 (2)2 r 13
2
2
2 3 M 1 2 2 3 M 1 2 43 7 M M 2 2 Rpta.: E
202
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
1.
NIVEL I Complete las razones trigonométricas.
5.
Calcule ctg 2 .
Y Y
ctg (8, 15) 17
sec
(5, 2)
csc
X
Rpta.: 25 4 Rpta.: 8 , 17 , 17 15 8 15
2.
X
6.
Calcule M sec csc . Y
Calcule sec .
(3, 5)
Y
X
X
(1, 1)
Rpta.: Rpta.:
3.
34 15
2 7.
Calcule csc .
Calcule A 5 ctg. Y
Y
X
X
(2, 5)
(2, 5) Rpta.:
Rpta.: 2
29 5 8.
4.
Calcule M 12csc .
Calcule ctg .
(12, 5)
Y
Y
(8, 2)
X
X Rpta.: –4
Rpta.: 156/5
203
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría NIVEL II 9.
NIVEL III
Calcule P 3 sec ctg.
13. Calcule P 10 sec ctg.
Y
Y (1, 3)
(1, 3) X
X
Rpta.: 2 10. Calcule M 2(ctg csc ) .
Rpta.: 10/3
14. Calcule A
ctg . sec
Y Y X
X
(1, 1) (3, 4) Rpta.: 2 11. Calcule K ctg 2 sec 2 .
Rpta.: –4/5
2
csc 15. Calcule B . ctg
Y
(2, 5)
X
Y
(3, 2)
X Rpta.: 17/9 Rpta.: 29/4 12. Calcule K csc sec . 16. Calcule M sec 2 ctg 2 . Y
(3, 4)
Y
X
X
(2, 5) Rpta.: 35/12 204
Rpta.: 29/20
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
NIVEL I 1.
4.
Calcule csc .
Complete la tabla. Y
Y
X
sec
( 5, 2)
41 (9, 40)
X
ctg
A) 2/3 D) –3/2
csc
B) 3/5 E) 2/7
C) 3/4
NIVEL II A) 9 , 41 , 41 40 9 40
B)
9 41 41 , , 40 9 40
C) 41 , 9 , 41 40 40 9
D)
5.
Calcule M sec csc .
Y
41 9 41 , , 40 40 9
(2, 4)
E) 41 , 41 , 9 , 40 9 40
X
2.
Calcule ctg .
A) 7/3 D) –3/2
B) –5/2 E) –7/2
C) –9/4
Y
X
6.
Calcule Q 10 csc ctg.
Y
(3, 9) A) 1 D) 1/2 3.
B) 3 E) 1/3
X
C) 2
(3, 1) A) 10/3 D) –10/3
Calcule sec .
Y
7.
B) 13 E) 30
C) 3/10
Calcule A 13 csc
(5, 2)
Y
A)
29
D) 29 / 2
B) 29 / 5 E) 29
X
X
(3, 2)
C) 5 A) –3 D) –13/3
B) 13/10 E) 3/13
C) 4/13
205
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría DESAFÍO HELICOIDAL
NIVEL III 8.
11. Calcule ctg siendo M punto medio..
Calcule A 29 csc ctg.
Y Y
(6, 8)
X
M
(5, 2) A) –27/4 D) –19/7 9.
B) –25/2 E) –29/2
X
C) –13/5 A) 3/4 D) 3/2
Calcule M 7 sec ctg .
(14, 4)
B) 2/5 E) 4/3
C) 2/3
12. Calcule:
Y
W 2ctg 3 csc
(1, 6) Y (1, 2) X
A) –7/4 D) –3/7
B) –7/6 E) –2/9
C) –6/5
10. Calcule P sec 2 ctg 2 .
A) –2 D) –6
Y
X
(3, 5)
A) 1 D) 4
206
B) 2 E) 5
C) 3
B) 4 E) 5
X
C) –4
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría •
Alumno(a)
:
______________________________________________________________
•
Curso
:
____________________________________________ • Aula : __________
•
Profesor
:
______________________________________________________________
1.
Complete la tabla según el gráfico.
4.
Calcule csc .
Y
Y ctg
(3, 4) 5
X
csc
X
2.
sec
(1, 5)
Calcule ctg.
Y
5.
A) 26/5
B) –5/26
D)
E) 26 / 5
26
C) 26
Calcule M sec csc .
X
Y
(6, 12)
A) 1 D) –1/2 3.
X
B) –2 E) 1/2
C) 2
(2, 5)
Calcule sec .
A) –29/2 D) –29/10 6.
Y
B) 29/2 E) 29/10
C) –29/5
Calcule Q 6ctg 2.
(3, 5) Y
X
X ( 6, 5)
A) 1/2
B) 5/8
D) –8/5
E)
34 / 5
C) 34 / 3 A) 21/97 D) 130/7
B) 100/7 E) 36/5
C) 15/17
207
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría 7.
Calcule Q 13 sec ctg.
9.
Calcule P csc 2 ctg 2 .
Y
Y
(2, 3)
X
(4, 3)
X
A) 18/7 D) 16/3
8.
B) 13/3 E) 17/4
C) 14/5
Calcule M 17 csc ctg.
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
10. Calcule M csc 2 ctg 2 .
Y
Y
X
X
(1, 4)
(3, 1) A) –12/9 D) –15/7
208
B) –13/21 E) –17/16
C) –14/3
A) 21 D) 18
B) 20 E) 16
C) 19
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
APLICACIONES DE LAS RT II
21
•
Afianza el reconocimiento en la definiciones de las razones trigonométricas.
•
Aplica las definiciones en la resolución de problemas.
PUPILETRAS *
Encuentre las palabras en la sopa de letras.
•
cotangente
•
secante
•
cosecante
•
ordenada
•
abscisa
•
radio
•
vector
•
coordenadas
•
punto
C A C O O R D E N A D A S
O B R M A R I A S B I R A
S S A N G E L M I R V A B
S C D H I N E N C E A D I
E C I P U N T O D N N I O
C I O F A B N O B D P U L
A S P S L S E C A N T E A
N O E M E A G R I T V P V
T C A D A C N D R R B U B
A B S C I S A S Q O R N R
T F A B I R T N P T E T E
A B C O O R O D T C N I N
N A L L M N C O T E D T D
G A D A N E D R O V A O A
F A B I O A N I C M O R A
209
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL II
Y
P(x, y)
Donde: x: abscisa y: ordenada r: radio vector
Además
X
r x 2 y2
: ángulo en posición normal y definimos
sen
y r
cos
x r
tg
y x
En este capítulo, repasaremos todas las definiciones de las razones trigonométricas, pero antes recordaremos:
ctg
x y
sec
P(x, y)
cos r
tg Donde x: abscisa y: ordenada r: radio vector
210
X
csc
r y
Y definimos las razones trigonométricas, así:
sen
Y
r x
ctg sec csc
ordenada radio vector abscisa radio vector ordenada abscisa abscisa ordenada radio vector abscisa radio vector ordenada
y r x r y x x y r x r y
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
1.
ii. Sabemos que:
Calcule sec .
x :1
Y
y: 3 (7, 3)
r:2 iii. Reemplazamos:
X
A) 29 /7
B)
29 /7
D) 58/7
E)
58 /7
sen
C) 58 /7
y 3 r 2
sen
3 2
Resolución i. Hallamos el radio vector (r):
Rpta.: A
r 2 (7)2 (3)2
3.
Calcule A sen2 cos 2 .
r 2 58 r 58
Y
ii. Sabemos que:
sec
x : 7
r x
y:3
X
(2, 7)
iii. Reemplazamos:
sec
58 7 Rpta.: C
2.
Calcule sen .
A) 3 B) 1 C) 2 D) –1 E) 0 Resolución i. Calculamos el radio vector (r):
r (2)2 (7)2
Y
(1, 3)
r 53 ii. Sabemos que:
sen X
y r
cos
x r
iii. Reemplazamos: A)
3 /2
D) 1/2
B) 3 /2 E) 3 /3
Resolución i. Calculamos el radio vector (r):
r (1)2 ( 3)2
C)
3 /3 2
2 7 A 53 53 4 49 53 A 1 53 53 53
2
A 1
r 4 r2
Rpta.: B
211
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
1.
NIVEL I Calcule las razones trigonométricas según el gráfico.
4.
Calcule N tg ctg . Y (2, 5)
sen X
Y
cos
Rpta.: –29/10
(4, 3) tg
5
5.
Calcule W sen tg .
ctg X
Y
sec
X
csc
(4, 3) Rpta.:
2.
3 4 3 4 5 5 , , , , , 5 5 4 3 4 3 6.
Calcule P sen cos .
Y
Rpta.: –3/5 Calcule M cos csc .
Y (5, 12)
X
(2, 3)
X
Rpta.: –2/3
Rpta.: 17/13
3.
Calcule K 17 cos 1.
7.
Calcule K
ctg . sen
Y Y
X
(1, 4)
(5, 1) Rpta.: 0
212
X
Rpta.: 5 26
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría 8.
12. Calcule:
Calcule M 5 sec ctg .
N csc 2 ctg 2 Y
Y
X
X
(1, 2)
(2, 1)
Rpta.: 1 Rpta.: –5 NIVEL III 13. Calcule Q sen cos 2 .
NIVEL II 9.
2
Calcule M 26 csc tg .
Y Y
(3, 5)
(4, 5)
X
X Rpta.: 1 Rpta.: –26 14. Calcule A csc 2 ctg 2 . 10. Calcule Q 5 ctg sec .
Y
Y
(1, 1)
(2, 5)
X
X Rpta.: 1
Rpta.: 3 15. Calcule W 10 ctg sec
11. Calcule:
M sen 2 ctg 2 Y (1, 3)
Y (1, 5)
X
X Rpta.: 10/3 Rpta.: 31/30
213
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría 16. Calcule K 3tg 5ctg.
Y (3, 5) X
Rpta.: –8
1.
NIVEL I Complete la tabla con las razones trigonométricas correspondientes.
2.
Calcule A 12ctg .
Y
A) –12 B) 12
sen
C) –16
Y
cos tg ctg
41
X
E) 13
X 3.
Calcule M ctg sen.
(9, 40)
C) 9/25
E) 7/24
A) 40 , 9 , 40 , 41 , 41 , 41 41 41 9 9 9 40
C) 41 , 9 , 40 , 40 41 , 41 9 41 41 9 9 40
(7, 24)
B) 25/7
D) 7/25
B) 41 , 40 , 40 , 9 , 9 , 41 9 41 9 41 41 40
Y
A) 24/25
csc
214
D) –15
sec
4.
X
Calcule M sec csc .
A) 31/17 B) 19/21
40 9 40 42 41 41 , , , , , 9 41 41 9 9 40
C) 17/19
E) 41 , 9 , 49 , 40 , 41 , 40 9 41 5 41 9 41
E) 29/10
D)
(8, 6)
Y X
D) 21/10
(2, 5)
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría NIVEL II 5.
9.
Calcule Q 17 sec ctg .
Y
Y
A) 3
A) 17/4
B) 5
B) –17/4
C) –13/2
X
X
C) 4 D) 1
D) –9/5
(1, 4)
E) 17/5
6.
Calcule M csc 2 ctg 2 .
E) 2
(2 , 5)
10. Calcule P sen2 cos 2 .
Calcule M 13 csc tg.
Y A) 3/14
Y
(3, 2)
B) 13/6 C) 13/4 D) 3/13
E) 13/3 7.
A) B) C) D) E)
5 4 3 2 1
(3, 5) X
X
DESAFÍO
Calcule A 3ctg sec .
11. Calcule W 2 ctg 3 sec .
Y Y
A) –6
X
B) –4
(1, 2)
C) 4 D) 2
(2, 5)
E) 5 A) 9 5 5
B) 3 2 4
D) 9 3 2
E) 8 2 3
C) 7 3 6
12. Calcule cos .
Y
X 2 13
NIVEL III 8.
Calcule L
A) 25/32
ctg 2 . sen2
(6, y)
Y
B)
D) 13
E) 13 2
C) 2 13
X
D) 26/25 E) 13/12
13 2
A) 2 13
B) 27/31 C) 14/17
X
(1, 5)
215
Trigonometria
Euler
2016
•
Trigonometría Alumno(a) : ______________________________________________________________
•
Curso
:
____________________________________________ • Aula : __________
•
Profesor
:
______________________________________________________________
1.
Complete la tabla con las razones trigonométricas que según el gráfico mostrado.
4.
Calcule M sen tg .
Y sen
(4, 3)
cos
Y
tg
ctg
X
X 13 A) –17/5 D) –20/3
(5, 12)
sec csc
5.
2.
Calcule P
B) 6/17 E) 3/7
C) –3/20
csc . sec
Calcule P sen cos .
Y
Y
X X (7, 2)
(3, 4) A) 21/13 D) 13/21 3.
B) 27/12 E) 12/25
C) 25/14
Calcule Q sec csc .
A) 7/2 D) 2/9 6.
B) 2/3 E) 9/4
C) 3/5
Calcule P tg ctg .
Y
Y
(1, 3)
X
(3, 5)
A) 36/19 D) 17/4
216
B) –34/15 E) –17/8
C) 15/34
X
A) 13/5 D) 2/7
B) 11/4 E) 10/3
C) 3/10
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría 7.
Calcule Q 10 csc tg.
9.
Calcule N sen 2 cos 2 .
Y
Y X
(1, 3)
A) –16 D) –12
8.
(1, 2)
B) –15 E) –13
C) –10
Calcule M 5 sec ctg.
A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
Y
(2, 1)
(4, 1)
X
B) 2 E) 5
C) 3
10. Calcule A sec 2 tg 2 .
Y
A) 1 D) 4
X
C) 3
X
A) 5 D) 2
B) 4 E) 1
C) 3
217
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
CLAVES
AUTOEVALUACIÓN 1
2
3
4
5
6
C
B
A
E
C
D
7
8
9
10
11
12
B
E
A
D
C
A
CLAVES
AUTOEVALUACIÓN 1
2
3
4
5
6
A
E
B
D
B
E
7
8
9
10
11
12
D
E
B
A
C
A
CLAVES
AUTOEVALUACIÓN
218
1
2
3
4
5
6
A
C
D
E
B
E
7
8
9
10
11
12
A
D
D
E
B
E
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
REGLA DE LOS SIGNOS DE LAS RT
22 Aprendizajes esperados Aprendizajes esperados • •
Reconoce los signos de las RT según el cuadrante en que se ubican. Calcula expresiones determinando los signos de las RT respectivamente.
Estrategias motivadoras Pupiletras Demuestre su habilidad, buscando las palabras de la columna en la sopa de letras. ¡Suerte! Colorea de amarillo las palabras encontradas. –
LOS
–
RAZONES
–
UN
–
FINAL
–
SIGNOS
–
TRIGONOMÉTRICAS
–
PUNTO
–
DE
–
DE
–
DEPENDEN
–
DEL
–
ESTE
–
LAS
–
DE
–
LADO
–
ÁNGULO
S
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B
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E
E
S
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G
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D
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T
Q
D
P
R
S
T
K
U
A
A
N
G
U
L
O
R
D
G
P
219
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
Organizador visual La determinación de signos de las RT, las resumimos en el siguiente cuadro:
Determinación del signo de las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal Los signos de las RT dependerán del cuadrante en el que ubique el ángulo en posición normal. Observe la ubicación de α en los diferentes cuadrantes.
220
⇒
⇒
⇒
⇒
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría Ejemplo aplicativo Indique el cuadrante al que pertenecen los ángulos. a)
120 º ∈ ________
b)
190º ∈ ________
c)
40º ∈ ________
d)
290º ∈ ________
e)
250º ∈ ________
En el siguiente cuadro se aprecia un criterio para recordar los signos de las RT:
Nota. Las razones trigonométricas que no aparecen son negativas (–).
El lado final nos indica el cuadrante al que pertenece el ángulo en posición normal.
221
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
1.
Resolución i) α ∈ IC ⇒ tgα = (+) q ∈ IIC ⇒ senq = (+) Reemplazamos signos en M: M = (+) (+) = (+)
Determine el signo de: K=
sen α ⋅ sen f ctg b
ii)
q ∈ IIC ⇒ ctgq = (–) b ∈ IVC ⇒ secb = (+) Reemplazamos signos en N: N = (–) (+) = (–)
iii) q ∈ IIC ⇒ cosq = (–) b ∈ IVC ⇒ tgb = (–) Reemplazamos signos en P: P = (–) (–) = (+) A) (+) D) 0
B) (–) E) F. D.
Rpta.: C
C) (±) 3.
Resolución i) Según el gráfico: α ∈ IIC ⇒ senα = (+) f ∈ IC ⇒ secf = (+) b ∈ IIIC ⇒ ctgb = (+) ii) Reemplazamos los signos en la expresión:
222
B) (+), (+), (–) D) (–), (–), (+)
B) (–), (+)
E) 0, 0
Si α ∈ IC, q ∈ IIC y β ∈ IV C, determine el signo de M, N y P.
A) (–), (+), (+) C) (+), (–), (+) E) (–), (+), (–)
A) (+), (–)
D) (–), (–)
Rpta.: A
M = tgα ⋅ senq N = ctgq ⋅ secb P = cosq ⋅ tgb
P = tg200º ⋅ cos120º Q = sen280º ⋅ ctg100º
C) (+), (+)
(+)(+) K= = (+) (+)
2.
Determine los signos de P y Q.
Resolución i) 200º ∈ IIIC ⇒ tg200º = (+)
120º ∈ IIC ⇒ cos120º = (–)
∴ P = (+) (–) = (–)
ii) 280º ∈ IVC ⇒ sen280º = (–)
100º ∈ IIC ⇒ ctg100º = (–) ∴ Q = (–) (–) = (+) Rpta.: B
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
Nivel I 1.
5.
Determine el signo de secb y ctgα.
Determine el signo de senα.
Rpta.: (+), (–) Rpta.: (+) 2.
6.
Determine el signo de tgf.
Determine el signo respectivamente.
de
7.
Determine el signo de secb.
8.
Determine el signo de tgα y senf.
Rpta.: (–), (–)
y
ctgq
Determine el signo respectivamente.
de
secf,
tgα
y
cosb
Rpta.: (–), (+), (+)
Rpta.: (+) 4.
tgb
Rpta.: (–), (+), (+)
Rpta.: (–) 3.
senα,
Determine el signo de P = seca ⋅ ctgb ⋅ cosf.
Rpta.: (+)
223
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría 12. Si f ∈ IVC, indique el signo de:
Nivel II 9.
Determine signo de A = cosf ⋅ ctga ⋅ senb.
A = tgf ⋅ senf ⋅ cosf L = secf ⋅ tgf ⋅ ctgf E = cosf ⋅ ctgf ⋅ cscf Rpta.: (+), (+), (+) Nivel III 13. Determine el signo de: A = sen100º ⋅ tg140º B = cos250º ⋅ csc320º
Rpta.: (–)
Rpta.: (–), (+)
10. Determine el signo de L = tgf . cosa 14. Indique el signo de:
P = tg210º ⋅ sen40º ⋅ cos190º Q = sen200º ⋅ tg120º ⋅ cos 300º R = cos150º ⋅ sen220º ⋅ ctg100º Rpta.: (+), (–), (+) 15. Indique el signo de: A = csc300º ⋅ csc80º sen140º
Rpta.: (–)
Rpta.: (–)
11. Si a ∈ IIC, indique el signo: A = cosa y L = sena tga csca
16. Indique el cuadrante al que pertenece f si tgf > 0 y senf < 0.
Rpta.: (+), (+) Rpta.: IIIC
Nivel I 1.
Determine el signo de ctgf.
Determine el signo de secα.
A) (+) D) (–) 224
2.
B) (±) E) F. D.
C) 0
A) (–) D) F. D.
B) (±) E) (+)
C) (–) ó (+)
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría 3.
7.
Determine el signo de ctgα y senb.
Si f ∈ IVC, indique el signo de: P = ctgf ⋅ secf ⋅ cscf Q = senf ⋅ cosf ⋅ tgf R = tgf ⋅ cscf ⋅ senf A) (–), (–), (+) C) (–), (+), (–) E) (–), (+), (+)
A) (+), (+) D) (–), (+) 4.
B) (–), (–) E) 0, 0
C) (+), (–)
B) (+), (+), (–) D) (+), (–), (–)
Nivel III 8.
Determine el signo de: M = ctg200º ⋅ tg200º ⋅ sen200º N = sec100º ⋅ ctg100º ⋅ csc100º
Determine el signo de tgf y cosα.
A) (–), (+) D) (–), (–) 9.
B) (+), (–) E) (+), (+)
C) 0, 0
Indique el signo de: A = tg300º ⋅ cos50º ⋅ sen150º B = cos220º ⋅ tg170º ⋅ sec340º C = sen140º ⋅ cos130º ⋅ ctg95º
A) (+), (–) D) (–), (+)
B) (–), (–) E) 0, 0
C) (+), (+)
Nivel II 5.
A) (+), (+), (–) C) (–), (–), (+) E) (–), (–), (–)
B) (–), (+), (–) D) (+), (+), (+)
10. Indique el cuadrante al que pertenece α, si:
Determine el signo de K = cosα ⋅ tgf ⋅ senb.
cosα < 0 y senα > 0 A) IC D) IVC
B) IIC E) N. A.
C) IIIC
DESAFÍO 11. Siendo f un ángulo menor que una vuelta y perteneciente al cuarto cuadrante, dé el signo de tg f . 2 A) (–) D) (+) 6.
B) (±) E) F. D.
C) 0
A) 0 D) (±)
A = tga ⋅ seca ⋅ sena M = cosa ⋅ ctga ⋅ csca B) (–), (–) E) (+), (+)
C) (–)
12. Determine el cuadrante de:
Si a ∈ IIIC, indique el signo de:
A) 0, 0 D) (–), (+)
B) (+) E) F. D.
C) (+), (–)
tg f ⋅ cos f < 0 A) IC D) IVC
B) IIC E) N. A.
C) IIIC
225
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría Alumno(a) : ____________________________________________________________________ Curso
: __________________________________________________ Aula : __________
Profesor
: ____________________________________________________________________
1.
6.
Determine el signo cosg.
Determine el signo de P = tgf ⋅ secb ⋅ cosa.
A) (+) B) (–) C) (±) D) 0 E) F. D. 2.
Determine el signo de tga. A) (–) D) 0
A) (+) B) 0 C) (±)
7.
B) (+) E) F. D.
Si α ∈ IVC, determine el signo de:
D) F. D.
Q = tga ⋅ cosa ⋅ sena N = sena ⋅ ctga ⋅ csca
E) (–) 3.
Determine el signo respectivamente.
de
tga,
cosf
A) (+), (+), (–) B) (+), (+), (+) C) (+), (–), (–) D) (–), (–), (+) E) (–), (+), (–) 4.
y
senb
A) (+), (+) D) (+), (–) 8.
B) (–), (–), (–)
A) (+), (–) D) (+), (+) 9.
A) (+), (+), (+) B) (–), (+), (–)
P=
E) (+), (+), (–)
226
C) (–), (+)
sen120º cos300º Q = tg200º sen100º R=
ctg250º sen320º
A) (+), (–), (+) C) (+), (+), (+) E) (–), (–), (+)
B) (–), (–), (–) D) (+), (+), (–)
10. Indique el cuadrante al que pertenece f si se cumple que: tgf > 0 y cscf < 0
C) (+), (–), (+) D) (–), (–), (+)
B) (–), (–) E) 0, 0
Indique el signo de:
D) (–), (–), (+)
Determine el signo de senf, cosa y secb.
C) 0, 0
Determine el signo de:
C) (+), (+), (–) E) (+), (+), (+)
B) (–), (–) E) (–), (+)
P = cos300º ⋅ sec300º ⋅ tg300º Q = tg150º ⋅ sec150º ⋅ ctg150º
Determine el signo de cosf, ctgb y seca.
A) (–), (+), (–)
5.
C) (±)
A) IC D) IVC
B) IIC E) N. A.
C) IIIC
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
RAZONES TRIGONOMÉTRICA DE ÁNGULOS CUADRANTALES
23
Aprendizajes esperados Aprendizajes esperados • •
Reconoce los ángulos cuadrantales. Resuelve operaciones con los valores numéricos de las razones trigonométricas de ángulos cuadrantales.
Estrategias motivadoras Crucipersonajes A lo largo del estudio, de esta rama importante de la matemática, la trigonométrica, han sido muchos los personajes que forman parte de la misma. Encuentra sus nombres: –
HIPARCO DE NICEA
–
LEONARD EULER
–
JHON NAPIER
–
PTOLOMEO
–
EUCLIDES
–
NASSIR EDIN
–
FRANCOIS EULER
–
GEORGE JOACHIM
–
JEAN FOURIER
H
V
O
J
O
H
A
N
M
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L
L
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R
V
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E
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C
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C
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A
L
M
A
G
I
S
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A
L
E
O
227
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
Organizador visual ÁNGULOS CUADRANTALES son Ángulos en posición normal cuyo Lado final coincide con un Eje del plano cartesiano
su forma
90º n, n ∈ las más conocidas
0º, 90º, 180º, 270º, 360º
ÁNGULOS CUADRANTALES Son aquellos ángulos en posición normal cuyo lado final coincide con algún eje del plano cartesiano. Su medida es múltiplo de 90º. Tienen la forma 90º n Donde n ∈
228
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
Los ángulos cuadrantales NO pertenecen a ningún cuadrante.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS CUADRANTALES En este capítulo, estudiaremos las razones trigonométricas de los ángulos cuadrantales que son utilizados con mayor frecuencia: 0º, 90º, 180º, 270º, 360º Los valores de las razones trigonométricas de los ángulos cuadrantales de mayor aplicación se muestra en el cuadro adjunto. 0º
90º
180º
270º
360º
sen
0
1
0
–1
0
cos
1
0
–1
0
1
tg
0
ND
0
ND
0
ctg
ND
0
ND
0
ND
sec
1
ND
–1
ND
1
csc
ND
1
ND
–1
ND
Donde ND: no definidos.
1.
3.
Calcule M = 7 sen90º + cos180º. A) 6 D) 9
B) 7 E) 10
Si F(x) = sen x + cos x + tg x , calcule F(π). 2 2 4
C) 8 A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
Resolución Resolución Del dato:
M = 7(1) + (–1) M = 7 – 1 M=8 Rpta.: C 2.
⇒x=π
Calcule E = 8cos0º + 2sen90º . 2cos360º + 5tg0º A) 1 D) 4 Resolución
B) 2 E) 5
Reemplazamos: π π π F(π) = sen + cos + tg 2 2 4 ↓
C) 3
E = 8(1) + 2(1) 2(1) + 5(0) E = 10 = 5 2
Rpta.: E
180º 180º 180º F(180º ) = sen + cos + tg 2 2 4 F(π) = sen 90º + cos 90º + tg 45º F(π) = 1 + 0 + 1 F(π) = 2 Rpta.: B 229
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
Nivel I 1.
Nivel II
Calcule A = sen0º + cos90º + sen90º.
9.
Calcule F = 6cos0º + sen90º . 5ctg90º + sec0º
Rpta.: 2 2.
Rpta.: 7 10. Calcule Q = 6cos0º + 4sen90º . 8tg0º + 2cos360º
Calcule L = cos0º + sen90º + sec360º.
Rpta.: 5
Rpta.: 3 3.
11. Calcule N = 7cos0º – 3cos180º . cos360º + cos0º
Calcule E = 5sen180º + 4sec360º.
Rpta.: 5
Rpta.: 4 4.
12. Calcule M = 4sen180º + 3sec0º . csc270º
Calcule M = sen270º ⋅ cos180º + sec0º.
Rpta.: –3 Rpta.: 2 5.
Calcule P = 3sen90º + 2sec360º + cos180º.
Nivel III 13. Si f = 30, calcule P = sen3f + 2cos6f + 3sen9f.
Rpta.: –4
Rpta.: 4 6.
14. Si f = 90º, calcule Q = csc3f – sec4f + 5sec2f.
Calcule R = 3sen270º + sec180º.
Rpta.: –7
Rpta.: –4 7.
15. Calcule x si:
Calcule Q = 5 sen90º – 2cos180º.
xcos360º + 2cos90º = cos180º Rpta.: 7
8.
Calcule A = 8csc90º + 2sen90º . 5tg0º + cos360º
Rpta.: –1 16. Calcule x si:
Rpta.: 10
csc270º = 2x + 2 x–3 Rpta.: 1/3
230
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
Nivel III
Nivel I 1.
2.
3.
4.
Calcule T = cos180º + sen270º. A) 0
B) 1
D) –3
E) 3
8. C) 2
Calcule P = cos90º + sen180º – tg180º. A) 1
B) 2
D) –1
E) 0
C) –2
B) –2
D) –4
E) –5
C) –3
A) 1
B) 2
D) 5
E) –2
6.
7.
B) 1
D) 3
E) 1/3
B) 2
D) √2
E) 0
B) –1
D) –2
E) 0
E) 0
Calcule n si sec360º = 5n – 12 . 3n + 2 A) 4
B) –4
D) 6
E) 7
C) 5
A) 1
B) 1/2
D) 3/4
E) 3
C) 2
11. Si
F(x) = 2sen2x + 3cos3x , 4sec4x p calcule F . 2
C) 2
C) –1
C) 2
A) 2 5
B) 1 4
D) 1 2
E) – 3 2
C) 3 2
12. Calcule
Calcule R = sen90º + cos270º . tg180º + cos360º A) 1
D) –2
C) 2
DESAFÍO
Calcule A= 2cos 360º +2cos 0º.
A) 1
B) –1
C) –1
2 Calcule M = sen90º + (cos180º) . 4
A) 1/2
A) 1
10. Calcule x si sen0º = 2x – 4 . x+1
Calcule R = 3cos0º – 2sen90º.
Nivel II 5.
9.
Calcule A = sec0º + sec180º + csc270º.
A) –1
Calcule x si xcos360º = sec0º + sen90º.
E=
(a+b)2 sec360º + (a–b)2 cos180º . 2abcsc270º
A) 1
B) 2
D) –3
E) –2
C) 3
231
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría Alumno(a) : ____________________________________________________________________ Curso
: __________________________________________________ Aula : __________
Profesor
: ____________________________________________________________________
1.
Calcule
6.
Calcule
P = 2csc270º + sen180º.
P = 2sen90º + 2cos360º + 3sen180º.
A) 1 D) 0
B) –2 E) 2
2.
Calcule
R = sec0º + csc90º. A) 1 D) 2
B) –1 E) –2
3.
Calcule
A = 7sen90º – 2cos180º. A) 6 D) 9
B) 7 E) 10
A) 4 D) 7
C) –1 7.
Calcule
Q = sen0º + 5sen90º . cos0º + cos90º A) 2 D) 5
C) 0
Calcule
L = 4tg0º – sec180º. A) 5 D) 7
B) 3 E) –2
Calcule
E = 3sen0º – 4sen270º . cos360º + sen90º A) 1 D) –2
C) 8
Calcule
N = 8sec360º – 2csc270º . 2sen90º A) 6 D) 4
232
B) 5 E) 7
C) 2
B) 2 E) –2
C) 3
sec180º = 3x – 4 . x+2 A) 1 D) –1/2
C) 3
C) 4
10. Calcule
5.
B) –1 E) 0
C) 6
Calcule x si xcsc90º = 3cos360º – csc270º. A) 1 D) 4
C) 1
B) 3 E) 7
8.
9. 4.
B) 5 E) 8
B) –1 E) 2
C) 1/2
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
REPASO GENERAL
24 Aprendizajes Aprendizajes esperados esperados • • •
Refuerza los conocimientos ya estudiados anteriormente. Determina los signos de las razones trigonométricas. Reconoce las RT de ángulos cuadrantales.
Estrategias motivadoras Pupiletras En nuestra última clase y si te haz portado bien, seguro que encuentras tu nombre. Búscalo y verás, suerte. –
ANGELO
–
PIERO
–
SOFÍA
–
RENATO
–
SEBASTIÁN
–
JAROD
–
CARLA
–
MARIO
–
IVÁN
–
DOMINIC
–
DAVID
–
ÓSCAR
–
KARINA
–
EDUARDO
–
JOHAN
–
ÁLEX
–
LUIS ÁNGEL
–
PIERINA
–
FÁTIMA
–
RODRIGO
–
LUIS
–
CAMILA
K
T
O
R
I
G
O
J
O
H
A
N
N
O
M
N
E
T
R
I
L
T
S
R
I
G
O
N
O
M
I
E
F
K
A
R
I
N
A
A
M
T
C
C
A
R
L
A
M
R
T
R
A
I
V
A
N
M
T
J
P
R
A
I
G
N
O
N
E
T
R
I
T
I
A
L
E
X
R
A
Q
I
R
E
T
H
G
I
E
O
N
S
I
R
D
K
R
P
I
R
R
G
O
N
O
M
P
E
M
E
A
T
M
R
O
D
R
I
E
O
L
E
G
N
A
S
I
U
L
B
A
B
A
G
M
O
M
E
O
D
A
D
T
M
A
O
E
H
E
O
T
R
I
T
I
E
A
R
N
N
T
U
E
T
R
F
R
S
T
R
I
E
C
O
N
O
M
I
O
A
R
A
M
O
N
I
O
T
E
M
A
A
T
I
I
C
A
N
M
D
A
R
O
E
D
A
V
I
D
H
M
A
T
E
C
A
R
A
E
I
B
D
I
R
T
A
I
R
T
E
M
A
O
N
O
G
I
R
T
C
A
O
P
K
M
N
P
Q
L
A
B
C
R
B
O
S
Z
A
R
U
J
U
R
R
R
E
N
A
T
O
D
E
F
I
S
A
M
I
I
R
T
R
I
G
O
N
O
M
E
T
R
I
A
B
O
N
I
T
O
S
233
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
Organizador visual
ÁNGULOS CUADRANTALES
REGLA DE SIGNOS el signo de la RT depende de
son ángulos cuyo lado final coincide con un eje del plano cartesiano.
la ubicación del ángulo (cuadrante)
Medida de un ángulo = 90ºn, n ∈ , cuadrantal
sus RT RT de los ángulos cuadrantes Valores numéricos de las RT de los ángulos cuadrantales
234
sen
cos
tg
ctg
sec
csc
0º
0
1
0
ND
1
ND
90º
1
0
ND
0
ND
1
180º
0
–1
0
ND
–1
ND
270º
–1
0
ND
0
ND
–1
360º
0
1
0
ND
1
ND
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
REGLA DE LOS SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Los signos de la RT depende del cuadrante en que se ubica el ángulo en posición normal. De acuerdo al siguiente cuadro tenemos:
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES
Los ángulos cuadrantales de mayor aplicación son: 0º, 90º, 180º, 270º, 360º y sus razones trigonométricas los podemos observar en el cuadro adjunto:
0º - 360º
90º
180º
270º
sen
0
cos
1
1
0
–1
0
–1
0
tg
0
ND
0
ND
ctg
ND
0
ND
0
sec
1
ND
–1
ND
csc
ND
1
ND
–1
Recuerda: El lado final del ángulo en posición normal, nos indica, el cuadrante al que pertenece el ángulo.
1.
Si f ∈ IIIC y α ∈ IIC, determine el signo de:
2.
Determine el signo de:
tgα ⋅ secφ K= ctgφ A) (+) D) 0
B) (–) E) F. D.
A = cos2120º ⋅ tg3200º C) (±)
A) (–) C) (±) E) F. D.
B) (+) D) 0
Resolución Resolución
f ∈ I I I C ⇒ sec f = (−) ctg f = (+) α ∈ I I C ⇒ tg α = (−)
120º ∈ I I C ⇒ cos120º = (−) 200º ∈ I I I C ⇒ tg 200º = (+)
Reemplazando signos en K: K= (–)(–) = (+) = (+) (+) (+)
Reemplazando los signos en A:
Rpta.: A
A = (–)2 (+)3 A = (+) (+) = (+) Rpta.: B
235
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría 3.
Calcule K = sen3α + cos6α si a = 30º. csc9α A) –1 D) 2
B) 1 E) 3
C) –2
Resolución Reemplazando α = 30º: K = sen90º + cos180º csc270º K = 1 – (–1) = 2 –1 –1 K = –2 Rpta.: C
Nivel I 1.
5.
Indique el signo de: K = tgα ⋅ senf cosb
Calcule x en x + sen90º = 2cos0º – sen270º. Rpta.: 5
2.
Indique el signo de: a) tg100
b) cos320º
c) sen200º Rpta.: (–), (+), (–)
3.
Indique el signo de: M = tg200º ⋅ cos40º sen150º
Rpta.: (+) Rpta.: (+)
4.
6.
Calcule n si sec180º = 2n + 2 . n–3
Determine el signo de ctgφ.
Rpta.: 1/3 7.
Calcule x si xsec0º = 4sen270º. Rpta.: –4
8.
Calcule x si x – cos180º = 5sen90º – sen270º. Rpta.: 4
Rpta.: (–)
236
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría Nivel III
Nivel II 9.
Si β ∈ IVC, indique el signo en cada caso.
13. Determine el cuadrante al que pertenece φ si:
P = tgb ⋅ senb cscb ⋅ cosb
tgφ < 0 y cosφ > 0
Q = ctgb ⋅ secb secb ⋅ senb
Rpta.: IVC Rpta.: (–), (+)
14. Determine a qué cuadrante pertenece a si: sena < 0 y seca < 0
10. Indique el signo de: F = tg300º ⋅ tg200º tg100º
Rpta.: III C
P = ctg300º ⋅ sen200º sec100º
15. Indique verdadero (V) o falso (F). I. sen200º > 0 II. cos200º < 0 III. tg200º > 0
Rpta.: (+), (–) 11. Determine el signo de: tg5280º ⋅ sen5120º P= cos3320º Q =
Rpta.: FVV
cos3130º ⋅ tg4205º sec2150º
16. Indique verdadero (V) o falso (F). I. sen300º > 0 II. tg190º < 0 III. cos250º > 0 IV. sec100º < 0
Rpta.: (–), (–) 12. Si φ ∈ IVC y α ∈ IIIC, indique los signos de: M = cosφ ⋅ tgφ ⋅ cscα Q = senα ⋅ cosα ⋅ tgφ
Rpta.: FFFV Rpta.: (+), (–)
Nivel I 1.
Indique el signo de: A = tgφ ⋅ seca cosb
Determine el signo de tgα.
A) 0 2.
3.
B) (+)
C) (–)
D) (±)
A) (–) C) (+) E) F. D.
E) F. D.
B) (±) D) 0
Indique el signo de: K = ctg250º ⋅ sen170º cos277º A) (–)
B) (+)
C) 0
D) (±)
4. E) F. D.
Calcule x si x – sec180º = 7sen90º – sec270º. A) 5 D) 8
B) 6 E) 9
C) 7
237
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría Nivel II 5.
6.
10. Indique verdadero (V) o falso (F).
Si φ ∈ IIC, indique el signo de:
I. tg100º > 0
A = tgφ ⋅ senφ cosφ ⋅ cscφ
II. sen100º > 0
K = cosφ ⋅ ctgφ tgφ ⋅ secφ
IV. sec300º > 0
A) (0, 0
B) (–), (–)
D) (–), (+)
E) (+), (+)
III. cos300º < 0
C) (+), (–)
A) FFFF B) FFVV C) FVVV D) FVVF
Detemine el signo de: K = tg3240º ⋅ sen2110º ⋅ cos5205º
E) FVFV
L = cos3120º ⋅ sec4100º ⋅ tg7185º DESAFÍO
7.
A) 0, 0
B) (–), (+)
D) (–), (–)
E) (+), (+)
C) (+), (–)
K = tg ( 3α ) 2
Si φ ∈ IIIC y α ∈ IIC, indique los signos de: P = tgφ ⋅ sena cosa Q =
ctga ⋅ secf senf
A) (+), (+)
B) (+), (–)
D) (–), (+)
E) 0, 0
A) (–)
B) (+)
D) 0
E) F. D.
12. Coloque el signo >, < ó =. C) (–), (–)
Nivel III 8.
11. Si se cumple que α ∈ <120º, 180>, dé el signo de:
Calcule: P = 6cos0º + sen90º 5ctg90º + sec0º
I. sen 3p 4
_______ 0
II. tg 5p 4
_______ 0
III. cos 3p 4
_______ 0
A) >, >, = B) <, >, <
A) 5
B) –3
D) 7
E) –7
C) –4
C) >, >, > D) >, >, < E) >, <, <
9.
Indique el cuadrante al que pertenece φ si: tgφ < 0 y secφ > 0
238
A) IVC
B) IIIC
D) IC
E) N. A.
C) IIC
C) (±)
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría Alumno(a) : ____________________________________________________________________ Curso
: __________________________________________________ Aula : __________
Profesor
: ____________________________________________________________________
1.
A) (–) D) (±) 2.
5.
Determine el signo de cosφ. B) 0 E) F. D.
C) (+)
I. ctg300º < 0 II. sen300º > 0 III. cos140º < 0 IV. tg140º < 0
Indique el signo de: P = sen240º ⋅ tg300º cos130º A) (–) D) 0
3.
B) (+) E) F. D.
Indique verdadero (V) o falso (F).
A) FFVV D) VFVV
C) (±) 6.
R = 2sen90º + cos180º 3sen270º
P = tgφ ⋅ ctgβ cosα
A) 2 D) 3 7.
8.
4.
Indique el cuadrante al que pertenece β si: senβ > 0 y ctgβ > 0 A) IC D) IVC
B) IIC E) N. A.
C) IIIC
9.
C) –1/3
B) 2 E) 5
C) 3
Calcule x si x – cos180º = 6sen90º + sec0º. A) –3 D) 6
C) (±)
B) –1/2 E) 1/3
Si φ = 30º, calcule M = 3sec12φ – sen9φ + cos6φ. A) 1 D) 4
B) (+) E) F. D.
C) VFFF
Calcule:
Indique el signo de:
A) (–) D) 0
B) VVVV E) VFVF
B) –4 E) 7
C) 5
Calcule n si cos180º = 2n + 5 . n–8 A) 1 D) 4
B) 2 E) 5
C) 3
10. Calcule: K = 6csc90º + 4sen270º 2sec180º A) 1 D) 2
B) –1 E) –2
C) 3
239
Trigonometria
Euler
2016
Trigonometría
CLAVES
CAP. 22
AUTOEVALUACIÓN 1
2
3
4
D
E
B
C
5
6
7
8
D
E
B
E
9
10
11
12
A
B
C
D
CLAVES
CAP. 23
AUTOEVALUACIÓN 1
2
3
4
C
E
B
C
5
6
7
8
A
B
A
C
9
10
11
12
E
C
E
E
CLAVES
CAP. 24
AUTOEVALUACIÓN
240
1
2
3
4
C
B
C
C
5
6
7
8
E
C
C
D
9
10
11
12
A
E
B
D