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EXERCÍCIOS DE TRIGONOMETRIA
Trigonometria Exercícios
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Prédio da reitoria da Universidade Estadual do Pará
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TRIGONOMETRIA - Exercicios
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TRIGONOMETRIA A trigonometria teve origem no estudo das relações entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triangulo, principalmente o triângulo retângulo. Observe o significado da palavra trigonometria: TRIGONO = TRIANGULAR e METRIA = MEDIDA
EXERCÍCIOS DE TRIGONOMETRIA
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Chama-se tangente de α ao quo a medida do cateto oposto medida ( α ) e a medida do cateto esse ângulo. Cateto Oposto a
tg
TRIÂNGULO RETÂNGULO INTRODUÇÃO Nesta aula e na seguinte vamos mostrar como as medidas dos lados de um triângulo estão relacionadas com seus ângulos. Tais relações são chamadas de relações trigonométricas no triângulo retângulo. Suas aplicações práticas estão presentes na navegação, nas engenharias e em outros ramos do conhecimento humano.
Trigonometria Exercícios
Cateto Adjacent e a
Exemplos:
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Triângulo retângulo é qualquer triângulo que possui um ângulo reto (90º). Assim o triângulo ABC, a seguir, é retângulo em A.
Temos: b
sen B = cos B =
You're Reading a Preview tg B =
a
c a
b
e sen C = e cos C = e tg C =
c
c a b a
c b
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Observação: Download With Free Trial(1) Onde destacamos os elementos: • Â ângulo reto (900) ângulos agudos (menores que 900) • BeC Hipotenusa (lado oposto ao ângulo • BC reto; tem medida a) • AC e AB catetos (lados que formam o ângulo reto; medem b e c, respectivamente)
90 0
ângulos complement ares
sen
cos
sen
cos
(2) não esqueça das relaçõe triângulo retângulo, entre as quais Teorema de Pitágoras. 2 a2 = b2 + c
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Sendo α a medida de um ângulo agudo de um triângulo retângulo, definimos as seguintes razões trigonométricas.
Useful Not useful Ângulos Notáveis Os valores que estão na tabela a s utilizados nos exercícios da seqüência.
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APLICAÇÕES 1) (PRISE) O mastro ( CD ) de um navio é preso verticalmente por cabos de aço fixo na proa (A) e no popa (B), conforme mostra a figura abaixo. Se o cabo BC mede 10 3 m então, a altura do mastro é: a) 2 3 m b)5 3 m
EXERCÍCIOS DE TRIGONOMETRIA
Trigonometria Exercícios
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TESTES 1) (UFPA) No triângulo retângulo da fig qual o valor de tg B ? a) 3/5 b) 3/4 c) 4/5 d) 4/3 e) 3
c) 8 3 m d)10 3 m e)20 3 m 2) Uma árvore partida pelo vento, mantém seu tronco perpendicular ao solo formando com ele um triângulo retângulo. Se a parte que branda faz um ângulo de 600 com o solo e se o topo da árvore está agora distanciado 10m de sua base, qual era aproximadamente a altura da árvore? 3) (PUC-RS) De um ponto A no solo, visam-se a base B e o topo C de um bastão colocado verticalmente no alto de uma colina, sob ângulo de 30º e 45º, respectivamente. Se o bastão mede 4m de comprimento, a altura da colina, em metros, é igual a:
2) (UFPA) No triângulo retângulo temos: I) sen t = 1/2 II) cos t =
2 5
III) tg t = 2
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é (são): a) I b) II c) III d) II e III
3) (UFSC) Uma escada com 10m de com apoiada em uma parede que é perpendicu Sabendo que o pé da escada está afas You're Reading abase Preview da parede, determine a altura, alcançada pela escada.
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4) (USF-SP) De acordo com as indicaçõe abaixo, a altura do prédio é, aproximadam Download With Free Trial a) 51m
a) 3 b) 2 e) 2 ( 3 + 3)
c)2 3
c) 47m
d) 45m
d) 2 ( 3 +1)
4) Determine a área S do triângulo seguinte, em função dos lados a e b e do ângulo formado por eles: B
b) 49m
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EXERCÍCIOS DE TRIGONOMETRIA
Trigonometria Exercícios
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6) Dois nadadores localizados do mesmo lado de uma piscina retangular estão a 5m um do outro. Um deles atravessa a piscina perpendicularmente,, e o outro, sob um ângulo de 60º. Ambos atingem o mesmo ponto do lado oposto da piscina. Somando as distâncias que os dois nadaram, encontramos: a) 15 3 m b) 5(2 + 3 m) c) 5 + 3 m d) 15m e) nda
11) (UNAMA-2001) Os vértices do triângu assinalado no mapa correspondem aos das cidades de Marabá, Rondon do Pará Um piloto de táxi-aéreo, conheced informou que α =2 β e que a distân aeroportos de Marabá e Rondon do Pará é Nessas condições , a distância aproxima aeroportos de Marabá e Tucuruí é de: a) 210 3 km b) 105Km c) 70 3 Km d) 420Km
7) (FCAP) Dado tg α = 2/5, tg β = 6/5, MN= 20m, a área do triângulo NOP, em m2, é: a) 60 b) 120 c) 40 d) 100 e) 12 You're Reading a Preview
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12) (UEPA) Na figura do painel, o valor de Download With Free Trial a) 20 8) (VUNESP) Duas rodovias retilíneas A e B se 10 3 cruzam formando um ângulo de 45º. Um posto de b) 3 gasolina se encontra na rodovia A, a 4 km do cruzamento. Pelo Posto passa uma rodovia C, c) 10 perpendicular à rodovia B,. A distância do posto de 5 3 d) gasolina à rodovia B, indo através de C, em 3 quilômetros, é: e) 5 a) 2 /8 b) 2 /4 c) 3 /2 d) 2 e) 2 2 9) (UFOP-MG) Sabendo que em um triângulo retângulo os ângulos são α e β , a hipotenusa mede 5cm e sen β = 2sen α , encontre as medidas dos catetos.
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13) (FCAP) Um rapaz com 1m e 70 cm d em pé sobre uma plataforma de50cm de a
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EXERCÍCIOS DE TRIGONOMETRIA
Trigonometria Exercícios
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a) 180m b) 120 3 m c) 120m d) 90 3 m e) 90m
15) (UNAMA) Durante o Círio de Nazaré-97, um helicóptero sobrevoava a procissão fazendo filmagens. O romeiro A observou o helicóptero sob um ângulo de 30º com a horizontal. O romeiro B, no mesmo plano, distante 200 3 m de A e no instante, olha e vê o helicóptero sob um ângulo de 60º com a horizontal. Qual a altura do helicóptero no momento da observação pelos romeiros, sabendo-se que o helicóptero encontrava-se à frente dos romeiros?
18) (Unicamp-SP) Caminhando em linha re de uma praia em salinas , um banhista ponto A a um ponto B, cobrindo a dist 1200m. Quando em A ele avista um navio N de tal maneira que o ângulo NÂB é de em B, verifica que o ângulo NBA é 45º. a) Faça uma figura ilustrativa da situação d b) Calcule a distancia em que se encontra praia
19) (CESUPA) No centro de uma pista cir de diâmetro, é erguido verticalmente um 5m de altura. Uma pessoa, com seu ca situado a 1,5m do nível da pista, vê o topo com um ângulo de elevação de 35º. A qua da beira da pista está tal pessoa? Dados: sen35º = 0,574 cos35º= 0,819 tg = 0,700
16) (UNAMA) Na figura do painel: - AB representa a altura de um edifício de 60m. a) 0,273 - AC representa sua sombra às 8h da manhã. b) 1 - AD representa sua sombra às 9h da manhã. You're Reading ac)Preview 2,097 Com base nesses dados e considerando os ângulos d) 3 assinalados, pede-se: Unlock full access withe) a free trial. 4,571 a) A medida de AC. 20) (VUNESP)Na figura os pontos C, Download With Free Trial b) A medida de AD. colineares e os triângulos ABD e ABC são c) O ângulo θ. em B. Se a medida do ângulo ADB é 60º do ângulo ACB é 30º, demonstre que:
a) AD = DC b) CD = 2DB Sign up to vote on this title
17) (Unicamp-SP) Para medir a largura AC de um rio
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O triângulo AOB é obtusângulo e a reso problema consite em determinar a medida Para resolvê-lo, vamos estudar a lei dos enunciado vem a seguir: Em qualquer triângulo, as med lados são proporcionais aos ângulos opostos, ou seja:
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C
b) 600(3 -
3
)m
780m
19) B
a
b
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
aA
b =
c =
c
NUM TRIÂNGULO QUALQUER
senA
INTRODUÇÃO
* Normalmente, utiliza-se a lei dos sen são fornecidos dois ângulos e triângulo
Já estudamos a resolução de triângulos retângulos. Agora estudaremos a resolução de triângulos quaisquer e para isso é necessário conhecer a lei dos senos e a lei dos cossenos.
Lei dos Senos
senB
senC
Aplicações 1) Estamos em condições, agora de situação-problema colocada no inicio deste Com o professor Ocivaldo faça a resolução
Vamos analisar a seguinte situação-problema:
2) Em um trinaâgulo isósceles, a base 6cm Duas árvores localizam-se em lados opostos de um oposto à base mede 1200. Calcule a medid lago. O ângulo entre as linhas de visãoYou're de um Reading acongruentes Preview do triângulo. 0 observador que vê é de 120 e o ângulo formado por por uma dessas linhas e a linha que une as Unlock árvores fulléaccess with a free trial. de 450. Sabendo que a 3ª linha mede 100m, qual é a distância entre as árvores. Download With Free Trial
Lei dos Co-Senos Vejamos outra situação problema: Um navio se encontra num ponto A milhas de um farol F. No mesmo instant navio se encontra num ponto B distante 1 farol, de tal modo que o ângulo AFB =60 Sign entre up to vote on this title nesse instan distância os dois navios
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conforme mostra a figura abaixo. Nessas calcule as medidas x e y indicadas. (Use: sen 300 = ½, sen 780 0,98, sen 72
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Pelo desenho, observamos que o nosso problema consite em determinar a medida de um lado de um triângulo, quando conhecemos as medidas dos outros dois e do ângulo oposto ao lado cuja medida se quer encontrar. Para resolvê-lo precisamos estudar a lei dos cossenos , enuciada a seguir:
“Em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o duplo produto desses lados pelo co-seno do ângulo formado por ele”
C a
b
B
A 2
2) (UEPA-2009) Preocupado com a verde em sua cidade, um prefeito resolve um terreno triangular, localizado no cruz duas ruas, para construir uma praç representado na figura abaixo:
2
2
c
a = b + c – 2bc cos A b2 = a2 + c 2 – 2ac cos B c 2 = a2 + b2 – 2ab cos C
You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
a) 250 c) 300 Download With Free Trial b) 250 * Normalmente, utiliza-se a lei dos co-senos 500 quando são fornecidos dois lados e o ângulo formado por eles. 3) (UEPA – 2005) A figura abaixo mos lateral de um terreno onde será con Aplicações rampa reta, AC , que servirá para 1) Agora estamos em condições de resolver junto com veículos à casa, que se encontra na par o professor Ocivaldo a situação-problema colocada no do terreno. A distância de A a B é de 6m, inicio deste tópico. de 10m e, o menor ângulo formado entre de 120°. Então, o valor do comprimento deve Sign ser de: 2) Uma pessoa encontra-se no cruzamento A, up to vote on this title dirigindo-se para o cruzamento C. Tendo escolhido o Useful Not useful caminho mais curto (AC), quantos metros essa pesso vai andar para ir de A até C? (Use: cos 1200 = -1/2 )
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empresa de engenharia foram: AB = 100 km; m(ABC) = 600 e m(BAC) = 750, a distância entre as cidades A e C, que deve ser considerada para a construção de uma estrada, em linha reta, para ligar estas cidades é:
B a) 100 km d) 50 km
b) 100 km e) 50 km
c) 75
km
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