Geometria y Trigonometria Libro Para El Profesor

Academia Institucional de Matemáticas del Nivel Medio Superior del Instituto Politécnico Nacional

Este material fue elaborado por la Comisión creada por la Academia Institucional de Matemáticas para este fin. Esta comisión la formaron los profesores: Javier Montes de Oca Olvera

CECyT 4 “Lázaro Cárdenas”

Francisco Bañuelos Tepallo

CECyT 5 “Benito Juárez”

José Calvillo Velázquez

CECyT 6 “Miguel Othón de Mendizabal”

José Luis Torres Guerrero

CECyT 7 “Cuauhtémoc”

Guillermo Carrasco García

CECyT 9 “Juan de Dios Bátiz”

Salvador Romano Reyes

CECyT 11 “Wilfrido Massieu”

Pedro Ortega Cuenca

CECyT 11 “Wilfrido Massieu”

María del Carmen Sevilla

CECyT 13 “Ricardo Flores Magón”

Norberto Matus Ruiz


Claudio Héctor Galván Aguirre


Manuel Aguilar Zamora


Geometría y Trigonometría Libro para el profesor Nivel Medio Superior del Instituto Politécnico Nacional

Academia Institucional de Matemáticas del Nivel Medio Superior del Instituto Politécnico Nacional

‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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Libro para el profesor Introducción 1. Justificación de las Secuencias de Aprendizaje Unidad 1. Funciones exponenciales y logarítmicas Unidad 2. Geometría euclidiana Unidad 3. Trigonometría 2. Materiales Auxiliares para la Organización del Aprendizaje (MAPOA) 3. Problemas I. Problemas II. Problemas con guía III. Proyectos 4. Ejercicios 5. Lecturas 6. Evaluaciones y Autoevaluaciones 7. Bibliografía


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Introducción El marco institucional Hay un hecho que difícilmente podemos ignorar: pocos, muy pocos, profesores de matemáticas están satisfechos con su trabajo, no hemos logrado que los aprendizajes de los estudiantes sean sólidos y duraderos. Tampoco hemos logrado que los alumnos desarrollen una actitud activa y responsable hacia su aprendizaje en la escuela. Por supuesto, hay muchas explicaciones que limitando nuestra responsabilidad nos permiten tolerar una situación tan difícilmente tolerable. La cuestión es muy compleja y hay excusas y razones. En la medida que los objetivos de la educación han evolucionado hacia un aprendizaje multidimensional para todos, acordes con una sociedad que se sustenta en el desarrollo tecnológico y que se pretende democrática, el énfasis se ha desplazado del conjunto de conocimientos rígidos centrados en el dominio de técnicas y en el desarrollo de habilidades mecánicas hacia el desarrollo de las llamadas habilidades intelectuales de orden superior y la formación de actitudes que favorezcan la independencia, la autonomía y la toma de decisiones responsable, en las situaciones cambiantes y de incertidumbre, como las que enfrenta el individuo actualmente en los ámbitos personal, ciudadano y profesional. La educación matemática, disciplina que trata del aprendizaje de las matemáticas, ha florecido durante las últimas décadas aportando una gran diversidad de nuevos conocimientos acerca de las múltiples dimensiones del desarrollo de la cultura matemática. Así, se sabe que no basta que nosotros los profesores “sepamos” de la materia, es necesario convertirnos en profesionales de la docencia, en ingenieros en didáctica, que estemos al tanto de los resultados de la investigación en educación matemática y que tengamos claro, de manera explícita, cuáles son los principios en que fundamentamos nuestra práctica. Podemos decir que el propósito general de la educación matemática es lograr que el estudiante desarrolle una cultura matemática dinámica, que le permita enfrentar situaciones, tanto familiares como inéditas, en las que se requiera la producción o utilización de ideas matemáticas, que dé lugar a una valoración global fundamentada de estas situaciones, y logre definir varias opciones con sus respectivos costos y beneficios. El papel que se le reconoce al profesor actualmente en los documentos de la SEP como el organizador de las secuencias de aprendizaje para lograr los propósitos de sus cursos presupone una amplia solvencia, tanto matemática como didáctica, en los temas que debe enseñar, pues «…los programas no están concebidos como una progresión de temas que deban estudiarse uno a continuación del otro. Por el contrario, se recomienda al maestro modificar el orden de los contenidos y entrelazar temas de distintos ejes en la forma que considere más adecuada para el aprendizaje de sus alumnos, sin más limitación que cumplir con los propósitos del programa.» (Alarcón et al., 1994, p7). La profesión docente se ha vuelto difícil a causa de los ambiciosos objetivos de la educación y, en consecuencia, de la gran complejidad de los fenómenos que enfrenta. El profesor ya no es el que tiene un conocimiento acabado y lo transmite fielmente, sino el ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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administrador de las interacciones entre un medio enseñante y el alumno. Ahora tenemos un papel mucho más complejo e interesante. El salón de clases es el sitio de concurrencia de los principales actores de la experiencia de la matemática educativa. Es ahí donde, de manera explícita o implícita, interactúan las costumbres, los sistemas de ideas y creencias de profesores y alumnos, la institución escolar y la escuela se hacen presentes con sus planes y programas de estudio y sus propias normas, que presuponen visiones de lo que es enseñar y aprender matemáticas, que, a su vez, se apoyan en ideas de lo que son el saber matemático y las matemáticas mismas. El modelo de cátedra expositiva en el que fuimos educados ha mostrado sus limitaciones cuando se trata de lograr aprendizajes complejos, además de que fomenta actitudes en los estudiantes que son incompatibles con las competencias básicas del nivel medio superior actual. Pero no se cambian las creencias ni se modifican los hábitos de un día a otro. No hay aquí un dictamen definitivo acerca de una costumbre entrañable: “dar clase”, sino una serie de evidencias que nos invitan a reflexionar sobre nuestra responsabilidad como profesores. Cada cual se tiene que convencer de que vale la pena emprender esta revisión a fondo de su trabajo, porque implica un grado muy alto de cuestionamiento. Pero también nos puede conducir a adoptar una perspectiva nueva llena de retos sorprendentes. Para organizar aprendizajes complejos a partir de supuestos cualitativamente distintos de aquellos en los que se basa nuestra formación, necesitamos identificar los conocimientos, habilidades, actitudes, así como los valores subyacentes, que debemos revisar. No nos queda más remedio que reconocer la complejidad de la problemática que enfrentamos, así como la necesidad de instrumentar propuestas que apunten a soluciones factibles, flexibles y duraderas, que tomen en cuenta los tiempos reales que se requieren para que den frutos. No hay recetas de aplicación mecánica para la enseñanza de las matemáticas. Afortunadamente en nuestra profesión se requiere del análisis de situaciones complejas según criterios múltiples, que nos conducen a la formulación de juicios matizados y a una toma de decisiones siempre consciente de los riesgos. El curso de Geometría y Trigonometría El curso de Matemáticas de segundo semestre comprende tres partes, la primera continúa el estudio de las funciones exponencial y logarítmica y las dos restantes corresponden a lo que el nombre de la asignatura anticipa. Así, naturalmente, se integran los desarrollos de Álgebra y Geometría aprovechando las conexiones entre ambas áreas pero cuidando también el desarrollo de las líneas propias de cada una. El desarrollo de los Libros se basa fundamentalmente en el programa de Geometría y Trigonometría, es decir, retoma como propósitos fundamentales que los estudiantes desarrollen sus habilidades de pensamiento, como son: razonamiento, análisis, reflexión, comunicación y valoración, a través de una actitud participativa, crítica y creativa, que permita relacionar los conocimientos de la aritmética, el álgebra, la geometría y la trigonometría, para resolver problemas surgidos de situaciones cotidianas, sociales, de la ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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naturaleza y la tecnología, con la finalidad de desarrollar las estructuras conceptuales necesarias para validar resultados mediante demostraciones formales. En el diseño de los Libros se consideró, como lo establecen los programas del área de Matemáticas, que la resolución de problemas es la que permite generar e integrar conocimiento, favorece su asimilación y ayuda a distinguir lo esencial de lo menos importante. En este proceso el docente es un facilitador del aprendizaje que problematiza, proporciona información y crea códigos de instrucción, al mismo tiempo que organiza el trabajo en clase de manera que sus alumnos puedan resolver los problemas planteados y avanzar hacia nuevos conocimientos. Es importante que, en el transcurso de las actividades, los alumnos desarrollen su capacidad para comunicar su pensamiento y se acostumbren gradualmente a los diversos medios de expresión matemática: lenguajes natural, simbólico y gráfico, así como al uso de tablas y diagramas. Uno de los supuestos metodológicos para la elaboración de los Libros es que las ideas o procedimientos matemáticos se comprenden si se articulan adecuadamente en una red de conocimientos y experiencias. En este sentido, el conjunto de actividades de aprendizaje que se presenta en los Libros (problemas, problemas con guía, proyectos, ejercicios, lecturas y autoevaluaciones) constituye una secuencia de actividades que se organiza, por un lado, alrededor de las cuatro líneas de desarrollo del curso de Álgebra: lenguaje algebraico, modelación, ecuaciones y funciones, y las que se establecieron para Geometría, imaginación espacial, demostración, objetos geométricos y cálculo geométrico, y por otro lado, de acuerdo a las características del ambiente de aprendizaje integral que se necesita fomentar en nuestros salones de clase. La caracterización de las actividades Para conformar y caracterizar la red de actividades que el estudiante realizará en el curso, se definieron diez características: 1. Experiencia de aprendizaje 2. Modalidad de trabajo 3. Lugar de realización 4. Herramientas tecnológicas 5. Tiempo 6. Producto 7. Referencias curriculares 8. Representaciones 9. Estrategias 10. Evaluación Observaciones. Con esta caracterización de las actividades de aprendizaje, se puede establecer explícitamente la vinculación que hay entre ellas desde perspectivas diferentes que se deben articular para organizar una sesión de clase. Hay que destacar que el tránsito hacia una educación integradora implica, en particular, una diversificación de los contenidos (hasta ahora principalmente conceptuales) para atender los de tipo procedimental y actitudinal necesarios para una formación cultural básica y equilibrada de todos los estudiantes. Así, en el rubro de ‘Referencias curriculares’ se consideraron, además de los contenidos que marca ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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el programa, algunos contenidos procedimentales y actitudinales, las competencias básicas del estudiante de bachillerato y los estándares 9-12 del NCTM (Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas, asociación estadounidense). La complejidad del diseño y de la instrumentación de las actividades no se riñe con una consideración del tiempo disponible, que debe ser suficiente para que los estudiantes puedan realizar realmente las actividades, y de otros factores importantes como el nivel de desarrollo cognitivo de los estudiantes, sus ideas previas, sus expectativas y la pertinencia de los contenidos, que suelen variar para cada grupo de estudiantes en particular. Por el contrario, si el profesor dispone de más información se espera que la use para armonizar un trabajo que conduzca a un aprendizaje verdaderamente significativo para el estudiante. El ambiente Nuestra perspectiva es la del profesor que quiere enseñar para que todos sus alumnos logren los aprendizajes que los faculten para un uso activo de sus matemáticas. Desde esta perspectiva, los ambientes de resolución de problemas son potencialmente fecundos y pueden constituir uno más de los muchos recursos que el profesor necesita para organizar los aprendizajes multidimensionales de sus alumnos. Los ambientes de resolución de problemas son complejos e incluyen planes en varios niveles y decisiones frecuentes que conducen a escenarios distintos. La posibilidad de organizar los aprendizajes curriculares en estos ambientes depende de la habilidad que tengamos los profesores para administrarlos en función de ciertos objetivos. Para lograrlo necesitamos incorporar una perspectiva de trabajo que nos permita convertirnos en productores de nuestros propios saberes y prácticas. En cuanto al ambiente, es importante poner en acción un conjunto de creencias que Pirie y Kieren (1992) resumen en cuatro principios: • Aunque un profesor puede tener la intención de impulsar a los estudiantes hacia objetivos de aprendizaje matemático, estará consciente de que tal progreso puede no ser logrado por algunos estudiantes y puede no ser logrado como se esperaba por otros. • Al crear un ambiente o proporcionar oportunidades a los alumnos de modificar su comprensión matemática, el profesor actuará sobre la creencia de que hay vías distintas para una comprensión matemática similar. • El profesor estará consciente de que las distintas personas tendrán modos de comprensión distintos. • El profesor sabrá que para cualquier tema hay diferentes niveles de comprensión y que éstos nunca se alcanzan ‘de una vez por todas’. Los ejemplos En este libro se incluyen, en cada capítulo, algunos ejemplos de los documentos que se consideran útiles para el trabajo del profesor. Se presenta el desarrollo de la solución que podemos esperar que produzcan los estudiantes del nivel y que llamamos ‘de referencia’, sin dejar de lado las variantes posibles. También se incluye un comentario de la actividad que se detiene en las distintas vías que puede seguir un estudiante, con la aplicación de las ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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estrategias correspondientes, para avanzar en la solución de la actividad y describe la articulación de las representaciones. Apunta algunas sugerencias para la interacción con los estudiantes, en forma individual o en equipo, durante la realización de la actividad y para la discusión de las soluciones que se hace con todo el grupo. El comentario concluye con una ficha que resume los aspectos más importantes. Así se irán conformando historias de problemas que se robustecerán cada vez que las trabajemos en clase. Estas historias se harán más detalladas y útiles en la medida en que podamos elaborar los documentos que se describen en la sección siguiente. Esta labor la podremos emprender aprovechando la red de interacción académica en Internet. El trabajo del profesor En este Libro presentamos una propuesta de trabajo que toma en cuenta las características del quehacer docente mencionadas antes y, por tanto, modificar o adaptar dicho quehacer aprovechando la información que aporta. Cada profesor tiene su estilo de docencia, que se puede beneficiar de una práctica y una reflexión más sistemática, así como de las discusiones que se realicen alrededor de nuestras preocupaciones comunes. En nuestras academias y en la red de interacción en Internet podremos ventilar nuestras inquietudes y dificultades y beneficiarnos de los comentarios y sugerencias de nuestros colegas. Para utilizar las actividades en una sesión de clase, hay que hacer un plan, instrumentarlo y evaluarlo. Esta terna se repite en distintos niveles: la actividad, la clase, el tema, la unidad, el curso, el área, el ciclo, etc. Necesitamos desarrollar la habilidad de usar una especie de zoom que nos permita destacar los aspectos importantes que corresponden a cada nivel como el zoom lo hace con la escala. En cada acto de enseñanza, consideramos los objetivos de niveles distintos con los que se relaciona y la forma en que lo hace. Por ejemplo si se trata de una experiencia necesaria pero que no genera un aprendizaje inmediato exigible, como es el caso de algunas de las líneas que apuntan al desarrollo de las habilidades intelectuales de orden superior, establecemos los lineamientos de interacción con los alumnos y los criterios de evaluación correspondientes, vinculándolos con otras experiencias de aprendizaje posteriores y haciendo inferencias explícitas sobre el desarrollo de la comprensión de los conceptos y procesos que se ponen en juego. Así mismo identificamos, desde una perspectiva sistémica, los factores que influyen en su práctica para establecer estrategias de acción, aun cuando la posibilidad de actuar sobre algunos factores sea muy escasa. En este sentido, es importante que nos veamos como parte de diferentes subsistemas y nos propongamos ampliar gradualmente nuestro campo de competencia y responsabilidad. El «zoom del profesor» se constituye así en una herramienta para, desde perspectivas distintas pero pertinentes, superar algunos callejones sin salida que parecen tales cuando sólo se atiende a la perspectiva del salón de clases. A modo de ilustración te presentamos cómo puedes planear, instrumentar y evaluar una sesión de resolución de problemas.


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1. La Planeación de una sesión de trabajo

Figura 1. La planeación de un problema. En la figura 1 se describe una manera de organizar una sesión a partir de una actividad que permite generar información sobre estos aspectos en cada instrumentación conformando una ‘historia del problema’ o, en general, de la actividad de aprendizaje. La fase de planeación requiere un análisis de la actividad desde un marco de referencia y el registro por escrito de ese análisis. Esto le permitirá al profesor definir previamente no sólo la actividad que trabajará, cuál es el objetivo de la sesión y los tiempos disponibles, sino también cuáles son los obstáculos con los que se puede topar el alumno, cuáles van a ser sus actitudes ante los obstáculos, hasta dónde debe llegar la sesión y, en caso de no lograrlo qué hará para cumplir sus objetivos. Uno de los objetivos de la planeación es hacer explícitas nuestras expectativas.


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Por supuesto que lo que ocurrirá en la sesión de trabajo no puede estar completamente definido. Dentro del salón de clases el profesor toma decisiones constantemente con base en el marco de referencia que le brindan los documentos de la planeación y la información que va registrando durante la sesión. La planeación, entonces, debe ser flexible. Los documentos que concretarán nuestra planeación son: Propósito de la actividad: Que se manejará no únicamente desde la perspectiva de un contenido programático sino considerando las representaciones que articula (gráfica, aritmética, textual, icónica, etc), los aprendizajes que prepara, las categorías de resolución de problemas y los objetivos institucionales. El propósito de la actividad debe considerar que no todos los aprendizajes pueden ser inmediatos y que hay cuestiones que sólo se logran a largo plazo. Recomendaciones durante la actividad: Cada uno de estos documentos está enfocado a los momentos que constituyen la sesión de trabajo; son una guía que le permite al profesor dirigir la sesión hacia el objetivo establecido, sin desvirtuar la actividad. a) Lineamientos para la interacción con los equipos: Darán las pautas a seguir en la interacción del profesor con los alumnos mientras realizan la actividad. La intervención de un profesor debe estar guiada por el ambiente, en el sentido de no invalidar el trabajo de los alumnos ni privarlos de la satisfacción de encontrar la solución por ellos mismos (véase figura 2).

Figura 2. La interacción del profesor con un equipo. b) Guión de la discusión: Brinda un marco para la conducción de la discusión. Se consideran los posibles desarrollos de las soluciones y se establecen los lineamientos para la participación del profesor (véase figura 3).


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Figura 3. Las interacciones durante la discusión del trabajo de un equipo. Recomendaciones para la evaluación de la actividad: La evaluación de la actividad debe considerar por lo menos: a) Solución de referencia: Esta solución se elabora considerando los conocimientos que se ponen en juego durante la resolución del problema o la realización de la actividad. b) Precepto de evaluación: Este documento contiene la descripción de los estándares de evaluación de un problema en particular. El precepto debe reflejar los principales aspectos del problema y aportar información útil para orientar el curso de las acciones del profesor y del estudiante ya sea para avanzar o profundizar en los contenidos que se pusieron en juego en el problema o para corregir las ideas erróneas que se hayan identificado. 2. La Instrumentación La planeación debe tomar en cuenta los cursos diversos que puede seguir la acción durante la instrumentación y sus posibles consecuencias en función de los propósitos de la sesión. No es conveniente prodigar los comentarios ni las reformulaciones. Sin embargo, hay algunas intervenciones en las que el profesor puede solicitar aclaraciones, precisiones, explicaciones, justificaciones, cuando advierte indicios de perplejidad o incomodidad en el equipo o en el grupo que no logran formularse. La disyuntiva fundamental del profesor es decidir cuándo conviene detenerse para profundizar algún aspecto matemático. Las intervenciones del profesor deben estar guiadas por los lineamientos para la interacción con los equipos y por el guión de la discusión de tal manera que no se vaya ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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a desvirtuar, con comentarios impacientes o irreflexivos, la experiencia de aprendizaje que le corresponde disfrutar a los estudiantes. Hay un principio básico para que la planeación resulte útil: antes de hablar, hay que escuchar. Hay que dar oportunidad a que surja la participación espontánea de los alumnos. 3. La Evaluación de la actividad Después de realizada la actividad el profesor debe evaluar la efectividad y los resultados que se obtuvieron. No se trata sólo de la evaluación de los conocimientos, habilidades, actitudes y transferencia del alumno. La evaluación de la actividad debe aportar información útil y confiable para mejorar el diseño de la actividad. Además de la evaluación de los alumnos, se tiene la evaluación de la actividad y parte importante de ella es ‘historiar el problema’. La idea es contrastar los análisis previo y posterior a la instrumentación para hacer un registro cada vez más robusto de las interacciones posibles, las formas de comprensión y el uso de las matemáticas que hacen los alumnos, se puede complementar muy provechosamente con la investigación de los problemas y las condiciones en que se originaron los conceptos que se ponen en juego. Pero, puesto que nuestra perspectiva es la del profesor, y lo que necesariamente hace es trabajar con los alumnos, hemos optado por basarnos en nuestra experiencia y en la disposición de hacer explícitas nuestras expectativas para que, aun cuando nuestro primer análisis sea muy rudimentario, se vaya robusteciendo en las sucesivas puestas en escena, de tal manera que esta historia del problema se constituya en un saber propio del profesor generado en su práctica. Los registros audiovisuales brindan la oportunidad de aprovechar las ventajas de un análisis más detenido para incorporar sus resultados en las historias de los problemas (véase figura 4).


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Figura 4. La historia de un problema. Materiales Auxiliares Para la Organización del Aprendizaje (MAPOA) Se tiene, además, una propuesta para la organización del aprendizaje de los alumnos que se plantea en una serie de materiales. Estos auxiliares sirven como marcos de referencia compartidos que se pueden usar y comentar constantemente durante las actividades de aprendizaje con los estudiantes y de planeación con los profesores. En la medida en que nos familiaricemos con ellos pueden llegar a constituir un lenguaje común, en el que se pueden expresar algunas de las dimensiones de aprendizaje más importantes. En el proceso de profesionalización de nuestro quehacer abundan, afortunadamente, las oportunidades de aprender. La mejor manera de familiarizarnos con los MAPOA es usarlos para organizar nuestro aprendizaje. Así tendremos una experiencia de primera mano que compartir con los estudiantes. El Libro para el Estudiante va acompañada de un disco compacto que incluye tanto actividades interactivas como paquetes con herramientas de graficación, con sistemas de cálculo algebraico y paquetes de geometría dinámica. También hay algunas animaciones y ejercicios de práctica y autoevaluación. Estos recursos, que estarán a disposición de los estudiantes, se deben integrar como parte de sus experiencias de aprendizaje con una planeación adecuada, ya sea en el ámbito escolar o en forma de tareas. El uso cotidiano y responsable de las herramientas tecnológicas para la comprensión de las matemáticas puede contribuir a crear un ambiente propicio para el desarrollo de los aprendizajes complejos e integradores que promete nuestra institución a todos sus estudiantes. Desafíos docentes Es importante que hagamos un esfuerzo sistemático por hacer explícitos los sistemas de creencias que sustentan nuestra práctica docente. Puesto que somos profesores, tenemos una idea clara de las condiciones reales en que se realiza nuestro trabajo, pero hay que evitar la autocomplacencia y el victimismo, un tránsito hacia un ejercicio profesional de la docencia implica tanto una revisión de la forma en que concebimos nuestro trabajo como una redefinición de las relaciones que tenemos con las instituciones educativas. Para que estos cambios tengan lugar se requiere de un compromiso muy fuerte y del tiempo necesario para fortalecer nuestras organizaciones y para darnos las condiciones indispensables que nos permitan convertir nuestro trabajo docente en el trabajo de un profesional reflexivo. Hay una necesidad de plantear una reconceptualización del quehacer del profesor desde los ejes constitutivos de su trabajo. Entre estos ejes se destacan: • Las relaciones que enmarcan y posibilitan su labor académica, • Los modelos educativos que orientan su práctica, y • La axiología social y educativa que lo identifica con los fines y valores de una institución. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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En este sentido, los profesores tenemos un papel de intervención directa en el proyecto cultural de la institución, un proyecto que se concibe como un proyecto dinámico en construcción permanente, en el que participan todos los agentes educativos. Para que podamos asumir nuestro papel como sujeto del cambio que plantea una reforma académica integral, es necesario consolidar los espacios de reflexión en los que se define la orientación del ejercicio de la docencia. Al insertarnos en estos espacios, podremos dejar de ser entes aislados para convertirnos en un sujetos participativos, cuyas acciones no sólo repercutan en el estudiante sino en todo lo que implica la institución educativa. Dada la complejidad del quehacer docente en los niveles que incluyen las fases de planeación, instrumentación y evaluación para el logro de los ambiciosos, pero pertinentes, objetivos del nivel, es necesario que, además del espacio privilegiado que representa la academia, se abran y consoliden otros espacios de reflexión, discusión y producción, en donde los profesores podamos avanzar en nuestra profesionalización como docentes. En este sentido, un elemento fundamental de la instrumentación de estos libros es una red de interacción académica de profesores de Matemáticas del NMS del IPN en Internet.


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1 . Justificación de la secuencia de aprendizaje (comentarios acerca de las secuencias de aprendizaje) En el Libro se tienen señaladas distintas actividades de aprendizaje: problemas, problemas con guía, proyectos, lecturas, ejercicios, tareas y autoevaluaciones. De todo esto lo que más se asemeja a lo que todavía muchos alumnos esperan del profesor corresponde a los ejercicios. Esta variedad de actividades es necesaria para el cumplimiento de los objetivos del programa del curso y de la dimensión matemática de las competencias básicas del estudiante de bachillerato. Las competencias básicas se refieren al dominio, por parte del estudiante, de los conocimientos, habilidades, valores y actitudes que son indispensables tanto para la comprensión del discurso de las ciencias, las humanidades y la tecnología, como para su aplicación en la solución de los problemas de su vida escolar, laboral o cotidiana, por lo que se considera que son -o deben ser- comunes a todos los bachilleratos del país. Se considera que, en términos generales, las competencias básicas que deben estar presentes en el perfil del educando son: C1. Expresarse correcta y eficientemente en español, tanto en forma oral como escrita, así como interpretar los mensajes en ambas formas. C2. Manejar la información formulada en distintos lenguajes y discursos (gráficos, matemáticos, simbólicos, de cómputo, etc.). C3. Utilizar los instrumentos culturales, científicos, metodológicos y técnicos, básicos para la resolución de problemas en su dimensión individual y social, con actitud creativa y trabajando individualmente o en grupos. C4. Comprender, criticar y participar racional y científicamente, a partir de los conocimientos asimilados, en los problemas ecológicos, socioeconómicos y políticos de su comunidad, región y del país. C5. Aprender por sí mismo, poniendo en práctica métodos y técnicas eficientes para propiciar su progreso intelectual. C6. Evaluar y resolver las situaciones inherentes a su edad y desarrollo, incluso en lo que se refiere al conocimiento de sí mismo, su autoestima y autocrítica, salud física y formación cultural y estética, a efecto de tomar decisiones que lo beneficien en lo individual y en lo social. C7. Desempeñarse individual o grupalmente de manera independiente en su vida escolar y cotidiana. C8. Integrar los conocimientos de los diferentes campos, en una visión global del medio natural y social, como paso normativo hacia la inter y multidisciplinariedad. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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No se pueden fomentar estas competencias con un solo tipo de actividad de aprendizaje, se impone el uso integral de varios tipos para ello. Las actividades propuestas en los Lobros lo permiten, pero sólo el trabajo del profesor, cuidando el quehacer cotidiano en el aula, permite la integración, las conexiones y las aplicaciones de los conocimientos tanto dentro como fuera de las Matemáticas. A continuación proporcionamos comentarios sobre la importancia de cada una de estas actividades. Problemas: Aquí se presenta un enunciado en el que se pide la respuesta a una o más preguntas y al alumno le corresponde responder. El profesor orienta el trabajo del alumno, pero no es él quien debe resolver y responder lo que se pide. La idea es que el alumno se vaya acostumbrando a tomar decisiones y a justificarlas. Para ello debe comenzar por una lectura cuidadosa del texto, encontrarle un sentido a la situación planteada, establecer una forma de representar la situación mediante una tabla, gráfica o expresión algebraica (mejor si utiliza las tres) y al trabajar con ellas podrá responder lo que se le pide. Pero no termina aquí su trabajo. Debe darse cuenta si su respuesta tiene sentido, es decir, si es aceptable a partir de la situación presentada en el enunciado. Como es una actividad de aprendizaje, encontrar una respuesta a la situación planteada no concluye el problema, éste continúa y se amplía al buscar otras formas de resolverlo o el establecimiento de un método de solución que facilite el tratamiento de otras situaciones similares y el planteamiento de otras preguntas. Todo esto no es sencillo ni para el alumno ni para el profesor. El alumno, ante todo esto, fácilmente se puede paralizar y decir “no entiendo”. Al trabajar en equipo con otros de sus compañeros reduce esta parálisis. Es más fácil que un alumno se anime a comentar con sus iguales lo que entiende y qué puede hacer. Desde luego que no es suficiente, no faltarán alumnos que digan que prefieren trabajar solos. Ante esto, el profesor no debe simplemente imponerles la decisión de trabajar en equipo, sino tratar de convencerlos de la conveniencia de ello. Trabajar en equipo no se reduce a separar temas y repartirlos entre los integrantes. Incluye discusiones para llegar a acuerdos o para una comprensión mutua de los desacuerdos y la fortaleza o debilidad de la posición de cada uno de los integrantes. Estas discusiones requieren tiempo, más de lo que alumnos y profesores estamos acostumbramos dedicarle a un tema, y provoca la sensación de que se está perdiendo el tiempo, a pesar de juzgar interesante e importante el tema tratado. Mientras los alumnos están trabajando, el profesor debe estar al pendiente de lo que está ocurriendo en cada equipo. A partir de preguntas y comentarios breves orienta el trabajo de los equipos. Debe cuidarse en no calificar el trabajo de los equipos, es decir, que ante la pregunta: “¿estamos bien profesor?”, no responda con un “sí” o un “no”. Los alumnos están acostumbrados a que sea el profesor quien establezca quiénes están bien y quiénes no. No están acostumbrados a que sean ellos mismos quienes lo determinen. Pero si se va a fomentar su independencia deben acostumbrarse a hacerlo. Así, cuando un alumno pregunte si está bien, se les replica con otra pregunta: ¿Por qué no estás seguro? Y se invita a otros alumnos del equipo a que externen sus ideas. Si manifiestan que están de acuerdo, se les pide que preparen una presentación ante el resto de sus compañeros. Cuando se trabaja un problema es el grupo en pleno quien decide qué soluciones están bien. Es cierto, se corre el riesgo de que se acepte una solución con errores y el profesor debe evitar la ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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tentación de decirles que se equivocaron. El profesor debe decidir si desde el primer momento les presenta objeciones a su solución, o deja que pasen algunos días antes de volver a tratar el mismo problema. Para un alumno, la actividad del profesor en una sesión de resolución de problemas puede parecer bastante menor: pasearse por los equipos, observar lo que están haciendo, hacerles algunos comentarios y no decir quiénes están bien y quiénes no. Pero no es sencillo lo que tiene que hacer el profesor. Antes de proponer a los alumnos un problema, debe haberlo estudiado y establecer un plan de su puesta en escena. De esta forma estará en condiciones de anticipar dificultades y preparar comentarios que permitan avances en los alumnos. Pero no es seguro que lo anticipado ocurra exactamente. Así, la improvisación en sus intervenciones con los alumnos es inevitable, pero si el profesor tiene claro cuáles son los objetivos a lograr en el problema, le resultará más fácil decidir el sentido de sus intervenciones. Cuando se tienen las primeras sesiones de resolución de problemas es usual que alumnos (y profesores) perciban que aunque interesante, eso no es una clase de matemáticas, que si acaso es una actividad para quitar la tensión de lo que es la materia y las dificultades que se tienen para aprenderla. No es así, en ella se ponen en juego varios aspectos importantes: fomenta la lectura reflexiva, la discusión matemática, desarrollo de estrategias para enfrentar un problema, la importancia de lo que se aprende mientras se busca resolver un problema, la argumentación que sustenta las opiniones o conclusiones de una persona o de un equipo, la presentación ante otros de las ideas propias, la importancia de saber escuchar y ser escuchado. Es tanto todo esto que el profesor puede ser rebasado, y que sienta que no tiene control en la sesión, pues aun cuando todo el grupo esté discutiendo el problema propuesto, el ruido que se provoca y la variedad de ideas que se manejen pueden aturdir al profesor y al encontrar que no es posible tratar todo lo que surge en el tiempo que se dispone, sentir que mucho de lo tratado en la sesión se pierde y, en consecuencia, es tiempo perdido en el curso. Hay algo más que encuentra el profesor en una sesión de problemas: cuando se busca convencer a un alumno que su idea o argumento sobre cierta situación está equivocada, no a partir de una posición de autoridad (“Soy el profesor y si te digo que estás mal, es que así es”), sino de hacerle ver que hay inconsistencias o contradicciones en su argumentación, se requiere de más tiempo y de ser cuidadoso en el argumento que el propio profesor construya para convencer a su alumno. Habitualmente los enunciados de los problemas son cortos y esto permite que los alumnos puedan pensar y seguir distintos caminos de solución. El profesor no debe prohibirles alguno sólo por no haberlo él previsto en la planeación del problema. Si está bien fundamentado el camino que sigue un equipo, el profesor debe respetar su trabajo. En todo caso, cuando se tenga la discusión general (de todos los equipos) del problema y se presenten varias vías de solución, el profesor tendrá la oportunidad de destacar la que más le interesa y proponer, si es necesario, una comparación entre los distintos métodos de solución. En los problemas con guía se tienen sesiones similares a la de los problemas. La diferencia consiste en que en los primeros, el enunciado incluye preguntas o actividades que se pide a los alumnos realizar para responder la pregunta (o preguntas) principales del ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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problema. De esta manera se dirige más al alumno hacia un camino o forma de resolverlo. La intención es disminuir la parálisis, tensión y angustia que algunos alumnos pueden tener con los problemas que dejan abierta la vía de solución. Los proyectos son problemas para los cuales se requiere de mayor tiempo para trabajarlos y fuera del salón de clases. La intención es fomentar la importancia de la perseverancia en el trabajo y de enfrentar compromisos que se hacen. Para que un equipo pueda entregar un buen reporte de un proyecto se requiere que se interesen en él, que no lo vean como una tarea más que se deja en una materia para la cual basta entregar un reporte donde se anote lo que el alumno sabe que quiere el profesor. Para el curso no es necesario que se trabajen todos los proyectos que contiene, pueden ser sólo algunos de ellos. Queda en el profesor decidir cuáles son los proyectos que se destacan. Las lecturas pueden verse como simple complemento al curso, una introducción de temas que predispongan al alumno para el trabajo “en serio” de la materia. Pero no es así. El alumno debe desarrollar su habilidad de leer, de manera que pueda aprender de ella. En las lecturas propuestas no se espera que el alumno haga un resumen de ellas, sino que sean puntos de partida para discutir los temas que tratan. Para que esto se logre, se requiere la elaboración previa de un cuestionario que el profesor debe tener y el cual sirva de guía para la discusión de la lectura. Fomentar en el alumno una lectura crítica y reflexiva (cuidadosa) contribuye para la elaboración de argumentos mejor estructurados, y una comunicación más eficaz de sus ideas. Particularmente es importante esto porque ahora estamos saturados de información de todo tipo, y se requieren habilidades para hacer a un lado la información que no sea importante y, en cambio, analizar cuidadosamente la que sí lo es. Los ejercicios en el libro tienen un significado diferente al de los problemas. En un ejercicio ya se sabe el tipo de situación planteada y de que existe un procedimiento para resolverlo. Lo que se busca es que se utilice ese procedimiento y que, en lo posible, se desarrolle cierta soltura en el manejo de estas situaciones de manera que se adquiera rapidez y precisión en lo que se hace. Para lograrlo se requiere de un trabajo cuidadoso en el alumno, de manera que no confunda la importancia de escribir signos, paréntesis, signos de igualdad y líneas de fracción donde sea necesario. Esta actividad algunos alumnos la identificarán como lo que es y en lo que consiste una clase de matemáticas. Sin embargo, un apoyo importante lo tendrá el alumno en su libro de texto. Vale la pena destacarlo de nuevo: este Libro no es un texto de matemáticas en donde se encuentra todo lo que el alumno necesita para aprender álgebra, geometría y trigonometría. No. Contiene todas las actividades que al alumno le permitirán tener una buena comprensión de la misma, pero esta Libro va acompañada de un libro de texto. Lo ideal es que cada alumno tenga su Libro y su libro de texto, pero si no es posible, que al menos el texto esté disponible para él en la biblioteca de su escuela. Aunque se señala como texto el libro Algebra con aplicaciones de Phillips, Butts y Shaughnessy, para la primera unidad y de Geometría y Experiencias de Bertrán y García para la segunda unidad y de Trigonometría de Selby para al tercera, es posible que la Academia de Matemáticas de cada escuela decida utilizar otros equivalentes en contenido, enfoque y calidad. Ante las primeras dudas que surjan de un ejercicio, el alumno deberá recurrir a su texto para leer las explicaciones correspondientes y revisar los ejercicios resueltos en él (aquí se ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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destaca la importancia de la lectura). Al disponer de un texto, el profesor podrá sugerirle revisar otros temas correspondientes al que se esté trabajando. Si el profesor logra sensibilizar al alumno de la importancia de aprovechar el poco tiempo de que se dispone en el salón de clases, más fácilmente el alumno trabajará buena parte de los ejercicios fuera del salón de clases, permitiendo que en éste se discutan problemas (con guía y sin ella), lecturas y autoevaluaciones. El profesor debe conocer a detalle el texto que esté utilizando para orientar adecuadamente a sus alumnos sobre la mejor manera de utilizarlo. Cuando lo juzgue necesario discutirá en clase algunos ejercicios, pero siempre después de que ya los hayan trabajado sus alumnos. Las tareas se refieren a las actividades que los alumnos deberán realizar fuera del horario de clase. Buena parte de ellas consiste en el trabajo que deberán realizar con su libro de texto, pero también están las lecturas y la conclusión de alguna actividad que no se terminó en clase. Las autoevaluaciones le permiten al alumno conocer su comprensión y dominio de los temas tratados. El profesor conoce las soluciones de las autoevaluaciones, y su actividad principal es señalar al alumno el momento adecuado de utilizarlas y destacar un aspecto que usualmente se olvida en las evaluaciones: identificar dónde se tienen deficiencias y, en consecuencia, se tiene que trabajar más. En cada unidad se presentan actividades de aprendizaje para los alumnos. Estas actividades están presentadas por bloques de horas, suponiendo un total de 70 horas para el curso. El profesor debe revisar todas las actividades de cada unidad y planear explícitamente la secuencia que va a realizar con tus alumnos, de manera que seleccione las actividades de la unidad, combinando distintos tipos actividades para lograr los objetivos de aprendizaje requeridos en la unidad. Recuerde que se pueden identificar tres momentos importantes en el trabajo de los profesores: planear, instrumentar y evaluar cada actividad de aprendizaje de los alumnos. Es enriquecedor compartir con los compañeros profesores las inquietudes y resultados de las actividades de aprendizaje instrumentadas, y, más todavía si se planean y evalúan actividades en equipo con otros profesores. Para hacer la historia de las actividades de aprendizaje se tiene el formato de caracterización de las actividades. Al caracterizar las actividades se aporta información que sirve para que el profesor tome mejores decisiones en los distintos niveles que debe considerar cuando diseña una trayectoria para sus estudiantes.


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Caracterización de las Actividades de Aprendizaje Formato para la clasificación de problemas Título 1. Experiencia de aprendizaje 2. Modalidad de trabajo 3. Lugar de realización 4. Herramientas tecnológicas 5. Tiempo 6. Producto 7. Referencias curriculares

8. Representaciones 9. Estrategias 10. Evaluación Observaciones


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Cada experiencia de aprendizaje tiene asociadas una serie de atributos que precisan tanto su relación con las dimensiones del aprendizaje como su instrumentación. 1. Experiencia de aprendizaje 1.1. Resolución de problemas 1.2. Resolución de problemas guiada con exploración 1.3. Resolución de ejercicios 1.4. Proyecto 1.5. Lectura 2. Modalidad de trabajo, la participación es 2.1. Individual 2.2. Equipo 2.3. Grupo 3. Lugar de realización 3.1. Salón de clases 3.2. Aula de cómputo 3.3. Fuera de la escuela 4. Herramientas tecnológicas 4.1. Juego de geometría 4.2. Ambientes computacionales 4.3. Calculadora científica 4.4. Calculadora con poder de graficación 4.5. Sistema de cálculo algebraico 5. Tiempo 6. Producto 6.1. Reporte de RP 6.2. Reporte de lectura 6.3. Resultados con comprobación 6.4. Informe 7. Referencias curriculares 7.1. Contenidos 7.1.1. Conceptuales 7.1.2. Procedimentales 7.1.3. Actitudinales 7.2. Competencias Básicas del estudiante de bachillerato 7.3. Estándares 2000 del NCTM 8. Representaciones 8.1. Textual 8.2. Tabular 8.3. Gráfica 8.4. Algebraica 8.5. Geométrica 9. Estrategias 10. Evaluación 10.1. Evaluación de reporte 10.2. Evaluación de presentación ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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Formato para la clasificación de problemas Ejemplo Título 1. Experiencia de aprendizaje 2. Modalidad de trabajo 3. Lugar de realización 4. Herramientas tecnológicas 5. Tiempo 6. Producto 7. Referencias curriculares

8. Representaciones 9. Estrategias

10. Evaluación Observaciones

‘Ifigenia Cruel’ de Alfonso Reyes 1.2 Resolución de problemas guiada con exploración 2.2 Equipo, 2.3 Grupo 3.1 Salón de clases 4.1 Juego de geometría, 4.3 Calculadora científica 60 minutos (si se tiene limitación de tiempo, el profesor puede seleccionar algunas preguntas para que se trabajen como tarea y ampliar la discusión en otra sesión) 6.1 Reporte de RP 7.1 Contenidos 7.1.1 Conceptuales (3.1, 3.2) (4.1, 4.2) (5.2) 7.1.2 Procedimentales P1, P2, P3, P4, P5, P6, P8, P10 7.1.3 Actitudinales A2, A3, A6, A7, A13 7.2. Competencias básicas del estudiante de bachillerato. CB1, CB2, CB3, CB5, CB7 7.3 Estándares 2000 del NCTM E1.3 E2.1.2, E2.1.3, E2.2, E2.3, E2.4 E3.4.5 E4.1.1, E4.2.1 E6 E8 E9 E10 8.3 Gráfica→ 8.2 Tabular → 8.4 Algebraica → 8.3 Gráfica 'Localiza los puntos en la gráfica que te permiten responder las preguntas' 'Haz una estimación razonable de los valores representados por estos puntos' 'Organiza la información en una tabla' 'Obtén la ecuación' Evaluación del reporte Evaluación de la presentación Se recomienda trabajar esta actividad por lo menos en dos ocasiones, en la primera se puede centrar la atención en el uso de las representaciones gráfica y tabular, en las posteriores se puede destacar la representación algebraica y sus relaciones con las otras formas de representación


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Programa de Geometría y Trigonometría Objetivo general Que el estudiante desarrolle sus habilidades de pensamiento, como son: razonamiento, análisis, reflexión, comunicación y valoración, a través de una actitud participativa, crítica y creativa, que permita relacionar los conocimientos de la aritmética, álgebra, geometría y trigonometría para resolver problemas surgidos de situaciones cotidianas, sociales, de la naturaleza y la tecnología, con la finalidad de desarrollar las estructuras conceptuales necesarias para validar resultados mediante demostraciones formales. Las cuatro líneas indispensables que se desarrollan en el curso de álgebra y que se continúan en la primera unidad de este curso son: • Lenguaje algebraico • Modelación • Ecuaciones • Funciones Es importante hacer notar que no es conveniente que haya largos período dedicados exclusivamente a la ejercitación de la operatividad, sino que a medida que los alumnos hayan aprendido nuevos procedimientos algebraicos, los utilicen en la resolución de problemas y aplicaciones. En cuanto al curso de Geometría, cada experiencia de aprendizaje que tengan los alumnos, dentro o fuera de la clase, será más provechosa en la medida en la que el profesor pueda identificar cómo contribuye al logro de las líneas siguientes: • El desarrollo de la imaginación geométrica y espacial • La construcción de la idea de demostración • La familiarización con los objetos de la geometría (incluyendo propiedades y relaciones) • La articulación de los conocimientos pertinentes en el cálculo geométrico (a partir de lo que se conoce, averiguar lo que se ignora, combinando datos y relaciones) El programa deberá cumplirse hasta sus últimas unidades, pues estas preparan a los alumnos para los siguientes cursos. Lo anterior será posible si el docente distingue siempre lo esencial de lo accesorio y no insiste en la ejercitación excesiva de temas de poca importancia para los cuales bastará resolver uno o dos ejemplos en el salón de clases y dejar otros como tarea. También deberán evitarse aquellos tratamientos teóricos superfluos o innecesarios, o tratar de agotar un tema desde el principio, pues el programa ha sido diseñado de tal manera que los conocimientos esenciales puedan utilizarse a lo largo de todo el curso. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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Lineamientos generales para la instrumentación de todo el programa - El núcleo de la actividad del curso será la problematización, pues el problema deberá ser el instrumento que permita generar el conocimiento, el desarrollo de la habilidad para aplicarlo y la consolidación para asimilarlo. - La orientación de la dinámica se enfocará a la comunicación, el razonamiento y la resolución de problemas. - Se propone un modelo de sesión que incluya tres momentos: • Apertura. El docente puede informar y generar códigos de instrucción. • Desarrollo. El docente, y/o el estudiante, propone o plantea problemas, y/o actividades, dentro del contexto del tema. El docente organiza la dinámica del trabajo. • Cierre. El estudiante describe la actividad de la sesión, comunica lo que cree haber aprendido, el docente evalúa y toma decisiones para la siguiente sesión. Esta instrumentación se aplicará en todas las unidades del programa y la Academia diseñará los problemas tipo, con los que abordará la temática. Unidad 1. Funciones exponenciales y logarítmicas El estudiante manejará las propiedades básicas de las funciones logarítmicas y exponenciales a través de problemas de situaciones reales, lo que le permitirá incrementar sus habilidades interpretativas y destrezas operativas. 1.1 Noción intuitiva de función 1.2 Concepto de función exponencial y logarítmica 1.3 Propiedad de la función logarítmica 1.3.1 Cambios de base 1.4 Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas con una variable Unidad 2. Geometría euclidiana A partir del método deductivo, el estudiante establecerá los conceptos, postulados y teoremas de la geometría euclidiana que aplicará en la resolución de problemas que le permitan desarrollar sus habilidades matemáticas y fomentar su razonamiento lógico. 2.1 Conceptos básicos 2.1.1 Antecedentes históricos 2.1.2 El método axiomático-deductivo 2.1.3 Términos no definidos 2.1.4 La demostración deductiva directa e indirecta 2.1.5 Definiciones, postulados 2.1.6 Teoremas fundamentales sobre punto, recta y ángulos 2.2 Congruencia de triángulos 2.2.1 Definición de triángulos congruentes 2.2.2 Postulados de congruencia LAL, ALA y LLL 2.2.3 Líneas y puntos notables del triángulo 2.2.4 El triángulo isósceles y sus propiedades 2.2.5 Teorema del ángulo externo ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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2.3 Paralelismo y perpendicularidad 2.3.1 Teorema para la construcción de perpendiculares a una recta 2.3.2 Rectas paralelas: postulados de las paralelas. Propiedades 2.3.3 Ángulos entre paralelas cortadas por una transversal: definición y teorema 2.3.4 Pares de ángulos con lados respectivamente paralelos y con lados respectivamente perpendiculares 2.4 Propiedades del triángulo 2.4.1 Teoremas para los ángulos internos y los ángulos externos 2.4.2 Relación entre ángulos interiores y ángulos opuestos 2.4.3 Desigualdad del triángulo 2.5 Semejanza de triángulos 2.5.1 Definición de semejanza 2.5.2 Postulados de semejanza: AAA, LAL y LLL 2.5.3 Teorema de Tales 2.5.4 Teorema de Pitágoras 2.6 Polígonos 2.6.1 Definición y clasificación 2.6.2 Propiedades de los paralelogramos 2.6.3 Teoremas relativos a suma de ángulos internos, externos y número de diagonales 2.7 Circunferencia y círculo 2.7.1 Rectas y puntos notables 2.7.2 Propiedades relativas a cuerdas y tangentes 2.7.3 Ángulos y arcos 2.7.4 Transformación de medidas angulares de grados a radianes y viceversa Unidad 3. Trigonometría El estudiante establecerá, con los fundamentos teóricos de las funciones trigonométricas, modelos geométricos que le permitan resolver problemas. 3.1 Funciones trigonométricas 3.1.1 Definición 3.1.2 Relación entre funciones trigonométricas 3.1.1.1 Identidades trigonométricas 3.1.1.2 Identidades pitagóricas 3.1.1.3 Identidades de cociente 3.1.3 Círculo trigonométrico 3.1.4 Funciones trigonométricas inversas 3.1.5 Gráficas de funciones trigonométricas (para seno, coseno y tangente) 3.2 Resolución de triángulos 3.2.1 Rectángulos 3.2.2 Oblicuángulos 3.3 Ecuaciones trigonométricas


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Bibliografía Clemens, Stanley R., O’Daffer, Phares G., Geometría, México, Prentice Hall, 1998. García Arenas, Jesús, Bertrán Infante, Celestí, Geometría y Experiencias, México, Editorial Alhambra, 1990. Rich, Barnet, Geometría, México, Mc Graw-Hill, 1991. Phillips, Elizabeth et al, Álgebra con aplicaciones, México, Editorial Oxford University Press, 1999. Gustafson, David R., Álgebra intermedia, México, Thomson Editories, 1996. Smith, Stanley A. et al, Álgebra y Trigonometría, México, Addison-Wesley Iberoamericana, 1997. Calter, Paul, Fundamentos de matemáticas I y II, México, Mc Graw-Hill, 1996.


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ASPECTO A EVALUAR

DEFINICIÓN OPERATIVA

FORMA DE EVALUACIÓN

Habilidad y capacidad de usar la matemática para resolver problemas en diferentes áreas de estudio

Potencia Matemática

Resolución de Problemas

Capacidad para resolver problemas y plantearlos, considerando diversas alternativas para resolver problemas, un plan para resolverlos, interpretar y comprobar resultados, y generalizar soluciones

Razonamiento

Capacidad de reconocer patrones, estructuras comunes y formular conjeturas

Comunicación

Capacidad del alumno para expresar ideas matemáticas en diversas formas: hablada, escrita y gráfica

Actitud Matemática

Confianza en el uso de las matemáticas para resolver problemas, comunicar ideas y razonar, probar métodos alternativos para la resolución de problemas; la perseverancia de llegar hasta el fin de la tarea matemática; el interés, la curiosidad, la inventiva de los alumnos para hacer matemáticas; reconocer el valor que tienen las matemáticas en nuestra cultura, como herramienta y como lenguaje

PERIODO

UNIDADES TEMÁTICAS

1

1 a 2.2

2

2.3 a 2.10

3

3

− −

EVALUACIÓN INDIRE DIRECT CTA A X X

−

Exámenes escritos Exposición y resolución de problemas Trabajos extraclases Exámenes escritos Exposición y resolución de problemas Trabajos extraclases

− − − − − − − − − − − −

Exámenes escritos Exposición Interrogatorios Entrevistas Exámenes escritos Interrogatorios Trabajos extraclases Exámenes escritos Observación Entrevistas Interrogatorios Trabajo en equipo

X X X X

X

X X X X X X X X

X

− − −

X X X

X

X

X

X

X

PLAN DE EVALUACIÓN Examen departamental 60% Evaluación continua 40% Examen departamental 60% Evaluación continua 40% Examen departamental 60% Evaluación continua 40%

El examen departamental estará conformado por problemas que se evaluarán tomando en cuenta: 1. la comprensión del problema 2. la planeación de una solución 3. la obtención de una respuesta En la evaluación continua se tomará en cuenta el modelo PER para propiciar que los alumnos se responsabilicen de su propio aprendizaje


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Procedimentales

Actitudinales

1. Formación de hábitos de organización del propio aprendizaje

1. Actitud propositiva ante el conocimiento

2. Desarrollo de hábitos favorables para elevar la calidad del propio trabajo y de la participación en el trabajo en equipo

2. Confianza en el uso de las matemáticas para resolver problemas, comunicar ideas y razonar

3. Habilidad para resolver situaciones conflictivas que se presenten en las modalidades de participación: individual, por equipo y grupal 4. Uso eficaz del lenguaje y formas de expresión matemática 5. Formación de hábitos de pensamiento analítico para el manejo de situaciones problemáticas 6. Desarrollo de estrategias personales para el análisis y resolución de problemas 7. Exploración sistemática en la búsqueda de soluciones 8. Tránsito de los diferentes registros de representación de una situación 9. Formulación de un plan de trabajo para abordar situaciones problemáticas 10. Formulación, defensa y entendimiento de argumentos matemáticos 11. Interpretación y cuantificación de aspectos de la vida profesional y cotidiana 12. Análisis crítico sobre información de carácter numérico 13. Empleo de formas de pensamiento lógico 14. Habilidad para generalizar los problemas en otros contextos más cercanos al propio 15.

Aplicación eficaz de los métodos algorítmicos asociados a los contenidos conceptuales del curso


3. Perseverancia de llegar hasta el fin de la tarea matemática 4. Valorar las matemáticas en nuestra cultura, como herramienta y como lenguaje 5. Interés, curiosidad e inventiva para hacer matemáticas 6. Actitud científica ante interpretación de datos

la

7. Perseverancia en la búsqueda de soluciones 8. Flexibilidad para modificar el punto de vista 9. Camaradería honesta con sus compañeros de grupo 10. Aprecio por la cultura matemática y por sus aportaciones al mundo personal y profesional 11. Responsabilidad ante los compromisos que exige el curso 12. Superación continua de la calidad del propio trabajo 13. Tolerancia, escucha, participación y respeto en el trabajo en equipo y grupal

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Estándares del NCTM para los Grados 9-12

1. Estándar de Número y Operaciones para los grados del 9 al 12 Expectativas Los programas de enseñanza desde preescolar hasta el grado 12 deben permitirles a todos los estudiantes —en los años escolares del 9–12 los estudiantes deben saber hacerlo— 1.1 Comprender los números, formas de representarlos, relaciones entre ellos y también sistemas numéricos • 1.1.1 Desarrollar una comprensión más profunda sobre números muy grandes y muy pequeños y varias representaciones de ellos; • 1.1.2 comparar y contrastar las propiedades de los números y sistemas numéricos, incluyendo los números racionales y reales, ver los números complejos como soluciones de ecuaciones cuadráticas que no tienen soluciones reales; • 1.1.3 comprender los vectores y las matrices como sistemas que tienen algunas propiedades del sistema de números reales; • 1.1.4 usar argumentos de teoría de números para justificar relaciones que involucren a números enteros

1.2 Comprender significados de las operaciones y cómo se relacionan unas con otras • 1.2.1 Juzgar los efectos de operaciones tales como multiplicación, división y cálculo de potencias y raíces sobre las magnitudes de los números; • 1.2.2 desarrollar una comprensión de las propiedades, y representaciones, de la suma y multiplicación de los vectores y matrices; • 1.2.3 desarrollar una comprensión de las permutaciones y combinaciones como parte de las técnicas de conteo

1.3 Calcular con soltura y ser capaz de hacer estimaciones razonables • 1.3.1 Desarrollar una soltura en operaciones con números reales, vectores y matrices, mediante el cálculo mental o cálculos con lápiz y papel para casos simples y el uso de la tecnología para casos más complicados; • 1.3.2 juzgar la sensatez de los cálculos numéricos y sus resultados ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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2. Estándar de Álgebra para los grados del 9 al 12 Expectativas Los programas de enseñanza desde preescolar hasta el grado 12 deben permitirles a todos los estudiantes —en los años escolares del 9–12 los estudiantes deben saber hacerlo— 2.1 Comprender patrones, relaciones y funciones • 2.1.1 Generalizar patrones al usar funciones definidas explícita o recursivamente; • 2.1.2 comprender relaciones y funciones y seleccionarlas, usar varias representaciones y pasar fácilmente de unas a otras; • 2.1.3 analizar funciones de una variable al estudiar razones de cambio, intercepciones, ceros, asíntotas y comportamientos locales y globales; • 2.1.4 comprender y realizar transformaciones como las combinaciones aritméticas, la composición y la inversión de las funciones más comunes y, mediante el uso de la tecnología, hacer las mismas operaciones con expresiones simbólicas más complicadas; • 2.1.5 comprender y comparar las propiedades de clases de funciones, incluyendo funciones exponenciales, polinomiales, racionales, logarítmicas y periódicas; • 2.1.6 interpretar representaciones de funciones de dos variables

2.2 Representar y analizar situaciones y estructuras matemáticas al usar símbolos algebraicos • 2.2.1 Comprender el significado de formas equivalentes de expresiones, ecuaciones, desigualdades y relaciones; • 2.2.2 escribir formas equivalentes de ecuaciones, desigualdades y sistemas de ecuaciones y resolverlas con soltura –mentalmente o con lápiz y papel en casos simples y utilizando la tecnología en todos los casos; • 2.2.3 utilizar el álgebra simbólica para representar y explicar relaciones matemáticas; • 2.2.4 utilizar una variedad de representaciones simbólicas, incluyendo ecuaciones recursivas y paramétricas, para funciones y relaciones; ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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• 2.2.5 juzgar el significado, la utilidad y lo sensato de los resultados de las manipulaciones simbólicas, incluyendo aquellos llevados a cabo con el uso de tecnología

2.3 Usar modelos matemáticos para representar y comprender relaciones cuantitativas • 2.3.1 Identificar relaciones cuantitativas esenciales en una situación y determinar la clase o clases de funciones que podrían modelar las relaciones; • 2.3.2 usar expresiones simbólicas, incluyendo formas iterativas y recursivas, para representar relaciones que surgen en varios contextos; • 2.3.3 obtener conclusiones razonables sobre una situación que se modeló

2.4 Analizar el cambio en varios contextos • 2.4.1 Aproximar e interpretar razones de cambio de datos gráficos y numéricos

3. Estándar de Geometría para los grados del 9 al 12 Expectativas Los programas de enseñanza desde preescolar hasta el grado 12 deben permitirles a todos los estudiantes —en los años escolares del 9–12 los estudiantes deben saber hacerlo— 3.1 Analizar las características y propiedades de formas geométricas de dos y tres dimensiones y desarrollar argumentos matemáticos sobre relaciones geométricas • 3.1.1 Analizar propiedades y determinar atributos de objetos de dos y tres dimensiones; • 3.1.2 explorar relaciones (incluyendo congruencia y semejanza) entre clases de objetos de dos y tres dimensiones, formular y probar conjeturas sobre ellos y resolver problemas que los involucren; • 3.1.3 establecer la validez de conjeturas geométricas al usar la deducción, probar teoremas y discutir los argumentos construidos por otros; • 3.1.4 usar relaciones trigonométricas para determinar medidas de longitudes y de ángulos

3.2 Especificar ubicaciones y describir relaciones espaciales al usar la geometría con coordenadas ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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y otros sistemas de representación • 3.2.1 Usar coordenadas cartesianas y otros sistemas de coordenadas, como los sistemas de navegación, polar o esférica, para analizar situaciones geométricas; • 3.2.2 investigar conjeturas y resolver problemas involucrando objetos de dos o tres dimensiones, representados con coordenadas cartesianas

3.3 Aplicar transformaciones y usar simetrías para analizar situaciones matemáticas • 3.3.1 Comprender y representar translaciones, reflexiones, rotaciones y dilataciones de objetos en el plano al usar dibujos, coordenadas, vectores, notación de funciones y matrices; • 3.3.2 usar varias representaciones para ayudar a comprender los efectos de transformaciones simples y sus composiciones

3.4 Usar la representación en la mente (visualización), el razonamiento espacial y la modelación geométrica para resolver problemas • 3.4.1 Obtener y construir representaciones de objetos geométricos de dos y tres dimensiones al usar una variedad de herramientas; • 3.4.2 representar en la mente (visualizar) objetos y espacios de tres dimensiones desde diferentes perspectivas y analizar sus secciones transversales; • 3.4.3 usar gráficas de vértice-lado para modelar y resolver problemas; • 3.4.4 usar modelos geométricos para comprender mejor situaciones, y responder preguntas, de otras áreas de las matemáticas; • 3.4.5 usar ideas geométricas para resolver problemas, y mejorar la comprensión, de otras disciplinas y otras áreas de interés como el arte y la arquitectura


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4. Estándar de la Medición para los grados del 9 al 12 Expectativas Los programas de enseñanza desde preescolar hasta el grado 12 deben permitirles a todos los estudiantes —en los años escolares del 9–12 los estudiantes deben saber hacerlo— 4.1 Comprender atibutos medibles de objetos y unidades, sistemas y procesos de medición • 4.1.1 Tomar decisiones sobre las unidades y escalas que son apropiadas para situaciones problemáticas que involucren medición

4.2 Aplicar técnicas, herramientas y fórmulas apropiadas para determinar mediciones • 4.2.1 Analizar la precisión, la exactitud y el error de aproximación den las situaciones de medición; • 4.2.2 comprender y usar fórmulas para el área, área superficial y el volumen de figuras geométricas, incluyendo conos, esferas y cilindros; • 4.2.3 aplicar en mediciones conceptos informales de aproximación sucesiva, cotas superiores e inferiores y límite; • 4.2.4 usar análisis de unidades para comprobar cálculos de mediciones

5. Estándar de Análisis de Datos y Probabilidad para los Grados 9–12 Expectativas Programas instruccionales de prekinder al grado 12 que deberían capacitar a todos los estudiantes para —en los grados 9-12 todos los estudiantes deberían— 5.1 Formular preguntas que se refieran a datos y recolectar, organizar y presentar datos pertinentes para responderlas • 5.1.1 Entender las diferencias entre los distintos tipos de estudios y qué tipos de inferencias se pueden sacar legítimamente de cada uno de ellos; • 5.1.2 conocer las características de los estudios bien diseñados, incluyendo el papel de la aleatorización en encuestas y experimentos; • 5.1.3 entender el significado de los datos medidos y los datos categóricos, de los datos de una variable y dos variables y del término variable; ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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• 5.1.4 entender los histogramas, los diagramas de caja paralelos y los diagramas de dispersión, y usarlos para presentar datos; • 5.1.5 calcular las estadísticas básicas y entender la distinción entre una estadística y un parámetro

5.2 Seleccionar y usar métodos estadísticos apropiados para analizar datos • 5.2.1 Para datos medidos de una variable, ser capaces de mostrar la distribución, describir su forma y seleccionar y calcular las estadísticas sumarias; • 5.2.2 para datos medidos de dos variables, ser capaces de mostrar un diagrama de dispersión, describir su forma y determinar coeficientes de regresión, ecuaciones de regresión y coeficientes de correlación usando herramientas tecnológicas; • 5.2.3 presentar y discutir datos de dos variables cuando al menos una variable es categórica; • 5.2.4 reconocer cómo las transformaciones lineales de datos de una variable afectan la forma, el centro y la dispersión; • 5.2.5 identificar tendencias en datos de dos variables y encontrar funciones que modelen los datos o transformen los datos para que puedan ser modelados

5.3 Desarrollar y evaluar inferencias y predicciones que se basan en datos • 5.3.1 Usar simulaciones para explorar la variabilidad de las estadísticas de muestra de una población conocida y construir distribuciones de muestreo; • 5.3.2 comprender cómo las estadísticas de muestra reflejan los valores de los parámetros de la población y usar distribuciones de muestreo como la base de inferencias informales; • 5.3.3 evaluar reportes publicados que se basan en datos mediante el examen del diseño del estudio, lo apropiado del análisis de datos y la validez de las conclusiones; • 5.3.4 entender cómo las técnicas estadísticas básicas se usan para monitorear las características de los procesos en los centros de trabajo 5.4 Comprender y aplicar los conceptos básicos de la probabilidad • 5.4.1 Entender los conceptos de espacio muestral y distribución de probabilidad, y construir espacios muestrales y distribuciones en casos sencillos; • ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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5.4.2 usar simulaciones para construir distribuciones empíricas de probabilidad; • 5.4.3 calcular e interpretar el valor esperado de variables aleatorias en casos sencillos; • 5.4.4 entender los conceptos de probabilidad condicional y eventos independientes; • 5.4.5 entender cómo calcular la probabilidad de un evento compuesto

6. Estándar de Resolución de Problemas para los grados del 9 al 12 Los programas de enseñanza desde preescolar hasta el grado 12 deben permitirles a todos los estudiantes: •

6.1 Construir el nuevo conocimiento matemático a través de la resolución de problemas;

•

6.2 resolver problemas que surgen en las matemáticas y otros contextos;

•

6.3 aplicar y adaptar una variedad de estrategias apropiadas para resolver problemas;

•

6.4 revisar y reflexionar en el proceso de resolución de problemas matemáticos

7. Estándar del Razonamiento y la Demostración para los grados del 9 al 12 Los programas de enseñanza desde preescolar hasta el grado 12 deben permitirles a todos los estudiantes: •

7.1 Reconocer el razonamiento y la demostración como aspectos fundamentales de las matemáticas;

•

7.2 formular e investigar conjeturas matemáticas;

•

7.3 desarrollar y evaluar argumentos y demostraciones matemáticas;

•

7.4 seleccionar y usar diversos tipos de razonamiento y métodos de demostración


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8. Estándar de la Comunicación para los grados del 9 al 12 Los programas de enseñanza desde preescolar hasta el grado 12 deben permitirles a todos los estudiantes: •

8.1 Organizar y consolidar su pensamiento matemático a través de la comunicación;

•

8.2 comunicar coherente y claramente su pensamiento matemático a sus compañeros, profesores y otras personas;

•

8.3 analizar y evaluar el pensamiento y estrategias matemáticas de otros;

•

8.4 usar el lenguaje de las matemáticas para expresar, justamente, las ideas matemáticas

9. Estándar de las Relaciones (Conexiones) para los grados del 9 al 12 Los programas de enseñanza desde preescolar hasta el grado 12 deben permitirles a todos los estudiantes: •

9.1 Reconocer y usar las relaciones entre las ideas matemáticas;

•

9.2 comprender cómo las ideas matemáticas están interrelacionadas y apoyadas unas con otras para producir un todo coherente;

•

9.3 reconocer y aplicar las matemáticas en contextos distintos a los matemáticos.

10.Estándar de la Representación para los grados del 9 al 12 Los programas de enseñanza desde preescolar hasta el grado 12 deben permitirles a todos los estudiantes: •

10.1 Crear y usar las representaciones para organizar, registrar y comunicar las ideas matemáticas;

•

10.2 seleccionar, aplicar y pasar de una a otra representación para resolver problemas;

•

10.3 usar las representaciones para modelar e interpretar fenómenos físicos, sociales y matemáticos


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Inventario de estrategias ♦ Organiza la información en una tabla Las tablas pueden ayudar a identificar las partes que intervienen y mediante el análisis de las sucesiones de los valores de las columnas pueden orientar para identificar el patrón. Si se dispone de una calculadora potente o de una computadora se puede aprovechar la versatilidad de la hoja de cálculo. ♦ Busca un patrón Las regularidades que se identifiquen en las representaciones pueden contribuir a avanzar en la solución del problema. Cada representación tiene sus técnicas propias para identificar las regularidades. ♦ Haz un dibujo o un diagrama Un diagrama puede ayudar a organizar e integrar la información. Pueden ser dibujos con características geométricas que conserven la escala y representen las características de la situación mediante puntos, rectas, y otros objetos geométricos. También pueden ser diagramas de árbol o de flujo, según sea la situación que se quiera representar. ♦ Busca otra forma de representación En algunas ocasiones, cambiar la forma de representar la información puede hacer visibles algunas características que permiten establecer relaciones y, así, avanzar en la solución del problema. Las representaciones más comunes son la verbal, gráfica, numérica, algebraica y geométrica. ♦ Analiza un caso particular, pon un ejemplo Cuando es posible poner un ejemplo, se concretan las relaciones que hay entre las características de la situación. Si son varios los ejemplos se puede organizar la información que se genere en una tabla y aplicarle algunas técnicas para tratar de identificar algún patrón. ♦ Planea un tanteo sistemático Puedes suponer algunos valores y analizar las consecuencias de tus suposiciones buscando que se ajusten a las condiciones del problema y den respuesta a las preguntas planteadas; puedes repetir este procedimiento refinando las respuestas, hasta que obtengas la respuesta correcta o una buena aproximación. ♦ Aplica la lupa Puedes emplear un tanteo sistemático para ubicar aproximadamente la zona, el intervalo, donde se encuentra la respuesta que buscas y aplicar un método de aproximaciones sucesivas mediante el cual puedas obtener respuestas más precisas y cuantificar el margen de error de tus respuestas.


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♦ Toma una instantánea En aquellas situaciones en las que se pueda identificar un proceso, sea temporal o no, se trata de coagular el proceso y describir las características cuantitativas, de preferencia en una tabla, y analizar sus relaciones para avanzar en la identificación de algún patrón. ♦ Mete reversa Si se supone un resultado, en ocasiones se puede reconstruir el proceso que conduce a él e identificar así un procedimiento de solución. En cuanto a las estrategias, conviene que se registren e incorporen aquéllas que el profesor identifique en sus grupos. Se pueden consultar otras estrategias en la ‘Tabla de Heurísticas más frecuentes’ de A.H. Schoenfeld en los MAPOA, además de las que incluye Polya en su libro ya clásico Cómo plantear y resolver problemas. Algunas ligas relacionadas con las estrategias de RP. http://msip.lce.org/jahumada/mrsg1010/unidad1/u1s1t2.htm#Organizar%20la%20informaci ón%20en%20una%20tabla http://curry.edschool.virginia.edu/teacherlink/content/math/interactive/probability/numbers ense/heuristics/home.html A continuación presentamos las actividades propuestas para cada unidad.


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Unidad 1. Funciones exponenciales y logarítmicas

El estudiante manejará las propiedades básicas de las funciones logarítmicas y exponenciales a través de problemas de situaciones reales, lo que le permitirá incrementar sus habilidades interpretativas y destrezas operativas. Horas

Problemas

1-3

El chisme

4-5

Dédalo y Calipso

Problemas con guía Las ballenas de Alaska Gauss, listillo desde chiquillo

Actividades Internet El lenguaje de las funciones

Función exponencial

Vértigo

La escala Richter

7-9

Incrementos

Construcciones 1 Usando Geómetra

10-12

Atenuadores

Lecturas

Función logarítmica

Proyectos

Aspectos externos Lee haciendo pp. 591 a 602 de tu libro de texto de Álgebra Álgebra con aplicaciones de Phillips et al Haz los ejercicios cuyo número es de la forma 4n+13 pp. 602 a 606

Háganme lugar

5-6

Ejercicios

Lee haciendo pp. 606 a 617. Haz los ejercicios cuyo número es de la forma 4n+15 de la sección 10.2, pp. 617 a 620 Lee haciendo pp. 621 a 630. Haz los ejercicios cuyo número es de la forma 4n+11 de la sección 10.3, pp. 630 a 633 Haz los ejercicios cuyo número es múltiplo de 9 de los ejercicios de repaso, pp. 634 a 636


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El que no conoce a Dios

e

Unidad 2. Geometría euclidiana (1) A partir del método deductivo, el estudiante establecerá los conceptos, postulados y teoremas de la geometría euclidiana que aplicará en la resolución de problemas que le permitan desarrollar sus habilidades matemáticas y fomentar su razonamiento lógico. Horas

Problemas

1-3

Tales de Mileto

Problemas con guía Tales

Actividades Internet Homotecia y Semejanza

Construcciones 2

4-5

El sope

Viaje a Liliput con las magnitudes

6-8

La torre Eiffel

Construcciones 3

9-10

En Liliput

Demostraciones 1

11-13

El granjero: Esfuerzo mínimo

Construcciones 4

Ejercicios

Lecturas

Proyectos

Lee haciendo el capítulo «Conceptos básicos de Geometría » del libro Geometría y Experiencias de García Arenas y Bertrán Infante

La Filosofía de la Matemática

La cultura matemática

Proporcionalida d Geométrica Lee haciendo el capítulo «Los polígonos» del libro Geometría y Experiencias de García Arenas y Bertrán Infante El teorema de Pitágoras

Demostraciones 2

Costo mínimo


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Problemas

14-15

Las escaleras cruzadas

Problemas con guía Pitágoras generalizado

Actividades Internet Razones trigonométricas

Construcciones 5 16-18

El Progreso del Peregrino 19-21 Las apariencias engañan

22-24

Hay revoluciones que engendran ...

Ejercicios Lee haciendo el capítulo «Proporcionalidad de segmentos y semejanza » del libro Geometría y Experiencias de García Arenas y Bertrán Infante

Construcciones 6 Demostraciones 3

Lecturas

Proyectos El casete

Simetría e invariancia Cónicas

Lee haciendo el capítulo « El teorema de Pitágoras y otras relaciones en triángulo» del libro Geometría y Experiencias de García Arenas y Bertrán Infante

Construcciones 7 Demostraciones 4


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Calculemos π


Problemas

25-27

Dos tazas

28-30

El vaso cónico

Problemas con guía Un presunto tetraedro Identidades algebraicas

31-32 Otra revolución

Construcciones 8

33-35

La razón áurea Construcciones 9

Simas ¡Qué lata!

Actividades Internet Teorema de Pitágoras

Ejercicios

Lecturas

Proyectos

Topología

La ciencia para todos

Lee haciendo el capítulo «La circunferencia» del libro Geometría y Experiencias de García Arenas y Bertrán Infante QED, demostraciones y teoremas Lee haciendo el capítulo «Áreas de figuras planas» del libro Geometría y Experiencias de García Arenas y Bertrán Infante


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Unidad 3. Trigonometría

El estudiante establecerá, con los fundamentos teóricos de las funciones trigonométricas, modelos geométricos que le permitan resolver problemas. Horas

Problemas

1-3

En las entrañas del ángulo

Problemas con guía Construcciones 10 Demostraciones 5

4-6

La lata familiar

7-9

El mirón Hipólito y Fedra Construcciones 11

10-12

Sin segundas intenciones El joven ecologista Los pasillos

13-15 El negro que no se raja La banda de las poleas 16-18 El pistón El hogareño Caronte

Actividades Internet Resolución de triángulos rectángulos

El cálculo π según Arquímedes Las funciones trigonométricas

Ejercicios

Lecturas

Proyectos

Lee haciendo el capítulo «Trigonometría del triángulo rectángulo» de Trigonometría de la serie Teoría y Práctica de H-B Jovanovich, Gráficas de funciones trigonométricas

Pi

Mi detector infalible

Algunos ejercicios de Trigonometría

Demostraciones 6 Construcciones 12

Lee haciendo el capítulo «Trigonometría general» de Trigonometría de la serie Teoría y Práctica de Harcourt Brace Jovanovich Construcciones 13 Razones Identidades y ecuaciones trigonométricas trigonométricas Operaciones Identidades y ecuaciones Demostraciones 7 Resolución de triángulos oblicuángulos


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Cinta de Möbius y orientabilidad

2 . Materiales Auxiliares para el Aprendizaje de los Alumnos (MAPOA) No basta decirle a los alumnos que se pongan a estudiar. Lo que tiene que aprender, las habilidades a desarrollar y las actitudes requeridas no se logran simplemente al escuchar o leer acerca de ellas. Nuestros alumnos requieren de ciertos lineamientos, comentarios, referencias y sugerencias para que organicen su trabajo y les permita cumplir con los requerimientos que tienen. Los Materiales de Apoyo para la Organización del Aprendizaje (MAPOA) se elaboraron con este fin. Por ello es necesario que los conozcas en detalle antes de que los alumnos lo tengan es sus manos. De esta manera podrás referirte a ellos en el momento oportuno para que el alumno los incorpore poco a poco en su trabajo cotidiano en las diversas actividades de aprendizaje que realice. Recuerda que tú también debes utilizar estos materiales cuando sea oportuno, pues el ejemplo que refuerza o contradice el discurso tiene una influencia a veces definitiva. Parte de tu trabajo es dosificar la lectura e incorporación paulatina de lo contenido en estos materiales. Desde las primeras clases solicita a tus alumnos que recorten y enmiquen las fichas para que las tengan a la mano para una consulta rápida y al mismo tiempo evitar que se vuelvan inservibles por romperse o borrarse su contenido. Los MAPOA contienen el modelo PER, La heurística, el portafolios, las fichas y formatos de evaluación, además de documentos de introducción. Desde luego puedes agregar otros documentos que juzgues necesarios. Si encuentras que falta algo en estos materiales, agrégalo y coméntalo con tus compañeros de la escuela donde laboras (mejor aún si te comunicas con el resto a través de Internet). A continuación te presentamos uno de los documentos de los MAPOA acompañado de comentarios acerca de su uso o aspectos relevantes para su discusión con los alumnos.


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Sobre resolución de problemas y juegos* Para desarrollar esta actividad no tienes que construir ni manipular ningún material, sólo debes leer con atención lo que sigue y reflexionar sobre la lectura, ya que en las próximas actividades deberás recordar lo que aquí se dice. ¿Qué es un problema o un juego matemático? Es una situación que implica un propósito u objetivo que hay que conseguir, y que es aceptada como problema por alguien. Sin esa aceptación no hay problema. Hay obstáculos para alcanzar ese propósito, y requiere deliberación, ya que el que lo afronta no conoce ningún algoritmo o procedimiento para resolverlo. Un problema debe representar un reto adecuado a las capacidades de quien intenta resolverlo. Además debe tener interés en sí mismo, estimular el deseo de proponerlo a otras personas: no debe ser un problema con trampa o un acertijo, ni dejar bloqueado inicialmente a quien lo ha de resolver. No confundas problema con ejercicio: éstos son cuestiones que de un golpe de vista se ve en qué consisten y cuál es el medio para resolverlas. A la hora de resolver un ejercicio se suele tener a la mano una receta que facilita su solución y en general la resolución de un ejercicio exige poco tiempo, situaciones que no suelen darse ante un problema o juego. ¿Qué es resolver un problema o juego? La resolución de un problema o juego es un proceso de acontecimientos que nos lleva a recorrer diferentes etapas en un viaje: aceptar el desafío, formular las preguntas adecuadas a cada caso, clarificar el objetivo, definir y ejecutar el plan de acción y evaluar la solución. Llevará consigo el uso de la heurística (el arte del descubrimiento), pero no de una manera predecible, porque si el método (que no existe) pudiera ser predicho de antemano, se convertiría en un algoritmo pasando de problema a mero ejercicio. Todo esto comporta, para cada uno de los problemas a resolver, una inmersión en el mundo particular del problema, poniendo de manifiesto las técnicas, habilidades, estrategias y actitudes personales de cada individuo que aborda el problema. La resolución de problemas es un proceso, no un procedimiento paso a paso: es fundamentalmente un viaje, no un destino (…"no hay camino, se hace camino al andar"). Este viaje queda plasmado en ir cubriendo las siguientes etapas: deseo de acercarse al problema, aceptar el desafío, correr un riesgo, hallar la respuesta, comprender una pregunta, descubrir nuevos conocimientos o crear una solución. ¿Quién es un buen resolvedor de problemas? El que tiene deseo de afrontarlo (yo quiero), acepta el desafío con entusiasmo (yo puedo), está en posesión del equipamiento de técnicas y estrategias (heurística) matemáticas oportunas (estoy dispuesto a aprenderlas) y tiene talento para ello (aunque el talento es fundamental para llegar lejos en el viaje, no lo es para disfrutar de él). Y por fin, el que practica las virtudes de la paciencia y la perseverancia. ¿Qué se aprende resolviendo problemas? Se aprende fundamentalmente a entender el funcionamiento de nuestro propio razonamiento, a dominar nuestros estados de ánimo y a aumentar la confianza en nosotros mismos, nuestra autoestima. ¿Cuál es la mejor forma de resolver problemas? La única forma es resolviendo problemas. Cada problema afrontado, con o sin éxito, nos enseña a resolver el siguiente. De alguna manera se aprende a aprender, por eso es interesante esta actividad. *

Tomada de: J. L. Antón Bozal, et al, Taller de Matemáticas, Madrid, Narcea Ediciones y MEC de España, 1994. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor Hoja 44

Pero recuerda que ésta, como todo arte, es una actividad que requiere fe (en que puedes), coraje (en que quieres), humildad (porque no lo sabes todo) y disciplina (estás dispuesto a esforzarte por seguir aprendiendo). Regla de oro: Lo que importa es el camino Siempre debes tener en cuenta que lo que importa es el camino. No pongas la mira en el éxito, sino en el proceso. Es el proceso el que te enseña. Un problema resuelto es un problema muerto, pero si aún se te resiste, vive en ti como problema. Bloqueos y Desbloqueos Dijimos anteriormente que un problema constituye un auténtico reto. Sabemos, más o menos, a dónde queremos llegar, pero ignoramos el camino. Ante esta situación caben actitudes positivas como confianza, tranquilidad, disposición de aprender, curiosidad, gusto por el reto, etc., y otras negativas o bloqueos que pueden obstaculizar nuestro avance como miedo a lo desconocido, nerviosismo, prisa por acabar o cierta desazón ante la prueba. En la tabla siguiente puedes ver los tipos de bloqueos que nos pueden afectar y algunas pautas para reflexionar sobre ellos e intentar superarlos. Bloqueos de origen Afectivo Î Apatía, abulia, pereza por el comienzo Î Miedo al fracaso, a la equivocación, al ridículo Î Ansiedades Î Repugnancias

Pautas para superar los bloqueos ♦ Piensa en las distintas formas de comenzar tu tarea. Escoge una y comienza ♦ El inicio puede tener carácter provisional ♦ Los fallos y equivocaciones nos enseñan sobre las formas adecuadas de proceder ♦ Aminorar la hiperactividad cuando nos percatamos de estar empujados a ella ♦ Actúa ocasionalmente contra la tendencia que te arrastra

Cognoscitivo Î Dificultades en la percepción del problema Î Incapacidad de desglosar el problema Î Visión estereotipada Culturales y Ambientales Î La sabiduría popular dice: "Busca la respuesta correcta" "Esto no es lógico" "Hay que ser práctico"

♦ Examinar cómo otros se enfrentan con actividades parecidas y comparar procedimientos ♦ Tratar de descomponer en partes más sencillas. Establecer prioridades ♦ Permanecer abierto a lo extraño ♦ No te contentes con la primera respuesta, busca varias respuestas. ♦ Déjate llevar por ideas imaginativas y por tu fantasía. ♦ Cultiva, en lo posible, la actitud lógica ♦ Juega con tus problemas


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Autoexamen sobre tu manera de pensar La resolución de problemas nos debe llevar a entender el funcionamiento de nuestro propio razonamiento, a dominar nuestros estados de ánimo y a aumentar la confianza en nosotros mismos. En definitiva, nos ayuda a conocernos mejor a nosotros mismos. El conocerte a ti mismo, en ese ámbito, te proporcionará la posibilidad de utilizar tus recursos de la forma más eficaz posible y alcanzar con seguridad un conocimiento más pleno. Lee con atención, reflexiona detenidamente y escribe con cuidado y orden las respuestas a las siguientes cuestiones: 1. Cuando te enfrentas a un problema, ¿con qué papel de los siguientes te identificas más? investigador explorador negociante detective actor matemático profesor juez constructor conductor de coches científico el más listo de la clase Explica brevemente tu elección. 2. Cuando te enfrentas a un problema, ¿con qué estado de animo te identificas más? optimista vigilante angustiado pesimista derrotado aburrido desanimado crítico divertido indiferente disgustado tranquilo Explica brevemente por qué. 3. ¿Qué es lo que más te ayuda a concentrarte? El silencio, la paz, la tranquilidad, la música, viajar, pasear, contemplar el paisaje, etc. Explica por qué. 4. Si no te sale un problema, ¿qué prefieres hacer: continuar a pesar de todo, olvidarte de él por un tiempo, abandonarlo definitivamente, seguir pensando en él en casa? Explica por qué. 5. A la vista de la tabla de bloqueos, ¿de qué tipo son los bloqueos que encuentras al resolver un problema? Explica por qué. 6. ¿Qué buscas en la resolución de problemas: entretenimiento, ejercicio, cumplimiento de un deber, satisfacer mi curiosidad, autosuperación, preparación más eficaz, etc.? Explica por qué. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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7. ¿Cómo eres respecto al trabajo? Me cuesta ponerme en marcha, soy de esfuerzos prolongados, me canso y me aburro fácilmente, soy de intensos altibajos. Explica cuál puede ser la causa. 8. En el trabajo, ¿qué te produce más satisfacción: pensar autónomo, observar, mirar como lo hacen los otros, explorar, repetir, repasar, asegurarse, no trabajar? ¿Qué es lo que más trabajo te cuesta? 9. ¿Qué tipos de problemas son los que más te gustan? 10. Tu pensamiento, ¿anda casi siempre bajo control o a ratos anda vagando y divagando? ¿Cuál crees que sea la causa? Comentario Esta actividad se puede combinar con alguna de las primeras experiencias de resolución de problemas, de preferencia con la primera, ‘El chisme’. Así se brinda una oportunidad a los estudiantes de discutir sobre la resolución de problemas inmediatamente después de vivir una experiencia como bienvenida al nivel medio superior. De esta manera, los estudiantes tendrán a la mano detalles para ejemplificar los aspectos que se tratan en la lectura. A partir de las respuestas se hace una descripción del grupo según su estilo de resolución de problemas y su manera de pensar. Entre los puntos que se pueden discutir con provecho están los siguientes: ♦ ¿Es mejor un papel que otro? ¿Por qué? ♦ ¿Qué características son comunes a varios papeles? ♦ ¿Hay estados de ánimo que contribuyen a tener éxito en la resolución de problemas? ♦ ¿Qué papel desempeña la concentración en la resolución de problemas y en el estudio de las matemáticas? ♦ ¿Cuáles son los bloqueos más frecuentes en el grupo? ♦ ¿Cómo se pueden seguir las pautas para superar los bloqueos? ¿Son pautas de sentido común? ¿En qué tipo de argumento se sustentan? ♦ ¿Cuál sería una distribución deseable de las características del grupo? ¿Qué estrategias se pueden aplicar para lograrla? En la discusión de otros MAPOA es conveniente usar la información recabada en esta actividad. Al final del curso se puede volver a aplicar el autoexamen para contrastar las distribuciones y describir la evolución del grupo con respecto a las categorías que comprende.


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3 . Problemas En una sesión resolución de problemas se integran varios procesos. Es, tal vez, el tipo más importante de actividades debido a la riqueza tan grande que ofrece al estudiante, sin embargo también es una de las más difíciles de implementar, requiere más tiempo y presenta mayor dificultad para los estudiantes. En la resolución de problemas los alumnos trabajan por equipo, exponen y reportan y validan su solución. En todo momento está presente la discusión y argumentación matemáticas, y es pertinente el uso de casi todos los materiales auxiliares para la organización del aprendizaje (MAPOA). Una actividad de resolución de problemas difícilmente queda concluida en una primera aproximación al problema, pero dependiendo del grado de avance y el objetivo de aprendizaje, la actividad se puede retomar posteriormente en clase o extraclase. Recordemos el contenido de una de las fichas de los MAPOA acerca de las características de un problema. Un problema es una situación matemática o extramatemática que no tiene una solución inmediata, admite varias vías de aproximación y posiblemente varias soluciones, puede consumir mucho tiempo, quizás varias clases, o hasta varios cursos y exige esfuerzo mental, imaginación y creatividad. Además, un buen problema no es paralizante, no es inmediato, es potencialmente soluble, es generador de conjeturas y preguntas, es controlable por parte del alumno, es decir, el alumno puede generar criterios para decidir cuándo está resuelto el problema, genera un conflicto emocional y contribuye a que el alumno produzca conocimientos nuevos o reorganice los que ha adquirido. En sesiones de resolución de problemas se busca la vinculación de las herramientas matemáticas con una dimensión de uso, se introducen conceptos matemáticos utilizando contextos, se interactúa con una situación familiar, o no, en la que se requiere de las matemáticas y se formulan y responden preguntas que contribuyen a la conceptualización de los objetos matemáticos. Se pretende que el alumno haga uso de las matemáticas con las que cuenta para dar respuesta a las preguntas planteadas en el contexto de la situación, busque conexiones entre diferentes registros de representación, logre diferentes vías de acceso trabajando varios enfoques, generalice sus soluciones y reformule, ampliándolo, el problema en otros campos, genere criterios para validar interpretaciones y los modelos matemáticos, surjan y evolucionen los conceptos matemáticos como respuesta a sus propias preguntas, y desarrolle actitudes que le permitan enfrentar y manejar situaciones complejas con un alto grado de incertidumbre. Así, un problema ofrece una oportunidad para que el alumno logre adquirir varios aprendizajes importantes, pero para ello es necesario que cuando se le proponga un problema, él se involucre, lo acepte como propio, lo haga suyo, es decir que se olvide que el problema se lo propuso el profesor y que se concentre en la búsqueda de su solución. Es posible que nuestros alumnos no estén acostumbrados a resolver problemas, sino a ver que otros lo hagan, especialmente el profesor. Cuando varios alumnos sólo leen el enunciado del problema y de inmediato dicen “no entiendo”, podemos desesperarnos y en nuestro afán de ayudarles, terminar por ser nosotros quienes resolvamos el problema que ya no fue, mientras los alumnos sólo toman anotaciones de lo hecho en el pizarrón. Cuando esto sucede, la actividad perdió toda su riqueza como medio y fin de aprendizaje. Desde luego tampoco hay que dejar a nuestros alumnos solos esperando simplemente a que terminen el problema. Necesitan apoyo, pero mediante preguntas y comentarios que hagamos de su trabajo. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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Los MAPOA son importantes para cuando los alumnos resuelven problemas. Hay que solicitarles que recorten copias de las fichas, que las enmiquen y que siempre las tengan a la mano, para poder consultarlas con facilidad. Un documento especialmente importante para resolver problemas es La Heurística de Schoenfeld. En él se describe una estrategia sistemática que facilita resolver un problema. También se describen estrategias heurísticas que llegan a ser muy útiles al resolver problemas. Conviene que tengamos este escrito a la mano para no perder oportunidad de comentarlo cuando se resuelven problemas e identificar y destacar estrategias heurísticas que se utilizan. Una sesión de resolución de problemas Para aprovechar de la mejor manera las posibilidades de aprendizajes y desarrollo de habilidades en los alumnos es necesario preparar cuidadosamente las sesiones de resolución de problemas. Para crear las condiciones propicias para el logro de aprendizajes y desarrollo de habilidades en los alumnos necesitamos planear, instrumentar y evaluar las actividades llevadas a cabo en el curso. La importancia de esto en una sesión de resolución de problemas se manifiesta cuando nos enfrentamos ante la necesidad de improvisar durante la instrumentación. Si tenemos claro cuáles son los objetivos de la sesión y la manera de lograrlo, además de anticipar dificultades en los alumnos, es más fácil improvisar sin que se pierdan los objetivos de la actividad, es decir, sin que perdamos el control de la sesión. Una sesión completa de resolución de problemas consta de tres momentos: la resolución de la actividad, la presentación y discusión de las soluciones, y, los anexos y la retroalimentación. En la resolución de la actividad los alumnos trabajan en equipo y escriben al mismo tiempo el reporte de su trabajo. Al trabajar en equipo es más fácil que los alumnos comenten sus dudas, propongan procedimientos para resolver la situación propuesta, lo lleven a cabo y lleguen a resultados. Nosotros hacemos recomendaciones para la organización del trabajo de los equipos, planteamos preguntas y damos sugerencias a los equipos de acuerdo al trabajo desarrollado por cada uno. Debemos evitar expresiones como “Están bien, ese es el resultado”, “Están mal en su resultado. Empiecen de nuevo”. Y es que más adelante, en la presentación y discusión de las soluciones, todo el grupo, no nosotros, debe validar las soluciones discutidas. El trabajo en equipo no deja de tener riesgos, que en lugar de impulsar el aprendizaje, lo dificulte. Hay fichas sobre esto en los MAPOA. Hay que pedirles a los equipos que las utilicen cuando sea pertinente. En la presentación y discusiones de las soluciones elegimos a dos o tres equipos para que presenten y discutan ante los demás sus soluciones. En cada momento el equipo que se encuentra al frente es quien dirige la discusión. Nuestra participación es como la de los alumnos, es decir, debemos solicitar la palabra al equipo que dirige la discusión. Unos minutos antes de que pase un equipo les avisamos para que se organicen. Debemos estar al pendiente de que la discusión que se tenga corresponda a los objetivos de aprendizaje identificados en la planeación.


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Los momentos de una sesión de trabajo Primer momento La resolución de la actividad

Los estudiantes •

•

•

El profesor

Trabajan por equipo o individualmente sobre la actividad propuesta por el profesor Elaboran un reporte por escrito en donde se registre el proceso de

•

•

solución Organiza la presentación oral de sus soluciones a todo el grupo de

•

estudiantes

• •

S elecciona la actividad de aprendizaje propicia a resolver en esa sesión Propone y organiza la actividad de aprendizaje Hace preguntas y sugerencias al estudiante de acuerdo a lineamientos preestablecidos Atiende el trabajo de todos los equipos Decide el orden de presentación de las soluciones.

Segundo momento La presentación y discusión de soluciones

Los estudiantes •

•

El profesor

Presentan, si se les solicita, su solución al resto del grupo Intervienen en la presentación de las soluciones de los otros estudiantes con el propósito de validarlas como grupo

• •

Selecciona a los equipos y el orden de presentación Dirige la discusión de las soluciones según el objetivo de la actividad .

Tercer momento Los anexos y la retroalimentación

Los estudiantes •

•

El profesor

Retoman, individualmente, el trabajo realizado en el primer momento y lo

•

vinculan con la discusión general Evalúan su trabajo y el otros equipos

•

Comenta con los estudiantes sus reportes de sesiones anteriores Define, de acuerdo a los resultados, obtenidos, la próxima actividad propicia de resolver


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En los anexos y la retroalimentación los alumnos evalúan su trabajo y el de otros equipos, además de que se les solicita que de manera individual entreguen de un anexo del problema tratado y discutido. En la introducción de este Libro del Profesor se tienen comentarios más amplios sobre la planeación, instrumentación y evaluación. Aquí sólo destacamos la importancia del contraste entre el análisis previo que se concreta en los documentos de la planeación (los lineamientos para la interacción con los equipos, el guión de discusión, la solución de referencia y el precepto de evaluación) y el análisis posterior de la situación. Esta comparación entre lo esperado y lo obtenido proporciona los elementos para la elaboración de la historia del problema que nos permitirá hacer un registro cada vez más robusto de las interacciones posibles, las formas de comprensión y el uso de las matemáticas que hacen los alumnos. Aún cuando un primer análisis puede ser muy rudimentario, el manejo sucesivo de la actividad dentro del salón de clases hará que esta historia del problema se constituya en un saber propio de nosotros los profesores. Problemas, problemas con guía y proyectos En las actividades de aprendizaje se habla de problemas, problemas con guía y proyectos. En realidad las tres actividades son problemas. Todas ellas comparten la misma idea de problema que mencionamos en los párrafos anteriores. Expliquemos la diferencia que hay entre ellas. I. Problema: Consta de un enunciado en el que se describe la situación y lo que se quiere que haga y responda el alumno. El tiempo estimado para discutirlo provechosamente es después de una o dos horas de haberlo trabajado. II. Problema con guía: Además del enunciado, contiene un cuestionario o una secuencia de pasos que le permiten al estudiante seguir avanzando en el problema, usualmente de situaciones sencillas a otras más complejas. También el tiempo estimado para discutirlo provechosamente es después de una a dos horas de haberlo trabajado. III. Proyecto: Es un problema, o problema con guía, que requiere más de dos horas de trabajo antes de discutirlo provechosamente. Es posible que el estudiante tenga que generar él mismo los datos y una parte importante del trabajo la tenga que hacer fuera del salón de clases. Mencionamos algo más sobre los problemas con guía. Como en los problemas y proyectos, este tipo de actividades se trabaja en equipo y es recomendable al introducir de manera deliberada alguna herramienta matemática en particular, debido a que preparan al estudiante en herramientas heurísticas importantes y generan confianza al trabajar en equipo. La resolución de problemas con guía permite que se pueda llegar a resolver el problema planteado siguiendo una serie de pasos establecidos, aun cuando el problema y las instrucciones requieran una interpretación. Debemos vigilar el progreso de los equipos durante su tiempo de trabajo y destacar la importancia de los pasos que se sugieren dentro del contexto del problema; hay que evitar que los estudiantes trivialicen la actividad, ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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resumiéndola a una serie de procedimientos matemáticos o a contestar exclusivamente los puntos que el cuestionario está estableciendo. Hay que recordar que la experiencia de aprendizaje puntualiza cuestiones en las que el estudiante debe profundizar. En el curso de Geometría y Trigonometría hemos considerado un tipo especial de problemas: las Construcciones y las Demostraciones, que se le sugiere a los estudiantes incorporar a su portafolios en una sección de ‘Conjeturas y Teoremas’. Estas actividades de aprendizaje, según lo ha descrito Chazan, permiten el desarrollo de algunas habilidades particulares y requieren de un cambio de creencias. Catálogo de Habilidades • La habilidad de verificación. Los estudiantes deben aprender a usar los datos para verificar proposiciones o aportar contraejemplos; decidir qué mediciones u operaciones son importantes para convencernos y convencer a los demás (aquí hay una oportunidad de contribuir a la comprensión de la expresión condiciones suficientes); desarrollar y organizar formas de presentar los datos. • La habilidad de formular conjeturas. Los estudiantes deben aprender a usar sus conocimientos anteriores y sus observaciones para formular conjeturas; distinguir entre las conjeturas interesantes y aquéllas que carecen de interés, planteándose preguntas como: ¿Se ha establecido esta conjetura anteriormente? ¿Es la conjetura una consecuencia directa de algún resultado conocido? ¿Es generalizable esta conjetura? • La habilidad de generalización. Los estudiantes deben aprender a reconocer cuando una conjetura está subgeneralizada y se puede generalizar; cambiar el tipo de datos o condiciones en un problema para plantear nuevas preguntas y al cabo desarrollar conjeturas más generales. • La habilidad de demostración. Los estudiantes deben aprender a decidir cuando una proposición requiere una prueba o demostración; extraer «lo que está dado» de un dibujo o construcción y «lo que se quiere probar» de una conjetura para construir proposiciones de la forma sientonces; construir pruebas informales de proposiciones por medio de marcas en los dibujos que denoten las condiciones necesarias o por medio de algún código funcional; hacer secuencias de conjeturas para facilitar la redacción de las pruebas. • La habilidad de comunicación. Los estudiantes deben aprender a trabajar en equipo, lo que requiere que respeten las opiniones ajenas pero que estimulen explícitamente el pensamiento de los otros. • Escribir reportes que resuman su trabajo, individualmente y por equipos, lo que implica las habilidades de: Hacer secuencias de conjeturas; traducir las ideas que ellos creen verdaderas en conjeturas escritas que sean inteligibles para el lector; ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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escribir pruebas tanto formales como informales. Creencias sobre la GEOMETRÍA Las habilidades anteriores pueden contribuir a que los estudiantes comprendan y lleguen a creer algunas ideas importantes para la formación de una actitud que propicie un verdadero quehacer matemático. • No se ha creado o descubierto toda la matemática. • Los estudiantes pueden crear, descubrir o hacer matemáticas —otros pueden haber encontrado anteriormente los resultados, pero esto no debe menguar el gozo de la invención. • Las mediciones jamás pueden demostrar una proposición matemática, en particular geométrica. Las mediciones tienen una precisión limitada: dos cantidades pueden tener medidas iguales pero su relación geométrica puede no ser de igualdad, lo mismo que dos cantidades pueden tener medidas distintas pero su relación geométrica puede ser de igualdad. En contraste con las mediciones, una buena demostración nos asegura que, dentro del sistema aceptado de definiciones, postulados y teoremas, una relación geométrica particular puede ser de igualdad exacta. • Hay semejanzas y diferencias relativas a los significados de las palabras definición, postulado, axioma, conjetura, observación y teorema. • La formulación de definiciones y postulados implica una elección. Los matemáticos toman estas decisiones. En la geometría euclidiana, estas elecciones determinan cuáles proposiciones son teoremas y el orden en que se pueden demostrar. Cuando una clase se torna en una «comunidad de discentes» esta comunidad puede crear sus propias definiciones y tomar sus propias decisiones. • Una demostración de una proposición, que una vez demostrada se convierte en teorema, prueba que «lo que se quería demostrar» o la conclusión es verdadero para todos los dibujos que satisfagan «lo que está dado» o la hipótesis de la proposición; las mediciones que se realicen sólo pueden proporcionar la verificación en un ejemplo particular. Una buena demostración te asegura que no has sobregeneralizado. • En la geometría de bachillerato, una buena demostración explica por qué es verdadera una proposición, no sólo que es verdadera, relacionándola con el material previamente conocido. Una buena herramienta para la comprensión es un paquete de geometría dinámica, hay varios, tanto comerciales como de uso gratuito, que pueden utilizar. Vale la pena que busquemos incorporar estos paquetes en nuestro trabajo con los alumnos haciendo un esfuerzo para que por lo menos una sesión de dos horas semanales la realicemos en el aula de cómputo. A continuación presentamos varios ejemplos de problemas, problemas con guía y construcciones. La intención es mostrarte cómo podemos explotar la riqueza como medio de aprendizaje que tiene un problema, a partir de un análisis cuidadoso del mismo.


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Ejemplo de problema: “El progreso del peregrino” Enunciado La posición inicial del triángulo equilátero ABP, de lado a, se muestra en la figura. El triángulo se mueve, girando con respecto a uno de sus vértices, en el sentido positivo convencional, dentro del cuadrado ACDE, de lado 2a.

Calcula la longitud del recorrido que hace el punto P desde su posición inicial hasta que el mismo punto P vuelve a ocupar exactamente su posición original. Solución El sentido positivo convencional es el contrario al de las manecillas del reloj. Así que el primer giro será de 30°, o de

π radianes, con respecto al punto A. 6

Rotación 1: 30 ° con respecto a A. El vértice peregrino pasa de P0 a P1.

Rotación 2: 120° con respecto a P. El vértice peregrino pasa de P1 a P1.

En la figura se ilustran los dos primeros giros. Se requieren ocho giros para que el triángulo ocupe la posición que tenía al principio, pero el vértice peregrino P no regresa a su posición original. Registramos en una tabla los giros y los desplazamientos del vértice peregrino. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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Rotación 1: 30 ° con respecto a A Rotación 2: 120° con respecto a P Rotación 3: 30° con respecto a B Rotación 4: 120° con respecto a A Rotación 5: 30° con respecto a P Rotación 6: 120° con respecto a B Rotación 7: 30° con respecto a A Rotación 8: 120° con respecto a P

P0 a P1 P1 a P1 P1 a P2 P2 a P3 P3 a P3 P3 a P4 P4 a P5 P5 a P5

Al cabo de esta vuelta, que comprende ocho giros, P ocupa la posición que tenía B, B la de A y A la de P. Advertimos entonces que después de dar una segunda vuelta P ocupará la posición que tenía originalmente A y será al concluir la tercera vuelta que P regresará a la posición que ocupaba originalmente. En los ocho giros que ha realizado el triángulo, el vértice peregrino P ha recorrido cinco arcos y en tres no se ha desplazado porque ha sido el centro de la rotación. De los cinco arcos, tres son de 30° y dos de 120°, que equivale a un arco 11 11 de 330°, es decir (2πa ) , o bien πa . 12 6 Registramos de la misma manera que la primera, la segunda y la tercera vueltas: Rotación 9: 30° con respecto a B Rotación 10: 120° con respecto a A Rotación 11: 30° con respecto a P Rotación 12: 120° con respecto a B Rotación 13: 30° con respecto a A Rotación 14: 120° con respecto a P Rotación 15: 30° con respecto a B Rotación 16: 120° con respecto a A

P5 a P6 P6 a P7 P7 a P7 P7 a P8 P8 a P9 P9 a P9 P9 a P10 P10 a P11

Al realizar la Rotación 16, el triángulo ocupa la posición original pero el vértice peregrino P, no. Como habíamos anticipado P ocupa la posición de A, B la de P y A la de B. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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En los ocho giros que ha realizado el triángulo, el vértice peregrino P ha recorrido seis arcos y en dos no se ha desplazado porque ha sido el centro de la rotación. De los seis 5 arcos, tres son de 30° y tres de 120°, que equivale a un arco de 450°, es decir (2πa ) , o 4 5 bien πa . 2

Rotación 17:30° con respecto a P. Rotación 18: 120° con respecto a B. Rotación 19: 30° con respecto a A. Rotación 20: 120° con respecto a P. Rotación 21: 30° con respecto a B. Rotación 22: 120° con respecto a A. Rotación 23: 30° con respecto a P. Rotación 24: 120° con respecto a B.

P11 a P11. P11 a P12. P12 a P13. P13 a P13. P13 a P14. P14 a P15. P15 a P15. P15 a P16.


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Al realizar la Rotación 24, el triángulo ocupa la posición original con el vértice peregrino P en su posición original. En los ocho giros que ha realizado el triángulo, el vértice peregrino P ha recorrido cinco arcos y en tres no se ha desplazado porque ha sido el centro de la rotación. De los cinco 7 arcos, dos son de 30° y tres de 120°, que equivale a un arco de 420°, es decir (2πa ) , o 6 7 bien πa . 3

El progreso del peregrino en sus tres vueltas:

Puesto que un arco de 30° es la doceava parte de la circunferencia de radio a y 120° es la tercera parte de la misma circunferencia, sumamos los arcos: Hay 3 de 30° y 2 de 120| en la primera vuelta. Hay 3 de 30° y 3 de 120° en la segunda vuelta. Hay 2 de 30° y 3 de 120° en la tercera vuelta. 8 8 10 y es de circunferencia. Así el progreso total del peregrino es 12 3 3 10 20 (2πa ) , o bien πa . Que en grados corresponde a un arco de 330° + 450° + 420° = 3 3 1200°, es decir, tres vueltas de 360° cada una, más 120°. La suma de


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Formato para la clasificación de problemas Título El progreso del peregrino 1. Experiencia de aprendizaje 1.1 Resolución de problemas 2. Modalidad de trabajo 2.1 Individual 2.2 Equipo (parejas) Parejas con reporte individual 3. Lugar de realización 3.1 Salón de clases o 3.2 aula de cómputo 4. Herramientas tecnológicas 4.1 Juego de geometría 4.2 Ambientes computacionales (Paquete de geometría dinámica) 5. Tiempo 50 minutos 6. Producto 6.1 Reporte de RP 7. Referencias curriculares 7.1 Contenidos 7.1.1 Conceptuales 2.4 Propiedades del triángulo, 2.6 Polígonos, 2.7 Circunferencia y círculo. 7.1.2 Procedimentales P2, P3, P4, P9. 7.1.3 Actitudinales A3, A9, A13. CBEB C1, C2, C3, C7. Estándares NCTM E1.3 E2.1 E3.1, E3,3, E3.4 E4.1 E6 E7 E8 E9 E10 8. Representaciones 8.1 Textual→ 8.5 Geométrica→ 8.2 Tabular 9. Estrategias Organiza la información en una tabla Busca el patrón de cada elemento 10. Evaluación Evaluación del reporte individual incluyendo las construcciones realizadas pulcramente con juego de geometría o con algún paquete de computadora. Evaluación de la presentación. Observaciones En la discusión es importante aplicar la estrategia de formulación de problemas ¿Qué pasaría si ...? para dar lugar a la identificación de los patrones y a la formulación de conjeturas.


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Ejemplo de problema Dédalo y Calipso Enunciado En una ciudad chica hay dos misceláneas, La gruta de Calipso y El laberinto de Dédalo que compiten por 1000 clientes potenciales. Cada mes, 80% de los clientes de La gruta de Calipso queda satisfecho y regresa a comprar ahí mismo, mientras que el 20% restante prefiere irse al El laberinto de Dédalo. En cambio, de los clientes de El laberinto de Dédalo, sólo 70% queda satisfecho, el otro 30% se va a La gruta de Calipso. El número de clientes en cada miscelánea se estabiliza cuando el número de los que dejan de comprar en una miscelánea es igual a los que vienen a comprar de la otra, ¿cuántos clientes habrá en cada tienda en ese momento? Resuelve el mismo problema suponiendo que al principio hay 500 clientes en cada tienda y observando cómo evoluciona la situación mes por mes. ¿Qué ocurre si se suponen otros datos iniciales, por ejemplo, 700 clientes en una miscelánea y 300 en la otra, etcétera? Solución 1 de la primera parte: «El número de clientes en cada miscelánea se estabiliza cuando el número de los que dejan de comprar en una miscelánea es igual a los que vienen a comprar de la otra» El número de clientes que dejan de comprar en La gruta de Calipso es 0.2c y el número de clientes que dejan de comprar en El laberinto de Dédalo es 0.3d (0.2c = 0.3d), pero, además, sabemos que c + d = 1000, así que, c = 600 y d = 400. Solución 2 de la primera parte: El número de clientes se estabiliza cuando de un mes a otro ya no cambian. Así, según el enunciado, La gruta de Calipso c El laberinto de Dédalo d penúltimo mes 0.8c + 0.3d 0.7d + 0.2c último mes c = 0.8c + 0.3d d = 0.7d + 0.2c 0.2c = 0.3d 0.3d = 0.2c pero c + d = 1000 c = 600 y d = 400


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Hay otras soluciones posibles, como la aplicación aritmética de las relaciones o la identificación de la progresión geométrica sin llegar a considerar el caso de cualquier distribución de la clientela inicial, que pueden sugerir el límite. En este problema hay, en principio, dos formas de enfrentarlo, después de hacerse una idea de la situación: (1) Traducir la condición de estabilidad a una expresión algebraica y encontrar la respuesta. (2) Poner a funcionar la situación y explorar las tendencias. Si bien se puede pensar en otros tipos de representaciones, las soluciones previstas transitan entre los registros textual, numérico, algebraico y gráfico. La gráfica puede dar indicios del modelo exponencial. Las sugerencias se concentran entonces en: ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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hacer explícitas las interpretaciones durante la lectura, la situación y su funcionamiento, la organización eficaz de la información que resulta, la identificación de las estructuras de las operaciones que se realizan. Lineamientos para la actuación de los profesores durante el trabajo en equipo Contribuir mediante preguntas (acerca de la interpretación que hacen) y sugerencias (consulta las fichas y la tabla de heurísticas, dale sentido a la situación, ponla a funcionar) a que se supere la primera fase de comprensión del texto, hasta que tengan una representación más o menos clara de la situación (una parte se queda y otra parte se va). Una vez superada esta fase (recomendar la validación explícita de la interpretación de la situación y de los resultados obtenidos al ponerla a funcionar, verificar los cálculos para evitar errores de ejecución), insistir en la necesidad de hacer un plan para obtener los elementos necesarios para formular una explicación matemática global de la situación. Una vez comprendido el funcionamiento de la situación, se les puede sugerir que exploren la tendencia de cada clientela y traten de identificar el patrón (una estrategia pertinente puede ser la de indicar las operaciones aritméticas que realizaron y que organicen la información de una forma que les ayude a revelar su estructura). Si ya encontraron la situación estable, hay que insistir en que se vincule con el funcionamiento de la situación y se formule una explicación matemática global (ya sea la relación recursiva o la progresión geométrica). Si algún equipo permanece en las exploraciones aritméticas, se le puede sugerir que consideren los casos extremos y que hagan algunas conjeturas explícitas sobre las tendencias en cada caso. Algunos callejones sin salida que se pueden evitar con preguntas adecuadas son: los errores de interpretación en los porcentajes, la asociación con una hipérbola al identificar el comportamiento asintótico de las clientelas. Guión de la discusión Explotar la evolución de la situación y su estabilización. Necesidad de vincular matemáticamente la evolución de la situación y su estabilización. Las ideas de tendencia, de aproximación, de límite. Interacción modelo–situación. La progresión geométrica, el papel de los recursos. Lo discreto y lo continuo. La representación gráfica para dar una idea global: creciente, decreciente, asíntota. Indagar el comportamiento a partir de valores distintos, sacar conclusiones. (La matriz como un objeto adecuado para representar el proceso) Las estrategias que se aplicaron. La discusión grupal como un espacio de aprendizaje con características propias: el trabajo en los equipos prepara a todos - para incorporar las distintas soluciones, ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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- para contrastarlas, para evaluarlas como más elegantes, - para avanzar en las generalizaciones, - para plantearse preguntas nuevas sobre la situación, - para formular problemas nuevos. Para explotar estas posibilidades es necesario adoptar una actitud adecuada. Sugerencias: Valorar su propio trabajo aun cuando la solución sea parcial. La aceptación de los argumentos de sus compañeros en el equipo sin necesidad de un aval externo. Atención activa durante la presentación de las soluciones de otros equipos. Intervenciones para solicitar la justificación de los resultados, procedimientos y argumentaciones expuestos. Atención en los anexos individuales a las distintas soluciones que puede tener un problema. Atención explícita en los anexos individuales a los aspectos relacionados con la comprensión, la planeación, las conclusiones y la idea del problema como generador de problemas. Uso flexible del esquema básico de comunicación (emisor-mensaje-receptor). Uso de estrategias que fortalezcan la comprensión, como tratar de comprobar los resultados, hacer esquemas de los planes y de los argumentos, explicar con otras palabras un razonamiento ajeno. Cuestionamientos más precisos, que enriquezcan la discusión. Calidad de la verbalización. Uso de diversos registros de representación en sus intervenciones. Uso de estrategias de formulación de problemas nuevos: ¿Qué pasaría si . . .?, ¿qué pasaría si no . . .? Apropiación de términos, resultados, procedimientos, soluciones de otros equipos. Soluciones más consistentes en los anexos individuales comparados con los reportes del equipo. Soluciones en las que se transite por varios registros de representación. Destacar los aprendizajes logrados en esta fase de discusión y contrastarlos con los de las fases anteriores. Aprendizajes matemáticos y aprendizaje de la resolución de problemas.


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Construcciones 6 • Inscripción y Circunscripción. • Dada una circunferencia de 4 cm de radio, construye un triángulo equilátero circunscrito a ella. Llámalos C1 y T1, respectivamente. Se construyen tres puntos, P1, P2, P3, en la circunferencia C1 de tal manera que determinen arcos de 120°. Se construye una tangente a la circunferencia por cada uno de estos puntos, P1, P2, P3, que se llaman l1, l2, l3. El punto de intersección de cada par de tangentes es un vértice del triángulo equilátero T1 circunscrito a la circunferencia C1. V3

l2

l3

P3

P2

A

V1

P1

l1

•

V2

Formula algunas conjeturas sobre las relaciones de los perímetros y las áreas de ambas figuras y verifícalas. Las relaciones se basan en que la apotema del triángulo T1 es el radio de la circunferencia C1. 3lr 3l 2 = , de donde, l = 2 3r . 2 4 Si comparamos los perímetros y las áreas de ambas figuras, encontramos que:


Hoja 64

rP =

PT 1 3 3 , dado que PT 1 = 3(2 3r ) y que PC1 = 2πr , rP = π PC1

rA =

AT 1 3 , dado que AT 1 = 2 3r AC1 4

(

)

2

y que AC1 = πr 2 , rA =

3 3

π

V3

Perímetro1V 2 V 3 = 41.569

T1 (Perímetro V1 V 2V 3 ) (Circunferencia p1)

= 1.65

Área

2 1 V 2V 3 = 83.138

C1

(Área V 1 V 2V 3 ) (Área p1)

P3

= 1.65

P2

Circunferencia 25.133 Área p1 50.265

2

A

Radio p1 4.000

V1

P1

V2

• Inscribe un triángulo equilátero T2 en la circunferencia C1. • Inscribe una circunferencia C2 en el triángulo T2. • Inscribe un triángulo equilátero T3 en la circunferencia C2. • Inscribe una circunferencia C3 en el triángulo T3. • Inscribe un triángulo equilátero T4 en la circunferencia C3. • Calcula las razones de las áreas y los perímetros de T4 a T1.


Hoja 65

V3

Perímetro XYZ5.196 Área XYZ 1.299

(Perímetro V 1V 2 V 3 ) (Perímetro XYZ) (Área V 1V 2 V 3) (Área XYZ)

Perímetro1V 2 V 3 = 41.569

2

Área 1 V 2V 3 = 83.138

2

= 8.00

T1 = 64.00

P' 2

T2 P3

P2

T

T3 S

Z

T4

W

A X U P' 3

C3

Y V

C2

P'' 3

C1 V1

V2

P1

•

Formula otras conjeturas de carácter más general sobre las relaciones de los perímetros y las áreas de las figuras que trazaste. Las conjeturas se formulan a partir de tres relaciones: Un triángulo equilátero dado y el triángulo equilátero inscrito en la circunferencia inscrita en el triángulo dado tienen una razón de semejanza 2:1. El radio de la circunferencia inscrita en un triángulo es la apotema del triángulo. El radio de una circunferencia circunscrita a un triángulo es dos tercios de la altura del triángulo. Algunas conjeturas: ♦ Si el triángulo T2 está inscrito en la circunferencia C1 que a su vez está inscrita en el triángulo T1, entonces la razón del área de T1 al área de T2 es 2. ♦ Si el triángulo T1 está circunscrito a la circunferencia C1 que a su vez está circunscrita al triángulo T2, entonces la razón del perímetro de T1 al perímetro de T2 es 2.


Hoja 66

•

♦ La sucesión de las razones de los perímetros de los triángulos inscritos al perímetro del triángulo T1 es una sucesión geométrica de P P P 1 razón , es decir, T 2 , T 3 , T 4 , ... 2 PT 1 PT 1 PT 1 ♦ La sucesión de las áreas de los triángulos inscritos es una sucesión 1 geométrica cuyo primer término es AT1 y cuya razón es . 4 Demuestra o refuta tus conjeturas y haz un reporte que incluya todo el proceso, tanto el correspondiente a las conjeturas que demostraste como a las que refutaste.

Hay algunas proposiciones que se pueden usar, y si se juzga pertinente justificar, al realizar la construcción. Un argumento razonable para esta etapa de la construcción. La construcción: Se determinan tres arcos de 120° en la circunferencia y por V3 ellos se trazan tangentes a la circunferencia. Los puntos de intersección de cada par de tangentes son los vértices del P triángulo equilátero T1. P3 2 La justificación: A Dado que las tangentes son perpendiculares al radio en el punto de tangencia y que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero convexo es 360°, los ángulos P2AP3 y V1 P1 V2 P3V3P2 son suplementarios, por lo que P3V3P2 mide 60°. Lo mismo vale para los vértices V1 y V2, por lo que el triángulo T1 es equilátero. Si un triángulo es equilátero, el baricentro, el ortocentro, el incentro y el circuncentro son el mismo punto. V3 Si un triángulo es equilátero la razón de su lado a su altura 3 . es 2 P P3 2 El baricentro determina en cada mediana dos segmentos cuya razón es 2:1. A Si en un triángulo equilátero T1 se consideran los puntos medios de sus lados como vértices de otro triángulo T2, V1 P1 V2 entonces T1 y T2 son semejantes con razón entre sus lados 2:1. Además, el círculo circunscrito a T2 es el círculo inscrito en T1.


Hoja 67

V3

P2

P3

V1

P1

V2

Los perímetros (los elementos lineales) de los triángulos que se construyen considerando los vértices en los puntos medios de un triángulo dado, y así sucesivamente, forman una progresión geométrica con razón ½. 3, 3/2, 3/4, 3/8, ... Las áreas de los triángulos que se construyen considerando los vértices en los puntos medios de un triángulo dado, y así sucesivamente, forman una progresión geométrica con razón ¼.


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Construcciones 8 • Un lugar geométrico. • Traza un segmento PQ de 5 cm de longitud. • Traza varias circunferencias que pasen por P y por Q y marca con tinta los centros de estas circunferencias. Se requiere un tercer punto para construir un círculo. Se escoge uno cualquiera. Una vez que se tienen los tres puntos se trazan las mediatrices de los segmentos que los unen. El punto de intersección de las mediatrices es el centro del círculo.

R5 R4 R3 R2

R1

O5

O4 S4

S3 S2 S1

S5

O3 O2 O1

P

M

Q

• Formula conjeturas en la forma «si-entonces» y trata de probarlas. Si una cuerda es común a varios círculos, entonces la mediatriz de la cuerda pasa por el centro de todos los círculos que la tienen como cuerda. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

Hoja 69

El lugar geométrico de los centros de los círculos que pasan por los extremos de un segmento dado es la mediatriz del segmento. • Otro lugar geométrico. • Traza un segmento PQ de 5 cm de longitud. • Usa tu escuadra 30-60-90 para trazar muchos triángulos PQR que tengan un ángulo opuesto al segmento PQ de 30° y marca el vértice R de cada uno de estos triángulos. R7

R8

R9

R10

R11

R6

R12

R5

R13 R14

R4

R15 R3 R16

R17

R2

R1

R18 R19 Q

P

R' 19 R' 18

R' 1 R' 17 R' 2 R' 16

R' 15 R' 3 R' 14 R' 4 R' 13 R' 5 R' 12

R' 6 R' 7

R' 8

R' 9

R' 10

R' 11


Hoja 70

• Usa tu escuadra 45-45-90 para trazar muchos triángulos PQS que tengan un

ángulo opuesto al segmento PQ de 45° y marca el vértice S de cada uno de estos triángulos. R6

R7

R8

R9 R10

R11 R12

R5

R13 R14

R4

R15

R3

R16

R5

R2

R8 R9 R10 R11 R6R7

R12 R13 R14

R4

R17

R3

R1 R18

R15

R2

R16 R17

R19 P

Q

R1

R' 19

R18 R19

R' 18

R' 1

P

Q

R' 17

R' 19 R' 18

R' 2 R' 16 R' 15

R' 3

R' 14

R' 4

R' 13

R' 5 R' 6

R' 12

R' 1

R' 17

R' 2

R' 16 R' 15

R' 3 R' 4 R' 5

R' 7 R' 8 R' 9 R' 10 R' 11

R' 6 R' 7 R' 8 R'

9

R' 12 R' R' 1011

R' 14 R' 13

• Usa tu escuadra 30-60-90 para trazar muchos triángulos PQT que tengan un ángulo opuesto al segmento PQ de 60° y marca el vértice T de cada uno de estos triángulos. • Usa tu escuadra 30-60-90 para trazar muchos triángulos PQU que tengan un ángulo opuesto al segmento PQ de 90° y marca el vértice U de cada uno de estos triángulos.


Hoja 71

R7 R8 R9R10R11 R5R6 R12R13 R4 R14 R3 R15 R16 R2 R17 R1 R18 R19 P

Q R'19 R'18

R'1 R'2

R'17 R'16 R'15 R'14

R'3 R'4 R'5R'

R'13 R'12 R' 11 R' R'910

6 R'7 R' 8

• Formula conjeturas en la forma «si-entonces» y trata de probarlas. • Otra de triángulos. • Traza un triángulo de lados 6, 9 y 12. • Localiza los puntos medios de dos de sus lados y traza un segmento que los una. • El triángulo queda dividido en dos regiones, descríbelas, calcula sus perímetros y áreas y compáralos, ¿en qué razón están? Conjetura y explica. C

E

A

D


B

Hoja 72

• Haz una indagación parecida a la anterior pero ahora parte de la trisección de los dos lados. Conjetura y argumenta. C

I

H

A

F


G

B

Hoja 73

• Dado el triángulo de lados 6, 9 y 12. • ¿A qué altura se debe trazar una paralela a la base para que el triángulo quede dividido en dos regiones de áreas iguales? C

J

K M

A

B

L

• ¿A qué alturas se deben trazar paralelas a la base para que el triángulo quede dividido en cinco regiones de áreas iguales? • ¿A qué altura se debe trazar una paralela a la base para que los perímetros de las dos regiones sean iguales? C

J

K M A

B

L

• ¿A qué altura se debe trazar una paralela a la base para que las áreas de las dos regiones que resultan estén en razón 1:2, 1:3, 1:4, 2:3, m:n? • Incluye el reporte, con PER, en tu portafolios.


Hoja 74

Las cometas y sus propiedades (Traducción de "Investigating Properties of Kites". "Explorations for the Mathematics Classroom II") Using TI-92 GEOMETRY, Texas Instruments. Charles Vonder Embse (Central Michigan University) Arne Engebretsen (Grendale High School)

Se dice que una cometa es un cuadrilátero que cumple las siguientes condiciones: •

Sus lados son iguales dos a dos

•

Los lados iguales son consecutivos 1. Construye de varias formas diferentes una cometa. Comprueba que la construcción es correcta. Para ello, mueve los puntos libres del dibujo y observa que la figura sigue siendo una cometa.

2. En función del tipo de construcción elegida, ¿qué tienen que cumplir las cometas para que sean convexas ó cóncavas? 3. Si se unen los puntos medios de los cuatro lados de una cometa, ¿qué cuadrilátero se forma? 4. Dibuja las diagonales de una cometa y observa propiedades que tienen. Comprueba si estas propiedades lo son también para las cometas cóncavas 5. Dibuja casos particulares de cometas como el cuadrado o el rombo. Comprueba si cumplen las propiedades mencionadas anteriormente y busca propiedades que tengan estas figuras y no las cometas. 6. Dibuja una cometa y calcula el valor de su área. ¿Existe alguna relación entre el área y las diagonales de una cometa? Comprueba tu conjetura ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

Hoja 75

haciendo modificaciones en la cometa y observa que se mantienen las propiedades. 7. Inscribe en un rectángulo ABCD una cometa EFGH de manera que H y F sean los puntos medios de los lados AD y BC.

a) ¿Qué relación hay entre el área de la cometa y el área del rectángulo? b) ¿Cómo cambia esta relación a medida que los puntos E y G se mueven? c) ¿Cuál es el valor máximo del área? d) ¿Cuánto vale el perímetro de la cometa cuando ésta cambia bajo las mismas condiciones? e) Si el perímetro cambia, ¿cuál es su valor mínimo? Solución 1. Construir Cometas Esta actividad debe hacerse en grupos para dar más ideas a) Construir dos círculos que se corten. El cuadrilátero que se forma uniendo los centros de los círculos y los puntos de intersección es una cometa

b) Construir un segmento y su mediatriz. Marcar dos puntos diferentes sobre la mediatriz y unir estos puntos con los extremos del segmento. Se forma una cometa.


Hoja 76

c) Construir dos triángulos isósceles que tengan en común la base. Los pares de lados iguales de los dos triángulos forman una cometa.

d) Dibuja dos segmentos que tengan en común un extremo. Dibuja la recta que pasa por los otros dos extremos de los segmentos. Construye los segmentos simétricos de los iniciales respecto de la recta. Los cuatro segmentos dibujados forman una cometa.

e) Haz un rectángulo. Marca los puntos medios de dos de sus lados. Dibuja una recta paralela a dichos lados que corte a los otros dos o sus prolongaciones en otros dos puntos. Marca estos puntos de intersección. El polígono formado al unir estos cuatro es una cometa. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

Hoja 77

f) Dibuja un triángulo. Haz el triángulo simétrico respecto uno de sus lados. Los otros dos lados junto con sus simétricos forman una cometa.

2. En función de los métodos empleados en la actividad anterior, para dibujar una cometa, ésta será cóncava si: a) Los centros de los círculos están en el mismo lado del segmento que los puntos de intersección. b) Los dos puntos de la mediatriz están a un mismo lado del segmento. c) Cuando los dos terceros vértices de los triángulos están a un mismo lado de la base. d) Cuando los extremos no comunes de los segmentos están en el mismo lado con respecto a la perpendicular trazada desde el extremo común a la recta de simetría. e) Cuando la recta paralela corta, no a los lados, sino a las extensiones de los mismos. f) Cuando la altura sobre el lado que hace de eje de simetría no corta a dicho lado sino a una extensión del mismo. 3. El cuadrilátero que se forma al unir los puntos medios de los lados de una cometa es para cualquier caso un rectángulo.


Hoja 78

Dibuja cada diagonal de la cometa. Los segmentos medios de los triángulos formados por la diagonal de la cometa son paralelos a la base (diagonal) y por tanto paralelos a cada lado. Esta propiedad se cumple para las dos diagonales y los dos pares de segmentos paralelos. Una de las formas con que hemos definido la cometa es como los lados de dos triángulos isósceles, que tienen en común la base. Si se utiliza esta definición, la diagonal que une el tercer vértice de uno de los triángulos con el del otro, es la mediatriz de la base, es decir, la otra diagonal. En consecuencia, las diagonales son perpendiculares, y el paralelogramo formado por los puntos medios es un rectángulo.

4. Las diagonales de una cometa son siempre perpendiculares, por lo explicado anteriormente. 5. Todas las propiedades de las cometas son también propiedades del rombo y del cuadrado, ya que estas figuras son casos particulares de las cometas. Busca propiedades de estas figuras que no sean propiedades de las cometas. Explorar 6. El área de una cometa es igual al semiproducto de las longitudes de sus diagonales. Observa el siguiente dibujo:


Hoja 79

En el caso particular del rombo y del cuadrado como cometas, el área de estas figuras es la mitad del cuadrado de la diagonal. 7. El área de la cometa es la mitad del área del rectángulo, sea cualesquiera la ubicación del vértice de la cometa que se mueve a lo largo del lado del rectángulo.

8. El perímetro cambiará a medida que E y G se muevan. Se hará mínimo cuando estos vértices se encuentren en los puntos medios del rectángulo, es decir, cuando la figura sea un rombo. Una nube de puntos de los diferentes perímetros de EFGH en función de la longitud AE describirán una curva elíptica con el máximo cuando E coincida con A y D, es decir, cuando la cometa se convierte en un triángulo.


Hoja 80


Hoja 81

En el curso de Geometría y Trigonometría se busca que el alumno valore y conozca el significado e importancia de lo que es una construcción y una demostración. Pero, difícilmente en el tiempo disponible es posible presentar la Geometría como un sistema axiomático completo y coherente en donde cada afirmación (teorema) sea demostrado. Sin embargo, esto no significa que se deba olvidar esto y que permanezca la idea de que en la geometría se tienen varias propiedades, unas interesantes y otras no tanto, en donde sólo algunas están relacionadas entre sí. A continuación te presentamos una secuencia que podría seguirse (y completarse) para presentar a la geometría como un cuerpo coherente de conocimientos, en los cuales se aprecia la relación y dependencia de unos con otros.

Secuencia para abordar los Teoremas de Geometría

Términos no definidos: 1. Punto 2. Recta 3. Plano 4. Relaciones de Incidencia: “El punto A está en, o pertenece a la recta l ” Equivalencias: El punto está sobre la recta; el punto es de la recta; la recta pasa por el punto; la recta contiene al punto. “El punto A está contenido en, o está en, el plano Ω ” Equivalencias: El punto está sobre el plano; el punto es del plano. el plano pasa por el punto; el plano contiene al punto. “El plano Ω contiene a la recta l , o la recta l está contenida en el plano Ω, o la recta está en el plano” 5. La relación “estar entre...” para puntos sobre una recta. Notación: A − C − B significa que C está entre A y B

Definiciones, Postulados y Teoremas Iniciales: Definición. Espacio es … Definición. Figura geométrica plana es cualquier colección de puntos en el plano. Postulado de la Recta: Dados dos puntos distintos recta que los contiene, representada por

A

y

B cualesquiera, existe sólo una

A B , o por BA , o por l, t , n, etc.

Definición. Puntos colineales …; puntos coplanares … Postulado del Plano: Para cada tres puntos no colineales, existe un plano único que los contiene. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

Hoja 82

Postulado. Si dos puntos de una recta están en un plano, entonces la recta está contenida en el plano. Teorema. Una recta y un punto que no esté sobre ella determinan un único plano (demostración directa). Definición. Dos figuras geométricas se intersectan si… Teorema. Si dos rectas distintas se intersectan, lo hacen en un solo punto (demostración indirecta). Definición: Rectas concurrentes…. Teorema. Si dos rectas distintas se intersectan, entonces determinan un plano que las contiene (demostración directa). Teorema. Si una recta y un plano se intersectan y la recta no está contenida en el plano, entonces su intersecciòn es un solo punto (demostración indirecta). Postulado. De tres puntos colineales, exactamente uno de ellos está entre los otros dos. Postulado. Dados dos puntos distintos A y B , existe siempre otro punto A y B.

C situado entre

Definición. El segmento con extremos P, Q es... Notación: PQ o QP Postulado de la Regla: A cada par de puntos distintos

P, Q le corresponde un número real

positivo llamado la medida o longitud del segmento P Q y representado por Postulado. Dados dos puntos A y B , siempre existe otro punto A y D.

( )

m PQ .

D tal que

B está entre

Definición. Si P, Q son puntos distintos, el rayo o semirrecta de P a Q es... ; el extremo del rayo es P . Notación: PQ Definición: Rayos opuestos son aquellos que... Postulado de la Construcción de Segmentos: Para cada número real positivo λ y para todo rayo PQ , existe un único punto R de PQ tal que m PR = λ

( )

Postulado de Adición de Segmentos: Si el punto que

( ) ( ) ( )

L está entre

m AL + m LB = m AB


Hoja 83

A y B , entonces se cumple

Definición. Segmentos congruentes son aquellos que...

Notación: AB ≅ PQ

Definición. Punto medio de un segmento... Definición. Una recta, o rayo, o segmento PQ biseca al segmento AB si... Postulado de la Separación del Plano: Si l es una recta contenida en el plano Γ , el conjunto de puntos del plano que no pertenecen a l consiste de dos figuras o regiones geométricas que no tienen puntos comunes y que satisfacen las siguientes condiciones: a) Si dos puntos pertenecen a la misma región, el segmento que determinan no intersecta a l . b) Si dos puntos pertenecen a regiones distintas, el segmento que definen intersecta a l. Definición. Cada una de las dos regiones citadas en el postulado de separación del plano se llaman semiplanos; la recta l es el borde o arista de cada semiplano. Definición. Dados los rayos distintos OA y OB , el ángulo con vértice O y lados OA y OB es la figura geométrica que consiste de todos los puntos sobre los dos rayos. Notación: ˆ ˆ ∠AOB, ò ∠BOA, ò AOB ò BOA . Definición. Ángulo llano o de lados colineales... Definición. El interior de un ángulo no llano es...; el exterior del ángulo es... Postulado del Transportador: A cada ángulo no llano ∠BAC le corresponde un único número real positivo entre 0 y 180, llamado la medida del ángulo en grados, lo que se representa por m( ∠BAC ) . Todo ángulo llano mide, por definición, 180 grados. Postulado de la Construcción de Ángulos: Sea OA un rayo contenido en el borde del semiplano Σ y µ un número entre 0 y 180, existe un único rayo OP , contenido en Σ , para el cual m( ∠POA) = µ . Postulado de la Adición de Ángulos: Si P es punto interior del ángulo ABˆ C , entonces se verifica que m ABˆ P + m PBˆ C = m ABˆ C .

(

) (

) (

)

Definición. Ángulos congruentes... Notación: ∠LAM ≅ ∠PBQ Definición. Bisectriz de un ángulo no llano... Definición. Una recta biseca al ángulo ABC si... ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

Hoja 84

Definición. Ángulos adyacentes...; ángulos opuestos por el vértice...;ángulos complementarios…; ángulos suplementarios...; ángulo agudo..., recto...y obtuso... Propiedad: La congruencia entre segmentos y entre ángulos es reflexiva, simétrica y transitiva. Definición. Dos ángulos forman un par lineal si... Postulado del Par Lineal: Si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios. Teorema. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes (demostración directa) Definición. Dos rectas son perpendiculares si... Definición. Dos rectas son paralelas si están contenidas en el mismo plano y...

Congruencia de Triángulos. Propiedades del Triángulo I Definición. Triángulo…, vértices…, lados…, ángulos interiores…, ángulos exteriores…, el interior y el exterior de un triángulo… Definición. Triángulo isósceles…, equilátero…, escaleno…, acutángulo…, obtusángulo…, rectángulo…, base y ángulos de la base…, ángulo vertical…, catetos…, hipotenusa… Definición. Correspondencia biunívoca entre los vértices de dos triángulos…, lados homólogos…, ángulos homólogos … Definición. Triángulos congruentes… Propiedad. La congruencia entre triángulos es reflexiva, simétrica y transitiva. Postulado de Congruencia LAL (Lado-Ángulo-Lado). Postulado de Congruencia ALA (Ángulo-Lado-Ángulo). Postulado de Congruencia LLL (Lado-Lado-Lado) Definición. Mediatriz de un segmento… Teorema (de la Mediatriz): Si un punto cualquiera pertenece a la mediatriz de un segmento, entonces es equidistante de los extremos del segmento (demostración directa). Definición. Mediana…, altura…, mediatriz…y bisectriz de un triángulo.


Hoja 85

Teorema (del Triángulo Isósceles): Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos también son congruentes (demostración directa). Corolario. En todo triángulo isósceles, la bisectriz del triángulo correspondiente al ángulo vertical es también mediana y altura correspondiente a la base. Definición. Ángulo exterior de un triángulo… Teorema (del Ángulo Exterior): La medida de cualquier ángulo exterior de un triángulo es mayor que la medida de cada ángulo interior no adyacente a él (demostración indirecta).

Paralelismo y Perpendicularidad. Teorema. En un plano dado, si se considera una recta y un punto que le pertenezca, entonces existe en ese plano una única recta que pasa por dicho punto y es perpendicular a la recta dada (demostración directa). Teorema (Recíproco del Teorema de la Mediatriz): Si un punto equidista de los extremos de un segmento, entonces el punto pertenece a la mediatriz del segmento (demostración directa). Teorema. Por un punto que no está en una recta dada, pasa al menos una perpendicular a esa recta (demostración directa). Teorema. Por un punto dado fuera de una recta, pasa solamente una perpendicular a dicha recta (demostración indirecta). Teorema. Dos rectas contenidas en un plano son paralelas si éstas son perpendiculares a otra recta incluida en el mismo plano (demostración indirecta). Teorema. Por un punto que no pertenezca a la recta l , pasa al menos una recta paralela a l (demostración directa).

n que es

Postulado (de Playfair): Por un punto que no pertenezca a una recta dada. pasa una y sólo una recta paralela a la dada. Teorema. Si l | | t y m | | t , entonces l | | m

(demostración indirecta).

Definición. Una transversal o secante a dos recta es… Definición. Ángulos alternos internos… Teorema (AIP): En un sistema de dos rectas cortadas por una transversal, si dos ángulos alternos internos son iguales entonces las dos rectas son paralelas (demostración indirecta). ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

Hoja 86

Teorema (PAI): Si dos rectas son paralelas y son cortadas por una transversal, entonces los ángulos alternos internos son congruentes (demostración indirecta). Definición. Ángulos correspondientes..., ángulos alternos externos…, Teorema. Si dos rectas intersectadas por una secante determinan ángulos correspondientes congruentes, entonces tales rectas son paralelas (demostración directa). Teorema. Si en un sistema de dos rectas y una secante de ellas, dos ángulos correspondientes de la misma pareja son congruentes, entonces las dos rectas son paralelas (demostración directa). Teorema. Si los lados de un ángulo agudo son perpendiculares respectivamente a los lados de otro ángulo agudo, entonces los dos ángulos son congruentes (demostración directa).

Propiedades del Triángulo II Teorema. En todo triángulo, la suma de las medidas de los tres ángulos de cualquier triángulo es igual a 180 °. Teorema. En todo triángulo, la medida de cada ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos interiores que no le son adyacentes (demostración directa). Teorema (Recíproco del Teorema del Triángulo Isósceles): Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos son congruentes (demostración indirecta). Definición. La distancia de un punto a una recta es… Teorema (de la Bisectriz). Todo punto sobre la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo (demostración directa). Teorema. Si dos lados de un ángulo no son congruentes, al lado con mayor longitud se opone el ángulo con mayor medida (demostración indirecta). Teorema. Si dos ángulos de un triángulo no son congruentes, al ángulo con medida mayor se opone el lado con mayor medida (demostración indirecta). Corolario. El segmento de menor longitud que une un punto con una recta es aquel que se traza perpendicular del punto a la recta. Teorema (de la Desigualdad del Triángulo): En cada triángulo, todo lado tiene una medida menor que la suma de las medidas de los otros dos lados (demostración directa).

Paralelogramos Definición. Paralelogramo…, vértices contiguos y opuestos…, lados contiguos y opuestos…, ángulos contiguos y opuestos…, diagonales… ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

Hoja 87

Definición. Rectángulo…, cuadrado…, rombo… Teorema. Cada diagonal de un paralelogramo descompone a éste en dos triángulos congruentes (demostración directa). Corolario. Los lados opuestos y los ángulos opuestos de cualquier paralelogramo son congruentes. Teorema. Las diagonales de un paralelogramo se bisecan (demostración directa). Teorema. Si los lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo (demostración directa). Teorema. Si dos lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes y paralelos, el cuadrilátero es paralelogramo (demostración directa).

Semejanza de Triángulos.

Definición. Triángulos semejantes son aquellos que… Teorema. La semejanza de triángulos es reflexiva, simétrica y transitiva. Postulado de Semejanza LAL (Lado-Ángulo-Lado)… Postulado de Semejanza AAA (Ángulo-Ángulo-Ángulo) Postulado de Semejanza LLL (Lado-Lado-Lado) Teorema (de Proporcionalidad): Si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo e intersecta a los otros dos en puntos distintos, entonces separa a estos lados en segmentos proporcionales (demostración directa). Teorema (Recíproco del Teorema de Proporcionalidad): Si una recta corta a dos lados de un triángulo en segmentos proporcionales, entonces es paralela al tercer lado (demostración directa). Teorema (de Tales): … (demostración directa). Teorema. La altura correspondiente a la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo divide a éste en dos triángulos semejantes al original (demostración directa). Teorema (de Pitágoras): … (demostración directa).


Hoja 88

Teorema (Recíproco del Teorema de Pitágoras). Si en un triángulo sucede que el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, entonces se trata de un triángulo rectángulo (demostración directa). Teorema (Recíproco del Teorema de la Bisectriz): dado un punto en el interior de un ángulo, si dicho punto es equidistante de los lados del ángulo, entonces pertenece a la bisectriz del ángulo citado (demostración directa).

Circunferencia. Definición. Circunferencia con centro en C y radio λ es… Definición. Cuerda…, diámetro…, secante…, tangente…, punto de tangencia…, punto interior…, punto exterior de una circunferencia… Definición. Circunferencias exteriormente…

tangentes

interiormente…,

circunferencias

tangentes

Teorema. En el mismo plano, si una recta es perpendicular a un radio de circunferencia en un punto de ésta, entonces la recta es tangente a la circunferencia. (demostración indirecta) Teorema. Si una recta es tangente a una circunferencia, entonces es perpendicular al radio que se trace al punto de tangencia (demostración indirecta). Teorema. Si dos circunferencias son tangentes, los centros y el punto de tangencia son colineales (demostración directa). Teorema. La mediatriz de cualquier cuerda de circunferencia pasa por el centro de ella (demostración directa). Definición: Circunferencia circunscrita a un triángulo…, circunferencia inscrita a un triángulo… Teorema. Las mediatrices de un triángulo son concurrentes (demostración directa). Teorema. Las bisectrices de un triángulo son concurrentes (demostración directa). Definición. Ángulo central…, ángulo inscrito…, arco interceptado…, arco menor…, arco mayor… Definición. La medida de un arco menor es… Postulado de la Adición de Arcos: Si P es un punto de QR entonces m(QP) + m( PR) = m(QR) ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

y no coincide con los extremos,

Hoja 89

Definición. Un ángulo mide un radián si… Teorema. Si θ es la medida en radianes de un ángulo central, R el radio de la L circunferencia y L es la longitud del arco interceptado, entonces θ = R Teorema (del Ángulo Inscrito): La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad de la medida del arco interceptado (demostración directa). Corolario. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es ángulo recto.


Hoja 90

4 . Ejercicios El libro Álgebra con aplicaciones de Phillips, Butts y Shaughnessy, para la primera unidad y de Geometría y Experiencias de Bertrán y García para la segunda unidad y de Trigonometría de Selby para al tercera unidad, se toman como textos en el Libro del estudiante. Para cada unidad se señalan pares de bloques de páginas. En el primer bloque se tienen explicaciones de temas y ejercicios y en el segundo bloque ejercicios para que los alumnos los resuelvan. Este trabajo es para que lo haga cada estudiante de tarea. "Lo que hace el profesor en la clase es repetir lo que viene en el libro" es un comentario que no se aplica para este Libro. Una de las competencias básicas del estudiante de bachillerato es aprender por sí mismo. Un libro de texto sirve para este propósito. Cuando un estudiante aprende cómo organizar su aprendizaje, se hace independiente y responsable de sus aprendizajes. Ante la actitud de un estudiante de no esforzarse ni comprometerse con lo que lee en un libro, hay que señalarle que cuando se lee un libro de matemáticas usualmente es con papel, lápiz y calculadora a la mano, además de que no basta con una lectura para que comprendamos lo que ahí se dice. En la clase se pueden hacer comentarios y recomendaciones sobre lo que se lee, pero no explicar lo que debieron leer los alumnos. A partir del trabajo con el libro de texto el alumno aprende y ejercita procedimientos, además de caracterizar cierto tipo de situaciones que le permiten resolver ejercicios sin grandes dificultades. Además, esto le permite enriquecer sus recursos y que esté en mejores condiciones para enfrentar problemas. Vale la pena recordar algunas características de un ejercicio. Un ejercicio está fuertemente relacionado con un algoritmo o rutina, no necesariamente sencillos. Los más complejos pueden requerir la combinación de varios procedimientos con destrezas específicas. En un ejercicio puede requerirse una articulación de registros de representación, pero esta articulación suele estar ya incluida en el algoritmo, en la rutina o en el esquema. La administración de los conocimientos y procedimientos no es compleja, se reduce a organizar las llamadas a una serie de procedimientos ya hechos, generalmente hace poco tiempo. No busca una reconceptualización de los conocimientos sino la frecuentación de una vía ya abierta, la adquisición de una destreza. Su esquema metafórico es la suma no la integración. Puede ser laborioso, raramente difícil. Es conveniente señalarles a los alumnos que este trabajo con el libro de texto no esa actividad menor o muy sencilla. Simplemente es una actividad que tienen que hacer fuera del salón de clases. En el Libro se señalan páginas que deben trabajar, pero esto no significa que el resto de libro de texto no sirva y que está de más. El alumno debe conocerlo y estudiar otros temas de acuerdo a sus necesidades. La actividad, incluida en los MAPOA, ‘Conozcamos mejor nuestros libros de texto’ fue diseñada con este propósito. Es importante realizarla en las primeras semanas del curso. Hay que mencionarles que no somos los profesores los que debemos decirles cada una de las cosas que deben aprender, ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

Hoja 91

sino que ellos mismos, de acuerdo a sus necesidades y gustos, deben agregar otros temas de lo indicado por nosotros. Los ejercicios complementarios aparecen organizados de tal manera que se pueden utilizar como un medio de monitoreo, individual o por equipo, de los avances de los alumnos.


Hoja 92

Ejercicios Complementarios Nombre

Grupo

Fecha

Escribe la expresión exponencial equivalente a la expresión logarítmica dada. Escribe los números que aparecen en las expresiones como potencias de primos y aplica las leyes de los exponentes para encontrar lo que se pide. log13(169)=L;

log6(N)=3;

logb(125)=3;

log10(10000)=L;

L=

N=

b=

L=

log2(N)=8;

1 logb(9)= ; 2

log625(5)=L;

N=

b=

L=

log 2 ( N ) = 4 ; 5

N=

Resuelve las ecuaciones siguientes. 3x=60; x=

log(x2)=3; x=

2(x+2) =7(x-2); x=

log(x2+2x)=1; x=

e-x=6; x= ; x=

Despeja t en cada una de las ecuaciones siguientes. R − t V I = (1 − e L ) R t=

S=

1 − rt 1− r

t=

El radio tiene una vida media de 1620 años. ¿Cuánto tardará el 75 % de una muestra en decaer? Se requiere un cuarto de acre de tierra para proporcionar alimento a una persona. El mundo contiene 10 mil millones de acres de tierra cultivable. Si suponemos que la población continúa creciendo a una tasa de 1.6% al año, la población t años después de 2000 está dada por P(t)=6e(0.016t) miles de millones de personas. ¿Cuándo dejaría de ser suficiente la tierra cultivable para alimentar a la población del mundo? Justifica tu respuesta.


Hoja 93

Nombre Grupo Fecha Se acordó que las tarifas de energía eléctrica, para no aumentarlas súbitamente, se incrementarán 12% cada mes. En una hoja de papel milimétrico o cuadriculado haz una tabla, con su gráfica correspondiente, de lo que pagará una empresa chica durante los próximos dos años si tiene un consumo mensual aproximadamente constante. Al principio del año pagó 5500 pesos. Escribe la función que da sus pagos (y) en función del tiempo (x).

¿En cuánto tiempo se duplicarán sus pagos?

¿En cuánto tiempo se triplicarán sus pagos?

Escribe la expresión exponencial equivalente a la expresión logarítmica dada. Escribe los números que aparecen en las expresiones como potencias de primos y aplica las leyes de los exponentes para encontrar lo que se pide. log17(289)=L;

Log5(N)=3;

logb(64)=3;

log10(1000000)=L;

L=

N=

b=

L=

log2(N)=10;

1 logb(9)= ; 2

Log343(7)=L;

N=

b=

L=

log 2 ( N ) = 4 ; 5

N=

Resuelve las ecuaciones siguientes. 5x=1650; x=

log(x+15)+log(x)=2; x=

3(x+1) =5(x-1); x=

22x+32=12*2x; x=

e-x=6; x= ; x=

Despeja lo que se pide en cada una de las ecuaciones siguientes. 1   N = 100 log  H − 32.2 30W 0.37 − 100 + 1.9 100  

(

H=

)

1 − rt S=a 1− r

t=

¿Cuánto debe aumentar la potencia de un sonido para que la intensidad del sonido se duplique? Ilústralo con una gráfica en la que se precisen las escalas de los ejes (I, la potencia del sonido como variable independiente, y N, la intensidad del sonido en decibeles, como variable dependiente).


Hoja 94

Nombre

Grupo

Fecha

Si el radio de un círculo se incrementa en un 100 %, el área queda aumentada en [A] 66.67% [B] 100% [C] 150% [D] 200% [E] 300% [F] 400% [G] ninguna En un triángulo rectángulo a y b son catetos. La altura correspondiente a la hipotenusa divide a ésta en dos a 1 p segmentos p y q, adyacentes a a y a b, respectivamente. Si = , entonces la razón es: b 4 q 1 1 1 1 1 1 1 [F] [G] [A] [B] [C] [D] [E] 4 6 8 16 2 2 6 Si el radio de un círculo se incrementa en dos unidades, entonces la razón de la nueva circunferencia al nuevo diámetro es:

[A] π + 2

[B] π +

1 2

[C] π −

1 2

[D] π − 4

[E] π

[F] π + 4

[G] 2(π + 2)

La suma de todos los ángulos interiores de un polígono convexo regular es 1080°. Entonces este polígono tiene

vértices y

diagonales. Cada ángulo central, formado uniendo dos vértices

consecutivos con el centro, mide En la parte posterior, o en una hoja aparte, construye cuatro triángulos de lados 5, 6 y 7 cm. En el primero construye el circuncentro. En el segundo, el incentro. En el tercero, el ortocentro. En el cuarto, el baricentro. Debajo de cada construcción escribe los pasos que seguiste para localizar el punto correspondiente y sus propiedades. Las instrucciones deben ser lo suficientemente precisas para que una máquina pueda seguirlas.


Hoja 95

Nombre

Grupo

Fecha

La base de un triángulo es cuatro veces el lado de un cuadrado y las áreas de ambas figuras son iguales. Según esto, la razón de la altura del triángulo al lado del cuadrado es: 1 1 3 2 [B] [C] [E] [D] 1 [F] 2 [G] 4 3 4 2 2 Un terreno rectangular tiene el triple de largo que de ancho y está completamente cercado con ‘p’ metros de barda. El área del terreno en términos de ‘p’ es: [A]

3 p2 p2 9 p2 p2 4 p2 [B] [D] [E] [F] 2 [C] 6 p [G] 3 p 2 64 9 32 18 9 El lado mayor de un triángulo es 8/5 del lado menor y éste es 5/6 del lado mediano. Sabiendo que el perímetro es 38 dm, determina la longitud de los tres lados. [A]

El baricentro de un triángulo se encuentra a 48 cm de uno de sus vértices. La longitud de la mediana correspondiente a dicho vértice es: A un incendio producido en un hospital acude la unidad de bomberos con una escalera de 48 m de longitud, que consta de 120 peldaños distribuidos uniformemente. Al apoyar la escalera sobre la fachada del edificio se observa que el primer peldaño se encuentra a 30 cm del suelo. La altura del edificio Si el fuego se halla en el sexto piso y cada Si inclinan la escalera hasta que el que alcanzará la piso tiene 6 m de altura, ¿se podrá rescatar a primer peldaño se encuentre a 36 cm escalera es: los enfermos que allí se encuentran? del suelo, la altura que alcanzará la Explica. escalera es:


Hoja 96

Nombre

Grupo

Fecha

Sabemos que una circunferencia de 4 cm de radio se ajusta a dos rectas concurrentes a 15 cm del punto donde las rectas se cortan. ¿A qué distancia del punto donde las rectas se cortan ¿Qué distancia separa los centros de las dos se ajustará una circunferencia de 9 cm de radio? circunferencias? Si los catetos miden 9 y 12 21 y 72 16 y 30 7.2 y 8.9 56 y 105

La hipotenusa mide

En un triángulo rectángulo los catetos miden 5 y 12. La altura con respecto a la hipotenusa mide:

La proyección El ángulo del cateto mayor opuesto al cateto sobre la mayor mide: hipotenusa mide:

El área del círculo circunscrito al triángulo es:

Una joven quiere cambiar el foco de un farol situado en una pared a 5.4 m de altura, con la ayuda de una escalera de 3.5 m de longitud. Si la joven puede alcanzar una altura de 2.25 m con el brazo extendido, ¿a qué distancia máxima de la pared ha de colocar el pie de la escalera para lograr su objetivo? El triángulo PQR está inscrito en una circunferencia. Se sabe que el arco PQ mide 80° y el arco QR mide 160°. Los ángulos interiores del triángulo miden: Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa miden 21 y 63 cm, respectivamente. La hipotenusa mide: El cateto menor El perímetro del El ángulo opuesto al El área del triángulo mide: triángulo es: cateto menor mide: es:


Hoja 97

Nombre

Grupo

Fecha

En un triángulo equilátero de 10 unidades de lado se inscribe una circunferencia y se circunscribe otra circunferencia. ¿Cuál es el área de la corona ¿Cuál es la razón del área de la circular determinada por ambas circunferencia circunscrita al circunferencias? área de la circunferencia inscrita? Llena la tabla siguiente si cada renglón se refiere al Un cuadrilátero está inscrito en una mismo arco de una circunferencia dada. circunferencia. Uno de sus ángulos Arco en Radio Ángulo Longitud Ángulo interiores mide 38°, ¿cuánto mide el grados central del arco inscrito ángulo opuesto a este ángulo? 108

15

Un ángulo interior a una circunferencia mide 53.2° y el arco comprendido por sus lados 38.25° ¿Cuánto mide el arco 32 120 que abarcan las prolongaciones de sus lados? Un parque de forma rectangular mide 1200 m de longitud y 900 m de anchura. Al parque lo atraviesan dos paseos de igual anchura que son perpendiculares. Calcula la anchura de los paseos si el área total de estos paseos es 151875 m2. Las diagonales de un rombo miden 15 y 36 cm, respectivamente. ¿Cuál es el área del círculo inscrito en el rombo?

Las diagonales de un trapecio rectángulo miden 39 y 45 cm, respectivamente y su altura, 36. ¿Cuál es el área del trapecio?


Hoja 98

Nombre

Grupo

Fecha

Cada lado del cuadrado ABCD mide 1 metro.

El área del cuadrado PQRS es 1 metro cuadrado. Los puntos U y W dividen la diagonal QS en tres partes iguales. El segmento UW es una diagonal del cuadrado TUVW.

El área del cuadrado BEFD es:

El área del cuadrado TUVW es

El perímetro del cuadrado BEFD es Llena la tabla siguiente para comprobar el teorema de Euler con los poliedros que se señalan. Poliedro Comprobación V C A

Hexaedro Dodecaedro

El perímetro del cuadrado TUVW es Las dimensiones del rectángulo ABCD son AB=20 m y AD=12 m. Encuentra sobre AB un punto P cuya distancia x=PA sea tal que el área del trapecio PBCD sea cuatro veces el área del triángulo APD. El valor de x es: En una mesa circular caben 24 personas y a cada persona le corresponde un arco de 1 metro. ¿Cuál es el diámetro de esta mesa?

Un pastizal en forma de triángulo equilátero está cercado. En un punto de la cerca se va a amarrar a un burro de tal manera que se coma el pasto que cubre la mitad del área del pastizal. ¿Cuánto debe medir la cuerda con que se ata al burro? Cada lado de un rectángulo se divide en tres segmentos de la misma longitud. Los puntos resultantes se unen mediante segmentos que concurren en el centro como se indica en la figura. ¿En qué razón se encuentran el área de la región blanca y el área de la región gris?

La base de un rectángulo áureo horizontal mide 25 metros, ¿cuánto mide su altura?

La altura de un rectángulo áureo horizontal mide 25 metros, ¿cuánto mide su base?


Hoja 99

Nombre

Grupo

Fecha

El rectángulo ABCD está inscrito en la circunferencia. En la figura se muestran las tres primeras etapas del árbol pitagórico. Cada etapa consta de un triángulo rectángulo isósceles y los cuadrados de sus lados. El lado del cuadrado mayor mide 80 unidades.

La longitud del segmento EF es:

El área del rectángulo ABCD es:

El área de El área de las dos las cuatro primeras primeras etapas del etapas del árbol es: árbol es: ¿Qué distancia recorre un coche En un cubo de arista 80 se inscribe una esfera y se cuyas ruedas miden 90 cm de circunscribe otra esfera. diámetro y giran sin patinar 3000 Esfera Radio Superficie Volumen vueltas? Construye un octógono regular y traza Inscrita dos diagonales que partiendo de un mismo vértice vayan a vértices consecutivos. El ángulo que forman Circunscrita mide: Un pastizal en forma de cuadrado está cercado. En un punto de la cerca se va a amarrar a un burro de tal manera que se coma el pasto que cubre la mitad del área del pastizal. ¿Cuánto debe medir la cuerda con que se ata al burro? En el triángulo rectángulo aparecen las medidas de sus catetos. El área de la lúnula El área de la lúnula El área del triángulo menor es mayor es es

Calcula el área de un trapecio circular cuyas bases abarcan 45° si se sabe que la suma y la diferencia de los radios de las circunferencias que lo determinan son 27 y 9 m, respectivamente.

Calcula el volumen del sólido engendrado al girar un triángulo equilátero de altura 5 con respecto a uno de sus lados.


Hoja 100

Nombre

El ángulo PQS mide:

El ángulo PRS PQ= mide:

Un depósito de agua tiene como sección un trapecio rectángulo de bases 20m y 16m, y una altura de 10m. Si tiene 3 m de profundidad, ¿cuántos litros puede almacenar?

Grupo

Fecha

PU=

VZ=

ST=

QR = PQ

ST = PS

UV = PU

tg(WPZ)=

QR = PR PQ = PR

ST = PT PS = PT

UV = PV PU = PV

sen(UPV)= cos(QPR)=

Se engendra un sólido al hacer girar el triángulo PWZ con respecto a su cateto menor. El volumen de este sólido es:

Un pastizal en forma de hexágono regular de lado l está cercado. En un punto de la cerca se va a amarrar a un burro de tal manera que se coma el pasto que cubre la mitad del área del pastizal. ¿Cuánto debe medir la cuerda con que se ata al burro?


Hoja 101

Nombre

Grupo

Protesilao construyó una resbaladilla de 3 metros de altura y 6 metros de base. Ahora quiere aumentar 1.5 metros de altura sin modificar la base. El ángulo x mide: El ángulo y mide:

Un pedestal tiene forma triangular con lados 5, 7 y 7 metros, tiene alrededor un jardín circular. ¿cuál es el área del jardín?

Fecha

Los segmentos que miden 31 y 14 son perpendiculares al que mide x. La longitud de x es: La longitud de y es: t π

sen(t)

cos(t)

tg(t)

3

π 4 π

Un pastizal en forma de octógono regular de lado l está cercado. En un punto de la cerca se va a amarrar a un burro de tal manera que se coma el pasto que cubre la mitad del área del pastizal. ¿Cuánto debe medir la cuerda con que se ata al burro?


Hoja 102

Nombre:

Grupo: Fecha: El seno de un ángulo es 1/3. Construye un triángulo que ilustre esta situación.

La longitud del segmento LK es:

La longitud del segmento RK es:

Mide el Calcula el ángulo en el valor del triángulo ángulo con que tu construiste: calculadora: El ángulo KHJ El ángulo KJH El ángulo JKH Dos automóviles parten de la intersección de dos mide mide mide carreteras rectas y viajan a lo largo de ellas con velocidades de 90 y 110 km/h, respectivamente. El ángulo que forman las carreteras es de 72°. ¿Qué distancia separa a los automóviles El área del El perímetro del El área del después de 30 minutos? después de 1 hora y 15 triángulo JKH es triángulo JKH es triángulo PRK es minutos?

Una cafetera de base circular se reduce uniformemente hasta la tapa que tiene un radio que mide la mitad del de la base. A la mitad de la altura de la cafetera hay una marca que dice «dos tazas». Si la cafetera se pudiera llenar hasta el borde ¿cuántas tazas de café contendría? Un árbol proyecta una sombra ¿Cuál es la ¿Cuál será la longitud de la ¿Cuál será la elevación del de 48 m cuando el sol está a altura del árbol? sombra cuando el sol se sol sobre el horizonte cuando una elevación de 20° sobre el encuentre a una altura de 35° el árbol proyecte una sombra horizonte. sobre el horizonte? de 20 m?

150

100

El área de la región sombreada clara del triángulo rectángulo mide:

60 cm

espejo

x θ

30

θ

10

0

En la figura, un rayo de luz de la lámpara L se refleja en un espejo al punto 0. ¿Cuánto mide θ ?

L


Hoja 103

5. Lecturas La lectura primero, y discusión después, de un artículo (o el ver y escuchar una película) no tiene como finalidad presentarles a los alumnos un lado amable de las matemáticas y combatir con ello la llamada matematifobia de los alumnos. Como las demás actividades de aprendizaje para los alumnos, las lecturas son importantes. Ahora se tiene información por todas partes: radio, televisión, periódicos, revistas e Internet. Sin embargo para que resulte útil esta información es necesario desarrollar una actitud crítica y reflexiva de quien la recibe, especialmente nuestros alumnos. Esto también se aplica en la escuela. Para nuestros alumnos es natural, porque así se los hemos presentado, suponer que cada materia que estudian es independiente de las demás y que en matemáticas no se lee, sino se aprenden y aplican procedimientos. No es así. Nuestros alumnos requieren desarrollar habilidades más complejas que lo anterior. Y una de ellas es que sean lectores críticos y reflexivos, que comprendan conceptos y sean capaces de fundamentar sus opiniones o conclusiones a partir de la elaboración de argumentos claros, coherentes y lógicamente estructurados. También que donde aparezca una dimensión matemática, la identifiquen y hagan uso de las matemáticas para comprender la lectura. Estas habilidades no se desarrollan simplemente solicitándole a nuestros alumnos que lean y vean ciertos artículos y películas. Es necesario que en las discusiones durante o posteriores a ellas se les señale la importancia de una revisión cuidadosa de su contenido y de los nuevos temas que surgen para una investigación posterior y que depende de cada uno de nosotros si lo hacemos o no. Nuestros alumnos deben aprender a ser buenos lectores y para ello la ficha o guía que se tiene en los MAPOA sobre la lectura resulta especialmente útil. Como en las demás actividades de aprendizaje, debes planear cada lectura antes de solicitarlas a los alumnos. Elabora preguntas que puedes entregarlas a los alumnos antes de la lectura para que las respondan en su reporte o para que te sirvan como guía de la discusión. Mediante estas preguntas destacas los objetivos de aprendizaje que buscas lograr con la actividad. También puedes anticipar las inquietudes y preguntas de los alumnos. Ante las palabras que no conozcan sus significados, hay que acostumbrarlos a consultar diccionarios. Los artículos y películas que se señalan en el Libro deliberadamente no están muy cercanos a los temas del programa de álgebra, pues se pretende que en ellas los alumnos identifiquen la dimensión matemática que contiene y que buena parte de análisis se centre en ella. Debes ser cuidadoso de exigirles que cuando acepten una conclusión u otra, sea por la argumentación que la acompañe. En cada una de las escuelas se ha distribuido una serie de cinco videos con varios episodios de alrededor de 10 minutos cada uno. En el portal de la AIM encontrarás las fichas de estos videos con algunas sugerencias para la elaboración del guión de la discusión que se puede generar para convertir ‘ver la televisión’ en una experiencia de aprendizaje efectiva de las matemáticas. A continuación, se presenta en forma de tabla el contenido de cada video. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

Hoja 104

Videos de El Mundo de las Matemáticas 1. Para una buena medida. Datos en gráficas. Una gota en el océano. Si el zapato aprieta. ¿Creería usted esto? ¿Cuál es la relación? Costo de los discos compactos. Rescate. 2. Un área de interés. En general. Necesidad de datos. ¡Qué suerte! ¿Qué se puede esperar? ¿El mismo de nuevo? Reducir a escala. Encontrando el camino. 3. Detrás de la puerta principal. En el interior de un estudio de grabación. Campos de abundancia. Un mesurado estilo de vida. Un gran salto. Altas esperanzas. Arriba y adelante. El valor de la limpieza. 4. Una medida de belleza. Embotellamientos de tránsito. El valor del rostro. Una incansable búsqueda. Panorama de cálculos. Un argumento circular. Picos gemelos. Un suelo tembloroso. 5. Lectura medida. Encuesta aparte. Algo confuso. Carrera nivelada. Agua contaminada con petróleo. La tragedia de los comunes. Una cuestión de distribución. Robots trabajando. Lecturas para los profesores Desde luego no sólo a los alumnos le son provechosas las lecturas de diversos artículos. También a nosotros los profesores. Su lectura y discusión entre colegas enriquece la vida académica tan necesitada de consolidarse en nuestras escuelas. Aprovechemos la guía para el control de la lectura que viene en los MAPOA. A continuación te presentamos varios artículos de mediana extensión. Con tus compañeros elige otros que juzgues pertinentes para su discusión.


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Patrones Lynn Arthur Steen Del libro ‘On the shoulders of giants. New approaches to numeracy.’ Editor: Lynn Arthur Steen, National Academy Press, Washington, D.C., 1990. Traducción del Club de Matemáticas del CECyT Wilfrido Massieu. «Vio más que el resto de nosotros». El sujeto de esta observación, el cibernético Norbert Wiener, es uno de los muchos científicos excepcionales que rompieron las cadenas de la tradición para crear campos enteramente nuevos para la exploración de los matemáticos. Ver y revelar patrones ocultos son las cosas que los matemáticos hacen mejor. Cada gran descubrimiento abre nuevas áreas, ricas en potencial para exploraciones ulteriores. En el último siglo, el número de disciplinas matemáticas ha crecido exponencialmente; entre los ejemplos se incluyen las ideas de Georg Cantor sobre conjuntos transfinitos, de Sonia Kovalevsky sobre ecuaciones diferenciales, de Alan Turing sobre la computabilidad, de Emmy Noether sobre álgebra abstracta y, más recientemente, de Benoit Mandelbrot sobre fractales. Para el público estos campos nuevos de las matemáticas son tierra incógnita. La matemática, desde la perspectiva común, es una disciplina estática basada en las fórmulas que nos enseñaron en las materias escolares de aritmética, geometría, álgebra y cálculo. Pero fuera de la vista del público, las matemáticas continúan creciendo a gran velocidad, expandiéndose en campos nuevos y generando nuevas aplicaciones. Las líneas que guían este crecimiento no son los cálculos y las fórmulas sino una búsqueda, de final abierto, de patrones. La matemática se ha descrito tradicionalmente como la ciencia del número y la forma. El énfasis escolar en la aritmética y la geometría está profundamente enraizado en esta perspectiva de varios siglos de antigüedad. Pero, a medida que el territorio explorado por los matemáticos se ha expandido –en teoría de grupos y estadística, en teoría del control y optimación–, las fronteras históricas de las matemáticas han ido desapareciendo. Y lo mismo ha ocurrido con los límites de sus aplicaciones: ya no es sólo el lenguaje de la física y la ingeniería, la matemática es hoy una herramienta esencial del comercio bancario, la manufactura, las ciencias sociales y la medicina. Cuando se consideran en este contexto más amplio, las matemáticas ya no sólo tratan de la forma y el número sino acerca de todo tipo de órdenes y patrones. El número y la forma –aritmética y geometría– son sólo dos de los muchos medios en que los matemáticos trabajan. La matemática activa busca patrones donde quiera que aparecen. Gracias a las gráficas de computadora, una parte importante de la búsqueda de patrones del matemático está guiada por lo que uno realmente puede ver con los ojos, mientras que los gigantes matemáticos del siglo XIX como Gauss y Poincaré tuvieron que depender más de lo que veían con los ojos de la mente. «Veo» tiene siempre dos significados distintos: percibir con el ojo y entender con la mente. Durante siglos la mente ha predominado sobre el ojo en la jerarquía de la práctica matemática, hoy el equilibrio se ha restaurado a medida que los matemáticos hallan formas nuevas de ver patrones, tanto con los ojos como con la mente. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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El cambio en la práctica de las matemáticas impone un reexamen de la educación matemática. No sólo las computadoras, sino también las aplicaciones y teorías nuevas han expandido significativamente el papel de las matemáticas en la ciencia, los negocios y la tecnología. Los estudiantes que vivirán y trabajarán usando las computadoras como herramienta cotidiana, necesitan aprender unas matemáticas distintas de las de sus antepasados. Las prácticas escolares típicas, enraizadas en tradiciones de varios siglos de antigüedad, sencillamente no pueden preparar adecuadamente a los estudiantes para las necesidades matemáticas del siglo XXI. Las deficiencias señaladas en los informes actuales de la educación matemática también aportan razones de peso para el cambio. Claro está que, ya que los nuevos desarrollos se construyen sobre los principios elementales, es verosímil, como muchos observadores a menudo señalan, que uno se concentre primero en restaurar la fuerza de los fundamentos tradicionales antes de embarcarse en reformas basadas en los cambios que se han dado en las prácticas contemporáneas de las matemáticas. El apoyo público para los currículos básicos fuertes refuerza la sabiduría del pasado –que las matemáticas escolares tradicionales, si se enseñan cuidadosamente y se aprenden bien, proporcionan una preparación sólida tanto para el mundo del trabajo como para los estudios avanzados en campos que se basan en las matemáticas. La cuestión clave de la educación matemática no es si enseñar los fundamentos sino cuáles fundamentos enseñar y cómo enseñarlos. Los cambios en la práctica de las matemáticas alteran el orden de las prioridades entre los muchos temas que son importantes para la cultura matemática (numerismo o alfabetismo matemático). Los cambios en la sociedad, la tecnología, las escuelas –entre otros– tendrán un gran impacto en lo que será posible hacer en las matemáticas escolares del siglo próximo. Todos estos cambios afectarán los fundamentos de las matemáticas escolares. Para desarrollar nuevos currículos de matemáticas efectivos, se debe hacer un intento por prever las necesidades matemáticas de los estudiantes del futuro. Son las prácticas presentes y futuras de las matemáticas-en el trabajo, la ciencia, la investigación- las que deben moldear la educación en matemáticas. Para preparar currículos de matemáticas efectivos para el futuro, debemos observar los patrones de las matemáticas de hoy para proyectar, de la mejor manera que podamos, precisamente lo que es y lo que no es verdaderamente fundamental. Las matemáticas elementales En la tradición escolar se ha considerado que la aritmética, la medición, el álgebra y una espolvoreada de geometría son los fundamentos de las matemáticas. Sin embargo, hay muchos otros aspectos en el sistema de fundamentos de las matemáticas-ideas profundas que nutren las ramas en desarrollo de las matemáticas. Se puede pensar en: 1.estructuras matemáticas específicas • números • algoritmos • razones

• • •

formas funciones datos


Hoja 107

2. atributos • • • •

•

lineal periódico simétrico continuo

• • •

3. acciones • representar • controlar • probar • descubrir • aplicar 4. abstracciones • símbolos • infinito • optimación • lógica

• • • • •

• • • •

aleatorio máximo aproximado liso o suave

modelar experimentar clasificar visualizar calcular

equivalencia cambio semejanza recursión

5. actitudes • •

desear saber significar

6. comportamientos • movimiento • caos • resonancia • iteración

• •

• • • •

apreciar la belleza sentido de realidad

estabilidad convergencia bifurcación oscilación

7. dicotomías • discreto vs continuo • finito vs infinito • algorítmico vs existencial • estocástico vs determinista • exacto vs aproximado Estas distintas perspectivas ilustran la complejidad de las estructuras que sustentan las matemáticas. Desde cada una de estas perspectivas se pueden identificar varias líneas que tienen el poder de desarrollar una idea matemática significativa desde las intuiciones informales de la primera infancia a lo largo de toda la escuela y la universidad hasta la investigación científica y matemática. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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Para lograr una educación sólida en las ciencias matemáticas es necesario que la persona tenga experiencias con prácticamente todas estas perspectivas e ideas diferentes. Las matemáticas escolares tradicionales recoge muy pocas líneas (e.g. aritmética, geometría, álgebra) y las acomoda horizontalmente para formar el currículo: aritmética primero, luego álgebra sencilla, luego geometría, luego más álgebra y por último -como si fuera el epítome del conocimiento matemáticocálculo. Este enfoque de la educación matemática tipo pastel de capas impide el desarrollo informal de la intuición a través de las múltiples raíces de las matemáticas. Además refuerza la tendencia a diseñar cada curso principalmente con la idea de cubrir los prerrequisitos del curso siguiente, convirtiendo el estudio de las matemáticas en su mayor parte en un ejercicio de satisfacción retardada. Para ayudar a los alumnos a ver claramente en sus propios futuros matemáticos, es necesario construir currículos con una mayor continuidad vertical, para conectar las raíces de las matemáticas con las ramas de las matemáticas en la experiencia educativa del alumno. La matemática escolar se suele concebir como un conducto para los recursos humanos que fluye desde las experiencias infantiles hasta las carreras científicas. Los estratos del currículo matemático corresponden a secciones cada vez más restringidos de tubería a través de la cual todos los estudiantes deben pasar si quieren progresar en su educación matemática y científica. Cualquier obstáculo del aprendizaje, de los cuales hay muchos, limita el flujo en toda la tubería. Como el colesterol en la sangre, las matemáticas pueden tapar las arterias educativas de la nación. En contraste, si los currículos de matemáticas desarrollan múltiples líneas paralelas, cada una basada en experiencias infantiles adecuadas, el flujo de los recursos humanos parecerá más el movimiento de nutrientes en las raíces de un árbol poderoso -o un torrente de agua de una cuenca amplia- que el confín cada vez más limitado de una arteria o conducto que se estrecha. Los distintos aspectos de la experiencia matemática atraerán a los alumnos de intereses y talentos diferentes, cada uno nutrido de ideas excitantes que estimulan la imaginación y promuevan la exploración. El efecto de conjunto será desarrollar entre los alumnos intuiciones, discernimientos y entendimientos matemáticos en distintas raíces de las matemáticas. Cinco muestras Aquí se dan cinco ejemplos del poder de desarrollo de algunas ideas matemáticas profundas: dimensión, cantidad, incertidumbre, forma y cambio. En cada caso se explora una rica variedad de patrones a los que se pueden introducir en diversas etapas de la escuela. Los encargados de desarrollar currículos encontrarán muchas opciones valiosas para las matemáticas escolares en estos ensayos. Quienes contribuyen a la planeación de las políticas educativas verán en estos ensayos ejemplos de nuevos estándares de excelencia. Los padres hallarán un gran número de ejemplos de matemáticas efectivas e importantes que pueden estimular la imaginación de sus hijos. Cada capítulo fue escrito por un distinguido estudioso que explica, en un lenguaje cotidiano, cómo pueden florecer las ideas elementales con raíces profundas en las ciencias matemáticas en las escuelas del futuro. Aunque no se restringe a los detalles particulares de los currículos actuales, cada ensayo se apega al desarrollo de las ideas matemáticas de la niñez a la edad adulta. Al expresar estas muy diferentes líneas del pensamiento matemático, los autores ilustran ideales de cómo las ideas matemáticas se deben desarrollar en los alumnos. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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En contraste con gran parte de las matemáticas escolares, estas líneas están llenas de acción: vaciar agua para comparar volúmenes, jugar con péndulos para explorar la dinámica, contar dulces de colores para entender la variación, construir calidoscopios para explorar la simetría. Gran parte de las matemáticas se pueden aprender informalmente mediante estas actividades mucho tiempo antes de que los alumnos lleguen al punto de entender las fórmulas algebraicas. Las experiencias tempranas con patrones tales como volumen, semejanza, tamaño y aleatoriedad preparan a los estudiantes para las investigaciones científicas y para las matemáticas más formales y lógicamente precisas. Así cuando una cuidadosa demostración surge en clase años después, el alumno que se ha beneficiado de las experiencias matemáticas informales tempranas y sustanciales podrá decir con honesta satisfacción «Ahora veo por qué esto es verdadero». Conexiones Los ensayos de este libro fueron escritos por cinco autores diferentes sobre cinco temas distintos. A pesar de las diferencias de tema, estilo y enfoque, estos ensayos tienen en común el linaje de las matemáticas: cada uno está conectado en múltiples formas con la familia de las ciencias matemáticas. Así no debe sorprender que los ensayos mismos estén repletos de interconexiones, tanto en la estructura profunda como en las ilustraciones particulares. Veamos algunos ejemplos: LA MEDIDA es una idea que se trata repetidamente en estos ensayos. Las experiencias con cantidades geométricas (longitud, área, volumen), con cantidades aritméticas (tamaño, orden, rótulos), con variación aleatoria (agujas giratorias, volados, puntuaciones SAT) y con variables dinámicas (discretas, continuas, caóticas) plantean todas ellas retos especiales para responder una pregunta muy infantil: «¿Cuán grande es esto?». Uno ve, a partir de muchos ejemplos, que esta pregunta es fundamental: es a la vez simple y sutil, elemental y difícil. Los estudiantes que crecen reconociendo la complejidad de la medición pueden estar menos dispuestos aceptar, sin cuestionarlos, muchos de los usos incorrectos de los números y las estadísticas. LA SIMETRÍA es otra idea profunda de las matemáticas que aparece una y otra vez, tanto en estos ensayos como en todas las partes de las matemáticas. Algunas veces es la simetría de la totalidad, como en el hipercubo (un cubo tetradimensional), cuyas simetrías son tan numerosas que es difícil contarlas. (Pero con una guía adecuada, los niños chicos pueden hacerlo, usando un sencillo modelo de palillos) En otras ocasiones es la simetría de las partes, como en el crecimiento de los objetos naturales a partir de patrones repetitivos de moléculas o células. En otros casos es la simetría rota, como en la flexión de un barra cilíndrica o el crecimiento de un huevo fertilizado a un animal adulto (ligeramente) asimétrico. A diferencia de la medición, la simetría raramente se estudia en algún nivel de la escuela, aunque es igualmente fundamental como un modelo para explicar aspectos de fenómenos tan diversos como las fuerzas básicas de la naturaleza, la estructura de los cristales y el crecimiento de los organismos. Aprender a reconocer la simetría entrena el ojo matemático. LA VISUALIZACIÓN aparece recurrentemente en muchos ejemplos de este volumen y es una de las áreas de la investigación científica y matemática de crecimiento más rápido. El primer paso del análisis de datos es la presentación visual de los datos para la búsqueda de patrones ocultos. Las gráficas de diversos tipos proporcionan presentaciones visuales de las relaciones y las funciones; se usan ampliamente en la ciencia y la industria para retratar el comportamiento de una variable (e.g., ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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ventas) que está en función de otra (e.g., publicidad). Durante siglos los artistas y los hacedores de mapas han usado artificios geométricos tales como la proyección para representar escenas y sitios tridimensionales sobre un lienzo u hoja de papel bidimensional. En la actualidad las gráficas de computadora han automatizado estos procesos y nos permiten explorar también las proyecciones de formas en espacios de más dimensiones. El aprendizaje de la visualización de los patrones matemáticos incorpora el don de la vista como un invaluable aliado en la educación matemática. LOS ALGORITMOS son recetas para efectuar cálculos que aparecen en todos los rincones de las matemáticas. Un procedimiento iterativo común para la planeación del crecimiento poblacional revela cómo aun sucesos ordenados de manera simple pueden conducir a una diversidad de comportamientos –explosión, decaimiento, repetición, caos. La exploración de patrones combinatorios en formas geométricas permite a los estudiantes proyectar las estructuras geométricas en dimensiones superiores donde no pueden construir modelos reales. Incluso los algoritmos comunes de la escuela elemental para la aritmética adquieren una nueva dimensión cuando se consideran desde la perspectiva de las matemáticas contemporáneas: más bien que destacar el dominio de algoritmos específicos –que ahora realizan principalmente las calculadoras y las computadoras-las matemáticas escolares pueden enfatizar atributos más fundamentales de los algoritmos (e.g., velocidad, eficiencia, sensibilidad) que son esenciales para el uso inteligente de las matemáticas en la era de las computadoras. Aprender a pensar algorítmicamente constituye una parte importante de la cultura matemática básica (alfabetismo matemático) contemporánea. Muchos otros temas relacionados aparecen recurrentemente en este volumen, incluyendo los vínculos de las matemáticas con la ciencia, la clasificación como una herramienta para la comprensión, la inferencia a partir de axiomas y –más importantemente– el papel de la exploración en el proceso de aprendizaje de las matemáticas. Las conexiones dan a las matemáticas potencia y contribuyen a determinar lo que es fundamental. Desde el punto de vista pedagógico, las conexiones permiten que el discernimiento logrado en una corriente se vierta en otras. Las corrientes múltiples vinculadas por medio de interconexiones fuertes pueden desarrollar la potencia matemática en estudiantes que tienen una amplia variedad de entusiasmos y capacidades. La ampliación de la perspectiva Newton acreditó su extraordinaria previsión en el desarrollo del cálculo al trabajo acumulado por sus predecesores: «Si he visto más lejos que otros, se debe a que me apoyé en los hombros de gigantes». Quienes elaboren los currículos matemáticos para el siglo XXI necesitarán una previsión parecida. Desde los tiempos de Newton las matemáticas no habían cambiado tanto como lo hicieron en los años recientes. En gran parte motivados por la introducción de las computadoras, la naturaleza y la práctica de las matemáticas se han transformado fundamentalmente por nuevos conceptos, herramientas, aplicaciones y métodos. Como el telescopio de la era de Galileo (que hizo posible la revolución newtoniana) las computadoras de hoy desafían las visiones tradicionales y obligan a realizar un nuevo examen de los valores profundamente enraizados. Como lo hicieron hace tres siglos en la transición de las demostraciones euclidianas al análisis newtoniano, las matemáticas están siendo sometidas a una reorientación fundamental de sus paradigmas de procedimientos. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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Abundan los ejemplos del cambio fundamental en las publicaciones de investigación de las matemáticas y en las aplicaciones prácticas de métodos matemáticos. Muchos de estos ejemplos se dan en los ensayos de este volumen. • La incertidumbre no es azar, puesto que la regularidad acaba por surgir. • Los fenómenos deterministas a menudo presentan comportamientos aleatorios. • La dimensionalidad no es sólo una propiedad del espacio sino también un medio de ordenar el conocimiento. • La repetición puede ser el origen de la precisión, la simetría o el caos. • La representación visual produce entendimientos que a menudo permanecen ocultos para los enfoques estrictamente analíticos. • Algunos patrones de cambio presentan una regularidad subyacente significativa. Al examinar muchas líneas distintas de las matemáticas, ganamos perspectiva acerca de los aspectos comunes y las ideas dominantes. Los conceptos recurrentes (e.g., número, función, algoritmo) nos señalan lo que uno debe saber para comprender las matemáticas; las acciones comunes (e.g., representar, descubrir, probar) revelan las habilidades que uno debe desarrollar para hacer matemáticas. Juntos, conceptos y acciones son los sustantivos y verbos del lenguaje de las matemáticas. Lo que los humanos hacen con el lenguaje de las matemáticas es describir patrones. Las matemáticas son una ciencia exploratoria que busca comprender cada tipo de patrón –los patrones que ocurren en la naturaleza, los patrones inventados por la mente humana e incluso los patrones creados por otros patrones. Para crecer matemáticamente los alumnos se deben exponer a una abundante variedad de patrones adecuados a sus propias vidas, a través de los cuales puedan ver la diversidad, la regularidad y las interconexiones. Los ensayos de este volumen proporcionan cinco amplios estudios de caso que ejemplifican cómo se puede hacer esto. Otros autores podrían haber descrito fácilmente cinco o diez ejemplos diferentes. Los libros y artículos que se mencionan más adelante están repletos de ejemplos adicionales de ideas matemáticas fecundas. Lo que importa en el estudio de las matemáticas no es tanto que líneas particulares se exploran, sino la presencia de ejemplos significativos de variedad y profundidad suficientes para revelar patrones. Al animar a los estudiantes para que exploren patrones que han demostrado su potencia y su significación, les ofrecemos unos hombros amplios para que puedan ver más lejos de lo que nosotros podemos ver.


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¿Por que debe considerarse la Geometría desde perspectivas múltiples? Arthur F. Coxford, Jr. Capítulo 1 del libro ‘Geometry from multiple perspectives’ (1991), NCTM. Traducción al español por José Luis Torres Guerrero del CECyT Cuauhtémoc. En el mundo que nos rodea, vemos objetos manufacturados. Muchos están hechos de partes que en su forma son rectilíneos o circulares. Estas partes se apoyan en la geometría de Euclides; es decir, está hecha a partir de segmentos, ángulos, triángulos, cuadriláteros, poliedros, círculos, esferas, etc. Esta es la geometría del conjunto de puntos, de la línea recta y de otras herramientas euclidianas de construcción. La geometría euclidiana sintética sirve para describir bastante bien muchos aspectos de nuestro mundo. En la línea de ensamblaje hacemos copias congruentes de dispositivos mecánicos, de aparatos electrodomésticos y de vehículos. En las oficinas y tiendas hacemos modelos a escala y heliográficas de acuerdo a esta geometría. Construimos caminos que se cortan perpendicularmente para que los conductores puedan ver con la misma claridad en ambas direcciones. Localizamos la posición para colocar un foco en el centro del techo rectangular al dibujar las diagonales de ese modelo rectangular del techo. Estos ejemplos son sólo una muestra pequeña de los usos prácticos y el poder explicativo de la geometría euclideana, la cual ha sidos aclamada como uno de los principales logros de la actividad intelectual humana y por ello ha mantenido una posición de alta estima en la currícula de las matemáticas escolares por muchos años. Pero en la medida de que avanzamos como civilización, surgen nuevas ideas del uso de la geometría tanto dentro como fuera de las matemáticas. Estas aplicaciones no encajan con las viejas representaciones de las entidades geométricas. Cabe recordar que René Descartes reconoció el potencial de usar las coordenadas para representar puntos y el poder del uso de las expresiones algebraicas para representar otras figuras geométricas. Aunque se tienen evidencias de que egipcios y griegos usaron la idea de las coordenadas bastante antes de 1637, cuando se publicó La Géométrie, la contribución de Descartes es innegable. Marca el comienzo de la integración poderosa y útil de la álgebra y la geometría: la geometría analítica. En nuestros días, la interacción entre la álgebra y la geometría es aún mayor. Por un lado, en matemáticas usamos el lenguaje de la geometría para describir conceptos en espacios "abstractos" tales como los hiperplanos y las esferas n-dimensionales. Por otro, en las plantas, fábricas y laboratorios, el diseño por computadora usa coordenadas y representaciones algebraicas para describir formas geométricas que no son rectilíneas, ni circulares. Por ejemplo, la sección transversal de la defensa de un automóvil puede describirse como una función de dos variables, luego de establecer un sistema de coordenadas adecuado. Con esta función se pueden modificar los contornos de la defensa, y los diseñadores pueden someter a prueba sus ideas al hacer cambios sutiles, sin construir modelos físicos reales de la defensa. Tal capacidad le permite al usuario hacer cosas que antes sólo era posible en la imaginación de los ingenieros y arquitectos. La idea es simple, aunque poderosa: podemos usar números para identificar lugares y podemos cambiar estos lugares de acuerdo a cierta fórmula. El trabajador del mañana necesitará comprender esta idea simple. Pero no todo está muy bien en la "ciudad geométrica". Los conceptos que se comprenden fácilmente cuando se describen mediante las técnicas de la geometría sintética llegan a ser engorrosos y menos entendibles cuando se describen a partir de coordenadas. En la geometría sintética, un triángulo es la unión de segmentos de recta que se intersectan sólo en sus puntos extremos. En la representación con ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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coordenadas, necesitamos definir tres ecuaciones lineales en sendos intervalos con el fin de describir ese mismo triángulo. Algunas veces la descripción algebraica es más útil, pero en otras ocasiones la descripción sintética es más conveniente. Esto sugiere que las dos perspectivas son complementarias y no conflictivas entre sí. Deben reconocerse y entenderse para mejorar la capacidad y calidad en la resolución de problemas de los estudiantes. El desarrollo de la tecnología computacional ha incrementado la importancia de ser capaz de representar formas en cualquiera de estas perspectivas y ha añadido otra: geometría vectorial. Por ejemplo, un triángulo puede definirse por mandatos de graficación como los siguientes de Applesoft BASIC: 10 PLOT 23,45 TO 49,45 20 PLOT TO 30,8 30 PLOT TO 23,45 Aquí, el triángulo está formado por tres vectores. En Logo se puede definir un triángulo como un procedure: TO TRIANGULO TO TRIANGULO RT 90 FD 40 LT 135 FD 50 LT 135 FD 40 END Para dibujar un triángulo u otro polígono en la computadora se puede necesitar que los discentes usen coordenadas, vectores o algunos aspectos sintéticos inusuales de la figura. En el procedimiento en Logo anterior, el estudiante debe notar que los ángulos de 135 grados son ángulos exteriores del triángulo. En Kennedy (1987) se tiene información de usos posibles de Logo. Ver la geometría desde las perspectivas sintética y coordenada no es los suficientemente rica como para incluir los diferentes usos múltiples de la geometría en nuestros días. Antes se mencionó como un ejemplo de la importancia de la geometría sintética a la línea de ensamblaje, donde se elaboran copias congruentes. Pero la congruencia euclideana se aplica sólo a círculos y a las formas rectilíneas incluidas en la currícula escolar. Es decir, la noción de congruencia es esencialmente de ángulos, segmentos y triángulos. Afortunadamente, los objetos elaborados en una línea de ensamblaje no están limitados a ser objetos rectilíneos o sus uniones. Necesitamos que dos defensas que salgan de la línea de ensamblaje sean congruentes para que puedan servirnos en la construcción de un automóvil. Esto nos lleva a ampliar la noción de congruencia para incluir otras formas geométricas además de segmentos, ángulos, triángulos y círculos. Así, también pueden ser congruentes las curvas, las superficies, e incluso los sólidos en el espacio tridimensional. Un argumento similar se tiene para la noción de semejanza. No es suficiente que la semejanza sólo se aplique a segmentos, ángulos, triángulos y círculos. Los modelos a escala de un Corvette son ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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semejantes a él, y las "líneas" del auto no son los "segmentos rectilíneos" de la geometría sintética euclideana. Así pues, necesitamos ser capaces de ampliar las nociones de congruencia y semejanza a formas más complejas que las figuras euclidianas usuales. Pero, incluso podemos desear ampliar las ideas de congruencia y semejanza a conjuntos de puntos que son menos complejos, como los conjuntos finitos de puntos. Pensemos, por ejemplo, en los conjuntos de puntos de la figura 1.1. L A

S

Z O

B E E

A

C

T H D

F I

C

G

P

¿Es [A,B,C,D]≅[E,F,G,H]?

¿Es *TEPIC*∼*SOLAZ*?

Figura 1.1 La idea que necesitamos aquí es la de transformación geométrica. Las transformaciones geométricas aplicables son las isometrías (la reflexión, la rotación, la traslación y la reflexión con deslizamiento) y las semejanzas. Estas transformaciones son funciones cuyos dominios son el conjunto de puntos en el plano o en el espacio tridimensional, y cuyos rangos son el mismo conjunto de puntos en el plano o en el espacio, respectivamente. Sin embargo, en la práctica sólo importa la forma y su imagen, y no el plano o espacio completo. Fácilmente pueden enumerarse las ventajas del uso de las transformaciones: 1) Dado que el dominio es un conjunto de puntos, no existen restricciones sobre la naturaleza de ese conjunto de puntos; puede ser un conjunto infinito como el ya ilustrado, o puede ser una forma euclideana tal como un cuadrado o un triángulo, o una figura "compleja" o una curva que describe la sección transversal de una defensa para un Corvette. 2) Dado que las transformaciones son funciones, el estudio de la geometría está relacionada más estrechamente al estudio de otras ramas de las matemáticas donde la función juega un papel central y más explícito. 3) Dado que las transformaciones pueden considerarse modelos de manipulaciones mentales o físicas que usamos en las formas para determinar si las figuras son congruentes o semejantes, las ideas matemáticas están más estrechamente relacionadas a la experiencia del discente. La mayoría de nosotros hemos visto a un niño tomar el modelo de una figura, manipularla para ver si se ajusta exactamente en otra figura, y al hacerlo así, determinar que las dos figuras son congruentes. 4) Podemos representar sintéticamente a las transformaciones mismas al usar los métodos de coordenadas o las matrices. Al usar la notación matricial para representar las coordenadas, los estudiantes pueden experimentar el extraordinario poder de las calculadoras gráficas con capacidades matriciales. Esto destaca más las relaciones entre las ramas de las matemáticas y ayuda a los estudiantes a lograr los objetivos asociados con la norma de "relaciones matemáticas" de los Estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática. (NCTM 1989). ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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La disponibilidad de los métodos de transformación aumenta el espectro de los problemas accesibles a los resolvedores de problemas noveles. Con las perspectivas de coordenadas y sintética, algunas situaciones son más fácilmente representadas y analizadas al usar transformaciones de lo que serían con otras herramientas. Por ejemplo, en la figura 1.2 considera la pregunta ¿dónde deberá localizarse un transformador potencial sobre AB de manera que la longitud del cable necesario para correr a C y a D desde AB sea mínima?. Notemos primero que si C y D estuviesen en los lados opuestos de AB, el segmento que une C con D cortaría AB en el lugar adecuado para la transformación. Pero en el ejemplo ilustrado, las posiciones de C y D están en el mismo lado de AB. La solución es reflejar C o D sobre AB y unir la imagen al punto no reflejado restante. Puesto que el camino más corto es un segmento rectilíneo y la distancia se conserva bajo la reflexión, la intersección de AB y la línea trazada es el lugar buscado.

D C

A

B

¿Dónde deberá localizarse un d tal manera que la distancia de D sobref AB de l transformador a C sea í i ? Figura 1.2

Hasta este momento hemos dado argumentos para tratar la geometría escolar desde perspectivas múltiples que destaca las necesidades actuales. Se tiene también un argumento que se refiere a las necesidades del futuro. Este data de 1975 y se encuentra en el desarrollo de la geometría fractal. La geometría de Euclides, la introducción de las representaciones por coordenadas y algebraica, y el uso del enfoque de transformaciones, modela sólo una pequeña fracción de los objetos que se presentan en la naturaleza. Hasta el descubrimiento de los fractales, en 1975 por Benoit B. Mandelbrot, objetos tales como las costas de Noruega, las hojas de un helecho o una cordillera montañosa de Alaska, desafiaban la descripción geométrica. Simplemente eran demasiado irregulares para modelarse con las herramientas geométricas/algebraicas usuales. Pero con el desarrollo de las computadoras, de las gráficas por computadora y los fractales, estos objetos naturales, con todas sus irregularidades, ahora pueden modelarse geométricamente. Muchos de estos modelos están basados en la noción de conjuntos similares a sí mismos. Esto significa que desde dondequiera que miremos un conjunto, bajo cualquier amplificación, lo que observamos parece ser el conjunto original antes de la amplificación. Tal es la paradoja de la irregularidad. Algunas figuras son, al mismo tiempo, tan irregulares que desafían una descripción exacta, y tan regulares como para ser llamadas similares a sí mismas. En un sentido real, el problema es que son auténticamente demasiado regulares para una descripción exacta con las herramientas tradicionales de la geometría. Es en el área de la geometría fractal donde el lenguaje y la notación algebraica de funciones son más poderosas. El proceso de descripción y creación ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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de objetos similares a sí mismos está descrito matemáticamente a través de la iteración de funciones que pueden pensarse, de una manera simple, como las composiciones repetidas de una función consigo misma. La geometría y el álgebra se encuentran de nuevo, pero en un contexto bastante diferente del que anticipó Descartes. La geometría, ahora y mañana, debe enfocarse desde perspectivas múltiples para permitir al usuario hacer lo más que pueda con el contenido, mientras sus usos se amplían y extienden hacia regiones desconocidas de la ciencia y la naturaleza. Los fractales, que se encuentran en el concepto de la semejanza, que están representados gráficamente (visualmente), y que son una creación al menos parcialmente dependiente de computadoras poderosas para su existencia, son la nueva herramienta geométrica en el futuro cercano. Pero, ¿qué hay en un futuro más distante? ¿Cuáles serán las nuevas herramientas? ¿Cuál será el contenido geométrico que la constituya? Nadie lo sabe, pero es seguro que demandará un conocimiento de la geometría desde perspectivas múltiples para su entendimiento y comprensión. En la justificación que acabamos de dar, hemos indicado que las ideas geométricas deben, como se recomienda en Estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática (NCTM 1989), ser enfocadas desde una variedad de perspectivas: sintética, de coordenadas, de transformación y vectorial. En los capítulos que siguen ilustraremos cómo pueden incorporarse estos temas en los cursos de geometría como se enseña ahora, al relacionar cada tema a los contenidos enseñados tradicionalmente, tales como triángulos, cuadriláteros, congruencia y semejanza. Además, haremos sugerencias para la implementación de otras normas de la currícula. Con el fin de llevar a cabo esta agenda, comenzaremos con una breve revisión de algunas ideas fundamentales necesarias y luego abordaremos, ya en forma, las perspectivas múltiples de la geometría. Cuestiones de Enseñanza: El trabajo de grupo cooperativo proporciona una oportunidad para desarrollar las habilidades de comunicación y para conducir evaluaciones informales e individuales que no se obtienen fácilmente en la instrucción directa y en el trabajo individual. Mientras los grupos trabajan problemas como el del transformador presentado aquí, circule por el salón, observe discretamente el nivel de participación de los estudiantes en lo individual y qué tan bien aplican los conceptos clave y las estrategias para resolver problemas. Haga que un miembro de cada grupo comparta sus avances o soluciones con el resto de la clase. Al mostrar respeto por las ideas de los estudiantes se fortalece el desarrollo de su potencial matemático.


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Si Pitágoras hubiera tenido un geoplano . . . Bishnu Naraine Publicado en la sección ‘Activities’ de la revista The Mathematics Teacher Vol. 86, N° 2, en febrero de 1993. El título original es “If Pythagoras Had a Geoboard ...”. Traducción del Club de Matemáticas del CECyT Wilfrido Massieu. ♦ Creemos que el aprendizaje debe venir guiado por la búsqueda de respuestas a problemas –primero en un nivel intuitivo y empírico; más tarde generalizando; y finalmente justificando (demostrando). (Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics, NCTM 1989, 10) ♦ El profesor de matemáticas debe promover un discurso en el aula en el que los estudiantes traten de convencerse ellos mismos y unos a otros de la validez de las representaciones, soluciones, conjeturas y respuestas particulares. (Professional Standards for Teaching Mathematics, NCTM 1991, 45) Guía del profesor Los Estándares de Currículo y Evaluación para las Matemáticas Escolares del NCTM (1989) recomiendan que los estudiantes trabajen en exploraciones informales planeadas para desarrollar una comprensión de los conceptos geométricos. Esta actividad guía a los estudiantes, de grado 7 en adelante, a través de una exploración que se ocupa de los triángulos determinados por los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo cualquiera. El teorema de Pitágoras relaciona el área del cuadrado que se construye sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo con las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los otros dos lados del triángulo. En esta actividad, los estudiantes tienen oportunidad de desarrollar sus propios teoremas relativos a las áreas de los dos conjuntos de cuatro triángulos de la figura 1.

Figura 1 Establece una relación entre las áreas de los cuatro triángulo de cada dibujo Esta actividad da a los estudiantes una oportunidad de ver cómo exploran los matemáticos muchos ejemplos diferentes antes de hacer una generalización. Además, al animar a los estudiantes a usar cualquier método adecuado para calcular las áreas, esta actividad incorpora ambos métodos, sintético y algebraico en la geometría y ayuda a los estudiantes a darse cuenta de que se pueden usar distintos métodos para resolver problemas parecidos. El desarrollo de esta actividad también puede contribuir a ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

Hoja 118

que los estudiantes tengan más confianza en su capacidad de hacer matemáticas, se vean ellos mismos como resolvedores de problemas matemáticos, aprendan a comunicarse matemáticamente y aprendan a razonar matemáticamente. Niveles: 7-12 Materiales: Un conjunto de hojas de trabajo 1-4 para cada estudiante y un conjunto de transparencias de las hojas para la discusión en clase, papel de puntos, geoplanos (optativo). Prerrequisitos: Comprensión del teorema de Pitágoras. Objetivos: Descubrir la relación entre las áreas de los cuatro triángulos determinados por los cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo dado. Instrucciones: Todas las actividades de las hojas de trabajo 1, 2, 3 y la parte inferior de la hoja 4 pueden ser realizadas por todos los estudiantes. La parte superior de la hoja 4 pide que los estudiantes prueben sus conjeturas y es optativa. Aunque algunas de las figuras se pueden hacer en el geoplano, los cuadrados pueden no resultar en algunos geoplanos. Hoja 1: Distribuye copias de la hoja 1 a todos los estudiantes. Haz que completen esta hoja como tarea antes de trabajar en las hojas 2-5. Pide que calculen las áreas de los triángulos aplicando los métodos que ellos mismos escojan. Después de que hayan terminado la hoja 1, discute los distintos métodos que se usaron para calcular las áreas de los triángulos. Algunos pueden haber escogido contar los cuadrados y medios cuadrados, otros pueden calcular el área del rectángulo que contiene el triángulo y restar las áreas de figuras conocidas. Otros pueden aplicar la fórmula típica: área del triángulo = 1/2 (base por altura). Cómo procedimiento alternativo, pueden disfrutar aplicando la fórmula de Pick para calcular el área de una figura poligonal cuyos vértices están en los puntos de intersección de una cuadrícula. Si B es el número de puntos del reticulado en el perímetro e I es el número de puntos del reticulado en el interior de la figura, entonces la fórmula de Pick establece que el área = (1/2)B + I - 1. (Consultar Hirsch (1974) para una actividad que lleva al descubrimiento de este resultado). Propón a los estudiantes que exploren esta actividad aplicando la fórmula para calcular las áreas de algunos de los triángulos de la hoja 1. El uso de esta fórmula puede reducir el esfuerzo necesario para calcular las áreas de algunos triángulos. La mayoría de los estudiantes puede encontrar dificultades para responder la pregunta de desafío de la hoja 1: para comenzar, indicales que tracen la figura en el papel de puntos. Hoja 2: Distribuye copias de la hoja 2 a todos los estudiantes. El triángulo ABC es rectángulo sólo en los ejercicios de esta hoja. Encontrarán útil el reticulado en la determinación de las áreas de los triángulos. Anímalos para que apliquen cualquier método que quieran en el cálculo de las áreas. En el punto 3 se les pide a los estudiantes que diseñen sus propios ejemplos. Una ventaja de este enfoque es que los estudiantes tienen que crear sus propias matemáticas. Además deben quedar más convencidos de sus conjeturas basadas en los resultados de la tabla, puesto que se aplica también a sus diagramas. Hojas 3: Distribuye copias de la hoja 3 a los estudiantes después de que hayan terminado la hoja 2 y hayas discutido sus respuestas con ellos. Las instrucciones de la hoja 2 se siguen aquí también. La mayoría de los estudiantes encuentran útil la fórmula de Pick para calcular las áreas de algunos de ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

Hoja 119

los triángulos. Otros pueden optar por escoger un origen adecuado y usar coordenadas para calcular las áreas. Recuérdales que en estos ejemplos, el triángulo inicial ABC no es un triángulo rectángulo. El propósito es ver si la conjetura de la hoja 2 se puede generalizar a todos los triángulos. Actividad complementaria- hojas 4 y 5: La prueba de las conjeturas de la hoja 4 es optativa. Si pides a los estudiantes que prueben las conjeturas, distribuye copias de la hoja 4 y haz que realicen las pruebas de manera progresiva. Anímalos para que usen métodos algebraicos, geométricos y trigonométricos en la prueba de las conjeturas. Una prueba que use el geoplano o un paquete de computadora como el Geometer’s Sketchpad (Jackiw 1991) también es aceptable. Prepárate para aceptar «pruebas» de diversos niveles de sofisticación. Estimúlalos para que mejoren sus pruebas. Recuérdales que cuando una conjetura se prueba, ésta se convierte en un teorema. Ya sea que uses la hoja 4 o no, tras discutir los descubrimientos de los estudiantes en las hojas 2 y 3, distribuye una copia de la hoja 5 y deja que hagan el ejercicio de tarea para la casa. Deben aplicar sus descubrimientos de las hojas 2 y 3, y en la hoja 5 deben transferir sus conocimientos de la recíproca del teorema de Pitágoras para encontrar las áreas de los triángulos. Discusión posterior a la actividad: Los teoremas que se discuten en esta actividad no son ampliamente conocidos. Las discusiones con matemáticos investigadores nos sugieren que el teorema puede ser original. Señala a tus estudiantes que el diagrama del teorema 1 de la hoja 4 está relacionado con el diagrama que se usa para discutir el teorema de Pitágoras y que el completar los tres triángulos exteriores dio como resultado el descubrimiento de matemáticas «nuevas». Respuestas Hoja 1: 1. Triángulo Área

I

II

III

IV

V

VI

VII

6

14

10

8

9

18

15

2. 6 Hoja 2: Área del triángulo Pregunta 1

ABC

HCJ

GBF

DAE

4.5

4.5

4.5

4.5

2

4

4

4

4

3

*

*

*

*

* En la pregunta 3, las respuestas dependen del diagrama de los estudiantes. Las cuatro áreas deben ser iguales. 4. Son todas iguales. 5. Sí. 6. Sí. 7. Sí. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

Hoja 120

8. Si se trazan cuadrados sobre los lados de un triángulo rectángulo y se completan los tres triángulos, como se muestra en el punto 1, entonces el área de cada uno de los tres triángulos es igual al área del triángulo rectángulo original. Hoja 3: Área del triángulo ABC

HCJ

GBF

DAE

1

6

6

6

6

2

5

5

5

5

3

*

*

*

*

Pregunta

* En la pregunta 3, las respuestas dependen del diagrama de los estudiantes. Las cuatro áreas deben ser iguales. 4. Son todas iguales. 5. Sí. 6. Sí. 7. Sí. 8. Si se trazan cuadrados sobre los lados de un triángulo y se completan los tres triángulos como se muestra en el punto 1, entonces el área de cada uno de los tres triángulos es igual al área del triángulo original. Hoja 4: Conjetura 1: La figura 2 ilustra una «prueba» algebraica de la conjetura 1. El cuadrado que se muestra en líneas punteadas gruesas tiene lados de longitud a+b. Así que cada uno de los cuatro triángulos tiene un área de (1/2)ab. b F

c

a

c

b

E

G

B c

c

b

a

b H

C

A a

J

D

Figura 2 Prueba algebraica Algunos estudiantes pueden preferir una prueba trigonométrica como la siguiente: Sea m∠ABC=θ en la figura 3. Entonces los ángulos CAB, DAE y GBF tiene las medidas que se indican en la figura. Aplica ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

Hoja 121

la fórmula el área de un triángulo es un medio del producto de dos lados cualesquiera y el seno del ángulo que forman. Se obtienen las áreas siguientes: ∆ABC = (1/2)ab, o (1/2)(base x altura) ∆HCJ = (1/2)ab, o (1/2)(base x altura) ∆GBF = (1/2)ac sen (180 - θ ) = (1/2)ac sen θ =(1/2)ab (b = c sen θ en ∆ABC ) ∆DAE = (1/2)bc sen (90 + θ ) = (1/2)bc cos θ =(1/2)ba (a = c cos θ en ∆ABC) Esta investigación muestra que cada uno de los cuatro triángulos tiene un área de (1/2)ab F

180-θ c E a

B

G

90-θ c a

θ

a

b

H

C

b

A

b

90+θ J

D

Figura 3 Prueba trigonométrica Conjetura 2: Algunos estudiantes pueden preferir una prueba trigonométrica como la siguiente: Sean m∠ABC= θ y m∠ACB=α en la figura 4. Entonces los ángulos CAB, HCJ, DAE y GBF tienen las medidas que se muestran en la figura. Aplica la fórmula el área de un triángulo es un medio del producto de dos lados cualesquiera y el seno del ángulo que forman. Se obtienen las áreas siguientes: ∆ABC = (1/2)ab sen α ∆HCJ = (1/2)ab sen (180 - α ) = (1/2)ab sen α ∆GBF = (1/2)ac sen (180 - θ ) = (1/2)ac sen θ =(1/2)ab sen α (en ∆ABC, b/sen θ = c/sen α => c sen θ = b sen α ) ∆DAE = (1/2)bc sen (α + θ ) = (1/2)b .a sen α  (en ∆ABC, a/sen (180 - (α + θ)) = c/sen α => a/sen (α + θ) = c / sen α => c sen (α + θ) = a / sen α ) Esta investigación muestra que cada uno de los cuatro triángulos tiene un área de (1/2)ab sen α. En forma alternativa se puede mostrar que las áreas son (1/2)ac sen θ. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

Hoja 122

F

c

G

H

a

B a

a

α C b

J

E θ

c

c b

A b

D

Figura 4. Prueba trigonométrica Hoja 5: 1. (a) Cada triángulo tiene 6 unidades cuadradas. 1. (b) Cada triángulo tiene un área de 24 unidades cuadradas. 1. (c) Cada triángulo tiene un área de 48 unidades cuadradas. 2. Cada triángulo tiene un área de 40 unidades cuadradas. 3. Cada triángulo tiene un área de 49 unidades cuadradas. REFERENCIAS Hirsch, Christian R. “Pick’s Rule.” Mathematics Teacher 67 (May 1974): 431-34. Jackiw, Nicholas. The Geometer’s Sketchpad. Berkeley, Calif.: Key Curriculum Press, 1991. Software. National Council of Teachers of Mathematics, Commission on Standards for School Mathematics. Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston, Va: The Council, 1989. National Council of Teachers of Mathematics, Commission on Teaching Standards for School Mathematics. Professional Standards for School Mathematics. Reston, Va: The Council, 1991.


Hoja 123

CÁLCULO DE ÁREAS DE TRIÁNGULOS

HOJA 1

1. Encuentra el área de cada triángulo y registra tu respuesta en la tabla.

III I

II

IV V VI VII

Registra tus respuestas aquí: Triángulo

I

II

III

IV

V

VI

VII

Área

2. Desafío: Se trazan cuadrados sobre los lados AB y AC del triángulo rectángulo ABC. ¿Cuál es el área del triángulo ADE? ___________

E B

3

C 4

A

D


Hoja 124

FORMULA UNA CONJETURA SOBRE EL TRIÁNGULO

HOJA 2

1. Comienza con el triángulo rectángulo isósceles ABC que aparece a la derecha, al que se le han trazado cuadrados sobre cada uno de sus lados. Se trazan los triángulos HCJ, GBF y DAE como se muestra en la figura. Calcula las áreas de los cuatro triángulos y llena el renglón correspondiente de la tabla de abajo con tus resultados. F

E G

B

H

A

C

J

D

2. El triángulo ABC que aparece a la izquierda es un triángulo escaleno. Traza un cuadrado sobre cada uno de los lados y completa los otros tres triángulos como en el punto 1. Asegúrate de nombrar los vértices de la misma manera. Calcula las áreas de los cuatro triángulos y escribe tus resultados en la tabla de abajo.

B

C

A

3. Traza tu propio ejemplo en el espacio punteado. Comienza con un triángulo ABC, traza un cuadrado sobre cada uno de sus lados y completa los otros tres triángulos de la misma manera que en los puntos anteriores. Calcula las áreas de los cuatro triángulos y escribe tus resultados en el renglón correspondiente de la tabla de abajo. Área del triangulo Pregunta

ABC

1

6

2

5

HCJ

GBF

3 ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

Hoja 125

DAE

Haz referencia a la tabla al responder estas preguntas: 4. ¿Cuál es la relación que adviertes entre las áreas de los cuatro triángulos del punto 1. 5. ¿Se conserva la misma relación entre los cuatro triángulos del punto 2? 6. ¿Se cumple la misma relación entre los cuatro triángulos del punto 3? 7. ¿Se cumplirá la misma relación si comienzas con cualquier triángulo? Nota: Si no estás seguro de tu conclusión, traza algunos otros triángulos en papel de puntos, con sus cuadrados y triángulos, como en el punto 1, y calcula las áreas de los cuatro triángulos. 8. Completa la conjetura siguiente basada en los resultados de la tabla. Si se traza un cuadrado sobre cada lado de un triángulo y se completan los tres triángulos como se muestra en el punto 1, entonces el área de cada uno de los tres triángulos es igual a


Hoja 126

FORMULA UNA CONJETURA SOBRE EL TRIÁNGULO (CONTINUACIÓN) HOJA 3 1. En estas figuras vas a comenzar con un triángulo que no es rectángulo. Comienza con el triángulo isósceles ABC que aparece a la derecha, al que se le han trazado cuadrados sobre cada uno de sus lados. Se trazan los triángulos HCJ, GBF y DAE como se muestra en la figura. Calcula las áreas de los cuatro triángulos y llena el renglón correspondiente de la tabla de abajo con tus resultados.

F

G

B

H

C

E

A

J

D

B

C

A

2. El triángulo ABC que aparece a la izquierda es un triángulo escaleno. Traza un cuadrado sobre cada uno de los lados y completa los otros tres triángulos como en el punto 1. Asegúrate de nombrar los vértices de la misma manera. Calcula las áreas de los cuatro triángulos y escribe tus resultados en la tabla de abajo.

3. Traza tu propio ejemplo en el espacio punteado. Comienza con un triángulo ABC, traza un cuadrado sobre cada uno de sus lados y completa los otros tres triángulos de la misma manera que en los puntos anteriores. Calcula las áreas de los cuatro triángulos y escribe tus resultados en el renglón correspondiente de la tabla de abajo. Área del triangulo Pregunta

ABC

1

6

2

5

HCJ

GBF

DAE

3

Haz referencia a la tabla al responder estas preguntas: 4. ¿Cuál es la relación que adviertes entre las áreas de los cuatro triángulos del punto 1. 5. ¿Se conserva la misma relación entre los cuatro triángulos del punto 2? 6. ¿Se cumple la misma relación entre los cuatro triángulos del punto 3? 7. ¿Se cumplirá la misma relación si comienzas con cualquier triángulo? Nota: Si no estás seguro de tu conclusión, traza algunos otros triángulos en papel de puntos, con sus cuadrados y triángulos, como en el punto 1, y calcula las áreas de los cuatro triángulos. 8. Completa la conjetura siguiente basada en los resultados de la tabla. Si se traza un cuadrado sobre cada lado de un triángulo y se completan los tres triángulos como se muestra en el punto 1, entonces el área de cada uno de los tres triángulos es igual a ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

Hoja 127

DEMUESTRA LAS CONJETURAS SOBRE EL TRIÁNGULO Conjetura1.Si se traza un cuadrado sobre cada lado de un triángulo rectángulo ABC y se completan los tres triángulos como se muestra, entonces el área de cada uno de los tres triángulos es igual al área del triángulo ABC.

HOJA 4

F

E

C

G

b a

Demostración. Formula por escrito tu demostración (o describe tu método de demostración).

c

H

A

B

Ahora que has probado tu conjetura, la puedes volver a escribir, pero como teorema:

J

D

TEOREMA 1: Si se traza un cuadrado sobre cada lado de un triángulo rectángulo ABC y se completan los tres triángulos como se muestra, entonces el área de cada uno de los tres triángulos es igual al área del triángulo ABC. Conjetura 2. Si se traza un cuadrado sobre cada lado de un triángulo cualquiera ABC y se completan los tres triángulos como se muestra, entonces el área de cada uno de los tres triángulos es igual al área del triángulo ABC. Demostración. Formula por escrito tu demostración (o describe tu método de demostración).

F

G

E

C a

H B

b c

A

Ahora que has probado tu conjetura, la puedes volver a escribir, pero como teorema: TEOREMA 2 : Si se traza un cuadrado sobre cada lado de un triángulo cualquiera ABC y se completan los tres triángulos como se muestra, entonces el área de cada uno de los tres triángulos es igual al área del triángulo ABC.


J

Hoja 128

D

APLICA LOS TEOREMAS

HOJA 5

1. Se traza un cuadrado sobre cada lado de cualquier triángulo como se muestra. Calcula el área de cada triángulo de la siguiente figura.

B

B B

10

10

3

10 C

4

A C

A

8

C

12

A

2. Se trazan cuadrados sobre los lados AB y AC del triángulo rectángulo ABC, como se muestra. Calcula el área de cada triángulo de la siguiente figura.

C

8

B

A

10

3. Se trazan cuadrados sobre los lados AC y BC del triángulo rectángulo ABC, como se muestra. Calcula el área de cada triángulo de la figura.

C

14

B

7

A


Hoja 129

Haz tus propios problemas -y después resuélvelos Robert L. Kimball Publicado en la sección ‘Activities’ de la revista The Mathematics Teacher Vol. 84, en noviembre de 1991. El título original es “Make your own problems-and then solve them”. Traducción del Club de Matemáticas del CECyT Wilfrido Massieu. El currículo de matemáticas debe incluir el refinamiento y ampliación de los métodos de la resolución de problemas matemáticos para que todos los estudiantes puedan identificar y formular problemas a partir de situaciones dentro y fuera de las matemáticas. (Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics, NCTM 1989, 137) El currículo de matemáticas debe incluir el desarrollo continuo del lenguaje y del simbolismo para comunicar ideas matemáticas de tal forma que todos los estudiantes puedan expresar ideas matemáticas verbalmente y por escrito. (Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics, NCTM 1989, 140) El profesor de matemáticas debe plantear tareas que . . . requieran la formulación de problemas, la resolución de problemas y el razonamiento matemático [y] fomentar la comunicación acerca de las matemáticas. (Professional Standards for Teaching Mathematics, NCTM 1991, 25) Guía del profesor Introducción: Si queremos enseñar a nuestros estudiantes para que se conviertan en resolvedores de problemas, debemos meterlos en problemas que no se resuelvan sencillamente aplicando las técnicas y los conceptos que se acaban de estudiar. Debemos exigirnos para exigirles, estimularnos para estimularlos. Debemos explorar ideas más allá de lo obvio si queremos que exploren las matemáticas. Debemos preguntarnos «¿Qué pasaría si . . .?» para lograr que se pregunten «¿Qué pasaría si . . .?». Debemos ser curiosos e ingeniosos si queremos que sean curiosos e ingeniosos con respecto a las matemáticas. Debemos ser perseverantes si esperamos que sean perseverantes. En otras palabras, debemos modelar las mismas conductas de resolución de problemas que queremos que desarrollen. La actividad siguiente es un ejemplo de lo que puede ocurrir cuando un grupo, un profesor o un estudiante va más allá del problema matemático típico y se plantea la pregunta «¿Qué pasaría si . . .?». Muchos son los conceptos y problemas, en todas las áreas de las matemáticas y en todos los niveles, que se pueden ampliar y explorar llevando a cabo este tipo de investigación. Todos conocemos el problema siguiente: Comienza con un pedazo de metal rectangular de dimensiones m y n. Corta un cuadrado de cada esquina para construir la caja (sin tapa) que tiene volumen máximo. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja de volumen máximo? Por supuesto, este no es sólo un problema de cálculo; podemos encontrar el volumen máximo sin la derivada. (Véase La hoja de actividad 1 de Pleacher [1991]). Pero, ¿qué pasaría si no se nos pide construir una caja? ¿Qué pasaría si queremos construir un cilindro circular recto (con base y tapa) de volumen máximo? La actividad siguiente ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

Hoja 130

explora las posibilidades cuando los pedazos se cortan a partir de una forma rectangular fija -una hoja de papel de tamaño legal, de ocho y media pulgadas por catorce pulgadas. Después los estudiantes exploran los resultados posibles cuando se usa un rectángulo de ocho y media pulgadas por once pulgadas (una hoja de tamaño carta). Niveles: 8-12 Materiales: Una provisión de hojas de tamaños legal y carta, las hojas de trabajo preparadas, reglas, cinta adhesiva, compás y tijeras para cada estudiante. Esta actividad supone que los estudiantes tienen sus calculadoras siempre a la mano. Objetivos: Estas actividades animarán a los estudiantes para que exploren conceptos matemáticos importantes fabricando modelos tridimensionales y aplicando el método de ensayo y error para examinar cómo influyen diversos factores en el volumen de un sólido. Los estudiantes realizarán actividades manuales y aplicarán técnicas algebraicas para encontrar las dimensiones que producen el volumen máximo. Los estudiantes resumirán e interpretarán sus resultados. Requisitos previos: Los estudiantes deben saber las fórmulas del área, la circunferencia y el volumen, ser capaces de manipular expresiones algebraicas y resolver ecuaciones. (Los estudiantes que no tengan los antecedentes algebraicos necesarios pueden completar las hojas 1 y 2). Instrucciones: Esta actividad requiere tres o cuatro períodos de clase para completarse. Las tareas para la casa se dan en las hojas 1, 2 y 5. Hoja 1: Discutir el problema original de encontrar las dimensiones de una caja de volumen máximo que se obtiene de una hoja de papel rectangular. Explica la pregunta «¿Qué pasaría si . . .?»: ¿Cuáles son las dimensiones de un cilindro circular recto con base y tapa que se corta de una hoja de papel rectangular? Conducir una discusión en el grupo en relación a las respuestas de la pregunta 1. Asegurarse de que los estudiantes comprendan cómo responder la pregunta 3b. Distribuir las hojas de tamaño legal, las tijeras, la cinta adhesiva, las reglas y los compases. Recordar a los estudiantes que sus mediciones serán aproximadas. Hoja 2: Reunir a los estudiantes en grupos de tres a cinco integrantes. Escoger a un estudiante en cada grupo para que lleve el registro. Animarlos para que discutan las preguntas de sus hojas en los grupos. Hojas 3 y 4: Repartir las hojas 3 y 4 a los estudiantes. Pedirles que discutan los reportes que escribieron en sus tareas para la casa de la hoja 2. Examinar el caso 1A con toda la clase. Dejar que trabajen individualmente, o en sus grupos, hasta completar las hojas. Antes de que comiencen el caso 3, hacer notar que sólo se consideran los círculos cortados en el extremo más largo, ya que es evidente que si se colocan los círculos en los extremos opuestos del lado corto no se obtendrá el volumen máximo. Aunque nosotros, ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

Hoja 131

como buenos resolvedores de problemas, debemos tener mucho cuidado al considerar y explorar todas las posibilidades, tampoco queremos esforzarnos sin buenas razones. Este comentario puede generar una animada discusión de la clase acerca del sentido común y las matemáticas. Hoja 5: Distribuir la hoja 5, las hojas tamaño carta, las tijeras, la cinta adhesiva, las reglas y los compases. Conducir una discusión acerca de los cilindros y los argumentos de los estudiantes. Pedirles que piensen en otras preguntas de «¿Qué pasaría si . . .?». Animarlos para que formulen otros problemas y preguntas que vayan más allá del tratamiento usual de los temas. Respuestas Hoja 1: 1.Ejemplos: Envases de aceite de motor, envases de bebidas, envases de atún, envases de pelotas de tenis. Propiedades: La tapa y la base son regiones circulares del mismo tamaño. Los lados forman con la base y con la tapa ángulos rectos. Si se quitan la base y la tapa y se desenrolla el cilindro se forma un rectángulo. Las dimensiones del rectángulo son la altura del cilindro y la circunferencia de la tapa y la base. 3. Variarán las respuestas. Hoja 2: Las respuestas variarán. Hoja 3: (Las respuestas se redondean al centésimo más próximo). Caso 1A: x + d = 8.5 πd+d = 8.5 8.5 ≈ 2.05 π +1 8.5 x = 8.5 − ≈ 6.45 π +1 4.25 r= ≈ 1.03 π +1 d=

Caso 1B: C=14 14 7 r= = ≈ 2.23 2π π 14 d= ≈ 4.46

π

h + d = 8.5 h = 8.5 −

2

14

π

≈ 4.04

2

 4.25  V =π  (14)  π +1 ≈ 46.31in 3

14  7  V = π    8.5 −  π  π   3 ≈ 63.07in

Hoja 4: Caso 2A: x + d = 14

c = 8.5


Hoja 132

Caso 2B :

πd + d = 14

r=

4.25

≈ 1.35 π 8.5 d= ≈ 2.71 π

7 ≈ 1.69 π +1 14 x = 14 − ≈ 10.62 π +1

r=

h + d = 14

2

 7  V =π  (8.5)  π +1

h = 14 −

8.5

π

 4.25  V =π   π  ≈ 64.94in 3

≈ 76.28in 3

2

Caso 3A:

C=8.5 8.5 4.25 r= = ≈ 1.35 2π π 8.5 d= ≈ 2.71

C = x = πd x + 2d = 14

x = 14 − r=

8.5   14 −  π   Caso:3B

h = 8.5

d=

≈ 11.29

π

14 ≈ 2.72 π +2

h = 14 − 2d = 14 −

17

≈ 8.59 π 2 17   4.25   V =π  14 −  π   π  

28 ≈ 8.55 π +2

7 ≈ 1.36 π +2

≈ 49.38in 3

2

 7  V =π  (8.5) π + 2  ≈ 49.50in 3 Hoja 5: 1. a) 8 ½” * 11 “ b) d C h=8.5

 5.5  e) V = π  (8.5)  π +1 ≈ 47.09in 3

d + c = 11 d+πd = 11 d ≈ 2.66 r ≈ 1.33 C ≈ 8.34 d) 8.5 in. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

Hoja 133

2. El mismo método de las hojas 3 y 4 que produjeron el cilindro de volumen máximo, producirá el cilindro de volumen máximo usando una hoja de tamaño carta. Este hecho se advierte fácilmente si se resuelven los casos 1 a 3 con once pulgadas en lugar de las catorce de la hoja original. REFERENCIAS National Council of Teachers of Mathematics, Commission on Standards for School Mathematics. Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston, Va: The Council, 1989. National Council of Teachers of Mathematics, Commission on Teaching Standards for School Mathematics. Professional Standards for School Mathematics. Reston, Va: The Council, 1991. Pleacher, David. “Activities: Activities to Introduce Maxima-Minima Problems.” Mathematics Teacher 84 (May 1991): 379-86.


Hoja 134

CONSTRUYE TU PROPIO CILINDRO

HOJA 1

1. Discusión del grupo: Piensa en varios ejemplos de cilindros circulares rectos que tengan base y tapa. ¿Qué propiedades tienen todos estos objetos en común? 2. Construye un cilindro circular recto con base y tapa, usando el papel que se te entregó. Todo (la base, la tapa y la superficie lateral) se debe cortar de la misma hoja de papel. 3. Registra la información siguiente relativa a tu cilindro. a) Las dimensiones de la hoja de papel antes de cortarla:____________ b) Haz un bosquejo de las posiciones de la tapa, la base y la superficie lateral que cortaste de la hoja de papel.

c) Diámetro de la base y la tapa:_______________________________ Radio de la base y la tapa:__________________________________ Circunferencia de la base y la tapa:___________________________ d) Dimensiones del papel que se usó en la superficie lateral:__________ e) ¿Cómo se relacionan el tamaño de la base y la tapa con las dimensiones del papel que usaste para la superficie lateral? Explica tu respuesta ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ Tarea para la casa Lleva a la casa por lo menos tres hojas de papel del mismo tamaño. Trata de construir un cilindro cuyo volumen sea el más grande posible. Registra la información acerca de tus cilindros en el cuadro siguiente. _________________________________________________________________________ Bosquejo de las posiciones Radio de la Altura del Volumen del de los círculos y rectángulo base y la tapa cilindro cilindro _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________


Hoja 135

CILINDROS DE VOLUMEN MÁXIMO

HOJA 2

Trabaja en grupos chicos para recopilar la información acerca de los cilindros que construyeron con el volumen máximo. Llena el cuadro siguiente. _________________________________________________________________________ Bosquejo de las posiciones Radio de la Altura del Volumen del de los círculos y rectángulo base y la tapa cilindro cilindro _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ Discusión del grupo 1. ¿Usaron en tu grupo métodos distintos para construir los cilindros? En otras palabras, ¿se cortaron los círculos para la base y la tapa de lugares diferentes de la hoja? Si no se hizo, considera otros métodos y construye unos cuantos cilindros más. 2. ¿Cuánto papel se desperdició en cada método? ¿Hubo algún método en que se usara más papel que en otros? 3. ¿El volumen es mayor cuando el cilindro es bajo o alto, ancho o estrecho? 4. ¿Cómo influyen los cambio del diámetro de los círculos en el volumen del cilindro? 5. ¿Cuál es el mayor diámetro que los círculos pueden tener? ¿Cuál sería la altura de ese cilindro? 6. Después de su discusión, usen otra hoja de papel del mismo tamaño para construir, con base y tapa, un volumen circular recto cuyo volumen sea el más grande posible. Tarea para la casa Escribe un reporte de lo que decidió tu grupo acerca de cómo construir el cilindro de volumen máximo.


Hoja 136

LA APLICACIÓN DEL ÁLGEBRA PARA RESOLVER EL PROBLEMA

HOJA 3

Hemos usado varios métodos distintos para construir los cilindros. Consideraremos ahora algebraicamente el más eficiente de estos métodos. Caso 1 Considera el caso en que el rectángulo que se usa para formar la superficie lateral del cilindro se corta del lado más largo de la hoja de papel y los círculos se cortan del pedazo de papel que queda. Para construir el cilindro debemos determinar qué lado del rectángulo se usará como altura, h, del cilindro. El otro lado del rectángulo será igual a la circunferencia, C, de la base y la tapa del cilindro. Estos dos casos se considerarán separadamente como casos 1A y 1B. Caso 1A Sea el lado más largo de la hoja de h = 14 pulgadas papel la altura del cilindro. Necesitamos encontrar la otra dimensión, x, del rectángulo que formará la superficie lateral del x=C cilindro. Sea d el diámetro de los dos círculos que se cortan del resto de la hoja de papel original. Puesto que x es también igual a la circunferencia de los círculos, encuentra estos valores. x = πd x + d = _______________ π d + d = _______________ d = _______________ x = _______________ r = _______________ Aplica la fórmula V = π r2 h para encontrar el volumen de este cilindro. V = ______________ Caso 1B Ahora sea el lado más largo de la hoja de papel la circunferencia de los círculos. C = _________________________ r = _________________________ d = _________________________ ¿Cuál es la relación entre h y d? ____________________________ h = _________________________ V = _________________________


Hoja 137

LA APLICACIÓN DEL ÁLGEBRA PARA RESOLVER EL PROBLEMA

HOJA 4

Caso 2 A continuación considera el caso en el que el rectángulo que se usa para la superficie lateral del cilindro se corta del lado más corto de la hoja de papel y los círculos se cortan del papel que queda. De nuevo, considera dos casos. Caso 2 A. Sea la altura del cilindro 8.5 pulgadas. Necesitamos encontrar la otra dimensión, x, del rectángulo que formará la superficie lateral del cilindro y es igual a la circunferencia de nuestros círculos. x=πd x + d = _______________ π d + d = _______________ d = _______________ r = _______________ x = _______________ V = _______________ Caso 2B. Sea la circunferencia de los círculos 8.5 pulgadas. Necesitamos encontrar la otra dimensión, h, del rectángulo que formará la superficie lateral del cilindro y que será la altura de los círculos. C = ______________________ r = ______________________ d = ______________________ ¿Cuál es la relación entre h y d? _________________________ h = ______________________ V = ______________________

Caso 3. Considera el caso en que los círculos se cortan de cada extremo de la hoja. Proporciona tus propios argumentos para los casos 3A y 3B.


Hoja 138

LA MAXIMIZACIÓN DEL VOLUMEN DE LOS CILINDROS

HOJA 5

1. Usa una hoja de papel tamaño carta para construir el cilindro de volumen máximo. Proporciona la información siguiente acerca de tu cilindro. a) Las dimensiones del papel antes de cortarlo: _______________________ b) Haz un bosquejo de las posiciones de la base, la tapa y la superficie lateral del cilindro que construiste con el papel.

c) El diámetro de la base y la tapa: _______________________________ El radio de la base y la tapa: __________________________________ La circunferencia de la base y la tapa: ____________________________ d) Las dimensiones del rectángulo que se usa para la superficie lateral del cilindro: e) El volumen del cilindro: 2. Presenta un argumento convincente que sostenga que has construido el cilindro de volumen máximo.

Tarea para la casa Escribe un párrafo explicando donde esta resolución sería útil y por qué.


Hoja 139

Mapas Conceptuales para la creación de Ambientes Virtuales de Aprendizaje Alberto Fernández Beltrán La utilización de las tecnologías de información y comunicación para la creación de modelos educativos innovadores ha constituido un tema de investigación durante más de veinte años. La aparición y popularización de Internet y las herramientas asociadas como: correo electrónico, foros de discusión, videoconferencias de escritorio, charla en línea, han enriquecido el entorno para desarrollar Ambientes Virtuales de Aprendizaje. Sin embargo, muchos de los intentos de crear sistemas innovadores se han visto frenados por una falta de visión integradora de los elementos involucrados. Esto se refleja en el desarrollo de materiales en forma lineal a imagen de los impresos tradicionales. El acceso a los recursos de información no es una condición suficiente para el aprendizaje, aunque esto es indispensable para los estudiantes de educación a distancia. El aprendizaje es el proceso por el cual la información se convierte en conocimiento. Y conocimiento no significa memoria. Los estudiantes al aprender construyen representaciones internas de conocimiento conocidas como "modelos mentales". En otras palabras, un modelo mental es nuestra manera de conocer el mundo. Es nuestro punto de vista de cómo explicamos un fenómeno o concepto. Cada estudiante pone en esta acción un agregado de acuerdo a sus propias experiencias y entendimiento en el proceso de aprendizaje. Los "expertos" que interiorizan y automatizan este conocimiento para poder utilizarlo sin reflexión; adquieren sabiduría. La mayor parte del uso educacional de la Web se ha caracterizado como un medio de publicación más que una actividad educativa propia. Los docentes publican sus apuntes para que los alumnos los bajen y los lean, y éstos, a su vez, ponen en línea sus trabajos. Aún se siguen los modelos educativos del siglo XIX más que la creación de nuevos ambientes de aprendizaje. Existe la necesidad de que los docentes reconceptúen y transformen la Web de un ambiente para publicar información hacia uno especialmente adecuado para una educación efectiva basada en nuevos principios tales como la interacción y el aprendizaje colaborativo. Sin embargo, la creación de un ambiente donde se puedan explotar las cualidades de cada una de las herramientas disponibles en Internet no es cosa sencilla. La utilización de Mapas Conceptuales, puede ser de gran utilidad para la construcción de ambientes y materiales más adecuados para la explotación de los recursos tecnológicos disponibles. Los mapas conceptuales son un medio que permite la representación de conceptos o conocimiento. Se utilizan para expresar relaciones entre ideas o conceptos y para estructurar argumentos. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

Hoja 140

Se ha promovido su uso en el campo educativo para investigar el entendimiento de un tema en particular por parte de los estudiantes para construir conocimiento y para evaluarlo. En administración se utilizan como medios para representarlas estructuras conceptuales que forman la base de una toma de decisión. En inteligencia artificial se desarrollaron las llamadas redes semánticas usadas en forma extensiva para la representación formal del conocimiento. En relación a los AVA, los mapas conceptuales tienen un potencial importante para el diseño y navegación de sitios Web (por su propia representación gráfica) y como una herramienta de interacción grupal.

Mapa Conceptual sobre Mapas Conceptuales (Joseph D. Novak, Cornell University)

Los Mapas conceptuales constituyen una técnica para la representación del conocimiento en forma gráfica. Las gráficas de conocimiento forman redes de conceptos consistentes en nodos y ligas. Los nodos representan los conceptos y las ligas representan la relación entre dos nodos conectados. Los conceptos generalmente son expresados por medio de sustantivos y la relación entre dos conceptos por medio de verbos o preposiciones. Las ligas pueden ser unidireccionales, ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

Hoja 141

bidireccionales o simplemente asociativas. Los conceptos pueden categorizarse de acuerdo a características causales o temporales. Otra característica de los mapas conceptuales es que los conceptos se representan en forma jerárquica con los más generales en la parte superior y más particulares en la inferior. Pueden existir referencias cruzadas entre conceptos pertenecientes a regiones distantes dentro del mapa conceptual, lo que enriquece las relaciones de los propios conceptos. Los mapas conceptuales pueden emplearse para: •

Generar ideas,

•

representar estructuras complejas,

•

comunicar ideas elaboradas,

•

integrar conocimientos a partir de una base común,

•

evaluar el conocimiento de un tema específico,

•

desarrollo curricular

Está técnica fue desarrollada inicialmente por el profesor Joseph D. Novak de la Universidad de Cornell durante lo años 1960. Su trabajo se basa en las ideas de Ausubel, quien estableció la gran importancia del conocimiento previo para aprendizaje de nuevos conceptos. Novak concluyó que el aprendizaje valioso incluye la asimilación de nuevos conceptos y proposiciones dentro de las estructuras cognoscitivas existentes. Para aprender a construir mapas conceptuales es recomendable comenzar con temas que uno mismo domine y saber el contexto en que se utilizará. Para establecer la estructura jerárquica también debe limitarse la extensión del dominio. Una vez determinado el concepto principal, el siguiente paso consiste en identificar otros conceptos importantes relacionados al original. Esto puede llevarse a cabo como una lluvia de ideas, tratando de jerarquizar los conceptos. Con estos elementos se puede construir un mapa conceptual primitivo que irá evolucionando con nuevos conceptos, nuevas relaciones, relaciones cruzadas y nuevas estructuras. Es importante mencionar que un mapa conceptual jamás se termina. Cada vez que se revise puede ser enriquecido. Existen diversos programas de cómputo para la construcción de mapas conceptuales (se incluyen algunas ligas de Internet al final). El Instituto para el Conocimiento Humano y de Máquinas de la Universidad de West Florida ha desarrollado una herramienta para tal fin llamada Cmap. El software es libre y puede obtenerse en el sitio del Instituto, así como información relacionada con los mapas conceptuales.


Hoja 142

Mapa Conceptual sobre Ambientes Virtuales de Aprendizaje

Bibliografía Novak, J.D., & D.B.Gowin (1984). Learning How to Learn. New York And Cambridge, UK: Cambridge University Press Buzan, Tony. (1993). The Mind Map Book.London, UK. BBC Books

Ligas en Internet Sitio del Instituto de conocimiento de la Universidad de West Florida, sobre mapas conceptuales contiene una herramienta para su creación http://cmap.coginst.uwf.edu/ Otras herramienta para crear mapas conceptuales http://www.coco.co.uk/ http://trochim.human.cornell.edu/kb/conmap.htm ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

Hoja 143

http://world.std.com/~emagic/mindmap.html Herramienta para crear mapas mentales http://mindman.com/

afb- 31/7/2000


Hoja 144

El valor permanente de la demostración Gila Hanna Texto de la conferencia plenaria presentada en el Congreso PME 20, y se publicó titulado como: "The ongoing value of proof". Gutiérrez, A. y L. Puig (editores). Proceedings of PME 20. España (Valencia). Vol. 1, pp. 21-34. 1996. Traducción al español por Víctor Larios Osorio (Depto. de Matemáticas del CICFM, Fac. de Ingeniería, UAQ, 1999). Introducción En los últimos treinta años la demostración ha asumido un papel cada vez menos importante en el curriculum de la escuela secundaria estadunidense. Esto que ha sucedido puede ser explicado en parte por el hecho de que muchos docentes de matemáticas han sido inducidos a creer, por algunos desarrollos de las matemáticas y de la investigación en la educación matemática, que la demostración no tenía un papel fundamental en la teoría y en la práctica matemática y que su uso en la práctica didáctica no favorece, por sí mismo, el aprendizaje. Parece además que muchos piensan haber resuelto los añejos problemas de la enseñanza de la demostración limitándose simplemente a no tomarla en consideración. En la investigación misma el uso de las demostraciones asistidas por la computadora, la creciente consideración en la cual se considera la experimentación en matemáticas y la invención de nuevos tipos de demostración que se separan de los criterios tradicionales, han llevado a hipotizar que los matemáticos aceptarán tales formas de validación en lugar de las demostraciones. La influencia de estos desarrollos ha sido reforzada por las proclamas de algunos investigadores en didáctica de las matemáticas, inspirados en parte por el trabajo de Lakatos, indicando que la demostración no es central para la actividad de descubrimiento en matemáticas, que las matemáticas son en cada caso falibles y que la demostración es una clase de afrenta autoritaria a los valores sociales modernos y que puede también obstaculizar la actividad de aprendizaje a determinadas personas. Esta situación ha provocado una gran preocupación entre otros investigadores en didáctica de la matemática. Greeno (1994), por ejemplo, ha centrado la atención sobre los malentendidos ligados a la naturaleza de la demostración: «Relativamente a la práctica didáctica, estoy alarmado por la tendencia de hacer desaparecer la demostración de las matemáticas preuniversitarias y creo que a esto se podría poner remedio mediante una mayor toma de conciencia del significado epistemológico de la demostración en matemática» (p.270). También Schoenfeld (1994), contestando a la pregunta «¿Tenemos necesidad de la demostración en la didáctica de las matemáticas?», da una respuesta inequívoca: «Absolutamente. ¿Debo decir más? Absolutamente». En este trabajo se afirma que ninguna de las posiciones tomadas en consideración debilita la importancia del valor de la demostración y que muchas de las afirmaciones basadas en aquellas posiciones están simplemente equivocadas o son debidas a malentendidos (sobre todo de parte de quien se ocupa de didáctica de las matemáticas). Se sostiene que la demostración debe jugar un papel de importancia primaria en el currículum, ya sea porque continúa siendo una característica central de la misma práctica matemática, como método ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

Hoja 145

privilegiado de validación, ya sea porque es un instrumento válido para favorecer la comprensión. La Influencia de los desarrollos en la Investigación en Matemáticas Desarrollos recientes en la investigación matemática (la mayor parte de los cuales reflejan en algún modo el creciente uso de las computadoras) han provocado, por parte de los matemáticos de profesión, la toma de posiciones diametralmente opuestas: quienes continúan creyendo importante la demostración en la actividad matemática y quienes anuncian, en cambio, su muerte inminente. John Horgan (1993), un colaborador de la revista Scientific American, hace propia esta predicción en un artículo titulado "The death of proof", aparecido en el número de octubre de 1993. Demostraciones en la computadora y una cultura potencialmente semi-rigurosa Uno de los desarrollos que ha empujado el anuncio de Horgan es el uso de la computadora para construir o validar demostraciones muy largas, como la demostración recientemente publicada del teorema de los cuatro colores (Apper y Haken) o la solución del "problema de la recepción" [1] (Radziszowski y McKay). Estas demostraciones requieren cálculos tan largos que no podrían ser realizados o incluso verificados por un ser humano. Ya que también las computadoras y los programas pueden equivocarse, ahora los matemáticos deberían aceptar que las proposiciones demostradas de esta manera podrían ser sólo provisionalmente verdaderas. Esta es una limitación de tipo teórico, pero el cálculo automático tiene también limitaciones de orden práctico, no obstante el continuo aumento de la capacidad de cálculo de las computadoras. Habrán siempre problemas cuya resolución requiere demasiado tiempo o excesivos recursos económicos. Las demostraciones con computadoras no son la excepción, y así los matemáticos han explorado las consecuencias que estas limitaciones podrían tener para la investigación. Una previsión es que los matemáticos, frente a tiempos impracticables o a costos prohibitivos, optarán por unas matemáticas "semi-rigurosas". En un artículo publicado en 1993, en las Notices of the American Mathematical Society titulado "Theorems for a price: Tomorrow’s semi-rigorous mathematical culture", el matemático Doron Zeilberger pronostica que con el advenimiento de las demostraciones con computadora un «nuevo testamento deberá ser escrito». Ya que «las demostraciones absolutas se hacen cada vez más costosas», afirma, los matemáticos harán uso de demostraciones que serán menos completas, pero más a buen precio. Presenta el ejemplo de la teoría algorítmica de la demostración para las identidades hipergeométricas, donde no hay escasez de algoritmos bien notados. El problema es que cualquier caso presenta cálculos que aun con las computadoras actuales requieren demasiado tiempo para ser ejecutados que agotarían los recursos económicos que tiene a disposición el investigador, si no es que hasta el tiempo que tiene de vida. Concluye que los matemáticos elegirán limitar el monto de los recursos de cálculo aun para aquellos teoremas que, en la parte teórica, son demostrables fácilmente, optando por la menos costosa "quasi certeza". Además prevé que todos los matemáticos aceptarán tal "semi-rigor" como una forma legítima de validación matemática. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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Una conjetura en matemáticas está siempre considerada no más que una conjetura hasta que no sea demostrada, así que no es sorprendente que las afirmaciones de Zeilberger hayan sido rápidamente puestas a discusión por otro matemático. En un artículo publicado en el Mathematical intelligencer (1994) con el título perentorio "La morte de la dimostrazione? Matematica semi-rigorosa? Ma chi volete prendere in giro?" [2] George Andrews sostiene que el testimonio de Zeilberger simplemente no es convincente. El que ciertos algoritmos se presenten demasiado costosos para ser ejecutados, no significa que los matemáticos ahora abandonarán la idea de la demostración con su «gran intuición y, puedo atreverme a decir, belleza» (p.17). Otras ya han subrayado que demostraciones no-rigurosas, generalmente a buen precio, a la larga podrían revelarse costosas. Saunders MacLane (1996) relataba que en Italia entre los años 1880-1920 fueron publicados varios resultados de geometría algebraica no demostrados rigurosamente. La situación se deterioró finalmente al grado que «parece que habían voces no controladas sobre el hecho de que un verdadero triunfo para un geómetra algebraico italiano estaría constituido por el demostrar un nuevo teorema y contemporáneamente proponer un contraejemplo» (p.2). Como efecto los resultados italianos en geometría algebraica fueron considerados no creíbles hasta que diversos matemáticos, entre ellos Emmy Nöther, no aclararon los puntos críticos aplicando criterios de demostración mucho más rigurosos. Nuevos tipos de demostraciones Dudas de fondo se han levantado por nuevos tipos de demostración que tienen poco en común con la forma tradicional. Un desarrollo particularmente interesante es el concepto recientemente introducido de demostración a conocimiento cero [3] (Blum,1986), originalmente definido por Goldwasser, Micali y Rackoff (1985). Se trata de un protocolo interactivo que involucra dos interlocutores, el demostrador y el revisor. Pone la condición a quien demuestra de proveer al otro un testimonio evidente de que la demostración existe, sin dar ninguna información sobre la demostración misma. Como resultado de tal interacción el revisor se convence que el teorema en cuestión es verdadero y que su interlocutor conoce una demostración; él mismo sin embargo tiene conocimiento cero de la demostración misma y por lo tanto no está en la posición de convencer a otros. En teoría la demostración a conocimiento cero puede ser conducida con o sin computadora. Para lo que nos interesa, sin embargo, la característica más significativa del método a conocimiento cero es que está completamente en contraste con la idea tradicional de demostración como producto abierto a una inspección. Esto contrasta claramente con el método tradicional en el cual una demostración es aceptada, basada en el intercambio de opiniones entre matemáticos. Otra interesante innovación es aquella de la demostración holográfica (Babai,1994; Cipra,1993). Como la demostración a conocimiento cero, este concepto ha sido introducido por los informáticos en colaboración con los matemáticos. Consiste en transformar una demostración en, por decirlo así, una forma transparente que es verificada por revisores a "vuelo de pájaro", [4] más que controlando cada paso. Los autores de este concepto han mostrado que es posible reescribir una demostración (en cada detalle, usando un lenguaje formal) de manera tal que si hay un error en un punto de la demostración original éste se ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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expandirá más o menos regularmente en esa reescritura (la forma transparente). Así para determinar si una demostración está exenta de errores se necesita sólo controlar acaso pasos seleccionados en la forma transparente. Usando una computadora para aumentar el número de las partes controladas, la probabilidad de que una demostración errónea sea aceptada como correcta puede ser expresada tan pequeña a placer (sería obviamente no infinitamente pequeña). Entonces una demostración holográfica puede dar una casi-certeza, y es más el grado de casi-certeza puede ser precisamente cuantificado. No obstante, una demostración holográfica, como una a conocimiento cero, contrasta completamente con la idea tradicional de demostración en matemáticas, porque no satisface el requisito de que cada uno de las pasos esté abierta al control. Matemáticas experimentales Las demostraciones a conocimiento cero, las demostraciones holográficas y la producción y verificación de demostraciones extremadamente largas como aquella del teorema de los cuatro colores son factibles sólo gracias a las computadoras. Sin embargo también estos tipos innovadores de demostración son tradicionales, en el sentido de que permanecen como demostraciones analíticas. Un número cada vez mayor de matemáticos, sin embargo, parecen trabajar fuera de los confines de la demostración deductiva, confirmando experimentalmente propiedades matemáticas. Un ejemplo adecuado es el centro de Geometría de la Universidad de Minnesota, donde los matemáticos usan la computadora gráfica [5] para examinar las propiedades de los hipercubos en cuatro dimensiones y de otras figuras, o para ver qué sucede desmenuzando, torciendo, estirado y dándole la vuelta a una esfera. Aún hoy usualmente no se asocian las matemáticas con la investigación empírica, sin embargo los matemáticos han conducido experimentos para formular y probar [6] conjeturas (bien conscientes que tales pruebas no constituyen una demostración). Los primeros matemáticos, obligados a probar pocos casos, indudablemente habrían usado aún más la experimentación si hubieran tenido los medios. Entonces las actuales matemáticas experimentales no parecerían diferir en teoría de aquéllas que se han hecho desde el inicio. Lo que parece ser nuevo es que un número cada vez mayor de matemáticos emplea precisamente el tiempo casi exclusivamente en la experimentación, reivindicando en este modo la importancia que le pertenece por derecho. Horgan cita varios matemáticos que sostienen que los métodos experimentales han adquirido una nueva respetabilidad. Ciertamente han recibido mayor atención y recursos como consecuencia del crecimiento de sectores orientados a lo gráfico como la teoría del caos y la dinámica no lineal. Como consecuencia un número cada vez mayor de matemáticos ha llegado a apreciar la potencia de la computadora para comunicar conceptos matemáticos. Existe quien está de acuerdo además de lo de la comunicación. Destacándose claramente de la práctica anterior, algunos ahora lo ven como legitimación de un compromiso en las matemáticas experimentales, visto como una forma de justificación matemática. Horgan afirma que: ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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[...] algunos matemáticos están desafiando la noción de que la demostración formal sería el estándar supremo de la verdad. Aunque ninguno aboga por deshacerse de las demostraciones completamente, algunos expertos piensan que la validez de ciertas proposiciones puede ser mejor establecida comparándolas con experimentos realizados en computadoras o con fenómenos del mundo real (p.76). La consecuencia de esta opinión es que la experimentación está haciéndose no sólo una actividad matemática competente, sino también una alternativa a la demostración, una forma igualmente válida de confirmación matemática. Esto parecería redefinir la "matemática experimental" como una nueva disciplina que se auto-administra, por decirlo así, no sujeta más a los criterios según por los cuales la verdad matemática está tradicionalmente juzgada. La fundación en 1991 de la revista Experimental Mathematics puede ser vista como un presagio de una disciplina nueva e independiente. Esta nueva publicación [7] difiere notablemente de las revistas tradicionales por el hecho de que publica los resultados de exploraciones en la computadora más que teoremas y demostraciones. ¿Pero eso significa que sus directores piensen que la demostración está muerta? No parece que sea así. En su artículo "Experimentation and proof in mathematics" los directores de Experimental mathematics Epstein y Levy, en un primer momento subrayaron el aumento potencial de la experimentación en la era de la computadora: «el uso de la computadora da a los matemáticos otra idea de la realidad y otro instrumento para investigar la corrección de un argumento matemático a través de ejemplos exploratorios» (1995,p.674). Sin embargo más adelante explican claro cómo opinan que la experimentación concuerda con el esquema matemático: «Se advierte que nosotros apreciamos las demostraciones: resultados sugeridos experimentalmente y que pueden ser demostrados son más esperados que aquellos conjeturales. [...] El objetivo de Experimental mathematics es jugar un papel en el descubrimiento de demostraciones formales, no de eliminarlas. (p.671) [...] Creemos que, lejos de minar el rigor, el uso de la computadora en la investigación matemática lo acrecentará en muchos modos» (p.674). Una nueva división de las tareas en las matemáticas A pesar de que muchos matemáticos están muy preocupados que el reconocimiento de la experimentación como una actividad matemática válida en todos los aspectos pueda oscurecer el hecho de que sus resultados no pueden satisfacer los criterios de la demostración. No están de acuerdo sobre lo que se debería hacer al respecto, si cualquier cosa debe ser hecha. Algunos proponen una separación: que los resultados heurísticos sean aislados como una categoría en sí. Jaffe y Quinn (1993), por ejemplo, en su artículo "Theoretical mathematics: Towards a cultural synthesis of mathematics and theoretical physics", subrayan cuán importante es distinguir inequívocamente entre resultados basados en la demostración rigurosa y aquellos basados en argumentos heurísticos. Sugieren también denominaciones para los dos tipos de actividad, proponiendo que el primero sea ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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llamado "matemáticas rigurosas" y el segundo "matemáticas especulativas", con lo cual entienden heurísticas o conjeturales. Jaffe y Quinn están motivados por una preocupación de los criterios del rigor, que proponen preservar aislando las matemáticas rigurosas de las no rigurosas (o "matemáticas especulativas", como las llaman) a través de una nueva subdivisión de las tareas. Sugieren que las matemáticas no rigurosas sean consideradas por derecho una rama válida de las matemáticas y que los matemáticos sean valorados con los criterios de la rama a la cual decidieron pertenecer. La propuesta de que los matemáticos sean divididos en dos campos ha traído inmediatas y varias reacciones, dieciséis de las cuales en el Bulletin of the American Mathematical Society (1994). William Thurston, por ejemplo, ha respondido con un ensayo de dieciocho páginas titulado "On proof and progress in mathematics", en el cual se opone a la división sugerida por Jaffe y Quinn. Opina que la pregunta importante no es «¿cómo demuestran los matemáticos los teoremas?» o «¿cómo los matemáticos hacen progresos en matemáticas?», sino como ellos «hacen progresar la comprensión de las matemáticas en el hombre», y, en consecuencia, juzga erróneo dividir las matemáticas sobre la base de criterios basados en el rigor. Aunque no objeta sobre el papel de la demostración en la validación, lo determina como el principal valor por la posibilidad que ofrece para comunicar ideas y generar comprensión. En consecuencia, propone a los matemáticos, que se han ganado la estima de sus colegas sobre todo demostrando teoremas, que se empeñen todos en reconocer y en valorizar la entera gama de las actividades que mejoran la comprensión de la disciplina. Los otros quince matemáticos importantes han dado respuestas más breves. La mayoría ha rehusado la propuesta anticipada por Jaffe y Quinn de reconocer dos brazos separados de la actividad matemática (Atiyah et al., 1994). James Glimm ha escrito que si las matemáticas deben hacer frente a la «fuerte expansión de la actividad conjetural» será necesario adherirse al «criterio absoluto de un razonamiento lógicamente correcto que se ha desarrollado y probado en la prueba de fuego de la historia» (p.184). Si bien fuese empujado, como lo eran Jaffe y Quinn, por la crecida de las matemáticas experimentales y por una preocupación por el rigor, es evidente que Glimm había llegado a la conclusión opuesta. Mientras Jaffe y Quinn parecen opinar que, para impedir la afirmación de las matemáticas experimentales como método digno a la par de la demostración rigurosa, sería suficiente identificar y acoger las matemáticas heurísticas como una disciplina separada (si bien quizá inferior), Glimm parece temer que tal aislamiento tendría el efecto opuesto de permitir a la heurística avanzar hacia una pretensión análoga. Pero las respuestas también han revelado diferentes ideas sobre el papel de la demostración rigurosa. Saunders MacLane ha afirmado que «[...] las matemáticas no tienen necesidad de copiar el estilo de la física experimental. Las matemáticas se fundan en la demostración —y la demostración es eterna» (p.193), mientras Atiyah concede que «Quizá ahora tenemos criterios severos de demostración a los cuales aspirar, pero en las primeras fases de nuevos desarrollos, debemos estar preparados para actuar con un estilo más piratesco» (p.178). Y, no sorprendentemente, Mandelbrot afirmó que el rigor es «no pertinente (sic) y usualmente distrae, aun cuando es posible». ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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Se debería agregar que Mandelbrot en la respuesta mueve objeciones a la costumbre difundida de dar crédito sólo a aquellos que demuestran conjeturas, menospreciando a aquellos que sobre todo las produjeron. En verdad no se puede ignorar que las recientes controversias sobre el papel de la experimentación y de otras aproximaciones heurísticas pueden ser motivadas ya sea por un interés en el reconocimiento profesional, ya sea por desacuerdo sobre la naturaleza de la verdad en matemáticas. Cierto es que en estas controversias la cuestión de la importancia y del prestigio de la heurística está enredada, a menudo confusamente, con la cuestión del papel de la demostración como árbitro de la verdad en matemáticas. En todo caso en la reciente discusión alimentada por Jaffe y Quinn, existe un notable grado de acuerdo. Todos los participantes parecen estar de acuerdo con Albert Schwartz que las matemáticas heurísticas es una parte importante y legítima de su disciplina (p.198). Pero ninguno ha insinuado que los matemáticos hacen su trabajo sin presentar el objetivo del control final de la demostración. Aquellos que estaban de acuerdo, como era la mayoría, de que los matemáticos deberían dar un mayor reconocimiento a aquél que alcanzara resultados heurísticos interesantes y constructivos, eran todavía de la opinión de que tales resultados se queden como conjeturas hasta que no sean validadas con la demostración. La influencia de Lakatos Las ideas de Imre Lakatos, publicadas inicialmente en una disertación en 1961 y seguidas por Proof and refutations en 1976, provocaron un debate cerrado entre filósofos y, en particular, entre los filósofos de las matemáticas (Agassi,1981; Feyerabend,1975; Lehman,1980; Hacking,1979; Steiner,1983). Cualquier cosa que fuesen sus estimaciones sobre el pensamiento de Lakatos considerado en su totalidad, eran llevados a aceptar la principal intuición de Lakatos y ésta es que la crítica y el control sobre los resultados conseguidos en la investigación matemática han sido la fuerza motriz del crecimiento del conocimiento de la disciplina. También los matemáticos profesionistas fueron atacados en su trabajo, particularmente en el estudio detallado de cómo ha evolucionado en el tiempo la demostración del teorema de Euler. Este estudio dio luz sobre muchos aspectos de la actividad matemática que anteriormente no habían sido apreciados, y por muchos matemáticos la explicación de Lakatos sobre las dinámicas del descubrimiento matemático sonaba bien. Las ideas de Lakatos fueron llevadas a la atención de quienes se ocupan de didáctica de las matemáticas principalmente por Davis y Hersh (1981) en su libro The Mathematical experience. Su entusiasta exposición hizo que la aproximación de Lakatos obtuviese gran consideración en el ambiente de la educación matemática, tanto que se opinó de poderlo aplicar en matemáticas más allá de cuanto en efecto pudo ser aplicado. No es sorprendente que un nuevo modo, así de fascinante, de mirar al descubrimiento matemático enmascarara sus lados débiles. El método del análisis de la demostración es sin falta seductor, pero el hecho de que pudiera ser considerado un método general válido se funda en un solo ejemplo, el estudio de los poliedros, un campo en el cual es relativamente fácil proponer los contraejemplos necesarios. De todos modos, este método no consigue ni siquiera explicar algunos eventos importantes del descubrimiento matemático. No dice nada acerca de la investigación en la teoría de conjuntos y sobre la aceptación de la ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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axiomática de Zermelo-Fränkel, o lo relativo a la aparición del análisis no estándar, o, de modo específico, relativamente a los tantos descubrimientos matemáticos que no han partido de una conjetura. No es difícil, efectivamente, citar casos en los cuales se ha encontrado una demostración o se ha hecho un descubrimiento matemático de manera radicalmente diferente al proceso de refutación heurística descrito en Proofs and refutations . También en la demostración del teorema de Euler tomada en consideración por Lakatos, por ejemplo, la refutación es redundante; no apenas haya sido formulada una definición adecuada, el teorema puede ser demostrado en cada caso posible sin discusiones posteriores. Cada vez que un matemático trabaje con definiciones adecuadas (o en un adecuado "escenario conceptual", para usar el término de Bourbaki) efectivamente, el proceso de demostración no es del tipo de refutación heurística. Al contrario, en "A renaissance of empiricism in the recent philosophy of mathematics" (1978,p.38), Lakatos mismo dice: No todas las teorías matemáticas formales se encuentran en el mismo peligro de refutación heurística. Por ejemplo, la teoría elemental de grupos corre pocos riesgos; en su caso la teoría original informal ha sido así de radicalmente reemplazada por la axiomática que las refutaciones heurísticas parecen ser inconcebibles En Proofs and refutations Lakatos define la demostración como un «experimento mental [...] una descomposición de la conjetura original en subconjeturas o lemas» (p.9). En su interpretación de la historia del teorema de Euler para un poliedro, V-A+C=2 (donde V es el número de vértices, A el número de aristas y C el número de caras), por ejemplo, Lakatos describe un experimento mental en el cual se imagina estirar un poliedro de goma observando los resultados de esta manipulación. Continúa, sin embargo, describiendo un proceso más general que lleva a demostraciones y refutaciones a interactuar, genera contraejemplos y "falsificadores informales", hace nacer buenas conjeturas y termina con un resultado bien formulado. Esta aproximación puede ser vista como una tentativa de analizar las matemáticas desde el punto de vista de Popper, de llevar una crítica al deductivismo en matemáticas paralela a la crítica de Popper al intuicionismo de las ciencias físicas. Considerando "la inducción" en el sentido de verificar las leyes generales sobre la base de datos observados, Popper esperó mostrar que «la ciencia empírica no se basa en realidad sobre un principio de inducción» (Putnam,1987). Análogamente, Lakatos esperó hacer ver que la verificación en matemáticas no se funda, en realidad, sobre el "deductivismo euclídeo". Describiendo el proceso heurístico, Lakatos ataca constantemente esto que él llama "el programa euclídeo", que, en su opinión, aspira a hacer las matemáticas "ciertas e infalibles". En primer lugar, sin embargo, la verdad es que cuando un matemático emprende el método heurístico que Lakatos describe, o uno similar, lo hace casi siempre con el propósito de llegar a la certeza. En el caso del teorema de Euler, por ejemplo, el largo proceso heurístico ha llevado, en efecto, a una demostración que satisface los criterios aceptados por la certeza matemática. Como Ian Hacking (1979) escribe: «La discusión crítica puede hacerse en modo que una conjetura evolucione en una verdad lógica. Inicialmente el teorema de Euler era falso; al final es verdadero... El teorema ha sido "analitizado" [8]». ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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En segundo lugar, el concepto de falsacionismo [9] podría verse como irrelevante. Mark Steiner ha mostrado que a los ojos de los topólogos contemporáneos, al teorema de Euler «no le atañe un poliedro, sino más bien el espacio que el poliedro divide» (p.514). (Indica también que la demostración moderna despliega más respeto que aquella del siglo XIX que Lakatos ha estudiado.) Steiner llega a la conclusión de que la historia del teorema de Euler en el siglo XX no sólo suministra un ejemplo en el cual el modelo de Lakatos no funciona, sino, más significativamente, demuestra que «se puede tener progreso sin falsacionismo» (p.521). Afirma también que «no obstante el título de su libro, el realismo matemático de Lakatos puede ser convenientemente liberado, no sólo de su falsacionismo, sino del mismo método de demostraciones y refutaciones! (p.510). John Conway ha confirmado recientemente que Proofs and refutations de Lakatos «es un libro muy interesante, pero temo sea del todo engañoso para aquel que le atañen las matemáticas en general» (septiembre 1995, solicitud de opinión, www.forum.swarthmore.edu). Y, en palabras que parecen poder resumir esta discusión, Conway añade: Es contraproducente tomar este ejemplo (el de Euler) como típico del desarrollo de las matemáticas. La mayor parte de los teoremas de las matemáticas inicia con la demostración y se detiene con la demostración; la demostración inicial podría no completamente satisfacer los requisitos actualmente pedidos a una demostración, pero ésta es una cuestión del todo insignificante. En muchos casos han habido errores u omisiones en el primer intento de demostración, que en seguida han sido corregidos; pero han habido bien pocos casos en los cuales, como en el teorema de Euler, la discusión ha sido llevada adelante por varios siglos. Pasemos ahora a considerar las dificultades que pueden surgir aplicando las ideas de Lakatos en la práctica didáctica. Mientras Lakatos pueda ser elegido, quizás con buenos motivos, de mostrar algunas de sus ideas en modo excesivamente dramático, algunos educadores en matemáticas han tomado a la letra muchas de ellas y han buscado transferirlas directamente a la práctica didáctica. Él mismo, por ejemplo, despidió la certeza y la infalibilidad con la expresión bastante dramática: «no es posible conocer, se puede sólo conjeturar» y esto ha llevado a muchos de quienes se ocupan de didáctica de las matemáticas a presentar como provisional todo el conocimiento matemático. (No nos debería extrañar si ellos hubiesen estado dispuestos a fundar un proyecto de investigación con el objetivo de encontrar el número primo más grande o un contraejemplo al teorema de Pitágoras.) Asimismo los conceptos de "falsificadores informales" y de "falibilidad" de las matemáticas parecen haber llevado a muchos que se interesan en didáctica de las matemáticas a creer que se debería eliminar cada referencia a las matemáticas "formales" en el curriculum y, en particular, que se debería renunciar a las demostraciones formales (Dossey,1992; Ernest,1991). Esta actitud es seguramente contraproducente. En primer lugar, la demostración formal nace como una respuesta a una demanda continua de justificación, una demanda que se remonta a Aristóteles y Euclides, a través de Frege y Leibniz. Ha habido siempre una necesidad de justificar nuevos resultados (y a menudo, del mismo modo, resultados precedentes), no siempre en el sentido limitado de definir su verdad, sino más bien en la ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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más amplia acepción de suministrar razones para su plausibilidad. La demostración formal ha sido y es una respuesta suficientemente útil a esta preocupación por la justificación. En segundo lugar, es un error pensar que el currículum reflejaría mayormente la investigación matemática si se limitase al uso informal de los contraejemplos. La historia de las matemáticas muestra claramente que no es verdad, como Lakatos parece haber insinuado, que sólo la heurística y otros aspectos "informales" de las matemáticas son capaces de ofrecer contraejemplos. Al contrario, las mismas demostraciones formales han a menudo suministrado contraejemplos a definiciones o a teorías anteriormente aceptadas. Por ejemplo, como Mark Steiner (1983) puntualiza, Peano encontró un contraejemplo a la definición de curva como «el camino de un punto que se mueve con continuidad» mostrando formalmente que un punto móvil puede cubrir una región bidimensional. Las famosas demostraciones de incompletez de Gödel son otro ejemplo, con una interesante y divertida trama. En este caso, las demostraciones formales han sido utilizadas para demostrar que el método axiomático mismo tiene limitaciones intrínsecas. Gödel no habría podido producir estas demostraciones sin utilizar un sistema notacional que consiste en expresar los enunciados de la aritmética y proveer una codificación sistemática de la lógica formal, como estaba hecho en los Principia con la intención de demostrar la tesis de Frege-Russell de que las matemáticas pueden ser reconducidas a la lógica. Su demostración no habría podido, ciertamente, ser producida en unas matemáticas informales o reducida a una inspección directa. No parece ni siquiera razonable asumir que las conclusiones de Gödel se habrían podido obtener gracias a un descubrimiento de un contraejemplo («eliminación de la monstruosidad») seguido por una negativa («arreglo de la monstruosidad»), o por el descubrimiento de excepciones inexplicables («eliminación de excepciones») o suposiciones no declaradas («lemas escondidos»). Bastante curioso, no obstante, es cuando alguien que se ocupa de didáctica sostiene que la demostración formal y el rigor deberían ser eliminados del currículum, y se basa en la demostración más formal de Gödel. La influencia de los aspectos sociales Muchos de aquellos que se ocupan de didáctica de las matemáticas han indicado el estatuto de la demostración llevando adelante la afirmación, ya propuesta por otros educadores, de que la demostración es un elemento clave para una imagen autoritaria de las matemáticas (Confrey,1994; Ernest,1991; Nickson,1994). Esta afirmación debe mucho a Lakatos (1976), que, como ya dije, no sólo desafió el «programa euclídeo» en cuanto «matemáticas autoritarias, infalibles, irrefutables», pero escribió también de los peligros de unas matemáticas de élite. Lo que los defensores de esta posición quisieran agregar es que el punto de vista "euclídeo" está en conflicto con los actuales valores de la sociedad, que imponen no someterse a la autoridad y de no considerar cada conocimiento como si fuese infalible o irrefutable. Parecen opinar que la demostración en general, y la rigurosa en particular, es un mecanismo de control empuñado por un sistema autoritario para ayudar a imponer a los estudiantes un cuerpo de conocimientos infalibles e irrefutables. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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Ahora, puede ser verdad que las matemáticas hayan sido a veces presentadas como infalibles y hayan sido pensadas de modo autoritario, pero sería difícil afirmar que recientemente haya existido un consenso entre los educadores sobre aquéllo que las matemáticas deberían ser. En cada caso es por lo menos singular que la demostración sea hecha el principal blanco de lo que en definitiva debería ser nada más que un deseo mal dirigido de imponer toda clase de correctitud política en la educación matemática. No es fácil de entender, en primer lugar, qué cosa quiere decir que las matemáticas o la demostración matemática es "autoritaria". Ciertamente, una demostración suministrada por un matemático de conocida reputación debería ser tomada inicialmente con el beneficio de la duda, y en ese sentido, el hecho de que este matemático sea considerado una autoridad por los otros matemáticos, podría jugar algún papel en la eventual aceptación de la demostración. Pero la proclama parece ser que el verdadero uso de la demostración es que sea autoritaria, lo que es difícil de entender hasta el fondo. De hecho es verdad lo opuesto. Una demostración es un razonamiento transparente, en el cual todas las afirmaciones usadas y todas las reglas de razonamiento son claramente expuestas y abiertas a las críticas. La misma naturaleza de la demostración impone que la validez de las conclusiones deriva de la demostración misma, no de una autoridad externa. La demostración lleva a los estudiantes el mensaje de que pueden razonar con su propia cabeza, que no tienen necesidad de remitirse a una autoridad. Por lo tanto el uso de la demostración en la práctica didáctica es realmente "anti-autoritario". Naturalmente se podría afirmar que el uso de la demostración requiere que el estudiante acepte ciertas reglas de deducción "autoritarias" y así llevar el argumento sobre un nuevo plano metamatemático. Pero se debería esperar que aquellos que impugnan el papel de la demostración no impugnen hasta la noción de regla de razonamiento. Sería desconcertante ver a los docentes de matemáticas alinearse en posiciones como son aquellas de una revolución contra la racionalidad misma. Asimismo es difícil entender cómo el uso de la demostración refuerza la idea de que las matemáticas sean infalibles. Examinando el argumento de discusión desde el punto de vista teórico, es claro que cada verdad matemática obtenida mediante una demostración o una serie de demostraciones es una verdad relativa, más que absoluta, en el sentido de que su validez se fundamenta sobre otras verdades matemáticas y sus reglas de razonamiento que están supuestas. Ni siquiera la infalibilidad parece ser una asunción de la práctica matemática. Los matemáticos se inclinan a hacer errores como casi ningún otro, en las demostraciones y otras partes. La historia de las matemáticas puede ofrecer muchos ejemplos de resultados errados que son después corregidos. Así es difícil ver precisamente cómo la demostración refuerza la infalibilidad, y el concepto debería aparecer irrelevante para la enseñanza de las matemáticas en general y para aquello de la demostración en particular. El uso de la demostración en la práctica didáctica ha sido también llamado a causa del hecho que alienta la idea de las matemáticas como ciencia a priori . Los defensores de esta afirmación ven un conflicto entre esta idea y precisamente el punto de vista de que las matemáticas son una «construcción social» (Ernest,1991). Si bien el uso que hacen del término a priori no es del todo claro, parecería que lo que rechazan no es el hecho de que ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

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las matemáticas sean a priori , en el sentido de ser analítica, no empírica, en cuanto al hecho de que sean a priori en el sentido de dadas, pre-existentes, en espera de ser descubiertas. Naturalmente éste es un punto de vista sobre las matemáticas que podrían bien ver como opuesto a aquello de la «construcción social». Sobre este punto, todavía, Kitcher (1984) tiene seguramente razón cuando dice que perseguir demostraciones y rigor en matemáticas no implica un compromiso de mirar a las matemáticas como un cuerpo de conocimientos a priori . No es ni siquiera necesario hacerle así en la didáctica de las matemáticas. Como Kitcher escribe: «Exigir rigor en matemáticas es requerir un conjunto de razonamientos que están en una relación particular con el conjunto de los razonamientos que son generalmente aceptados» (p.213). De todos modos, el hecho de que el conjunto de los razonamientos generalmente aceptados sea pensado como dado a priori o como construido socialmente no tiene relación con el valor de la demostración en la práctica didáctica. Los que impugnan el uso de la demostración en general, deberían todavía más duramente impugnar el uso de la demostración rigurosa en particular. Todavía en la actividad matemática el nivel del rigor es a menudo una elección pragmática. Kitcher afirma que es bastante razonable aceptar un razonamiento no riguroso cuando se revela válido para resolver problemas, como sucede en física. Agrega que los matemáticos se preocupan de la carencia de rigor sólo cuando «entienden que su actual comprensión [...] es así de inadecuada que les impide afrontar los problemas urgentes que se encuentran en la investigación» (p.217). ¿Cuándo es razonable sustituir el razonamiento no riguroso con el riguroso? La respuesta de Kitcher es: «cuando las ventajas de la rigorización conducen, en términos de ganancia cognitiva, a contrapesar el costo que implica el sacrificio de habilidad en la resolución de problemas [10]». Se debería sugerir de adoptar esta línea de comportamiento a aquellos que se ocupan de didáctica de las matemáticas, dado que su objetivo es seguramente aquel de favorecer la comprensión. En cada caso es una cuestión de grado de rigor. En la práctica didáctica no es necesario perseguir formas de rigor absoluto, sino suficiente rigor para favorecer la compresión o para convencer. Un razonamiento presentado en forma suficientemente rigurosa iluminará y convencerá un mayor número de estudiantes, que podrían después convencer a sus compañeros. Es el docente quien debe juzgar cuándo vale la pena insistir en darle mayor atención a la demostración para promover el huidizo, pero importantísimo objetivo didáctico que es la comprensión. Epilogo: la demostración en clase Con el actual énfasis en la enseñanza "significativa" de las matemáticas, los docentes son alentados a dedicar atención a la explicación de los conceptos matemáticos y a los estudiantes es pedido justificar los resultados propios y las afirmaciones propias. Este parecería ser el clima justo para hacer de la mayor parte de las demostraciones un instrumento de explicación y para ejercitarlas como una forma definitiva de justificación matemática. Pero para que esto suceda, los estudiantes deben familiarizarse con los criterios del razonamiento matemático: en otras palabras, se debe enseñarles la demostración.


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Enseñar a los estudiantes a reconocer y a producir razonamientos matemáticos correctos es ciertamente un reto. Todos sabemos bien que muchos estudiantes tienen dificultades para seguir cada clase de razonamiento lógico, aun más una demostración matemática. En todo caso no podemos evitar este reto. Debemos encontrar los modos, por medio de la investigación y la experiencia en clase, de ayudar a los estudiantes a adquirir la habilidad y la comprensión de las que tienen necesidad. Fallar en esto nos privaría de un instrumento didáctico válido y a nuestros estudiantes de un elemento crucial de las matemáticas. Bibliografía •

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The Ontario Institute for Studies in Education. University of Toronto.

[1] En el original: il "problema del ricevimento". N. del T. [2] "¿La muerte de la demostración? ¿Matemáticas semi-rigurosas? ¿Pero a quién quieren tomarle el pelo?". N. del T. [3] En el original: dimostrazione a conoscenza zero. N. del T. [4] En el original: "pelle di leopardo", que se traduce textualmente como "piel de leopardo". N. del T. [5] En el original: Computer graphic. N.del T. [6] El autor utiliza el verbo collaudare, que se refiere a la acción de probar si funciona algo (un auto, una máquina, en este caso si se cumple una conjetura), a diferencia del verbo provare, más relacionado con el verbo dimostrare (demostrar). N. del T. [7] La publicación parece ser que es trimestral. N. del T. [8] En el original: "analiticizzato". N. del T. [9] En el original: fallibilismo. N. del T. [10] En el original: problem-solving. N. del T.


Hoja 159

6 . Evaluaciones y Autoevaluaciones La enseñanza de las matemáticas en el nivel medio superior del IPN tiene entre sus propósitos fomentar el trabajo en equipo y desarrollar la capacidad de los alumnos para producir, comunicar y validar conjeturas, así como desarrollar habilidades para comprender, interpretar y valorar ideas matemáticas presentadas en diversas formas. En consecuencia, la evaluación del curso toma en cuenta algo más que exámenes escritos individuales, que si bien ayudan a evaluar algunos desempeños, no permiten observar aspectos como los mencionados. Pero para recoger información sobre determinadas adquisiciones, algunas veces será útil tanto para el alumno cómo para el docente recurrir a la aplicación de exámenes escritos individuales. Es pues, el propósito de las autoevaluaciones que el alumno pueda automedirse en algunos aspectos, como son: la resolución de problemas, las habilidades operativas de algoritmos etc. En cada examen de autoevaluación se retoman temas de las anteriores unidades con la idea fundamental de que no se olviden de ese conocimiento y para profundizar cada vez más en ellos. Como parte del trabajo sistemático que el profesor debe realizar es muy importante que aplique una evaluación de los antecedentes indispensables del curso. Muchos son los autores que han destacado el papel de lo que un estudiante sabe cuando va a emprender una experiencia de aprendizaje escolar. En el año 2000, la AIM-NMS-IPN diseñó una nueva versión del examen de antecedentes para los alumnos de nuevo ingreso con la intención de aplicar el mismo tipo de examen al principio de cada semestre, incorporando una parte especialmente diseñada para los aspectos más pertinentes al curso que comienza. Así se podrá hacer un seguimiento de las partes que va superando un estudiante en cada semestre. En el diseño del examen de antecedentes 2000 se empleó el cuadro de referencias del Ceneval aunque las preguntas no son de opción múltiple sino de respuesta breve con el registro del procedimiento en un formato especialmente diseñado.


Hoja 160

Instituto Politécnico Nacional Dirección de Educación Media Superior Academia Institucional de Matemáticas Examen de Antecedentes para Estudiantes de Nuevo Ingreso 2001 Hoja 1 No escribas en esta hoja Efectúa las operaciones siguientes y escribe el resultado en forma simplificada. 1. 3+4·5= 2. 3·4+5= 3. 7+7·23= 4. (7+7·2)3= 5. 32÷(4-5)= 6. 32÷4-5= Escribe el número que en el denominador hace que cada proposición sea verdadera.

Encuentra el área de cada uno de los rectángulos siguientes.

25 5 = [ ] 9 3 1 9 4 10. + = [ ] 12 5 9.

3

Una mercancía cuesta $200, se hacen dos descuentos sucesivos de 10% y 20%. 7. ¿Cuánto se paga por la mercancía? 8. ¿Cuál es el porcentaje de descuento total?

⋅

11. Se tiene una habitación de 4.50 metros por 6 metros y se cuenta con losetas cuadradas de 30 centímetros por 30 centímetros. ¿Cuántas losetas se requieren para cubrir la totalidad de la habitación?

12. Área=_____________

13. Área=_____________ 14. Si AB y CD son paralelas y el ángulo x mide 45° Encuentra la medida de y.

15. Las diagonales de un rombo miden 18 y 24 unidades, ¿cuánto mide cada lado del rombo?


Hoja 161

Instituto Politécnico Nacional Dirección de Educación Media Superior Academia Institucional de Matemáticas Examen de Antecedentes para Estudiantes de Nuevo Ingreso 2001 Hoja 2

No escribas en esta hoja 16. El perímetro del cuadrado de la figura es de 8 metros, determina el área de la región sombreada.

17. La suma de las soluciones de las ecuaciones 3x13=8x+2, 2z+11=1 es:

Una persona pasa frente al televisor cuatro horas diarias. 19. En un año pasará __________ horas frente al televisor. 20. En “t” años pasará __________ horas frente al televisor.

La fórmula para convertir grados Celsius (°C) a grados Fahrenheit (°F) es:

18. El costo de “x+3” cuadernos es 75 pesos, ¿cuánto cuesta cada cuaderno?

9 ° F = °C + 32 5

21. ¿Qué cantidad de grados Celsius corresponde a 70°F? 22. Un cuaderno cuesta $28 más que un lápiz. y cinco lápices y dos cuadernos cuestan $91. ¿Cuánto cuesta cada artículo? 23. Traza la gráfica de y=2x-3 24. Obtén la expresión algebraica de la función que tiene la gráfica siguiente:

5 4 3 2 1

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1 -1 -2 -3 -4 -5


Hoja 162

2

3

4

Instituto Politécnico Nacional Dirección de Educación Media Superior Academia Institucional de Matemáticas Examen de Antecedentes para Estudiantes de Nuevo Ingreso 2001 Nombre

Boleta

Grupo

Hoja de Procedimientos 1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12


Hoja 163

Instituto Politécnico Nacional Dirección de Educación Media Superior Academia Institucional de Matemáticas Examen de Antecedentes para Estudiantes de Nuevo Ingreso 2001

Hoja de Procedimientos 2 13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24


Hoja 164

Instituto Politécnico Nacional Dirección de Educación Media Superior Academia Institucional de Matemáticas Examen de Antecedentes para Estudiantes de Nuevo Ingreso 2001

Hoja de Respuestas Nombre: Boleta: CECyT: ¿En qué número de opción escogiste este CECyT: ¿Cuántos aciertos obtuviste en el examen de admisión (EXANI-1): Secundaria de procedencia: Pública ‫ٱ‬

Grupo:

Particular ‫ٱ‬

Instrucciones: Escribe sólo la respuesta en el espacio correspondiente. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

23. 4

y

2

x -4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-2

-4

-6

-8

-10

Resumen: Aritmética

Álgebra

Geometría

Conceptos y Operaciones



Hoja 165

Global

Instituto Politécnico Nacional Dirección de Educación Media Superior Academia Institucional de Matemáticas Plantilla de Resultados del Examen de Antecedentes para Estudiantes de Nuevo Ingreso 2001 CECyT _______________________________________ Grupo ____________ Hoja _______ de _______. Boleta

Nombre

Áritmética

Datos Ex Op ani ció n

Pú bli ca

1

2

3

4

5

6

Ar it 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 m éti ca Geometría

7

8

9

Nota: En escuela de procedencia 0 (cero) si es particular y 1 (uno) si es pública. En cada reactivo 0 (cero) si la respuesta es errónea y 1 (uno) si es correcta.


Hoja 166

Álgebra

Ge Ál o ge m br etr a ía

C y O

R P

To tal

Observaciones sobre el examen de antecedentes. o Se aplicará a los grupos formados. o La duración del examen será de 90 minutos. o La hoja de procedimientos tiene como objeto brindar al profesor del grupo información local para que pueda identificar mejor cuáles son las dificultades que el alumno no ha superado y cómo puede hacerlo, además de permitir el análisis de las vías de solución y proporcionar información para la elaboración de reactivos de opción múltiple. o Se generarán informes: Por estudiante para el grupo, para ellos y sus padres. Por grupo para la Academia. Por Academia para la Escuela (Pedagogía, Orientación, Básicas, Subdirecciones y Dirección). Por CECyT para la DEMS. (Estadística Ceneval) o Se tendrá en la BSCW un archivo de Excel que contenga las fórmulas para hacer los reportes. o Es indispensable que consigamos los resultados específicos de Habilidad Matemática y Conocimientos Matemáticos de los estudiantes que optaron por el IPN. Así podemos diseñar un examen que nos permita averiguar cuestiones mejor definidas y usar los resultados del Ceneval como complemento. o En este examen hay algunos reactivos que proporcionan información especialmente importante. Por ejemplo, los reactivos 12 y 13, 19 y 20, y 18, permitirán identificar a los alumnos que tienen ya un manejo (capacidad de representar y operar) de los números indeterminados. El resumen que se entregará a cada alumno contendrá: Nombre

Aritmética

Álgebra

Geometría

Conceptos y Operaciones


Los reportes para la Academia, el CECyT y la DEMS incluirán las distribuciones de frecuencia correspondientes a cada columna, una interpretación y un plan para superar las deficiencias detectadas.


Hoja 167

Global

Referencias del Examen de antecedentes para los estudiantes de nuevo ingreso 2001 Estructura: Aritmética 10 reactivos (8 CP, 2 RP) Álgebra 8 reactivos (7 CP, 1 RP) Geometría 6 reactivos (5 CP, 1 RP) Conceptos y Operaciones (CP-0) 20 reactivos Resolución de problemas (RP-1) 4 reactivos Temas considerados en el plan de estudios de la Secundaria, según el Ceneval. HABILIDAD MATEMÁTICA 1 Sucesiones numéricas 2 Patrones numéricos 3 Series espaciales 4 Patrones espaciales 5 Problemas aritméticos 6 Problemas de razonamiento MATEMÁTICAS 1 Aritmética 1.1 Números naturales 1.1.1 Suma, resta, multiplicación y división 1.1.2 Relaciones de orden 1.1.3 Mínimo común múltiplo y máximo común divisor 1.2 Números enteros 1.2.1 Suma, resta, multiplicación y división 1.2.2 Relaciones de orden 1.3 Fracciones 1.3.1 Suma, resta, multiplicación y división 1.3.2 Relaciones de orden y equivalencia 1.4 Decimales 1.4.1 Suma, resta, multiplicación y división 1.4.2 Relaciones de orden y equivalencia 1.4.3 Potencias de 10 y notación científica y/o exponencial 1.5 Proporcionalidad 1.5.1 Proporcionalidad directa 1.5.2 Porcentaje 2 Álgebra 2.1 Monomios y polinomios 2.1.1 Suma, resta y multiplicación 2.1.2 Cálculo del valor numérico de polinomios con una variable ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

Hoja 168

2.1.3 Productos notables y factorización 2.2 Ecuaciones 2.2.1 Solución de ecuaciones de primer grado con una y dos incógnitas 2.2.2 Solución de ecuaciones de segundo grado 2.3 Plano cartesiano y funciones 2.3.1 Regiones: semiplanos y franjas 2.3.2 Gráfica de funciones: lineales y cuadráticas 3 Geometría 3.1 Ángulos entre paralelas y una secante 3.2 Triángulos 3.2.1 Clasificación 3.2.2 Ángulos interior y exterior 3.2.3 Teorema de Pitágoras 3.3 Semejanza 3.3.1 Cálculo de distancias inaccesibles 3.3.2 Transformación a escala sobre dimensiones lineales, de área y volumen en una figura o cuerpo geométrico 3.4 Polígonos 3.4.1 Clasificación 3.4.2 Perímetros y áreas 3.5 Sólidos 3.5.1 Características de los poliedros 3.5.2 Volumen 3.6 Círculos 3.6.1 Rectas, segmentos y ángulos 3.7 Trigonometría 3.7.1 Razones trigonométricas: seno, coseno y tangente 4 Presentación y tratamiento de la información 4.1 Lectura, elaboración e interpretación de tablas y gráficas construidas a partir de fenómenos de las ciencias naturales y sociales 4.2 Medidas descriptivas 4.2.1 Uso de porcentajes como índices o indicadores 4.2.2 Cálculo de media, mediana y moda 5 Probabilidad 5.1 Cálculo y expresión de la probabilidad de un evento como una fracción, un decimal y un porcentaje Efectúa las operaciones siguientes y escribe el resultado en forma simplificada. 1. 2. 3. 4. 5.

3+4·5= 3·4+5= 7+7·23= (7+7·2)3= 32÷(4-5)= ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

Hoja 169

6. 32÷4-5= (Ar, CP) (1,0) (1.2,0) Una mercancía cuesta $200, se hacen dos descuentos sucesivos de 10% y 20%. 7. ¿Cuánto se paga por la mercancía? 8. ¿Cuál es el porcentaje de descuento total? (Ar,RP) (1,1) (1.5,1) Escribe el número que en el denominador hace que cada proposición sea verdadera. 3 25 5 ⋅ = 9 3 1 9 4 10. + = 12 5

9.

(Ar,CP) (1,0) (1.3,0) 11. Se tiene una habitación de 4.50 metros por 6 metros y se cuenta con losetas cuadradas de 30 centímetros por 30 centímetros. ¿Cuántas losetas se requieren para cubrir la totalidad de la habitación? (Ge, RP) (3,1) (3.4,1) Encuentra el área de cada uno de los rectángulos siguientes.

12.

13.

Área=_____________

Área=_____________

(Ge, CP) (3,0) (3.4,0)

14. Si AB y CD son paralelas y el ángulo x mide 45° Encuentra la medida de y. ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

Hoja 170

(Ge, CP) (3,0) (3.1,0) 15. Las diagonales de un rombo miden 18 y 24 ¿cuánto mide cada lado del rombo? (Ge, CP) (3,0) (3.2,0) 16. El perímetro del cuadrado de la figura es de 8 metros, determina el área de la región sombreada.

(Ge, CP) (3,0) (3.6,0) 17. La suma de las soluciones de las ecuaciones 3x-13=8x+2, 2z+11=1 es: (Al, CP) (2,0) (2.2,0) 18. El costo de x+3 cuadernos es 75 pesos, ¿cuánto cuesta cada cuaderno? (Al, CP) (2,0) (2.1,0) Una persona pasa frente al televisor cuatro horas diarias. 19. En un año pasará __________ horas frente al televisor. 20. En un t años pasará __________ horas frente al televisor. (Al, CP) (2,0) (2.1,0) La fórmula para convertir grados Celsius (°C) a grados Fahrenheit (°F) es: 9 ° F = °C + 32 5 21. ¿Qué cantidad de grados Celsius corresponde a 70°F? (Al, CP) (2,0) (2.1,0) ‘Geometría y Trigonometría’ Libro para el Profesor

Hoja 171

22. Un cuaderno cuesta $28 más que un lápiz y cinco lápices y dos cuadernos cuestan $91. ¿Cuánto cuesta cada artículo? (Al, RP) (2,1) (2.2,1) 23. Traza la gráfica de y=2x-3 4

y

2

x -4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-2

-4

-6

-8

-10

(Al, CP) (2,0) (2.3,0) 24. Obtén la expresión algebraica de la función que tiene la siguiente gráfica: 5 4 3 2 1

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-1 -2 -3 -4 -5

(Al, CP) (2,0) (2.3,0) Como complemento al examen de antecedentes anterior se pueden incluir algunas preguntas sobre números relativos.


Hoja 172

Nombre:

Grupo:

Fecha:

El propietario de un departamento incrementa la renta a su inquilino 20% un año y 15% el año siguiente. El incremento porcentual total en los dos años fue:

Un país vive una crisis económica. Sus tasas de inflación trimestrales fueron de 54%, 38%, 27% y 41%. La tasa de inflación de este año fue:

El 71% de la superficie de la Tierra está cubierta por agua y el resto es tierra firme. De la tierra firme, el 40% es desierto o está cubierto de hielo, 33% son pantanos, bosques y montañas y el 27% es tierra cultivable. El porcentaje de la superficie total cultivable de la Tierra es:

El 8% de los habitantes de una ciudad fueron afectados por una cruel epidemia. De los afectados el 4% falleció a causa de la enfermedad. El porcentaje de habitantes de la ciudad que falleció fue:

En una tienda de computadoras ofrecen un 15% de descuento en cualquier modelo. Pero las computadoras tienen un 15% de IVA. ¿Qué porcentaje del precio nominal debe desembolsar un cliente en esta tienda por una computadora? Calificación:


Hoja 173

7 . Bibliografía Los materiales que se utilizaron en la elaboración de este trabajo son:

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Hoja 176

Geometria y Trigonometria Libro Para El Profesor

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