UNIVERSI UNIV ERSIDAD DAD AUTONOM AUTONOMA A DEL ESTADO ESTADO DE MORELOS SISTEMA DE EDUCACION ABIERTA Y A DISTANCIA MATEMATICAS III
TRIGONOMETRIA ING PEDRO NAPOLEON GUERRERO ARIZMENDI
Medi Medida da angu angular lar
Tri rigo gono nome metr tría ía de ángu ángulos los re rect ctos os
Func Fu ncion iones es tri trigon gonom omét étric ricas as de án ángu gulo lo
Leyy de se Le seno noss
Leyy de co Le cose seno noss
Medi Medida da angu angular lar
Tri rigo gono nome metr tría ía de ángu ángulos los re rect ctos os
Func Fu ncion iones es tri trigon gonom omét étric ricas as de án ángu gulo lo
Leyy de se Le seno noss
Leyy de co Le cose seno noss
Las funciones trigonométricas se pueden dividir en dos maneras distintas pero equivalentes; como funciones de números reales o como funciones de ángulos.
Un ángulo de medida 1 se forma al rotar el lado inicial 1/360 de una revolución completa. En cálculo y otras ramas de la matemáticas, se usa un modo la m me edida en más natural de medir ángulos, la radianes. La cantidad que se abre un ángulo se mide a largo del arco de un círculo de radio 1 con su centro tro en el vér vértice del del ángul ulo o.
R2 B Lado terminal
A O
O
R1
Lado inicial
R1 A
Lado inicial ángulo positivo
B
Lado terminal ángulo negativo
R2
La medida de un ángulo es la cantidad de rotación respecto al vértice requerido para mover R1 sobre R2 . Esto es cuando se abre el ángulo.
Si un círculo de radio 1 se traza con el vértice de un ángulo en un centro, entonces la medida de este ángulo en radianes (rad) es la longitud del arco que subtiende el ángulo.
θ
1
Medida de θ en radianes
La circunferencia de radio 1 es 2 π y, por lo tanto, una revolución completa tiene 2π rad, un ángulo llano tiene medida de π rad y un ángulo recto tiene medida de π/2 rad. /2 rad
π π
1 rad
o
1
o
rad
1
o
1 Puesto que una revolución completa medida en grados es 360 0 y medida en radianes 2 π , se obtiene la siguiente relación entre dos métodos de medición de ángulo.
o
1
1 1
2 rad
180 rad
180 1 rad
a) Para convertir grados a radianes, multiplique por
1 o
180
rad
180 180
b) Para convertir radianes a grados, multiplique por
Medida θ = 1 rad ≈ 57.296o θ
1
1
Para tener cierta idea del tamaño de un radian, vea: 1 rad ≈ 57.296o
y
1o ≈ 0.01745 rad
a)
Exprese 60o en radianes 60 o 60 rad rad 3 180
b)
Exprese π/6 rad en grados
Cuando no hay mayor información, se supone que el ángulo se mide en radianes.
180 o rad 30 6 6
Pág. 474; Ejercicios para realizar en el salón. Valor 10pts. 2, 8, 12, 16, 20
De grados a radines: (2, 8, 12)
3 0.942 rad 2) 54 54 rad 10 180 0
rad 22 rad 69 .115 rad 180
8) 3960 0 3960
202 .5 9 12 ) 202.5 202 .5 rad 3.534 rad rad 180 8 180 0
De radianes a grados: (16, 20)
16) -
3π 2
-
3π 180 2
20) 3.40 3.4
π
180
2700
612
194.80
Un ángulo está en posición estándar si se dibuja en el plano xy con su vertice en el origen y su lado inicial en el eje x positivo. Ejemplo en posición estándar:
y
c) a)
y
y
O
b)
x
O
O
x
x y
d)
Dos ángulos son coterminales si coinciden sus lados. En las figuras anteriores a) y c) son coterminales.
O
x
Encuentre ángulos que son coterminales con el ángulo θ = 30o en posición estándar.
Encuentre ángulos que son coterminales con el ángulo θ = π/3 en posición estándar.
a)
Encuentre ángulos que son coterminales con el ángulo θ = 30o en posición estándar. 30o y 30o + 360o = 390o y
y
30o O
390o O
x
x
Para hallar ángulos negativos que son coterminales, se resta cualquier multiplo de 360o. 30o – 360 = -330 30o – 720o = -690o y
y
- 330o - 690o O
x
O
x
b)
Para hallar ángulos positivos que son coterminales con θ, se suma cualquier múltiplo de 2π. Por lo tanto:
3
2
7
3
3
4
13 3
Para hallar ángulos negativos que son coterminales, se resta cualquier m ultiplo de 2π.
3
2
5
3
3
4
11 3 Veamos en forma de gráfica
En forma de gráfica: y
3 y
O
O
x
7
x
5 y 3
3 O
x
Encuentre un ángulo con medida entre 0 o y 360o que coterminal con el ángulo de medida 1290o en posición estándar. Solución: Se puede restar 360 cuantas veces desees, el ángulo que resulte, será el coterminal con 1290.
3 360 1290
y
210o
1080 210
Por lo tanto, 210o es el ángulo deseado.
O
x
Un ángulo cuya medida en radianes es θ está subtendido por un arco que es la fracción θ/(2π) de la circunferencia de un círculo. Así un círculo de radio r, la longitud s de un arco que subtiende el ángulo θ es;
s
s
2
2
circunfere ncia (2 r ) r θ
r s r
s
En un círculo de radio r, la longitud s de un arco que subtiende un ángulo central de θ radianes es;
s r
Cuando despejas importante;
θ,
se obtiene la fórmula
θ
1 rad
r
r
s
r
r
Esta formula permite definir la medida en radianes por medio de un círculo de cualquier r . La medida en radianes de un ángulo θ es s/r , donde s es la longitud del arco circular que subtiene θ en un círculo de radio r .
2 rad θ
r
Encuentre la longitud de un arco de un círculo con radio 10m que subtiende un ábgulo central de 300. Un ángulo central θ es un círculo de radio 4m es subtendido por un arco de longitud 6m.
a) Ya sabemos que: 300
longitud d e un arco
b) Por la fórmula:
s r
s r
6
s r
(10)
6
5 3
m
se tiene lo siguiente:
longitud d el arco
c) Ejercicios pág. 475, 49 - 58
radio
6 4
3 2
rad
Area de un círculo; A π r 2 Un sector de este círculo con ángulo central
A
θ
r
A
A
θ
2
2 1 2
tiene un área que es la fracción:
área del círculo
π r 2
r 2θ
Ejercicios pág. 475; 59 - 66
Ejercicio 59; pág. 475
80o A 8
A
1
A
1
2
2
r 2θ
(64)(80o ) cambia grados a radianes
32 80 180 4 32 9 4 128 32 1.70 pies 9 9
Un niño hace girar una piedra en una honda de 3 pies de largo a una velocidad de 15 revoluciones cada 10 segundos. Encuentre las velocidades angular y lineal de la piedra. Solución; En 10s, el ángulo
θ
cambia en 15 (2 π) = 30π radianes:
Velocidad angular : w w
t
t
ángulo tiempo
30 rad 10 s
3 9.42 rad / s
Solución; La distancia recorrida por la piedra en 10s es s = 15 (2πr) = 15 (2π) (3) = 90π pies. La velocidad lineal es:
Velocidad lineal : v
s t
distancia recorrida
90 π pies
tiempo
10 s
9π 28.27pies/s Ejercicios pág. 476; 67 – 84: Asign: 68, 70, 72, 74, 76
15 (2 ) 3 pies 10 s
Ejercicio 67: Pág. 476 Distancia recorrida Las ruedas de un automovil miden 28 pulgadas de diámetro. ¿Qué tan lejos viajará el automovil (en millas) si sus ruedas giran 10 000 veces sin deslizamiento? Velocidad lineal : v
s t
distancia recorrida tiempo
10000 (28 ) 10000 (28 )
1 pies
1 millas
12 pul 5280 pies 1 millas 12 (5280)pulg
millas
28000
879645.943 millas
63360 pulg
63360 pulg
13 .88 millas
3 2 θ 5
Encuentra las seis relaciones trigonométricas: sen
cateto opuesto
cos
tan
hipotenusa
3
cateto adyacente hipotenusa cateto opuesto cateto adyacente
csc
2
5 3
2 5
hipotenusa cateto opuesto
sec
3 2
hipotenusa cateto adyacente
cateto adyacente cot θ cateto opuesto
3
5 5 2
Si cos
3 4
, halla otras cinco relaciones trigonométricas. 4
cos
adyacente
7
hipotenusa θ
3 Hay que hallar el lado que falta: se conoce como opuesto. Se utiliza el Teorema de Pitágoras. El lado que falta es: 7 sen sen csc
7
c os
4 4 7
sec
3
tan
4
4 3
cot θ
7 3 3 7
Cier Cierto tos s triá triáng ngu ulos los rect ectáng ángular ulares es tien tiene en rela elacion cione es que que se puede ueden n calc calcul ular ar fáci fácilm lmen ente te a part partir ir del del teor teorem ema a de Pitá Pitágo gorras. as. Ej. 1: Se dibuja un triángulo de lado 1, y se obtiene la hipotenusa.
Ej. 2: Se dibuja un triángulo equilátero de lado 2. B
2
45o
1
30o
2
45o
3
1 60o
A 1 Ejercicios pág. 484; 484; 1-5; Resolver Resolver en el salón
C
Θ en
Θ en
grados
radianes
senΘ
1
30
6
45
4
60
3
cos Θ
3
2
2
2
2
2 3 2
tan Θ
csc Θ
2
3
1
2
2
2
3
cot Θ
2 3
3
1
sec Θ
2 3
3
3
1
2
3
2
3
3
Hay que recordar estas relaciones trigonométricas especiales porque se presentan con frecuencia En la calculadora solo se proporcionan seno, coseno y tangente las otras relaciones se pueden calcular de este modo, llamadas relaciones recíprocas:
csct
1 sent
sec t
1 cost
cot t
1 tan t
Pág. 40
41
Colocar la calculadora en modo de grados y escribir los resultados hasta cinco valores decimales:
Halla: o sen 17 0.29237
sec 88 o
1
28.65371 cos 88
Colocar la calculadora en modo de radianes y escribir los resultados hasta cinco valores decimales: Halla:
cos1.2 0.36236 cot 1.54
1
0.03081 t an 1.54
Resuelve el triángulo ABC:
Solución:
B
a) Recuerda colocar calculadora en grados: El ángulo B = 60o .
12
a 30o
Para hallar a: A 30o = a/12
a 12 sen 30o
1 12 6 2
b
C
30o = b/12
b 12 cos 30o
3 6 3 b 12 2
La capacidad para resolver triángulos rectángulos es fundamental en muchos problemas de navegación, levantamiento de planos, astronomía y medición de distancias. Veamos
Hallar la altura de un árbol
Un árbol proyecta una sombra de 532 pies de largo. Encuentre la altura del árbol si el ángulo de elevación del Sol es 25.7 o. Solución:
opuesto adyacente h
25.7o 532 pies
tan
tan 25.7 o
h 532
h 532 tan 25.7o h 532(0.48127)
h 256 pies
Una escalera de 40 pies está apoyada de un edificio. Si la base de la escalera está separada 6 pies de la base del edificio, ¿cuál es su altura? Solución: Si θ es el ángulo entre la escalera y el edificio, entonces:
sen
6 40
40 pies
0.15
Para hallar el ángulo se usa una calculador a, en modo de grados, usando la tecla sen-1. 8.6
0
6 pies
Halla la altura de la Bandera opuesto adyacente h k h
tan
tan 240
500 h 500 tan 240 h 500 0.4452 223 pies Altura del Edificio 223 pies
k 27
tan 270
500 k 500 tan 270
24 500 pies
k 500 0.5095 255 pies Altura hasta la parte superior del asta
La altura de la bandera es : 255 - 233 32 pies
Ejercicios pág. 484 – 487; Ejercicios para entregar: 46, 48, 50, 52, 54
(20 pts)
Para el salón 1, 23, 26 Encuentre los valores exactos de las seis relaciones trigonométricas del ángulo θ en el triángulo.
1)
5
Evalua la expresión sin usar calculadora
23) sen
θ
sen
3
1
4
sen hipotenusa
2 4 5
csc
hipotenusa opuesto
cos hipotenusa 5
sec
hipotenusa adyacente
53
cot
adyacente opuesto
opuesto
adyacente
tan
opuesto adyacente
3
4 3
5 4
3 4
6
cos
6 3 2
6
12
cos
6
3 2
1 3 2
26 ) sen 60 0 cos 60 0 2
3 1 2 2 2
1
Círculo unitario
Ejercicios para entregar: 46, 48, 50, 52, 54
Ejercicios para entregar. Aclaración de DUDAS: ▪ ▪ ▪ ▪ ▪
46 48 50 52 54
(20 pts)
46) Un avión está volando dentro de la vista del Gateway Arch en San Luis, Missouri, a una altura de 35000 pies. Al piloto le gustaría estimar su distancia desde el Gateway Arch. Encuentra que el ángulo de depresión restecto a un punto sobre el suelo debajo del arco es 22 grados. a) ¿Cuál es la distancia entre el avión y el arco?
x 22
0
sen
r
35 000
h
opuesto
y
hipotenusa
r
35000 93431.38 pies 35000 0 r sen22 0 sen 22 r
b) ¿Cuál es la distancia entre el punto sobre el
x
suelo directamente abajo del avión y el arco? tan
opuesto
y
adyacente x
0 tan 22
35000 x
x
35000 0
tan 22
86 628 pies
48) Distancia del mar Desde la parte superior de un faro de 200 pies, el ángulo de depresión respecto a un barco en el océano es de 23 grados. ¿Qué tan lejos está el barco desde la base del faro?
tan
opuesto
y
adyacente x
tan 23 0
x
x
23
r
200
y = 200
x x
200
471.17 pies
0
tan 23
h
50) Escalera apoyada Una escalera de 20 pies se apoya sobre un edificio. Si la base de la escalera está a 6 pies de la base del edificio. ¿cuál es el ángulo de elevación de la escalera? ¿Qué altura tiene el edificio? a) ¿cuál es el ángulo de elevación de la escalera?
cos cos
adyacente hipotenusa 6 20
0.3
x r 1
cos
0 .3 1.266 rad. 72.50 20 pies
b) ¿Qué altura tiene el edificio?
h2 c2 a2 2 2 2 h 20 6
h 2 400 36
h
400 36
h 364 19.07 pies
6 pies
52) Altura de una torre Un cable de sujeción de 600 pies se une a la parte superior de una torre de comunicaciones. Si el alambre forma un ángulo de 65 grados con el suelo. ¿Cuál es la altura de la torre de comunicaciones?
sen
sen650 600 pies
opuesto
hipotenusa
h 600
h 600 sen650 h 543.78 pies 60
0
h r
54) Cálculo de una distancia Una mujer parada sobre un colina ve un asta de bandera que sabe tiene 60 pies de altura. El ángulo de depresión respecto de la parte inferior del asta es 14 grados y el ángulo de elevación de la parte superior del asta es 18 grados. Encuentre la distancia x desde el asta.
tan
h1
opuesto
0 0
h1 h2 60
x tan18 x tan14 60 0
0
x tan 18 0 tan 14 0 60
x0.3249 0.2493 60
x
h2
0.5742 x 60 x
60
h
adyacente x
18
14
104.5 pies 0.5742
En la sección se amplían las relaciones trigonométricas a todos los ángulos definiendo las funciones trigonométricas de ángulos. Con estas funciones se pueden resolver problemas prácticos en los que los ángulos NO necesariamente son agudos. P
Hipotenusa
y Cateto Opuesto
P(x, y)
r y
Q
θ O
θ Cateto Adyacente
O
x
Sea θ un ángulo en posición estándar y sea P(x, y) un punto sobre el lado terminal. Si r x 2 y 2 es la distancia del origen al P(x, y), entonces; y
sen
y
cos
x
tan θ
y
csc θ
r
r y
(y 0 )
P ( x, y) r
O
x
sec θ
r
x
(x 0 )
r x
cot θ
x y
(x 0 )
(y 0 )
Para ángulos que NO son agudos / Práctica pág. 495, Ejercicios 12, 16 y 26
a) cos 135
y
3
4
4 ( x, y)
( x, y )
135
r
y
b) tan 390 5
( x, y ) 150
r
6
6
45
-x
( x, y ) 30
-x
x
O
x
O
Solución:
180
0 cos135 135
0
tan 390 0
3 4
3 4
4 4
13
cos135
2
14
2
180
6 6
0
4
0
390
13 6
tan 390 30 0
6
0
3 3
Práctica pág. 496, Ejercicios 12, 16, 26 (Punto de cotejo)
Encuentre el valor exacto de la función trigonométrica
180
12 ) cos 60 0 60
3
cos60 0
1 2
7 cot 300 1 16 ) cot 210 210 0 tan 30 6 180 0
26)
tan 5 6
4 6
5 6
tan
6
1 3
3
3 3
29
Angulo de referencia Sea θ un ángulo de referencia en posición estándar. El ángulo de referencia relacionado con θ es el ángulo formado por el lado terminal de θ y el eje x .
y
y
O
x
y
O
y
x
O
x
O
x
ES UTIL CONOCER EL CUADRANTE DE REFERENCIA EN QUE SE LOCALIZA EL LADO TERMINAL DEL ANGULO.
Encuentre el ángulo de referencia para
El ángulo de referencia es el ángulo 5 agudo formado por el lado terminal de a)
3
5
5 3
3
2
y
5
3
x
O
3
Los ángulos 870 y 150 son coterminales [porque 870 – 2(360) = 150]. Por lo tanto, el lado terminal de este ángulo en el cuadrante II. b) 870 0
y
180 150
300
870
O
x
Práctica pág. 495, Ejercicios 1, 6 y 8.
Halla el ángulo de referencia para:
1 a . ) 150 0 180 150
1.c) - 30
30 0 1.b) 330 360 330 30
0
30 30
Halla el ángulo de referencia para el ángulo dado:
6.a) 6.b)
4 3 33
6.c) -
4 3 3
33 32
6
24 23 6
8.a) 2.3 2.3 2 0.3
3
4
4 23
8.b) 2.3 2.3 0.84
4
6
8.c) 10 10 10 0
y
Encuentre: a) sen 240 240
b) cot 495
O
x
Solución Este ángulo tiene su lado terminal en el cuadrante III, como vemos en la figura.
sen 2400 2400 1800 Por lo tanto: 0 sen 2400 sen 60
SIGNO
60
0
3 2
ANGULO DE REFERENCIA
SOLUCION
Encuentre: a) sen 240
y
b) cot 495
495
O
x
Solución El ángulo 495 es coterminal con el ángulo 135 y el lado terminal de este ángulo está en el cuadrante II.
cot 4950 cot1350 cot 450 1
Angulos Coterminales
Signo
Angulo de Referencia
Encuentre: a) sen
16π 3
a) El ángulo 16π/3 es coterminal con 4π/3 y estos ángulos están en el cuadrante III. 4 3 sen
y
3 4
16π 3
sen
4π
Angulos Coterminales
3
sen
π
3
Signo
3
3
2
Angulo de Referencia
O
x
Encuentre: b)
sec
4
π
El ángulo –π/4 está en el cuadrante IV y su ángulo de referencia es secante en este cuadrante es positiva. y π sec 4 4
sec
π/4.
La
2 2
O
Signo
Angulo de Referencia
4
x
Iden tid ad es r ecíp ro cas
csc
1
sec
sen
1
cot
cos
1 tan y
tan
sen cos
cot
r
cos sen
2
2
1
y
x
O
Identidades pitagóricas
sen cos
( x, y)
tan
2
1 sec 2
1 cos
2
csc 2
Ejercicios página 496, 37 – 42
a) Exprese sen θ en términos de cos θ Solución: A partir de la primera identidad pitágorica se obtiene:
sen 1 cos2 donde el signo depende del cuadrante. En este caso θ está en el cuadrante III o IV, sen
θ
es negativo.
sen 1 cos2 En estos cuadrantes, III o IV los senos son negativos.
Ejercicios página 496, 37 – 42; Punto de cotejo; Ejercicio 38
b) Exprese tan
θ
en términos de sen θ, donde θ está en cuadrante II.
Solución: Como tan θ = sen θ/cos θ, se necesita escribir cos
θ
en términos de sen θ.
cos 1 sen2 donde el signo depende del cuadrante. En este caso θ está en el cuadrante II, sen tan
sen cos
sen
1 sen2
θ
es negativo.
Ejercicios práctica 496 – 498
38) cot , sen ; en el cuadranteII cot
cos
Definición de cotangente
sen
Identidad pitágorica
sen2 cos2 1
Despejar para coseno
cos2 1 sen 2
cos2 1 sen2 cot
cos sen
1 sen
cot
2
1 sen2 sen
Aplicación; en el cuadrante II, la cotangentes es negativa. Solución
Las funciones trigonométricas se pueden usar tambien para resolver triángulos oblicuos, esto significa que son triángulos sin ángulos rectos. Para resolver este tipo de problemas se estudia la ley de los senos y los cosenos mas adelante. Se recomienda al momento de resolver uno de estos problemas, que se haga un bosquejo, para conocer si tenemos información suficiente. C b
a
A
B c
Un triángulo está determinado por tres de sus seis partes. Veamos: 1. Un lado y sus dos ángulos (LAA) 2. Dos lados y el ángulo opuesto a uno de esos lados (LLA) 3. Dos lados y el ángulo incluido (LAL) 4. Tres lados (LLL)
Ley de los senos En el triángulo ABC se tiene;
A b
senA senB a
b
c
senC c
h = b sen c
B
C a
Ej. 1: Rastreo de un satélite Un satélite que orbita la Tierra pasa directamente arriba de las estaciones de observación en Phoenix y Los Angeles, apartadas a 340 millas. En un instante cuando el satélite está entre estas dos estaciones, su ángulo de elevación es observado de manera simultánea como 60 grados en Phoenix y 75 grados en Los Angeles. ¿Qué tan lejos está el satelite de Los Angeles? En otras palabras encuentre la distancia entre AC.
Paso 1 sujerido: Hacer un bosquejo
C
Solución Siempre que se conozcan dos ángulos de un triángulo, podemos conocer el otro. Por el teorema de ángulos internos.
Satélite
El tercer ángulo mide: 45 grados a
b
senB senC
b sen60
A
75
Los Angeles
60 340 millas
B Phoenix
b
sen45 340
bsen450 340sen600 b
Punto de cotejo: Ej. 34
c
340 sen60 sen45
0
0
416 millas
Utiliza la ley de los senos para hallar el lado indicado por x o el ángulo θ. C
Para hallar b: 500
185
88.8
senB
0
102
28
A
b
0
x 144 .9
B
Primero: C 1800 1020 280 500
senC senA c
c c
a a senC
senA
b b
a a senB senA 185 sen28 sen102
b 88.8
senA 185 sen50 sen102
0
0
144.9
0
0
65 a .1
B
25
C
Segundo hallamos lado b:
c = 80.4
senB
b .5 134
b
20
A
senC
b Primero hallamos
a
senA senC a
a a
c c senA senC 80.4 sen20 sen25
0
0
65.1
c c senB senC 80.4 sen135 sen25
0
0
134.5
34) Distancia a través de un lago Los puntos A y B están separados por un lago. Para hallar la distancia entre ellos, un topógrafo localiza un punto C sobre el suelo t al que
A
senA senB
48.6
c
b = 312 pies
26.4
105
a = 527 pies
B
a b senA sen ABC senB b a 312 sen 48.6 0.444088527 sen ABC senB 527
B sen 1 0.444088527
C
B 26.40 senA senC a
c
c a senC
527 sen105 0
senA
sen48 .6
678.6 pies
entre AC 678.6 pies Distancia
Considera el siguiente triángulo con sus lados a, b y A. (h = b sen A) Condiciones necesarias: C
C
C
C
a b
b h
b
h a
b
a h
A
A
A es agudo a h Ninguno
A
B
A es agudo hab
Uno
Uno
Dos
a
b
Ninguno
B
A es agudo a b
b
A es obtuso a b
A
h
A es agudo a h
a
A
a a
A
A es obtuso a b Uno
A = 22 pulg. B
Halla los lados y los ángulos que faltan: Para hallar
C
senB
b = 12 pulg.
b c
senA a
senA senB b a
42
sen42 22
A
senB 12 Para hallar el ángulo C:
C 180 42 21.41 C 116.59
0
B 21.410
Para hallar los lados que faltan:
senC senA c
c
a asenC senA
22 sen116.9 sen 42
29.40 pu lg .
senB a = 15
senA a
senA senB b a
b = 25 h 85 A
b
sen85 15
senB 25
B 1.6600 1
Este es un caso contradictorio ya que senB 1. Entonces no es un triángulo.
senB b
Para B1 64 .80
senA a
c
senA senB b a
a senC senA 12 sen94.7
c
sen20 .5 12
sen20.5
senB 31
B 64.8
Para B2 115 .20
B1 64 .8
C 180 20.5 64.8 94.7 B2 180 64 .8 115 .2
c 34.15
Si se restan estos valores a 180 = 0 grados.
C 180 20.5 115.2 44.3
c
a senC
c
senA 12 sen44.3 sen20.5
c 23.93
C b = 31 m
20.5
A
C = 34.15 m
94.7 a = 12 m
C
64.8 44.3
B1 b = 31 m
a = 12 m 115.2 20.5
A
C = 23.93 m
B1
Trabajo para realizar en grupos (no más de tres personas, valor 30 pts)
Página 496
61, 64, 66
Página 507
32, 36, 38 Estos problemas se discutirán en clases
61) Altura de un cohete La trayectoria de un cohete en posición recta es seguida por un observador sobre el suelo a milla de distancia. a) Muestre que cuando el ángulo de elevación es
θ,
la altura del cohete en pies h = 5280 tan
b) Complete la tabla para encontrar la altura del cohete a los ángulos de elevación dados.
θ
20
60
80
85
h
1922
9145
29944
60350
tan
op hip
h 1 milla
5280 tan pies
h 5280 tan pies h
h 5280 tan(___ 0 ) pies
h ______ pies
θ 1 milla
θ.
64) Resistencia de una viga La resistencia de una viga es prporcinal al ancho y al cuadrado de la profundidad. Se corta un viga de un tronco. Exprese la resistencia de la viga como una función del ángulo
θ.
ancho
20 cm 20 cm profundidad
θ θ
fuerza k (ancho)( profundidad ) 2
profundidad ancho
opuesto hipotenusa adyacente hipotenusa
sen 20 sen
fuerza k (20 cos )(20 sen ) 2 fuerza k (20 )(20 ) 2 cos sen
cos 20 cos
fuerza 8000k cos sen
66) Transporte en trineo El tiempo en segundos que tarda un trineo en bajar una colina en un ángulo
t
θ
es:
d 16 sen θ
donde d es la longitud de la pendiente en pies. Encuentra el tiempo que tarda en bajar una pendiente de
2000 pies inclinada a 30 grados. Sustitución:
2000
θ
t
d 16 sen θ
2000 16 sen θ
t
2000
t
250
8
t 5 10 15.8 seg
32) Vuelo de un avión Un piloto vuela sobre una carretera recta. Determina los ángulos de depresión hasta dos postes de millage apartados a 5 millas, ángulos de 32 grados y 48 grados.
a)
Encuentra la distancia del avión al punto B: D 0
3.77millas
senD 0
32
48
d
0
100
2.69millas
h 2 millas
320
48
A
senC senA c
a a senC
AD c
senA
senA
a
a
0
0
0
3.77millas
hipot.
Halla la altura
sen
a
sen480
d senA senD 5 sen32
0
sen100 0
DC 2.69 millas
2.69 sen48 sen32
C
B d = 5 millas
b)
2
opuesto hipotenusa
h 2.69
h 2.69sen 480
h 1.99millas h 2 millas
0 3.77 millas sen 32
36) Antena de radio Una antena de radio de onda corta está apoyada por dos cables cuyos longitudes son 165 y 180 pies. Cada alambre está fijo a la parte superior de la antena y anclada al suelo en dos puntos de anclaje en lados
opuestos de la antena. El cable más corto forma un ángulo de 67 grados con el suelo. ¿Qué tan apartados están los puntos de anclaje? C
Para hallar la distancia desde AC = h:
Para hallar la distancia desde BA:
senB
AC 2 BA2 BC 2
h 165
67
B
h 151 h .9 pies
180
h h
0
64
A
D
senA a a senB
51 .92 BA2 165 2 2 BA 165 51 .9 2
senA 165 sen 67 sen 90
h 151.9 pies
0
BA2 27225 23073.61 BA2 4151.39 BA
4151 .39
BA 64
Buscar AD, próxima página
2
C
165
67
64
Para hallar la distancia desde AD:
2
AB AD BD
2
2
AD2 32400 23073.61 AD2 9326.39 AD 9626 .39
AD 96.6
D
2
AD 180 151 .9 2
96.6
2
AD DC AC 2
A 160.6
Para hallar la distancia desde BD:
AD AC DC 2
180
0
B
2
h 151 h .9 pies
64 96.6 BD 160.6 BD
38) Longitud de un cable de sujeción Una torre de comunicaciones se localiza en la cima de una colina. El ángulo de inclinación de la colina es 58 grados. Se fijará un cable de sujeción a la parte superior de la torre y al suelo, 100 millas de colina abajo
de la torre. El ángulo α, se determina como12 grados. Encuentre la longitud del cable requerido.
C 20
senB
0
b 61 pies
155 x pies pies
1480 100 pies
12
A
0
58
b
sec C c c senB
100 sen 148
senC
sen 20
0
0
154.9 pies 155 pies
b 155 pies
B 0
Encuentre la altura de la Torre:
senA a
a
sec B b b senA
senB
a 61 pies
155 sen 120 sen 148
0
61 pies 60.81 pies
La ley de los senos no se pueden usar de manera directa para resolver triángulos si se conocen dos lados y el ángulo entre ellos o si se conocen los tres lados. En estos dos casos, se aplica la l ey d e l o s c o s e n o s . Ley de los cosenos
C
En cualquier triángulo ABC se tiene; b
a
A
a 2 b 2 c 2 2bc cos A B
c
b 2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b 2 2ab cosC
La ley de los cosenos dice que el cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados, menos del doble producto de esos dos lados por el coseno del ángulo incluido. Si uno de los ángulos de un triángulo, por ejemplo
Se construirá un túnel por una montaña. Para estimar la longitud del túnel, un topógrafo hace las mediciones mostradas. Use los datos del topógrafo para aproximar la longitud del túnel. Para aproximar la longitud c del túnel, se usa la ley de los cosenos:
c 2 a 2 b 2 2ab cosC B
417 A
82.4
0
388 pies
212 pies
c 2 388 2 212 2 2388 212 cos 82 .40
c 2 173730.2367 c 173730 .2367
C
c 416.8 El túnel medirá alrededor de 417 pies de largo.
C
1)
C
2)
x
21
x
B
15 39
A
B
42
7)
C
24 30
x A
30
B
18
A
Los lados de un triángulo son a = 5, b = 8 y c = 12. Encuentre los ángulos del triángulo.
C b=8
Se encuentra el
18
c = 12
El uso decalculador a: 1
B
cos A
c os
ó inv
c os
ó arc
c os
b c a 2
0
A
a 2 b 2 c 2 2bc cos A 2
2
2bc
82 122 52 2812 183 192
1 cos A 0.953125 / cos 0.953125
A 180 continúa...
Los lados de un triángulo son a = 5, b = 8 y c = 12. Encuentre los ángulos del triángulo. C 0
133
b=8
180
a b c 2
a=5
2
cos B
0
B
c = 12
2
2ab
a c b 2
29
A
cos C
De la misma forma los demás;
2
2
2ac
52 122 82 2512 105 120
0 0.875 / cos1 0.875 B 29
52 82 122 258
55 80
1 0.6875 / cos 0.6875
C 1330
A 180 B 290 C 133 1800
C
b= 10.5
Se puede hallar a por la ley de los cosenos
98.2
13 a =.2
0
350
0
46.5 A
a 2 b 2 c 2 2bc cos A a 2 (10 .5) 2 (18 ) 2 2(10 .5)(18 ) cos 46 .50 B
c = 18
a 2 174.05 a 174 .05 a 13.2
Se puede hallar
cos B
2 2 2 a c b
2ac
13.22 182 10.52 387.99 0.816477 213.218 475.20
0 cos1 0.816477 B 35
cos C
a2 b2 c2 2ab
13.22 10.52 182 39.51 0.1425324 213.210.5 277.20
46.50 350 98.20 1800
cos1 0.1425324 C 98.20
Se podría haber usado la ley de los senos en el ejemplo anterior para hallar el
– θ
tienen el mismo seno. Hay cierta ambiguedad, por lo tanto se
usa la ley de los cosenos, ya que esta ley no representa esta ambiguedad.
Todo ángulo entre θ y 180 tienen un coseno único. Por lo tanto, la ley de los cosenos es útil para los ejemplo como el anterior.
Dato biográfico: Se conocía como Herón el viejo de Alejandría. Fue un ingeniero griego, que destacó en Alejandría en la provincia de romana de Egipto. Después de que desapareció el Imperio Alejandrino y con él la ciencia griega, todavía existieron algunos destellos de genialidad. Uno de estos genios fue Herón, que desplegó una actitud casi moderna
para la mecánica.
Fórmula de Herón El área A de un triángulo ABC está dada por:
s s a s b s c donde s 1 a b c es el semiperímetro del triángulo; es 2
decir s es la mitad del perímetro.
