1
DERET FOURIER DAN TRANFORMASI
1. PENDAHULUAN
Masalah yang melibatkan getaran atau osilasi sering terjadi dalam fisika dan teknik. Seperti yang telah diketahui contoh – contoh contoh getaran dan osilasi tersebut, diantaranya : Garpu tala yang bergetar, sebuah pendulum, beban yang digantungkan pada pegas, gelombang air, gelombang suara, arus listrik bolak balik (AC), dan lain sebagainya. Selain itu, ada banyak lagi contoh yang yang bisa bisa kita temui
ketika mempelajari mempelajari ilmu ilmu fisika,
diantaranya : Konduksi panas, medan listrik dan medan magnet, cahaya. Namun contoh diatas getaran dan osilasi bukanlah konsep dasar yang mendasari mereka, tetapi dalam pengerjaannya melibatkan persamaan sinus dan cosinus yang digunakan dalam menggambarkan gerak harmonik sederhana dan gerakan gelombang. Dalam Bab 1 telah membahas mengenai penggunaan deret untuk memperkirakan fungsi – fungsi yang rumit. Dalam beberapa masalah, deret disebut juga deret fourier, yang memiliki istilah sinus dan cosinus yang lebih sering digunakan daripada deret pangkat. Dalam bab ini kita akan melihat bagaimana menemukan dan menggunakan deret fourier. Kemudian di bab 13 ( Bagian 2 dan 4), kita akan mempertimbangkan beberapa masalah fisika yang yang berusaha dipecahkan Fourier ketika telah ditemukan deret Fourier. Dikarenakan sinus dan cosinus adalah fungsi periodik, deret fourier hanya dapat mewakili fungsi periodik. Kita akan melihat pada bagian 12 bagaimana merepresentasikan fungsi non periodik oleh integral fourier (Transformasi Fourier).
2
2. GERAK
HARMONIK
SEDERHANA
DAN
GELOMBANG
BERGERAK : FUNGSI PERIODIK
Dalam masalah ini akan dibutuhkan banyak notasi dan terminologi yang digunakan dalam membahas gerak harmonik sederhana dan gerakan gelombang. Dalam Dalam materi ini akan dibahas dibahas 2 topik ini secara singkat.
Sebuah partikel P (Gambar 2.1) bergerak dengan kecepatan konstan disekitar lingkaran yang berjari – jari A. Saat yang sama ada partikel Q bergerak naik turun sepanjang garis gar is lurus RS pada lintasannya, sehingga koordinat
dari P dan Q selalu sama. Jika ω adalah kecepatan kecepat an
sudut P dalam radian per sekon dan (gambar
2.1) θ = 0 ketika t = 0
sampai dengan t.
θ = ωt
(2.1)
Koordinat y pada Q (merupakan koordinat yang sama dengan koordinat y pada P) dapat dituliskan :
(2.2)
Gerakan bolak balik Q disebut sebagai Gerakan Harmonik Sederhana. Dari definisi telah diketahui, sebuah objek dikatakan sebagai gerakan harmonik sederhana jika perpindahannya dari kesetimbangan dapat disebut sebagai
[atau
kedua fungsi ini berbeda dari
atau
. Tetapi
fungsi seperti itu dikatakan sebagai fungsi
3
fungsi sinusoidal]. Banyak contoh fisik yang daeri jenis getaran sederhana ini : Pendulum, Garpu Tala, Beban yang naik turun (berosilasi) pada ujung pegas. Koordinat x dan y dari partikel P pada (Gambar 2.1) adalah :
(2.3)
,
Jika menganggap P sebagai titik
dalam bidang kompleks, kita
dapat mengganti persamaan (2.3) dengan persamaan tunggal untuk menggambarkan gerakan P :
(2.4)
)
Seringkali bernilai ketika menggunakan menggunakan notasi yang kompleks ini bahkan untuk menggambarkan gerakan Q, tetapi posisi aktual Q sama dengan bagian imajiner dari z (atau dengan kondisi awal yang berbeda bagian sebenarnya dari z). Misalnya kecepatan Q adalah bagian imajiner dari :
(2.5)
( )
[Bagian imajiner dari persamaan persamaa n (2.5) adalah dy / dt dari persamaan (2.1)]
yang mana adalah
Gambar 2.2 Sumber : Mary, L. Boas
Hal ini berguna untuk menggambar grafik x dan y pada persamaan (2.2) dan (2.3) sebagai fungsi t. Gambar 2.2 merepresentasikan fungsi beberapa fungsi,
jika memilih pada asalnya dengan
4
benar. Angka A disebut d isebut sebagai amplitudo getaran atai amplitudo fungsi. Secara
fisik
ini
adalah
perpindahan
Q
maksimum
dari
posisi
kesetimbangannya. Periode gerakan harmonik sederhana atau periode fungsi adalah waktu untuk satu osilasi lengkap yaitu 2.2).
(Lihat gambar
Dapat dituliskan kecepatan pada Q dari persamaan (2.5) (2.5) sebagai :
(2.6)
Disini nilai B adalah nilai maksimum kecepatan dan disebut sebagai kecepatan amplitudo. Perhatikan bahwa kecepatan memiliki periode yang sama dengan perpindahan. Jika massa partikel Q adalah m, maka energi kinetiknya adalah :
(2.7)
Energi Kinetik =
Jika dipertimbangkan dengan sebuah osilator harminis yang ideal yang tidak kehilangan energi. Maka total energi (kinetik plus potensial (EK + 2
EP)) harus sama dengan nilai terbesar kinetik yaitu : ½ mB . Sehingga diperoleh :
(2.8)
Total Energi
Perhatikn
bahwa
energinya
sebanding
dengan
kuadrat
amplitudo
(kecepatan) : hasil ini akan digunakan ketika membahas tentang suara. Gelombang adalah contoh penting lain dari fenomena osilator. Ide matematika dari gerak gelombang dapat digunakan dalam banyak bidang, misalnya : ketika mendiskusikan tentang gelombang air, gelombang suara, dan gelombang radio. Contoh 1.
5
Pertimbangkan gelombang air dimana bentuk permukaan air (tidak ideal) dengan kurva sinus. Jika kita mengambil foto (pada saat t = 0) dari permukaan air, persamaan ini dapat ditulis ulang (relativ terhadap sumbu yang tepat) (2.9)
Dimana x mewakili jarak horizontal dan ƛ adalah jarak antara puncak gelombang. Biasanya ƛ disebut panjang gelombang, tetapi secara matematis itu sama dengan periode fungsi x ini. Sekarang kita mengambil foto lain ketika gelombang telah bergerak maju jarak vt (v adalah kecepatan gelombang dan t adalah waktu antara foto). Gambar 2.3 menunjukkan dua foto yang dilapiskan. Amati bahwa nilai y pada titik x pada grafik berlabel t, t , adalah sama dengan de ngan nilai y pada t itik ( x – vt vt ) pada grafik berlabel t = 0. Jika (2.9) adalah persamaan menghadirkan gelombang di t = 0, kemudian kemudian :
Gambar 2.3 Sumber : Mary, L. Boas
(2.10)
Mewakili gelombang pada waktu t . lalu menafsirkan (2.10) dengan cara lain, misalkan anda berdiri di satu titik di air [tetap x di (2.10)] dan mengamati gerakan naik turun air, yaitu y di (2.10) sebagai fungsi t (untuk x tetap). Ini adalah gerakan harmonik sederhana dari amplitudo A dan
periode ƛ / v. kemudian kemudian kamu melakukan sesuatu analogi analogi dengan ini ketika anda berdiri diam dan mendengarkan suara (gelombang suara melewati telinga anda dan anda mengamati frekuensi mereka) atau ketika
6
anda mendengarkan radio (gelombang radio melewati penerima dan bereaksi terhadap frekuensinya). Terlihat bahwa y di (2.10) adalah fungsi periodik dari x dengan (t tetap) : interpratasi tersebut cukup berguna. Nemun tidak ada perbedaan dalam matematika dasar, ketika kami menggunakan variabel bebas. Untuk menyederhanakan notasi, biasanya digunakan x sebagai variabel, tetapi jika masalah yang ada merupakan kasus fisis, dapat mengubah variabel x dengan t.
Gambar 2.4 Sumber : Mary, L.Boas
Sinus dan cosinus adalah fungdi periodik, setelah membuat grafik sin x dari x = 0 ke x = 2
2
kemudian grafik dari x =
hanyalah pengulangan berulang dari grafik 0 sampai 2 pada pada nilai
merupakan periode dari sin x. Fungsi periodik tidak perlu sinus atau
cosinus sederhana, tetapi bisa juga berupa grafik rumit yang berulang (gambar 2.4). interval pengulangan yang digunakan adalah periodenya.
Contoh 2.
Jika dideskripsikan getaran pada pendulum sekon, periode nya adalah 2 sekon ( waktu untuk satu osilasi maju dan mundur ). Kebalikan dari periode adalah ferkuensi, jumlah osilasi per sekon : untuk sebuah -1
pendulum sekon, frekuensinya adalah ½ sec . ketika penyiar radio
mengatakan, ―Beroperasi pada frekuensi 780 KiloHertz‖art inya 780.000 gelombang radio menjangkau anda dalam per sekonnya, atau periode satu gelombang (1 / 780.000) sekon. Menurut definisi, fungsi f(x) bersifat periodik jika f(x+p) = f(x) untuk setiap x , sedangkan p merupakan periode. Periode sin x adalah
sejak sin (x + 2 ) = sin x : sama dengan periode sin 2 x adalah 1 sejak sin
7
2
= sin (2
sejak sin (
sin
= sin 2
(x + 2 ) = sin (
dan periode dari sin (
secara secara umum periode
adalah T.
3. APLIKASI DARI DERET FOURIER
Kami telah mengatakan bahwa getaran garpu tala adalah contoh gerak harmonik sederhana. Ketika kita mendengar not musik yang dihasilkan, kita mengatakan bahwa ada gelombang suara melewati udara dari garpu tala ke telinga kita. Saat garpu tala itu bergetar mendorong terhadap molekul udara, menciptakan wilayah bergantian tinggi dan rendah
tekanan (Gambar 3.1). jika kita mengukur tekanan sebagai fungsi dari x dan t dari garpu tala kepada kita, kita menemukan bahwa tekanan adalah bentuk (2.10); jika kita mengukur di mana kita sebagai t sebagai sebaga i gelombang berlalu, kita menemukan bahwa tekanan adalah fungsi t periodik. gelombang bunyi adalah gelombang sinus murni dari frekuensi tertentu (dalam bahasa musik, nada murni). sekarang anggaplah bahwa beberapa nada murni terdengar bersamaan. dalam gelombang bunyi yang dihasilkan, tekanan tidak akan menjadi fungsi sinus tunggal tetapi jumlah dari beberapa fungsi sinus. jika Anda menekan tombol piano Anda tidak mendapatkan gelombang suara hanya satu frekuensi. sebagai gantinya, Anda mendapatkan fundamental disertai dengan sejumlah nada (harmonis) dari frekuensi 2, 3, 4,. . ., kali frekuensi fundamental. frekuensi yang lebih tinggi berarti periode yang lebih singkat. Jika sin dan wt sesuai dengan frekuensi dasar, maka sin nwt dan cos nwt sesuai dengan harmonik yang
8
lebih tinggi. kombinasi fundamental dan harmonik adalah fungsi periodik yang rumit dengan periode fundamental (masalah 5). memberikan fungsi yang rumit, kita bisa bertanya bagaimana menulisnya sebagai jumlah dari istilah yang sesuai dengan berbagai harmonik. secara umum mungkin membutuhkan semua harmonik, yaitu serangkaian istilah tak terbatas. ini disebut deret Fourier. mengembangkan fungsi dalam deret empat deret kemudian memecahnya menjadi berbagai harmoniknya. sebenarnya, proses ini kadang-kadang disebut analisis analisis harmonik. Ada aplikasi ke bidang lain selain suara. Gelombang radio, cahaya tampak, dan x rays adalah contoh dari sejenis gerakan gelombang di mana "gelombang" bersesuaian ke berbagai medan listrik dan magnetik. Persis persamaan matematis yang sama berlaku seperti seper ti untuk u ntuk gelombang ge lombang air dan gelombang suara. Kami Kami kemudian kemudian bertanya apa frekuensi cahaya
(ini
sesuai dengan warna) berada dalam cahaya yang diberikan dan dalam proporsi apa. Untuk menemukan jawabannya, kami akan memperluas fungsi yang diberikan menggambarkan gelombang dalam Deret Fourier. Anda mungkin telah melihat kurva sinus yang digunakan untuk mewakili arus bolak-balik (a-c) atau tegangan listrik. Ini adalah fungsi periodik, tetapi begitu juga fungsinya
ditunjukkan pada Gambar 3.2.
Semua ini dan banyak lainnya mungkin mewakili sinyal (voltase) atau arus) yang akan diterapkan ke sirkuit listrik. Lalu kita bisa bert anya
9
apa a-c frekuensi (harmonik) membuat sinyal yang diberikan dan dalam proporsi apa. Ketika sinyal listrik dilewatkan melalui jaringan (misalnya radio), beberapa dari harmonik mungkin hilang. Jika sebagian besar yang penting berhasil melewati mereka intensitas relatif dilestarikan, kami mengatakan bahwa radio memiliki "kesetiaan yang tinggi". Untuk mencari tahu harmonik mana yang penting dalam sinyal yang diberikan, kita perluasnya deret Fourier. Istilah seri dengan koefisien besar kemudian mewakili harmonik penting (frekuensi). Karena sinus dan cosinus sendiri bersifat periodik, tampaknya lebih alami untuk digunakan serangkaian dari mereka, daripada seri daya, untuk mewakili fungsi periodik. Ada alasan penting lainnya. Koefisien dari serangkaian daya diperoleh, Anda akan ingat (Bab 1, Bagian 12), dengan menemukan turunan berturut-turut dari fungsi yang sedang diperluas; akibatnya, hanya fungsi kontinyu dengan turunan dari semua pesanan bisa diperluas dalam seri daya. Banyak fungsi periodik dalam praktik tidak t idak berlanjut atau tidak berbeda (Gambar 3.2). Untungny Unt ungnya, a, deret Fourier (tidak seperti seri daya) dapat mewakili fungsi atau fungsi terputus yang grafiknya memiliki sudut. Di sisi lain, deret Fourier biasanya tidak menyatu secepat deret daya dan lebih banyak perhatian diperlukan dalam memanipulasi mereka. Misalnya, seri daya dapat berbeda istilah demi istilah (Bab 1, Bagian 11), tetapi berbeda-beda Istilah deret Fourier dengan istilah terkadang menghasilkan seri yang tidak menyatu. (Lihat akhir Bagian 9.) Masalah kami kemudian adalah memperluas fungsi periodik yang diberikan dalam serangkaian sinus dan cosinus. Kami akan mengambil ini di Bagian 5 setelah melakukan beberapa pekerjaan awal.
4. NILAI RATA-RATA FUNGSI
Konsep nilai rata-rata dari suatu fungsi sering berguna. Anda tahu cara menemukannya rata-rata satu set angka: Anda menambahkannya dan membagi dengan jumlah angka.
10
Proses ini menunjukkan bahwa kita harus mendapatkan perkiraan untuk nilai rata-rata dari fungsi f (x) pada interval (a, b) dengan rata-rata sejumlah nilai f (x) (Gambar 4.1): (4.1 ) Rata-rata f (x) pada (a, b) kira-kira sama dengan
Ini harus menjadi pendekatan yang lebih baik karena n meningkat. Biarkan poin
menjadi terpisah. Kalikan pembilang dan penyebut
perkiraan rata-rata oleh ∆x.Lalu (4.1) me njadi:
(4.2) Rata-rata f (x) pada (a, ( a, b) kira-kira sama dengan
∫ ∫ Sekarang
, panjang interval yang kita gunakan rata-
rata, tidak masalah apa n dan
. Jika kita membiarkan
, pembilang mendekati sebuah
dan
dan kami punya
(4.3)
Dalam aplikasi, dapat terjadi bahwa nilai rata-rata dari fungsi yang diberikan adalah nol. Contoh 1
11
Rata-rata sinx selama beberapa periode adalah nol. Nilai rata-rata dari kecepatan osilator harmonik sederhana atas sejumlah getaran adalah nol. Dalam kasus seperti itu, rata-rata rata -rata kuadrat fungsi mungkin menarik. Contoh 2
Jika arus listrik bolak-balik mengalir melalui kawat digambarkan oleh fungsi sinus, akar kuadrat dari rata-rata sinus kuadrat dikenal sebagai root-mean-square atau nilai efektif dari arus, dan apa yang akan Anda ukur dengan ammeter a-c. Dalam contoh osilator harmonik sederhana, rata-rata energi kinetik (rata-rata dari
adalah
kali rata-rata dari
Sekarang Anda dapat, tentu saja, menemukan nilai rata-rata selama suatu periode (misalnya
sampai
) dengan mengevaluasi
integral dalam (4.3). Ada cara yang lebih mudah. Lihatlah grafik dan
(Gambar 4.2). Anda mungkin bisa meyakinkan diri sendiri
bahwa daerah tersebut.
Dibawah itu adalah sama untuk beberapa titik bagian dari 0 ke .
ke dll. (lihat masalah 2 dan 13). Lalu
(4.4)
∫ ∫ ∫ ∫
Dengan cara yang sama (untuk integral n (4.5) Tapi, karena
,
12
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (4.6)
Dari (4.5), kita dapatkan;
(4.7)
Dengan menggunakan menggunakan (4.3) kita lihat dari;
Nilai rata-rata rata-r ata (lebih dari per iode) dari
periode) dari
= nilai rata-rata (lebih dari
=
Kita dapat katakan semua lebih mudah. Dari (4.5), nilai rata-rata
dari
sama dengan nilai rata-rata dari
. Nilai rata-rata dari
adalah 1. Oleh karena itu, nilai rata-rata dari
atau dari
adalah
. (di setiap keadaan nilai rata-rata
akibatnya satu yang lebih atau lebih banyak lagi periode)
5. KOEFISIEN FOURIER
Kita ingin mengekspansi sebuah fungsi perodik di sebuah deret dari sinus dan kosinus. lebih sederhananya, kita mulai dengan fungsi dari
periode 2 ; dari ini, kita akan mengekspansi fungsi dari periode 2
di
hubungkan pada fungsi
. (selanjutnya kita akan lihat
bagaimana kita dapat mengubah mengubah rumus ke periode yang berbeda- lihat subbab 8). Fungsi
mempunyai periode 2 ; lalu
untuk integral n karena
(itu benar dari sin nx dan cos nx juga mempunyai periode (itu
lebih pendek, dinamakan
adalah apa yang yang
, tapi fakta mereka berulang-ulang tiap
kami Tarik disini, untuk membuat ini, fungsi
menggunakan expansi pada fungsi dari periode
periode (5.1)
, kita tulis;
) lalu, fungsi f(x) f(x) dari
13
Dan mendapat rumus untuk koefisien penulisan
(karena untuk
sebagai konstan maka akan jelas selanjutnya – itu itu membuat
rumus untuk koefisien mudah diingat ---- tapi kamu tidak boleh lupa deret!)
di
∫ ∫
Di temukan rumus untuk
di (5.1) kita harus mengkitu
integral berikut;
(5.2a) Nilai rata-rata rata-rat a dari
(lebih dari periode)
(5.2b) Nilai rata-rata rata-rat a dari
(lebih dari periode)
=
(5.2c) Nilai rata-rata rata-rat a dari
(lebih dari periode)
=
Persamaan diatas memberi makna bahwa nilai rata-rata dalam 1 periode dari fungsi
adalah
Persamaan 5.2b dapat
dibuktikan dengan mengubah fungsi sinus atau kosinus menjadi eksponensial kompleks. Perhatikan langkah berikut: (5.3)
∫ ∫ Bilangan eksponensial kompleks itu dapat disederhanakan menjadi
, dimana k bilangan bulat
diubah menjadi; (5.4)
, sehingga bentuk integral itu dapat
∫
14
Karena
(karena
Di integral
lain di (5.2) mungkin akan dievaluasi dengan cara yang sama (masalah 12). (5.5)
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Dari (5.2), semua integral pada suku sebelah kanan dari (5.5)
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ adalah nol, kecuali suku pertamanya, karena integral dari
atau dari
dari n = 0 dan m
(m
. Kita akan
mendapatkan;
(5.6)
Mengingat
akan diperjelas dalam deret Fourier, dapat mengevaluasi
dengan menghitung menghitung integral integral dalam persamaan (5.6). Untuk menemukan
dengan
, gandakan kedua sisi dari persamaan (5.1)
dan untuk menemukan nilai rata-rata setiap persamaan :
(5.7)
Pada Persamaan ini (5.2), untuk semua persamaan bagian kanan adalah 0
kecuali pada
Menyelesaikan untuk
sehingga sehingga didapat
15
metode ini dapat diperjelas , jadi kita selanjutnya akan menemukan rumus umum untuk
.
Gandakan kedua sisi pada persamaan (5.1) dengan menemukan nilai rata-rata rata-r ata setiap setiap persamaan :
dan untuk
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (5.8)
dengan persamaan (5.2) pada semua persamaan dengan bagian kanan
∫ ∫ ∫ ∫
adalah 0 kecuali
, dan
Untuk menyelesaikan
, kita memiliki
(5.9)
Perhatikan bahwa rumus n = 0, tetapi karena untuk mendapatkan
persamaan (5.1) ( 5.1) dengan
konstant.
untuk, kita mengalikan kedua sisi pada dan mengambil nilai rata-rata seperti yang
kita lakukan dalam menurunkan persamaan (5.9) (5.10)
Pada persamaan (5.9) dan (5.10) akan digunakan berulang kali dalam masalah dan harus diingat.
16
Contoh 1
Mengembangkan
dalam deret empat empat dengan fungsi deret
sketsa pada gambar 5.1. Fungsi ini dapat mewakili, misalnya, pulsa tegangan periodik. Istilah deret Fourier kami akan sesuai dengan frekuensi a-c yang berbeda yang digabungkan dalam tegangan "gelombang persegi"
ini, dan besarnya koefisien Fourier akan menunjukkan kepentingan relatif dari kepentingan relatif dari berbagai frekuensi.
Perhatikan bahwa
adalah fungsi dari periode
. Sering
dalam masalah akan diberikan hanya untuk satu periode; anda harus selalu membuat sketsa beberapa periode agar anda melihat dengan jelas fungsi periodik yang sedang anda kembangkan. Misalnya dalam masalah ini sketsa yang yang telah diberikan (5.11) Kemudian dipahami bahwa
,
dengan periode di luar interval (
hal itu harus berlanjut secara periodik .
Kita menggunakan persamaan (5.9) dan (5.10) untuk menemukan
| ∫ | dan
:
=
17
∫ * +
Demikian
, dan
.
= =
Menempatkan nilai ini untuk koefisien (5.1)
(5.12)
Contoh 2
Kita sekarang dapat menemukan deret Fourier untuk beberapa fungsi lain tanpa evaluasi koefisien yang lebih banyak. Misalnya, pertimbangkan
, (5.13)
Sketsa ini dan verifikasi bahwa
dimana
merupakan fungsi dari persamaan 1. Kemudian dari (5.12), Deret series
untuk
adalah
(5.14)
Demikian pula, verifikasi
pada gambar 5.1 Mengubah
ke kiri (Gambar ini), dan deret fourier merupakan (menggantikan pada persamaan (5.12) dengan(
)
18
6. SYARAT DIRICHLET
Jika kita mempunyai sebuah deret, tetapi masih ada beberapa pertanyaan yang kita harus dapatkan jawabannya. Apakah deret itu konvergen ?dan jika iya apakah deret itu konvergen dengan nilai f(x)? Jika kita coba, coba, bahwa bahwa untuk nilai x paling banyak banyak
dari deret 5.12 tidak
memberikan jawaban dari beberapa tes untuk kekonvergenan (yang telah di diskusikan di bab 1). Apakah Apakah jumlah deret di x=0 x=0 dimana f(x) lompat lompat dari 0 ke 1? Hal ini dapat dilihat dari deret 5.12 bahwa jumlah pada x=0 adalah
⁄
, tetapi apa yang harus dilakukan dengan f(x)?
Pertanyaan itu bisa dijawab dengan teorema dirichlet, yaitu yaitu :
Jika f(x) adalah periodic dari periode, dan jika diatara dan adalah nilai tunggal, mempunyai nilai terbatas dari nilai minimum dan maksimum, dan nilai batas dari diskontinuitas dan jika
∫
terhingga, kemudian deret fourier pada 5.1 dengan
koefisien yang diberikan oleh 5.9 dan 5.10 konvergen de ngan f(x) di semua titik dimana f(x) kontinu; pada kenaikan deret fourier konvergen menuju titik tengah kenaikannya itu. (ini termasuk kenaikan yang terjadi pada untuk fungsi periodic.)
±
Untuk lebih memahaminya, kita mempertimbangkan beberapa fungsi tertentu. Kita sudah sudah berdiskusi apa yangdimaksud yangdimaksud dengan fungsi fungsi periodic. Sebuah fungsi f(x) adalah nilai tunggal jika hanya ada satu nilai dari f(x) untuk setiap x. Contoh :
Jika
√
, y bukan fungsi nilai tunggal dari x, kecuali jika kita
memilih hanya
√ ⁄ atau hanya
.
Contoh lain untuk sebuah fungsi dengan bilangan tak hingga dari maksimum dan minimum adalah hingga berkali-kali ketika
, dimana osilasi secara tak
. Jika kita bayangkan sebuah fungsi
dibentuk dari sin(1/x) dengan membuat
untuk setiap x dimana
19
() ( )
, dan f(x)
= -1 untuk setiap x dimana
, fungsi ini akan mempunyai bilangan takhingga dari
kontinuitas. Saat ini banyak fungsi dalam pekerjaan terapan tidak berlaku seperti ini, tetapi akan memenuhi syarat dirichelet.
Maka, jika y=1/x :
Jadi, fungsi 1/x dikesampingkan oleh syarat dirichelet. Disisilain jika
maka maka :
√ √ √
– ∫ ± Jadi, fungsi periodic dimana
Antara Antara
dan bisa diperluas dalan
sebuah deret fourier. Dalam banyak kasus tidak perlu untuk menemukan
nilai dari
. Jika
dibatasi (semua nilainya terletak antara
untuk beberapa konstanta M positif) maka:
20
dan begitu juga untuk yang terbatas. Dengan demikian Anda dapat dengan mudah memverifikasi bahwa fungsi yang Anda pertimbangkan dibatasi (jika ada) daripada mengevaluasi integralnya. Gambar 6.1 adalah contoh
(berlebihan!) Dari fungsi yang memenuhi kondisi Dirichlet pada (−π, π). Kami melihat, kemudian, daripada menguji deret Fourier untuk konvergensi seperti yang kami lakukan seri daya, kami malah memeriksa fungsi yang diberikan; jika memenuhi kondisi Dirichlet kami kemudian yakin bahwa deret Fourier, ketika kami mendapatkannya, akan menyatu fungsi pada titik kontinuitas dan ke titik tengah lompatan. Sebagai contoh,
pertimbangkan pertimbangkan fungsi f (x) pada Gambar 5.1. Antara −π dan π yang diberikan f (x) bernilai tunggal (satu nilai untuk setiap x), dibatasi (antara +1 dan 0), memiliki nilai yang terbatas jumlah nilai maksimum dan minimum (satu dari masing-masing), dan sejumlah terbatas diskontinuitas
(pada −π, 0, dan π), dan karena itu memenuhi kondisi Dirichlet. Teorema Dirichlet kemudian meyakinkan kita bahwa seri (5.12) sebenarnya menyatu dengan fungsi f (x) pada Gambar 5.1 pada semua titik kecuali x =
nπ di mana ia menyatu menjadi 1/2. Di Bab 3, Bagian 10 dan 14, kami mendefinisikan dasar untuk 3 dimensi biasa ruang sebagai seperangkat vektor independen linear (seperti i, j, k) dalam hal yang kita bisa tulis setiap vektor di angkasa. Kami kemudian memperluas ide ini menjadi n-dimensi ruang dan ruang di mana vektor basis berfungsi. Dengan analogi, kami katakan di sini bahwa fungsi sin nx, cosnx adalah seperangkat fungsi dasar untuk (dimensi tak terbatas) ruang dari semua fungsi (kondisi Dirichlet memuaskan) didefinisikan pada
(−π, π) atau interval 2π. (Juga lihat "kelengkapan hubungan" di Bagian 11. Dan untuk lebih lanjut contoh seperangkat fungsi dasar semacam itu, lihat Bab 12 dan 13.)
21
Sangat menarik untuk melihat grafik dari jumlah sejumlah besar istilah Fourier seri. Gambar 6.2 menunjukkan beberapa jumlah parsial yang berbeda dari seri di (5.12) untuk berfungsi pada Gambar 5.1. Kita dapat melihat bahwa jumlah dari banyak istilah dari seri ini erat mendekati fungsi menjauh dari lompatan dan melewati titik tengah dari lompatan. The "overshoot" di kedua sisi komentar melompat. Itu benar tidak hilang karena kami menambahkan lebih banyak dan lebih banyak hal dari seri. Itu hanya menjadi lonjakan sempit dan sempit tinggi sama dengan sekitar 9% dari lompatan. Fakta ini disebut fenomena Gibbs. Kita harus mengatakan di sini bahwa kebalikan dari teorema Dirichlet tidak benar
jika suatu fungsi gagal untuk memenuhi memenuhi kondisi kondisi
Dirichlet, itu masih dapat diperluas dalam Deret Fourier. Fungsi periodik
yang merupakan dosa (1 / x) pada (−π, π) adalah contoh dari fungsi seperti itu. Namun, fungsi-fungsi seperti itu jarang dipenuhi dalam praktiknya. Contoh:
Deret Fourier dapat berguna dalam menjumlahkan seri numerik. Lihatlah Soal 5.2 (buat sketsa). Dari teorema Dirichlet, kita melihat bahwa deret Fourier menyatu 1/2 pada x = 0. Biarkan x = 0 dalam deret Fourier
Mulai dari sin 0 = 0 dan cos 0 = 1. Dengan demikian: demikian:
22
7. BENTUK KOMPLEKS DARI DERET FOURIER
Ingat bahwa sinus dan cosinus dapat diekspresikan dalam bentuk eksponensial kompleks [Bab 2, (11.3)]
(7.1)
,
Jika kita mengganti persamaan (7.1) ke dalam deret Fourier seperti
(5.12), kita mendapatkan serangkaian istilah bentuk einx dan e − inx. Ini adalah bentuk kompleks dari deret Fourier. Kita juga dapat menemukan bentuk kompleks secara langsung; ini seringkali lebih mudah daripada menemukan sinecosine bentuk. Kami kemudian dapat, jika kami suka, kembali bekerja dengan cara lain dan [menggunakan Euler rumus, Bab 2, (9.3)] mendapatkan bentuk sinus-kosinus dari bentuk eksponensial. Kami ingin melihat bagaimana menemukan koefisien dalam bentuk kompleks secara langsung. Kita asumsikan seri (7.2)
dan coba temukan cn. Dari (5.4) kita tahu bahwa nilai rata-rata eikx pada
(−π, π) adalah nol saat k adalah bilangan bulat yang tidak sama dengan nol. Untuk menemukan c0, kita menemukan nilai rata-rata istilah dalam (7.2):
∫ ∫
(7.3)
{
23
∫ (7.4)
Untuk menemukan cn, kita mengalikan (7.2) dengan e − inx dan
lagi menemukan nilai rata-rata masing-masing istilah. Perhatikan tanda minus di eksponen. Dalam mencari, koefisien cos nx dalam persamaan (5.1), kita dikalikan dengan cos nx; tapi di sini dalam mencari koefisien cn
dari einx, kita kalikan dengan kompleks e − inx konjugasi.
∫ ∫ ∫ ∫ (7.5)
Istilah di sebelah kanan adalah nilai rata-rata eikx eksponensial, di
mana k nilai adalah bilangan bulat. Oleh karena itu semua istilah ini adalah nol kecuali yang mana k = 0; ini adalah istilah yang mengandung cn. Kami punya (7.6)
∫ ∫ ∫ Perhatikan bahwa rumus ini mengandung satu untuk c0 (no 1 2
perlu khawatir k hawatir di d i sini!). s ini!). Juga, karena (7.6) berlaku untuk negatif dan da n juga positif n, Anda hanya memiliki satu rumus untuk hafalkan di sini! Anda
dapat dengan mudah menunjukkan bahwa untuk f nyata (x), c − n = ¯cn (Soal 12). Contoh
Mari kita memperluas f (x) yang sama yang kita lakukan sebelumnya, yaitu (5.11). Kami punya dari dar i (7.6) (7.7)
∫ ∫
24
( ) Kemudian
Sangat menarik untuk membuktikan bahwa hal ini sama seperti deret sinus-kosinus sebelumnya. Kita dapat menggunakan persamaan Euler untuk
setiap
eksponensial,
tetapi
akan
lebih
mudah
jika
kita
mengumpulkan dalam bentuk bentuk seperti ini:
Sama seperti persamaan (5.12).
8. INTERVAL LAINNYA
Fungsi
,
mempertimbangkan Diberikan
, dan
memiliki periode
. Kita telah
sebagai interval dasar dari panjang
dalam
.
, pertama kita buat sketsa terlebih dahulu
untuk interval ini, kemudian ulangi untuk interval
,
,
, dan lain sebagainya. Terdapat (tak terbatas) banyak interval
lain untuk Panjang
, beberapa dari ini dapat menjadi interval dasar.
Apabila kita memberikan fungsi
pada sejumlah interval dari Panjang
, kita dapat membuat sketsa
untuk interval dasar yang diberikan
kemudian diulangi secara berkala dengan periode
. Kemudian kita akan
25
memperluan fungsi periodik sehingga menghasilkan deret Fourier. Ingat dalam menilai koefisien Fourier, kita gunakan nilai rata-rata selama satu periode. periode. Persamaan untuk koefisien tidak berubah (kecuali untuk batas dari integrasi) jika kita menggunakan interval dasar yang lain dari panjang
. Didalam latihan, interval
dan
adalah salah satu yang
paling sering digunakan. Untuk
didefinisikan dalam
kemudian diulang secara berkala, (5,9), (5.10), dan (7.6) dibaca
dan (5.1) dan (7.2) tidak berubah
Gambar 8.1
Sumber: Mary L. Boas Melihat betapa pentingnya dalam membuat sketsa grafik untuk melihat dengan jelas apa fungsi yang kita bicarakan. Sebagai contoh,
diberikan
pada
, fungsi yang diperpanjang dari periode
ditunjukkan pada gambar 8.1. tetapi
pada
,
fungsi
periodik yang diperpanjang berbeda (lihat gambar 8.2). disamping itu, diberikan
seperti contoh (5.11), atau diberikan
pada
pada
,
, kamu dapat dengan mudah memeriksa dengan
membuat sketsa grafik dari fungsi yang diperluas adalah sama. Pada kasus ini kamu akan mendapatkan jawaban yang sama dari persamaan lainnya (5.9), (5.10), dan (7.6) atau persamaan (8.1).
26
Gambar 8.2
Sumber: Mary L. Boas, Permasalahan fisika tidak selalu memiliki panjang interval
.
Untungnya, sekarang mudah untuk mengganti ke interval lainnya.
∑ Pertimbangkan panjang interval memiliki periode
Demikian pula,
, katakan
atau
. Fungsi
, karena
dan
memiliki periode
. Persmaan
(5.1) dan (7.2) digantikan oleh
(8.2)
Kita telah menemukan nilai rata-rata selama satu periode dari
semua fungsi yang kita perlukan untuk digunakan dalam menemukan
,
. Panjang periode sekarang
, katakan
,
menuju , jadi dalam
menemukan nilai rata-rata dari batas dapat digantikaan.
Ingat bahwa rata-rata dari pangkat baik sinus atau kosinus slama satu periode adalah
dan rata-rata dari
.
adalah 1.
Kemudian persamaan (5.9), (5.10), dan (7.6) untuk koefisien menjadi
27
(8.3)
∫
Untuk interval dasar (0,2l) kita hanya membutuhkan mengubah pengintegrasian limit 0 ke 2l. Contoh:
Diberikan
Mengembangkan f(x) pada exponensial deret fourier pada periode 2l [fungsi diberikan oleh rumus seperti 5.11 tetapi intervalnya berbeda
Gambar 8.3 Sumber: Mary L. Boas Pertama, kita menggambarkan grafik pada f(x) diulang dengan periode 2l (8.3) oleh persamaan kita menemukan, (8.4)
∫ ∫ ( )
Lalu menjadi,
28
(8.5)
9. FUNGSI GENAP DAN GANJIL
Sebuah fungsi ganjil salah satunya seperti
9.1) dimana grafik untuk negatif pada grafik untuk
atau
(gambar
merupakan refleksi dalam sumbu
positif. Pada rumus, nilai
sama untuk
positif
dan negatif; seperti berikut:
(9.1)
Gambar 9.1 Sumber: Mary L. Boas
Gambar 9.2 Sumber: Mary L. Boas Sebuah fungsi ganjil salah satunya seperti nilai
atau
sebagai: (9.2)
dan
(gambar 9.2) untuk
yang salah satunya bernilai negatif, didefinisikan
29
Perhatikan pangkat genap pada pangkat ganjil pada
menunjukkan fungsi genap,
menunjukkan fungsi ganjil, nyatanya ini adalah
alasan mengapa di namakan fungsi fungsi genap dan fungsi ganjil. ganjil. Kamu harus menguji (soal 14) dengan mengikuti aturan untuk untuk hasil dari kedua fungsi tersebut: fungsi genap dikali fungsi genap, atau fungsi ganjil dikali fungsi ganjil, menghasilkan fungsi genap, sebuah fungsi ganjil dikali fungsi genap menghasilkan fungsi ganjil. Beberapa fungsi genap, beberapa ganjil, dan beberapa lainnya (contohnya,
). Bagaimanapun setiap fungsi dapat
dituliskan menjadi jumlah fungsi genap dan fungsi ganjil, seperti:
(– ) (– ) – ∫ (– ) ⁄ ∫⁄⁄ ⁄⁄ –
bagian pertama merupakan fungsi genap dan bagian kedua merupakan fungsi ganjil. Contohnya:
adalah fungsi genap dan
adalah fungsi ganjil (lihat grafik).
Integral untuk fungsi genap atau fungsi ganjil, selama interval
simetris seperti
atau
, dapat disederhanakan. Lihat grafik
dan pikirkan tentang
. Area negatif dari
saling meniadakan dengan area positif
, sehingga integral
bernilai 0. Integral ini tetap benilai 0 untuk setiap interval
yang
simetris dengan asalnya, kamu dapat melihat dari grafik. Persamaan yang
benar untuk beberapa fungsi ganjil
; area sebelah kiri dan area sebelah
kanan saling meniadakan. Selanjutnya lihat grafik cosines dan integral .
.
Lihat
area
Kita
juga
sama
dapat
menemukan
dengan
dengan
area
integral
dan mengalikannya dengan 2. Pada umumnya, jika
adalah fungsi genap, integral untuk
kali integral dari
dari
. Kemudian didapat:
merupakan 2
30
(9.3)
∫ ∫
Seandainya sekarang kami memberikan sebuah fungsi pada
interval
. Jika kami ingin menggambarkan dengan suatu deret fourier
untuk periode
, kami harus menetapkan
– pada
beberapa hal yang kami lakukan. Kami menetapkan menetapk an
–
juga. Ada
menjadi 0 pada
dan selanjutnya seperti yang telah dilakukan sebelumnya untuk
salah satu eksponensial atau sebuah deret sinus-cosinus pada periode
.
Bagaimanapun, sering terjadi dalam praktek kami mendapatkan suatu fungsi genap (atau, dalam persoalan lain, suatu fungsi ganjil). Pertama buat gambar untuk fungsi
(garis tebal pada gambar 9.3 dan 9.4).
Kemudian kami memperluas fungsi pada
– –
untuk menjadi fungsi
genap atau fungsi ganjil tergantung permintaan. Untuk gambar periode yang lebih besar, hanya mengulang gambar
Gambar 9.3
Sumber: Mary L. Boas
Gambar 9.4
Sumber: Mary L. Boas
.
31
Untuk fungsi genap atau ganjil,rumus koefisien untuk
dan
⁄ – ⁄
dapat di sederhanakan. Pertama, seandainya
adalah fungsi ganjil.
Bagian sinus adalah fungsi ganjil dan cosines adalah fungsi genap,
⁄
adalah fungsi genap dan
ganjil. Kemudian
adalah integral, interval simetrik seperti
merupakan fungsi ganjil, yaitu
Tetapi
adalah fungsi
; sehingga
bernilai 0.
adalah integral sebuah interval simetrik dan 2 kali integral . Didapat:
∫ (9.4)
Dikatakan bahwa kami dapat memperluas
dalam suatu deret sin
. Dapat disederhanakan, jika
adalah fungsi genap, semua nilai
dari fungsi genap. Didapat:
adalah 0, dan
adalah integral
∫
(9.5)
Dikatakan bahwa Sekarang
diperluas dalam deret cosinus.
kamu
dapat
mempelajari
beberapa
cara
menemukan deret fourier yang diberikan pada fungsi mempunyai interval
untuk
, yang
. Bagaimana kamu dapat mengetahui cara yang
digunakan untuk menyelesaikan soal? Kalian dapat menentukan kapan menggunakan deret fourier untuk persoalan fisika. Ada 2 cara untuk mengujinya: (1) Periode dasar termasuk dalam persoalan fisika, fungsi dalam deret anda harus memiliki periode ini; dan (2) persoalan fisika mungkin memerlukan salah satu fungsi genap atau fungsi ganjil untuk penyelesaiannya; dalam kasus ini anda harus menemukan deret yang sesuai. Sekarang ingat
yang digambarkan pada
. Kami dapat
32
menemukaan sinus-cosinus atau suatu deret eksponensial untuk periode 1
:
(Pilihan antara sinus-cosinus dan deret eksponensial hanya suatu alat evaluasi koefisien deret yang benar benar sama.) tetapi kami juga dapat menemukan dua deret fourier yang mewakili fungsi yang sama pada (0,1). Deret ini akan menjadi periode 2 (yaitu, menjadi:
suatu deret cosines akan
Dan menggambarkan fungsi genap, sedangkan yang lainnya akan menjadi deret sinus dan menggambarkan fungsi ganjil. Pada persoalan, kamu mungkin diberitahu untuk memperluas fungsi dalam deret cosinus. Kamu harus perhatikan periode apa ketika kamu mensketsa fungsi genap, kemudian pilih l yang yang tepat dalam
.
Contoh:
Tunjukan
dan pada persamaan untuk
dalam (a) deret Fourier sinu, (b) deret Fourier cosinus, (c) deret Fourier (yang terakhir biasanya merupakan deret sinus-cosinus atau eksponensial yang periodenya pada interval dari fungsi yang diberikan, pada kasus ini periodenya 1).
33
Gambar 9.5
Sumber : Mary L. Boas (a) Sketsa yang diberikan antara 0 dan 1. Perluas dengan interval (-1, 0) yang membuatnya ganjil. Periodenya sekarang 2, yaitu l = = 1. Lanjutkan fungsi dengan periode 2 (Gambar 9.5). Sekarang memiliki fungsi
ganjil,
dan
Dengan demikian kita peroleh deret Fourier untuk
Gambar 9.6
Sumber gambar : Mary L. Boas (b) Sketsa fungsi genap dari periode 2 (gambar 9.6). Disini
dan
34
Kemudian seri Fourier cosinus untuk
adalah
Gambar 9.7
Sumber : Mary L. Boas
(c) Sketsa fungsi yang diberikan pada periode 1 (Gambar 9.7). Di sini
dan dilanjutkan dengan
, dan kita menemukan
seperti
yang kita lakukan dalam contoh Bagian 8. Misalnya, rangkaian eksponensial di sini kemudian dapat dimasukkan dalam bentuk sinuskosinus.
,
Atau kita dapat menemukan keduanya secara langsung.
35
Ada satu titik lain yang sangat berguna untuk diperhatikan tentang
fungsi genap dan ganjil. Jika Anda diberi fungsi pada memperluas dalam seri sinus-cosinus (periode
untuk
) dan menyadari bahwa
itu adalah fungsi genap, Anda harus menyadari bahwa
semua akan
menjadi nol dan Anda tidak harus mengerjakannya. Juga
ditulis
sebagai integral lipat dua dari 0 sampai sama seperti (9.5). Begitu pula jika yang diberikan fungsi fungsi ganjil, Anda dapat menggunakan menggunakan (9.4).
Membedakan Deret Fourier. Sekarang kita memiliki persediaan deret
Fourier untuk referensi, mari kita bahas pertanyaan tentang membedakan istilah deret Fourier dengan istilah. Pertama perhatikan deret Fourier dimana
dan
sebanding dengan . Sejak turunan dari
adalah
(dan hasil serupa untuk istilah cosinus), kita lihat bahwa rangkaian
yang dibedakan tidak memiliki
faktor untuk membuatnya bersatu.
Sekarang Anda mungkin curiga (dengan benar) bahwa jika Anda tidak dapat membedakan deret Fourier, maka fungsinya
yang diwakilinya
tidak dapat dibedakan, setidaknya tidak di semua titik. Kembali ke contoh dan masalah yang deret Fourier memiliki koefisien sebanding dengan
dan lihat grafik (atau sketsa mereka). Perhatikan dalam setiap kasus bahwa
terputus-putus (artinya, memiliki lompatan) di beberapa titik, dan
tidak bisa dibedakan di sana. Selanjutnya pertimbangkan deret Fourier
36
dengan
dan
adalah proporsional untuk
. Jika kami membedakan
seri tersebut sekali, masih ada faktor yang tersisa tetapi kami tidak bisa membedakan dua kali. Dalam hal ini kita akan (dengan benar) mengharapkan fungsi itu terjadi terus menerus dengan turunan pertama terputus-putus. (Carilah contoh.) Melanjutkan, jika sebuah sebanding dengan
dan
, kita dapat menemukan dua turunan, tetapi yang
derivatif kedua terputus, dan seterusnya untuk koefisien Fourier sebanding
dengan yang lebih tinggi dari . (Lihat problem 26 dan 27.) Sangat menarik untuk merencanakan (dengan komputer) fungsi yang diberikan bersama dengan cukup dari deret Fourier-nya untuk memberikan kecocokan yang masuk akal. Di Bagian 5 kami melakukan ini untuk fungsi terputus-putus dan butuh banyak hal dari seri. Anda akan menemukan (lihat P.S. 26 dan 27) bahwa semakin banyak fungsi derivatif yang berkelanjutan, semakin sedikit istilah deret Fourier diperlukan untuk mendekati itu. Kami bisa mengerti ini: Istilah ordo yang lebih tinggi
berosilasi lebih cepat (bandingkan
), dan osilasi cepat
inilah yang diperlukan untuk menyesuaikan kurva yang berubah dengan cepat (misalnya, lompatan). Tetapi jika
memiliki beberapa turunan
berkelanjutan, maka itu cukup "lembut" dan tidak membutuhkan membutuhkan begitu banyak osilasi cepat yang lebih tinggi. Ini t ercermin dalam ketergantungan koefisien Fourier pada
10. APLIKASI UNTUK BUNYI
Kami telah mengatakan bahwa ketika gelombang bunyi melewati udara dan kami mendengarnya, tekanan udara di manapun kita bervariasi dengan waktu. Misalkan kelebihan tekanan di atas (dan bawah) tekanan atmosfer dalam gelombang suara diberikan oleh grafik pada Gambar 10.1.
(Kami tidak akan peduli di sini dengan unit akal di Gambar 10.1 akan menjadi
dalam
; namun, unit yang masuk atmosfer.) Mari kita
37
tanyakan frekuensi apa yang kita dengar ketika kita mendengarkan suara ini. Untuk mencari tahu, kami memperluas periode
adalah
dalam deret Fourier.
; yaitu, gelombang suara berulang 262 kali per
detik. Kami telah menyebut periode
dalam rumus kami, jadi di sini
1. Fungsi-fungsi kita telah menyebut
di sini menjadi
. Kita dapat menghemat pekerjaan dengan mengamati
Gambar 10.1
Sumber gambar : Mary L. Boas
∫
bahwa
merupakan fungsi ganjil; hanya ada istilah sinus dalam deret
Fourier dan kita perlu per lu menghitung menghitung
. Menggunakan (9.4), kami punya
(10.1)
Dari sini kita dapat menghitung nilai :
untuk beberapa nilai pertama dari
38
(10.2)
(10.3)
Kita bisa melihat hanya dengan melihat koefisien yang merupakan
istilah paling penting yaitu yang kedua. Istilah pertama sesuai dengan fundamental dengan frekuensi 262 getaran per detik (ini kira-kira tengah C pada piano). p iano). Tapi itu benar jauh lebih lemah dalam d alam hal ini dari pada nada dering pertama (harmonik kedua) yang berhubungan dengan istilah kedua; nada ini memiliki frekuensi 524 getaran per detik (kira-kira tinggi C). (Anda mungkin ingin menggunakan komputer untuk memainkan satu atau beberapa istilah seri.) Keenam harmonik (sesuai dengan n = 6) dan juga harmonik untuk n = 10, 14, 18, 22, dan 26 semuanya lebih menonjol (yaitu, memiliki koefisien yang lebih besar) dari yang mendasar. Kita bisa lebih spesifik tentang kepentingan relative dari berbagai frekuensi. Ingat bahwa dalam membahas osilator harmonik sederhana,kita menunjukkan bahwa
rata-rata rata-r ata
energinya
sebanding
dengan
kuadrat
kecepatan
amplitudonya . Dapat dibuktikan bahwa intensitas gelombang suara (ratarata energi daerah unit yang mencolok dari telinga Anda per detik)
39
sebanding dengan rata-rata kuadrat dari tekanan berlebih. Jadi untuk
variasi tekanan sinusoidal Asin 2πft, Intensitasnya sebanding dengan A 2. Dalam seri Fourier untuk Fourier untuk p (t), intensitas dari dar i berbagai harmonik kemudian sebanding dengan kuadrat Fourier yang sesuai koefisien. (Intensitasnya kira-kira sesuai dengan kenyaringan nada — not not tepatnya karena telinga tidak seragam sensitif terhadap semua frekuensi.) Kerabat intensitas harmonik dalam contoh kita adalah:
Dari sini kita lihat lebih jelas bahwa kita mengetahui prinsip harmonik kedua dengan frekuensi 524 (tinggi C).
11. TEOREMA PARSEVAL
Sekarang kita akan menemukan hubungan antara rata-rata kuadrat (atau persegi mutlak) dari f(x) dan koefisien dalam deret Fourier untuk f (x), dengan asumsi
∫
terbatas. Hasilnya dikenal sebagai
Teorema Parseval atau hubungan kelengkapan. Anda harus memahami bahwa titik teorema tidak mendapatkan rata-rata rata- rata kuadrat dari f (x) yang diberikan dengan menggunakan deret Fourier-nya. [Mengingat f (x), itu mudah didapat nilai kuadrat rata-rata hanya dengan melakukan integrasi di pers. (11.2) di bawah.] Titik dari Teorema adalah untuk menunjukkan menunjukkan hubungan antara rata-rata kuadrat f (x) dan Koefisien Fourier. Kita dapat memperoleh bentuk teorema Parseval dari salah satu berbagai ekspansi Fourier yang telah dibuat ; mari kita gunakan pers. (5.1). (11.1)
∑ ∑
Kita mengkuadratkan f(x) dan mencari rata-rata kuadrat antara (
):
40
(11.2) Rata-rata dari
∫
adalah
Ketika kita mengkuadratkan deret Fourier pada (11.1) kita memperoleh beberapa pola.Untuk menhindari menhindari banyak bilangan darinya, pertimbangkan pert imbangkan menggati tipe pola dan rata-rata berbagai pola jenis yang berbeda.Pertama, terdapat kuadrat dari pola tunggal. Gunakan fakta bahwa rat-rata kuadrat sinus atau cosinus pada periode adalah ½, kita pero leh :
(11.3) Rata-rata dari
adalah
Rata-rata dari
Rata-rata dari
Kemudian
adalah
ada
adalah
pola
cross-product
dari
dan
bentuk
dengan
(kita menulis n pada factor cosinus dan m pada factor sinus sehingga setiap
pola sinus merupakan perkalian setiap pola cosinus). Dengan (5.2), nilai rata-rata pola untuk semua tipe adalah nol. Kemudian kita memiliki (11.4) Rata-rata dari
∑
.
(seluruh periode)
∑
Ini adalah satu bentuk teorema Parseval. Kamu dapat dengan mudah memeriksa (Permasalahan 1) bahwa teorema tidak berubah jika memiliki periode
bukannya
dan kuadratnya adalah rata-rata
keseluruhan setiap periode dengan panjang memeriksa (Permasalahan 3) bahwa jika
. Kamu dapat juga
ditulis sebagai eksponensial
kompleks deret Fourier, dan jika dalam penjumlahan kita memungkinkan bahwa
sendiri dapat menjadi kompleks, kemudian kita dapatkan:
(11.5) Rata-rata dari
(seluruh periode)
∑
.
Teorema Parseval juga disebut hubungan kesempurnaan. Pada permasalahan
merepresentasikan
gelombang
bunyi sebagai
jumlah
harmonik, andaikan kita meninggalkan satu harmonik deret. Ini mungkin
41
benar secara fisik, dan ini data dibuktikan secara matematika, bahwa dengan
satu
atau
merepresentasikan
lebih
harmonik
gelombang
bunyi
dihilangkan, mengandung
kita
tidak
dapat
harmonik
yang
dihilangkan. Kita katakana bahwa kumpulan fungsi
adalah
sebuah aturan fungsi yang lengkap pada setiap interval dari panjang
;
bahwa, setiap fungsi ( memenuhi kondisi Dirichlet) dapat diperluas dalam sebuah seret Fourier yang polanya konstan waktu
dan
. Jika
kita menghilangkan beberapa nilai dari n, kita tidak dapat melengkapi aturan fungsi dasar (lihat dasar, halaman 357) dan tidak dapat menggunakannya untuk memperluas beberapa fungsi yang diberikan. Sebagai contoh, misalnya kamu membuat kesalahan dalam menemukan periode (yaitu, nilai l) pada fungsi fu ngsi yang kamu berikan dan mencoba untuk
menggunakan aturan fungsi
dalam memperluas fungsi
yang diberikan pada periode
. Kamu mungkin akan mendapatkan
jawaban yang salah karena kamu menggunakan aturan fungsi dasar yang tak lengkap (dengan
pola yang hilang). Jika pola
deret Fourier mu salah karena aturan fungsi dasar yang digunakan tak lengkap, kemudian hasil yang kamu peroleh dari teorema Parseval (11.4) atau (11.5) akan salah juga. Pada kenyataannya, jika kita menggunakan aturan dasar yang tak lengkap, misalnya (11.5), kamudian ada yang hilang (tidak negatif) pola pada lain pihak, jadi persamaan menjadi tidak seimbang:
rata-rata
dari
∑
. Ini dikenal sebagai
ketidakseimbangan Bessel. Sebaliknya, jika (11.4) dan (11.5) benar untuk semua
, kemudian aturan fungsi dasar yang digunakan aturan yang
lengkap. Ini adalah alas an teorema Parseval sering disebut hubungan yang sempurna. (Lihat juga halaman 377 dan Bab 12, Bagian 6). Mari kita lihat beberapa contoh maksud secara fisik dan penggunaan penggunaan teorema Parseval. Contoh 1
42
Dalam Bagian 10 kita mengatakan bahwa intensitas (energi per sentimeter kuadrat per detik) gelombang suara sebanding dengan nilai rata rata kuadrat dari tekanan berlebih. Jika untuk kesederhanaan kita menulis (10.3) dengan huruf bukan numeric nilai-nilai, kita k ita peroleh
∑ ∑ ∑
(11.6)
Untuk kasus ini, Teorema Parseval (11.4) mengatakan bahwa: (11.7)
Sekarang intensitas atau energi (per sentimeter kuadrat per detik) dari gelombang bunyi sebanding dengan rata-rata [ p [ p (t)] (t)]2, dan energi yang
terkait dengan n harmonik sebanding dengan rata-rata
.
Dengan demikian, teorema Parseval mengatakan bahwa energi total gelombang suara sama dengan jumlah energi terkait dengan berbagai harmonik.
Contoh 2
Mari kita gunakan Teorema Parseval untuk menemukan jumlah deret tak hingga. Dari Soal 8.15 (a) ditulis dalam bentuk eksponensial kompleks yang kita dapatkan:
Fungsi f (x) dari periode 2 yang sama dengan x pada (−1, 1)
∫ ∑
Mari kita cari rata-rata dari
pada (-1,1)
Rata-rata dari
Dengan teorema (11.5), ini sebanding untuk peroleh
Kemudian kita peroleh jumlah deretnya
, sehingga kita
43
Kita telah melihat bahwa fungsi yang diberikan pada (0, l ) dapat diperluas dalam seri sinus dengan mendefinisikannya ( −l , 0) untuk membuatnya terpisah, atau dalam seri cosinus dengan mendefinisikannya (−l , 0) untuk membuatnya seimbang. Berikut ini contoh lain yang berguna untuk mendefinisikan fungsi yang sesuai dengan tujuan. (Kita akan membutuhkan ini di Bab 13.) Misalkan kita ingin memperluas fungsi didefinisikan pada (0, l) dalam pola fungsi dasar
. Bisa kita melakukannya, yaitu, apakah fungsi-fungsi ini
membentuk satu set lengkap untuk masalah ini? Catatan bahwa fungsi dasar yang kami usulkan memiliki periode 4l 4 l , katakanlah (−2l , 2l 2 l ) (amati
2l pada pada penyebut dimana kamu gunakan untuk l ). ). Jadi diberi f (x) pada (0, l), kita dapat mendefinisikannya seperti pada (l, 2 (l, 2l l ) dan (−2 l , 0). Kita tahu (oleh Teorema Dirichlet) bahwa berfungsi sin
dan cos
, semua n,
membuat satu set lengkap pada (−2 l , 2l ). ). Kita butuh untuk melihat bagaimana, pada (0, l ) kita dapat menggunakan hanya sinus (itu mudah membuat fungsi menjadi berbeda) dan hanya nilai-nilai ganjil dari n. Ternyata (lihat Soal 11) bahwa jika kita mendefinisikan f (x) pada ( l , 2l ) untuk membuatnya simetris di sekitar x = l = l , maka semua b n untuk n adalah sama dengan nol. Jadi, aturan dasar yang kita inginkan memang satu set lengkap (0, l ). ). Demikian pula kita bisa menunjukan (Soal 11) bahwa fungsi cos
membuat satu set lengkap pada (0, l).
12. TRANSFORMASI FOURIER
Kita telah memperluas fungsi periodik pada deret sinus, cosinus, dan eksponensial kompleks. Dalam fisika, kita dapat berpikir pola deret Fourier sebagai representasi sebuah aturan harmonik. Pada musik akan menjadi sebuah aturan tak berhingga dari frekuensi
,
tandai bahwa ini aturan, meskipun tak berhingga, tidak berarti apapun
44
termasuk frekuensi yang mungkin. Pada listrik, sebuah deret Fourier dapat direpresentasikan sebuah tegangan periodik; sekali lagi kita dapat berpikir bahwa ini berbentuk tak berhingga namun diskret (berarti, tidak t idak kontinyu) aturan tegangan a-c dari frekuensi
. Mirip dalam cahaya, sebuah deret
Fourier dapat merepresentasikan merepresentasikan cahaya terdiri atas aturan diskret dari panjang gelombang
bahwa aturan diskret dari warna. Dua
pertanyaan berhubungan dapat terbentuk di sini. Pert ama, apakah mungkin untuk merepresentasi sebuah fungsi dimana tidak periodik dengan sesuatu yang berhubungan dengan deret Fourier? Kedua, dapatkah kita seperti memperluas atau memodifikasi deret Fourier untuk menyelesaikan kasus pada sebuah spektrum kontinyu panjang gelombang cahaya, atau gelombang bunyi yang mengandung mengandung aturan kontinyu pada frekuensi? Jika kamu mengingat bahwa sebuah integral adalah limit jumlah, ini tidak begitu mengejutkan kamu untuk mempelajari deret Fourier (berarti, sebuah jumlah berpola) yang diganti dengan integral Fourier pada kasus di bawah. Integral Fourier dapat digunakan untuk merepresentasikan fungsi non periodik, sebagai contoh sebuah pulsa tegangan tunggal tidak berulang, atau kilauan cahaya, atau sebuah bunyi yang tidak berulang. Integral Fourier dapat juga merepresentasikan aturan kontinyu (spektrum) frekuensi, sebagai contoh kumpulan keseluruhan nada musik atau warna cahaya dibandingkan aturan diskret. Mengingat persamaan (8.2) dan (8.3), bahwa persamaan deret Fourier kompleks: (12.1)
Periode
∑ ∫ adalah
dan frekuensi pola pada deret adalah dan
sekarang ingin menghitung kasus frekuensi kontinyu.
. Kita
45
Definisi Transformasi Fourier. Kita tetapkan tanpa membuktikan (lihat
pernyataan kemungkinan di bawah) persamaan cocok untuk (12.1) untuk kumpulan kontinyu frekuensi.
∫ ∫ ∑ ∫ (12.2)
Bandingkan (12.2) dan (12.1); cocok untuk
cocok untuk
. Ini sepakat dengan diskusi kita pada maksud fisika
dan menggunakan integral Fourier. Kuantitas kontinyu integral-nilai variabel
sebuah fungsi
Biasanya,
dan
menjadi
menjadi integral keseluruhan
.
disebut sepasang transformasi Fourier.
disebut transformasi Fourier
transformasi Fourier
adalah sebuah hubungan
, sehingga aturan koefisien
; jumlah keseluruhan
Dua fungsi
, cocok untuk , dan
, dan
disebut invers
, namun sejak perbedaan dua integral pada
bentuk hanya pada tanda dalam eksponen, ini lebih sederhana untuk menyebut keduanya transformasi Fourier dari yang lain. Kamu seharusnya memeriksa notasi beberapa buku atau program komputer yang kamu gunakan. Titik lain yang berbeda berbagai referensi adalah posisi factor
√
pada (!2.2); ini mungkin untuk mendapatkan perkaliannya
pengganti integral dari integral perkalian setiap integral.
, atau untuk mendapatkan factor
Teorema integral Fourier berkata bahwa, jika sebuah fungsi
memenuhi kondisi Dirichlet (Bagian 6) pada setiap interval berhingga, dan jika jika
∫
adalah berhingga, berarti (12.2) adalah benar. Bahwa,
dihitung dan di substitusikan ke dalam integral untuk
[bandingkan prosedur perhitungan substitusikan ke dalam deret untuk nilai
dimanapun bahwa
untuk deret Fourier dan
, kemudian integral memberikan
adalah kontinyu; pada lompatan
,
integral memberikan titik tengah lompatan (bandingkan kembali deret
Fourier, bagian 6). Diskusi yang terjadi bukan pembuktian secara
46
matematika pada teorema ini namun bermaksud untuk membantu kamu melihat lebih jelas bagaimana integral Fourier berhubungan dengan deret Fourier. Ini
dapat
lebih
beralasan
untuk
berpikir
mencoba
untuk
merepresentasikan sebuah fungsi yang tidak periodik dengan mengambil
∑ ∫ ∫ ∑ * ∫ ++ ∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∑ ∫ ∫ ∑ ∫
periode
meningkat
menjadi
.
Ayo
kita
melakukannya, dimulai dengan (12.1). Jika kita menyebut , kemudian
coba
dan
dan (12.1) dapat
ditulis sebagai (12.3)
,
(12.4)
.
(Kita dapat mengubah variabel tiruan integrasi dalam
dari menjadi
untuk mencegah kebingungan selanjutnya). Substitusikan (12.4) ke dalam
(12.3), kita peroleh (12.5)
.
Di mana (12.6)
Sekarang
.
terlihat lebih seperti persamaan dalam kalkulus
untuk jumlah limit, seperti
menuju nol, adalah sebuah integral. Jika
kita menggunakan menuju tak hingga [bahwa, gunakan periode menuju tak hingga], kemudian
menjadi bentuk
, dan jumlah
; kita menurunkan subscript
pada
sekarang bahwa ini adalah variabel kontinyu. Kita juga membuat menuju menuju
tak hingga dan
pada (12.6) untuk memperoleh
(12.7) Ganti
bentuk (12.7) untuk
.
pada (12.5) dengan memberikan
dan substitusikan
47
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⁄ (12.8)
.
Jika kita mendefinisikan
dengan
(12.9)
,
Kemudian (12.8) memberikan
(12.10)
.
persamaan ini sama seperti (12.2). Perhatikan bahwa sebenarnya Faktor konstanta dengan mengalikan dua integral untuk
dan f(x) dan f(x)..
Sama seperti kita memiliki Deret Sinus yang mewakili fungsi aneh dan seri cosinus mewakili bahkan fungsi (Bagian 9), jadi kita memiliki sinus dan cosinus integral Fourier yang merupakan fungsi ganjil atau genap masing-masing. Mari kita buktikan jika f(x) jika f(x) ganjil, ganjil, maka
genap, pada
(12.2) mengurangi untuk sepasang transformasi sinus. Bukti yang sesuai untuk f(x) untuk f(x) sejenis sejenis (Soal 1). Kita substitusikan subst itusikan
∫ ∫
Masukkan (12.9) untuk mendapatkan (12.11)
Kita pengganti Sejak ganjil,
bahkan dan kita mengasumsikan bahwa
ganjil. Ingat bahwa integral dari fungsi ganjil selama
selang simetris tentang asal sehingga
adalah nol,
di (12.11) adalah nol. Produk
(produk dari dua fungsi aneh); ingat bahwa integral dari bahkan fungsi
selama suatu interval simetris adalah dua kali terpisahkan atas x x positif. Menggantikan hasil ini ke dalam (12.11), kita memiliki (12.12)
∫ ∫
48
Dari (12.12), kita dapat melihat bahwa mengganti
tanda
dan mengubah tanda
. Artinya,
mengubah , jadi
adalah fungsi ganjil seperti kita diklaim. Kemudian memperluas
eksponensial dalam (12.10) dan berdebat seperti yang kita lakukan untuk memperoleh (12.12), kita menemukan
(12.13)
∫ ∫
Jika kita mengganti
dari (12.12) ke (12.13) untuk mendapatkan
persamaan seperti (12,8), yang Faktor numerik numerik faktor imajiner tidak diperlukan. Faktor
; sehingga
dapat dikalikan pada salah
satu dari dua integral atau masing-masing integral mungkin dikalikan dengan
.
Fourier Sinus Mentransformasi . Kita mendefinisikan
dan
,
sepasang Fourier sinus mengubah mewakili fungsi yang ganjil, dengan persamaan
∫ ∫ ∫ ∫ (12
Fourier Cosine Mentransformasi . Kami mendefinisikan
dan
, sepasang Fourier cosinus sebagai transformator mewakili bahkan
fungsi, dengan persamaan (12
Contoh 1
49
Mari kita mewakili fungsi non periodik sebagai bagian integral Fourier. Fungsi
Pada Gambar 12.1 mungkin mewakili impuls dalam mekanik (yaitu, kekuatan diterapkan hanya dalam waktu yang singkat seperti tongkat memukul bola bisbol), atau tiba-tiba lonjakan arus listrik yang pendek, atau getaran pendek dari suara atau cahaya yang tidak diulang. Karena fungsi yang diberikan tidak periodik, tidak dapat diperluas dalam serangkaian Fourier, sejak Deret Fourier menjadi fungsi periodik.
∫ ∫
Sebaliknya, kita menulis (12.16)
Kita ganti
sebagai Fourier integral sebagai berikut.
dari (12.16) ke dalam rumus (12.10) untuk
(ini
adalah seperti mengganti koefisien dievaluasi menjadi Deret Fourier). Kita mendapatkan
∫
(12.17)
Dengan demikian kita memiliki integral fungsi pada Gambar 12.1.
yang ditunjukkan
50
Contoh 2
Kita bisa menggunakan (12.17) untuk mengevaluasi integral tertentu.
∫ ∫ Menggunakan
pada Gambar 12.1, kita menemukan
(12.18)
Fakta bahwa integral Fourier merupakan titik tengah dari lompatan . Jika kita membiarkan
, kita mendapatkan
(12.19)
Teorema Parseval untuk Fourier Integral Recall (Bagian 11) yang
Parseval
Teorema
berhubungan dengan
untuk
Deret
∑
Fourier
∫ ∑
. Dalam aplikasi fisika
(lihat Bagian 11), Teorema Parseval mengatakan bahwa energi total (gelombang suara, atau sinyal listrik) sama dengan penjumlahan dari energi yang terkait dengan berbagai harmonik. Ingat bahwa Integral
∑ ∑ ∑ ∑ ̅ ∫ ̅ ∫ [∫ ̅ ] ∫ ̅ Fourier spektrum kontinu dari frekuensi dan da n . Maka
berkorespondensi untuk
akan diganti dengan
(Yaitu, "jumlah"
lebih berkelanjutan daripada spektrum diskrit) dan Parseval Teorema akan
berhubungan
.
Pertama-tama tentukan bentuk umum dari Teorema Parseval yang
menibatkan dua fungsi
dan mengubah
menjadi kompleks konjugat
Biarkan
; dari (12,1), kita memiliki
(12.20)
kalikan (12,20) dengan (12.21)
dan mengintegrasikan hubungan dengan
:
51
(12.22)
∫ ̅ [ [∫ ] ∫ ̅
Dari (12.22). Demikian
∫ ̅ ∫ ̅ ∫ (12.23)
(Bandingkan Deret Teorema Fourier pada Soal 11.10.) Jika menetapkan dan
(12.24)
, kita mendapatkan teorema Parseval:
