1
MODUL 9. (Pertemuan 17 s/d 26)
INTEGRAL FOURIER 9.1
DEFINISI INTEGRAL FOURIER Mari kita mengasumsikan kondisi yang berikut pada f(x) : 1. f(x) dalam kondisi stabil Dirichlet tiap-tiap interval terbatas (-L,L). 2.
∞
∫
−∞
f ( x) dx konvergen, jika f(x) integrasi absolut dalam (-L,L).
Maka Teorema Integral Fourier : f ( x) =
∞
∫ { A(
α
0
) cos α x + B (α ) sin α x}d α
(1)
A(α ) = 1 ∞ f ( x) cos α x dx ∫ −∞ di mana ∞ 1 B ( ) = α ∫ −∞ f ( x) sin α x dx π
(2)
π
Dengan melihat hasil ( 1), jika x adalah suatu titik kesinambungan f(x). Jika x adalah suatu titik kesinambungan, kita harus menggantikan f(x) dengan
f ( x + 0) + f ( x − 0) 2
seperti di kasus Deret Fourier. Jangan catat
bahwa itu di atas kondisi-kondisi adalah cukup tetapi perlu. Persamaan ( 1) dan ( 2) dengan bersesuaian hasil untuk Deret Fourier adalah nyata. Sisi tangan kanan ( 1) kadang-kadang disebut suatu Perluasan Integral Fourier f(x).
Teorema (Integral Fourier) Jika f(x) fungsi kontinu sepotong demi sepotong pada setiap interval berhingga, memiliki derivatif kiri maupun derivatif kanan di sekitar titik, dan
integral
lim
0
∫
a →−∞ a
f ( x) dx + lim
b
∫ f ( x) dx
b →∞ 0
direpresentasikan oleh integral Fourier. f ( x) =
∞
∫ { A(
α
0
) cos α x + B (α ) sin α x}d α
A(α ) = 1 ∞ f ( x) cos α x dx ∫ −∞ di mana ∞ B(α ) = 1 ∫ −∞ f ( x) sin α x dx π
π
ada
,
maka
f(x)
dapat
2213
Di titik di mana f(x) tak kontinu, nilai interval sama dengan rata-rata dari limit kiri dan limit kanan f(x) di titik tersebut. Contoh : Cari representasi integral Fourier dari fungsi
1 , jika x < 1 0 , jika x > 1
f ( x ) =
Penyelesaian : A(α ) =
= A(α ) =
1 π
1 π
∞
∫
−∞
f ( x ) cos α x dx = 1 π
1
∫ −1 (1) ⋅ cos
1 πα
x dx =
α
[sin + sin ] = α
α
1 π
−1
0 ⋅ cos ∫−∞ ( )
x dx +
α
1
∫ −1 (1) ⋅ cos
1
⋅ 1 ∫ ⋅ cos α x d (α x ) = −1
α
2 sin α
1 πα
[sin
x dx +
α
1
]
x −1 =
α
1 πα
∞
∫ (0 )⋅ cos
x dx
α
1
[sin − sin (− )] α
α
.
πα
B (α ) =
1 π
∞
∫
−∞
f ( x ) sin α x dx 1 π
0 ⋅ sin α xx dx + ∫ (1) ⋅ sin α xx dx + ∫ (0 ) ⋅ sin α xx dx ∫−∞ ( ) 1 −1 −1
1
1
∫ −1 (1) ⋅ sin α xx dx = 1 ⋅ 1 ∫ −1 ⋅ sin α xx d (α x ) = B(α ) = − 1 [cos α − cos α ] = 0 . =
1
π
∞
1
π
α
1 πα
[− cos x ] = − 1
α
−1
πα
∞
f ( x ) =
∫ { A(
f ( x) =
2 sin α 2 ∞ sin α ⋅ cos α x dα + ⋅ x x d . cos 0 sin α α α = ∫ 0 πα ∫ 0 π α
α
0
) cos α x + B (α ) sin α x}d α ,
∞
Latihan Soal : Carilah representasi integral Fourier fungsi
0 jika x < 0 f ( x) = 2 jika x = 0 π e - x jika x > 0 π
∞
Kunci Jawabanya : f ( x) = ∫ 0
cos α x + α sinα x 1 + α 2
d α
1 πα
[cos − cos(− )] α
α
3313
INTEGRAL COSINUS DAN INTEGRAL SINUS FOURIER Jika f(x) fungsi genap, maka integrand f ( x) cos α x merupakan fungsi genap dalam x, dan f ( x) sin α x fungsi ganjil dalam x. Dengan demikian : B (α ) = A(α ) =
1 π
1 π
∞
∫ ∫
−∞ ∞ −∞
f ( x) sin α x dx = 0 , f ( x ) cos α x dx = 2
π
∞
∫ f ( x) cos 0
x dx ,
α
∞
∫ { A( ) cos x + B( ) sin x}d f ( x ) = ∫ { A( ) cos x + 0 x}d f ( x ) = ∫ A( ) cos x d yang merupakan Integral Cosinus Fourier. f ( x ) =
α
α
α
α
α
α
α
0
∞
α
0
∞
α
α
α
0
Jika f(x) fungsi ganjil, maka integrand f ( x) cos α x merupakan fungsi ganjil dalam x, dan f ( x) sin α x fungsi genap dalam x. Dengan demikian : A(α ) = B (α ) =
1 π
1 π
∞
∫ ∫
−∞ ∞ −∞
f ( x ) cos α x dx =0 , f ( x ) sin α x dx =
2 π
∞
∫ f ( x) sin 0
x dx ,
α
∞
∫ { A( ) cos x + B( ) sin x}d f ( x ) = ∫ {0 x + B ( ) sin x}d f ( x ) = ∫ B ( ) sin x d yang merupakan Integral Sinus Fourier. f ( x ) =
α
α
α
α
α
0
∞
α
α
α
0
∞
α
α
α
0
Contoh : Cari Integral Cosinus dan Integral Sinus Fourier dari ( x > 0, k > 0) f ( x) = e − kx , Penyelesaian :
A(α ) =
1 π
∞
∫
−∞
f ( x ) cos α x dx = 2
π
∞
∫ 0
f ( x) cos α x dx =
2 π
∞
∫ e 0
− kx
cos α x dx ,
p − kx e − kx 2 {(− k ) cos α x + α sin α x} , A(α ) = ⋅ lim ∫ e cos α x dx = ⋅ lim 2 2 p →∞ 0 p → ∞ π (− k ) + α 0 p
π
2
4413 2
e − kp e0 cos cos 0 sin 0 − + − − + ( ) ( ) A(α ) = ⋅ lim 2 k p p k α α sin α α , 2 2 p →∞ k + α 2 π + k α 2 1 2k 1 − + A(α ) = ⋅ 0 − 2 k ( α ⋅ 0 ) = π ⋅ k 2 + α 2 . π k + α 2 B (α ) =
1 π
∞
∫
f ( x ) sin α x dx =
−∞
2 π
∞
∫ 0
f ( x) sin α x dx =
2 π
∞
∫ e
− kx
0
sin α x dx ,
p e −kx − kx 2 B (α ) = ⋅ lim ∫ e sin α x dx = ⋅ lim {(− k )sin α x − α cos α x} , 2 2 → ∞ p →∞ 0 p π (− k ) + α 0 e − kp e0 2 − − − − − B(α ) = ⋅ lim 2 k p p k sin sin 0 ( α α cos α ) ( α cos 0 ) , 2 2 2 p →∞ π k + α k + α 2 1 2 α . B (α ) = ⋅ 0 − 2 (− k ⋅ 0 − α ⋅ ⋅1) = ⋅ 2 2 2 π k + α π k + α
2
p
π
Maka Integral Cosinus Fourier :
f ( x ) = f ( x ) =
∞
∫ A(
α
0
∞
∫ 0
) cos α x d α ,
2k π
1 2k ∞ cos α x ⋅ 2 cos α d α = 2 ∫ 0 k 2 + α 2 d α . π k + α
Maka Integral Sinus Fourier : ∞
f ( x ) =
∫ B(
f ( x ) =
2 ∞ α sin α x α ⋅ sin α d α = ∫ 0 π k 2 + α 2 ∫ 0 k 2 + α 2 d α . π
α
0
∞
) sin α x d α ,
2
Soal Latihan : 1. Carilah representasi Integral Cosinus Fourier fungsi
1 , jika 0 < x < 1 f ( x) = 0 , jika x > 1
Kunci Jawaban : f ( x) =
2 π
∞
sin α ⋅ cos α x d α α
∫ 0
5513
2. Carilah representasi Integral Sinus Fourier fungsi
e x , jika 0 < x < 1 f ( x) = 0 , jika x > 1
Kunci Jawaban : f ( x) =
2
∞
α − e(α cos α − sin α ) sin α xd α 1 + α 2
∫ 0
π
FORMAT PADANAN DARI TOREMA INTEGRAL FOURIER Teorema Integral Fourier dapat juga ditulis dalam bentuk : f ( x) = f ( x) =
=
1 π
∞
∞
∫ ∫ α
= 0 u = −∞ ∞
∫ ∫ ∫
1 2π
f (u ) cos α ( x − u ) du d α
e −i x d α α
−∞
∞
∞
1 2π −∞ − ∞
∞
∫
−∞
f (u )e
(3)
f (u )e i u du α
iα ( u − x )
(4) du d α
di mana jika f(x) tidak kontinu di sebelah kiri x harus diganti dengan f ( x + 0) + f ( x − 0) 2
.
These results can be simplified somewhat if f(x) is either an odd or an even function, and we have : f ( x ) = f ( x ) =
2 π
2 π
∫
∞
∫
∞
0
0
cos α x d α
sin α x d α
∞
∫ f (u ) cos
u du ,
α
0
∞
∫ f (u) sin 0
u du ,
α
if f(x) is even
(5)
if f(x) is odd
(6)
6613
9.2
DEFINISI TRANSFORMASI FOURIER
Definisi Fungsi F (α ) disebut transformasi Fourier dari fungsi f ( x ) dan ditulis F (α ) = F{ f ( x )},
bila dari (4), akan diperoleh berikut ini : F (α ) =
1
∞
∫ f (u )e
iα u
2π −∞
du .
(7)
Sedangkan fungsi f ( x) disebut transformasi Fourier inverse dari fungsi F (α ) dan ditulis f ( x) = F −1{ F (α )},
bila f ( x ) =
1
∞
∫ F (
α
2π −∞
)e −i x d α . α
(8)
Contoh : Carilah transformasi Fourier dari fungsi
1 , bila x < a f ( x) = 0 , bila x > a
di mana a konstanta positif. Gambarlah grafik dari f ( x) dan F (α ) = F{ f ( x )} tersebut. F(x) F (α )
1
α -a
a
7713
Solusi F (α ) =
1
∞
∫ f (u) e
iα u
2π −∞
du =
a
1
∫ 1 ⋅ e
iα u
2π − a
du
1 iau a 1 1 ia −ia e e − ( ) e = − a 2π iα 2π iα 2 e ia − e −ia 4 sin(aα ) , α ≠ 0, = = 2i α 2π α 2π =
1
α
α
= F (0) =
4 sin(aα ) 2π 1
α
a
∫
1 dx =
2π −a
α
2 sin(aα )
=
π
2a 2π
α
=
4 2π
a=
Jadi,
2 sin(aα ) , bila α ≠ 0 π α F (α ) = 2a , bila α = 0. π Assignment 1 1. Carilah transformasi Fourier dari fungsi
1 , bila x < a, f ( x ) = 2a 0 , bila x > a, di mana a konstanta positif.
2. Carilah transformasi Fourier dari fungsi
1 − x 2 , bila x < 1 f ( x ) = , bila x > 1. 0
α
2 π
a
8813 TRANSFORMASI
COSINUS
FOURIER
Bila f(x) fungsi genap, buktikan bahwa : F c (α ) = F{ f ( x)} =
∞
2
∫ f (u ) cos(
u ) du ,
α
π
0
dan 2
−1
f ( x ) = F { F c (α )} =
π
∞
∫ F (
c α
) cos(α x) d α .
0
Solusi (a) ∞
1
F c (α ) =
∞
∫
f (u ) e 2π −∞
du =
iα u
∫ f (u)[cos(
u ) + i sin(α u )] du
α
−∞
∞ ∞ f u u du i f u u du = + ( ) cos( ) ( ) sin( ) α α ∫ ∫ 2π −∞ −∞ ∞ ∞ 1 4 f (u ) cos(α u ) du = 2 ∫ f (u ) cos(α u ) du = ∫ 2π 0 2π 0
1
F c (α ) =
2 π
∞
∫ f (u) cos(
u ) du
α
0
mengingat bahwa f ( x ) cos(α x ) adalah fungsi genap dan f ( x) sin(α x) adalah fungsi ganjil (keduanya terhadap variable x). (b) f ( x) =
∞
1
∫ F (
c α
2π −∞
)e
−iα x
d α =
1
∫
=
F c (α ) cos(α x ) d α − 2π −∞
=
2
∞
2π f ( x) =
2 π
∫ F (
c α
) cos(α x ) d α =
0
∞
∫ F (
c α
0
) cos(α x) d α
∫ F (
2π −∞
∞
1
∞ c α
)[cos(α x ) − i sin(α x)] d α
∞
i
∫
F c (α ) sin(α x ) d α 2π −∞ 4 2π
∞
∫ F (
c α
0
) cos(α x ) d α
9913
mengingat F c (α ) adalah fungsi genap yaitu F c (−α ) = F c (α ) untuk tiap
α
,
di mana f(x) adalah Transformasi cosinus Fourier ( Fourier Cosine Transform )
TRANSFORMASI SINUS FOURIER Definisi Fungsi F s (α ) disebut transformasi sinus Fourier dari fungsi f ( x) dan ditulis F s (α ) = F s { f ( x)},
bila F s (α ) =
2 π
∞
∫ f (u) sin(
u ) du .
α
0
Sedangkan fungsi f ( x ) disebut transformasi sinus Fourier inverse dari fungsi F s (α ) dan ditulis f ( x) = F s−1 {F s (α )},
bila f ( x ) =
2 π
∞
∫ F (
s α
) sin(α x ) d α
0
mengingat F s (α ) adalah fungsi ganjil yaitu F s (−α ) = − F s (α ) untuk tiap
α
,
di mana f(x) adalah Transformasi Sinus Fourier ( Fourier Sine Transform )
Contoh-contoh 1. Carilah transformasi sinus Fourier dari fungsi
1, bila 0 < x < 1 f ( x) = 0, bila x > 1.
101013
Solusi F S (α ) =
=
2 π
∫
f (u ) sin(α u ) du =
0
2
1 1 u − cos( ) α = 0 α
π
F S (α ) =
∞
2
∫ 1 ⋅ sin(α uu ) du + ∫ 0 ⋅ sin(α uu ) du π 1 0 ∞
1
2 1
− (cos α − cos 0), π α
1 1 − cos α − (cos α − 1) = α π α 2
2
,
α
≠0
π
2. Carilah transformasi cosinus Fourier dari fungsi f ( x) = e − x , x ≥ 0. Solusi 2
∞
∞
−u
∫ e 0 p −u p 2 2 −u e = − ( 1 ) cos( ( α u ) + α sin (α )u ) lim ∫ e cos(α u )du = lim (− 1)2 + α 2 π p → ∞ π p → ∞ 0 0 0 − p 2 e e lim = (− cos(α p) + α sin(α p) ) − (− cos 0 + α sin 0 ) 2 π p →∞ 1 + α 1 + α 2
F c (α ) =
=
π
∫
2
f (u ) cos(α u ) du =
2 0 −
π
π
0
1 1 + α
2
(− 1 + 0) =
cos(α u ) du
2
1 2 π 1 + α
Jadi, F c (α ) =
2
2 π 1 + α 1
Assignment 2
1. Carilah transformasi cosinus Fourier dari fungsi
1, bila 0 < x < 1 f ( x) = 0, bila x > 1.
111113
2. Carilah transformasi sinus Fourier dari fungsi-fungsi : (a)
f(x)=e-x , x ≥ 0
(b)
f(x)=e-2x , x ≥ 0.
9. 3 SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER Dalam hal ini digunakan notasi f ( x) ↔ F (α )
untuk menunjukkan pasangan transformasi F (α ) = F{ f ( x)} = f ( x) = F
−1
{ F (α )} =
∞
1
∫ f ( x) e
2π −∞ 1
iα x
dx
∞
∫ F (
2π −∞
α
) e −i x d α α
Sifat-sifat Elementer 1. Linieritas Bila f 1 ( x) ↔ F 1 (α ) dan f 2 ( x) ↔ F 2 (α ), maka a1 f 1 ( x) + a2 f 2 ( x) ↔ a1 F 1 (α ) + a2 F 2 (α ), a1 , a2 konstanta.
2. Time-shifting Bila f ( x) ↔ F (α ), maka f ( x − x0 ) ↔ F (α ) e i x0 . α
3. Frequency-shifting Bila f ( x) ↔ F (α ), maka f ( x) e −i
α 0
x
↔ F (α − α 0 ) .
121213
4. Scaling Bila f ( x) ↔ F (α ), maka untuk konstanta a yang bernilai nyata (real) dan tidak sama dengan nol berlaku f ( ax) ↔
1
α
F ( ) . a a
5. Time-reversal Bila f ( x) ↔ F (α ), maka f (− x) ↔ − F (−α ) .
6. Simetri Bila f ( x) ↔ F (α ), maka F ( x) ↔ f (−α ).
Contoh-contoh 1. Buktikan sifat linieritas di atas. Solusi ∞
F [a1 f 1 ( x ) + a 2 f 2 ( x )] =
∞
∫ [a f ( x) + a f ( x)]e 1
1
2
−iα x
2
−∞
= a1F [ f 1 ( x)] + a 2 F [ f 2 ( x)], di mana a1 , a 2 kostanta.
dx = a1
∞
∫ f ( x) e 1
−∞
− iα x
dx + a 2
∫ f ( x) e 2
−∞
−iα x
dx
131313
2. Buktikan sifat frequency-shifting di atas. Solusi ∞
F [ f ( x)e
iα 0 x
]=
∫ [ f ( x)e −∞
∞ iα 0 x
]e
−iα x
dx =
∫ f ( x) e
−i (α −α 0 ) x
dx = F(α − α 0 ).
−∞
Assignment 3 1. Buktikan sifat-sifat time-shifting, scaling, time-reversal, dan simetri di atas.
