latihan soal dan pembahasan trigonometriDeskripsi lengkap
Full description
Latihan Soal IPA bab Listrik Dinamis untuk persiapan UN SMP
selamat mencobaFull description
Soal Bahasa Inggris untuk kelas 1 Sekolah Dasar.
BAB IV DERET FOURIER
4.1 Fungsi Periodik
Fungsi f(x) dikatakan periodik dengan perioda P, jika untuk semua harga x berlaku:
f (x + P) = f (x) ; P adalah konstanta positif.
arga terke!il dari P " # disebut perioda terke!il atau sering disebut perioda dari f(x). $ontoh : •
Fungsi sin x mempun%ai perioda &'; '; '; ...... karena sin (x+& ') = sin (x+ ') = sin (x+ ') = ..........= sin x.
•
Periode dari sin nx atau !os nx ; dengan n bilangan bulat positif adalah & ' *n.
•
Periode dari tan x adalah '.
•
Fungsi konstan mempun%ai periode sembarang bilangan positif.
ambar grafik dari fungsifungsi %ang periodik, misaln%a :
IV - 1
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada setiap segmen (pie!e-ise !ontinuous fun!tion), bila f(x) han%a kontinu pada interalinteral tertentu dan diskontinu pada titiktitik %ang ban%akn%a berhingga. arga f(x) di titiktitik diskontinu ditentukan dengan menghitung harga limit fungsi f(x) untuk x mendekati titik diskontinu (ujung masingmasing interal).
IV - 2
4.2 Deret Fourier
/alam beberapa permasalahan %ang berhubungan dengan gelombang (gelombang suara, air, bun%i, panas, dsb) ; pendekatan dengan deret Fourier %ang sukusukun%a memuat sinus dan !osinus sering digunakan. /engan mengekspansikan ke dalam bentuk deret Fourier ; suatu fungsi periodik bisa din%atakan sebagai jumlahan dari beberapa fungsi harmonis, %aitu fungsi dari sinus dan !osinus (fungsi sinusoidal).
Definisi Deret Fourier :
0ika fungsi f(x) terdefinisi pada interal (1;1) dan di luar interal tersebut f(x) periodikdengan periode &1 ; maka deret Fourier atau ekspansi Fourier dari fungsi f(x) tersebut di definisikan sebagai : (5) dengan koefisien Fourier a n , bn ditentukan oleh : (&)
0ika interal (21;1) sembarang dan f(x) mempun%ai periode &1 maka : (4)
() (3)
dengan $ sembarang bilangan real. 0ika $ = 1 maka rumus () dan (3) akan sama dengan (&) dan (4). /eret Fourier konergen bila memenuhi s%arat*kondisi /iri!hlet.
IV - 3
S!r!t "#ondisi Diri$%&et
6eorema : 0ika,
5. f(x) terdefinisi dan bernilai tunggal, ke!uali pada beberapa titik %ang ban%akn%a berhingga pada interal (1:1). &. f(x) periodik dengan perioda &1. 4.f(x) dan f7(x) merupakan fungsifungsi %ang kontinu pada setiap segmen pada interal (1;1).
8aka deret Fourier (5) dengan koefisien (&) dan (4) atau () dan (3) konergen ke :
'onto% : 5. 6entukan deret Fourier dari fungsi f(x) %ang didefinisikan sebagai :
di luar interal ini f(x) periodik dengan perioda & '. Pene&es!i!n :
IV - 4
Fungsi f (x) pada !ontoh diatas bisa dimisalkan merupakan suatu pulsa oltase %ang periodik; dan sukusuku dari deret Fourier %ang dihasilkan akan berkaitan dengan frekuensi frekuensi %ang berbeda dari arus bolak balik %ang dihubungkan pada gelombang 9bujur sangkar dari oltase tadi.
&. 6entukan deret Fourier dari :
dan bagaimanakah f (x) harus ditentukan pada x = 3 ; x = # dan x = 3 agar deret Fourier tersebut konergen ke f (x) pada 3 x 3.
IV - 5
Pene&es!i!n : Periode = &1 <<<. 1=3
/eret Fouriern%a :
f(x) memenuhi s%arat /iri!hlet , jadi deret Fourier akan konergen ke:
-
F (x) ; jika x titik kontinu
-
f (x+ ) + f (x ) ; jika x titik diskontinu & titiktitik x = 3; # dan 3 merupakan titiktitik diskontinu dari f (x) pada interal (3,3) sehingga :
di x = 3 ; deret akan konergen ke :
di x = # ; deret akan konergen ke :
di x = 3 ; deret akan konergen ke : IV - 6
/eret Fourier diatas akan konergen ke f (x) pada interal 3 x 3 apabila f (x) ditentukan sbb:
diluar interal ini periodik dengan p = 5#
4. >kspansikan f (x) = x & ; # x & kedalam deret Fourier jika f (x) Periodik dengan periode & .
Pene&es!i!n :
periode &1 = &
1=
IV - 7
. /engan menggunakan hasil dari !ontoh no. 4, buktikan bah-a :
Pene&es!i!n : Pada x = # ; deret Fourier dari f(x) = x& konergen ke f(x) =
IV - 8
2.( Fungsi )en!* d!n Fungsi )!n+i&
Fungsi f(x) disebut fungsi gen!* jika f ( x ) = f (x) untuk setiap x. $ontoh :
Polinomial dalam x %ang sukusukun%a adalah x berpangkat genap merupakan fungsi genap. 0ika f (x) fungsi genap maka: () Fungsi f (x) disebut fungsi g!n+i& jika f ( x ) = f (x) untuk semua x.
$ontoh :
IV - 9
Polinomial dalam x %ang sukusukun%a adalah x berpangkat ganjil merupakan fungsi ganjil. 0ika f (x) fungsi ganjil maka: (?)
Jadi , jika f(x) fungsi genap maka n ! " # se$ingga %ang mun&u' $an%a suku-suku %ang mengandung &sinus saja aau suku-suku da*i a n+
Deret fourier dari fungsi ganjil:
IV - 1"
0ika f(x) fungsi ganjil maka an = # ; sehingga %ang mun!ul han%a suku suku %ang mengandung sinus saja atau sukusuku dari bn. /eret sinus dan !osinus setengah jangkauan adalah suatu deret Fourier %ang han%a mengandung suku sinus atau !osinus saja. @pabila diinginkan deret setengah jangkauan %ang sesuai dengan fungsi %ang diberikan, fungsi %ang dimaksud biasan%a han%a diberikan dalam setengah interal adari (1;1) %aitu pada interal (#;1) saja. Aetengah lain%a %aitu (1,#) ditentukan berdasarkan penjelasan fungsin%a genap atau ganjil. /eret sinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan : f(x) fungsi ganjil (B)
/eret $osinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan: f(x) fungsi genap
(C)
'onto%: >kspansikan f (x) = x ; # x & ke dalam : a. deret sinus setengah jangkauan b. deret !osinus setengah jangkauan
Pene&es!i!n :
a. deret sinus setengah jangkauan
IV - 11
f (x) = x ; # x & diperluas dalam bentuk fungsi ganjil sepanjang interal& x & (dengan periode ), sebagai berikut: Aehingga : an = #
0adi deret sinus:
b.
/eret !osinus setengah jangkauan
IV - 12
f (x) = x ; # x & diperluas dalam bentuk fungsi ganjil sepanjang interal & x & (dengan periode ), sebagai berikut: an = #
