BAB 2 DERET FOURIER
2.1. Pendahuluan
Suatu getaran atau osilasi merupakan suatu gelombang harmonik yang tersusun atas banyak gelombang periodik berbentuk Sinus dan Cosinus, dimana jumlah superposisi dari semua gelombang penyusunnya membentuk getaran atau osilasi tersebut. Bentuk getaran atau osilasi di dalam fisika banyak macamnya, misalnya vibrasi dari garpu tala, getaran atau ayunan dari bandul, gelombang air, getaran dari sistem benda pegas, gelombang bunyi, arus listrik, dan lain sebagainya. Uraian suatu gelombang ke dalam gelombang penyusunnya
dinamakan Deret
Fourier. Setiap gelombang penyusun mempunyai amplitudo yang dinamakan Koefisien Fourier.
Bab ini akan membahas tentang Fungsi Periodik, Nilai Rata-rata dari suatu fungsi Periodik, Deret Fourier Sinus dan Cosinus, Koefisien Fourier, Interval Fourier, Deret Fourier Bentuk Kompleks, dan Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil. Pada akhir bab ini dibahas tentang contoh-contoh deret Fourier. Setelah mengikuti kuliah ini mahasiswa diharapkan dapat mengenal perumusan deret Fourier, melakukan penguraian suatu fungsi periodik ke dalam bentuk deret Fourier, dan dapat memahami bentuk deret Fourier fungsi genap dan fungsi ganjil.
2.2. Fungsi Periodik
Suatu fungsi f(t) dikatakan periodik dengan perioda T jika nilai fungsi f(t) sama (berulang) setiap selang periodanya. Hal ini dapat dirumuskan : f(t) =f(t+T) , untuk setiap t.
download on
www.enggar.tk
Banyak fungsi f(t) merupakan fungsi periodik, misalnya Sin (t + 2) = Sin t Agar lebih jelas, dapat dilihat melalui gambar berikut : f(t)
t T
2T
3T
P(t)
T
2T
3T
4T
5T
6T
T
S(t)
T
2T
3T
L(t)
T
2T
Gambar 2.1. Fungsi periodik download on
www.enggar.tk
3T
Banyak fungsi f(t) merupakan fungsi periodik, misalnya Sin (t + 2) = Sin t Agar lebih jelas, dapat dilihat melalui gambar berikut : f(t)
t T
2T
3T
P(t)
T
2T
3T
4T
5T
6T
T
S(t)
T
2T
3T
L(t)
T
2T
Gambar 2.1. Fungsi periodik download on
www.enggar.tk
3T
2.3. Kondisi Dirichlet Dirichlet
Suatu fungsi f(t) terdefinisi pada interval (-L, L), periodik dengan perioda 2L. f(t) dan f ˡ(t) kontinu dalam interval tersebut. Jika ada nilai f(t) yang bersifat diskontinu pada interval tersebut, misal pada titik t = 0, lim
f(0)
t 0
f(t) lim t 0 f(t) , maka
f(0 ) f(0 )
2
dimana :
f(0 ) adalah nilai f(0) dari t = 0 sebelah kanan
f(0 ) adalah nilai f(0) dari t = 0 sebelah kiri
2.4. Nilai Rata-rata dari suatu fungsi Periodik
Suatu fungsi f(t) yang periodik, mempunyai nilai rata-rata pada interval (a,b) sebagai berikut :
f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 3 ) f(x n ) n Jika interval (a,b) dibagi kecil-kecil sebesar
t
sebanyak n, maka nilai rata-rata
menjadi :
f(x1) f(x 2 ) f(x 3 ) f(x n )Δ t nΔt Untuk nilai n
∞,
maka
t
0, sehingga nilai rata-rata fungsi periodik sepanjang
interval periodik (a,b) adalah : b
f(t) dt a
ba
, atau
1
b
f(t) dt ba a
download on
www.enggar.tk
Beberapa contoh perhitungan nilai rata-rata fungsi periodik : a. f(t)
Sin t , dengan interval periodik (- , )
Nilai rata-rata =
b. f(t)
Sin t dt 2π Cos t dt 0
π
π
π
Sin Sin
1 2π
2
2
t Cos t dt
π
1 2π
π
dt 1
π
Sin 2 t , dengan interval periodik (- , ) Sin
Nilai rata-rata =
d. f(t)
2π
π
1
Sin 2 t Cos2 t , dengan interval periodik (- , ) Sin
Nilai rata-rata =
c. f(t)
π
1
π
1
Sin Sin
2π
2π
2π 1 2π
1 2π
π
Cos
2
t dt 1/2
π
, dengan interval periodik (- , )
π
1
1
t dt
π
Sin Sin mt Cos mt
Nilai rata-rata =
2
Sin mt Cos nt dt Sin
π
π
eimt e imt eint e int 2i
π π
i(m n)t 1 ei(m nt) e i(m
2
π
2
2i
download on
dt
i(m - n)t e i(m - n)t ei(m
www.enggar.tk
2i
dt
Nilai rata-rata
π
1 2π
1
2 Sin (m n)t Sin (m - n)t dt 0
π
untuk semua m dan n
e. f(t)
Sin mt Sin nt
Nilai rata-rata =
π
1 2π
2π
eimt e imt eint e int 2i
π π
2
π π
2i
1 ei(m nt) e i(m n)t
2
1 2π
π
1 2π
Sin mt Sin nt dt
π
1
, dengan interval periodik (- , )
dt
1
2 Cos (m - n)t - Cos (m n)t dt
π
*) Untuk m ≠ n, maka Nilai rata-rata
1 2π
π
Cos pt - Cos qt dt 0
π
*) Untuk m = n ≠ 0, maka Nilai rata-rata
ei(m - n)t e i(m - n)t
1 2π
π
1
1
2 1 - Cos qt dt 2
π
download on
www.enggar.tk
2
dt
*) Untuk m = n = 0, maka
Nilai rata-rata
f. f(t)
1 2π
Cos mt Cos nt
Nilai rata-rata =
2π
2π
π
, dengan interval periodik (- , )
π
e
e imt eint e int
imt
2
π π
2
π π
2
1 ei(m nt) e i(m n)t
2
1 2π
2 1 - 1 dt 0
Cos mt Cos nt dt
π
1 2π
1
π
1
1
π
dt
ei(m - n)t e i(m - n)t
1
2 Cos (m n)t Cos (m - n)t dt
π
*) Untuk m ≠ n, maka Nilai rata-rata
1 2π
π
Cos pt Cos qt dt 0
π
*) Untuk m = n ≠ 0, maka Nilai rata-rata
1 2π
π
1
1
2 Cos pt 1 dt 2
π
download on
www.enggar.tk
2
dt
*) Untuk m = n = 0, maka Nilai rata-rata
1 2π
π
1
2 1 1 dt 1
π
2.5. Deret Fourier Sinus dan Cosinus
Suatu getaran atau osilasi merupakan suatu gelombang harmonik yang tersusun atas banyak gelombang periodik berbentuk Sinus dan Cosinus, dimana jumlah superposisi dari semua gelombang penyusunnya membentuk getaran atau osilasi tersebut. Fungsi Sinus nt dan Cosinus nt mempunyai perioda 2 , merupakan fungsi dasar yang nantinya dikembangkan ke bentuk fungsi Sin n t dan Cos n t. Dengan demikian akan berlaku : Sin n(t + 2) = Sin (nt + n2 ) = Sin nt Perumusan deret Fourier bentuk Sinus dan Cosinus adalah :
f(t)
a0 2 a0 2
n 1
n 1
a n Cos nt bn Sin nt
a1 Cos t a 2 Cos 2t a n Cos nt
b1 Sin t b 2 Sin 2t b n Sin nt Dengan an dan bn merupakan koefisien- koefisien yang harus dirumuskan menggunakan nilai rata-rata fungsi periodik, dan dinamakan koefisien Fourier.
2.6. Koefisien Fourier
Perumusan deret Fourier bentuk Sinus dan Cosinus mengandung suku a 0, an, dan bn yang dinamakan koefisien Fourier. Koefisien-koefisien ini dapat dihitung dengan cara merumuskannya terlebih dahulu. download on
www.enggar.tk
Perumusan koefisien-koefisien Fourier menggunakan prinsip nilai rata-rata sebagai berikut : a) Jika dilakukan integrasi dari perumusan deret Fourier, akan didapat : π
f(t) dt
-π
a0
π
-π
-π
dt a1 Cos t a 2 Cos 2t a n Cos nt dt
2
π
π
b1 Sin t b 2 Sin 2t b n Sin nt dt
-π
a0 2
2π
00
dengan demikian didapat :
a0
1
π
π
f(t) dt
π
b) Jika kedua ruas deret Fourier dikalikan dengan Sin nt, kemudian diintegrasikan, akan didapat : π
f(t) Sin nt dt
a0 2
-π
π
Sin nt dt
-π
π
a1 Cos t a 2 Cos 2t a n Cos nt Sin nt dt
-π
π
b1 Sin t b 2 Sin 2t b n Sin nt Sin nt dt
-π
π
b n Sin 2 nt dt π b n -π download on
www.enggar.tk
dengan demikian didapat :
bn
π
1
π
f(t) Sin nt dt
π
c. Jika kedua ruas deret Fourier dikalikan dengan Cos nt, kemudian diintegrasikan, akan didapat : π
π
a0
f(t) Cos nt dt
2
-π
Cos nt dt
-π
π
a1 Cos t a 2 Cos 2t a n Cos nt Cos nt dt
-π
π
b1 Sin t b 2 Sin 2t b n Sin nt Cos nt dt
-π π
a n Cos2 nt dt π a n -π
dengan demikian didapat :
an
1
π
π
f(t) Cos nt dt
π
koefisien-koefisien Fourier dirumuskan :
an
bn
1
π 1
π
π
f(t) Cos nt dt ,
dan a 0
a n (n 0)
π π
f(t) Sin nt dt
π
download on
www.enggar.tk
1
π
π
f(t) dt
π
Tinjau f(t) seperti di bawah ini :
f(t)
1
-3
-2
-
2
3
4
Gambar 2.2 fungsi f(t)
Fungsi f(t) ini dapat dirumuskan :
0, π t 0 f(t) 1, 0 t π Kita hitung koefisien-koefisien Fourier :
a0
π
1
π
f(t) dt
π
1
π
0
1
π
0 dt π dt
π
0
0 1 1 an
1
π
π
f(t) Cos nt dt
π
1
0
π
π
1
π
0. Cos nt dt π Cos nt dt 0 0 0 0
download on
www.enggar.tk
t
1
bn
π
π
f(t) Sin nt dt
π
1
0
π
π
1
π
0. Sin nt dt π Sin nt dt 0
Cos nt π 0 nπ 0 1
b1
nπ
1
π
b2
1 Cos π
1 2π
1
b 3
3π
b4
1 Cos nπ
1 4π
2
π
1 Cos 2π 0
1 Cos 3π
2 3π
1 Cos 4π 0
Deret Fourier yang terbentuk adalah :
a f(t) 0 a1 Cos t a 2 Cos 2t a n Cos nt 2
b1 Sin t b 2 Sin 2t b n Sin nt 1
2
2
π
1 2
Sin t
2 3π
Sin 3t
2 5π
Sin 5t
2 Sin t Sin 3t Sin 5t 3 5 π 1
download on
www.enggar.tk
2.7. Deret Fourier Bentuk Kompleks
Jika kita ingat kembali bahwa :
Sin nt
eint - e -int 2i eint e -int
Cos nt
2
ternyata komponen Sin nt dan Cos nt tersusun dari fungsi eksponensial bentuk kompleks. Deret Fourier dapat dirumuskan ke dalam komponen fungsi eksponensial bentuk kompleks e
int
atau e
-int
yang periodik dengan perioda 2 , sama dengan perioda
fungsi Sin nt atau Cos nt. Perumusan deret Fourier bentuk Kompleks adalah :
f(t)
Cn eint
n -
C0 C1 eit C 2 ei2t C3 ei3t Cn eint C-1 e-it C- 2 e-i2t C-3 e-i3t C- n e-int Koefisien-koefisien C n dapat dihirung dengan cara sebagai berikut : Jika kedua ruas deret Fourier dikalikan dengan e
-int
, kemudian diintegrasikan, akan
didapat : π
f(t) e
-π
-int
dt
π
C0 C1 e
it
C2 ei2t Cn eint e-int dt
-π
π
C-1 e-it C-2 e-i2t C-n e-int e-int dt
-π
download on
www.enggar.tk
π
f(t) e
π
-int
dt C n eint e -int dt C n 2π
-π
-π
Sehingga koefisien Fourier dapat dirumuskan :
Cn
π
1
f(t) e
2π
-int
dt
-π
Kita tinjau f(t) seperti di bawah ini :
0, π t 0 f(t) 1, 0 t π Koefisien Fouriernya :
Cn
C0
C1
π
1
f(t) e
2π
-int
dt
-π
0
1
0. e
2π
-int
dt
-π
1 2π
π
e
-int
dt
0
1 e int π
2π
in 0
1 eint 2πin 1
1 2π
π
dt
0
1 2
1 1 e iπ 2πi πi 1
, dan C1
download on
1 1 eiπ - 2πi - πi 1
www.enggar.tk
C2
1 1 e i2π 0 , dan C 2 1 ei2π 0 4πi - 4πi
C3
1 1 e i3π 6πi 3πi
C4
1 1 e i4π 0 , dan C 4 1 ei4π 0 8πi - 8πi
C5
1 1 e i5π 10πi 5πi
1
1
, dan C 3
1 1 ei3π - 6πi - 3πi 1
1
1
, dan C5
1 1 ei5π - 10πi - 5πi 1
Deret Fourier yang terbentuk adalah : it i3t i5t 1 e e e f(t) 2 πi 1 3 5
1
-it 1 e
e-i3t e-i5t πi 1 - 3 - 5
1
1
it it 2 e e
2 π
2
i3t i3t 1 e e
3
2i
2i
i5π i5π 1 e e
5
2i
2 1 1 Sin t Sin 3t Sin 5t 3 5 π
2.8. Interval Fourier
Fungsi Sin nt, Cos nt, e
int
bersifat periodik dengan perioda 2 , dan telah digunakan
dalam perumusan deret Fourier pada interval (- ,
).
Perumusan deret Fourier bisa
menggunakan interval lain sepanjang satu perioda, misalnya (0, 2 ), (, 3), dan download on
www.enggar.tk
seterusnya. Pada kebanyakan persoalan fisika mempunyai perioda 2L, misalnya
nπ t L
interval (-L, L). Pada interval tersebut fungsi Sin
periodik dengan perioda
2, sehingga berlaku hubungan :
Sin
nπ L
t 2L Sin
nπ t 2nπ Sin L L nπ t
Hal ini berlaku juga untuk fungsi Cos nt, e
int
.
Perumusan deret Fourier menjadi :
nπ t nπ t a n Cos f(t) b n Sin 2 n 1 L n 1 L a0
a 2π t nπ t πt a 2 Cos a n Cos f(t) 0 a1 Cos 2 L L L
b1 Sin
πt L
b 2 Sin
2π t L
b n Sin
Koefisien-koefisien deret Fourier adalah :
a0
an
bn
1 L 1 L 1 L
L
f(t) dt
L L
f(t) Cos
-L L
f(t) Sin
-L
nπ t L nπ t L
dt
dt
download on
www.enggar.tk
nπ t L
Dan dalam bentuk kompleks :
Cn e
f(t)
i
nπ t L
n -
Koefisien-koefisien deret Fourier adalah :
Cn
L
1 2L
f(t) e
-i
nπ t L dt
-L
Tinjau f(t) yang didefinisikan :
f(t)
1
-4L
-3L
-2L
-L
L
3L
3L
Gambar 2.3. Fungsi periodik f(t)
0t L
0, f(t) 1,
L t 2L
Koefisien Fouriernya :
Cn
1 2L
2L
f(t) e
-i
nπ t L dt
0
download on
www.enggar.tk
t
Cn
L
1
0. e
2L
-i
nπ t
2L
L dt 1
e
2L
0
-i
nπ t L dt
L
2L
i nπ t 1 e L nπ 2L i L L
e in2π e in π 2in π
1 e in π 2in π
C0
1
1
2L
1
dt
2L
L
1 2
C1
-1 1 1 1 e iπ 1 e iπ , dan C 1 2iπ - 2πi πi πi
C2
1 1 e i2π 0 , dan C 2 1 ei2π 0 4πi - 4πi
C3
-1 1 e i3π 6πi 3πi
C4
1 π π 1 e i4 0 , dan C 4 1 ei4 0 8πi - 8πi
C5
-1 1 e i5π 10πi 5πi
1
1
1
, dan C3
1 1 ei3π - 6πi 3πi 1
1
1
download on
, dan C5
www.enggar.tk
1 1 ei5π - 10πi 5πi 1
Deret Fourier yang terbentuk adalah :
iπ t i 3π t i 5π t 1 1 e L e L e L f(t) 2 πi 1 3 5 -iπ t -i 3π t -i 5π t 1 e L e L e L πi 1 3 5 3π t 5π t π t iπ t i 3π t i 5π t i i i 1 2 e L e L 1 e L e L 1 e L e L 3 5 2 π 2i 2i 2i
1 2
2 3π t 1 5π t πt 1 Sin Sin Sin L 3 L 5 L π
2.9. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Perumusan fungsi genap adalah :
f( t) f(t) 2 Misal fungsi genap : t , Cos nt , dan lainnya.
f(t) periodik mempunyai sifat : L
L
L
f(t)dt 2 f(t)dt 0
download on
www.enggar.tk
Perumusan fungsi ganjil adalah :
f( t) f(t) Misal fungsi ganjil : t, Sin nt , dan lainnya. f(t) periodik mempunyai sifat : L
f(t)dt 0
L Perumusan koefisien-koefisien deret Fourier untuk f(t) fungsi genap adalah :
a0
π
an
bn
π
1
π
f(t) dt π f(t) dt
π
0
π
nπ t
2
π
2
f(t) Cos
0
L
dt , karena f(t) Cos
nπ t L
merupakan fungsi genap
π
nπ t nπ t f(t) Sin f(t) Sin dt 0 , karena merupakan fungsi L L π π
1
ganjil Perumusan koefisien-koefisien deret Fourier untuk f(t) fungsi ganjil adalah :
a0
an
1
π
π
f(t) dt 0
π π
nπ t nπ t f(t) Cos f(t) Cos dt 0 , karena merupakan fungsi L L π π
1
ganjil
bn
π
nπ t nπ t f(t) Sin f(t) Sin dt , karena merupakan fungsi genap L π L π
2
download on
www.enggar.tk
Tinjau fungsi f(t) sebagai berikut :
0 t 1 / 2
1, f(t) 0,
1/2 t 1
Jika f(t) merupakan fungsi ganjil, maka f(t) berupa f(t)
-2
-1
0
1
2
Gambar 2.4. Fungsi ganjil
bn
π
nπ t f(t) Sin dt π L π 2
2 1
b1
1/2
Sin
nπ t 1
0
2 nπ
dt
1
2 1
0.Sin
nπ t
1 / 2
1
dt
Cos nπ t 10 / 2
2 nπ 1 Cos nπ 2
2
π
, b2
4 2π
, b3
2 3π
, b4 0
download on
www.enggar.tk
Deret Fourier yang terbentuk adalah :
f(t)
2 2Sin 2π t Sin 3π t Sin 5π t 2Sin 6π t Sin t π 2 3 5 6 π
Jika f(t) merupakan fungsi genap, maka f(t) berupa f(t)
-2
-1
0
1
2
Gambar 2.5. Fungsi genap
a0
an
2
1/2
dt 1
1
0 1
2
f(t) Cos
1
0
1
dt
1/2
1
0
1 / 2
2
nπ t
Cos nπ t dt 2 0.Cos nπ t dt
2 nπ
Sin nπ t 10 / 2
2 nπ Sin nπ 2
download on
www.enggar.tk
Deret Fourier yang terbentuk adalah :
f(t)
2 Cos π t Cos 3π t Cos 5π t 2 π 1 3 5
1
2.10. Teorema Parseval
Ada hubungan antara nilai rata-rata fungsi f
2
(t) dengan koefisien-koefisien deret
Fourier. Kita turunkan hubungannya menggunakan perumusan deret Fourier dan nilai rata-rata fungsi. Deret Fourier dirumuskan :
f(t)
a0 2
n 1
n 1
a n Cos nt bn Sin nt
2
Nilai rata-rata dari f (t) dalam interval (- , ) adalah :
2
Nilai rata-rata f (t) =
1 2π
2
π
f(t)
dt
π
Nilai rata-rata dari koefisien Fourier adalah : Nilai rata-rata dari
1 a0 2
2
1 = a0 2
2
2 2 Nilai rata-rata dari a n Cos nt = a n 1 / 2 2 2 Nilai rata-rata dari b n Sin nt = b n 1 / 2
Jika f
2
(t) diterapkan pada perumusan deret Fourier, maka akan terdapat hasil
perkalian 2.1/2 a 0 .a n Cos nt, 2.1/2 a 0 .b n Sin nt, dan hasil perkalian (m ≠ n)
2.a n b n Cos nt Sin mt yang semuanya mempunyai nilai rata-rata nol.
download on
www.enggar.tk
Dengan demikian perumusan deret Fourier yang telah dikuadratkan tersisa menjadi :
1 1 a 0 2 2 (t) = (a n ) (bn ) 2 n 1 2 n 1 2 2
Nilai rata-rata f
2
Untuk deret Fourier bentuk kompleks didapat :
| C n |2
2
Nilai rata-rata |f(t)| =
n
Tinjau fungsi f(t) = t pada interval – 1 < t < 1. f(t) diuraikan ke dalam deret Fourier bentuk kompleks. Koefisien-koefisien Fourier adalah :
Cn
1
1
f(t) e 2
-inπ t
dt
-1
1
1
te 2
-inπ t
dt
-1
1
1 π π 1 e-in t 1 e -in t dt t. 2 - in π 2 in π 1 -1
π π 1 e-in ein 2 in π in π
1 in π
Cos nπ
Cos nπ in π
1 e -in
π
nπ
2 (nπ) 2
i (nπn
i
1
1 e-inπ t 2 2 (nπ) 1
2
2 (nπ) ein
π
Sin nπ
Cos nπ download on
www.enggar.tk
Deret Fourier yang terbentuk adalah :
f(t)
Cn einπ t
n -
i 1 1 1 1 f(t) eiπ t e-iπ t e-i2π t ei2π t ei3π t e-i3π t 2 2 3 3 π 2
Nilai rata-rata f (t) pada interval (-1, 1) adalah : 1
1 2 1 x3 1 t 2 3 2 1 3 1 1
2
Nilai rata-rata f (t) =
Dengan menggunakan teorema Parseval :
2
Nilai rata-rata f (t) =
| C n |2
n
n
i nπ
2
Cos nπ
1 1 1 1 1 1 1 4 4 9 9 π 2
2 1 1 1 π 2 4 9
Dari kedua persamaan diatas, dapat dibuat persamaan :
2 1 1 2 1 1 3 π 2 4 9 π 2 n n 2
1
download on
www.enggar.tk
Dapat disimpulkan bahwa :
1
n n
2
π2 6
2.11. Contoh-contoh
(i). Uraikan fungsi f(t) ke dalam deret Fourier
0, 5 t 0 f(t) 3, 0 t 5 Jika uraian deret Fourier konvergen ke f(t) pada interval – 5 t 5, definisikan kembali f(t)
Gambar sketsa f(t) adalah :
f(t) 3
t -15
-10
-5
0
5
10
15
20
perioda = 10
2L = 10, maka L = 5
nπ t nπ t a n Cos f(t) b n Sin 2 n 1 L L n 1 a0
download on
www.enggar.tk
a0
an
1 L 1 5
L
f(t) dt
-L 0
5
1
0. dt 5 3 dt 3
-5
1
L
L
L
0
f(t) Cos
0
nπ t L
dt
nπ t
5
nπ t 0. Cos dt 3 Cos dt 5 5 5 5 0 5
1
3 5
1
nπ t
5
Sin 0 5 nπ 5 0 bn
1
L
1
0
nπ t f(t) Sin dt L L L 0. Sin 5 5 3
5
nπ t 5
dt
nπ t
1 5
5
3 Sin
0
5
Cos 5 nπ 5 0
nπ t 5
dt
31 - Cos nπ nπ
Uraian deret Fourier :
nπ t nπ t a n Cos f(t) b n Sin 2 n 1 L n 1 L a0
download on
www.enggar.tk
f(t)
3 2 3 2
31 - Cos nπ
nπ
n 1
nπ t 5
Sin
6 3π t 1 5π t πt 1 Sin Sin Sin 5 3 5 5 5 π
Jika deret konvergen ke f(t) pada interval – 5 t
5 , maka f(t) didefinisikan kembali
menggunakan kondisi Dirichlet pada t = -5, t = 0, t = 5, menjadi :
t 5 3/2, 0, 5 t 0 f(t) 3/2, t 0 3, 0t 5 3/2, t 5
2
(ii). Uraikan fungsi f(t) = t , 0 < t < 2 ke dalam deret Fourier bentuk Sinus dan Cosinus.
Bentuk sketsa fungsi f(t) = t
2
f(t)
t -6
-4
-2
0
download on
2
4
www.enggar.tk
6
Perioda = 2 L = 2 , atau L =
an
1
2L
f(t) Cos
L 1
nππ L
0 2π
t
π
2
dt
Cos nt dt
0
- Cos nt - Sin nt 1 Sin nt t 2 2 - 2t 2 3 π n n n
4 n
2π 0
, dimana n ≠ 0
2
Untuk n = 0 , didapat :
a0
bn
1 L 1
π 1 L 1
π
2L
f(t) dt
0 2π
t
2
dt
0 2L
f(t) Sin
0 2π
t
2
1 3π
3 2π t 0
nπ t L
8π 2 3
dt
Sin nt dt
0
- Sin nt Cos nt 1 - Cos nt t 2 2 - 2t 2 3 π n n n download on
www.enggar.tk
2π 0
Didapat, untuk : n ≠ 0
bn
- 4π n
Uraian deret Fourier :
nπ t nπ t a n Cos f(t) b n Sin 2 n 1 L n 1 L a0
4π 2 3
4
4π
Cos nt - Sin nt n 1 n n 1 n 2
(iii). Suatu fungsi f(t) = t , 0 < t < 2. a. Uraikan f(t) ke dalam deret Fourier untuk f(t) fungsi ganjil. b. Uraikan f(t) ke dalam deret Fourier untuk f(t) fungsi genap.
a. Uraian f(t) ke dalam deret Fourier untuk f(t) fungsi ganjil : f(t)
t -8
-4
0
download on
2
4
6
www.enggar.tk
8
an 0
bn
2 L
L
f(t) Sin
0
nπ t L
dt
2 2
2
t Sin
nπ t 2
0
dt
2
- 2 nπ t - 4 nπ t t Cos Sin 2 2 2 n π 2 nπ 0 Sehinggan didapat :
bn
4 nπ
Cos nπ
Uraian deret Fourier adalah :
f(t)
4
nπ
nπ t 2
Cos nπ Sin
n 1
4 2π t 1 3π t πt 1 Sin Sin Sin 2 2 2 3 2 π
b. Uraian f(t) ke dalam deret Fourier untuk f(t) fungsi genap : f(t)
t -8
-4
0
download on
2
4
6
www.enggar.tk
8
bn 0
an
2 L 2 2
L
nπ t
f(t) Cos
L
0 2
t Cos
nπ t 2
0
dt
dt
2
2 nπ t - 4 nπ t t Sin Cos 2 2 π n 2 2 n π 0 4
2 2
n π
Cos nπ - 1
, dimana n ≠ 0
Untuk n = 0 , didapat :
a0
2
L
f(t) L
dt
0
f(t) 1
2
t 2
dt 2
0
4 2
n 1 n π
1
2
Cos nπ - 1 Cos 2
nπ t
2
8 1 3π t 1 5π t πt Cos Cos Sin 2 32 2 2 52 π2
(iv) Dengan menggunakan teorema Parseval, hitunglah nilai dari deret deret :
1
1 1 1 1 4 14 24 34 44 n 1 n
download on
www.enggar.tk
Uraian deret Fourier pada contoh (ii) bagian b menghasilkan koefisien-koefisien Fourier : L
2
an
L
f(t) Cos
2 2
n π
dt
L
0
4
nπ t
Cos nπ - 1 , n ≠ 0
Untuk n = 0, didapat :
a0
2 L
L
f(t)
2
2
dt
0
dt 2
t
2
0
Dengan menggunakan teorema Parseval :
1
L
L
L
2
f
(t) dt
(a 0 ) 2 2
(a n ) 2 (bn ) 2
n 1
Dengan menggunakan hasil di atas didapat :
1
2
2
2
1 2
2
f
2
t
2
2
(a 0 ) 2 2
(t) dt
1
2
2
2
t
2
dt
(a 0 ) 2 2
(bn ) 2
n 1
11 3 2 8 dt t 2 23 3
(bn )
n 1
2
4 2
4
4 n 1 n π
download on
Cos nπ - 12 4
www.enggar.tk
Dari kedua persamaan di atas dapat dibuat persamaan :
8 3
2
4
4 n 1 n π
2 Cos nπ - 1 2 4
64 1
1 1 1 π 4 14 34 54 7 4
atau
1 π 4 1 1 1 4 4 4 4 3 5 7 1 96 Dengan hasil ini kita dapat menghitung deret :
1
n 1 n
4
1 4
1
1 2
4
1 3
4
1 4
4
1 1 1 1 1 1 1 1 14 34 54 7 4 24 44 64 84 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14 34 54 7 4 24 14 24 34 44 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 1 24 n 1 n 4 3 5 7 Dengan melakukan perhitungan kecil akan didapat :
1
1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 4 4 2 1 3 5 7 n 1 n 1 π 4 1 2 4 96 Jumlah deret adalah :
1
n 1 n
4
π
4
90
download on
www.enggar.tk
2.12. Rangkuman
(i). Fungsi Periodik dirumuskan : f(t) =f(t+T) dengan perioda T (ii). Nilai Rata-rata dari suatu fungsi Periodik b
f(t) dt a
, atau
ba
b
1 ba
f(t) dt
a
(iii). Perumusan deret Fourier bentuk Sinus dan Cosinus adalah :
a 2π t nπ t πt a 2 Cos a n Cos f(t) 0 a1 Cos 2 L L L
b1 Sin
πt L
b 2 Sin
2π t L
b n Sin
L
nπ t nπ t a n Cos b n Sin 2 n 1 L n 1 L a0
nπ t
(iv). Koefisien-koefisien deret Fourier adalah :
a0
1
π
π
f(t) dt
π π
an
nπ t f(t) Cos dt π L π
bn
nπ t f(t) Sin dt π L π
1
1
π
download on
www.enggar.tk
(v). Perumusan deret Fourier bentuk Kompleks adalah :
Cn e
f(t)
i
nπ t L
n -
C0 C1 e C-1 e
-i
i
πt L
C2 e
πt
C- 2 e
L
i
-i
2π t L
C3 e
i
3π t
2π t L
C- 3 e
Cn e
L
-i
i
nπ t L
3π t L
C- n e
-i
nπ t L
Koefisien-koefisien Fourier C n :
Cn
π
1
f(t) e
2π
-i
nπ t L dt
-π
(vi). Perumusan koefisien-koefisien deret Fourier untuk f(t) fungsi genap adalah :
a0
an
2
π
π 2
π
f(t) dt 0
π
f(t) Cos
0
nπ t L
dt
bn 0
(vii). Perumusan koefisien-koefisien deret Fourier untuk f(t) fungsi ganjil adalah :
a0 0 an 0
bn
2 π
π
f(t) Sin
π
nπ t L
dt
download on
www.enggar.tk
(viii). Teorema Parseval Deret Fourier dirumuskan :
f(t)
a0 2
a n Cos nt bn Sin nt
n 1 n 1 2 Nilai rata-rata dari f (t) pada selang interval (- , ) adalah : 2 π 2
Nilai rata-rata f (t) =
1
2π
f(t)
dt
π
Dengan menggunakan perumusan deret Fourier, persamaan di atas menjadi :
1 1 a 0 2 2 (t) = (a n ) (bn ) 2 n 1 2 n 1 2 2
Nilai rata-rata f
2
Dalam bentuk kompleks :
| C n |2
2
Nilai rata-rata |f(t)| =
n
2.13. Latihan Soal
(i) Buktikan bahwa : π/2
a).
Sin
2
π /2
t dt
0
Cos
2
t dt
0
dengan perubahan variabel :
t b
b).
π
Sin
a
2 2
x b
kt dt Cos 2 kt dt a
1 2
download on
b a
www.enggar.tk
(ii). Hitunglah nilai rata-rata dari :
Sin 2 t
a. Sin t
, pada selang interval 0,2π
2 b. . t Cos 6t , pada selang interval
c. Sin t d. 1 e
2 Sin 2t 3 Sin 3t
π 0, 6
, pada selang interval
π 0, 2
t , pada selang interval 0,1
(iii). Hitunglah nilai integral dari : 4π /3
a.
2
0 2
b.
3t dt 2
Sin 2 πt
dt 3
Sin
-1 3π /2
c.
-π/2
2 t Cos dt 2
2π / ω
d.
2
Sin ωt dt
0
(iv). Uraikan fungsi di bawah ini ke dalam deret Fourier bentuk Sinus dan Cosinus : a. f(t)
b.
1, π t 0 0, 0 t π
0, π t 0 f (t ) 1, 0 t π/2 0, π/2 t π
download on
www.enggar.tk
c. f(t)
0, π t π/2 1, π/2 t π
d. f(t)
- 1, π t π/2 1, π/2 t π
e.
0, π t 0 f (t ) - 1, 0 t π/2 1, π/2 t π
f. f(t)
0, π t 0 t, 0 t π
g. f(t)
0, π t 0 Sin t, 0 t π
h. f(t)
t π , π t 0 0 t π - t,
i. f(t)
1 t,
π t π
(v). Uraikan fungsi di bawah ini ke dalam deret Fourier bentuk kompleks : a. f(t)
t 2 , π t π
b. f(t)
t 2 , 0 t 2π
c. f(t)
et , π t π
d. f(t)
e t , 0 t 2π
e. f(t)
2t,2t2
f. f(t)
2t,0t4 download on
www.enggar.tk
g. f(t)
Sin π t , 1 / 2 t 1 / 2
h. f(t)
Sin π t , 0 t 1
(vi). Uraikan fungsi f(t) di bawah ini ke dalam uraian deret Fourier : a.
-Lt0
- 1, f(t) 1,
0tL
Hitunglah deret berikut :
1
1 3
b. f(t)
2
1 5
2
1 7
2
t 2 , 1/2 t 1/2
Hitunglah deret berikut :
1
1 2
c. f(t)
4
1 t,
1 4
3
1 4
4
π t π
Hitunglah deret berikut :
1
1 2
2
1 2
3
1 4
2
2.14. Daftar Pustaka
1. Arfken , George , Mathematical Methods for Physicists , Academic Press, New Yook , 2 nd ed .,1970. 2. BOAS, Mary L., Mathematical Methods in The Physical Sciences , second Edition , John Wily and sons, 1983 . 3. Bradbury , Ted clay ., Mathematical Methods with Applications to Problems in the Physical Sciences , John Wily and Sons, 1984. 4. D’Azzo , John J . and Constantne H . Haupis , Feed back Control System Analysis and Synthesis , second Edition , Mc Graw – Hill , 1966. download on
www.enggar.tk
