Equa¸c˜ coes o ˜es Dif Difer erenc encia iais is Or Ordi din´ n´ ariass aria
NOTAS NOT AS DE AUL AULA A
ˆ ´ CAS E DE CO ˜ INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMATI ATICAS COMPU MPUTAC TAC ¸ AO ˜ PAULO UNIVERSIDADE DE SAO
S˜ao ao Paulo, 18 de agosto de 2008
Sum´ ario Introdu¸ c˜ ao
4
1 Propri Proprieda edades des Gerai Geraiss de Equa¸ Equa¸ co c˜ ˜es Diferenciais Ordin´ arias 5 1.11 So 1. Solu lu¸c˜ c¸a˜o de uma EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Problema de Valor Inicial (PVI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Ex Exist istenc encia ia de Sol Solu¸ u¸c˜ co˜es do (PVI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 O Teorema de Ponto Fixo de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 ´ scoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.55 Teo 1. eore rema ma de A 1.6 Conjunto equicont´ınuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.7 Prolo Prolongamen ngamento, to, Con Contin tinua¸ ua¸c˜ cao a˜o ou Extens˜ao ao de Solu¸c˜ co˜es . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.8 Existˆ encia e Unicidade. Contin encia Continuidade uidade com rela¸c˜ao as a`s condi¸c˜ c˜oes oes ini inicia ciais is e par p arˆˆametro ametross 15 1.9 Difer Diferenci enciabilid abilidade ade de Pon Ponto to Fixo Fixo com com Rela¸ Rela¸c˜ cao a˜o a Parˆametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.10 1. 10 De Depe pen ndˆenc ncia ia Con ontt´ın ınua ua e Est stab abiili lida dade de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.11 Estab abiilidade no Sentido de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 Sist Sistem emas as Au Autˆ tˆ onomos: Generalidades 2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Retrato de Fase . . . . . . . . . . . . 2.3 Conjuntos Limites . . . . . . . . . . . 2.4 Conjuntos Invariantes . . . . . . . . . 2.5 Conjunto Minimal . . . . . . . . . .
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3 Sistem Sistemas as Lineare Linearess e Lin Linear eariza iza¸¸c˜ ao 3.11 In 3. Intr trodu odu¸c˜ c¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Princ Princ´´ıpio da Superposi¸c˜ ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Matriz Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.44 Equa 3. ua¸c˜ c¸˜oes oes Esca Escalar lares es de Ord Ordem em n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Formula o´rmula da varia¸c˜ cao a˜o das Constantes para Equa¸c˜ coes o˜es Escalares de Ordem n 3.4. 3. 4.22 Eq Equa ua¸c˜ c¸ao a˜o Adjunta de uma Equa¸c˜ cao a˜o Escalar de Ordem n . . . . . . . . . . 3.55 Si 3. Sisste tem mas Li Line near arees com Coe oefic ficie ien ntes Con Conssta tan ntes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. 3. 5.22 So Solu lu¸c˜ c¸o˜es Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. 3. 5.33 De Dete term rmin ina¸ a¸c˜ cao a˜o de Matr Matriz iz Fundam Fundamen ental tal de x˙ = Ax . . . . . . . . . . . . . 3.5. 3. 5.44 Au Autoe toesp spa¸ a¸co Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.5 M´ etodo para etodo para achar achar a Base de de λ (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. 3. 5.66 For orma ma Ca Canˆ nˆ onica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. 3. 5.77 Eq Equa ua¸c˜ c¸oes o˜es de Ordem n com Coe oefi ficientes Constan anttes . . . . . . . . . . . . 3.6 Sis Sistem temas as Lin Linear eares es Aut Autˆoˆnomos Bidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M
33 33 34 36 38 40 42 42 43 44 47 48 49 50 51 52 52 53 56 57 59 59
3.7 Sis Sistem temas as Line Lineare aress Peri Peri´´odicos: Te Teoria de Floq oqu uet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4 Estabilidade e Instabilidade 4.11 Es 4. Esta tabi bili lida dade de de Si Sist stem emas as Li Line near ares es co com m Coe Coefic ficie ien nte tess Con Const stan ante tess . . . . . 4.2 Estab Estabilida ilidade de de Siste Sistemas mas Lineare Linearess Peri´ Peri´ odicos . . . . . . . . . . . . . . . 4.33 Est 4. stab abiili lida dade de de Si Sisste tema mass Li Line near arees e Pert rtur urb bad ados os . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Estab abiilidade de Sistemas Perturbados . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 A propriedade do Ponto de Sela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. 4. 4.11 Mo Moti tiv va¸c˜ ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Desigualdade Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Estab abiilidade: M´ M´etod odoo Direto de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. 4. 5.11 In Intr trodu odu¸c˜ c¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 M´etod odoo Direto de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Teore eorema ma de Estabi Estabilidade lidade e Estabilid Estabilidade ade Assint Assint´´otic o ticaa de Li Liap apun unoov 4.6 Instabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. 4. 6.11 Pri rim meir iroo Teor oreema de In Inst stab abil ilid idad adee de Li Liap apun unoov . . . . . . . . . 4.6. 4. 6.22 Se Segu gun ndo Teor oreema de In Inst stab abil iliida dad de de Li Liap apun unoov . . . . . . . . . 4.6.3 Teorema de Instabilidad adee de Cetaev . . . . . . . . . . . . . . . . 4.77 In 4. Inv var ariiˆanc a ncia e Es Esta tabi bili lid dad adee: Te Teor oria ia de La Sa Sall llee . . . . . . . . . . . . . . 4.7. 4. 7.11 In Intr trodu odu¸c˜ c¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 4.7 .2 Apr Apres esen enta¸ ta¸c˜ao do M´etod odoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Estabilidade Assint´otica Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. 4. 8.11 In Intr trodu odu¸c˜ c¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.2 4.8 .2 Apr Apres esen enta¸ ta¸c˜ao do M´etod odoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. 4. 8.33 Li Limi mita ta¸c˜ c¸ao a˜o de Solu¸c˜ co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Teoria de Poincar´e-Bendixon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. 4. 9.11 Mo Moti tiv va¸c˜ ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10 Aplic Aplica¸ a¸c˜ coes o˜ es da da Te Teor oria ia de Poi oinc ncar ar´´e-B -Beend ndix ixon on . . . . . . . . . . . . . . . .
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69 69 70 70 73 75 75 78 83 83 83 84 90 90 91 92 94 94 95 98 98 99 99 1000 10 1 00 10 1077 10
5 Teorema de Hartman 112 5.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1 12 5.22 Loc 5. Local aliz iza¸ a¸c˜ ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1 14 6 Exerc´ıcios 6.1 Lista 1 6.2 Lista 2 6.3 Lista 3 6.4 Lista 4 6.5 Lista 5
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116 116 11 116 11 117 11 118 11 120 12
Introdu¸c˜ ao Estas notas s˜ao parte da disciplina de Equa¸co˜es Diferenciais Ordin´arias que foi ministrada pelo Professor Dr. Hildebrando Munhoz Rodrigues no primeiro semestre de 2001, no Instituto de Ciˆ encias Matem´ aticas e de Computa¸c˜ ao-ICMC, Universidade de S˜ ao PauloCampus S˜ ao Carlos. Neste texto, b´asicamente estuda-se a Teoria Qualitativa das Equa¸co˜es Diferenciais Ordin´ arias.
Cap´ıtulo 1 Propriedades Gerais de Equa¸co ˜es Diferenciais Ordin´ arias 1.1
Solu¸c˜ ao de uma EDO
Sejam D
⊂R
n+1
aberto e f : D
→R
n
uma fun¸ca˜o cont´ınua.
Defini¸c˜ao 1.1.1 Uma solu¸ca˜ o de x˙ = f (t, x) em um intervalo I R ´e uma fun¸ca˜o x : I tal que (t, x(t)) D, para todo t I , x ´e diferenci´avel em I e x˙ = f (x, x(t)), para todo t
∈
1.2
⊂
∈
n
→R , ∈ I .
Problema de Valor Inicial (PVI)
∈
Seja (t0 , x0 ) D. Um problema de valor inicial para a equa¸ca˜o x˙ = f (t, x) consiste em encontrar um intervalo I contendo t0 e uma solu¸ca˜o x(t) da equa¸ca˜o em I , tal que x(t0 ) = x0 .
1.3
Existencia de Solu¸co ˜es do (PVI)
Exemplo 1.3.1 Seja f : R
→ R definida por f (x) =
Considere, o PVI
√ 0,
se x < 0 x, se x 0.
≥
= f (t, x) x˙ x(0) = 0.
Para cada c > 0, a fun¸ca˜o xc (t), definida por
− (t
xc (t) =
0,
´e solu¸ca˜o do PVI acima.
4
c)2
, se t
≥0
se t < 0
x(t) x 1 (t) 4 x 1 (t) 2 x1 (t)
t
Lema 1.3.1 Seja f : D com x(t0 ) = x0 , (t0 , x0 ) t I e
∈
n+1
n
⊂ R → R cont´ınua. Ent˜ao, x(t) ´e solu¸ca˜ o de x˙ = f (t, x) em I , ∈ D se, e somente se, x(t) ´e cont´ınua em I , (t, x(t)) ∈ D, para todo
t
x(t) = x(t0 ) +
f (s, x(s)ds.
t0
Demonstra¸ c˜ ao. A demonstra¸ca˜o ´e trivial.
1.4
O Teorema de Ponto Fixo de Schauder
⊂ X , tal que A ´e compacto e convexo, isto − ∈ A , ∀ θ ∈ (0, 1).
Teorema 1.4.1 Sejam X espa¸co de Banach e A ´e, x, y A θx + (1 θ)y
∈ ⇒ A
y
x
Se f : A
→ A cont´ınua, ent˜ao f tem um ponto fixo em A .
Defini¸c˜ao 1.4.1
i) Uma aplica¸ca˜o f ´e compacta se f leva cada subconjunto limitado de relativamente compacto de X ;
A em
um conjunto
ii) Dizemos, que f ´e completamente cont´ınua se f for compacta e cont´ınua.
Observa¸ c˜ao 1.4.1 Se f : X tamente cont´ınua.
→ Y for linear, ent˜ao f ´e compacta se, e somente se, for comple⊂
Corol´ario 1.4.1 Seja X espa¸co de Banach e considere A X , tal que A ´e limitado, fechado, convexo. Se f : A A ´e completamente cont´ınua, ent˜ao f tem um ponto fixo em A .
→
Para demonstrar este resultado, aplica-se o Teorema de Schauder `a envolt´oria convexa fechada de f (A ).
f (A )
´ Teorema de Ascoli
1.5
Sejam K um espa¸co m´etrico compacto e conjunto das aplica¸co˜es cont´ınuas de K em isto ´e, a topologia dada pela distˆ ancia
um espa¸co m´etrico. Considere, C (K , M ) o encia uniforme, M , com a topologia da convergˆ M
{
d(f, g) = max d (f (x), g(x)) : f, g x∈K
1.6
∈ C (K , M )} .
Conjunto equicont´ınuo
⊂ C (K , M ) ´e equicont´ınuo, se dado ǫ > 0, existe δ > 0, δ = δ (ǫ), tal que d(x, y) < δ , ent˜ao d(f (x), f (y)) < ǫ, ∀f ∈ E , ∀ x, y ∈ K .
Um conjunto se
E
´ Sejam K um espa¸co m´etrico compacto, Teorema 1.6.1 ( Ascoli) ao, E ´e relativamente compacto se E C (K , M ). Ent˜
⊂
i) Para cada x
∈ K o conjunto E (x)
´e relativamente compacto em
{
= f (x)
∈ M : f ∈ E }
M ;
f 1 f 2 f 3 f 4 x ii)
E
´e equicont´ınuo.
M
um espa¸co m´etrico e
Corol´ario 1.6.1 Sejam i) existe N
E
espa¸co m´etrico compacto e
⊂ C (K , R
E
m
), tais que
≥ 0, tal que |f (x)| ≤ N , ∀ x ∈ K , ∀ f ∈ E ;
ii) o conjunto Ent˜ao,
K
E
´e equicont´ınuo.
´e relativamente compacto.
E
{
= φ : I
n
→ R : |φ(t)| ≤ β,
Segue pelo Corol´ario (1.6.1), que que E ´e compacto, pois E = E .
E
n
⊂ C (I, R ), dado por |φ(t) − φ(s)| ≤ M |t − s|, ∀ t, s ∈ I }.
Exemplo 1.6.1 Sejam I = [a, b], M,β > 0 e
E
´e relativamente compacto. Como
Teorema 1.6.2 (Peano: Existˆ encia de solu¸co ˜es) Sejam D cont´ınua e (t0 , x0 ) D. Ent˜ao, o PVI
∈
⊂R
n+1
E
´e fechado, temos
aberto, f : D
→R
x˙ = f (t, x) x(t0 ) = x0 ,
tem pelo menos uma solu¸ca˜o.
Demonstra¸ c˜ ao. A id´eia principal da prova, ´e aplicar o Corol´ario do Teorema de Schauder ao operador
t
def
(T φ)(t) = x0 +
f (s, x(s))ds.
t0
Vejamos, em que condi¸co˜es, o operador T est´a bem definido. Os parametros α, β > 0 s˜ao ajustados convenientemente no decorrer da demonstra¸ca˜o. Defina, R = R (α , β , t0 , x0 )
def
{
= (t, x)
∈R
n+1
| − t | ≤ α, |x − x | ≤ β }.
: t
0
0
D R
(t0 , x0 )
Seja A
=
A (α , β , t0 , x0 )
def
{φ : [t − α, t + α] → R : φ ´e cont´ınua, |φ(t) − x | ≤ β, ∀ t ∈ [t − α, t + α], φ(t ) = x } ⊂ C ([t − α, t + α], R ).
=
0
n
0
0
0
0
0
0
0
0
n
n
Considere α, β suficientemente pequenos, de modo que R em A . Vejamos, em que condi¸co˜es T deixa A invariante
|≤| |
⊂ D. Assim, T est´a bem definido
t
|(T φ(t) − x
0
onde M
≥
|
| | ≤ Mα,
f (s, φ(s)) ds
t0
|
max f (t, x) .
(t,x)∈ R
Tomando, α suficientemente pequeno, podemos supor que Mα < β . Mostremos, que nestas condi¸co˜es T mant´em A invariante. Se φ A , temos que
∈
∈ [t − α, t + α] → (T φ)(t) ´e cont´ınua; b) |(T φ)(t) − x )| ≤ β ∀ t ∈ [t − α, t + α]. Logo, T (A ) ⊂ A .
a) A aplica¸ca˜o t
0
0
0
Al´em disso,
e A ´
0
0
fechado, limitado e convexo. De fato,
∈ A . Ent˜ao, θφ + (1 − θ)ψ ∈ A . Dessa forma, |θφ(t) + (1 − θ)ψ(t) − x | ≤ θ|φ(t) − x | + (1 − θ)|ψ(t) − x | ≤ θβ + (1 − θ)β = β ; ii) A fechado: Seja φ ∈ A , tal que φ → φ. Assim, φ ∈ A (imediato); i) Convexidade: Sejam φ, ψ
0
n
iii)
A
0
0
n
limitado (trivial).
Mostremos agora, que T ´e cont´ınua em
A .
|≤ t
|(T φ)(t) − (T ψ)(t)
t0
∈ [t − α, t + α], ent˜ao |f (s, φ(s)) − f (s, ψ(s))|ds . Se t
0
0
Como, f ´e uniformemente cont´ınua em R , segue que dado ǫ > 0, existe δ > 0, tal que
∀ x, y ∈ R , |x − y| < δ ⇒ |f (s, x) − f (s, y)| < ǫ, ∀ s ∈ [t − α, t 0
Se
+ α]. max φ(s) 0
s∈[t0 −α,t0 +α]
|
− ψ(s)| < δ , ent˜ao |(T φ)(t) − (T ψ)(t)| ≤ ǫα e, portanto, segue a con-
tinuidade de T . Mostremos agora, que o operador T ´e completamente cont´ınuo. De fato, como T ´e cont´ınuo, basta mostrar que T ´e compacto e, para isto, basta mostrar que T (A ) ´e relativamente compacto. ´ Aplicamos, ent˜ao o Corol´ario do teorema de Ascoli a T (A ). Como, T (A ) A e A ´e limitado, ´e suficiente mostrarmos que (T A ) ´e equicont´ınuo. Sejam φ A e t, s [t0 α, t0 + α]. Ent˜ao,
∈
⊂
∈ − |(T φ)(t) − (T φ)(s)| ≤ | |f (τ, φ(τ ))|dτ | ≤ M |t − s|.
t
s
Logo, T (A ) ´e equicont´ınuo. Aplicando o Teorema de Schauder, temos que T tem um ponto fixo. Agora, segue do Lema (1.3.1), que o ponto fixo ´e uma solu¸ca˜o do PVI
em [t0
− α, t
0
x˙ = f (t, x) x(t0 ) = x0 ,
+ α].
Corol´ario 1.6.2 Seja f satisfazendo as condi¸co˜es do Teorema (1.6.2). Considere U compacto, onde U D. Ent˜ao, existe α = α(U ) > 0, tal que para todo (t0 , x0 ) U , o PVI
⊂
∈
x˙ = f (t, x) x(t0 ) = x0 ,
tem pelo menos uma solu¸ca˜o definida em [t0
− α, t
0
+ α].
D U (t0 , x0 )
Demonstra¸ c˜ ao. Seja V um aberto, tal que V ´e compacto, V
⊂ D e M ≥
|
|
sup f (t, x) . (t,x)∈V
V U V
Escolha α e β , tais que Mα < β e de modo que R :=
{(t, x) : |t − t | ≤ α, |x − x | ≤ β } ⊂ V, 0
0
∈
para todo (t0 , x0 ) U . Agora, seguimos a demonstra¸ca˜o do Teorema (1.6.2), tomando-se α e β escolhidos como acima.
A = A (α , β , t0, x0 ),
com
1.7
Prolongamento, Continua¸ c˜ ao ou Extens˜ ao de Solu¸co ˜es
Defini¸c˜ao 1.7.1 Seja φ uma solu¸ca˜o da equa¸ca˜o diferencial x˙ = f (t, x), f : D Rn+1 Rn Rn ´e uma continua¸ca˜o (extens˜ao, cont´ınua, num intervalo I . Dizemos, que a solu¸ca˜o φ : I ou prolongamento) de φ se I I e se φ I = φ.
⊂
→
→
De maneira natural, baseando-se na defini¸ca˜o acima, define-se continua¸ca˜o a` direita (`a esquerda), solu¸ca˜o continu´avel, continu´avel a ` direita (`a esquerda) e solu¸ca˜o n˜ao continu´avel.
Lema 1.7.1 Sejam D x˙ = f (t, x). Ent˜ao,
⊂R
n+1
, f : D
→R
n
cont´ınua e φ : (a, b)
i) Se f for limitada em D, ent˜ao existe φ(b− ), (resp. φ(a+ ));
→R
n
uma solu¸ca˜ o de
ii) Se existir φ(b− ), (resp. φ(a+ )) e (b, φ(b− )) prolongada a (a, b], (resp. [a, b)).
∈ D, (resp. (a, φ(a )) ∈ D), ent˜ao φ pode ser +
Demonstra¸ c˜ ao. i) Seja t0
∈ (a, b). Ent˜ao, para todo t ∈ (a, b), temos
t
φ(t) = φ(t0 ) +
f (s, φ(s))ds.
t0
Sendo, M
≥
|
|
sup f (t, x) , obtemos que (t,x)∈D
|φ(t) − φ(s)| ≤ M |t − s| ∀ t, s ∈ (a, b). Pelo crit´erio de Cauchy, segue que existe φ(b− ), (resp. φ(a+ )).
→
ii) Como, φ(b− ) existe, podemos definir φ : (a, b) φ(b) = φ(b).
Um vez que, φ(t) = φ(t0 ) +
t t0
Rn, por φ(t) = φ(t),
f (s, φ(s))ds, para todo t
∀ t ∈ (a, b) e
∈ (a, b), tem-se que
t
φ(t) = φ(t0 ) +
f (s, φ(s))ds
t0
∀ t(a, b].
Logo, φ(t) ´e solu¸ca˜o em (a, b].
Teorema 1.7.1 Sejam D Rn+1 aberto, f : D Rn cont´ınua e x(t) uma solu¸ca˜o do sistema x˙ = f (t, x). Se x(t) ´e continu´avel, ent˜ao x(t) admite um prolongamento n˜ao continu´avel. Al´em disso, se x(t) ´e solu¸ca˜o em [a, w) e for n˜ao continu´avel `a direita, ent˜ao x(t) tende `a fronteira de D, quando t w. Mais precisamente, dado um compacto U D, existe tU [a, w), tal que (t, x(t)) / U , se t (tU , w). Idem `a esquerda.
⊂
∈
→
→
⊂
∈
∈
Demonstra¸ c˜ ao. Analisamos, somente a continua¸ca˜o a` direita. Se x(t) ´e continu´avel, ent˜ao podemos supor que x(t) est´a definida num intervalo fechado [a, b]. Se x(t) tem uma extens˜a o a [a, ), nada mais h´a para provar. Suponha, ent˜ao que x(t) n˜ao tenha nenhum prolongamento a [0, ). Seja U um compacto. Sem perda de generalidade, podemos supor que ( t, x(t)) U , t [a, b], pois podiamos redefinir U , acrescentando o conjunto (t, x(t)) : t [a, b] , que ´e compacto. Considere, V aberto, com V compacto, tal que U V V D e M sup f (t, x) .
{ ∈ ⊂ ⊂ ⊂
}
≥
∞ ∞ ∈ ∈ | |
(t,x)∈V
Pelo Corol´ario (1.6.2), obtemos um α = α(U, M ) > 0, para o qual existe uma solu¸ca˜o x(t) definida em [a, b + α], que ´e prolongamento de φ. Se (b + α, x(b + α)) U , ent˜ao podemos repetir o processo e, encontrar, uma continua¸ca˜o a [a, b + 2α]. Rn , Assim sendo, como U ´e compacto, existe um inteiro m e uma extens˜ao x : [a, b + mα] tal que (b + mα,x(b + mα)) / U . Considere agora, uma sequˆencia V n , com V n compacto, U V n , V n V n+1 D e V n aberto, em, que (b, x(b)) V 1 . n = 1, 2,..., tal que ∞ n=1 V n = D. Suponha tamb´
∈
∈
∀
∪
→
⊂
∈
⊂
⊂
∈
Para cada n, existe um bn e uma extens˜a o de x(t) a [a, bn ], de modo que (bn , x(bn )) / V n . Podemos supor ainda, que (bn ) ´e crescente. Se (bn ) ´e n˜ao limitada, ent˜ao existe uma extens˜a o a [a, ), contrariando a hip´otese. def Dessa forma, (bn ) ´e limitada e, portanto, existe lim bn = w R.
∞
∈
n→∞
Assim, x(t) admite uma extens˜a o a [a, w). Afirmamos, que x(t) n˜ao pode ser estendida a [a, w]. Suponha, que sim. Ent˜ a o, (w, x(w)) D e lim x(t) = x(w). Como, ∞ n=1 V n = D, existe n0 , tal que (w, x(w)) n > n 0 , segue que
∈ V
n0 .
∈
∪
t→w−
De acordo com a constru¸ca˜o feita anteriormente, para todo
∈
(bn , x(bn )) / V n
∈
⊃ V ⊃ V ⊃ V n
n0
n0 .
→
Dessa forma, (bn , x(bn )) (w, x(w)), temos que CV n0 (fechado). Sendo, (bn , x(bn )) (w, x(w)) CV n0 , o que ´e uma contradi¸ca˜o. Logo, x(t) n˜ao tem prolongamento `a [a, w] e, conclu´ımos assim, a demonstra¸ca˜o da primeira parte do Teorema. Passemos, ent˜ao a segunda parte. O caso, w = , ´e trivial. Considere, ent˜ao w < . Seja U D, compacto e
∈
∞
∞
A =
⊂
{t ∈ [a, w) : (t, x(t)) ∈ U }.
Se A for vazio, ent˜a o n˜ao h´a o que provar. Afirmamos, que sup A < w. Suponha, que n˜ao. Ent˜ao, existe tn w, tal que (tn , x(tn )) U . Sendo U compacto, podemos supor que (tn , x(tn )) (w, y) U . Uma vez que, f ´e limitada em uma vizinhan¸ca de (w, y), segue do Lema (1.7.1(ii)), que x(t) pode ser prolongada a [a, w + α], o que ´e uma contradi¸ca˜o. Logo, tU := sup A < w e (t, x(t)) / U , para t (tU , w).
→
∈
→
∈
∈
∈
Consequˆ encias
Rn uma aplica¸ca˜o cont´ınua, onde Ω ´e um aberto de Rn . Se x(t) 1) Seja f : [a, ) Ω ´e solu¸ca˜ o de x˙ = f (t, x), x(t) K Ω, t [a, w) e x(t) ´e n˜ao continu´avel a ` direita, ent˜ao w = + .
∞× → ∞
∈ ⊂ ∀ ∈
Ω (t, x(t)) K
a
Demonstra¸ c˜ ao.
∞
×
∈
Se w < , ent˜ao conside U = [a, w] K . Do Teorema (1.7.1), segue que existe tU [a, w), tal que (t, x(t)) / U , para t (tU , w). O que ´e contradi¸ca˜o, pois (t, x(t)) [a, w) K , t [a, w).
∀ ∈
∈
∈
∞
∈
×
Logo, w = + . n
n
∞) × R → R uma aplica¸ca˜o cont´ınua. a) Se φ : [a, ∞) → R ´e cont´ınua, x(t) ´e solu¸ca˜o n˜ao continu´ avel de x˙ = f (t, x) definida em [a, w) e |x(t)| ≤ φ(t), ∀ t ∈ [a, w), ent˜ao w = +∞.
2) Seja f : [a,
+
∞
b) Se x(t) ´e solu¸ca˜o n˜ao continu´avel de x˙ = f (t, x), definida em [a, w), ent˜ao ou w = + ou w < + . Neste u ´ ltimo caso, x(t) + , quando t w.
∞
| |→ ∞
→
Demonstra¸ c˜ ao. n
∞ ≥ max φ(t), K = {x ∈ R : |x| ≤ H }. Dessa forma, segue que x(t) ∈ K , ∀ t ∈ [a, w). Obtemos do resultado (1) acima, que w = +∞, o
a) Sendo w < + , tomamos H
t∈[a,w]
que ´e uma contradi¸ca˜o.
∞
b) Suponhamos, que w < + . Dado H > 0, tomamos o compacto n
× {x ∈ R : |x| ≤ H }. ∈ U , para t ∈ (t , w), isto Pelo Teorema (1.7.1), existe t ∈ [a, w), tal que (t, x(t)) ´e, |x(t)| > H , para t ∈ (t , w). Isso implica que, |x(t)| → +∞, quando t → w. U = [a, w] H
H
h
Lema 1.7.2 (Desigualdade de Gronwall) Se α cont´ınuas que satisfazem
∈ R,
β (t)
≥ 0 e φ(t) s˜ao fun¸c˜oes reais
t
φ(t)
≤α+
ent˜ao
φ(t) ≤ αe t a
Demonstra¸ c˜ ao. def
Seja V (τ ) =
≤ t ≤ b,
β (s)φ(s)ds, para a
a
β (s)ds
, a
≤ t ≤ b.
τ
β (s)φ(s)ds. Ent˜ao,
a
˙ = β (τ )φ(τ ) V (τ )
≤ O que implica que
τ
≤ β (τ )[α +
β (τ )α + β (τ )V (τ ). ˙ V (τ )
β (s)φ(s)ds]
a
− β (τ )V (τ ) ≤ αβ (τ ).
αe αe
Multiplicando, ambos membros da desigualdade acima por e−
e −
τ β (s)ds a
V (τ ) − β (τ )e d [e
τ β (s)ds a
−
−
dτ
τ β (s)ds a
˙ V (τ )
V (τ )]
≤ ≤
τ β (s)ds a
−
τ β (s)ds a
−
τ β (s)ds a
, temos que
β (τ ) β (τ ).
Integrando, de a ate t, segue que
e −
t a
β (s)ds
t
≤ ≤ φ(t) − α ≤
Logo, φ(t) ≤ αe t a
−
V (t)
β (s)ds
α
−
e
τ β (s)ds a
t
β (τ ) dτ = α
a
α[1
a
−
e
t a
d ( e− dτ
−
τ β (s)ds a
)dτ
β (τ )dτ
V (t) ≤ αe t a
]
β (τ )dτ
− α.
.
Lema 1.7.3 ( Desigualdade de Gronwall Generalizada) Se φ, α : [a, b] cont´ınuas, β (t) 0 uma fun¸ca˜o Lebesgue integr´avel em [a, b] e
≥
t
≤ α(t) +
φ(t) ent˜ao
φ(t)
def
Seja V (τ ) =
≤ α(t) +
≤ t ≤ b,
β (s)φ(s) ds, para a
a
t
Demonstra¸ c˜ ao.
→ R s˜ao fun¸c˜oes
β (τ ) α(τ )e
a
t τ
β (s)ds
≤ t ≤ b.
dτ, para a
τ
β (s)φ(s)ds. Ent˜ao,
a
˙ = β (τ )φ(τ ) V (τ )
O que implica que
˙ V (τ )
≤
β (τ )α(τ ) + β (τ )V (τ ).
− β (τ )V (τ ) ≤ β (τ )α(τ ).
Multiplicando, ambos os membros da desigualdade acima, por e d (e V (τ )) ≤ β (τ )α(τ )e . τ β (s)ds a
−
dτ Integrando, de a ate t, obtemos
e −
t a
β (s)ds
−
≤ t
V (t)
β (τ )α(τ )e−
a
φ(t)
− α(t) ≤ φ(t)
≤
≤
τ β (s)ds a
dτ
β (τ )α(τ )e
a t
α(t) +
a
, segue que
τ β (s)ds a
t
V (t)
τ β (s)ds a
−
β (τ )α(τ )e
t τ
β (s)ds
t β (s)ds τ
dτ
dτ.
Observa¸ c˜ao 1.7.1 Se α(t) ´e crescente (logo, existe α(t) ˙ para quase todo t), ent˜ ao
t
a
β (τ )α(τ ) e
t β (s)ds τ
− − − − t
=
ds
a
Int.P/partes
=
α(a)e
α(τ )
[α(t) t
e
d (e dτ
t β (s)ds τ
t a
t β (s)ds τ
)dτ
β (s)ds
˙ α(τ )dτ ].
a
Assim, φ(t)
Portanto, φ(t)
≤ α(t)e
t a
α(a)e α(a) e t a
≤ ≤
β (s)ds
β (s)ds
t a
β (s)ds
t a
+e
+e
t
β (s)ds
t a
˙ α(τ )dτ
a
β (s)ds
[α(t)
− α(a)].
.
Exerc´ıcio 1.7.1 Seja f : [0, ) Rn Rn cont´ınua, satisfazendo f (t, x) h(t) x + b(t), onde h, b : [0, ) R+ s˜ao cont´ınuas. Mostre, que toda solu¸ca˜o n˜ao continu´avel de
∞→
∞×
→
x˙ = f (t, x) x(0) = x0
est´a definida em [0,
∞).
|
|≤
||
1.8
Existˆ encia e Unicidade. Continuidade com rela¸ c˜ ao ` as condi¸c˜ oes iniciais e parˆ ametros
Sejam M um espa¸co m´etrico e Λ um conjunto.
∈ × → T (x, y) ∈ M ´e uma contra¸ca˜o uniforme
Defini¸c˜ao 1.8.1 Dizemos que T : (x, y) M Λ relativamente a y Λ se existir ρ [0, 1), tal que
∈
∈
d(T (x1 , y), T (x2, y))
≤ ρd(x , x ), 1
2
∀ x , x ∈ M , ∀ y ∈ Λ. 1
2
Teorema 1.8.1 (Banach-Cacciopoli) Sejam M um espa¸co m´etrico completo, Λ um espa¸co m´etrico e T : M Λ ao, para cada M uma contra¸ca˜o uniforme relativamente a y Λ. Ent˜ def ´ nico ponto fixo x = x(y) = g(y). Se para cada x fixado em M a aplica¸ca˜o y Λ, existe um u y Λ T (x, y) M for cont´ınua, ent˜ao g(y) ´e cont´ınua em Λ.
× → ∈
∈ ∈ →
∈
Exerc´ıcio 1.8.1 Sejam M ´e um espa¸co m´etrico completo, Λ um espa¸co m´etrico e considere T : M Λ M uma contra¸ca˜o uniforme relativamente a y Λ. Mostre que para cada y Λ def existe um ´unico ponto fixo x = x(y) = g(y). Al´em disso, verifique que se para cada y0 Λ a aplica¸ca˜o y Λ T (g(y0), y) M for cont´ınua, ent˜ao g(y) ´e cont´ınua em Λ.
× → ∈ →
∈
∈
∈
∈
Defini¸c˜ao 1.8.2 Sejam D um aberto de Rn+1 e f : D Rn. Dizemos que f ´e localmente Lipschitziana com rela¸ca˜o a x, se para cada compacto U D, existir uma constante real k = k(U ) 0, tal que f (t, x) f (t, y) k x y , (t, x), (t, y) U .
→
≥
|
−
|≤ | − | ∀
⊂
∈
Exerc´ıcio 1.8.2 Sejam D subconjunto aberto e convexo de Rn , f : D Rn e ∂ x f : D Rn aplica¸co˜es cont´ınuas. Mostre que f ´e localmente Lipschitziana, com rela¸ca˜o a` segunda vari´avel.
→
→
∈
Se f for cont´ınua em D, ent˜ao o Teorema de Peano garante que para cada ponto (t0 , x0 ) D, existe pelo menos uma solu¸ca˜o definida em um intervalo [t0 α, t0 + α], onde α = α(t0 , x0 ). Suponha, que f seja uma aplica¸ca˜ o, tal que exista uma u ´ nica solu¸ca˜ o definida em [t0 α, t0 + α], para cada (t0 , x0 ) fixado em D. Ent˜ao, o PVI
−
−
x˙ = f (t, x) x(t0 ) = x0 ,
tem uma u ´ nica solu¸ca˜o n˜ao continu´avel definida no intervalo (w− (t0 , x0 ), w+(t0 , x0 )). t
t0
(t0 , x0 ) D
x0
Defini¸c˜ao 1.8.3
Rn+2 . O conjunto E ´e i) Consideremos, E = (t, t0 , x0 ) : w−(t0 , x0 ) < t < w + (t0 , x0 ) chamado de dom´ınio de defini¸ca˜o da aplica¸ca˜o solu¸ca˜o x(t, t0 , x0 ).
{
∈
}⊂
{
ii) Dado (t0 , x0 ) D o conjunto (t, x(t, t0 , x0 )) de trajet´oria por (t0 , x0 ).
∈ D : t ∈ (w
} ´e chamado
− (t0 , x0 ), w+ (t0 , x0 ))
Teorema 1.8.2 (Existˆ encia, Unicidade, Continuidade com rela¸c˜ ao ` as cond. iniciais) n+1 n R aberto, f : D R cont´ınua e localmente Lipschitziana relativamente a Sejam D vari´ avel x. Ent˜ao, para cada (t0 , x0 ) D, existe uma ´unica solu¸ca˜o n˜ao continu´avel, x(t, t0 , x0 ), do PVI x˙ = f (t, x) x(t0 ) = x0 .
⊂
→ ∈
Al´em disso, E ´e aberto e x(t, t0 , x0 ) ´e cont´ınua em E .
Demonstra¸ c˜ ao.
⊂ ⊂ ⊂
Sejam U um compacto de D e V um aberto, tal que U V V D. Suponha, que max f (t, x) e, considere, k a constante de Lipschitz relativamente a V . M
≥
(t,x)∈V
|
|
Escolhemos, α, β suficientemente pequenos, satisfazendo Mα < β , kα < 1, de modo que R (t0 , x0 , α , β ) =
para todo (t0 , x0 )
{(t, x) : |t − t | ≤ α, |x − x | ≤ β } ⊂ V, 0
0
∈ U . x(t) (t0 , x0 ) V U
α β R
t
def
Considere agora, a transforma¸ca˜o x(t + t0 ) = φ(t) + x0 . Assim, resolver o PVI x˙ = f (t, x) x(t0 ) = x0 ,
´e equivalente a resolver o PVI
φ˙ = f (t + t0 , φ(t) + x0 ) φ(0) = 0.
Por outro lado, determinar as solu¸co˜es do PVI acima, ´e equivalente a encontrar as solu¸co˜es cont´ınuas da equa¸ca˜o integral
t
φ(t) =
0
f (s + t0 , φ(s) + x0 )ds,
ou ainda, fazendo τ = s + t0 , temos
t0 +t
φ(t) =
f (τ, φ(τ
t0
− t ) + x )dτ. 0
0
Observe, que a solu¸ca˜o do PVI original ser´ a recuperada, atrav´ es da seguinte rela¸ca˜o x(t) = φ(t t0 ) + x0 . Vamos agora, procurar φ no espa¸co
−
F
n
{ ∈ C ([−α, α], R ) : φ(0) = 0, |φ(t)| ≤ β },
= φ
com a norma do sup. β F
α
−α −β A transforma¸ca˜o acima, foi feita de modo a evitar que o espa¸co onde ser´a procurada a solu¸ca˜o dependa de (t0 , x0 ). Definimos, assim, o operador T : F R F , (φ, (t0 , x0 )) T (t0 ,x0) φ, por
× →
→
t0 +t
(T (t0 ,x0) φ)(t) =
f (τ, φ(τ
t0
− t ) + x )dτ = (T φ)(t), 0
0
onde por um momento estamos ignorando a dependˆencia de (t0 , x0 ). ´ f´acil ver, que T est´a bem definido em F . Mostremos agora, que T deixa F invariante. E Seja φ F . Ent˜ao, t (T φ)(t) ´e cont´ınua em [ α, α], (T φ)(0) = 0, (T φ)(t) Mα β , t [ α, α]. Logo, T F F . Al´em disso, T ´e uma contra¸ca˜o uniforme relativamente a (t0 , x0 ) U . De fato, se φ, ψ F , ent˜ao (T φ)(t) (T ψ)(t) αk sup φ(s) ψ(s) , para todo t [ α, α].
∀ ∈− |
∈
−
→ ⊂ |≤
−
−α≤s≤α
|
−
|
|
∈ ∈−
|≤
≤ ∈
Dessa forma, existe um u ´ nico ponto fixo de T , φ(t, (t0 , x0 )) em F . Sendo, a aplica¸ca˜o dada pelo operador T ,(t0 , x0 ) T (t0 ,x0) φ F , cont´ınua, temos do Teorema de Banach-Cacciopoli, que a aplica¸ca˜o (t0 , x0 ) U φ( , (t0 , x0 )) F ´e cont´ınua. Como, φ ´e uma fun¸ca˜o cont´ınua de t, segue que (t, (t0 , x0 )) [ α, α] U φ(t, (t0 , x0 )) ´e cont´ınua, uma vez que
→ ∈ ∈ → ·
φ(t + h, (t0 + τ, x0 + ξ ))
∈
− φ(t, (t , x )) 0
0
∈−
× →
−
= φ(t + h, (t0 + τ, x0 + ξ )) φ(t + h, (t0 , x0 )) + φ(t + h, (t0 , x0 )) φ(t, (t0 , x0 )).
−
Voltando a` equa¸ca˜o original, os resultados acima dizem que existe α > 0, tal que o PVI
x˙ = f (t, x) x(t0 ) = x0 ,
−
tem uma u ´ nica solu¸ca˜o definida em [t0 α, t0 + α]. Verifiquemos, que isso implica na unicidade n˜ao local ou, mais precisamente, que o PVI acima, tem uma ´unica solu¸ca˜o n˜ao continu´avel. De fato, suponha que existam duas solu¸co˜es x(t), y(t) do PVI em quest˜ao, definidas em [t0 , ω), de modo que x(t) = y(t), para t [t0 , t0 + α] e que exista t1 > t0 + α, tal que x(t1 ) = y(t1 ), t1 < ω. Seja s = sup τ : x(t) = y(t), t [t0 , τ ] . Na verdade, s = max τ : x(t) = y(t), t [t0 , τ ] ,
∈
{
∈
}
{
∈
}
para todo s < t1 . Aplicando o que foi provado acima, temos que existe α > 0, tal que o PVI
z ˙ = f (t, z ) z (s) = x(s),
tem uma u ´ nica solu¸ca˜o definida em [s, s + α], o que ´e uma contradi¸ca˜o, pois arbitrariamente pr´oximo de s (`a direita) existem pontos em que x e y diferem. Nosso pr´oximo objetivo, ´e mostrar que E ´e aberto e que x(t, t0 , x0 ) ´e cont´ınua nas trˆes vari´ aveis. Entretanto, mostramos um resultado preliminar muito importante. Demonstramos a seguir, que se x(t, t0 , x0 ) tem intervalo maximal (w− , w+) e [a, b] (w− , w+), ent˜ao existe δ > 0, tal que (t1 , x1 ): d((t1 , x1 ), (t0 , x0 )) < δ , ent˜ao x(t, t1 , x1 ) est´a definida para todo t [a, b] e que dado ǫ > 0, existe δ > 0, tal que
⊂
∀
d((t1 , x1 ), (t0 , x0 )) < δ
∈
⇒ |x(t, t , x ) − x(t, t , x )| < ǫ, ∀ t ∈ [a, b]. 0
0
1
1
Seja γ > 0, suficientemente pequeno, de modo que
{
U := (t, x) : t
∈ [a, b], |x − x(t, t , x )| ≤ γ } ⊂ D. 0
x
0
D
B((x0,t0),d)
x0 ωa−
bω t +
t0
-
εε
→ ·
−
Vimos anteriormente, que se (t0 , x0 ) φ( , (t0 , x0 )) ´e cont´ınua uniformente em [ α, α], onde α = α(U ) > 0. Isso implica que, dado δ 1 > 0, existe δ > 0, δ < δ 1 , tal que d((t1 , x1 ), (t0 , x0 )) < δ
⇒ |φ(t, (t , x )) − φ(t, (t , x ))| < δ , 0
0
1
1
1
∀ t ∈ [−α, α] e, portanto, |x(t, t , x ) − x(t, t , x )| = |φ(t − t , (t , x )) − φ(t − t , (t , x ))| < δ , desde que |t − t | ≤ α e |t − t | ≤ α. α 0
0
0
Tomando, δ <
1
1
0
0
0
1
1
2
, temos
|t − t | < α2 := α . 1
0
1
1
1
1
Dessa forma, se t
∈ [t − α , t + α ], segue que |t − t | = |t − t + t − t | ≤ α 0
1
0
1
1
0
0
1
e, assim,
|x(t, t , x ) − x(t, t , x )| < δ . 0
0
1
1
1
Conclu´ımos, que dado δ 1 > 0, existe δ > 0, tal que d((t1 , x1 ), (t0 , x0 )) < δ
∀ t ∈ [−α , α ], onde α 1
1
1
⇒ |x(t, t , x ) − x(t, t , x )| < δ , 0
0
1
1
1
= α1 (U ) > 0. δ 1 (t0 , x0 )
δ 1
δ
(t0 + α, x(t0 + α1 , x0 , t0 ))
δ
∈
Considere agora, t (t0 + α1 , t0 + 2α1 ). Como foi feito anteriormente, dado δ 2 > 0, existe δ 1 > 0, δ 2 > δ 1 , tal que d((t1 , x1 ), (t0 + α1 , x(t0 + α1 , t0 , x0 ))) < δ 1
∀ ∈ [t
⇒ |x(t, t , x ) − x(t, t , x )| < δ , 0
0
1
1
2
−
+ α1 α1 , t0 + 2α1 ] = [t0 , t0 + 2α1 ]. Conclu´ımos assim, que 0
d((t1 , x1 ), (t0 , x0 )) < δ
⇒ |x(t, t , x ) − x(t, t , x )| < δ , 0
0
1
1
2
∀ t ∈ [t − α , t
+ 2α1 ]. Por um processo recursivo, utilizando passos de tamanho α1 , podemos cobrir o intervalo [a, b]. Dessa forma, dado ǫ > 0, existe δ > 0, tal que 0
1
0
d((t1 , x1 ), (t0 , x0 )) < δ
⇒ |x(t, t , x ) − x(t, t , x )| < ǫ, 0
0
1
∀ t ∈ [a, b].
∈
Mostremos agora, que E ´e aberto. Sejam (s, t0 , x0 ) E e s Como foi feito anteriormente, dado ǫ > 0, existe δ > 0, tal que (s
1
∈ (a, b) ⊂ [a, b] ⊂ (ω − δ, s + δ ) ⊂ (a, b) e
− , ω+ ).
∗
d((t1 , x1 ), (t0 , x0 )) < δ,
( )
ent˜ao
|x(t, (t , x )) − x(t, (t , x ))| < ǫ, 0
∈
0
1
(
1
∗∗)
para todo t [a, b]. Assim, temos que se τ (s δ, s+δ ) e (t1 , x1 ) satisfaz (*), ent˜ao τ (w− (t1 , x1 ), w+(t1 , x1 )). Logo, para τ (s δ, s + δ ) e (τ, t1 , x1 ) E , vale (**), o que implica que E ´e aberto.
∈ −
∈ −
∈
∈
XeR
B((t0,x0),d)
ǫ ǫ
w- −
b teR W+
A continuidade decorre da seguinte desigualdade
|x(τ, t , x ) − x(s, t , x )| ≤ |x(τ, t , x ) − x(τ, t , x )| + |x(τ, t , x ) − x(s, t , x )|. Da continuidade de x(·, t , x ), segue que dado ǫ > 0, existe δ > 0, tal que vale (**) acima e, portanto, |x(τ, t , x ) − x(s, t , x )| < ǫ. 1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Corol´ario 1.8.1 Sejam D Rn+1 aberto, f : D Rn cont´ınua e localmente Lipschitziana relativamente a x. Ent˜ ao, para cada (t0 , x0 ) D, existe uma ´unica solu¸ca˜o n˜ao continu´avel x(t, t0 , x0 ) do PVI x˙ = f (t, x) x(t0 ) = x0
⊂
∈
→
⊂
definida em seu intervalo maximal (ω− , ω+). Seja [a, b] (ω− , ω+ ). Ent˜ao, dado ε > 0, existe δ > 0, tal que se d((t1 , x1 ), (t0 , x0 )) < δ , ent˜ao x(t, t1 , x1 ) est´a definida em [a, b] e
|x(t, t , x ) − x(t, t , x )| < ε, 0
para todo t
0
1
1
∈ [a, b].
Teorema 1.8.3 Se al´em das condi¸co˜es do Teorema 1.8.2 a fun¸ca˜o f depende tamb´em de um parˆametro λ, isto ´e, se f (t,x,λ), para λ variando em um conjunto fechado e limitado G de Rk , ´e cont´ınua em D G e localmente Lipschitziana, com a constante k independente de λ, ent˜ao para cada (t0 , x0 ) D e λ G, existe uma ´unica solu¸ca˜o n˜ao continu´avel de
× ∈
∈
x˙ = f (t,x,λ) x(t0 ) = x0 .
(PVIλ )
Al´em disso, x(t, t0 , x0 , λ) ´e cont´ınua nas quatro vari´aveis.
Demonstra¸ c˜ ao. Segue a mesma a linha do Teorema 1.8.2, tomando, M := sup f (t,x,λ) : (t,x,λ) V G e, observando, que o ponto fixo φ( , (t0 , x0 , λ)) depende continuamente de λ.
{|
|
∈ × }
·
(f n )n∈N uma sequˆencia encia de fun¸c˜ coes o˜es cont cont´´ınuas em um u m aber a berto to D de Rm+1 , tal Lema 1.8.1 Sejam (f que f n , uniformemente em subconjuntos compactos de D. f 0 , quando n Considere, (t (tn , xn ) D, n 0, tal que (t ( tn , xn ) (t0 , x0 ), quando n . Par araa n 0, tomamos o (PVI) x˙ = f n (t, x) (PVIn ) x(tn ) = xn .
→
→∞ ∈ ≥
→
→∞
≥
Se φ0 : (w− , w+ ) u ´ nica solu¸c˜ cao a˜o n˜ao ao continu´avel avel de P V I 0 e t0 [a, b] (w− , w+ ), Rm ´e a unica ent˜˜ao ent ao ex exis iste te n0 suficientemente grande, tal que para todo n a˜o φn n0 o P V I n tem solu¸cc˜ao definida em [a, [a, b] e φn(t) [ a, b]. φ0 (t), uniformemente em [a,
→
∈
≥
→
⊂
x(t) (t1 , x1 )
(t0 , x0 ) D (tn , xn )
w−a w−nw−1
b w+ w+tn
w+1
Demonstra¸ c˜ ao. Para facilitar, suponha que t0 (a, b). Se Seja jam m 0 < µ1 < µ2 , suficientemente pequenos, de modo que se U e V s˜ao ao vizinhan¸cas cas abertas de raio µ1 e µ2 , respectivamente, de φ0 (t) : a ao, existe n0 , tal que t b , tais que U V V D e, considere, M > max f 0 (t, x) . Ent˜ao,
∈
≤ } ⊂ ⊂ ⊂ se n ≥ n , ent˜ao a o ma max x |f (t, x)| < M . M . 0
(t,x t,x))∈V
(t,x t,x))∈V
|
{
|
≤
n
x(t) V
D
µ2 (t0 , x0 ) µ (tn , xn1)
U
a
b
t
Relembrando, o Corol´ario ario 1. 1.6.2 (do Teorema de Peano), vemos que podemos tomar α, β > 0, com Mα < β , de modo que, o (P (P V I n ), n n0 tenha solu¸c˜ cao a˜o definida em [t [tn α, tn + α], com (tn , xn ) U U .. Como, tn temo moss qu quee pa para ra n0 sufi sufici cien ente temen mente te gran grande, de, toda todass as sol solu¸ u¸c˜ coes o˜es est estar˜ ar˜ ao ao t0 , te α α definidas em [t [t0 , t0 + ]. 2 2 α α Mostremos, que φn (t) converge uniformemente para φ0 (t) em [t [t0 . , t0 + ], quando n 2 2 Aqui, precisamos do seguinte resultado de Topologia: Sejam M um espa¸co co m´etrico etri co e ( pn ) uma sequˆencia encia de elementos de M . En Ent˜ t˜ ao, pn ao, p0 se, e
∈
≥
−
→ −
−
→∞
→
somente se, toda subsequ subsequˆˆencia encia de ( pn ) admite subsequˆencia encia convergente e toda subsequˆencia encia convergente de ( p ( pn ) converge para p0 . Seja (ψ (ψn ) uma subsequˆencia encia de (φn ). Como, ψ˙ n f n(t, ψn (t)) < M , temos que α α Rm ´e eq equi uico cont´ nt´ınuo ınu o e, al´em em di diss sso, o, ψn : [t0 , t0 + ] 2 2 max ψn (t) ψn (s) ψ˙ (θ) t s M t s θ (t, s).
{
−
|
→ } − |≤
| |≤|
θ ∈[t0 −α/ α/2 2,t0 +α/ α/2] 2]
|
|
|| − |≤ | − | ∈
´ Sendo, (ψ (ψn ) uniformemente limitada, segue do Teorema de Ascoli, que (ψ (ψn ) tem uma subsequˆ seq uˆencia enc ia conver c onvergent gente. e. Considere, (ψ (ψnk ) uma subsequˆencia encia convergente de (ψn ), convergindo para ψ0 (t) dada por
t
ψnk (t) = xnk +
))ds. f nk (s, ψnk (s)) ds.
tnk
Fazendo, k
→ ∞, temos que
t
ψ0 (t) = x0 +
))d f 0 (s, ψ0 (s)) ds, t
t0
∈ [t − α2 , t 0
0
+
α ]. 2
J´a que, o (P ( P V I 0 ) tem uma ´unica unica solu¸c˜ cao a˜o n˜ao ao continu´avel, avel, segue que φ0 (t) = ψ0 (t), α α t [t0 , t0 + ]. 2 2 Utilizando-se de um processo recursivo, pode-se recobrir o intervalo [ a, b] com intervalos de comprimento α e obter a informa¸c˜ cao a˜o para [a, [a, b].
∀ ∈ −
Rn+1 Rk Rn cont cont´´ınua e lo localm calmente ente Cor ol´ario Corol´ ari o 1.8 1.8.2 .2 Sejam f : (t,x,λ t,x,λ)) D G Lipschitziana em rela¸c˜ cao a˜o a x, D aberto, G fechado, com a constante de Lipschitz independente de λ G. Considere, [a, [a, w+ ) o intervalo maximal `a direita da solu¸c˜ cao a˜o do (PVI)
∈ × ⊂
∈
e, tome b, tal que [a, [a, b] solu¸c˜ cao a˜o maximal do
⊂ [a, w
+ ).
×
→
x˙ = f f ((t,x,λ0 ) x(a) = x, x¯,
(PVIλ0 )
Ent˜ En t˜ a o, para ((x ao, o ximo de (¯ x0 , λ) suficientemente pr´oximo x, λ0 ) a x,
x˙ = f f ((t,x,λ t,x,λ)) x(a) = x0 ,
(PVIλ )
→ ·
[a, b] e a aplica¸c˜ cao a˜o (x ( x0 , λ) x(t,a,x0 , λ), est´a definida em [a, x( , a , x0 , λ) n em (¯ ([a, x, λ0 ), onde em C ([ x, a, b], R ) consideramos a norma do sup.
Teorema 1.8.4 Suponha, que f cont´ nt´ınua ınu a pa para ra (t, x) f ((t,x,λ t,x,λ)) ´e co k n+1 vizinhan¸ca ca de λ0 em R e D ´e ab abert ertoo em R . Se o (PVI)
n
∈ C ([([a,a, b], R ) ´e cont´ınu nuaa
∈ D e λ ∈ V V ,, onde V ´e uma
x˙ = f f ((t,x,λ0 ) x(t0 ) = x0 ,
(PVIλ0 )
tem uma unica u ´ nica solu¸c˜ cao a˜o cont continu´ inu´avel, avel , x(t, t0 , x0 , λ), definida em (w (w− , w+) (in (interv tervalo alo maxim maximal al de existˆencia) enci a) e t0 [a, b] (w− , w+), ent˜ao a o para todo (s,η,λ (s,η,λ)) suficientemente pr´oximo oximo de (t0 , x0 , λ0 ) o PVI x˙ = f f ((t,x,λ t,x,λ)) (PVI) x(s) = η,
∈
⊂
tem uma solu¸c˜ cao, a˜o, x(t,s,η,λ ), definida em [a, [a, b], qu quee ´e co cont´ nt´ınua ınu a em (t, t0 , x0 , λ0 ). t,s,η,λ),
Demonstra¸ c˜ ao. Obtemos, a solu¸c˜ cao, a˜o, x(t,s,η,λ [a, b], seguindo a mesma id´eia eia do Lema 1.8.1. t,s,η,λ)) definida em [a, A continuidade uniforme de x(t,s,η,λ (t0 , x0 , λ0 ), para t [a, b], segue do Lema 1.8.1. t,s,η,λ)) em (t ǫ Assim, dado ǫ > 0, existe δ 1 > 0, tal que x(t,s,η,λ se t,s,η,λ)) x(t, t0 , x0 , λ0 ) < 2 (s,η,λ s,η,λ)) (t0 , x0 , λ0 ) < δ 1 , t [a, b]. Como, t cont´ nt´ınua, ınu a, ex exis iste te δ 2 > 0, tal que se t τ < δ 2 , ent˜ao ao x(t, t0 , x0 , λ0 ) ´e co ǫ ao (t,s,η,λ x(t,s,η,λ t,s,η,λ)) x(τ, t0 , x0 , λ0 ) < . Se δ = min δ 1 , δ 2 , ent˜ao t,s,η,λ)) (τ, t0 , x0 , λ0 ) < δ , o 2 que implica que
|
−
|
|
→ −
|
∀ ∈
|
∈
−
{
}
|
|− |
|
−
|
|x(τ, t , x , λ ) − x(t,s,η,λ t,s,η,λ))| ≤ |x(τ, t , x , λ ) − x(t, t , x , λ )| +|x(t, t , x , λ ) − x(t,s,η,λ t,s,η,λ))| ≤ 2ǫ + 2ǫ = ǫ 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Observa¸ c˜ao c˜ ao 1. 1.8. 8.1 1 Se f : Rn+1 c˜ ao do (PVI) x0 Rn a solu¸c˜
∈
n
→R
´e cont cont´´ınua ınua e loc localmente almente Lipschi Lipschitziana tziana e se par paraa todo
x˙ = f f ((t, x) x(a) = x0 ,
(PVI)
est´ a definida em [a, b], ent˜ ao a aplica¸c˜ c˜ ao x0 Rn homeomorfi eomorfismo. smo. x(b,a,x0 ) Rn ´e um hom n n Basta observar, que sua inversa y0 R con nt´ınua. x(a,b,y0 ) R tamb´em ´e co
∈ →
∈ → ∈ Seja f : [a, b]×R → R uma aplica¸c˜ cao a˜o cont c ont´´ınua e Lipschit Li pschitzian zianaa em [a, b]×R , n
Exe rc´ıcio Exerc´ ıc io 1.8 1.8.3 .3 istoo ´e, ist e, exi exist stee L 0, tal que
≥
∈
n
n
n
f f ((t, x) − f f ((t, y) ≤ Lx − y, ∀ (t, x), (t, y) ∈ [a, b] × R . Seja (t (t , x ) ∈ [a, b] × R e, considere, o PVI 0
n
0
x˙ = f f ((t, x) x(a) = x0 ,
(PVI)
(a) Mostre Mostre utilizand utilizandoo o M´ eto do da etodo dass Apr A proxim oxima¸ a¸c˜ coes o ˜es Sucessivas (Picard), que o PVI tem uma unica u ´ nica solu¸c˜ cao a˜o em [a, [a, b].
xn+1 (t) = x0 + x0 (t) = x0
t t0
))ds f (s, xn(s)) f ( ds
(b) Utilizando o Corol´ario ario do Ponto Ponto fixo de Banach Banach o mes mesmo mo resultad resultado. o. Sej Sejam am X espa¸co co m m´etrico etr ico com comple pleto to,, F : X X cont´ınua ınu a e exi existe ste m > 0, tal que F ´e co cont ntra ra¸¸c˜ cao. a˜o. Ent˜ao, ao, n existe um ´unico unico ponto fixo p de F e p ´e um at atra rato tor, r, ist istoo ´e, e, F (x) p, x X .
→
→ ∀ ∈
Exe rc´ıcio Exerc´ ıc io 1.8 1.8.4 .4 Seja f : R Rn Rn cont cont´´ınua e tal que para cada a > 0 f ´e Lip L ipschi schitzi tzian ana, a, n com rela¸c˜ c˜ao ao a x, em [ a, a] R , com constante de Lispchitz L = La . Mostre, que toda solu¸c˜ cao a˜o de x˙ = f definida ida em R. f ((t, x) est´a defin
−
× → ×
1.9
Diferenciabilidade de Ponto Fixo com Rela¸c˜ ao a Parˆ ametros
⊂ →
Defini¸c˜ ao 1.9.1 ( Derivada de Frechet) Sejam X , Y espa¸cos de Banach e f : Ω X Y , onde Ω ´e aberto e x0 Ω. Dizemos, que f ´e diferenci´avel em x0 e que u L (X, Y ) ´e sua diferencial se f (x0 + h) f (x0 ) u(h) lim = 0. h→0 h
∈
∈
− −
Nota¸ c˜ ao. u = f ′ (x0 ) = Df (x0 ). Observa¸ c˜ao 1.9.1 De maneira natural, define-se derivada parcial. Dizemos, que f C 1 em Ω se f for diferenci´ avel em todos os pontos de Ω e se aplica¸c˜ ao ′ x0 Ω f (x0 ) L (X, Y ) for cont´ınua.
∈ →
∈
∈
Observa¸ c˜ao 1.9.2 Se f ′ (x0 ) = u
∈ L (X, Y ), ent˜ ao para cada h ∈ X , temos que f (x + th) − f (x ) lim = u(h). 0
0
t
t→0
Teorema 1.9.1 Sejam X , Y espa¸cos de Banach, F fechado, A e Λ abertos, tais que A F X , Λ Y . Suponha, que T : (x, y) A Y T (x, y) X ´e uma contra¸ca˜o uniforme, com constante ρ [0, 1), relativamente a y Λ, que para cada x F a aplica¸ca˜o y Λ T (x, y) ´e cont´ınua, T (F Λ) F e que a aplica¸ca˜o (x, y) A Λ T x (x, y) exista e seja cont´ınua. Essas hip´oteses, implicam que para cada y Λ, existe um ´unico ponto fixo g(y) de T ( , y), com g cont´ınua. Considere, que para cada y0 Λ, a aplica¸ca˜o y Λ T (g(y0 ), y) seja diferenci´avel e que sua derivada seja cont´ınua em y0 . Ent˜ao, g ´e C 1 em Λ e g ′ (y) = (I T x (g(y), y)−1T y (g(y), y).
⊂ ⊂ ∈ → ·
⊂
∈
∈ × → ∈ ∈ ∈ ∈ × → ∈ ∈ ∈ →
× ⊂ −
Demonstra¸ c˜ ao.
≤ ρ, ∀ (x, y) ∈ F × Λ. De fato, T (x + th,y) − T (x, y) T (x, y)h = lim .
Em primeiro lugar, afirmamos que T x (x, y) x
t
t→0
− T (x, y) ≤ ρh. Assim, − T (x, y) ≤ ρth, obtemos T (x + th,y) |t| segue que T (x, y)h ≤ ρh e ent˜ao T (x, y) ≤ ρ. Sendo, T (x + th,y) x
x
Vamos agora, encontrar um candidato `a derivada de g. Suponha, por um momento que g seja C 1 . Ent˜ao, como T (g(y), y) = g(y), segue que T x (g(y), y) g ′ (y) + T y (g(y), y) = g ′ (y).
◦
Como, T x (g(y), y) ρ < 1, temos que existe (I T x (g(y), y))−1 (s´erie de Neumann) e, portanto, g ′ (y) = [I T x (g(y), y)]−1T y (g(y), y). Temos assim, o candidato a derivada. def Seja R(h) = g(y + h) g(y) vh, onde v = (I T x (g(y), y))−1T y (g(y), y).
−
≤
−
−
−
−
Assim, v = T x (g(y), y)v + T y (g(y), y). Dessa forma, temos que mostrar que R(h) = o( h ), isto ´e, que R(h) 0, quando h 0. h
→
R(h) = =
→ T (g(y + h), y + h) − T (g(y), y) − T (g(y), y)vh − T (g(y), y)h T (g(y + h), y + h) − T (g(y), y + h) − T (g(y), y)vh +T (g(y), y + h) − T (g(y), y) − T (g(y), y)h d o(h) + T (θg(y + h) + (1 − θ)g(y), y + h)dθ − T (g(y), y)vh dθ x
y
x
−
y
1
=
x
0
1
= o( h ) +
T x (θg(y + h) + (1
− θ)g(y), y + h) [g(y + h) − g(y)]dθ − T (g(y), y)vh
T x (θg(y + h) + (1
− θ)g(y), y + h) [g(y + h) − g(y) − vh + vh]dθ
0
x
1
= o( h ) +
0
1
T x (g(y), y)vhdθ
0
1
= o( h ) +
T x (θg(y + h) + (1
0
− θ)g(y), y + h) R(h) dθ
1
+
[T x (θg(y + h) + (1
0
− θ)g(y), y + h) − T (g(y), y)] dθvh. x
Logo,
1
R(h) = o( h ) +
T x (θg(y + h) + (1
0
− θ)g(y), y + h) R(h) dθ.
Assim, decorre que
1
R(h) ≤ o(h) +
− θ)g(y), y + h)dθ R(h) ≤ o(h) + ρR(h). Conclu´ımos assim, que R(h) = o(|h|), quando h → 0. T x (θg(y + h) + (1
0
∈
Teorema 1.9.2 Se f (t,x,λ) tem derivadas cont´ınuas at´e ordem 1 em x, λ, para (t, x) D e λ G, G aberto de Rk , onde D ´e aberto de Rn+1 , ent˜ao a solu¸ca˜o x(t, t0 , x0 , λ) de x˙ = f (t,x,λ), x(t0 ) = x0 ´e continuamente diferenci´avel com rela¸ca˜ o a (t, t0 , x0 , λ) no seu dom´ınio. ∂ A matriz x(t, t0 , x0 , λ) satisfaz ∂λ
∈
∂ ∂ f (t, x(t, t0 , x0 , λ), λ)y + f (t, x(t, t0 , x0 , λ), λ) ∂x ∂λ y(t0 ) = 0. y˙ =
A matriz
∂ x(t, t0 , x0 , λ) satisfaz a equa¸ca˜o variacional ∂x0 y˙ =
Al´em disso,
∂ f (t, x(t, t0 , x0 , λ), λ)y. ∂x
∂ x(t, t0 , x0 , λ) = ∂t 0
− ∂x∂ x(t, t , x , λ)f (t , x , λ). 0
0
0
0
0
Demonstra¸ c˜ ao. Vamos aplicar o Teorema de diferenciabilidade do ponto fixo com rela¸c˜ao a parˆametros para Como j´a foi visto anteriormente, T ´e uma contra¸ca˜o uniforme.
t0 +t
φ(t) = (T φ)(t) = (T t0 ,x0,λ φ)(t) :=
f (s, φ(s
t0
− t ) + x , λ)ds 0
0
Agora,
t0 +(·)
∂T ( φ) = ∂x0 ( ( ∂T ( φ) = ∂t 0
−
t0 +(·)
f x (s, φ(s
− t ) + x , λ)ds
f λ(s, φ(s
− t ) + x , λ)ds
f x (s, φ(s
− t ) + x , λ) ψ(s)ds
t0 t0 +(·)
∂T φ) = ∂λ
t0 t0 +(·)
∂T ψ) = ∂φ
t0
0
0
0
0
0
0
˙ f x (s, φ(s t0 ) + x0 , λ)φ(s t0 )ds+f (t0 + ( ), φ( )+ x0 , λ) f (t0 , φ(0)+x0, λ)
−
· · − ˙ − t ), que faz sentido, pois φ ´e de Observamos, que na ´ultima derivada aparece o termo φ(s t0
−
0
1
classe C , e ´e ponto fixo do operador acima. Seja (t0 , x0 , λ0 ) fixado e φ = φ(t0 ,x0,λ0 ) o ponto fixo. Para verificar as condi¸co˜es do teorema (1.9.1), basta observar que as aplica¸co˜es abaixo s˜ao cont´ınuas no ponto (t0 , x0 , λ0 ).
→ → →
t1 +(·)
(t1 , x1 , λ1 )
t1 +(·)
(t1 , x1 , λ1 )
t1
n
− t ) + x , λ )dτ ∈ L (R , C ([−α, α], R ))
f x (s, φ(s
− t ) + x , λ ) (·)dτ ∈ L (C ([−α, α], R )), C ([−α, α], R )).
1
1
1
1
t1
− →
k
f λ (s, φ(s
1
t1 t1 +(·)
(t1 , x1 , λ1 )
n
− t ) + x , λ )dτ ∈ L (R , C ([−α, α], R ))
t1 t1 +(·)
(t1 , x1 , λ1 )
n
f x (s, φ(s
1
1
1
n
1
f x (s, φ(s t1 )+x1 , λ1 )φ˙ (s t1 )ds+f (t1 + ( ), φ( )+x1 , λ) f (t1 , φ(0)+x1 , λ)
−
−
·
·
−
n
n
∈ C ([−α, α], R
Podemos, utilizar o Teorema da diferencibilidade do ponto fixo com rela¸ca˜o a parˆametros e concluir a diferenciabilidade de (t0 , x0 , λ)
→ φ
(t0 ,x0 ,λ)
n
∈ C ([−α, α], R )). →
Como, φ ´e ponto fixo do operador acima, conclu´ımos que (t, t0 , x0 , λ) φ(t0 ,x0 ,λ) (t) ´e diferenci´avel. Assim, x(t, t0 , x0 , λ) = φ(t t0 , t0 , x0 , λ) + x0 ´e diferenci´avel. Sendo, x(t, t0 , x0 , λ) = x(t, t0 + α, x(t0 + α, t0 , x0 , λ), λ), podemos por um argumento recursivo, concluir a diferenciabilidade, para todo t em que x(t, t0 , x0 , λ) esteja definida. ∂x As outras f´ormulas, seguem por simples deriva¸ca˜o. Por exemplo, (t, t0 , x0 , λ) segue ∂x0
−
t
derivando x(t, t0 , x0 , λ) = x0 +
t0
f (s, x(s), t0 , x0 , λ)ds.
)).
1.10
Dependˆ encia Cont´ınua e Estabilidade
Seja f : Rn+1
n
→ R , cont´ınua. Suponha, que para todo (t , x ) ∈ R 0
0
n+1
o (PVI)
x˙ = f (t, x) x(t0 ) = x0
tenha uma u ´ nica solu¸ca˜o n˜ao continu´avel. Considere tamb´em, que f (t, 0) = 0. Deste ´ultimo fato, segue que x(t) = 0 ´e solu¸ca˜o da equa¸ca˜o. Dados a, b R, do Teorema de continuidade com rela¸ca˜o as condi¸co˜es iniciais, segue que dado ǫ > 0, existe δ > 0, δ = δ (ǫ,a,b), tal que se x0 < δ , ent˜ao x(t,a,x0 ) est´a definida em [a, b] e x(t,a,x0 ) < ε, t [a, b].
∈
|
|
| |
∀ ∈
t
ε δ
b
a
Figura 1.1: Dependˆencia Cont´ınua Analisemos, a equa¸ca˜o x˙ = x2 . Temos, que x(t, 0, c) =
c 1
− ct
est´a definida em [0, 1c ).
x(t)
ǫ c ǫ b
1 c
t
Dado b > 0, para c suficientemente pequeno, x(t, 0, c) est´a definida em [0, b]. Al´em disso, dado ǫ > 0, existe δ = δ (ǫ, b) > 0, tal que se c < δ , ent˜ao x(t, 0, c) < ǫ, t [0, b]. Neste exemplo, as solu¸co˜es que come¸cam perto de zero, n˜ao ficam pr´oximas de zero o tempo todo. Assim sendo, o Teorema de Continuidade com rela¸c˜ao a`s condi¸co˜es inicias s´o d´a informa¸ca˜o em intervalos finitos. O pr´oximo conceito ´e introduzido para podermos falar em continuidade com rela¸ca˜o a x0 em intervalos infinitos.
∈
||
1.11
Estabilidade no Sentido de Liapunov
Defini¸c˜ao 1.11.1 Seja f : [0,
n
∞) × R → R
n
cont´ınua, tal que vale a unicidade para o (PVI)
x˙ = f (t, x) x(t0 ) = x0 ,
n
∀ (t , x ) ∈ [0, ∞) × R . Considere, ϕ(t) uma solu¸ca˜o definida para t ≥ 0. avel se dados ǫ > 0, t ≥ 0, existe δ = δ (ǫ, t ) > 0, tal que se Dizemos, que ϕ ´e est´ |x − ϕ(t )| < δ , ent˜ao x(t, t , x ) est´a definida para t ≥ t e |x(t, t , x ) − ϕ(t)| < ǫ, ∀ t ≥ t . 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
x(t) ǫ ǫ δ δ
φ(t0 )
t0
t
Mostramos, a seguir que n˜a o h´a perda de generalidade, se estudarmos a estabilidade da solu¸ca˜o nula. Em x˙ = f (t, x), fazemos x = ϕ(t) + z e, temos, x˙ = ϕ˙ + z ˙ = f (t, ϕ(t)) + z ˙ = f (t, ϕ(t) + z ). def
−
Logo, z ˙ = f (t, ϕ(t) + z ) f (t, ϕ(t)) = F (t, z ), com F (t, 0) = 0. Assim, a estabilidade da solu¸ca˜o ϕ(t) de x˙ = f (t, x) ´e equivalente `a estabilidade da solu¸ca˜o nula de z ˙ = F (t, z ).
≡
≥
Defini¸c˜ao 1.11.2 A solu¸ca˜o x 0 ´e est´avel (S ), se dados ǫ > 0, t0 0 existi δ = δ (ǫ, t0 ) > 0, tal que se x0 < δ , ent˜ao x(t, t0 , x0 ) est´a definida em [t0 , ) e x(t, t0 , x0 ) < ǫ, para t t0
| |
∞ |
|
≥
≡
Defini¸c˜ao 1.11.3 A solu¸ca˜o x 0 ´e uniformemente est´avel (U.S ) se for uniformemente est´avel, com δ = δ (ǫ) (independente de t0 ).
≡
Defini¸c˜ao 1.11.4 A solu¸ca˜o x 0 ´e assint´oticamente est´avel (A.S ) se for est´avel e se dado 0, quando t . t0 0, existi ρ = ρ(t0 ) > 0, tal que se x0 < ρ, ent˜ao x(t, t0 , x0 )
≥
| |
→
→∞
x(t)
x0
η ρ
t
ρ t0
t0 + T (t0 , η)
η
≡
0 ´e uniformemente assint´oticamente est´avel (U.A.S ) se for Defini¸c˜ao 1.11.5 A solu¸ca˜o x est´avel, assintoticamente est´avel, com ρ independente de t0 0 e se para cada η > 0, existe T = T (η) > 0, tal que se x0 < ρ, ent˜ao x(t, t0 , x0 ) < η, para t t0 + T
| |
|
≥
|
≥
x(t)
x0
η ρ
ρ t0
t0 + T (η)
η
t
Defini¸c˜ao 1.11.6 Dizemos, que uma solu¸ca˜o ´e inst´ avel se n˜ao for est´avel.
Rn for peri´odica em t ou, independente de t (caso autˆonomo), Lema 1.11.1 Se f : R Rn ent˜ao x 0 ´e S (A.S ) se, e somente se, U.S (U.A.S).
× →
≡
Demonstra¸ c˜ ao.
⇒
(S US ) Suponha, que f (t + w, x) = f (t, x), (t, x) Rn+1 e que w > 0. A estabilidade implica que dado ǫ > 0, existe δ 1 = δ 1 (ǫ) > 0, δ 1 < ǫ, tal que x0 < δ 1 , ent˜ao x(t,w,x0 ) < ǫ, t w. O Teorema da continuidade com rela¸ca˜o as condi¸co˜es iniciais implica, que existe δ = δ (δ 1 ) > 0, tal que para x0 < δ , t0 [0, w] x(t, t0 , x0 ) < δ 1 , t [0, w].
∀
| |
∈
⇒|
∈
|
| |
|
∈
|
≥
x(t)
ǫ δ
D1
δ
|
|
Dado t0
D1
≥t . ∈ (w, ∞), existe t¯ ∈ [0, w), tal que t
Assim, x(t, t0 , x0 ) < ǫ, t
t
ω
0
0
0
t¯
= t¯ + mw.
t
2ω
ω
Se t t0 = t¯ + mw, t = (t mw) + mw, t := s + mw, s = t s + mw = t t0 = t¯ + mw, o que implica s t¯. Considere, x0 < δ . Ent˜ao, para t t0
≥
≥
−
| |
≥
≥
− mw.
Dessa forma,
|x(t, t , x )| = |x(s + mw, t¯ + mw,x )| = |x(s, ¯t, x )| < ǫ. 0
0
0
0
Logo, temos U.S . Au ´ ltima igualdade decorre, do fato que ambas s˜ao solu¸co˜es do
x˙ = f (t, x) x(t¯) = x0 .
(A.S
⇒ U.A.S)
Provemos inicialmente, que na defini¸ca˜o de Estabilidade Assint´otica ´e poss´ıvel encontrar ρ > 0 independente de t0 . Tomando t0 = 0, existe ν > 0 tal que
|x | < ν ⇒ 0
x(t, 0, x0 )
→ 0, quando t → ∞.
(1.1)
Do Teorema da Continuidade com rela¸ca˜o a`s condi¸co˜es iniciais, segue que existe ρ > 0, ρ < ν , tal que (1.2) x0 < ρ, t0 [0, ω] x(0, t0 , x0 ) < ν
| |
∈ ⇒ | | e de (1.1), x(t, t , x ) → 0, quando t → ∞. Tomemos agora, t > ω, |x | < ρ. Ent˜ao, existe inteiro m ∈ Z , tal que t ∈ [mw, (m + 1)w] e, assim, decorre que existe t¯ ∈ [0, ω], tal que t = t¯ + mω. t ≥ t = t¯ + mω, existe s ≥ t¯, tal que t = s + mω. 0
0
0
0
0
+
0
0
Dado
Como, x(t, t0 , x0 ) = x(s + mw, ¯t + mw,x0 ) = x(s, t¯, x0 ), e x(t¯, t¯, x0 ) = x0 < ρ,
|
| | |
ent˜ao x(t, t¯, x0 ) 0, quando t 0, quando t , o que implica que x(t, t0 , x0 ) . Conseguimos assim, encontrar ρ independente de t0 . Afirmamos que A - existe µ > 0, µ < ρ, tal que, dados ǫ > 0, t0 0 arbitr´arios, existe T = T (ǫ) > 0, tal que se x0 < µ, ent˜ao x(t, t0 , x0 ) < ǫ, para t t0 + T (ǫ). Primeiro provaremos que ρ B - se x0 < , dado ǫ > 0, existe T = T (ǫ), tal que x(t, 0, x0 ) < ǫ, t T (ǫ). 2
→
| |
→∞
|
→
|
→∞
≥
≥
| |
|
|
≥
U.S. implica que existe δ = δ (ǫ) < ǫ, tal que
|x | < δ, t ≥ 0 ⇒ |x(t, t , x )| < ǫ, ∀ t ≥ t . (1.3) ρ Sabemos, que se |x | ≤ , ent˜ao |x(t, 0, x )| → 0, t → +∞. Logo, segue que existe T (ǫ, x ) 2 0
0
0
0
0
0
0
0
tal que
|x | < ρ, t ≥ T (ǫ, x ) ⇒ |x(t, 0, x )| < 2δ . 0
0
(1.4)
0
Em particular, de (1.3) temos,
|x | < ρ ⇒ |x(T (ǫ, x ), 0, x )| < 2δ ⇒ |x(t, 0, x )| < ǫ, t ≥ T (ǫ, x ). 0
0
0
0
(1.5)
0
Do Teorema da continuidade com rela¸ca˜o a` condi¸co˜es iniciais, segue que para cada x0 B ρ/2 (0), existe β (x0 , ǫ) > 0, tal que
∈
|x − x | < β (x , ǫ) ⇒ |x(T (ǫ, x ), 0, x ) − x(T (ǫ, x ), 0, x )| < 2δ e, portanto, |x(T (ǫ, x ), 0, x )| ≤ |x(T (ǫ, x ), 0, x ) − x(T (ǫ, x ), 0, x )| + |x(T (ǫ, x ), 0, x )| < δ. Ent˜ao, de (1.3), decorre que |x(t, 0, x )| < ǫ, para t ≥ T (ǫ, x ). A cole¸ca˜o de abertos {B (x ) : x ∈ B (0)} ´e um recobrimento de B (0). Logo, existe subrecobrimento finito, {B (x ) : i = 1, ··· , n}. Seja T (ǫ) = max T (x , ǫ). Considere, x , tal que |x | < ρ/2. Ent˜ ao, existe x , tal que x ∈ B (x ) e, assim, |x(t, 0, x )| < ǫ, t ≥ T (ǫ). Conclu´ımos, que |x | < ρ/2, t ≥ T (ǫ) ⇒ |x(t, 0, x )| < ǫ. (1.6) 1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
β (x0 ,ǫ)
0
0
0
0
β (xi ,ǫ)
0
ρ/2
ρ/2
i
i
i=1,··· ,n
0
i
0
β (xi ,ǫ)
i
0
0
0
Dessa forma, a afirma¸ca˜o B est´a justificada. Provaremos agora, a afirma¸ca˜o A. Como, a aplica¸ca˜o (t0 , x0 ) [0, w] B ρ/2 x(0, t0 , x0 ) ´e uniformemente cont´ınua, temos ρ que existe µ > 0, µ < , tal que se t0 [0, w] e x0 < µ, ent˜ao x(0, t0 , x0 ) < ρ/2, o que 2 implica que x(t, t0 , x0 ) < ǫ, t T (ǫ). Conclu´ımos, assim que
∈
|
|
t0
×
≥
∈
→
| |
|
∈ [0, ω], |x | < µ, t ≥ T (ǫ) ⇒ |x(t, t , x )| < ǫ. 0
Mostraremos, a seguir que se t0 > ω ,
0
0
|
(1.7)
|x | < µ, t ≥ t 0
0
+ T T ((ǫ)
⇒ |x(t, t , x )| < ǫ. 0
Existe, t˜ [0 [0,, w ], tal que t0 = t˜ + mw mw,, m Z+ . Seja t t0 + T T ((ǫ) e s := t mw mw.. Logo, s + mw = t sendo, s t˜ + T T ((ǫ) T T ((ǫ). Agora, se x0 < µ, de (1.7), obtem-se
≥ ≥
∈
∈
−
≥
| | |x(t, t , x )| = |x(s+mw, t˜+mw,x )| = |x(s, t,t˜, x )| < ǫ, 0
0
0
0
(1.8)
0
≥t
0
para s
+ T T ((ǫ) = t˜ + mw + T T ((ǫ). Assim
≥ t˜ e, portanto, para t ≥ t +T T ((ǫ). 0
Concluimos assim, que t0
≥ 0, |x | < µ, t ≥ t 0
0
⇒ |x(t, t , x )| < ǫ.
+ T T ((ǫ)
0
0
(1.9)
Portanto, decorre que a afirma¸c˜ cao a˜o A est´a satisfeita.
Exe rc´ıcio Exerc´ ıc io 1.1 1.11.1 1.1 Seja f : Rn 0, t ϕ(t) = 0, tal que ϕ(t)
→
n
1
→ R de classe C . Se exi exist stir ir solu solu¸¸c˜ cao a˜o ϕ(t) d e x˙ = f f ((x), → −∞, mostre que x ≡ 0 ´e sosolulu¸c˜ c¸ao a˜o inst´avel. avel.
Cap´ıtulo 2 Sistemas Autˆ onomos: Gene onomos: Generalida ralidades des 2.1 2. 1
Prel Pr elim imin inar ares es
Considere Consi dere,, o sistema x˙ = f f ((t, x), onde f : A
n+1
n
⊂R →R .
Defini¸c˜ c˜ao 2.1 .1.1 .1 Se x(t) ´e so solu lu¸¸c˜ cao a˜o em (a, (a, b), do sistema acima, ent˜ao ao definimos sua trajet´oria oria como sendo o conjunto (t, x(t)) .
{
a
}
Seja agora, a equa¸c˜ cao a˜o x˙ = f f ((x), com f : Ω
n
×R →R
n
uma fun¸c˜ cao a˜o co cont´ nt´ınua. ınu a.
Defini¸c˜ c˜ao 2.1 .1.2 .2 Dizem emos, os, que que o sistema sistema x˙ = f auto tonˆ nˆomo, omo, j´a que f n˜ao ao depende do tempo t. i) Diz f ((x) ´e au
{
solu lu¸¸c˜ cao a˜ o de x˙ = f (a, b), o conjunto x(t) : t ii) Se x(t) ´e so ii) f ((x) em (a, dessa solu¸c˜ao.
∈ (a, b)} ´e cham ch amad adoo de orbita o´rbita
Propriedade 2.1.1 1) Se x(t) ´e so solu lu¸¸c˜ cao a˜ o de x˙ = f (a, b) e τ f ((x) em (a, Vamos assumir, que em cada ponto p do PVI
∈ R, entnt˜˜ao x(t + τ τ )) ´e sosolulu¸¸c˜ cao a˜o em (a (a + τ, b + τ ). τ ).
∈ Ω, exista uma ´unica unica solu¸c˜ cao a˜o (n˜ao ao continu´avel) avel)
x˙ = f f ((x) x(0) = p.
Indiquemos, por φ(t, p) essa solu¸c˜ cao. a˜o.
·
A fun¸c˜ cao a˜o φ(t, ) est´a definida em um aberto Σ priedades: 2) φ(0 (0,, p) = p.
·
3) φ(t, ) ´e co cont´ nt´ınua ınua em Σ. 4) φ(t + τ, p) = φ(t, φ(τ, p)) em Σ.
⊂
satisf isfaz, az, as seg seguin uinte tess pro pro-Rn+1 e, sat
Demonstra¸ c˜ ao. O item (3), segue da continuidade com rela¸c˜ cao a˜o a` condi¸c˜ coes o˜es iniciais e o item (4), segue da unicidade, pois ambas s˜ao ao solu¸c˜ coes o˜es que valem φ(τ, p), para t = 0. n
R e φ(t, p) est´a definida em (a, Se p Ω (a, b), (interv (intervalo alo maximal de existˆ encia), ent˜ao encia), ao indicamos a ´orbita orbita de φ(t, p), por γ ( p p)) = φ(t, p) : t (a, b) . Assim, φ(t, p) e φ(t + τ, p) s˜ao ao parametriza¸c˜ coes o˜es da mesma orbita. o´rbita.
∈ ⊂
{
∈
}
Propriedade 2.1.2
∈ γ ( p p)) ⇔ γ ( p p)) = γ (q ).). b) γ ( p ∅ ⇒ γ ( p p)) = γ (q ).). p)) ∩ γ (q ) = a) q
Demonstra¸ c˜ ao.
∈
a) Note Note qu que, e, q se,, e so some men nte se se,, ex exis iste te τ tall que par paraa q = φ(τ, p), te temo moss γ ( p p)) se τ ,, ta ). φ(t, q ) = φ(t, φ(τ, p)) = φ(t + τ, p) γ ( p p)) = γ (q ). b) De fato, seja r
⇔
∈ γ ( p p)) ∩ γ (q ).). De (a), segue que γ ( p p)) = γ (r) = γ (q ).).
equil´´ıbrio de x˙ = f Defini¸c˜ c˜ao 2.1 .1.3 .3 Um ponto p ´e chamado de ponto de equil f ((x), se f f (( p p)) = 0. Assim, x(t) = p ´e soluc˜ c¸ao a˜ o de x˙ = f f ((x).
Defini¸c˜ c˜ao 2.1 .1.4 .4
i) Um ponto p ´e chamado ponto regular, se f f (( p p)) = 0. co ii) O espa¸co ii)
2.2
Rn ´e chama chamado do o espa espa¸co c¸o de fase da equa¸c˜ cao. a˜o.
Ret etra rato to de Fas ase e
Teorema 2.2.1 Se ϕ ´e so solu lu¸c˜ c¸ao a˜o n˜ao ao continua continuave vell de x˙ = f a o uma das f ((x), definida em I , ent˜ao condi¸c˜ c˜oes oes a seguir verifica-se (i) ϕ ´e 1
− 1;
(ii cons nsta tante nte;; ii)) I = R e ϕ ´e co eri´ i´odica odica (n˜ao ao constante constante), ), isto ´e, e, existe τ > 0 tal que ϕ(t + τ τ )) = ϕ(t), R e ϕ ´e per ∈ R (´orbita orbita fechada difeomor difeomorfa fa a um c´ırculo) ırculo) e ϕ(t1 ) = ϕ(t2 ) se |t1 − t2 | < τ τ ..
(iii iii)) I = t
∀
Demosntra¸c˜ ao. Suponha, que ϕ n˜ao ao seja 1-1. Logo, existem t1 e t2 , t1 < t2 , tais que ϕ(t1 ) = ϕ(t2 ). Ent˜ao, ao, ´ facil ver que, ( t2 t1 )) = ϕ(t), pois temos duas solu¸c˜ coes o˜es que coincidem para t = t1 . E ϕ(t + (t neste caso (a, (a, b) = R e que ϕ ´e per erii´odica, odi ca, com pe perr´ıo ıodo do t2 t1 . Considere agora, = T R : ϕ(t + T Afirmamos, amos, que que ´e su subg bgru rup po T )) = ϕ(t), t R . Afirm aditivo de R.
−
P { ∈
− ∀ ∈ }
P
De fato, T 1 , T 2 ϕ(t + T 1 + T 2 ) = ϕ(t + T 1 ) = ϕ(t), t R T 1 + T 2 . T ϕ(t T ) = ϕ(t T + T ) = ϕ(t), t R T Por outro lado, garantimos que ´e fechado em R. De fato, se T n e T n que ϕ(t + T n ) = ϕ(t), t R, n N. Ent˜ao, lim ϕ(t + T n ) = ϕ(t), t
∀
∈P⇒
−
∈P⇒ −
∀ ∈
∀ ∈ ⇒ − ∈ P
P
∀ ∈
∀ ∈ ⇒
∈ P
n→∞
∈ P . R
→ T , temos ∀ ∈ R. Logo,
ϕ(t + T ) = ϕ(t), t R. Como, todo subgrupo aditivo n˜ao nulo de R ´e da forma τ Z, com τ R, ou ´e denso em R, temos que, ou = τ Z, ou = R, o que corresponde `as condi¸c˜oes (c) e (b) respectivamente.
∀ ∈
P
∈
P
Lema 2.2.1 Todo subgrupo aditivo n˜ao nulo de em R.
R ´e da forma C = τ Z, com τ > 0 ou ´e denso
Demonstra¸ c˜ ao.
{}
∩ ∞ − ⊂
∈
Suponha que C = 0 e, considere, τ = inf(C ) (0, ). Se τ > 0, afirmamos que τ C . Se esta afirma¸ca˜o n˜ao ocorre, existem µ < ν suficientemente pr´oximos de zero, tais que 0 < ν µ < τ , com τ + µ, τ + ν C e, assim, τ + ν (τ + µ) = ν µ C . Isso contraria, o fato de que τ = inf(C ) (0, ). ´ claro que τ Z Afirmamos agora, que C = τ Z. E C . Suponha, que exista em C um elemento da forma τ ξ , com ξ / Z. Ent˜ao, existe um ´unico k Z, tal que k < ξ < k + 1. Dessa forma, segue que kτ < ξτ < τk + τ . Assim, 0 < ξτ kτ < τ . Como, ξτ kτ C , temos uma contradi¸ca˜o. Logo, C = τ Z. Suponha agora, que τ = 0. Garantimos, que neste caso, C ´e denso em R. Seja d R. Sem perda de generalidade, podemos supor d > 0. Fixe, ǫ > 0 e tome δ C , tal que 0 < δ < ǫ. Seja, m = inf n Z+ : nδ > d ǫ . Na verdade, m ´e o m´ınimo desse conjunto. Ent˜ao, d ǫ < mδ . Sendo (m 1)δ d ǫ, segue que mδ d ǫ + δ < d. Isso implica, que C ´e denso em R.
−
∩ ∞ ∈
∈
∈
∈
∈
−
− ∈
{ ∈ −
−
≤ −
− ∈
≤ −
−}
Defini¸c˜ao 2.2.1 O conjunto Ω, munido da decomposi¸ca˜ o em ´orbitas de x˙ = f (x), chama-se retrato de fase de x˙ = f (x). Exemplo 2.2.1 (1) x˙ = x, x = 0 ´e o u ´nico ponto cr´ıtico, φ(t, p) = et p. 0
(2) x˙ =
−x(1 − x). Os pontos cr´ıticos s˜ao x = 0, 1. φ(t, p) = 1 − 0
1
´ equivalente ao seguinte sistema linear (3) y¨ + y = 0. E
x˙1 x˙2
= x2 = x1 .
−
Cujas trajet´ orias s˜ao φ1 (t) = a sin(t + b) φ2 (t) = a cos(t + b).
pe−t . p + pe−t
φ1
φ2
(3) Seja r 2 = x21 + x22 . Considere,
x˙1 x˙2
= =
−x −x
+ ǫx1 (1 1 + ǫx2 (1 2
2
−r ) − r ). 2
Em coordenadas polares ´e equivalente a
θ˙ = 1 r˙ = ǫr(1
2
− r ).
1
-1
1
-1
2.3
Conjuntos Limites
Seja f : Ω Rn de solu¸ca˜o para o PVI
⊂
n
→ R , Ω aberto, f cont´ınua.
x˙ = f (x) x(0) = p,
Assuma, que f seja tal que valha unicidade
n
∀p∈R . {
Indique por φ(t, p) essa solu¸ca˜o, γ ( p) sua ´orbita e γ +( p) = φ(t, p) : t positiva. Analogamente, define-se γ − ( p).
≥ 0} sua semi-´orbita
Defini¸c˜ ao 2.3.1 (Conjunto ω -limite (α-limite)) . Suponha, que φ(t, p) est´a definida para todo t 0. Ent˜ ao, definimos o conjunto ω-limite, denotado por ω( p), como sendo o conjunto dos pontos q Rn , tais que existe uma sequˆ encia (tn ), 0 t1 < t2 < , tal que < tn < φ(tn , p) q . Analogamente, define-se o conjunto α-limite, se φ(t, p) for definida para t 0. Tamb´em, definimos ω(γ ) = ω( p) : p γ . Analogamente, define-se α(γ ).
≥ ∈ →
≤
{
∈ }
···
···
≤
Exemplo 2.3.1 (1)
− x˙ y˙
1 1
=
1 1
x . y
− −
v(t)
u(t)
(2)
x˙ = y˙ =
2
−y + ǫx(1 − r ) −x + ǫy(1 − r ). 2
Em coordenadas polares, ´e equivalente a ao sistema
r (2)
θ˙ = 1 r˙ = ǫr(1
2
− r ).
≡ 1, θ(t) = t ´e solu¸ca˜o.
θ˙ = sin2 θ + (1 r˙ = r(1 r)2 .
−
ω(γ 1 ) ω(γ 2 ) ω(γ 3 ) ω(γ 4 )
−
= = = =
− r)
{A} {B} {r = 1} {r = 1}.
2
γ 4 γ 1 γ 3
γ 2
2.4
Conjuntos Invariantes
⊂
Defini¸c˜ao 2.4.1 Um conjunto A Ω ´e dito invariante com rela¸ca˜o ao sistema x˙ = f (x), se para cada p A, φ(t, p) est´a definida para todo t R e φ(t, p) A, t R.
∈
∈
∈ ∀ ∈
De maneira natural, define-se conjunto positivamente invariante e conjunto negativamente invariante.
Exerc´ıcio 2.4.1 Analisar os exemplos 1-2-3 acima. Teorema 2.4.1 Seja γ + = φ(t, p) : t onde K ´e um compacto. Ent˜ao,
{
+
≥ 0}, uma semi´orbita de x˙ = f (x), tal que γ ⊂ K ⊂ Ω,
(i) ω(γ +) = ;
∅
(ii) ω(γ +) ´e compacto; (iii) ω(γ +) ´e conexo; (iv) ω(γ +) ´e invariante; (v) d(φ(t), ω(γ +))
→ 0, quando t → ∞.
Demonstra¸ c˜ ao.
→∞
∈
∀
(i) Seja (tn ), tn estritamente crescente. Como, φ(tn , p) K , n, temos que φ(tn , p) tem pelo menos uma subsequˆencia φ(˜tn , p), convergindo para algum ponto ξ K . Logo, ξ
+
∈
+
∈ ω(γ ) e ent˜ao ω(γ ) = ∅.
(ii) Mostremos, que ω(γ + ) ´e fechado, pois sendo K compacto e ω(γ + ) ω(γ +) ´e compacto. Ω
+
∈ ω(γ ), q → q . Como, q ∈ ω(γ ), temos que existe t Seja q n
n
n
+
n
|
> n, tal que φ(tn , p)
que (tn ) ´e estritamente crescente.
|
⊂ K , obtemos que
− q | < n1 . Podemos, supor n
− q | ≤ |φ(t , p) − q | + |q − q |, coinclu´ımos que φ(t , p) → q . Logo, segue que q ∈ ω(γ ). Sendo, φ(tn , p)
n
+
n
n
n
(iii) Suponha, que o conjunto ω(γ + ) n˜ao seja conexo. Logo, podemos escrever ω(γ + ) = M N , onde M, N s˜ ao n˜ao vazios, fechados (compactos) e M N = .
∩
∪
∅
Uma vez que, M e N s˜ao limitados e fechados, temos que def
d(M, N ) = inf d(x, N ) = δ > 0. x∈M
∈
+
∈
∈ ω(γ ) ´e poss´ıvel encontrar sequˆencias (t ), (τ ), de ∀ → ∞, tais que φ(t , p) → p,˜ φ(τ ) → q . δ δ Podemos tamb´em supor, que d(φ(t , p), M ) < e d(φ(τ , p), M ) > ∀ n. 2 2 Assim, devido `a continuidade da aplica¸ca˜o t → d(φ(t), M ), segue do Teorema do valor δ intermedi´ario que existe s ∈ (t , τ ) de modo que d(φ(s , p), M ) = . 2 Como, φ(s , p) ∈ K , ∀ n, podemos supor que φ(s , p) ´e convergente, digamos para ξ ∈ K . δ Dessa forma, d(ξ, M ) = e da´ı ξ ∈ / M . 2 δ Por outro lado, d(M, N ) ≤ d(M, ξ ) + d(ξ, N ). O que implica que δ ≤ + d(ξ, N ). Assim 2 δ sendo, d(ξ, N ) ≥ > 0 e ξ ∈ / N . Com isto, ξ ∈ ω(γ ) e ξ ∈ / M , ξ ∈ / N e, temos assim, 2 Sejam p˜ M , q N . Como, p, ˜ q modo que tn < τ n < tn+1 , n, tn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
+
uma contradi¸ca˜o.
Logo, ω(γ + ) ´e conexo. (iv) Seja q ω(γ +). Logo, existe tn , tal que φ(tn , p) . Suponha, q , quando n que φ(t, q ) tenha intervalo maximal de existˆencia (w− , w+) e seja ¯t (w−, w+ ).
∈
→∞
→
∈
→
→∞
Como, φ(tn , p) q , segue do Teorema da continuidade com rela¸ca˜o a`s condi¸co˜es iniciais que φ(t, φ(tn, p)) est´a definida em t¯, para n suficientemente grande e φ(t¯, φ(tn , p)) . φ(t¯, q ), quando n J´a que, φ(t¯, φ(tn , p)) = φ(¯t + tn , p), temos que para n suficientemente grande φ(t¯ + tn , p) K e, portanto, segue que φ(t¯, q ) K .
→
→∞
∈
∈
−∞
Logo, dos resultados relativos a prolongamento de solu¸co˜es, segue que w− = , w+ = + . Sendo, φ(t¯, φ(tn, p)) = φ(t¯ + tn , p) , obtemos que φ(t¯, q ) e, como, t¯ + tn + + ¯ φ(t, q ) ω(γ ), o que mostra que ω(γ ) ´e invariante.
∞
→
∈
→∞
(v) A afirma¸ca˜o (v), segue do item (iv).
Observa¸ c˜ao 2.4.1 Se a ´orbita for limitada pode acontecer que o conjunto ω-limite seja desconexo. Isso pode ser visto no exemplo a seguir (ver [1]). Considere, o sistema x˙ = f (x, y) y˙ = g(x, y),
onde
− 0
f (x, y) =
| |≥1 |x| < 1,
se x
− −
2
y(1 x ) (1 + y 2) (1 p(x)q (y))
se
g(x, y) =
−
+1 1 x
≥
se x 1 se x < 1 se x < 1,
||
−
onde p e q s˜ao fun¸co˜es continuamente diferenci´aveis, satisfazendo
1 2
0 < p(x) < p(x) = 0 p(x) = 12
se 0 < x < 1 se x 0 se x 1,
≤ ≥
0 < q (y) < q (y) = 0,
1 2
se y < 0 se y 0.
≥
O retrato de fase ´e dado na figura abaixo
2.5
Conjunto Minimal
⊂
Defini¸c˜ao 2.5.1 Um conjunto M Ω ´e dito minimal, se for n˜ao vazio, fechado e invariante com rela¸ca˜ o a x˙ = f (x) e n˜ao tem nenhum subconjunto pr´oprio com essas trˆes propriedades. Na prova do pr´oximo resultado, usamos o Lema de Zorn. Lembre-se, que um conjunto ´e indutivo inferiormente se para todo subconjunto totalmente ordenado de X tem um minorante. Um elemento de X ´e dito minimal, se ele n˜ao for estritamente minorado por nenhum elemento de X .
Lema 2.5.1 (Lema de Zorn) Todo conjunto ordenado indutivo inferiormente tem um elemento minimal.
⊂
Lema 2.5.2 Seja A Ω, invariante, compacto e n˜ao vazio. Ent˜ ao, existe pelo menos um subconjunto minimal de A. Demonstra¸ c˜ ao.
F a fam´ılia de subconjuntos de A, definida por F = {B ⊂ A : B = ∅, B compacto invariante }. Se B , B ∈ F , definimos a seguinte rela¸ca˜o de ordem B ≺B ⇔B ⊂B . Seja
1
2
1
2
1
2
F
F ⊂ F
F
F
Mostremos que ´e indutivo. Seja 1 , tal que 1 ´e totalmente ordenado. A fam´ılia 1 tem a propriedade da interse¸ca˜o finita, isto ´e, a interse¸ca˜ o de um n´umero finito de elementos de 1 ´e n˜ao vazia. Consideremos o seguinte resultado tirado de Elon L Lima, Elementos de Topologia Geral P´agina 267. Se X ´e compacto e se (F λ )λ∈Λ ´e um familia de conjuntos fechados com a propriedade da interse¸ca˜o finita ent˜ao F λ = .
F
•
∅
λ∈Λ
Dessa forma, segue que
B∈F 1
∈ F F
def
∅
B = C = . Como, C ´e compacto e tamb´em invariante, temos
que C 1. Assim, ´e indutivo inferiormente. Pelo Lema de Zorn, segue que tem um elemento minimal, que ser´a o subconjunto minimal de A, que estavamos procurando.
F
Observa¸ c˜ao 2.5.1 Os conjuntos ω-limite n˜ao s˜ao necessariamente conjuntos minimais, como mostram os 3 exemplos acima
⊂
Teorema 2.5.1 Se K Ω ´e um conjunto positivamente invariante para x˙ = f (x) e se K ´e homeomorfo a bola unit´aria fechada de Rn , ent˜ao existe pelo menos um ponto de equil´ıbrio de x˙ = f (x) em K . Demonstra¸ c˜ ao. Seja τ 1 R, τ 1 > 0 e, considere, a aplica¸ca˜o F : p K φ(τ 1 , p). A aplica¸ca˜o F leva K em K e ´e cont´ınua. Pelo Teorema de Brower, segue que a aplica¸ca˜o F tem um ponto fixo p1 , isto ´e, φ(τ 1 , p1 ) = p1 . Logo, φ(t, p1 ) ´e τ 1 -peri´odica. Dessa forma, se (τ m) ´e uma sequˆencia estritamente decrescente, tal que τ m 0, ent˜ao para cada m, existe pm K , tal que φ(τ m, pm) = pm. Temos assim, que as solu¸co˜es φ(t, pm) s˜ao τ m -peri´odicas. Sem perda de generalidade, podemos supor que pm p∗ K , pois K ´e compacto. Considere, a solu¸ca˜o φ(t, p∗) e, seja, (w− , w+ ) seu intervalo maximal de existˆencia. Fixemos, t¯ (w−, w+ ). Para cada m, existe km(t¯) inteiro, tal que km(t¯)τ m t¯ < km (t¯)τ m + τ m . Assim, 0 t¯ km(t¯)τ m < τ m . Temos que,
∈
∈ →
→
∈
→ ∈
≤
∈
≤ −
φ(t¯, pm ) pm = φ(t¯ km (t¯)τ m , pm ) m m φ(t¯, p∗ ) p∗ = φ(0, p∗) p∗ = 0.
− − − p ↓ →∞ ↓ →∞ − − = −∞, w = +∞, pois ∀ t ∈ (w , w ), φ(t, p ) = p ∈ K .
Dessa forma, w− − + ∗ Logo, p ´e um ponto de equil´ıbrio de x˙ = f (x).
+
∗
m
∗
Cap´ıtulo 3 Sistemas Lineares e Lineariza¸c˜ ao 3.1
Introdu¸ c˜ ao
Sejam f : Rn Rn de classe 1 e φ(t) uma solu¸ca˜ o de x˙ = f (x) em um intervalo I . def Fazendo, x = φ(t) + y, temos que φ˙ + y˙ = f (φ + y) e, portanto,
→
C
y˙ = f (φ + y)
− f (φ) = f (φ(t))y + f (φ(t) + y) − f (φ(t)) − f (φ(t))y x def
x
= f x (φ(t))y + g(t, y) = A(t)y + g(t, y). Temos assim, o sistema y˙ = A(t)y + g(t, y).
||
Exerc´ıcio 3.1.1 Mostrar que se φ(t) ´e limitada em I , ent˜ao g(t, y) = o( y ), quando y g(t, y) (isto ´e, 0, quando y 0) uniformemente em t I . y
|| →
→
→ 0,
∈
Em geral, procura-se primeiro estudar o sistema linear x˙ = A(t)x e, depois, tenta-se obter informa¸co˜es sobre o sistema x˙ = A(t)x + g(t, x), a partir das informa¸co˜es sobre o sistema linear x˙ = A(t)x. Fixada uma norma em Rn , tomamos A = sup Ax .
| |
|x|≤1
| |
n
|x|
| |
⇒ |A| = sup
= sup xi
| | | |
|x|
=
|x|
= [
i
xi
|
aik ;
k=1 n
⇒ |A| = sup a |; √ ⇒ |A| = λ, onde λ ´e o maior autovalor de A A. k
xi 2 ]1/2
| |
ik
i=1
Por comodidade, vamos considerar t variando em um intervalo qualquer com pequenas adapta¸co˜es. Considere, o sistema linear
∗
R. Podemos, considerar t variando em
n
x˙ j =
a jk (t)xk + h j (t), j = 1, 2,
k=1
onde a jk e h j s˜ao fun¸co˜es cont´ınuas em
R.
··· , n,
Em forma matricial, segue que x˙ = A(t)x + h(t), onde
A(t) =
a11 .. .
··· .. .
a1n .. .
an1
···
ann
, x=
x1 .. .
e h(t) =
h1 (t) .. .
hn (t)
xn
De agora em diante, cosideramos que A(t) e h(t) s˜ao cont´ınuas em nota¸ca˜o x˙ = A(t)x y˙ = A(t)y + h(t)
.
Sistema homegˆeneo Sistema n˜ao-homegˆeneo
R e, adotaremos, a
(H ) (NH )
Como ja foi visto anteriormente, toda solu¸ca˜o n˜ao continu´avel de (NH) est´a definida em e vale a unicidade de solu¸c˜ao n˜ao continu´avel do PVI.
3.2
R
Princ´ıpio da Superposi¸ c˜ ao
Proposi¸c˜ao 3.2.1 Se xi (t) s˜ao solu¸co˜ es de x˙ = A(t)x + hi (t), i = 1, 2 e c1 , c2 c1 x1 + c2 x2 ´e solu¸ca˜ o de x˙ = A(t)x + c1 h1 (t) + c2 h2 (t).
∈ R, ent˜ao
Demonstra¸ c˜ ao. Trivial (deixa-se ao leitor).
Em particular, se hi (t) = 0, ci = 0, i = 1, 2, ent˜ao da proposi¸ca˜o (3.2.1), conclu´ımos que as solu¸co˜ es de x˙ = A(t)x constitui um espa¸co vetorial. Temos assim, as propriedades
Proposi¸c˜ao 3.2.2 i) Combina¸ca˜o linear de solu¸co˜es de (H) ´e solu¸ca˜o de (H). ii) Diferen¸ca de solu¸co˜es de (NH) ´e solu¸ca˜o de (H). iii) A Solu¸ca˜o geral de (NH) ´e igual solu¸c˜ao geral de (H) mais a solu¸ca˜o particular de (NH). ˙ (x) = A(t)X (t), Defini¸c˜ao 3.2.1 A matriz X (t), n n, ´e matriz solu¸ca˜o de (H ) se X ou, se cada coluna de X (t) ´e solu¸ca˜o de (H ) em R.
×
∀t∈R
Defini¸c˜ao 3.2.2 Sejam xi : R Rn fun¸co˜es cont´ınuas, i = 1, . . . , m. Dizemos, que elas s˜ao linermente independentes se α1 x1 (t) + + αm xm (t) = 0, t R, implica que
→
···
∀ ∈
··· = α = 0. Exerc´ıcio 3.2.1 Mostre que se para algum t ∈ R, x (t ), ··· , x pentes, ent˜ao x (t), ··· , x (t) s˜ao linearmente independentes. α1 =
m
0
1
1
0
m (t0 )
forem linearmente inde-
m
Dˆe um exemplo mostrando, que a rec´ıproca n˜ao ´e verdadeira. Mostramos a seguir, que quando elas s˜ao solu¸co˜es de (H), com A(t) cont´ınua, a rec´ıproca tamb´em ´e verdadeira.
Lema 3.2.1 Sejam A(t) cont´ınua em R, t0 R e x1 , , xm solu¸co˜es de (H ). Ent˜ao, x1 , , xm s˜ ao fun¸co˜es linearmente independentes se, e somente, se x1 (t0 ), , xm (t0 ) s˜ao vetores linearmente independentes.
∈
···
···
···
Demonstra¸ c˜ ao.
···
Se x1 , ao fun¸co˜es linearmente independentes, ent˜ao segue do exerc´ıcio (3.2.1) que , xm s˜ x1 (t0 ), , xm (t0 ) s˜ao linearmente independentes. Reciprocamente, suponha que α1 x1 (t0 ) + + αmxm (t0 ) = 0. Logo, a solu¸ca˜o α1 x1 (t) + + αm xm (t) satisfaz o PVI x˙ = A(t)x, x(t0 ) = 0. Devido `a unicidade de solu¸ca˜o do PVI, temos que α1 x1 (t) + + αm xm (t) = 0, t R. Como, assumimos que x1 (t), , xm (t) s˜ao linearmente independentes, segue que = αm = 0. α1 =
···
···
···
···
···
···
∀∈
Lema 3.2.2 Se X (t) ´e a matriz solu¸ca˜ o de (H ), ent˜ao ou det X (t) = 0, para todo t det X (t) = 0, para todo t R.
∈
∈ R, ou
Demonstra¸ c˜ ao. Seja τ , tal que det X (τ ) = 0. Dessa forma, existe um vetor c n˜ao nulo, tal que X (τ )c = 0. Note que, X (t)c ´e solu¸c˜ao do PVI
Logo, da unicidade X (t)c = 0,
x˙ = A(t)x x(τ ) = 0.
∀ t ∈ R e, portanto, det X (t) = 0, ∀ t ∈ R.
t 1 2t t linear da forma x˙ = A(t)x, com A(t) cont´ınua em R.
Exerc´ıcio 3.2.2 Mostre que a matriz X (t) =
3.3
n˜ao pode ser solu¸ca˜o de um sistema
Matriz Fundamental
˙ (t) = A(t)X (t), Defini¸c˜ao 3.3.1 Dizemos, que X (t) ´e a matriz fundamental de (H ) , se X t R e se det X (t) = 0, t R.
∀ ∈
∀ ∈
Nota¸ c˜ ao. m.f.. Defini¸c˜ao 3.3.2 Chamamos de matriz principal em t0 `a m.f. que para t = t0 vale I . Nota¸ c˜ ao. X (t, t0 ). Proposi¸c˜ao 3.3.1 i) X (t, τ ) = X (t, s). ii) X (s, τ ), X (t, s) = X (t)X −1 (s).
×
Exerc´ıcio 3.3.1 Mostre que se X (t) ´e uma matriz n n, que ´e diferenci´avel e n˜ao singular em R, ent˜ao d −1 ˙ (t)X −1 (t). X (t) = X −1 (t)X dt
− Seja A(t) uma matriz n × n, cont´ınua em R.
Mostre que o conjunto das Exerc´ıcio 3.3.2 solu¸co˜ es de x˙ = A(t)x (H ) formam um espa¸co vetorial de dimens˜ao n sobre R.
Exerc´ıcio 3.3.3 Mostre que se X (t), Y (t) s˜a o m.f. de x˙ = A(t)x, ent˜ao existe uma matriz n˜ao singular C , tal que Y (t) = X (t)C . Defini¸c˜ao 3.3.3 Chamamos de matriz principal `a matriz principal em t0 = 0. Corol´ario 3.3.1 Se X 0 ´e n˜ao singular e se X (t) ´e matriz solu¸ca˜o de (H ), tal que X (0) = X 0 , ent˜ao X (t) ´e m.f. de (H ). Demonstra¸ c˜ ao. ˙ (t) = A(t)X (t) e det X (t) = 0, t R ou, Se X (t) ´e a matriz solu¸ca˜o de (H), temos que X det X (t) = 0, t R. Observe, que para t0 = 0, X (t0 ) = X (0) = X 0 . Como X 0 ´e n˜ao singular, ent˜ ao detX (0) = det X 0 = 0. Pelo lema (3.2.2), det X (t) = 0, t R. logo, X (t) ´e uma matriz fundamental.
∀ ∈
∀ ∈
∀ ∈
Lema 3.3.1 Se X (t) ´e m.f. de (H ), ent˜ao a solu¸ca˜o geral de (H ) ´e dada por X (t)c, onde c ´e um vetor n 1.
×
Demonstra¸ c˜ ao. ´ ´obvio que X (t)c ´e solu¸ca˜o de (H), para todo vetor constante c. E Por outro lado, se y(t) ´e solu¸ca˜o de (H), ent˜ao X (t)c = y(t), com c = X −1 (0)y(0), ´e solu¸ca˜o do PVI
Logo, y(t) = X (t)X −1 (0)y(0),
x˙ = A(t)x x(t0 ) = y(t0 ),
t0 = 0.
∀ t ∈ R.
Defini¸c˜ao 3.3.4 Chamamos de equa¸ca˜o adjunta de (h) `a equa¸ca˜o y˙ =
−yA(t)
(Adj).
Observa¸ c˜ao 3.3.1 Resultados semelhantes aos obtidos acima, podem ser provados para a equa¸ca˜o adjunta. Lema 3.3.2 Se X (t) ´e m.f. de (H ), ent˜ao X −1 (t) ´e m.f. de (Adj). Demonstra¸ c˜ ao. ´ ´obvio, que det X (t) = 0 se, e somente se, det X −1 (t) = 0. Al´em disso, E
˙ −1 = X
−1
−X
˙ −1 = XX
−1
−X
AXX −1 =
−1
−X
A(t).
˙ −1 X + X −1 X ˙ = 0. Logo, X ˙ −1 X = De outro modo, X −1 X = I , implica X ˙ −1 = X −1 A. Portanto, X
−
−1
−X
AX .
Teorema 3.3.1 Seja X (t) a m.f. de (H ). Ent˜ao, a solu¸ca˜o do PVI,
= A(t)x + h(t) x˙ x(t0 ) = x0
´e dada por
t
−1
x(t) = X (t)[X (t0 )x0 +
X −1 (s)h(s) ds],
t0
∀ t ∈ R.
(fvc)
A equa¸ca˜o (f vc) ´e chamada f´ormula da varia¸ca˜o das constantes.
Demonstra¸ c˜ ao. Por simples deriva¸ca˜o, mostra-se que o lado direito da f´ormula acima ´e solu¸ca˜o do PVI. Da unicidade segue o resultado.
(Ver outra prova Hale [3], pagina 81).
Lema 3.3.3 (Abel-Liouville-Jacobi) Se X (t) ´e matriz solu¸ca˜o de (H ), ent˜ao se t0
det X (t) = det X (t ) e tr t t0
0
A(s)ds
∈R
.
Demonstra¸ c˜ ao.
Por indu¸ca˜o mostra-se que (det X (t))′ = ni=1 Di , onde Di indica o determinante da matriz obtida de X (t), diferenciando-se somente a i-´esima linha
x11 .. .
Di =
x˙ 1i .. .
x1n
n
=
··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· .. .
xn1 .. .
.. .
x˙ ni .. .
=
.. .
··· .. .
xnn
x11 .. .
aki x1k .. k=1 .
.. .
xn1 .. .
.. .
xnk .. .
x1n
J´a que,
.. . n k=1 aki x1k .. .
xnn
x11 .. .
.. .
xn1 .. .
x1k .. .
.. .
xnk .. .
x1n
= aii
x11 .. .
···
x1n
···
.. .
.. . n k=1 aki xnk .. .
=
xn1 .. . . xnn
= 0, se k = i.
xnn
Assim, (det X (t))′ = (det X (t) tr A(t). Logo, det X (t) satisfaz a equa¸c˜ao z ˙ = trA(t)z . t Portanto, det X (t) = det X (t0 ) e t0 trA(s)ds .
Observa¸ c˜ao 3.3.2 Da f´ormula de Liouville, segue tamb´em que ou det X (t) = 0 , o u det X (t) = 0, t, se X (t) ´e matriz solu¸c˜ao de (H).
∀
3.4
Equa¸c˜ oes Escalares de Ordem n
···
Sejam a1 (t), , an (t), f (t) fun¸co˜es reais ou complexas, cont´ınuas em Considere, as equa¸co˜es y (n) + a1 (t)y (n−1) +
··· + a (t)y = 0 + ··· + a (t)x = f (t).
x(n) + a1 (t)x(n−1)
Fazendo, x ˆ=
x1 .. .
x x′ .. .
def
=
xn
x(n−1)
R. (h)
n
(nh)
n
, temos os sistemas equivalentes yˆ˙ = A(t)y
(H )
xˆ˙ = A(t)ˆx + F (t),
(NH )
onde
def
A(t) =
−
0 .. .
···
1 .. .
0 .. .
.. .
def
, F (t) =
0 .. .
. ··· 1 0 −a (t) · · · −a (t) f (t) Sejam φ , ··· , φ , fun¸co˜es escalares de classe C . Define-se o Wronskiano de φ , ··· , φ , como sendo ··· φ φ ··· φ . φ ∆(φ , ··· , φ ) = 1
n
0 an (t)
0
n−1
1
n−1
1
n
1 (1) 1
.. .
n (1) n
.. .
(n−1)
.. .
···
φ1
(n−1)
φn
1
n
ao fun¸co˜es escalares de classe (n−1) , definidas num intervalo I , Lema 3.4.1 Se φ1 , , φn s˜ ent˜ao φ1 , ao linearmente independentes se ∆(φ1 , , φn s˜ , φn ) = 0, t I .
···
···
···
C
∀ ∈
Demonstra¸ c˜ ao. Suponha, que Dessa forma,
Como, ∆(φ1 ,
n i=1 ci φi (t)
= 0,
φ1 (t) (1) φ1 (t) .. . (n−1)
φ1
(t)
n (1) n
.. .
···
··· , φ ) = 0, temos que c n
n k i=1 ci φi (t)
∀ t ∈ I . Ent˜ao, ··· φ (t) ··· φ (t) 1
.. .
(n−1)
φn
= c2 =
(t)
c1 c2 .. .
=
n
0 0 .. .
∀ t ∈ I, k = 1 : n − 1.
.
0
cn
··· = c
= 0,
∀ ∈ R.
= 0, t
Observa¸ c˜ao 3.4.1 A rec´ıproca n˜ao ´e verdadeira. Exemplo 3.4.1
∈ (−∞, 1], φ (t) = 0 em (1, ∞) ∈ [0, ∞), φ (t) = 0 em (−∞, 0). s˜ ao linearmente independentes, mas ∆(φ , φ ) = 0, ∀ t ∈ R. φ1 (t) = 0, t φ1 (t) = 0, t
Temos, que φ1 , φ2
1
2
1
2
Entretanto, quando estamos considerando solu¸co˜es de (h), com coeficientes cont´ınuos, a rec´ıproca ´e verdadeira.
··· , φ s˜ao solu¸co˜es de (h) em R, ent˜ao ∆(φ , ··· , φ ) = 0, ∀ t ∈ R ou ∀ ∈ R. Mais especificamente, ∆(φ , ··· , φ )(t) = ∆(φ , ··· , φ )(0) e .
Teorema 3.4.1 Se φ1 , ∆(φ1 , , φn ) = 0, t
···
n
1
1
n
1
−
n
t o
n
a1 (s)ds
Demonstra¸ c˜ ao. A f´ormula acima segue da f´ormula de Liouville para sistemas.
3.4.1
F´ ormula da varia¸c˜ ao das Constantes para Equa¸c˜ oes Escalares de Ordem n
Considere, o PVI
+ an x = f (t) x(n) + a1 x(n−1) + ˙ = = x(n−1) (a) = 0. x(a) = x(a)
Fazendo, x ˆ=
··· ···
x1 ˙.. .
xn
=
x x˙ .. . (n−1)
(nh)
, temos o sistema xˆ˙ = A(t)ˆx + F (t), onde F (t) =
x com a condi¸ca˜o inicial x ˆ(a) = 0. Da f´ormula da varia¸ca˜o das constantes para sistemas, segue que
0 .. .
0 f (t)
t
xˆ(t) = Φ(t)
Φ−1 (s)F (s)ds,
a
onde Φ(t) =
···
φ1 .. .
···
(n−1)
···
φ1
.. .
φn .. . (n−1)
φn
e φ1 , , φn s˜ao solu¸co˜es linearmente independentes de (h). Como, s´o nos interesa a primeira componente de ˆx, vemos que s´o precisamos de uma parte de Φ−1 (s), isto ´e, se w1 (s) 1 .. Φ−1 (s) = , ? . det Φ(s) wn (s) obtemos
1 Φ−1 (s)F (s) = det Φ(s) Ent˜ao,
n
x(t) =
t
φi (t)
i=1
a
w1 (s)f (s) .. .
.
wn (s)f (s)
wi (s) f (s)ds, ∆(φ1 , , φn )(s)
···
onde wi (s) =
φ1 (s) .. . .. . (n−1) (s) φ1
0 .. .
φn (s) .. . . .. 0 . (n−1) 1 φn (s)
···
˙ = α2 , , Observa¸ c˜ao 3.4.2 Para encontrar a solu¸ca˜o de (nh), tal que x(a) = α1 , x(a) (n−1) (a) = αn , basta encontrar a solu¸ca˜o de (h), com essas condi¸co˜es iniciais e somar a solu¸ca˜o x de (nh), dada acima, com condi¸co˜es iniciais nulas. ... Exerc´ıcio 3.4.1 Resolver a equa¸ca˜o x(4) + x = f (t), x(0) = a, x(0) ˙ = b, x ¨(0) = c, x (0) = d.
3.4.2
Equa¸ c˜ ao Adjunta de uma Equa¸c˜ ao Escalar de Ordem n w˙ =
(w˙ 1
··· w˙ )
=
n
−wA(t), −(w ··· w ) 1
n
Temos,
−
0 0 .. . 0 an
··· ··· − ··· ···
1 0 .. .
.. .
0 an−1
−
0 0 .. .
1 a1
w˙ 1 = an wn w˙ 2 = w1 + an−1 wn .. . . = .. w˙ n = wn−1 + a1 wn .
− −
Para facilitar, considere n = 3, D =
d dt
w˙ 1 = a3 w3 w˙ 2 = w1 + a2 w3 w˙ 3 = w2 + a1 w3 .
− −
Ent˜ao, w¨2 = ... w3 = Portanto,
−w˙ −w˙
−
+ D(a2 w3 ) = a3 w3 + D(a2 w3 ) 2 D(a2 w3 ) + D2 (a1 w3 ). 2 + D (a1 w3 ) = a3 w3 1
... w3
2
−
− D (a w ) + D(a w ) − a w 1
3
2
3
3
3
= 0.
Fazendo, z = w3 , temos ... z
2
− D (a z ) + D(a z ) − a z = 0 1
2
3
.
que ´e a adjunta de
... y + a1 y¨ + a2 y˙ + a3 y = 0.
De maneira geral, a adjunta de (h) ´e dada por Dn z
−D
n−1
(a1 z ) +
n
··· + (−1) a z = 0. n
Quando a equa¸ca˜o tem coeficientes constantes, temos uma equa¸ca˜o semelhante a (h), com mudan¸ca de sinais em alguns coeficientes.
3.5
Sistemas Lineares com Coeficientes Constantes
Sejam, A, n sistemas
× n, f (t), n × 1, matrizes reais ou complexas, f cont´ınua em R. Considere, os x˙ = Ax y˙ = Ay + f (t) y˙ = yA
(H ) (NH ) (Adj)
−
Se ´e a matriz principal de (H), isto ´e, (0) = I , obtemos (t + s) = (t) (s), t, s R. Este fato, segue da unicidade de solu¸ca˜o do PVI. Isto sugere, que comporta-se como uma exponencial. Determinamos assim, por defini¸ca˜o que
P
P
def
eA t =
P
P
P P ∀
∈
P (t), ∀ t ∈ R.
Proposi¸c˜ao 3.5.1 i) eA(t+s) = eA t eA s .
·
ii) (eAt)−1 = e−At . iii)
d At dt e
= AeAt = eAt A.
iv) eAt = I + At +
··· +
An n t n!
+
··· .
v) A solu¸ca˜o geral de (H) ´e dada por eAt c, c n
× 1.
vi) Se X (t) ´e m.f. de (H) ent˜ao eAt = X (t)X −1 (0).
Demonstra¸ c˜ ao. i) J´a foi provada (unicidade). ao m.f. de (adj), que valem I , para ii) Verifica-se facilmente, que (eAt )−1 , e(−A)t e eA(−t) s˜ (−A)t −At =e . t = 0. Nota¸ca˜o: e ˙ = AX ao solu¸co˜es de X iii) Basta, utilizar a defini¸c˜ao de eAt e, observar que, eAt A e AeAt s˜ que valem A, para t = 0. v) A demonstra¸ca˜o desse item, j´a foi discutida anteriormente. vi) eAt e X (t)X −1 (0) s˜ao m.p.
n
|(At) | ≤ |At| iv) Como,
n
n! An tn + + I + At + n! limitados de R.
, segue pelo crit´erio de compara¸ca˜o de Weirstrass, segue que a s´erie
n!
···
··· converge absolutamente e uniformemente, para t em intervalos
Por outro lado, indicando
At
P (t) = e
, temos que
P (t) = I +
P t 0
A (s)ds,
∀ t ∈ R.
Vamos agora, resolver essa equa¸ca˜o pelo m´etodo das Aproxima¸c˜oes Sucessivas. Seja
P
0
P
n+1 (t)
= I,
P t
= I +
A
n (s)ds,
0
∀ t ∈ R, n ≥ 0.
(At)n Por indu¸ca˜o, mostra-se que n (t) = I + At + + . Assim, n (t) ´e a reduzida n! de ordem n da s´erie considerada acima, a qual sabemos que converge absolutamente e uniformemente em intervalos limitados de R.
P
Logo, Q(t) =
P (t),
P
P (t). Da defini¸ca˜o de P (t), segue passando ao limite que ∀ ∈ R. Dessa forma, segue que Q(t) ´e m.p. de (H). ∀ t ∈ R.
Seja, ent˜ao Q(t) = limn→∞ t Q(t) = I + 0 AQ(s)ds, t
···
n
n
Observa¸ c˜ao 3.5.1 A express˜ao eAt = X (t)X −1 (0), nos d´a um m´etodo para determinarmos eAt , quando conhecemos uma matriz fundamental X (t). Exerc´ıcio 3.5.1 Prove que Be At = eAt B, Exerc´ıcio 3.5.2 Prove que e(A+B)t = eAt
3.5.1
∀ t ∈ R se, e somente se, AB = BA. e , ∀ t ∈ R se, e somente, se AB = BA. Bt
Autovalores e Autovetores
Para calcular m.f. de (H), em particular eAt, podemos utilizar autovalores e autovetores de A.
Motiva¸ c˜ ao. λt
Procuramos, solu¸co˜es de (H) da forma x(t) = e v, onde 0 = v = λt
v1 .. .
´e um vetor
v3 λt
constante. Temos que, x(t) ´e solu¸ca˜o de (H) se, e somente se, Ae v = x˙ = λe v se, e somente se, Av = λv se, e somente, se (A λ)v = 0 se, somente se, det(A λI ) = 0 se, e somente, se λ ´e autovalor de A e v ´e autovetor associado.
−
−
Lema 3.5.1 x(t) = eλt v = 0 ´e solu¸ca˜o de (H) se, e somente, se λ ´e autovalor de A e v ´e autovetor associado a λ.
Para sequencia do texto, vamos supor A uma matriz complexa. Recordemos os seguintes resultado de Algebra Linear.
Proposi¸c˜ao 3.5.2 Se λ1 , tores v1 , , v p , ent˜ao v1 ,
···
··· , λ , p ≤ n, s˜ao autovalores distintos de A, associados aos autove··· , v s˜ao linearmente independentes. p
p
···
··· ···
Lema 3.5.2 Sejam λ1 , , λn autovalores (n˜ao necessariamente distintos) de A e v1 , , vn auλ1 t tovetores correspondentes. Se v1 , , vn forem linearmente independentes, ent˜ao e v1 , , eλnt vn ´e uma base de solu¸co˜es de (H ), X (t) = (eλ1t v1 , , eλn t vn ) ´e m.f. de (H ) e eA t = X (t)X −1 (0).
···
···
Demonstra¸ c˜ ao. Basta ver que det X (0) = 0, pois v1 , usar Corol´ario 1.6.2.
··· , v
n
s˜ ao linearmente independentes e
3.5.2
Solu¸co ˜es Reais
Mostraremos a seguir, que quando A ´e uma matriz real, como encontrar solu¸co˜es reais. ¯ v . Ent˜ao, λ ¯ ´e autovalor Se λ ´e autovalor de A associado a v, temos Av = λv. Logo, A¯ v = λ¯ associado ao autovetor v. Suponha, λ = α + iβ , com β = 0. Temos, ent˜ao que
eλt v + eλt v = parte real de eλt v = u(t); 2 λt e v eλt v = parte imagin´ aria de eλt v = v(t), 2i
−
s˜ ao solu¸co˜es de (H). Lembremos ainda, o fato que dois vetores u1 , u2 s˜ao linearmente independentes se, e somente se, u1 + u2 e u1 u2 s˜ao linearmente independentes. ¯ temos que u(t) e v(t) s˜ao Como, eλt v e eλt v s˜ao linearmente independentes, (pois λ = λ), ¯ linearmente independentes e s˜ao reais. Assim, no lugar de eλt v, eλt v¯ colocamos u(t), v(t). Este procedimento pode ser estendido a um n´umero finito de autovalores.
−
− − − − −
0 1 x. Os autovalores s˜ao λ = 1 0
Exemplo 3.5.1 Considere o sistema x˙ = A
− iI =
i 1
eλt v = eit
1 , v= i
1 i
´e autovetor associado a λ = i
cos t +i sin t
=
u(t) =
1 i
cos t sin t
−
±i.
sin t cos t
e v(t) =
def
= u(t) + iv(t)
sin t cos t
s˜ ao solu¸co˜es linearmente independentes.
0 1 −1 0
e
3.5.3
t
= (u(t)v(t)) =
cos t sin t . sin t cos t
−
Determina¸ c˜ ao de Matriz Fundamental de x˙ = Ax
Se B ´e matriz complexa n
n
× n, indicamos por N (B) = {x ∈ C
}
: Bx = 0 = n´ucleo de B.
Proposi¸c˜ao 3.5.3 2
N (B) ⊂ N (B ) ⊂ ·· · . ii) N (B ) ´e invariante com rela¸ca˜o a B i)
k
m
, isto ´e, B m( (B k ))
N
k
⊂ N (B ).
iii) Existe k
k
≥ 0, tal que N (B ) = N (B
k+1
).
Demonstra¸ c˜ ao. i) x ii) x
2
2
∈ N (B) ⇒ Bx = 0 ⇒ B x = 0 ⇒ x ∈ N (B )· k
k
k
∈ N (B ) ⇒ B x = 0 ⇒ B (B
iii) Imediato, pois
m
m
x) = B m (B k x) = 0
m
k
⇒ B x ∈ N (B ).
n
N (B ) ⊂ C , ∀ m. m
{ N ((A − λI )
Seja r(λ) = min m :
)=
Exemplo 3.5.2 Considere,
N ((A − λI )
m+1
− 4 1 0 0 4 0 0 0 4
A=
).
.
λ = 4 ´e autovalor com multiplicidade alg´ebrica 3. (A
− 4I ) =
0 1 0 0 0 0 0 0 0
N (A − 4I ) = { 2
3
N ((A − 4I ) ) = C . Logo, r(4) = 2. Exerc´ıcio 3.5.3 Analisar
A=
3.5.4
, (A
a 0 b
: a, b
2 1 0 0 2 0 0 0 0
4I )2 = 0,
∈ C}.
.
Autoespa¸co Generalizado
Defini¸c˜ao 3.5.1 Se λ ´e autovalor de A, definimos o Autoespa¸co Generalizado sendo (A λI )r(λ) , com r(λ) definido como acima.
N −
M (A), como λ
Defini¸c˜ao 3.5.2
i) Dizemos que v = 0 ´e um autovetor generalizado se (A
− λI )
r(λ)
v=0.
ii) Dizemos que o autovalor λ tem divisores elementares simples se r(λ) = 1.
M
e igual `a multiplicidade alg´ebrica de λ, isto ´e, multiplicidade de iii) A dimens˜a o de λ (A) ´ λ como zero do polinˆomio caracter´ıstico, p(λ) = det(A λI ).
−
ao do subspa¸co iv) Define-se a multiplicidade geom´etrica, como sendo a dimens˜
N (A − λI ).
Exemplo 3.5.3 1) A=
.
.
1 0 0 0 1 0 0 0 2
λ = 1 ´e autovalor com multiplicidade alg´ebrica 2 e tem divisores elementares simples. 2) A=
1 1 0 0 1 0 0 0 2
λ = 1 ´e autovalor com multiplicidade alg´ebrica 2 e n˜ao tem divisores elementares simples, r(λ) = r(1) = 2.
Lema 3.5.3
At
M (A) ´e invariante com rela¸ca˜o a A e e λ
.
Demonstra¸ c˜ ao. A primeira parte da demonstra¸ca˜o, j´a foi vista. A segunda parte, segue da igualdade eAt (A
− λI )
r(λ)
= (A
− λI )
r(λ) At
e
´ Vamos agora, admitir o seguinte lema de Algebra Linear.
··· M×
Lema 3.5.4 Se A ´e uma matriz n n complexa e λ1 , A, ent˜ao Cn = λ1 (A) λq (A).
··· , λ
q
s˜ ao os autovalores distintos de
M Sejam P , ··· , P as proje¸co˜es determinadas pela decomposi¸ca˜o dada no lema (3.5.4). Se x ∈ C , temos 1
q
n
0
q
At
q
− − At
e x0 = e
P j x0 =
e P j x0 =
j=1
q
=
λj t
e
r(λj )−1
eλj t
j=1
pois (A
k
− λ I ) P x j
j 0
(A
k=0
q
=
j=1
∞
j=1
= 0 se k
q
At
λ j I )k k t P j x0 k!
(A
j=1
eλj It+(A−λj I ) t P j x0
j=1
λ j I )k k t P j x0 , k!
≥ r(λ ). Provamos assim, o seguinte teorema. j
··· , λ s˜ao autovalores distintos de A e P s˜ao as proje¸co˜es definidas M (A) ··· M (A), ent˜ao a solu¸ca˜o do PVI
Teorema 3.5.1 Se λ1 , pela decomposi¸ca˜o Cn =
q
λ1
j
λq
= Ax x˙ x(0) = x0
´e dada por r(λj )−1
q
At
e x0 =
j=1
λj t (A
e
k
− λ I ) t P x . j
k
j 0
k!
j=1
Observa¸ c˜ao 3.5.2 A maior potˆencia de t que comparece junto com eλj t ´e tr(λj )−1 . Lema 3.5.5 i) Se Re λ < α R, para todo autovalor λ de A, ent˜ao existe uma constante K > 0, tal que eAt x0 Keαt x0 , t R, x0 C.
|
∈
|≤
| |∀ ∈ ∀ ∈ = ∅ e que ii) Suponha, que Re λ ≤ α ∈ R, para todo autovalor λ de A, {λ : Re λ = α} m = max{r(λ ) : Re λ = α}. Ent˜ao, existe constante K > 0, tal que |e x | ≤ Kt e |x |, ∀ t ≥ 1, ∀ x ∈ C. j
j
At
m−1 αt
0
0
0
Demonstra¸ c˜ ao.
··· ···
i) Sejam λ1 , , λq os autovalores distintos de A. Ent˜ao, existe ǫ > 0, tal que Re λ j +ǫ < α, j = 1, , q .
∀
Logo, do teorema (3.5.1), r(λj )−1
q
At
|e Fazendo, M
≥
max
|e
x0
| ≤ M
Seja K > 0, tal que Logo, eAt x0
|
j=1
k=0,...,r(λj )−1
e
k=0
k
|A − λ I | t |P x |. k! j
k
j 0
k
|A − λ I | |P |, obtemos k! j
r(λj )−1
j=1
αt
Reλj t
j
max
j=1,...,q q
At
x0
|≤
q
k −ǫt (Reλj +ǫ)t
t e
e
k=0
q j=1
r(λj )−1 k −ǫt t e M k=0
| ≤ Ke |x |, t ≥ 0, x ∈ C. 0
αt
|x | ≤ e |x |M 0
0
r(λj )−1
j=1
tk e−ǫt .
k=0
≤ K , t ≥ 0.
0
ii) Como em i), temos q
At
|e
x0
| ≤ M
r(λj )−1
j=1
k=0
r(λj )−1
tk eReλj t x0
| |
= M
tk eRe λj t x0
j Re λj <α
k=0
| |
r(λj )−1
+M
j Re λj =α
O primeiro somat´orio pode ser tratado como em i).
k=0
tk eReλj t x0 .
| |
Da observa¸ca˜o (3.5.2), temos que o segundo somat´orio ´e menor ou igual a r(λj )−1
const
tm−1 eα t x0 .
| |
k=0
j Re λj =α
Juntando os dois somat´ o rios, segue que existe constante K At m−1 αt e x0 Kt e x0 , t 1, x0 C.
|
3.5.5
|≤
>
| |∀ ≥ ∀ ∈
0, tal que
M´ etodo para achar a Base de
Seja λ um autovalor de A.
M (A) λ
• Acha-se vetores a = 0, tais que (A − λI )a = 0 • Acha-se vetores b, tais que (A − λI )b = a para cada a encontrado anteriormente. Teremos, 0 e (A − λI ) b = 0. ent˜ao que b = • Acha-se vetores c, tais que (A − λI )c = b para cada b encontrado anteriormente. Temos, ent˜ao (A − λI ) c = 0. 2
3
Esse procedimento ´e repetido at´e conseguirmos m vetores linearmente independentes que ser´a a base de e a multiplicidade de λ. λ (A), onde m ´
M
Exemplo 3.5.4 Seja A=
4 0 0 0
1 4 0 0
0 0 4 0
0 0 0 2
Note que, λ = 4 ´e um autovalor com multiplicidade Dessa forma, 0 1 0 0 0 0 A 4I = 0 0 0 0 0 0
−
(A
− 4I )a = 0,
a=
.
alg´ebrica 3.
− 0 0 0 2
a1 a2 a3 a4
a1 0 a3 0
Ent˜ao, a2 = a4 = 0. Logo, todo vetor n˜ao nulo da forma
(A
− 4I )b = a,
b=
b1 b2 b3 b4
,
´e autovetor.
−
⇒
b2 0 0 2b4
Temos assim, que vetores
=
1 0 0 0
formam uma base para
a1 0 a3 0
b2 = a1 .
0 0 1 0
e
0 1 0 0
M (A). E´ facil ver que
0 0 0 1
´e base para
4
,
M (A). 2
Utilizando os vetores acima, ´e poss´ıvel determinar uma base de solu¸co˜es de (H). λt
• Toma-se primeiro solu¸co˜es da forma e a, onde (A − λI )a = 0. • Se for poss´ıvel determinar b, tal que (A − λI )b = a, toma-se solu¸co˜es da forma te • Se for poss´ıvel encontrar c, tal que (A − λI )c = b, toma-se solu¸co˜es da forma
λt
a+ eλt b.
t2 λt e a + teλt b + eλt c. 2!
e, assim, por diante at´e completar m solu¸co˜es onde m ´e a multiplicidade de λ.
Exemplo 3.5.5 No exemplo anterior, temos que e4t
1 0 0 0
, e4t
´e uma base de solu¸co˜s de (H ).
3.5.6
0 0 1 0
, te4t
1 0 0 0
+ e4t
0 1 0 0
, e2t
0 0 0 1
Forma Canˆ onica de Jordan
×
Seja A uma matriz complexa n n e λ1 , uma matriz n˜ao singular C , tal que
··· , λ
C −1 AC = J = onde
J λi =
λi .. .
···
0 .. .
0 .. .
··· .. .
0 .. .
0 0 .. .
··· ···
··· ···
0 0 .. .
0
···
λi 0 0 J 1i .. .. . . 0 0
···
J si
... .. .
..
.
q
os autovalores distintos de A. Ent˜ao, existe
J λ1 .. .
···
...
0 .. .
0
···
J λq
,
, ordem J λi = multiplicidade de λi .
J ki = λi I + Rki , Rki =
ou J ki
=
0 0 .. .
1 0 .. .
0 0
··· ··· ···
1 ...
λi .. .
0 .. .
...
··· . . . ··· ··· Para cada i, r(λ ) = max{ordem dos blocos J , 1}. i
1
−
Temos que, eA t = eCJ C
t
0 0
i k
= CeJ t C −1 e eJt =
1 λi
0 0 .. .
··· ··· ··· 0
1 0
.
.
eJ λ1 t .. .
···
...
0 .. .
0
···
eJ λq t
··· ···
0 0 1 0 .. . . . . 0 0
.. .
Observa¸ c˜ao 3.5.3 Se J = C −1 AC , ent˜ao a mudan¸ca x = Cy reduz x˙ = Ax a y˙ = Jy, pois y˙ = C −1 x˙ = C −1 ACy = Jy.
Exerc´ıcio 3.5.4
1) Explicar a forma canˆonica de Jordam real. Exemplo A=
Foma canˆonica real =
− 3 2 i , J = 5 3 0
−
0 . i
−
0 1 . 1 0
−
2) Determinar a forma canˆ onica real de
··· ··· ···
i 0 0 0
A=
Se J λ =
λ 1 .. . . . . 0 0
..
0 0 i 0
−
− 0 0 1 i
.
0
. 0 λ 1 0 λ
eJ λ t = eλ t
1 i 0 0
´e uma matriz de ordem s, ent˜ao
2
t t2! 1 t .. . . . . 0 0 0 0 1 0 .. .
··· ···
··· ···
... 1 0
ts−1 (s−1)! ts−2 (s−2)!
.. . t 1
.
3.5.7
Equa¸ co ˜es de Ordem n com Coeficientes Constantes y (n) + a1 y (n−1) +
··· a y n
= 0 yˆ˙ = Aˆ y
(h) (H )
+ an polinˆ omio carater´ıstico. p(λ) = λn + a1 λn−1 + Para determinar uma base de solu¸co˜es complexas de (h), procede-se da seguinte maneira: Para cada zero λ de p(λ) = 0, com multiplicidade m, considera-se as solu¸co˜es linearmente independentes eλt , teλt , , tm−1 eλt . Utilizando todos os zeros de p(λ) = 0, encontra-se a base de solu¸co˜es complexas de (h). Se os coeficientes ai , i = 1, 2, , n s˜ao reais, para determinar base de solu¸co˜es reais, procede-se da seguinte forma:
···
···
···
a) Para os zeros reais, procede-se como acima.
−
b) Se λ = α + iβ , β = 0 ´e solu¸ca˜ o de p(λ) = 0, ent˜ao λ = α iβ tamb´em ´e solu¸ca˜o. Correspondente a λ (multiplicidade m) e λ (multiplicidade m) tomamos as solu¸co˜es eαt cos βt, teαt cos βt, eαt sin βt, teαt sin βt,
m−1 αt
··· , t ··· , t
e cos βt m−1 αt e sin βt
Exerc´ıcio 3.5.5 Achar uma base de solu¸co˜es reais de y (4)
3.6
− y = 0.
Sistemas Lineares Autˆ onomos Bidimensionais
×
Considere, A uma matriz 2 2 real, com det A = 0 (assim, λ = 0 n˜ao ´e autovalor) e x˙ = Ax (H). Sejam λ1 , λ2 autovalores de A.
Caso 1a: N´ o est´ avel. Considere, λ1 , λ2 autovalores reais, com λ2 < λ1 < 0. Sejam v1 , v2 autovalores associados a λ1 , λ2 , respectivamente. Ent˜ao, a solu¸ca˜o geral de (H) ´e dada por x(t) = c1 eλ1 t v1 + c2 eλ2 t v2 . Se c1 = 0 (resp. c2 = 0), ent˜a o a ´orbita tende a zero seguindo a dire¸c˜ao de v2 (resp. v1 ). Considere agora, o caso em que ambos s˜ao n˜ao nulos. Temos, que para c1 = 0,
˙ x(t) λ1 c1 eλ1 t v1 + λ2 c2 eλ2 t v2 eλ1 t = ˙ ˙ x(t) eλ1 t x(t)
| |
λcv −→ | | |λ c v | . t→∞
1 1 1 1 1 1
Assim, se c1 = 0 as o´rbitas tendem a zero seguindo a dire¸ca˜o de v1 . Para lembrar qual dire¸ca˜ o as o´rbitas preferem, basta lembrar “quem vai mais r´apido vai sozinho”. O retrato de fase para este caso ´e mostrado na figura abaixo. Caso 1b: N´ o! inst´ avel. Neste, caso temos 0 < λ2 < λ1 , e a an´alise ´e semelhante, bastando para isso inverter as flechas. Caso 1c: Ponto de Sela.
v2
v1
v2
v1
Neste caso, temos λ2 < 0 < λ1 . Para c1 = 0, segue ˙ x(t) λ1 c1 eλ1 t v1 + λ2 c2 eλ1 2t v2 eλ1t = ˙ ˙ x(t) eλ1 t x(t)
λcv −→ | | |λ c v | .
| | Idem, quando t → −∞.
t→∞
1 1 1 1 1 1
v1
v2
Caso 2: Autovalores complexos puros λ = α + iβ , ¯ λ = α iβ . ¯ w = u + iv, onde u e v s˜ Sejam w e w ¯ autovetores associados a λ e λ, ao vetores reais. Procuramos, x(t) solu¸ca˜o real de (H). Ent˜ao,
−
eλt w = eαt [cos βt + i sin βt] [u + iv] = eαt [cos(βt)u
αt
− sin(βt)v] + ie
[cos(βt)v + sin(βt)u].
Dessa forma, eαt [cos(βt)u sin(βt)v] e eαt [cos(βt)v + sin(βt)u] s˜ao solu¸co˜es reais de (H) e s˜ ao linearmente independentes. def def Tomando, c1 = ρ cos( δ ), c2 = ρ sin( δ ), temos que a solu¸c˜ao geral de (H) ´e dada por
−
−
−
x(t) = eαt ρ cos δ cos(βt)u ρ cos δ sin(βt)v = eαt ρ[cos(βt + δ )u sin(βt + δ )v].
{
−
−
− ρ sin δ cos(βt)v − ρ sin δ sin(βt)u}
Para os valores de t, tais que βt + δ = kπ a o´rbita corta a reta definida pelo vetor u e para βt + δ = kπ + π/2 a o´bita corta linha definida pelo vetor v. Assim, a ´orbita gira em torno da origem, conforme mostra a figura
v
u
0
Caso 2a:(Centro) α = 0. Neste caso, a solu¸ca˜o geral ´e dada por x(t) = ρ[u cos(βt + δ )
− v sin(βt + δ )],
onde ρ > 0 e δ s˜ao constantes arbitr´arias. 2π As o´rbitas s˜ao curvas fechadas, -peri´odicas. β v
v
u
u β>0
Caso 2b:(Foco est´avel) α < 0. As o´rbitas tendem a (0, 0), quando t
β<0
→ ∞. v
v u
β>0
u β<0
Caso 2c:(Foco inst´ avel) α > 0. As o´rbitas tendem a (0, 0), quando t
→ −∞. v
v u
β<0
u β>0
Caso 2a:(N´ o impr´ oprio) λ1 = λ2 < 0 e existem dois autovalores linearmente independentes associados a λ1 = λ2 . Logo, todo vetor n˜ao nulo ´e autovetor. Neste caso, λ1 = λ2 tem divisores elementares simples (r(λ1 ) = 1) e a solu¸ca˜o geral ´e dada por x(t) = eλ1 t (c1 v1 + c2 v2 ). O caso λ1 = λ2 > 0 ´e semelhante, bastando inverter as flechas na figura. Caso 2a:(N´ o impr´ oprio est´ avel) λ1 = λ2 < 0, mas n˜ ao ´ e possivel achar 2 autovetores linearmente independentes (r(λ1 ) = 2), isto ´ e, n˜ ao tem divisores elementares simples. Assim, (A λI )2 (A λI ) e, portanto, existe vetor w = 0, tal que (A λI )2 w = 0 e (A λI )w = v = 0. Temos, ent˜ ao que v ´e autovetor. Dessa forma, eλt v e teλt v + eλt w s˜ao solu¸co˜es linearmente independentes de (H).
N − −
N −
−
A solu¸c˜ao geral de (H) ´e ent˜a o dada por x(t) = aeλt v + b(teλt v + eλt w). Se b = 0, como x˙ = aλeλt v + b[λteλt ve λt v + eλt w], temos
˙ ˙ x(t) x(t) teλt = λt ˙ x(t) te x˙
bλv −→ | | |bλv| .
| |
Assim, as ´orbitas tendem a zero na dire¸ca˜o do autovetor v. O caso do n´o impr´oprio inst´avel ´e semelhante ao acima com λ1 = λ2 > 0, bastando inverter as setas na figura. v
v
λ1 = λ2 < 0
3.7
λ1 = λ2 > 0
Sistemas Lineares Peri´ odicos: Teoria de Floquet
Lema 3.7.1 Se C ´e uma matriz n eB = C .
× n, onde det C = 0, ent˜ao existe uma matriz B, tal que
Demonstra¸ c˜ ao. Como, P −1 eB P = eP Se
1 BP
−
, podemos supor C na forma canˆonica de Jordan.
J = ent˜ao eJ = Assim, podemos supor que C =
J 1 .. . 0
eJ 1 .. . 0
··· ··· ··· ··· ···
...
,
J p
..
0 .. .
.
.
eJ p
λ 1 .. . . . . 0 0
0 .. .
0 0
... ..
.
···
0 .. .
1 λ
ou C = λI + R, onde R=
···
0 1 .. . . . . 0 0
0
... ..
0 0
0
. 1 0
···
,
com ordem R = m. Observe, que Rm = 0. R R Temos que, C = λ(I + ). Se encontrarmos S , tal que eS = I + , tomamos B = ln(λ)I +S λ λ e, teremos, eB = e(ln λ)I +S = λeS = λI + R = C . R Procuramos assim, S tal que eS = I + . Sabemos que, λ z 2 z 3 ln(1 + z ) = z + + 2 3 eln(1+z) = 1 + z, z < 1.
( 1)n−1 z n + + n
··· −
−
··· ,
||
Isso motiva tomar ∞
S =
− n=1
( 1)n−1 R n ( ) = n λ
R Fazendo, Z = , temos que S = λ
m−1
m−1
− n=1
( 1)n−1 R n def R ( ) = ln(I + ). n λ λ
− n=1
( 1)n−1 n Z ´e um polinˆomio em Z sem termo constante. n ∞
m
S
Assim, mostra-se que S = 0. Dessa forma, e = polinˆomio de grau m S
e
n=0
− 1 em S . Logo,
m−1
S n = n!
n=0
S 2 S m−1 = I + S + + + 2! (m 1)! ( 1)m−1 Z m−1 1 Z 2 Z 3 Z 2 Z 3 = I + (Z + + + ) + (Z + + 2 3 (m 1) 2! 2 3 1 ( 1)m−1 Z m−1 m−1 Z 2 Z 3 + + (Z + + + ) (m 1)! 2 3 (m 1) = I + Z.
···
−
···
−
− ··· − − − − ··· − −
S n . Na verdade, um n!
( 1)m−1 Z m−1 2 + ) (m 1)
··· − −
R
Portanto, eS = eln(I + λ ) = eln(I +Z ) = I + Z = I + Rλ .
Exerc´ıcio 3.7.1 Seja D uma matriz real, com det D = 0. Mostre que existe matriz B real, tal que eB = D2 . Se C ´e matriz real no lema (3.7.1), ent˜ao existe sempre matriz real B, tal que eB = C ?. Teorema 3.7.1 (Floquet, 1883) Toda matriz fundamental X (t) de x˙ = A(t)x
(H ),
onde A(t) ´e cont´ınua, com A(t + T ) = A(t), t R, pode ser escrita na forma X (t) = P (t)eBt , onde P (t) ´e T -peri´odica (T > 0), n n e B ´e matriz constante n n.
×
∀ ∈
×
Demonstra¸ c˜ ao. X (t + T ) ´e m.f. de (H). Logo, existe matriz n˜ao singular C , tal que X (t + T ) = X (t)C , t R. def Seja B, tal que eBT = C (lema (3.7.1)) e P (t) = X (t)e−Bt . Temos que,
∀ ∈
P (t + T ) = X (t + T )e−B(t+T ) = X (t)Ce−BT e−Bt = X (t)e−Bt = P (t).
Corol´ ario 3.7.1 (Liapunov, 1907) Nas condi¸co˜es do teorema (3.7.1), existe uma mudan¸ca de variaveis que reduz x˙ = A(t)x a um sistema com coeficientes constantes. def
Demonstra¸ c˜ ao. Considere, x = P (t)y e, temos, A(t)P (t)y = x˙ = P˙ y + P y˙ ˙ (AP P )y = P ˙y −1 ˙ = y. ˙ P (AP P )y
− −
Garantimos, que P −1 (AP
− P )˙ = B. De X = P (t)e
Bt
, segue que
˙ = P˙ eBt + P Be Bt AX = X AP eBt = P˙ eBt + P BeBt .
Logo, AP = P ˙ + P B e, portanto, B = P −1 (AP
˙ − P ).
Exerc´ıcio 3.7.2 Prove que B, nos resultados acima pode ser tomado real, desde que exijamos que A(t) seja real e que P (t + 2T ) = P (t), t R.
∀ ∈
Observa¸ c˜ao 3.7.1 Do teorema (3.7.1), seque que toda solu¸ca˜o de x˙ = A(t)x, com A(t) T -peri´odica, ´e combina¸ca˜o linear de termos da forma p(t)tm eλt , onde p(t + T ) = p(t). Basta para tanto, observar que se J ´e forma canˆ o nica de Jordan de B, ent˜ao −1 J t Bt P (t)e = P (t)C e C e, portanto, segue o resultado. ´ qualquer matriz n˜ a o singular C , tal que Defini¸c˜ ao 3.7.1 (Matriz Monodrom´ıa) E X (t + T ) = X (t)C . Se X (t) m.p., ent˜ao X (T ) = C = eBT .
Defini¸c˜ ao 3.7.2 (Multiplicadores Caracter´ısticos) S˜ao os autovalores de uma matriz monodrom´ıa C . Observa¸ c˜ao 3.7.2 Se X (t) ´e m.p., ent˜ao os multiplicadores caracter´ısticos s˜ao os autovalores de X (T ). Observa¸ c˜ao 3.7.3 Se X (t) e Y (t) s˜ao m.f. de (H) e X (t + T ) = X (t)C , t R, ent˜ao existe matriz n˜ao singular D, tal que Y (t) = X (t)D. Logo, Y (t + T ) = X (t + T )D = X (t)CD = Y (t)D−1 CD e, assim, D−1 CD ´e matriz mono drom´ıa relativamente a Y (t). Logo, as matrizes monodrom´ıas relativas a matrizes fundamentais s˜ ao similares, possuindo assim os mesmos autovalores. Conclu´ımos, que os multiplicadores caracter´ısticos s˜ao un´ıvocamente determinados.
∀ ∈
´ qualquer n´umero complexo λ, tal que eλT ´e Defini¸c˜ ao 3.7.3 (Expoente Caracter´ıstico) E multiplicador caracter´ıstico. 2nπi tamb´em ´e expoente caracObserva¸ c˜ao 3.7.4 Se λ ´e expoente caracter´ıstico, ent˜ao λ + T 2nπi (λ+ )T T ter´ıstico, pois e = eλT +2nπi = eλt . Assim, λ C ´e expoente caracter´ıstico se, e somente, se eλT ´e autovalor de eBT .
∈
Lema 3.7.2 i) λ C ´e expoente caracter´ıstico se, e somente, se existe solu¸ca˜o n˜ao trivial de (H ) da forma p(t)eλt , com p(t + T ) = p(t), t R.
∈
∀ ∈
ii) Existe solu¸ca˜o T -peri´odica n˜ao trivial se, e somente, se +1 ´e multiplicador caracter´ıstico. iii) Existe solu¸ca˜o 2T -peri´odica, mas n˜ao T -peri´odica se, e somente, se caracter´ıstico.
−1 ´e multiplicador
Demonstra¸ c˜ ao. i) Suponha, que eλt p(t) = 0 ´e solu¸ca˜o de (H), com p(t) T -peri´odica.
Assim, existe x0 = 0, tal que p(t)eλt = P (t)eBt x0 . Logo, p(t) = P (t)e(B−λI )t x0 . Dessa forma, p(0) = p(T ) e(B−λI )T x0 = x0 eBT x0 = eλT x0 .
⇒
⇒
Portanto, λ ´e expoente caracter´ıstico. Reciprocamente, se λ expoente caracter´ıstico, ent˜ao eλT ´e n´ umero caracter´ıstico, o que implica existe x0 = 0, tal que e(B −λI )T x0 = x0 .
def
Considere, ent˜ao a solu¸ca˜o P (t)eBt x0 e, tomamos, p(t) = P (t)e(B −λI )t x0 . Portanto, p(t + T ) = P (t + T )e(B −λI )(t+T ) x0 = P (t)e(B−λI )t e(B −λI )T x0 = P (t)e(B −λI )t x0 = p(t) ii) Se 1 ´e um multiplicador caracter´ıstico, ent˜ao 0 ´e expoente caracter´ıstico . Dessa forma, pelo item i), existe solu¸ca˜o da forma p(t)e0t = p(t), T -peri´odica. Reciprocamente, seja P (t)eBt x0 solu¸ca˜o T -peri´odica. Logo, P (0)eB0 x0 = P (T )eBT x0 e da´ı eBT x0 = x0 . Assim, 1 ´e multiplicador caracter´ıstico. πi ´e expoente caracter´ıstico. Dessa T πi forma, pelo item i), existe uma solu¸ca˜o da forma p(t)e( T ) t que ´e 2T -peri´odica, mas n˜ao ´e T -peri´odica.
iii) Se
( πi )T T
−1 = e
´e multiplicador caracter´ıstico, ent˜ao
Reciprocamente, suponha que existe solu¸ca˜o P (t)eBt x0 2T -peri´odica que n˜ao ´e T - peri´odica. Podemos supor, essa solu¸ca˜o na forma P (t)eJ t x0 , onde J est´a na forma canˆonica de Jordan.
Como, ´e 2T -peri´odica, ent˜ao P (2T )eJ 2T x0 = P (0)x0 e, portanto, e2T J x0 = x0 . Assim, para todo bloco de Jordan J i , temos e2T J i xi0 = xi0 . Por outro lado, como a solu¸ca˜o n˜ao ´e T -peri´odica existe j, tal que eT J j x j0 = x j0 .
Logo, segue que existe um bloco que ainda indicamos por J e vetor x, tal que x =
x1 x2 .. , .
xn
tal que e2T J x = x, mas eT J x = x, onde
J =
···
λ 1 .. . . . . 0 0
... ..
0 0
.
···
0 .. .
e e2T J = e2T λ
1 λ
1 2T
···
0
1
..
.. . 0
.. . 0
(2T )n−1 (n 1)! (2T )n−2 (n 2)! 2T 1
− −
.
...
···
O caso em que dim J = 1 ´e mais simples e ser´a feito a seguir.
···
.
≥
Garantimos, que x2 = x3 = = xn = 0 e x1 = 0. Suponha, que xn = 0, n 2. De 2T J 2T λ 2T λ = 1. Tamb´em multiplicando a pen´ultima e x = x, segue que e xn = xn . Logo, e 2T J 2T λ linha de e por x, temos e (xn−1 + 2T xn ) = xn−1 , 2T xn = 0 o que ´e uma contradi¸ca˜o. Suponha agora, xn = 0 e xn−1 = 0, com n 3. De e2T J x = x, segue que e2T λ xn−1 = xn−1 . Assim, e2T λ = 1. Tamb´em e2T λ (xn−2 + 2T xn−1 ) = xn−2 e, portanto, xn−1 = 0 o que ´e uma contradi¸ca˜o.
≥
··· = x = 0. Como, x = 0, temos que x = 0 e (2T ) x x 2T ··· (n − 1)! 0 0 . . . (2T ) . 1 .. = ... (n − 2)! .
Provamos assim, que x2 = x3 =
2T λ
e
n
n−1
1
1
n−2
0 .. . 0
.. 0
...
2T 1
···
0 0
1
1
0 0
o que implica que e2T λ = 1, mas eT λ x1 = x1 . Assim, 2T λ = 2mπi. Logo, λ =
mπi . T
mπi T Afirmamos, que m n˜ao pode ser par. Se m for par, temos eλT = e T = 1 o que ´e uma contradi¸ca˜o. Logo, m ´e impar e, portanto, eλT =
−1 e, ent˜ao, −1 ´e multiplicador caracter´ıstico.
Lema 3.7.3 Se ρ j = eλj T , j = 1, A(t + T ) = A(t), t R, ent˜ao
∀ ∈
··· , n s˜ao os multiplicadores caracter´ısticos de x˙ = A(t)x,
n
ρ j =
j=1 n
j=1
λ j
e
T
0
1 = T
trA(s)ds
,
T
0
trA(s)ds mod
2πi . T
Demonstra¸ c˜ ao. Se X (t) ´e m.p., ent˜ao da f´ormula de Liouville, temos n
ρ j = det X (T ) = det X (0) e
j=1
T
0
trA(s)ds
.
Como, ρ = eλt , temos que
n
1 λ j = T j=1
T
trA(s)ds mod
0
2πi . T
×
Teorema 3.7.2 Considere, x˙ = A(t)x, onde A(t), n n ´e cont´ınua para t T > 0, t R. Ent˜ao,
∀ ∈
∈ R, A(t+T ) = A(t),
∞
i) Toda solu¸ca˜o ´e limitada em [0, ) se, e somente se, todos os multiplicadores caracter´ısticos tem m´odulo menor ou igual a 1 (expoente caracter´ıstico tem parte real menor ou igual 0) e aqueles que tˆem m´odulo 1 tem divisores elementares simples. ii) Se os multiplicadores caracter´ısticos tˆem m´odulo estritamente menor que 1 (expoente caracter´ıstico estritamente menor que 0), ent˜ao existe uma constante α > 0, tal que −1
|X (t)X
(s)
−α(t−s)
| ≤ Ke
, t
≥ s.
Demonstra¸ c˜ ao. Exerc´ıcio.
Exemplo 3.7.1 (Hale, pg. 121) Seja y¨ + (a + φ(t))y = 0, φ(t + π) = φ(t), equa¸ca˜o pode ser escrita como x˙ =
− − 0 1 + a 0
0 0 φ(t) 0
Esta
x.
Seja X (t) m.p.. Os multiplicadores caracter´ısticos s˜ao solu¸co˜es de det(X (π) X (t) =
∀ t ∈ R.
− ρI ) = 0, onde
x1 (t) x2 (t) . x˙ 1 (t) x˙ 2 (t)
Dessa forma, segue ρ2 [x1 (π) + x˙ 2 (π)]ρ + x1 (π)x˙ 2 (π) x˙ 1 (π)x2 (π) = 0, 2B(a) = trX (π). Assim, os n´ umeros caracter´ısticos s˜ao solu¸co˜es de ρ2 2B(a)ρ + 1 = 0 e B(a) = x1 (π) + x˙ 2 (π). Do lema (3.7.2), segue que se ρ1 , ρ2 s˜ao os expoentes caracter´ısticos, ent˜ao ρ1 ρ2 = 1. Assim, todas as solu¸co˜es de
−
−
x˙ =
0 1 + a 0 2
·
0 0 φ(t) 0
− − s˜ ao limitadas em R se, e somente se, |ρ | = |ρ | = 1 1
−
x.
Exerc´ıcio 3.7.3 Seja A(t) definida por A(t) = e
−
α 0 , 0 < α < β para 0 0 β
≤ t < T − δ
π 0 para T δ t < T, A(t) = π 2δ 0 2δ onde δ < T e A(t) ´e T -peri´odica. Mostre que os n´umeros caracter´ısticos de x˙ = A(t)x s˜ao em modulo menores que 1.
− ≤
Cap´ıtulo 4 Estabilidade e Instabilidade 4.1
Estabilidade de Sistemas Lineares com Coeficientes Constantes
Considere, o sistema x˙ = A x, onde A ´e uma matriz complexa n
(H )
× n.
Teorema 4.1.1 i) (H ) ´e est´avel se, e somente se, todos os autovalores de A tˆem parte real menor ou igual a zero e se aqueles que tˆem parte real igual a zero tˆem divisores elementares simples. ii) (H ) ´e assint´oticamente est´avel se, e somente se, todos os autovalores de A tˆem parte real estritamente positiva.
Demonstra¸ c˜ ao. i) Suponha, que os autovalores de A tˆem parte real menor ou igual a zero e os que tˆem parte real igual a zero, tem divisores elementares simples. Como visto anteriormente, existe K > 0, tal que eAtx0 que neste caso, m = 1.
|
Assim, eAt x0 ´e limitada para t
| ≤ Kt
m−1 −0t
e
|x |, t ≥ 1, sendo 0
≥ 0, para todo x . Logo, conclui-se que (H) ´e est´avel. 0
Reciprocamente, considere agora, que o sistema ´e est´avel. Se existe autovalor λ, com parte real estritamente positiva e se v ´e autovetor associado, ent˜ ao eλt v ´e uma solu¸ca˜o n˜ao limitada para t 0, o que contraria a estabilidade.
≥
Suponha, que exista autovalor λ, onde Re λ = 0, que n˜ao tenha divisores elementares simples. Ent˜ao, (A λI )2 (A λI ). Assim, existe vetor v, tal que (A λI )2 v = 0 e (A λI )v = 0.
−
N −
N −
−
Dessa forma,
eAt v = eλt e(A−λI )t v = eλt [I + (A = eλt [I + t(A λI )]v.
−
que ´e uma solu¸ca˜o n˜ao limitada.
− λI )t + ··· ]v
ii) Pelo lema (3.5.5), segue que existem α, K > 0, tais que eAtx0 segue a estabilidade assint´otica.
−αt
|
| ≤ Ke |x |, t ≥ 0. Logo,
Reciprocamente, se existe algum autovalor λ, com Re λ ent˜ao eλt v n˜ao tende a zero, quando t .
≥ 0 e v ´e autovetor associado,
→∞
0
4.2
Estabilidade de Sistemas Lineares Peri´ odicos
Teorema 4.2.1 Seja, (H ) : x˙ = A(t)x, A(t + T ) = A(t), T > 0. Ent˜ao, i) (H ) ´e est´avel se, e somente, todos os multiplicadores caracter´ısticos (resp. expoentes caracter´ısticos) tem m´odulo menor ou igual a 1 (resp. parte real menor ou igual a 0) e se aqueles que tˆem m´odulo 1 tem divisores elementares simples. ii) (H ) ´e U.A.S se, e somente, todos os multiplicadores caracter´ısticos tˆem m´odulo estritamente menor que 1 ( ou os expoentes caracter´ısticos tˆem parte real menor que 0). Se (H ) ´e U.A.S e se X (t) ´e m.f., ent˜ao existem constantes α, K > 0, tais que −1
|X (t)X
(s)
−α(t−s)
| ≤ Ke
, t
≥ s.
Demonstra¸ c˜ ao. Basta observar, que do Corol´ario 3.7.1 (H) pode ser transformado num sistema de coeficientes constantes atrav´es de uma mudan¸ca de vari´aveis peri´odicas.
4.3
Estabilidade de Sistemas Lineares e Perturbados
Seja A(t) uma matriz n
× n, cont´ınua em R, com x˙ = A(t)x.
(H )
→
Devido `a linearidade de x0 x(t, t0 , x0 ), neste caso, temos que a estabilidade de uma solu¸ca˜o qualquer de (H) ´e equivalente `a estabilidade da solu¸ca˜o nula de (H) (prove!). Assim sendo, dizemos simplesmente que (H) ´e est´avel, uniformemente est´avel, etc.
Teorema 4.3.1 Seja X (t) m.f. de (H ). Ent˜ao, i) (H ) ´e est´avel se, e somente se, X (t) ´e limitada para t
≥ 0.
ii) (H ) ´e uniformemente est´avel se, e somente se, X (t)X −1 (s) ´e limitada em
{(t, s) ∈ [0, ∞) × [0, ∞) : t ≥ s}. iii) (H ) ´e assintoticamente est´avel se, e somente se, X (t) → 0, t → ∞.
iv) (H ) ´e uniformemente assintoticamente est´avel se, e somente se, existem constantes α, K > 0 tais que X (t)X −1 (s) Ke −α(t−s) , t s 0.
|
|≤
≥ ≥
Demonstra¸ c˜ ao. i) Observe, que x(t, 0, x0 ) = X (t)X −1 (0)x0 . Logo, existe δ > 0, tal que −1
|x | < δ ⇒ |X (t)X (0)x | < 1, t ≥ 0. Se |y | < 1, ent˜ao |δy | < δ e |X (t)X (0)δy | < 1. 0
0
−1
0
0
0
Assim,
−1
|X (t)X
(0) = sup X (t)X −1 (0)y0
|
|y0 |<1
|
| ≤ 1/δ.
Dessa forma, segue que X (t) = X (t)X −1 (0)X (0) ´e limitada para t
|
|
|
| ≤ K , t ≥ 0. (t )x | ≤ K |X (t )x |.
≥ 0.
Reciprocamente, seja K , tal que X (t) Assim sendo, X (t)X −1
|
0
−1
0
0
0
Portanto, segue a estabilidade, pois dado ǫ > 0, tomamos δ <
ǫ
| , δ = δ (t , ǫ). ii) Existe, δ > 0 (independente de t ), tal que |x | < δ ⇒ |X (t)X (t )x | < 1, t ≥ t . Dado |y | < 1, |X (t)X (t )δy | < 1, t ≥ t , segue que |X (t)X (t )y | < 1/δ . Conclu´ımos que, |X (t)X (t )| = sup |X (t)X (t )y | ≤ 1/δ para t ≥ t . Reciprocamente, seja K , tal que |X (t)X (t )| ≤ K , para t ≥ t ≥ 0. Dado ǫ > 0, 0
−1
0
0
−1
0
|
−1
0
−1
0
−1
0
0
0
K X −1 (t0 ) 0
0
0
0
0
0
0
|y0 |<1
−1
0
0
tomamos δ = ǫ/K e, portanto, segue que (H) ´e U.S.
iii) Seja
0 .. .
ei =
1 .. .
.
0
| | ≤ ρ. Ent˜ao, |x(t, t , x )| = |X (t)X (t )x | → 0, t → ∞. Assim, X (t)X (t )ρe → 0, t → ∞. Logo, X (t)X (t ) → 0 o que implica que X (t) → 0, t → ∞. Reciprocamente, como X (t) → 0, t → ∞ e ´e cont´ınua em [0, ∞), temos que X (t) ´e De A.S, segue que existe ρ(t0 ) > 0, tal que x0 0 0 −1
−1
0
−1
0
0
limitada. Dessa forma, segue a estabilidade. Dado x0
n
∈R
´e f´acil ver que X (t)X −1 (t0 )x0
iv) Dado ǫ > 0, tomando T =
→ 0, t → ∞.
ln(K/ǫ) , temos α −1
|X (t)X
(t0 )x0
−α(t−t0 )
| ≤ Ke
|x |. 0
0
i
Note que, t
≥t
0
+ T
⇒ −α(t − t ) ≤ −αT = − ln(K/ǫ) = ln(ǫ/K ). 0
O que implica que, Ke−α(t−t0 ) x0
| | ≤ (Kǫ/K )|x |. Fazendo, ent˜ao |x | < 1, temos |x(t, t , x )| ≤ ǫ, para t ≥ t + T . 0
0
0
0
0
´ trivial demonstrar que (H) ´e U.S. E
Reciprocamente, verefiquemos primeiro que dado η > 0, ent˜ao X (t)X −1 (τ ) η.
|
⇒ ∃
|≤
∃ T = T (η), tal que se t ≥ τ + T ,
U.A.S ρ > 0 de modo que, dado η > 0, existe T = T (η) > 0, tal que −1 X (t)X (τ )x0 < ηρ se t τ + T e x0 ρ.
|
|
≥
| |≤ Se |x | < 1, ent˜ao que |X (t)X (τ )ρx | < ηρ e, portanto, |X (t)X Assim, segue que |X (t)X (τ )| ≤ η, t ≥ τ + T . 0
−1
−1
0
|
(τ )x0 < (ρη)/ρ = η.
−1
Tomemos, η < 1. U.S.
−1
⇒ existe M > 0, tal que |X (t)X (τ )| ≤ M , t ≥ τ ≥ 0. Logo, |X (τ + 2T )X (τ )| ≤ |X (τ + 2T )X (τ + T )| |X (τ + T )X −1
−1
−1
2
|≤η .
(τ )
Analogamente, −1
|X (τ + kT )X
k
| ≤ η , para k ≥ 1. Fixemos t, s, t ≥ s. Existe, um inteiro k, tal que kT ≤ t − s ≤ (k + 1)T . Assim sendo, −α(t − s) ≥ −α(kT + T ), o que implica que (τ )
e−α(t−s) eαT
−αkT
≥e
∗
( )
.
Dessa forma, −1
|X (t)X
(s)
−1
| ≤ |X (t)X
Tomando, 0 >
(s + kT ) X (s + kT )X −1 (s)
||
| ≤ Mη
k
= Mek ln η , t
≥ s + kT .
−α = lnT η , temos def
−1
|X (t)X
(s)
| ≤ ≤ ≤
−αkT
(∗)
Me Me−α(t−s−T ) MeαT e−α(t−s) Ke −α(t−s) , t s 0,
≤
≥ ≥
onde K := MeαT .
4.3.1
Estabilidade de Sistemas Perturbados
| ∞
Teorema 4.3.2 Suponha, que (H ) seja U.S e que ´e U.S., onde B(t) ´e um matriz n
|
B(s) ds <
0
× n, cont´ınua para t ≥ 0.
∞. Ent˜ao, x˙ = [A(t)+B(t)]x
Demonstra¸ c˜ ao. Seja ϕ(t) = x(t, t0 , x0 ). Ent˜ao, ϕ(t) ´e solu¸ca˜ o de y˙ = A(t)y + B(t)ϕ(t). Da f´ormula da varia¸ca˜o das constantes, temos
t
−1
ϕ(t) = X (t)[X (t0 )ϕ(t0 ) +
X −1 (s)B(s)ϕ(s)ds],
t0
onde X (t) ´e m.f. de (H). Logo, −1
|ϕ(t)| ≤ |X (t)X
| t
||
|
(t0 ) ϕ(t0 ) +
|
0
||
t0
t
≤ K |ϕ(t )| +
X (t)X −1 (s) B(s) ϕ(s) ds, t
||
| ∀ ≥t
0
| ∀ ≥t .
K B(s) ϕ(s) ds, t
t0
||
0
Pela desigualdade de Gronwall, segue que
|ϕ(t)| ≤ K |ϕ(t )|e K
0
t t0
|B(s)|ds
K
≤ K |ϕ(t )|e 0
∞
t0
|B(s)|ds
.
Portanto, x˙ = [A(t) + B(t)]x ´e U.S.
Teorema 4.3.3 Suponha, que (H ) ´e U.A.S. Seja B(t) uma matriz n
| t
Se
| ≤ γ (t − t ) + τ, t ≥ t ≥ 0. Ent˜ao, existe r > 0, tal que se γ < r, ent˜ao
B(s) ds
t0
× n, cont´ınua para t ≥ 0.
0
0
x˙ = [A(t) + B(t)]x ´e U.A.S.
Demonstra¸ c˜ ao. Analogamente ao teorema anterior, −1
|ϕ(t)| ≤ |X (t)X ≤
t
||
|
(t0 ) ϕ(t0 ) +
−α(t−t0 )
Ke
e
|ϕ(t)| ≤
αt0
Ke
t
|ϕ(t )| + 0
t
αt
|
|ϕ(t )| + 0
X (t)X −1 (s) B(s) ϕ(s) ds, t
||
t0
||
Ke−α(t−s) B(s) ϕ(s) ds
|
t0
||
|
Keαs B(s) ϕ(s) ds.
|
t0
||
|
Da desigualdade de Gronwall, segue que eαt ϕ(t)
K
t t0
|B(s)|ds
| | ≤
Keαt0 ϕ(t0 ) e
|ϕ(t)| ≤
Ke−α(t−t0 ) ϕ(t0 ) eK (γ (t−t0 )+τ ) .
|
|
|
|
| ∀ ≥t
0
Assim, Kτ −(α−Kγ )(t−t0 )
|ϕ(t)| ≤ Ke
Se γ <
e
, t
α , temos que x˙ = [A(t) + B(t)]x ´e U.A.S. K
≥ t ≥ 0. 0
Teorema 4.3.4 Suponha, que (H ) U.A.S. Se f : Rn+1 Rn ´e cont´ınua, localmente Lipschitziana e se ǫ > 0, δ = δ (ǫ) : x < δ f (t, x) ǫ x , t 0, ent˜ao a solu¸ca˜o x = 0 de (P ) : x˙ = A(t)x + f (t, x) ´e U.A.S. .
∀
∃
||
→ |≤ | | ≥
⇒|
Demonstra¸ c˜ ao.
| |
≥
Seja x0 , tal que x0 < δ , t0 0 e que [t0 , w) ´e o intervalo maximal de existˆencia `a direita de x(t) = x(t, t0 , x0 ). Considere, t0 a = a(x0 ) w, onde [t0 , a) ´e o maior intervalo, tal que x(t) < δ , para t [t0 , a). Assim, para t [t0 , a),
| |
≤
∈ ∈
≤
| | t
−1
x(t) = X (t)X (t0 )x0 +
X (t)X −1 (s)f (s, x(s))ds.
t0
Logo, −α(t−t0 )
|x(t)| ≤ Ke
t
x0 +
Ke −α(t−t0 ) ǫ x(s) ds.
|
t0
|
Segue da desigualdade de Gronwall, supondo α > Kǫ, que −α(t−t0 )
eKǫ(t−t0 ) x0 −(α−Kǫ)(t−t0 ) x0
|x(t)| ≤ Ke ≤ Ke ≤ K |x |.
| |
| |
0
α δ Suponha, que α > Kǫ, isto ´e, ǫ < . Tomando 0 < σ < , temos que x0 < σ 2K K δ δ δ = , para t [t0 , a). Assim, para t [t0 , a), x(t) < . Dessa forma, a = w e x(t) K 2K 2 2 w=+ . Assim sendo, obtemos
| |
| |≤ ∞
∈
∈
−(α−Kǫ)(t−t0 )
|x(t)| ≤ Ke
⇒
| |
|x | ≤ K |x |, para t ≥ t . 0
0
0
Portanto, conclu´ımos que (P) ´e U.A.S.
| | | | → 0.
Aplica¸ c˜ ao. x˙ = A(t)x + f (t, x), f (t, x) = o( x ), x
Observa¸ c˜ao 4.3.1 Apesar de os resultados serem relativamente simples ´e preciso tomar cuidado, pois certas perturba¸co˜es aparentemente pequenas podem destruir a estabilidade. Veja o exemplo a seguir
Exemplo 4.3.1
− u˙ v˙
Considere,
u˙ = v˙
0 1 1 0
=
u v
´e U.S.
0 1 0 0 + 1 0 0 2/t
−
u . v
(H )
(P )
Note que,
u(t) = v(t)
e ´e n˜ao limitada para t Observe, que
−
sin t t cos t cos t + t sin t
´e solu¸ca˜o de (P )
≥ 0. Logo (P) n˜ao ´e est´avel. 0 0 0 2/t
fica pequeno para valores grandes.
Veja outro exemplo no livro do Hale, pag. 87 e Coppel.
4.4 4.4.1
A propriedade do Ponto de Sela Motiva¸ c˜ ao
Considere, o sistema
y˙1 = y1 y˙2 = y2 ,
−
(H )
cujo retrato de fase ´e apresentado na figura. y2
y1
Considere agora, o sistema perturbado
x˙ 1 = x1 x˙ 2 = x2 + x31 .
−
(P )
A solu¸ca˜o de (P) que para t = 0 vale
a b
´e dada por
x1 (t) = et a −t
x2 (t) = e (b
→ →∞⇔ | |→∞ →∞
−
Temos, que x(t) 0, t a = 0 e x(t) se a = 0, ent˜ao x(t) ,t . 3 3 a x (t) Se b = , ent˜ao x2 (t) = b = 1 . 4 4
a3 a3 3t )+ e . 4 4
→ 0, t → −∞ ⇔
a3 b = . Mais precisamente, 4
x2
x1
O retrato de fase de (P) ´e mostrado na figura?. Pode-se nela observar, o efeito da perturba¸ca˜o. Comecemos, analisando um sistema autˆonomo x˙ = Ax
(H )
×
com uma matriz A n n, complexa. Suponha, que existam k autovalores, n˜ ao necessariamente distintos, com parte real positiva e que A n˜ao tenha autovalores com parte real zero. Ent˜ao, Cn pode ser descomposto como Cn = Cn+ Cn− , com
Cn+ =
M
Cn− = λ (A),
λ∈σ(A) Reλ>0
M
λ (A),
λ∈σ(A) Reλ<0
M
onde σ(A) indica o espectro de A, ou o conjunto de autovalores de A e λ (A) indica o autoespa¸co generalizado associado a λ. Vimos anteriormente, que Cn+ e Cn− s˜ ao respectivamente, variedade inst´ avel e variedade At est´avel de (H), s˜ao invariantes com rela¸ca˜o a A e e . Sejam Π+ e Π− as proje¸co˜es definidas pela decomposi¸ca˜o acima. Logo, temos que existem constantes K, α > 0, tais que At
|e |e
Π+ x0 At Π− x0
| ≤ | ≤
Ke α t Π+ x0 , t 0 Ke −α t Π− x0 , t 0.
|
| ≤ | | ≥
Esse resultado tamb´ em pode ser provado utilizando-se a forma canˆonica de Jordan. Π+
Cn+
Π−
Cn−
Vamos provar a seguir, que se f (x) for pequena para x pr´oximo de zero, ent˜ao existe variedade est´avel (S) e variedade inst´avel (U) locais de (P ) : x˙ = Ax + f (x).
Lema 4.4.1 Seja f : Cn Cn cont´ınua e suponha que A n˜ao tenha autovalores com parte real zero e, considere, Π + e Π− as proje¸co˜es definidas acima. Se x(t) ´e solu¸ca˜o de (P ), limitada para t 0(resp. t 0), ent˜ao existe x− Cn , tal que x(t) satisfaz `a equa¸ca˜o integral
→
≥
≤
t
At
x(t) = e x− +
∈
A(t−s)
e
t
Π− f (x(s))ds +
t
(resp. x(t) = e x+ +
eA(t−s) Π+ f (x(s))ds, t
∞
0
At
A(t−s)
e
t
Π+ f (x(s))ds +
≥0
eA(t−s) Π− f (x(s))ds, t
∞
0
≤ 0).
≥ 0 e satisfaz a equa¸ca˜o integral acima,
Reciprocamente, se x(t) ´e cont´ınua e limitada para t ent˜ao x(t) ´e solu¸ca˜o de (P ).
Demonstra¸ c˜ ao. Suponha que x(t) ´e solu¸ca˜o de (P) limitada para t constantes, temos
≥ 0.
Pela f´ ormula da varia¸ca˜o das
t
At
x(t) = e x(0) +
eA(t−s) f (x(s))ds.
0
Assim, segue que
t
At
x(t) = e x(0) +
A(t−s)
e
t
Π− f (x(s))ds +
0
At
t
= e x(0) +
0
A(t−s)
e
∞
Π− f (x(s))ds +
0
A(t−s)
e
t
e−As) Π+ f (x(s))ds] +
0
t
Π+ f (x(s))ds +
0
∞
= eA t [x(0) +
eA(t−s) Π+ f (x(s))ds
eA(t−s) Π− f (x(s))ds +
∞ t
eA(t−s) Π+ f (x(s))ds eA(t−s) Π+ f (x(s))ds.
∞
0
A convergˆencia absoluta das integrais acima, segue do argumento abaixo. Garantimos, que as duas u ´ ltimas integrais d˜ao fun¸co˜es limitadas de t, t
| t
A(t−s)
e
| ≤ | ≤ t
eA(t−s) Π− f (x(s)) ds
Π− f (x(s))ds
0
∀ ≥ 0. De fato,
||
0
|
t
K
e−α(t−s) f (x(s)) ds.
|
0
|
Como, f ´e cont´ınua em Cn ela leva conjuntos limitados em conjuntos limitados de forma, sup f (x(s)) < . s∈[0,∞)
|
Cn. Dessa
| ∞
Logo,
| t
0
| ≤ K e α
eA(t−s) Π− f (x(s))ds
−αt
[eαt
− 1]
|
sup f (x(s)) s∈[0,∞)
| ≤ K α
|
|
sup f (x(s)) . s∈[0,∞)
∞
Sendo, x(t) limitada, para t 0, temos que eAt [x(0)+ 0 f (x(s))ds] ´e limitada para t 0. ∞ O que implica, que x(0) + 0 f (x(s))ds Cn− . Suponha agora, que x(t) ´e solu¸ca˜o da equa¸ca˜o integral, cont´ınua e limitada para t 0. Uma an´alise direta na equa¸ca˜o integral mostra que x(t) ´e solu¸ca˜o de (P).
≥
Exerc´ıcio 4.4.1 Mostre que se c
∈
∈C
n +,
c = 0, ent˜ao eAtc
| | → ∞, quando t → ∞.
≥
≥
Sugest˜ao. Π+ c = c = 0, t
≥0 |c| ≤ |e
A(−t) At
ent˜ao
−γt
|e c| ≥ K 1 |c|e At
4.4.2
At
| ≤ Ke |e c|,
e c
γt
, t
≥ 0.
Desigualdade Integral
≥ 0 e u(t) solu¸ca˜o n˜ao negativa cont´ınua e limitada para
Lema 4.4.2 Sejam α, γ > 0, K,L,M t 0 satisfazendo
≥
u(t)
≤ Ke def
Suponha, que β =
−αt
t
+L
−α(t−s)
e
∞
u(s)ds + M
0
eγ (t−s) u(s)ds.
(4.1)
t
L M + < 1. Ent˜ao, α γ u(t)
≤ 1 −1 β Ke
L )t −(α− 1− β
Se u(t) ´e solu¸ca˜o n˜ao negativa e limitada para t u(t)
≤ Ke
αt
0
+L
α(t−s)
e
≤ 0 de
u(t)
t
u(s)ds + M
e−γ (t−s) u(s)ds,
(4.2)
∞
t
ent˜ao
≥ 0.
, t
≤ 1 −1 β Ke
L (α− 1− )t β
, t
≤ 0.
Demonstra¸ c˜ ao.
→ 0, quando t → ∞. Seja δ > 0, tal que u(t) ≤ , onde β < θ < 1, θ
Analisamos, somente (4.1). Mostremos primeiramente, que u(t) δ = limsup u(t). Suponha, que δ > 0. Ent˜ao, existe t1 t→∞
para t
≥t . 1
u(t) δ θ
δ t1
Assim, para t u(t)
≥ t , temos
t
1
≤
−αt
Ke
t
+L
e
0
t1
≤ ≤
−α(t−s)
∞
u(s)ds + M
t
eγ (t−s) u(s)ds
t M δ −αt −α(t−s) +L +L Ke e u(s)ds + e−α(t−s) u(s)ds γ θ 0 t1 t1 L M δ Ke−αt + L e−α(t−s) u(s)ds + ( + ) , α γ θ 0
δ = lim sup u(t) t→∞
≤ β θδ < δ , o que ´e uma contradi¸ca˜o.
Logo, lim u(t) = 0. t→∞
def
Seja agora, v(t) = sup u(s). Temos, que v(t) est´a bem definida e ´e decrescente. s≥t
∈ ∞
≥
Dado t [0, ), existe t1 t, tal que v(t) = v(s) = u(t1 ), para t 0, quando t . s > t 1 . Isto, segue do fato que u(t)
→
→∞
≤s≤t
1
e v(s) < v(t1 ) se
v(t)
Dessa forma, como t1 v(t) = u(t1 )
t u(t)
t1
t
≥ t, temos ≤ ≤
−αt1
Ke
t1
+L
−α(t1 −s)
e
∞
u(s)ds + M
0
t
Ke−αt1 + L ∞
+M
e−α(t1 −s) v(s)ds + L
0
eγ (t1 −s) u(s)ds
t1 t1
e−α(t1 −s) v(s)ds
t
eγ (t1 −s) v(s)ds
t
−αt1
t
≤
Ke
≤
Ke−αt + L
+L
0 t
e−α(t1 −s) v(s)ds + (
e−α(t1 −s) v(s)ds + βv(t).
0
Assim sendo, (1
L M + )v(t) α γ
− β )v(t) ≤ Ke
−αt
t
+L
Portanto, u(t)
e−α(t1 −s) v(s)ds.
0
Pela desigualdade de Gronwall, segue que v(t)
≤ 1 K − β e
−αt
≤ v(t) ≤ 1 K − β e
e
t
L
0 1−β ds
L )t −(α− 1− β
.
, t
≥ 0.
∞ → [0, ∞) uma fun¸ca˜o cont´ınua, crescente, tal que η(0) = 0. L { → C : f (0) = 0, |f (x) − f (y)| ≤ η(σ)|x − y|, ∀ x, y tal que |x|, |y| ≤ σ}. Exerc´ıcio 4.4.2 Seja f : C → C de classe C , tal que f (0) = 0, f (0) = 0. Mostre, que existe η, tal que f ∈ Lip(η). Teorema 4.4.1 Seja f ∈ L ip(η). Suponha, que A ´e matriz complexa n × n, tal que A n˜ao Seja, η : [0, ) Definimos, ip(η) = f : Cn
n
n
n
tenha autovalores com parte real zero.
1
′
Considere, Cn+ e Cn− definidos como anteriormente, Π+ e Π− as proje¸co˜es correspondentes. Supomos K > 1, α > 0, tais que At
|e |e
Π+ x0 At Π− x0
| ≤ | ≤
Ke α t Π+ x0 , t 0 Ke −α t Π− x0 , t 0.
|
| ≤ | | ≥
Ent˜ao, existe δ > 0 e conjunto S ,
{
|
S = S δ = x0 : Π− x0
δ | ≤ 2K e |x(t, x )| ≤ δ, t ≥ 0}, 0
onde x(t, x0 ) ´e a solu¸ca˜o do PVI
x˙ = Ax + f (x) x(0) = x0 .
(4.3)
(P )
δ Al´em disso, S ´e homeomorfo (sendo Π − S o homeomorfismo) a uma bola de raio de Cn− , 2K Π x + 0, quando x 0, x S ) e existem constantes M , γ > 0 S ´e tangente a Cn− (isto ´e, Π− x tais que x(t, x0 ) Me−γt x0 , x0 S, t 0.
| |
|→ |
|
→
|≤
∈
| | ∈
≥
Vale resultado semelhante para Variedade Inst´avel.
Cn+ S x0
Π+ x0
Cn−
Π− x0
Demonstra¸ c˜ ao.
| |≤
Seja L tal que Π± L. Procuramos, solu¸co˜es limitadas para t Segue, do lema (4.4.1) que existe x− Cn , tal que
∈
t
At
x(t) = e x− +
≥ 0.
t
A(t−s)
e
Π− f (x(s))ds +
eA(t−s) Π+ f (x(s))ds.
∞
0
≥
Procuramos, solu¸co˜es pequenas x(t), t 0, da equa¸ca˜o integral acima. Para cada x− Cn , seja = x o operador definido por
∈
T T
def At
(T x)(t) = e
t
x− +
−
A(t−s)
e
t
Π− f (x(s))ds +
eA(t−s) Π+ f (x(s))ds.
∞
0
Considere, B δ a bola fechada de raio δ > 0 no espa¸co de Banach n
BC ([0, ∞), C ) = {ϕ : [0, ∞) → R
n
}
: ϕ ´e cont´ınua e limitada ,
com a norma do sup. Mostremos, que para δ suficientemente pequeno, que −αt
−αt
|(T x)(t)| ≤ Ke |x | + KLδη(δ )e ≤ K |x | + α2 KLδη(δ ). −
T deixa B
t
δ
· ∈ B , temos
invariante. Se x( )
αs
αt
e ds + KLδη(δ )e
0
∞
δ
e−αs ds
t
−
2 1 δ Seja, δ suficientemente pequeno, tal que KLη(δ ) < e, considere, x− , tal que K x− 2 2 α δ (,isto ´e, x− ). 2K Desse modo temos, ( x)(t) < δ , t 0 e assim deixa invariante B δ , pois a fun¸c˜ao ( x)(t) ´e obviamente cont´ınua para t 0. t Estimativas semelhantes, mostram que se x, y B δ , ent˜ao
| |≤
| |≤
| T
→ T
|
∀ ≥ ≥
T
∈
|(T x)(t) − (T y)(t)| ≤ α2 KLη(δ ) sup |x(t) − y(t)| t≥0
e, portanto,
T ´e uma contra¸ca˜o uniforme relativamente a x ∈ B
δ
−
2K
.
Logo, existe um ´unico ponto fixo em B δ , que indicaremos por x∗ (t) = x∗x (t), Considere, o valor inicial x∗ (0), que ´e dado por −
def
g(x−) = x−
−
∞
0
α ∀ |x | ≤ 2K . −
e−As Π+ f (x∗x (s))ds. −
n n C C Temos, que Π− g(x− ) = x− , g : B δ . K 2 Seja := g(B δ ). Segue, que g ´e bijetiva. 2K Dessa forma, g ´e um homeomorfismo. Observamos, que se f ´e 1 , ent˜ao g ´e um difeomorfismo. δ Mostremos, que = S . Se x0 S , temos que x(t, x0 ) . δ e Π− x0 2K Procedendo, como na demonstra¸ca˜o do lema (4.4.1), obtemos que
⊂ →
S
C
S
At
x(t, x0 ) = e [x0 +
∈
∞
−As
e
|
t
Π+ f (x(s))ds] +
0
A(t−s)
e
|≤
|
|≤
t
Π− f (x(s))ds +
eA(t−s) Π+ f (x(s))ds.
∞
0
∞
Pela demonstra¸ca˜o do lema 4.4.1, segue tamb´em que x0 + 0 e−AsΠ+ f (x(s))ds Cn−. Indiquemos, por x− esse valor. δ δ Assim, x− = Π− x0 . Como, para cada x− , com x− , existe uma u ´ nica 2K 2K solu¸ca˜ o da equa¸ca˜o integral de norma menor ou igual δ , segue que x(t, x0 ) = x∗x (t) e ∞ −As g(x− ) = x− e Π+ f (x(s))ds = x0 . 0 Logo, x0 g(B δ ) = . 2K Reciprocamente, se x0 , ent˜ao existe x− B δ , tal que g(x− ) = x0 . Como, foi verificado 2K anteriormente, 2 x∗x (t) = ( x∗ )x (t) K x− + KLδη(δ ) < δ α ∗ e xx (0) = x0 . Dessa forma, x0 S . O que implica que, = S .
| | |
|≤
−
∈
| |≤
−
∈
S ∈ S
|
−
| | T
∈
−
|≤ | |
−
∈
S
O Teorema de Ponto fixo de Banach-Cacciopoli, mostra que x− cont´ nt´ınua ınua.. Tem Temos os x∗x ( ) ´e co ∗ tamb´ ta mb´em em qu quee x0 (t) = 0. Nosso pr´oximo oximo ob objetivo, jetivo, ´e provar que as a s solu¸ so lu¸c˜ coes o˜es que come¸cam cam em S decaem exponencialmente. ∞ −As Seja x0 S , is isto to ´e, e, x0 = g (x− ) = x− ))ds Como, o, vimos acima acima,, temos e f f ((x∗x (s)) ds.. Com 0 ∗ que x(t, x0 ) = xx (t). Estimativas semelhantes `as as efetuadas anteriormente, mostram que
→
∈
−
−
−αt
−αt
|x(t, x )| ≤ K e |x | + K Lη Lη((δ )e 0
−
−
·
−
t
t
αs
e
0
αT
|x(s, x )|ds + KLη KLη((δ )e 0
e−αs x(s, x0 ) ds.
0
|
|
1 Sendo, β = α2 KLη( KLη (δ ) < , para δ suficientemente pequeno, temos do lema (4.4.2) que 2
|x(t, x )| ≤ 1 − 0
K e 2 ( ) KLη( KLη δ α
− α−
≥
KLη (δ)
2 KLη (δ) 1− α
t
|x | −
para t 0. J´a que, Π− x0 = Π− g (x−) = x− e, como, Π− L, temos que x− L x0 . 2 1 KLη((δ ) KLη α Para δ suficientemente pequeno, tem-se . Uma v vez ez que que, , ( ) < KLη KLη( δ < 2 2 α 1 α2 K Lη Lη((δ ) temos, α α 2Ke − 2 t x− 2KLe − 2 t x0 , t 0, (+) x(t, x0 )
|
| |≤ − | |≤
|≤
o que prova o decaimento exponencial. Verifiquemos agora, que S ´e ta tang ngente ente a −
−
(+)
∗
|
−α s 2
| | ≥
Cn−, pela origem ∞
| g (x ) − x | =
| |≤ | |
0
))ds e−As Π+ f f ((x∗x (s)) ds .
|
−
|x |, temos que Como, |x (s)| = |x(s, x )| ≤ 2KLe (2K |g(x ) − x | ≤ K Lη Lη(2 K |x |) e |x (s)|ds ≤ K Lη |x |ds (2K )2K Lη(2 K |x |)2 K e e (2K )2K Lη(2 K |x |)2 K |x | ≤ K Lη . 0
−
∞
−
−
−
0
−
−αs
∞
∗
s −αs − α 2
−
0
−
−
3 α 2
| | ≤ L|x | e |x | = |g(x )| = |x + g(x ) − x | ≤ |x |(1 + g(x x) − x Assim, x → 0 ⇔ x → 0. Contudo, x = x + g (x ) − x e, portan portanto, to, Π x g (x ) − x = |Π x | |x | → 0, quando x → 0 (ou quando x → 0). Conc Conclu lu´´ımo ımoss dess dessaa forma f orma,, a tan tangˆ gˆencia. enci a. Por outro lado, x−
0
0
−
−
−
−
−
−
−
).
−
−
0
0
−
−
−
+ 0
− 0
−
−
−
−
0
A → B
Exe rc´ıcio Exerc´ ıc io 4.4 4.4.3 .3 Mostre que se g : ´e so sobre brejet jetiva iva e h : −1 ent˜ao g ´e bi bije jeti tiva va e g h = I B , is isto to ´e, e, h = g .
◦
B → A ´e tatall qu quee h ◦ g = I , A
Observa¸ c˜ao c˜ ao 4. 4.4. 4.1 1 invariante, basta considerar i) Se quisermos tomar uma variedade invariante,
{
S = x(t, x0 ), t S
≥: x ∈ S }. 0
Paraa o caso da varieda variedade de inst´ avel a demonstra¸c˜ avel cao a˜o ´e an anal alog oga. a. ii) Par ii) cont´ nt´ınua, ınu a, co com m f 0. Se todos os Cor ol´ario Corol´ ari o 4.4 4.4.1 .1 Seja f : Cn f ((x) = o( x ), quando x Cn co autovalores de A tˆem em parte real negativa, ent˜ao ao a solu¸c˜ cao a˜o x 0 de x˙ = Ax + f U.A.S. .S. Se f ((x) ´e U.A pelo menos um autovalor de A tiver parte real positiva, ent˜ao ao a solu¸c˜ cao a˜o x 0 ´e inst´ave vell.
→
|| ≡
→
≡
cao a˜o que tende a zero, Demonstra¸ c˜ ao. No caso de instabilidade, basta observar que existe solu¸c˜ quando t .
→ −∞
• Analizar o exemplo de C. Olech (pag. 117 do livro de J. Hale). 4.5 4.5. 4. 5.1 1
Estabilidade: Estabil idade: M´ etodo Direto etodo Direto de Liapuno Liapunov v Intr In trod odu¸ u¸ c˜ ao
A id´eia eia que est´a por traz do Teorema de estabilidade de Liapunov est´a relacionada a um Teorema enunciado por Lagrange (1936-1813) em 1788 (Mawhin). “Num sistema conserv conservativo ativo se um ponto de equil equil´´ıbrio ´e um m´ınimo isolado da energia potencial ent˜ao ao ele ´e est est´´avel”. avel”. Esse resultado foi provado por Dirichlet (1805-1859) em 1846. Baseado nas id´eias eias de Dirichlet, Liapunov (1857-1918) estabeleceu o Teorema de Estabilidade. Liapunov tamb´em em provou o seguinte segui nte resultado resulta do de Instabilida Inst abilidade. de. “Num sistema conservativo, se um ponto de equ equil il´´ıbrio for um m´ aximo da energia potencial, ”. ent˜ ao ele ´e inst inst´ ´ avel ”. Mais tarde em 1934, Cetaev provou provou que “num “ num sistema s istema conservativo, se um ponto de d e equil´ equil´ıbrio n˜ ao ´e m´ınimo ınim o da energia potenc potencial ial,, ent˜ ao ele ´e inst inst´ ´ avel ”. ”. Considere, o exemplo endulo x ¨+ x¨ + g (x) = 0 (pˆendulo def
Energia total= T T ((x˙ ) + U (x) = 12 x˙ 2 +
4.5.2
x 0
g sin x = 0) L
g (s)ds.
M´ etodo Direto de Liapuno etodo Liapunov v
Sejam Ω um aberto de
Rn, V : Ω → R e, considere, que 0 ∈ Ω.
Defini¸c˜ c˜ao 4.5 .5.1 .1 Dizemos que a aplica¸c˜ cao a˜o V ´e definida pos positiva itiva em Ω, se V ´e co cont´ nt´ınua ınua em Ω, (0) = 0 e V V (0) V V ((x) > 0, x = 0, x Ω.
∈
cao a˜o V positiva tiva em Exemplo 4.5.1 A aplica¸c˜ V ((x1 , x2 ) = x21 + x22 , ´e definida posi
R2 .
cao a˜o V ´e definida negativ negativaa em Ω, se Defini¸c˜ c˜ao 4.5 .5.2 .2 Dizemos, que a aplica¸c˜ positiva em Ω.
−V for definida
Seja f : Ω cao a˜o de classe 1 em Ω. Con Consid sider ere, e, o sistema sistema x˙ = f f ((x) e, indique, Rn uma fun¸c˜ por x(t, x0 ) a solu¸c˜ cao a˜o que para t = 0 vale x0 . Seja V : Ω R de classe 1 .
→ →
C
C
Defini¸c˜ c˜ao 4.5 .5.3 .3 Definimos a derivada de V V ,, ao longo da solu¸c˜ao x(t, x0 ), para t = 0, como sendo ˙ = d V V V ((x(t, x0 )) t=0 , x0 Ω. dt
Pela regra da cadeia, segue que
∈
˙ (x0 ) = gradV gradV ((x0 ) f V V ( f ((x0 ).
·
Exemplo 4.5.2
x˙ = y y˙ = x2
V ((x, y ) = x2 + y 2 . V
˙ (x0 , y0 ) = grad V V V ( V ((x0 , y0 ) f ( f (x0 , y0 ) y = (2 (2x 2y0 x20 . x0 , 2y0 ) 20 = 2x0 y0 + 2y x0
·
˙ (x, y ) = 2xx˙ + 2y 2y y˙ = 2xy + 2yx 2yx 2. V V ( ˙ (x0 , y0 ) = 2x0 y0 + 2y 2y0 x20 . V ( V
4.5.3 4.5 .3
Teo eorem rema a de Estabil Estabilida idade de e Est Estabi abilid lidad ade e Ass Assin int´ t´ otica otic a de Li Liaapunov
Teorema 4.5.1 Seja f : Ω x˙ = f f ((x).
n
→R
de classe
1
n
C , onde Ω ´e um aberto de R
i) Se V for definida positiva e de classe de x˙ = f f ((x).
e 0
∈ Ω.
Consid Con sidere ere,, o sistema sistema
C , com V ˙ ≤ 0 em Ω, ent˜ao ao x ≡ 0 ´e so solu lu¸c˜ c¸ao a˜o est´avel avel 1
˙ for definida negativa em Ω, ent˜ao ao x i) Se V for definida positiva, de classe 1 e V solu¸c˜ cao a˜o assintoticamente est´avel avel de x˙ = f f ((x).
C
≡ 0 ´e
Demonstra¸ c˜ ao. i) Sejam ǫ > 0, tal que Bǫ (0)
def
⊂ Ω e µ = µ(ǫ) = min V V ((x) > 0. |x|=ǫ
| |
Como, V ´e cont´ınu nuaa em x = 0, existe δ > 0, δ < ǫ, ao V ǫ , tal que se x0 < δ , ent˜ao V ((x0 ) < µ. Assim,
˙ (x(t, x0 )) = ( d V ( V V ( V (x(s, x0 )))s=t ds
≤ 0, ∀ t ∈ [0[0,, w
onde [0, [0, w+) ´e o interval intervaloo maxi maximal mal de exis existˆ tˆencia encia `a direita.
+ ),
˙ V
µ
Dessa forma, segue que a fun¸ca˜o t V (x(t, x0 )) V (x0 ) < µ, t [0, w+).
≤
Assim sendo, V (x(t, 0))
∈
ǫ
∈ [0, w ) → V (x(t, x )) ´e decrescente e, portanto, +
0
≤ V (0) = 0.
Logo, x(t, 0) = 0, t R.. Se para algum t˜, x(t˜, x0 ) tocasse na esfera x = ǫ, ter´ıamos V (x(t˜, x0 )) contraria o fato que V (x(t, x0 )) ´e decrescente.
∀ ∈
|
|
Portanto, x(t, x0 ) < ǫ, t 0.
∀ ≥
||
∀ t ∈ [0, w
+ ),
≥ µ, o que
∞ e |x(t, x )| < ǫ,
o que implica que w+ = +
0
≡ 0. ii) Sejam ǫ e δ dados como em i). Logo, |x | < δ ⇒ |x(t, x )| < ǫ, ∀ t ≥ 0. Provemos primeiramente, que V (x(t, x )) → 0, t → ∞ e, depois, que x(t, x ) → 0, t → ∞. ˙ Como, V (x(t, ao, V (x(t, x )) → x )) ≤ 0, temos que V (x(t, x )) ´e decrescente em t. Ent˜ l ≥ 0. Suponha, que l > 0. Considere, o compacto A = {x : |x| ≤ ǫ e V (x) ≥ l}. Temos, ent˜ao que x(t, x ) ∈ A, ∀ t ≥ 0. ˙ ˙ Seja 0 < η = min{−V (x), x ∈ A}. Logo −V (x(t, x )) ≥ η, ∀ t ≥ 0. Da´ı integrando, temos V (x(t, x )) − V (x ) ≤ −ηt, ∀ t ≥ 0. Como V ´e definida positiva, temos assim, uma contradi¸ca˜o. Logo, l = 0 e V (x(t, x )) → 0, t → ∞. Mostremos agora, que x(t, x ) → 0. Suponha, que n˜ao. Dessa forma, existe uma sequˆencia (t ), t → ∞, tal que |x(t , x )| ≥ ρ > 0, ∀ m. J´a que, A ´e compacto, pode-se encontrar uma subsequˆencia (τ ), tal que x(τ , x ) → y, com y > 0. Dessa forma, V (x(τ , x )) → V (y) > 0 o que ´e uma contradi¸ca˜o. Provamos assim, que x ≡ 0 ´e A.S. Conclu´ımos assim, a estabilidade de x
0
0
0
0
0
0
0
0
def
0
0
0
0
0
m
m
m
0
m
m
m
0
0
Exemplo 4.5.3 1)
x˙ = y y˙ = x
V (x, y) = 12 (x2 + y 2 )
−
˙ = xx+y ˙ V ´e definida positiva V y˙ = xy yx = 0. Assim sendo, o equil´ıbrio (0, 0) ´e est´avel.
−
2)
− − −
x˙ = y x y˙ = x y
V (x, y) = 12 (x2 + y 2)
˙ = xx˙ + y y˙ = x(y V ´e definida positiva V ˙ ´e definida negativa. que, V
2
− x) + y(−x − y) = −(x
+ y 2). O que implica
Portanto, o equil´ıbrio (0, 0) ´e assintoticamente est´avel.
Lema 4.5.1 Se V (x) = V p (x) + W (x) ´e de classe 1 , com W (x) = o( x p ), quando x 0, onde V p (x) ´e um polinˆomio homogˆeneo de grau p, definido positivo numa vizinhan¸ca suficientemente pequena de x = 0, ent˜ao V (x) ´e definida positiva, numa vizinhan¸ca suficientemente pequena de x = 0.
C
||
→
Demonstra¸ c˜ ao. Seja k = min V p (x). Note que, |x|=1
n
∀ x ∈ R , x = 0, | | |xx| ) = |x| V ( |xx| ≥ k|x| . p
V p (x) = V p ( x Logo, V p (x)
p
p
p
n
≥ k|x| , ∀ x ∈ R . Numa vizinhan¸ca suficientemente pequena de x = 0, temos
V (x) = V p (x) + W (x)
p
≥ k|x|
+ W (x) = x p [k +
||
W (x) ] x p
p
| | ≥ |x|
k , 2
o que implica que V ´e definida positiva.
Lema 4.5.2 Se V p (x) ´e um polinomio homogˆeneo de grau impar, ent˜ ao V P (x) n˜ao ´e definida positiva. Demonstra¸ c˜ ao. V (t, , t) = t p V (1, 1, positiva. Se V (1, , 1) = 0, ent˜ao V (t,
··· ···
Exemplo 4.5.4
onde f 1 , f 2 : R2 (x, y) (0, 0).
→
··· , 1). Se V (1, ··· , 1) = 0, ent˜ao V n˜ao ´e definida ··· , t) troca de sinal em t = 0.
− − − → R s˜ao fun¸co˜es de classe C , com f (x, y) = o(|x| + |y|), x˙ = y x + f 1 (x, y) y˙ = x y + f 2 (x, y), 1
Seja V (x, y) =
i
i = 1, 2, quando
1 2 (x + y 2 ). 2
˙ = xx˙ + y y˙ = x(y x + f 1 (x, y)) + y( x V = x2 y 2 + xf 1 (x, y) + yf 2 (x, y).
− −
−
− − y + f (x, y)) 2
˙ Como xf 1 (x, y)+ yf 2(x, y) ´e o( x + y )2 segue do Lema 4.5.1 que V (x, y) ´e definida negativa em alguma vizinhan¸ca suficientemente pequena de (0, 0). Pelo Teorema da Estabilidade Assint´otica de Liapunov, segue que a solu¸ca˜o (x, y) = (0, 0) ´e assintoticamente est´avel.
|| ||
Observa¸ c˜ao 4.5.1 Posteriormente, veremos uma situa¸c˜ao mais geral do que o exemplo acima. Lema 4.5.3 (Crit´ erio de Sylvester) Seja A uma matriz real n n
′
forma quadr´atica x Ax =
× n, sim´etrica.
Ent˜a o, a
aij xi x j ´e definida positiva se, e somente se, a matriz
i,j=1
a11 a12 a12 a22 a13 a23 .. .. . . a1n a2n
a13 a23 a33 .. .
··· ··· ···
a1n a25 a35 .. .
a3n
···
ann
...
tem subdeterminates principais positivos.
˙ = (0, 0) ´e assintoticamente est´avel para x ¨ +x+x ˙ = Exerc´ıcio 4.5.1 Mostrar que a origem (x, x) 1 2 2 0. Tentar primeiro o funcional V (x, y) = 2 (x + y ). Tentar a seguir a justar o funcional W (x, y) = x2 + axy + by2 , com valores convenientes de a e b.
Lema 4.5.4 (Liapunov) Seja A uma matriz n n real. Ent˜ao, a equa¸ca˜o A′ B + BA = I tem uma solu¸ca˜o B sim´etrica definida positiva (,isto ´e, x′ Bx ´e definida positiva) se, e somente se, todos os autovalores de A tem parte real negativa.
×
−
Demonstra¸ c˜ ao. Tomamos, V (x) = x′ Bx e, temos, ˙ = x˙ ′ Bx + x′ B x˙ = x′ (A′ B + BA)x V (x) = x′ x = x 2 ,
−
−| |
′
onde x = representa o vetor transposto de x. ˙ definida negativa. O que implica que Note que, a aplica¸ca˜o V ´e definida positiva e que V x˙ = Ax ´e A.S e segue que todo autovalor de A deve ter parte real negativa. Reciprocamente, d A t At (e e ) = A′ eA teAt + eA teAt A. dt Como, eAt ke−αt , t 0, k,α > 0, temos que o integrando ′
| |≤
≥
∞
0
def
onde B =
⇒
x0 = 0
′
−
| 0
=
0
′
∞
′
eA t eAt dtA
0
est´a bem definida e ´e definida positiva, pois ∞
=
′
∞ d A t At ′ (e e )dt = A eA teAt dt + dt 0 ′ I = A B + BA,
∞ A′ t At e e dt, 0
x′0 Bx 0
′
∞
(eAt x0 )′ (eAtx0 )dt eAt x0 2 dt > 0.
|
Observa¸ c˜ao 4.5.2 O mesmo resultado vale colocando C em lugar de I (ver Hale , pag. 315), com C definida positiva.
×
Teorema 4.5.2 Seja A uma matriz real n n, tal que Re σ(A) < 0. Considere, n n 1 R R uma fun¸ca˜o de classe , tal que 0 Ω, f (0) = 0, f x(0) = 0. Ent˜ao, a f : Ω solu¸ca˜o x = 0 de x˙ = Ax + f (x) ´e U.A.S (P ).
⊂
→
C
∈
Demonstra¸ c˜ ao. Do lema (4.5.4), segue que existe B definida positiva, tal que A′ B + BA = Seja V (x) = x′ Bx, que ´e definida positiva, temos
−I .
˙ = [Ax + f (x)]′ Bx + x′ B[Ax + f (x)] V (x) = x′ [A′ B + BA]x + f (x)′ Bx + x′ Bf (x) = x 2 + f (x)′ Bx + x′ Bf (x), f (x)′ Bx + x′ Bf (x) = 2f (x)′ Bx = o( x 2 ).
−| |
||
˙ ´e definida negativa em alguma vizinhan¸ca suficienteAssim, do lema (4.5.1), segue que V mente pequena da origem.
Exemplo 4.5.5 1) x ¨ + g(x) = 0 ´e equivalente a
x˙ = y y˙ = g(x).
−
x y2 + H (x, y) = g(s)ds = T (y) + U (x), 2 0 onde T ´e a energia cin´etica do sistema e U ´e a energia potencial do sistema.
∂H ∂y ∂H = . ∂x
x˙ = y˙
−
Suponha, que U (x) tenha um m´ınimo isolado em x = 0. Tomando a fun¸ca˜o H (x, y), segue que H ´e definida positiva ˙ (x, y) = y y˙ + g(x)x˙ = H
−yg(x) + g(x)y = 0.
Assim, (0, 0) ´e est´avel.
Observa¸ c˜ao 4.5.3 Esse resultado pode ser estendido a sistemas Hamiltonianos, com n graus de liberdade.
x
2) x ¨ + x˙ + g(x) = 0, onde U (x) = y2 + H (x, y) = 2
x
0
g(s)ds, com g
0
∈C
1
g(s)ds. ´e definida positiva
x˙ = y y˙ = y
− − g(x).
e xg(x) > 0, x = 0.
˙ (x, y) = y y˙ + g(x)x˙ = y( y H = y2.
− − g(x)) + g(x)y
−
˙ n˜ao ´e definida negativa. Logo, H Claramente, (x, x) ˙ = (0, 0) ´e assintoticamente est´avel. Tentemos, ent˜ao uma fun¸ca˜o do tipo y2 + V (x, y) = 2
| | ≤ 12 (a
2
Como, ab
β g(x)2 x 2 0 g(s)ds
g(s)ds + βg(x)y, β > 0.
0
y2 + 2 y2 (1 2
≥ ≥
V (x, y)
−
x
+ b2 ), obtemos que para x = 0
V (x, y)
Sendo, 1
L′ Hospital
−→
1
x
− β 2 [g(x)
g(s)ds
0
2
+ y 2]
x
− β ) +
g(s)ds[1
0
−
β g(x)2 ]. x 2 0 g(s)ds
′
− βg (0), x → 0.
Se 1 β > 0, 1 βg ′ (0) > 0, podemos escolher uma vizinhan¸ca suficientemente pequena de (x, y) = (0, 0) de modo que V seja definida positiva.
−
−
˙ V (x, y) = y y˙ + g(x)y + βg ′(x)y 2 + βg(x)y˙ = y( y g(x)) + g(x)y + βg ′(x)y 2 + βg(x)( y = y 2 (1 βg ′ (x)) βg(x)y βg(x)2 = [y 2 (1 βg ′(x)) + βg(x)y + βg(x)2].
− − − − − −
−
− − g(x))
−
Assim, ˙ −V (x, y) Note que, βg(x)y ≥ − (g(x) β 2
2
= y 2 (1
′
2
− βg (x)) + βg(x)y + βg(x) .
+ y 2).
Logo,
˙ −V (x, y) ≥
y 2(1
− βg (x) − β 2 ) + β 2 g(x) . ′
2
− βg (x) − β 2 → 1 − βg (0) − β 2 , x → 0. β Al´em das hip´oteses acima, 1 − β > 0, 1 − βg (0) > 0 suponha, que 1 − βg (0) − > 0 2 ˙ e, teremos, ent˜ao que −V (x, y) ser´a definida positiva numa vizinhan¸ca suficientemente 1
′
′
′
pequena de (x, y) = (0, 0). Dessa forma, (0, 0) ´e A. S.
′
4.6
Instabilidade
4.6.1
Primeiro Teorema de Instabilidade de Liapunov
Teorema 4.6.1 Seja 0 Ω um aberto de Rn , f : Ω Rn de classe 1 , f (0) = 0. Suponha, ˙ ´e cont´ınua, definida positiva, V (0) = 0 e que assume valores positivos em pontos arbique V trariamente pr´oximos de 0. Ent˜ao, a origem ´e inst´avel.
∈
→
C
Demonstra¸ c˜ ao.
⊂
∈
Seja ǫ > 0, tal que Bǫ (0) Ω. Sejam 0 < δ < ǫ e a Bδ (0), tais que V (a) > 0 e a = 0. Afirmo, que x(t, a) escapa de Bǫ (0). Suponha, que n˜ao. Ent˜ao, x(t, a) est´a definida para t 0 e x(t, a) ǫ, t 0. ˙ ´e definida positiva, conclu´ımos que V (x(t, a)) ´e estritamente crescente em t. Como, V Assim, V (x(t, a)) V (a) > 0, t 0. Considere, o conjunto K = x Bǫ (0) : V (a) V (x) . Note que, K ´e compacto, x(t, a) K , t 0 e 0 / K , (V (0) = 0) def ˙ ˙ ´e cont´ınua em K e 0 / K . Seja µ = min V (x) : x K , µ > 0, pois V ˙ Logo, V (x(t, a)) µ. Assim, integrando V (x(t, a)) V (a) µt, obtemos que , quando t , o que contraria o fato que V ´e limitada em K . V (x(t, a))
≥
≥
∈
∀ ≥ ∈ { ∈ } ≥ →∞ →∞
Exemplo 4.6.1
∀ ≥ { ∈
≤
|
|≤ ∀ ≥
}
−
∈
≥
x˙ = βx + f (x, y) y˙ = γy + g(x, y), β, γ > 0,
−
onde f, g s˜ a o de classe 1 , numa vizinhan¸c a Ω de (0, 0) e f, g = o( x2 + y 2 ), quando (x, y) (0, 0). Tomando, V (x, y) = x2 y 2 , segue que
C
→
−
˙ = 2x(βx + f (x, y)) 2y( γy + g(x, y)) V = 2βx 2 + 2γy 2 + 2xf (x, y) 2yg(x, y).
− −
−
Sendo, 2xf (x, y) 2yg(x, y) = o(x2 + y 2 ). ˙ ´e definida positiva em alguma vizinhan¸ca suficientemente Do lema (4.5.1), segue que V pequena de (0, 0). Uma vez que, V (x, 0) = x2 assume valores positivos para pontos x arbitrariamente pr´oximos de (0, 0), ent˜ao (0, 0) ´e inst´avel.
−
Exemplo 4.6.2 x¨ + g(x) = 0, onde g ´e 1 , xg(x) < 0, x = 0. Seja U (x) = potencial). x = 0 ´e ponto de m´aximo da energia potencial. Tomemos, V (x, y) = xy. J´a que,
C
x 0
g(s)ds (energia
x˙ = y y˙ = g(x).
−
˙ ˙ ´e definida positiva. ObserTem-se V (x, y) = y 2 + x( g(x)) = y 2 xg(x). Dessa forma, V vando que V (0, 0) = 0 e V (x, y) = xy assumem valores positivos arbitrariamente pr´oximos de (x, y) = (0, 0), segue do Primeiro teorema de Liapunov que (0 , 0) ´e inst´avel.
−
−
Observa¸ c˜ao 4.6.1 Esse resultado pode ser estendido a sistemas Hamiltonianos com n graus de liberdade da forma
∂H ∂p ∂H p˙ = . ∂q q ˙ =
4.6.2
−
Segundo Teorema de Instabilidade de Liapunov n
1
n
1
∈ Ω um aberto de R , f ∈ C (Ω, R ), U ∈ C (Ω, R), tais que
Teorema 4.6.2 Sejam 0
i) V assume valores positivos arbitrariamente pr´oximo de 0; ˙ = λV + U , onde λ > 0 ´e uma constantes e U (x) ii) V
≥ 0 em Ω. Ent˜ao, x ≡ 0 ´e inst´avel.
Demonstra¸ c˜ ao.
⊂ ∀ ≥
∈
Seja ǫ > 0, tal que Bǫ (0) Ω. Sejam 0 < δ < ǫ e a Bδ (0), tais que V (a) > 0. Afirmamos, que x(t, a) escapa de Bǫ (0). Suponha, que n˜a o. Ent˜ ao, x(t, a) est´a definida para t 0 e x(t, a) Bǫ (0), t 0. Assim sendo,
≥
∈
˙ V (x(t, a)) = λV (x(t, a)) + U (x(t, a)) ˙ V (x(t, a)) λV (x(t, a)) = U (x(t, a))
−
multiplicando por e−λt , temos ˙ e−λt V (x(t, a))
−λt
− λe
V (x(t, a)) = e−λt U (x(t, a))
d −λt e V (x(t, a)) = e−λt U (x(t, a)). dt Integrando de a at´e t, segue que −λt
e
t
V (x(t, a)) = V (a) +
e−λs U (x(s, a))ds.
0
Assim, e−λt V (x(t, a)) V (x(t, a))
≥ ≥
V (a) > 0 eλt V (a)
→ ∞ , t → ∞,
o que ´e absurdo, pois V ´e limitada em Bǫ (0).
Exemplo 4.6.3
1 onde g (Ω, R), Ω aberto de R2 , 0 Tomando, V (x, y) = x2 , obtemos
∈C
x˙ = x + xy2 y˙ = g(x, y),
∈ Ω.
˙ V (x, y) = 2xx˙ = 2x(x + xy 2 ) def
= 2x2 + 2x2 y 2 = 2V + U (x, y). Logo, (0, 0) ´e inst´avel.
Exemplo 4.6.4 Considere, um sistema da forma x˙ = Ax + f (x), onde f aberto de Rn e que f (x) = o( x ), x 0, com A uma matriz real n n. Suponha, que A tem pelo menos um autovalor com parte real positiva.
||
→
×
1
n
∈ C (Ω, R ), 0 ∈ Ω
Demonstra¸ c˜ ao. Vamos mostrar, usando o m´etodo direto de Liapunov que a origem ´e inst´avel. Utilizamos o seguinte teorema (Mawhin-Rouch´e, pag. 30). Teorema 4.6.3 Se pelo menos um autovalor de A tem parte real positiva, uma forma quadr´atica U (x), definida positiva, corresponde uma forma quadratica V (x), que assume valores positivos arbitrariamente pr´oximos de 0 e constante c > 0, tal que
·
grad V Ax = cV + U. Voltando ao sistema x˙ = Ax + f (x), considere a fun¸ca˜o V (x) e, temos, ˙ = V (x) = = =
gradV (Ax + f (x)) gradV Ax + gradV f (x) CV (x) + U (x) + gradV f (x) cV (x) + W (x),
onde pelo Lema 4.5.1 W (x) ´e definida positiva em alguam vizinhan¸ca suficientemente pequena da origem. Do segundo Teorema de Instabilidade de Liapunov segue que a origem ´e inst´avel.
4.6.3
Teorema de Instabilidade de Cetaev
1 Teorema 4.6.4 Sejam ρ > 0, f (Bρ (0), Rn ), Bρ (0) x˙ = f (x). Suponha, que exista um aberto e conexo U , tal que 0 relativa a Bρ (0)).
n
⊂ R , f (0) = 0 e, considere, o sistema ∈ ∂U , U ⊂ B (0) (∂U ´e a fronteira
∈C
ρ
U V (x) > 0 ˙ V (x) >0
ρ 0
V (x) = 0 1
∂U
∈ C (B (0), R), tal que ˙ i) V (x) > 0, V (x) > 0, x ∈ U ; Seja V
ρ
ii) V = 0 em ∂U . Ent˜ao, x = 0 ´e inst´avel. Mais precisamente, dado r > 0, r < ρ, se a x(t, a) deixa Br (0) em tempo finito.
∈ B (0) ∩ U , ent˜ao r
U K
ρ a r
0
Demonstra¸ c˜ ao.
∈
Seja δ > 0, tal que δ < r . Existe, a Bδ (0), com V (a) > 0. Considere, x(t, a) e, suponha, que x(t, a) n˜ao sai da bola Br (0). Logo, x(t, a) est´a definida, para t 0. Como, V˙ > 0 em U , temos que V (x(t, a)) ser´a crescente, enquanto x(t, a) permanecer em Br (0) U . Assim, V (x(t, a)) V (a) > 0. Sendo, V = 0 em ∂U e V (x(t, a)) V (a) > 0, segue que x(t, a) n˜ao pode cortar ∂U . Dessa forma, x(t, a) U , t 0 e, portanto, x(t, a) U Br (0), t 0. Seja K = x U Br (0) : V (x) V (a) > 0 . Obtemos, que K ´e compacto. De fato, seja xn K , n N. J´a que, xn r, existe subsequˆencia que ainda indicamos por (xn ), tal que xn x Br (0). Dessa forma, V (xn ) V (x), o que implica que V (x) V (a) > 0. ¯ρ (0) e, Por outro lado, x / ∂U , pois V = 0 em ∂U . Logo, x U . Assim, K ´e fechado em B portanto, ´e compacto. ˙ ˙ ´e cont´ınua e K ´e compacto, temos que µ > 0. Seja µ = min V (x). Como, V˙ > 0, V
≥
∩
≥ ∈ ∀ ≥ { ∈ ∩ ≥ ∈ ∈ | |≤ → ∈ → ∈
≥
}
∈ ∩
∀ ≥ ≥
∈
x∈K
˙ ∈ K , t ≥ 0. Dessa forma, V (x(t, a)) ≥ µ > 0 e, integrando, de 0 at´e t, V (x(t, a)) ≥ V (a) + µt. Fazendo, t → ∞, segue que V (x(t, a)) → ∞, o que ´e contradi¸ca˜o, pois V ´e cont´ınua e,
Al´em disso, x(t, a) temos
portanto, limitada em K .
Exemplo 4.6.5 (Sotomayor, pag.276) Considere, o sistema
x˙ = x + f (x, y) y˙ = g(x, y),
onde f, g s˜ao 1 numa vizinhan¸ca da origem, f = o( x + y ), g = o( x + y ), quando (x, y) (0, 0). Considere, V (x, y) = x2 y 2 . Temos,
→
C
|| ||
−
˙ = 2xx˙ V = 2x2
−
−
2y y˙ = 2x(x + f (x, y)) 2yg(x, y) f (x, y) y 1+ g(x, y) . x x2
−
Sendo,
|| || || ||
f (x, y) = ( x + y )F (x, y) g(x, y) = ( x + y )G(x, y),
|| ||
→ 0, |x| + |y| → 0. |x| + |y| )|F (x, y)| → 0, (x, y) → (0, 0). f (x, y) | Para x > 0 e |y | < x, obtemos que | =( x x x
onde F (x, y), G(x, y) Dessa forma,
| xy g(x, y)| = | xy |[ |xx| + |xy| ]|G(x, y)| → 0, (x, y) → (0, 0). ˙ Assim sendo, existe ρ > 0, tal que V (x, y) > 0 para x > 0, |y | < x, (x, y) ∈ B (0). Seja U = {(x, y) ∈ B (0) : 0 < |y | < x}. Note que, V > 0 em U , 0 ∈ ∂U . 2
ρ
ρ
y x=y U
x V (x, y) > 0 x=
−y
Do Teorema de Cetaev, segue que (0 , 0) ´e inst´avel. ˜ 1 numa vizinhan¸c a de x = 0, tal que g(x) < 0, x = 0, Exemplo 4.6.6 Seja g uma fun¸cao g(0) = 0. Considere, a equa¸c˜ ao x¨ + g(x) = 0 ou o sistema equivalente
C
x˙ = y y˙ = g(x)
−
˙ Utilizando, o funcional V (x, y) = xy, temos que ,V (x, y) = y 2 xg(x). Observe, que ˙ V (x, y) > 0 se x > 0. Seja, ρ > 0 qualquer e tomemos U = (x, y) : (x, y) < ρ : x > 0, y > 0 . Assim, V, V˙ > 0 em U , 0 ∂U . O teorema de Cetaev implica 0 inst´ avel.
−
∈
4.7 4.7.1
{
|
|
}
Invariˆ ancia e Estabilidade: Teoria de La Salle Introdu¸ c˜ ao
O teorema de estabilidade assint´otica de Liapunov d´a informa¸ca˜o local, mas n˜ao d´a estimativas para o centro de atra¸ca˜o do ponto de equil´ıbrio. Um outro ponto a se destacar ´e que para a equa¸ca˜o x¨ + x˙ + x = 0, que tem equil´ıbrio (x, x) ˙ = (0, 0) claramente assint´oticamente est´avel, se tomarmos como funcional a energia total 1 V (x, y) = (x2 +y 2 ) e considerarmos o sistema equivalente x˙ = y, y˙ = x y, temos V definida 2 ˙ positiva e V (x, y) = y 2 que n˜ao ´e definida negativa. Assim, podemos, via os teoremas de Liapunov, somente concluir estabilidade, mas n˜ ao estabilidade assint´otica de (0, 0). Essas parecem ter sido as principais motiva¸co˜es que levaram La Salle a desenvolver m´etodos que corrigissem esses pontos.
−
−−
y U
V>0
x V=0 V=0
4.7.2
Apresenta¸c˜ ao do M´etodo
1 Sejam V (Rn , R), com V (0) = 0 e l > 0. Considere, Ωl = x Tome, Ωl a componente conexa de 0 em Ω l .
n
{ ∈R
∈C
}
: V (x) < l .
Observa¸ c˜ao 4.7.1 Como, Ωl ´e aberto ser conexo ´e equivalente a ser conexo por caminhos. def 1 ˙ Sejam f (Rn , Rn ), f (0) = 0, E = x Ωl : V (x) = 0 e M o maior conjunto invariante contido em E . Observe, que 0 E e 0 ´e invariante.
∈C
{ ∈
{ }⊂
{}
}
Teorema 4.7.1 (La Salle) Nas condi¸c˜ oes acima, se
i) Ωl ´e limitado;
→∞
˙ 0 em Ωl , ent˜ ao Ωl ´e positivamente invariante e se x(0) ii) V (x) quando t .
≤
Demonstra¸ c˜ ao.
∈
∈ Ω , ent˜ ao x(t) → M , l
Seja x0 Ωl e, considere, x(t) = x(t, x0 ). Seja [0, t+ ) o intervalo maximal de existˆencia de x(t). Se x(t) sai de Ωl , ent˜ao existe τ > 0, tal que V (x(τ )) = l e x(t) Ωl , 0 t τ . ˙ Como, V (x(0)) < l, temos uma contradi¸ca˜o com o fato que V (x) 0, pois existe s (0, τ ), ˙ com V (x(s)) > 0. Al´em disso,
∈ ≤
x(t)
∈ A := {x ∈ R
n
: V (x)
≤ ≤
∈
≤ V (x(0)), t ∈ [0, t )} +
≥
´e um subconjunto fechado e limitado de Ωl . Logo, (t+ = + ) e x(t) A, para t 0. ˙ Seja ω o conjunto ω-limite de x(t). Sendo, V (x(t)) 0, temos que V (x(t)) ´e decrescente e sendo V limitada em Ωl , segue que existe lim V (x(t)) = l0 R.
∞
∈
≡
≤
t→∞
∈
∈
→∞
→
Afirmamos, que V l0 em ω. Seja, p ω. Ent˜ao, existe tm , tal que x(tm ) p. Logo, V (x(tm )) V ( p) e, portanto, V ( p) = l0 . Assim, V ´e constante em ω. Al´em disso, devido a` invariˆ ancia de ω, obtemos que
→
˙ p) = d V (x(t, p)) V ( dt
t=0
= 0.
˙ Assim sendo, V 0 em ω. O que implica que ω E . Uma vez que, ω ´e invariante, temos que ω M . J´a que, x(t) , tem-se que x(t) . ω, quando t M , quando t
≡
⊂
→
⊂ →
→∞
Corol´ario 4.7.1 Sejam f
1
n
n
1
→∞
n
∈ C (R , R ), V ∈ C (R , R), tais que f (0) = 0 e
i) V ´e definida positiva em Ωl ; ˙ ii) V
≤ 0 em Ω ; l
iii) Ωl ´e limitado;
{}
iv) M = 0 .
Ent˜ ao, x = 0 ´e assint´ oticamente est´ avel e Ωl est´ a contido no centro de atra¸c˜ ao da origem.
Demonstra¸ c˜ ao.
Os itens i), ii) e o teorema de Estabilidade de Liapunov implicam que 0 ´e est´ a vel. Do teorema (4.7.1), segue que toda solu¸ca˜o que come¸ca em Ωl tende a M = 0 .
Corol´ario 4.7.2 Sejam f
1
n
n
1
n
{}
∈ C (R , R ), V ∈ C (R , R), tais que f (0) = 0 e
i) Ωl ´e limitado; i) V,
−V ˙ definidas positivas em Ω . l
Ent˜ ao, a origem ´e um ponto de equil´ıbrio assintoticamente est´ avel e Ωl est´ a contido no centro de atra¸c˜ ao da origem.
Exemplo 4.7.1 (Equa¸co ˜es de Lienard e Van der Pol)
→ R. Considere, a equa¸ca˜o x¨ + f (x)x˙ + g(x) = 0 e o sistema equivalente x˙ = y − F (x) y˙ = −g(x), com f cont´ınua e g de classe C no intervalo I . Seja F (x) = f (s)ds. Ent˜ao, Sejam f, g : I
def
1
d [x˙ + F (x)] = x ¨ + f (x)x. ˙ dt
def
Fazemos, x˙ + F (x) = y e, temos, o sistema
− −
x˙ = y F (x) y˙ = g(x),
que ´e equivalente `a equa¸ca˜o de Lineard x ¨ + f (x)x˙ + g(x) = 0.
x 0
A equa¸ca˜o de Van der Pol ´e dada por x¨ + ǫ(1 equivalente
2
− x )x˙ + x = 0, ǫ > 0 e, temos assim, o sistema 3
− ǫ(x − x3 ) = −x.
x˙ = y y˙
Vamos, mostrar que a a origem ´e assint´ oticamente est´avel e dar uma estimativa para o centro de atra¸ca˜o. 1 Tomemos, V (x, y) = (x2 + y 2 ), que ´e definida positiva. Note que, 2 ˙ V (x, y) = xy
2
− ǫ(x −
x4 ) 3
2
− yx = −ǫ(x −
x4 ). 3
≤ |x| ≤ √ 3, temos que V ˙ ≤ 0. Afim de excluir os pontos (±√ 3, 0), pois neles V ˙ = 0, 3 tomamos l = V (±3, 0) = . 2 Se 0
Assim,
{
Ωl = Ωl = (x, y) : e
{
E = (x, y)
∈Ω
l
1 2 3 (x + y 2 ) < = (x, y) : x2 + y 2 < 3 2 2
} {
}
3 y2 ˙ : V (x, = (0, y) : y 2 < 3 . y) = 0 = (0, y) : < 2 2
} {
} {
}
y
√ 3 −√ 3
√ 3
x
−√ 3 {
}
∈
Mostremos, que neste caso M = (0, 0) . Seja (0, y0 ) E , com y0 > 0 e, considere, a solu¸ca˜o (x(t), y(t)), que come¸ca nesse ponto. Ent˜ a o, x(0) ˙ = y(0) = y0 > 0. Assim, x(t) ´e estritamente crescente para t suficientemente pr´oximo de t = 0. O que implica, que (x(t), y(t)) sai de E . O mesmo racioc´ınio se aplica quando y0 < 0. Assim sendo, decorre que o maior conjunto invariante contido em E ´e (0, 0). Logo, pelo corol´ario (4.7.1), segue que a origem ´e assint´ oticamente est´avel e que (x, y) : x2 + y 2 < 3 est´a contido no centro de atra¸ca˜o, para qualquer valor de ǫ > 0. Ver o retrato de fase no livro de Urabe para os diversos valores de ǫ.
{
Ciclo Limite λ = λ1 λ = λ2 0
λ
→0
λ>
λ = λ3
}
ao x¨ + x˙ + x + x2 = 0, ou sistema equivalente Exemplo 4.7.2 Considere a equa¸c˜
x˙ = y y˙ = y
2
− − (x + x ).
x y2 y 2 x2 x3 2 Seja, V (x, y) = + (s + s )ds = + + . 2 2 2 3 0 Os ponto cr´ıticos s˜ao (0, 0), ( 1, 0), sendo que este ´ultimo ´e uma sela, pois os autovalores da lineariza¸ca˜o 0 1 0 1 = (1 + 2x) 1 x=−1 1 1
√ −1 + 5 . s˜ ao
−
−
−
2 Precisamos assim, evitar o ponto ( 1, 0), pois queremos achar uma estimativa para o centro 1 de atra¸ca˜o de x = 0. Note que, V ( 1, 0) = . 6 1 1 y 2 x2 x3 Tomamos, l = , Ω 1 = (x, y) : + + < . 6 6 2 2 3 6 2 2 2 ˙ 0. V (x, y) = y( y x x ) + xy + x y = y ˙ E = (x, y) Ω 1 : V (x, y) = 0 = (x, 0) : 1 < x < 12 . 6 Como, no exerc´ıcio anterior, mostra-se que M = (0, 0) . Logo, (0, 0) ´e assint´oticamente est´avel e Ω 1 est´a contido no centro de atra¸ca˜o.
−
− − − ∈
{
−
{
} {
− ≤ −
}
}
{
}
6
y E
(-1,0)
4.8 4.8.1
(0,0)
x
Estabilidade Assint´ otica Global Introdu¸ c˜ ao
Em alguns sistemas que s˜ao modelos aplicados torna-se interesante verificar se mesmo que os erros iniciais sejam grandes, as solu¸co˜es tendem para um ponto de equil´ıbrio, quando t . 1 n n Considere, assim, f (R , R ), f (0) = 0.
→∞
∈C
Defini¸c˜ao 4.8.1 Dizemos que a origem ´e um ponto de equil´ıbrio globalmente assint´ oticamente n est´ avel de x˙ = f (x) se for est´ avel e para todo x0 R , x(t, x0 ) 0, t .
∈
→
→∞
4.8.2
Apresenta¸c˜ ao do M´etodo 1
n
n
1
n
∈ C (R , R ), V ∈ C (R , R). Considere, o sistema ˙ { ∈ R : V (x) = 0} e M = o maior conjunto invariante
Teorema 4.8.1 (La Salle) Sejam f def x˙ = f (x), com f (0) = 0, E = x contido em E . Se
def
n
n
≥ 0 em R , ˙ ≤ 0 em R , ent˜ ao toda solu¸c˜ ao definida e limitada para t ≥ 0, tende a M , quando ii) V t → ∞. i) V
n
Demonstra¸ c˜ ao.
≥
Seja x(t) solu¸ca˜o limitada, para t 0. Procedendo como no teorema de La Salle, temos de . ii), que V (x(t)) ´e decrescente e, tende, a um certo l0 0, quando t ˙ Logo, V l0 em ω, onde ω conjunto ω-limite de x(t). Dessa forma, V 0 em ω. Assim, ω E . Como, ω ´e invariante, temos que ω M . Sendo, x(t) ω M , obtemos que . x(t) M , quando t
⊂
≡
→
4.8.3
≥
→∞ ≡ → ⊂
⊂
→∞
Limita¸c˜ ao de Solu¸co ˜es
Lema 4.8.1 Sejam f ˙ i) V
1
n
n
1
n
∈ C (R , R ), onde f (0) = 0 e V ∈ C (R , R). Suponha, que
n
≤ 0 em R ; ii) V (x) → ∞, |x| → ∞. Ent˜ ao, toda solu¸c˜ ao de x˙ = f (x) existe e ´e limitada para t
≥ 0.
Demonstra¸ c˜ ao. Suponha, que exista solu¸ca˜o x(t) definida no intervalo maximal `a direita [0, t+), que n˜ao seja limitada. Logo, existe uma sequˆencia tm ,m . t+ , tal que x(tm ) n ˙ Assim, V (x(tm )) ,m . Como, V 0 em R , temos que V (x(t)) ´e decrescente e, portanto, V (x(t)) V (x(0)), o que d´a uma contradi¸ca˜o. Logo, x(t) ´e limitada em [0, t+ ) e da´ı t+ = + .
→∞ ≤
∞
→
→∞
≤
|
|→∞ →∞
Corol´ario 4.8.1 Sejam f x˙ = f (x). Suponha, que
1
n
n
1
n
∈ C (R , R ), onde f (0) = 0, V ∈ C (R , R) e, considere, o sistema
i) V ´e definida positiva em Rn ; ˙ ii) V
n
≤ 0 em R ; iii) V (x) → ∞, |x| → ∞; iv) M = {0}. Ent˜ ao, x = 0 ´e globalmente assintoticamente est´ avel. ˙ ´e definida negativa em Rn , ent˜ ao necessariamente Observa¸ c˜ao 4.8.1 Se considerarmos que V M = 0 .
{}
1 (R, R), g (R, R) e considere a equa¸c˜ ao de Lienard Exemplo 4.8.1 Sejam f x¨ + f (x)x˙ + g(x) = 0, ou o sistema equivalente
∈C
∈C
− −
x
x˙ = y f (s)ds 0 y˙ = g(x).
Suponha, que
∀ x ∈ R; 0 e ii) xg(x) > 0, x = i) f (x) > 0,
x 0
g(s)ds
→ ∞, |x| → ∞.
´ claro que (0, 0) ´e o unico E ´ ponto de equil´ıbrio. Ent˜ ao, a solu¸c˜ ao (x, y) = (0, 0) ´e globalmente assintoticamente est´ avel.
y2 Considere, o funcional V (x, y) = + 2 ˙ V (x, y) =
x
g(s)ds que ´e definida positiva em
0
x
−g(x) f (s)ds ≤ 0, 0 ⇒ g(x) = 0 ou f (s)ds = 0 ⇒ x = 0. 0
˙ V (x, y) =
R2 .
x
0
{
∈ R}. Como anteriormente, mostra-se que M = {(0, 0)}. Sendo, | | → ∞, conclui-se que (0, 0) ´e globalmente assintoticamente est´avel.
Logo, E = (0, y) : y , quando (x, y) V (x, y)
→∞
4.9 4.9.1
Teoria de Poincar´ e-Bendixon Motiva¸ c˜ ao
Seja, o seguinte sistema n˜ao linear no plano
x˙ = y + x(1 x2 y 2 ) y˙ = x + y(1 x2 y 2 ).
−
Em coordenada polares obtemos,
e, temos, as solu¸co˜es
− − − −
r˙ = r(1 θ˙ = 1
−
2
−r )
√ 1 +1ke = −(t − t ).
r(t) = θ(t)
Em coordenadas cartesianas, temos
0
t √ 1 cos + ke sin t = − √ 1 + ke
x(t) = y(t)
−2t
−2t −2t
.
O exemplo acima, sugere a seguinte quest˜ao, para uma equa¸c˜ao x˙ = f (x), com x ´e traduzida pelo desenho a seguir. O que acontece no interior da regi˜ao? Considere, f Ω R2 R2 , onde Ω ´e aberto e f de classe 1 . Seja x˙ = f (x). Nota¸ c˜ ao. x(t, q ) indica a solu¸ca˜o, tal que x(0, q ) = q .
∈ ⊂ →
C
2
∈ R , que
r=1
´ um segmento fechado L, tal que para todo p Defini¸c˜ ao 4.9.1 (Segmento Transversal) E ao nulo e a dire¸cao ˜ de L, geram o R2 . L, f ( p) ´e um vetor n˜ f ( p)
∈
L
p
Como, consequˆencia da defini¸ca˜o acima, todo ponto de um segmento transversal ´e um ponto regular e L n˜ao ´e tangente a nenhuma o´rbita de x˙ = f (x) que o intercepta.
Lema 4.9.1 Nas condi¸c˜ oes acima sobre f ,
∈
ao existe segmento transversal L (que pode ter qualquer dire¸c˜ ao, i) Se p Ω ´e regular, ent˜ exceto a de f ( p), tal que p ´e interior a L. f ( p)
L u
p
orbita que intercepte um segmento tranversal deve cort´ a-lo e todas as ´ orbitas ii) Qualquer ´ que o cortam devem fazˆe-lo no mesmo sentido. L p4 p3 p2 p1
∈
ao dado ǫ > 0, existe δ > 0, tal que se iii) Se p Ω ´e ponto interior a uma transversal L, ent˜ ao x(t, q ) deve cortar L num tempo t1 com t1 < ǫ. q Bδ ( p), ent˜
∈
| |
L
D
F(p)
p x(t1 , q )
q
Ω
{
≤ ≤ }
orbita. Ent˜ ao, esse arco intersepta um iv) Seja x(t) : a t b um arco fechado de ´ segmento transversal em no m´ aximo um n´ umero finito de pontos.
Demonstra¸ c˜ ao. i) Seja u um vetor unit´ario que n˜ao tenha a dire¸ca˜o de f ( p).
Como, f ( p) = 0, existe vizinhan¸ca de p, onde f n˜ao se anula. Para q numa vizinhan¸ca, q num segmento definido por p e u, definimos g(q ) =
f (q ), u = cos θ. |f (q )|
±1, temos que numa vizinhan¸ca pequena de p, g(q ) = ±1.
Sendo, g( p) =
Pode-se assim, tomar um pequeno segmento contendo p no seu interior de modo que ele seja segmento tranversal. ii) Sem perda de generalidade, podemos supor que o segmento L est´a contido no eixo x1 . f 1 Temos assim, se f = , que f 2 (q ) = 0 para todo q L. Se o segmento fosse cortado f 2 em sentidos opostos existiriam p e q , tais que f 2 ( p) f 2 (q ) < 0 e do Teorema do Valor Intermedi´ario, segue que existe r entre p e q , tal que f 2 (r) = 0, o que ´e uma contradi¸ca˜o.
∈
·
f ( p)
p
L q
F (q )
iii) Sem perda de generalidade, podemos supor que o segmento transversal L est´a contido no eixo x1 e que 0 ´e ponto interior a L.
Para cada q
∈ Ω, considere a solu¸ca˜o x(t, q ) =
x1 (t, q ) . x2 (t, q )
∂x2 (0, 0) = f 2 (0, 0). ∂t Pelo Teorema da Fun¸ca˜o Impl´ıcita, segue que existe uma fun¸ca˜o t = t(q ) definida numa vizinhan¸ca da origem, tal que t(0) = 0, x2 (t(q ), q ) = 0, onde t(q ) ´e 1 em q . J´a que, x(0, 0) = 0, obtemos que x2 (0, 0) = 0. Al´em disso,
||
C
| |
Assim, dado ǫ > 0, existe δ > 0, tal que se q < δ , ent˜ao t(q ) < ǫ.
iv) Suponha, que L est´a no eixo x1 . Considere, que o arco de ´orbita intercepte L em um n´umero infinito de pontos. Ent˜ao, existe infinitos tn [a, b], tais que x(tn ) L. Da compacidade de [a, b], segue que tn tem uma subsequˆencia convergente, que ainda indicamos por tn t¯, com tn = t¯, n.
∈
→
∈
∀
Assim,
x2 (tn ) 0= tn
− x (t¯) −→ x˙ (t¯) = f (x (t¯), x (t¯)). − t¯ 2
2
2
1
2
Contudo, f 2 (x(t¯)) = 0, pois L ´e transversal, o que leva a uma contradi¸ca˜o.
Lema 4.9.2 Suponha, que γ + = x(t) : t 0 ´e tal que γ + Ω, onde K ´e comK + pacto. Considere, que ω = ω(γ ) tem um ponto regular p e que L seja uma transversal com p no seu interior. Ent˜ ao, existe sequˆ encia (tn ), tn , quando n , tal que def L γ + = x(tn ) = pn , n N . Al´em disso, temos duas possibilidades
{
∩
{
≥ }
⊂ →∞
∈ }
ao pn = p1 = p, i) Se p1 = p2 , ent˜
⊂
→∞
∀ n.
ao todos os pn s˜ ao distintos e ( pn ) ´e uma sequˆencia estritamente mon´ otona ii) Se p1 = p2 , ent˜ em L. Em ambos os casos pn
→ p.
Demonstra¸ c˜ ao.
∈
→∞
→
Como, p ω, existe sequˆencia (τ n ),τ n , tal que x(τ n ) p. Assim, do lema (4.9.1), ¯ tem-se que dado ǫ > 0, existe δ > 0, tal que para q Bδ ( p), existe t, com t¯ < ǫ, de modo que x(t¯, q ) L. 1 Tomando, ǫ = por recorrˆencia, existe nm > n m−1 , tal que x(τ nm ) B 1 ( p) e, ent˜ao, existe m m 1 de modo que x(sm , x(τ nm )) L. Contudo, x(sm, x(τ nm )) = x(sm + τ nm ). sm , com sm < m Logo,
∈
∈
||
∈
| |
∈
|x(s
m
− | ≤ |x(s + τ ) − x(τ )| + |x(τ ) − p| ≤ |x(ξ sup ˙ )| |s | + |x(τ ) − p| → 0.
+ τ nm ) p
m
nm
nm
nm
m
ξ ∈[sm+τ nm ,τ nm ]
→
→∞
nm
{ ≥ 0 : x(t) ∈ L} tem
Assim, x(sm + τ nm ) . Dessa forma, o conjunto t p, quando m valores de t, para t arbitrariamente grande.
x(τ nm ) L
Bδm ( p) p
x(sm + τ nm ) def
{ ≥ ∈
∈ } { ∈ }
∈
Seja t1 = inf t 0 : x(t) L . Uma vez que, L ´e fechado, temos que x(t1 ) L. Seja τ > t1 , tal que x(τ ) L. Considere, o arco de ´orbita x(t) : t1 t τ . Do lema (4.9.1(iv)) ele intercepta L em um n´umero finito de pontos. def Seja t2 = inf t > t1 : x(t) L . Obtemos, que t2 > t1 e x(t2 ) L. Se x(t2 ) = x(t1 ), segue que x(t) ´e peri´odica de per´ıodo t2 t1 e a primeira alternativa do lema ocorre.
{
≤ ≤ }
−
pn = p
def
{
∈
L
∈ }
Se x(t2 ) = x(t1 ), fazendo t3 = inf t > t2 : x(t) L , temos como anteriormente que t3 > t2 . Mostremos, que x(t3 ) n˜ao pode estar entre x(t1 ) e x(t2 ) no segmento L. Considere, a situa¸ca˜o da figura ao lado.
x(t1 )
x(t2 )
L Vamos aplicar o seguinte teorema
Teorema 4.9.1 (Jordan) Se J R2 ´e uma curva fechada simples ( J ´e imagem homeomorfa de um circulo), ent˜ ao R2 J tem duas componentes conexas S i (limitada) e S e (n˜ ao limitada) as quais tem J como fronteira comum.
\
⊂
Considere, a curva de Jordan indicada na figura ao lado,
x(t1 )
x(t2 )
L isto ´e, o arco x(t 1 ), x(t2 ) reunido com o segmento x(t1 )x(t2 ). Temos, que x(t) : t t2 S i , pois n˜ao pode escapar pela contram˜ao pelo segmento x(t1 )x(t2 ) e, nem cruzar o arco da ´orbita, uma vez que contraria a unicidade. Logo, x(t2 ) deve estar entre x(t1 ) e x(t3 ). Esse procedimento, pode ser repetido sucessivamente. Se considerarmos a rela¸ca˜o induzida pela desigualdade x(t2 ) > x(t1 ), ent˜ao a sequˆencia pn = x(tn ) ser´a arbitrariamente crescente. Este caso pode ser analisado de maneira semelhante. Como, (x(sm + τ nm )) ´e uma subsequˆencia de ( pn ) e x(sm + τ nm ) p, temos que p ´e ponto limite de pn . Sendo, pn ´e crescente, segue que p ´e o u ´ nico ponto limite de ( pn ).
{
≥ }⊂
→
Lema 4.9.3 Se γ + ao L, segmento transversal, n˜ ao K Ω, onde K ´e um compacto, ent˜ + pode interceptar ω(γ ) em mais do que um ponto.
⊂ ⊂
Demonstra¸ c˜ ao. Seja p L w(γ + ). Sem perda de generalidade, podemos assumir que p ´e interior a L, pois se n˜ao fosse, poder´ıamos aumentar um pouquinho L de modo que isso acontecesse. Do Lema 4.9.2, segue que pn p. Se existe q L ω(γ + ), ent˜ao pn q e, portanto, p = q .
∈ ∩
→
Lema 4.9.4 Se γ +
∈ ∩
→
+
+
⊂ K ⊂ Ω e ω(γ ) cont´em uma orbita ´ peri´ odica Γ, ent˜ ao ω(γ ) = Γ.
Demonstra¸ c˜ ao. Seja γ + = x(t) : t 0 e, suponha, que ω Γ = . Note que, ω Γ n˜ao pode ser fechado, pois isso contrariaria o fato que ω ´e conexo. Assim, existem q Γ e uma sequˆencia (q n ), q n ω Γ, tal que q n q , quando n . Logo, q ´e regular. Seja L um segmento transversal, com q no seu interior (existe pelo lema (4.9.1(i))). Do lema (4.9.1(iii))), segue que dado ǫ > 0, existe δ > 0, tal que para n0 suficientemente grande, q n0 Bδ (q ) e existe t0 , t0 < ǫ, tal que x(t0 , q n0 ) L. Da invariˆancia de ω, segue que x(t0 , q n0 ) ω, pois x(0, q n0 ) = q n0 ω. Se x(t0 , q n0 ) pertencesse a Γ, ent˜ao x(t, q n0 ) : t R = Γ e, portanto, q n0 pertenceria a Γ, contrariando a hip´ otese. Logo, x(t0 , q n0 ) ω L, o que contraria o lema (4.9.3), que diz que ω n˜ao pode interseptar L em mais do que um ponto.
{
≥ }
\ ∅ ∈ \
∈
∈
| |
{ ∈ ∩
∈ }
∈
\ →
∈
→∞
∈
Bδ (q ) q x(t0 , q n0 ) L
q n0 q n
´ Γ e Lema 4.9.5 Seja γ + K Ω, onde K ´e um compacto. Se ω(γ + ) cont´em uma orbita ao Γ ´e peri´ odica e Γ = ω(γ +). ω(Γ) tem pontos regulares, ent˜
⊂ ⊂
Demonstra¸ c˜ ao. Temos, que ω(Γ) ω(γ +), pois ω(γ + ) ´e fechado. Seja q ω(Γ), regular e L transversal, com q no seu interior (existe pelo lema (4.9.1(i))). Do lema (4.9.2) aplicado a Γ, segue que ou Γ L = q , ou Γ L tem um n´umero infinitos pontos. Esta ´ultima n˜ao pode ocorrer, pois implicaria que ω(γ + ) L, que cont´em ω(Γ) L, conteria infinitos pontos, o que contraria o lema (4.9.3). Assim, Γ L = q e, ainda, do lema (4.9.2), segue que Γ ´e peri´odica. Como, Γ ω(γ + ), pelo lema (4.9.4) obtemos que Γ = ω(γ + ).
⊂
∈
∩
∩ ⊂
{}
∩
∩
∩
{}
Teorema 4.9.2 (Poincar´e-Bendixon) Seja γ + K Ω, onde K ´e compacto. Se ω(γ + ) n˜ ao tem pontos de equil´ıbrio, ent˜ ao ω(γ + ) ´e uma orbita ´ peri´ odica.
⊂ ⊂
Demonstra¸ c˜ ao. Sejam p ω(γ +) e Γ ´orbita por p. Ent˜ao, Γ ω(γ + ) devido `a invariˆancia de ω(γ + ). Do lema (4.9.5), segue que Γ = ω(γ + ) ´e uma ´orbita peri´odica.
∈
⊂
Teorema 4.9.3 Seja γ + = x(t) : t 0 , γ + K Ω, onde K ´e compacto. Suponha, que exista somente um n´ umero finito ( 1) de pontos de equil´ıbrios em ω(γ +).
{
≥
≥ }
⊂ ⊂
ao cont´em pontos regulares, ent˜ ao existe ponto de equil´ıbrio p i) Se ω(γ + ) n˜ + . ω(γ ) = p e x(t) p, quando t
{}
→
→∞
+
∈ ω(γ ), tal que
ao ω(γ + ) consiste de um conjunto finito de pontos ii) Se ω(γ + ) tem algum ponto regular, ent˜ de equil´ıbrio e um conjunto de ´ orbitas que tendem aos pontos de equil´ıbrio, quando t .
→
±∞
Demonstra¸ c˜ ao. i) Como, ω(γ + ) s´o tem um n´umero finito de pontos de equil´ıbrio e ´e conexo, ent˜ao tem que conter no m´aximo um ponto de equil´ıbrio. Seja ω(γ +) = p . Sendo, x(t) ω(γ + ), quando t , temos que x(t) . p, quando t
{}
→
→∞ → →∞ ii) Sejam q ∈ ω(γ ), q regular e Γ = {y(t) : t ∈ R} a ´orbita por q . Temos, que Γ ⊂ ω(γ ), +
pois ω(γ +) ´e invariante.
+
Garantimos que ω(Γ) n˜ao pode ter pontos regulares. Se tal fato acorresse, do lema (4.9.5) seguiria que Γ = ω(γ +) e Γ ´e peri´odica, o que contraria o fato que ω(γ +) tem pelo menos um ponto de equil´ıbrio. Logo, ω(Γ) s´o tem pontos de equil´ıbrio e de sua conex˜ao segue que s´o pode ter um ponto de equil´ıbrio, para o qual tende a y(t), quando t . An´alise semelhante, pode ser feita quando t .
→∞
→ −∞
4.10
Aplica¸c˜ oes da Teoria de Poincar´ e-Bendixon
Considere, a equa¸ca˜o de Lienard u¨ + g(u)u˙ + u = 0 e as seguintes hip´oteses: Seja g : R i) G(u) =
u 0 g(s)ds
→∞
1
→ R de classe C , tal que
´e impar em u;
, quando u ii) G(u) e G(β ) = 0;
→ ∞ e existe β > 0, tal que G ´e estritamente crescente para u > β
iii) Existe α > 0, tal que G(u) < 0 se 0 < u < α e G(α) = 0. G(u)
−β −α
β
α u
Teorema 4.10.1 Nas condi¸c˜ oes acima, a equa¸c˜ ao de Lienard tem uma ´ orbita peri´ odica n˜ ao constante. Demonstra¸ c˜ ao. Considere, a sistema equivalente
− −
u˙ = v G(u) v˙ = u.
Como, G(0) = 0, temos que o ´unico ponto de equil´ıbrio ´e (0, 0). Garantimos que i) Se (u(t), v(t)) ´e solu¸ca˜o, tal que v(0) > G(u(0)), ent˜ao enquanto v(t) se mantiver maior que G(u(t)), temos que u(t) ser´a estritamente crescente. Se u(0) > 0, ent˜ao v(t) ser´a estritamente decrescente, enquanto u(t) se mantiver maior que 0. Observamos, que resultados do tipo acima valem quando s˜ao invertidas as desigualdades, com as devidas adapta¸co˜es.
v
−β −α
β
α
u
− G(u), −u) ´e horizontal no eixo v, vertical na curva v = G(u). ao iii) A s ´orbitas pela reflex˜ao (u, v) → (−u, −v), isto ´e, se (u(t), v(t)) for solu¸ca˜o, ent˜ (−u(t), −v(t)) tamb´em ´e solu¸ca˜o. Assim sendo, basta saber o que acontece para u ≥ 0. ii) O campo (v
u (u0 , v0 )
v
− −
( u0 , v0 )
− G(u) > u ⇔ v > G(u) + u e G(u) − v > u ⇔ G(u) − u > v. Abaixo, indicamos como aponta o vetor (v − G(u), −u) em cada uma das regi˜oes.
iv) Temos, que v
Levando em considera¸ca˜o esses fatos, vemos que se v0 for suficientemente grande, a ´orbita que passa por A : (0, v0 ) tem aproximadamente a forma indicada no desenho abaixo. v u=v
α
β
u
Mostremos, a seguir que se v0 for suficientemente grande, ent˜ao v1 < v0 . 1 Seja W (u, v) = (u2 + v 2 ). Para uma solu¸ca˜o (u(t), v(t)), temos 2 d W (u(t), v(t)) = u(v dt
− G(u)) + v(−u) = −u(t)G(u(t)).
v (0, v0 ) A
B
K F
β
α (0, v1D )
u
E
C
Da figura acima, segue que
dW = W (D)
ABCD
Por outro lado,
dW =
ABCD
− W (A) = 12 (v − v ).
dW +
dW +
CD
Em AB, considere a parametriza¸ca˜o u
dW.
BE C
(u, v(u)) e, teremos,
β
AB
2 0
→ − − − AB
dW =
2 1
β
′
W (u)du =
0
(u + v
0
dv )du du
β
= = =
dv dt )du dt du 0 β 1 [u + v( u) ]du v G(u) 0 β uG(u) du. G(u) 0 v(u) (u + v
− Tomamos, M = max{u + G(u) : 0 ≤ u ≤ β } e N = max{|uG(u)| : 0 ≤ u ≤ β } e, considere def
def
v0 suficientemente grande, de modo que v(β ) > M. v
u + G(u)
A V (β )
v=u
B
M
α
β
u
No intervalo considerado, temos dv = du v
−u > −1 ⇒ − G(u)
v(u)
≥ v − u. 0
Logo,
|
β
0
uG(u) du v(u) G(u)
−
|≤
β
0
|uG(u)| du ≤ v(u) − G(u)
β
0
v0
−
uG(u) du. (u + G(u))
≤| − → →∞ → ∞ β
0
0
β
uG(u) du v(u) G(u)
| ≤ N
du v0 M
− → 0, quando v → ∞. 0, quando v → ∞ . Prova-se, tamb´em que dW , o que implica que v → ∞. 0
0
→ ≤ ≤
Temos assim, que AB 0, dW 0 CD quando v0 , pois v0 1 Analisemos agora, BE C dW . Neste caso considere a parametriza¸ca˜o u = u(v), v¯ v v˜. Temos, d du du dt (W (u(v), v) = u + v = u +v dv dv dt dv 1 = u(v G(u))( ) + v u = G(u(v)).
−
−
Assim, obtemos
−
· v˜
dW =
BE C
dW =
CE B
>
G(u(v))dv
v¯
G(u(v))dv
EK
>
FJdv = F J EK
EK
·
> F J F K,
→ ∞, quando v → ∞. 1 Dessa forma, (v − v ) → −∞, quando v → ∞ e, portanto, para v 2
mas F K
0
2 1
2 0
0
0
suficientemente
grande, teremos que v1 < v0 .
d Para (u(0), v(0)), tal que 0 < u(0) < α, segue que W (u(t), v(t)) = u(t)G(u(t)) > 0, dt enquanto u(t) for tal que 0 < u(t) < α. Logo, (0, 0) ´e uma fonte, isto ´e, a origem ´e o conjunto α-limite de toda ´orbita que come¸ca suficientemente pr´oximo de (0, 0). Assim sendo, as ´orbitas comportam-se de acordo com a figura
| | | |
−
v
u
A semi´orbita que come¸ca em A est´a contida na regi˜ao limitada definida pela curva de Jordan formada pelo arco ABCD, sua reflex˜ao e os segmentos que ligam esses arcos. Ver figura?. Ela permanece assim, no compacto definido pela Figura??,
onde n˜ao h´a nenhum ponto de equil´ıbrio. Do Teorema de Poincar´e-Bendixon, segue que existe uma ´orbita peri´odica n˜ao constante.
Cap´ıtulo 5 Teorema de Hartman 5.1
Generalidades
Sejam E um espa¸co de Banach e L : E E um isomorfismo hiperb´olico, isto ´e, E = E u E s , o splitting ´e invariante por L, Lu = L E u ´e uma expans˜ao, enquanto que Ls = L E s ´e uma 1 contra¸ca˜o, ou seja, L− < 1 e Ls < 1. u Se o espectro de um isomorfismo de E em E n˜ao intercepta o circulo unitario, ent˜a o n˜ao muito dif´ıcil de ver que este ´e hiperb´olico para alguma norma em E . 1 Por todo este cap´ıtulo, denotamos por a = max L− < 1 e, assumimos que em E ´e u , Ls dada a norma x + y := max{ x , y , para x E u , y E s . Para qualquer µ > 0, definimos
|
0 ∗
C (E, E ) L (L)
|
|
→
|
| | | |}
∈
{
∈
⊕
}
{aplica¸co˜es uniformemente continuas, uniformemente limitadas de E em E }; {Λ = L + λ : λ ∈ C (E, E )´e Lipschitziana, limitada por µ e tem constante de Lipschitz ≤ µ}; H = {h = I + g : g ∈ C (E, E )}, onde I ´e a aplica¸ca˜o identidade E → E . Considerando, a C topologia uniforme, temos que o espa¸co C (E, E ) ´e um espa¸co de Banach e que L (L), H s˜ ao espa¸cos m´etricos completos. µ
= =
0 ∗
0 ∗
0
0 ∗
µ
ao para cada Teorema 5.1.1 (Teorema de Hartman para aplica¸c˜ oes) If µ ´e pequeno, ent˜ Λ unico h = hΛ , tal que hΛ = Lh. Al´em do disso, hΛ ´e um µ (L), existe um ´ homeomorfismo dependendo continuamente em Λ µ (L).
∈L
∈H
∈L
∈L
Em particular, isto significa que todo Λ ao homeomorfismos. µ (L) s˜ De fato, notamos na prova do Teorema da Fun¸ca˜o inversa que aparece em [4] adapta-se imediatamente para mostrar o seguinte resultado.
∈L
ao cada Λ e um Lipeomorfismo, isto ´e, um homeoLema 5.1.1 Se µ ´e pequeno, ent˜ µ (L) ´ morfismo Lipschitz, com inversa Lipschitz. A inversa ´e cont´ınua. Isto, n˜ao tem nada a ver com o hiperbolicidade de L. O seguinte lema, se refere a aplica¸co˜es contra¸co˜es envolvendo um parˆametro. Sua prova ´e um exerc´ıcio f´acil em topologia m´etrica
× →
ogico, Y um espa¸co m´etrico completo e F : P Y Lema 5.1.2 Sejam P um espa¸co topol´ Y uma aplica¸c˜ ao cont´ınua. Suponha, que cada F p := F ( p, ) : Y ao, com Y ´e uma contra¸c˜ constante de contra¸cao ˜ k p < 1. Se os k p s˜ ao limitados longe de 1, ent˜ ao unico ´ ponto fixo de F p depende continuamente em p
·
→
Demonstra¸ c˜ ao do Teorema 5.1.1. Para simplificar, provamos a afirma¸ca˜o forte: unico h , tal que hΛ = Λ′ h, Afirma¸ c˜ ao. Para cada par Λ, Λ′ µ (L) corresponde um ´ onde h ´e um homeomorfismo dependendo continuamente em Λ, Λ′ . A equa¸ca˜o hΛ = Λ′ h, para h e Λ, Λ′ e µ (L) ´
∈L
∈H
∈H
∈L
(I + g)(L + λ) = (L + λ′ )(I + g) com g
0 ∗
∈ C (E, E ), isto ´e,
′
− Lg = λ (I + g) − λ. A equa¸ca˜o (5.1) ´e equivalente a g = [Lg + λ (I + g) − λ] Λ gΛ
′
(5.1)
−1
, o qual expandido nas E u
coordenadas, torna-se
gu = [Lu gu + λ′u (I + g) λu ] Λ−1 gs = [Ls gs + λ′s (I + g) λs ] Λ−1 .
− −
Por outro lado, (5.1) tamb´em ´e equivalente a g = L−1 [gΛ + λ 1 gu = L− u [gu Λ + λu 1 gs = L− s [gs Λ + λs
s
× E
(5.2) (5.3) ′
− λ (I + g)], a qual se expande a
′ u ′ s
− λ (I + g)] − λ (I + g)] .
(5.4) (5.5)
Torna-se sendo f´util lidar com (5.2), (5.3) ou (5.4), (5.5) separadamente. Env´ es de olhar (5.3), (5.4). Para µ > 0, (5.3), (5.4) definem uma contra¸ca˜o K :
0 ∗
0 ∗
C (E, E ) → C (E, E ),
dada por g = (gu , gs)
→
Como,
1 L− u [gu Λ + λu
|
1 [ gu Λ L− u
′ u
′ u
− λ (I + g)] , [L g
s s
′ u
+ λ′s (I + g)
′ u
′ u
−1
−λ ]Λ s
.
′
− g Λ| + |λ − λ | + |λ (I + g) − λ (I + g )|] ≤ a [|g − g | + µ|g − g |] ≤ (a + µ)|g − g |, u
′ u
u
′
′
e −1
′ s
−1
′
−1
L |g Λ − g Λ | + |(λ (I + g) − λ (I + g ))Λ | ≤ a|g − g | + µ|g − g | ≤ (a + µ)|g − g | s
s
s
s
s
′ s
′
′
0 para toda g, g ′ ∗ (E, E ). Claramente, o lemma (5.1.2) aplica-se e, ent˜ao, a solu¸ca˜o u ´ nica de (5.3), (5.4), g = gΛ,Λ , ′ depende continuamente em Λ, Λ′ e µ (L). Assim, hΛ,Λ = I + gΛ,Λ . Observe que, hΛ = Λ h ´ consequˆencia de (5.3), (5.4). Sendo h ´e um homeomorfismo, considere a inversa de hΛ,Λ a fun¸ca˜o hΛ ,Λ . Para hΛ,Λ hΛ ,Λ Λ′ = hΛ,Λ ΛhΛ ,Λ = Λ′ hΛ,Λ hΛ ,Λ
∈C
′
∈L
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
de modo que pela unicidade de solu¸co˜es de hΛ′ = Λ′ h, hΛ,Λ hΛ ,Λ = I . Isto vale para todo Λ, Λ′ e isto vale para Λ, Λ′ invertido. µ (L) tamb´ Portanto, hΛ ,Λ ´e a inversa a direita e a esquerda de hΛ,Λ . ′
∈L
′
′
′
Observa¸ c˜ao 5.1.1 O seguinte argumento facilita a prova de Teorema do Hartman. Podemos mostrar que qualquer aplica¸c˜ ao Lipschitz pr´ oxima a um isomorfismo hiperb´ olico de um espa¸co de Banach, tem um unico ´ ponto fixo. Ent˜ ao, podemos esperar resolver ′
− Lg = λ (I + g) − λ procurando um ponto fixo de (Λ, Λ ) : C (E, E ) → C (E, E ) definido como g → L [gΛ − λ (I + g) + λ] gΛ ′
0 ∗
∗
0 ∗
−1
′
ou como g
′
−1
→ [Lg + Λ (I + g) − λ] Λ
.
Embora, (L, L)∗ ´e hiperb´olica relativa a 0 ∗
0 ∗
u
0 ∗
s
C (E, E ) = C (E, E ) ⊕ C (E, E ), este n˜ao ´e o caso que (Λ, Λ′ )∗ est´a Lipschitz pr´oximo (L, L)∗ . Portanto, o ponto fixo de (Λ, Λ′)∗ surge pelas pr´oprias propriedades, antes que aquelas de (L, L)∗ .
Teorema 5.1.2 (Teorema de Hartman para fluxos) Se Λ = L + λ ´e considerado como um campo vetorial em E , eL ´e hiperb´ olico respeito a E = E u E s e ν ´e pequeno, ent˜ ao para cada Λ unico H = H Λ , tal que HφΛ(t, x) = φL (t,Hx), para x E , ν (L), existe um ´ ao os L e Λ fluxos. H Λ ´e um homeomorfismo dependendo continuamente t R, onde φL , φΛ s˜ em Λ ν (L).
∈L ∈ ∈L
⊕
∈H
∈
Demonstra¸ c˜ ao.
∈ L ·⇒ ∈ L → ∈H ∈L ·
Considere as aplica¸co˜es de tempo um φL = φL (1, ) e φΛ = φΛ (1, ). A aplica¸ca˜o Λ φΛ L facilmente ´e vista ser cont´ınua e, ent˜ao, para algum ν > 0, Λ φΛ ν (L) µ (e ), onde µ ´e como no Teorema de Hartman para aplica¸co˜es. Assim, h´ a um u ´ nico h , tal que φLh = hφΛ . Reivindicamos, que h faz hφΛ(t, x) φL (t, h(x) de modo que afirmamos h = H faz. Isto ´e equivalente a provar que φL (t,hφΛ ( t, ) h, o que ´e uma consequˆencia da unicidade do Teorema do Hartman para aplica¸co˜es, observando que φL (t,hφΛ ( t, )) e resolve φL ( ) = ( ) φΛ . Qualquer equivalencia entre φL e φΛ ´e tamb´em uma equivalˆencia entre φL e φΛ . Portanto, H = h ´e u ´ nico, um homeomorfismo e depende continuamente em Λ ν (L).
∈ H
≡ − ≡
−
´ eL e n˜ Observa¸ c˜ao 5.1.2 E ao L o qual ´e assumido que seja hiperb´ olico.
5.2
Localiza¸ c˜ ao
Em aplica¸co˜es estamos em geral interessados na existˆencia de uma equivalencia local de homeomorfismo, dado um fluxo local ou uma aplica¸ca˜o local. Seja L hiperb´olico como acima. Para qualquer disco fechado D numa vizinhan¸ca da origem, seja D µ (L)
L
{
= L+λ : λ
0 ∗
∈ C (D, E ) ´e Lipschitz, limitada por µ e tem constante de Lipschitz ≤ µ}.
H`a muitos operadores extens˜ao lineares cont´ınuos D Λ= L+λ µ (L), seja Λ = L + λ, onde
∈L
E
λ′ x =
D µ (L)
E : L
→L
2µ (L).
Por exemplo, se
∈ ∈
λx, se x D λx′ , se x / D
x′ sendo um ponto de ∂D no segmento de 0 a x. Uma propriedade muito usada de ´e que ( D e um subconjunto compacto de µ (L) se E = Rn . µ (L)) ´ A equivalencia global de homeomorfismos entre Λ e Λ′ restrita a equivalencia local de homeomorfismo (num disco menos que D) entre (as restri¸co˜es de ) Λ e Λ′ . A situa¸ca˜o para fluxos locais ´e similar. Em ambos os casos, entretanto, unicidade da equivalencia de homeomorfismos ´e totalmente perdida. Isto porque a extens˜ao de Λ pata E n˜ao ´e u ´nica. ´ bem O caso onde Λ : D E est´a pr´oximo a L D ´e, naturalmente, ´e subentendido acima. E u ´ til lidar com aplica¸co˜es de Lipschitz em vez de aplica¸c˜oes de classe 1 , porque a dificuldade de estender Λ uniformemente 1 pr´oximo a L em E, se E ´e um espa¸co de Banach geral.
E L
E
L
→
E E
|
C
C
Cap´ıtulo 6 Exerc´ıcios 6.1
Lista 1 2 t2 −1 ,
(1). Seja g(t) =
|t| = 1.
(a) Mostre que toda solu¸ca˜ o de x˙ = g(t) ´e da forma ϕ(t) = c + log onde c
∈ R.
− t 1 t+1
{ | | }×R
(b) Fa¸ca um esbo¸co desta solu¸co˜es em Ω = t : t = 1 1 (Sugest˜ ao: Note que g(t) = t−1 1 t+1 ).
−
x2
− 1 . Mostre que toda solu¸ca˜o de x˙ = f (x) diferente das solu¸co˜es ϕ ≡ 1 e 2 ≡ −1 ´e da forma ϕ(t) = 11+−cee , c = 0.
(2). Seja f (x) =
+
t
ϕ−
t
Qual ´e o intervalo m´aximo I c = (w− (c), w+(c)) de defini¸ca˜o destas solu¸co˜es?. Fa¸ca um esbo¸co geom´etrico das solu¸co˜es em Ω = R2 e compare com o exerc´ıcio anterior. Rn de classe 1 tal que f (t, x) h(t) x , (t, x) Rn+1 (h(t) 0) (3). Seja f : R Rn h(t) cont´ınua. Mostre que toda solu¸ca˜o n˜ao cont´ınuavel de x˙ = f (t, x) est´a definida em R. Rn cont´ınua e Lipschitziana. Mostre que o PVI x˙ = f (t, x), (4). Seja f : [a, b] Rn x(t0 ) = x0 , (t0 , x0 ) [a, b] Rn tem uma ´unica solu¸ca˜o definida em [a, b], usando o m´etodo das Aproxima¸co˜es Sucessivas.
×
6.2
→ × → ∈ ×
C
|
|≤
||∀
∈
≥
Lista 2
(1). Seja f : [a, b] [a, b] Rn .
×
n
×R → R
n
cont´ınua e Lipschitziana com rela¸ca˜o `a segunda vari´ avel em
∈
(a) Mostre usando aproxima¸co˜es sucessivas que dado (t0 , x0 ) [a, b] ´ nica solu¸ca˜o x(t, t0 , x0 ) definida em [a, b]. x(t0 ) = x0 tem um u
→ ∈
n
×R
o PVI x˙ = f (t, x),
(b) Seja M um espa¸co m´etrico completo e T : M M cont´ınua. Mostre que se para algum m N, T m for uma contra¸c˜ao ent˜ao existe um ´unico ponto fixo p de T . Mostre tamb´em que p ´e um atrator de T , isto ´e, para todo x M T n x . p quando n
∈
→
→∞
(c) Mostre (a) utilizando (b).
Rn cont´ınua e tal que f ´e Lipschitziana em cada faixa [ a, a] Rn, (2). Seja f : [a, b] Rn ´ nica solu¸ca˜o x(t, t0 , x0 ) definida a > 0. Mostre que se (t0 , x0 ) Rn+1 ent˜a o o PVI tem uma u em R. Rn onde D ´e um aberto de Rn+1. Supomos que valha unicidade de solu¸ca˜o (3). Seja f : D do PVI. Se (t0 , x0 ) D seja (w− , w+ ) o intervalo de existˆencia da solu¸ca˜ o n˜ao continu´avel que passa por (t0 , x0 ). Usando as id´ eias da demonstra¸ca˜o do Teorema 1.8.3, mostre que se [a, b] (w− , w+) ent˜ao para x1 suficientemente pr´oximo de x0 ,x(t, t0 , x0 ) est´a definida em [a, b] e a aplica¸ca˜o x1 x( , t0 , x1 ) ´e cont´ınua. (4). Seja f : D forem cont´ınuas em Rn , onde D ´e um aberto de Rn+1. Mostre que se f e ∂f ∂x D ent˜ao f ´e localmente Lipschitziana com rela¸ca˜o a segunda vari´avel. (5). Em cada um dos exemplos, encontre ou demonstre que n˜ao existe uma constante de Lipschitz nos dominios indicados
× →
→
⊂
−
∈
×
∈
→ · →
n
| | || ∈R . (b) f (t, x) = x , |x| < 1 (c) f (t, x) = 1/x, 1 ≤ x < ∞ (d) f (t, x) = (x x , t + x , x ), |x| ≤ b, |t| ≤ b. (a) f (t, x) = t x , t < a, x 1/3
2 1 2
3
(6). Resolver o PVI
2 3
y¨ + 6y˙ + 9y = g(t) ˙ =1 y(0) = 0, y(0)
(7). Ache a solu¸ca˜o real de x4 + x = g(t). (8). Mostre que o Teorema de Schauder ´e falso se tirarmos ou a compacidade ou a convexidade.
6.3
Lista 3
(1) (a). Seja g : R Rn , cont´ınua e peri´odica. Supomos que existe uma sequˆencia de per´ıodos, (T m), da fun¸ca˜o g, tal que T m > 0 para todo 0, quando m . Mostre que g ´e constante. m e T m (b). Seja ϕ(t) sou¸ca˜ o de x˙ = f (x), onde f 1 (Ω, Rn ) e Ω ´e aberto em Rn . Supomos que (a, b) ´e intervalo maximal de existˆencia de ϕ. MOstre que ocoorre uma e somente uma das condi¸co˜es abaixo. (i). ϕ : (a, b) Ω ´e injetiva (ii). a = , b = + e ϕ ´e consatnte (iii). a = , b = + , ϕ ´e peri´odica e existe um minimo periodo T > 0. (2). Discuta a estabilidade da solu¸c˜ao (x, x) ˙ = (0, 0), da equa¸ca˜o de Van der Pol
→
→
→∞
→ −∞ −∞
∈
∞ ∞
x¨ + ǫ(x2
− 1)x˙ + x = 0, ǫ = 0.
(3). Discuta a estabilidade dos pontos criticos de x¨ + x
3
−x
= 0 e x¨
2
−x+x
= 0.
1 (4). Seja f (Ω, Rn ) onde Ω ´e aberto em Rn . Seja ϕ(t) solu¸ca˜o definida em[0, . Mostre que b ´e um ponto crito de x˙ = f (x). ϕ(t) b, quando t
→
∈C
→∞
∞) tal que
(5). Desenhe o retrato de fase de cada um dos sistemas de equa¸c˜oes diferenciais (a) x˙ = (c) x˙ = (e) x˙ =
− − − − − −
− − − −
5 1
1 x 5
(b) x˙ =
1 5
1 x 3
4 1
1 x 6
(d) x˙ =
3 5
1 x 3
2 5
1 x 2
0 8
1 x 6
(f ) x˙ =
−
(6). Estude a estabilidade da origem para
dx dt dy dt
− −
=y = x + 2x3 .
... (7). Considere a equa¸ca˜o x + x¨ + x˙ + ax = 0 ou o sistema equivalente
− − − − − −− x˙ = y y˙ = z z ˙ = ax
y
z.
Ache os valores de a de modo que a solu¸ca˜o nula do sistema seja assintoticamente est´avel. (8). Desenhe o retrato de fase 4 4 x˙ x = . 4 0 y˙ y (9). Considere o sistema n˜ao linear
x˙ = x x2 xy y˙ = 12 y 12 y 2 34 xy
−
−
(a). Determine os pontos cr´ıticos. (b). Esbo¸car o retrato de fase local aproximado em torno de dois pontos cr´ıticos. Observa¸ca˜o: Para x 0, y 0 tal sistema ´e um modelo da intera¸ca˜o de duas culturas de bact´erias, sendo x(t), y(t) a popula¸ca˜o de cada uma no instante t.
≥
6.4
≥
Lista 4
(1). Determinar base (complexa e real) de x˙ = Ax onde A ´e sucessivamente dada por
1 3 2
−1 2 1
− − 4 1 1
,
0 2 1
−1 −3 −1
− − − 1 1 1
2 1 0 1 2 0 1 1 3
,
(2). Calcule eAt para a primeira matriz acima (3). Ache matizes A e B tal que eA+B = eA eB .
,
1 0 1
1 1 1
−
− 0 0 1
,
−
0 1 0 0
1 0 0 0
0 1 0 1
−
0 0 1 0
(4). Analise a estabilidade de: g sin x + cx˙ = 0, c > 0 L g ¨ + sin x = 0 x = x˙ = 0 de x L g ¨ + sin x = 0 x = π, x˙ = 0 de x L ¨+ x = x˙ = 0 de x
(5). Mostre que se x0 ´e ponto critico de x˙ = f (x) e se os autovalores de f x (x0 ) tiverem parte real negativa ent˜a o a solu¸ca˜o x(t) = x0 ´e uniformemente assintoticamente est´avel. Supomos que f : Rn Rn e classe 1 . (6). Analise a estabilidade da origem para
→
C
(7). Resolver o PVI
−
x˙ 1 = x1 sin x2 3x1 + 2x2 x˙ 2 = x1 + x21 .
−
y¨ + 6y˙ + 9y = g(t) ˙ = 1. g(0) = 0, y(0)
(8). Ache a solu¸ca˜o geral de x(4) + x = g(t). (9). Achar um base de solu¸co˜es reais de x˙ = Ax onde
−
2 0 0 0
A=
0 2 0 0
1 2 2 0
1 0 0 3
(10). Dˆe condi¸co˜es sobre a de modo que toda solu¸ca˜ o onde 1 a 1 1 A= 0 1
−
de x˙ = Ax tenda a zero quando t
→ +∞,
0 2 1
−
(11). Construir um exemplo com A(t) descont´ınuo de modo que todo autovalor de A(t) tem parte real α < 0, para algum α tal que existe solu¸ca˜ o de x˙ = A(t)x que n˜ao tende a zero quando t . Tomar A(t) peri´odica. Seguir a id´eia do exercicio (12). (12). Calcule os expoentes caracteristicos de y˙ = [A + Bm(t)]y, onde Bm (t) ´e 2mπ-peri´odica.
≤ →∞
A=
− − 3 0 0 1
Bm (t) = Analise geometricamente.
e Bm (t) = 0, 0
3 1
1 , 2mπ 1
− −
≤ t < 2mπ − π2 ,
− π2 ≤ t < 2mπ.
6.5
Lista 5
(1). Achar
M (A) onde λ
A=
−
−1 1 −3 1 −1 −1
0 2 1
para cada λ = autovalor de A. (2). Achar a forma canˆonica para
eA=
− − − 0 1 0 0
A=
(3). Achar base de solu¸co˜es reais de y (4) (4). Considere o sistema
1 0 1
1 0 0 0
0 1 0 1
−
1 1 1
− −
− 0 0 1
,
0 0 1 0
y = 0.
x˙ = x + y y˙ = x y.
− −
(a). Analise a estabilidade via autovalores (b). Prove o mesmo fato ajustando uma fun¸ca˜o de Liapunov para o sistem (c). Use a mesma fun¸ca˜o de Liapunov para estudar a estabilidade da origem de
− − − − −y . 0, |x| ≤ δ . Mostre que existe vizinhan¸ca V (5). Supomos que g ´e de classe C , xg(x) > 0, x = x˙ = x + y + xy y˙ = x y x2
3
1
da origem tal que toda solu¸ca˜o de
x˙ = y y˙ = g(x),
−
que come¸ca em V , permanece em V . Al´em disso essa solu¸ca˜o ´e peri´odica. (6). Demonstrar que a solu¸ca˜o (x, x) ˙ = (0, 0) de x¨ + αx˙ + βx = 0 ´e assintoticamente esat´avel, usando funcionais de Liapunov, β, α > 0. (7). Seja 1 0 x21 + f (x), x˙ = x+( 0 1 0
−
onde f (x) = O( x 3 ). Calcule a variedade est´avel ate termo de ordem dois. (8). Encontre os pontos cr´ıticos e discuta a estabilidade dos mesmos, para
||
− − −
x˙ = y x y˙ = x x2 .
(9). Dada a equa¸ca˜o x˙ = Ax encontrar as variedades est´avel e inst´avel da origem onde, A=
−
2 0 0
−
1 1 7 10 5 8
− −
(10). Sejam A matriz real n n, tal que A n˜ao tem autovalores com parte real zero e f : R Rn cont´ınua e limitada em R. Mostre que a equa¸ca˜o x˙ = Ax+f (t) tem uma u ´ nica solu¸ca˜o limitada em R e essa solu¸ca˜o ´e dada por
×
→
t
x(t) =
t
A(t−s)
e
Π− f (s)ds +
−∞
eA(t−s) Π+ f (s)ds
∞
onde Π− , Π+ s˜ ao, respectivamente, as proje¸co˜es sobre a variedade est´avel e inst´avel de x˙ = Ax. (11). Mostrar que a origem do sistema
x˙ = x 2y 2 y˙ = xy y 3
− − −
´e assintoticamente est´avel. (Sugest˜ ao: Ajustar a fun¸ca˜o de Liapunov da forma V (x, y) = x2 + ay 2.) (12). Ajustar a fun¸ca˜o V (x, y) = x2 xy + by2 de modo a provar a instabilidade da origem para x˙ = x + y y˙ = 4x + 3y.
−
− −
Referˆ encias Bibliogr´ aficas [1]
¨, Bhatia and Szego
[2]
E. Coddington and N. Levinson,
Stability Theory of Dynamical Systems Theory of Ordinary Differential Equations Mc Graw-
hill, 1955. Ordinary Diferential Equations , Krieger Publishin Company, 1980.
[3]
J. K. Hale,
[4]
S. Lang,
[5]
Charles C. Pugh,
Introduction to Differentiable Manifolds , Intersciene, pp. 12–13, 1965.
On a Theorem of P. Hartman , American Jouranl of Mathematics 91, 2, pp. 363–367, 1969.
´Indice Remissivo ´ Orbita de uma solu¸ca˜o, 33 Multiplicidade alg´ebrica, 53 geom´etrica, 53 Aplica¸ca˜o definida negativa, 83 definida positiva, 83 localmente Lipschitziana, 15 compacta, 6 completamente cont´ınua, 6 Autoespa¸co Generalizado λ (A), 53 Autovetor generalizado, 53
M
Centro, 60 Conjunto α-limite , 36 ω-limite, 36 equicont´ınuo, 7 invariante, 38 minimal, 40 Contra¸ca˜o uniforme, 15 Corol´ario de Liapunov, 64 Crit´erio de Sylvester, 87 Derivada ao longo de uma solu¸ca˜o, 84 de Frechet, 24 Desigualdade de Gronwall, 13 de Gronwall Generalizada, 13 Dimens˜ ao de λ (A), 53 Divisores elementares simples, 53 Dom´ınio de defini¸ca˜o de x(t, t0 , x0 ), 15
M
EDO solu¸ca˜o, 5 Equa¸ca˜o adjunta, 45 de Lienard, 96 Van der Pol, 96 Espa¸co de fase, 34
Existencia de Solu¸co˜es do (PVI), 5 Expoente Caracter´ıstico, 65 Foco est´avel, 61 Fun¸co˜es linearmente independentes, 43 Lema Abel-Liouville-Jacobi, 46 de Liapunov, 87 de Zorn, 40 Matriz fund. de um sistema homogˆeneo, 44 Monodrom´ıa, 64 principal de um sistema homogˆeneo, 44 solu¸ca˜o de um sistema homogˆeneo, 43 Multiplicadores Caracter´ısticos, 64 N´o est´avel, 59 impr´oprio, 61 impr´oprio est´avel, 61 inst´avel, 59 Ponto de equil´ıbrio, 34 de Sela, 59 regular, 34 Problema de Valor Inicial (PVI), 5 Prolongamento, Continua¸ca˜o ou Extens˜a o de Solu¸co˜es, 10 Retrato de fase, 35 Segmento Transversal, 100 Sistema autonˆomo, 33 homoˆeneo, 43 n˜ao-homegˆeneo, 43 Solu¸ca˜o est´avel de um (PVI), 28 int´avel, 29
