UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS SEGUNDO EXAMEN PARCIAL COLEGIADO ÁLGEBRA LINEAL
SEMESTRE 2003 - 2
TIPO “A” 24 DE MAYO DE 2003
INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 7 reactivos que componen el examen antes de comenzar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2.5 horas.
1. En el espacio vectorial 3 se define la función f ( x | y ) =
3
∑
xk yk k
k =1
∀ x = ( x1 , x2 , x3 ) , y = ( y1 , y2 , y3 ) ∈ 3
determinar si la función f función f es es un producto interno en
3
. En caso afirmativo obtener los valores de
α ∈ para
que el vector r = ( α , 2 α , 3 α ) sea unitario; en caso negativo indicar los axiomas que no se cumplen.
15 puntos
2. Sean
P1
el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a uno con coeficientes reales y
el producto interno en
P1
definido por: ( p | q) = β
Determinar el valor de
∫
2
−1
p( x) q( x) dx
∀ p, q ∈ P1; β ∈ , β > 0
β para que la distancia entre los polinomios m (x ) = − 2x + 1 y n( x) = 3 sea tres. 14 puntos
3.
Sea V un espacio vectorial real con producto interno. Demostrar que cumple que u − v 2= u 2+ v 2− 2 u v cosθ
∀ u ,v ∈ V ; u ≠ 0, v ≠ 0 , se
donde θ es el ángu ngulo entre u y v .
14 puntos
2-A 4. Sean S = { ( x, y, z ) | x + y − z = 0 ; x, y, z ∈ } un subespacio de
3
y el producto interno en
3
definido
por
( x | y ) = x1 y1 + 2 x2 y2 + 3 x3 y3
∀ x = ( x1 , x2 , x3 ) , y = ( y1 , y2 , y3 ) ∈ 3
Obtener una base ortogonal de S .
14 puntos
5. En el espacio vectorial complejo 2 se define el producto interno usual como ( u | v ) = u1v1 + u2 v2
∀ u = ( u1 , u2 ) , v = ( v1 , v2 ) ∈ 2
donde v1 y v2 representan el conjugado de v1 y v2 , respectivamente. Determinar el número a ∈ para que el conjunto D = { ( 1 + i, 2i ) , ( 3 + i, a ) } sea una base ortogonal de una base ortonormal de
2
2
. Además, a partir de la base D, base D, obtener obtener
.
14 puntos
6. Sean M 2 el espacio vectorial complejo de las matrices de 2x2 con elementos complejos y H
(1 + 2i) z 0 = 0 (1 − i )w
; z, w ∈
un subespacio de M 2 , y sea el producto interno en M 2 definido por
( A | B ) = tr ( AB * )
∀ A, B ∈ M 2
donde B* donde B* es es la matriz conjugada transpuesta de B. de B. Determinar el complemento complemento ortgonal, H ortgonal, H ⊥ , de H de H .
14 puntos
7. Sea el producto interno en 3 definido por ( x | y ) = 2x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
∀ x = ( x1 , x2 , x3 ) , y = ( y1 , y2 , y3 ) ∈ 3
= { ( x, y, − 2 x + y ) | x , y ∈ } un subespacio de vector u = ( 1, 1, − 2, 4 ) sea mínima.
y sea W
3
. Determinar el vector v ∈ W cuya distancia al
15 puntos
Soluciones del Segundo Examen Parcial Colegiado Álgebra Lineal Semestre: 2003-2 1. La función f es un producto interno. 2.
β=
α =±
3 3
1
4 4. Una base ortogonal de S es BO
= { ( 1, 1, 0, 0 , 1) 1 ), ( 3, −4, − 1 ) } 1 1 ( 1 + i, 2 i ), ( 3 + i, − 1 − 2 i ) 15 6
5. a = −1 − 2 i Una base ortonormal es BON =
6. H ⊥
7. v
0 b = b, c ∈ c 0
= ( − 1, 0, 0, 2 )
