Matematika Diskrit
DAFTAR ISI BAB 1. PENDAHULUAN ..................................................................................................1 A. DEFINISI .................................................................................................................................. 1 B. HUBUNGAN MATEMATIKA DISKRIT DENGAN MATAKULIAH LAIN............................................. 1 C. MATERI YANG DIBAHAS........................................................................................................... 1 D. PENERAPAN / APLIKASI MATEMATIKA DISKRIT ........................................................................ 2
BAB 2. DASAR-DASAR LOGIKA ........................................................................................3 A. KALIMAT DEKLARATIF.............................................................................................................. 3 B. PENGHUBUNG KALIMAT.......................................................................................................... 3
BAB 3. ALJABAR BOOLE ............................................................................................... 13 1. STRUKTUR ALJABAR............................................................................................................... 13 2. FUNGSI BOOLEN .................................................................................................................... 13 3. EKSPRESI BOOLEN ................................................................................................................. 13 4. BENTUK NORMAL DISJUNGTIF ............................................................................................... 16
BAB 4. METODE PEMBUKTIAN ..................................................................................... 21 A. PETUNJUK UMUM DALAM EMBUKTIAN ................................................................................ 21 B. METODE PEMBUKTIAN LANGSUNG ....................................................................................... 22 C. METODE PEMBUKTIAN TAK LANGSUNG ................................................................................ 23 D. METODE PEMBUKTIAN DENGAN KONTRADIKSI ..................................................................... 23 E. METODE PEMBUKTIAN DENGAN KONTRAPOSISI ................................................................... 24 F. MEMILIH METODE PEMBUKTIAN........................................................................................... 25
BAB 5. INDUKSI MATEMATIKA ..................................................................................... 26 A. PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA ............................................................................................. 26 B. APLIKASI INDUKSI MATEMATIKA DALAM PEMROGRAMAN .................................................... 29
BAB 6. HIMPUNAN ...................................................................................................... 31 A. DASAR TEORI HIMPUNAN ...................................................................................................... 31 B. MENYATAKAN HIMPUNAN .................................................................................................... 31 C. DIAGRAM VENN .................................................................................................................... 33 D. HIMPUNAN BAGIAN DAN KESAMAAN HIMPUNAN ................................................................ 34 E. SEMESTA PEMBICARAAN DAN HIMPUNAN ............................................................................ 35 F. OPERASI-OPERASI PADA HIMPUNAN ..................................................................................... 35 G. PEMBUKTIAN-PEMBUKTIAN HIMPUNAN ............................................................................... 38
H. HIMPUNAN KUASA ................................................................................................................ 41
BAB 7. KOMBINATORIKA ............................................................................................. 42 A. DASAR PERHITUNGAN ........................................................................................................... 42 B. ATURAN PEMNJUMLAHAN .................................................................................................... 42 C. ATURAN PERKALIAN .............................................................................................................. 43 D. PENGHITUNG TAK LANGSUNG ............................................................................................... 43 E. KORESPONDENSI SATU-SATU ................................................................................................ 44 F. KOMBINASI DAN PERMUTASI ................................................................................................ 45 G. FAKTORIAL ............................................................................................................................ 46 H. KOMBINASI ........................................................................................................................... 47 I.
PERMUTASI ........................................................................................................................... 48
J.
KOMBINASI DAN PERMUTASI DENGAN ELEMEN BERULANG .................................................. 48
K. PETUNJUK DALAM PERHITUNGAN ......................................................................................... 49 L. KOEFISIEN BINOMIAL ............................................................................................................ 49 M. IDENTITAS-IDENTITAS DALAM KOMBINASI DAN PERMUTASI ................................................. 50 N. SEGITIGA PASCAL .................................................................................................................. 50 O. TEOREMA BINOMIAL DAN MULTINOMIAL ............................................................................ 50 P. PRINSIP INKLUSI DAN EKSKLUSI ............................................................................................. 50 Q. BEBERAPA APLIKASI KOMBINATORIKA DALAM ILMU KOMPUTER .......................................... 53
BAB 8. TEORI GRAF ...................................................................................................... 54 A. PENGERTIAN GRAF ................................................................................................................ 54 B. GRAF SECARA FORMAL .......................................................................................................... 55 C. PEWARNAAN......................................................................................................................... 60 D. CONTOH PROBLEMA GRAF .................................................................................................... 61
BAB 9. RELASI ............................................................................................................. 65 A. RELASI HIMPUNAN ................................................................................................................ 65 B. OPERASI-OPERASI PADA RELASI ............................................................................................. 66 C. REPRESENTASI RELASI DALAM GRAF DAN MATRIKS ............................................................... 67 D. JENIS-JENIS RELASI................................................................................................................. 68 E. RELASI EKUIVALEN................................................................................................................. 70 F. TUTUPAN (CLOSURE) ............................................................................................................. 71 G. PARTIAL ORDERING DAN TOTAL ORDER ................................................................................ 71 H. LATTICE ................................................................................................................................. 71
I.
APLIKASI RELASI DALAM ILMU KOMPUTER RELASI BASISDATA .............................................. 72
BAB 10. FUNGSI........................................................................................................... 74 A. FUNGSI YANG DIDEFINISIKAN PADA HIMPUNAN ................................................................... 74 B. FUNGSI IDENTITAS................................................................................................................. 75 C. FUNGSI KONSTAN.................................................................................................................. 75 D. FUNGSI LANTAI (FLOOR FUNCTION)....................................................................................... 76 E. FUNGSI JARAK HAMMING ..................................................................................................... 76 F. FUNGSI POLINOMIAL ............................................................................................................. 77 G. FUNGSI EKSPONENSIAL ......................................................................................................... 77 H. FUNGSI LOGARITMA .............................................................................................................. 77 I.
KESAMAAN FUNGSI ............................................................................................................... 78
J.
FUNGSI INJEKTIF, SURJEKTIF, DAN BIJEKTIF ............................................................................ 78
K. INVERS FUNGSI...................................................................................................................... 79 L. PRINSIP KANDANG MERPATI (PIGEONHOLE PRINCIPLE) ......................................................... 80 M. KOMPOSISI FUNGSI .............................................................................................................. 81 N. FUNGSI DALAM BAHASA PEMROGRAMAN ............................................................................ 81
BAB 11. FUNGSI........................................................................................................... 82 A. PENDAHULUAN ..................................................................................................................... 82 B. NOTASI "O" ........................................................................................................................... 82 C. EFISIENSI ALGORITMA .......................................................................................................... 83
BAB 12. STRUKTUR ALJABAR ........................................................................................ 84 A. SISTEM ALJABAR.................................................................................................................... 84 B. SEMIGRUP, MONOID, DAN GRUP SEMIGRUP......................................................................... 84 C. JENIS-JENIS GRUP .................................................................................................................. 85 D. SUBGRUP .............................................................................................................................. 87 E. KOSET DAN TEOREMA LAGRANGE ......................................................................................... 87 F. RING DAN FIELD .................................................................................................................... 87 G. HUBUNGAN ANTARA GRUP,RING, DAN FIELD ........................................................................ 88
Bab 1 Pendahuluan A. DEFINISI Benda dikatakan diskrit jika ia terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang berbeda atau elemen-elemen yang tidak bersambungan. Himpunan bilangan bulat (integer) dipandang sebagai objek diskrit. Kita dapat memahami diskrit dengan membandingkan lawan katanya yaitu kontinyu atau menerus (continuous). Himpunan bilangan riil (real) dipandang sebagai objek yang kontinyu. Di dalam matematika kita mengenal fungsi diskrit dan fungsi kontinyu. Fungsi diskrit digambarkan sebagai kumpulan titik-titik, sedangkan fungsi kontinyu digambarkan sebagai kurva. Matematika diskrit adalah cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Matematika diskrit berkembang sangat pesat dalam decade terakhir ini. Salah satu alasan yang menyebabkan perkembangan pesat ini adalah karena computer digital bekerja secara diskrit. Informasi yang disimpan dan dimanipulasi oleh computer adalah dalam bentuk diskrit.
B. HUBUNGAN MATEMATIKA DISKRIT DENGAN MATAKULIAH LAIN Matematika diskrit merupakan ilmu paling dasar di dalam pendidikan informatika atau ilmu computer. Pada dasarnya informatika adalah kumpulan disiplin ilmu dan teknisk yang mengolah dan memanipulasi objek diskrit. Matematika diskrit memberikan landasan matematis unutk kuliah-kuliah lain di informatika. Mahasiswa yang mengambil kuliah seperti algoritma, struktur data, basis data, otomata dan teori bahasa formal, jaringan computer, keamanan computer, system operasi, teknik kompilasi dan sebagainya akan mengealami kesulitan jika tidak mempunyai landasan matematis dari matematika diskrit. Hal ini tidak mengherankan karena kebanyakan kuliah tersebut sering mengacu kepada konsep-konsep di dalam matematika diskrit. Karena itulah kuliah matematika diskrit diberikan pada tahun pertama perkuliahan informatika atau ilmu computer.
C. MATERI YANG DIBAHAS Di dalam kuliah matematika diskrit, materi matematika yang diberikan adalah matematika khas informatika, sehingga kadang-kadang kuliah ini dinamakan juga matematika informatika. Adapun materi-materi yang termasuk dalam matematika diskrit adalah: 1. Logika 2. Teori Himpunan
1
3. Matriks 4. Relasi dan Fungsi 5. Induksi Matematik 6. Algortima 7. Teori Bilangan Bulat 8. Barisan dan Deret 9. Teori Grup dan Ring 10. Aljabar Boolean 11. Kombinatorial 12. Teori Peluang Diskrit 13. Fungsi Pembangkit dan Analisis Rekurens 14. Teori Graf 15. Kompleksitas Algoritma 16. Pemodelan Komputasi Beberapa materi akan dipelajari lebih mendalam, seperti materi algoritma dipelajari secara lebih mendalam pada kuliah Algoritma dan Pemrograman, teori peluang diskrit pada kuliah Probabilitas dan Statistik, Pemodelan komputasi pada kuliah Otomata dan Teori Bahasa Formal, fungsi pembangkit dimasukkan ke dalam kuliah Model dan SImulasi, sedangkan barisan dan deret biasanya dimasukkan ke dalam kuliah kalkulus.
D. PENERAPAN / APLIKASI MATEMATIKA DISKRIT Berikut ini contoh-contoh persoalan dalam kehidupan sehari-hari yang diselesaikan matematika diskrit:
dengan
1. Berapa banyak kemungkinan jumlah password yang dapat dibuat dari 8 karakter? 2. Berapa banyak string biner yang panjangnya 8 bit yang mempunyai bit 1 sejumlah ganjil? 3. Bagaimana menentukan lintasan terpendek dari satu kota a ke kota b? 4. “Makanan murah tidak enak”, “Makanan enak tidak murah”. Apakah kedua pernyataan tersebut menyetakan hal yang sama?
2
Bab 2 Dasar-dasar Logika A. KALIMAT DEKLARATIF Kalimat Deklaratif (Proposisi) adalah kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak keduanya. Berikut ini adalah beberapa contoh Proposisi : 2+2=4 4 adalah bilangan prima Jakarta adalah ibukota negara Indonesia Penduduk Indonesia berjumlah 50 juta
B. PENGHUBUNG KALIMAT Sering kali beberapa kalimat perlu digabungkan menjadi satu kalimat yang lebih panjang. Misalnya kalimat : ` 4 adalah bilangan gena dan 3 adalah bilangan ganjil ` merupakan gabungan dari 2 buah kalimat : ` 4 adalah bilangan genap ` dan kalimat ` 3 adalah bilangan ganjil ` didalam logika dikenal 5 buah penghubung : Simbol
Arti
Bentuk
1
~
Tidak / Not / Negasi
Tidak .........
2
^
Dan / And / Konjungsi
….. dan ……
3
v
Atau / Or / Disjungsi
….. atau ........
4
→
Implikasi
Jika ....... maka .......
5
↔
Bi – implikasi
......bila dan hanya bila ......
Dalam matematika digunakan huruf – huruf kecil seperti p, q, r, ... untuk menyatakan sub kalimat dan simbol – simbol penghubung untuk menyatakan penghubung kalimat. Misalkan : p menyatakan kalimat ` 4 adalah bilangan genap ` q menyatakan kalimat ` 3 adalah bilangan ganjil `
3
Maka kalimat : 1 4 adalah bilangan genap dan 3 adalah bilangan ganjil ` dapat dinyatakan dengan simbol p ^ q Jika p dan q merupakan kalimat – kalimat, maka tabel kebenaran penghubung tampak pada tabel ( T = True/benar , F = False/salah ). Perhatikan bahwa secara umum, jika ada n variabel ( p, q, ...), maka tabel kebenaran memuat 2n baris. P
q
~p
p^q
pvq
p→q
p↔q
B
B
S
B
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
B
S
B
B
S
S
S
B
S
S
B
B
Contoh : Misal
k : Monde orang kaya s : Monde bersuka cita
Tulis bentuk simbolis kalimat berikut ini : a.
Monde orang yang miskin tetapi bersuka cita
b.
Monde orang kaya atau ia sedih
c.
Monde tidak kaya ataupun bersuka cita
d.
Monde seorang yang miskin atau ia kaya tetapi sedih
Anggaplah negasi dari kaya adalah miskin dan negasi dari bersuka cita adalah sedih Penyelesaian : a Kata penghubung tetapi mempunyai arti yang sama dengan kata penghubung sehingga simbolisnya adalah ~ k ^ s
`dan`,
bkv~s c Kalimat tersebut berarti bahwa Monde tidak kaya dan sekaligus Monde tidak bersuka cita. Bentuk simbolisnya ~ k ^ ~ s d ~ k v (k ^ ~ s)
4
TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI Dalam argumentasi matematika kadang-kadang kita perlu mengganti sebuah pernyataan dengan pernyataan lain yang mempunyai nilai kebenaran yang sama. Dua pernyataan yang selalu mempunyai nilai kebenaran yang sama disebut ekivalen secara logis. Kita menggunakan notasi p ≡ q untuk menyatakan bahwa p ekivalen dengan q. p
q
-p
-q
pq
-p-q
qp
-q-p
B
B
S
S
B
B
B
B
B
S
S
B
S
B
B
S
S
B
B
S
B
S
S
B
S
S
B
B
B
B
B
B
Dari Tabel di atas kita peroleh (p q)≡ (-q- p) dan (q p) ≡(-p -q) Ekivalensi logis ini bisa juga ditulis sebagai implikasi dua arah dengan notasi p↔q. Implikasi dua arah, p↔q, ini dibaca p jika dan hanya jika q atau p adalah syarat perlu dan cukup untuk q. Pernyataan terakhir menunjukkan bahwa p↔ q ekivalen dengan pq dan qp Perhatikan table kebenaran berikut: p
q
pq
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
Perhatikan bahwa implikasi dua arah p↔q bernilai nenar hanya jika p dan q memiliki nilai kebenaran yang sama, yaitu kedua-duanya benar atau kedua-duanya salah. Selanjutnya, tautologi adalah pernyataan yang selalu benar apapun kombinasi nilai kebenaran pernyataanpernyataan yang ada di dalamnya. Sebaliknya pernyataan yang selalu salah disebut kontradiksi dan pernyataan yang bukan tautologi ataupun kontradiksi disebut kontingensi. Kita akan menggunakan notasi T untuk tautologi dan F untuk kontradiksi. Defnisi ekivalensi dan implikasi dua arah menyarankan bahwa p dan q ekivalen jika p↔q merupakan tautologi.
5
Perhatikan tabel kebenaran berikut p
q
pq
qp
(pq) ⋀(qq)
p↔q
B
B
B
B
B
B
B
S
S
B
S
S
S
B
B
S
S
S
B
S
B
B
B
B
Dari tabel ini terlihat bahwa (p q) ^ (qq) ekivalen dengan p⟷q dan kita dapat menulisnya sebagai (pq) ^ (qq) ≡ p ⟷ q Kita dapat juga memperlihatkan bahwa ((p q) ^ (q q)) ⟷ (p ⟷q) adalah tautologi.
KONVERS, INVERS, dan KONTRAPOSISI Inversi dari implikasi p q adalah -p -q, sedangkan konversinya adalah qp. Selanjutnya, q -p disebut kontraposisi. Misalkan p : Minggu depan ada ujian, q : Mahasiswa sibuk belajar. Maka p q : Jika minggu depan ada ujian, maka mahasiswa sibuk belajar. -p -q : Jika minggu depan tidak ada ujian, maka mahasiswa tidak sibuk belajar q p : Jika mahasiswa sibuk belajar, maka minggu depan ada ujian. -q -p : Jika mahasiswa tidak sibuk belajar, maka minggu depan tidak ada ujian. p
q
-p
-q
pq
-p -q
qp
-q -p
B
B
S
S
B
B
B
B
B
S
S
B
S
B
B
S
S
B
B
S
B
S
S
B
S
S
B
B
B
B
B
B
6
Table di tas memperlihatkan bahwa pq memiliki nilai kebenaran yang sama dengan -q -p, sedangkan q p mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan -p -q. Pernyataanpernyataan yang mempunyai nilai kebenaran selalu sama disebut pernyataan yang ekivalen. Jadi pernyataan "jika minggu depan ada ujian, maka mahasiswa sibuk belajar" ekivalen dengan pernyataan "jika mahasiswa tidak sibuk belajar, maka minggu depan tidak ada ujian". Hal ini bisa dijelaskan sebagai berikut. Jika mahasiswa tidak sibuk belajar, pasti minggu depan tidak ada ujian sebab kalau ada mahasiswa akan sibuk belajar. Lain halnya dengan inversi dan konversinya. Jika minggu depan tidak ada ujian belum tentu mahasiswa tidak sibuk belajar, sebaliknya jika mahasiswa sibuk belajar belum tentu minggu depan ada ujian.
INFERENSI LOGIKA Logika selalu berhubungan dengan pernyataan – pernyataan yang ditentukan nilai kebenarannya. Sering kali diinginkan untuk menentukan benar tidaknya kesimpulan berdasarkan sejumlah kalimat yang diketahui nilai kebenarannya. Argumen Valid dan Invalid Argumen adalah rangkaian kalimat – kalimat. Semua kaliamat – kalimat tersebut kecuali yang terakhir disebut hipotesa ( atau asumsi/premise). Kalimat terakhir disebut kesimpulan. Secara umum, hipotesa dan kesimpulan dapat digambarkan sebagai berikut : P1 P2 P3 ... Pn -------------------q } kesimpulan (tanda
q dibaca ` jadi q `
Suatu argumen dikatakan valid apabila untuk sembarang pernyataan yang disubsitusikan kedalam hipotesa, jika semua hipotesa tersebut benar, maka kesimpulan juga benar. Sebaliknya meskipun semua hipotesa benar tetapi ada kesimpulan yang salah, maka argumen tersebut dikatakan invalid. Kalau suatu argumen dan semua hipotesanya bernilai benar maka kebenaran nilai konklusi dikatakan sebagai ` diinferensikan (diturunkan) dari kebenaran hipotesa `.
7
Untuk mengecek apakah suatu argumen merupakan kalimat yang valid, dapat dilakukan langkah – langkah sebagai berikut : 1. Tentukan hipotesa dan kesimpulan kalimat. 2.
Buat tabel yang merupakan nilai kebenaran untuk semua hipotesa dan kesimpulan.
3.
Carilah baris kritis, yaitu baris dimana semua hipotesa bernilai benar.
Dalam baris kritis tersebut, jika semua nilai bernilai benar, maka argumen itu valid. Jika diantara baris kritis tersebut ada baris dengan nilai kesimpulan yang salah, maka argumen itu invalid. Contoh Tentukan apakah argumen ini valid / invalid a pv(qvr)
b p→(qv~r)
~r
q→(p^r)
----------------
--------------------
pvq
p→r
Penyelesaian : a Ada 2 hipotesa masing – masing p v ( q v r ) dan ~ r. Kesimpulannya adalah p v q. Tabel kebenaran hipotesa – hipotesa dan kesimpulan adalah : Baris ke
p
q
r
qvr
p v (qvr)
~r
pvq
1
B
B
B
B
B
S
B
2
B
B
S
B
B
B
B
3
B
S
B
B
B
S
B
4
B
S
S
S
B
B
B
5
S
B
B
B
B
S
B
6
S
B
S
B
B
B
B
7
S
S
B
B
B
S
S
8
S
S
S
S
S
B
S
8
Baris kritis adalah baris 2, 4, 6 (baris yang semua hipotesanya bernilai T. Pada baris – baris tersebut kesimpulannya juga bernilai T. Maka argumen tersebut valid. b Hipotesa adalah p → ( q v ~ r ) dan kebenarannya adalah
q → ( p ^ r ). Konklusinya adalah p → r, tabel
Baris ke
p
q
r
~r
qv~r
p^r
p→(qv~r)
q→(p^q)
P→r
1
B
B
B
S
B
B
B
B
B
2
B
B
S
B
B
S
B
S
S
3
B
S
B
S
S
B
S
B
B
4
B
S
S
B
B
S
B
B
S
5
S
B
B
S
B
S
B
S
B
6
S
B
S
B
B
S
B
S
B
7
S
S
B
S
S
S
B
B
B
8
S
S
S
B
B
S
B
B
B
Baris kritis adalah baris 1, 4, 7, dan 8. Pada baris ke 4 (baris kritis) nilai konklusinya adalah F, maka argumen tersebut invalid. Metode Inferensi yaitu teknik untuk menurunkan kesimpulan berdasarkan hipotesa yang ada, tanpa harus menggunakan tabel kebenaran. Ada delapan bentuk inferensi adalah ATURAN 1. Modus Ponen
BENTUK ARGUMEN p→q p -------q
2. Modus Tollen
p→q ~q -------~p
9
3 Penambahan Disjangtif
4 Penyederhanaan Kojungtif
5 Silogisme Disjungtif
6 Silogisme Hipotesis
p
q
-------
-------
pvq
pvq
p^q
p^q
------
------
p
q
pvq
pvq
~p
~q
-------
-------
q
p p→q q→r -------p→r
7 Dilema
pvq p→r q→r --------r
8 Kojungsi
p q ------p^q
Contoh : Pada suatu hari, anda hendak pergi ke kampus dan baru sadar bahwa anda tidak memakai kacamata. Setelah mengingat-ingat, ada beberapa fakta yang anda pastikan kebenarannya :
10
a. Jika kacamata ada di meja dapur, maka aku pasti sudah melihatnya ketika sarapan pagi b. Aku membaca koran di ruang tamu atau aku membacanya di dapur c.
Jika aku membaca koran di ruang tamu, maka pastilah kacamata kuletakkan di meja tamu
d. Aku tidak melihat kacamataku pada waktu sarapan pagi e. Jika aku membaca buku di ranjang, maka kacamata kuletakkan di meja samping ranjang f.
Jika aku membaca korang di dapur, maka kacamataku ada di meja dapur
Berdasarkan fakta-fakta tersebut, tentukan di mana letak kacamata tersebut ! Penyelesaian : Untuk memudahkan pemahaman dan penggunaan hukum – hukum inferensi, maka kalimat – kalimat tersebut lebih dahulu dinyatakan dalam simbol – simbol logika misalnya : p : Kacamata ada di meja dapur q : Aku melihat kacamataku ketika sarapan pagi r : Aku membaca koran di ruang tamu s : Aku membaca koran di dapur t : Kacamata kuletakkan di meja tamu u : Aku membaca buku di ranjang W : Kacamata kuletakan dimeja sampan ranjang Dengan simbol – simbol tersebut maka fakta – fakta di atas dapat di tulis sebagai berikut : p→q rvs r→t ~q u→w s→p Inferensi yang dapat dilakukan adalah sebagai berikut : 1p→q
fakta (a)
11
~q
fakta (d)
-------~p
dengan Modus Tollen
2 s → p fakta (f) ~p
kesimpulan dari 1
--------~s
3rvs ~s
dengan Modus Tollen
fakta (b) kesimpulan 2
--------r
dengan Silogisme Disjungtif
4 r → t fakta (c) r
kesimpulan 3
--------t
dengan Modus Ponen
Kesimpulan : Kacamata ada di meja tamu Perhatikan bahwa untuk mencapai kesimpulan akhir, tidak semua fakta dipergunakan. Dalam contoh fakta (e) tidak digunakan. Hal ini tidak menjadi masalah selama penurunan dilakukan dengan menggunakan metode inferensi yang benar.
12
Bab 3 Aljabar Boole Aljabar boolean merupakan aljabar yang berhubungan dengan variabel-variabel biner dan operasi-operasi logik. Variabel-variabel diperlihatkan dengan huruf-huruf alfabet, dan tiga operasi dasar dengan AND, OR dan NOT (komplemen). Fungsi boolean terdiri dari variabelvariabel biner yang menunjukkan fungsi, suatu tanda sama dengan, dan suatu ekspresi aljabar yang dibentuk dengan menggunakan variabel-variabel biner, konstanta-konstanta 0 dan 1, simbol-simbol operasi logik, dan tanda kurung. Suatu fungsi boolean bisa dinyatakan dalam tabel kebenaran. Suatu tabel kebenaran untuk fungsi boolean merupakan daftar semua kombinasi angka-angka biner 0 dan 1 yang diberikan ke variabel-variabel biner dan daftar yang memperlihatkan nilai fungsi untuk masing-masing kombinasi biner. Aljabar boolean mempunyai 2 fungsi berbeda yang saling berhubungan. Dalam arti luas, aljabar boolean berarti suatu jenis simbol-simbol yang ditemukan oleh George Boole untuk memanipulasi nilai-nilai kebenaran logika secara aljabar. Dalam hal ini aljabar boolean cocok untuk diaplikasikan dalam komputer. Disisi lain, aljabar boolean juga merupakan suatu struktur aljabar yang operasi-operasinya memenuhi aturan tertentu.
1. STRUKTUR ALJABAR Secara umum, aljabar Boolean, didefinisikan sebagai suatu himpunan dengan operasi “⋀”, “ ∨”, dan “-“ (atau ‘) serta elemen 0 dan 1 yang memenuhi sifat-sifat berikut: Hukum Komutatif xvy=yvx x^y=y^x Hukum Asosiatif (x v y) v z = x v (y v z) (x ^ y) ^ z = x ^ (y ^ z) Hukum Distributif x v (y ^ z)= (x v y) ^ (x v z) x ^(y v z) = (x ^ y) v (x ^ z)
13
Hukum Identitas xv0=x x^1=x Hukum Negasi (komplemen) x v x’ = 1 x ^ x’ = 0 Untuk lebih menyerupai operas-operasi aritmatika, kadang-kadang symbol “v” dituliskan sebagai “+” dan “^” dituliskan sebagai “*”, atau tidak dituliskan sama sekali. Teorema Hukum Idempoten xvx= x x^x=x Hukum Ikatan Xv1=1 X^0=0 Hukum Absorbsi (x ^y) v x = x (x v y) ^ x =x Hukum De Morgan (x v y)’ = x’ ^ y’ (x ^ y)’ = x’ v y’ Bukti Xvx
= (x v x) ^ 1
Hukum Identitas
= (x v x) ^ (x v x’)
Hukum Negasi
= x v ( x ^ x’)
Hukum Distributif
=xv0
Hukum Negasi
14
Xv1
=x
Hukum Identitas
= x v (x v x’)
Hukum Negasi
= (x v x) v x’
Hukum Asosiatif
= x v x’
Hukum Idempoten
=1
Hukum Negasi
(x ^ y) v x
= (x ^ y) v (x ^ 1)
Hukum Identitas
= x ^ (y v 1)
Hukum Distributif
=x^1
Hukum Ikatan
=x
Hukum Identitas
2. FUNGSI BOOLEN Misal B = (B, v, ^, -, 0, 1) adalah aljabar Boole. Suatu fungsi Boolean variable adalah fungsi f:Bn B Fungsi Boolean sederhana adalah jika B = {0,1}. Jadi , f:{0,1}n {0,1} Masukannya adalah {0,1}n dan keluaran fungsi adalah {0,1}. Operasi Not, And (dan), Or (atau) dalam logika dapat dipandang sebagai fungsi Boolean dari {0,1}2 {0,1} 1. Fungsi Not {0,1} {0,1} didefinisikan sebagai Not (x) =
0 1
2. Fungsi itu biasanya ditulis –(x)
3. Fungsi And {0,1}2 {0,1} didefinisikan sebagai And (x,y) =
0 1
4. Fungsi Or {0,1}2 {0,1} didefinisikan sebagai
15
Or (x,y) =
0 1
3. EKSPRESI BOOLEN Ekspresi boole dalam n buah variable x1, x2,…,xn didefinisikan secara rekursif sebagai berikut: 1. 0 dan 1 adalah ekspresi Boole. 2. x1, x2,…,xn adalah ekspresi Boole. 3. Jika E1 dan E2 adalah ekspresi Boole, maka E1 ^ E2, E1 v E2, E1’ adalah ekspresi Boole juga.
4. BENTUK NORMAL DISJUNGTIF Ekspresi Boole yang hanya terdiri dari satu variable (atau komplemennya) disebut literal. Setengah dari nilai fungsi ekspresi yang berbentuk Literal akan bernilai 1 dan setengah yang lain bernilai 0.
RANKAIAN LOGIKA Selain sebagai suatu struktur aljabar, aljabar boole juga sangat tepat untuk diaplikasikan dalam rangkaian listrik. Analogi antara struktur aljabar dan rangkaian listrik dapat dilihat dalam table berikut: Jenis
Gambar
Arti
Saklar Terbuka
0
Saklar Tertutup
1
Rangkaian Seri
p ^ q (=pq)
Rangkaian Paralel
pvq
Kombinasi sinyal-sinyal berbentuk bit-bit dapat diteruskan ke komponen-komponen lain dengan berbagai macam rangkaian. Oleh karena adanya bermacam-macam teknologi yang digunakan
16
dalam pembuatan rangkaian, para ahli sepakat untuk menganggap rangkaian-rangkaian sebagai kotak hitam. Isi kotak hitam adalah implementasi rangkaian secara rinci. Isi kotak tersebut sering diabaikan dan perhatian lebih ditujukan pada relasi yang ada antara signal masukan/keluaran.
Signal Masukan
Signal Keluaran
Kotak Hitam
Rangkaian yang rumit dapat disusun dari unit-unit kecil yang disebut gerbang (gates). Suatu gerbang tertentu bersesuaian dengan suatu fungsi boole sederhana. Ada beberapa gerbang dasar yang banyak dipakai.
Operasi logika NOT ( Invers ) Operasi merubah logika 1 ke 0 dan sebaliknya x = x’
Tabel Operasi NOT X
X’
0
1
1
0
Simbol
Operasi logika AND Operasi antara dua variabel (A,B) Operasi ini akan menghasilkan logika 1, jika kedua variabel tersebut berlogika 1 Simbol
A
B
Tabel operasi AND
A.B
A
B
A.B
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
17
Operasi logika OR Operasi antara 2 variabel (A,B) Operasi ini akan menghasilkan logika 0, jika kedua variabel tersebut berlogika 0. Simbol
A
Tabel Operasi OR
A+B
B
A
B
A+B
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Operasi logika NOR Operasi ini merupakan operasi OR dan NOT, keluarannya merupakan keluaran operasi OR yang di inverter. Simbol
A
Tabel Operasi NOR
A+B
B
( A + B )’
A
B
( A + B)’
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
Atau A
( A + B )’
B
18
Operasi logika NAND Operasi logika ini merupakan gabungan operasi AND dan NOT, Keluarannya merupakan keluaran gerbang AND yang di inverter.
Simbol
A
Tabel Operasi NAND
A.B
B
( A . B )’
A
B
( A . B)’
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Atau
A
( A . B )’
B Operasi logika EXOR akan menghasilkan keluaran ‘1’ jika jumlah masukan yang bernilai ‘1’ berjumlah ganjil. Simbol A
B
Tabel Operasi EXORti Y
A
B
A+B
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
19
Operasi logika EXNOR Operasi ini akan menghasilkan keluaran ‘1’ jika jumlah masukan yang bernilai ‘1’ berjumlah genap atau tidak ada sama sekali. Simbol
A
B
Tabel Operasi EXNOR
Y
A
B
A+B
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
DALIL BOOLEAN , X=0 ATAU X=1 0.0=0 1+1=1 0+0=0 1.1= 1 1.0=0.1=0 1+0=0+1=0
20
Bab 4 Metode Pembuktian Ada banyak cara untuk membuktikan teorema, dan kadang-kadang suatu teorema dapat dibuktikan dengan beberapa cara berbda. Akan tetapi, secara umum ada 2 jenis metoda pembuktian, yaitu metode pembuktian langsung dan metode pembuktian tak langsung.
A. PETUNJUK UMUM DALAM EMBUKTIAN Langkah-langkah untuk melakukan pembuktian adalah sebagai berikut: 1. Tulislah teorema yang akan dibuktikan. Tuliskan mana yang diketahui (hipotesis) dan mana yang akan dibuktikan. Menggunakan halhal yang akan dibuktikan dalam salah satu langkah pembuktian merupakan kesalahan fatal. Hal yang akan dibuktikan merupakan sesuatu yang belum dipastikan kebenarannya sehingga tidak boleh dipakai. Oleh karena itu, pemisahan yang baik antara hal-hal yang diketahui dari teorema dengan hal-hal yang harus dibuktikan akan menolong kita sehingga kita tidak melakukan kesalahan tersebut. 2. Tandailah permulaan pembuktian dengan kata-kata “Bukti”. Kata “bukti” tersebut digunakan sebagai pemisah antara teorema dan pembuktian yang dilakukan. 3. Buktikanlah secara lengkap dan menyeluruh. Pembuktian yang dilengkapi dengan keterangan-keterangan yang lengkap akan membuat lebih mudah dibaca dan dimengerti sehingga tidak membingungkan apabila kita menggunakannya (sebagian atau seluruhnya) lagi. Beberapa keterangan pelengkap antara lain: a.
Tulislah variable dan tipenya yang akan digunakan. Itu berguna untuk selalu mengingat tipe variable yang dipakai dalam langkah-langkah pembuktian selanjutnya. Contoh: “Misalkan m dan n adalah bilangan bulat” “Misalkan x adalah bilangan rill > 2” Penulisan itu mirip dengan deklarasi variable dalam pembuatan program dengan bahasa Pascal.
21
b.
Apabila di tengah-tengah pembuktian ada sifat suatu variable yang akan digunakan, tuliskanlah sifat tersebut dengan lengkap dan jelas.
c.
Apabila menggunakan sifat-sifat tertentu seperti distributive, komutatif, dan sebagainya dalam suatu persamaan, tuliskanlah itu di sebelah kanannya. Contoh: a.
…
b.
M+n
=ab + ac
i.=a(b+c) c. d.
(sifat distributive)
…
Misalkan di tengah-tengah pembuktian dijumpai suatu ekspresi (missal r+s) dan untuk menyingkatnya , r+s tersebut (yang keduanya bilangan bulat) akan dinyatakan sebagai k (variable k belum ada sebelumnya). Disamping itu, juga akan dijelaskan bahwa k merupakan bilangan bulat juga karena merupakan jumlahan dari 2 bilangan bulat. Untuk melakukannya, tuliskanlah “Misalkan k=r+s Karena r dan s adalah bilangan-bilangan bulat, maka k juga bilangan bulat.”
4. Tandailah akhir pembuktian. Gunanya adalah agar diketahui dengan jelas bahwa teorema sudah terbukti. Akhir pembuktian sering ditandai dengan tanda #, , qed, dan lain-lain. Bias juga ditandai dengan kata-kata “terbukti”, “terbukti bahwa …(sebutkan teoremanya)”.
B. METODE PEMBUKTIAN LANGSUNG Dalam metode pembuktian langsung, hal-hal yang diketahui tentang teorema diturunkan secara langsung dengan teknik-teknik tertentu hingga tercapai kesimpulan yang diinginkan. Contoh: Buktikan bahwa untuk semua bilangan genap n antara 4 dan 30, n dapat dinyatakan sebagai jumlahan 2 bilangan prima. Penyelesaian Dengan pengecekan satu per satu, maka: 4=2+2 6=3+3
8=3+5
10=5+5
12=5+7
14=11+3
16=5+11
18=7+11
20=7+13
24=5+19
26=7+19
28=11+17
30=11+19
22=5+17
22
Terlihat bahwa semua bialnagn genap n (4 ≤n ≤30) dapat dinyatakan sebagai jumlahan 2 bilangan prima.
C. METODE PEMBUKTIAN TAK LANGSUNG Dalam metode pembuktian tak langsung, fakta-fakta yang ada tidak digunakan secara langsung untuk menuju pada kesimpulan. Sebaliknya, bukti dimulai dari hal-hal lain. Yaitu dengan kontradiksi dan kontraposisi.
D. METODE PEMBUKTIAN DENGAN KONTRADIKSI Pembuktian dengan kontradiksi dilakukan dengan cara mengandaikan bahwa ingkaran kalimat yang akan dibuktikanlah yang bernilai benar. Jadi, jika ingin membuktikan kebenaran p, langkah yang dilakukan adalah dengan mengandaikan bahwa –p benar, kemudian berusaha menunjukkkan bahwa pengandaian tersebut akan menyebabkan terjadinya kontradiksi. Dengan demikian, disimpulkan bahwa pengandaian (-p) salah atau p benar.
Langkah-langkah yang dilakukan dalam pembuktian dengan kontradiksi adalah sebagai berikut: 1. Misalkan negasi dari statement yang akan dibuktikan benar. 2. Dengan langkah-langkah yang benar, tunjukkanlah bahwa pada akhirnya pemisalan tersebut akan sampai pada suatu kontradiksi. 3. Simpulkan bahwa statement yang dibuktikan benar.
Contoh Buktikan bahwa tidak ada bilangan bulat yang terbesar. Bukti Misalkan negasi dari pernyataan tersebut benar. Jadi, diandaikan ada bilangan bulat yang terbesar (sebutlah N). Oleh karena N terbesar, maka N ≥ n untuk semua bilangan bulat n. ambillah M = N + 1. Oleh karena N adalah bilangan bulat, maka M juga bilangan bulat. Di samping itu, jelaslah bahwa N < M (karena M=N+1). Didapatkan: N ≥ n untuk semua bilangan bulat n (pengandaian) N < M untuk bilangan bulat M (karena M=N+1) Keduanya kontradiksi. Berarti pengandaian salah sehingga pernyataan mula-mula yang benar.Terbukti bahwa tidak ada bilangan bulat yang terbesar.
23
E. METODE PEMBUKTIAN DENGAN KONTRAPOSISI Suatu pernyataan akan selalu ekuivalen (memiliki nilai kebenaran yang sama) dengan kontraposisinya. Dengan demikian, pembuktian kebenaran suatu pernyataan dapat pula dilakukan dengan membuktikan kebenaran kontraposisinya. Contoh Buktikan bahwa untuk bilangan-bilangan bulat m dan n: Jika, m+n ≥ 73, maka m ≥ 37 atau n ≥ 37. Bukti Jika
p adalah penyataan m+n ≥ 73, q adalah pernyataan m ≥ 37, n adalah pernyataan n ≥ 37
maka dalam symbol, kalimat di atas dapat dinyatakan sebagai p (q v r). kontraposisinya adalah – (q v r) - p atau (-q ^ -r) -p dengan demikian, untuk membuktikan penyataan mula-mula cukup dibuktikan kebenaran pernyataan jika m < 37 dan n < 37, maka m+n < 73. Bukti Ambil 2 bilangan bulat m dan n dengan sifat m < 37 dan n < 37. m < 37 berarti m ≤ 36 dan n < 37 berarti n ≤ 36, sehingga m + n ≤ 36 + 36 m + n ≤ 72 m + n < 73 Terbukti bahwa jika m < 37 dan n < 37, maka (m+n) < 73. Dengan terbuktinya kontraposisi, maka terbukti pulalah kebenaran pernyataan mula-mula, yaitu: Jika m+n ≥ 73, maka m ≥ 37 atau n ≥ 37.
24
F. MEMILIH METODE PEMBUKTIAN Adanya banyak cara untuk membuktikan suatu pernyataan memunculkan suatu pernyataan, “Metode manakah yang paling tepat/mudah dipakai untuk membuktikan suatu pernyataan?” jawab yang tepat atas pernyataan tersebut sangatlah sukar karena masing-masing metode memiliki ciri-ciri, kemampuan, keindahan, dan kekhususan tersendiri. Ada kalanya suatu pernyataan dapat dibuktikan dengan beberapa metode yang berbeda dengan sama baiknya. Akan tetapi, kadang-kadang itu hanya dapat diselesaikan dengan suatu metode tertentu saja.
25
Bab 5 Induksi Matematika A. PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA Induksi Matematika merupakan suatu teknik yang dikembangkan untuk membuktikan pernyataan. Induksi Matematika digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu. Indukasi Matematika digunakan untuk membuktikan universal statements n A dengan A N dan N adalah himpunan bilangan positif atau himpunan bilangan asli.
S(n)
S(n) adalah fungsi propositional.
TAHAPAN INDUKSI MATEMATIKA Basis Step
: Tunjukkan bahwa S(1) benar
Inductive Step
: Sumsikan S(k) benar Akan dibuktikan S(k) S(k+1) benar
Conclusion
: S(n) adalah benar untuk setiap n bilangan integer positif
PEMBUKTIAN INDUKSI MATEMATIKA Contoh 1 : Buktikan bahwa : 1 + 2 + 3 + … + n = ½ n(n+1) untuk setiap n bilangan integer positif
26
Jawab : Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh : 1 = ½ 1 . (1+1) 1 = 1 Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan 1 + 2 + 3 + …+ k = ½ k (k+1) adib. Untuk n = k+1 berlaku 1 + 2 + 3 + …+ (k+1) = ½ (k+1) (k+2) Jawab : 1 + 2 + 3 + …+ (k+1) = (k+1) (k+2) / 2 1 + 2 + 3 + …+ k + (k+1) = (k+1) (k+2) / 2
k (k+1) / 2 + (k+1) = (k+1) (k+2) / 2 (k+1) [ k/2 +1 ] = (k+1) (k+2) / 2 (k+1) ½ (k+2) = (k+1) (k+2) / 2 (k+1) (k+2) / 2 = (k+1) (k+2) / 2
Kesimpulan : 1 + 2 + 3 + …+ n = ½ n (n +1) Untuk setiap bilanga bulat positif n
Contoh 2 : Buktikan bahwa : 1 + 3 + 5 + … + n = (2n - 1) = n2 untuk setiap n bilangan bulat positif Jawab : Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh : 1 = 12 1 = 1
27
Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan 1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) = k2 adib. Untuk n = k + 1 berlaku 1 + 3 + 5 + …+ (2 (k + 1) – 1) = (k + 1)2 1 + 3 + 5 + …+ (2k + 1) = (k + 1)2 1 + 3 + 5 + …+ ((2k + 1) – 2) + (2k + 1) = (k + 1)2 1 + 3 + 5 + …+ (2k - 1) + (2k + 1 ) = (k + 1)2
k 2 + (2K + 1)
= (k + 1)2
k 2 + 2K + 1
= k 2 + 2K + 1
Kesimpulan : 1 + 3 + 5 + … + n = (2n - 1) = n2 Untuk setiap bilangan bulat positif n Contoh 3 : Buktikan bahwa : N 3 + 2n adalah kelipatan 3 untuk setiap n bilangan bulat positif Jawab : Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh : 1 = 13 + 2(1) 1 = 3 , kelipatan 3 Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan k 3 + 2k = 3x adib. Untuk n = k + 1 berlaku (k + 1)3 + 2(k + 1) adalah kelipatan 3 (k 3 + 3k 2 + 3 k+1) + 2k + 2 (k 3 + 2k) + (3k 2 + 3k + 3)
28
(k 3 + 2k) + 3 (k 2 + k + 1) Induksi 3x + 3 (k 2 + k + 1) 3 (x + k 2 + k + 1) Kesimpulan : N 3 + 2n adalah kelipatan 3 Untuk setiap bilangan bulat positif n
B. APLIKASI INDUKSI MATEMATIKA DALAM PEMROGRAMAN Salah satu bentuk yang banyak digunakan dalam program adalah bentuk loop. Struktur loop adalah sebagai berikut: [Kondisi sebelum loop] While S [Perintah-perintah dalam tubuh loop. Semua perintah tidak boleh melompat keluar kalang] End While [Kondisi setelah loop] Loop WHILE akan dieksekusi terus menerus selama syarat kondisi S bernilai benar. Sekali kondisi S bernilai salah, eksekusi pada kalang dihentikan. Suatu loop dikatakan benar terhadap konsisi sebelum dan setelah loop bila dan hanya bila setiap variable-variabel memenuhi kondisi sebelum loop dan loop dieksekusi sehingga variablevariabel tersebut memenuhi kondisi setelah loop. Kebenaran loop dapat dibuktikan dengan teorema loop invariant sebagai berikut. Teorema loop invariant Misalnya diberikan loop WHILE dengan syarat kondisi S, kondisi sebelum dan sesudah loop. Misalkan pula diberikan predikat I(n) yang disebut loop invariant. Apabila keempat syarat berikut benar, maka loop benar terhadap kondisi sebelum dan sesudahnya. 1. Basis Kondisi sebelum loop berarti bahwa I(0) benar sebelum iterasi pertama dalam loop. 2. Induksi
29
Jika syarat kondisi S dan loop invariant I(k) benar untuk suatu bilangan k ≥ 0 sebelum iterasi loop, maka I(K+1) juga benar setelah iterasi loop. 3. Kondisi Penghentian Setelah sejumlah iterasi loop yang berhingga, maka syarat kondisi S menjadi salah. 4. Kebenaran kondisi setelah loop Jika untuk suatu bilangan bulat tak negative N, syarat kondisi S salah dan I(N) benar, maka harga variable akan sama dengan yang ditentukan dalam kondisi akhir loop. Contoh Perkalian m (bilangan bulat tak negative) dengan x didefinisikan sebagai m.x=x+x+…+x
sebanyak m buah
Suatu program yang dibuat untuk menghitung m.x menurut definisi di atas adalah: [Kondisi sebelum loop] m := bilangan bulat tak negative x := bilangan riil i :=0 Kali :=0 ] While (I m) Kali := kali + x i := i + i End While [Kondisi setelah loop Kali := m* x ]
30
Bab 6 Himpunan A. DASAR TEORI HIMPUNAN Definisi Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. (Liu, 1986) Himpunan digunakan untuk mengelompokkan sejumlah objek. Objek yang terdapat dalam himpunan disebut elemen, unsur atau anggota. Biasanya notasi himpunan ditulis dengan huruf besar seperti A, B, C, … dan elemen dengan huruf kecil.
B. MENYATAKAN HIMPUNAN 1. Menuliskan tiap-tiap anggota himpunan di antara 2 kurung kurawal 2. Menuliskan sifat-sifat yang ada pada semua anggota himpunan di antara 2 kurung kurawal. Contoh : Nyatakan dengan notasi himpunan dengan menuliskan tiap-tiap anggotanya dan sifat-sifatnya himpunan berikut ini : A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6 B adalah himpunan mata kuliah yang anggotanya adalah : kalkulus, logika matematika, matematika diskrit, statistika, fisika C adalah himpunan bilangan riil yang lebih besar dari 5 D adalah himpunan yang terdiri dari bilangan 2, 4, 6, 8, 10 E adalah himpunan bilangan riil lebih kecil dari 5 dan lebih besar dari 10 Jawab : A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6
Dengan menulis tiap-tiap anggotanya A = {2, 3, 4, 5}
Dengan menulis sifat-sifatnya
31
A = {x | 1 < x < 6, x Asli} B adalah himpunan mata kuliah yang anggotanya adalah : kalkulus, logika matematika, matematika diskrit, statistika, fisika
Dengan menulis tiap-tiap anggotanya B = {kalkulus, logika matematika, matematika diskrit, statistika, fisika.
Dengan menulis sifat-sifatnya B tidak bisa dituliskan sifat-sifatnya, karena tidak ada sifat yang sama di antara anggota-anggotanya
C adalah himpunan bilangan riil yang lebih besar dari 5
Dengan menulis tiap-tiap anggotanya C tidak bisa dituliskan anggota-anggotanya, karena jumlah anggota C tak
terhingga.
Dengan menulis sifat-sifatnya C = {x | x > 5, x Riil}
D adalah himpunan yang terdiri dari bilangan 2, 4, 6, 8, 10
Dengan menulis tiap-tiap anggotanya D = {2, 4, 6, 8, 10}
Dengan menulis sifat-sifatnya D = {x | x adalah 5 buah bilangan asli pertama yang genap}
E adalah himpunan bilangan riil lebih kecil dari 5 dan lebih besar dari 10
Dengan menulis tiap-tiap anggotanya E = tidak bisa dituliskan anggota-anggotanya, karena jumlah anggota E tak terhingga.
Dengan menulis sifat-sifatnya E = {x | x < 5 dan x > 10, x Riil}
32
C. DIAGRAM VENN Penyajian himpunan dengan diagram Venn ditemukan oleh seorang ahli matematika Inggris bernama John Venn tahun 1881. Himpunan semesta digambarkan dengan segiempat dan himpunan lainnya dengan lingkaran di dalam segiempat tersebut. Contoh : Gambarkan dengan diagram Venn himpunan-himpunan berikut ini : S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7} dan B = {0, 3, 7, 9} S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 3, 7} dan B = {2, 4, 6} S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7} dan B = {0, 1, 3, 7} Jawab : S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7} dan B = {0, 3, 7, 9} Diagram Venn : S A
B
1
9
7
5 4
0
3
2
6
8
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 3, 7} dan B = {2, 4, 6} Diagram Venn : S A 0 3
B 1 7 5
2
4 6
8
9
33
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7} dan B = {0, 1, 3, 7} Diagram Venn : S
A
B 0
1
3
7
4
2 5 6
8 9
D. HIMPUNAN BAGIAN DAN KESAMAAN HIMPUNAN 1. Himpunan Bagian
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota A merupakan anggota B. Notasi A B ((x) x A x B) Contoh : S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7} dan B = {0, 1, 3, 7} BA Diagram Venn : S
A
B 0
1
3
7
4
2 5 6
8 9
2. Kesamaan Himpunan Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota A adalah anggota B dan setiap anggota B adalah anggota A. Notasi : A = B
A B dan
BA
Contoh :
34
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {x | x (x 1)(x 3) = 0, x Riil} B = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7} A = {0, 1, 3} AB
E. SEMESTA PEMBICARAAN DAN HIMPUNAN Himpunan Semesta, ditulis dengan simbol S atau U adalah himpunan semua objek yang dibicarakan sedangkan himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong, ditulis dengan simbol atau }.
F. OPERASI-OPERASI PADA HIMPUNAN 1. Gabungan Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B. Notasi : A B = {x | x A x B} Contoh : S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7} dan B = {0, 3, 7, 9} Diagram Venn : A
S
1 5 4
2
B
3
0 9
7 6
8
A B = {0, 1, 3, 5, 7, 9} 2. Irisan Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota dari himpunan A dan anggota himpunan B. Notasi : A B = {x | x A x B}
35
Contoh : S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7} dan B = {0, 3, 7, 9} Diagram Venn :
A
S
B
9
7
5 4
0
3
1
6
2
8
A B = {3, 7} 3. Komplemen Komplemen himpunan A terhadap himpunan semesta S adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota S yang bukan anggota A. Notasi : Ac = {x | x S x A} atau
A = {x | x S x A}
Contoh : S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7} Diagram Venn : S
AC
A
0 2
1
3 5
4
7
9
6
8 AC = {0, 2, 4, 6, 8, 9}
4. Selisih Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A dan bukan anggota himpunan B. Selisih himpunan A dan B adalah komplemen himpunan B terhadap himpunan A.
36
Notasi : A – B = {x | x A x B}
B
atau A – B = A Contoh :
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 3, 7} dan B = {0, 3, 7, 9} Diagram Venn : A
S
1
B
3
5
9
7
2 4
0
6
8
A – B = {1, 2} 5. Beda Setangkup Beda Setangkup (symetric difference) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya. Notasi : A B = (A B) – (A B) atau : A B = (A – B) (B – A) Contoh : S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 3, 7} dan B = {0, 3, 7, 9} Diagram Venn : A
S
1 2 4
5
B
3
0 9
7 6
8
A B = {1, 2, 8, 9}
37
G. PEMBUKTIAN-PEMBUKTIAN HIMPUNAN Sifat-sifat Operasi pada Himpunan
1. Hukum Identitas a.
A = A
b.
AS=A
c.
A = A
2. Hukum Null a.
A =
b.
AS=S
c.
AA=
3. Hukum Komplemen a.
A Ac = S
b.
A Ac =
4. Hukum Idempoten a.
AA=A
b.
AA=A
5. Hukum Involusi (Ac)c = A 6. Hukum Penyerapan a.
A (A B) = S
b.
A (A B) = A
7. Hukum Komutatif a.
AB=BA
b.
AB=BA
38
c.
AB=BA
8. Hukum Asosiatif a.
A (B C) = (A B) C
b.
A (B C) = (A B) C
c.
A (B C) = (A B) C
9. Hukum Distributif a.
A (B C) = (A B) (A C)
b.
A (B C) = (A B) (A C)
10. Hukum De Morgan a.
(A B) c = A c B c
b.
(A B) c = A c B c
Kalimat himpunan adalah pernyataan yang menggunakan notasi himpunan, kalimat himpunan dapat berupa kesamaan himpunan, dan untuk membuktikan kebenaran pada kesamaan himpunan dapat digunakan beberapa cara untuk memperoleh kesimpulan benar. Salah satunya “pembuktian dengan sifar operasi pada himpunan”. Contoh : Buktikan : (A B) (A
B) = A
A (B – A) = A B (A – B) – C = (A – C) – 3 A (A B) = A
B
A ( A B) = A B A ( A B) = A B
39
Bukti : (A B) (A
B ) = A (B B )
A (B – A) = A (B
(hukum distributif)
=AS
(hukum komplemen)
=A
(hukum identitas)
A)
(definisi operasi selisih)
= (A B) (A
(A – B) – C = (A
A)
= (A B) S
(hukum komplemen)
=AB
(hukum identitas)
B) – C
(definisi operasi selisih)
= (A
B) C
(definisi operasi selisih)
= (A
C) B
(hukum assosiatif)
= (A – C)
B
(definisi operasi selisih)
= (A – C) – B
(definisi operasi selisih)
A ( A B ) = A ( A B )
(hukum De Morgan)
A ) (A B )
= (A
= S (A =A A ( A B) = (A
(hukum distributif)
B)
B
A ) (A B)
(hukum distributif) (hukum komplemen) (hukum identitas)
(hukum distributif)
= S (A B)
(hukum komplemen)
=A B
(hukum identitas)
A ( A B) = (A A ) (A B)
(hukum distributif)
= (A B)
(hukum komplemen)
=AB
(hukum identitas)
40
H. HIMPUNAN KUASA Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah himpunan yang anggotanya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan semesta dan himpunan kosong. Notasi : p(A) Contoh : A = {1, 2, 3}
p(A) = {{ }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
41
Bab 7 Kombinatorika A. DASAR PERHITUNGAN Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering dihadapkan dengan masalah perhitungan. Sebagai contoh, sebuah Warung Tegal menyediakan menu yang terdiri dari 4 jenis makanan, yaitu Nasi Rawon (R), Nasi Soto (S), Nasi Pecel (P) dan Bakso (B) serta 3 jenis minuman, yaitu Es Jeruk (J), Es Teh (T) dan Es Degan (D). Masalahnya, berapa banyak macam hidangan yang berbeda jika dipilih dari satu jenis makanan dan satu jenis minuman? Masalah di atas merupakan salah satu contoh masalah diskrit yang biasa dipecahkan dengan cara mendata semua kemungkinan hidangan yang berbeda yang terdiri dari satu jenis makanan dan satu jenis minuman, yaitu: RJ,RT,RD, SJ, ST, SD, PJ, PT, PD,BJ,BT,BD Sehingga terdapat 12 macam hidangan yang berbeda. Total jenis hidangan tersebut bisa diperoleh dengan cara mengalikan banyaknya jenis makanan dengan banyaknya jenis minuman. Teknik perhitungan yang demikian disebut dengan Prinsip Perkalian. Selain prinsip perkalian, terdapat teknik perhitungan lain yang bisa digunakan untuk memecahkan masalahmasalah diskrit, yaitu Prinsip Penambahan.
B. ATURAN PEMNJUMLAHAN Definisi Misalkan terdapat t himpunan X1,X2, …, Xt yang masing-masing mempunyai n1, n2, …, nt anggota. Jika himpunan-himpunan tersebut saling lepas, yaitu Xi Xj = untuk i ≠ j, maka banyaknya anggota yang bisa dipilih dari masing-masing himpunan tersebut adalah n1 + n2 + … + nt Contoh Berapa banyak untai 4 bit yang diawali dengan digit 10 dan 11? Untuk menyusun untai 4 bit yang diawali dengan 10 ada dua langkah. Langkah pertama adalah memilih digit ketiga yang bisa dilakukan dalam 2 cara (memilih 0 atau 1) dan langkah kedua adalah memilih digit yang keempat yang juga bisa dilakukan dalam 2 cara. Sehingga banyaknya untai 4 bit yang diawali dengan digit 10 adalah 2x2 = 4. Dengan cara yang sama
42
dapat diperoleh banyaknya untai 4 bit yang diawali dengan digit 11, yaitu ada 4 untai. Jadi banyaknya untai 4 bit yang diawali dengan digit 10 dan 11 adalah 4 + 4 = 8
C. ATURAN PERKALIAN Definisi Jika terdapat aktivitas yang terdiri dari t langkah berurutan, dimana langkah 1 bisa dilakukan dalam n1 cara, langkah 2 bisa dilakukan dalam n2 cara, dan seterusnya sampai langkah ke-t yang bisa dilakukan dalam nt cara, maka banyaknya aktivtas yang berbeda adalah n1.n2…nt Contoh Gunakan prinsip perkalian untuk menghitung masalah banyaknya macam hidangan yang terdiri satu jenis makanan dan satu jenis minuman diatas. Masalah perhitungan banyaknya macam hidangan yang terdiri satu jenis makanan dan satu jenis minuman diatas merupakan aktivitas yang terdiri dari 2 langkah, dimana langkah pertama adalah memilih makanan yang bias dilakukan dalam 4 cara, dan langkah kedua adalah memilih minuman yang bisa dilakukan dalam 3 cara, sehingga banyaknya macam hidangan adalah 4x3 = 12.
D. PENGHITUNG TAK LANGSUNG Selain perhitungan-perhitungan langsung, kadang-kadang masalah kombinatorika akan lebih mudah diselesaikan secara tidak langsung, yaitu dengan menghitung komplemennya. Contoh Suatu kartu bridge lengkap diambil satu per satu dengan pengembalian. Berapa banyak cara yang mungkin untuk mengambil 10 kartu sedemikian hingga kartu ke-10 adalah perulangan dari kartu yang telah diambil sebelumnya? Penyelesaian Soal di atas akan diselesaikan dengan cara menghitung, komplemennya, yaitu mengambil 10 kartu sedemikian sehingga kartu ke-10 bukanlah kartu yang pernah diambil sebelumnya. Mulai-mula, ambil kartu ke-10 (ada 52 cara). Kartu ke-1 hingga kartu ke-9 haruslah berbeda dengan kartu ke-10 tersebut. Jadi, ada (52-1)9 = 519 cara untuk mendepatkan ke-9 kartu pertama. Dengan demikian, ada (519) (52) cara untuk mengambil 10 kartu sedemikian hingga kertu ke-10 berbeda dengan kartu-kartu ke 1 hingga ke-9. Padahal jika tidak ada syarat apapun untuk mengambil ke-10 kartu, maka ada 5210 cara.
43
Jadi, banyak cara untuk mengambil 10 kartu sedemikian hingga kartu ke-10 adalah perulangan dari kartu yang telah diambil sebelumnya adalah 5210 – (519)(52) cara.
E. KORESPONDENSI SATU-SATU Suatu teknik lain untuk menghitung dilakukan dengan cara mengganti masalah yang sedang diselesaikan dengan masalah lain yang diketahui memiliki jumlah objek yang sama. Tentu saja masalah pengganti tersebut haruslah lebih sederhana dan mudah dihitung. Contoh Suatu pertandingan bola basket dengan sistem gugur diikuti oleh 101 regu. Dalam sistem tersebut, regu yang kalah akan langsung gugur dan regu yang menang akan maju ke babak berikutnya. Jika jumlah regu dalam suatu babak tertentu ganjil, maka ada 1 regu yang mendapatkan bye (menang tanpa bertanding). Berapa banyak keseluruhan pertandingan yang harus dilakukan untuk mendapatkan satu regu yang menjadi juara? Penyelesaian Soal di atas akan diselesaikan dengan cara langsung dan dengan korespondensi satu-satu.
Dengan cara langsung Babak I diikuti 101 regu sehingga harus dilakukan 50 kali pertandingan (1 regu mendapatkan bye). Pemenang akan masuk ke babak II. Babak II diikuti oleh 51 regu (50 regu pemenang dan 1 regu yang mendapatkan bye) sehingga jumlah pertandingan yang harus dilakukan adalah 25 kali (1 regu mendapatkan bye). Babak III dikiuti oleh 26 regu sehingga jumlah pertandingan yang harus dilakukan adalah 13 kali. Babak IV diikuti oleh 13 regu sehingga jumlah pertandingan adalah 6 kali. Babak V diikuti oleh 7 regy sehingga harus dilakukan 3 kali pertandingan. Babak VI diikuti oleh 4 regu sehingga jumlah pertandingan 2 kali. Babak VII (final)diikuti oleh 2 regu dan dilakukan 1 kali pertandingan untuk mendapatkan regu yang menjadi juara. Jadi jumlah total pertandingan yang harus dilakukan adalah 50+25+13+6+3+2+1=100 kali.
Dengan membuat korespondensi satu-satu Jika diperhatikan dalam setiap babak, jumlah pertandingan yang harus dilakukan selalu sama dengan jumlah regu yang kalah. (Babak I ada 50 regu yang kalah, babak II ada 25 regu, dst). Ada 101 regu yang mengikuti pertandingan dan hanya 1 regu yang
44
menjadi juara. Oleh karena digunakan sistem gugur, berarti ada (100-1)=100 regu yang kalah. Untuk itu, jumlah pertandingan yang harus dilakukan adalah 100 kali.
F. KOMBINASI DAN PERMUTASI Sebuah permutasi dari sebuah himpunan obyek-obyek berbeda adalah penyusunan berurutan dari obyek-obyek tersebut. Contoh Misalkan S = {1, 2, 3}. Susunan 3 1 2 adalah sebuah permutasi dari S. Susunan sebuah permutasi-2 (2-permutation) dari S.
32
adalah
Banyak permutasi-r dari himpunan dengan n obyek berbeda dinyatakan sebagai P(n,r) dimana P(n,r) = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . (n – r + 1). Jika r = n , maka P(n,n) = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . (n – n + 1). = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1 =n! atau ditulis
Pn = n !
Contoh P(8,3) = 8. 7. 6 = 336
=
Rumus umum
P(n,r) =
:
8.7.6.5.4.3.2.1 5.4.3.2.1 n . (n-1) . (n-2) =
=
8! (8 3) !
n .(n - 1).(n - 2). (n - 3).(n - 4) ... . 2. 1 (n - 3).(n - 4) ... . 2. 1
n! (n r) !
Sebuah kombinasi-r elemen-elemen dari sebuah himpunan adalah pemilihan tak berurutan (tanpa memperhatikan urutan) r elemen dari himpunan tersebut. Contoh Jika S = {1, 2, 3, 4}, susunan { 1, 3, 4 } adalah sebuah kombinasi-3 dari S.
45
Banyaknya kombinasi-r (r-combinations) dari sebuah himpunan dengan n obyek berbeda dinyatakan sebagai C(n,r) atau
Rumus umum
r n! C n r ! (n r ) !
:
Jika r = n,
r n C atau . n r
maka
n n! C 1 n n ! (n n) !
G. FAKTORIAL Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Besaran n faktorial (simbol n!) didefinisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat antara 1 hingga n. Untuk n = 0, nol faktorial didefinisikan=1. n! = 1.2.3 ... (n-1).n 0! = 1. Contoh Tulislah 5 faktorial pertama! Penyelesaian
0! = 1 1! = 1 2! = 1.2
=2
3! = 1.2.3
=6
4! = 1.2.3.4
= 24
5! = 1.2.3.4.5
= 120
Terlihat bahwa pertumbuhan faktorial sangat cepat. Komputer yang memiliki pertumbuhan algoritma dalam skala faktorial sangatlah tidak logis untuk dijalankan. Dari definisi faktorial: n!
= 1.2.3. ... (n-2) (n-1) n
(n-1)!
= 1.2.3. ... (n-2) (n-1)
46
Sehingga
! (
)!
=
. ...( . ...(
)( )(
) )
=
Didapatkan persamaan n! = n(n-1)!
H. KOMBINASI Misalkan r merupakan unsur bilangan bulat tak negatif. Yang dimaksud dengan kombinasi r dari suatu himpunan B yang terdiri dari n anggota (objek) yang berbeda adalah jumlah himpunan bagian dari B yang memiliki anggota r buah objek. Interpretasi yang lain tentang kombinasi adalah menyusun (memilih) objek sejumlah r dari n buah objek yang ada. Contoh : Misalkan A = {p, q, r }, tentukan semua himpunan bagian dari A yang memiliki kardinalitas dua. Jawab : Himpunan bagian tersebut antara lain : {p, q}, {p, r}, dan {q, r}. Jadi kita mempunyai empat kombinasi : pq, pr, dan qr Pada himpunan, urutan unsur pada himpunan tidak diperhatikan. Dengan demikian, kombinasi 2 dari himpunan A (penyusunan dua huruf tanpa memperhatikan urutan) adalah 3, yaitu pq, pr, dan qr. Ini berbeda, pada saat kita mendefinisikan permutasi (urutan diperhatikan), penyusunan tersebut dapat dilakukan dengan enam buah cara, yaitu pq, pr, qr, qp, rp,dan rq.
I. PERMUTASI Suatu permutasi merupakan susunan yang mungkin dibuat dengan memperhatikan urutan. Dengan kata lain, permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi prinsip perkalian. Misalkan diberikan suatu himpunan A dengan jumlah anggota adalah n, maka susunan terurut yang terdiri dari r buah anggota dinamakan permutasi-r dari A, ditulis P(n, r). Agar lebih jelas dalam perhitungannya, perhatikan penjelasan berikut ini :
Jika r > n, jelas bahwa P(n, r) = 0, karena tak mungkin menyusun r anggota dari A yang hanya terdiri dari n buah anggota dimana n < r.
Jika r ≤ n,
Dari n anggota A maka urutan pertama yang dipilih dari n objek adalah dengan n cara. Urutan kedua dipilih dari n – 1 objek, adalah dengan n – 1 cara, karena satu anggota telah terpilih. Urutan ketiga dipilih dari n – 2 objek, adalah dengan n – 2 cara, karena dua anggota telah terpilih. Hal ini dilakukan terus menerus sehingga urutan terakhir dipilih dari n – r + 1 objek yang tersisa. Menurut kaidah perkalian, pemilihan objek dalam susunan r buah objek dari n buah objek dapat dilakukan dengan :
47
n(n – 1) (n – 2) … (n – r + 1) cara Dengan demikian, permutasi r objek dari n buah objek adalah jumlah kemungkinan urutan r buah objek yang dipilih dari n buah objek, dengan r ≤ n, pada setiap kemungkinan penyusunan r buah objek tidak ada urutan objek yang sama, yaitu : P(n, r) = n(n – 1) (n – 2) … (n – r + 1) =(
! )!
Contoh: Misalkan S = {p, q, r}. Berapa cara yang mungkin dalam penyusunan dua huruf pada S sehingga tidak ada urutan yang sama ? Jawab : Susunan dua huruf yang mungkin adalah : pq, pr, qr, qp, rp, rq Jadi penyusunan tersebut dapat dilakukan dengan enam buah cara. Dalam penyusunan ini, dapat menggunakan definisi permutasi, yaitu (3,2) = (
=
! )!
. .
=6 Dengan menggunakan definisi permutasi, penyusunan tersebut dapat dilakukan dengan enam buah cara.
J. KOMBINASI DAN PERMUTASI DENGAN ELEMEN BERULANG Sebuah himpunan disebut himpunan ganda (himpunan dengan pengulangan) jika setiap anggotanya berulang. Contoh 2.5. 1. A = { 3.a, 2.b, 5.c } adalah sebuah himpunan dari 3 elemen berbeda dengan pengulangan hingga. 2. B = { ~.3, ~.5, ~.7, ~.9 } adalah sebuah himpunan dari empat elemen berbeda dengan pengulangan tak hingga.
48
3. C = { ~.p, 10.q, 3.r, ~.s } adalah sebuah himpunan dari empat elemen berbeda dengan pengulangan. Misalkan A sebuah himpunan ganda berpengulang tak hingga dengan k berbeda. Banyaknya kombinasi-r pada A dinyatakan sebagai :
anggota
k r 1 (k r 1) ! r ! (k 1) ! r Contoh Diketahui S = { ~.a } . Banyaknya kombinasi-5 pada S adalah :
1 5 1 5
(1 5 1) ! 5 ! (1 1) !
5! 5 ! (0) !
1
K. PETUNJUK DALAM PERHITUNGAN Pertama, bacalah pertanyaan baik-baik. Perhatikanlah apakah masalah tersebut mengandung 2 macam perhitungan yang berbeda. Jika demikian, pikirkan aturan manakah yang dipakai untuk menggabungkan bagian-bagian tersebut. Apabila bagian-bagian tersebut merupakan suatu proses yang berurutan, maka aturan perkalian digunakan untuk menggabungkannya. Akan tetapi, bila bagian-bagian tersebut merupakan pecahan-pecahan dari masalah utama di mana masing-masing bagian terpisah satu sama lain, maka aturan penjumlahan digunakan untuk menggabungkan bagian-bagian tersebut. Kedua, bacalah dengan teliti permasalahannya. Carilah kata-kata kuncinya. Kata kunci penggunaan kombinasi adalah pemilihan objek-objek yang tidak diperhatikan urutannya, sedangkan kata kunci untuk permutasi adalah pengaturan objek-objek yang urutannya diperhatikan.
L. KOEFISIEN BINOMIAL Misalkan n merupakan bilangan bulat positif, dengan teorema binomial, perpangkatan n
berbentuk (x + y) dapat dijabarkan dalam bentuk segitiga Pascal berikut ini : 0
(x + y) = 1
1
1
(x + y) = x + y 2
1
2
2
(x + y) = x + 2xy + y 3
3
1
2
2
1
2
1
1
3
3
3
(x + y) = x + 3x y + 3xy + y
1
49
4
4
3
2 2
3
4
(x + y) = x + 4x y + 6x y + 4xy + y 5
5
4
3 2
2 3
4
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
5
(x + y) = x + 5x y + 10x y + 10x y + 5xy + y 1 Secara umum, diperoleh rumus sebagai berikut : n
n
n-1
(x + y) = C (n, 0) x + C (n, 1) x
1
n-k
y + … + C (n, k) x
k
n
y + … + C (n, n) y
= n-k k
Bilangan C (n, k) merupakan koefisien untuk x y dinamakan koefisien binomial. Contoh : 3
Jabarkan (2x + y) . Jawab : Misalkan a = 2x dan b = y, 3
3
2 1
1 2
3
(a + b) = C (3, 0) a + C (3, 1) a b + C (3, 2) a b + C (3, 3) b 3
2
2
3
= 1 (2x) + 3 (2x) (y) + 3 (2x) (y) + 1 (y) 3
2
2
3
= 8 x + 12x y + 6x y – y
M. IDENTITAS-IDENTITAS DALAM KOMBINASI DAN PERMUTASI 1. Sifat simetri :
=
2. Identitas Newton:
=
untuk bilangan bulat n ≥ r ≥ k ≥ 0
N. SEGITIGA PASCAL Segitiga pascal merupakan salah satu persamaan yang sangat penting dam kombinatorika. Segita pascal memberikan jalan untuk menghitung kombinasi suatu suku berdasarkan kombinasi suku-suku yang lebih rendah. Jika harga diketahui untuk semua r, maka harga dapat dihitung untuk semua r (0
=
−1
+
O. TEOREMA BINOMIAL DAN MULTINOMIAL
50
Binomial Sebelum kita membahas tentang Teorema Binomial, akan diperkenalkan dulu tentang Koefisien Binomial. Koefisien Binomial disusun berdasarkan definisi kombinatorik. Hasil susunan dari kombinatorik yang bersesuaian dalam tingkat orde tertentu dalam koefisien binomial akan menyusun segitiga Pascal. Selanjutnya konsep segitiga Pascal tersebut dipakai untuk menyelesaikan kasus yang lebih kompleks. Teorema Binomial Misalkan x dan y adalah bilangan-bilangan riil dan n adalah bilangan bulat tak negative, maka
( + ) =
=
0
+
1
y+
+ ⋯+
2
−1
xy
+
Teorema Multinomial Multinomial merupakan perluasan dari Binomial. Multinomial adalah jumlahan t buah suku berbda, yaitu x1+ x2+…+ xt. Binomial adalah kasus khusus dari multinomial, yaitu untuk t=2. Teorema multinomial adalah rumus penjabaran (x1+ x2+…+ xt)n. secara formal, teorema multinomial adalah sebagai berikut: Misalkan x1+ x2+…+ xt adalah bilangan-bilangan riil dan n adalah bilangan bulat positif. Dengan demikian, (x1 + x2 + ⋯ + xt) =
! 1! 2! …
!
…
Penjumlahan dilakukan terhadap semua q1,q2,…qt dengan q1+q2+…+qt=n Banyaknya suku pada (x1+ x2+…+ xt)n adalah
P. PRINSIP INKLUSI DAN EKSKLUSI Misalkan A dan B sembarang himpunan. Penjumlahan A+B menghitung banyaknya elemen A yang tidak terdapat dalam B dan banyaknya elemen B yang tidak terdapat dalam A tepat satu kali, dan banyaknya elemen yang terdapat dalam A B sebanyak dua kali. Oleh karena itu, pengurangan banyaknya elemen yang terdapat dalam A B dari A+B membuat banyaknya anggota A B dihitung tepat satu kali. Dengan demikian, A B= A+B - A B. Generalisasi dari hal tersebut bagi gabungan dari sejumlah himpunan dinamakan prinsip inklusi-eksklusi.
51
Contoh Dalam sebuah kelas terdapat 25 mahasiswa yang menyukai matematika diskrit, 13 mahasiswa menyukai aljabar linier dan 8 orang diantaranya menyukai matematika diskrit dan aljabar linier. Berapa mahasiswa terdapat dalam kelas tersebut ? Jawab : Misalkan A himpunan mahasiswa yang menyukai matematika diskrit dan B himpunan mahasiswa yang menyukai aljabar linier. Himpunan mahasiswa yang menyukai kedua mata kuliah tersebut dapat dinyatakan sebagai himpunan A B. Banyaknya mahasiswa yang menyukai salah satu dari kedua mata kuliah tersebut atau keduanya dinyatakan dengan A B. Dengan demikian A B = A+B - A B = 25 + 13 – 8 = 30. Jadi, terdapat 30 orang mahasiswa dalam kelas tersebut. Contoh Berapa banyak bilangan bulat positif yang tidak melampaui 1000 yang habis dibagi oleh 7 atau 11 ? Jawab : Misalkan P himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 7 dan Q himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 11. Dengan demikian P Q adalah himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 7 atau habis dibagi 11, dan P Q himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 7 dan habis dibagi 11.
1000
P = 142 7
1000
Q = 90 11
1000 1000 12 kpk (7,11) 77
P Q =
P Q = P + Q -P Q = 142 + 90 – 12 = 220. Jadi, terdapat 220 bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 7 atau habis dibagi 11. Ilustrasi dari penghitungan tesebut dapat dilihat pada diagram di bawah ini.
52
P
Q PQ
P = 142
P Q = 12
Q= 90
Q. BEBERAPA APLIKASI KOMBINATORIKA DALAM ILMU KOMPUTER Kebanyakan program mengandung loop di dalamnya. Biasanya statement dalam loop inilah yang paling sering dieksekusi sehingga lama waktu eksekusi sedikit banyak tergantung dari berapa kali loop-loop dalam program dieksekusi. Contoh 1. For i = 1 to n Do Statement-statement dalam loop. Tidak ada perintah di dalamnya yang menyebabkan eksekusi melompat keluar loop. {End For – i} 2. For i = 1 to n Do For j = 1 to n Do Statement-statement dalam loop. Tidak ada perintah di dalamnya
yang menyebabkan eksekusi melompat keluar loop. {End For – j}
{End For – i}
53
Bab 8 Teori Graf A. PENGERTIAN GRAF Kelahiran Teori Graf Teori Graf mulai dikenal pada saat seorang matematikawan bangsa Swiss, bernama Leonhard Euler, berhasil mengungkapkan Misteri Jembatan Konigsberg pada tahun 1736. Di Kota Konigsberg (sekarang bernama Kalilingrad, di Uni Soviet) mengalir sebuah sungai bernama sungai Pregel. Di tengah sungai tersebut terdapat dua buah pulau. Dari kedua pulau tersebut terdapat jembatan yang menghubungi ke tepian sungai dan diantara kedua pulau. Jumlah jembatan tersebut adalah 7 buah seperti gambar berikut :
A
Sungai Pregel
di Kalilingrad (Uni Soviet)
C
D
B Konon kabarnya, penduduk kota Konigsberg sering berjalan-jalan ke tempat tersebut pada harihari libur. Kemudian muncul suatu keinginan untuk dapat menikmati daerah tersebut dengan melalui ketujuh jambatan tepat satu kali, yakni bermula dari satu tempat (A, B, C atau D) dan kembali ke tempat semula. Mereka berusaha untuk memperoleh rute yang sesuai dengan keinginan tersebut, dengan selalu mencoba menjalaninya. Setelah mencoba berkali-kali dan karena sudah cukup lama tidak diperoleh rutenya, akhirnya penduduk tersebut mengirim surat kepada Euler. Euler dapat memecahkan masalah tersebut, yakni bahwa perjalanan / rute yang diinginkan (yakni berawal dari suatu tempat, melalui ketujuh jembatan tepat satu kali, dan kembali ke tempat semula) tidak mungkin dicapai.
54
Secara singkat, dalam tulisannya, Euler menyajikan keadaan jembatan Konigsberg tersebut seperti gambar berikut :
A C
D
B
Dalam masalah di atas, daratan (tepian A dan B, serta pulau C dan D) disajikan sebagai titik dan jembatan disajikan sebagai ruas garis. Euler mengemukakan teoremanya yang mengatakan bahwa perjalanan yang diinginkan di atas (yang kemudian dikenal sebagai perjalanan Euler) akan ada apabila graf terhubung dan banyaknya garis yang datang pada setiap titik (derajat simpul) adalah genap. Problema & Model Graf Secara umum, langkah-langkah yang perlu dilalui dalam penyelesaian suatu masalah dengan bantuan komputer adalah sebagai berikut : Problema Model Yang Tepat Algoritma Program Komputer
B. GRAF SECARA FORMAL Sebuah Graf G mengandung 2 himpunan : 1. Himp. V, yang elemennya disebut simpul Vertex / point / titik / node 2. Himp. E, yang merupakan pasangan tak terurut dari simpul-simpul, disebut ruas Edge / rusuk / sisi Sehingga sebuah graf dinotasikan sebagai G ( V, E ) Contoh : G ( V, E ) V = { A, B, C, D } E = { ( A, B ), ( B, C ), ( C, D ), ( D, A ), ( B, D ) }
55
Secara Geometri :
A
e2 B
e1
e5
D
e3
C e4
terdiri dari 4 simpul dan 5 ruas Tidak ada ketentuan khusus dalam penyajian graf secara geometri, seperti dimana dan bagaimana menyajikan simpul dan ruas. Berikut contoh penyajian Graf yang sama, tetapi disajikan berbeda.
A A
A D
B
D
BA
C
B
D
C C
Beberapa istilah lain dalam graf : Berdampingan simpul U dan V disebut berdampingan bila terdapat ruas (U,V) Order banyaknya simpul Size banyaknya ruas
56
Self-loop (loop) / Gelung ruas yang menghubungkan simpul yang sama ( sebuah simpul ) Ruas sejajar / berganda ruas-ruas yang menghubungkan 2 simpul yang sama
e2w12
e3
A
A
e4 e1
e5 A
A Multigraf e6
Sebuah graf dikatakan multigraf bila graf tersebut mengandung ruas sejajar atau gelung. Sedangkan graf yang tidak mengandung ruas sejajar atau gelung dikenal sebagai graf sederhana, atau yang disebut graf. Adapun contoh multigraf adalah sebagai berikut. Subgraf G‘(V‘, E‘) adalah Subgraf dari G (V, E) bila : V‘ V dan E‘ E Apabila E‘ mengandung semua ruas di E yang kedua ujungnya di V‘ , maka G‘ adalah Subgraf yang dibentuk oleh V‘ (Spanning Subgraph)
57
Contoh :
G:
A
e2
e1
B e3
e5
D
C
e4
G’ :
G’ :
A
e2
A
B
B
e1
e1
e5
e5 D
D G’ subgraf dari G
G’ spanning subgrapf dari G
Graf berlabel Graf berlabel/ berbobot adalah graf yang setiap ruasnya mempunyai nilai/bobot berupa bilangan non negatif. Contoh :
B
D
3
12
F
3
8 2
A
2
6
H
3
2
19
4 C
13
E
3
G
Isomorfisma G (V,E) dan G* (V*,E*) adalah 2 buah Graf. f : V V * suatu fungsi satu-satu dan pada, sedemikian sehingga (u,v) adalah ruas dari G jika dan hanya jika (f (u),f(v)) adalah ruas dari G *
58
Maka f disebut fungsi yang isomorfisma dan G & G * adalah graf-graf yang isomorfis Contoh : Graf yang berbentuk huruf A & R, X & K, F & T, dan V & Z, di bawah ini adalah isomorfis.
Homomorfis Jika G* dan G** diperoleh dari G dengan membagi beberapa ruas dari G oleh penambahan beberapa simpul pada ruas tersebut, maka kedua graf G* dan G** disebut homomorfis Contoh :
G
G*
G**
59
C. PEWARNAAN Pewarnaan graf adalah pemberian warna terhadap simpul-simpul graf dimana 2 buah simpul yang berdampingan tidak boleh mempunyai warna yang sama. G berwarna n artinya graf tersebut menggunakan n warna. Bilangan kromatis dari G = K(G) adalah jumlah minimum warna yang dibutuhkan. Algoritma yang dapat digunakan untuk mendapatkan bilangan kromatis dari sebuah graf adalah Algoritma Welch-Powell. Adapun langkah-langkahnya adalah : 1. Urutkan simpul-simpul berdasarkan derajatnya. Dari besar ke kecil. 2. Warnai. Contoh :
B C
A
D F E
G
H
Langkah 1 : urutan simpulnya dari besar ke kecil adalah : E, C, G, A, B, D, F, H Langkah 2 : mewarnai : warna Merah : E, A warna Putih : C, D, H warna Biru : G, B, F
60
Sehingga bilangan kromatis graf di atas adalah 3. Teorema : Pernyataan berikut adalah ekivalen : 1. G berwarna 2 2. G adalah bipartisi 3. Setiap sirkuit dalam G mempunyai panjang genap Graf Lengkap k dengan n simpul membutuhkan n warna Teorema : Suatu graf planar G adalah berwarna 5 Pewarnaan Region Pewarnaan region dapat dilakukan (seperti pemberian warna pada wilayah-wilayah di peta) dengan cara membuat dual dari map tersebut. Gambarkan sebuah simpul baru pada masingmasing region suatu map M, kemudian buat sebuah ruas yang menghubungkan simpul pada 2 buah region yang berdampingan bila terdapat ruas sebagai batas / persekutuan kedua region tersebut. Buatlah tanpa adanya ruas baru yang berpotongan, maka akan terbentuk suatu map M*, yang disebut dual dari map M. Setelah Dualnya terbentuk, dapar dilakukan pewarnaan terhadap simpul-simpulnya. Simpulsimpul tersebut mewakili region sebelumnya, sehingga warna yang digunakan untuk suatu simpul berarti warna yang dapat digunakan untuk pewarnaan region yang diwakilinya. Teorema : suatu map M adalah berwarna 5 Setiap graf planar adalah berwarna (simpul) 4 Dibuktikan oleh Apple & Haken (1976) – 2000 Graf, jutaan kasus.
D. CONTOH PROBLEMA GRAF 1. Petugas kantor telepon yang ingin mengumpulkan koin-koin dari telepon umum. Berangkat dari kantor & kembali ke kantornya lagi. Yang diharapkan suatu rute perjalanan dengan waktu minimal. Masalah di atas dikenal sebagai Travelling Salesman Problem
61
Sebagai contoh :
1
2
7
8
11
12
9
5
11
11
4
9
* waktu dalam menit
10 8
3
1
= Kantor
Untuk menyelesaikan masalah di atas dapat dipakai Algoritma Tetangga Terdekat (yakni menggunakan Metode Greedy) 2. Perancangan Lampu Lalu Lintas. Yang diharapkan pola lampu lalu lintas dengan jumlah fase minimal.
62
Sebagai contoh :
C
D
B
E
F A
A
B
A
C
B
C
D
A
E
B
E
D
F
B
C
F
C
E
F
E
63
Untuk menyelesaikan masalah di atas dapat dipakai Algoritma Pewarnaan Graf (juga dikenal sebagai Graph Coloring, yakni menggunakan Metode Greedy)
64
Bab 9 Relasi A. RELASI HIMPUNAN Definisi: Suatu relasi pada himpunan A adalah relasi dari A ke A. Dengan kata lain, relasi pada A adalah himpunan bagian dari perkalian kartesian A dengan dirinya sendiri, yakni A×A. Contoh: Tinjau himpunan A = {1, 2, 3, 4}. Pasangan berurut manakah yang ada dalam relasi R = {(a, b) | a < b}? Jawab: R = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}. Relasi ini dapat digambarkan dengan diagram berikut. R
1
1
2
2
1
3
3
2
4
4
3
1
2
3
4
X
X
X
X
X X
4
Berapa banyak relasi berbeda yang bisa didefinisikan pada suatu himpunan A dengan n-buah anggota ? Relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari A×A. Ada berapa banyakkah 2
anggota A×A ? Ada n anggota dari A×A, jadi seberapa banyak himpunan bagian (=relasi pada A) yang dimiliki A×A ? Banyaknya himpunan bagian yang dapat dibentuk dari suatu himpunan dengan m buah m
anggota adalah 2 . Maka, ada 2n2 himpunan bagian yang bisa dibentuk dari A×A. Jadi kita bisa mendefinisikan 2n2 buah relasi berbeda pada A.
65
B. OPERASI-OPERASI PADA RELASI 1. Irisan dan Gabungan Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup antara dua relasi atau lebih juga berlaku. Jika R1 dan R2 masing-masing adalah relasi dari himpuna A ke himpunan B, maka R1 R2, R1 R2, R1 – R2, dan R1 R2 juga adalah relasi dari A ke B. Contoh . Misalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}. Relasi R1 = {(a, a), (b, b), (c, c)} Relasi R2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)} R1 R2 = {(a, a)} R1 R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)} R1 R2 = {(b, b), (c, c)} R2 R1 = {(a, b), (a, c), (a, d)} R1 R2 = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)} Jika relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan dengan matriks MR1 dan MR2, maka matriks yang menyatakan gabungan dan irisan dari kedua relasi tersebut adalah MR1 R2 = MR1 MR2
dan
MR1 R2 = MR1 MR2
2. Komposisi Relasi Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan S, dinotasikan dengan S R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh S R = {(a, c) a A, c C, dan untuk beberapa b B, (a, b) R dan (b, c) S } Contoh. Misalkan R = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)} adalah relasi dari himpunan {1, 2, 3} ke himpunan {2, 4, 6, 8} dan
66
S = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)} adalah relasi dari himpunan {2, 4, 6, 8} ke himpunan {s, t, u}. Maka komposisi relasi R dan S adalah S R = {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u) } Komposisi relasi R dan S lebih jelas jika diperagakan dengan diagram panah: 2 1 4 2 3
6 8
s t u
Jika relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan dengan matriks MR1 dan MR2, maka matriks yang menyatakan komposisi dari kedua relasi tersebut adalah MR2 R1 = MR1 MR2 yang dalam hal ini operator “.” sama seperti pada perkalian matriks biasa, tetapi dengan mengganti tanda kali dengan “” dan tanda tambah dengan “”.
C. REPRESENTASI RELASI DALAM GRAF DAN MATRIKS Definisi: Suatu graf berarah (directed graph/digraph atau digraf), terdiri dari himpunan simpul (vertex/node) V bersama dengan himpunan pasangan berurut E dari anggota-anggota V yang disebut sebagai garis-hubung (edge/arc). Untuk sebuah garis-hubung (a,b), maka a disebut sebagai simpul awal (initial vertex) dan b disebut sebagai simpul akhir (terminal vertex).
Digraf dapat digambarkan dengan anak panah. Misalnya, untuk V={a, b, c, d}, dan E = { (a, b), (a, d), (b, b), (b, d), (c,a), (c, b), (d, b)}, maka digraph dapat digambarkan sebagai berikut.
Sisi yang berbentuk seperti (b, b) disebut sebagai loop.
67
Jelas bahwa relasi R pada himpunan A dapat direpresentasikan dengan digraf, dimana A himpunan titik simpulnya dan semua pasangan (a, b)∈R sebagai garishubung-nya. Sebaliknya, sebarang digraf dengan simpul V dan sisi E dapat dinyatakan dengan relasi pada V yang mengandung semua pasangan didalam E. Korespondensi satu-ke-satu antara relasi dengan digraf berarti bahwa semua pernyataan mengenai relasi juga berlaku untuk digraf, dan demikian pula sebaliknya. Selanjutnya kita akan meninjau klosur (closure) dari sebuah relasi. Jika R adalah relasi dari himpunan A={a , a , …, a } ke himpunan B = { b , b , …, b }, maka R 1
2
m
1
2
n
dapat direpresentasikan dengan matriks Boolean M = [m ], dimana R
=
1, 0,
ij
( , )∈ ( , )∈
Untuk membuat matriks ini, pertama-tama kita harus menyebutkan anggota A dan B dalam urutan yang tertentu. Contoh: Tentukan representasi relasi R ={(2, 1), (3, 1), (3, 2)} sebagai matriks Boolean! 0 0 Jawab: Matriks M adalah MR = 1 0 R 1 1
D. JENIS-JENIS RELASI 1. Refleksif (reflexive)
Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) R untuk setiap a A.
Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a A sedemikian sehingga (a, a) R.
Contoh. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka a. Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan (4, 4). b. Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } tidak bersifat refleksif karena (3, 3) R. 2. Menghantar (transitive)
Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b) R dan (b, c) R, maka (a, c) R, untuk a, b, c A. Contoh.
68
Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka a. R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersifat menghantar. Lihat tabel berikut:
Pasangan berbentuk (a, b)
(b, c) (a, c)
(3, 2)
(2, 1) (3, 1)
(4, 2)
(2, 1) (4, 1)
(4, 3)
(3, 1) (4, 1)
(4, 3)
(3, 2) (4, 2)
b.
R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak manghantar karena
c.
(2, 4) dan (4, 2) R, tetapi (2, 2) R, begitu juga (4, 2) dan (2, 3) R, tetapi (4, 3) R.
d.
Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas menghantar
e.
Relasi R = {(1, 2), (3, 4)} menghantar karena tidak ada (a, b) R dan (b, c) R sedemikian sehingga (a, c) R.
f.
Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = {(4, 5)} selalu menghantar.
3. Setangkup (symmetric) dan tak-setangkup (antisymmetric) Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika untuk semua a, b A, jika (a, b) R, maka (b, a) R. Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b) R sedemikian sehingga (b, a) R. Relasi R pada himpunan A disebut tolak-setangkup jika untuk semua a, b A, (a, b) R dan (b, a) R hanya jika a = b. Relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b) R dan (b, a) R.
69
Perhatikanlah bahwa istilah setangkup dan tolak-setangkup tidaklah berlawanan, karena suatu relasi dapat memiliki kedua sifat itu sekaligus. Namun, relasi tidak dapat memiliki kedua sifat tersebut sekaligus jika ia mengandung beberapa pasangan terurut berbentuk (a, b) yang mana a b.
Contoh. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka 1. Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) } bersifat setangkup karena jika (a, b) R maka (b, a) juga R. Di sini (1, 2) dan (2, 1) R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) R. 2. Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak setangkup karena (2, 3) R, tetapi (3, 2) R. 3. Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } tolak-setangkup karena 1 = 1 dan (1, 1) R, 2 = 2 dan (2, 2) R, dan 3 = 3 dan (3, 3) R. Perhatikan bahwa R juga setangkup. 4. Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3) } tolak-setangkup karena (1, 1) R dan 1 = 1 dan, (2, 2) R dan 2 = 2 dan. Perhatikan bahwa R tidak setangkup. 5. Relasi R = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2) } tidak tolak-setangkup karena 2 4 tetapi (2, 4) dan (4, 2) anggota R. Relasi R pada (a) dan (b) di atas juga tidak tolak-setangkup. 6. Relasi R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } setangkup dan juga tolak-setangkup, dan R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 3)} tidak setangkup tetapi tolak-setangkup. 7. Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 4)} tidak setangkup maupun tidak tolaksetangkup. R tidak setangkup karena (4, 2) R tetapi (2, 4) R. R tidak tolak-setangkup karena (2, 3) R dan (3, 2) R tetap 2 3.
E. RELASI EKUIVALEN Relasi setara (equivalence relations) dipakai untuk merelasikan objek-objek yang memiliki keserupaan. Definisi. Suatu relasi pada himpunan A disebut relasi yang setara jika relasi tersebut bersifat refleksif, simetrik dan transitif. Dua elemen yang direlasikan dengan relasi setara R disebut sebagai elemen-elemen yang setara (equivalent). Akbiat definisi diatas, maka
Karena R simetrik, a setara dengan b jika b setara dengan a.
Karena R refleksif, setiap elemen setara dengan dirinya sendiri.
Karena R transitif, jika a setara dengan b dan b setara dengan c, maka a setara dengan c.
70
Jelas bahwa ketiga sifat ini perlu untuk definisi kesetaraan.
F. TUTUPAN (CLOSURE) Misalkan relasi R1 A X B dan R2 B X C Komposisi R1 dan R2 (symbol R1 . R2) adalah relasi { (x,y) | (x,y) R1 dan (y,z) R2}
G. PARTIAL ORDERING DAN TOTAL ORDER Relasi setara (equivalence relations) dipakai untuk merelasikan objek-objek yang memiliki keserupaan. Definisi. Suatu relasi pada himpunan A disebut relasi yang setara jika relasi tersebut bersifat refleksif, simetrik dan transitif. Dua elemen yang direlasikan dengan relasi setara R disebut sebagai elemen-elemen yang setara (equivalent). Akbiat definisi diatas, maka
Karena R simetrik, a setara dengan b jika b setara dengan a.
Karena R refleksif, setiap elemen setara dengan dirinya sendiri.
Karena R transitif, jika a setara dengan b dan b setara dengan c, maka a setara dengan c.
Jelas bahwa ketiga sifat ini perlu untuk definisi kesetaraan. Dalam hal ini himpunan S bersama dengan pengurutan parsial R-nya disebut sebagai himpunan yang terurut parsial (partially ordered set) atau poset, dan dituliskan sebagai (S, R). Contoh: Tinjau relasi “lebih dari atau sama dengan” dinyatakan sebagai “≥” (didefinisikan sebagai {(a, b) | a ≥ b}). Apakah relasi “≥“ suatu pengurutan parsial pada Z? Jawab: Berikut ini analisisnya :
≥ bersifat refleksif, sebab a ≥ a untuk sebarang a∈Z.
≥ bersifat antisimetrik, sebab jika a ≠ b, maka a ≥ b ∧ b ≥ a adalah salah.
≥ bersifat transitif, sebab jika a ≥ b dan b ≥ c, maka a ≥ c
Akibatnya, (Z, ≥) adalah poset.
H. LATTICE
71
Konsep elemen maksimal, minimal, terbesar, dan terkecil dapat diperluas ke himpunanhimpunan bagian poset. Misalkan a, b adalah 2 elemen anggota poset (A, ≤). Elemen c A disebut batas atas dari a dan b bila dan hanya bila a ≤ c dan b ≤ c. Elemen c A disebut batas-batas atas terkecil (Least Upper Bound = LUB) dari a dan b bila dan hanya bila: 1. c adalah batas atas a dan b. 2. Jika d adalah batas atas a dan b yang lain, maka c ≤ d. Secara analog, elemen c A disebut batas bawah dari a dan b bila dan hanya bila c ≤ a dan c ≤ b. Elemen c A disebut batas bawah terbesar (Greatest Lower Bound = GLB) dari a dan b bila dan hanya bila: 1. c adalah batas bawah a dan b. 2. Jika d adalah batas bawah a dan b yang lain, maka d ≤ c. Dalam suatu poset, LUB tidaklah selalu ada. Akan tetapi, jika LUB ada, LUB tersebut tunggal. Hal yang sama juga berlaku pada GLB.
I. APLIKASI RELASI DALAM ILMU KOMPUTER RELASI BASISDATA Sekarang kita perhatikan suatu jenis repesentasi basisdata yang didasarkan pada relasi yang disebut sebagai model basisdata relasional. Suatu basisdata terdiri dari n-tupel yang disebut record, dan suatu record yang terdiri dari beberapa field. Field ini merupakan entri dari n-tupel. Model data relasional menyatakan basisdata sebagai relasi n-ary, yaitu himpunan dari recordrecord. Contoh: Tinjau database mahasiswa, yang rekord-nya di-representasikan sebagai 4-tupel dengan field Nama Mahasiswa, Nomor Induk, Program Studi, dan IPK: R = { (Ackermann, 231455, CS, 3.88), (Adams, 888323, Physics, 3.45), (Chou, 102147, CS, 3.79), (Goodfriend, 453876, Math, 3.45), (Rao, 678543, Math, 3.90), (Stevens, 786576, Psych, 2.99) } Relasi yang merepresentasikan database disebut juga sebagai tabel, karena seringkali ditampilkan sebagai tabel.
72
Domain dari relasi n-ary disebut sebagai kunci primer (primary key) jika n-tupel ditentukan secara unik berdasarkan harganya pada domain ini. Ini berarti tidak ada dua rekord yang mempunyai nilai sama dari kunci primer yang sama. Pada Contoh, “Nama Mahasiswa” atau “Nomor Induk” dapat dijadikan kunci primer, karena tidak ada dua mahasiswa yang memiliki field ini dengan harga sama. Pada database yang sebenarnya, hanya Nomor Induk yang merupakan kunci primer karena nama dua orang mahasiswa bisa sama. Dalam basisdata, kunci primer harus selalu unik meskipun rekord baru ditambahkan. Oleh karena itu, kita harus memakai kunci primer yang diperluas, yang mengandung semua n-tupel yang bisa dimasukkan kedalam database. Kombinasi dari domain dapat juga dipakai untuk mengidentifikasi n-tupel secara unik pada relasi n-ary. Jika nilai sekumpulan domain dipakai untuk menentukan n-tupel dalam relasi, perkalian Kartesian dari domain ini disebut sebagai kunci komposit. Berbagai jenis operasi pada relasi n-ary dapat dipakai untuk membentuk relasi baru, yang penting untuk penyajian data kepada pengguna.
73
Bab 10 Fungsi A. FUNGSI YANG DIDEFINISIKAN PADA HIMPUNAN
Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B.
Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f:AB yang artinya f memetakan A ke B.
A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f.
Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.
Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di dalam B.
Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan prabayangan (pre-image) dari b.
Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B.
A
B f
a
b
Fungsi adalah relasi yang khusus:
74
1. Tiap elemen di dalam himpunan A harus digunakan oleh prosedur atau kaidah yang mendefinisikan f. 2. Frasa “dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B” berarti bahwa jika (a, b) f dan (a, c) f, maka b = c.
Fungsi dapat dispesifikasikan dalam berbagai bentuk, diantaranya: 1. Himpunan pasangan terurut. Seperti pada relasi. 2. Formula pengisian nilai (assignment). a. Contoh: f(x) = 2x + 10, f(x) = x2, dan f(x) = 1/x. 3. Kata-kata a. Contoh: “f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 di dalam suatu string biner”.
B. FUNGSI IDENTITAS Bila A adalah sembarang himpunan, maka fungsi f pada A disebut sebagai fungsi identitas jika dan hanya jika f memasangkan setiap anggota A dengan dirinya sendiri. Secara matematis dirumuskan sebagai f (x) = x.
C. FUNGSI KONSTAN Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dikatakan sebagai fungsi konstan bila dan hanya bila hanya satu anggota B yang menjadi pasangan setiap anggota A.
75
D. FUNGSI LANTAI (FLOOR FUNCTION) Fungsi Floor dan Ceiling Misalkan x adalah bilangan riil, berarti x berada di antara dua bilangan bulat. Fungsi floor dari x: x menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x Fungsi ceiling dari x: x menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x Dengan kata lain, fungsi floor membulatkan x ke bawah, sedangkan fungsi ceiling membulatkan x ke atas. Contoh. Beberapa contoh nilai fungsi floor dan ceiling: 3.5 = 3
3.5 = 4
0.5 = 0
0.5 = 1
4.8 = 4
4.8 = 5
– 0.5 = – 1
– 0.5 = 0
–3.5 = – 4
–3.5 = – 3
E. FUNGSI JARAK HAMMING Fungsi jarak Hamming merupakan fungsi yang penting dalam teori kode. Fungsi tersebut memberikan ukuran perbedaan/jarak antara 2 buah string biner yang memiliki panjang yang sama. Misalkan ={0,1} dan n = himpunan semua string dalam yang panjangnya = n.
76
Fungsi jarak Hamming didefinisikan sebagai: H : n x n + (himpunan bilangan bulat positif) H(s,t) = banyaknya posisi di mana s dan t memiliki harga yang berbeda. Jadi, jika n = 5, maka
H (11111,00000) = 5 karena kedua string berbeda di semua (=5) posisi.
H (11000,00010) = 3 karena kedua string berbeda di 3 posisi, yaitu posisi pertama, kedua dan keempat.
F. FUNGSI POLINOMIAL Fungsi Polinomial derajat n adalah fungsi yang berbentuk F(x)=anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x +a0, x R Dengan n = bilangan bulat tidak negative, dan a0,a1,…, an = bilangan-bilangan riil, an ≠ 0.
G. FUNGSI EKSPONENSIAL
,n 0 1 a a a a , n 0 n n
Untuk kasus perpangkatan negatif,
a n
1 an
H. FUNGSI LOGARITMA Fungsi logaritmik berbentuk
y a log x
x = ay
77
I. KESAMAAN FUNGSI Misalkan f dan g adalah fungsi-fungsi dari X dan Y. fungsi f sama dengan g (dituli f=g) bila dan hanya bila f(x) = g(x) x X
J. FUNGSI INJEKTIF, SURJEKTIF, DAN BIJEKTIF Fungsi Injektif / Fungsi Satu-satu (One-one Function) Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dikatakan sebagai fungsi satu-satu (one-one function) bila dan hanya bila f (a) = f (a)’ maka a = a’. Dengan kata lain, fungsi f adalah fungsi satu-satu bila setiap anggota himpunan A memiliki bayangan yang berbeda. 120 100
f(x)
80 60 40 20 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
Fungsi Surjetif / Fungsi Pada (Onto Function) Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dikatakan sebagai fungsi pada (onto function) bila dan hanya bila range f sama dengan B, atau f (A) = B.
78
Fungsi Bijektif / Korespondensi Satu-satu Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B dikatakan sebagai korespondensi satu-satu bila dan hanya bila f merupakan fungsi pada sekaligus fungsi satu-satu.
K. INVERS FUNGSI 1. Invers Suatu Fungsi Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke dalam B, dan b B. Invers dari f yang dinyatakan dengan f -1(b) terdiri dari anggota-anggota A yang dipasangkan ke B oleh f (yaitu anggota A yang mempunyai bayangan b). Secara matematis, hal ini dinyatakan sebagai berikut:
contoh:
79
2. Fungsi Invers Dapat saja terjadi invers suatu fungsi bukanlah merupakan suatu fungsi. Contoh di atas adalah buktinya. Invers sebuah fungsi merupakan fungsi invers bila fungsi tersebut merupakan korespondensi satu-satu.
L. PRINSIP KANDANG MERPATI (PIGEONHOLE PRINCIPLE) Prinsip sarang merpati menyatakan bahwa jika da n ekor merpati terbang ke m buah kandang merpati dan b > m, maka pasti ada paling sedikit satu buah kandang yang ditempati 2 merpati atau lebih.
Merpati n=6
Kandang m=4
m1 m2 m3 m4 m5 m6
k1 k2 k3 k4
Dalam konteks fungsi yang dominan dan kodominannya berhingga, prinsip kadang merpati dapat dinyatakan sebagai berikut:
80
Misalkan X adalah himpunan dengan n anggota (|X| = n) dan Y adalah himpunan dengan m anggota (|Y| = m) dengan n >m. Untuk itu, fungsi f : X Y tidak mungkin injektif karena pasti ada paling sedikit 2 elemen dalam X yang memiliki kawan sama di Y. Oleh karena kesederhanaannya, prinsip kandang merpati digunakan dalam banyak aplikasi.
M. KOMPOSISI FUNGSI Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan f g, adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh (f g)(a) = f(g(a)) Contoh. Diberikan fungsi g = {(1, u), (2, u), (3, v)} yang memetakan A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}, dan fungsi f = {(u, y), (v, x), (w, z)} yang memetakan B = {u, v, w} ke C = {x, y, z}. Fungsi komposisi dari A ke C adalah f g = {(1, y), (2, y), (3, x) }
N. FUNGSI DALAM BAHASA PEMROGRAMAN Kode program (source code) Contoh: Fungsi menghitung |x| function abs(x:integer):integer; begin if x < 0 then abs:=-x else abs:=x; end;
81
Bab 11 Analisis Algoritma A. PENDAHULUAN Komputer pada dasarnya adalah mesin yang tidak bisa apa-apa. Kita harus memberikan perintah untuk dapat berbicara (berkomunikasi) dengan komputer, dengan cara memberikan serangkaian instruksi kepada komputer agar komputer dapat memecahkan masalah. Langkahlangkah yang kita lakukan dalam memberikan instruksi untuk memecahkan masalah kita kita namakan pemrograman komputer. Untuk menyusun sebuah program yang besar dan kompleks, pemrogram membutuhkan tahapan penyusunan yang sistematis dan terpadu, yaitu: 1. Definisi Masalah 2. Analisis Kebutuhan 3. Penyusunan Algoritma 4. Pengkodean/Pemrograman 5. Testing dan Debugging 6. Pemeliharaan 7. Dokumentasi
B. NOTASI "O" Tugas yang dilakukan oleh computer untuk menyelesaikan masalah biasanya berupa tugas yang serupa, tetapi dilakukan berulang-ulang (iterasi). Banyaknya perulangan yang harus dilakukan oleh computer menetukan lama waktu proses (running time). Sering kali jumlah perulangan yang harus dilakukan dipengaruhi oleh jumlah data yang harus diproses. Seperti kata pepatah banyak jalan menuju Roma, seringkali didapati beberapa algoritma yang berbeda untuk menyelesaikan suatu masalah tertentu dalam computer. Sebagai contoh, pengurutan sejumlah data (sorting). Lama pengurutan dipengaruhi oleh banyaknya data yang diurutkan (di samping factor-faktor lain). Meskipun demikian, ada metode pengurutan yang memproses lebih cepat dibandingkan metode-metode lain meskipun jumlah datanya sama. Jika jumlah data (biasanya disimbolkan dengan n) sedikit, perbedaan tersebut tidaklah menjadi soal. Akan tetapi, untuk n yang besar, perbedaaan itu akan terasa karena perbedaan tersebut dada dalam skala jam, bahkan hari.
82
Perbedaan waktu proses sebagau fungsi jumlah data yang diporses sangat erat hubungannya dengan laju pertumbuhan algoritma yang bersangkutan. Laju pertumbuhan menunjukkan factor kelipatan waktu proses seiring dengan kenaikan jumlah data. Jika jumlah data dilipat-duakan, berapa factor perubahan lama waktu proses yang dibutuhkan? Dalam computer, laju pertumbuhan dinyatakan dalam notasi O (dibaca notasi big-oh/O besar). Notasi O memberikan cara untuk menyatakan laju pertumbuhan algoritma secara global/aproksimasi dan tidak memperhatikan perbedaan factor konstanta serta perbedaanperbedaan lain yang tidak begitu berpengaruh.
C. EFISIENSI ALGORITMA Analisis yang paling sering dilakuakn pada suatu algoritma dalah waktu proses. Menentukan waktu proses secara tepat (yang dinyatakan dengan satuan waktu seperti detik, menit, dan lain-lain) merupakan pekerjaan yang sangat sulit karena waktu proses secara eksak sangat tergantung pada implementasi algoritma dan perangkat keras yang dipakai. Analisis yang diinginkan untuk menyatakan efisiensi algoritma haruslah dibuat seumum mungkin sehingga bias dipakai apda semua algoritma, terlepas dari implementasi (jua compiler yang dipakai) maupun perangkat keras yang digunakan. Akibatnya, analisis tidak akan dilakuakn dalam konteks waktu proses secara eksak. Kompleksitas algoritma cukup dinyatakan dalam order waktu proses (Big Oh) sebagai fungsi jumlah data masukan yang diberikan. Dalam analisis tersebut kita memfokuskan diri pada operasi aktif, yang merupakan pusat algoritma, yaitu bagian algoritma yang dieksekusi paling sering. Bagian-bagian lain seperti pemasukan data, penugasan, dan lain-lain dapat diabaikan karena bagian-bagian tersebut tidak dieksekusi sesering operasi aktif. Jumlah eksekusi operasi aktif itulah aygn selanjutnya dihitung.
83
Bab 12 Struktur Aljabar A. SISTEM ALJABAR Sebuah sistem dimana terdapat sebuah himpunan dan satu atau lebih dari satu operasi n-ary, yang didefinisikan pada himpunan tersebut, dinamakan sistem aljabar. Selanjutnya, sebuah sistem aljabar akan dinyatakan dengan (S,f1 ,f2 ,f3 ,...,fn) dimana S sebuah himpunan tidak kosong dan f1 , f2 , ...., fn operasi-operasi yang didefinisikan pada S. Sebagai contoh, (Z,+) adalah sebuah sistem aljabar yang dibentuk oleh himpunan bilangan bulat Z dan operasi penjumlahan biasa ; (Z,+,x) adalah sebuah sistem aljabar yang dibentuk oleh himpunan bilangan bulat dan dua buah operasi biner.
B. SEMIGRUP, MONOID, DAN GRUP SEMIGRUP Sistem aljabar (S, ) merupakan semigroup, jika 1. Himpunan S tertutup di bawah operasi . 2. Operasi bersifat asosiatif. Contoh. (Z,+) merupakan sebuah semigroup
Monoid Sistem aljabar (S, ) merupakan monoid, jika 1. Himpunan S tertutup di bawah operasi . 2. Operasi bersifat asosiatif. 3. Pada S terdapat elemen identitas untuk operasi . Contoh. (Z,+) merupakan sebuah monoid dengan elemen identitas penjumlahan .
84
Group Sistem aljabar (S, ) merupakan monoid, jika 1. Himpunan S tertutup di bawah operasi . 2. Operasi bersifat asosiatif. 3. Pada S terdapat elemen identitas untuk operasi . 4. Setiap anggota S memiliki anggota S juga.
invers untuk operasi dan invers tersebut merupakan
Contoh. (Z,+) merupakan sebuah group
C. JENIS-JENIS GRUP Di samping memenuhi syarat-syarat untuk menjadi suatu grup, system-sistem aljabar tersebut sering kali masih memiliki sifat-sifat lain yang spesifik. Berdasarkan sifat-sifat yang spesifik itulah dikenal beberapa jenis grup.
1. Grup Komutatif
Misalkan (A, ) adalah suatu grup. Operasi dikatakan komutatif alabila untuk setiap a,b A, berlakulah sifat a b = b a.
Misalkan (A, ) adalah suatu system aljabar. (A, ) disebut Grup Komulatif (grup Abelian) jika memenuhi sifat-sifat:
1. (A, ) merupakan suatu grup 2. bersifat Komutatif Secara analog, Semigrup Komutatif (Semigrup Abelian) dan Monoid Komutatif (Monoid Abelian) didefinisikan sebagai Semigrup dan Monoid yang bersifat Komutatif.
2. Grup Permutasi Suatu fungsi injektif (one-to-one) dari himpunan S ke himpunan S disebut Permutasi himpunan S. Misalkan S={a,b,c,d} dan fungsinya memetakan a ke b, b ke d, c ke c, dan d ke a. permutasinya biasanya dituliskan sebagai
.
Baris yang atas merupakan daerah adal (domain) dan baris yang bawah merupakan kawannya.
85
Jika himpunan S terdiri dari n elemen, maka ada n! buah permutasi yang mungkin. Caranya dalah dengan membuat semua permutasi yang mungkin pada daerah kawan (dengan urutan domain tetap). Sebagai contoh, semua permutasi yang mungkin dari a,b,c adalah abc, acb, bac, cab, dan cba, sehingga ada 6 permutasi himpunan S, masing-masing: 1=
2=
3=
4=
5=
6=
Misalkan A adalah himpunan semua permutasi pada himpunan S. angota-anggota A adalah fungsi injektif yang merupakan permutasi. Pada himpunan A didefinisikan operasi biner “ “ yang merupakan komposisi 2 buah fungsi. (pi,pj A)pip jAdalah komposisi fungsi pi dengan p j Oleh karena itu, system aljabar (A, ) disebut grup permutasi.
3.
Grup Siklik
Misalkan (G,) sebuah group dengan elemen identitas e G. Jika a G, maka subgroup siklik yang dibangun oleh a adalah himpunan gp(a)
-2
-1
0
1
2
= { ... , a , a , a , a , a , ... } n
= { a n Z }. 0
m
n
m+n
Dimana a = e. Dalam hal ini berlaku pula hukum eksponen, a a = a 4 2 6 1 1 2 Sebagai contoh, a a = a , a a = a . n
0
untuk m,nZ.
0
Untuk n Z+ , a dapat dicari dengan mengingat bahwa a = e dan hukum eksponen a -1 = a a . Berdasarkan kedua hal tersebut, maka a adalah invers dari a untuk operasi dan -2 -3 a , a dan seterusnya dapat dicari. 1
-1
Order dari subgroup siklik gp(a) = { an n Z } adalah integer positif m terkecil sedemikian m hingga a = e. Contoh. Perhatikan group (Z4, ) dari contoh 1.12. di atas. Elemen identitas pada group tersebut adalah n 0. Subgroup siklik yang dibangun oleh 2 Z4 adalah gp(2) = { 2 n Z } = {0, 2}. Order dari gp(2) tersebut adalah 2.
4.
Grup Berhingga dan Tak Berhingga
Misalkan (A, ) adalah suatu grup. (A, ) disebut grup berhingga jika A merupakan himpunan yang berhingga. Banyaknya anggota A sering disebut order grup (A, ).
86
(A, ) disebut grup tak berhingga jika A merupakan himpunan yang tak berhingga.
D. SUBGRUP Misalkan (G,) sebuah group dan H G. merupakan subgroup dari group (G,).
Jika
(H,) membentuk group, maka
(H,)
Contoh. (Z,+) merupakan sebuah group. Misalkan A2 ={ x x = 3n, n Z }. Jelas bahwa A2 Z. Karena (A2,+) membentuk group, maka (A2,+) merupakan subgroup dari group (Z,+).
E. KOSET DAN TEOREMA LAGRANGE Ada suatu relasi yang penting antara jumlah anggota grup dengan jumlah anggota subgroup. Relasi tersebut dinyatakan dalam teorema Lagrange.
Koset Misalkan a H dan b H adalah dua koset kiri H, maka a H dan b H merupakan himpunan-himpunan yang saling asing atau keduanya merupakan himpunan yang sama.
Teorema Lagrange Order suatu grup berhingga habis dibagi oleh order subgrupnya.
F. RING DAN FIELD Ring Sebuah sistem aljabar (S,+,) adalah sebuah ring jika sifat-sifat berikut dipenuhi : 1. (S, +) merupakan group abel. 2. Himpunan S tertutup terhadap operasi . 3. Operasi bersifat asosiatif, untuk setiap x, y, z S berlaku (x y ) z = x ( y z). 4. Untuk setiap x, y, z S berlaku hukum distributif kiri x ( y + z) = (x y) + (x z) dan hukum distributif kanan (y + z) x = (y x) + (z x). Contoh. Sistem aljabar (Z,+,x) merupakan sebuah ring.
87
Field Sebuah sistem aljabar (S,+,) adalah sebuah field jika sifat-sifat berikut dipenuhi : 1. (S, +,) merupakan division ring. 2. (S - {0}, ) merupakan group abel, dimana 0 merupakan elemen nol. Contoh. Sistem aljabar (R,+,x) merupakan field (R = himpunan bilangan riil).
G. HUBUNGAN ANTARA GRUP,RING, DAN FIELD Sifat-sifat yang berhubungan dengan operator adalah: 1. Tertutup (a,b A) a b A 2. Asosiatif (a,b,c A) (a b) c = a (b c) 3. Elemen Identitas (e A) (a A ) e a = a e= a 4. Invers (e-1 A) (a A ) a a-1 = a-1 a = e 5. Komutatif (a,b A) a b = b a
Sifat-sifat yang berhubungan dengan operator adalah: 1. Tertutup (a,b A) a b A 2. Asosiatif (a,b,c A) (a b) c = a (b c) 3. Elemen Identitas (e A) (a A ) e a = a e= a 4. Invers (e-1 A) (a A ) a a-1 = a-1 a = e 5. Komutatif (a,b A) a b = b a Sifat yang berhubungan dengan operator dan adalah: (a,b,c A) a (b c) = (a b) (a c)
88