Estadística Distribución Normal (Parte 2) Ejercicios Propiedad Reproductiva y Teorema de Límite Central
Propiedad Reproductiva de la Normal •
•
Sea X1 una Variable Aleatoria (VA) con distribución normal y X2 otra VA con distribución normal:
X1~ N (μ1 , σ21) X2~ N (μ2 , σ22) Sea S = c1X1 + c2X2, entonces S ~ N (μy , σ2y) S ~ N (μs = c1μ1 + c2μ2, σ2s = c12σ21 + c22 σ22)
En general:
S ~ N (μs=c1μ1+…+c nμn, σ2s=c12σ21+…+cn2 σ2n) ‘Es decir, si te dicen que halles probabilidades de una suma de 2 o más distribuciones normales, asumes una nueva variable con la media y la distribución antes mencionadas.
EST145 Pa3 (2014-1) ’Resolver hasta línea roja
a) Se pide hallar la probabilidad de escoger una manzana entre 155 y 165 gramos para cada proveedor. b) Hallar la probabilidad de que, al escoger una manzana de cada proveedor, la suma de ambas pesen menos de 300 g. Tarea: c) Hallar la probabilidad de que, al escoger una manzana de cada proveedor, la suma de ambas pesen más de 350 g. d) Hallar la probabilidad que una manzana del proveedor A pese más que una del proveedor B. e) Hallar la probabilidad que una manzana del proveedor B pese más de 10 gramos que una manzana del proveedor A.
EST145 Pa3 (2014-1) Solución a: X : Peso de la 1ra manzana
Y : Peso de la 2da manzana
X~N(150,202)
Y~N(170,102)
Hallemos la probabilidad que una manzana de cada proveedor pese entre 155 y 165 gramos. P1
= P(155
−μ
−
σ 6−
=(
< Z <
<
−μ
6−μ
<
σ σ 6−
) = Φ(
) −
) – Φ(
)
= Φ(0.75) - Φ(0.25) = 0.7734 – 0.5987 P1
= 0.1747
P2
= P(155
−μ
−7
σ 6−7
=(
< Z <
<
−μ
<
6−μ
σ σ 6−7
) = Φ(
= Φ(-0.5) - Φ(-1.5) = 0.3085 – 0.0668 P2
= 0.2417
) −7
) – Φ(
)
EST145 Pa3 (2014-1) Solución b: X : Peso de la 1ra manzana; Y : Peso de la 2da manzana X~N(μx = 150, σx2 = 202); Y~N(μy = 170, σy2 = 102) Sea S: La suma de ambos pesos S = 1X+1Y S ~ N (μ = μx+ μy , σ2 = cx2σx2+ cy2σy2) S ~ N (μ = 150+170, σ2 = (12)(202) + 12 (102) ) S ~ N (μ = 320, σ2 = ( 500)2) P(S < 300)
−μ
= P(
= Φ( P(S < 300)
<
σ −
−μ σ
) = P( Z <
−
) = P(Z <
−
)
) = Φ(-0.89)
= 0.1817
Rpta: La probabilidad de que ambas pesen menos de 300 g es de 18.17% aproximadamente.
Caso donde se suman las variables n veces •
Si Xi~ N (μ , σ2)
(Todas, TODAS, las Xi tienen la misma distribución). •
Sea S = X1 + X2 + … + Xn , tal que S sea la suma de X i “n” veces:
•
S ~ N (μs=c1μ1+c2μ2+…+cnμn, σ2s=c12σ21+c22 σ22+…+cn2 σ2n)
•
Como μi=μ, σ2 i=σ2 y c=1:
•
S ~ N (μs = μ+μ+…+μ, σ2s = σ2+σ2+…+ σ2)
•
S ~ N (μs = nμ , σ2s = nσ2)
‘Este caso se desprende del anterior, es otra forma de resolver SOLO en caso que la variable que se suma tenga la misma media y la misma varianza.
EST103 Pa4 (2017-1) (H829-830) 4. El ingreso diario de un taxista se moldea con una variable aleatoria normal con una media de 120 soles y una varianza de 400 soles2. Si cada día, el taxista ahorra el 5% de sus ingresos para el mantenimiento del auto, calcule la probabilidad de que en 30 días de trabajo, ahorre más de 200 soles.
EST103 Pa4 (2017-1) (H829-830) Pregunta 4 (Solución 1): X : Ingreso diario de un taxista X~N(μx = 120, σx2 = 202) Sea S: Suma del ingreso en 30 días •
Sea S = X1 + X2 + … + X30 = = Xi , así:
•
S ~ N (μs = nμ , σ2s = nσ2)
S ~ N (μs = 3600, σ2s =( 12000)2)
Si mi ahorro es siempre el 5% de mi ingreso, ahorrar más de 200 soles implica que mis ingresos fueron más de 4000 soles. Así: P(S > 4000)
−μ
= P(
σ
>
4−6
) = P( Z >
4
) = 1 − P(Z <
4
)
= 1 − P(Z < 3.65) = 1 − Φ(3.65) = 1 − 0.99987 P(S > 4000)
= 0.00013
Rpta: La probabilidad que en 30 días ahorre más de 200 soles es de 0.01%.
EST103 Pa4 (2017-1) (H829-830) Pregunta 4 (Solución 2): X : Ingreso diario de un taxista X~N(μx = 120, σx2 = 202) Sea S: Suma del ahorro en 30 días •
Sea S = c1X1 + c2X2 + … + c30X30 = =
Xi , así:
S ~ N (μs=c1μ1+c2μ2+…+cnμn, σ2s=c12σ21+c22 σ22+…+cn2 σ2n) •
S ~ N (μs = c*n*μ , σ2s = c2*n*σ2)
P(S > 200)
−μ
= P(
σ
>
−8
) = P( Z >
S ~ N (μs = 180, σ2s =( 30)2)
) = 1 − P(Z <
)
= 1 − P(Z < 3.65) = 1 − Φ(3.65) = 1 − 0.99987 P(S > 200)
= 0.00013
Rpta: La probabilidad que en 30 días ahorre más de 200 soles es de 0.01%.
Teorema de Límite Central (TLC) •
•
•
Si X1, X2, …, Xn son variables aleatorias con una DISTRIBUCIÓN CUALQUIERA (pueden ser Normales o no, eso no importa) con la misma media (μ) y varianza (σ2). Si “n” es un número suficientemente grande (n ≥ 30).
S = X1, X2, …, Xn = = Xi, puedo aproximar: S ~ N (μs = nμ , σ2s = nσ2)
Ejercicio •
El peso de ciertos motores tiene una media de 30 kg y una desviación de 4 kg
a) Encontrar la probabilidad que el peso de 100 motores sea a lo más de 3060 kg b) Encontrar la probabilidad que el peso promedio de 64 motores sea a lo más de 30.4 kg. ‘Si se dan cuenta, en el enunciado NUNCA NOS DICEN QUE ES UNA NORMAL. No sabemos cómo se distribuye ni su función de probabilidad. Pero nos dicen que hay 100 y 64 motores respectivamente, entonces podemos aplicar el TLC.
Solución •
Sea X = Peso de un motor, μ = 30 y σ = 4
a) ‘Me dicen que hay 100 motores, y me dicen algo relacionado al peso total de esos 100 motores . S= Peso total de 100 motores Como n=100 ≥ 30, por TLC: S~N(μs=nμ , σ2s=nσ2) S ~ N (μ = 3000, σ2=1600=402) P (S ≤ 3060) = P (Z ≤
6− 4
) = Φ(1.5) = 0.9332
Rpta: La probabilidad es aproximadamente de 93.32%
Solución •
Sea X = Peso de un motor, μ = 30 y σ = 4
b)
=
Xi 64
=
64
Como n=64≥30, por TLC: ~ N(μ =30, σ2 = P ( ≤30.4) = P (Z≤
4
= 0.25)
64 .4− .
) = Φ(0.8) = 0.7881
Rpta: La probabilidad es aproximadamente de 78.81%
Problema •
El número diarios de CDs producidos por cada una de las máquinas de una fábrica, tiene una distribución normal con una media de 250 y una desviación estándar de 30. Encontrar la probabilidad que la producción diaria de CDs:
•
a) De 1 máquina sea menos de 260 CDs.
•
b) De 10 máquinas sea menos de 2600 CDs.
•
c) El promedio de 10 máquinas sea menos de 260 CDs.
Solución Xi = número de CDs producidos por máquina “i” Xi~ N(μ = 250, σ2 = 302) b) S = = Xi ‘Es decir, S sea el número de CDs producidos por 10 máquinas.
S ~ N(μs = nμ , σ2s = nσ2) S ~ N(μs = 2500 , σ2s = 9000) P(S<2600) = P(
−μ σ
<
6−μ σ
) = P(Z <
6− 9
= P(Z < 1.05) = Φ(1.05) = 0.8531
)
c) Sea =
= Promedio de 10 máquinas
Xi
=
Ya habíamos determinado: S ~ N(μs = 2500 , σ2s = 9000) El problema me pide:
P(
< 260) = P ( < 260) = P (S < 2600)
= P (Z<1.05) = 0.8531
Jardani Robatti Correo:
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