BINOMIAL dan MULTINOMIAL Tim Pengantar Matematika
Segitiga Pascal dan Kombinasi Sebetulnya,
dapat ditemukan dari perkalian secara langsung. Dengan mudah,
kita bisa mengekspansikan pangkatnya cukup kecil.
,
, dan selanjutnya seperti di bawah karena
= = = =
= =
Perhatikan pola dari suku-suku
. Pasti selalu dimulai dari suku
. (Ini
sebetulnya merupakan perjanjian saja). Lalu, suku berikutnya, pangkat dari a akan berkurang 1, namun pangkat dari b akan naik sebesar 1. Jadi, dapat dideskripsikan sebagai berikut. =
.
+
.
+
.
+ ... +
.
+
.
.
Lalu, untuk menentukan koefisien ( c) tiap suku kita dapat menggunakan segitiga Pascal. _____________________1 __________________1 ______1 _____________==> koefisien untuk _______________1 _____2 ______1 __________==> koefisien untuk _____________1 ____3 _____3 ______1 _______==> koefisien untuk ___________1 ___4 _____6 ______4 ____1 _____==> koefisien untuk _________1 ___5 ____10 ____10 _____5 ____1 ___==> koefisien untuk ______1 ____6 ___15 ____20 _____15 ____6 ___1 _ ==> koefisien untuk
Namun, cara di atas hanya dipakai untuk pangkat yang kecil (sedikit). Sulit untuk menjabarkan segitiga Pascal untuk baris yang sangat banyak (untuk pangkat yang besar). Jadi, kita gunakan kombinasi. Cara untuk mengekspansikan yang disebut teorema binomial.
dengan kombinasi inilah
Hubungan kombinasi dengan teorema binomial Perhatikan ilustrasi berikut. Dalam aljabar, kita tahu bahwa = Penjabaran dari =
. merupakan perkalian dari 3 faktor.
Lalu, kita pilih bagian yang ingin kita kalikan dari ketiga faktor itu. Misalnya, jika kita memilih a dari setiap faktor dan mengalikannya, maka kita peroleh aaa. Jika kita memilih a dari faktor pertama, a dari faktor kedua dan b dari
faktor ketiga kemudian mengalikannya,
maka kita peroleh aab, dan seterusnya. Sehingga semua kemungkinan pemilihan baik a maupun b dari masing-masing faktor adalah aaa; aab; aba; abb; baa; bab; bba; bbb
Jika dikalikan menjadi: ;
;
;
;
;
;
;
Jika semua suku-suku diatas dijumlahkan, maka hasilnya adalah Bilangan 3 yang merupakan koefisien dari muncul dari pemilihan a dari 2 faktor dan b dari 1 faktor sisanya. Hal ini bisa dilakukan
dalam
atau
cara. Cara yang sama bisa
dilakukan untuk memperoleh koefisien
yang
dalam hal ini merupakan pemilihan a dari 0 faktor dan b dari 3 faktor lainnya yang dapat dilakukan dalam
atau
cara, dan seterusnya.
Melalui hubungan kombinasi dengan teorema binomial, maka kita dapat merumuskan ulang rumus teorema binomial sebagai berikut: = atau = Kedua rumus di atas identik, hanya beda penulisan simbol
C saja.
TEOREMA BINOMIAL
Untuk sembarang x dan y dengan n bilangan bulat positif
n n 1 n n 2 2 n nk k n n ( x y ) x x y x y ... x y ... y 1 2 k n n
n
x
n
nx
n 1
y
n(n 1)
n n k k x y k k n
0
2!
x
n2
y
2
...
n(n 1)(n 2)...(n k 1) k !
xn k y k
... y n
n
Bentuk umum suku ke-(k+1) dari penjabaran ( x y ) adalah
n n k k n(n 1)(n 2)...(n k 1) n k k x y k x y atau k ! n n 2 n k n n n (1 x) 1 x x ... x ... x 1 2 k n
1 nx
n(n 1)
n k x k k n
0
2!
x
2
...
n(n 1)( n 2)...( n k k !
1)
x
k
... x n
n
Bentuk umum suku ke-(k+1) dari penjabaran (1 x) adalah
n k k x atau
n(n 1)(n 2)...( n k 1)
x
k
k !
n n n n 2 k (1 x) 1 ( x) ( x) ... ( x) ... ( x) n 1 2 k n n
1 n( x )
n(n 1)
n ( x)k k 0 k n
2!
( x)
2
...
n( n 1)( n 2)...(n k 1) k !
( x)k
... ( x )n
Bentuk umum suku ke-(k+1) dari penjabaran (1 x) adalah n
n k x ( ) atau k
n(n 1)(n 2)...(n k k !
1)
( x) k
Untuk sembarang x dan y dengan
p
bilangan pecahan positif
q
p 1 1 q q x y p
p
p
( x y ) x q
q
p
p q
x
q
2!
p p 1 2 q q 2 q 2 x y p
p q
3!
p q
3
y
3
...
p
Bentuk umum suku ke-(k+1) dari penjabaran ( x y ) q adalah
p p
p p 1 2 ... k 1 p qq q q x q k y k k !
p p
p p p 1 1 2 p qq qq q p x 3 ... 2 q x (1 x) 1 x q
2!
3!
p
Bentuk umum suku ke-(k+1) dari penjabaran (1 x) q adalah
p p
p p 1 2 ... k 1 qq q q x k k !
Untuk sembarang x dan y dengan pangkat bilangan negative
( x y)
n
x
n
(
)x
n
1
n
y
(n)(n 1) 2!
x
n
2
y
2
( n)( n 1)( n 2) 3!
x
n
3 3
y
...
n
Bentuk umum suku ke-(k+1) dari penjabaran ( x y) adalah
(n)(n 1)(n 2)...(n k 1)
k !
x k
Beberapa bentuk penjabaran binomial yang harus diingat 1
(1 x)
(1 x)
(1 x)
2
3
2
3
1 x x
1 2 x 3x2 4 x3 ... ( k 1) xk ...
1 3x 6 x
2
x
... x
k
10 x
3
...
...
(k 1)(k 2) 2!
x
k
...
Contoh 1.
Uraikan ekspresi di bawah ini dengan menggunakan teorema Binomial: a. (2x+5y)3 b . (x-4y)4
2. Hitunglah nilai dari (1,01) 5 3. Manakah yang paling besar (1,01)10000 atau 101.
Theorema Multinomial •
•
Multinomial merupakan perluasan dari Binomial. Multinomial adalah jumlahan t buah suku berbeda, yaitu x1, x2 xt . , …,
•
Binomial adalah kasus khusus multinomial untuk t=2
TEOREMA MULTINOMIAL
( x1 x2 ... xm ) n
k ,k 1
dengan k1 k2 ... km
•
n k k k k , k ,..., k x1 x2 ...xm m 1 2 1
k1 , k2 ,..., k m
n! 2 ,..., k m
k
2
m
k
k
x1 1 x2 2 ...xmm
k1 !k2 !...k m !
n
Banyaknya suku pada
( x1 x2 ... x
m
n m 1 ) adalah n n
Contoh 1.
Uraikan ekspresi di bawah ini dengan menggunakan teorema multinomial: a. (2x+5y-z)5 b . (x1 + x2 + x3 + x4+ x5)6
2. Tentukan koefisien dari (x1 + x2 + x3 + x4+ x5)10
x
2
1
x x 3
3 4
x
4
5
dalam ekspresi
Latihan: 1.
Ekspansikan
2.
Ekspansikan
3.
Ekspansikan
4.
Berapakah suku keenam dari ekspansi
5.
Berapakah suku ke-4 dari ekspansi
6.
Berapakah suku ke-7 dari ekspansi
7.
Berapakah suku yang mengandung
dari ekspansi
1.
Berapakah koefisien suku yang mengandung
dari ekspansi
2.
Berapakah koefisien suku yang mengandung
dalam ekspansi
3.
Tentukan koefisien dari
4.
Berapakah koefisien suku
5.
Tentukan koefisien suku yang mengandung
6.
Tentukan nilai dari Jika
7.
dalam ekspansi dari ekspansi
A = banyaknya suku dari ekspansi B = banyaknya suku dari ekspansi Maka, berapakah selisih A dan B?
dalam ekspansi
