VARIABLES ALEATORIA DISCRETA
DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA INTEGRANTES: • ASMAT RODRIGUEZ, MONICA • CHAVEZ,CRISTIAN • PERALTA VALLADARES,SANTIAGO
Simulación, Análisis Y Dise
DISTRIBUCION GEOMETRICA O DE PASCAL
Historia: El origen de la distribución geométrica comenzó con Jakob Bernoulli (1654-1705). Aquí Bernoulli proporciono la clave para entender la distribución geométrica. En un ensayo de Bernoulli A hay un conjunto de n variables independientes binarias en el que la observación j es un “éxito” o “fracaso.
CONCEPTO:
La distribución geométrica es una distribución discreta sin memoria es decir independiente.Es un modelo adecuado para aquellos procesos en los que se repiten pruebas hasta la consecución del éxito a resultado deseado y tiene interesantes aplicaciones en los muestreos realizados de esta manera.
Esta distribución se puede hacer derivar de un proceso experimental puro o de Bernoulli en el que tengamos las siguientes características:
El proceso consta de un número no definido de pruebas o experimentos separados o separables
El proceso concluirá cuando se obtenga por primera vez el resultado deseado (éxito).
No interesa cuántos veces se deba repetir el ensayo.
Éxito → 1 ; Fracaso → 0
Si la probabilidad de éxito es p y la de fracaso 1 - p, podemos construir una función de probabilidad:
• Las probabilidades p y q son constantes en todas las pruebas, por tanto, las pruebas, son independientes
• En la distribución geométrica el conjunto de posibles valores que puede tomar la variable () es infinito numerable, mientras que en la de Bernoulli y en la binomial, estos eran en número finito.
• Implica la existencia de una dicotomía de posibles resultados y la independencia de las pruebas entre sí.
• En probabilidad la distribución geométrica es muy útil pues nos dice el tiempo de espera hasta obtener el primer éxito y se utiliza en estudios de fiabilidad y en situaciones cíclicas donde se alternan éxitos y fracasos.
D.GEOMETRICA
Si una variable aleatoria discreta X definida en un espacio de probabilidad representa el número de repeticiones necesarias de un experimento de Bernoulli para obtener el primer éxito, entonces tiene por función de densidad: X-1 P (x=x) = función de densidad, de la variable aleatoria con distribución geométrica. X Numero de experimentos hasta que aparece el 1er éxito. p probabilidad de éxito q probabilidad de fracaso (1 - p)
Función de densidad:
Sea A un suceso de probabilidad P(A)=p, y sea X la variable aleatoria que expresa el número de fracasos que tiene lugar en las repeticiones independientes de pruebas de Bernoulli, hasta que ocurre A por primera vez. La variable X toma los valores de 0, 1,2,…. (número de fracasos). Decimos que una variable aleatoria X sigue una distribución geométrica de parámetros p si su función de probabilidad es:
Dónde: P= probabilidad de éxito en cada ensayo x= ensayos que sean necesarios para obtener un éxito, para x = 1, 2, 3,..
Función de Distribución:
Lo anterior solo se cumple si y solo si: Las pruebas son idénticas e independientes entre sí. La probabilidad de éxito es p y se mantiene constante de prueba en prueba
La función de densidad de la variable aleatoria geométrica sólo depende del parámetro p, y presenta siempre una asimetría a la derecha como se puede observar en las siguientes funciones de densidad.
• Esperanza Matematica:
• Varianza:
EJEMPLO:
1. Los registros de una compañía constructora de pozos, indican que la probabilidad de que uno de sus pozos nuevos, requiera de reparaciones en el término de un año es de 0.20. ¿Cuál es la probabilidad de que el quinto pozo construido por esta compañía en un año dado sea el primero en requerir reparaciones en un año? Solución:
p(x = 5)=
x = 5 que el quinto pozo sea el primero que requiera reparaciones en un año p = 0.20 = probabilidad de que un pozo requiera reparaciones en el término de un año q = 0.80 = probabilidad de que un pozo no requiera reparaciones en el término de un año
2. Sí la probabilidad de que un cierto dispositivo de medición muestre una desviación excesiva es de 0.05, ¿cuál es la probabilidad de que; a) el sexto de estos dispositivos de medición sometidos a prueba sea el primero en mostrar una desviación excesiva?
Solución: a) x = 6 que el sexto dispositivo de medición probado sea el primero que muestre una variación excesiva p = 0.05 =probabilidad de que un dispositivo de medición muestre una variación excesiva q = 0.95 =probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre una variación excesiva
p(x = 6) =
• En consecuencia, la distribución geométrica hereda las características de la distribución binomial, a excepción del concepto del cual se quiere calcular la probabilidad. En este caso la variable aleatoria de interés, denotada mediante X, se define como el número de ensayos requeridos para lograr el primer éxito. Es obvio que para obtener el primer éxito se debe realizar el experimento cuando menos una vez, por lo que los valores que puede tomar la variable aleatoria X son 1, 2, 3,..., n, esto es, no puede tomar el valor cero. En este caso se cumple que (X = x) si y sólo si los primeros (x – 1) ensayos son fracasos (q) y el x-ésimo ensayo es éxito (p), por lo que: P(X
= x) =
De acuerdo a lo anterior, podemos decir que: Una variable aleatoria X se distribuye de acuerdo con un modelo probabilístico geométrico, si su función de probabilidades es:
EJEMPLO: 1. Se lanza un dado hasta que aparece el número 6. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de lanzamientos sean 3? Solución. En este problema el éxito es la aparición del número 6 y la probabilidad de que salga el número 6 al lanzar un dado es 1/6, por lo que p = 1/6 y q = 5/6. Como nos interesa calcular la probabilidad de que el 6 aparezca en el tercer lanzamiento, entonces:
2. La probabilidad de que cierto análisis clínico dé una reacción positiva es 0.4. Los resultados de los análisis son independientes unos de otros ¿Cuál es la probabilidad de que la primera reacción positiva ocurra antes del tercer análisis?
Solución: Aquí el éxito es que salga una reacción positiva, por lo que p = 0.4 y q = 0.6. Si la primera reacción positiva debe aparecer antes del tercer análisis, entonces:
