Distribución de Probabilidades - Distribuciones discretas: Bernouilli Distribuciones discretas y continuas Las distribuciones discretas son aquellas en las que la variable puede pude tomar un número determinado de valores:
Ejemplo: si se lanza una moneda al aire puede salir cara o cruz; si se tira un dado puede salir un número de 1 al 6; en una ruleta el número puede tomar un valor del 1 al 32. Las distribuciones continuas son aquellas que presentan un número infnito de posibles soluciones:
Ejempl Ejemplo: o: El peso medio de los alumnos de una clase puede tomar infnitos valores dentro de cierto intervalo (2!3" #$! 2!3"6 #$! 2!3"6%1#$! etc&; la esperanza media de vida de una poblaci'n ("2!% aos! "2!%13 aos! "2!%123 aos&. )amos a comenzar por estudiar las principales distribuciones discretas.
Distribuciones discretas: Bernouilli Es aquel modelo que si$ue un e*perimento que se realiza una sola vez + que puede tener dos soluciones: acierto o ,racaso: -uando es acierto la variable toma el valor 1 -uando es fracaso la variable toma el valor 0
Ejemplo: robabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara o no sale&; probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no n o te admiten&; probabilidad probabilidad de acertar una quiniela (o aciertas o no aciertas&
/l 0aber únicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios: / la probabilidad de *ito se le denomina "p" / la probabilidad de ,racaso se le denomina "q" )erifcndose que:
pq!1
)eamos los ejemplos anteriores :
Ejemplo 1: robabilidad robabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire: robabilidad robabilidad de que sal$a cara: p 4!% robabilidad robabilidad de que no sal$a cara: q 4!% p 5 q 4!% 5 4!% 1
Ejemplo : robabilidad de ser admitido en la universidad: robabilidad robabilidad de ser admitido: p 4!2% robabilidad robabilidad de no ser admitido: q 4!"%
p 5 q 4!2% 5 4!"% 1
Ejemplo #: robabilidad de acertar una quiniela: robabilidad robabilidad de acertar: p 4!44441 robabilidad robabilidad de no acertar: q 4!
p 5 q 4!44441 5 4! 1
Distribuciones discretas: Binomial Las distribución binomial parte de la distribuci'n de 7ernouilli:
La distribución de Bernouiili se aplica cuando se realiza una sola vez un e*perimento que tiene únicamente dos posibles resultados (*ito o ,racaso&! por lo que la variable s'lo puede tomar dos valores: el 1 + el 4. La distribución binomial se aplica cuando se realizan un número8n8 de veces el e*perimento de 7ernouiili! siendo cada ensa+o independiente del anterior. La variable puede tomar valores entre:
0: si todos los e*perimentos 0an sido ,racaso n: si todos los e*perimentos 0an sido *itos Ejemplo: se tira una moneda 14 veces: 9cuantas 9cuantas caras salen i no 0a salido salido nin$una la variable toma el valor 4; si 0an salido dos caras la variable toma el valor 2; si todas 0an sido cara la variable toma el valor 14 distribución n de probabilid probabilidad ad de este La distribució este tipo tipo de dist distri ribu buci ci'n 'n si$u si$ue e el si$uiente modelo:
9/l$uien entiende esta ,'rmula )amos a tratar de e*plicarla con un e
Ejemplo 1: 9-ul es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 14 veces " $ " es el número de aciertos. En este e
Lue$o!
P %& ! '( ! 0)0*
Es decir! se tiene una probabilidad del 24!%> de obtener 6 caras al lanzar 14 veces una moneda.
Ejemplo : 9-ul es la probabilidad de obtener cuatro veces el número 3 al lanzar un dado oc0o veces
" $ " (número de aciertos& toma el valor " n" toma el valor ? " p " (probabilidad (probabilidad de que sal$a un 3 al tirar el dado& es 1 @ 6 ( 4!1666&
La ,'rmula queda:
Lue$o!
P %& ! +( ! 0)0' Es deci decir! r! se tien tiene e una una prob probab abil ilid idad ad del del 2!6> 2!6> de obte obtene nerr cuat cuatro ro vece veces s el números 3 al tirar un dado ? veces.
Distribuciones discretas: Poisson Las distribución de Poisson parte de la distribuci'n binomial: -uando en una distribuci'n binomial se realiza el e*perimento un número 8n8 mu+ elev elevad ado o de vece veces s + la prob probab abil ilid idad ad de *it *ito o 8p8 8p8 en cada cada ensa+ ensa+o o es reducida! entonces se aplica el modelo de distribución de Poisson: e tiene que cumplir que:
" p " A 4!14 " p , n " A 14
La distribución de Poisson si$ue el si$uiente modelo:
)amos a e*plicarla: El número "e" es 2!"1?2?
" l " n B p (es decir! el número de veces veces 8 n 8 que se realiza realiza el e*perimento e*perimento multiplicado por la probabilidad 8 p 8 de *ito en cada ensa+o& " $ " es el número de *ito cu+a probabilidad se est calculando
)eamos un ejemplo:
La probabilidad de tener un accidente de trfco es de 4!42 cada vez que se via
-omo la probabilidad 8 p 8 es menor que 4!1! + el producto 8 n B p 8 es menor que 14! entonces aplicamos el modelo de distribuci'n de oisson.
Lue$o! (* 3& 4!4?2 or lo tanto! la probabilidad de tener 3 accidentes de trfco en 344 via
Ctro ejemplo: La prob probab abil ilid idad ad de que que un nio nio nazc nazca a peli pelirr rro< o
Lue$o! (* %& !642 or lo tanto! la probabilidad de que 0a+a % pelirro.
Distribuciones discretas: iper.eom/trica iper.eom/trica distri ribu buci ción ón iper iper.e .eom om/t /tri rica ca es Las dist e*perimentos del si$uiente tipo:
el
modelo
que
se
aplica
en
En una una urna urna 0a+ 0a+ bola bolas s de dos dos colo colorres (bla (blanc ncas as + ne$r ne$ras as&! &! 9cu 9cull es la probabilidad probabilidad de que al sacar 2 bolas las dos sean blancas
on e*perimentos donde! al i$ual que en la distribuci'n binomial! en cada ensa+o 0a+ tan s'lo dos posibles resultados: o sale blanca o no sale. ero se distintos ensayos ensayos son di,er di,erenc encia ia de la distri distribuc buci'n i'n binomial binomial en que los distintos dependientes entre s=:
i en una urna con % bolas blancas + 3 ne$ras en un primer ensa+o saco una bola blanca! en el se$undo ensa+o 0a+ una bola blanca menos por lo que las probabilidades probabilidades son di,erentes (0a+ dependencia entre los distintos ensa+os&. La distribución iper.eom/trica si$ue el si$uiente modelo:
Donde:
)amos a tratar de e*plicarlo:
2: es el número nú mero total de bolas en la urna 21: es el número nú mero total de bolas blancas 2: es el número nú mero total de bolas ne$ras $ : es el número nú mero de bolas blancas cu+a probabilidad probabilidad se est calculando n: es el número de ensa+os que se realiza )eamos un ejemplo: en una urna 0a+ " bolas blancas + % ne$ras. e sacan bolas 9-ul es la probabilidad de que 3 sean blancas Entonces: 12; 1 "; 2 %; # 3; n i aplicamos el modelo:
or lo tanto! (* 3& 4!3%3%. Es decir! la probabilidad de sacar 3 bolas blancas es del 3%!3>. ero ero este modelo modelo no s'lo s'lo se utiliz utiliza a con e*perime e*perimento ntos s con bolas! bolas! sino que tambin se aplica con e*perimentos similares:
Ejemplo: en una festa 0a+ 24 personas: 1 casadas + 6 solteras. e eli$en 3 personas al azar 9-ul es la probabilidad probabilidad de que las 3 sean solteras
or lo tanto! (* 3& 4!41"%. Es decir! la probabilidad de que las 3 personas sean solteras es tan s'lo del 1!"%>.
Distribuciones discretas: 3ultinomial distribución n multinomial multinomial es simila La distribució similarr a la distri distribuc buci'n i'n binom binomial ial!! con la di,erencia de que en lu$ar de dos posibles resultados en cada ensa+o! puede 0aber múltiples resultados: Ejemplo Ejemplo de distribuci distribución ón binomial binomial: a unas unas elec elecci cion ones es se pres presen enta taro ron n 2 part partid idos os pol= pol=ti tico cos: s: el CC CC obtu obtuvo vo un "4> "4> de los los voto votos s + el FEFE FEFE el 34> 34> restante. 9-ul es la probabilidad de que al ele$ir % ciudadanos al azar! de ellos 0allan votado al FEFE Ejemplo de distribución multinomial: a esas elecciones se presentaron partidos pol=ticos: el CC obtuvo un 4> de los votos! el FEFE el 34>! el GHGH el 24> + el L/L/ el 14> restante. 9-ul es la probabilidad de que al ele$ir % ciudadanos al azar! 3 0a+an votado al CC! 1 al GHGH + 1 al L/L/ La distribución multinomial si$ue el si$uiente modelo:
Donde:
41 ! &1: indica que el suceso I1 aparezca *1 veces (en el e
p1: es la probabilidad del suceso I1 (en el e&
)eamos el ejemplo:
Lue$o:
P ! 0)0*'
Es decir! decir! que la probabilid probabilidad ad de que las % personas personas ele$idas ele$idas 0a+an votado de esta manera es tan s'lo del 2!%6> ota: 4J es i$ual a 1! + cualquier número elevado a 4 es tambin i$ual a 1 )eamos otro ejemplo: En una festa! el 24> de los asistentes son espaoles! el 34> ,ranceses! el 4> ital italia iano no + el 14> 14> port portu$ u$ue uese ses. s. En un pequ peque eo o $rup $rupo o se 0an 0an reuni eunido do invitados: 9cual es la probabilidad de que 2 sean espaoles + 2 italianos /plicamos el modelo:
Lue$o
P ! 0)0#6+
or lo tanto! la probabilidad de que el $rupo est ,ormado por personas de estos pa=ses es tan s'lo del 3!?>.
Distribuciones discretas: 3ultiiper.eom/trica
distri ribu buci ción ón mult multi iip iper er.e .eom om/t /tri rica ca es similar a la distribuci'n La dist 0ipe 0iper$ r$eo eom mtr tric ica! a! con con la di,e di,ere renc ncia ia de que que en la urna urna!! en lu$ar lu$ar de 0abe 0aberr únicamente bolas de dos colores! 0a+ bolas de di,erentes colores. Ejemplo: en una urna 0a+ " bolas blancas! 3 verdes + amarillas: 9cul es la probabilidad probabilidad de que al e*traer 3 bolas sea cada una de un color distinto La distribución multiiper.eom/trica si$ue el si$uiente modelo:
Donde:
41 ! &1: indica que el suceso I1 aparezca *1 veces (en el e
Lue$o:
P ! 0)#07 Es decir! que la probabilidad de sacar una bola de cada color es del 23!4">. )eamos otro ejemplo:
En una ca
Lue$o
P ! 0)0777 or lo tanto! la probabilidad de que los % lpices sean de los colores indicados es del "!"">.
Distribuciones continuas: 8niforme La distribución uniforme es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo! todos ellos con la misma probabilidad. probabilidad.
distribuc bución ión contin continua ua porqu Es u na na distri porque e puede puede tomar tomar cualqu cualquier ier valor valor + no única únicame ment nte e un núme número ro dete determ rmin inad ado o (com (como o ocur ocurre re en las las dist distri ribu buci cion ones es discretas&. Ejemplo: el precio medio del litro de $asolina durante el pr'*imo ao se estima que puede oscilar entre 14 + 164 ptas. odr=a ser! por tanto! de 13 ptas.! o de 13! ptas.! o de 13!% ptas.! o de 13!%% ptas! etc. Ka+ infnitas posibilidades! todas ellas con la misma probabilidad. probabilidad. u función de densidad) aquella que nos permite conocer la probabilidad que tiene cada punto del intervalo! viene defnida por:
Donde:
b: es el e*tremo superior (en el e
Es decir! que el valor fnal est entre 14 ptas. + 11 ptas. tiene un %> de probabilidad! probabilidad! que est entre 11 + 12! otro %>! etc. El valor medio de esta distribuci'n se calcula:
En el e
or lo tanto! el precio medio esperado de la $asolina para el pr'*imo ao es de 1%4 ptas. )eamos otro ejemplo: El volumen de precipitaciones estimado para el pr'*imo ao en la ciudad de evilla va a oscilar entre 44 + %44 litros por metro cuadrado. -alcular la ,unci'n de distribuci'n + la precipitaci'n media esperada:
Es decir! que el volumen de precipitaciones est entre 44 + 41 litros tiene un 1> de probabilidades; que est entre 41 + 42 litros! otro 1>! etc. El valor medio esperado es:
Es decir! la precipitaci'n media estimada en evilla para el pr'*imo ao es de %4 litros.
Distribuciones continuas: 2ormal %9( Es el modelo de distribución ms utili;ado en la prctica! +a que multitud de ,en'menos se comportan se$ún una un a distribuci'n normal. Esta distribuci'n de caracteriza porque los valores se distribu+en ,ormando una campana de
Hn %4> de los valores estn a la derec0a de este valor central + otro %4> a la izquierda Esta distribuci'n viene defnida por dos parmetros:
4: 2 %m) s ( m : es el valor medio de la distribuci'n + es precisamente donde se sitúa el centro de la curva (de la campana de auss&. s : es la varianza. Mndica si los valores estn ms o menos ale
Ejempl Ejemplo: o: una variable aleatoria si$ue el modelo de una distribuci'n normal con media 14 + varianza . Nrans,ormarla Nrans,ormarla en una normal tipifcada. I: (14! & ara trans,ormarla en una normal tipifcada se crea una nueva variable (O& que ser ser i.ual a la anterior %4( menos su media y dividida por su desviación t>pica (que es la ra=z cuadrada de la varianza&
En el e
Esta nueva variable se distribu+e como una normal tipifcada! permitindonos! por tanto! conocer la probabilidad acumulada en cada valor.
?: ?: 2 %0) 1(
Distribuciones continuas: 2ormal %99( La distribución normal tipi=cada tiene la venta
4 0)0 0)1 0) 0)# 0)+ 0)* 0)' 0)7 0)6
0)00 4!%44 4 4!%3 ? 4!%" 3 4!61" 4!6%% 4!61 % 4!"2% " 4!"%? 4 4!"??
0)01 4!%4 4 4!%3 ? 4!%?3 2 4!621 " 4!6% 1 4!6% 4 4!"2 1 4!"61 1 4!"1
0)0 4!%4? 4 4!%" ? 4!%?" 1 4!62% % 4!662 ? 4!6? % 4!"32 4!"6 2 4!"3
0)0# 4!%12 4 4!%%1 " 4!%1 4 4!62 3 4!666 4!"41 4!"3% " 4!"6" 3 4!"6
0)0+ 4!%16 4 4!%%% " 4!% ? 4!633 1 4!6"4 4 4!"4% 4!"3? 4!""4 4!"
0)0* 4!%1 4!%% 6 4!%? " 4!636 ? 4!6"3 6 4!"4? ? 4!"2 2 4!""3 4!?42
0)0' 4!%23 4!%63 6 4!642 6 4!64 6 4!6"" 2 4!"12 3 4!"% 4!""6 4!?4%
0)07 4!%2" 4!%6" % 4!646 4!6 3 4!6?4 ? 4!"1% " 4!"? 6 4!"" 4!?4"
0)06 4!%31 4!%"1 4!614 3 4!6? 4 4!6? 4!"4 4 4!"%1 " 4!"?1 3 4!?14
0)0@ 4!%3% 4!%"2 3 4!61 1 4!6%1 " 4!6?" 4!"22 4!"% 4!"?% 2 4!?13
0)@ 1)0 1)1 1) 1)# 1)+ 1)* 1)' 1)7 1)6 1)@ )0 )1 ) )# )+ )* )' )7 )6 )@
1 4!?1% 4!?1 6 4!?6 3 4!?? 4!43 2 4!1 2 4!33 2 4!% 2 4!%% 4!6 1 4!"1 3 4!"" 2% 4!?2 1 4!?6 14 4!? 2? 4!1 ?4 4!3 " 4!% 3 4!6 %3 4!" 4!? 13
4 4!?1? 6 4!?3 ? 4!?66 % 4!??6 4!4 4!24 " 4!3 % 4!6 3 4!%6 4!6 4!"1 4!"" "? 4!?2 %" 4!?6 % 4!? %6 4!2 42 4!3 6 4!% " 4!6 6 4!" %2 4!? 1
4!?21 2 4!?6 1 4!?6? 6 4!??? ? 4!46 6 4!22 2 4!3% " 4!" 4!%" 3 4!6% 6 4!"2 6 4!"? 31 4!?3 44 4!?6 " 4!? ?3 4!2 2 4! 13 4!% 64 4!6 " 4!" 64 4!? 2%
Aómo se lee esta tablaC
" 4!?23 ? 4!?? % 4!?"4 ? 4!?4 " 4!4? 2 4!23 6 4!3" 4 4!? 4!%? 2 4!66 4!"3 2 4!"? ?2 4!?3 1 4!?" 13 4!4 14 4!2 % 4! 34 4!% "3 4!6 ?3 4!" 6" 4!? 31
% 4!?26 4!?%4 ? 4!?"2 4!?2 % 4!4 4!2% 1 4!3? 2 4! % 4!% 1 4!6" 1 4!"3 ? 4!" 32 4!?3 ?2 4!?" % 4!4 36 4!2 66 4! 6 4!% ?% 4!6 3 4!" " 4!? 36
3 4!?2? 4!?%3 1 4!?" 4!? 4!11 % 4!26 % 4!3 4!%4 % 4!% 4!6" ? 4!" 4!" ?2 4!? 22 4!?" "? 4!4 61 4!2 ?6 4! 61 4!% ? 4!" 42 4!" ?1 4!? 1
1 4!?31 % 4!?%% 4!?"" 4 4!?6 2 4!13 1 4!2" 4!4 6 4!%1 % 4!64 ? 4!6? 6 4!"% 4 4!?4 34 4!? 61 4!?? 4 4!4 ?6 4!3 4% 4! "" 4!6 4 4!" 11 4!" ?? 4!? 6
? 4!?3 4 4!?%" " 4!?" 4 4!?? 4 4!1 " 4!2 2 4!1 ? 4!%2 % 4!61 6 4!6 3 4!"% 6 4!?4 "" 4!?% 44 4!?? 4 4!1 11 4!3 2 4! 2 4!6 21 4!" 24 4!" % 4!? %1
6 4!?36 % 4!?% 4!??1 4 4!? " 4!16 2 4!34 6 4!2 4!%3 % 4!62 % 4!6 4!"6 1 4!?1 2 4!?% 3" 4!?? "4 4!1 3 4!3 3 4!% 46 4!6 32 4!" 2? 4!? 41 4!? %6
3 4!?3? 4!?62 1 4!??3 4 4!41 % 4!1" " 4!31 4! 1 4!% % 4!63 3 4!"4 6 4!"6 " 4!?1 6 4!?% " 4!?? 4!1 %? 4!3 61 4!% 24 4!6 3 4!" 36 4!? 4" 4!? 61
La column columna a de la izquie izquierd rda a indica indica el valor valor cu+a cu+a proba probabil bilida idad d acumul acumulada ada queremos conocer. La primera fla nos indica el se$undo decimal del valor que estamos consultando.
Ejemplo: quer querem emos os cono conoc cer la proba obabil bilida idad acum acumul ulad ada a en el valo valorr 2!"%.Entonces buscamos en la columna de la izquierda el valor 2!" + en la prim primer era a fla fla el valo valorr 4!4% 4!4%.. La casi casill lla a en la que que se inte inters rsec ecci cion onan an es su probabilidad probabilidad acumulada (4!"42! es decir .">&. tención: la tabla nos da la probabilidad acumulada! es decir! la que va desde el inicio de la curva por la izquierda 0asta dic0o valor. valor. o nos da la probabilidad concreta en ese punto. En una distribuci'n continua en el que la variable puede tomar infnitos valores! la probabilidad en un punto concreto es prcticamente despreciable. Ejemplo: Mma$inemos que una variable continua puede tomar valores entre 4 + %. La probabilidad de que tome e*actamente el valor 2 es despreciable! +a que podr=a tomar infnitos valores: por e
Ejempl Ejemplo: o: el salario medio de los empleados de una empresa se distribu+e se$ún una distribuci'n normal! con media % millones de ptas. + desviaci'n t=pica 1 mill'n de ptas. -alcular el porcenta
En el e
Esta nueva variable se distribu+e como u na normal tipifcada. La variable O que corresponde a una variable I de valor " es:
Oa Oa podemos consultar en la tabla la probabilidad probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a la probabilidad de sueldos in,eriores a " millones de ptas.&. Esta probabilidad probabilidad es 4!""2%. or lo tanto! el porcenta.
Distribuciones continuas: 2ormal %999(: Ejercicios Ejercicio 1: La renta media de los 0abitantes de un pa=s es de millones de ptas@ao! con una varianza de 1!%. e supone que se distribu+e se$ún una distribuci'n normal. -alcular:
a& orcenta de la poblaci'n con ma+ores in$resos. c& Mn$resos m=nimo + m*imo que en$loba al 64> de la poblaci'n con renta media.
a( Porcentaje de la población con una renta inferior a # millones de ptas Lo primero que tenemos que 0acer es calcular la normal tipifcada:
(B& Pecordemos que el denominador es la desviaci'n t=pica ( ra=z cuadrada de la varianza& El valor de O equivalente a 3 millones de ptas es Q4!?16.
(I A 3& (O A Q4!?16&
/0ora tenemos que ver cul es la probabilidad acumulada 0asta ese valor. Nenemos Nenemos un problema: la tabla de probabilidades probabilidades (ver lecci'n 3%& s'lo abarca valores positivos! no obstante! este problema tiene ,cil soluci'n! +a que la distribuci'n normal es simtrica respecto al valor medio. or lo tanto: (O A Q4!?16& (O R 4!?16& or otra parte! la probabilidad que 0a+ a partir de un valor es i$ual a 1 (144>& menos la probabilidad acumulada 0asta dic0o valor: (O R 4!?16& 1 Q (O A 4!?16& 1 Q 4!"2% (apro*.& 4!24"% Lue$o! el 24!"%> de la poblaci'n tiene una renta in,erior a 3 millones ptas.
b( 2ivel de in.resos a partir del cual se sitFa el 10G de la población con renta ms elevada )emos emos en la tabl tabla a el valo valorr de la vari variab able le tipi tipifc fcad ada a cu+a cu+a prob probab abil ilid idad ad acumulada es el 4! (4>&! lo que quiere decir que por encima se sitúa el 14> superior. Ese valor valor corre correspo sponde nde a O 1!2?2 1!2?2 (apro (apro*.& *.&.. /0ora /0ora calcul calculamo amos s la variab variable le normal I equivalente a ese valor de la normal tipifcada:
Despe de la poblaci'n con renta ms elevada.
c( 2ive 2ivell de in.r in.res esos os m>ni m>nimo mo y m m&i &imo mo qu que e en.l en.lob oba a al '0G '0G de la población con renta media
)emos emos en la tabla tabla el valor valor de la variab variable le normal normaliza izada da O cu+a cu+a proba probabil bilida idad d acumulada es el 4!? (?4>&. -omo sabemos que 0asta la media la probabilidad acumulada es del %4>! quiere decir que entre la media + este valor de O 0a+ un 34> de probabilidad. probabilidad. or otra parte! al ser la distribuci'n normal simtrica! entre QO + la media 0a+ otro 34> de probabilidad. En defnitiva! el se$mento (QO! O& en$loba al 64> de poblaci'n con renta media. El valor de O que acumula el ?4> de la probabilidad es 4!?2 (apro*.&! por lo que el se$mento viene defnido por (Q4!?2! 54!?2&. /0ora calculamos los valores de la variable I correspondientes a estos valores de O Los valores de I son 2!" + %!43. or lo tanto! las personas con in$resos super superio iore res s a 2!" 2!" mill millon ones es de ptas ptas.. e in,e in,eri rior ores es a %!43 %!43 mill millon ones es de ptas ptas.. constitu+en el 64> de la poblaci'n con un nivel medio de renta.
Ejercicio : La vida media de los 0abitantes de un pa=s es de 6? aos! con una varianza de 2%. e 0ace un estudio en una pequea ciudad de 14.444 0abitantes: a& 9-untas personas superarn previsiblemente los "% aos b& 9-untos vivirn menos de 64 aos
a( Personas que vivirn %previsiblemente( ms de 7* aHos -alculamos el valor de la normal tipifcada equivalente a "% aos
or lo tanto (I R "%& (O R 1!& 1 Q (O A 1!& 1 Q 4!12 4!4?4? Lue$o! el ?!4?> de la poblaci'n (?4? 0abitantes& vivirn ms de "% aos
b( Personas que vivirn %previsiblemente( menos de '0 aHos -alculamos el valor de la normal tipifcada equivalente a 64 aos
or lo tanto (I A 64& (O A Q1!6& (O R 1!6& 1 Q (O A 1!6& 4!4%? Lue$o! el %!?> de la poblaci'n (%? 0abitantes& no lle$arn probablemente a esta edad.
Distribuciones continuas: 2ormal %9I(: Ejercicios Ejercicio 1: El consumo medio anual de cerveza de los 0abitantes de una pa=s es de % litros! con una varianza de 36. e supone que se distribu+e se$ún una distribuci'n normal. a& i usted presume de buen bebedor! 9cuntos litros de cerveza tendr=a que beber al ao para pertenecer al %> de la poblaci'n que ms bebe. b& i usted bebe % litros de cerveza al ao + su mu
a( *G de la población que ms bebe )emos emos en la tabl tabla a el valo valorr de la vari variab able le tipi tipifc fcad ada a cu+a cu+a prob probab abil ilid idad ad acumulada es el 4!% (%>&! por lo que por arriba estar=a el %> restante. Ese valor valor corre correspo sponde nde a O 1!6% 1!6% (apro (apro*.& *.&.. /0ora /0ora calcul calculamo amos s la variab variable le normal I equivalente a ese valor de la normal tipifcada:
Despe
b( 8sted bebe +* litros de cere;a al aHo AEs usted un borracoC
)amos a ver en que nivel de la poblaci'n se situar=a usted en ,unci'n de los litros de cerveza consumidos. -alculamos el valor de la normal tipifcada correspondiente a % litros:
or lo tanto (I A %& (O A Q2!2& (O R 2!2& 1 Q (O A 2!2& 4!413 Lue$o! tan s'lo un 1!3> de la poblaci'n bebe menos que usted. arece un ar$umento de sufciente peso para que de
Ejercicio : / un e*amen de oposici'n se 0an presentado 2.444 aspirantes. La nota media 0a sido un %!%! con una varianza de 1!%. a& Nan s'lo s'lo 0a+ 144 plazas plazas.. Hsted Hsted 0a obteni obtenido do un "!". "!". 9er=a 9er=a oportuno oportuno ir or$anizando una festa para celebrar su *ito b& )a a 0aber una 2S oportunidad para el 24> de notas ms altas que no se 0a+an clasifcados. 9/ partir de que nota se podr participar en esta 8repesca8
a( a obtenido usted un 7)7 )amos a ver con ese "!" en que nivel porcentual se 0a situado usted! para ello vamos a comenzar por calcular el valor de la normal tipifcada equivalente.
/ este valor de O le corresponde una probabilidad acumulada (ver tablas& de 4!?21 (?!21>&! lo que quiere decir que por encima de usted tan s'lo se encuentra un 1!"?6>. i se 0an 0an pres presen enta tado do 2.44 2.444 4 aspi aspira rant nte! e! ese ese 1!"? 1!"?6> 6> equi equiva vale le a unos unos 36 aspirantes. or lo que si 0a+ 144 plazas disponibles! tiene usted sufcientes probabilidades probabilidades como para ir or$anizando la 8me
b( "Jepesca" para el 0G de los candidatos )emos en la tabla el valor de la normal tipifcada que acumula el ?4> de la probabilidad! probabilidad! +a que por arriba s'lo quedar=a el 24> restante.
Este valor de O corresponde a 4!?2 (apro*.&. /0ora calculamos el valor de la normal I equivalente:
Despe
Keorema entral del L>mite El Keorema entral del L>mite dice que si tenemos un $rupo numeroso de variables independientes + todas ellas si$uen el mismo modelo de distribuci'n (cua (cualq lqui uier era a que que ste ste sea& sea&!! la suma suma de ella ellas s se dist distri ribu bu+e +e se$ú se$ún n una una distribución normal.
Ejemplo: la vari variab able le 8tir 8tirar ar una una mone moneda da al aire aire88 si$u si$ue e la dist distri ribu buci ci'n 'n de 7ern 7ernou ouil illi li.. i lanz lanzam amos os la mone moneda da al aire aire %4 vece veces! s! la suma suma de esta estas s %4 vari variab able les s (cad (cada a una una inde indep pendi endien ente te entr entre e si& si& se dist distri ribu bu+e +e se$ú se$ún n una una distribuci'n normal. Este teorema se aplica tanto a suma de variables discretas como de variables continuas. Los parmetros de la distribuci'n normal son:
3edia: n , m (media de la variable individual multiplicada por el número de variables independientes& Iarian;a: n , s (varianza de la variable individual multiplicada por el número de variables individuales& )eamos un ejemplo: e lanza una moneda al aire 144 veces! si sale cara le damos el valor 1 + si sale cruz el valor 4. -ada lanzamiento es una variable independiente que se distribu+e se$ún el modelo de 7ernouilli! con media 4!% + varianza 4!2%. -alcular la probabilidad de que en estos 144 lanzamientos sal$an ms de 64 caras.
La variable suma de estas 144 variables independientes se distribu+e! por tanto! se$ún una distribuci'n normal. Gedia 144 B 4!% %4 )arianza 144 B 4!2% 2% ara ver la probabilidad de que sal$an ms de 64 caras calculamos la variable normal tipifcada equivalente:
(B& % es la raiz cuadrada de 2%! o sea la desviaci'n t=pica de esta distribuci'n or lo tanto: (I R 64& (O R 2!4& 1Q (O A 2!4& 1 Q 4!""2 4!422? Es decir! la probabilidad de que al tirar 144 veces la moneda sal$an ms de 64 caras es tan s'lo del 2!2?>.
Keorema entral del L>mite: Ejercicios %9( Ejercicio 1 La renta media de los 0abitantes de un pa=s se distribu+e uni,ormemente entre !4 millon millones es ptas. ptas. + 14!4 14!4 millon millones es ptas. ptas. -alcul -alcular ar la prob probabi abilid lidad ad de que al seleccionar al azar a 144 personas la suma de sus rentas supere los "2% millones ptas.
-ada renta personal es una variable independiente que se distribu+e se$ún una ,unci'n uni,orme. or ello! a la suma de las rentas de 144 personas se le puede aplicar el Keorema entral del L>mite La media + varian;a de cada variable individual es:
m ( 5 14 & @ 2 " s (14 Q &T2 @ 12 3 or tanto! la suma de las 144 variables se distribu+e se$ún una normal cu+a media + varian;a son:
3edia: n , m 144 B " "44
Iarian;a: n , s 144 B 3 344 ara calcular la probabilidad de que la suma de las rentas sea superior a "2% millones ptas! comenzamos por calcular el valor equivalente de la variable normal tipifcada:
Lue$o: (I R "2%& (O R 1!& 1 Q (O A 1!& 1 Q 4!2%1 4!4" Es deci decir! r! la prob probab abil ilid idad ad de que que la suma suma de las las rent rentas as de 144 144 perso persona nas s seleccionadas al azar supere los "2% millones de pesetas es tan s'lo del "!>
Ejercicio En una asi$natura del cole$io la probabilidad de que te saquen a la pizarra en cada clase es del 14>. / lo lar$o del ao tienes 144 clases de esa asi$natura. 9-ul es la probabilidad de tener que salir a la pizarra ms de 1% veces e vuelve a aplicar el Keorema entral del L>mite. ali alirr a la piza pizarr rra a es una una vari variab able le inde indepe pend ndie ient nte e que que si$u si$ue e el mode modelo lo de distribuci'n de 7ernouilli
"Malir a la pi;arra"! le damos el valor 1 + tiene una probabilidad del 4!14 "2o salir a la pi;arra"! le damos el valor 4 + tiene una probabilidad del 4! La media + la varian;a de cada variable independientes es:
m 4!14 s 4!14 B 4!4 4!4 or tanto! la suma de las 144 variables se distribu+e se$ún una normal cu+a media + varian;a son:
3edia: n , m 144 B 4!14 14 Iarian;a: n , s 144 B 4!4 ara calcular la probabilidad de salir a la pizarra ms de 1% veces! calculamos el valor equivalente de la variable normal tipifcada:
Lue$o: (I R 1%& (O R 1!6"& 1 Q (O A 1!6"& 1 Q 4!%2% 4!4"%
Es decir! la probabilidad de tener que salir ms de 1% veces a la pizarra a lo lar$o del curso es tan s'lo del !"%> (UUU nimo JJJ! no es tan $rave&
Keorema entral del L>mite: Ejercicios %99( Ejercicio 1 Hn d=a visitamos el -asino + decidimos
-ada
"Malir ne.ro"! le damos el valor 1 + tiene una probabilidad del 4!?% "2o salir ne.ro"! le damos el valor 4 + tiene una probabilidad del 4!%1%
(B& La probabilidad de 8no salir ne$ro8 es ma+or +a que puede s alir ro
La media + varian;a de cada variable individual es:
m 4!?%
s 4!?% B 4!%1% 4!2%
/ la suma de las ?4 apuestas se le aplica el Keorema entral del L>mite! por lo que se distribu+e se$ún una normal cu+a media + varian;a son:
3edia: n , m ?4 B 4!?% 3?!? Iarian;a: n , s ?4 B 4!2% 24
ara doblar nuestro dinero el ne$ro tiene que salir al menos 24 veces ms que el ro
-omenzamos por calcular el valor equivalente de la variable normal tipifcada:
Lue$o: (I R %4& (O R 2!%4& 1 Q (O A 2!%4& 1 Q 4!3? 4!4462
Es decir! la probabilidad de doblar el dinero es tan s'lo del 4!62> (as=! que ms vale que nos pon$amos a traba
Ejercicio El precio de una acci'n en bolsa se mueve aleatoriamente entre 14 ptas. + 24 ptas.! con la misma probabilidad en todo el tramo. Kemos dado la orden a nuestr nuestro o bro# bro#er er de que nos compr compre e paquet paquetes es de 1.444 1.444 accion acciones es cada cada d=a durante las pr'*imas 4 sesiones.
Hna vez e
El precio de cada paquete comprado es una variable aleatoria independiente que se distribu+e uni,ormemente entre 14.444 ptas + 24.444 ptas. u media + varian;a son:
m (14.444 5 24.444 & @ 2 1%.444 s (24.444 Q 14.444&T2 @ 12 ?33!3
El prec precio io tota totall de los los 4 paqu paquet etes es comp compra rado dos s se dist distri ribu bu+e +e se$ú se$ún n una una distribuci'n normal cu+a media + varian;a son:
3edia: n , m 4 B 1%.444 644.444 Iarian;a: n , s 4 B ?33!3 33.333!3
ara estima estimarr la probab probabili ilidad dad de que $anemo $anemos s dinero dinero!! calcul calculamo amos s el valor valor equivalente de la variable normal tipifcada:
Lue$o: (I R %24.444& (O R 2!4& 1 Q (O A 2!4& 1 Q 4!1? 4!44?2
