CÁLCULO DE PROBABILIDADES Fundamentado lo anterior, se puede llegar al concepto de probabilidad, afirmando que ³cuando se cuantifica la posibilidad de ocurrencia de un evento teniendo en cuenta el espacio muestral, se esta calculando su probabilidad ´ . La
probabilidad es una medida de incertidumbre que aporta element elementos os a la hora de tomar tomar una de cisión
Probabilidad simple ³Si es poco probable que una persona venga a visitarnos, entonces podemos salir de
casa; si por el contrario, la probabilida probabilidad d de que la persona venga venga a nuestra casa es alta, entonces esperamos a la persona que viene de visita´ . La probabilidad es la medida de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio, entonces dado un experimento aleatorio y considerado un evento E, se tiene que la probabilidad de ocurrencia de E, notada es:
A partir de esta definición es posible plantear las siguientes afirmaciones sobre la probabilidad. 1. El valor de P(E) siempre es menor o igual que 1, puesto que el el número de elementos del espacio muestral es mayor que el el número de de elementos de de cualquier evento, evento, por tanto se puede afirmar que el cociente
es menor o igual que 1 .
2. La probabilidad puede ser expresada como una fracción, un decimal o el porcentaje correspondiente corres pondiente a este cociente . 3. Cuando el espacio muestral es igual al evento se dice que es un evento seguro y su probabilidad es 1, o del 100% . 4. Cuando el evento es vacio, se llama evento imposible o de p robabilidad nula (probabilidad = 0) . 5. Cuando el evento es unitario, se llama evento simple y su probabilidad es
.
Ejemplo: Se ponen siete fichas numeradas de 1 a 7 en una urna y se seleccionan dos de ellas . Calcular la probabilidad de los siguientes eventos . a) La suma suma de de las dos fichas es 7 . b) La suma de las dos fichas es menor que 14. c) El número de la ficha seleccionada es mayor que que 2. d) Las dos fichas seleccionadas tienen el mismo número .
Solución: a) El espacio muestral de este experimento aleatorio es:
No es necesario considerar el orden, puesto que la suma es una operación conmutativa, tampoco la repetición, ya que no hay dos fichas del mismo número . Sea A el evento que consiste en que la suma de los dos números sea 7 .
Por lo tanto i
La probabilidad de que al seleccionar las dos fichas la suma sea 7, es de 14,29%.
b) Sea B el evento que consiste en que la suma de las dos fichas es menor que 14se tiene que S = B, por lo tanto, B es el evento seguro, en consecuencia, la probabilidad de que la suma de las dos fichas sea menor que 14 es 1, y se dice que es seguro que este evento ocurrirá . c) Sea C el evento que consiste en que el numero mayor de las dos fichas es 2 .por tanto, . C es un evento simple . Luego, la probabilidad es:
d) Es imposible que al seleccionar dos fichas, estas tengan el mismo numero . Es decir, tal evento es imposible. Luego, la probabilidad de que salgan dos fichas del mismo número es 0 .
Diagramas de árbol y probabilidades El diagrama de árbol es una forma útil de representar gráficamente las probabilidades, cuando el evento consiste en realizar una o más selecciones con o sin repetición . Para el cálculo de probabilidades a partir de un diagrama de árbol, se tienen dos propiedades: Sean los eventos A y B representados en un diagrama de árbol: y
Para realizar el cálculo de la probabilidad del evento A y B se multiplican las probabilidades de la rama correspondiente .
y
Para realizar el cálculo de la probabilidad del evento A y B se suma la probabilidad de A y B con la de B y A .
Ejemplo: Un centro comercial otorga premios navideños a las personas que seleccione n dos bolas de una bolsa en forma acertada según un plan de premios . En la bolsa hay 7 bolas, 5 son blancas y 2 rojas . La primera bola seleccionada no retorna a la bolsa .
La persona que seleccione dos bolas rojas ganará un árbol de navidad, el que selecci one una blanca y una roja ganará un arreglo decorativo y el que seleccione las dos blancas no ganará premio . Según las condiciones del juego, ¿cuál es la probabilidad de que una persona que jugó,
no gane ninguno de los dos premios?, ¿qué probabilidad hay decorativo?, ¿cuál es la probabilidad de ganar el árbol de navidad?
de ganar el arreglo
Solución: El diagrama de árbol con sus respectivas probabilidades es el siguiente:
En la primera rama del árbol se encuentra la probabilidad dos bolas blancas: y y
En la primera selección, hay 5 opciones favorables entre 7 opciones posibles . En la segunda selección, hay 4opciones favorables entre 6 opciones posibles .
Seleccionar la
Seleccionar la
Seleccionar dos
primera bola blanca
segunda bola blanca
bolas blancas
=
Así, por la por la primera propiedad para el cálculo de propiedades y el principio de multiplicación se pueden determinar las siguientes probabilidades: Por lo tanto, la probabilidad de obtener dos bolas blancas es del 0,476, es decir, hay un 47,6% de probabilidad de que la persona no gane ninguno de los premios . Para encontrar la probabilidad de ganarse el arreglo decorativo recordemos que se necesita sacar una bola blanca y otra roja, sin importar el or den, es decir que gana el arreglo la persona que saque bolas blanca -roja o roja-blanca, por lo tanto, se tiene que: Seleccionar la
Seleccionar la
Seleccionar una bola blanca y
pareja blanca-roja
pareja roja-blanca
otra roja en cualquier orden
+
=
Así, hay una probabilidad del 0,476 que salga una bola blanca y una bola roja, es decir, hay un 47,6% de probabilidad de que la persona gane el arreglo decorativo . El la tabla de probabilidades, se verifica que la probabilidad de sacar bolas blanca -roja P(BR) = 23,8% igual que la probabilidad de sacar bolas roja -blanca P(RB) = 23,8%, por lo tanto la probabilidad de sacar una bola roja y otra blanca en cualquier orden, es igual a la suma de las dos probabilidades anteriores, es decir: P(BR-RB) = 23,8% + 23,8% = 47,6% Finalmente, para ganar árbol de navidad, se necesita sacar dos bolas rojas, para ello hay 2 opciones favorables entre7 posibles para sacar la primera bola y 1 opción favorable entre 6 posibles para la segunda, por lo tanto se tiene que: Seleccionar la
Seleccionar la
Seleccionar dos
primera bola roja
segunda bola roja
bolas blancas
=
Por lo tanto, hay una probabilidad del 0,048 de obtener dos bolas rojas . En otras palabras, la probabilidad que la persona gane el árbol de navidad es del 4,8% . Es necesario tener en cuenta que al sumar los resultados de todas las ramas del diagrama de árbol en forma decimal se obtiene 1, si s e suman los porcentajes se obtiene 100%. Así:
Actividad:
realizar
un
mapa conceptual que contenga los aspectos más relevantes de la probabilidad
FASE EXPRESIVA Ejercicio (para resolver en clase). 1. Un estudio realizado en un centro de alto rendimiento deportivo determinó que de los 157 deportistas que allí entrenan, 100 son mujeres; 85 toman suplementos vitamínicos y 75 de los que toman dichos productos son mujeres . Si un deportista nuevo llega a este centro: a. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer o tome suplementos vitamínicos?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre? c. ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y no tome suplementos vitamínicos? d. ¿Cuál es la probabili dad de que sea mujer y no tome suplementos vitamínicos? 2. El gerente de una empresa de productos alimenticios desea premiar a tres de sus mejores empleados con viajes turísticos a tres lugares del país . El decidió que la suerte elegiría a los ganadores . En una caja puso 8 bolas negras y 2 amarillas cada empleado selecciona la primera bola y la retorna a la caja antes de seleccionar la segunda . El que selecciona dos bolas amarillas ganara el premio a. Representar las probabilidades en un diagrama de árbol . b. ¿Qué probabilidad de ganar tiene un empleado? c. ¿Cuál es la probabilidad de que seleccione una bola se cada color? d. ¿Cuál es la probabilidad de que seleccione, por lo menos, una bola amarilla? e. ¿Cuál es la probabilidad de que no seleccione bolas amarillas?
ACTIVIDAD 1. Se desea conformar un comité de tres personas, para tal fin se tiene 6 candidatos , dos hombres y cuatro mujeres . ¿Cual es la probabilidad que el comité esté conformado sólo por mujeres? 2. En el reinado nacional de la belleza se seleccionaron como finalistas las candidatas de Bogotá, Valle, Antioquia, Cartagena, San Andrés y Meta. Entre ellas se debe escoger la reina y la virreina . ¿Cual es la probabilidad de que la reina sea la señorita Antioquia? 3. Dos equipos de beisbol tiene la misma capacidad y juegan el uno contra el otro una serie de cuatro juegos . Se registra el resultado de cada jue go. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer equipo no gane ninguno de los cuatro juegos? 4. En cada una de las siguientes situaciones hallar el espacio muestral, así como el evento, y calcular la probabilidad correspondiente . Se lanzan dos dados . Encontrar la probabilidad de que la suma de los dos sea:
a) b) c) d)
3 Impar Menor que 5 7
Se lanzan tres monedas al aire, cuál es la probabilidad de que: e) Salgan tres caras f) Salgan al menos dos sellos g) Se obtengan resultados iguales en las tres monedas .
5. En un casino existe un juego basado en los dados . El juego consiste en lanzar un par de dados y sumar ambos resultados . Si la suma obtenida es menor o igual a 3, o también mayor o igual a 10, el concursante gana 400 puntos . Si la suma obtenida es de 4 a 9 el concursante gana 300 puntos .
a) Tenga escrita la letra B. b) Tenga escrita la letra A. c) Tenga escrita la letra C. 2. Carolina y Laura están jugando con dos monedas, una de $500 y otra de $200 . Cada una lanza una vez las dos monedas . Quien obtenga dos sellos gana $100, quien obtenga un sello gana $50 y quien obtenga dos caras no gana nada . a) Escriba el espacio muestral del experimento aleatorio. allar la probabilidad de que en el primer lanzamiento: b) Alguna de las dos gane $100 . c) Alguna de las dos gane $50 . d) Alguna de las dos no gane nada . Si Laura ha ganado $300 en menos de 6 lanzamientos .
e) ¿Cuáles serían los posibles resultados que le permitieron ganar esa cantidad? 3. En una urna se tienen 6 balotas blancas y 4 balotas negras . Una persona selecciona dos balotas al azar . Teniendo en cuenta que al sacar la primera balota, esta no retorna a la urna, hallar la probabilidad de que al seleccionar las dos balotas: a) b) c) d)
Ambas sean negras. Ambas sean blancas . Tengan diferente color . Ambas tengan el mismo color (negro o blanco) .
