e l b a i r a V e d s e d a d i l i b a b o r P e d n ó i
1. DISTRIBUCIÓN BINOMI! ".DISTRIBUCIÓN #$OM%TRIC &.DISTRIBUCIÓN &.DISTRIBUCIÓ N D$ MANRIQUE SANARRUCIA
Distribución de probabilidad discreta La distri distribuc bución ión de proba probabil bilida idadd discre discreta ta descri describe be el compor comportam tamien iento to de una varia variable ble aleatoria, independientemente de si se representa de forma gráfica o mediante un histograma, en forma tabular o con una formula. A menudo las observaciones que se generan mediante diferentes experimentos estadísticos tienen el mismo tipo general de comportamiento. En consecuencia, las variables aleatorias discretas asociadas con estos experimentos se pueden describir esencialmente con la misma distribución de probabilidad y, por lo tanto, es posible representarlas usando una sola formula. e hecho, se necesitan solo unas cuantas distribuciones de probabilidad importantes para describir muchas de las variables aleatorias discretas que se encuentran en la práctica. Este con!unto de distribuciones en realidad describe varios fenómenos aleatorios de la vida real. "or e!emplo, en un estudio en el que se probó la eficacia de un nuevo fármaco, de todos los pacientes que lo utili#aron, el n$mero de pacientes que se curaron se aproximó a una distribución binomial. En una industri industria, a, cuando cuando se prueba prueba una muest muestra ra de artícu artículos los selecc seleccion ionado adoss de un lote lote de producción, el n$mero de productos defectuosos en la muestra por lo general se puede representar como una variable aleatoria hipergeométrica . El n$mero de muestras requeridas para generar una falsa alarma alarma sigue una distribución geométrica . "or otro lado, el n$mero de leucocitos de una cantidad fi !a de una muestra de la sangre de un individuo suele ser aleatorio y podría describirse mediante una distribución de Poisson.
Distribución Binomial El n$mer n$meroo X de %xito %xitoss en n experime experimentos ntos de &ernoull &ernoullii se denomina denomina variable aleatoria
binomial. La distribución de probabilidad de esta variable aleatoria discreta se llama distribución binomial y sus valores se denotaran como b( x x ; n, p), ya que dependen del n$mero de ensayos y de la probabilidad de %xito en un ensayo dado. Esto significa que deseamos encontrar una fórmula que de la probabilidad de x %xitos en n ensayos para un experimento binomial. Empiece por considerar la probabilidad de x %xitos x %xitos y n – x fracasos x fracasos en un orden especifico. 'omo los ensayos son independientes, podemos multiplicar todas las probabilidades probabilidades que corresponden a los diferentes resultados. 'ada %xito ocurre con probabilidad p y cada fracaso con probabilidad q = – p. p. "or lo tanto, la probabilidad para el orden específico es p x q n!".
(n experimento de &ernoulli puede tener como resultado un %xito con probabilidad p y un fracaso con probabilidad q = – p. Entonces, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial X , el n$mero de %xitos en n ensayos independientes, es)
b ( x ; n , p )=
()
(
)
n! n x n− x x n− x p q = p q x x ! ( n − x ) !
onde
n# ) *actorial se calcula así n+ n-n/0+
$%m. 'alcule &# 1+ 1232/ 4.
(na condición que se debe cumplir para cualquier distribución de probabilidad. 'on frecuencia nos interesamos en problemas donde se necesita obtener "-5 6 r0 o "-a 7 5 7 b0. Las sumatorias binomiales
"ara resolver problemas de distribución binomial se puede reali#ar de 3 formas) • •
(tili#ando la formula (tili#ando tablas-anexo0
'aractersticas /. El experimento consta de ensayos repetidos n. 3. 'ada ensayo produce un resultado que se puede clasificar como %xito p o fracaso . 1. La probabilidad de un %xito, que se denota con p, permanece constante de un ensayo a otro. 8. Los ensayos repetidos son independientes.
*a media + la arian-a de la Distribución binomial
En donde) n) tama9o de la muestra o n$mero de ensayos p) "robabilidad de %xito q) "robabilidad de fracaso -q / p0
$%m . La probabilidad de que cierta clase de componente sobreviva a una prueba de choque es de 1:8. 'alcule la probabilidad de que sobrevivan exactamente 3 de los siguientes 8 componentes que se prueben. Solución ;i suponemos que las pruebas son independientes y p 1:8 para cada una de las 8 pruebas, obtenemos) x3 n8 p 1:8 q / < 1:8 /:8 (sando la fórmula)
( )( ) ( ) (
4 3 b ( 2 ; 4, 3 / 4 )= 2 4
2
1
4
4−2
=
4!
2 ! ( 4 −2 ) !
¿
¿
27 128
)( ) ( ) ( )( ) ( ) 3
2
4
1
4− 2
4
4!
3
2 ! 2!
4
2
1
2
4
≈ 0.2109
$%m . La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad sanguínea es de
=,8. ;i se sabe que /> personas contra!eron la enfermedad, ?cuál es la probabilidad de que a) b) c) d)
;obrevivan al menos /= sobrevivan de 1 a @ sobrevivan exactamente > 'alcule la media y la varian#a de la variable aleatoria binomial
Solución (sando la tabla de distribución binomial)
a) /obrevivan al menos 0 pacientes atos 5 /= n/> p=.8 9
P ( x ≥ 10 )=1− P ( x < 10 )=1−∑ b ( x ; 15, 0.4 )=1−0,9662 =0,0338 x= 0
En donde) "-x /=0) "robabilidad que al menos /= sobrevivan -mínimo /=0. "-x 6/=0) "robabilidad que menos de /= sobrevivan. 9
∑ b ( x ; 15,0.4 ) x = 0
) "robabilidad acumulada de /=.
"ara utili#ar la tabla de distribución se lee de la siguiente manera 'onociendo los valores de ", n y p.
Pasos) /. &usco en la columna de n, n /> que es el total de tama9o de la muestra. 3. &usco en la columna de r, el valor de r B que es equivalente a x 6 /=. 1. &usco el valor de probabilidad p, que para este caso es p =,8=, y empie#o a ba!ar verticalmente hasta llegar topar con el valor de r B. 8. En donde intersecan la fila de r B y la columna de probabilidad para p =,8= se obtiene el valor de la probabilidad de que menos de /=.
er im1genes
b) /obrevivan de & a 2 pacientes atos 1 7 x 7 @, n/>, p=.8 ;iguiendo los pasos antes mencionados llegamos a) 8
2
P (3 ≤ x ≤ 8 )= P ( x ≤ 8 )− P ( x < 3 )= ∑ b ( x ; 15,0.4 )−∑ b ( x ; 15, 0.4) =0,9050− 0,0271=0.8779 x= 0
x=0
c) /obrevivan e"actamente 3 pacientes atos x >, n/>, p=.8 (sando la fórmula se obtiene el resultado) P ( x = 5 )=b ( 5 ; 15,0.4 )=
(
( )
15 ! 15 ( 0.4 )5 ( 0.60 )15−5= 5 5 ! ( 15− 5 ) !
)
( 0.4 )5 ( 0.60 )10=0.1859378 … . ≈ 0.1859
(sando la tabla de distribución binomial y siguiendo los pasos antes mencionados llegamos a) 5
4
P ( x = 5 )= P ( x ≤ 5 )− P ( x ≤ 4 )=∑ b ( x ; 15,0.4 ) −∑ b ( x ; 15,0.4 )=0.4032− 0.2173=0.1859 x= 0
x= 0
C con la fórmula se obtiene el mismo resultado veamos) P ( x = 5 )=b ( 5 ; 15,0.4 )=
( )
(
15 ! 15 ( 0.4 )5 ( 0.60 )15−5= 5 5 ! ( 15− 5 ) !
)
e) *a media + la varian-a de la variable aleatoria binomial n /> p =.8 q =.4
( 0.4 )5 ( 0.60 )10=0.1859378 … . ≈ 0.1859
Distribución 4eométrica ;i pruebas independientes repetidas pueden tener como resultado un %xito con probabilidad p y un fracaso con probabilidad q / < p, entonces la distribución de probabilidad de la variable
aleatoria X , el n$mero de la prueba en el que ocurre el primer %xito, es g ( x ; p) = pq x-1 , x = , , &, . . . Duy a menudo, en aplicaciones que tienen que ver con la distribución geom%trica, la media y la varian#a son importantes.
$%m . ;e sabe que en cierto proceso de fabricación uno de cada /== artículos, en promedio, resulta defectuoso. ?'uál es la probabilidad de que el quinto artículo que se inspecciona, en un grupo de /==, sea el primer defectuoso que se encuentra
/olución ;i utili#amos la distribución geom%trica con x > y p =.=/, tenemos g - x F p0 pq x-1
g (3; 0.0) -=.=/0-=.BB0 >/ -=.=/0-=.BB0 8 =.==B4.
$%m . En Gmomentos a!etreadosH un conmutador telefónico está muy cerca de su límite de capacidad, por lo que los usuarios tienen dificultad para hacer sus llamadas. ;ería interesante saber cuántos intentos serían necesarios para conseguir un enlace telefónico. ;uponga que la probabilidad de conseguir un enlace durante un momento a!etreado es p =.=>. Ios interesa conocer la probabilidad de que se necesiten > intentos para enla#ar con %xito una llamada. etermine la varian#a y la media.
/olución ;i utili#amos la distribución geom%trica con x > y p =.=>, obtenemos g - x F p0 pq x-1
" -5 x0 g (3; 0.03) -=.=>0 -=.B>0 >/ -=.=>0 -=.B>0 8 =.=8/. 1 1 1− p 1−0.05 2 μ= = =20 σ = = = 380 2 2 p 0.05 0.05 p
Distribución de Poisson Los experimentos que producen valores num%ricos de una variable aleatoria X , el n$mero de resultados que ocurren durante un intervalo de tiempo determinado o en una región específica, se denominan e"perimentos de Poisson . El intervalo de tiempo puede ser de cualquier duración, como un minuto, un día, una semana, un mes o incluso un ano. "or e!emplo, un experimento de "oisson podría generar observaciones para la variable aleatoria X que representa el n$mero de llamadas telefónicas por hora que recibe una oficina, el n$mero de días que una escuela permanece cerrada debido a la nieve durante el invierno o el n$mero de !uegos suspendidos debido a la lluvia durante la temporada de futbol. La región específica podría ser un segmento de recta, un área, un volumen o qui#á una pie#a de material. En tales casos X podría representar el n$mero de ratas de campo por acre, el n$mero de bacterias en un cultivo dado o el n$mero de errores mecanográficos por página. (n experimento de "oisson se deriva del proceso de Poisson y tiene las siguientes propiedades)
Propiedades del proceso de Poisson . El n$mero de resultados que ocurren en un intervalo o región especifica es independiente del n$mero que ocurre en cualquier otro intervalo de tiempo o región del espacio dis!unto. e esta forma vemos que el proceso de "oisson no tiene memoria.
. La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo de tiempo muy corto o en una región peque9a es proporcional a la longitud del intervalo o al tama9o de la región, y no depende del n$mero de resultados que ocurren fuera de este intervalo de tiempo o región. &. La probabilidad de que ocurra más de un resultado en tal intervalo de tiempo corto o que caiga en tal región peque9a es insignificante. El numero X de resultados que ocurren durante un experimento de "oisson se llama variable aleatoria de "oisson y su distribución de probabilidad se llama distribución de "oisson. El n$mero medio de resultados se calcula a partir de J Kt, donde t es el GtiempoH, la GdistanciaH, el GáreaH o el GvolumenH específicos de inter%s. 'omo las probabilidades dependen de K, denotaremos la tasa de ocurrencia de los resultados con p-xF Kt0. La derivación de la fórmula para p-xF Kt0, que se basa en las tres propiedades de un proceso de "oisson que se listaron antes, esta fuera del alcance de este texto. La distribución de probabilidad de la variable aleatoria de "oisson 5, la cual representa el n$mero de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo dado o región específicos y se denota con t, es
En donde 5 es el numero promedio de resultados por unidad de tiempo, distancia, área o volumen y e 3./@3@M
La tabla A.3 -ver anexo0 contiene las sumatorias de la probabilidad de "oisson
"ara valores selectos de 5t que van de =./ a /@.= Nlustramos el uso de esta tabla.
*a 6edia + la arian-a de la Distribución de Poisson (7eorema) Oanto la media como la varian#a de la distribución de "oisson p("; 5t) son 5t.
La solución de estos problemas se pueden resolver así) • •
(tili#ando la fórmula. (tili#ando las tablas de istribución de "oisson.
$%m . urante un experimento de laboratorio el n$mero promedio de partículas radiactivas que pasan a trav%s de un contador en un milisegundo es 8. ?'uál es la probabilidad de que entren 4 partículas al contador en un milisegundo dado
/olución Al usar la distribución de "oisson con x 4 y Kt 8, y al remitirnos a la tabla A.3, tenemos que) •
(sando la fórmula) − λt
p ( x , λt ) =
e
( λt ) x
x ! −4
P ( x = 6 )= p ( 6 , 4 )=
•
e
( 4 )6
6!
=0,104195 … .
(sando la tabla de distribución de "oisson)
$%m . El n$mero promedio de camionestanque que llega cada día a cierta ciudad portuaria es /=. Las instalaciones en el puerto pueden alo!ar a lo sumo /> camionestanque por día. ?'uál es la probabilidad de que en un día determinado lleguen más de /> camiones y se tenga que recha#ar algunos
/olución ;ea 5 el n$mero de camionestanque que llegan cada día. Entonces, usando la tabla A.3 -ver anexo0, tenemos) • •
5 '/> ( )t /=
Entonces)
"ara utili#ar la tabla de distribución de "oisson se lee de la siguiente manera conociendo los valores de " y μ = λt8
Pasos) /. &usco en la columna de r, r =3. 3. &usco en la columna de (, el valor de μ = 0 y se ba!a verticalmente hasta llegar a topar con el valor de la fila r />. 1. En donde intersecan la fila de r /> y la columna de probabilidad para
( /= se obtiene el
valor acumulado de la probabilidad de que /> o menos camiones tanque lleguen el cual es para este caso " -x */>0 =,B>/1.
er siguiente imagen.
B9B*9:4<>< •
Palpole Q, Dyers Q, Dyers ;,-3=/30. G"robabilidad y estadística para ingenierosH @ ed,
•
"earson. evore R-3==@0. G"robabilidad y estadística para ingenierías y cienciasH, ed, 'engage Learning.
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