TRABAJO: TRABAJO: solución de los ejercicio de la prueba de hipótesis
TAREA TAREA DE HIPOTESIS
1. Se reuiere reuiere ue ue la resistenc resistencia ia a la ruptura ruptura de una !bra !bra sea de por lo "enos "enos 1#$ psi. %a e&per e&perien iencia cia pasad pasada a indica indica ue la des'ia des'iació ción n est(nd est(ndar ar de la resistencia a la ruptura es )*+psi. Se prueba una "uestra aleatoria de cuatro eje"plares de prueba, - los resultados son 1 * 1/#, 0 * 1#+, + * 1#$ - / * 1/. ´ =148.75 μ =15 0 n= 4 σ =3 X
a2 Enuncia Enunciarr las hipótes hipótesis is ue el lector lector consid consider ere e ue deber3a deber3an n proba probarse rse en este e&peri"ento.
Establecer la hipótesis Ho: Ha:
µ 4* µ
1#$ 51#$
Establecer la estadística de prueba z =
´ − μ X σ √ n
b2 Probar Probar estas hipótesis hipótesis utili6ando utili6ando 7*$.$#. 7*$.$#. 8A u9 conclusiones conclusiones se llea; llea;
z =
148.75−150 3
=−0.833
√ 4 "r#$ica de distribució! %&r'al( %&r'al( )edia*1 )edia*1+0( es-Est-*. 0,14 0,12 0,10 d a0,08 d i s ! e 0,06
0,04 0,02 0,00
1/<,#1#$
1#0,/=
X
Se puede llear a la conclusión ue las resistencias ue se >abriuen c2 Encontrar Encontrar el 'alor P para la prueba prueba del del inciso inciso b. b.
P ?@$.<+ ≤ ≤ 1.B=2* 1@$.0$=11@$.$#*$./+
d2 Construir un inter'alo de con!an6a de B# para la resistencia a la ruptura pro"edio. "r#$ica de distribució! %&r'al( )edia*1+0( es-Est-*. 0,14 0,12 0,10 d a0,08 d i s ! e 0,06
0,04 0,02
$,$0# 0,00
$,$0# 1/,$=
1#$
1#0,B/
X
0. Supuesta"ente, la 'iscosidad de un deterente l3uido debe pro"ediar <$$centistoes a 0#FC. se colecta una "uestra aleatoria de 1= lotes de deterente, - la 'iscosidad pro"edio es <10. Supona ue se sabe ue la des'iación est(ndar de la 'iscosidad es )*0# centistoes. ´ =812 μ =800 n= 16 σ = 25 X
a2 Enunciar las hipótesis ue deber3an probarse.
Establecer la hipótesis Ho: Ha:
µ 4* µ
<$$ 5 <$$
Establecer la estadística de prueba z =
´ − μ X σ
√ n
b2 Probar esta hipótesis utili6ando 7*$.$#. 8A u9 conclusiones se llea;
z =
812−800 25
=1.92
√ 16 "r#$ica de distribució! %&r'al( )edia*800( es-Est-*2+ 0,018 0,016 0,014 0,012 d a d 0,010 i s ! e 0,008
0,006 0,004 0,002 0,000
<$$
<1$,0#
X
Se puede llear a la conclusión ue es >actible >abricar un deterente con una 'iscosidad de <10 debido ue se encuentra en la 6ona de recha6o, pudiendo ser este "u- costoso. c2 8Cu(l es el 'alor P para la prueba; P * 1@$.B0#*$.$0/+ d2 Encontrar un inter'alo de con!an6a de B# para la "edia "r#$ica de distribució! %&r'al( )edia*800( es-Est-*2+ 0,018 0,016 0,014 0,012 0,010 0,008 0,006 0,004 0,002 0,000
$,$0#
$,$0# <,#
<$$
X
<10,0#
+. %os di("etros de Gecha de acero producidas en cierto proceso de "anu>actura deber(n tener un pro"edio de $.0## puladas. Se sabe ue el di("etro tiene una des'iación est(ndar de )*$.$$1 puladas. na "uestra aleatoria de 1$ Gechas tiene un di("etro pro"edio de $.0#/# puladas. ´ =0.2545 μ = 0.255 n = 10 σ = 0.0001 X
a2 Establecer las hipótesis apropiadas para la "edia
Establecer la hipótesis Ho: Ha:
µ 4* µ
$.0## 5$.0##
b2 Probar esta hipótesis utili6ando 7*$.$#. 8A u9 conclusiones se llea; z =
0.2545−0.255 0.001
=−1.58
√ 10 Co"o @1.#< es "a-or ue @1.B= entonces la hipótesis nula no se recha6a "r#$ica de distribució! %&r'al( )edia*0,2++( es-Est-*0,001 400
.00
200
100
$,$# 0
$,0#//<
$,0##
X
Se conclu-e ue se "anu>acturan las Gechas de di("etro pro"edio de $.0## con las "uestras reali6adas c2 Encontrar el 'alor P para esta prueba P*1@$.$#$#*$.B/0B# d2 Construir un inter'alo de con!an6a de B# para el di("etro pro"edio de las Gechas.
"r#$ica de distribució! %&r'al( )edia*0,2++( es-Est-*0,001 400
.00
200
100
$,$0# 0
$,$0# $,0#//
$,0##
$,0##=
X
/. na 'ariable aleatoria con una distribución nor"al tiene una "edia desconocida - 'arian6a ) 0*B. Encontrar el ta"aJo de la "uestra ue se necesita para construir un inter'alo de con!an6a de B# para la "edia, cu-a anchura total sea de 1.$.
"r#$ica de distribució! 0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
$,$0# 0,00
$,$0# @1,B=
$
X
1,B=
´ − μ X Z σ z = →n = 2 σ ´ − μ ) ( X 2
2
√ n
2
1.65 × 9 n= = 24.5025 ≅ 24 1
#. %a 'ida de anauel de una bebida carbonatada es "oti'a de inter9s. Se seleccionan 1$ botellas al a6ar - se prueban, obteni9ndose los siuientes resultados. D3as 1+< 1=+ 1#B 1+/ 1+B
1$< 10/ 10/ 1$= 11# ´ =131 μ =120 n=10 σ = 18.80 X
a2 Kuiere de"ostrarse ue la 'ida "edia de anauel e&cede los 10$ d3as. Establecer las hipótesis apropiadas para in'estiar esta a!r"ación.
Establecer la hipótesis Ho: Ha:
µ 4
10$ µ *510$
b2 Probar estas hipótesis utili6ando 7*$.$1. 8A u9 conclusiones se llea;
Establecer la estadística de prueba z =
z =
´ − μ X σ √ n
131−120 18.08
√ 10
= 1.75
"r#$ica de distribució! %&r'al( )edia*120( es-Est-*18,08 0,02+
0,020
0,01+
0,010
0,00+
$,$1 0,000
1$=,/
10$
X
%a hipótesis nula no se recha6a debido a ue 1.# es "a-or a @0.+0 Se puede concluir ue la 'ida de la aseosa carbonata de 10$ d3as si 'a ocurrir sin i"portar las "uestras ue se saue para co"probar la probabilidad. c2 Encontrar el 'alor P para la prueba del inciso b. P * $.B#BB/ @ $.$1 * $.B/BB/ d2 Construir un inter'alo de con!an6a de BB para la 'ida "edia de anauel.
"r#$ica de distribució! %&r'al( )edia*120( es-Est-*18,08 0,02+
0,020
0,01+
0,010
0,00+
$,$$# 0,000
$,$$# 1$#,+
10$
1+/,=B
=.@Se instala un nue'o dispositi'o de !ltrado en una unidad ui"ica .antes de instalarlo ,de una "uestra aleatoria se obtu'o la siuiente in>or"acion sobre el porcentaje de i"pure6as L1*10.# - L0*1$.0 - una des'iacion estandar?12 de *1$1.1 ,des'iacion estandar ?02*B/,+, ,n1*<,n0*B a %os datos de 'arian6a son iuales - con un ni'el de con!an6a es $.$# b El dispositi'o de!ltradoa reducido de "anera sini!cati'os el porcentaje de i"pure6as 8 ni'el de con!an6a $.$# Solucion : a2
b2
.@se hacen 0$ obser'aciones dela uni>or"idad del rabado en obleas de silicio durante un e&peri"ento de e'aluación de un rabador de plas"a. a2
b2
<2 El tiempo para reparar un instrumento electrónico es una variable aleatoria medida en minutos que se distribuye normalmente. Los tiempos de reparación para 16 de tales instrumentos, elegidos al azar, se dan continuación:
159
280
201
212
224
379
179
264
222
363
168
250
149
260
485
170
¿Parece razonable suponer que el tiempo medio real de reparación sea maor que 245 minutos! µ
Respuesta: "a
# 245 $ tc % 0&122 $ p' (alor # 0&40$ se acepta "o
<.@los di("etros de las Gechas de acero producidas en ciertas procesos de "anu>actura deber(n tener un pro"edio de $.0## puladas .se sabe ue el di("etro tiene una des'iación est(ndar de $.$$$1 un a"uestra aleatoria de 1$ Gechas tiene un di("etro pro"edio de $.0#/# puladas
B.@ supuesta"ente la 'iscusidad de un deterente liuido debe pro"ediar <$$ centistois a 0#Mc se colecta una ,"uestra aleatoria de 1= lotes de detrente - la 'iscosidad pro"edio es <10 - una des'iacion estandar
1$.@ en la >abricacione de se"i conductures es co"un el uso de rabado ui"ico hu"edo para eli"inar el selicio de la parte posterior de las obleas antesd ela "etali6acion .la rapide6 del rabado es una caracteristica i"portanted e eeste proceso .se esta e'aluando dos soluciones de rabado di>erentes se rabaron < obleas selecionadas al a6ar en cada solucion , - lJas ci>ras del arapide6 del rabado obser'ado .
11. A continuación se presenta el tie"po de co"bustión de dos cohetes u3"icos con >or"ulaciones di>erentes. %os inenieros de diseJo se interesan tanto en la "edia co"o en la 'arian6a del tie"po de co"bustión.
a2 Probar la hipótesis de ue las dos 'arian6as son iuales. tili6ar 7*$.$#. b2 tili6ando los resultados del inciso a, probar la hipótesis de ue los tie"pos de co"bustión pro"edio son iuales. tili6ar 7*$.$#. 8Cu(l es el 'alor de P para esta prueba; c2 Co"entar el papel del supuesto de nor"alidad en este proble"a. Neri!car el supuesto de nor"alidad para a"bos tipos de cohetes. Solución a2 9todo Hipótesis nula Narian6a?C12 Narian6a?C02 * 1 Hipótesis alterna Narian6a?C12 Narian6a?C02 Q 1 i'el de sini>icancia 7 * $,$$$# Se utili6ó el "9todo . Este "9todo es e&acto sólo para datos nor"ales. Estad3sticas IC de BB,B# Nariable Des'.Est. Narian6a para 'arian6as C1 1$ B,0=/ <#,<00 ?0/,# B+B,<0$2 C0 1$ B,+= <,++ ?0#,10# B=$,/<2 Relación de des'iaciones est(ndar * $,B
Estad3stica
9todo U%1 U%0 de prueba Nalor p B B $,B< $,B/ b2 T de dos "uestras para C1 's. C0
Error est(ndar de la edia Des'.Est. "edia C1 1$ $,/$ B,0= 0,B C0 1$ $,0$ B,+ +,$ Di>erencia * V ?C12 @ V ?C02 Esti"ación de la di>erencia: $,0$ IC de BB,B# para la di>erencia: ?@1,// 1,erencia * $ ?'s. Q2: Nalor T * $,$# Nalor p * $,B=0 U% * 1< A"bos utili6an Des'.Est. arupada * B,+1##
"r#$ica de caa de /1( /2 8+
80
+ s & t a 0
6+
60
++
c2
10. En un articulo de solid state technolo-, WdiseJo ortoonal para opti"i6ación de procesos - su aplicación en el rabado u3"ica con plas"a W de U.. in - D.X. Yillie, se describe un e&peri"ento para deter"inar el e>ecto de la 'elocidad del Gujo de C0= sobre la uni>or"idad del rabado en una oblea de silicio usada en la >abricación de circuitos interados. %os datos de la 'elocidad del Gujo son los siuientes:
lujo de C0= 10# 0$$
1 0. /.=
0 /.= +./
Obser'ación de la uni>or"idad + / # 0.= +.$ +.0 0.B +.# /.1
= +.< #.1
a2 8la 'elocidad del Gujo de C 0= a>ecta la uni>or"idad del rabado pro"edio; tili6ar 7*$.$#. T pareada para '1 10# @ '0 0$$
Error est(ndar de la edia Des'.Est. "edia '1 10# = +,+$$ $, $,+1 '0 0$$ = +,B++ $,<01 $,++# Di>erencia = @$,=++ 1,$erencia "edia: ?@/,1=0 0,erencia "edia * $ ?'s. Q $2: Nalor T * @1,/+ Nalor p * $,01
b2 8Cu(l es el 'alor de P para el inciso a; Nalor p * $,01 c2 8la 'elocidad del Gujo de C0= a>ecta la 'ariabilidad de una oblea a otra en la uni>or"idad del rabado; tili6ar 7*$.$# 9todo Hipótesis nula Hipótesis alterna
)?'1 1#$2 )?'0 0$$2 * 1 )?'1 1#$2 )?'0 0$$2 Q 1
i'el de sini>icancia 7 * $,$$$# Se utili6ó el "9todo . Este "9todo es e&acto sólo para datos nor"ales. Estad3sticas IC de BB,B# para Nariable Des'.Est. Narian6a Des'.Est. '1 1#$ = $, $,=$/ ?$,+# #,$+/2 '0 0$$ = $,<01 $,=# ?$,+ #,+0$2 Relación de des'iaciones est(ndar * $,B/= Relación de 'arian6as * $,
d2 Tra6ar diara"as de cajas ue a-uden a interpretar los datos de este e&peri"ento.
"r#$ica de caa de 1 12+( 2 200 1 12+
1+. Se instala un nue'o dispositi'o de !ltrado en una unidad u3"ica. Antes de instalarlo , de una "uestra aleatorio se obtu'o la siuiente in>or"ación sobre el 2 S 1=101.17 n1= 8. Despu9s de instalarlo, porcentaje de i"pure6as: y´ 1=12.5, de una "uestra aleatoria se obtu'o
y´ 2=10.2,
2
S 2=94.73
n1= 9.
a2 8puede concluirse ue las dos 'arian6as son iuales; tili6ar 7*$.$# 9todo Hipótesis nula Narian6a?Pri"ero2 Narian6a?Seundo2 * 1 Hipótesis alterna Narian6a?Pri"ero2 Narian6a?Seundo2 Q 1 i'el de sini>icancia 7 * $,$$$# Se utili6ó el "9todo . Este "9todo es e&acto sólo para datos nor"ales.
Estad3sticas IC de BB,B# uestra Des'.Est. Narian6a para 'arian6as Pri"ero < 1$,$#< 1$1,1$ ?0#,#/ 1B<,+B12 Seundo B B,++ B/,+$ ?0#,=1/ 10<+,<102 Relación de des'iaciones est(ndar * 1,$++ Relación de 'arian6as * 1,$=< Inter'alos de con!an6a de BB,B# IC para IC para relación de relación de 9todo Des'.Est. 'arian6a ?$,0/0 /,
b2.@8el dispositi'o de !ltrado ha reducido de "anera sini!cati'a el porcentaje de i"pure6as; tili6ar 7*$.$#
Prueba T de dos "uestras e IC Error est(ndar de la uestra edia Des'.Est. "edia 1 < 1+ 1$1 += 0 B 1$,0 B/, +0 Di>erencia * V ?12 @ V ?02 Esti"ación de la di>erencia: 0,+ IC de BB,B# para la di>erencia: ?@010,/ 01,$2 Prueba T de di>erencia * $ ?'s. Q2: Nalor T * $,$# Nalor p * $,B=0 U% * 1/
1/. Se hacen 0$ obser'aciones de la uni>or"idad del rabado en obleas de silicio durante un e&peri"ento de e'aluación de un rabador de plas"a. %os datos son los siuientes: #. +/ =. $$ #. B #. 0#
=. =# . ## . +# =. +#
/. = #. #/ #. // /. =1
#. B< #. =0 /. +B =. $$
. 0# =. 01 /. B< #. +0
a2 Construir una esti"ación con un inter'alo de con!an6a de B# de ) 0. Prueba e IC para una 'arian6a: C1 9todo El "9todo de chi@cuadrada sólo se utili6a para la distribución nor"al. El "9todo de Zonett se utili6a para cualuier distribución continua. Estad3sticas Nariable Des'.Est. Narian6a C1 0$ $,<#$ $,00 b2 Probar la hipótesis de ue ) 0*1$. tili6ar 7*$.$# 8a ue conclusiones se llea;
9todo Hipótesis nula ) * 1$ Hipótesis alterna ) Q 1$ El "9todo de chi@cuadrada sólo se utili6a para la distribución nor"al. El "9todo de Zonett se utili6a para cualuier distribución continua. Estad3sticas Nariable Des'.Est. Narian6a C1 0$ $,<#$ $,00 Inter'alos de con!an6a de BB,B# IC para IC para Nariable 9todo Des'.Est. 'arian6a C1 Chi@cuadrada ?$,#+/ 1,#12 ?$,0<# +,$=/2 Zonett ?$,/B 1,#2 ?$,0/ +,$<<2 Pruebas Estad3stica Nariable 9todo de prueba U% Nalor p C1 Chi@cuadrada $,1/ 1B $,$$$ Zonett [ [ $,$$$ c2 d2 Co"entar el supuesto de nor"alidad - su papel en este proble"a.
e2 Neri!car la nor"alidad constru-endo una ra!ca de probabilidad nor"al. 8a ue conclusiones se llea;
1#. Doce inspectores "idieron el di("etro de un cojinete de bolas , utili6ando cada uno dos tipos di>erentes de calibradores. %os resultados >ueron.
Inspect or 1 0
Calibrador 1 $.0=# $.0=#
Calibrador 0 $.0=/ $.0=#
+ / # = < B 1$ 11 10
$.0== $.0= $.0= $.0=# $.0= $.0= $.0=# $.0=< $.0=< $.0=#
$.0=/ $.0== $.0= $.0=< $.0=/ $.0=# $.0=# $.0= $.0=< $.0=B
a2 8e&iste aluna e'idencia ue opo-e la a!r"ación de ue ha- una di>erencia en el dese"peJo pro"edio entre los dos "9todos; tili6ar 7*$.$# Prueba T e IC de dos "uestras: Calibrador 1 Calibrador 0 T de dos "uestras para Calibrador 1 's. Calibrador 0
Error est(ndar de la edia Des'.Est. "edia Calibrador 1 10 0==,0# 1,00 $,+# Calibrador 0 10 0==,$$ 1,= $,#1 Di>erencia * V ?Calibrador 12 @ V ?Calibrador 02 Esti"ación de la di>erencia: $,0#$ IC de BB,B# para la di>erencia: ?@0,+++ 0,<++2 Prueba T de di>erencia * $ ?'s. Q2: Nalor T * $,/1 Nalor p * $,=B$ U% * 1B
b2 8Cu(l es el 'alor de P para la prueba del inciso a; Nalor p * $,=B$ c2 Construir un inter'alo de con!an6a de B# para la di>erencia de las "ediciones de lo sdia"etros pro"edio para los dos tipod e calibradores
T pareada para Calibrador 1 @ Calibrador 0
Error est(ndar de la edia Des'.Est. "edia Calibrador 1 10 0==,0#$ 1,01# $,+#1 Calibrador 0 10 0==,$$$ 1,#< $,#$< Di>erencia 10 $,0#$ 0,$$= $,#B
IC de B# para la di>erencia "edia: ?@1,$0/ 1,#0/2 Prueba t de di>erencia "edia * $ ?'s. Q $2: Nalor T * $,/+ Nalor p * $,=/
