c Este diseño es una variación del diseño 2k y son muy útiles como las que se emplean cuando todos los factores actúan a tres niveles. En los últimos años se ha observado un creciente interés por algunas de las ideas del profesor Genechi Taguchi acerca del diseño experimental y su aplicación al mejoramiento de la calidad. Este es un diseño que consta de k factores con tres niveles cada uno. Los factores y las interacciones se representan mediante letras mayúsculas. Los tres niveles de los factores pueden referirse como nivel inferior, intermedio y superior. Estos niveles se representan mediante los dígitos 0 (nivel inferior), 1 (intermedio) y 2 (superior). Cada combinación de tratamientos de un diseño 3k se presenta mediante k dígitos, donde el primero incida el nivel de A, el segundo señale al nivel de B, ..... y el k-ésimo dígito, el nivel del factor k. Por ejemplo, es un diseño 32 el 00 representa la combinación de tratamientos, en la que tanto el factor A como el B están en el nivel inferior, y el 01 representa la combinación de tratamientos que corresponde al factor A en el nivel inferior y a B en el nivel intermedio. En éste, el sistema de notación que se prefiere usar es el de + - en virtud de que facilita la interpretación geométrica del diseño y de que es directamente aplicable al modelado por regresión, la formación de bloques y la construcción de factoriales fraccionarios. La adición de un tercer nivel permite modelar con una relación cuadrática la relación entre la respuesta y cada factor.
El diseño más simple es el 32 que consta de dos factores con tres niveles cada uno. Como hay 32 = 9 combinaciones de tratamientos, existen 8 grados de libertad entre ellas, Los efectos principales A y B tienen dos grados de libertad cada uno, y la interacción AB tiene cuatro grados de libertad. Si hay n réplicas habrá un total de n32 - 1 grado de libertad, correspondiendo para el error 32 (n-1) grados de libertad.
Si se supone que se están estudiando tres factores (A, B, C) y que cada factor tiene tres niveles acomodados en un experimento factorial. Este es un diseño 33. Las 27 combinaciones tienen 26 grados de libertad. FACTOR A Bajo Medio Alto 0 1 2 FACTOR B
Bajo Medio
0 1
0
10
20
1
11
21
Alto
2
2
12
22
c Diseñar un sistema de manufactura para elaborar un producto requiere de conocimientos técnicos además de una gran experiencia en el área a la cual pertenece el producto. El Sr. TAGUCHI define la calidad de la siguiente manera. "LA CALIDAD DE UN PRODUCTO ES LA PERDIDA MÍNIMA IMPARTIDA POR EL PRODUCTO A LA SOCIEDAD, DESDE EL MOMENTO EN QUE ES EMBARCADO." El fabricante es quien más resiente las pérdidas debido a la reacción negativa del consumidor de un producto de mala calidad. !" !#
Muchos experimentos requieren el estudio de los efectos de 2 ó más factores. En general, los experimentos factoriales son los más eficientes para este tipo de análisis. En un experimento factorial se miden en cada etapa completa o replica del experimento, todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores. Cuando los factores son arreglados en un experimento factorial, se dice frecuentemente que son cruzados. El efecto de un factor se define como el cambio en la respuesta producido por un cambio en el nivel del factor. Esto frecuentemente se llama un efecto principal por que se refiere a los factores primarios de interés en el experimento. Por ejemplo, considere los datos que se representan en la siguiente tabla: Factor A El efecto principal del factor de A podría ser calculado como la diferencia entre la respuesta promedio del primer nivel de A y el promedio de la respuesta en el segundo nivel de A; esto es: A = 40 + 52/2 - 20 + 30/2 = 21 Este valor se interpreta como el incremento del factor A del nivel 1 al nivel 2 causa en promedio una repuesta incrementar de 21 unidades. De la misma manera, el efecto principal de B. Se calcula a continuación: B = 30 + 52/2 - 20 + 40/2 = 11 En algunos experimentos, se encuentra que la diferencia en la respuesta, entre los niveles de un factor no es la misma en todos los niveles de los otros factores; cuando esto ocurre es porque existe una interacción entre los factores. Por ejemplo usando los datos de la tabla siguiente, calcule el efecto de A en el 1er nivel del
factor B el cual se realiza de la siguiente manera: A = 50-20 =30 Y el efecto de A en el segundo nivel del factor B es: A= 12-40 = -28 Dado que el efecto de A depende del nivel seleccionado del factor B, se ve que hay una interacción entre A y B $ % & FACTOR B FACTOR A
B1
B2
A1
20
40
A2
50
12
Gráficamente se puede representar, tanto la interacción como su ausencia; utilizando los datos de las tablas anteriores, se construirán dos gráficas para analizar los conceptos analizados. Experimento Factorial sin interacción
Experimento Factorial con interacción
Las pruebas de hipótesis se contribuyen y se aprueban de la siguiente manera: Para efecto del factor A: Ho: (i = 0 Hi: (i = 0 al menos para una i Fo = MSA MSAB F(, (a-1), (a-1) (b-1) Para el efecto del factor B: Ho: (2( = 0 Hi (2( ( 0 al menos para una ( Fo = MSB MSE F(, (b- l), ab (n-1)
Para el efecto de la interacción: Ho: (2(( = 0 Hi: (2(( = 0 Fo = MSAB MSE F( , (a-1) (b-1), ab (n-1)
c '$ % ( ( El número de factores en un diseño factorial 2k ó 3k incremento el número de corridas requeridas para realizar todas las combinaciones posibles de los niveles de los factores, lo cual consume rápidamente los recursos disponibles por los investigadores para realizar los experimentos. Una replica completa de un diseño 26 requiere de 64 corridas para analizar todas las combinaciones posibles de los tratamientos; en este diseño sólo 6 de los 63 grados de libertad corresponden a los efectos principales, sólo 15 grados de libertad corresponden a las interacciones de dos factores. Los restantes 42 grados de libertad están asociados con las interacciónes de 3 factores ó más. En la serie 3k la situación es peor, por ejemplo, el factorial 36 requiere 243 corridas, y sólo 12 de los 242 grados de libertad corresponden a los efectos principales. Estos diseños factoriales fraccionados son ampliamente usados en la investigación industrial. Un uso importante del factorial fraccionado es en los experimentos de investigación, los cuales son generalmente realizados en las etapas iniciales de un proyecto, y la mayoría de los factores inicialmente considerados frecuentemente tienen poco o ningún efecto en la respuesta de la variable analizada. Los factores que son identificados como importantes son entonces investigados más profundamente en experimentos subsiguientes.
c ' c ) Un diseño factorial fraccionario 2k que contiene 2k-p ensayos se conoce como fracción 1/2p del diseño factorial 2k, o simplemente diseño factorial fraccionario 2k-p. Estos diseños requieren que se elijan p generadores independientes. La relación que define estos diseños consta de las p generadoras originalmente elegidas y de sus 2P - P - 1 interacciones generalizadas. La estructura de los alias puede determinarse multiplicando cada efecto, módulo 2, por la relación que define al diseño. Se debe tener cuidado al elegir las generadoras para que los efectos de interés potencial no sean alias entre sí. Cada efecto tiene 2P-1 alias. Por lo regular, se suponen despreciables las interacciones de orden superior (las de tercero, cuarto o mayor orden) cuando los valores de k son moderadamente grandes. Esto simplifica mucho la estructura de los alias.
c * )
A menudo se desea un fraccionamiento mayor del diseño 3k para valores de moderados a grandes de k. En general, puede construirse una fracción (1/3) P de un diseño 3k para p < k, donde la fracción 3k-2 es la fraccion (1/9), el 3k-3 consiste en seleccionar p componentes de interacción, y usar estos efectos para descomponer las 3 k combinaciones de tratamientos de 3p bloques. Cada bloque constituye ahora un diseño factorial fraccionario 3k-p. La relación 1 define cualquier fracción, consta de los p efectos elegidos inicialmente y de sus (3p-2p-1) / 2 interacciones generalizadas. Los alias de cualquier efecto principal o componente de interacción se determinan multiplicando el efecto por 1 e 12 módulo 3.
+%, LA SALIDA MÁXIMA DE VOLTAJE DE UN TIPO PARTICULAR DE BATERIA, SE PIENSA QUE PUEDE SER INFLUENCIADO POR EL MATERIAL USADO EN LOS PLATOS Y POR LA TEMPERATURA EN LA LOCALIZACION EN LA CUAL LA BATERÍA ES COLOCADA. SE HACEN CUATRO REPLICAS EN EL EXPERIMENTO EN UN EXPERIMENTO FACTORIAL, PARA TRES TIPOS DE TEMPERATURA Y TRES MATERIALES. LOS RESULTADOS SON:
FACTOR (A) MATERIAL
c 130 74
155 180
FACTOR (B) TEMPERATURA 30 40 20 80 75 82
150 159
188 126
136 106
122 115
25 58
70 45
1300
138 168
110 160
174 150
120 139
96 82
104 60
1501
1738
1291
770
70 58
998
3799
PRIMERO SE HACE LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE TODAS LAS MUESTRAS, MENOS LA SUMA DEL TOTAL DE RENGLONES Y COLUMNAS, ENTRE LA MULTIPLICACION DE RENGLONES DE COLUMNAS * # DE MUESTRAS n=4
A=3
B=3
DESPUES SE HACE LA SUMA DE LOS TOTALES AL CUADRADO DEL FACTOR, A:
AHORA SE HACE LA SUMA DE LOS TOTALES AL CUADRADO DEL FACTOR, B:
AHORA SUMAMOS LAS CUATRO MUESTRAS DE CADA COMBINACION Y LAS EVALUAMOS IGUAL. ESO ES LA SUMA DE CUADRADOS DE LA INTERSECCION AB EJEMPLO: 130+155+74+180 =539
POR ULTIMO LA SUMATORIA DE LOS CUADRADOS DE LOS ERRORES
SE DEBEN SACAR LOS CUADRADOS MEDIOS DE LOS DOS FACTORES ASÍ COMO DE LA INTERACCION Y ERRORES DE LA SIGUIENTE MANERA:
QUEDANDO LA TABLA ANOVA DE LA SIGUIENTE MANERA: - .! !"
- ! "-! !
! "-! #/ !
!
10683.72
2
5341.86
7.91 > 3.35
! - !
39118.72
2
19559.36
28.97 > 3.35
!""
9613.77
4
2403.44
3.56 > 2.73
18230.75
27
!#
77646.96
35
675.21
LA GRÁFICA DEL TIPO DE MATERIAL - TEMPERATURA ES LA SIGUIENTE:
EL MATERIAL TIPO 2 SE COMPORTA MÁS ESTABLE. DA MEJOR VOLTAJE A LAS DIFERENTES TEMPERATURAS. TABLA ANOVA PARA 2 FACTORES MODELO DE EFECTOS FIJOS - .! !"
- ! "-! !
! #/ !
"-! !
!
SSA
a-1
MSA
MSA/MSE
/
SSB
b-1
MSB
MSB/MSE
(a-1) 8b-1)
MSAB
MSAB/MSE
MSE
!"" SSAB
SSE
ab (n-1)
!#
SST
abn-1
" "#- ,
1.Ê LOS DATOS REFLEJAN EVIDENCIAS SUFICIENTES QUE EL TIPO DE MATERIAL SE AFECTA AL VOLTAJE DE SALIDA, CONSIDERADO AL NIVEL DE SIGNIFICANCIA DEL 5% 2.Ê LOS DATOS PRESENTAN EVIDENCIAS SUFICIENTES QUE LAS TEMPERATURAS USADA -5 EN EL EXPERIMENTOS Si AFECTAN AL VOLTAJE DE SALIDA, CONSIDERANDO UN NIVEL DE SIGNIFICANCIA DEL 5% 3.Ê LOS DATOS DEMUESTRAN EVIDENCIAS SUFICIENTES OVE EL TIPO DE MATERIAL USADO Y LAS TEMPERATURAS CONSIDERADAS EN EL EXPERIMENTO TIENEN EFECTO CONJUNTO SOBRE EL VOLTAJE DE SALIDA CONSIDERADO k UN NIVEL DE SIGNIFICANCIA DEL 5% Y EN CADA UNA DE LAS HIPOTESIS ACEPTAMOS H1 Ê
