Barbosa López Marco Antonio Frausto Ramírez Jaime Lona Ramos María Cruz Vela V ela Alcalá Martha Alexia Zamarripa Torres Rubén Emilio
Características
Tiene tres niveles en cada factor , lo que permite la estimación estimación de un modelo modelo cuadrático completo incluyendo las relaciones entre la respuesta y cada factor. Esta constituido por puntos centrales centrales , que sirve sir ve para examinar la presencia de curvatura, dar información acerca de los cuadráticos y proporcionar una estimación estimac ión de la magnitud del error experimental; experiment al; y puntos de superficie, de igual distancia del punto central.
Características
Tiene tres niveles en cada factor , lo que permite la estimación estimación de un modelo modelo cuadrático completo incluyendo las relaciones entre la respuesta y cada factor. Esta constituido por puntos centrales centrales , que sirve sir ve para examinar la presencia de curvatura, dar información acerca de los cuadráticos y proporcionar una estimación estimac ión de la magnitud del error experimental; experiment al; y puntos de superficie, de igual distancia del punto central.
3k tratamientos. Permite la estimación de efectos de curvatura curvatu ra (en caso de existir), sobre la variable de respuesta. Mayor Mayor precisión en la estimación de los efectos.
Interacción de factores 2
r o 1 t c a F B
0
02
01
00
12
11
10
22
21
20
Arreglos de k factores con tres niveles (bajo, medio y alto).
Notaciones para la representación de los niveles:
Bajo
Medio
Alto
0
1
2
-1
0
1
1
2
3
En un 3k (k=2)
Es el diseño más simple del sistema , tiene dos factores con tres niveles cada uno, hay ocho grados de libertad entre combinaciones ya que existen 9 combinaciones de tratamientos, los efectos principales de A y B, tienen dos grados de libertad cada uno, su interacción tiene cuatro grados de libertad. Si hay n réplicas, habrá n-1 grados de libertad totales y (n-1) grados de libertad del error. donde el factor A es representado por x y el factor B por X , el
Las sumas de cuadrados se calculan como se muestra a continuación Suma de cuadrados totales
Suma de efectos principales de A
Suma de efectos principales de B
Suma de cuadrados de la interacción
Suma de cuadrados del error
Diseños Factoriales 32, con dos Factores a Tres Niveles El siguiente es un conjunto de contrastes ortogonales, que sirven para medir los efectos. Este conjunto constituye la Matriz del Diseño del experimento 32. Se desea medir el efecto de las dimensiones de los elementos constitutivos de la lámina bimetálica, sobre el tiempo de vida antes de perder la calibración. Las combinaciones de tratamientos son a1b1, a2b1, a3b1, a1b2, a2b2, a3b2, a1b3, a2b3 y a3b3. Para dos factores con tres niveles cada uno y cinco réplicas. FACTORES A : DISTANCIA DEL EJE IMPULSOR A LA LAMINA BIMETALICA. B :. DISTANCIA DE LA CABEZA PILOTO A LA LAMINA BIMETALICA.
NIVELES a1 : 1 mm. a 2 : 2 mm. a3 : 3 mm. b1 : 1 mm. b2 : 2 mm. b3 : 3 mm.
Matriz de Diseño para Analizar un Experimento 32
Matriz de Diseño para Analizar un 2 Experimento 3
Observemos que, en cada uno, la suma de sus componentes es cero. Un contraste es una suma algebraica de combinaciones de tratamientos tales que la suma de los coeficientes positivos es igual a la suma de los coeficientes negativos. Dos contrastes son ortogonales, si el resultados de multiplicarlos es otro contraste. En la Matriz de Diseño del Experimento, podemos ver que el primer contraste, llamado A1, sirve para comparar el efecto del nivel 1 con el efecto del nivel 3 del factor A. El segundo, A2, compara el efecto del nivel 2 con los efectos de los niveles 1 y 3 en promedio, del mismo factor. Por eso, los dos primeros contrastes miden el efecto del factor A. De forma similar, los dos siguientes, B1 y B2, miden el efecto del factor B. Los últimos cuatro, AB1 a AB4, comparan el efecto de las diferencias de niveles de un factor, a diferentes niveles del otro. Por eso decimos que los cuatro miden diversos aspectos de la interacción entre A y B.
Análisis de un Experimento 3
2
También se pueden tratar los contrastes como si fueran expresiones algebraicas, y factorizarlas. Es así que el primer contraste se puede simbolizar como A1 = ( a3 - a1 )( b1 + b2 + b3 ) y ahora se ve con más claridad que se trata de una comparación entre los efectos de los niveles 1 y 3 del factor A. También tenemos A2 = ( a1 - 2a2 + a3 )( b1 + b2 + b3 ) comparación entre a1 y a2 con a3 combinados. Análogamente, B1 = ( a1 + a2 + a3 )( b3 - b1 ) B2 = ( )( b1 - 2b2 + b3 )
Análisis de un Experimento 3
2
Observemos que si sumamos A1 con A2, se forma una comparación entre los niveles a2 y a3. De forma análoga, los cuatro contrastes para la interacción se pueden escribir como AB1 = ( a3 - a1 )( b3 - b1 ) AB2 = ( a3 - a1 )( b1 - 2b2 + b3) AB3 = (a1 - 2a2 + a3)( b3 - b1 ) AB4 = (a1 - 2a2 + a3)( b1 - 2b2 + b3) El lector puede verificar, con paciencia, que la suma de las cuatro expresiones da AB1 + AB2 + AB3 + AB4 = 4( a3 - a2 )( b3 - b2 ) una diferencia entre las diferencias de los efectos de a3 y a2 de A, a los niveles b3 y b2 de B.
Diseño 3
3
Cuando se habla de tres factores (A, B y C) bajo un estudio, y cada factor tiene tres niveles, se trata de un diseño factorial 33. Las 27 combinaciones de tratamientos tienen 26 grados de libertad. Cada efecto principal tiene 2 grados de libertad, cada interacción de dos factores tiene 4 grados de libertad y la interacción de tres factores tiene 8 grados de libertad. Si hacen n réplicas, hay n331 grados de libertad total y 33 (n-1) grados de libertad del error.
Ecuación general
Las sumas de cuadrados se calculan como se muestra a continuación Suma de cuadrados totales
Suma de efectos principales de A
Suma de efectos principales de B
Suma de cuadrados de la interacción
Suma de cuadrados del error
Ejemplo 1
En un laboratorio de una empresa se tiene instares en estudiar cómo la cantidad de gas nocivo que emite una maquina puede ser reducido; la variable de respuesta es la cantidad de gas medida en ppm. Se considera que dos factores, tiempo de inyección y razón de volumen de la cámara, influyen en la emisión del gas; se consideran tres niveles en cada factor. Dos maquinas se utilizan para evaluar el efecto de los factores, suponga en primera instancia que las maquinas son totalmente homogéneas tal que no influyen en los resultados.
Los factores y niveles: Factor/Nivel
1
2
3
T: tiempo (min) 50
60
70
V: volumen (uv) 30
35
40
Hipótesis de respuestas: Hipótesis
Para T
Para V
Para TV
Ho : (Nula)
Ho: δT1=δT2=δT3
Ho: δ V1=δ V2=δ V3
Ho: δT1V1=δT1V2=…
=δT3V3 Ha: (Alternativa)
Ha:
Ha:
Ha:
δT1≠δT2≠δT3
δ V1≠δ V2≠δ V3
δ V1T1≠δT1 V2≠
Datos de la variable de respuesta (2 observaciones) Tratamien to
T: tiempo
V: volumen
y1
y2
Ў ij
1
1
1
12.3
11.4
11.85
2
2
1
12.9
12.5
12.7
3
3
1
13.2
13.1
13.15
4
1
2
14.1
14.0
14.05
5
2
2
14.5
14.5
14.5
6
3
2
14.7
15.0
14.85
7
1
3
13.3
13.9
13.6
8
2
3
14.6
14.3
14.45
9
3
3
16.0
16.1
16.05
De los datos anteriores se obtiene que:
Los promedios para el tiempo
Los promedios para el volumen
Con un promedio de y **=
13.9111
Efecto de cada nivel (coeficientes) Efecto de T (tiempo) δT1=13.1666-13.911=-0.7444 δT2=13.8813.911=-0.0311 δT2=14.68-13.911=0.7689
Efecto de V (volumen) δ V1=12.566-13.911=-1.3451 δ V2=14.466-13.911=0.5549
Efecto de interacciones
Para determinar cada una de las interacciones se emplea la siguiente formula:
Efecto de interacciones Yij
Yi*
Y*j
Y**
δTiVj
δTiVj
11.85
13.166
12.566
13.9111
0.0291
δT1V1
12.7
13.88
12.566
13.9111
0.1651
δT2V1
13.15
14.68
12.566
13.9111
-0.1849
δT3V1
14.05
13.166
14.466
13.9111
0.3291
δT1V2
14.5
13.88
14.466
13.9111
0.0651
δT2V2
14.85
14.68
14.466
13.9111
0.3849
δT3V2
13.6
13.166
14.70
13.9111
0.3549
δT1V3
14.45
13.88
14.70
13.9111
0.2189
δT2V3
16.05
14.68
14.70
13.9111
0.5811
δT3V3
Efecto de los errores Para el calculo de los errores se emplea la siguiente
formula:
Efecto de los errores Yij
y1
y2
S2TiVj
S2TiVj
11.85
12.3
11.4
0.405 S2T1V1
12.7
12.9
12.5
0.08 S2T2V1
13.15
13.2
13.1
0.005 S2T3V1
14.05
14.1
14.0
0.005 S2T1V2
14.5
14.5
14.5
0 S2T2V2
14.85
14.7
15.0
0.045 S2T3V2
13.6
13.3
13.9
0.18 S2T1V3
14.45
14.6
14.3
0.045 S2T2V3
16.05
16.0
16.1
0.005 S2T3V3
Cuadrados medios Se multiplica por seis debido ate se tienen tres niveles y
dos replicas. Valores = (-0.7444, 0.0311, 0.7689)
Valores =(-1.3451, 0.5549, 0.7889)
Interacción
Valores =(0.0291, 0.1651, -0.1849, 0.3291, 0.0651, 0.3849, 0.3549, 0.2189, 0.5811)
Errores
Valores =(0.405, 0.08, 0.005, 0.005, 0, 0.045, 0.18, 0.045, 0.005)
Tabla de resultados Termino
Grados de libertad
Suma de cuadrados
Cuadrados Fc medios
T(tiempo)
2
6.8778
3.4389
40.1975
V (volumen)
2
16.4374
8.2187
96.0689
TV
4
1.669
0.4172
4.8766
error
9
0.77
0.0855
MSA
SS A a 1
MSB
SS B b 1
MSE
SS E N ab
MS AB
Valor P
SS AB ( a 1)( b 1)
Conclusión
De acuerdo con los valores de p encontrados, tanto los dos factores como la interacción son significativos en el modelo, por lo que se rechaza Ho y se acepta Ha, es decir, tanto el volumen como el tiempos e interacción de ambos, influye en la emisión del gas nocivo.
Interacción cuadrática De acuerdo con los promedios de volumen y tiempo;
en el volumen si se aprecia un efecto cuadrático, mientras que en el tiempo no.
Promedios para V (volumen) 14.566
14.466
14.70
Promedios para el T (tiempo) 13.166
13.88
14.68
Efectos lineal y cuadrático Para realizar este análisis se supone que los tres puntos
son equidistantes entre si.
Efecto lineal Efecto cuadrático
Efecto lineal
Efecto cuadrático
Suma de cuadrados SC
Se determina empleando la siguiente formula:
Donde r es el numero de observaciones en cada uno de los promedios empleados , es decir, r=2x3=6
efecto
Tl
Tc
V l
V c
1.516
0.084
-2.13
-1.1667
Efectos lineales y cuadráticos Fuente de variación
Grados de libertad
Suma de cuadrados
Cuadrados F medios
P
Tiempo
2
6.91
Tl
1
6.90
6.90
32.47
0.0003
Tc
1
0.01
0.01
0.08
0.7851
Volumen
2
16.43
Vl
1
13.65
13.65
159.58
0.0000
Vc
1
2.78
2.78
80.66
0.0000
Interacción
4
1.67
0.42
4.87
0.0228
Error
9
0.77
0.9
Solución en minitab
