Control Digital
21 de octubre de 2011
DISEÑO DE CONTROLADORES CON MATLAB Carlos Iván Mesa, 44042035#1, Camilo Andrés Mondragón 45101341#2 #
Estudiantes (Ingeniería (Ingeniería de Diseño Diseño & Automatización Automatización Electrónica, Universidad de La Salle) Bogotá D.C., Colombia Colombia 1
[email protected] [email protected]
2
I. INTRODUCCIÓN Los sistemas de control en lazo abierto están compuestos por una señal de entrada que actúa sobre los elementos que controlan el funcionamiento de la máquina o proceso, y a la salida se obtiene la señal controlada. En este tipo de sistemas de control la señal de salida no tiene efecto sobre la acción de control ya que en lazo abierto no se mide la salida ni se realimenta para compararla con la entrada. Estos sistemas se representan mediante el siguiente esquema:
Fig1 Sistema de control en lazo abierto II. OBJETIVOS
Obtener las constantes del sistema y obtener la función de transferencia por medio de Matlab Modelar y simular el sistema y obtener la respuesta de sistemas como los valores de entrada y comportamiento en diferentes partes del sistema. Implementar un sistema de control en lazo abierto. III. DESARROLLO Se tiene la siguiente función de transferencia: transferencia: 0.1 --------------------s^3 + 1.5 s^2 + 0.5 s
luego se expresa esta función en términos de zpk para determinar que tipo de sistema es: s=zpk('s' s=zpk('s') ) Gs=(0.1)/(s*((s+1)*(s+0.5)))
0.1 --------------s (s+1) (s+0.5) se observa que la planta es de tipo 1 ya que tiene un integrador en su denominador. a) Selección del tiempo de muestreo: [wn,z,p]=damp(Gs)%obtener la frecuencia natural Wmax=max(wn) w=(10*Wmax)/(2*pi)%para pasar la frecuencia natural en Hz t=1/w
t =0.6283 Para la selección del tiempo de muestre se utilizo el comando damp, por medio del cual se retorna el paramentroWd que es la frecuencia natural del sistema expresada en radianes por segundo. Ahora se procede a discretizar la función de transferencia con el tiempo de muestreo adecuado obteniendo la siguente función: Gz=c2d(Gs,t,'zoh' Gz=c2d(Gs,t,'zoh') )
0.0032882 (z+2.972) (z+0.2101) -----------------------------(z-1) (z-0.7304) (z-0.5335) Sampling time: 0.62832 b. análisis del tipo del sistema: Para analizar el tipo de sistema usamos la función zpk que se encarga de convertirt la función de transferencia en términos de polos y ceros. De esta forma se pudo verificar el tipo de sitema. 1
Control Digital
c)anexo d) diseño de compensador anexo. A continuación se muestra el código en matlab por medio del cual se se obtuvo el controlador PI por medio de los criterios de diseño: clc clearall clearall symss symss
21 de octubre de 2011
e) Por asignación de polos con las restricciones dadas se implementó un compensador de la siguiente manera:
La fórmula del controlador PD para eliminación de polos es:
s=zpk('s' s=zpk('s') ) Gs=(0.1)/(s*((s+1)*(s+0.5)))
() [wn,z,p]=damp(Gs) Wmax=max(wn) w=(10*Wmax)/(2*pi) t=1/w Gz=c2d(Gs,t,'zoh' Gz=c2d(Gs,t,'zoh') )
( )
( ( )
( ( ) ( )( ) )(
Para este caso escogemos fz=feedback(Gz,1) fs=feedback(Gs,1) step(fz) [x]=solve('21=4/sig' [x]=solve('21=4/sig', ,'0.15=exp((pi*sig)/wd)') pi*sig)/wd)' ) sig=double(x.sig) wd=double(x.wd) z1=exp(-sig*t)*(cos(wd*t)+j*sin(wd*t)) z2=exp(-sig*t)*(cos(wd*t)-j*sin(wd*t)) z=tf('z' z=tf('z',t) ,t) pd=(z-z1)*(z-z2)
Retroalimentado el sistema para hallar la ecuación característica tenemos:
() ( ) ( ( ) ) Igualando
los
coeficientes
con
la
ecuación
característica del polinomio de diseño tenemos:
; % syms z a kc % % yy=1 + kc/(z-a) % % pc=1+yy*(Gz)
Resolviendo por medio de solve de Matlab hallamos
[k,a,Z3]=solve('Z3=0.1835-0.004528*k', [k,a,Z3]=solve('Z3=0.1835-0.004528*k' ,'0.0041*k*a=-0.6702*Z3', 0.0041*k*a=-0.6702*Z3' ,'k=(0.212)/(0.004528*a)-(0.111)') 0.212)/(0.004528*a)-(0.111)' )
las contantes Kc y B.
El polinomio característico es entonces:
( () Sabemos que uno de los polos está situado en 0.4, por tanto como es un sistema de tercer orden debe por tanto haber dos polos mas. Utilizando la división sintética para hallar los polos del sistema obtenemos:
El controlador diseñado por el método de asignación de polos es:
()
( ( ))
( )( )
En la figura se muestra la respuesta de la planta con el compensador:
( )( ) Figura
2
Control Digital
21 de octubre de 2011 Step Response
1.4
1.2
System: fz Settling Time (sec): 21
System: fz Time (s ec): 8.8 Amplitude: 0.88
1
e 0.8 d u t i l p m A 0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Time (sec)
Fig 2 Respuesta en Matlab Conclusiones:
Observamos como los sistemas en Matlab resultan más eficientes ya que facilita el cálculo matemático y es posible simular la salida simultáneamente. Se puede observar como el controlador PI reubica los polos del sistema a un lugar más estable, como se observa en la gráfica el sistema sin control posee un polo en el límite de estabilidad es decir z=1 Al aplicar el controlador estos polos se ubican en (0,5 0,6j) y (0,5 + 0,6j) y mejoran la estabilidad del sistema. Además cuando se aplica el controlador, y teniendo en cuenta la función en lazo abierto la cual es Gc(z) X G (z) X H(z), Se puede ver que al hallar el error ante una rampa será 0 debido a que el orden es de tipo 2 lo cual satisface las condiciones de diseño del error de velocidad nulo. •
•
•
–
•
•
REFERENCIAS:
[1]
Solución de Problemas de Control en Ingeniería empleando Matlab.
[2]
SISTEMAS DE CONTROL MODERNO Dorf, Richard C, Editorial Pearson 2005, 10ª edición.
[3]
INGENIERIA DE CONTROL MODERNO - KarsuhikoOgata, KarsuhikoOgata, Editorial Pearson Prentice hall, 4° edición.
3
