PROYECTO DE CONTROLADORES EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
1.-Objetivo.-
Conocer el desempeño de los diferentes tipos de controladores PID. Realizar la sintonía de los mismos utilizando diversos métodos. 2.-Fundaento te!"i#o.-
Una Una de las las part partes es más más impo import rtan ante tess de un sist sistem emaa de cont contro role less su cont contro rola lado dor. r. Los Los controladores controladores se identifican identifican por sus modos de control. control. Estos pueden ser P Proporcional!" Proporcional!" PI Proporcional Proporcional# # Inte$ral!" Inte$ral!" PD Proporcional# Proporcional#Deriva Derivativo! tivo! % PID Proporciona Proporcional#Inte l#Inte$ral# $ral# Derivativo!. &e limitará el desarrollo a los controladores P I % PID. Cont"o$ado" P"o%o"#iona$ & & Inte'"a$ (PI)
Este Este cont contro rola lado dorr pose poseee dos dos acci accion ones es.. La acci acci'n 'n prop propor orci cion onal al P da una una sali salida da en el controlador (ue es proporcional al error" siendo el error la diferencia entre el valor deseado % la sal salida ida de plan planta ta val valor or real realim imen enta tado do!. !. La acci acci'n 'n inte inte$r $ral al I prod produc ucee una una seña señall proporcional a la inte$ral del error. Estos dos efectos e fectos se pueden puede n representar )untos )unt os con las si$uientes ecuaciones*
D'nde* +c es la $anancia" ,i el tiempo inte$ral" e t! el error" rt! el valor deseado%t! variale controlada.
La ecuac ecuaci' i'n n /.0 /.0!! se oti otien enee al pasa pasarr la ecuac ecuaci' i'n n /./! /./! al domin dominio io de la frec frecue uenci nciaa aplica aplicando ndo la transfor transformad madaa de Laplace. Laplace. El tiempo tiempo inte$ral inte$ral ,i es el tiempo tiempo (ue dee transcurri transcurrirr para (ue la acci'n acci'n inte$ral inte$ral alcance alcance en ma$nitud ma$nitud a la acci'n acci'n proporcional proporcional.. El dia$rama de lo(ues del controlador PI e1plica las ecuaciones. En el dia$rama P 2 d3dt.
De este dia$rama se otiene la funci'n de transferencia del controlador*
(1.*)
Cont"o$ado" P"o%o"#iona$ & Inte'"a$ & De"ivativo (PID)
Este Este contro controlado ladorr a$re$a a$re$a una tercer terceraa acci'n* acci'n* la deriva derivativ tivaa D. Esta Esta acci'n acci'n tiene como prop'sito me)orar la estailidad en lazo cerrado. En los procesos dinámicos" el controlador tarda un tiempo tiempo antes de darse cuenta cuenta de un camio en la variale variale controlada. controlada. La acci'n derivativa trata de predecir la salida del proceso. proceso. Uniendo esta acci'n con las e1plicadas e1plicadas en el controlador PI" se otiene*
(2.1)
% en el dominio de la frecuencia*
(2.2)
Donde ,d es el tiempo o derivativo. El dia$rama de lo(ues (ue representa este controlador es el si$uiente
De este dia$rama se otiene la funci'n de transferencia del controlador*
M+todo, ba,ado, en $a #u"va de "ea##i!n de$ %"o#e,o Estos son métodos (ue se asan en informaci'n otenida de la respuesta del sistema a una entrada escal'n. Esta respuesta es la curva de reacci'n del proceso" la cual se otiene mediante una pruea de lazo aierto con el controlador en manual % el sistema operando en el punto de operaci'n deseado. En estas condici'n es se aplica manualmente un camio escal'n en la salida del controlador entrada al proceso! % se re$istra esta señal % la de salida del proceso" desde el instante en (ue se aplic' el escal'n de entrada 4asta (ue el sistema alcance un nuevo punto de operaci'n estale" si este es un proceso auto5 re$ulado. Una vez (ue se tiene la curva" se otiene un modelo de primer orden más tiempo muerto"
dado por la ecuaci'n. Conocidos la $anancia 6 p" la constante de tiempo 7 % el tiempo muerto aparente tm se pueden calcularlos parámetros del controlador. P"ie" +todo - M+todo de ie'$e" / Ni#0o$, ($ao abie"to) ,ipo de funcionamiento* Re$ulador Criterio de desempeño* Decaimiento de un cuarto 8odelo* Primer orden más tiempo muerto Identificaci'n del modelo* 8étodo de la tan$ente ,ipo de controlador* PID ideal 9 : ; utilizaron controladores neumáticos con cierta interacci'n!
Cont"o$ado" PID
La curva con forma de & se caracteriza por dos parámetros* el tiempo de retardo L % la constante de tiempo ,. El tiempo de retardo % la constante de tiempo se determinan diu)ando una recta tan$ente en el punto de infle1i'n de la curva con forma de & % determinando las intersecciones de esta tan$ente con el e)e del tiempo % la línea ct!2+" como se aprecia en la fi$ura >. En este caso" la funci'n de transferencia Cs!3Us! se apro1ima mediante un sistema de primer orden con un retardo de transporte del modo si$uiente*
9ie$ler % ;ic4ols su$irieron estalecer los valores de + p" ,i % ,d de acuerdo con la f'rmula (ue aparece en la si$uiente tala. Ti%o de #ont"o$ado"
%
Ti
Td
P
?
PI
?
PID
>L
?.@L
Aserve (ue el controlador PID sintonizado mediante el primer método de las re$las de 9ie$ler5;ic4ols produce
Por lo tanto" el controlador PID tiene un polo en el ori$en % un cero dole en s25/3L. Se'undo +todo.
En el se$undo método" primero estalecemos ,i2 % ,d2?. Usando s'lo la acci'n de control proporcional" se incrementa + p de ? a un valor crítico + cr en donde la salida e14ia primero oscilaciones sostenidas. &i la salida no presenta oscilaciones sostenidas para cual(uier valor (ue pueda tomar + p" no se aplica este método. Por tanto" la $anancia crítica + cr % el periodo Pcr correspondiente se determinan e1perimentalmente. 9ie$ler5;ic4ols su$irieron (ue se estalecieran los valores de los parámetros + p" , i % ,d de acuerdo con la f'rmula (ue aparece en la si$uiente tala. Ti%o de #ont"o$ado"
%
Ti
P
?.@+ cr
?
PI
?.B@+ cr
?
PID
?.+ cr
?.@Pcr
Td
?./>@Pcr
&e dee oservar (ue el controlador PID sintonizado mediante el se$undo método de las re$las de 9ie$ler5;ic4ols produce*
Por lo tanto" el controlador PID tiene un polo en el ori$en % cero dole en s25B3Pcr .
3. De,a""o$$o de$ $abo"ato"io.
Realizar en 8atla todos los e)ercicios propuestos por el docente en laoratorio" compara con las respuestas % analizar los resultados.
G s! =
?.0 ?.0 s + /
e −?./@ s
Eje%$o1 Sea $a 4un#i!n de t"an,4e"en#ia de $a %$anta Cont"o$ado"e, P5 PI / PID / M+todo, de Sinton6a (N) ie'$e" - Ni#0o$, / Sinton6a IMC En 8atla* Definiremos los parámetros +" % " (ue son los parámetros de la planta ,omando en cuenta (ue* N N N K = ; ϴ = ; τ = 10
20
10
Entonces para nuestro caso traa)emos con ;20 Definimos el controlador P" controlador PI % el controlador PID con sus respectivos parámetros* τ K p= Para p* K ∗θ Para PI* Para PID* Realizamos el pro$rama en 8atla* % Ejemplo 1 % sintonia de Controladores PID via método de ZN clc, close all, clear all %definiendo los parámetros de la planta K=!"# ta$=!"# teta=!1&# %definiendo los parámetros del controlador %controlador Proporcional P Kp=ta$'(K)teta*# %controlador Proporcional+Interal PI Kp1=!-)ta$'(K)teta*# .i1="!"")teta# %controlador Proporcional+Interal+Derivativo PID Kp/=1!/)ta$'(K)teta*# .i/=/)teta# .d=!&)teta# sim eje1 fi$re(1* plot(t,ref,t,sc,t,P,t,PI,t,PID*,!!! ,leend(0ref0,0in Controlador0,0Control P0,0Control PI0,0Control PID0*,!!!
,rid
&e$uidamente 4acemos el dia$rama de lo(ues en &imulin6*
Facemos correr pro$rama % analizamos las respuestas*
Como se oserva la curva con línea verde es la (ue está sin controlador" oservamos
(ue la línea está muc4o más dea)o de la línea de referencia. La curva con línea de color ro)o es cuando el sistema está con un controlador P" al
principio oscila muc4o el sistema" después alcanza a estailizarse pero aGn asi esta por dea)o de la línea de referencia. La curva de color celeste" cuando se usa el control PI" en este caso me parece (ue es el
más apropiado deido a (ue esta sore la línea de referencia mas pronto (ue el controlador PID. La Gltima curva es con un controlador PID" oservamos (ue oscila sore la línea de referencia. ,amién mediante cada &CAPE del simulin6 se puede otener las si$uientes $raficas de los controladores.
&e puede apreciar de la primera $ráfica a la iz(uierda es el sistema sin controlador a lazo aierto" la $ráfica de la derec4a es con el controlador P.
Las ultimas de la iz(uierda aa)o" muestra la curva de respuesta del sistema con un controlador PI" % la de su lado muestra la respuesta de un controlador PID.
Ana$iao, ,i 7(,) e, ine,tab$e
89u+ ,u#ede #on $a, "e,%ue,ta, de $o,
#ont"o$ado"e,:
&i deseamos analizar el sistema cuando sea inestale" deemos camiar el valor de tau a ne$ativo" %a (ue e1istirá polos en el semiplano derec4o Hs" por tanto el sistema será inestale.
Para oservar las respuestas en este caso" lo (ue 4acemos en el simulin6 camiamos los valores de / por 5/" como se muestra a continuaci'n*
&e otuvo las si$uientes respuestas*
Jnalizando se tiene*
8ediante sin controlador el sistema es inestale" pero con muc4o error. 8ediante el controlador P se lo$ra estailizar el sistema. 8ediante el controlador PI el sistema es inestale. 8ediante el controlador PID se lo$rara estailizar después de un lar$o tiempo.
Rea$ia" $a ,inton6a de un #ont"o$ado" PID v6a IMC %a"a $a 7(,) %"o%ue,ta5 / #o%a"a" $a, "e,%ue,ta, v6a N / v6a IMC.
&e realizo primero nuestro sistema en &I8ULI;+.
Faciéndolo correr otenemos las si$uientes respuestas*
Donde* Aa"i$$o 9ie$ler ;ic4ols Mo"ado mediante I8C
Jnalizando" el $rafico e1iste ma%or estailidad mediante el método de 9ie$ler ;ic4ols" (ue el método vía I8C" pero en 9ie$ler ;ic4ols se re(uiere un tiempo de retraso. 2. Sintonia#i!n de #ont"o$e, u,ando $u'a" de $a, "a6#e, P"o/e#ta" un #ont"o$ado" PI v6a $u'a" de $a, "a6#e, de ta$ 4o"a ;ue $a "e,%ue,ta ten'a un < / t, = 1.?5 ,i N@1 &e crea la funci'n de transferencia*
En 8atla* %Ejemplo l$ar de las ra2ces clc, clear all, close all =tf(!1,3!1 14*# %apro5imando el atraso por pade 3na,da4=pade(!&,1*# atraso=tf(na,da*# total=)atraso sisotool(total*
Desactivando las otras $raficas*
Lue$o 4acemos clic6 en Jnal%sis" lue$o en Response to &tep Command % oservamos la respuesta del sistema
Introducimos los polos % ceros en CA8PE;&J,AR EDI,AR. Donde 4aciendo un clic derec4o otenemos esas funciones % ponemos nuestro valor en cual deseamos (ue este nuestro polo % nuestro cero. J$re$amos un inte$rador Inte$rator! % un cero real Real 9ero!" se oserva un multiplicador al lado de la casilla del valor de C" % una tala en el cuadro de D%namics" con el valor del inte$rador % del cero real.
8odificando nuestro AP % nuestro settin$ time tenemos*
&e otiene lo si$uiente*
Cuando introducimos nuestros polos % cero se modifico nuestro 6 o C de nuestra funci'n el cual realizando una comparaci'n se puede otener nuestro +p % ,i
128.39
Se obtiene:
∗(1 + 0.081 s ) s
Comparando:
(
Kp Tis + 1 Ti s
)
,
Obtenemos: Ti = 0.081
Kp = 128.39 Ti
Por tanto:
FINALMENTE:
Kp
=
10.399
Gc ( s )=128.39
(
0.081
+1 s
)
*. In4o"e 4ina$ 1) E%$i#a" $o, +todo, de ,inton6a de #ont"o$ado"e, PID e%$eado, en $abo"ato"io.
Ka fue visto todo esto en el punto 0. Del informe. 2)
E%$i#a" en 4un#i!n de ;ue %a"Bet"o, ,e %uede dete"ina" e$ buen de,e%eo de un #ont"o$ado" / #oo ,e $o, %uede dete"ina".
3) Co$o#a" $o, '"B4i#o, obtenido, en $abo"ato"io5 e%$i#a" #!o ,e obtuvie"on $o, i,o, / #oena" $o, "e,u$tado,.
En el punto 0. se e1plica detalladamente. @. Cue,tiona"io.
a) 89u+ de4ine e$ %a"Bet"o de in#ont"abi$idad Pu: La define la raz'n entre el tiempo muerto del proceso % su constante de tiempo" un proceso con un $rande tiempo muerto es controlale si su constante de tiempo es ma%or (ue su tiempo muerto. Por tanto este valor nos determina cuan controlale es un sistema.
P u
=
θ τ
Para* τ
?= =/el sistema es controlale τ
M/. el sistema es incontrolale b) E%$i#a" en una '"B4i#a5 e$ #o%o"taiento de un #ont"o$ado" P5 PI / PID ante una %e"tu"ba#i!n de un ,i,tea en 'ene"a$. Con el $rafico (ue se otuvo en laoratorio*
5
Controlador P" posee un error en estado de ré$imen o corrimiento en la respuesta a una estrada escal'n.
5
En el controlador PI se elimina este error en estado permanente" pero en un determinado tiempo" % la desventa)a de este controlador es (ue puede saturar la salida del controlador
5
En el controlador PID se unen las características del controlador PI % tamién del derivativo" % se lle$a al estado de ré$imen un poco antes con respecto al controlador PI. #) 8En ;u+ ti%o de ,i,tea, ,e %"e,enta e$ e4e#to5 ind u% / #!o ,e $o %uede evita":
Este efecto ind u% se los encuentra en controlador inte$ral" en la aplicaci'n es comGn encontrarlos en controladores neumáticos % electr'nicos anal'$icos" una forma de disminuirlos es poder camiar la señal del error. La compensación de wind-up por saturación se logra simplemente incluyendo un limitador saturación, correspondiente a la limitación real del actuador.
d) Sea G s !
$a
4un#i!n
=
?.OCOC
de
?.///N s + /
e
t"an,4e"en#ia
de
un
'ene"ado"
,6n#"ono
%o"
− ?.?@00 s
,e %"etende 0a#e" $a ,inton6a de un #ont"o$ado" PI %a"a #ont"o$a" $a ten,i!n de 'ene"a#i!n de$ i,o. Rea$ia" t"abajo #on e$ +todo de ,inton6a N / de IMC5 $ue'o #o%a"a aba, "e,%ue,ta, %o" ,iu$a#i!n 8CuB$ #ont"o$ado" "e%"e,enta un ejo" de,e%eo:
De la funci'n de transferencia tenemos los si$uientes datos* τ
=
?.///N
+2?.OO- 2?.?@00 % Pa"a PI Po" e$ +todo de N −/
?.P θ
−/
?.?@00 = >./N Kp = = ?.OCOC ?.///N K τ Ti
Po" e$ +todo IMC
=
0.00 ⋅ θ
?. P
=
(
) = ?./NN@
0.00 ⋅ ?.?@00
P u
=
θ τ
=
?.?@00 ?.///N
= ?.BO
Como este valor osilla entre ?./ % ?.@ se utiliza la si$uiente f'rmula ?.O0τ ?.O0 ⋅ ?.///N = => Kp = ?.OCOC ⋅ ( ?.?@00) K ⋅ θ Ti
= τ →
Ti
=
?.///N
Co%a"ando aba, "e,%ue,ta, %o" ,iu$a#i!n teneo, e$ ,i'uiente %"o'"aa en Mat$ab
Diagramas de bloques en Simulink:
Podemos oservar en la si$uiente $rafica (ue el método 9; es más eficaz con respecto al método I8C
e) Investigar otros métodos de sintonía de controladores PID. M+todo, ba,ado, en $a #u"va de "ea##i!n de$ %"o#e,o ,ipo de funcionamiento*
Re$ulador
Criterio de desempeño* a)o la curva de respuesta 8odelo* Identificaci'n del modelo*
Decaimiento de un cuarto" sorepaso mínimo" mínima área Primer orden más tiempo muerto 8étodo (ue provea la me)or apro1imaci'n
,ipo de controlador* PID ideal Ecuaciones de sintonizaci'n Controlador PID*
M+todo de Co0en / Coon En el desarrollo de su método de sintonizaci'n 9ie$ler % ;ic4ols no consideraron (ue el proceso fuera auto re$ulado. Co4en % Con QO introdu)eron" entonces" un índice de auto re$ulaci'n definido como S 2 tm3 % plantearon nuevas ecuaciones de sintonizaci'n. Estas se asan en el me)or modelo de primer orden mas tiempo muerto (ue se pueda otener para lazos de control (ue funcionan como re$ulador" con el criterio de desempeño de decaimiento de /3B con sorepaso mínimo" % con mínima área a)o la curva de respuesta" % un controlador PID5Ideal. Las ecuaciones son*
M+todo de L!%e5 Mi$$e"5 Sit0 / Mu""i$ El primer método asado en criterios inte$rales (ue presento ecuaciones para el cálculo de los parámetros del controlador fue desarrollado por L'pez et al.Q// % es conocido como el método de L'pez. Definiendo una funci'n de costo de la forma
Donde T es una funci'n del error % del tiempo" se otiene un valor (ue caracteriza la respuesta del sistema. Entre menor sea el valor de " me)or será el desempeño del sistema de control" por ello" un desempeño optimo se otiene cuando es mínimo. Como es una funci'n de los parámetros del controlador +c" ,i" ,d !" el valor mínimo de se otiene resolviendo las si$uientes ecuaciones*
Los criterios de desempeño utilizados por L'pez fueron* Inte$ral del error asoluto IJE!" Inte$ral del error asoluto por el tiempo I,JE! % Inte$ral del error cuadrático I&E!. La optimizaci'n de los criterios de desempeño inte$rales de L'pez está asada en el me)or modelo de primer orden más tiempo muerto (ue se pueda otener" para lazos de control (ue funcionan como re$uladores con un controlador PID5Ideal.
Las ecuaciones de sintonizaci'n son*
Los valores para las constantes a a f para los diferentes criterios se encuentran en el Cuadro /.
G. Hib$io'"a46a Si,tea, de #ont"o$ AutoBti#o. uo5 Henjain In'enie"6a de Cont"o$ Mode"na. O'ata5 at,u0io. So$u#ion de %"ob$ea, de In'enie"ia #on Mat$ab.Ette"5 De$o"e,. P"ob$ea, de in'enie"6a de Cont"o$ Jti$iando Mat$ab .O'ata5 at,u0io.
