Diseño de Controladores PID
Sea da el diagrama de bloques de un proceso de c ontrol en la siguiente figura: Proceso U(s)
Y(s)
25 ( s 2)( s 4)
a) Diseñar un controlador(es) apropiado(s) de tal manera que la repuesta y(t) del y(t) del proceso en lazo cerrado presente un sobreimpulso Mp sobreimpulso Mp = 9.48% , 9.48% , un ts(5%) = 0.625 seg . y un ess = 0 ante entradas tipo escalón en la entrada de referencia r(t), r(t), considerando una realimentación unitaria. b) Con el (los) controlador(es) diseñado(s) en la parte (a) se pide determinar, graficar y evaluar la respuesta y(t) respuesta y(t) para para una entrada de un escalón unitario en r(t), r(t), determinando las especificaciones de régimen transitorio y régimen permanente indicando si se satisfacen o no las especificaciones pedidas. c) Con el (los) controlador(es) diseñado(s) en (a) se pide determinar y graficar la variable de del error e(t) e(t) y de la variable control u(t) u(t) para una entrada de un escalón unitario en entrada de referencia r(t). r(t).
SOLUCION
Evaluando al sistema de control de lazo cerrado sin controlador ( Gc(s) = 1) 1) con realimentación unitaria, el cual se presenta en la figura siguiente Proceso
R s
Es
25
Ys
( s 2)(s 4)
La respuesta obtenida del sistema de control sin controlador ante una entrada de un escalón unitario en la entrada de referencia r(t) presenta r(t) presenta un sobreimpulso Mp=14.28%, sobreimpulso Mp=14.28%, un un tiempo de establecimiento ts(5%)=0.915 seg y un error en estado estacionario estacionario ess = 0.2403. 0.2403. En la siguiente figura se presentan ambas respuestas
1
Mcs. Ing. José Machuca Mines
Respuesta al escalón unitario 1.3 1.2
y(t) deseado 1.1
r(t)
1
y(t) sin controlador
0.9 0.8 0.7 ) t ( y 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
t(seg)
Para que el sistema presente un error en estado estacionario ess = 0, el (los) controlador(es) pedido(s) debe(n) incluir un integrador debido que el proceso es de tipo uno. Com el proceso es de segundo orden, entonces con la inclusión del integrador el sistema resultante es de tercer orden y las fórmulas de las especificaciones conocidas, son para un sistema de segundo orden por lo tanto el sistema se debe aproximarse a uno de segundo orden. De las especificaciones pedidas se deducen los valores de los tres polos de lazo cerrado (dos polos dominantes) como:
2
M P (%) 100e 1 9.48% entonces 0.6 3 t s ( 5%) 0.625 seg . entonces n 4.8 n
La frecuencia natural es n
8
rad/seg .
La frecuencia de oscilación amortiguada es n
1
2
6 .4
rad/seg .
Entonces las raíces de lazo cerrado que se pueden elegir para el sistema son: s j 4.8 j6.4 , s 30 El polinomio característico de lazo cerrado del sistema resulta expresado de la siguiente manera:
P( s)
( s2 9.6s 64)(s 30) s3 39.6s2
352s 1920
Para el diseño del sistema de control se pueden elegir y probar tres variantes del controlador PID, cada presenta sus propias características y se debe elegir el diseño que más se aproxime más a la respuesta pedida.
2
Mcs. Ing. José Machuca Mines
Controlador PID:
La estructura de control con controlador PID es la que se muestra a continuación; Proceso
Controlador PID
R(s)
E(s) K
P
K
1 I
s
U(s) K s
Y(s)
25 ( s 2)(s 4)
D
Solu ción a La función de transferencia del controlador PID es ( s) K P C
G
K
1 I
s
K s K s
D
2
K s K
D
P
I
s
La función de transferencia del sistema de lazo cerrado es con el controlador incluido es: y( s ) R(s )
s
3
25( K D s 2
K P s K I )
(25K D 6) s 2
(25K P
8) s 25K I
Igualando los coeficientes de los polinomios característicos deseado P(s) con los coeficiente del sistema de lazo cerrado se obtienen los valores de de los parámetros del controlador. 3
P( s) s
39.6 s2 352 s 1920
Se obtienen las ganancias
K P , K
y
I
K
P
3
s
(25 K D 6) s2 (25 KP 8) s 25 K I
K D respectivamente
13.76 , K
I
76.8
K
como:
D
1.344
El controlador diseñado tiene la siguiente ecuación: G
C
(s ) 13.76 76.8
1 s
1.344s
Solu ción b La función de transferencia de la entrada de referencia r(t) a la salida y(t) del sistema es: Y ( s) R( s)
33.6 s 2
s
3
344s 1920
39.6s
2
352s 1920
33.6( s 2
10.2381s 57.1429)
(s 30)( s
2
9.6s 64)
La función de transferencia anterior se puede aproximar a un sistema de segundo orden como Y ( s) R( s)
33.6 30
( s2
10.2381s 57.1429) (s2
9.6s 64)
Para una entrada de un escalón unitario en r(t), la expresión de la repuesta del sistema de tercer orden en términos de Laplace Y(s) es Y ( s)
Y ( s)
Y ( s)
1 s
0.0769
33.6( s 2
10.2381s 57.1429) 1
( s 30)( s 1 s
2
9.6 s 64)
0.0769 s 2.0308 s
2
9.6s 64
s 4.8
( s 4.8)2
6.42
0.2596
s
1.0769 s 30
6.4 (s 4.8)2
6.42
1.0769 s 30
La expresión de la respuesta y(t) ante un escalón unitario en r(t) en función del tiempo es
3
Mcs. Ing. José Machuca Mines
4.8t
y (t ) 1 e
(0.0769cos(6.4t ) 0.2596s e n(6.4t )) 1.0769e
30t
La grafica de la respuesta y(t) resultante y la gráfica de la respuesta deseada se presentan en la siguiente figura: Respuesta al escalón unitario 1.3
y(t) obtenido
1.2
y(t) deseado
1.1
r(t)
1 0.9
y(t) con PID: Mp=11.31% ts(5%)=0.304 seg.
0.8 0.7 ) t ( y 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
t(seg)
De la gráfica se observa que Mp=11.31% y ts=0.3030 seg y se concluye que el controlador Gc(s) no logra satisfacer las especificaciones pedidas.
Controlador PI-D:
La estructura de control con controlador PI-D es la que se muestra a continuación; Proceso
Controlador PI
R s
Es K
P
K
I
U(s)
1
25
Y(s)
( s 2)(s 4)
s
Controlador D K s D
4
Mcs. Ing. José Machuca Mines
Solu ción a La función de transferencia de los controladores P I y D respectivamente son: (s) K P C1
G
1
K I s
K s K P
I
,
s
G
2
(s )
K s D
La función de transferencia del sistema de lazo cerrado es con el controlador pedido es: y( s) R(s)
25( K P s K I )
s
3
(25K D 6) s 2
(25K P
8) s 25K I
Igualando los coeficientes de los polinomios característicos deseado P(s) con los coeficiente del sistema de lazo cerrado se obtienen los valores de de los parámetros de los controladores. P( s) s
3
39.6 s2 352 s 1920
Se obtienen las ganancias
K P , K
I
K
P
y
3
s
(25 K D 6) s2
K D respectivamente
13.76 , K
I
76.8
K
D
(25 KP 8) 25 K I
como:
1.344
Los controladores diseñados tienen la siguiente ecuación: G
C 1
(s) 13.76 76.8
1
,
s
G
C 2
(s ) 1.344s
Solu ción b La función de transferencia de la entrada de referencia r(t) a la salida y(t) del sistema es: Y (s) R( s)
344s 1920
s
3
39.6s 2
352 s 1920
344(s 5.5814) ( s 30)( s2 9.6s 64)
La función de transferencia anterior se puede apro ximar a un sistema de segundo orden como Y ( s)
R ( s)
344 30
( s 5.5814) (s 2
9.6s 64)
Para una entrada de un escalón unitario en r(t), la expresión de la repuesta del sistema de tercer orden en términos de Laplace Y(s) es Y ( s)
Y ( s)
Y (s)
1 s
1.4142
1 s
344( s 5.5814) ( s 30)( s 2
9.6 s 64) s
1.4142 s 1.1503 s
2
9.6s 64
s 4.8
( s 4.8)2
6.42
1
0.8809
0.4142 s 30
6.4 ( s 4.8) 2
6.42
0.4142 s 30
La expresión de la respuesta y(t) ante un escalón unitario en r(t) en función del tiempo es y (t ) 1 e
4.8t
(1.4142cos(6.4t ) 0.8809s e n(6.4t )) 0.4142e
30 t
La grafica de la respuesta y(t) resultante y la gráfica de la respuesta deseada se presentan en la siguiente figura:
5
Mcs. Ing. José Machuca Mines
Respuesta al escalón unitario 1.4
y(t) obtenido
1.3 1.2
y(t) deseado
1.1
r(t)
1 0.9 0.8
y(t) con P-ID: Mp=31.09% ts(5%)=0.574 seg.
) t ( 0.7 y
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
t(seg)
De la gráfica se observa que Mp=31.09% y ts=0.5740 seg y se concluye que el controlador Gc(s) no logra satisfacer las especificaciones pedidas.
Controlador I-PD:
La estructura de control con controlador I-PD es la que se muestra a continuación; Proceso
Controlador I
R(s)
E(s) K
I
U(s)
1
25
Y(s)
( s 2)( s 4)
s
Controlador PD K
P
K s D
Solu ción a La función de transferencia de los controladores P I y D respectivamente son: (s) K I C1
G
1 s
,
G
2
(s) K P K D s
La función de transferencia del sistema de lazo cerrado es con el controlador pedido es:
6
Mcs. Ing. José Machuca Mines
y( s) R(s)
25 K I s
3
(25K D 6) s 2
(25K P
8) s 25K I
Igualando los coeficientes de los polinomios característicos deseado P(s) con los coeficiente del sistema de lazo cerrado se obtienen los valores de de los parámetros de los controladores. 3
P( s) s
39.6 s2 352 s 1920
Se obtienen las ganancias
K P , K
I
y
3
s
(25 K D 6) s2 (25 KP 8) s 25 K I
K D respectivamente
K P 13.76 ,
K
I
76.8
K
D
como:
1.344
Los controladores diseñados tienen la siguiente ecuación: G
C 1
(s )
1 76.8 ,
G
C 2
s
(s ) 13.76 1.344s
Solu ción b La función de transferencia de la entrada de referencia r(t) a la salida y(t) del sistema es: Y ( s) R( s)
1920
s
3
39.6s 2
352 s 1920
1920 ( s 30)(s2 9.6s 64)
La función de transferencia anterior se puede aproximar a un sistema de segundo orden como Y ( s) R( s)
64 s
2
9.6s 64
Para una entrada de un escalón unitario en r(t), la expresión de la repuesta del sistema de tercer orden en términos de Laplace Y(s) es Y ( s)
Y ( s)
Y ( s)
1 s
0.9053
1 s
1920 ( s 30)( s 2
1
9.6 s 64) s
0.9053 s 11.5314 s
2
9.6s 64
s 4.8
( s 4.8) 2
6.42
1.1228
0.0947 s 30
6.4 ( s 4.8) 2
6.42
0.0947 s 30
La expresión de la respuesta y(t) ante un escalón unitario en r(t) en función del tiempo es 4.8t
y (t ) 1 e
(0.9053cos(6.4t ) 1.1228se n(6.4t )) 0.0947e 30t
La grafica de la respuesta y(t) resultante y la gráfica de la respuesta deseada se presentan en la siguiente figura:
7
Mcs. Ing. José Machuca Mines
Respuesta al escalón unitario 1.3
y(t) deseado
1.2 1.1
r(t)
1 0.9 0.8
y(t) con I-PD: Mp=9.08% ts(5%)=0.688 seg.
0.7 ) t ( y 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
y(t) obtenido
0.1 0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
t(seg)
De la gráfica se observa que Mp=9.08% y ts=0.688 seg y se concluye que el controlador Gc(s) no logra satisfacer las especificaciones pedidas. En el siguiente gráfico se presentan las respuestas debido a los distintos integradores de forma comparativa con la respuesta del sistema pedido. Respuestas al escalón unitario 1.4 1.3 1.2 1.1
r(t)
1 0.9
y(t) deseado
0.8 ) t ( 0.7 y
0.6
y(t) con PID
0.5
y(t) con PI-D
0.4
y(t) con I-PD
0.3 0.2 0.1 0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
t(seg)
8
Mcs. Ing. José Machuca Mines
Soluci ón c La función de transferencia de la entrada de referencia R(s) a la variable de error E(s) del sistema con controlador PID es: E ( s) R( s)
R( s) R( s)
Y ( s) R( s)
1
33.6( s2 10.2381s 57.1429) ( s 30)( s
2
9.6 s 64)
( s 2)( s 4) s ( s 30)( s2
9.6 s 64)
Para una entrada de un escalón unitario en r(t), la expresión de la variable de error en términos de Laplace E(s) es E ( s)
( s 2)( s 4) ( s 30)( s 2
9.6 s 64)
1
La expresión de la variable de error e(t) en función del tiempo es e(t)= La función de transferencia de la entrada de referencia R(s) a la variable de error E(s) del sistema con controlador PI-D es: E ( s) R( s)
R( s) R( s)
Y ( s) R( s)
1
344( s 5.5814) ( s 30)( s 2
9.6s 64)
( s2
39.6 s 8) s
( s 30)( s2
9.6 s 64)
Para una entrada de un escalón unitario en r(t), la expresión de la variable de error en términos de Laplace E(s) es E ( s)
( s 2
39.6 s 8)
( s 30)( s 2
9.6 s 64)
1
La expresión de la variable de error e(t) en función del tiempo es e(t)= La función de transferencia de la entrada de referencia R(s) a la variable de error E(s) del sistema con controlador I-PD es: E ( s) R( s)
R( s) R( s)
Y ( s) R( s)
1
1920 ( s 30)( s 2
9.6 s 64)
( s2
39.6 s 352) s
( s 30)( s2 9.6 s 64)
Para una entrada de un escalón unitario en r(t), la expresión de la variable de error en términos de Laplace E(s) es E ( s)
( s 2
39.6s 352)
( s 30)( s 2
9.6 s 64)
1
La expresión de la variable de error e(t) en función del tiempo es e(t)= La gráfica que contiene a las variables del error e(t) para los distintos controladores ante una entrada de un escalón unitario en r(t) se muestra a continuación:
9
Mcs. Ing. José Machuca Mines
Señales de error ante e scalón unitario 1.2 1.1
r(t)
1 0.9 0.8 0.7
e(t) con PID
0.6
e(t) con PI-D
0.5 ) t ( e
e(t) con I-PD
0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
t(seg)
La función de transferencia de la entrada de referencia R(t) a la variable de control U(s) usando el controlador PID es: U ( s) R( s)
U ( s) Y ( s) Y ( s) R( s)
( s 2)( s 4) 25
33.6( s2 10.2381s 57.1429) ( s 30)( s
2
9.6s 64)
Para una entrada de un escalón unitario en r(t), la expresión de la variable de control en términos de Laplace U(s) es: U ( s)
33.6 25
( s 2)( s 4)( s 2 10.2381s 57.1429) ( s 30)( s
2
9.6s 64)
1 s
La expresión de la variable de control u(t) en función del tiempo es u(t)= La función de transferencia de la entrada de referencia R(t) a la variable de control U(s) usando controlador P-ID es: U ( s) R( s)
U ( s) Y ( s) Y ( s) R( s)
( s 2)( s 4) 25
344( s 5.5814) ( s 30)( s 2
9.6s 64)
Para una entrada de un escalón unitario en r(t), la expresión de la variable de control en términos de Laplace U(s) es: U ( s)
344
( s 2)( s 4)( s 5.5814)
25 ( s 30)( s 2
9.6 s 64)
1 s
La expresión de la variable de control u(t) en función del tiempo es u(t)= La función de transferencia de la entrada de referencia R(t) a la variable de control U(s) usando controlador P-ID es:
10
Mcs. Ing. José Machuca Mines
U ( s) R( s)
U ( s) Y ( s) Y ( s) R( s)
( s 2)( s 4) 25
1920 ( s 30)( s 2
9.6s 64)
Para una entrada de un escalón unitario en r(t), la expresión de la variable de control en términos de Laplace U(s) es: U ( s)
1920
( s 2)( s 4)
25 ( s 30)( s 2
9.6 s 64)
1 s
La expresión de la variable de control u(t) en función del tiempo es u(t)= La gráfica que contiene a las variables del esfuerzo u(t) para los distintos controladores ante una entrada de un escalón unitario en r(t) se muestra a continuación: Señales de esfuerzo ante escalón unitario 13 10
u(t) con PI-D
7
u(t) con I-PD
4 1 -2 -5 ) t ( u
-8 -11
u(t) con PID
-14 -17 -20 -23 -26 -29 -32 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
t(seg)
11
Mcs. Ing. José Machuca Mines
