BAB 7 DINAMIKA PENGEMUDIAN 7.1 Kinematika Pengemudian
Kendaraan
kemudi roda depan berbelok tanpa selip. dinamakann kondisi Ackerman :
l : wheelbase W : track
FIGURE 7.1. A front-wheel-steering vehicle and the Ackerman condition.
FIGURE 7.2. A front-wheel-steering front-wheel-steering vehicle and steer angles of the t he inner and outer wheels. 1
dengan δ rata-rata cotangen (cot-average) dari sudut belok roda dalam dan roda luar :
Penjelasan
Tidak ada mekanisme pengemudian pengemudian sistem 4-batang 4-batang yang yang mendapatkan mendapatkan kondisi Ackerman secara secara sempurna.
Sistem banyak-batang banyak-batang (multi-bar linkages) dapat mendekati kondisi tersebut, atau bahkan tepat pada sudut tertentu.
FIGURE 7.3. Equivalent bicycle model f or a front-wheel-steering front-wheel-steering vehicle.
2
FIGURE 7.4. Effect of w/l on the Ackerman condition for front-wheel-steering vehicles. (ralat : sb horosontal : δ i ; sb vertikal δo)
Contoh 259 Kebutuhan ruangan (space). Lihat Gambar 7.5.
FIGURE 7.5. The required r equired space for a turning two-axle vehicle.
3
dan diperoleh :
wv > w
(7.22)
FIGURE 7.6. A trapezoidal steering mechanism.
Contoh 260 Mekanisme pengemudian trapezoidal. Lihat Gambar 7.6
mengilustrasikan suatu hubungan 4-batang simetris, yang dinamakan mekanisme pengemudian trapezoidal, yang telah diterapkan selama lebih dari 100 tahun.
mekanisme tersebut memiliki dua parameter watak (karakteristik), yaitu sudut β dan panjang lengan samping (offset arm length), d.
Posisi
belok mekanisme
trapesoidal
diperlihatkan
pada gambar
7.7,
untuk
menunjukkan sudut belok dalam dan luar δi dan δo. Hubungan antara sudut belok dalam dan luar pada mekanisme tersebut adalah :
4
Bukti Lihat pada gambar 7.8. Dalam Δ ABC dapat dituliskan:
dengan manipulasi dapat diturunkan persamaan (7.23).
FIGURE 7.7. Steered configuration of a t rapezoidal steering mechanism.
FIGURE 7.8. Trapezoidal steering triangle ABC.
5
FIGURE 7.9. Behavior of a trapezoidal steering mechanism, compared to the
Untuk menguji mekanisme kemudi trapesoidal dibandingkan dengan kondisi Ackerman, didefinisikan prameter kesalahan e = δDo −δ Ao.
FIGURE 7.10. The error parameter e = δDo − δ Ao for a sample trapezoidal steering mechanism.
Contoh 261 Sumbu belakang terkunci
Desain sederhana
biasanya digunakan pada kereta mainan, kendaraan off-road kecil semisal mini Baja.
Dari gambar 7.2.
dan kecepatan roda belakang luar adalah : 6
ωri = ωro = ω
(7.28)
namun demikian
yang menunjukkan bahwa tidak mungkin sumbu terkunci bila w tidak sama dengan nol.
FIGURE 7.11. A rear-wheel-steering vehicle.
Contoh 262 Kemudi-roda-belakang
digunakan bila diperlukan kemampuan manuver yang tinggi pada kendaraan kecepatan rendah, seperti misalnya forklift.
tidak digunakan pada kendaraan jalan raya, karena tidak stabil pada kecepatan tinggi.
Pusat rotasi pada kendaraan kemudi-roda-belakang selalu terletak pada titik yang segaris dengan sumbu depan.
Contoh 263 Persamaan sudut belok kinematis alternatif Bila kecepatan anguler roda dalam dan luar masing-masing ωi dan ωo, sudut belok kinematis roda depan diungkapkan sebagai :
7
FIGURE 7.12. Kinematic condition of a F W S vehicle using the angular velocity of the inner and outer wheels.
FIGURE 7.13. Kinematic steering condition for a vehicle with different tracks in the front and in the back.
8
Contoh 264 Track depan dan belakang yang tidak sama diilustrasikan pada gambar 7.13. Kecepatan anguler kendararan :
(ralat : mestinya dan sudut belok kinematis roda depan :
wf adalah track depan, w r track belakang, dan R w adalah radius roda.
Contoh 265. Penggerak-roda belakang independen Lihat gambar Gambar 7.14
digunakan pada kendaraan keperluan khusus, seperti misalnya penjelajah bulan, dan autonomous mobile robots,
masing-masing roda penggerak mungkin disambungkan dengan motor yang dikontrol secara independen
mampu berbelok lebih dari 90 0 ke kiri atau ke kanan.
Pada sebarang skenario di atas, sudut belok roda depan hendaknya dicari dengan persamaan yang sesuai, misalnya persamaan (7.40) dan (7.41). Rasio antara kecepatan anguler roda gerak luar dengan roda gerak dalam ωo/ωi, dapat ditentukan dengan menggunakan sudut belok luar atau dalam
9
FIGURE 7.14. A highly steerable vehicle. 10
Contoh 266 Pengemudian kendaraan balap
Prinsip Ackerman atau pengemudian kinematis merupakan kondisi yang benar ketika kecepatan membelok kendaraan lambat.
Ketika kendaraan membelok cepat, diperlukan percepatan lateral yang signifikan, dan oleh sebab itu roda bekerja pada sudut slip yang besar. Lagi pula, beban roda dalam akan jauh lebih kecil dari pada roda luar. Kurva unjuk kerja menujukkan bahwa dengan memperbesar beban, diperlukan sudut slip yang lebih kecil untuk mendapatkan puncak gaya lateral. Dalam kondisi ini roda depan dalam dari kendaraan dengan pengemudian kinematis akan berada pada sudut slip yang lebih besar dari pada yang diperlukan yang diperlukan untuk memperoleh gaya lateral maksimum.
FIGURE 7.15. By increasing the speed at a turn, parallel or reverse steering is needed instead of Ackerman steering.
Oleh sebab itu, roda dalam pada kendaraan yang membelok cepat harus bekerja pada sudut belok yang lebih kecil daripada pembelokan kinematis. Dengan mengurangi sudut belok roda dalam, maka perbedaan sudut belok roda dalam dan luar juga berkurang. Untuk
kendaraan
balap,
umunya
menggunakan
pembelokan
sejajar
atau
berlawanan. Pembelokan Ackerman, sejajar dan berlawanan ditunjukkan pada gambar 7.15. Sudut belok yang benar merupakan fungsi beban roda sesaat, kondisi jalan, kecepatan dan karakteristik ban. Lagi pula, kendaraan harus mampu membelok pada kecepatan rendah, pada kondisi belok Ackerman.
Sedangkan
tidak ada mekanisme kemudi ideal tanpa
pengaturan sudut belok pada setiap roda kemudi secara independen dengan menggunakan sistem yang smart.
Contoh 268 Sejarah adanya kondisi Ackerman
11
Geometri mengemudi yang benar merupakan persoalan utama pada kereta kuda, dan kendaraan jaman dulu. Kereta dan alat angkut beroda-enam atau empat selalu meninggalkan goresan karet di belakangnya. Itulah sebabnya banyak kereta dan alat angkut yang beroda tiga di jaman dulu. Persoalannya adalah bagaimana membuat suatu mekanisme agar roda dalam membelok dengan radius yang lebih kecil bila dibandingkan dengan roda luar ketika kendaraan berjalan dengan lintasan melingkar. Kondisi geometris yang dibutuhkan pada alat angkut roda empat dengan kemudi-roda-depan diperkenalkan pada
tahun
1816
oleh
George
Langensperger
di
Munich,
Jerman.
Mekanisme
Langensperger ditunjukkan pada gambar 7.16.
FIGURE 7.16. Langensperger invention for t he steering geometry condition.
Rudolf
Ackerman
bertemu
Langensperger
dan
melihat
penemuannya.
Ackerman
mendaftarkan patent Langensperger di London dan memperkenalkan penemuannya kepada pembuat alat angkut di Inggris. Pabrik pembuat kereta telah mengadopsi dan menyempurnakan geometri Ackerman bagi mekanisme kemudinya sejak tahun 1881. Desain dasar sistem kemudi kendaraan hanya sedikit berubah sejak penemuan mekanisme kemudi tersebut. Input dari pengemudi di teruskan dengan poros lewat mekanisme reduksi roda-gigi untuk membangkitkan gerakan kemudi pada roda depan. 12
7.2 Kendaraan dengan lebih dari dua sumbu Bila suatu kendaraan memiliki lebih dari dua sumbu, maka semua sumbu, kecuali satu, harus dapat dikemudikan, agar dapat membelok tanpa-slip pada kecepatan nol. Ketika suakendaraan dengan n-sumbu, ada n-1 kondisi kemudi geometris. Suatu kendaraan dengan dua sumbu yang dapat dikemudikan diperlihatkan pada gambar 7.17. Untuk mengindikasikan geometri kendaraan multi-sumbu, dimulai dari sumbu depan dan dihitung jarak longitudinal, a i, antara sumbu i dengan pusat massa C. Dengan demikian, untuk kendaraan tersebut, a 1 adalah jarak antara sumbu depan dengan C, dan a 2 adalah jarak antara sumbu ke-2 dengan C. Lebih lanjut, nomor roda dihitung dalam arah jarum jam, dari roda penggerak untuk nomor 1. Untuk kendaraan bersumbu-3 diperlihatkan pada gambar 7.17, there are two indepen
FIGURE 7.17. Steering of a three-axle vehicle.
Gambar 7.17 menujukkan suatu kendaraan bersumbu-3, terdapat dua kondisi Ackerman yang independen :
Contoh 269 Kendaraan enam-roda dengan satu sumbu kemudi
13
Ketika suatu kendaraan multi-sumbu hanya memiliki satu sumbu yang dapat dikemudikan, maka tidak mungkin tadak terjadi slip pada roda yang tak dapat dikemudikan. Panjang kinematis atau wheelbase kendaraan tersebut tidak jelas, dan tak mungkin mendefinisikan suatu kondisi Ackerman. Pada kendaraan ini akan t erjadi keausan yang parah pada bannya, khususnya pada kecepatan rendah dan sudut belok yang besar. Oleh karena itu, kombinasi semacam itu tidak dianjurkan such a combination is not recommended. Meskipun demikian, dalam hal kendaraan panjang dengan tiga-sumbu dengan dua sumbu yang tak dikemudikan saling berdekatan, dapat dilakukan analisis pendekatan pada kecepatan rendah. Gambar 7.18 mengilustrasikan kendaraan enam-roda dengan hanya satu sumbu kemudi di depan. Mekanisme kemudi didesain sedemikian sehingga pusat rotasi O terletak di garis latelal (menyamping), yang dinamakan garis tengah (midline), di antara kedua sumbu belakang. Panjang kinematis kendaraan, l, adalah jarak antara sumbu depan dengan garis tengah (midline). Untuk perancangan ini berlaku :
FIGURE 7.18. A six-wheel vehicle with one steerable axle in front.
dan
14
Pusat sumbu depan dan pusat massa kendaraan berputar terhadap O dengan radius R f dan R, masing-masing :
Bila radius rotasi sangat besar bila dibandingkan dengan wheelbase, maka persamaan (7.48) dan (7.49) dapat didekati dengan :
FIGURE 7.19. A self-steering axle mechanism for locomotive wagons.
Untuk menghindari terjadinya keausan yang parah, salah satu sumbu hendaknya memungkinkan dapat diangkat ketika beban tidak terlalu berat. Untuk kendaraan semacam ini, dapat didesain mekanisme kemudi mengikuti kondisi Ackerman, berbasis wheelbase untuk kendaraan dengan sumbu yang tak dapat diangkat. Namun demikian, bila kendaraan ini membawa muatan yang berat dan semua sumbu digunakan, sumbu yang dapat diangkat tersebut akan mengalami keausan parah, pada sudut belok besar.
15
Pilihan lain bagi kendaraan multi-sumbu adalah dengan menggunakan roda kemudisendiri (self-steering wheels). yang mampu menyesuaikan sendiri untuk meminimalkan gesekan samping (sideslip). Roda semacam itu tak mampu memberikal, dan dengan begitu, tak mampu banyak membantu dalam manuver. Roda kemudi-sendiri digunakan pada buggie and trailer. Mekanisme sumbu kemudi-sendiri untuk kendaraan lokomotif diperlihatkan pada gambar 7.19.
7.3 Kendaraan dengan Trailer Bila kendaraan roda-4 dipasang suatu trailer dengan satu sumbu, dapat diturunkan kondisi kinematis untuk kondisi kemudi tanpa-slipI. Gambar 7.20 mengillustrasikan suatu kendaraan dengan traler satu-sumbu. Pusat massa k endaraan akan memutar dengan radius R, sedangkan trailer memutar dengan radius R t.
Pada kondisi steady-state, sudut antara trailer dan kendaraan adalah :
16
FIGURE 7.20. A vehicle with a one-axle trailer.
Bukti. Dengan memperhatikan segi-3 ΔOAB pada gambar 7.20, radius rotasi trailer R t dapat dituliskan sebagai :
Karena panjang OB adalah :
Dengan mensubstitusikan R 1 dari persamaan (7.6) ternyata bahwa hubungan antara radius rotasi trailer dengan geometri kendaraan adalah :
17
FIGURE 7.21. Two possible angle θ for a set of (Rt, b1, b2).
Dengan menggunakan persamaan Rt sin θ = b1 + b2 cos θ
(7.61)
dan dengan menggunakan trigonometri, dapat dihitung sudut θ, antara trailer dengan kendaraan seperti pada persamaan (7.55). Tanda minus pada persamaan (7.55), yaitu pada
, dalam hal b 1 –
b2 ≠ 0, adalah digunakan untuk gerakan maju, sedangkan tanda plus adalah solusi untuk gerakan mundur. Kedua kemungkinan konfigurasi θ pada suatu pasangan (Rt, b1, b2) ditunjukkan pada gambar 7.21. θ2 dinamakan konfigurasi jackknifing.
Contoh 270 Dua kemungkinan sudut trailer-kendaraan. Misalkan suatu kendaraan empat-roda yang menarik tariler sumbu-tunggal d: l = 103.1 in ≈ 2.619m w = 61.6 in ≈ 1.565m b1 = 24in≈ 0.61m b2 = 90in≈ 2.286m δi = 12deg≈ 0.209 rad (7.62) Karakteristik pengemudian kinematis kendaraan adalah :
18
Contoh 271 Kebutuhan ruangan. Kondisi
pengemudian
kinematis
kendaraan
dengan
trailer
dapat
digunakan
untuk
menghitung kebutuhan ruangan ketika membelok. Misalkan roda depan dari kendaraan dua-sumbu yang dipasangi trailer dikemudikan sesuai dengan geometri Ackerman, seperti terlihat pada gambar 7.22. Titik luar roda depan akan berjalan dengan radius maksimum R Max, sedangkan suatu titik di sisi dalam roda belakang trailer akan berjalan dengan radius minimum R min. Radius maksimum RMax adalah :
Dengan :
dan lebar kendaraan ditunjukkan dengan w v. Ruangan yang dibutuhkan untuk membelok kendaraan dan trailer adalah cicincin denagn lebar 4R, yang merupakan fungsi geometri kendaraan dan trailer. 4R = RMax − Rmin
(7.71)
19
FIGURE 7.22. A two-axle vehicle with a trailer is steered according to the Ackerman condition.
Kebutuhan ruangan 4R dapat dihitung berdasarkan sudut belok dengan mensubstitusi R min
7.4 Mekanisme Pengemudian Suatu sistem pengemudian dimulai dari roda stir atau handel stir. Pengemudi memberikan input kemudi yang diteruskan dengan poros ke sistem reduksi roda gigi, biasanya rack-and pinion atau recirculating ball bearings. Output roda gigi kemudi diteruskan ke roda kemudi untuk menghasilkan gerakan melalui mekanisme kemudi. Tuas, yang meneruskan gaya kemudi dari roda-gigi kemudi ke rangkaian kemudi (steering linkage), dinamakan lengan Pitman.
20
Arah tiap roda dikendalikan dengan lengan kemudi. Lengan kemudi dihubungkan dengan roda kemudi dengan pasak, pengunci dan hub. Pada beberapa kendaraan, hub dan ruas kemudi (steering knuckle) merupakan satu kesatuan. Untuk memperoleh kemampuan manuver yang tinggi, suatu sistem kemudi harus dapat memperoleh sudut belok roda depan minimum kira-kira 35 0, pada kendaraan penumpang. Suatu
contoh
mekanisme
kemudi
jajaran-genjang
dan
komponen-komponennya
diperlihatkan pada gambar 7.23. Linkage kemudi jajaran ganjang umum digunakan pada kendaraan roda depan independen. Ada banyak macam mekanisme kemudi dengan keunggulan dan kekurangannya masing-masing.
Contoh 272 Rasio kemudi. Rasio kemudi adalah sudut rotasi handel kemudi dibagi dengan sudut belok roda kemudi. Rasio kemudi kendaraan jalan raya berkisar antara 5 : 1 hingga 20 : 1. Rasio kemudi pada kemudi Ackerman berbeda antara roda dalam dan roda luar. Lagi pula rasio tersebut memiliki watak tidak linier dan sebagai fungsi sudut roda.
Contoh 273 Kemudi batang-dan-roda-gigi (Rack-and-pinion steering). Batang-dan-roda-gigi adalah sistem yang paling umum pada kendaraan penumpang. Gambar 7.24 mengilustrasikan suatu contoh sistem batang-dan-roda-gigi. Batang-gigi dapat di depan atau di belakang sumbu kemudi. Putaran dari handel kemudi δS diteruskan oleh kotak kemudi menjadi gerakan translasi batang gigi u R = uR (δS), dan kemudian oleh drag links ke roda kemudi menjadi δi = δi (uR),δo = δo (uR). Drag link disebut juga tie rod . Rasio kemudi secara menyeluruh tergantung pada rasio kotak kemudi dan pada kinematika linkage kemudi.
FIGURE 7.23. A sample parallelogram steering linkage and its components.
21
FIGURE 7.24. A rack-and-pinion steering system.
Contoh 274. Sistem kemudi lengan tuas Gambar 7.25 mengilustrasikan suatu linkage kemudi yang kadang-kadang dinamakan sistem
kemudi
lengan
tuas.
Dengan
menggunakan
sistem
kemudi
lengan
tuas,
memungkinkan untuk mendapatkan sudut belok yang lebih besar. Sistem kemudi ini digunakan pada truk dengan wheel base yang besar dan suspensi roda independen pada poros depan. Kotak kemudi dan segi-3 dapat juga dipasang di luar pusat sumbu.
FIGURE 7.25. A lever arm steering system.
Example 275 Sistem kemudi drag link Ada kalanya akan lebih baik mengirimkan perintah kemudi hanya ke satu roda dan menghubungkannya ke roda lainnya dengan drag link, seperti terlihat pada gambar 7.26. Linkage kemudi semacam ini biasanya digunakan pada truk dan bus dengan sumbu depan yang solid. Gerakan rotasi handel kemudi diubah oleh kotak kemudi menjadi gerak rotasi lengan kemudi, kemudian ke gerak rotasi roda kiri. Suatu drag link meneruskan gerak rotasi roda kiri ke gerak rotasi roda kanan.
22
FIGURE 7.26. A drag link steering system.
Gambar 7.27 menunjukkan menunjukkan cuatu contoh menghubungkan menghubungkan mekanisme kemudi kemudi ke lengan Pitman arm roda kiri dengan menggunakan suatu linkage tarapesoidal, gna menghubungkan menghubungkan roda kanan dengan roda kiri.
FIGURE 7.27. Connection of the Pitman arm to a trapezoidal steering mechanism.
Contoh 276 Mekanisme kemudi link-banyak. Pada bus dan trukyang besar, pengemudi mungkin duduk lebih dari 2 m di depan sumbu depan. Kendaraan semacam ini membutuhkan sudut belok yang besar pada roda depanagar dapat bermanuver dengan baik. Dengan demikian diperlukan mekanisme kemudi link-banyak yang lebih rumit. Suatu contoh mekanisme kemudi link-banyak diperlihatkan pada gambar 7.28. Gerakan rotasi handel kemudi diteruskan oleh kotak kemudi ke lengan tuas kemudi. Lengan tuas dihubungkan dengan linkage penerus, yang memutar roda kiri dan kanan dengan batang ban panjang (long tire rod). 23
FIGURE 7.28. A multi-link steering mechanism. mechanism.
Contoh 277 Efisiensi balik. Kemampuan mekanisme kemudi untuk mengumpan balik input dari jalan ke pengemudi dinamakan efisiensi balik. Dengan merasakan torsi yang kemudi yang bekerja atau momen pelurusan (aligning moment) akan membantu pengemudi untuk membelok secara lebih halus. helps the driver to make smoother turn. Roda gigi kemudi model rack-and pinion dan recirculating ball memiliki umpan balik torsi kemudi roda ke pengemudi. Namun demikian, roda gigi kemudi jenis cacing dan sektor gigi memiliki umpan balik yang sangat lemah. Umpan balik yang rendah mungkin diperlukan untuk kendaraan off-road, guna mengurangi kelelahan pengemudi. Dengan alasan keselamatan, umpan balik torsi kemudi hendaknya proporsional terhadap kecepatan kendaraan. Dalam hal ini, torsi yang diperlukan untuk mengemudikan kendaraan akan lebih besar pada kecepatan kendaraan yang lebih besar. Kemudi semacam itu akan mencegah sudut belok yang besar dan tajam. Peredam kemudi dengan koefisien redaman yang membesar terhadap kecepatan adalah mekanisme yang mampu memiliki sifat seperti itu. Suatu peredam kemudi dapat juga mengurangi getaran akibat goncangan.
Contoh 278 Power steering. Power steering telah dikembangkan sejak tahun 1950 an ketika pertama kali diperkenalkan sistem kemudi dengan bantuan tenaga hidrolis. Sejak saat itu, bantuan daya menjadi komponen standar pada sistem kemudi kendaraan. Dengan menggunakan tekanan hidrolis yang disupli dari poma, yang digerakkan oleh motor, memperkuat torsi yang diberikan oleh pengemudi. pada handel kemudi. Akibatnya, kerja mengemudi menjadi berkurang. Pada tahun akhir-akhir ini, diperkenalkan penguat torsi elllektris pada sistem kemudi automotif, 24
sebagai ganti penguat hidrolis. Power steering elektris lebih efisien daripada power steering konvensional, karena motor listrik hanya bekerja bilamana handel kemudi diputar, sedangkan pompa hidrolis bekerja terus menerus. Tingkat bantuan yang diperlukan dapat disesuaikan dengan tipe kendaraan, kecepatan, dan kesukaan pengemudi.
Example 279 Bump steering. The steer angle generated by the vertical motion of the wheel with respect to the body is called bump steering. Bump steering is usually an undesirable phenomenon and is a function of the suspension and steering mechanisms. If the vehicle has a bump steering character, then the wheel steers when it runs over a bump or when the vehicle rolls in a turn. As a result, the vehicle will travel in a path not selected by the driver. Bump steering occurs when the end of the tie rod is not at the instant center of the suspension mechanism. mechanism. Hence, in a suspension deflection, deflection, the suspension and steering mechanisms will rotate about different centers.
Contoh 280 Sumbu kemudi kemudi bergeser bergeser (Offset steering axis) axis) Secara teoristis, sumbu kemudi masing-masing roda kemudi harus vertikal lewat pusat roda pada bidang ban, untuk meminimalkan torsi kemudi yang diperlukan. Gambar 7.27 adalah suatu contoh mengepaskan pusat roda dengan sumbu kemudi. Namun demikian, mungkin memasang roda ke mekanisme kemudi, dengan sumbu bergeser, seperti terlihat pada gambar 7.29. Gambar 7.30 menggambarkan mekanisme trapesoida kemudi dengan pemasangan roda yang bergeser. Lintasan gerak pusat tapak-roda pada desain ini adalah suatu lingkaran dengan radius e yang sama dengan lengan geser (offset arm). Desain semacam ini tidak dianjurkan untuk kendaraan jalan-raya, khususnya karena torsi kemudi yang sangat besar pada keadaan berhenti. Namun demikian torsi kemudi akan berkurang secara dramatis bila kendaraan bergerak.Lagi pula, desain
offset kadang-kadang
menjadikan lebih lebih banyak tempat pemasangan peralatan peralatan lain, dan mudah dibuat. dibuat. Sehingga hal tersebut dapat digunakan pada kendaraan off-road kecil kecil atau kendaraan k endaraan mainan.
25
FIGURE 7.29. An offset design for wheel attachment to an steering mechanism.
FIGURE 7.30. Offset attachment of steerable wheels to a trapezoidal steering mechanism.
7.5 Kemudi 4-roda. Pada kecepatan yang sangat rendah, harus digunakan kondisi pengemudian kinematis, yaitu garis yang tegak-lurus terhadap masing-masing roda berpotongan pada satu titik. Titik potong tersebut merupakan pusat belok kendaraan. Gambar 7.31 menggambarkan kendaraan kemudi 4-roda positip, dan gambar 7.32 meggambarkan kendaraan 4W S negatip. Pada situasi 4W S positip, roda depan dan belakang membelok pada arah yang sama, sedangkan pada 4W S negatip, roda depan dan belakang membelok pada arah yang berlawanan. Kondisi kinematis antara sudut belok pada kendaraan 4W S adalah :
.
26
FIGURE 7.31. A positive four-wheel steering vehicle.
dengan, wf dan wr adalah track depan dan belakang, δif dan δof adalah sudut belok roda depan dalam dan luar, δir dan δor adalah sudut belok roda belakang dalam dan luar, dan l adalah wheelbase kendaraan.
FIGURE 7.32. A negative four-wheel steering vehicle.
Dengan demikian kita juga dapat menggunakan persamaan yang lebih umum untuk kondisi kinematis di antara sudut belok pada kendaraan 4W S : 27
dengan δfl dan δfr masing-masing sudut belok roda kiri depan dan kanan depan, dan δrl dan δrr sudut belok roda kiri dan kanan belakang.
FIGURE 7.33. Sign convention for steer angles.
Bila didefinisikan sudut belok seperti perjanjian (ketentuan) pada gambar 7.33, maka persamaan (7.73) mengungkapkan kondisi kinematis untuk sistem 4W S positip dan negatip. Dengan menggunakan kerangka (frame) koordinat (x w, yw, zw), didrfinisikan sudut belok sebagai sudut antara sumbu-x dengan sumbu-y, dihitung terhadap sumbu-z. Dengan demikian, sudut belok positip bila berbelok ke kiri, dan negatip bila berbelokke kanan. Bukti : Kondisi yang diperlukan agar tanpa-slip untuk roda suatu 4W S ketika berbelok adalah garis normal ke tiap bidang roda berpotongan pada satu titik. Ini merupakan kondisi kemudi kinematis. Gambar 7.34 mengilustrasikan suatu kendaraan 4W S berbelok ke kiri. Pusat belokan O terletak di sebelah kiri, dan roda dalam adalah roda kiri, yaitu yang lebih berdekatan dengan pusat belok. Jarak longitudinal antara titik O dengansumbu kendaraan dinyatakan dengan c 1 dan c2, dihitung dari kerangka koordinat bodi. Sudut belok roda depan dalam dan luar, δif , δof dihitung dari segi-3 ΔOAE dan ΔOBF, sedangkan sudut belok roda belakang dalam dan luar δ ir , δor dihitung dari segi-3 ΔODG dan ΔOCH sbb :
28
Denga mengeliminasi R 1 antara persamaan (7.75) dan (7.76)
diperoleh kondisi kinematis :
FIGURE 7.34. Illustration of a negative four-wheel steering vehicle in a left turn.
29
Dengan cara yang sama, dapat dieliminasi R 1 antara persamaan (7.77) dan (7.78) :
diperoleh kondisi kinematis antara sudut belok roda belakang δir dan δor
Dengan menggunakan ketetapan :
dapat digabungkan persamaan (7.81) dan (7.84) :
untuk mendapatkan kondisi kinematis (7.73) antara sudut roda depan dan roda belakang pada kendaraan 4W S positip.
FIGURE 7.35. Illustration of a positive four-wheel steering vehicle in a left turn.
Gambar 7.35 mengilustrasikan suatu kendaraan 4W S negatip ketika berbelok. Pusat belok O terletak di sebelah kiri, dan roda dalam adalah roda kiri, yaitu tang lebih berdekatan dengan pusat belok . Sudut belok roda depan dalam dan luar δif , δof dapat dihitung dari
30
segi-3 ΔOAE dan ΔOBF, sedangkan sudut belok roda belakang dalam dan luar δir , δor dapat dihitung dari segi-3 ΔODG dan ΔOCH sebagai berikut :
Dengan mengeliminasi R 1 dari persamaan (7.87) dan (7.888)
diperoleh kondisi kinematis antara sudut belok roda depan δif dan δof :
Dengan cara yang sama, dengan mengeliminasi R 1 dari persamaan (7.89) dan (7.90) :
diperoleh kondisi kinematis di antara sudut belok belakang δir dan δor :
Dengan menggunakan ketetapan bahwa : c1 − c2 = l
(7.97)
persamaan (7.93) dan (7.96) dapat digabungkan untuk mendapatkan :
yang merupakan kondisi kinematis (7.73) antara sudut belok roda depan dan roda belakang pada kendaraan 4W S negatip. 31
Dengan menggunakan kesepakatan tanda seperti terlihat pada gambar 7.33, akan diuji kembali gambar 7.35 dan 7.34. Ketika sudut belok roda depan positip, dan sudut belok belakang negatip, pada sistem 4W S negatip, dan positip pada sistem 4W S positip. Dengan demikian persamaan (7.74) menjadi
dapat mengungkapkan kondisi kinematis untuk kedua sistem 4W S, baik positip maupun negatip. Dengan cara yang sama, persamaan berikut secara unik dapat mencari c 1 dan c2 tanpa memandang sistem 4W S negatip atau positip.
Kemudi 4-roda atau kemudi semua-roda, AW S, dapat digunakan pada kendaraan untuk memperbaiki respon pengemudian, meningkatkan stabilitas pada manuver kecepatan tinggi, atau memperkecil radius belokpada kecepatan rendah. Sistem 4W S memiliki radius belok, R, yang lebih pendek bila dibandingkan dengan kendaraan kemudi roda depan F W S. vehicle. Untuk suatu kendaraan F W S, garis yang tegak lurus roda depan akan berpotongan dengan perpanjangan sumbu belakang. Sedangkan padakendaraan 4W S, titik potongnya dapat di sebarang tempat di bidang xy. Titik tersebut merupakan pusat belok kendaraan dan posisinya tergantung dari sudut belok roda. Kemudi positip dinamakan juga kemudi sama, sedangkan kemudi negatip disebut juga kemudi berlawanan.
Contoh 281 Hubungan antar sudut belok. Misalkan suatu kendaraan dengan dimensi : l = 2.8m wf = 1.35m wr = 1.4m
(7.102)
Serangkaian persamaan (7.75)-(7.78) yang sama dengan persamaan (7.87)-(7.90) harus dapat digunakan untuk sudut belok kinematis roda. Anggap salah satu sudutnya adalah : δif = 150
(7.103)
diketahui sebagai sudut belok input. Untuk mencari sudut-sudut belok lain perlu diketahui pusat belok O. Posisi pusat belok dapat dicari bila diketahui salah satu dari tiga parameter c1, c2, R1. Untuk memperjelas keadaan ini, anggap bahwa kendaraan berbelok ke kiri dan telah diketahui harga δif . Dengan demikian garis yang tegak lurus dengan roda kiri depan diketahui. Pusat belok dapat berada di sebarang titik di garis ini. Bila diambil suatu titik pada 32
garis ini sebagai pusat belok, maka sudut belok roda yang lain dapat diatur menyesuaikan dengan titik ini. Sudut belok untuk sistem 4W S adalah rangkaian dari 4-persamaan, masing-masing dengan 2 variabel.
Bila c1 dan R1 diketahui, maka dapat dicari sudut belok δif ,δof , δir , dan δor secara unik. Namun demikian, pada situasi praktis, bila salah satu sudut belok diketahui, misalkan δif , dan akan dicari sudut-sudut belok lain, yaitu δof , δir , δor ., maka dapat dicari bila diketahui c 1 atau R1. Pusat belok merupakan pusat kelengkungan lintasan jalan. Bila lintasan jalan diketahui, maka pusat belok dapat dicari pada kerangka koordinat kendaraan. Dalam contoh ini, anggap R1 = 50m
(7.108)
maka, dari persamaan (7.75), diperoleh :
Karena c1 > l dan δif > 0 maka kendaraan tersebut adalah 4W S positip, dan pusat belok terletak di belakang kendaraan
Dengan menggunakan persamaan (7.76)-(7.78) dapat diperoleh sudut belok lainnya :
33
Contoh 282 Posisi pusat belok Posisi pusat belok kendaraan, dalam kerangka koordinat bodi kendaraan, adalah suatu titik dengan koordinat (x O, yO). Koordinat tersebat adalah : The coordinates of the turning center
Persamaan (7.115) diperoleh dengan mensubstitusikan c1dan c 2 dari persamaan (7.91) dan (7.94) ke persamaan (7.97), dan mendefinisikan y O dalam besaran δif dan δir . Juga memungkinkan untuk mendefinisikan y O dalam δof dan δor . Persamaan (7.114) dan (7.115) dapat digunakan untuk mendefinisikan koordinat pusat belok, baik untuk sistem 4W S negatip maupun positip. Sebagai contoh, misalkan akan diuji kendaraan dengan data berikut : l = 2.8m wf = 1.35m wr = 1.4m a1 = a2
(7.116)
δif = 0.26180 rad ≈ 15 deg δof = 0.25513 rad ≈ 14.618 deg δir = 0.20824 rad ≈ 11.931 deg δor = 0.20264 rad ≈ 11.61 deg
(7.117)
dan dicari posisi pusat belok
34
Posisi pusat belok untuk kendaraan F W S adalah pada :
dan untuk kendaraan RWS adalah :
FIGURE 7.36. A symmetric four-wheel steering vehicle.
Contoh 283 Kelengkungan
35
Misalkan suatu jalan sebagai lintasan gerak diungkapkan secara matematis sebagai fungsi Y = f (X), dalam kerangka koordinat global. Radius kelengkungan R κ jalan tersebut pada titik X adalah :
dengan
Sistem kemudi 4-roda simetris Gambar 7.36 mengilustrasikan sustu kendaraan 4W S dengan roda depan dan belakang membelok dengan sudut yang sama tetapi berlawanan arah. Kondisi pengemudian kinematis untuk pengemudian yang simetris dapat disederhanakan sebagai :
dan c1 dan c2 direduksi menjadi :
Contoh 285 Rasio c2/c1 Jarak memanjang (longitudinal) pusat belok kendaraan dari sumbu depan adalah c 1 dan dari sumbu belakang adalah c 2. Rasio jarak ini diungkapkan dengan c s dan dinamakan faktor 4WS.
Harga cs negatip untuk kendaraan 4W S negatip dan positip untuk kendaraan 4W S positip. Bila cs = 0, kendaraan adalah F W S, dan bila c s = −∞, kendaraan adalah RW S. Untuk kendaraan 4W S simetris memilki cs = -1/2.
Contoh 286 Panjang belokan l s.
36
Untuk kendaraan 4W S, dapat didefinisikan panjang belokan l s sebagai :
Panjang belokan (steering length) l s berharga 1 untuk kendaraan F W S, berharga nol untuk kendaraan simetris, dan berharga -1 untuk kendaraa RW S. Bila suatu kendaraan memiliki sistem 4W S negatip, maka −1 < ls < 1, dan bila kendaraan adalah sistem 4W S maka l s > 1 atau ls < −1. Dalam hal l s >1, adalah bila pusat belok terletak di belakang kendaraan, dan dalam hal ls < −1 maka bila pusat belok berada di depan kendaraan.
Contoh 287 F W S dan kondisi Ackerman Bila suatu kendaraan dengan sistem F W S, kondisi Ackerman (7.1) dapat dituliskan dengan persamaan sbb :
Penulisan kondisi Ackerman dengan persamaan tersebut tidak perlu memperhatikan roda bagian dalam atau luar.
Contoh 288 Radius belok Untuk mencari besarnya radius belok R, maka didefinisikan model sepeda-motor eqivalen seperti terlihat pada gambar 7.37 dan 7.38 untuk kendaraan 4W S positip dan negatip.
FIGURE 7.37. Bicycle model for a positive 4W S vehicle. 37
Radius rotasi R tegak lurus vektor kecepatan kendaraan v pada pusat massa C. Akan diuji situasi 4W S positip pada gambar 7.37. Dengan menggunakan geometri pada model sepeda-motor didapatkan
dan dengan demikian
Dengan menguji gambar 7.38 menujukkan bahwa radius belok kendaraan 4W S negatip dapat dicari dengan persamaan yang sama dengan persamaan (7.133).
FIGURE 7.38. Bicycle model for a negative 4W S vehicle.
Contoh 289 Perbandingan antara F W S dan 4W S. Pusat belok kendaraan F W S selalu terletak di perpanjangan sumbu belakang, dan panjang beloknya (steering length) l s selalu sama dengan 1. Namun demikian , pusat belok untuk kendaraan 4W S dapat terjadi : 1. di depan sumbu depan, bila ls < −1 2. di antara sumbu depan dan belakang, bila −1 < ls < 1, atau 3. di belakang sumbu belakang, bila 1 < ls 38
Perbandingan di antara berbagai panjang belok ditunjukkan pada gambar 7.39. Kendaraan F W S terlihat pada gambar 7.39(a), sedangkan sistem 4W S dengan l s < −1, −1 < ls < 1, dan 1 < ls ditunjukkan berturut-turt pada gambar 7.39(b)-(d).
Contoh 290 Kemudi 4-roda aktif dan pasif Sistem 4W S negatip tidak dianjurkan digunakan pada kecepatan tinggi, karena adanya laju yaw yang tinggi, dan kemudi positip tidak dianjurkan digunakan pada kecepatan rendah, karena adanya kenaikan radius belok. Dengan demikian untuk memaksimalkan manfaat sistem 4W S, diperlukan sistem cerdas yang memungkinkan roda untuk merubah mode pengemudian, tergantung dari kecepatan kendaraan, dan menyesuaikan sudut belok untuk berbagai keperluan. Pengemudian cerdas (smart) disebut juga sistem pengemudian aktif. Pada sistem kemudi aktif, ketika kecepatan rendah roda pada keadaan kemudi negatip dan pada kecepatan tinggi berubah menjadi kemudi positip. Pada kondisi kemudi negatip, roda belakang akan membelok berlawanan dengan roda depan, bilamana roda depan membelok dengan radiu yang jauh lebih kecil, sedangkan pada kondisi kemudi positip, roda belakang membelok dengan membelok searah dengan roda depan, untuk memperbesar gaya lateral.
39
Pada sistem 4W S pasif, terjadi rasio proposional yang konstan antara sudut belok depan dengan sudut belok belakang, yang ekivalen dengan c s yang kinstan. Kemudi pasip digunakan untuk mengkompensasi kecenderungan suatu kendaraan. Sebagai contoh, pada sistem F W S, roda belakang cenderung untuk sedikit membelok menuju ke arah luar. Kecenderungan ini dapat mengurangi stabilitas.
Contoh 291 Autodriver. Misalkan suatu kendaraan berjalan di jalan seperti terlihat pada gambar 7.40. Titik O menunjukkan pusat kelengkungan jalan pada titik posisi kendaraan. Pusat kelengkungan jalan dianggap sebagai pusat belok kendaraan pada keadaan sesaat. Ada kerangka koordinat global G yang dipasang pada jalan, dan kerangka koordinat kendaraan dipasang pada pusat massa C. Sumbu-sumbu z dan Z sejajar dan sudut ψ menunjukkan sudut antara sumbu X dan x. Bila (X O, YO) adalah koordinat O pada kerangka koordinat global G, maka
FIGURE 7.40. Illustration of a car that is moving on a road at the point that O is the center of curvature.
koordinat O di B adalah :
Dengan diketahuinya koordinat O pada kerangka koordinat kendaraan, maka hal tersebut cukup untuk mencari R 1, c1, dan c2. 40
Kemudian, sudut belok roda dapat secara unik dicari dengann persamaan (7.75)-(7.78). Hal ini memungkinkan untuk mendefinisikan untuk mendefinisikan jalan dengan suatu fungsi matematis Y = f (X) dalam koordinat global. Pada sebarang titik X yang terletak di jalan, maka posisi kendaraan dan posisi pusat belok pada kerangka koordinat kendaraan, dapat dicari. Sudut belok yang diperlukan dapat disusun, untuk menjaga agar kendaraan tetap pada lintasan dan arah yang benar. Prinsip ini dapat digunakan untuk mendesain suatu autodriver.
Contoh 292 Persamaan kelengkungan Misalkan suatu kendaraan bejalan pada lintasan Y = f (X) dengan kecepatan v dan percepatan a. Kelengkungan lintasan κ = 1/R ketika kendaraan berjalan adalah :
dengan an adalah komponen normal percepatan a. Komponen normal a n menuju pusat rotasi dan harganya sama dengan
dan dengan demikian
Namun demikian,
41
dan dapat diperoleh persamaan kelengkungan lintasan, berbasis persamaan lintasan :
7.6 Optimisasi Mekanisme Pengemudian Optimisasi dimaksudkan
bahwa mekanisme pengemudian didesain agar mampu
bekerja sedekat mungkin dengan fungsi yang dikehendaki. Misalkan
dikehendaki suatu
sistem kemudi dengan fungsi kondisi kinematis Ackerman. Dengan membandingkan fungsi sistem kemudi yang didesain dengan kondisi Ackerman, dapat didefinisikan fungsi kesalahan (error) e guna membandingkan kedua fungsi. Sebagai contoh fungsi e, dapat berupa selisih antara sudut belok luar mekanisme yang didesain dengan δDo dengan kondisi Ackerman δ Ao pada harga sudut dalam δi yang sama. Fungsi error dapat berupa harga mutlak selisih maksimumnya, e = max|δDo − δ Ao |
(7.144)
atau root mean square (RMS) selisih kedua fungsi,
dalam range δi tertentu. Error e, hendaknya merupakan suatu fungsi seperangkat parameter. would be a function of a set of parameters. Dengan meminimalkan fungsi erer e, pada daerah sudut belok δi,dapat diperoleh harga parameter optimal. Fungsi RMS (7.145) didefinisikan untuk variabel δDo dan δ Ao yang kontinyu. Namun demikian, tidak selalu dapat diperoleh suatu persamaan e dalam bentuk-tertutup (closed-form). Dalam hal ini, fungsi eror tidak dapat didefinisikan secara eksplisit, dengan demikian fungsi eror harus dievaluasi (dihitung) pada berbagai harga δi secara numerik. Funsi eror untuk seperangkat harga diskrit e didefinisikan sebagai :
Fungsi eror (7.145) atau (7.146) harus dievaluasi pada berbagai harga suatu parameter. Kemudian digambarkan e = e(parameter) sehingga dapat ditunjukkan tren variasi e sebagai fungsi parameter tersebut. Bila terdapat harga e minimum, maka diperoleh harga optimal parameter tersebut. Sebaliknya, tren fungsi e dapat menunjukkan arah pencarian harga minimum.
42
Contoh 293 Optimasi mekanisme kemudi trapezoidal Hubungan antara sudut belok dalam-luar pada mekanisme kemudi trapezoidal, seperti ditunjukkan pada gambar 7.6, adalah :
Dengan membandingkan persamaan (7.147) dengan kondisi Ackerman,
dapat didefinisikan fungsi eror e
dan dicari harga minimumnya untuk mengoptimalkan mekanisme kemudi trapezoidal. Misalkan suatu kendaraan dengan dimensi w = 2.4m l = 4.8m.
(7.150)
Akan dioptimasi mekanisme tersebut dengan d = 0.4m
(7.151)
dan menggunakan β sebagai parameter. Dengan menggambarkan (mengeplot) perbandingan antara mekanisme tersebut dengan kondisi Ackerman, pada berbagai harga β, seperti terlihat pada gambar 7.9, dan harga selisih keduanya Δδo = δDo − δ Ao ditunjukkan pada gambar 7.10.
43
Dapat ditetapkan harga β, misal β = 60 , dan mengevaluasi δDo dan δ Ao pada n = 100 macam harga δi dalam jangkauan misalkan −400 ≤ δi ≤ 400. Kemudian dihitung harga fungsi eror e yang berkaitan :
pada harga β tertentu. Kemudian dilakukan lagi perhitungan untuk harga-harga β yang lain, misalkan β = 8deg,9deg, · · · . Gambar 7.41 melukiskan fungsi e = e(β), dengan suatu harga minimum pada β ≈ 12 deg. 44
Geometri (bentuk) mekanisme kemudi trapezoidal yang optimal ditunjukkan pada gambar 7.42(a). Kedua lengan samping berpotongan di titik G pada perpanjangan keduanya. Untuk mekanisme yang optimal, titik potong G terletak di sisi luar sumbu belakang. Namundemikian, dianjurkan untuk meletakkan titik potong tersebut di tengah-tengah sumbu belakang dan mendesain mekanisme kemudi trapesoidal yang mendekati optimal. Dengan mengikuti anjuran tersebut, maka memungkinkan untuk mengeliminasi proses optimisasi dan mendapatkan desain yang cukup baik. Desain dengan estimasi tersebut ditunjukkan pada gambar 7.42(b). Sudut β unmtuk desain yang optimal adalah β = 12.6deg, dan untuk desain yang diestimasi β = 13.9deg.
FIGURE 7.41. Error function e = e(β) for a specific trapezoidal steering mechanism, with a minimum at β ≈ 12 deg.
45
FIGURE 7.42. The geometry of the optimal trapezoidal steering mechanism and the estimated design.
Contoh 294 Tidak ada mekanisme Ackerman yang eksak. Adalah tidak mungkin untuk membuat hubungan (linkage) sederhana yang dapat bekerja secara eksak berdasarkan kondisi kemudi Ackerman. Namun demikian, memungkinkan untuk mengoptimalkan berbagai hubungan sistem kemudi dalam suatu daerah kerja, agar bekerja mendekati kondisi Ackerman, dan secara eksak sama pada beberapa titik. Suatu hubungan trapesoidal tidaklah sama persis (eksak) dengan sistem kemudi Ackerman pada sebarang radius belok, namun sistem ini cukup sederhana untuk dibuat secara massal, dan bekerja cukup eksak untuk kendaraan.
Contoh 295 Optimisasi mekanisme kemudi multi-link. Misalkan akan didesain suatu mekanisme kemudi multi-link untuk suatu kendaraan dengan spesifikasi. w = 2.4m l = 4.8m
(7.153)
a2 = 0.45l Mengingat adanya keterbatasan ruang, maka posisi beberapa sambungan mekanisme tersebut dibuat seperti pada gambar 7.43. Namun, panjang x divariasi untuk mendapatkan kondisi yang terbaik yang sesuai dengan kondisi Ackerman. 46
Input roda kemudi δs memutar sigi-3 P BC yang akan membelokkan rroda kiri dan kanan. Kendaraan harus mampu membelok dalam lingkaran dengan radius R m. Rm = 10m
(7.155)
Radius belok minimum menentukan sudut belok maksimum δ
dengan δ rata-rata-cot sudut belok dalam dan luar. Dengan diketahuinya R dan δ, cukup untuk menentukan harga-harga δo dan δi.
Karena mekanisme tersebut simetris, maka masing-masing roda mekanisme kemudi pada gambar 7.43 harus mampu membelok paling tidak 14.425 0. Demi amannya, akan dicoba mengoptimalkan mekanisme pada sudut δ = ±150.
FIGURE 7.43. A multi-link steering mechanism that must be optimized by varying x.
47
FIGURE 7.44. The multi-link steering is a 6-link mechanism that may be treeted as two combined 4-bar linkages. δ1 = θ2 − (90 − 54.6)0
(7.160)
δ2 = ϕ4 − (90 + 54.6)0
(7.161)
Gambar 7.44 mengilustrasikan nomor link numbers, dan sudut input-output hubungan 4batang tersebut. Panjang link mekanisme tersebut dicantumkan pada tabel Table 7.1.
FIGURE 7.45. The input and output angles of the two 4-bar linkages.
Table 7.1 - Link numbers, and the input-output angles for the multi-link steering mechanism
Persamaan (6.1) dituliskan lagi, untuk memperoleh harga sudut θ4 sebagai fuungsi θ2.
48
Persamaan yang sama (7.162) dapat digunakan untuk menghubungkan sudut input-output hubungan empat-batang sebelah kanan.
Dimulai dengan pemisalan harga x, dapat dihitung panjang link. Dengan menggunakan persamaan (7.162) dan (7.171), dan dengan (7.160) dan (7.161), dihitung δ2 untuk harga δ1 tertentu.
49
Dimulai dengan harga x = 0, maka diperoleh : a1 = 0.37978m b1 = 0.89043m
(7.180)
c1 = 0.22m a2 = 0.22m b2 = 0.89043m
(7.181)
c2 = 0.37978m.
FIGURE 7.46. Steer angles δ2 and δ Ac versus δ1.
Dengan menggunakan persamaan 7.160) dan (7.162), dapat dihitung output linkage empatbatang pertama, θ4, dalam daerah sudut belok kiri −150 < δ1 <150. Ketentuan (constraint) berikut ini, dapat menentukan harga numeris ϕ2 yang digunakan sebagai input hubungan empat-batang sebelah kanan.
Kemudian, dengan menggunakan persamaan (7.171) dan (7.162), dapat dihitung sudut belok δ2 untuk roda kanan. Gambar 7.46 mengungkapkan harga numeris sudut belok δ2 dan δ Ac versus δ1. Sudut δ Ac adalah sudut belok roda kanan berdasarkan persamaan (7.154). Dengan telah diketahuinya δ2 dan δ Ac, dihitung selisih, Δ, Δ = δ2 − δ Ac
(7.183)
untuk n harga δ1 yang berbeda dalam daerah sudut −150 < δ1 < 150. Berdasarkan harga Δ sebanyak n, dapat dicari error e.
Dengan mengubah harga x dan merekalkulasi e, menghasilkan suatu fungsi error e =e(x).
50
Gambar 7.47 mengillustrasikan hasil kalkulasi tersebut. Terlihat bahwa error mencapai harga minimum untuk x = −0.824m, yang merupakan panjang terbaik untuk sisi dasar segi-3 P BC. Watak mekanisme kemudi multi-link tersebut, untuk berbagai , diperlihatkan pada gambar 7.48. Kondisi Ackerman juga diplotkan sebagai pembanding dengan mekanisme multi-link yang optimal.
FIGURE 7.47. Illustration of the error function e = e(x).
FIGURE 7.48. The behavior of the multi-link steering mechanism for different values of x.
51
FIGURE 7.49. Illustration of the difference Δ = δ2 − δ Ac for different values of x.
FIGURE 7.50. The optimal multi-link steering mechanism along with the length of its links.
Optimalitas x =−0.824m lebih jelas pada gambar 7.49 yang menunjukkan harga selisih Δ = δ2 − δ Ac untuk berbagai harga x. Mekanisme kemudi multi-link yang optimal dengan ukuran seperti di atas adalah terlihat pada gambar 7.50. Mekanisme dan arti harga x negatip ditunjukkan pada gambar 7.51, dengan mekanisme tersebut pada posisi membelok positip.
FIGURE 7.51. The optimal multi-link steering mechanism in a positive turning position.
52
7.7 Kinematika Trailer-Truck Misalkan suatu kendaraan menarik suatu trailer satu-sumbu, seperti terlihat pada gambar 7.52. Dapat dinormalisasi dimensi, misalkan panjang trailer adalah 1. Posisi kendaraan pada titik engsel dan posisi trailer pada pusat sumbunya ditunjukkan dengan vektor-vektor r dan s.
FIGURE 7.52. A car pulling a one-axle trailer.
Anggap bahwa r adalah sutu fungsi waktu t yang dapat dideferensialkan, maka akan diuji watak trailer dengan menghitung s, dan memprediksi jackknifing . Ketika kendaraan bergerak ke depan, maka dikatakan bahwa kendaraan jackknifed bila
dengan
Suatu konfigurasi jackknifed diperlihatkan pada gambar 7.53, sedangkan gambar 7.52 adalah konfigurasi unjackknifed . Secara matematis akan dicari kiondisi truck-trailer akan jackknife untuk sutu lintasan gerak r = r(t) tertentu dan kondisi r(t) yang harus dipenuhi untuk mencegah jackknifing .
53
FIGURE 7.53. A jackknifed configuration of a car pulling a one-axle trailer.
Kecepatan trailer dapat diungkapkan sebagai :
dengan :
dan kondisi unjackknifing bila : c > 0. Anggap bahwa r adalah lintasan kendaraan.
(7.189) Bila |z| = 1, dan r memiliki radius
kelengkungan R(t) > 1, dan :
kemudian
untuk semua t > 0. Dengan demikian, kendaraan bergerak ke depan dan kombinasi car-trailer semula tidak mengalami jackknifed, dan kemudian tetap tidak jackknifed.
Bukti Panjang trailer yang dinormalisasi adalah 1, dan konstan, maka z adalah suatu vektor satuan
54
dan (r − s) · (r − s) = 1.
(7.193)
Roda tanpa-slip trailer, maka terdapat konstrain vektor sedemikian sehingga vektor kecepatan s harus mengarah sepanjang sumbu trailer , yang ditunjukkan oleh z,
Penjelasan persamaan (7.194) : c adalah harga kecepatan trailer , (r-s) vektor z
Dengan mendiferensialkan (7.193) diperoleh :
Penjelasan persamaan (7.196) : pada batang z, proyeksi kecepatan arah z pada kedua sisi sama besar.
substitusi ̇ dari persamaan (7.194) ke persamaan (7.196) diperoleh :
mengingat bahwa (r-s).(r-s) = 1, maka :
c : merupakan proyeksi kecepatan kendaraan pada z.
Dengan telah didapatkan c, maka persamaan (7.194) dapat dituliskan sebagai :
Ada 3 (tiga) kemungkinan, yaitu : 1. Bila c > 0, vektor kecepatan trailer
̇
berada sepanjang sumbu trailer
z. Trailer
mengikuti kendaraan dan sistem stabil. 2. Bila c = 0, vektor kecepatan trailer
̇
sama dengan nol. Dalam hal ini, trailer
melakukan spin di sekitar pusat sumbu-rodanya (axle) dan sistem neutralstable. 3. Bila c < 0, vektor kecepatan trailer ̇ berada sepanjang sumbu trailer −z. Trailer tidak mengikuti kendaraan dan sistem tak-stabil
55
Dengan ungkapan menggunakan koordinat Cartesian, dapat ditunjukkan vektor posisi kendaraan dan trailer dengan :
dan dengan demikian :
Note : r = ixc + j yc; s = ixt + jyt ; substitusikan ke persamaan vektor, akan diperoleh persamaan skalar komponen x dan y
Bila didefinisikan suatu fungsi :
dan anggap kesimpulan (7.191) benar sedangkan (7.190) benar. Pada saat t 1 > 0 sedemikian sehingga f (t 1) = 0 dan f ’(t1) ≤ 0. Dengan menggunakan |z| = 1 dan
,
maka :
dan dengan demikian
tegak lurus (t 1).
Derivatif f ’(t) menjadi :
56
dan dengan demikian :
Percepatan ̈ dalam kerangka koordinat normal-tangential coordinate frame (e n, et) adalah :
dengan ˆen dan ˆet adalah vektor-vektor arah normal dan tangensial. ˆet sejajar dengan ̇ (t1), dan ˆen sejajar dengan z(t 1). sedangkan :
dan :
Oleh karena κ(t1) = 1/R(t) > 0, dapat disimpulkan bahwa f ’(t1) > 0, dan tidak mungkin untuk memiliki f ’(t1) ≤ 0.
57
FIGURE 7.54. The initial position of a one-axle trailer pulled by a car moving forward in a straight line with a constant velocity is a circle about the hinge point.
Contoh 296 Kendaraan bergerak lurus dengan kecepatan konstan. Misalkan suatu kendaraan bergerak ke depan dengan lintasan garis lurus dengan kecepatan konstan.ak dalam arah x positip, berawal dari x = 0. Dengan ungkapan menggunakan vektor 2 dimensional diperoleh :
Oleh karena persamaan (7.192), diperoleh :
dan dengan demikian posisi mula-mula trailer harus terletak pada lingkaran satuan seperti terlihat pada Gambar 7.54. Dengan menggunakan vektor 2 dimensional, dapatdiungkapkan z(0) sebgai fungsi θ
dan penyederhanaan Persamaan (7.202) sebagai :
58
Persamaan (7.213) adalah suatu rangkaian persamaan diferensial orde-1 yang terkopel, yang memiliki solusi :
Dengan menggunakan kondisi awal (7.212) diperoleh :
Bila θ ≠ kπ, kemudian ketika waktu mendekati tak terhingga, maka solusi menuju batas secara tak asymptotis:
Ketika kendaraan bergerak dengan kecepatan konstan, solusi ini menunjukkan bahwa trailer akan menuju posisi bergerak lurus ke depan, mengikuti kendaraan. Dapat juga dianggap bahwa kendaraan bergerak ke belakang. Pada situasi ini solusi menunjukkan bahwa, kecuali untuk kondisi mula-mula tak-stabil θ = π, semua solusi menuju posisi jackknifed. Bila θ = 0, kemudian
dan trailer bergerak dalam konfigurasi tak-stabil. Pada sebarang deviasi terhadap θ = 0 akan berakhir untuk merubah situasi dan menuju solusi batas stabil (7.217). Bila θ = π, maka :
59
dan trailer mengikuti kendaraan dalam konfigurasi stabil. Sebarang deviasi dari θ = 0 akan menghilang setelah beberapa saat.
Example 297 F Straight car motion with different initial θ. Misalkan suatu kendaraan bergerak sepanjang sumbu x dengan k ecepatan konstan. Kendaraan tersebut menarik suatu trailer, yang mula-mula pada posisi
θ, seperti
diperlihatkan pada gambar 7.52. Dengan menggunakan panjang yang dinormalisasikan, anggap bahwa jarak antara sumbu trailer dengan engsel sama dengan 1.
Bila posisi absolut kendaraan pada engsel dinyatakan dengan r,
dan posisi absolut trailer dengan :
Maka posisi trailer merupakan fungsi gerakan kendaraan. Bila posisi kendaraan diungkapkan sebagai suatu fungsi vektor yang tergantung waktu (time-dependent vector function) :
60
¸ Maka posisi trailer bisa diperoleh dengan menyelesaikan dua persamaan diferensial yang saling terkopel :
Untuk kecepatan kendaraan yang uniform dan k onstan
Maka persamaan (7.221) dan (7.222) dapat disederhanakan menjadi :
Persamaan (7.223) tak tergantung Persamaan (7.224), sehingga dapat diselesaikan secara independen, diperoleh
**)
Dengan mensubstitusi Persamaan (7.225) ke (7.224) menghasilkan persamaan diferensial :
dengan solusinya :
Bila trailer start dari
, maka konstanta integral akan sama dengan persamaan (7.215) dan (7.216), dan dengan demikian :
61
**)
Catatan : untuk mencari solusi persamaan (7-223) digunakan substitusi : z = xt – t
; dst akan diperoleh persamaan diferensial dengan variabel terpisah
FIGURE 7.55. Trailer kinematics for a θ = 45deg starting position. Gambar-gambar 7.55, 7.56, dan 7.57 mengilustrasikan watak trailer yang start dari θ = 450g, θ = 900, θ = 1350.
62
FIGURE 7.56. Trailer kinematics for a θ = 90deg starting position.
FIGURE 7.57. Trailer kinematics for a θ = 135deg starting position.
Contoh 298 Gerakan kendaraan melingkar dengan kecepatan konstan. Misalkan suatu kendaraan menarik trailer seperti diperlihatkan pada gambar 7.52. Kendaraan berjalan sepanjang lingkaran dengan radius R > 1, berbasis panjang yang dinormalisasikan, yaitu dengan panjang trailer = 1. Dalam gerakan melingkar, kecepatan anguler ω = 1 dan periode T = 2π, posisi kendaraan diungkapkan dengan fungsi vektor yang tergantung waktu :
63
Posisi mula-mula trailer harus terletak pada lingkaran satuan dengan pusatnya pada :
Kombinasi kendaraan-trailer menuju konfigurasi steady-state seperti terlihat pada gambar 7.58.
FIGURE 7.58. Steady state configuration of a car-trailer combination.
Dengan substitusi :
64
dan dengan kondisi awal Persamaan (7.231) dalam (7.202) akan menghasilkan dua persamaan diferensial untuk posisi trailer :
Anggap bahwa
Solusi steady-state persamaan tersebut adalah : solutions of these equations are xt = c cos(t − α)
(7.235)
yt = c sin(t − α)
(7.236)
dengan c adalah jari-jari rotasi trailer, dan α adalah posisi anguler (sudut) trailer di belakang kendaraan.
Solusi tersebut dapat dicek dengan menggunakan dua variabel baru, u dan v, sedemikian sehingga : u = xt sin t − yt cos t
(7.240)
v = xt cos t + yt sin t
(7.241)
dan
Dengan menggunakan variabel baru diperoleh : xt = u sin t + v cos t
(7.243)
yt = −u cos t + v sin t
(7.244)
65
Dengan mendiferensialkan secara langsung dari (7.240), (7.241), (7.243), dan (7.244) ternyata bahwa :
dan dengan demikian, persoalan tersebut dapat diungkapkan dengan susunan persamaan baru :
Pada kondisi steady-state, diferensial terhadap waktu harus sama dengan nol, dan dengan demikian solusi kondisi steady-state merupakan jawaban persamaan aljabar berikut :
Terdapat tiga pasang solusi :
Solusi pertama adalah dalam keadaan s = 0, xt = 0 yt = 0
(7.258) (7.259)
yang menunjukkan bahwa pusat sumbu trailer tetap berada di titik asal (O) dan kendaraan berputar pada lingkaran R = 1. Ini adalah gerakan stabil. Solusi kedua berhubungan dengan :
yang ekivalen dengan (7.235) dan (7.236). Untuk menguji stabilitas solusi kedua, disubstitusikan suatu solusi yang terganggu : 66
ke dalam persamaan gerakan yang dilinierkan (7.251) dan (7.252) pada susunan solusi kedua :
untuk memperoleh dua persamaan untuk fungsi yang terganggu p dan q.
Pasangan persamaan yang terganggu dapat disusun dalam bentuk matriks :
Stabiliotas Persamaan (7.268) dicari dengan eigenvalues λi dari koefisien matriks, yaitu : λ1 = −c λ2 = −2c. Karena kedua eigenvalues λ1 dan λ2 berharga negatip, maka solusi persamaan yang terganggu adalah simtomatis dan menuju ke nol. Dengan demikian, pasangan solusi yang ke dua (7.256) stabil dan menyerap sebarang lintasan di dekatnya yang mulai mendekatinya. Solusi ke tiga adalah berhubungan dengan :
Persamaan gerakan yang dilinierkan pada pasangan solusi ke tiga (7.257) adalah :
Tpersamaan yang terganggu akan menjadi :
67
dengan eigenvalues positip : λ1 = c λ2 = 2c Eigenvalues positipmenunjukkan bahwa solusi persamaan yang terganggu adalah divergen dan menuju ke tak terhingga. Dengan demikian pasangan solusi (7.257) adalah tidak stabil dan repels sebarang lintasan di dekatnya yang mendekatinya.
7.8 Ringkasan Pengemudian diperlukan sebagai panduan suatu kendaraan untuk menuju arah yang dikehendaki. Ketika kendaraan membelok, roda yang lebih dekat dengan pusat rotasi dinamakan
roda dalam (inner wheels), dan roda yang lebih jauhdengan pusat rotasi
dinamakan roda luar (outer wheels). Bila kecepatan kendaraan sangat lambat, ada kondisi kinematis antara roda dalam dan roda luar yang dikemudikan, dinamakan kondisi Ackerman. Kendaraan jalan raya adalah kendaraan 4-roda dan biasanya berkemudi roda depan ( frontwheel-steering ). Kondisi kinematis antara roda dalam dan roda luar yang dikemudikan adalah :
δi : sudut belok roda dalam
δo : sudut belok roda luar
w : track, dan l : wheelbase.
Track w dan wheel base l merupakan lebar dan panjang kinematis kendaraan. Pusat massa kendaraan yang dikemudikan akan membelok secara melingkar dengan radius
dengan δ sudut rata-rata cotangen antara sudut-sudut roda dalam dan roda luar :
Sudut δ adalah sudut belok ekivalen dari sepeda yang memiilki wheelbase l dan radius rotasi R yang sama.
68
Exercises 1. Bicycle model and radius of rotation. Mercedes-Benz GL450T M has the following dimensions. l = 121.1 in wf = 65.0 in wr = 65.1 in R = 39.7 ft Assume a1 = a2 and use an average track to determine the maximum steer angle δ for a bicycle model of the car.
2. Radius of rotation. Consider a two-axle truck that is offered in different wheelbases. l = 109 in l = 132.5 in l = 150.0 in l = 176.0 in If the front track of the vehicles is w = 70in and a1 = a2, calculate the radius of rotations if δ = 30deg.
3. Required space. Consider a two-axle vehicle with the following dimensions. l = 4m w = 1.3m g = 1.2m Determine Rmin, RMax, and ΔR for δ = 30deg.
4. Rear wheel steering lift truck. A battery powered lift truck has the following dimensions. l = 55in w = 30in Calculate the radius of rotations if δ = 55deg for a1 = a2.
5. Wheel angular velocity. Consider a two-axle vehicle with the following dimensions. l = 2.7m w = 1.36m 69
What is the angular velocity ratio of ωo/ωi?
6. A three-axle vehicle. A three-axle vehicle is shown in Figure 7.17. Find the relationship between δ2 and δ3, and also between δ1 and δ6.
7. A three-axle truck. Consider a three-axle truck that has only one steerable axle in front. The dimensions of the truck are a1 = 5300mm a2 = 300mm a3 = 1500mm w = 1800mm. Determine maximum steer angles of the front wheels if the t ruck is supposed to be able to turn with R = 11m.
8. A vehicle with a one-axle trailer. Determine the angle between the trailer and vehicle with the following dimensions. a1 = 1000mm a2 = 1300mm wv = 1500mm b1 = 1200mm b2 = 1800mm wt = 1100mm g = 800mm δi = 12deg. What is the rotation radius of the trailer Rt, and the vehicle R? Determine minimum radius Rmin, maximum RMax, and difference radius ΔR?
9. F Turning radius of a 4W S vehicle. Consider a F W S vehicle with the following dimensions.
70
Determine the turning radius of the vehicle for δf l = 5deg. What should be the steer angles of the front and rear wheels to decrease 10% of the turning radius, if we make the vehicle 4W S?
10. F Coordinates of the turning center. Determine the coordinates of the turning center for the vehicle in Exercise 9 if δf l = 5deg and c1 = 1300mm.
11. F Different front and rear tracks. Lotus 2-ElevenT M is a RW D sportscar with the following specifications.
Determine the angular velocity ratio of ωo/ωi, R, δi, and δo for δ = 5deg.
12. F Coordinates of turning center. Determine the coordinates of turning center of a 4W S vehicle in terms of outer steer angles δof and δor.
13. F Turning radius. Determine the turning radius of a 4W S vehicle in terms of δr.
71
