Derajat Kebebasan (Degree Of Freedom, DOF) Dalam dinamika struktur, jumlah koordinat bebas (independent coordinates) yang diperlukan untuk menetapkan susunan atau posisi sistem sangat berhubungan dengan jumlah derajat kebebasan (degree of fredom), Derajat kebebasan (degree ( degree of freedom) freedom ) adalah derajat independensi yang diperlukan untuk menyatakan posisi suatu system pada setiap saat. Pada umumnya, struktur yang berkesinambungan (continuous structure) mempunyai jumlah derajat kebebasan (number of degree of fredom) tak berhingga. Namun dengan proses idealisasi atau seleksi, sebuah model matematis yang tepat dapat merduksi jumlah derajat kebebasan menjadi suatu jumlah diskrit dan untuk beberapa keadaan dapat menjadi berderajat kebebasan tunggal. Sehingga pada permasalahan dinamika, setiap titik atau massa pada umumnya hanya diperhitungkan berpindah tempat dalam satu arah saja yaitu arah horizontal. Karena simpangan yang terjadi hanya terjadi dalam satu bidang atau dua dimensi, maka simpangan suatu massa pada setiap saat hanya mempunyai posisi atau ordinat tertentu b aik bertanda negative ataupun bertanda positif. Pada kondisi dua dimensi tersebut, tersebut, simpangan suatu massa massa pada saat t dapat dinyatakan dalam koordinat tunggal yaitu Y(t). Struktur seperti itu dinamakan struktur dengan derajat kebebasan tunggal / SDOF ( Single Degree of Freedom ) system. Struktur yang mempunyai n-derjat kebebasan atau struktur dengan derajat kebebasan banyak disebut multi degree of freedom (MDOF). Akhirnya dapat disimpulkan bahwa jumlah derajat kebebasan adalah jumlah koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi suatu massa pada saat tertentu. 1. Single degree of freedom Sistem massa yang berpindah dalam satu arah saja yaitu arah horizontal dinamakan system berderajat kebebasan tunggal (single ( single degree of freedom, freedom , SDOF ). ). Pada system SDOF, struktur dimodelkan dengan massa tungga dan koordinat perpindahan tunggal.
Gambar 1 Contoh gambar yang dimodelisasikan sebagai system derajat kebebasan Tunggal
Pada gambar 1 terlihat beberapa contoh strukur yang dapat dianggap sebagai struktur berderajat kebebasan tunggal (Single Degree of Fredom) dalam analisis dinamis, yaitu struktur yang dimodelisasikan sebagai sistem dengan koordinat perpindahan tunggal (single displacement coordinate). Dalam model system SDOF atau berderajat b erderajat kebebasan tunggal, setiap massa m, kekakuan k, mekanisme kehilangan atau redaman c, dan gaya luar yang dianggap tertumpu pada elemen fisik tunggal.
Persamaan gerak system derajat kebebasan tunggal disusun berdasarkan kesetimbangan dinamis freebody : p(t) – fS – fD = mÿ atau mÿ + fD + fS = p(t)
(1)
dimana : fD = c.ý
fS =k.y
(2)
dengan masing-masing m, c, dan k masing-masing adalah massa, redaman dan kekakuan system. Apabila persamaan 2 disubtitusikan ke persamaan 1 , maka akan diperoleh : mÿ+ cý+ ky = p(t)
(3)
Persamaan (3) adalah persamaan differensial gerakan massa suatu struktur SDOF yang memperoleh pembebanan dinamik p(t). pada problema dinamik. Yang penting untuk diketahui adalah simpangan horizontal tingkat atau dalam persamaaan tersebut adalah y(t).
1.1 Single degree of freedom dengan metode Rayleigh-Ritz Metode yang paling umum dalam menyederhanakan jumlah derajat kebebasan (DoF) dan dalam mencari pendekatan ke periode natural terendah adalah metode Rayleigh-Ritz. Metode ini merupakan penambahan dari metode Rayleigh yang dilakukan oleh W. Ritz pada tahun 1909. Persamaan umum sebuah sistem dengan N derajat kebebasan yang diberikan gaya p(t) = s p(t) adalah
…(3) mϋ+ c + ku = sp(t) Dalam metode Rayleigh, lendutan dari sebuah struktur diekspresikan sebagai u(t) = z (i)ψ dimana ψ adalah bentuk vektor yang digunakan. Pada metode Rayleigh-Ritz, lendutan ditunjukan sebagai kombinasi linear dari beberapa bentuk vektor ψ j :
() () ()
…(4)
Dimana z j(t) adalah koordinat yang diumumkan, dan Ritz vector ψ j − j 1, 2,..., j merupakan vektor linear berdasarkan keadaan batasan geometri yang diberikan. Vektor-vektor ini dipilih berdasarkan pendekatan sistem yang akan dianalisa. Dengan mensubtitusi persamaan 3 ke persamaan 4, didapat persamaan baru seperti berikut =
Setiap bagian akan dimanipulasi dengan mengalikan ψT, sehingga
2. Double degree of freedom Suatu system yang bergetar yang membutuhkan dua koordinat untuk menggambarkan gerakannya, disebut two-degrees-of – freedom systems, tidak seperti single degrees of freedom systems, di mana hanya satu koordinat. Oleh karena itu, hanya satu persamaan gerak yang diperlukan untuk mengungkapkan getaran dari system. Dalam two-degrees-of – freedom systems dibutuhkan minimal dua koordinat sehingga diperlukan dua persamaan gerak untuk mewakili gerak dari sistem. Untuk sistem alami konservatif, persamaan ini dapat ditulis dengan menggunakan massa dan matriks kekakuan. Perbedaan antara two-degrees-of – freedom systems dan single degrees of freedom systems terletak pada banyaknya frekuensi alami yang dimiliki. Pada twodegrees-of – freedom systems memiliki dua frekuensi alami, dan masing-masing frekuensi alami ada sesuai keadaan alami getaran dengan konfigurasi perpindahan dikenal sebagai mode n ormal. Istilah matematika yang dikenal dengan kuantitas eigenvalues dan eigenvectors.
Untuk sistem MDOF(Multiple degree of freedom ) yang termasuk didalamnya Double degree of freedom , frekuensi natural dan moda getar diketahui dengan penggunaan persamaan karakteristik (eigenvalue equation). Dalam dinamika struktur, akar dari nilai eigen dikenal dengan frekuensi natural (ωn) dan vektor eigen dikenal dengan moda getar (φn). Dimana tiap moda memiliki satu eigen value dan satu vektor eigen. Dan layaknya SDOF (Single degree of freedom ), pada sistem MDOF komposisi massa dan kekakuan menentukan nilai frekuensi natural dan moda getar suatu sistem struktur.
a) Matriks Massa, Matriks Kekakuan dan Matriks Redaman Untuk memperoleh persamaan diferensial berlaku pada struktur dengan derajat kebebasan banyak (MDOF), maka tetap dipakai prinsip keseimbangan dinamik (dynamic equilibrium) pada suatu massa yang ditinjau. Untuk memperoleh persamaan tersebut maka diambil model struktur MDOF.
Struktur bangunan gedung bertingkat 3, akan mempunyai 3 derajat kebebasan. Sering kali jumlah derajat kebebasan dihubungkan secara langsung dengan jumlahnya tingkat. Persamaan diferensial gerakan tersebut umumnya disusun berdasarkan atas goyangan struktur menurut first mode atau mode pertama seperti yang tampak pada ga ris putus-putus. Berdasarkan pada keseimbangan dinamik pada free body diagram. maka akan diperoleh
Persamaan-persaman diatas termasuk coupled equation karena persamaan-persamaan tersebut akan tergantung satu sama lain. Selain itu, perhitungan dinamik massa dipengaruhi oleh kekakuan, redaman dan simpangan massa. Dilakukan penyusunan terhadap parameter yang sama menjadi
Persamaan-persamaan di atas, disusun dalam bentuk matrik sehingga menjadi
Melakukan penulisan ulang kedalam bentuk matrik yang lebih Kompleks
[M]{Ÿ} + [C]{Ỳ} + [K]{Y} = {F(t)} [M], [C] dan [K] berturut-turut adalah mass matriks, damping matriks dan matriks kekakuan
{Ÿ}, {Ỳ} dan {Y} dan {F(t)} masing -masing adalah vektor percepatan, vektor kecepatan, vektor simpangan dan vektor beban,
b) Rasio redam
Yang dimaksud dengan redaman adalah proses dimana terjadinya pengurangan amplitudo dari suatu getaran akibat terdisipasinya energi akibat gesekan dan hal lainnya. Untuk kasus dimana terdapat redaman, persamaan gerak untuk sistem MDOF dengan kondisi getaran bebas adalah :
+ + =
… (5)
Dimana c adalah konstanta redaman yang merupakan energi yang terdisipasi pada suatu siklus getaran bebas ataupun getaran paksa yang harmonik. Kemudian yang dimaksud dengan rasio
redaman (ζ) adalah suatu nilai tidak berdimensi yang bergantung pada properti fisik suatu sistem
struktur (massa dan kekakuan) yaitu perbandingan antara konstanta redaman dengan konstanta
redaman kritis (ζ=c/2mω).
= ∑ () = ()
… (6)
Memasukkan pers. (5) ke pers. (6), maka :
…(7) Dengan mengalikan ΦT pada bagian kiri dari tiap penyusun pers (7).
=
=
=
C adalah matriks redaman n x n, yang mana dapat tidak berbentuk diagonal seperti halnya matriks massa dan matriks kekakuan sesuai dengan distribusi redaman pada sistem struktur. Jika C diagonal, maka sistem disebut dengan redaman klasik. Apabila sebaliknya, maka disebut redaman non-klasik, dimana analisa modal klasik tidak dapat digunakan dan sistem tidak memiliki nilai frekuensi natural dan mode getar yang sama dengan sistem tanpa redaman.
Untuk tipe redaman klasik, resio redaman mode n adalah
DAFTAR PUSTAKA
Ahmed Elgamal & Mike Fraser. 2010. Dynamics of a Simple Structure The Single-Degree-Of-Freedom (SDOF) Equation. http://webshaker.ucsd.edu/homework/Response_Spectrum.pdf. Diakses tanggal 17 Februari 2013. Anonim. CHAPTER 12 TWO-DEGREE- OF-FREEDOM-SYSTEMS. http://www.iitg.ernet.in/scifac/qip/public_html/cd_cell/chapters/r_tiwari_dyn_of_mach/Ch apter_12_Vibration%20of%20two-degree-of-freedom%20system.pdf. Diakses tanggal 17 Februari 2013. Ningsih,TriWahyu. 2011. Derajat Kebebasan (Degree Of Freedom, DOF). http://triwahyukuningsih.wordpress.com/2011/05/16/derajat-kebebasan-degree-offreedom-dof/.Diakses tanggal 17 Februari 2013. Yulianti, Ria Catur. SISTEM DERAJAT KEBEBASAN TUNGGAL TAK TEREDAM http://kk.mercubuana.ac.id/files/11031-5-911878689253.pdf. Diakses tanggal 17 Februari 2013.
