Dinamika

VILNIAUS GEDIMINO TECHNIKOS UNIVERSITETAS TEORINĖS MECHANIKOS KATEDRA

Leonidas Syrus, Petras Baradokas, Edvard Michnevič

TEORINĖ MECHANIKA DINAMIKA Mokomoji knyga

Vilnius „Technika“ 2008

UDK 531/534 (075,8) Si-136

L. Syrus, P. Baradokas, E. Michnevič. Teorinė mechanika. Dinamika: mokomoji knyga. Vilnius: Technika, 2008. 182 p. [23,0 sp. l.]

Knygoje išdėstyta klasikinės mechanikos teorijos dalis – dinamika. Pateikta nagrin ė jamų  dinaminių  charakteristikų  klasifikacija, išnagrin ėti materialiojo taško, standžiojo k ūno ir mechaninės sistemos dinamikos uždavini ų  apibrėžimai ir jų  sprendimai. Aprašytos judan čių  materialių  jų  taškų  ir mechaninės sistemos dinamikos bendrosios teoremos ir j ų  taikymo atvejai, pateikti standžiojo k ūno dinamikos uždavini ų sprendimo metodai. Mokomoji knyga parašyta remiantis teorin ės mechanikos kurso programa, patvirtinta Vilniaus Gedimino technikos universiteto mechanikos ir statybos specialybi ų  pagrindinių  studijų  studentams ir rekomenduojama pagrindini ų , vakarini ų  bei neakivaizdini ų  studijų  studentams, siekiantiems savarankiškai savarankiškai susipažinti su dinamikos teorijos pagrindais.

Leidinį  rekomendavo Vilniaus Gedimino technikos universiteto Fundamentini ų  mokslų  fakulteto studij ų komitetas

Recenzavo: prof. habil. dr. J. Atko čiūnas, VGTU Statybin ės mechanikos katedra prof. dr. V. Turla, VGTU Poligrafini ų mašinų  katedra

Redaktorė Viktorija Tamoševi čienė

VGTU leidyklos „Technika“ 1016-S mokomosios metodin ės literatūros knyga http://leidykla.vgtu.lt 

ISBN 978-9955-28-269-3 © L. Syrus, P. Baradokas, E. Michnevi č, 2008 © VGTU leidykla „Technika“, 2008 2

PRATARMĖ Svarbiausia ir sud ėtingiausia teorin ės mechanikos dalis dinamika nagrin ė ja papras čiausių  jų  kūnų  – materialių  jų  taškų , standžių  jų  kūnų  ir absoliučiai standžių  kūnų  mechaninių sistemų judė jimą . Mokomoji knyga parašyta remiantis šiuolaikin ėmis studijų  programomis ir yra rekomenduojama mechanikos ir statybos specialybi ų  pagrindinių  studijų  studentams, taip pat vakarinių  bei neakivaizdini ų  studijų  studentams, siekiantiems savarankiškai nagrin ėti dinamikos pagrindus. Autoriai dėkoja Vilniaus Gedimino technikos universiteto profesoriams J. Atko čiūnui ir V. Turlai už diskusijoms rengiant ši ą  knygą  skirtą  laiką , už jų  pastabas ir vertingas rekomendacijas, jie bus d ėkingi ir skaitytojams už pastabas.

3

TURINYS PRATARMĖ

3

ĮVADAS

6

1 PAGRINDINIAI APIBR ĖŽIMAI IR JUDĖJIMO CHARAKTERISTIKOS 1.1. Dinamikos aksiomos 1.2. Materialiojo taško masė 1.3. Standžiojo kūno ir mechaninės sistemos masės centras 1.4. Inercijos momentai 1.4.1. Inercijos momentai lygiagre čių  jų ašių  atžvilgiu 1.4.2. Inercijos momentai laisvai nukreiptos ašies atžvilgiu 1.4.3. Inercijos moment ų skaičiavimo pavyzdžiai 1.5. Mechaninio judė jimo dinaminės charakteristikos 1.5.1. Materialiojo taško judesio kiekis 1.5.2. Materialių  jų taškų mechaninės sistemos judesio kiekis 1.5.3. Mechanin ės sistemos judesio kiekio skai čiavimas 1.5.4. Materialiojo taško ir mechanin ės sistemos kinetinis momentas 1.5.5. Standžiojo k ūno kinetinio momento skai čiavimas 1.5.6. Materialiojo taško ir mechanin ės sistemos kinetin ė energija 1.5.7. Standžiojo k ūno kinetinė energija 1.6. Veikiančių jų jėgų poveikio matai ir jų charakteristikos 1.6.1. Materialių  jų taškų mechaninės sistemos vidin ės jėgos 1.6.2. J ėgos impulsas 1.6.3. J ėgos darbas 1.6.4. Galingumas 1.6.5. Potencin ės jėgos. J ėgų laukas. Potencin ė energija

7 7 10 10 11 15 16 18 25 25 26 27 28 29 31 32 33 33 35 36 46 47

2. DINAMIKOS UŽDAVINI Ų APIBRĖŽIMAI IR SPRENDIMAI 2.1. Materialiojo taško diferencialinės judė jimo lygtys 2.1.1. Pagrindiniai materialiojo taško dinamikos uždaviniai 2.1.2. Reliatyvusis materialiojo taško jud ė jimas 2.2. Materialių jų taškų sistemos diferencialinės judė jimo lygtys 2.3. Bendrosios dinamikos teoremos 2.3.1. Judesio kiekio teorema 2.3.2. Kinetinio momento teorema 2.3.3. Kinetinės energijos teorema 2.3.4. Mechanin ės energijos tverm ės dėsnis 2.4. Masės centro judė jimo teorema 2.5. Standžiojo kūno dinamika 2.5.1. Standžiojo k ūno slenkamojo jud ė jimo dinamika 2.5.2. Standžiojo k ūno sukamojo jud ė jimo apie nejudamą  ją  ašį  dinamika 2.5.3. Standžiojo k ūno plokštuminio jud ė jimo dinamika

51 51 53 67 72 72 73 76 79 81 82 84 84 85 86

4

3. SUVARŽYTOS MECHANIN ĖS SISTEMOS DINAMIKA 3.1. Bendrosios sąvokos 3.1.1. Suvaržyta mechanin ė sistema 3.1.2. Ryšiai 3.1.3. Apibendrintosios koordinat ės 3.1.4. Virtualieji poslinkiai 3.1.5. J ėgos virtualusis darbas 3.1.6. Idealieji ryšiai 3.1.7. Apibendrintosios j ėgos 3.2. Bendrieji mechanikos metodai 3.2.1. Virtualių  jų poslinkių  principas 3.2.2. d’Alambero principas 3.2.3. Besisukan čio kūno dinaminės guolių  reakcijos 3.2.4. Bendroji dinamikos lygtis 3.2.5. Bendroji dinamikos lygtis, išreikšta apibendrintomis j ėgomis 3.2.6. Lagranžo antrojo tipo lygtys

88 88 88 88 90 91 92 93 93 95 95 99 106 110 113 114

4. SMŪGIS 4.1. Judesio kiekio teorema smūgiui 4.2. Kinetinio momento teorema smūgiui 4.3. Atsistatymo koeficientas 4.4. Ekscentrinis kūno smūgis į nejudantį glotnų paviršių 4.5. Tiesioginis centrinis dviejų kūnų smūgis 4.6. Karno teorema 4.7. Smūgio jėgos poveikis besisukančiam apie nejudamą ją ašį kūnui 4.8. Smūgio centras

120 120 123 124 126 128 132 134 134

5. SVYRAVIMAI 5.1. Laisvieji svyravimai 5.2. Gęstantieji svyravimai 5.3. Priverstiniai svyravimai nesant slopinimui 5.3.1. Priverstini ų svyravim ų fazė 5.3.2. Priverstini ų svyravim ų amplitudė 5.3.3. Plakimas 5.3.4. Rezonansas 5.4. Priverstiniai svyravimai esant slopinimui

138 139 143 146 149 150 153 155 157

LITERATŪRA

161

PRIEDAI 1 priedas. Klausimai savarankiškam darbui 2 priedas. Pagrindinės dinamikos formulės

162 162 165

5

ĮVADAS

Dinamika yra teorin ės mechanikos dalis, kuri nagrin ė ja materialių  jų  taškų , arba kūnų ,  judė jimą priklausomai nuo vis ų juos veikian čių  jų  jėgų ir šių  kūnų inertiškumo. Jėgos są voka, voka, apibr ėžta statikoje, laikoma veikianti pastoviu dydžiu [1–4]. Toks yra sunkis, automobilio traukos j ėga, trinties j ėga, vė jo arba vandens sl ėgis į  paviršių  ir kt. Statika nagrinė ja tik statinį  jėgų  poveikį  (jėgų  veikiamas k ūnas yra pusiausviras arba, kitaip tariant, nejuda) [3–7]. K ūno kinematinė būsena charakterizuojama jo grei čiu. Šiuo atveju k ūno greitis r lygus nuliui, t. y. v = 0 . Taikant ryšių  atlaisvinimo principą  [1], bet kurį  nelaisvą  jį  kūną  galima į sivaizduoti sivaizduoti kaip laisvą  jį , jeigu bus nutraukti kūno ryšiai ir pridėtos atitinkamos ryšių  reakcijos. Šiuo atveju tariame, kad kūnas nekeičia savo kinematinės būsenos, t. y. nejuda. Veikianti jėgų  sistema, tiek išorinių  aktyvių  jų , tiek pridėtų  ryšių  reakcijų , sudaro atsvarinių  jėgų  sistemą , kurios dedamosios jėgos gali būti pavadintos statinėmis, nes jų  poveikis į  laisvą  jį  kūną  nekeičia kūno r kinematinės būsenos ( v = 0 ). Tačiau materialiuosius objektus veikiančios jėgos gali būti ir kintančios [7–11] pagal dydį  ir pagal kryptį : a)  jėgos gali priklausyti nuo laiko, t. y. F  =  f (t ) . Pavyzdžiui, automobilio traukos jėga; b)  jėgos gali priklausyti nuo padėties, t. y. F  =  f ( x ) . Pavyzdžiui, prie ištemptos arba suspaustos spyruoklės galo pritvirtintą  kūną veikia atstatomoji spyruoklės jėga; r r c)  jėgos gali priklausyti nuo greičio, t. y. F  =  f (v ) . Pavyzdžiui, k ūną , judantį  tam tikroje aplinkoje, veikia šios aplinkos pasipriešinimas. Patyrimas rodo, kad, norint išjudinti arba sustabdyti judant į  kūną , t. y. pakeisti jo greit į  arba judė jimo krypt kr yptį , tenka pridėti tam tikrą  jėgą , kuri pakeistų  kūno judė jimo būseną  [7–11]. Jėga, arba jėgų  sistema, kuri yra pridedama prie laisvojo kūno ir pakeičia jo kinematinę  būseną , gali būti pavadinta dinamine. Dėl tokios jėgos poveikio laisvojo materialiojo taško  judė jimas tampa netiesiaeigis ir netolydusis, pasikeičia taško judė jimo greičio kryptis arba greičio didumas. Greičio pakeitimo matas yra pagreitis. Tai reiškia, kad j ėgos poveikis pasireiškia tuo, kad judančiam objektui yra suteikiamas pagreitis. Greičio pokytis priklauso nuo veikiančių  jų  jėgų , taip pat nuo kūno medžiagos kiekio, kuris apibūdinamas kūno mase. Kūno judė jimas priklauso nuo jo geometrinių  charakteristik ų – dydžio ir formos, masės pasiskirstymo jame ir kt. Materialių  jų  kūnų  savybė pasipriešinti greičių  pasikeitimui vadinama inertiškumu. Kūno inertiškumas priklauso nuo kūno masės ir jos išsidėstymo erdvė je. Sisteminant nagrinė jamą  ją  medžiagą  dinamika skirstoma į  dvi dalis: materialiojo taško dinamiką  ir materialių  jų  taškų  mechaninės sistemos dinamiką . Pirmojoje dalyje nagrinė jamas paprasčiausiojo kūno, arba materialiojo taško, judė jimas, t. y. tokio k ūno, kurio matmenys yra be galo maži. Materiali ų  jų  taškų  mechaninės sistemos dinamika nagrinė ja judė jimą  tokios materialių  jų  taškų  visumos, kurioje taško judė jimas priklauso nuo kitų  taškų  judė jimo ir nuo ryšių  tarp judančių  taškų . Dinamika taip pat nagrinė ja standžiojo kūno judė jimą , t. y. jud ė jimą  tokios materialių  jų  taškų  visumos, kurioje atstumai tarp bet kurių  taškų  judant kūnui nesikeičia. Dinamikos uždavinių  sprendimo pagrindus sudaro dinamikos aksiomos. 6

1

PAGRINDINIAI APIBR ĖŽIMAI IR JUDĖJIMO CHARAKTERISTIKOS

Dinamika nagrinė ja į vairius vairius mechaninius reiškinius: kūnų  judė jimą  veikiant sunkio jėgoms, kūnų  judė jimą  paviršiais, veikiant tam tikroms j ėgoms, mašinų  ir mechanizmų  judė jimą  ir kt. Šiuos į vairius vairius sudėtingus reiškinius galima nagrinėti ir uždavinius sprę sti sti taikant kelis pagrindinius mechanikos dėsnius – dinamikos aksiomas, paremtas praktine patirtimi. Mechanikos pagrindus suformulavo senovės graikijos filosofas ir mokslininkas Archimedas (287–212 m. pr. m. e.). Pagrindinius mechanikos dėsnius XVII a. apibendrino fizikas, mechanikas ir astronomas Galilė jus (Galileo Galilei, 1554 −1642) savo knygoje Pasikalbė jimai ir matematiniai įrodymai apie dvi naujas mokslo šakas … (1638 m.). Klasikin ės mechanikos principus suformulavo anglų  fizikas, mechanikas, astronomas ir matematikas Niutonas (Isaac Newton, 1642−1727) savo svarbiausiame veikale Matematiniai gamtos filosofijos pagrindai (1687 m.).

1.1. Dinamikos aksiomos Pirmoji aksioma − inercijos dėsnis (šį  dėsnį 1638 m. suformulavo Galilė jus): kiekvienas r r k ūnas yra ramyb ės b ūsenos v = 0 arba juda tiesiai ir tolygiai v = const  , kol atsiranda j ėgos, čia kurios priver č  i  a jį pakeisti šią būseną. Lotynų  kalba dėsnis skamba taip: corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur statam suum mutare. Galilė jus išk ėlė mintį , kad tiktai j ėgos dinaminis poveikis turi į takos takos laisvojo materialiojo kūno greičio kitimui. Minėtoji kūno kinematinė būsena vadinama inercine ir šiuo atveju kūno pagreitis lygus r nuliui, t. y. a = 0 . Atskaitos sistema, pagal kurią  nagrinė jamas kūno judė jimas, vadinama inercine (nejudria) arba Galilė jaus atskaitos sistema. sis tema. Sprę sdami sdami technikos uždavinius laikome, kad inercinė atskaitos sistema visada yra susijusi su Žeme. Antroji dinamikos aksioma − pagrindinis dinamikos dėsnis. Pagrindinį  dinamikos iai dėsnį  suformulavo Niutonas: materialiojo taško pagreitis yra proporcingas tašk ą veikianč iai  jėgai ir nukreiptas j ėgos veikimo kryptimi. Lotynų  kalba dėsnis skamba taip: mutationem motus proportionalen esse vi motrici impressae et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur . Aksioma nusako laisvai judančio materialiojo taško pagreičio atsiradimo priežastį  – greičio pokytis yra pagreitis, o materialiojo taško judė jimo kiekis yra judančio taško dinaminė r charakteristika, kuri lygi materialiojo taško mas ės ir greičio sandaugai, t. y. mv (žr. 1.5 sk.). r Tarkime, kad masės m tašką  veikia pastoviojo dydžio ir krypties jėga F  . Kai pradiniu r r laiko momentu taško greitis yra v 0 , o galutiniu laiko momentu yra v , antrą  jį  Niutono (dinamikos) dėsnį galima užrašyti taip: r

r

r

F (t − t o ) = mv − mv 0 ,

arba

r

r

r

F ∆t  = mv − mv 0 .

7

Jeigu jėgos veikimo laikas neapibrėžtai mažė ja ir art ė ja prie nulio, r

r

r

mv − mv 0 d  r d v F  = lim = (mv ) = m , ∆t → 0 ∆t  dt  dt  r

arba r

r

F  = ma.

(1)

Gautoji lygtis yra antrojo Niutono (dinamikos) d ėsnio matematinė išraiška, ji vadinama pagrindine dinamikos lygtimi . Iš šios lygties išplaukia pagrindinio dinamikos d ėsnio io sandauga yra lygi j į veikianč iai iai jėgai, o apibrėžimas: materialiojo taško mas ės ir pagreič io  pagreič io io kryptis sutampa su j ėgos veikimo kryptimi (1 pav.). r

mv

r

v

 M  liestinė

r

a

r

F 

 B

 A

r

1 pav. Taško M judė jimas veikiant jėgai F 

Trečioji dinamikos aksioma – veiksmo ir atoveikio dėsnis. Poveikis visada lygus atoveikiui (reakcijai), t. y. dviej ų  k ūnų  poveikiai vienas kitam yra vienodo dydžio ir nukreipti į  priešingas puses. Lotynų  kalba šis d ėsnis skamba taip: actioni centriam semper et aequalem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper easse aequales et in paries contrarias dirigi. r Tarkime, kad judantis materialusis m A masės taškas  A jėga F  A veikia material ų  jį  m B  B (2 pav.). masės tašką  B

r

r

r

F  B

a A

r

F  A

a B

m A

m B  A

 B

veika 2 pav. Materialių  jų taškų  są veika

8

Užrašysime materialiajam taškui  B pagrindinę dinamikos lygt į , į vertindami vertindami tai, kad taškas r  B juda pagrei čiu a B : r

r

F  A = m B a B . r

Taško B atoveikis į  taško A poveikį  pasireiškia reakcija F  B , kuri bus prid ėta prie taško  A ir kurios reikšmė remiantis pagrindine dinamikos lygtimi bus lygi taško  A masės m A ir taško r pagrei čio a A sandaugai, sandaugai, t. y. r

r

F  B = m A a A . Įvertinant tai, kad poveikis lygus atoveikiui, t. y. F  A = F  B , gaunama m A a A = m B a B ,

todėl m A a B = . m B a A

(2)

iai yra atvirkš č  i  ai proporcingi j ų  masėms – Vadinasi, materialių  jų  tašk ų  ų  įgyjami pagrei č iai čiai didesnės masės taškas į gyja gyja mažesn į  pagreitį , ir atvirkščiai. Be to, pagrei čiai nukreipti į  tą  pačią tiesę , kaip ir veikian čios jėgos.

Ketvirtoji dinamikos aksioma – jėgų veikimo nepriklausomumo dėsnis. Kai materialų  jį tašk ą vienu metu veikia kelios j ėgos, taško pagreitis lygus geometrinei sumai  pagreič ių  , kuriuos taškas įgis nuo kiekvienos j ėgos. r r r Tarkime, material ų  jį  masės m tašką  veikia jėgos F 1 , F 2 , ..., F n . Pasižymėsime taško r r r r pagreitį  a , o dydžiais a1 , a 2 , ..., a n tuos pagrei čius, kuriuos taškas į gyt gytų , jeigu šios j ėgos veiktų  kiekviena atskirai. Remiantis j ėgų  veikimo nepriklausomumo d ėsniu galima užrašyti: r

r

r

a = a1 + a 2 + ... + a n .

Dauginame abi šios lygties puses iš taško mas ės m: r

r

r

ma = ma1 + ma 2 + ... + ma n .

Remiantis pagrindiniu dinamikos d ėsniu: r

r

r

r

r

r

F 1 = m1 a1 , F 2 = m 2 a 2 , ..., F n = m n a n . Įrašę  jėgų  reikšmes į  (3) formulę , gauname: r

r

r

r

ma = F 1 + F 2 + ... + F n ,

9

(3)

arba r

n

r

ma = ∑ F i .

(4)

i =1

Gautoji išraiška (4) yra  pagrindinis dinamikos d ėsnis tuo atveju, kai judant į  materialų  jį  tašką veikia kelios j ėgos.

1.2. Materialiojo taško masė Nagrinė jant judančio materialiojo taško dinamikos klausimus susiduriame su šio taško medžiagos kiekiu, kuris vadinamas mase. Klasikinė je mechanikoje laikoma, kad materialiojo taško mas ė yra pastovusis dydis ir nepriklauso nuo jud ė jimo greičio. Todėl iš pagrindinės dinamikos lygties (1) išplaukia i šplaukia išvada, kad, norint suteikti materialiajam taškui tam tikr ą  pagreitį , reikia jį  paveikti jėga, kuri priklausytų  nuo taško mas ės. Kuo didesn ė taško masė, tuo didesn ė turėtų  būti veikianti jėga, ir atvirkščiai. Kitaip sakant, išjudinti lengvesn į  materialų  jį  tašką  yra lengviau negu tašk ą , kurio masė didesnė, nes didesn ės masės taško inertiškumas yra didesnis. Taigi materialiojo taško masė yra šio taško inertiškumo matas. Iš pagrindinės dinamikos lygties (1) galima rasti mas ės bendrą  ją išraišką kilogramais: m=

F  (kg), a

(5)

o konkreti materialiojo taško mas ė gali būti rasta pagal žinom ą  veikiančią  ją  jėgą  ir žinomą  pagreitį : m=

G . g

(6)

Pavyzdžiui, prie Žem ės paviršiaus veikia sunkis G, o Žemės traukos pagreitis yra g (jis priklauso nuo geografinio plo čio ir aukš čio virš jūros lygio tos vietos, kurioje yra materialusis taškas). Žem ės traukos pagrei čio dydį  galima apskai čiuoti pagal empirin ę formulę : g = 9,7805(1 + 0,00529 sin 2 ϕ)(1 − 0,000000314h ) [m/s 2 ];

(7)

čia ϕ – materialiojo taško pad ėties geografinis plotis; h – materialiojo taško aukštis virš j ūros lygio metrais.

1.3. Standžiojo kūno ir mechaninės sistemos masės centras Statika [1] nagrin ė ja lygiagrečių  jų  jėgų  centro są vok voką , kuria remiantis buvo suformuluotas ir kitas apibr ėžimas – standžiojo k ūno svorio centras, arba toks standžiojo

10

kūno taškas C , kuriame pridedamas k ūno sunkis ir kurio koordinat ės skaičiuojamos taikant formules: n

 xc =

Gk  x k  ∑ k  1 =

n

Gk  ∑ k  1

n

,

G k  y k  ∑ k  1

 y c =

=

n

Gk  ∑ k  1

=

n

,

 z c =

=

Gk  z k  ∑ k  1 =

n

Gk  ∑ k  1

.

=

Įvertinę  tai, kad tarp materialiojo taško sunkio ir mas ės yra priklausomyb ė (6), gauname elementaraus k ūno arba jo dalies sunkio išraišk ą  Gk  = mk g . Atlikę  atitinkamus pakeitimus,

gauname išraiškas taško C koordinatėms rasti: n

n

 xc =

mk  x k  ∑ k  1 =

n

mk  ∑ k  1 =

,

 y c =

m k  y k  ∑ k  1 =

n

mk  ∑ k  1

n

,

=

 z c =

mk  z k  ∑ k  1 =

n

mk  ∑ k  1

.

(8)

=

Mechaninės sistemos arba standžiojo k ūno taškas C , kurio koordinat ės randamos iš (8), vadinamas masės centru. Sprendžiant uždavinius daroma prielaida, kad jame sukoncentruota visa mechanin ės sistemos arba standžiojo k ūno masė. Šis taškas, analogiškai lygiagre čių  jėgų  centrui arba standžiojo k ūno svorio centrui, nekei čia savo pad ėties, kai mechanin ė sistema arba standusis k ūnas yra pasukami bet kokiu kampu bet kuria kryptimi. Matome, kad mas ės centro pad ėtis kiekvienu laiko momentu priklauso nuo tašk ų  padėties ir taškų  masių . Todėl galima padaryti išvad ą , kad mechanin ės sistemos, taip pat standžiojo kūno masės centras kiekvienu momentu sutampa su sunkio j ėgos pridėties tašku. S ą voka voka masės centras priimtina bet kokiai mechaninei sistemai nepriklausomai nuo to, ar ši ą  sistemą  kitos išorinės aktyvios j ėgos veikia, ar ne. Mas ės centro są voka voka yra mechanin ės sistemos masės pasiskirstymo charakteristika ir tinka bet kokiai atskaitos sistemai. Svorio centro są voka voka egzistuoja tik tuo atveju, kai mechanin ė sistema arba standusis k ūnas yra vienalyčiame sunkio jėgų  lauke, pavyzdžiui, prie Žem ės.

1.4. Inercijos momentai Kaip buvo min ėta anksčiau, materialių  jų  taškų  arba kūnų  savybė pasipriešinti grei čių  pasikeitimui vadinama j ų  inertiškumu. Taip pat buvo min ėta, kad materiali ų  jų  taškų  mechaninės sistemos inertiškumas vis ų  pirma priklauso nuo sistemos mas ės ir jos išsid ėstymo erdvė je. Materialių  jų  taškų  mechaninės sistemos inertiškumui į vertinti vertinti vartojama inercijos momento są voka. voka. Inercijos momentas žymimas raide  I  ir bendruoju atveju išreiškiamas kaip mechaninę  sistemą  sudarančių  elementarių  jų  dalelių  masių ir jų  atstumų  iki nagrinė jamo taško arba koordinačių ašies kvadrato sandaug ų suma, t. y.: n

 I  = ∑ m k  ⋅ hk 2 . k =1

11

(9)

Nagrinėsime standžiojo k ūno charakteristikas. Kiekvienas k ūnas turi mas ę  nepriklausomai nuo jud ė jimo pobūdžio. Tačiau masė yra kūno inertiškumo matas tik esant slenkamajam judė jimui. Esant kitiems kūno judė jimams inertiškumas charakterizuojamas charakterizuojamas inercijos momentu. Dažniausiai inercijos į taka taka aktuali esant sukamajam jud ė jimui bet kurios ašies arba taško atžvilgiu. Tarkime, kad erdv ė je yra standusis kūnas, sudarytas iš n materialių  jų taškų (3 pav.):  z mk  O

 zk   yk 

 xk 

 y

 x 3 pav. Standžiojo kūno elementariosios dalelės koordinatės

Tardami, kad k ūno bet kurios elementarios mas ės mk  atskaitos sistemoje Oxyz koordinatės  x k  , y k  , z k  turėsime tokius inercijos momentus koordina čių ašių atžvilgiu: n

 I  x = ∑ m k  ( y k 2 +  z k 2 ), k =1 n

 I  y = ∑ mk  ( z k 2 + x k 2 ),

(10)

k =1 n

 I  z = ∑ mk  ( x k 2 +  y k 2 ). k =1

Inercijos momentas koordina čių  pradžios atžvilgiu vadinamas poliniu inercijos momentu,  jo reikšmė bus tokia: n

 I o = ∑ mk  ( x k 2 +  y k 2 +  z k 2 ).

(11)

k =1

Kai inercijos momentai skai čiuojami koordinačių  plokštumų  atžvilgiu, galima taikyti tokias formulės: n

 I  yOz = ∑ m k  x k 2 , k =1 n

 I  xOz = ∑ mk  y k 2 , k =1 n

 I  xOy = ∑ m k  z k 2 . k =1

12

(12)

Standžiojo kūno inercijos moment ą  bet kurios ašies, pavyzdžiui, Oz, atžvilgiu galima išreikšti kūno masės ir tiesinio dydžio i z kvadrato sandauga:  I  z = M  ⋅ i z2 ;

(13)

čia M – kūno masė; i z – kūno inercijos spindulys. Iš (13) formul ės išplaukia, kad inercijos spindulys i z yra toks nuo Oz ašies taško nutol ę s są lyginis lyginis atstumas, kuriame reikia sukoncentruoti k ūno masę  tam, kad šio taško inercijos momentas būtų  lygus kūno inercijos momentui. Kūno inercijos momentai pasižymi tokiomis savyb ėmis: – nepriklausomai nuo atskaitos sistemos pradžios pasirinkimo k ūno inercijos momentai visada yra teigiami ir nusako mas ės išsidėstymą  erdvė je; – kūno inercijos moment ų  koordinačių  ašių  atžvilgiu suma lygi dvigubam poliniam inercijos momentui, t. y.

 I  x + I  y + I  z = 2 I O ;

(14)

– k ūno inercijos moment ų  koordinačių  plokštumų  atžvilgiu suma lygi poliniam inercijos momentui, t. y.  I  xOy + I  xOz + I  yOz = I O ;

(15)

– kūno inercijos momentas bet kurios koordina čių  ašies atžvilgiu lygus inercijos momentui koordinačių plokštumų , kurios eina per ši ą ašį , sumai, t. y.  I  x =  I  xOy + I  xOz ,  I  y =  I  xOy + I  yOz ,  I  z =  I  xOz + I  yOz .

(16)

Be ašini ų  ir polinio inercijos moment ų , dar yra išcentriniai inercijos momentai , kurie taip pat apibūdina kūno masės išsidėstymą  erdvė je ir kurie skai čiuojami kaip taškų  masių  ir dviejų  koordinačių sandaugų  suma, t. y. n

 I  xy = ∑ mk  ⋅ x k  ⋅ y k  , k =1 n

 I  yz = ∑ mk  ⋅ y k  ⋅ z k  ,

(17)

k =1 n

 I  xz = ∑ mk  ⋅ x k  ⋅ z k . k =1

Iš formulių  (17) išplaukia, kad išcentriniai inercijos momentai savo indeks ų  atžvilgiu yra simetriniai, t. y. 13

 I  xz = I  zx .

 I  yz = I  zy ,

 I  xy =  I  yx ,

Išcentriniai inercijos momentai priklauso ne tik nuo koordina čių  ašių  krypties, bet ir nuo ašių  pradžios pasirinkimo vietos. Kalbant apie išcentrinius inercijos momentus pasirinktame taške, laikoma, kad koordina čių ašių  pradžia sutampa su pasirinktuoju tašku. Prie išcentrinių  inercijos moment ų  savybių  galima priskirti tai, kad išcentriniai inercijos momentai gali turėti bet kok į  ženklą ir gali būti lygūs nuliui. Jeigu standžiojo k ūno du išcentriniai inercijos momentai lyg ūs nuliui, tai indeksas išcentrinio inercijos momento pavadinime rodo koordina čių  ašį , kuri šiuo atveju vadinama svarbiausią ja k ūno inercijos ašimi pasirinktame taške. Pavyzdžiui, jeigu  I  xz = I  yz = 0, tai ašis Oz yra svarbiausioji inercijos ašis. Jeigu svarbiausioji ašis dar eina ir per k ūno masės centrą , tai tokia ašis vadinama svarbiausią ja centrine k ūno inercijos ašimi . Nustatyta, kad: a) jeigu kūnas turi materialios simetrijos plokštum ą , tai visiems k ūno taškams ašis, kuri statmena simetrijos plokštumai, yra svarbiausioji inercijos ašis; b) jeigu kūnas turi materialios simetrijos aš į , tai ši ašis yra svarbiausioji centrin ė kūno inercijos ašis, kuri vadinama dinamin ės simetrijos ašimi.

Tarkime, materialiojo k ūno simetrijos ašyje pasirenkame tašk ą  O kaip atskaitos sistemos pradžią  (4 pav.). Dekarto ašis išveskime taip, kad ašis Oz eitų per kūno simetrijos aš į .  B

 z

 z B  x B

 A

 y B

O

 z A

 y

 x A

 y A

 x

4 pav. Standžiojo kūno išcentrinių inercijos momentų  skaičiavimo schema

Kūno materialios simetrijos savybi ų  ašies Oz atžvilgiu bet kokiam k ūno taškui  A, kurio elementari mas ė m A ir koordinatės  x A , y A , z A , visada atsiras taškas  B, kurio elementari mas ė  A ir B elementarios mas ės yra lygios, t. m B ir koordinatės  x B , y B , z B . Įvertinant tai, kad tašk ų  A y. m A = m B = m, ir koordinatės  x B = − x A ,  y B = − y A ,  z B = z A , užrašysime išcentrinius inercijos momentus  I  xz ir  I  yz . Skaičiuodami išcentrinius inercijos momentus sudedame vis ų  kūno elementarių masių ir atitinkamų  koordinačių  sandaugas: n

n

n

n

n

n

k =1

k =1

k =1

k =1

k =1

k =1

 I  xz = ∑ m A ⋅ x A z A + ∑ m B ⋅ x B z B = ∑ m ⋅ x A z A + ∑ m ⋅(− x A ) z A = ∑ m ⋅ x A z A − ∑ m ⋅ x A z A = 0,

14

n

n

n

n

n

n

k =1

k =1

k =1

k =1

k =1

k =1

 I  yz = ∑ m A ⋅  y A z A + ∑ m B ⋅  y B z B = ∑ m ⋅ y A z A + ∑ m ⋅(−  y A ) z A = ∑ m ⋅ y A z A − ∑ m ⋅  y A z A = 0.

Gauname, kad  I  xz = 0 ir  I  yz = 0 , o ašis Oz – svarbiausioji centrin ė inercijos ašis, nes kūno masės centras yra simetrijos ašyje. Inercijos moment ų dimensija – kg ⋅ m 2 .

1.4.1. Inercijos momentai lygiagrečių jų ašių atžvilgiu Tarkime, kad turime materiali ų  jų  taškų  mechaninę  sistemą , kurios masės centras yra žinomas. Išvedimui supaprastinti nagrin ėsime sistemos atskir ą  jį  atvejį  – standų  jį  kūną  (5 pav.).  z  z1 O, C  l y

 xK   x

mK   z K   z1 d 

l x

O1  y1

 x1

 y K   y  y1

 x1

5 pav. Standžiojo kūno inercijos momentų  skaičiavimo schema

Išveskime koordina čių  ašis Ox, Oy, Oz per kūno masės centrą  C . Plokštumoje  xOy atstumu d  nuo taško O pasirenkame tašk ą  O1 , pro kurį  išvedame koordina čių  ašis Ox1 , Oy1 ir Oz1 taip, kad jos b ūtų lygiagrečios su ašimis Ox, Oy, Oz . Užrašysime kūno inercijos momento ašies  z1 atžvilgiu išraišk ą , į vertindami vertindami kūno bet kurio taško masės koordinat ę atskaitos sistemoje  x1 y1 z1 . Turėsime: n

 I  z1 = ∑ m k  ⋅ ( x12 + y12 ). k =1

Įvertinę tai, kad koordinat ės  x1 = x k  − l x ir  y1 =  y k  − l y , po pertvarkymo gausime: n

 I  z1 = ∑ m k  ⋅ [( x k  − l x )2 + ( y k  − l y )2 ] = k =1 n

n

n

n

k =1

k =1

k =1

∑ mk  ⋅ ( x k 2 +  y k 2 ) + ∑ mk  ⋅ (l x2 + l y2 ) − 2l y ∑ mk  x k  − 2l x ∑ mk  y k . k =1

Pirmasis gautosios priklausomyb ės narys yra k ūno inercijos momentas ašies z, kuri eina per kūno masės centrą  C , atžvilgiu, t. y. 15

n

 I  zC  = ∑ m k  ⋅ ( x k 2 +  y k 2 ). k =1

Antrasis narys

n

m k  ⋅ (l x2 + l y2 ) , kuriame kiekviena k ūno elementari mas ė dauginama iš ∑ k  1 =

pastoviojo dydžio (l + l y2 ) , pertvarkomas taip: 2  x

n

mk  ⋅ (l ∑ k  1

2  x

2  y

+l

) = (l

2  x

2  y

+l

n

) ⋅ ∑ m k  = M  ⋅ d 2 ; k =1

=

čia M  – k ūno masė, kuri yra lygi vis ų  kūno materialių  jų  taškų  masių  sumai; d – atstumas tarp

 z ir  z1 ; ašių  z

n

n

=

=

mk  x k  ir ∑ mk  y k  ∑ k  1 k  1

– kūno materialių  jų taškų statinių moment ų sumos.

Iš (8) formulės gausime: n

∑ mk  x k  = M  ⋅ xC  ir k =1

n

m k  y k  = M  ⋅ y C ; ∑ k  1 =

čia  xC  ir  y C  – kūno masės centro koordinat ės. Koordinačių  ašis  z išvesta per k ūno mases centr ą  C , todėl  xC  = 0 ir  yC  = 0. Gauname,

kad trečiasis ir ketvirtasis nariai lyg ūs nuliui, nes n

m k  x k  = 0 ∑ k  1

ir

=

n

m k  y k  = 0. ∑ k  1 =

Galima padaryti išvad ą , kad  I  z1 =  I  zC  + M  ⋅ d 2 .

(18)

 Heigenso ir Šteinerio Gavome inercijos momento lygiagre čių  jų  ašių  atžvilgiu teoremą  ( Heigenso teoremą): standžiojo k ūno inercijos momentas bet kurios ašies atžvilgiu lygus inercijos momento lygiagre č ios ios ir išvestos per k ūno masės centr ą ašies atžvilgiu, ir k ūno masės,  padaugintos iš atstumo tarp ašių  kvadrato, sumai . Iš (18) matome, kad standžiojo k ūno, arba materiali ų  jų  taškų  sistemos, mažiausias inercijos momentas yra per mas ės centr ą išvestos ašies atžvilgiu.

1.4.2. Inercijos momentai laisvai nukreiptos ašies atžvilgiu Per laisvai pasirinkt ą  kūno tašką  O (6 pav.) išvedamos Dekarto koordina čių  sistemos ašys:

16

 z

 L hK 

γ 

mK 

β

α

 y

 z K 

O

 xK   y K 

 x

6 pav. Standžiojo kūno inercijos momento laisvai nukreiptos ašies atžvilgiu skaičiavimo schema

Iš taško O išvedame aš į  OL, sudarančią  su koordinačių  ašimis kampus α, β ir . Skaičiuosime kūno inercijos moment ą šios ašies atžvilgiu. Laisvai parenkamas k ūno elementariosios mas ės mk  taškas, kurio koordinat ės  xk  ,  yk  ,  z k  , nutolę s nuo ašies OL atstumu hk  . Kūno inercijos momentas ašies OL atžvilgiu yra kiekvienos kūno elementarios mas ės ir atstumo hk  iki ašies OL kvadratu sandaug ų suma: n

 I OL = ∑ m k hk 2 .

(19)

k =1

Naudodami analizin ės geometrijos formul ę , galime užrašyti išraišk ą  atstumui hk  tarp taško ir ašies OL rasti: hk 2 = ( y k  cos γ  − z k  cos β)2 + ( z k  cos α − x k  cos γ )2 + ( x k  cos β −  y k  cos α) 2 . Įtraukę  gaut ą  ją  hk  išraišką į  ą į  (19) formulę ir atlikę matematinius pertvarkymus, gauname: n

n

n

n

 I OL = ∑ m h = cos α ∑ ( y +  z ) + cos β∑ m k  ( z +  x ) + cos γ ∑ mk  ( x k 2 +  y k 2 ) − 2 k  k 

2

k =1

2 k 

2 k 

2

k =1

2 k 

2 k 

k =1

n

n

k =1

k =1

2

k =1 n

2 cos β cos γ ∑ m k  y k  z k  − 2 cos γ cos α∑ mk  z k  x k  − 2 cos α cos β∑ mk  x k  y k . k =1

Toliau, į vertin vertinę (10) ir (19) priklausomybes, galime užrašyti: užrašyti:  I OL = cos 2 α ⋅ I  x + cos 2 β ⋅ I  y + cos 2 γ ⋅ I  z − 2 cos β cos γ ⋅ I  yz −

2 cos γ cos α ⋅ I  xz − 2 cos α cos β ⋅ I  xy .

(20)

Žinodami standžiojo k ūno inercijos momentus Dekarto koordina čių  ašių  atžvilgiu ir kūno išcentrinius inercijos momentus, pagal (20) formul ę  galime apskai čiuoti šio kūno inercijos momentą bet kaip nukreiptos ašies atžvilgiu.

17

1.4.3. Inercijos momentų skaičiavimo pavyzdžiai Jeigu vienalyčio kūno geometrinė forma yra taisyklinga, tai jo inercijos momentus galima rasti integralinio skai čiavimo metodais. Taikydami šį  metodą  tariame, kad vienalytis k ūnas susideda iš be galo didelio skai čiaus elementarių  jų  masių  mi , kurių  atstumai iki bet kuruos ašies, pavyzdžiui OK , yra hi . Tuomet kūno inercijos momentas šios ašies atžvilgiu bus: n

 I OK  = ∑ hi2 mi . i =1

Kuo daugiau tur ėsime elementarių  kūno masių , tuo tikslesn ė bus inercijos momento išraiška. Tod ėl paskutinę  formulę galima perrašyti taip: n

n

 I OK  = ∑ h m[ = lim ∑ hi2 mi . 2 i

n →∞

i =1

i =1

Gauname:  I OK  = ∫ h 2 dm ;

(21)

 M 

čia dm – elementari vienaly čio kūno masė; h – šios mas ės atstumas iki ašies. Integravimas vyksta pagal vis ą  kūno masę . Taikysime š į  inercijos momento skai čiavimo metodą  kai kurių  vienalyčių  kūnų  inercijos momentams skai čiuoti.

Plono strypo inercijos momentai Vienalyčio pastovaus skerspj ūvio masės  M  strypo ilgis l (7 pav.). Rasime jo inercijos  Ax ir  Az  Az atžvilgiu. momentus aši ų  Ax

 z dm C 

 A  y  x

 B

dy l

7 pav. Plonas strypas

Pagal (21) galima užrašyti:  I  x = I  z = I  A = ∫ y 2 dm.  M 

18

 y

Įvertindami tai, kad elementari mas ė dm lygi strypo ilgio santykinio tankio γ l =

 M  ir l

elementarios masės ilgio dy sandaugai, tur ėsime: dm = γ l ⋅ dy =

 M  ⋅ dy. l

Gauname:  y

 M   M  l 2  M   y 3  I  A = ∫ y dm = ∫  y ⋅ ⋅ dy = ∫ y dy = ⋅ l l 0 l 3  M   y0 = 0 2

2

l

0

 M  l 3 1 2 = ⋅ =  Ml . l 3 3

Taigi vienalyčio plono pastovaus skerspj ūvio strypo inercijos momentas jo galo atžvilgiu lygus: 1  I  A =  Ml 2 . 3 Taikant (18) formul ę  gaunama, kad šio strypo inercijos momentas mas ės centro atžvilgiu lygus: 1  I C  =  Ml 2 . 12 Plono žiedo ir vamzdžio inercijos momentai Tarkime, kad plono žiedo spindulys  R ir masė M (8 pav., a).

 z

 z dm O

 R

 y

O  y

l  x

 x a) plonas žiedas

b) plonas vamzdys

8 pav. Simetriški tuščiaviduriai kūnai

 x ašies arba centro O atžvilgiu. Naudojant (21) formul ę  Raskime žiedo inercijos moment ą  x galima užrašyti:  I  x = I O = ∫ R 2 dm.  M 

19

Žiedo masė paskirstyta tolygiai vienodu atstumu nuo centro. Tod ėl  I O = ∫ R 2 dm = R 2 ∫ dm = MR 2 .  M 

 M 

Taigi žiedo inercijos momentas jo centro atžvilgiu:  I O =  I  x =  MR 2 . Įvertinant tai, kad inercijos momentai koordina čių  ašių  z ir  y atžvilgiu yra lyg ūs, nes žiedas jų  atžvilgiu išdėstytas simetriškai, ir tai, kad  I  x =  I O , taikant (14) formul ę , nesunkiai

 z ir y atžvilgiu: gaunami žiedo inercijos momentai koordina čių ašių  z

1  I  z =  I  y =  MR 2 . 2 Jeigu kūno masė išdėstyta plono vamzdžio pavidalu (8 pav., b), tai vamzdžio inercijos momento x ašies atžvilgiu skai čiavimas nepriklausys nuo vamzdžio ilgio, t. y.  I  x = MR 2 . Plono skritulio inercijos momentai Raskime plono skritulio, kurio spindulys  R ir masė M , inercijos momentus (9 pav., a).  z

dm

 z

dr  r 

O

 y

O

 y

l

 x  x a) plonas skritulys

b) pilnutinis cilindras

9 pav. Simetriški vienalyčiai kūnai

Apskai čiuosime skritulio inercijos moment ą  centro O skai čiavimams (21) formulę , gausime:  I  x = I O = ∫ r 2 dm.  M 

20

atžvilgiu. Taikydami

Įvertinę  tai, kad elementari skritulio mas ė dm , kuri yra atstumu r  nuo skritulio centro,  M  lygi skritulio ploto tankio γ S  = 2 ir elementarios mas ės ploto 2π ⋅ r ⋅ dr  sandaugai, t. y. π R  M  2 M  dm = γ S  ⋅ ds = 2 ⋅ 2π ⋅ rdr = 2 rdr , gauname: π R  R  R

2 M  2 M   R 3 1  I  x = I O = ∫ r  dm = ∫ r  2 rdr = 2 ∫ r  dr =  MR 2 . 2  R  R 0 0  M  2

2

Taigi skritulio inercijos momentas jo centro ir ašies  x atžvilgiu bus lygus: 1  I  x =  I O =  MR 2 . 2 Taikydami (14) formul ę , nesunkiai gauname: 1  I  y =  I  z =  MR 2 . 4 Matome, kad skritulio inercijos momentas  I  x nepriklauso nuo jo storio. Tod ėl pilnutinio cilindro (9 pav., b) mas ės inercijos momentas šios ašies atžvilgiu gali b ūti apskaičiuotas pagal skritulio inercijos momento ašies  x skaičiavimo formulę , t. y. 1  I  x =  MR 2 . 2 Storasienio vamzdžio inercijos momentas Jeigu kūno masė išdėstyta kaip storasienis vamzdis (10 pav.), kurio išorinis spindulys  R, kiaurymės spindulys  R0 ir masė  M , tai tokio vamzdžio inercijos momentas  x ašies atžvilgiu

lygus inercijos momento pilnutinio cilindro ir inercijos momento kiaurym ės skirtumui, t. y.  I  x =  I 1 − I 2 .

 z

 R0

 R1 O

 y l

 x 10 pav. Storasienis vamzdis

21

Pilnutinio cilindro inercijos momentas  x ašies atžvilgiu

1  I 1 =  M 1 R 2 , o kiaurymės 2

1  I 2 =  M 2 R02 ; čia  M 1 – pilnutinio cilindro mas ė;  M 2 – kiaurymės masė. Tuomet storasienio 2 vamzdžio inercijos momentas bus lygus: l ygus: 1  I  x = ( M 1 R 2 − M 2 R02 ). 2 Tarę , kad storasienio vamzdžio t ūrio są lyginis lyginis tankis γ  lygus kūno masei, padalytai iš kūno tūrio, gausime: γ  =

 M   M  = V  π( R 2 − R02 )b

ir galėsime apskai čiuoti cilindrų mases  M 1 ir  M 2 , kurių tūriai V 1 ir V 2 . Atlikę skai čiavimus, gausime:  M   MR 2 2  M 1 = γ ⋅ V 1 = ⋅ π R b = 2 πb( R 2 − R02 )  R − R02

ir  MR02  M  2  M 2 = γ ⋅ V 2 = ⋅ π R0 b = 2 . πb( R 2 − R 02 )  R − R02 Įvertinę  masių  reikšmes, gausime storasienio vamzdžio inercijos moment ą  centrinės ašies atžvilgiu:

 MR02  MR 2 1 1   2 2 2 2     I  x = ( M 1 R − M 2 R0 ) =  2  R −  R 0 = 2 2 2 2 2   R − R0  R − R0    M   M  1 1 4 4 ⋅ 2  R −  R = ⋅ ( ) ( R 2 − R02 ) ⋅ ( R 2 + R02 ). 0 2 2 2 2  R − R0 2  R − R0  x ašies atžvilgiu: Taigi gausime storasienio vamzdžio inercijos moment ą  x

1  I  x = ⋅ M ( R 2 + R02 ). 2

Plono keturkampio inercijos momentas Tarkime, kad k ūno masė  M  tolygiai išdėstyta plonoje keturkamp ė je plokštelė je, kurios matmenys a ir b (11 pav.).

22

 y dy

b

dm

 y a

 x

11 pav. Plona keturkampė plokštelė

Apskai čiuosime kūno inercijos moment ą , pavyzdžiui,  x ašies atžvilgiu. Taikant (21) formulę galima užrašyti:  I  x = ∫ y 2 dm.  M 

Elementarios masės dm reikšmė lygi kūno ploto santykinio tankio γ s = elementarios masės ploto ds = a ⋅ dy sandaugai, t. y. dm = γ s ⋅ ds =

 M   M  ⋅ a ⋅ dy = ⋅ dy. ab b

Tuomet b

 M   M  b 2  M   y 3  I  x = ∫ y dm = ∫ y ⋅ ⋅ dy = ∫ y dy = ⋅ b b 0 b 3 0  M  2

2

 M  b 3 = ⋅ . b 3 0

b

 x ašies atžvilgiu: Taigi gavome plono keturkampio mas ės inercijos moment ą  x

1  I  x =  Mb 2 . 3 Nesunkiai gauname, kad 1  I  y =  Ma 2 . 3

Plono trikampio inercijos momentas Tarkime, kūno masė išdėstyta plono stačiakampio trikampyje (12 pav.).

23

 M  ir ab

 y dm dy

b

c

 y

a

 x

12 pav. Plona trikampė plokštelė

Pritaikysime (21) formulę  inercijos momentui  x ašies atžvilgiu skai čiuoti. Galime užrašyti:  I  x = ∫ y 2 dm.  M 

Iš (12 pav.) matome, kad elementari mas ė dm priklauso nuo pj ūvio padėties, t. y. nuo  y koordinatės, nes kei čiasi elementarios mas ės dydis c. Nustatysime dydžio c pokytį  priklausomai nuo y koordinatės. Iš trikampių panašumo gauname: b −  y c = , b a

todėl a c = (b − y ). b

Elementari masė dm skaičiuojama kaip šios mas ės elementarusis plotas ds = c ⋅ dy ,  M   M  2 M  = padaugintas iš trikampio ploto s ą lyginio lyginio tankio γ s = = . S  1 2 (ab ) ab Įrašę  visas reikšmes ir atlik ę  visus matematinius skai čiavimus, gauname trikampio inercijos momentą : 2 M  2 2 M  b 2 a  I  x = ∫ y dm = ∫ y ds ⋅ γ s =  y c ⋅ dy = ⋅ ∫ y ⋅ (b −  y )dy = ∫ ab ab b 0  M   M M  2

2

b b    y 3 b  y 4 b   2aM  b 2 2 M   2  M  2 3    =  y (b −  y )dy = 2  b ∫ y dy − ∫ y dy  = 2  b − 3 4 abb ∫0 b   0 b 0 0     0  

2 M    b 3 b 4   1  b −  =  Mb 2 . 2  4   6 b   3 24

Taigi plono trikampio formos išd ėstytos masės inercijos momentas  x ašies atžvilgiu bus: 1  I  x =  Mb 2 . 6 Gauname, kad inercijos momentas  y ašies atžvilgiu bus: 1  I  y =  Ma 2 . 6 Šis inercijos momento skai čiavimo metodas gali b ūti taikomas bet kokios formos trikampio masei išd ėstyti, svarbu, kad koordina čių  ašis eitų trikampio šonu. Taikant pateikt ą  metodiką  galima rasti bet kokios formos k ūnų  masių  išsidėstymo inercijos momentus. Sud ėtingos geometrin ės formos k ūnų  masių  inercijos moment ų  reikšmės yra pateikiamos specialiojoje technin ė je literatūroje – žinynuose.

1.5. Mechaninio judė jimo dinaminės charakteristikos Sprendžiant dinamikos uždavinius taikomos į vairios vairios matematinės priklausomyb ės, kurios padeda nustatyti santykius tarp jud ė jimo matų  ir veikiančių  jų  jėgų  poveikio. Charakterizuojant mechanin į  judė jimą  nepakanka žinoti, kokios yra judan čio objekto kinematinės charakteristikos (greitis arba pagreitis). Svarbu žinoti, kuris k ūnas darys didesn į  (arba mažesnį ) mechaninį  poveikį  kitam kūnui. Tai priklausys ne tik nuo k ūnų  judė jimo greičio, bet ir nuo j ų  masių , masės išsidėstymo erdvė je ir kūnų  judė jimo dinaminių  charakteristikų . Mechaninio jud ė jimo dinaminės charakteristikos yra  jud ė jimo kiekis, kinetinis momentas ir kinetinė energija.

1.5.1. Materialiojo taško judesio kiekis Kaip buvo minėta anksčiau, viena iš materialiojo taško jud ė jimo charakteristikų  yra  judesio kiekis. Judesio kiekis yra vektorinis dydis, d ydis, kuris skai čiuojamas kaip materialiojo taško r masės ir judė jimo greičio sandauga, t. y. mv . r r Tarkime, masės m materialusis taškas d ėl jėgos F  poveikio juda erdv ė je greičiu v (13 pav.).  z  M  r v r mv r  z F   y  x

 y

 x

13 pav. Materialiojo taško judesio kiekis

25

r

Taško  M judesio kiekio vektorius mv yra proporcingas taško masei, jis yra prid ėtas prie taško ir nukreiptas grei čio kryptimi. Bet kuris vektorinis dydis, tarp j ų  ir judesio kiekis, gali b ūti išreikštas projekcijomis į  koordinačių ašis: mv = (mv x )2 + (mv y )2 + (mv z )2 ;

(22)

čia

mv x = m

dx , dt 

mv y = m

dy , dt 

mv z = m

dz . dt 

Judesio kiekio vektoriaus kryptis nusakoma kampais, kurie randami naudojant atitinkamas funkcijas: cos α =

mv x , mv

cos β =

mv y , mv

cos γ  =

mv z . mv

Jud Judesio kiek iekio dime imensija [ kg ⋅ m/s ], arba [ N ⋅ s ].

1.5.2. Materialių jų taškų mechaninės sistemos judesio kiekis r

Mechaninės sistemos judesio kiekiu K  vadinama vis ų  mechanin ės sistemos materiali ų  jų  r taškų judesio kieki ų  m k v k  geometrinė suma, t. y. r

n

r

K  = ∑ mk v k .

(23)

k =1

Šio vektoriaus modulis gali b ūti išreikštas projekcijomis: K  = K  x2 + K  y2 + K  z2 ; čia n

K  x = ∑ mk v kx , k =1

n

n

k =1

k =1

K  y = ∑ mk v ky , K  zx = ∑ mk v ky . r

Mechaninės sistemos judesio kiekio vektoriaus K  padėtis erdvė je nusakoma kampais, kurie randami naudojant atitinkamus krypties kosinusus: cos α =

K  x , K 

cos β =

K  x , K 

cos γ  =

K  x . K  r

Tačiau materialių  jų  taškų  mechanin ės sistemos judesio kiekio vektorius K  neturi konkrečios pridėties vietos. Jis yra laisvasis vektorius, tod ėl laikoma, kad šis vektorius gali būti perkeltas lygiagre čiai su savimi į  bet kurį  mechanin ės sistemos tašk ą . 26

1.5.3. Mechaninės sistemos judesio kiekio skaičiavimas Iš formulių  (8), skirtų  mechanin ės sistemos mas ės centro koordinat ėms skaičiuoti, gauname: n

mk  x k  =  M  ⋅ xC , ∑ k  1

n

n

=

=

mk  y k  =  M  ⋅ y C , ∑ m k  z k  = M  ⋅ z C . ∑ k  1 k  1

=

Diferencijuodami šias priklausomyb ės laiko atžvilgiu, gausime: dx k  dxC  m =  M  ⋅ , ∑ k  dt  dt  k =1

dy k  dy C  m =  M  ⋅ , ∑ k  dt  dt  k =1

n

n

n

∑ mk  k =1

dz k  dz =  M  ⋅ C  , dt  dt 

todėl n

n

mk v kx =  M  ⋅ vCx , ∑ k  1

n

m k vkz =  M  ⋅ vCz . ∑ k  1

m k v ky =  M  ⋅ vCy , ∑ k  1

=

=

=

Turime vektorinės priklausomyb ės projekcijas, galime užrašyti vektorin ę išraišką : n

r

r

mk v k  = M  ⋅ v C . ∑ k  1 =

Gautoje išraiškoje vis ų  materialių  jų  taškų  judesio kieki ų  geometrinė suma pagal (23) formulę  yra mechanin ės sistemos judesio kiekis, t. y.

n

r

r

m k v k  = K . ∑ k  1 =

Galutinai turėsime:

r

r

K  = M  ⋅ v C .

(24)

Darome patikslintą  išvadą , kad sistemos judesio kiekis yra vektorinis dydis, skai čiuojamas kaip sistemos mas ės ir masės centro grei čio sandauga, jis prid ėtas sistemos masės centre ir nukreiptas mas ės centro grei čio kryptimi (14 pav.). r

 z

r

mK vK 

K  r

r

r K 

mK  r

r C 

vC  C   y

O  x

14 pav. Sistemos judesio kiekis

27

1.5.4. Materialiojo taško ir mechaninės sistemos kinetinis momentas Materialiojo taško kinetiniu momentu bet kurio centro arba ašies atžvilgiu vadinamas  judesio kiekio momentas momentas to paties centro centro arba tos pa čios ašies atžvilgiu. Statika [1–7] nagrinė ja jėgos sukam ą  jį  efektą  plokštumoje bet kurio centro atžvilgiu. Erdviniams statikos uždaviniams j ėgos sukamojo efekto dydis buvo išreikštas vektorinio momento pavidalu [1]. Visas statikoje gautas išvadas j ėgos momentui bet kurio centro atžvilgiu taikome taško judesio kiekiui . r Tarkime, masės m materialusis taškas  M  juda v greičiu tam tikra trajektorija erdvė je (15 pav.). r

mv

r

lO

r

v h

m r

r  O

15 pav. Materialiojo taško kinetinis momentas r

Norint rasti judesio kiekio mv momentą  centro O atžvilgiu, reikia padauginti vektoriaus r r mv modulį  iš peties h (15 pav.) arbar išnagrin ėti padėties vektoriaus r  ir judesio kiekio r r r vektoriaus mv vektorinę  sandaugą  l O = r  × mv . Šios vektorinės sandaugos produkt ą  – r r r vektorių  lO reikia pridėti centre O. Vektorius lO yra naudojamas vektoriaus mv momentui centro O atžvilgiu žym ėti erdvė je. r Vektorius lO atitinka materialiojo taško m kinetinį  momentą  centro O atžvilgiu ir pagal r r didumą  yra lygus vektoriaus mv momentui centro O atžvilgiu (15 pav.). Vektorius lO r pridedamas centre O statmenai plokštumai, išvestai per vektori ų  mv ir centrą  O, ir pagal r susitarimą  nukreipiamas taip, kad ži ūrint iš jo galo atrodyt ų , kad vektorius mv pasuka plokštumą prieš laikrodžio rodykl ės kryptį . r Taigi materialiojo taško kinetinis momentas lO bet kurio centro O atžvilgiu lygus taško r  judesio kiekio mv vektoriniam momentui to paties centro atžvilgiu, t. y. r

r

r

r

r

l O = M O (mv ) = r  × mv.

(25)

Tašką  O laikydami Dekarto atskaitos sistemos pradžia, tur ėsime (pagal statikoje taikom ą   jėgos momento skai čiavimo analogij ą ) kinetinių  momentų  koordinačių  ašių  atžvilgiu reikšmes: r

l x = M  x (mv ) =  y ⋅ mv z − z ⋅ mv y ,

28

r

l y = M  y (mv ) = z ⋅ mv x − x ⋅ mv z , r

l z = M  z (mv ) = x ⋅ mv y −  y ⋅ mv x . r

Mechaninės sistemos kinetinis momentas  LO bet kurio laisvai pasirinkto centro O r atžvilgiu yra lygus vis ų  mechanin ės sistemos materiali ų  jų  taškų  kinetinių  momentų  l O to paties centro atžvilgiu geometrinei sumai, t. y. n r

r

n

r

n

r

r

r

 LO = ∑ l O = ∑ M O (mk v k  ) = ∑ (r k  × mk v k  ). k =1

k =1

(26)

k =1

r

Mechaninės sistemos kinetinis momentas  LO gali būti surastas pagal projekcijas į  Dekarto koordinačių  ašis:  LO =  L x2 + L y2 + L z2 ; čia n

n

k =1 n

k =1 n

k =1 n

k =1 n

k =1

k =1

r

n

r

k =1 n

r

k =1 n

 L x = ∑ l x = ∑ M  x (m k v k  ) = ∑ ( y k  ⋅ m k v kz − z k  ⋅ mk v ky ),  L y = ∑ l y = ∑ M  y (m k v k  ) = ∑ ( z k  ⋅ m k v kx − x k  ⋅ mk v kz ),  L z = ∑ l z = ∑ M  z (m k v k  ) = ∑ ( x k  ⋅ m k v ky −  y k  ⋅ mk v kx ). k =1

r

Sistemos kinetinio momento  LO padėtis erdvė je nusakoma kampais, kurie randami  L  L  L naudojant atitinkamus krypties kosinusus: cos α =  x , cos β =  x , cos γ  =  x .  LO  LO  LO r Materialių  jų  taškų  mechanin ės sistemos O centro atžvilgiu kinetinis momentas  LO pridėtas tame pa čiame centre.

1.5.5. Standžiojo kūno kinetinio momento skaičiavimas Skaičiuodami standžiojo k ūno judė jimo dinamines charakteristikas, vertinam tai, kad standusis kūnas yra materiali ų  jų  taškų  sistemos visuma. Tod ėl galime taikyti mechaninei sistemai gautas išvadas standžiojo k ūno dinamikos klausimams nagrin ėti. Skaičiuodami standžiojo kūno kinetinį  momentą , į vertiname vertiname kūno judė jimą . Nagrinėsime kūno slenkamą jį judė jimą  [12–13]. Žinome, kad esant bet kokiam k ūno  judė jimui, kūno judesio kiekis (24) yra lygus l ygus k ūno masės ir masės centro grei čio sandaugai, t. r r y. K  = M  ⋅ v C  . Tarkime, kad k ūno masės centro C  padėtis nejudančiosios atskaitos sistemos r atžvilgiu nusakoma pad ėties vektoriumi r C  (16 pav.):

29

r

 LO

r

K 

 z

r

vC  C 

r

r C 

 y

O  x

16 pav. Kūno kinetinis momentas esant slenkamajam judė jimui r

Padaugin ę abi kūno kinetinio momento išraiškos puses iš r C  , gauname: r

r

r

r

r C  × K  = r C  × M  ⋅ v C  ,

arba

r

r

r

 LO = r C  × M  ⋅ vC  , r

r

(27) r

nes vektorinė sandauga r C  × K  yra vektorinio dydžio K , arba standžiojo k ūno judė jimo r kiekio vektoriaus K  momentas centro O atžvilgiu. Šis vektorius pridedamas centre O r r statmenai sukamojo efekto plokštumai taip, kad iš vektoriaus  LO galo vektoriaus K  posūkis būtų  matomas prieš laikrodžio rodykl ę (16 pav.). Taigi galime padaryti išvad ą , kad esant slenkamajam jud ė jimui standžiojo k ūno kinetinis momentas bet kurio centro atžvilgiu yra lygus k ūno masės centro judesio kiekio momentui to paties centro atžvilgiu. Esant kūno sukamajam  judė jimui apie nejudamą  ją  ašį , kinetinį  momentą  apie sukimosi ašį  galime surasti kaip k ūno taškų  judesio kieki ų  momentų  apie tą  pačią  ašį  sumą  pagal formulę : n

r

 L z = ∑ M  z (m k v k  ). k =1

Jeigu standusis k ūnas sukasi kampiniu grei čiu ω apie nejudam ą  ją  ašį  Oz (17 pav.), tai bet kurio taško judesio kiekio vektoriaus modulis lygus l ygus šio taško mas ės ir grei čio sandaugai: m k v k  = mk  ⋅ ω ⋅ r k  ,

o judesio kiekio vektorius nukreiptas grei čio kryptimi statmenai atkarpai nuo taško iki sukimosi ašies. Taško judesio kiekio momentas sukimosi ašies atžvilgiu r

 M  z (m k v k  ) = m k vk  ⋅ r k  = mk  ⋅ ω ⋅ r k 2 .

30

 z r

vK 

ω

r

mK vK 

O r K 

17 pav. Kūno kinetinis momentas sukimosi ašies atžvilgiu

Skaičiuodami standžiojo k ūno kinetinį  momentą  sukimosi ašies atžvilgiu turime sud ėti visų  kūno taškų kinetinius momentus tos pa čios ašies atžvilgiu, t. y. n

n

r

n

 L z = ∑ M  z (m k v k  ) = ∑ mk  ⋅ ω ⋅ r  = ω ⋅ ∑ m k r k 2 . k =1

2 k 

k =1

k =1

Visų  kūno taškų  masių  ir j ų  atstumų  iki sukimosi ašies kvadrat ų  suma yra kūno inercijos n

momentas sukimosi ašies atžvilgiu, t. y.  I  z = ∑ mk r k 2 . k =1

Taigi gauname:  L z = I  z ⋅ ω.

(28)

Galime padaryti išvad ą , kad esant sukamajam jud ė jimui standžiojo kūno kinetinis momentas sukimosi ašies atžvilgiu lygus k ūno inercijos momento sukimosi ašies atžvilgiu ir kūno kampinio grei čio sandaugai. Jeigu ži ūrint nuo sukimosi ašies galo k ūnas sukasi prieš laikrodžio rodykl ę , kinetinis momentas bus teigiamas, ir atvirkš čiai, jeigu k ūnas sukasi pagal laikrodžio rodykl ę , tai kinetinis ki netinis momentas bus neigiamas.

1.5.6. Materialiojo taško ir mechaninės sistemos kinetinė energija Viena iš materialiojo taško mechaninio jud ė jimo dinaminių  charakteristikų  yra kinetinė mv 2 energija, arba dydis , t. y. taško mas ės ir greičio kvadrato sandaugos pus ė. Kinetinė 2 energija yra skaliarinis mechaninio jud ė jimo matas, nes greičio vektoriaus kvadratas lygus r r r skaliarinei vektori ų  sandaugai, t. y. v 2 = v ⋅ v . Vektorių  skaliarinė sandauga lygi vektori ų  modulių  sandaugai, padaugintai iš kosinuso kampo tarp j ų . Šiuo atveju kampas tarp vienod ų  r vektorių  lygus nuliui ir cos 0 o = 1 . Gauname v 2 = v 2 . Kinetinė energija visada yra

31

mv 2 teigiamasis dydis ir nepriklauso nuo jud ė jimo krypties. Raskime kinetin ės energijos 2 dimensiją :  m2   N m2  [masė ⋅ greitis ] = kg ⋅ 2  =  2 ⋅ 2  = [N ⋅ m] = [J]. s   m/s s   2

Taigi kinetinės energijos dimensija – niutonmetrai [N ⋅ m] arba džauliai [J]. Sistemos kinetine energija vadinama mechanin ės sistemos materiali ų  jų  taškų  kinetinių  energijų  suma, t. y. n mk v k 2 T  = ∑ . (29) 2 k =1 Sistemos kinetin ė energija taip pat yra teigiamasis dydis. Ji nepriklauso nuo materiali ų  jų  taškų greičių krypčių ir gali būti lygi nuliui tik tuomet, kai vis ų taškų greičiai bus lygūs nuliui.

1.5.7. Standžiojo kūno kinetinė energija Skaičiuojant standžiojo k ūno kinetinę  energiją , vertinama tai, kad standusis k ūnas yra materialių  jų  taškų  sistemos atvejis. Taip pat daroma išvada, kad galima taikyti mechanin ės sistemos išvadas standžiojo k ūno kinetinei energijai skai čiuoti. Žinome, kad skai čiuojant standžiojo kūno dinamines charakteristikas į vertinamas vertinamas kūno judė jimas. Todėl, nagrinėdami kūno slenkamą jį judė jimą , taikome bendr ą  ją sistemos kinetin ės energijos skai čiavimo formulę  (29). Įvertindami tai, kad esant slenkamajam jud ė jimui vis ų  taškų  greičiai yra vienodi, galime  juos pakeisti vieno taško grei čiu (pavyzdžiui, mas ės centro). Tuomet tur ėsime: mk v k 2 v C 2 n T  = ∑ = mk  , ∑ 2 2 k =1 k =1 n

arba, galiausiai gauname: vC 2 T  = M  . 2

(30)

iuojama kaip taško, Taigi esant slenkamajam jud ė jimui k ūno kinetinė energija skaič iuojama turinč io io k ūno masę ir judanč io io k ūno masės centro jud ė jimo greič iu, iu, kinetinė energija. Esant kūno sukamajam judė jimui apie nejudamą  ją  ašį  kinetinė energija skai čiuojama pagal tą  pačią  (29) formulę . Įvertinant tai, kad kiekvieno materialiojo taško linijin į  greitį  esant sukamajam jud ė jimui galima užrašyti kaip kūno kampinio grei čio ir taško atstumo iki sukimosi ašies sandaug ą , t. y. v k  = ω ⋅ r k , gaunama: mk v k 2 n m k  (ω ⋅ r k  )2 ω 2 =∑ = T  = ∑ 2 2 2 k =1 k =1 n

32

n

mk  ⋅ r k 2 . ∑ k  1 =

Galiausiai gauname: T  =

ω2

2

⋅ I  z .

(31)

Taigi standžiojo k ūno kinetinė energija esant sukamajam jud ė jimui lygi k ūno inercijos momentui sukimosi ašies atžvilgiu, padaugintam iš k ūno kampinio grei č io io kvadrato pus ės. Įvertinant tai, kad standžiojo k ūno  plokštuminį jud ė jimą laikome dviej ų  judė jimų  suma – slenkamojo kartu su laisvai pasirinktu poliumi ir sukamojo apie š į  polių , – k ūno kinetinė energija skaič iuojama iuojama kaip dviej ų  kinetinių  energijų  suma – slenkan č iai iai kartu su laisvai  pasirinktu poliumi jud ė jimo daliai ir sukamai apie pasirinkt ą polių  jud ė jimo daliai. Jeigu poliumi laikysime plokš čiosios figūros masės centrą , tai kinetinės energijos išraišk ą  galėsime užrašyti taip: 2  MvC 2 ω  I  zC  T  = + . (32) 2 2 Skaičiuojant kūno inercijos moment ą , atsižvelgiama į  tai, kad esant plokš čiajam  judė jimui poliumi gali būti pasirinktas bet kuris k ūno taškas, neb ūtinai masės centras. Tod ėl kūno inercijos momentas yra skai čiuojamas apie aš į , einančią per pasirinktą  polių .

1.6. Veikiančių jų jėgų poveikio matai ir jų charakteristikos Kaip jau buvo min ėta, dinamika nagrin ė ja objektų  judė jimą  priklausomai nuo veikiančių  jų  jėgų . Kitaip tariant, dinamika vertina materiali ų  jų  taškų  arba standži ų  jų  kūnų  tarpusavio są veik veiką , arba mechaninio jud ė jimo priežastis, t. y. fizikini ų  dydžių , apibūdinančių  kūnų  tarpusavio s ą veikos veikos intensyvum ą , į tak taką  judė jimui. Statika nagrinė ja kūnų  tarpusavio są veikos veikos matus – j ėgą  ir jėgos momentą , kurie apib ūdina kūnų  tarpusavio są veik veiką  konkrečiu laiko momentu. Bet dinamikos j ėgos poveikio vertinimas priklauso ir nuo j ėgos veikimo trukmės, ir nuo šios j ėgos judančio kūno poslinkio. Čia vartojamos tokios mechanin ės kūnų  są veikos veikos są vokos: vokos:  jėgos impulsas ir jėgos darbas. Nagrinė jant mechaninės sistemos dinamikos uždavinius, mechanin ę  sistemą  veikiančias  jėgas priimta klasifikuoti į išorines ir vidines, į  aktyvi ą sias sias jėgas ir ryši ų reakcijas.

1.6.1. Materialių jų taškų mechaninės sistemos vidinės jėgos Nagrinėdami taško jud ė jimą  turime reikalą  su jėgomis, kurios veikia tik š į  izoliuotą  materialų  jį  tašką . Tokias jėgas vadiname išorinėmis. Tačiau gamtoje ir m ūsų  aplinkoje yra be galo daug judan čių  objektų , sudarytų  iš materialių  jų  taškų  arba standži ų  jų  kūnų  visumos, kurioje kiekvieno taško jud ė jimas priklauso nuo kitų  taškų  judė jimo ir ryšių  tarp jų . Tokia materiali ų  jų  taškų  visuma vadinama mechanine sistema. Mechanin ės sistemos pavyzdžiu gali b ūti bet kuris mechanizmas, stakl ės, automobilis ir kt.

33

Iš statikos žinome, kad, nagrin ėdami suvaržyt ą  jį  kūną , be išorinių  aktyvių  jų  jėgų , dar turime į vertinti vertinti jėgas, kurios atsiranda išoriniuose ryšiuose, vadinam ą sias sias ryšių  reakcijas. Tokios ryši ų  reakcijos dar vadinamos išorin ėmis. Nagrinėdami materialių  jų  taškų  mechaninę  sistemą , turime į vertinti vertinti tai, kad kiekvien ą  materialų  jį  tašką  veikia ne tik aktyviosios išorin ės jėgos, bet ir j ėgos, kurios atsiranda d ėl kiekvieno taško poveikio kitam tos pa čios sistemosr taškui. Tokios jrėgos vadinamos sistemos vidinėmis jėgomis. Išorines j ėgas toliau žym ėsime F i , o vidines – F v . Vidinių jėgų savyb ės: 1. Mechaninės sistemos vis ų  vidinių  jėgų  suminis vektorius, arba bendrasis poveikis sistemai, lygus nuliui, t. y. n r

r

 R = ∑F k v = 0. v

k =1

Pavyzdžiui, mechanin ė je sistemoje parenkame du bet kuriuos materialiuosius taškus, kurie yra susij ę (18 pav.).

r

r

F 1v

F 2v

1

2

18 pav. Mechaninės sistemos vidinės jėgos

Žinodami, kad materialieji taškai veikia vienas kit ą  vienodo dydžio bet priešing ų  krypčių  r r r r  jėgomis F 1v ir F 2v , gauname F 1v + F 2v = 0 . Sudė ję visas vidinės jėgas, gausime, kad j ų geometrinė suma lygi nuliui, t. y. r

n

r

 R = ∑ F k v = 0. v

(33)

k =1

2. Mechaninės sistemos vis ų  vidinių  jėgų  suminis vektorinis momentas bet kurio centro O atžvilgiu lygus nuliui: r

n

r

r

 M  = ∑ M O (F k v ) = 0 . v O

k =1

34

r

F 2v

r

F 1v

1

r

2

r

 M O (F 2v ) O r

r

 M O (F 1v ) 19 pav. Mechaninės sistemos vidinių jėgų vektoriniai momentai

Mechaninės sistemos dviej ų  taškų  vidinės jėgos yra lygios (19 pav.) ir nukreiptos į  priešingas puses. Tod ėl centro O atžvilgiu šios j ėgos turės vienodo dydžio, bet priešing ų  krypčių  vektorinius momentus. Matyti, kad ši ų  vektorinių  momentų  geometrinė suma yra lygi nuliui, t. y. r r r r  M O (F 1v ) + M O (F 2v ) = 0 . Sudė ję  mechanin ės sistemos vis ų  vidinių  jėgų  vektorinius momentus centro O atžvilgiu, gausime, kad j ų geometrinė suma lygi nuliui, t. y. r

n

r

r

 M  = ∑ M O (F k v ) = 0. v O

(34)

k =1

1.6.2. Jėgos impulsas  J ėgos impulsu vadinamas fizikinis dydis, apib ūdinantis jėgos poveik į  kūnui arba materialiajam taškui per tam tikr ą laiko tarpą . Jėgos impulsas yra vektorinis dydis, lygus j ėgos ir laiko sandaugai, nukreiptas veikian čiosios jėgos kryptimi. Kai turime kintam ą  jėgą , elementarusis j ėgos impulsas randamas taip: r

r

d S  = F ⋅ dt .

(35)

Nagrinė jant jėgos poveikį  kūnui per tam tikr ą  laiko tarpą , integruojant (35) priklausomybę , gaunama impulso reikšm ė per šį laiko tarpą : r

S  =

t  r

F dt . ∫ t  o

(36)

o=

Jėgos impulso projekcijos į  koordinačių ašis: t 

S  x =

F  x dt , ∫ t  o o=

t 

S  y =

F  y dt , ∫ t  o o=

35

t 

S  z =

F  z dt . ∫ t  o o=

Kai jėga yra pastovi, j ėgos impulsas per laikotarp į  t  skaičiuojamas kaip j ėgos ir laiko sandauga: r

r

S  = F  ⋅ t . r

r

r

Tegul kūną  veikia jėgų  sistema F 1 , F 2 , ..., F n , kurios atstojamoji j ėga lygi ši ų  jėgų  geometrinei sumai: r

r

r

r

 R = F 1 + F 2 + ... + F n .

Dauginame abi šios išraiškos puses iš elementaraus laiko tarpo dt  ir integruodami laiko intervalu gauname: t  r

t  r

t  r

t  r

 Rdt = ∫ F 1 dt  + ∫ F 2 dt  + ... + ∫ F n dt . ∫ t  o t  o t  o t  o o=

o=

o=

o=

Kiekvienas narys gautoje lygyb ė je yra jėgos impulsas. Taigi turime: r

r

r

n

r

r

S  = S 1 + S 2 + ... + S n ,

arba r

S  = ∑ S i . i =1

Galime padaryti išvad ą , kad kai k ūną  veikia kelios j ėgos, ši ų  jėgų  impulsas lygus atskir ų   jėgų  impulsų geometrinei sumai. J ėgos impulso dimensija – [N ⋅ s] .

1.6.3. Jėgos darbas Kūną  arba materialų  jį  tašką  veikiančios  jėgos darbu bet kurioje atkarpoje vadinamas fizikinis dydis, kuriuo į vertinamas vertinamas veikian čiosios jėgos efektyvumas šioje atkarpoje, j ėgos dydis, jėgos padėtis ir atkarpos didumas. r Tarkime, kad reikia rasti kintamos j ėgos F  atliktą  darbą , kai šios j ėgos veikiamas taškas bet kokia trajektorija nu ė jo kelią  iš padėties  M 1 į  padėtį   M 2 (20 pav.). Norint apskai čiuoti r atkarpoje  M 1 – M 2 jėgos F  atliktą  darbą , reikia sudalyti ši ą  atkarpą  į  nykstamai mažas r atkarpas – elementarius poslinkius ir sud ėti jėgos F  darbus, atliktus šiuose elementariuose poslinkiuose. Išskirsime be galo maž ą  trajektorijos atkarpą  ds (20 pav.) ir surasime šioje atkarpoje r pastovios jėgos F  atliktą  darbą .

36

r

τ

r

v

r

F τ  r

 M   M 1

ds

d r  r

 M 2

ϕ

r

r 

r 1

r

F 

r

O F n nr r

20 pav. Pastovios jėgos F  elementaraus darbo skaičiavimo schema r

Elementarusis j ėgos F  darbas atkarpoje ds išreiškiamas taip: dA = F τ ⋅ ds; r

(37)

r

r

čia F τ  – jėgos F  dedamoji judančio taško  M  greičio vektoriaus v kryptimi; ds – taško

elementarus poslinkis, kuris ribin ė je išraiškoje gali būti laikomas nukreiptu pagal greit į . ę  į  (37) formulę , gauname: Matome (20 pav.), kad F τ = F ⋅ cos ϕ. Įrašę  F  reikšmę į  τ 

dA = F ⋅ cos ϕ ⋅ ds,

(38)

r

t. y. j ėgos elementarusis darbas lygus j ėgos F  modulio ir poslinkio ds sandaugai, r padaugintai iš kosinuso kampo tarp j ų . Todėl galimi tokie jėgos F  ir poslinkio ds išsidėstymo atvejai: – kai kampas ϕ = 0 o , tai dA = F ⋅ ds, arba jeigu j ėga ir poslinkis yra vienos krypties, j ėgos darbas yra teigiamasis dydis, lygus j ėgos ir poslinkio sandaugai; sandaugai; o – kai kampas ϕ = 90 , tai dA = 0, t. y. jeigu jėga yra statmena poslinkiui, tai jos atliktas darbas lygus nuliui; – kai kampas ϕ = 180 o , tai dA = − F ⋅ ds, t. y. jeigu j ėga ir poslinkis yra skirting ų krypčių , tai  jėgos darbas yra neigiamas ir lygus j ėgos ir poslinkio sandaugai. r

d r  Kinematikoje [12–13] tur ė jome greičio vektoriaus išraišk ą  v = , iš kurios gauname dt  r r  judančio taško pad ėties vektoriaus pokyt į  d r  = v ⋅ dt , kuris ribinė je išraiškoje nukreiptas nukreiptas pagal ds greitį . Taip pat tur ė jome išraišką  greičio moduliui skai čiuoti v = . Taigi galime užrašyti, dt  r d r  r r ⋅ dt , arba ds = d r  . Gautą  jį  dydį  ds į raš kad ds = v ⋅ dt = v ⋅ dt  = rašę  į  (38) formulę , dt  turėsime: r

r

r

dA = F ⋅ cos ϕ ⋅ ds = F  ⋅ cos ϕ ⋅ d r .

37

r

r

Šios lygyb ės dešinioji pus ė yra vektorių  F  ir d r  skaliarinė sandauga. Tod ėl gauname: r

r

dA = F ⋅ d r ,

(39) r

t. y. jėgos elementarusis darbas yra skaliarinis dydis, lygus j ėgos vektoriaus F  ir jėgos r pridėties vietos spindulio vektoriaus diferencialo d r  skaliarinei sandaugai. r r r Įrašę  į  (39) formulę  spindulio vektoriaus diferencialo d r  reikšmę  d r  = v ⋅ dt , gausime r r r r dA = F ⋅ v ⋅ dt . Bet jėgos F  ir laiko atkarpos dt  sandauga yra j ėgos F  elementarus impulsas r d S . Galime užrašyti, kad r

r

dA = d S ⋅ v ,

(40)

t. y. elementarusis j ėgos darbas gali b ūti išreikštas kaip veikian čiosios jėgos elementaraus impulso ir greičio vektoriaus skaliarin ė sandauga. r r Jeigu užrašysime veikian čiosios jėgos F  ir elementaraus poslinkio d r  dydžius pagal Dekarto koordinačių  ašis, tai turėsime: r

r

r

r

r

r

dA = (F  x i + F  y  j + F  z k ) ⋅ (dxi + dy j + dzk ).

Atlikę matematinius pertvarkymus, gausime dA = F  x dx + F  y dy + F  z dz.

(41)

ę elementariojo darbo skai čiavimo išraišką . Gavome analizin r Visą  jėgos F  atkarpoje nuo pad ėties  M 1 iki padėties  M 2 atliktą  darbą  gausime, jeigu sudėsime visus elementariuosius darbus visuose elementariose atkarpose, kitaip tariant, integruodami visas matematines elementariojo darbo išraiškas:  M 2

 A = ∫ F τ  ds,

(42)

 M 1

 M 2

 A = ∫ F ⋅ cos ϕds,

(43)

 M 1

 M 2

r r

 A = ∫ F d r ,

(44)

 M 1

t 

r r

 A = ∫ d S d v , t 0

38

(45)

 M 2

 A =

∫ M  F  x dx + F  y dy + F  z dz.

(46)

1

Jėgos darbo dimensija – [N ⋅ m] , arba [J] .

Darbo išraiškos skaičiavimo pavyzdžiai  Atstojamosios jėgos darbas Tegul judantį  tašką  veikia jėgų  sistema, kurios atstojamoji j ėga lygi sistem ą  sudaran čių  r

r

r

r

r

n

r

 jėgų  geometrinei sumai, t. y.  R = F 1 + F 2 + ... + F k , arba  R = ∑ F k . Padauginę  abi lygybės k =1

r

puses iš elementaraus taško poslinkio d r , turėsime: r

r

n

r

r

r

r

r

r

r

r

 R ⋅ d r  = ∑ F k  ⋅ d r  = F 1 ⋅ d r  + F 2 ⋅ d r  + ... + F k  ⋅ d r . k =1

r

Gavome atstojamosios j ėgos  R elementariojo darbo išraišk ą , kuri lygi vis ų  veikiančių  jų   jėgų  elementarių  jų  darbų algebrinei sumai, t. y. n

dA = ∑ dAk . k =1

Nagrinėdami visų  veikiančių  jų  jėgų  atliktą  darbą  atkarpoje nuo pradin ės padėties  M 1 iki galinės  M 2 , turime susumuoti visus elementariuosius darbus, atliktus veikian čios jėgų  sistemos, t. y. n

 M 2

k =1

 M 1

 M 2

r

r

 A = ∑ dAk  = ∫ F 1 d r  + ∫ F 2 d r  +... +  M 1

 M 2

r

∫ M  F k d r . 1

Bet tą  patį  darbą  atliks ir šios j ėgų  sistemos atstojamoji. Galima padaryti išvad ą , kad atstojamosios j ėgos darbas esant tam tikram poslinkiui lygus vis ų  dedamų  jų  jėgų  atliktų  darbų  esant tam pačiam poslinkiui algebrinei sumai. Vadinasi,  M 2

n

r r

r

r

∫  Rd r  = ∑ F k d r , k =1

 M 1

arba n

 A = ∑ Ak  , k =1

t. y. atstojamosios j ėgos darbas esant tam tikram poslinkiui yra lygus vis ų  dedamų  jų  jėgų  atliktų darbų esant tam pa čiam poslinkiui algebrinei sumai. 39

 J ėgos darbas esant sud ėtiniam poslinkiui Tarkime, kad taškas pereina iš pad ėties  M 1 į  padėtį  M 2 , turėdamas į vairius vairius elementarius r poslinkius d r k  (21 pav.):  M 2

r

d r 1

r

r

d r 

d r 3 r

 M 1

d r 2

r

F 

r

21 pav. Jėgos F  elementariojo darbo esant sudėtiniam poslinkiui skaičiavimo schema

Matome, kad suminis elementarus poslinkis yra sudedam ų  elementarių  poslinkių  r

n

r

r

algebrinė suma, t. y. d r  = ∑ d r k  . Padaugin ę  šią lygybę  iš F , gauname: k =1

r

n

r

r

r

F ⋅ d r  = ∑ F ⋅ d r k . k =1

r

Kairioji lygybės pusė yra jėgos F  darbo išraiška atkarpoje  M 1 M 2 . Dešiniojoje pus ė je r

turime jėgos F  elementarių  jų darbų sumą  kiekvienoje elementarioje kelio atkarpoje. Turime: n

 A = ∑ Ak  , k =1

arba elementarusis j ėgos darbas esant sud ėtiniam taško poslinkiui lygus algebrinei sumai elementarių  jų darbų , kuriuos atliks j ėga esant kiekvienam elementariam poslinkiui. Sunkio darbas Tegul masės m materialusis taškas juda vienaly čiame traukos lauke (22 pav.):

 z

 M 1  z1

O  x

 y1

 M   M 2

r

G  x1

 y2

 y

 z2  x2

22 pav. Taško judė jimas dėl sunkio poveikio

40

Tašką  M   M  veikia sunkis G = mg . Nustatysime jo atlikt ą  darbą , kai taškas iš pad ėties  M 1 pereina į  padėtį  M 2 . Darbo išraiškai skai čiuoti taikome analizin ę  darbo skai čiavimo išraišką  (46). Tuomet gausime:  A =

– –

 M 2

 z 2

1

1

∫ M  (F  x dx + F  y dy + F  z dz ) =  z∫ (− mg )dz = −mg ( z 2 − z1 ) = mg ( z1 − z 2 ).

Kai aukščių skirtumas h = z1 − z 2 ,  A = mg ⋅ h . Matyti, kad galimi tokie atvejai: kai  z1 > z 2 , t. y. kai taškas t aškas veikiant sunkiui leidžiasi žemyn, sunkio darbas bus teigiamas; kai  z 2 > z1 , t. y. kai taškas veikiant sunkiui kyla į  viršų , sunkio darbas bus neigiamas. Todėl galime teigti, kad sunkio darbas lygus sunkio ir aukš čių  skirtumo sandaugai: (47)

 A = ± mg ⋅ h

su pliuso ženklu, kai veikiant sunkiui materialusis taškas leidžiasi žemyn, ir su minuso ženklu, kai jis kyla k yla aukštyn. Iš to išplaukia, kad sunkio darbas nepriklauso nuo jud ė jimo trajektorijos ir yra lygus nuliui, kai galutinis judan čio taško aukštis yra tame pa čiame lygyje kaip ir pradinis. Laikoma, kad aukš čiai atskaitomi nuo bet kurios horizontaliosios plokštumos. Tamprumo j ėgos darbas Tamprumo jėga vadinama ta j ėga, kuri aprašoma Huko d ėsniu ir nukreipta kryptimi, priešinga poslinkiui (23 pav.) r

r

F  = −cr ; r

čia r  – atstumas nuo taško  M  iki taško statinės pusiausvyros pad ėties, t. y. tokio taško, kuriame tamprumo j ėga lygi nuliui; c – tamprumo koeficientas (konstanta).

 z

 M 1 r

r

r 1

 M ( x, y, z )

r

r 

F  r

r 2

O

 M 2  y

 x 23 pav. Tamprumo jėgos darbo skaičiavimo schema

41

Pasirinkę atskaitos sistemos pradži ą taško statinės pusiausvyros pad ėtyje, turėsime: F  x = −cx,

F  y = −cy,

F  z = −cz.

Taikydami (46) formul ę , randame tamprumo j ėgos atliktą  darbą atkarpoje  M 1  M 2 :  A =

 M 2

 M 2

 M 2

1

1

1

∫ M  (F  x dx + F  y dy + F  z dz ) = −c M ∫ ( xdx +  ydy + zdz ) = −c M ∫ rdr ;

čia  xdx +  ydy +  zdz = rdr , nes r 2 = x 2 +  y 2 + z 2 . Atlikę  integravimą  gauname formulę , kurią  taikome tamprumo j ėgos atliktam darbui skai čiuoti: c  A = − (r 22 − r 12 ). 2

Jeigu pradiniu momentu taškas  M  yra toliau nuo statin ės pusiausvyros pad ėties, negu antruoju laiko momentu (t. y. r 1 > r 2 ), tai tamprumo jėgos darbas bus teigiamas. tei giamas. Jeigu pradinė taško  M  padėtis sutampa su taško statin ės pusiausvyros pad ėtimi O, gauname, kad r 1 = 0 , o tamprumo jėgos atlikto darbo išraiška bus tokia: c  A = − ⋅ r 2 . 2

(48 a)

Atstumas r  – trumpiausias atstumas tarp taško  M  ir taško statin ės pusiausvyros pad ėties. Pažym ėsime jį  dydžiu λ ir vadinsime deformacija. Tuomet tamprumo j ėgos darbas, jeigu jis skai čiuojamas atkarpoje nuo statin ės taško pad ėties esant poslinkiui, visada bus neigiamas ir lygus pusei tamprumo koeficiento, padauginto iš deformacijos kvadrato. c  A = − ⋅ λ2 . 2

(48 b)

Galima padaryti išvad ą , kad tamprumo j ėgos darbas nepriklauso nuo trajektorijos formos ir lygus nuliui, kai jud ė jimo trajektorija yra uždara.  J ėgos darbas esant k ūno slenkamajam jud ė jimui Tarkime, kūnas slenka. Atsižvelgiant į  standžiojo k ūno slenkamojo jud ė jimo savybes, r visi kūno taškai turi vienodus pagal dyd į  ir kryptį  greičius. Todėl, jeigu j ėga F  veikia kūną  taške  M k  (24 pav.), tai j ėgos elementarusis darbas gali b ūti rastas pagal bet kuri ą  jau žinomą  r

r

r

darbo apskai čiavimo formulę . Pavyzdžiui, pagal (39) gausime dA = F ⋅ d r k ; čia r k  – bet kurio standžiojo kūno taško  M k  padėties vektorius.

42

r

vK 

 z

 M K 

d r K  r

r K 

vC 

r

d r C 

C 

r

O

r

r

r

F 

r C   y

 x r

24 pav. Jėgos F  darbas esant kūno slenkamajam judė jimui r

Visą  kelio atkarpoje nuo pad ėties  M 1 iki padėties  M 2 jėgos F  atliktą  darbą  gausime susumavę  visus elementariuosius darbus visose k ūno elementariose atkarpose, t. y.  M 2

r

r

 A = ∫ F ⋅ d r k .  M 1

Esant kūno slenkamajam jud ė jimui poliumi gali būti laikomas bet kuris k ūno taškas, pavyzdžiui, mas ės centras. Tuomet esant k ūno slenkamajam jud ė jimui elementarusis jėgos darbas gali būti apskaičiuotas pagal formul ę : r

r

dA = F ⋅ d r c .

(49) r

Atkarpoje nuo taško  M 1 iki taško  M 2 jėgos F  atliktas darbas gali b ūti apskaičiuotas pagal formulę :  M 2

r

r

 A = ∫ F ⋅ d r c .

(50)

 M 1

 J ėgos darbas esant sukamajam apie nejudam ą ją aš į k ūno jud ė jimui r r r Tarkime, veikiant j ėgų  sistemai F 1 , F 2 , ..., F n , standusis k ūnas (25 pav.) sukasi apie r

nejudamą  ją  ašį  Oz kampiniu grei čiu ω . Vieną  bet kokią  šios jėgų  sistemos j ėgą  F k  r išskaidysime į  dedamą sias sias jėgas pagal nat ūralių  jų  ašių  kryptis. Tangentin ę  dedamą  ją  F  r nukreipiame pagal liestin ę  trajektorijai kampinio grei čio kryptimi, normalin ę  dedamą  ją  F n – τ 

r

r

normalinės ašies kryptimi į  trajektorijos centrą , binormalinę  dedamą  ją  F b – statmenai F  ir r F n . τ 

43

 z b

r

F K 

r

F b

ω

n r

 M K 

F  r  O n dS  d ϕ r d r  r F τ 

r

v

τ 

r

25 pav. Jėgos F  darbas esant sukamajam apie nejudamą  ją  ašį  kūno judė jimui r

Pagal Varinjono teorem ą  atstojamosios j ėgos F k  momentas Oz ašies atžvilgiu lygus r r r r r dedamų  jų  jėgų  F  , F n , F b moment ų  sumai tos pačios ašies atžvilgiu. Ta čiau jėgos F n ir F b momentų  apie ašį  Oz neturi. Be to, tarp ši ų  jėgų  ir taško  M k  elementaraus poslinkio dS  yra r r o 90 kamp kampas as.. Tod Todėl jėgos F n ir F b esant standžiojo k ūno sukamajam jud ė jimui apie nejudamą  ją  ašį  Oz darbo neatliks. Matome, kad jeigu esant k ūno sukamajam jud ė jimui jėgos r r F n ir F b nesuteikia kūnui sukamojo efekto, tai šios j ėgos ir darbo neatliks. Iš čia išplaukia išvada, kad esant standžiojo k ūno sukamajam jud ė jimui apie nejudam ą  ją  ašį  sukamą  jį  efektą  r r kūnui suteikia tik j ėgos F k  tangentinė dedamoji F  , kurios atliktas elementarusis darbas skai čiuojamas pagal (37) formul ę , t. y. dA = F  ⋅ ds. r ę  į  tai, kad poslinkio ds ribinė reikšmė lygi poslinkiui d r , nukreiptam grei čio Atsižvelgę į  r kryptimi trajektorijos liestine, pertvarkome j ėgos F  darbo išraišką taip: τ 

τ 

τ 

τ 

r

r

dA = F τ ⋅ ds = F τ ⋅ dr = F τ ⋅ r ⋅ d ϕ = M  z (F τ ) ⋅ d ϕ = M  z (F k  )⋅ d ϕ. r

Gavome, kad j ėgos F k  elementariojo darbo reikšm ė esant standžiojo k ūno sukamajam  judė jimui lygi šios jėgos momento apie sukimosi aš į  dydžiui, padaugintam iš elementariojo kūno posūkio kampo, t. y. r

dA = M  z (F k  ) ⋅ d ϕ.

Jeigu jėgos sukimo kryptis sutampa su k ūno posūkio kampo d ϕ kryptimi, tai jėgos atliktas darbas bus teigiamas, o jeigu skirting ų  krypčių , tai atliktas darbas bus neigiamas. Skaičiuojant stand ų  jį  kūną  veikiančios jėgų  sistemos atlikt ą  elementarų  jį  darbą  esant kūno elementariam pos ūkiui apie nejudam ą  ją  ašį , reikia rasti kiekvienos j ėgos darbą  esant šiam kūno judė jimui ir susumuoti surastus darbus. T ą  patį  gausime, jeigu susumuosime vis ų   jėgų momentus apie sukimosi aš į ir padauginsime iš k ūno posūkio kampo d ϕ , nes turime: 44

n

n

r

r

dA = ∑ M  z (F k  ) ⋅ d ϕ = d ϕ ⋅ ∑ M  z (F k  ). k =1

k =1

Visų  jėgų  momentų  suma apie sukimosi aš į  lygi jėgų  sistemos suminiam momentui apie šią  ašį . Todėl galime teigti, kad esant standžiojo k ūno sukamajam jud ė jimui apie nejudam ą  ją  ašį  visų  veikiančių  jų  jėgų  elementarusis darbas lygus šios j ėgų  sistemos suminiam momentui sukimosi ašies atžvilgiu, padaugintam iš pos ūkio kampo d ϕ , t. y. dA = M  z ⋅ d ϕ.

(51)

Jeigu esant k ūno sukamajam jud ė jimui apie nejudamą  ją  ašį  posūkio kampas kinta nuo pradinės reikšmės ϕ1 iki galutinės reikšmės ϕ 2 , tai suminė jėgų  darbų  reikšmė bus tokio dydžio: ϕ2

 A = ∫ M  z d ϕ .

(52)

ϕ1

Kai visų  išorinių jėgų  suminis momentas sukimosi ašies atžvilgiu yra pastovus, gauname: ϕ2

ϕ2

ϕ1

ϕ1

 A = ∫ M  z d ϕ = M  z ∫ d ϕ = M  z ⋅ (ϕ 2 − ϕ1 ),

t. y. jeigu esant k ūno sukamajam jud ė jimui apie nejudamą  ją  ašį  posūkio kampas kinta nuo pradinės reikšmės ϕ1 iki galutinės reikšmės ϕ 2 , tai galutinė jėgų  darbų  suma bus lygi šios  jėgų  sistemos suminiam momentui sukimosi ašies atžvilgiu, padaugintam iš pos ūkio kampo pokyčio, t. y.:  A = M  z ⋅ (ϕ 2 − ϕ1 ).

(53)

Standžiojo k ūno vidinių  jėgų  darbas Tarkime, veikiant j ėgų  sistemai, standusis k ūnas juda erdv ė je. Pažymėsime bet kuri ų  r r dviejų  kūno taškų  M 1 ir  M 2 vidines jėgas F 1v ir F 2v (26 pav.). r

r

v2

d r 2 r

 M 1

α2

F 2v

r

v 1

F 

α1

r

d r 1

r

 M 2

v1

26 pav. Standžiojo kūno vidinių jėgų atliktojo darbo skaičiavimo schema

45

Laikant, kad esant bet kokiam k ūno judė jimui, išskyrus slenkam ą  jį , visų  kūno taškų , tarp r r r r  jų  ir taškų  M 1 ir  M 2 , poslinkiai bus d r 1 ir d r 2 , t. y. jie jud ės greičiu v1 ir v 2 ir su atkarpa  M 1 − M 2 sudarys α1 ir α 2 kampus. r r Pagal (39) formul ę  užrašysime vidini ų  jėgų  F 1v ir F 2v elementarių  jų  darbų  sumą  esant šiems elementariems poslinkiams. Gausime: r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

dA1v + dA2v = F 1v ⋅ d r 1 + F 2v ⋅ d r 2 = F 1v ⋅ v1 dt + F 2v ⋅ v 2 dt  = (F 1v ⋅ v1 + F 2v ⋅ v2 )dt . r

v 1

r

Įvertinę tai, kad standžiojo k ūno dviejų taškų vidinės jėgos yra lygios F  = F 2v , ir atlikę  matematinius pertvarkymus, galime užrašyti:

dA1v + dA2v = (F 1v v1 cos α 1 + F 2v v 2 cos(180 o − α ))dt  = F 1v (v1 cos α 1 − v 2 cos α 2 )dt  = 0.

Gavome, kad vidinių  jėgų  darbų  suma esant bet kokiam k ūno poslinkiui lygi nuliui , nes standžiojo kūno dviejų  taškų greičių projekcijos į  tiesę , jungian čią šiuos taškus, yra lygios.

1.6.4. Galingumas Galingumu vadinsime jėgos darbą , atliktą per laiko vienet ą , t. y.  N  =

dA . dt 

(54) r

r

ę  į  jėgos darbo išraišk ą  (39), kad dA = F ⋅ d r , ir į raš ą  į  (54) formulę , Atsižvelgę į  rašę  šią  išraišką į  gauname galingumo išraišk ą : r r

dA F d r  = ,  N  = dt  dt 

arba

r

r

 N  = F ⋅ v ,

(55)

t. y. jėgos galingumas yra lygus veikian čiosios jėgos ir šios j ėgos pridėties taško grei čio r skaliarinei sandaugai. Kai veikian čiosios jėgos F  kryptis sutampa su jud ė jimo kryptimi, r r kampas tarp j ėgos F  ir greičio v yra lygus nuliui, t. y. α = 0 o , gausime toki ą  galingumo išraišką : r r  N  = F ⋅ v = Fv cos 0 o , arba  N  = F ⋅ v. (56) Galime padaryti praktikai svarbi ą  išvadą : tam, kad judanti transporto priemon ė, kurios galingumas yra žinomas, tur ėtų  didesnę  traukos jėgą , reikia suteikti jai mažesn į  greitį . Taip

46

daroma šiuolaikinėse visureigiuose, kuri ų  pavarų  dėžės leidžia mažinti varan čių  jų  ratų  apsisukimus. Taikydami (54) ir (51) formules, galime išreikšti galingum ą  esant kūno sukamajam  judė jimui, t. y. dA d ϕ  N  = = M  z , dt  dt  arba  N  = M  z ω, (57) t. y. esant k ūno sukamajam jud ė jimui galingumas lygus sukamojo momento ir k ūno kampinio greičio sandaugai. Iš (54) formulės išplaukia, kad galingumo dimensija yra džaulis per sekund ę . Galingumas matuojamas vatais, t. y.  Nm   J  = 1  = 1[W ] .  s   s 

1

Mechanizmo galingumas išreiškiamas ir arklio j ėga [a. j.]. Santykis tarp vienos arklio  jėgos ir vato yra toks: 1 a. j. = 0,736 kW = 736 W.

1.6.5. Potencinės jėgos. Jėgų laukas. Potencinė energija Nagrinėdami jėgos darbą  matėme, kad kai kuri ų  jėgų  darbas nepriklauso nuo nueito kelio ir judė jimo trajektorijos, bet priklauso tik nuo taško pradin ės ir galutin ės padėties. Tokios  jėgos vadinamos  potencinėmis ir yra svarbios į vairioms vairioms mechanikos ir fizikos sritims. Erdv ės dalis, kurios kiekviename taške veikia j ėga, priklausanti nuo taško koordina čių , vadinama  jėgų  lauku. Jėgų  laukas vadinamas stacionariuoju, jei nusakan čios jį  fizinės są lygos lygos yra vis ą  laiką  tos pačios. Stacionarus j ėgos laukas vadinamas  potenciniu, jei egzistuoja tokia lauko taškų  koordinačių  jėgos  funkcija U ( x, y, z ) , kurios išvestin ė bet kurios krypties atžvilgiu duoda tos krypties dedam ą  ją  jėgą : F  x =

∂U  , ∂ x

F  y =

∂U  , ∂ y

F  z =

∂U  . ∂ z

(58)

Jėgos funkcija pasižymi šiomis savyb ėmis: 1. Skaičiuojant jėgos elementar ų  jį  darbą pagal (41) formul ę , galima užrašyti: r

r

dA = F ⋅ d s = F  x dx + F  y dy + F  z dz ,

(59)

iš čia, į vertin vertinę (58), gauname: dA =

∂U  ∂U  ∂U  dx + dy + dz , ∂ x ∂ y ∂ z

(60)

arba dA = dU ( x, y, z ) .

47

(61)

Darome išvad ą , kad  jėgos elementarusis darbas potenciniame j ėgų  lauke yra lygus j ėgos  funkcijos pilnajam diferencialui. diferencialui. 2. Skaičiuodami atkarpoje nuo pradines pad ėties  M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) iki padėties  M ( x, y, z )  jėgos atliktą pilnutinį  darbą , gausime:  M 

 M 

 M 0

 M 0

 A M 0 M  = ∫ dA = ∫ dU  = U ( x, y, z ) − U ( x0 , y 0 , z )0 ,

arba  A = U  −U 0 .

(62)

Galima padaryti išvad ą , kad, taškui pereinant iš vienos pad ėties į  kitą ,  pilnutinis jėgos darbas yra lygus j ėgų  funkcijų  skirtumui šiuose taškuose ir nepriklauso nuo taško jud ė jimo trajektorijos. Taip pat galime pažym ėti, kad jėgos darbas potenciniame j ėgos lauke uždaroje atkarpoje taškai turi vienodas jėgos funkcijos reikšmes. lygus nuliui , nes jud ė jimo pradinis ir galinis taškai Nagrinė jant potencini ų  jėgų  lauką , kartais tenka nustatyti dar vien ą  jėgų  lauko funkcij ą  –  potencinę energiją V , kuri apibūdina lauko taškuose sukauptas energijos atsargas . Materialiojo taško potencin ė energija yra lygi darbui, kur į  atlieka lauko j ėgos, perkeldamos material ų  jį  tašką  iš padėties  M  į  pradinę  padėtį   M 0 , t. y. V  =  A MM 0 = − A M 0 M  , arba, kitaip tariant, potencin ė energija lygi jėgos funkcijos pokyčiui: V  = U 0 − U .

(63)

Laikant, kad potencin ės energijos V ( x, y, z ) ir jėgų  funkcijos U ( x, y, z ) nuliniai taškai sutampa, arba pasirinkus pradin ę  padėtį , kurios U 0 = 0 , gaunama: V  = −U  ,

(64)

t. y. bet kuriame j ėgų  lauko taške potencin ė energija lygi j ėgų  lauko reikšmei tame pa čiame taške su priešingu ženklu arba potencin ės jėgos darbui su priešingu ženklu. Remdamiesi priklausomybe (64), gauname: F  x =

∂U  ∂V  =− , ∂ x ∂ x

F  y =

∂U  ∂V  =− , ∂ y ∂ y

F  z =

∂U  ∂V  =− , ∂ z ∂ z

48

(65)

arba jėgos projekcijos į  koordinačių  ašis potenciniame j ėgų  lauke lygios paimtosioms su priešingu ženklu potencin ės energijos dalin ėms išvestinėms pagal atitinkamas koordinates. Istoriškai potencin ės energijos s ą voka voka buvo pavartota anks čiau negu j ėgų  funkcija. Atliekant kai kuriuos skai čiavimus patogiau taikyti j ėgų  funkciją , kadangi formul ės, į  kurias į eina eina ši funkcija, neturi minuso ženklo. Apskai čiavę  jėgų  funkciją , remdamiesi (64) lygybe, sužinosime ir potencin ę energiją .  Izotropinio sunkio lauko jėgų funkcijos skai čiavimas Kai koordinačių  ašis Oz (27 pav.) nukreipta į  viršų , sunkio projekcijos į ašis bus tokios: F  x = 0 ,

F  y = 0 ,

F  z = −mg .

Taikydami (41) ir (59) formules, apskai čiuojame sunkio elementar ų  jį  darbą : dA = F  x dx + F  y dy + F  z dz = −mg ⋅ dz.

 z

 z = C 

 M ( x, y, z ) r

F   M ( x1 , y1 , z1 )  z = C 1 O  x

r

F 

 y

27 pav. Sunkio lauko jėgų funkcijos skaičiavimo schema

Kadangi pagal (61) dU  = dA , gauname dU  = −mg ⋅ dz , todėl U  = ∫ dU  = −mg ∫ dz . Taigi izotropinio sunkio lauko j ėgų funkcija: U  = −mgz + C .

(66)

Šio lauko sunkis yra pastovios krypties ir didumo (modulio). Lauko lygio lygtis U  = C  arba  z = const rodo, kad lygio paviršiai yra horizontaliosios plokštumos. Tamprumo j ėgos jėgų  funkcijos skai čiavimas r r Nagrinėsime tiesinę  tamprumo jėgą  (28 pav.), kuri atitinka Huko d ėsnį , t. y. F  = −cr  ; čia r r r  – atstumas nuo taško iki statin ės pusiausvyros pad ėties, kurioje F  = 0 ; c – pastovusis koeficientas – standumo koeficientas.

49

 z

 M ( x, y, z ) r

r

r 

F 

O  y  x 28 pav. Tamprumo jėgos jėgų funkcijos skaičiavimo schema

Jėgos projekcijos: F  x = −cx, F  y = −cy, F  z = −cz. Elementarusis j ėgos darbas: dA = F  x dx + F  y dy + F  z dz = −c( xdx +  ydy +  zdz ) = −crdr .

Kadangi  x 2 +  y 2 +  z 2 = r 2 , gauname  xdx +  ydy + zdz = rdr . Todėl, atlikę  nesud ėtingus veiksmus, turėsime elementar ų  jį  jėgos darbą :   cr 2    . dA = d  − 2    

Jėgos funkciją apskaičiuojame iš formul ės:   cr 2    + C , U  = ∫ dU  + C = ∫ d  − 2    

todėl gausime tamprumo j ėgos jėgų  funkcijos reikšmes: cr 2 U  = − + C . 2

Iš čia išplaukia, kad lygio paviršiai U  = C  yra spindulių  r = const sferos.

50

(67)

2.

DINAMIKOS UŽDAVINI Ų APIBRĖŽIMAI IR SPRENDIMAI

Taikant materialiojo taško pagrindin į  dinamikos dėsnį  (1), galima išvesti šio taško diferencialines jud ė jimo lygtis, kurias taikant ir sprendžiami materialiojo taško dinamikos uždaviniai. Jeigu nagrin ė jamas objektas yra yra laisvasis materialusis taškas, taškas, kuris neturi jud ė jimo apribojimo ir gali jud ėti bet kokia kryptimi, tai dinamikos uždaviniams spr ę sti sti galima taikyti pagrindinį  dinamikos dėsnį  (1). Jeigu laisv ą  jį  materialų  jį  tašką  veikia kelios išorin ės j ėgos, tai dinamikos uždaviniui spr ę sti sti galima taikyti diferencialines jud ė jimo lygtis ir ketvirtą  ją  dinamikos aksiom ą  (4). Jeigu nagrin ė jamas judantis objektas yra nelaisvasis materialusis taškas, tai pagal statikos ryši ų  atlaisvinimo aksiom ą  nelaisvą  jį  kūną  bus galima laikyti laisvuoju, jeigu nutrauksime esamus ryšius ir vietoj j ų  pridėsime atitinkamas ryši ų  reakcijų   jėgas. Taigi laisvojo ir nelaisvojo materialiojo taško diferencialin ės judė jimo lygtys skirsis tik tuo, kad nelaisvojo materialiojo taško diferencialin ėse judė jimo lygtyse, be veikian čių  jų  išorinių jėgų , bus į vertintos vertintos ir ryši ų reakcijų  jėgos. Materialiojo taško diferencialin ėms lygtims išvesti nedarysime skirtumo tarp laisvojo ir nelaisvojo tašk ų , bet į vertinsime vertinsime visas veikian čią sias sias jėgas kaip išorines j ėgas (žinomas), taip pat ir ryši ų  reakcijų  jėgas (nežinomas).

2.1. Materialiojo taško diferencialinės judė jimo lygtys r

Nagrinė jamas masės m materialusis taškas juda su pagrei čiu a dėl išorinių  jėgų  r r r F 1 , F 2 , ..., F n poveikio (29 pav.). r

 z

F 1 r F 2

r

v

τ

r

 N 

r

r  O

b

m

r

F n

n

 y  x 29 pav. Materialiojo taško judė jimas erdvė je

Taikant ketvirtą  ją  dinamikos aksiom ą  (4), šiam taškui galima užrašyti pagrindin į  dinamikos dėsnį : n

r

r

ma = ∑ F i .

(68)

i =1

Dešiniojoje šios priklausomyb ės pusė je yra visos veikiančiosios jėgos – tiek žinomos (aktyviosios), tiek nežinomos (ryši ų  reakcijos), nes nelaisvajam materialiajam taškui taikome 51

statikos ryši ų  atlaisvinimo princip ą  ir pridedame nežinomas ryši ų  reakcijų  jėgas, tuomet nelaisvasis taškas tampa laisvuoju. Suprojektuosime (68) priklausomyb ę Dekarto koordinačių ašių sistemoje. Gauname: n  ma x = ∑ F ix , i =1  n  ma y = ∑ F iy , i =1   ma = n F  . iz   z ∑ i =1

Kinematikoje turė jome, kad taško pagrei pagrei čio projekcija į  bet kurią  Dekarto koordinačių  ašį  lygi antrajai išvestinei nuo atitinkamo jud ė jimo dėsnio, t. y. d 2 x a x = 2 , dt 

d 2 y a y = 2 , dt 

d 2 z a z = 2 . dt 

Todėl  d 2 x n m 2 = ∑ F ix , i =1  dt 2  d   y n m 2 = ∑ F iy , i =1  dt 2  d   z n  m dt 2 = ∑ F iz . i =1 

(69)

Šios lygtys yra materialiojo taško diferencialin ės jud ė jimo lygtys, užrašytos projekcij ų  Dekarto koordinačių  ašių  sistemoje pavidalu. Jeigu (68) išraišką suprojektuosime nat ūralių  jų ašių sistemoje, turėsime: n  ma n = ∑ F in , i =1  n   ma τ = ∑ F iτ , i =1  n  ma = F  . ib  b ∑ i =1

Taip pat iš kinematikos kurso žinome, kad pagrei čio projekcijos į  natūralią sias sias ašis bus: an =

v2 ρ

,

Įvertinę  pagreičių projekcijas, tur ėsime:

52

d 2 s aτ = 2 , dt 

a b = 0.

n  v2  m ρ = ∑ F in , i =1  2  d  s n m 2 = ∑ F iτ ,  dt  n i =1  0 = F  . ∑ ib  i =1 

(70)

Šios lygtys yra materialiojo taško diferencialin ės jud ė jimo lygtys, užrašytos projekcij ų  į  natūralią sias sias koordina čių  ašis pavidalu. Sprendžiant dinamikos uždavinius kartais patogiau projektuoti materialiojo taško pagrindinį  dinamikos dėsnį  (68) į  kitos atskaitos sistemos koordina čių  ašis. Tokiu atveju reikia žinoti pagrei čių  projekcijas į  šitas ašis. Tada ir diferencialines jud ė jimo lygtis l ygtis turėsime kaip projekcijas į atitinkamos koordina čių sistemos ašis.

2.1.1. Pagrindiniai materialiojo taško dinamikos uždaviniai Taikant diferencialines lygtis sprendžiami du pagrindiniai dinamikos uždaviniai. Pirmasis dinamikos uždavinys :  žinant materialiojo taško masę m ir jud ė jimo d ėsnį , , reikia rasti tašk ą veikianč ią jėgą. Tarkime, žinomi mas ės m taško judė jimo dėsniai Dekarto koordina čių  ašių  atžvilgiu  x =  f 1 (t ),  y =  f 2 (t ),  z =  f 3 (t ) . Taikome diferencialines jud ė jimo lygtys. Veikiančiosios jėgos

projekcijas į  koordinačių  ašis galima rasti padauginus materialiojo taško mas ę  iš antrosios koordinačių išvestinės pagal laik ą , t. y.  d 2 x  F  x = m 2 , dt   d 2 y  F  y = m 2 , dt   2  F  = m d   z .   z dt 2

Toliau pagal j ėgos projekcijas galime rasti j ėgos modulį : F  = F  x2 + F  y2 + F  z2

ir jėgos kryptį  erdvė je: cos α =

F  x , F 

cos β =

53

F  y , F 

cos λ =

F  z . F 

 Antrasis dinamikos uždavinys uždavinys:  žinant materialiojo taško masę m ir tašk ą veikianč ias ias jėgas, reikia nustatyti taško jud ė jimo d ėsnį. Sprendžiant antr ą  jį  dinamikos uždavin į  į  kairią sias sias lygčių  (69) arba (70) puses reikia į rašyti rašyti taško mas ę  m, o į  dešinią sias sias – vis ų  veikiančių  jų  jėgų  projekcijų  sumą . Ieškomą   judė jimo dėsnį  gausime suintegrav ę šias lygtis du kartus. Akivaizdu, kad šis uždavinys turi didesn ę  praktinę  reikšmę  ir yra gerokai sud ėtingesnis už pirmą  jį dinamikos uždavin į . Atsižvelgiant į  tai, kad bendruoju atveju material ų  jį  tašką  veikiančios jėgos gali priklausyti nuo laiko, pad ėties arba grei čio, privalu į vertinti vertinti tai, kad ši ų  jėgų  atstojamoji jėga r F  taip pat priklausys nuo laiko, koordina čių ir greičio projekcijų , t. y. r

r

F  = F (t , x, y, z , v x , v y , v z ).

Uždaviniui spr ę sti sti taikome diferencialines jud ė jimo lygtis, išreikštas projekcijomis į  Dekarto koordinačių  ašis (69). Tod ėl nagrinė jamo materialiojo taško diferencialin ės judė jimo lygtys bus tokios:  d 2 x  m 2 = F  x (t , x, y, z , v x , v y , v z ),  dt 2  d   y m 2 = F  y (t , x, y , z , v x , v y , v z ),  dt 2  m d   z = F  (t , x, y, z , v , v , v ).  z  x  y  z  dt 2 

(71)

Siekiant nustatyti, kaip juda materialusis taškas, arba, kitaip tariant, norint rasti taško  judė jimo lygtis, reikia du kartus kartus integruoti šias diferencialines diferencialines jud ė jimo lygtis. Po lygčių  (71) pirmojo integravimo gausime taško grei čio projekcijų  reikšmes su trimis integravimo konstantomis:  v x = ϕ1 (t , C 1 , C 2 , C 3 ),  v y = ϕ 2 (t , C 1 , C 2 , C 3 ),  v = ϕ (t , C  , C  , C  ). 3 1 2 3   z

(72)

Po antrojo integravimo gauname taško koordina čių  kitimo dėsnius su šešiomis integravimo konstantomis:  x =  f 1 (t , C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 5 , C 6 ),   y =  f 2 (t , C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 5 , C 6 ),  z =  f  (t , C  , C  , C  , C  , C  , C  ) . 3 1 2 3 4 5 6 

54

(73)

Integravimo konstantas galime rasti pagal pradines jud ė jimo s ą lygas, lygas, t. y. pagal žinomus taško greit į  ir padėtį , pavyzdžiui, pradiniu laiko momentu. Jeigu žinome, kad pradiniu laiko momentu, kai t  = t 0 , taškas yra pad ėtyje, kurios koordinatės  x = x 0 ,  y =  y 0 ir  z = z 0 , ir turi pradinį  greitį , kurio projekcijos v x = v0 x , v y = v 0 y ir v z = v 0 z , tai, į raš rašę  šias reikšmes į  greičių  (72) ir koordinačių  (73) bendruosius sprendimus, rasime visas integravimo konstantas C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 5 , C 6 . Įvertinę  konstantų  reikšmes, gausime tokio pavidalo materialiojo taško jud ė jimo lygtis:  x =  f 1 (t , x 0 , y 0 , z 0 , v 0 x , v 0 y , v0 z ),   y =  f 2 (t , x 0 , y 0 , z 0 , v 0 x , v 0 y , v 0 z ),  z =  f  (t , x , y , z , v , v , v ). 3 0 0 0 0 x 0 y 0 z 

(74)

Matome, kad kai material ų  jį  tašką  veikia ta pati išorin ė jėga, taško jud ė jimas priklausys nuo pradinių są lyg lygų . Pavyzdžiui, materialusis taškas d ėl sunkio poveikio gali: a)  judėti vertikaliai žemyn, jeigu buvo paleistas laisvai kristi; b)  judėti pradiniu momentu į  viršų , jeigu jam buvo suteiktas vertikalios krypties greitis; c)  judėti tam tikra trajektorija, jei taškas į gijo gijo greitį kampu su horizontu. Nagrinėsime materialiojo taško jud ė jimą , kai tašk ą veikia: 1) nekintama nuolatin ė jėga; 2)  jėga, priklausanti nuo laiko; 3)  jėga, priklausanti nuo jud ė jimo greičio; 4)  jėga, priklausanti nuo taško pad ėties. Tarkime, materialų  jį  tašką  veikia pastovi j ėga, pavyzdžiui, sunkis. Tegul pradiniu momentu padėtyje  A (30 pav.) esantis nejudantis taškas yra paleidžiamas jud ėti vertikaliai žemyn nesuteikiant jam pradinio grei čio. Rasime šio taško jud ė jimo nepaisant oro pasipriešinimo dėsnį . Koordinačių ašį  nukreipiame jud ė jimo kryptimi (30 pav.).

 A r

 y

G

 H  r

G  B  y

30 pav. Taško judė jimas dėl sunkio poveikio

55

Užrašysime taško jud ė jimo diferencialinę  lygtį : d 2 x m 2 = G, dt 

arba d 2 x m 2 = mg , dt 

nes materialiojo taško sunkis G = mg. Užrašysime jud ė jimo pradines są lygas. lygas. Pradiniu laiko momentu t 0 = 0,  y 0 = 0 ir pradinis greitis v0 = 0. Pertvarkę  judė jimo diferencialinę  lygtį , gauname: m

dv = mg. dt 

Atskyrę kintamuosius, tur ėsime: dv = gdt .

Integruodami gaut ą  ją  lygtį  esant atitinkamoms riboms, kurias nustato jud ė jimo pradinės są lygos, lygos, gausime: v

t 

0=

0=

dv = ∫ gdt , ∫ v 0 t  0

arba greičio bendrą  ją išraišką : v = gt . Įvertinę  tai, kad greitis yra pirmoji kelio išvestin ė pagal laiką , lygtį galime užrašyti taip:

dy = gt . dt 

Atskyrę kintamuosius, tur ėsime: dy = gtdt .

Suintegravę  gausime:  y

t 

0=

0=

dy = ∫ gtdt . ∫  y 0 t  0

56

Galiausiai gausime tok į  materialiojo taško jud ė jimo dėsnį : t 2  y = g . 2

Materialiojo taško laisvojo kritimo d ėsnius pirmasis suformulavo Galil ė jus: 1) laisvai krintančio kūno greitis proporcingas kritimo laikui; 2) krintančio kūno atstumai proporcingi laiko kvadratui. Jeigu norime rasti materialiojo taško kritimo iš aukš čio  H  laiką , galime taikyti išvest ą  ją  gt  H 2 koordinatės y formulę , t. y.  H  = . Iš jos randame kritimo laik ą  t  H  = 2 H  g . 2 Nagrinėsime atveji, kai materialusis taškas metamas vertikaliai į  viršų  jam suteikiant pradinį  greitį  v 0 (31 pav.). Nustatysime taško jud ė jimą nepaisant oro pasipriešinimo.  y  B vr r

 H 

G

 y

r

 A

v0

31 pav. Taško judė jimas vertikaliai į  viršų 

Iš pradžių  apibrėšime judė jimo pradines są lygas: lygas: kai t 0 = 0, tai  y 0 = 0 ir v 0 y = v 0 . Užrašome taško jud ė jimo diferencialinę  lygtį : d 2 x m 2 = −G, dt 

arba m

dv = − mg. dt 

Atskiriame kintamuosius ir integruojame: dv = − gdt , v

t 

0 y = 0

0=

dv = ∫ (− g )dt , ∫ v v t  0 v − v0 = − gt .

57

Po pirmojo integravimo gauname taško jud ė jimo greičio pokyčio bendrą  ją  išraišką : v = v 0 − gt . Įvertinę  tai, kad greitis yra pirmoji jud ė jimo dėsnio išvestin ė, t. y. v =

užrašyti:

dy = v − gt . Atskyrę  kintamuosius gauname: dy = v0 dt − gtdt . Suintegravę , dt  0  y

turėsime:

dy , galime dt 

t 

t 

dy = ∫ v0 dt − ∫ gtdt . ∫  y 0 t  0 t  0 0=

0=

Po antrojo integravimo gauname materialiojo taško

0=

 judė jimo dėsnį : t 2  y = v 0 t  − g . 2  H pakils Naudodami gautas lygtis, galime rasti, pavyzdžiui, per kok į  laiką  ir į  kokį  aukštį  H  taškas. Padėtis  B (31 pav.) ypatinga tuo, kad judantis taškas tur ės greitį  v = 0. Įrašę  greičio reikšmę  v = 0 į  bendrą  ją  greičio pokyčio formulę , gauname taško jud ė jimo laiką : t  = v0 g . v02 Įrašę  šią laiko reikšmę į  ę  į  judė jimo dėsnio išraišką , gauname taško pakilimo aukšt į :  H  = . 2g Įdomesnis, tačiau sudėtingesnis sprendimo poži ūriu uždavinys b ūna, kai materialusis taškas, mestas pradiniu grei čiu v0 tam tikru kampu su horizontu, juda veikiant tik sunkiui

(32 pav.). Parinksime Dekarto koordina čių  ašis taško jud ė jimo pradžioje ir parodysime taško r pradinio greičio vektoriaus v 0 kryptį  koordinačių ašių atžvilgiu.

 z r

v  A r

r

v0 O

r

v

α0

 H 

G

r

G

 B  L

 x

 y

32 pav. Taško judė jimas vertikalią  ja plokštuma

Judė jimo pradinės są lygos: lygos: kai t 0 = 0, tai  x0 = 0,  y 0 = 0,  z 0 = 0 ir v0 x = 0, v 0 y = v 0 cos α 0 , v0 z = v0 sin α 0 . Judė jimas vyksta erdvė je, todėl pagal (69) užrašysime tris taško judė jimo diferencialines lygtis: lygtis:

58

 d 2 x n  m 2 = ∑ F ix , i =1  dt 2  d   y n m 2 = ∑ F iy , i =1  dt 2  d   z n  m dt 2 = ∑ F iz . i =1 

Pakeitę pagrei čių  projekcijas ir į raš rašę veikiančių  jų  jėgų projekcijų reikšmes, turėsime:

dv x  m = 0,  dt   dv y m = 0,  dt   m dv z = −mg .  dt  lygas, po pirmojo integravimo gausime grei čių  Įvertinę  taško judė jimo pradines są lygas, bendrą sias sias išraiškas: v x = 0,  v y = v0 cos α 0 ,  v z = v 0 sin α 0 − gt . Po antrojo judė jimo dėsnių integravimo turėsime materialiojo taško jud ė jimo lygtis:   x = 0,   y = v 0 cos α 0 ⋅ t ,  2  z = v 0 sin α 0 ⋅ t − g t  .  2

Analizuodami grei čių  ir judė jimo d ėsnių  formules darome išvad ą , kad mestas kampu α 0 su horizontu materialusis taškas jud ės vertikaliojoje plokštumoje, ašies Ox atžvilgiu jis nejudės. Iš judė jimo lygčių  nesunkiai gauname, kad taškas jud ės parabole:  z =  y ⋅ tg α 0 −

g  y 2 . 2 2 2v 0 cos α 0

Turėdami materialiojo taško grei čio ir judė jimo dėsnio bendrą sias sias išraiškas, galime rasti  H (32 pav.). Pad ėtyje A taško greitis yra nukreiptas maksimalų  taško judė jimo pakilimo aukštį  H  pagal liestinę  trajektorijai, arba statmenai ašiai Oz. Tuomet iš s ą lygos lygos v z = 0 gauname, kad 59

v0 sin α 0 . Įrašę  šią  laiko reikšmę  į  g v 02 sin 2 α 0 koordinatės  z išraišką , nesunkiai gauname pakilimo aukšt į   H  = . Matome, kad 2g  judė jimo trajektorijos aukštis priklauso nuo pradinio grei čio krypties, t. y. nuo kampo α 0 . v02 o o Maksimalus aukštis bus kai α 0 = 90 ( sin 90 = 1 ), kurio reikšm ė  H  = , kas atitinka jau 2g nagrinėtą  jį  taško judė jimo atvejį , kai taškas juda į  viršų pradiniu greičiu v 0 .

taško judė jimo pakilimo iki padėties  A laikas bus t =

Norint rasti, kaip toli jud ės šis taškas horizontalia kryptimi, reikia žinoti jud ė jimo laiką , kurį  galima būtų  į rašyti rašyti į  koordinatės  y bendr ą  ją  išraišką . Iš judė jimo schemos (32 pav.) matome, kad trajektorijos galinio taško  B koordinatė  z = 0. Tuomet turėsime t 2 t     v 0 sin α ⋅ t − g = 0, arba t  v 0 sin α − g  = 0 ; iš čia gauname dvi laiko reikšm ės: t 1 = 0, 2 2    2v kas atitinka taško jud ė jimo pradinę  padėtį  ( z = 0 ), ir t 2 = 0 sin α. g Ši laiko reikšmė ir yra taško jud ė jimo laikas. Įrašę  šį  laiką  į  koordinatės  y formulę ,  L. gauname taško jud ė jimo horizontalia kryptimi atstumą  L 2v0 sin α v 02  L =  y = v 0 cos α = sin 2α. g g Maksimalus taško jud ė jimo nuotolis bus, kai sin 2α = 1. Iš čia gauname, kad 2α = 90 o. Galime padaryti išvad ą , kad maksimal ų  atstumą  horizontalia kryptimi taškas tur ės, kai v02 o bus mestas kampu α = 45 su horizontu, ir šis atstumas  Lmax = . g  Jud ė jimo atvejis, kai materialų  jį tašk ą veikia jėga, priklausanti nuo laiko Tarkime, horizontaliai judant į  materialų  jį  masės m tašką  (33 pav.) veikia horizontali j ėga, kurios reikšmė didė ja proporcingai laikui, pavyzdžiui, pavyzdžiui, pagal pagal d ėsnį  F  = kt . Tegul pradiniu laiko momentu taškas yra rimties b ūsenos. Nustatysime šio taško jud ė jimo dėsnį .

r

v O

r

F 

 x

33 pav. Taško judė jimas horizontalia plokštuma

60

 x

Parinkę  atskaitos sistemos pradži ą  taško pradinė je padėtyje O ir taško judė jimo kryptimi nukreipę  koordinačių  ašį  Ox, užrašysime taško jud ė jimo pradines s ą lygas: lygas: kai t 0 = 0,  x0 = 0, v 0 = 0. Užrašysime taško diferencialin ę  judė jimo lygtį : d 2 x m 2 = F . dt 

Pertvarkę pagreičio išraišką  ir į raš rašę  jėgos reikšmę , gausime: m

dv x = kt . dt 

Todėl galima užrašyti: dv x =

k  tdt . m

Po pirmojo diferencialin ės lygties integravimo, į vertin vertinę  judė jimo pradines są lygas, lygas, nesunkiai gauname grei čio bendrą  ją išraišką : v x =

k  2 t  . 2m

Po antrojo diferencialin ės lygties integravimo gauname ieškom ą  materialiojo taško  judė jimo dėsnį :  x =

k  3 t  . 6m

Matyti, kad ieškodami taško greit į  arba judė jimo lygtį  ir integruodami diferencialin ę   judė jimo lygtį  turime į vertinti vertinti jėgos matematinę išraišką .  Atvejis, kai veikianč ioji ioji jėga priklauso nuo grei č io io Tuo atveju, kai k ūnas juda materialiojoje aplinkoje, j į  veikia šios aplinkos pasipriešinimo  jėga, kuri priklauso nuo k ūno judė jimo grei čio. Kai judė jimo greitis nedidelis, pasipriešinimo  jėga proporcinga šiam grei čiui, t. y.  R = kv. Pavyzdžiui, judant į  automobilį  veikia oro pasipriešinimo j ėga. Kai greitis didelis, pasipriešinimo j ėga proporcinga grei čio kvadratui, t. y.  R = kv 2 . Pavyzdžiui, judant į  greitaeigį  laivą  arba skrendant į  lėktuvą  veikia vandens arba oro pasipriešinimo j ėgos. Kai k ūno greitis labai didelis, pasipriešinimo j ėga proporcinga greičio kubui, t. y.  R = kv 3 . Pavyzdžiui, gr į žtantis žtantis į  Žemę  kosminis laivas patiria oro pasipriešinimo jėgą , kuri esant dideliam grei čiui pasiekia labai dideles reikšmes.

61

Pasipriešinimo jėgos atvejis Tegul masės m laivas juda grei čiu v 0 . Variklius išjungus laiv ą  veikia vandens pasipriešinimo j ėga, kuri proporcinga laivo jud ė jimo greičio kvadratui ir lygi  R = µmv 2 ; čia µ – vandens pasipriešinimo koeficientas; m – laivo mas ė. Nustatysime, per kiek laiko laivo greitis sumažės iki v ir kokį  atstumą jis nuplauks. Parinksime atskaitos sistemos pradži ą  taške O, kur laivo greitis lygus v 0 , ir nukreipsime

koordinačių ašį  laivo judė jimo kryptimi (34 pav.).

r

O

 R

 A

 x  L 34 pav. Laivo judė jimas

Laivo judė jimo pradinės są lygos: lygos: kai t 0 = 0, tai  x0 = 0 ir v0 x = v0 . Užrašysime laivo diferencialinę judė jimo lygtį : d 2 x m 2 = − R, dt  ą  į rašysime kurioje pertvarkysime pagreit į  atitinkančią  dalį  ir į  kurią į  rašysime j ėgos reikšmę :

m

dv x = −µmv 2 . dt 

Tarkime, grei čio projekcija v x = v, nes laivo greitis į  ašį  Ox projektuojamas visu dydžiu. Atskyrę kintamuosius gausime: dv = −µdt . v2

Vertindami judė jimo pradines są lygas lygas galime užrašyti: v

t  dv ∫v v 2 = −µt  ∫=0dt . 0 0

Integruodami gausime: 1 1 − = µt . v v0

62

Gavome matematin ę  išraišką , kurioje laivo greitis v yra išreikštas netiesiogiai. Pertvark ę  lygtį  nesunkiai gausime grei čio priklausomybę nuo laiko: v0 . v0 µt + 1

v=

Žinodami, kad greitis yra pirmoji kelio išvestin ė, t. y. v =

dx , turėsime: dt 

v0 dx = . dt  v 0 µt + 1

Atskyrę kintamuosius galime užrašyti: dx =

v0 dt . v 0 µt + 1

Integruodami abi lygties puses, į vertin vertinę  pradines są lygas, lygas, nesunkiai gausime laivo  judė jimo dėsnio bendrą  ją  išraišką : 1  x = ln (v 0 µt + 1) . µ

Turėdami laivo grei čio ir judė jimo dėsnio bendrą sias sias priklausomybes nuo laiko, galime sprę sti sti ir pateiktą  jį  uždavinį : – rasti laiką , per kurį laivas pasieks greit į  v; – rasti atstumą , kurį nuplauks laivas per š į laiko tarpą . Iš greičio bendrosios formul ės gausime jud ė jimo laiko reikšmę : t =

1 (v 0 − v ) . µvv 0

Įrašę  laiką  į  kelio išraišką  ir atlikę  matematinius pertvarkymus, tur ėsime ieškomą  kelio ruožą :

1 v  L = x = ln 0 . µ v Jeigu pasipriešinimo j ėga bus priklausoma nuo grei čio aukštesniuoju laipsniu, diferencialinėms lygtims integruoti reik ės taikyti kitas integralines priklausomybes, aprašytas specialiojoje matematin ė je literatūroje. 63

Taško jud ė jimo atvejis, kai jį veikianti jėga priklauso nuo pad ėties Tarkime, materialusis taškas, mestas pradiniu grei čiu v0 nuo Žemės paviršiaus vertikaliai į  viršų , juda veikiant Žem ės traukos j ėgai, kuri yra atvirkš čiai proporcinga atstumo iki Žem ės centro kvadratui (35 pav.). Rasime šio taško jud ė jimą , nukreipdami koordina čių  ašį  nuo Žemes centro taško jud ė jimo kryptimi.

 y  B vr r

 ymax  y

F 

h

r

 A

v0

O  R 35 pav. Taško judė jimas vertikaliai į  viršų  nuo Žemės paviršiaus

Taško judė jimo pradinės są lygos: lygos: kai t 0 = 0, tai v y = v0 ir  y 0 = R ; čia  R – Žemės spindulys. Užrašome taško jud ė jimo diferencialinę  lygtį : d 2 y m 2 = − F , dt 

arba m

dv y k  =− 2, dt   y

k  ; čia k  – proporcingumo koeficientas, kur į  galima rasti pagal žinom ą   y 2  jėgą , veikiančią  tašką  žinomoje vietoje. M ūsų  atveju, kai taškas yra Žem ės paviršiuje, jo padėtis  y = R, o traukos j ėga lygi šio taško sunkiui, t. y. F  = mg. Įrašę  visas reikšmes į  jėgos k  bendrą  ją  išraišką , turėsime mg = 2 ; iš čia proporcingumo koeficientas bus lygus  R 2 k  = mgR . Taigi judant į materialų  jį  tašką veikianti traukos j ėga bus lygi:

nes traukos j ėga F  =

mgR 2 F  = ,  y 2

o diferencialinė judė jimo lygtis bus tokia: 64

dv y mgR 2 . m =− 2 dt   y

Sudauginę  abi lygties puses iš dy, gausime: dv y mgR 2 m dy = − 2 dy. dt   y

Toliau galime užrašyti: v y dv y = − gR 2

dy .  y 2

Integravę iki atitinkamų ribų , turėsime: v y

∫ v y dy = − gR

v0

 y

2

dy ∫ R  y 2 .

Galiausiai gausime: v y2 v 02  1 1   − = gR 2  − , 2 2   y  R 

iš čia galime gauti bendrojo pavidalo grei čio išraišką , išreikštą  netiesiogiai kaip pad ėties funkciją :   1 1  v y2 = v 02 − 2 gR 2  −  ,   R  y 

arba   1 1  v y = v 02 − 2 gR 2  −  .   R  y 

Naudodami ši ą  priklausomybę  galime rasti, pavyzdžiui, taško maksimal ų  jį  atstumą  nuo Žemės centro priklausomai nuo jam suteikto pradinio grei čio v 0 . Tokiame taške  B greičio projekcija v y = 0. Tai reiškia, kad judantis taškas, nutol ę s maksimaliu atstumu nuo Žem ės, sustoja ir po to juda atgal Žemės link. Iš grei čio formulės nesunkiai gauname, kad maksimalus nuotolis išreiškiamas taip:  y max

2 gR 2 = . 2 gR − v 02

65

Taško pakilimo aukšt į  virš Žemės galime rasti kaip skirtum ą  tarp maksimalaus atstumo ir Žemės spindulio, t. y. h =  y max − R. Iš maksimalaus nuotolio formul ės matome, kad atstumas  y max didė ja, didė jant taško pradiniam grei čiui v 0 . Todėl galime rasti pradin į  greitį , kuriam esant taško atstumas nuo Žemės didė ja iki begalybės, t. y. nustatysime s ą lygas, lygas, kada mestas materialusis taškas negr į žta žta 2 į  Žemę . Tariant, kad  y max = ∞, iš minėtosios formulės gauname, kad 2 gR − v0 = 0 , ir gausime išraišką pradinio grei čio reikšmei skai čiuoti: v0 = 2 gR . Įvertinę , kad laisvojo kritimo pagreitis g = 9,81 m s 2 , ir laikydami, kad Žem ės spindulys R = 6370 km, gausime:

v 0 = 2 ⋅ 9,81 ⋅ 10 −3 ⋅ 6370 ≈ 11,2 km s . iu. K ūnas, mestas tokiu grei čiu nuo Žem ės Šis greitis vadinamas antruoju kosminiu grei č iu paviršiaus vertikaliai į  viršų , niekada negr į š į  Žemę . Tokį  greitį  turi į gyti gyti kosminis laivas, kad galėtų judėti nuo Žem ės kitų  planėtų link.

Nagrinėsime materialiojo taško jud ė jimo atvejį , kai taškas bus mestas horizontaliojoje plokštumoje Žem ės atžvilgiu pradiniu grei čiu v 0 . Atvejis, kai material ų  jį  tašką  veikia pastovus sunkis, buvo išnagrin ėtas anks čiau. Nustatyta, kad toks taškas, kai pradinis greitis su horizontalią  ja plokštuma sudaro tam tikr ą  kampą , krinta į  Žemę . Nagrinėsime atvej į , kai tašk ą  veikianti jėga priklauso nuo pad ėties ir yra proporcinga atstumo iki Žem ės centro kvadratui. Nustatysime grei čio reikšmę , kuriai esant šis taškas jud ės apskritimu aplink Žem ę (36 pav.).  y r

 y

∆ R

F 

 A r v0 r

 R

F 

r

v

O τ

n 36 pav. Taško judė jimas apie Žemę 

mgR 2 Buvo minėta, kad tašk ą  veikianti Žemės traukos j ėga F  = 2 . Tarkime, kad taškas  y r prie Žemės paviršiaus jud ės greičiu v , kuris nukreiptas liestine taško jud ė jimo trajektorijai.

66

Taško judė jimui aprašyti taikysime diferencialines jud ė jimo lygtis natūralių  jų  ašių  atžvilgiu (70), t. y. m

v2 ρ

n

= ∑ F in , i =1

arba, į raš rašę reikšmes, gausime: v2

mgR 2 m = 2 . ρ  y Įvertinę tai, kad atstum ą  ∆ R galime laikyti be galo mažu, gausime  y = R ir ρ = R . Taigi

v 2 mgR 2 m = ,  R  R 2

iš čia nesunkiai galime gauti grei čio išraišką : v = gR. Įrašę reikšmes, turėsime:

v = 9,81 ⋅ 10 −3 ⋅ 6370 = 7,91 km s .

Šis greitis vadinamas  pirmuoju kosminiu grei č iu iu. Tokį  greitį  reikia suteikti materialiajam taškui, kad jis jud ėtų  aplink Žemę  nenukrisdamas į  ją . Tokį  patį  greitį  turi į gyti gyti ir kosminis aparatas arba palydovas, kad gal ėtų  suktis aplink Žem ę  nenukrisdamas į  ją , t. y. kad tapt ų  dirbtiniu Žemės palydovu.

2.1.2. Reliatyvusis materialiojo taško judė jimas Nagrinėdami materialiojo taško jud ė jimą  padarėme prielaidą , kad jis juda inercin ės (nejudančios) atskaitos sistemos atžvilgiu. Tikrov ė je tokios atskaitos sistemos neegzistuoja, nes nėra absoliučiai nejudančių  kūnų , su kuriais gal ėtume susieti tokias atskaitos sistemas. Sprendžiant daugel į  uždavinių , atskaitos sistemos neinertiškumo ignoravimas reikšmingos paklaidos neduoda, o skai čiavimą  gerokai supaprastina. Tod ėl ši prielaida dažnai taikoma skai čiavimams. Tačiau mechanikoje yra sri čių , kur tokia prielaida pri elaida neleidžiama, pavyzdžiui, dangaus k ūnų  mechanikoje, kosmini ų  skrydžių  teorijoje ir kt. J ėgų  veikiamo materialiojo taško jud ė jimas atrodys vienaip nejudan čios sistemos atžvilgiu ir visai kitaip judan čios sistemos atžvilgiu. Visos taško kinematin ės charakteristikos – jud ė jimo trajektorija, greitis ir pagreitis – bus skirtingi šiose atskaitos sistemose. Kinematikoje, nagrin ėdami sudėtinį  taško judė jimą , išskyrėme tris judė jimus: absoliut ų  jį , reliatyvų  jį  ir keliamą  jį . Skaičiuojant balistines trajektorijas ir ypa č kosminių  laivų  67

trajektorijas, svarbus yra reliatyvusis taško jud ė jimas – taško judė jimas judančių  objektų  atžvilgiu. Iš kinematikos žinome, kad absoliutusis taško pagreitis susideda iš trij t rij ų dedamų  jų : r

r

r

r

a = a r  + a k  + a c , r

r

(75)

r

formulė je a r , a k  , a c – tašk taškoo reli reliaatyvu tyvusi sis, s, keli keliaama massis ir Korio orioli lioo pag pagrei rei čiai. r r Tašką  veikiančių  jėgų  atstojamą  ją  jėgą  žymėsime vektoriumi F  = ∑ F i . Ši jėga materialiajam taškui suteikia absoliut ų  jį  pagreitį . Remdamiesi antruoju dinamikos d ėsniu, turime: r

r

F  = ma .

(76)

Įrašę  pagreičio išraišką iš (75) į (76), gausime: r

r

r

r

F  = ma r  + ma k  + ma c .

(77)

r

Iš čia galime išreikšti ma r  narį : r

r

r

r

ma r  = F  + (− ma k  ) + (− ma c ) .

(78)

Nagrinėdami gautą  ją  išraišką , galime padaryti išvad ą , kad reliatyv ų  jį  judė jimą  sukurianti r  jėga susideda iš trij ų  dalių : tiesiogiai prie taško prid ėtų  jėgų  F  ir dviejų  jėgų , pastebimų  tik  judančios sistemos atžvilgiu. Vien ą iš šių jėgų pavadinsime keliamą ja inercijos jėga: r

r

r

r

Φ k  = − ma k  ,

(79)

kitą  – Koriolio inercijos jėga: Φ c = −ma c .

(80)

Taško reliatyviojo jud ė jimo keliamoji inercijos jėga yra nukreipta priešinga keliamojo  judė jimo pagreičiui kryptimi ir lygi taško mas ės ir keliamojo pagrei čio modulio sandaugai. Koriolio inercijos j ėga yra nukreipta priešinga Koriolio pagrei čio vektoriui kryptimi ir lygi taško masės ir Koriolio pagrei čio modulio sandaugai. sandaugai. Įrašę  (79) ir (80) lygybes l ygybes į (78), gausime: r

r

r

r

ma r  = F  + Φ k  + Φ c .

(81)

Lygtis (81) yra materialiojo taško reliatyviojo jud ė jimo diferencialinė lygtis, pateikta sias (reliatyvi ą sias) sias) koordinačių  ašis, gausime vektorine forma. Suprojektavę  šią  lygtį į  į  į  judamą sias taško reliatyviojo jud ė jimo diferencialines lygtis lygtis koordinačių (skaliariniu) pavidalu: 68

d 2 x r  m 2 = F  x + Φ kx + Φ cx , dt  d 2 y r  m 2 = F  y + Φ ky + Φ cy , dt  d 2 z r  m 2 = F  z + Φ kz + Φ cz . dt 

(82)

Lygtys (81) ir (82) išreiškia dinamin ę Koriolio teoremą . r Taškas juda reliatyviuoju jud ė jimu, kai veikia ne tik tiesiogiai pridėtos jėgos F  , bet ir r r keliamoji Φ k  bei Koriolio Φ c inercijos jėgos.  Reliatyviojo jud ė jimo atvejai a) Kai judanti atskaitos sistema slenka r r r r r r Tuomet ω k  = 0 ir a c = 2(ω k  × v r  ) = 0 . Taigi Φ c = −ma c = 0 . Vadinasi, r

r

r

ma r  = F  + Φ k  .

(83)

Atitinkamai supaprast ė ja ir skaliarinės lygtys (82). b) Kai judanti atskaitos sistema slenka tiesiai ir tolygiai r r Tuomet a k  ir a c lygūs nuliui. Keliamoji ir Koriolio inercijos j ėgos taip pat lygios r

r

nuliui, t. y. Φ k  ≡ 0 , Φ c ≡ 0. Diferencialinė judė jimo lygtis atrodys taip: r

r

ma r  = F ,

t. y. jeigu judanti atskaitos sistema slenka tiesiai ir tolygiai, j ą  galima laikyti inercine. Visi mechaniniai reiškiniai joje vyks taip pat, kaip ir nejudan čioje sistemoje. Jokiais bandymais, atliekamais šioje sistemoje, negal ėsime nustatyti, ar ji juda, ar ne. Šis atvejis išreiškia Galil ė jaus klasikinės mechanikos reliatyvumo princip ą . c)  Materialiojo taško reliatyvi pusiausvyra pusiausvyra Tarkime, kad materialusis taškas, veikiamas j ėgų , judančios sistemos atžvilgiu yra r r r rimties būsenos. Šiuo atveju v r  ir a r  lygūs nuliui, o Φ c ≡ 0 . Reliatyviojo jud ė jimo

diferencialinė lygtis (81) tampa tokia: r

r

F  + Φ k  = 0 .

(84)

Iš (84) lygties matyti, kad reliatyvi ą  taško pusiausvyr ą  turėsime tada, kai prie taško r r pridėtos jėgos F  ir keliamoji inercijos j ėga Φ k  yra pusiausviros. Tai galima gauti ir r r r tuomet, kai v r  // ω k  ir v r  = const . 69

Pavyzdžiai: 1. Koriolio inercijos j ėga gamtoje ir technikoje r Tarkime, kad Žem ės meridiane iš piet ų  į  šiaurę  šiaurės pusrutulyje grei čiu v r  juda traukinys  M  (37 pav.). Š 

r

vr 

r

ω

r

ω

ω

r

90

Φc

o

 M 

r

ac

V 

 R

P 37 pav. Traukinio judė jimas į  šiaurę  r

Žemė sukasi iš vakar ų  į  rytus, todėl kampinio grei čio vektorius ω k  bus nukreiptas r sukimosi ašimi iš piet ų  P į  šiaurę  Š . Pasukę  vektoriaus v r  projekciją  kampinio greičio ω k  r kryptimi 90 o kampu, kampu, gausime gausime Koriolio Koriolio pagre pagreii čio vektoriaus a c kryptį  – paralelės liestinę  iš rytų  į  vakarus, t. y. ži ūrint pagal traukinio jud ė jimą  – į  kairią  ją  pusę . Traukinio ratai d ėl r Koriolio inercijos jėgos Φ c spaus b ėgius priešinga kryptimi, t. y. į  dešinę  pusę , o, turint galvoje rat ų  konfigūraciją , visas spaudimas teks tik dešiniajam b ėgiui. Traukiniui judant iš r r r šiaurės į  pietus, vektori ų  v r  , a c , Φ c kryptys bus priešingos, ir ratai v ėl spaus dešin į  jį  (traukinio judė jimo atžvilgiu) bėgį . Todėl, esant dviej ų  eilių  bėgiams, šiaurės pusrutulyje visada greičiau susidėvi dešiniosios pus ės bėgiai. Dėl Koriolio inercijos j ėgos šiaur ės pusrutulyje paplaunamas dešinysis meridiane tekančių  upių  krantas. Dėl Koriolio inercijos j ėgos poveikio šiaur ės pusrutulyje šiaur ės v ė jas pereina į  rytų – susidaro ryt ų pasatai. 2.  Materialiojo taško reliatyviojo jud ė jimo d ėsnis Glotnus 0,5 m ilgio strypas tolygiai sukasi horizontaliojoje plokštumoje. Sukimosi greitis ω k  = 2π 1 . Ant strypo užmautas žiedas. Tam tikru laiko momentu strypo viduryje s esančiam žiedui leidžiama slysti. Rasime žiedo (38 pav.) reliatyviojo jud ė jimo lygtį . 38 pav. yra pavaizduotos dvi strypo projekcijos – iš šono ir iš viršaus. Judan čią  atskaitos sistemą  Oxyz susiejame su strypu. Keliamasis sistemos jud ė jimas yra strypo sukimasis, reliatyvusis judė jimas yra žiedo  M  slinkimas Ox ašimis. Kai sukimasis yra tolygus, r r r r r ω k  = const, ε = 0 , a k  = a k n + a k τ = a k n , a k τ = ε ⋅ x = 0 , a k n = ω k 2 x . Taško reliatyviojo jud ė jimo diferencialinė lygtis bus: r

r

r

r

ma r  = ∑ F i + Φ k n +Φ c .

70

 y

 z

r

ac

r

 N 1 rn

ak 

r

r

r

n v  M  r  ar  Φ k   x

ωk 

O

O r

 x

 N 2

r

 M  r

 x

G  L

r

Φ k n  x Φc

 L a)

b)

38 pav. Žiedo reliatyvusis judė jimas r

Schemoje parodome taško pagrei čius ir veikian čią sias sias jėgas. Tašką  veikia sunkis G , r r r vertikali bei horizontali reakcijos  N 1 ir  N 2 ir keliamoji normalinė inercijos jėga Φ k n bei r

Koriolio inercijos j ėga Φ c . Inercijos j ėgų  kryptys priešingos atitinkamiems pagrei čiams, o moduliai: Φ k n = ma k n = mxω k 2 , Φ c = mac = 2mω k v r .

Sudarome diferencialin ę  judė jimo lygtį  Ox ašies atžvilgiu: ma r  = Φ k n = mxω k 2 .

Pažym ė ję  a r  = x&& ir padaliję iš masės m, gausime diferencialin ę  judė jimo lygtį :  x&& − ω k 2 x = 0 .

Sprendimo ieškome  x = e rt  pavidalu. Įrašę  šį  sprendinį  į  lygtį , gauname charakteristin ę  lygtį  r 2 − ω k 2 = 0 , kurios šaknis r 1, 2 = ±ω k  . Diferencialinės lygties sprendinys bus toks:  x = C 1e ωk t  + C 2 e − ωk t  .

Judė jimo greitį  gausime diferencijuodami jud ė jimo lygtį laiko atžvilgiu:  x&& = ω k  (C 1e ωk t  − C 2 e − ωk t  ) .

1 Konstantas C 1 ir C 2 randame iš pradini ų  są lyg lygų : kai t  = 0 ,  x 0 = = 0,25 m ,  x&&0 = 0 . 2 Įrašome šias reikšmes į  judė jimo ir greičio lygtis: 0,25 = C 1 + C 2 , 0 = C 1 − C 2 ; iš čia 71

C 1 = C 2 = 0,125 . Įrašę  kampinio grei čio ω k  = 2π ir konstantų  reikšmes į  judė jimo lygtį ,

gauname žiedo reliatyviojo jud ė jimo dėsnį :  x = 0,125(e 2 πt  + e −2 πt  ).

2.2. Materialių jų taškų sistemos diferencialinės judė jimo lygtys Tarkime, turime materiali ų  jų  taškų  mechaninę  sistemą , t. y. toki ą  taškų  visumą , kurios kiekvieno taško jud ė jimas priklauso nuo kit ų  taškų judė jimų ir priklauso nuo ryši ų tarp jų . Užrašysime diferencialines jud ė jimo lygtis vienam mechaninės sistemos taškui. Tam reikia nutraukti šio taško ryšius su kitais sistemos taškais, taip pat su kitais k ūnais ir pridėti ų į  Dekarto koordinačių ašis pavidalu tur ėsime: atitinkamas reakcijas. Projekcij ų į   d 2 x k  = F kxi + F kxv ,  m k  2 dt   2  d   y k  = F kyi + F kyv , m k  2 dt   2  m d   z k  = F i + F v ; kz kz  k  dt 2 

d 2 x k  d 2 y k  d 2 z k  čia m k  – k -ojo -ojo taško mas ė; , , – k -ojo -ojo taško pagrei čio projekcijos į  dt 2 dt 2 dt 2 koordinačių  ašis; F kxi , F kyi , F kzi – visų  išorinių  jėgų , tarp jų  ir išorinių  atramos reakcij ų ,

veikiančių  pasirinktą  tašką , atstojamosios j ėgos projekcijos į  pasirinktas koordina čių  ašis; F kxv , F kyv , F kzv – visų  vidinių  jėgų , veikiančių  pasirinktą  tašką , atstojamosios j ėgos projekcijos į  pasirinktas koordina čių  ašis. Jeigu mechanin ė je sistemoje yra n materialių  jų  taškų , tai galime užrašyti iš viso 3 n diferencialines lygtis. Spr ę sdami sdami šias lygtys kartu, galime rasti visas kiekvien ą  materialų  jį  tašką  veikiančias jėgas (pirmasis dinamikos uždavinys) arba galime rasti kiekvieno taško  judė jimo dėsnį  (antrasis dinamikos uždavinys). uždavinys). Matematiniu požiūriu tokie uždaviniai yra labai sud ėtingi. Todėl, sprendžiant materiali ų  jų  taškų  sistemos dinamikos uždavinius, patogu nagrin ėti ne kiekvieno sistemos taško dinamik ą  atskirai, o iš karto visos materiali ų  jų  taškų  visumos dinamikos klausimus, kas ir bus parodyta tolesniuose skyriuose.

2.3. Bendrosios dinamikos teoremos Kaip buvo parodyta anks čiau, taikant diferencialines jud ė jimo lygtis, galima sprę sti sti tiek pirmą  jį , tiek antrą  jį  dinamikos uždavinius. Ta čiau kai kurių  dinamikos uždavini ų  sprendimas gali būti supaprastintas, jeigu taikysime bendr ą sias sias dinamikos teoremas – judesio kiekio, kinetinio momento arba kinetin ės energijos teoremas.

72

2.3.1. Judesio kiekio teorema Šį  teorema nustato santyk į  tarp judančio objekto judesio kiekio ir veikian čiosios jėgos impulso. r r Materialiajam m masės taškui, judan čiam dėl j ėgos F  poveikio pagrei čiu a , užrašysime r r d v r r pagrindinį  dinamikos dėsnį  ma = F , kurį  pertvarkę  gausime: m = F , arba dt  r

r

d (mv ) = F dt .

(85)

Turime materialiojo taško  judesio kiekio teorem ą, t. y. materialiojo taško judesio kiekio r diferencialas lygus tašk ą veikianč ios ios jėgos F  elementariam impulsui. Projektuodami (85) lygt į  į  Dekarto koordinačių  ašis, gausime teorem ą  projekcijų  pavidalu, t. y. d (mv x ) = F  x dt ,  d (mv y ) = F  y dt , d (mv ) = F  dt ,  z  z 

(86)

arba diferencialas nuo materialiojo taško judesio kiekio projekcijos į bet kurią aš į lygus jėgos elementaraus impulso projekcijai į t ą pač ią aš į. Integravę (86) lygtį  gausime teoremos išpl ėstinę  formą : r

r

r

mv − mv 0 = S ,

(87)

iosios t. y. materialiojo taško judesio kiekio pokytis per tam tikr ą laikotarpį lygus veikian č iosios  jėgos impulsui per t ą pat į laikotarpį. Projektuodami (87) lygt į  į  Dekarto koordinačių  ašis, gauname judesio kiekio poky čio teoremą projekcijų pavidalu:  mv x − mv 0 x = S  x ,  mv y − mv0 y = S  y ,  mv − mv = S  , 0 z  z   z

(88)

io projekcija į bet kurią aš į per tam tikr ą arba materialiojo taško judesio kiekio poky č io laikotarpį lygi veikian č iosios iosios jėgos impulso projekcijai per t ą pat į laikotarpį.

Tuo atveju, kai nagrin ė jame materialių  jų  taškų  mechanin ę  sistemą , judesio kiekio teoremai taikyti pasirenkame vien ą  bet kurį  sistemos material ų  jį  tašką , kuriam ir užrašysime pagrindinį  dinamikos dėsnį : r

r

r

mk a k  = F k i + F k v ;

73

(89)

r

r

čia m k  – konkretaus taško mas ė; a k  – šio taško pagreitis; F k i – išorinių  jėgų , veikiančių  šį  r

tašką , atstojamoji jėga; F k v – vidinių jėgų , veikiančių  šį  tašką , atstojamoji j ėga. r d v k  r Įvertinus tai, kad a k  = ir taško masė yra pastovusis dydis, pertvark ę  (89) lygtį , dt  turėsime šiam taškui toki ą išraišką : r r r d  (m k v k  ) = F k i + F k v . dt 

Tokias lygtis galime užrašyti visiems mechanin ės sistemos n taškams. Sud ė ję  gautas n lygtis, turėsime: n

n r n r d  r i (m k v k  ) = ∑ F k  + ∑ F k v . ∑ k =1 dt  k =1 k =1

Dešiniojoje išraiškos pus ė je turime visų  išorinių  bei vidinių  jėgų  geometrines sumas. Žinome, kad vis ų  išorinių  jėgų  geometrinė suma lygi sistemos suminiam vektoriui, t. y. r

n

r

 R = ∑ F k i . Taip pat žinome, kad pagal (33) vidini ų  jėgų  suminis vektorius lygus nuliui, t. y. i

k =1 n r

d  d  n r r  R = ∑ F  = 0 . Iš analizin ės matematikos išplaukia, kad ∑ (m k v k  ) = ∑ (m k v k  ). dt  k =1 k =1 k =1 dt  Mechaninės sistemos materiali ų  jų  taškų  judesio kieki ų  geometrinė suma pagal (23) formul ę  r

v

n

v k 

lygi sistemos judesio kiekiui, t. y.

n

r

r

∑ (mk v k  ) = K  . k =1

Įvertinę tai, kas išd ėstyta, turėsime galutinę išraišką : r

d K  r i = R . dt 

(90)

Galime padaryti išvad ą , kad išvestinė nuo sistemos judesio kiekio laiko t atžvilgiu lygi visų  išorinių  jėgų  , kurios veikia šią mechaninę sistemą , suminiam vektoriui. Tai materialių  jų  taškų mechanin ės sistemos judesio kiekio teoremos t eoremos vektorin ė forma. Projektuodami (90) išraišk ą  į  Dekarto koordina čių  ašis, turėsime teoremos koordinatin ę  formą , t. y.  dK  x i  dt  = R x ,  dK    y = R yi ,   dt   dK  z = R i ,  z  dt 

74

arba n  d  n i  dt  ∑ m k v kx = ∑ F kx , k =1  k n=1 n  d  i  ∑ m k v ky = ∑ F ky , k =1  dt  k =n1 n  d  m v = F i . ∑ k  kz kz  dt  ∑ k =1 k =1

(91)

Iš čia išplaukia išvada, kad mechaninės sistemos judesio kiekio projekcijos į bet kurią aš į išvestinė lygi visų  išorinių  jėgų  , kurios veikia ši ą sistemą , projekcij ų  į t ą pač ią aš į sumai. Tai materialių  jų taškų mechaninės sistemos judesio kiekio teoremos koordinatin ė forma.  Išvados: r

n

r

1. Jeigu visų  išorinių  jėgų  suminis vektorius lygus nuliui, t. y.  R = ∑ F k i = 0 , tai iš (90) i

k =1

lygties išplaukia, kad mechanin ės sistemos judesio kiekis bus pastovusis didis, t. y. r K  = const . 2. Jeigu visų  išorinių  jėgų projekcijų suma į  bet kurią  ašį lygi nuliui, pavyzdžiui,

n

F kxi = 0 , ∑ k  1 =

tai iš (91) lygties išplaukia, kad mechanin ės sistemos judesio kiekio projekcija į  tą  pačią  n

ašį bus pastovusis dydis, t. y. K  x = ∑ mk v kx = const. k =1

Pertvarkysime mechanin ės sistemos judesio kiekio teorem ą . Iš (90) lygties galime užrašyti: r

r

d K  = R i dt ,

arba r

r

d K  = d S i .

(92)

Taigi mechaninės sistemos judesio kiekio diferencialas lygus veikian č ių  sistemą išorinių   jėgų  elementariam impulsui. Integruodami (92) lygt į  gausime mechanin ės sistemos impulso teoremą išplėstinės formos: r

r

r

K  − K 0 = S i ,

(93)

t. y. mechaninės sistemos judesio kiekio pokytis per tam tikr ą laikotarpį lygus visų  išorinių   jėgų  impulsui per t ą pat į laikotarpį. Projektuodami (93) lygt į  į  Dekarto koordinačių  ašis, gausime impulsų  teoremos koordinatinę formą: 75

 K  x − K 0 x = S  xi ,  i  K  y − K 0 y = S  y ,  K  − K  = S i , 0 z  z   z

(94)

arba mechanin ės sistemos judesio kiekio poky č io io projekcijos į koordinač ių  ašis per tam tikr ą laikotarpį lygios visų  išorinių  jėgų  impulso projekcijoms į tas pač ias ias koordinač ių  ašis. Judesio kiekio poky čio teorema taikoma tais atvejais, kai nagrin ė jami uždaviniai apie greičių pasikeitimus per tam tikr ą  žinomą laikotarpį .

2.3.2. Kinetinio momento teorema Pagal (25) formulę  turime materialiojor taško kinetinio momento, arba taško judesio r r r r kiekio momento centro O atžvilgiu, išraišk ą  l O = M O (mv ) = r  × mv . Diferencijuodami ši ą  lygtį  laiko t atžvilgiu, turėsime: r

r

r

r

d l O d r  r r d (mv ) r r r d v = × mv + r  × = v × mv + r  × m = dt  dt  dt  dt  r

r

r

r

r

r

r

r

v × mv + r  × ma = v × mv + r  × F .

Kaip žinome iš vektorin ės algebros, vienos krypties vektori ų  vektorinė sandauga lygi r r r r r nuliui, t. y. v × mv = 0. Iš statikos žinome, kad vektorin ė sandauga r × F  lygi jėgos F  r r r r vektoriniam momentui centro O atžvilgiu, t. y. r  × F  = M O (F ). Todėl gauname: r

d l O r r = M O (F ), dt 

arba r r r d  r  M O (mv ) = M O (F ). dt 

(95)

Turime kinetinio momento teoremos vektorinę  formą , arba materialiojo taško kinetinio momento bet kurio centro atžvilgiu išvestin ė lygi veikian č iosios iosios jėgos vektoriniam momentui to paties centro atžvilgiu. Projektuodami (95) lygt į į  į  į  koordinačių ašis, turėsime: r r  d  ( )  M  m v =  M  F  ( ),  x  dt   x  d  r r   M  y (mv ) = M  y (F ),  dt  r  d  M  z (mvr ) = M  z (F ).  dt 

76

(96)

Šios lygtys išreiškia materialiojo taško kinetinio momento teorem ą koordinačių  forma, t. y. materialiojo taško kinetinio momento bet kurios ašies atžvilgiu išvestin ė lygi veikianč iosios iosios jėgos momentui tos pa č ios ios ašies atžvilgiu. Teoremos išvados : 1. Jeigurveikian čiosios jėgos momentas bet kurios ašies atžvilgiu lygus nuliui, pavyzdžiui,  M  z (F ) = 0 , tai iš (96) formul ės gauname, kad taško kinetinis momentas tos pa čios ašies r atžvilgiu bus pastovus, t. y.  M  z (mv ) = const. r 2. Jeigu jėgos F  veikimo linija, judant materialiajam taškui, vis ą  laiką  eina per t ą  patį  O – jėgos centru. Šiuo erdvės nejudantį  tašką  O, tai tokia j ėga vadinama centrine, o taškas r r atveju jėgos momentas centro O atžvilgiu lygus nuliui, t. y.  M O (F ) = 0 . Tuomet iš (95) r

lygties išplaukia, kad materialiojo taško kinetinis momentas l O centro O atžvilgiu bus r r r pastovus, t. y. l O = M O (mv ) = const. Galime padaryti išvad ą , kad, veikiant centrinei  jėgai, judantis materialusis taškas visada br ėš plokščią trajektoriją , nes jos plokštuma eina r per veikiančiosios jėgos centrą  statmenai pastoviam kinetinio momento vektoriui l O . Nagrinėdami materialių  jų  taškų  mechaninę  sistemą  pagal (95) formul ę  užrašysime vienam sistemos taškui kinetinio momento teoremos išraišk ą , į vertindami vertindami tai, kad tašk ą , kurio masė mk  , veikia išorinių  bei vidinių  jėgų  atstojamosios j ėgos, taip pat tai, kad taškas juda r greičiu v k  . Turėsime: r r r r r d  r  M O (m k v k  ) = M O (F k i ) + M O (F k v ). dt 

Tokias išraiškas užrašysime visiems mechanin ės sistemos n taškams ir jas sud ėsime. Gausime: n r n r r r d  r r i v ( ) ( ) (  M  m v =  M  F  +  M  F  ∑ ∑ ∑ O k  k  O k  O k  ). k =1 dt  k =1 k =1 n

Šios lygties dešiniojoje pus ė je turime išorinių  jėgų  suminį  momentą  centro O atžvilgiu r

r

r

r

r

 M  = ∑ M O (F k i ) ir vidinių  jėgų  suminį  moment ą  to paties centro O atžvilgiu r

i O

 M Ov = ∑ M O (F k v ) , kuris pagal vidini ų jėgų  savybes (34) yra lygus nuliui.

Pertvarkę minėtą  ją  lygtį  gausime: r d  n r r i ( )  M  m v =  M  ∑ O k  k  O. dt  k =1

77

Mechaninės sistemos materiali ų  jų taškų  kinetinių momentų centro O atžvilgiu geometrin ė r

n r

r

r

suma pagal (26) lygi sistemos kinetiniam momentui, t. y.  LO = ∑ l O = ∑ M O (mk v k  ) . Todėl k =1

galutinę  sistemos kinetinio momento teoremos išraišk ą galime užrašyti taip: r

d  LO r i = M O , dt 

(97)

arba materialių  jų  tašk ų  ų  mechanin ės sistemos kinetinio momento bet kurio centro O atžvilgiu išvestinė lygi veikianč ių  jų  išorinių  jėgų  suminiam momentui to paties centro atžvilgiu. Projektuodami (97) lygt į į  į  į Dekarto koordina čių ašis, nesunkiai gauname: n r  d  n r i ( )  M  m v =  M  F  (  dt  ∑  x k  k  ∑  x k  ), k =1  k n=1 n r r  d  i ( ( )  M  m v =  M  F   ∑  y k  k  ∑  y k  ), k =1  dt  k =n1 n r  d   M  (m vr ) =  M  (F  i ∑  z k  k   z k  ).  dt  ∑ k =1 k =1

(98)

Turime sistemos kinetinio momento teorem ą  projekcijų  pavidalu, t. y. materialių  jų  tašk ų  ų  mechaninės sistemos kinetinio momento projekcijos į bet kurią aš į išvestinė lygi veikian č ių  jų  ų  sumai tos pač ios išorinių  jėgų  moment ų  ios ašies atžvilgiu. Sistemos kinetinio momento teoremos išvados iš vados: 1. Tarkime, kad veikian čių  jų  išorinių  jėgų  suminis momentas bet kurio O centro atžvilgiu r lygus nuliui, t. y.  M Oi = 0 . Tuomet iš (97) lygties išplaukia, kad sistemos kinetinis r

n

r

r

r

momentas  LO to paties centro O atžvilgiu bus pastovus, t. y.  LO = ∑ M O (mk v k  ) = const. k =1

2. Jeigu veikiančių  jų  išorinių  jėgų  momenų  suma bet kurios ašies atžvilgiu lygi nuliui, pavyzdžiui,

n

r

∑ M  z (F k i ) = 0 , tai iš (98) formul ės gauname, kad sistemos kinetinis k =1

momentas tos pa čios ašies atžvilgiu bus pastovus, t. y.

n

r

∑ M  z (mk v k  ) = const. k =1

Šie kinetinio momento pastovumo atvejai atsiranda ir tuo atveju, kai iš viso n ėra išorinių   jėgų . Šiuo atveju sistemos kinetinis momentas nejudamo centro arba nejudamosios ašies atžvilgiu lieka nekintamas. Kartais patogiau remtis kita kinetinio momento teoremos išraiška. Iš (97) formul ės galime užrašyti: r

r

d  LO = M Oi dt ,

arba integruodami tur ėsime: 78

r

r

t  r

 L − L0 = ∫ M Oi dt ,

(99)

t 0 = 0

t. y. kinetinio momento pokytis per tam tikr ą laik ą lygus išorinių  jėgų  moment ų  ų  impulsų  sumai  per t ą pat į laik ą. Projektuodami (99) į  koordinačių  ašis, po matematini ų  pertvarkymų  nesunkiai gausime skaliarines lygybes: t  n  r  L x − L0 x = ∫ ∑ M  x (F k i ),  t 0 = 0 k =1 t  n  r i  L −  L =  M  F  ( ),   y ∑ 0 y  y k  ∫ t 0 = 0 k =1  t  n  r i  L −  L =  M  F  (   z ∑ 0 z  z k  ), ∫  t 0 = 0 k =1

(100)

arba mechaninės sistemos kinetinio momento bet kurios ašies atžvilgiu pokytis kuriuo nors laikotarpiu lygus j ą veikianč ių  išorinių  jėgų  moment ų  iu laikotarpiu tos ų  impulsų  tuo pač iu  pač ios ios ašies atžvilgiu sumai . Kinetinio momento teorema dažniausiai taikoma tais atvejais, kai taško arba k ūno  judė jimas vyksta dėl centrinės jėgos poveikio.

2.3.3. Kinetinės energijos teorema Ši teorema nustato santyk į  tarp judančio materialiojo taško kinetin ės energijos ir veikiančios tašką  jėgos atliktojo darbo. r Tarkime, materialiajam taškui, kurio mas ė m, judančiam dėl j ėgos F  poveikio pagrei čiu r r r r d v r a , užrašysime pagrindin į  dinamikos dėsnį  ma = F , kurį  pertvarkę  gausime m = F . dt  r Padauginsime abi šios lygties puses iš d r . Turėsime: r

d v r r r m ⋅ d r  = F ⋅ d r . dt 

Pertvarkę lygtį  nesunkiai gausime:  mv 2    = dA, d  2     r

(101) r

nes pagal (39) formul ę  jėgos F  ir elementaraus poslinkio d r  sandauga yra šios j ėgos r r d r  elementarusis darbas, o santykis yra judančio taško greitis v , kuris ir yra su diferencialo dt  ženklu. Gavome materialiojo taško kinetinės energijos teorem ą diferencialine forma, t. y. 79

materialiojo taško kinetin ės energijos diferencialas lygus veikian č iosios iosios jėgos elementariajam darbui. io teoremą išplėstine forma: Integravę  gautą  lygtį  gausime kinetinės energijos poky č io mv 2 mv02 − =  A, 2 2

(102)

arba materialiojo taško kinetin ės energijos pokytis kelio ruože lygus veikian čiosios jėgos atliktam darbui tame pa čiame kelio ruože. Tuo atveju, kai nagrin ė jame materialių  jų  taškų  mechaninę  sistemą , kinetinės energijos teoremai taikyti pasirenkame bet kur į  vieną  sistemos material ų  jį  tašką , kuriam ir užrašysime pagrindinį  dinamikos dėsnį : r

r

i k 

r

m k a k  = F  + F k v ; r

r

čia m k  – konkretaus taško mas ė; a k  – šio taško pagreitis; F k i – išorinių  jėgų , veikiančių  šį  r

tašką , atstojamoji jėga; F k v – vidinių jėgų , veikiančių  šį  tašką , atstojamoji j ėga. r Padauginsime abi šios lygties puses iš d r k  . Po nedideli ų  matematinių  lygties pertvarkymų , nesunkiai gausime: r  m k v k 2   r i r r  = F k  ⋅ d r k  + F k v ⋅ d r k  , d     2  

arba vienam mechanin ės sistemos materialiajam taškui turime kinetin ės energijos teoremos diferencialinę  išraišką , pagal kurią  sistemos materialiojo taško diferencialas lygus veikian č ių  š į tašk ą jėgų  , tiek išorinių  , tiek vidinių  , elementariajam darbui. Jeigu tokias išraiškas užrašytume visiems mechanin ės sistemos n taškams ir jas sudėtume, tai, į vertin vertinę  materialių  jų  taškų  greičių  keitimosi ribas nagrin ė jamuose kelio ruožuose, po nesud ėtingų  matematinių  pertvarkymų gautume: n r n r m k v k 2 n m k v k 20 r r i −∑ = ∑ F k  ⋅ d r k  + ∑ F k v ⋅ d r k  , ∑ 2 2 k =1 k =1 k =1 k =1 n

arba T  − T 0 =  A i +  A v ;

(103)

čia T  – mechaninės sistemos kinetin ė energija, kai sistemos taškai pereina į  kitą  padėtį ; T 0 – mechaninės sistemos kinetin ė energija pradiniu laiko momentu;  A i – visų  išorinių  jėgų , veikiančių  šią  sistemą , atliktų  darbų  suma;  A v – visų  vidinių  jėgų , veikiančių  šią  sistemą , atliktų darbų suma.

80

io teoremą išplėstine forma, t. Taigi turime mechanin ės sistemos kinetinės energijos poky č io y materialių  jų  tašk ų  ų  mechaninės sistemos kinetinės energijos pokytis lygus vis ų  išorinių  bei vidinių  jėgų  darbų  sumai visuose sistemos tašk ų  ų  nueit ų  ų  kelių  ruožuose. Iš teoremos išplaukia išvada, kad, taikant mechaninei sistemai kinetin ės energijos pokyčio teoremą , reikia į vertinti vertinti ne tiktai išorinių , bet ir sistemos vidini ų  jėgų  atliktą  darbą  visuose sistemos materiali ų  jų  taškų nueitų kelių ruožuose. Nagrinė jant standžiojo kūno dinamiką , į vertin vertinę  tai, kad kūno vidinių  jėgų  darbų  suma lygi nuliui, turėsime kinetinės energijos teorem ą tokio pavidalo: T  − T 0 =  A i .

(104)

Kinetinės energijos teorema taikoma tais atvejais, kai nagrin ė jami uždaviniai apie grei čių  pokyčius žinomame kelio ruože.

2.3.4. Mechaninės energijos tvermės dėsnis  Mechaninės energijos tverm ės d ėsnis materialiajam taškui Remdamiesi (102) formule užrašysime kinetin ės energijos pokyčio teoremos išraišk ą  materialiajam taškui: mv 2 mv02 − =  A, 2 2

t. y. materialiojo taško kinetin ės energijos pokytis kelio ruože lygus veikian čiosios jėgos atliktam darbui. Tuo atveju, kai materialusis taškas juda kelio ruože, esan čiame potenciniame j ėgų  lauke, pagal (62) formul ę  turime, kad pilnutinis j ėgos darbas yra lygus j ėgų  funkcijos skirtumui atskiruose taškuose ir nepriklauso nuo taško jud ė jimo trajektorijos. Taigi galime užrašyti: užrašyti:  A = U  −U 0 . Įvertinę  tai, kad pagal (62) bet kuriame j ėgų  lauko taške potencin ė energija lygi j ėgų  lauko reikšmei tame pat taške su priešingu ženklu, arba potencin ės j ėgos darbui su priešingu ženklu, t. y. V  = −U , gauname toki ą  jėgos darbo išraišk ą :

 A = V 0 − V .

Tuomet kinetinės energijos teorem ą galime užrašyti taip: mv 2 mv02 − = V 0 − V , 2 2

atlikę  nedidelius pertvarkymus, tur ėsime: 81

mv 02 mv 2 + V  = + V 0 . 2 2

(105)

Laikydami judan čio materialiojo taško kinetin ės energijos ir potencin ės energijos sum ą  materialiojo taško pilnutine mechanine energija, galime padaryti išvad ą , kad, taškui judant potenciniame j ėgų  lauke, materialiojo taško pilnutin ė mechanin ė energija yra pastovusis dydis.  Mechaninės energijos tverm ės d ėsnis materialių  jų  tašk ų  ų  mechaninei sistemai Kinetinės energijos poky čio teorema materiali ų  jų  taškų  mechaninei sistemai pagal (103) formulę turi išraišką : T  − T 0 =  Ak i +  Ak v = ∑ Ak  ,

t. y. materiali ų  jų  taškų  mechaninės sistemos kinetin ės energijos pokytis kelio ruože lygus veikiančių  jų išorinių  bei vidinių jėgų  atliktam darbui. Tuo atveju, kai mechanin ė sistema juda potenciniame j ėgų  lauke, galime užrašyti, kad pilnutinis veikian čių  jų  išorinių  bei vidinių  jėgų  atliktas darbas yra lygus sistemos potencin ės energijos pokyčiui, t. y.

∑ Ak  = V 0 − V . Tuomet kinetinės energijos teoremos išraišk ą galime perrašyti taip: T  − T 0 = V 0 − V ,

po nedidelių pertvarkymų , turėsime: T  + V  = T 0 + V 0 .

(106)

Galime padaryti išvad ą , kad materiali ų  jų  taškų  mechaninei sistemai judant potenciniame išorinių bei vidinių jėgų lauke, sistemos pilnutin ė mechanin ė energija yra pastovusis dydis.

2.4. Masės centro judė jimo teorema Tarkime, turime materiali ų  jų  taškų  mechanin ę  sistemą . Tegul ši ą  taškų  sistemą  veikia žinoma išorini ų  jėgų  sistema. Dėl ši ų  jėgų  poveikio mechanin ės sistemos taškai tur ės judesio kiekius, kurių  geometrinė suma pagal (23) formul ę  yra mechaninės sistemos judesio kiekis, t. y.

n

r

r

∑ mk v k  = K . Taip pat žinome, kad mechanin ės sistemos mas ės ir masės centro greičio k =1

r

r

sandauga (24) yra lygi sistemos judesio kiekiui, t. y.  M  ⋅ vC  = K  . Diferencijuodami ši ą  lygtį  laiko t atžvilgiu, turėsime: 82

r

r

d v d K  .  M  C  = dt  dt  Įvertinę  tai, kad pagal sistemos judesio kiekio teorem ą  (90) sistemos judesio kiekio laiko t  atžvilgiu išvestinrė lygi visų  išorinių  jėgų  , kurios veikia šią mechaninę sistemą , suminiam d K  r i n r i vektoriui, t. y. = R = ∑ F i , o masės centro grei čio išvestinė lygi jo pagreičiui, gauname: dt  i =1 r

r

 M a C  = ∑ F i i .

(107)

Turime materialiojo taško (sistemos mas ės centro) pagrindin į  dinamikos dėsnį . Galime padaryti išvad ą , kad mechaninės sistemos masės centras juda kaip materialusis taškas, turintis šios sistemos mas ę , prie kurio prid ėtos visos mechanin ę sistemą veikianč ios ios išorinės  jėgos. Taigi turime materiali ų  jų  taškų masės centro jud ė jimo teoremą. Projektuodami (107) išraišk ą į  ą  į Dekarto koordina čių ašis, turėsime:  d 2 x C  n i  M  2 = ∑ F ix , dt  i =1  2  d   y C  n i  M  2 = ∑ F iy , dt  i =1  2  d   z C  n i  M  dt 2 = ∑ F iz . i =1 

(108)

Teoremos išvados : r

n

ri

1. Jeigu išorini ų  jėgų  suminis vektorius lygus nuliui, t. y.  R = ∑ F i = 0 , tai iš (107) i

i =1

r

d v formulės darome išvad ą , kad sistemos mas ės centro pagreitis a C  = C  = 0. Taigi šiuo dt  r atveju masės centro greitis vC  yra pastovus pagal dyd į  ir kryptį , o tai reiškia, kad r

sistemos masės centras jud ės tiesiaeigiai ir tolygiai arba iš viso nejud ės. Jeigu pradiniu laiko momentu mas ės centras nejud ė jo, tai jis liks rimties būsenos iki tol, kol išorini ų   jėgų  suminis vektorius bus lygus nuliui. 2. Jeigu išorini ų  jėgų  projekcijų  suma į  bet kurią  ašį , pavyzdžiui, į  ašį  Ox, bus lygi nuliui n

F ix i = 0 , tai iš (108) formul ės galime padaryti išvad ą , kad sistemos mas ės centro ∑ i 1 =

dv Cx = 0 . Šiuo atveju gauname, dt  dx kad masės centro grei čio projekcija į  šią  ašį  yra pastovusis dydis, arba vCx = C  = const. dt  Jeigu pradiniu laiko momentu ir mas ės centro grei čio projekcija lygi nuliui (v Cx = 0) , tai

pagrei čio projekcija į  šią  ašį  bus lygi nuliui, t. y. a Cx =

83

gausime, kad  xC  = const, t. y. sistemai judant jos mas ės centro koordinat ė nekinta. Ši išvada vadinama masės centro jud ė jimo pastovumo d ėsniu. 3. Mechaninės sistemos vidin ės j ėgos neturi į takos takos sistemos mas ės centro jud ė jimui, nes jų  nėra masės centro jud ė jimo teoremos išraiškoje. Todėl vidinių  jėgų  veikimu negalime pakeisti sistemos mas ės centro jud ė jimo pobūdžio arba išjudinti j į  iš rimties būsenos. Tačiau vidinės jėgos gali sukelti nelaisvosios mechanin ės sistemos dali ų  judė jimą  kitos sistemos atžvilgiu. Šiuo atveju atsiras naujos išorin ės ryšių  reakcijos, d ėl kurių  į takos takos pasikeis nagrin ė jamos mechaninės sistemos mas ės centro jud ė jimas.

2.5. Standžiojo kūno dinamika Teorinės mechanikos kinematikos dalyje buvo pažym ėta, kad standžiojo k ūno kinematikos uždavinius patogiau nagrin ėti priklausomai nuo k ūno judė jimo pobūdžio. Taip pat buvo pateikta standžiojo k ūno judė jimų  klasifikacija, pagal kuri ą  prie paprast ų  kūno  judė jimų  buvo priskirti slenkamasis jud ė jimas, sukimasis apie nejudamą  ją  ašį  ir plokštuminis kūno judė jimai. Be ši ų  kūno judė jimų , yra ir sudėtingų  judė jimų , tai sferinis ir k ūno jud ė jimas bendruoju atveju . Standžiojo kūno dinamikos uždaviniai taip pat sprendžiami atsižvelgiant į  kūno judė jimo pobūdį .

2.5.1. Standžiojo kūno slenkamojo judė jimo dinamika Vykstant kūno slenkamajam jud ė jimui visi kūno taškai tuo pa čiu laiko momentu juda vienodu grei čiu ir pagrei čiu, o jų  trajektorijos yra vienodos ir lygiagre čios. Todėl, sprendžiant kūno slenkamojo jud ė jimo kinematikos uždavinius, pakanka nagrin ėti bet kurį  vieną  kūno tašką . Patogiausias ir nagrin ė jimui dažniausiai parenkamas parenkamas taškas yra k ūno masės centras. Šio taško dinamikos uždaviniams nagrin ėti yra taikoma masės centro judė jimo teorema, pagal kurią  masės centras juda kaip taškas, kuriame sukoncentruota visa k ūno masė ir prie kurio pridėtos visos veikian čiosios išorinės jėgos. Pagal (108) standžiojo k ūno masės centro jud ė jimo teorema turi tokį  pavidalą :  d 2 x C  n i  M  2 = ∑ F ix , dt  i =1  2  d   y C  n i  M  2 = ∑ F iy , dt  i =1  2  d   z C  n i  M  dt 2 = ∑ F iz . i =1 

Matyti, kad taikydami ši ą  teoremą  galime pagal žinom ą  masės centro jud ė jimą  rasti veikiančią  ją  išorinę  jėgą , kuri priverčia masės  M  kūną  judėti pagal min ėtuosius dėsnius, t. y. sprę sti sti pirmą  jį  dinamikos uždavin į . Be to, jeigu žinosime, kokios yra veikian čiosios išorinės  jėgos, tai po nurodyt ų  lygčių  dviejų  integravimų  galime gauti šio k ūno masės centro judė jimo 84

lygtis, pagal kurias jud ės kūno masės centras ir kartu visas k ūnas, t. y. spr ę sime sime antrą  jį  dinamikos uždavin į . Darome išvad ą , kad mas ės centro jud ė jimo teorema aprašo standžiojo k ūno dinamikos uždavinių sprendimą esant slenkamajam jud ė jimui.

2.5.2. Standžiojo kūno sukamojo judė jimo apie nejudamą ją ašį dinamika Išvesime standžiojo k ūno sukamojo jud ė jimo apie nejudamą  ją  ašį  diferencialines  judė jimo lygtis, kurias taikant taikant galima sprę sti sti pirmą  jį ir antrą  jį dinamikos uždavinius. Tarkime,  M  masės kūnas dėl išorinių  jėgų  poveikio juda apie nejudam ą  ją  ašį  Oz kampiniu grei čiu ω ir kampiniu pagrei čiu ε (39 pav.).  z  B

r

r

 B y

 B x

ω ε

r

F 1  RK 

r

F 2

O

 M  r

mK vK 

r

vK   A r

 A x

r

 A z

r

 A y

39 pav. Standžiojo kūno sukimasis apie nejudamą  ją  ašį 

Žinome, kad vykstant sukamajam standžiojo k ūno judė jimui kinetinis momentas sukimosi ašies atžvilgiu pagal (28) formul ę  yra lygus k ūno inercijos momento ašies atžvilgiu ir kūno kampinio grei čio sandaugai, t. y.  L z =  I  z ⋅ ω . Taikome šiam k ūnui mechaninės dL z = M  zi , arba sistemos kinetinio momento teorem ą  ašies atžvilgiu, pagal kuri ą  dt  d  ( I  z ⋅ ω) = M  zi . Atlikę  nesud ėtingus matematinius pertvarkymus, tur ėsime: dt  d 2 ϕ  I  z 2 =  M  zi . dt 

(109)

Gavome standžiojo k ūno sukamojo jud ė jimo apie nejudamą  ją  ašį  diferencialinę  lygtį . Taikydami šią  lygtį  galime sprę sti sti tiek pirmą  jį , tiek antrą  jį  dinamikos uždavinius, t. y., remdamiesi kūno sukamojo jud ė jimo d ėsniu, galime rasti veikian čių  jų  išorinių  jėgų  sukamą  jį  momentą  arba, į vertin vertinę  judė jimo pradines są lygas, lygas, pagal žinom ą  išorinių  jėgų  momentą  galime rasti nagrin ė jamojo kūno judė jimo dėsnį . 85

Diferencialinę judė jimo lygtį  (109) galime pateikti ir tokiu pavidalu:  I  z

d ω = M  z(ii ) , arba  I  z ε =  M  zi . dt 

 Iš č ia ia išplaukia išvados : 1. Jeigu  M  zi = 0 , tai ω = const , t. y. jeigu veikian čių  jų  išorinių  jėgų  momentas sukimosi ašies atžvilgiu lygus nuliui, tai k ūno sukimasis bus tolydinis. 2. Jeigu  M  zi = const, tai ir ε = const, t. y. jeigu veikian čių  jų  išorinių  jėgų  momentas sukimosi ašies atžvilgiu yra pastovus, tai k ūno sukimasis yra tolygiai kintantis. 3. Esant tam tikram veikian čių  jų  išorinių  jėgų  momentui, kuo didesnis k ūno inercijos momentas, tuo mažesnis k ūno kampinis pagreitis ir atvirkš čiai. Darome išvad ą , kad kūno inercijos momentas vykstant sukamajam jud ė jimui turi tokią  pat į tak taką , kaip ir kūno masė vykstant kūno slenkamajam jud ė jimui, kitaip tariant, kūno inercijos momentas yra k ūno inertiškumo matas esant sukamajam jud ė jimui.

2.5.3. Standžiojo kūno plokštuminio judė jimo dinamika Iš kinematikos žinome, kad standžiojo k ūno plokštuminį  judė jimą  galime išskaidyti į  du paprastus jud ė jimus, t. y. į  slenkamą  jį  kartu su laisvai pasirinktu poliumi ir sukam ą  jį  apie šį  polių . Nagrinėdami plokštuminio kūno judė jimo dinamikos uždavinius, galime galime šiuos uždavinius sprę sti sti kaip ir paprast ų  kūno judė jimų uždavinius. Esant slenkamajam jud ė jimui plokštumoje taikome masės centro jud ė jimo teoremos išraišką (108):  d 2 x C  n i  M  2 = ∑ F ix , dt  i =1  2 n  M  d   y C  = ∑ F i , iy  dt 2 i =1 pagal kuri ą  poliumi yra laikomas k ūno masės centras C. Esant sukamajam k ūno judė jimui taikome kūno sukamojo jud ė jimo diferencialinę  lygtį  (109): d 2 ϕ  I  z 2 = M  zi , dt 

pagal kurią  kūno inercijos momentas skai čiuojamas apie aš į , kuri eina per pasirinkt ą  jį  polių , t. y. per kūno masės centrą  C . Taigi galutiniu pavidalu plokštuminio k ūno judė jimo dinamikos uždaviniai gali b ūti sprendžiami taikant anks čiau minėtas diferencialines lygtis:

86

 d 2 xC  n i   M  2 = ∑ F ix , dt  i =1  2 d   y C  n i    M  2 = ∑ F iy , dt  i =1  2 n  d  ϕ i  I  =  M  F  ( ). ∑  z  z i  C  dt 2 i =1 

(110)

Žinodami, kaip juda k ūnas arba plokš čia figūra, t. y. žinodami jud ė jimo funkcijas:  xC  =  f 1 (t ),   y C  =  f 2 (t ),  ϕ =  f  (t ), 3 

galime rasti šį  kūną veikiančias jėgas, kitaip tariant, išspr ę sti sti pirmą  jį dinamikos uždavin į . Įvertinę  kūno arba figūros plokštuminio jud ė jimo pradines s ą lygas, lygas, t. y. pad ėtį  ir greičius pradiniu laiko momentu, pagal žinomas veikian čią sias sias jėgas, integrav ę  judė jimo diferencialines lygis (110), galime rasti šio k ūno judė jimo grei čius ir judė jimo d ėsnius, kitaip sakant, išspr ę sti sti antrą  jį  dinamikos uždavin į .

87

3. SUVARŽYTOS MECHANIN ĖS SISTEMOS DINAMIKA 3.1. Bendrosios sąvokos 3.1.1. Suvaržyta mechaninė sistema Nagrinė jant materialių  jų  taškų  sistemą  kiekvienam sistemos taškui buvo sudarytos trys skaliarinės diferencialin ės judė jimo lygtys. Sistemai, sudarytai iš  N  materialių  jų  taškų , tokių  lygčių  galima užrašyti 3 N . Atskirus sistemos taškus veikian čios jėgos gali priklausyti nuo kit ų  taškų  judė jimo ir padėties. Todėl į  atskiriems taškams užrašyt ų  diferencialinių  lygčių  dešinią sias sias puses bus į trauktas trauktas laikas, vis ų  kitų  taškų  koordinatės bei grei čiai. Taigi turėsime iš 3 N  sudaryt ą  tarpusavyje susijusi ų  diferencialinių  lygčių  sistemą . Toks uždavinys neturi tikslaus bendrojo sprendinio net vienam materialiajam taškui. Uždavinys yra ypa č sudėtingas dviejų  taškų , kuriuos veikia tik visuotin ės traukos j ėgos, atveju, o esant trij ų  taškų  sistemai (trijų  k ūnų  uždavinys) jis iš viso neišsprendžiamas. neišsprendžiamas. Šie skaičiavimo sunkumai yra susij ę  su tuo, kad ne į vertinami vertinami sistemos suvaržymai. Realios sistemos turi baigtin į  laisvės laipsnį . Kaip pamatysime v ėliau, sistemos judes į  aprašan čių  nepriklausomų  jų  diferencialinių  lygčių  skai čius gali b ūti toks, koks yra sistemos laisvės laipsnis. Dauguma mechanizm ų  ir mašinų turi tik vieną laisvės laipsnį . Suvaržytos mechanin ės sistemos dinamikos pagrindus pranc ūzų  matematikas Lagranžas 1788 m. išd ėstė savo traktate Analizinė mechanika . Toliau bus nagrin ė jami bendrieji mechanikos principai, kurie į vertina vertina sistemos suvaržymus. Nagrin ė jimą pradėsime nuo sistem ą  varžan čių ryšių analizės.

3.1.2. Ryšiai Ryšių  są voka voka aptariama statikoje, nagrin ė jant suvaržytų  kūnų  pusiausvyr ą , ir kinematikoje, aptariant k ūnų  sistemos strukt ūrą . Apibendrinant galima pasakyti, kad ryšiais vadinamos bet kokios iš anksto pateiktos s ą lygos, lygos, kurias turi atitikti sistemos tašk ų  koordinatės, greičiai ir pagreičiai. Lygtys, išreiškian čios išvardytus apribojimus, vadinamos ryšių lygtimis. Ryšių  pobūdis lemia ne tik sistemos jud ė jimą , bet ir metod ą , pasirenkam ą  judė jimui tirti. tirti . Todėl ryšius svarbu tinkamai suklasifikuoti. Pirmiausia juos suskirstysime į  dvi klases: holonominius ir neholonominius. Holonominiais vadinami ryšiai, kuriuos galima matematiškai išreikšti paprastosiomis sistemos taškų  koordinates siejan čiomis algebrinėmis lygtimis, arba koordina čių  atžvilgiu integruojamomis diferencialinėmis lygtimis. Šiais ryšiais nustatoma tašk ų  tarpusavio pad ėtis ir kartu visos sistemos geometrija, tod ėl dažnai holonominiai ryšiai vadinami geometriniais. Neholonominiai ryšiai išreiškiami neintegruojamomis diferencialin ėmis lygtimis, į  kurias eina ne tik tašk ų  koordinatės, bet ir tašk ų  koordinačių  išvestinės laiko atžvilgiu. į eina Neholonominiais ryšiais suvaržomos ne tik tašk ų  koordinatės, bet ir jų  greičiai bei pagrei čiai, t. y. sistema erdv ė je ne tik turi užimti nustatytą  padėtį , bet ir jos taškai turi jud ėti iš anksto nustatytais grei čiais ir pagrei čiais. Todėl neholonominiai ryšiai dažnai vadinami kinematiniais. 88

Ryšių  veikiama sistema yra suvaržyta ir turi baigtin į  laisvės laipsnį . Sistemą  varžantys ryšiai yra kryptingo pob ūdžio – ryšiais valdomas sistemos jud ė jimas, nustatomas reikiamas  judė jimo režimas. Praktikoje ryšiai realizuojami atitinkamomis technin technin ėmis priemonėmis. Holonominiai ryšiai išreiškiami tokio pavidalo lygtimis ar atviromis nelygyb ėmis:  f ( x i , y i , z i , t ) = 0 ,

(111)

 f ( xi , y i , z i , t ) ≥ 0

(112)

 f ( x i , y i , z i ) = 0 ,

(113)

 f ( x i , y i , z i ) ≥ 0 .

(114)

arba

Ryšiai, išreikšti lygtimis, į  kurias į eina eina laikas t , vadinami kintamais, arba nestacionariais, pavyzdžiui, (111) ir (112) formul ės. (113) ir (114) lygtimis išreikšti ryšiai yra  pastovūs, arba stacionar ūs. Atviromis nelygyb ėmis (112) ir (114) išreikšti ryšiai vadinami vienpusiais. Simboliškai tokį  ryšį  galima pavaizduoti kaip viena plokštuma varžom ą  judė jimą (40 pav., a):

a)

b)

40 pav. Ryšiai: a – vienpusiai; b – dvipusiai

Lygtimis (111) ir (113) išreikšti ryšiai vadinami dvipusiais. Simboliškai tok į  ryšį  galima pavaizduoti kaip dviej ų plokštumų  varžomą judė jimą (40 pav., b). Pirmosios eilės neholonominiai ryšiai išreiškiami tokio pavidalo lygtimis: l ygtimis: ϕ( x i , y i , z i , x& i , y& i , z& i , t ) = 0 .

(115)

Kaip buvo pabr ėžta anks čiau, neholonominio ryšio lygties negalime suintegruoti ir gauti holonominio ryšio lygt į   f ( xi , y i , z i , t ) = const. Toliau nagrinėsime sistemas su stacionariais holonominiais ryšiais. Kaip pavyzd į  panagrinėsime skriejiko-švaistiklio mechanizm ą (41 pav.).

89

 y  A r  O

 B

ϕ

 x

41 pav. Skriejiko-švaistiklio mechanizmas

Šiam mechanizmui galima užrašyti tris ryši r yšių  lygtis:  x A2 +  y A2 = r 2 ,

( x B − x A )2 + ( y B −  y A ) = l 2 ,  y B = 0 .

(116) .

Suvaržytos mechanin ės sistemos dinamikos analizei taikoma statikos ryši ų  aksioma, pagal kurią  ryšių į  taka sistemos pad ėčiai ir judė jimui pasireiškia ryšių reakcijų jėgomis. ų į taka

3.1.3. Apibendrintosios koordinatės Tarkime, kad sistem ą  sudaro N materialių  jų taškų . Sistemą varžo s ryšių lygčių :  f   x j , y  j , z  j , t  = 0 ;

(117)

čia  j = 1, 2, ..., s. Tuomet tik (3 N  − s ) sistemos taškų  koordinatės yra nepriklausomos viena nuo kitos; likusios s koordinatės gaunamos iš ryši ų  lygčių  kaip nepriklausom ų  koordinačių  funkcijos. Nepriklausomos koordinat ės, kurių  skaičius lygus n = 3 N  − s , vadinamos apibendrintosiomis sistemos koordinat ėmis ir žymimos simboliu q k  ; čia k  = 1, 2, ..., n .

Apibendrintosiomis koordinat ėmis gali būti tie sistemos parametrai, kuriais patogu apibrėžti sistemos pad ėtį  ir judė jimą , pavyzdžiui, Dekarto koordinat ės, kampai, sektoriniai plotai ir pan. Sistemos padėties apibrėžimas apibendrintosiomis koordinat ėmis atliekamas dviem etapais: 1) n nepriklausomų  Dekarto koordinačių  išreiškiamos n apibendrintosiomis koordinat ėmis taikant atitinkamas transformacijoms skirtas formules; 2) naudojant ryši ų  lygtis (117), apibendrintosiomis koordinat ėmis išreiškiamos ir likusios s priklausomos Dekarto koordinat ės. 90

Taigi gauname:  xi = x i (q1 , q 2 , ..., q n , t ),   y i =  y i (q1 , q 2 , ..., q n , t ),  z = z (q , q , ..., q , t ); i n 1 2  i

(118)

čia i = 1, 2, ..., N . Jei holonominiai sistemos ryšiai yra stacionar ūs (nepriklausomi nuo laiko), tai lygtyse (117) ir (118) laiko parametro t nebus. Sistemos su holonominiais stacionariais ryšiais apibendrint ų  jų  koordinačių  skaičius yra lygus sistemos laisvės laipsniui. r r r r Sistemos taškų  padėtį  išreiškus pad ėties vektoriais r i =  x i i + y i  j + z i k  ir atsižvelgus į 

funkcijas (118), galima teigti, kad pad ėties vektoriai taip pat yra apibendrint ų  jų  koordinačių  funkcijos: r

r

r i = r i (q1 , q 2 , ..., q n , t ) ;

(119)

čia i = 1, 2, ..., N . Norint apskaičiuoti materialių  jų  taškų  sistemos judė jimą , visų  pirma reikia rasti apibendrintą sias sias koordinates, išreikštas laiko funkcijomis, tuomet, taikant formules (118), laiko funkcijomis galima išreikšti visas Dekarto koordinates, t. y. apibr ėžti visos sistemos  judė jimą . Apibendrintosioms koordinat ėms skaičiuoti sistemos diferencialin ės judė jimo lygtys turi būti išreikštos apibendrintosiomis koordinat ėmis. Sudarytų  lygčių  skai čius bus lygus apibendrintų  jų  koordinačių  skaičiui, t. y. sistemos laisv ės laipsniui. Toki ų  diferencialinių  lygčių  sudarymo taisykl ės yra pateiktos toliau.

3.1.4. Virtualieji poslinkiai Suvaržyt ų  sistemų  dinamikos analiz ė je yra vartojama są voka voka virtualusis poslinkis. Tarkime, kad materialusis taškas  M  turi būti tam tikroje plokštumoje, t. y. turi atitikti holonominį stacionarų ryšį , išreikštą plokštumos lygtimi  f ( x, y, z ) = 0 (42 pav.).

r

δ  r 

r

r  O 42 pav. Virtualieji poslinkiai

91

r

Galima į sivaizduoti sivaizduoti daugyb ę  elementarių  jų  poslinkių  δr  , kurie atitinka konkre čią  ryšių  r lygtį . Šie poslinkiai reiškia pad ėties vektoriaus r  elementariuosius poky čius, kuriuos leidžia konkretus suvaržymas. Taigi virtualiuoju taško poslinkiu vadinamas be galo mažas poslinkis, kur į  tam tikru laiko momentu leidžia esantys suvaržymai. r Tikruoju elementariuoju poslinkiu δr  vadinamas pad ėties vektoriaus pokytis per laikotarpį  dt . Tikrasis poslinkis nuo virtualiojo skiriasi tuo, kad virtualusis poslinkis nustatomas esant fiksuotam laiko momentui δt  = 0 . Jeigu tašką  varžantis ryšys nepriklauso nuo laiko, tai tikrasis poslinkis d r  sutampa su vienu iš virtuali ų  jų poslinkių  δr . Materialių  jų  taškų  sistemos virtualų  jį  poslinkį  sudaro tų  taškų  virtualių  jų  poslinkių  r r r visuma (δr 1 , δr 2 , ..., δr  N  ) . Kadangi tašk ų  padėties vektoriai yra sistemos apibendrint ų  jų  koordinačių  funkcijos, tai ir sistemos virtualieji poslinkiai gali b ūti išreikšti apibendrint ų  jų  koordinačių  pokyčiais (δq1 , δq 2 ,..., δq n ) . r r Žiūrint į  taško padėties vektorių  r i = r i (q1 , q 2 , ..., q n , t ) kaip į  kelių  kintamų  jų  funkciją , virtualiesiems poslinkiams skai čiuoti galima taikyti funkcijos pilnojo diferencialo taisykl ę : r

r

r

∂r  ∂r  ∂r  δr i = i ⋅ δq1 + i ⋅ δq 2 + ... + i ⋅ δq n , ∂q1 ∂q 2 ∂q n r

arba r

∂r  δr i = ∑ i ⋅ δq i . i =1 ∂q i r

n

(120)

Kadangi virtualusis poslinkis nepriklauso nuo laiko, tai į  formulę  (120) laiko išvestin ė neį eina. eina.

3.1.5. Jėgos virtualusis darbas r

r

Sistemos taškui, kur į  veikia jėga F , suteikus virtual ų  jį  poslinkį  δr  , galima apskai čiuoti r  jėgos F  virtualų  jį  darbą : r

r

r

r

δ A = F ⋅ δr  = F  δr  cos α,

(121)

arba pasirinkus koordinatin ę  formą : δ A = F ⋅ x δ x + F  y ⋅ δ y + F ⋅ z δ z .

92

(122)

3.1.6. Idealieji ryšiai Susipažinus su j ėgos virtualiuoju darbu, galima prapl ėsti ryšių  są vok voką . Sistemos tašk ą  r r veikiančias jėgas galima suskirstyti į  aktyvi ą sias sias F i ir ryšių  reakcijas  Ri . Tuomet tašk ą  r veikiančių  jėgų  atstojamoji jėga F i* bus: r

r

r

F i * = F i + Ri .

(123)

Suteikę sistemai virtualų  jį  poslinkį , apskai čiuosime visos sistemos j ėgų virtualų  jį  darbą :  N 

 N  r

δ Ai = ∑ F i ∑ i 1 i 1 =

 N  r

 N  r

i =1

i =1

⋅ δr i =∑ F i ⋅ δr i + ∑ Ri ⋅ δr i .

*

=

(124)

Gali būti, kad sistemos ryšiai atitinka tapatyb ę :  N  r

r

∑ Ri ⋅ δr i ≡ 0.

(125)

i =1

Sistemos ryšiai, kai ryši ų  reakcijų  virtualių  jų  darbų  suma lygi nuliui, vadinami idealiaisiais. Analizinė mechanika remiasi tik matematin ėmis išraiškomis. Tod ėl galime teigti, kad formulė (125) atitinka logines s ą vokas vokas trinties jėgų  nepaisome, ryšių  reakcijų  jėgų  nepaisome ir pan.

3.1.7. Apibendrintosios jėgos Są voka voka apibendrintoji j ėga yra labai svarbi analizin ė je mechanikoje. Panagrin ėsime iš  N  materialių  jų  taškų  sudarytą  mechaninę  sistemą , kurią  veikia idealieji holonominiai ryšiai. Tokios sistemos aktyvi ų  jų jėgų virtualusis darbas bus:  N 

 N  r

r

δ Ai = ∑ F i ⋅ δr i. ∑ i 1 i 1 =

(126)

=

r

Virtualų  jį  poslinkį  δr  išreikškime formule (120): r

r

n

∂r i

i =1

∂q k 

δr  = ∑

⋅ δq k  .

Tuomet r

  n ∂r i      A F  q δ = ⋅ δ ∑ ∑ i  I   ∑ k   . q ∂ i =1 i =1 k  1 = k       N 

 N  r

93

Pakeitę sumavimo eiliškum ą , turėsime: r

   N  r ∂r i   δq k  . δ Ai = ∑  ∑ F  ∑  i =1 k =1   i =1 i ∂q k    N 

n

(127)

Skliaustuose esan čią  sumą  pažymėsime simboliu Qk  , t. y. r

∂r  Qk  = ∑ F i i . ∂q k  i =1  N  r

(128)

Dabar lygyb ę (127) galime perrašyti taip:  N 

n

=

=

δ Ai = ∑ Qk δq k  =Q1 δq1 + Q2 δq 2 + ... + Q n δq n . ∑ i 1 k  1

(129)

Išraišką  (128) galime užrašyti koordinatine forma:  N    ∂ x ∂ y ∂ z   Qk  = ∑  F ix i + F iy i + F iz i  . ∂q k  ∂q k  ∂q k   i =1  

(130)

Dydis q k  vadinamas apibendrint ą  ja koordinate, atitinkančia apibendrintą  ją jėgą  Qk  . Apibendrintosios j ėgos Qk  skaičiavimas supaprast ė ja, jeigu imamas ne bet koks sistemos virtualusis poslinkis, o tik koordinat ės q k  poslinkis δq k  , o visos likusios apibendrintosios koordinatės nesikei čia: δq k  ≠ 0 , δq1 = δq 2 = ... = 0 . Jėgų  sistemos virtualusis darbas dabar išreiškiamas tik vienu (129) sumos nariu:    N     ∑ δ Ai  = Qk δq k  ,   i =1   k 

iš čia Qk  =

   N     ∑ δ Ai    i =1   k  δq k 

.

(131)

Apibendrintoji jėga priklauso nuo apibendrintosios koordinat ės pobūdžio. Kai apibendrintoji koordinat ė matuojama ilgio vienetais, apibendrintoji j ėga atitinka fizin ę  jėgą  ir matuojama niutonais. Kai apibendrintoji koordinat ė yra kampas, apibendrintoji j ėga yra momentas.

94

3.2. Bendrieji mechanikos metodai 3.2.1. Virtualių jų poslinkių principas Virtualių  jų  poslinkių  principas bendriausia forma išreiškia bet kurios mechanin ės sistemos statinės pusiausvyros s ą lyg lygą . Virtualių  jų  poslinkių  principas formuluojamas taip: mechaninės sistemos su idealiaisiais holonominiais ryšiais pusiausvyrai b ūtina ir pakankama, kad visų  sistemą  veikiančių  aktyvių  jų  jėgų  virtualių  jų  darbų , atliekamų  esant bet kuriam tos sistemos virtualiajam poslinkiui, suma b ūtų  lygi nuliui. Šią są lyg lygą  analiziškai galime išreikšti lygtimi: n

r

r

∑ δ AiF  = ∑ F i δr  = 0,

(132)

i =1

arba projekcijomis į  koordinačių ašis: n

(F ix δ xi + F iy δ yi + F iz δ zi ) = 0. ∑ δ AiF  = ∑ i 1

(133)

=

Šiems teiginiams į rodyti rodyti nagrinėsime iš  N  materialių  jų  taškų  sudaryt ą  pusiausvirą  ją  r sistemą . Vieną  sistemos tašk ą  veikiančių  aktyvių  jų  jėgų  atstojamą  ją  pažymėsime F i , o ryšių  r r r reakcijų  atstojamą  ją   Ri . Kadangi sistema yra pusiausviroji, tai F i + Ri = 0 . Padaugin ę  iš r taško virtualiojo poslinkio δr i , gausime: r

r

r

r

F i ⋅ δr i + Ri ⋅ δr i = 0.

(134)

Analogiškas lygtis galime užrašyti visiems sistemos taškams. Susumav ę  panariui visas lygtis, turėsime: r

r

r

r

∑ F i ⋅ δr i + ∑ Ri ⋅ δr i = 0. Sistemai su idealiaisiais ryšiais jau tur ė jome

n

r

(135)

r

∑ Ri ⋅ δr i = 0 . Todėl gausime: i =1

n

r

r

∑ F i ⋅ δr i = 0 .

(136)

i =1

Taigi būtinumo są lyga lyga į rodyta. rodyta. Pakankamumui į rodyti rodyti pasinaudosime atvirkštiniu samprotavimu. Tarkime, kad (132) są lyga lyga į vykdyta, vykdyta, bet sistem ą  veikiančios jėgos neatsvarin ės. Šiuo atveju pradžioje nejud ė jusi sistema neatsvarini ų  jėgų  veikiama prad ės judėti ir per maž ą  laiko tarpą  dt  pajudės tikruoju

95

r

r

r

 judesiu d r  . Kai sistemos ryšiai stacionar ūs, tikrasis poslinkis d r  sutaps su virtualiuoju δr  . Sistemą veikiančių  jėgų atliktas darbas bus: n

r

r

n

r

r

∑ F i ⋅ δr i + ∑ Ri ⋅ δr i > 0. i =1

(137)

i =1

Kadangi sistemos ryšiai yra idealieji, antroji suma lygi nuliui: n

r

r

∑ Ri ⋅ δr i = 0 . i =1

n

r

r

lygai. Taigi į rodyta rodyta ∑ F i ⋅ δr i > 0 , o tai prieštarauja (132) s ą lygai.

Iš to išplaukia, kad

i =1

pakankamumo s ą lyga. lyga. Pavyzdžiai: 1. Reikia apskai čiuoti gembinės sijos atramines reakcijas. Sija apkrauta išskirstyt ą  ja apkrova r q , jėgų poros momentu  M  ir koncentruot ą  ja jėga F  (43 pav.). r

F 

q  M 

α

 A a

c

b

43 pav. Nagrinė jamoji gembinė sija

Visų rpirma sutvarkome apkrovas: išskirstyt ą  ją  apkrovą  pakeičiame koncentruot ą  ja jėga Q , jėgą  F  išskaidome į  dedamą sias sias koordinačių ašių  atžvilgiu (44 pav.). r

 y

r

Q

r

 M   A

F  y α r

F  x  x b / 2 b / 2

a l1

c l2

44 pav. Gembinės sijos skaičiuojamoji schema

Q = q ⋅b,

l1 = a + 0,5b ,

96

l 2 = 0,5b + c .

F  x = F ⋅ cos α ,

F  y = F ⋅ sin α .

Atrama  A (44 pav.) yra trij ų  ryšių , nes varžo tris elementariuosius judesius – dx, dy, d ϕ . Taikome ryši ų  aksiomą  ir nuosekliai pašaliname po vien ą  ryšį , suteikdami sistemai vien ą  laisvės laipsnį . Gauname tris skai čiuojamą sias sias schemas (45 pav.). r

Q  M r 

r

 M 

F  y

 A

r

F  x

δϕ

l1

l2

a)

r

Q

r

 M   A

F  y r

F  x

δ y

r

 R Ay l1 b)

l2 r

Q r  R Ax  A

r

 M 

F  y

r

F  x δ x

l1

l2

c)

45 pav. Gembinės sijos virtualieji poslinkiai

Iš (45 pav., a) galime apskai čiuoti reakcijos moment ą   M r . Suteikiame sijai virtual ų  jį  poslinkį  δϕ ir virtualių  jų poslinkių principu sudarome lygt į :

∑ δ Ai = 0 , pagal kuri ą  užrašome vis ų  veikiančių  siją  jėgų  elementarių  jų  darbų  sumą  esant sistemos virtualiesiems poslinkiams, t. y.

97

− M r  ⋅ δϕ + Q ⋅ l1 ⋅ δϕ + M  ⋅ δϕ + F  y (l1 + l 2 ) ⋅ δϕ = 0.

(138)

Teigiamą  darbą  atlieka tos j ėgos, kurių  momento apie tašk ą  A kryptis sutampa su δϕ kryptimi. Padalij ę visus narius iš δϕ , gausime:  M r  = Q ⋅ l1 + M  + F  y (l1 + l 2 ) .

(139)

− R Ay ⋅ δ y + Q ⋅ δ y + F  y ⋅ δ y = 0.

(140)

 R Ay = Q + F  y .

(141)

 R Ax ⋅ δ x − F  x ⋅ δ x = 0

(142)

 R Ax = F  x .

(143)

Iš (45 b pav.) tur ėsime:

Iš čia:

Iš (45 pav., c): ir

Taigi pritaikę  virtualių  jų poslinkių principą , radome į tvirtinimo tvirtinimo A reakcijų  reikšmes. 2. Nagrinė jame (46 pav.) pavaizduotą  diržinę  pavar ą . Reikia apskai čiuoti, kokio dydžio turi būti jėgų  poros momentas  M  , kad būtų  atsvertas krovinio 3 poveikis. r

v B

r

v A

 A  R1

 R2

δϕ1

δϕ2

O1

 M 

 B

ω1

r 2 O2

ω2

2

1

3

r

vC  C  r

v3

δs3

r

G3

46 pav. Diržinė pavara

Suteikime sistemai virtual ų  jį  poslinkį  δϕ1 . Krovinys pasislinks δs3 . Kad sistema b ūtų  pusiausviroji, pagal virtuali ų  jų poslinkių principą turi būti tenkinama lygtis:

∑ δ Ai = 0 ,

arba  M  ⋅ δϕ1 − G 3 ⋅ δs 3 = 0 . 98

(144)

Norėdami virtualų  jį  poslinkį  δs3 išreikšti sistemai suteiktu poslinkiu δϕ1 , pritaikome taisyklę : sistemos, turinčios vieną  laisvės laipsnį , linijiniai ir kampiniai poslinkiai yra susij ę  ta pačia priklausomybe kaip ir atitinkami grei čiai. Šiai priklausomybei nustatyti sudarome greičių są ryšio ryšio seką : v3 = vc = ω 2 ⋅ r 2 =

Iš čia turėsime v3 =

v B v ω  R ⋅ r 2 =  A ⋅ r 2 = 1 1 ⋅ r 2 .  R2  R 2  R2

δs r 2 ⋅ R1 δϕ ω1 . Įvertinę  tai, kad v3 = 3 ir ω1 = , gausime:  R2 dt  dt  δs 3 =

r 2 ⋅ R1 δϕ1 .  R2

ę  į rašome Gautą  ją  δs 3 reikšmę į  rašome į  (144) lygtį :

 M  ⋅ δϕ1 − G3 ⋅

r 2 ⋅ R1 δϕ1 = 0.  R2

(145)

Ir iš (145) lygties l ygties gausime poros momento reikšm ę :  M  =

r 2 ⋅ R1 G3 .  R2

(146)

Virtualių  jų  poslinkių  principas buvo sukurtas sud ėtingoms sistemoms skai čiuoti. Šis metodas taikomas paprastiems uždaviniams, tokiems kaip 1 pavyzdys, spr ę sti, sti, privalumų , palyginti su tradiciniu statikos sprendimu, neturi. Ta čiau 2 pavyzd į  išsprę sti sti tradiciniu būdu būtų  gerokai sud ėtingiau. Be to, reikia pažym ėti, kad virtualių  jų  poslinkių  principas yra taikomas deformuojam ų  jų  kūnų mechanikoje ir sistem ų dinamikoje.

3.2.2. d’Alambero principas d’Alambero principo taikymas materialiajam taškui Kol nebuvo suformuluota ryši ų  aksioma, dinamikos d ėsniai buvo taikomi laisvojo kietojo kūno ar materialiojo taško jud ė jimui nagrinėti. Suvaržyt ų  sistemų  judesiui tirti d’Alamberas pasi ūlė special ų  metodą , vėliau pavadint ą d’Alambero principu . Pasinaudoję  ryšių  aksioma, suvaržytam materialiajam taškui galime užrašyti tokias pat  judė jimo lygtys, kaip ir laisvajam taškui, tik prie aktyvi ų  jų  jėgų  turi būti pridėtos ir ryšių  reakcijos. Paėmę  vieną sistemos tašką , užrašykime pagrindin į  dinamikos dėsnį . Turėsime: r

r

r

mi a i = F i + Ri ;

99

(147)

r

r

čia F i – aktyvių  jų  jėgų  atstojamoji;  Ri – ryšių reakcijų atstojamoji.

Perkėlę visus (147) lygties narius į  vieną  pusę , gausime: r

r

r

F i + Ri − mi a i = 0. r

r

(148) r

r

Sandaugą  (− mi a i ) pažymėsime vektoriumi Φ i . Dydis Φ i = −mi ai vadinamas materialiojo taško inercijos jėga. Minuso ženklas rodo, kad inercijos j ėgos vektorius yra nukreiptas į  priešingą  pusę  nei pagrei čio vektorius. Tuomet iš (148) formul ės turėsime tokią  išraišką : r r r F i + Ri + Φ i = 0 . (149) Lygtis (149) išreiškia d’Alambero princip ą  suvaržytam materialiajam taškui: materialiajam taškui judant, aktyviosios j ėgos, ryšių  reakcijos ir inercijos j ėga kiekvienu laiko momentu sudaro atsvarini ų  jėgų  sistemą. Suprojektavę  (149) lygt į  į  Dekarto koordinačių  ašis, gausime skaliarin ę  d’Alambero principo išraišką : F ix + Rix + Φ ix = 0, F iy + Riy + Φ iy = 0, (150) F iz + Riz + Φ iz = 0. Lygtį  (149) galime projektuoti ir į  natūralią sias sias koordinačių  ašis. Šiuo atveju taip pat turėsime tris skaliarines d’Alambero principo išraiškas. d’Aalambero principo esm ė yra ta, kad taikydami š į  metodą  dinamikos uždavini ų  sprendimui galime suteikti statikos pusiausvyros lyg čių  pavidalą . Pavyzdys: Reikia apskai čiuoti lifto lyno į tempim tempimą  liftui leidžiantis ir kylant pastoviuoju pagrei čiu. Lifto masė m (kg). a) Kai liftas leidžiasi, jis juda tiesiaeigiškai, j į  galima pavaizduoti kaip material ų  jį  tašką  (47 pav.). r

 R r

Φ

m

r r

a, v

r

G  x 47 pav. Lifto judė jimas žemyn

100

r

r

r

Nutraukę  ryšį , pažymime lift ą  veikiančias jėgas G,  R, Φ . Kadangi judan čio lifto pagreitis nukreiptas vertikaliai žemyn, inercijos j ėgą  nukreipiame priešinga kryptimi, t. y. į  viršų . Taikydami d’Alambero princip ą , sudarome j ėgų  pusiausvyros lygt į :

∑ F ix = 0.

(151)

G − Φ − R = 0.

(152)

 R = G − Φ.

(153)

Įrašę  jėgas, turėsime:

Iš čia

Įvertinę  tai, kad sunkis G = mg ir inercijos jėga Φ = ma, gausime galutinę  ryšių  reakcijos jėgą :  R = m(g − a ) . (154)

Matyti, kad, liftui leidžiantis žemyn, dinamin ė ryšio reakcija (lyno į tempimo tempimo jėga)  R yra mažesnė už statinę , kuri lygi sunkiui, t. y.  R = G. b) Liftui kylant pagreitis yra nukreiptas vertikaliai į  viršų , o inercijos j ėga – priešinga kryptimi, t. y. žemyn (48 pav.) r

 R r r

a, v m r

G

r

Φ

 x 48 pav. Lifto judė jimas vertikaliai į  viršų 

Atlikę visus anksčiau minėtus matematinius veiksmus, tur ėsime:

∑ F ix = 0, G + Φ − R = 0,  R = G + Φ = m(g + a ).

Matome, kad liftui kylant inercijos j ėga padidina lyno apkrovim ą . 101

 D’Alambero principo taikymas taikymas materialiai sistemai Taikysime d’Alambero princip ą  sistemai, sudarytai iš  N  materialių  jų  taškų . Kiekvienam sistemos taškui galime užrašyti toki ą  lygtį : r

r

r

F i + Ri + Φ i = 0,

i = 1, 2, ..., N .

(155)

Susumavę šias lygtis, gausime:  N  r

 N  r

 N  r

F i + ∑ Ri + ∑ Φ i = 0. ∑ i 1 i 1 i 1 =

=

(156)

=

Padaugin ę (156) lygties narius vektoriškai iš tašk ų  padėties vektorių , gausime:  N 

r

r

 N 

 N 

r

r

r ( × + × + ( ) ( ) r  F  r   R r  ∑ i i ∑ i i ∑ i × Φ i ) = 0, i =1

r

i =1

i =1

arba  N 

r

r

 N 

r

 N 

r

r

r

∑ M O (F i ) +∑ M O ( Ri ) +∑ M O (Φ i ) = 0. i =1

i =1

(157)

i =1

Vektorinės lygtys (155) ir (157) išreiškia d’Alambero princip ą  mechaninei sistemai: mechaninei sistemai judant, aktyviosios j ėgos, ryšių  reakcijos ir inercijos j ėgos kiekvienu laiko momentu sudaro atsvarini ų  jėgų  sistemą kiekvienam sistemos taškui . Išreiškę  vektorines lygtis (156) ir (157) projekcijomis į  koordinačių  ašis, gausime šešias skaliarines pusiausvyros lygtis, analogiškas statikos erdvin ės sistemos pusiausvyros lygtims:  N 

 N 

 N 

F ix + ∑ Rix + ∑ Φ ix = 0, ∑ i 1 i 1 i 1 =

=

=

 N 

 N 

 N 

F iy + ∑ Riy + ∑ Φ iy = 0, ∑ i 1 i 1 i 1 =

=

=

 N 

 N 

 N 

=

=

F iz + ∑ Riz + ∑ Φ iz = 0, ∑ i 1 i 1 i 1  N 

r

=

 N 

r

 N 

(158)

r

 M  x (F i ) + ∑ M  x ( Ri ) + ∑ M  x (Φ i ) = 0, ∑ i 1 i 1 i 1 =

 N 

=

r

 N 

r

i =1  N 

=

r

 N 

r

r

i =1  N 

r

∑ M  y (F i ) + ∑ M  y ( Ri ) + ∑ M  y (Φ i ) = 0, i =1  N 

∑ M  z (F i ) + ∑ M  z ( Ri ) + ∑ M  z (Φ i ) = 0. i =1

i =1

i =1

r

r

Sugrupavus sistemos taškus veikian čias jėgas į  išorines F i ir vidines F i v , lygtys (156) ir (157) turės tokį  pavidalą :

102

i

 N  r

 N  r

F i + ∑ Φ i = 0. ∑ i 1 i 1 i

=

 N 

(159)

=

r

r

 N 

r

r

∑ M O (F i ) +∑ M O (Φ i ) = 0, i

i =1

(160)

i =1

 N  r

nes vidinės jėgos atitinka žinomas s ą lygas lygas

 N 

r

r

∑ F i = 0 ir

∑ M O (F i v ) = 0 .

i =1

i =1

v

Suprojektavę  (159) ir (160) lygtis į  koordinačių  ašis vėl gausime šešias j ėgų  pusiausvyros lygtis. Lygtyse (159) ir (160) n ėra vidinių  jėgų , todėl daugeliu atvej ų  jos yra patogesn ės dinamikos uždaviniams spr ę sti. sti. Lygtyse (156) ir (157) inercijos j ėgų sumas galima pažym ėti:  N  r

r

Φ = ∑ Φi .

(161)

i =1

r

 N 

r

r

 M O = ∑ M O (Φ i ); Φ

(162)

i =1

r

r

čia Φ – inercijos j ėgų  suminis vektorius;  M ОΦ – inercijos j ėgų  suminis vektorinis momentas.

Kad būtų  galima naudoti sudarytas lygtis (158), reikia žinoti mechanin ės sistemos inercijos jėgų  suminio vektoriaus ir suminio vektorinio momento reikšmes. Ta čiau praktiniams uždaviniams spr ę sti sti pakanka žinoti kiekvieno mechanin ės sistemos kūno inercijos  jėgas ir jų  pridėties vietas. Pavyzdžiui, turime bet kaip judan čią  mechanin ę  sistemą . Rasime šios sistemos inercijos  jėgų  suminį  vektorių . Pagal (161) formul ę suminis vektorius: r

 N  r

 N 

i =1

i =1

r

Φ = ∑ Φ i = − ∑ mi a i .

Žinome, kad mechanin ės sistemos judesio kiekis lygus sistemos masei, padaugintai iš sistemos masės centro grei čio: r

 N 

r

r

K  = ∑ mi vi = M  ⋅ vC . i =1

Ieškome šios išraiškos išvestin ės laiko atžvilgiu: r

r

d vi d vC  m =  M  , ∑ i dt  dt  i =1  N 

arba, į vertin vertinę tai, kad greičio išvestinė lygi pagreičiui, galime užrašyti: 103

 N 

r

r

mi a i = M  ⋅ a C . ∑ i 1 =

Įvertinę  gautą  ją  išraišką , mechaninės sistemos inercijos j ėgų  suminį  vektorių  galime užrašyti taip: r r Φ = − M  ⋅ a C . (163)

Matome, kad mechanin ės sistemos inercijos j ėgų  suminis vektorius esant bet kokiam mechaninės sistemos jud ė jimui lygus sistemos masės  M  ir sistemos mas ės centro pagrei čio r a C  sandaugai ir yra nukreiptas į  priešingą  pusę  negu masės centro pagreitis. Iš vektorin ės lygties (163) išplaukia, kad mechaninės sistemos inercijos j ėgų  suminis vektorius yra prid ėtas sistemos masės centre arba gali b ūti lygiagretus su mas ės centro pagrei čiu. Nagrinė jant atskirus mechaninės sistemos jud ė jimo atvejus, pavyzdžiui, skai čiuojant standžiojo kūno suminį  inercijos jėgų  vektorių , reikia į vertinti vertinti kūno masės pasiskirstym ą  erdvė je ir judė jimo pobūdį . Tarkime, vienalytis strypas  AB, kurio ilgis l, standžiai pritvirtintas prie vertikalaus veleno kampu α ir kartu su velenu sukasi pastoviuoju kampiniu grei čiu ω (49 pav.). r

an ω

 B

r i

r

Φ k 

i r

aC 

C 

r

Φ

1 l 3

α r

 A

G

49 pav. Strypo inercijos jėgų suminis vektorius

Strypo masė  M  išdėstyta per vis ą  strypo ilgį  tolygiai. Veleno į tvirtinimo tvirtinimo reakcijoms skai čiuoti reikia žinoti visas veikian čią sias sias jėgas ir j ų  pridėties vietas. Strypo sunkis G = Mg pridedamas strypo viduryje C  ir nukreipiamas vertikaliai žemyn. Pagal d’Aalambero princip ą  reikia są lygiškai lygiškai pridėti prie strypo inercijos j ėgų  suminį  vektorių , kurio dydis gali b ūti apskai čiuotas pagal (163) formul ę : Φ = M  ⋅ a C  = M ω 2 r C  = M ω 2

104

l sin α. 2

Strypo mas ę  išskaidžius į  be galo daug vienodo didumo elementari ų  jų  masių , galima pastebėti, kad šias elementari ą sias sias mases atitinkan čių  strypo atkarp ų  centrų  pagrei čiai strypo ilgio atžvilgiu bus išd ėstyti pagal tiesin į  dėsnį , nes kiekvieno strypo taško pagreitis skai čiuojamas pagal formul ę : a i = ω 2 ⋅ r i ; čia r i – atstumas nuo i-tojo strypo taško iki sukimosi ašies.

Iš čia išplaukia išvada, kad strypo inercijos j ėgos strypo atžvilgiu taip pat yra išd ėstytos pagal tiesin į  dėsnį , t. y. pagal trikamp į . Iš statikos žinome, kad paskirstyt ų  jėgų  atstojamoji 1 pridedama epi ūros ploto centre. Trikampio atveju – atstumu nuo pagrindo l (49 pav.). 3 Strypo inercijos j ėgų  atstojamoji visada bus lygi strypo inercijos j ėgų  suminiam vektoriui ir nukreipta pagrei čiams priešinga kryptimi. Skaičiuojant standžiojo k ūno inercijos j ėgų  suminį  vektorinį  momentą , svarbu į vertinti vertinti kūno masės išsidėstymą  erdvė je ir judė jimo pobūdį . Tarkime, standusis mas ės  M  kūnas sukasi kampiniu grei čiu ω ir kampiniu pagrei čiu ε apie nejudam ą  ją  ašį (50 pav.). Rasime šio k ūno inercijos jėgų momentą apie sukimosi aš į .  z ε ω

 M  zΦ r

r i

r

aiτ 

ain i

r

Φin

r

Φ iτ

50 pav. Standžiojo kūno inercijos jėgų  momentas

Kiekvienas besisukan čio kūno jo taškas tur ės normalinį  pagreitį  ain = ω 2 r i , nukreiptą  statmenai sukimosi ašiai, ir tangentin į  pagreitį  aiτ = ε ⋅ r i , nukreiptą  statmenai normaliniam pagrei čiui kampinio pagrei čio kryptimi (50 pav.). Taikydami d’Alambero princip ą , prie kiekvieno taško prid ėsime inercijos j ėgas. Normalinė inercijos jėga Φ in = mi a in nukreipta priešinga normaliniam pagrei čiui kryptimi, t. y. nuo sukimosi ašies. Tangentin ė inercijos jėga Φ iτ = mi a iτ nukreipta priešinga tangentiniam pagrei čiui kryptimi statmenai normalinei inercijos j ėgai. Pagal sukamojo  judė jimo apibrėžimą kiekvieno taško pagrei čiai yra plokštumoje, statmenoje sukimosi ašiai. 105

Galime padaryti išvad ą , kad besisukan čio apie nejudam ą  ją  ašį  standžiojo kūno taškų  inercijos jėgos yra plokštumose, kurios yra statmenos sukimosi ašiai. Be to, visos k ūno taškų  normalinės inercijos j ėgos bus nukreiptos nuo sukimosi ašies, o tašk ų  tangentinės inercijos  jėgos, veikdamos k ūno taškus, suteikia k ūnui sukamą  jį  efektą , priešingos krypties nei k ūno tangentiniai pagrei čiai, t. y. priešingas kampiniam pagrei čiui. Kūno inercijos j ėgų  momentų  apie sukimosi aš į  suma:  N 

 N 

r

 M  z = ∑ M  z (Φ i ) =∑ M  Ф

i =1  N 

 N 

r

i =1

r

 N 

r

( ) + ∑ M  z (Φ iτ ) =

n  z Φ i

i =1  N 

 M  z (Φ i ) = −∑ Φ i ⋅ r i = −∑ mi a i ∑ i 1 i 1 i 1 τ

=

τ

=

τ

⋅ r i =

=

 N 

 N 

i =1

i =1

− ∑ mi ⋅ ε ⋅ r i ⋅ r i = −ε∑ m i r i 2 = −ε ⋅ I  z .

Taigi gavome, kad besisukan čio apie nejudam ą  ją  ašį  kūno tangentinės inercijos j ėgos sukuria inercijos j ėgų  momentą  sukimosi ašies atžvilgiu, kuris yra lygus k ūno kampinio pagrei čio ir kūno masės inercijos momento sukimosi ašies atžvilgiu sandaugai ir yra nukreiptas į  priešingą sukimosi kampiniam pagrei čiui pusę , t. y.  M  zΦ = −ε ⋅ I  z .

(164)

3.2.3. Besisukančio kūno dinaminės guolių reakcijos  z r

 R Bx

r

 R By

 B

r

F 1

r

F 2

r r

ω, ε

hi mi  zi

r

F i

r

r  A  yi  R Ax r  x  R Az

 R Ay  xi

 y

51 pav. Besisukančio kūno atraminės reakcijos

Pritaikysime d’Alambero princip ą  besisukančio kūno atraminėms guolių  reakcijoms skai čiuoti (51 pav.). Taškuose  A ir  B į tvirtint tvirtintą  standų  jį  kūną  veikia jėgų  sistema 106

r

r

r

F 1 , F 2 , ..., F n . Laikome, kad k ūnas sukasi apie aš į , einančią  per taškus  A ir  B. Atstumas  AB

lygus a. Koordinačių ašies pradžia yra taške  A (51 pav.). Tarkime, kad k ūnas sukasi teigiam ą  ja kryptimi greitėdamas. Šiuo atveju kampinio grei čio r r ir pagreičio kryptys sutampa. Žym ėsime juos vektoriais ω ir ε . Taškų  A ir  B reakcijas išskaidome į  dedamą sias sias koordinačių  ašių  atžvilgiu. Taške  B kūnas ašies  z atžvilgiu nesuvaržytas, tod ėl  R BZ  = 0 .  A ir B ryšių reakcijas: Taikydami d’Alambero princip ą , apskai čiuosime taškų  A n

n

=

=

n

n

F ix + R Ax + R Bx + ∑ Φ ix = 0, ∑ i 1 i 1 F iy + R Ay + R By + ∑ Φ iy = 0, ∑ i 1 i 1 =

=

n

n

F iz + R Az + R Bz + ∑ Φ iz = 0, ∑ i 1 i 1 =

=

n

n

r

(165)

r

 M  x (F i ) − R By a + ∑ M  x (Φ i ) = 0, ∑ i 1 i 1 =

=

n

n

r

r

∑ M  y (F i ) − R By a + ∑ M  y (Φ i ) = 0, i =1 n

i =1 n

r

r

∑ M  z (F i ) + ∑ M  z (Φ i ) = 0. i =1

i =1

Šiose lygtyse yra penki nežinomi dydžiai – ryši ų  reakcijos. Jas rasime apskai čiavę  inercijos jėgų projekcijas į  koordinačių ašis ir inercijos j ėgų momentus šių ašių  atžvilgiu. Inercijos jėgoms skaičiuoti laisvai pasirenkame k ūno materialų  jį  masės mi tašką , kuris yra nutolę s atstumu hi nuo sukimosi ašies. Taško koordinat ės  xi , y i , z i (52 pav.).  y

 yi

 z ω αi

ε

r

aiτ

rn

ai

mi

 xi

r

Φ ni r

 x

Φ iτ

52 pav. Kūno taško inercijos jėgos

Apskai čiuosime inercijos j ėgų  vektorių projekcijas į  koordinačių ašis:

107

Φ ixτ = Φ iτ sin α i = mi aiτ sin α i = mi εhi sin α i = mi ε y i , Φ iyτ = −Φ iτ cos α i = − mi a iτ cos α i = − mi εhi cos α i = −mi ε x i , Φ izτ = 0, Φ ixn = Φ in cos α i = mi a in cos α i = mi ω 2 hi cos α i = mi ω 2 xi , Φ iyn = Φ in sin α i = mi a in sin α i = mi ω 2 hi sin α i = mi ω 2 y i , Φ izn = 0.

Apskai čiuojame kūno inercijos jėgų  suminio vektoriaus projekcijas į  koordinačių ašis: n

n

n

Φ ix = ∑ Φ ix + ∑ ∑ i 1 i 1 i 1 τ

=

=

Φ ixn n

i =1

i =1

n

i =1

i =1

= ∑ mi ε y i + ∑ mi ω 2 x i =

=

n

n

ε∑ mi y i + ω 2 ∑ mi x i =ε ⋅ My C  + ω 2 ⋅ MxC  , n

Φ iy = −ε ⋅ Mx C  + ω 2 ⋅ My C  , ∑ i 1 =

n

Φ iz = 0; ∑ i 1 =

čia M – visa k ūno masė;  x c , y c − kūno masės centro koordinat ės. r

r

Rasime inercijos j ėgų  Φ iτ ir Φ in momentus koordina čių  ašių  atžvilgiu: r

 M  x (Φ iτ ) =  y i Φ izτ − z i Φ iyτ = mi x i z i ε, r

 M  x (Φ in ) =  y i Φ izn − z i Φ iyn = −mi y i z i ω 2 , r

 M  y (Φ iτ ) = z i Φ ixτ − xi Φ izτ = mi y i z i ε, r

 M  y (Φ in ) = z i Φ ixn − xi Φ izn = mi xi z i ω 2 , r

 M  z (Φ iτ ) = −Φ iτ hi = −mi hi2 ε, r

 M  z (Φ in ) = 0.

Inercijos jėgų  suminiai momentai koordina čių ašių  atžvilgiu: n

r

n

 M  x = ∑ M  x (Φ i ) +∑ M  Φ

i =1

n

n

( ) = ε∑ mi x i z i +ω ∑ mi y i z = ε ⋅ I  xz − ω 2 ⋅ I  yz ;

n  x Φ i

τ

i =1

i =1

čia  I  xz ir  I  yz – išcentriniai inercijos momentai.

Atlikę nesudėtingus skai čiavimus, gausime:  M  yΦ = ε ⋅ I  yz + ω 2 ⋅ I  xz ,  M  zΦ = − I  z ε.

108

2

i =1

ę  į  lygčių sistemą (132), turėsime: Gautas inercijos j ėgų ir momentų  išraiškas į raš rašę į  n

F ix + R Ax + R Bx + ε ⋅ MyC  + ω 2 MxC  = 0, ∑ i 1 =

n

F iy + R Ay + R By − ε ⋅ MxC  + ω 2 MyC  = 0, ∑ i 1 =

n

F iz + R Az = 0, ∑ i 1 =

n

r

(166)

 M  x (F i ) − R By a + ε ⋅ I  xz − ω  I  yz = 0, ∑ i 1 2

=

n

r

∑ M  y (F i ) + R Bx a + ε ⋅ I  yz + ω2 I  xz = 0, i =1 n

r

∑ M  z (F i ) − I  z ε = 0. i =1

Iš lygčių  sistemos (166) pirm ų  jų  penkių  lygčių  galime apskai čiuoti penkias besisukan čio kūno atramines reakcijas. Šeštoji lygtis yra besisukan čio kūno diferencialin ė judė jimo lygtis. Jeigu ω ir ε nežinomi, tai juos galime apskai čiuoti iš šios lygties. l ygties. Koordinačių  ašys yra standžiai sujungtos su besisukan čiu kūnu, todėl kūno masės inercijos momentai  I  z , I  xz , I  yz ir centro C koordinatės  xC  , y C  yra pastoviej ieji dy dydžiai. ų  į  atramas Kai ω = 0 ir ε = 0 , k ūnas yra rimties b ūsenos ir papildom ų  dinaminių  apkrovų į  nėra. Rastos atramin ės reakcijos šiuo atveju vadinamos statinėmis dedamosiomis . Naudodami lyg čių  sistemą  (166) rasime atramines reakcijas, atmet ę  veikiančią sias sias išorines jėgas, į vertindami vertindami tik kūno judė jimą . Tokios atramini ų  reakcijų  dedamosios vadinamos dinaminėmis. Apskai čiuosime atramos  B reakcijos dinamines dedam ą sias. sias. Iš lyg čių  sistemos (166) gausime:  d  1 2   R By = a (ε ⋅ I  xz − ω  I  yz ),  1 d   R Bx = − (ε ⋅ I  yz + ω 2 I  xz ). a 

Dinaminė reakcija taške  B randama pagal dedam ą sias sias taip: 2

2

d   R Bd  = ( R Bx ) + ( R Byd  ) =

1 a

(ε ⋅ I  xz − ω2 I  yz )2 + (ε ⋅ I  yz + ω2 I  xz )2 .

Po nesudėtingų  matematinių pertvarkymų  turėsime:  R Bd  =

1 2 ε + ω 4 ⋅  I  yz2 + I  xz2 . a 109

(167)

Panaši ą  išraišką  turės ir atramos  A reakcijos dinamin ė dedamoji. Remdamiesi atramos  B dinaminės dedamosios bendr ą  ja išraiška (167), galime padaryti išvad ą , kad dinamin ė dedamoji bus minimali, kai k ūno judė jimas bus tolygusis ( ε = 0 ), ir proporcinga kūno kampinio grei čio kvadratui. Šiuolaikin ėse greitaeigėse mašinose k ūnų  greičiai yra dideli. Todėl ir atramų  reakcijų  dinaminės dedamosios gali b ūti didelės ir gerokai viršyti statines reakcijas. Veikdamos atramas, tokios j ėgos gali jas suardyti. Tod ėl aktualu yra nustatyti, kokiomis są lygomis lygomis judantis k ūnas gali tur ėti minimalias dinamines reakcijas. Iš lyg čių  sistemos (166) galime gauti šias s ą lygas: lygas:  MyC  + ω 2 MxC  = 0, − ε ⋅ Mx C  + ω 2 My C  = 0, ε ⋅ I  xz − ω 2 I  yz = 0,

(168)

ε ⋅ I  yz + ω 2 I  xz = 0.

Sprę sdami sdami lygčių  sistemą  nežinomų  jų   x C  , y C  , I  xz , I  yz atžvilgiu, laikydami, kad k ūno masė M žinoma ir jis juda kampiniu grei čiu ω ir kampiniu pagrei čiu ε , gauname:  x C  = 0,  y C  = 0,  I  xz = 0,  I  yz = 0.

(169)

Galime padaryti išvad ą , kad sukimosi ašis  z turi eiti per kūno masės centrą  ir sutapti su svarbiausią  ja centrine inercijos ašimi. ašimi. Taigi jeigu kūno sukimosi ašis yra k ūno svarbiausioji centrin ė inercijos ašis, tai k ūno į tvirtinimo tvirtinimo vietoje judė jimo metu atramų  reakcijos nesiskirs nuo statini ų , kurios atsiranda d ėl veikiančių  jų  išorinių  jėgų . Šiuo atveju sakoma, kad besisukantis k ūnas yra dinamiškai subalansuotas. Dinaminių  reakcijų  skaičiavimams kartais patogiau naudoti ne galutines formules (166), bet taikyti d’Aalambero principo bendr ą sias sias išraiškas (165).

3.2.4. Bendroji dinamikos lygtis Nagrinė jame iš  N  materialių  jų  taškų  sudaryt ą  sistemą , atitinkančią  bet kokius dvipusius r ryšius. Pagal d’Alambero princip ą  jėgų  sistema, sudaryta iš aktyvi ų  jų  jėgų  F i , ryšių  reakcijų  r r  Ri ir inercijos j ėgų  Φ i , bet kuriuo laiko momentu yra atsisv ėrusi. Pusiausvirajai j ėgų  sistemai galime pritaikyti virtualių  jų  poslinkių  principą . Todėl, d’Alambero principą  sujungę  su Lagranžo virtuali ų  jų  poslinkių  principu, gauname d’Alambero ir Lagranžo princip ą  dinamiškai materiali ų  taškų  sistemai: sistemos taškus veikianč ių  aktyvių  jų  jėgų  , ryšių  reakcijų  ir inercijos jėgų  virtualių  jų  darbų  , atliekamų  esant  bet kuriam tos sistemos virtualiajam poslinkiui, suma lygi nuliui . 110

Tai galime išreikšti lygtimis:  N 

 N 

 N 

=

=

=

δ AFi + ∑ δ A Ri + ∑ δ A i = 0, ∑ i 1 i 1 i 1 Φ

arba  N 

r

r

r

r ∑ (F i + Ri + Φ )i ⋅ δr i = 0.

(170)

i =1

Ši lygtis vadinamos bendr ą ja dinamikos lygtimi arba d’Alambero ir Lagranžo principu. r r Inercijos jėgas pakeitus j ų  išraiškomis Φ i = −mi a i , bendrajai dinamikos lyg čiai galima taikyti kitokią formulę :  N 

r

r

r

r

r r ∑ (F i + Ri − mi ai )⋅ δr i = 0,

(171)

i =1

r

r

arba, pakeit ę  ai = &r &i , turėsime:  N 

r r ∑ (F i + Ri − mi &r &i )⋅ δr i = 0.

(172)

i =1

Suprojektavę  (172) lygt į  į  koordinačių  ašis, gausime analizin ę  bendrosios dinamikos lygties išraišką :  N 

{(F ix + Rix − mi x&&i ) ⋅ δ xi + (F iy + Riy − mi y&&i ) ⋅ δ y i + (F iz + Riz − mi z&&i ) ⋅ δ z i } = 0. ∑ i 1

(173)

=

Tarkime, kad sistem ą  varžantys ryšiai yra idealieji. Tuomet ryši ų  reakcijų  elementarių  jų  darbų  suma

 N  r

r

∑ Ri δr i = 0. Šiuo atveju (170)–(173) lygtys tur ės tokį pavidalą : i =1

 N 

r

r

r + Φ ⋅ δ ( ) F  r  ∑ i i i =0,

(174)

i =1

 N 

r

r r F  − m a ⋅ δ r  ( ) ∑ i i i i = 0,

(175)

i =1

 N 

r

r& r &r  ( ) F  − m ⋅ δ r  ∑ i i i i = 0.

(176)

i =1

 N 

{(F ix − mi x&&i ) ⋅ δ xi + (F iy − mi y&&i ) ⋅ δ y i + (F iz − mi z&&i ) ⋅ δ z i } = 0. (177) ∑ i 1 =

111

Pavyzdys Skriemulių  blokas sukasi apie horizontali ą  ją  ašį (53 pav.). Ant skriemuli ų užvynioti lynai, prie jų  galų  pritvirtintos masės m1 ir m2 . Sistema juda veikiama sunkio. Reikia rasti skriemulių  bloko kampinį  pagreitį . Bloko ir lyno mas ės galima nepaisyti, sistemos ryšiai idealūs.

 R δϕ ω, ε

r

Φ1 δs1

r

G1

δs2 r

r r

r

r

v2 , a 2 v1, a1

G r 2

Φ2

53 pav. Skriemulių blokas

Prie judančių  masių  pridedame sunk į  Gi = mi g . Nustatome arba pasirenkame masi ų   judė jimo kryptį  ir judė jimo pobūdį , t. y. pagrei čių  kryptis. Priešingomis negu pagrei čių  kryptimis pridedame inercijos j ėgas Φ i = mi a i . Pasukę  bloką  virtualiuoju kampu δϕ suteikiame sistemai virtual ų  jį  poslinkį . Skaičiuodami taikome bendr ą  ją dinamikos lygtį :  N 

 N 

i =1

i =1

∑ δ AFi + ∑ δ AΦi = 0. Randame sunkio darb ų sumą :

∑ δ AFi = G1 ⋅ δs1 − G2 ⋅ δs 2 . Randame inercijos j ėgų darbų sumą :

∑ δ A i = −Φ 1 ⋅ δs1 − Φ 2 ⋅ δs 2 . Ф

Apskai čiuojame visus dydžius: δs1 = r ⋅ δϕ ,

δs 2 = R ⋅ δϕ ,

Φ 1 = m1 ⋅ a1 = m1 ⋅ εr ,

112

G1 = m1 g , G 2 = m 2 g , Φ 2 = m 2 ⋅ a 2 = m2 ⋅ ε R .

ę į  bendrą  ją dinamikos lygtį  gauname: Gautas išraiškas į raš rašę į 

m1 gr δϕ − m2 gRδϕ − m1 r 2 εδϕ − m 2 R 2 εδϕ = 0 .

Padaliję  visus lygties narius iš δϕ , sugrupav ę  ir išreiškę  ε , turėsime skriemulio kampin į  pagreitį : m1 r − m2 R ε= g. m1 r 2 + m2 R 2

3.2.5. Bendroji dinamikos lygtis, išreikšta apibendrintomis jėgomis Kai sistemą  varžantys ryšiai yra idealieji, bendroji dinamikos lygtis yra tokio pavidalo:  N 

r

r

r ∑ (F i + Φ i )⋅ δr i = 0.

(178)

i =1

Taško padėties vektoriaus virtual ų  jį  poslinkį  išreiškiame apibendrint ų  jų  koordinačių  virtualiaisiais poslinkiais: r n ∂r i r δr i = ∑ ⋅ δq k  . (179) ∂ q k =1 k  Įrašę  (179) reikšmę į  ę į  (178), gausime: r

∂r i ( ) + Φ ⋅ δq k  = 0 . F  ∑ i i ∑ q ∂ 1 1 i− k = k   N 

r

r

n

Pakeitę sumavimo tvarką , galime užrašyti: r

r

 N  r    N  r ∂r i ∂r i     ⋅ δq k  = 0. F  + Φ ∑ ∑ i  ∑ i ∂q ∂q k   k =1   i =1 i =1 k  n

(180)

Skliaustuose pateiktos sumos yra apibendrinta aktyvioji j ėga Qk F  ir apibendrinta inercijos  jėga Qk Φ , kurios atitinka apibendrint ą  ją koordinatę  q k . r

∂r  Q = ∑ F i i , ∂q k  i =1 F  k 

 N  r

r

∂r  Qk  = ∑ Φ i i . ∂q k  i =1 Φ

 N  r

Naudodami šias išraiškas, gausime tokio pavidalo bendr ą  ją dinamikos lygt į :

113

(181)

n

r

r

r ∑ (Qk F  + Qk  )⋅ δq k  = 0 .

(182)

Φ

k =1

Apibendrintų  jų  koordinačių  pokyčiai δq k  yra nepriklausomi vienas nuo kito ir nelyg ūs nuliui. Todėl lygčių  sistema (182) bus tenkinama tuomet, kai visi koeficientai esant δq k  bus lygūs nuliui: n

r

r

∑ (Qk F  + Qk  ) = 0.

(183)

Φ

k =1

Šios lygtys sudaro sistemos bendr ą sias sias judė jimo lygtis, l ygtis, taikomas dinamikos uždaviniams sprę sti. sti.

3.2.6. Lagranžo antrojo tipo lygtys Apibendrintas inercijos j ėgas išreiškus sistemos kinetine energija, galima gauti kito pavidalo mechanin ės sistemos judė jimo diferencialines lygtis, kurios vadinamos Lagranžo antrojo tipo lygtimis. Tarkime, kad nagrin ė jamą  sistemą  sudaro  N  materialių  jų  taškų , sistemos laisv ės laipsnis lygus n, sistemą  varžo holonominiai ideal ūs stacionar ūs ryšiai. Tašk ų  padėties vektoriai šiuo atveju yra apibendrint ų  jų koordinačių funkcijos. r

r

r i = r i (q1 , q 2 , ..., q n ) ,

(184)

o bendroji dinamikos lygtis tur ės tokį  pavidalą :  N 

r

r r ∑ (− mi r &&i + F i )δr i = 0 .

(185)

i =1

Taškų virtualieji poslinkiai δr i bus (184) funkcijos pilnasis diferencialas: r

r

r

∂r  ∂r  ∂r  δr i = i δq1 + i δq 2 + ... + i δq n , ∂q1 ∂q 2 ∂q n r

arba

r

∂r  δr i = ∑ i δq k  . k =1 ∂q k  r

n

(186)

Įrašę  šią išraišką į  ą į  bendr ą  ją dinamikos lygtį  (185) ir pakeit ę sumavimo eilę , gausime: r

r

 N  r   N    ∂r i  r& ∂r i    &   − m r  + F  ∑  δq k  = 0 . ∑ ∑ i i i  ∂ q ∂ q  k =1  i =1   i =1 k   k    n

Lygties (187) antroji suma skliaustuose reiškia apibendrint ą  jėgą : 114

(187)

r

∂r  F i i = Qk . ∑ ∂q k  i =1  N  r

(188)

Pirmajai lygties (187) sumai apskaičiuoti naudojame tapatyb ę : &r& r  i

r

r

r

∂r i d    r& ∂r i   r& d  ∂r i    − r i . =   r  i ∂q k  dt    ∂q k   dt  ∂q k  

(189) r

Gautos tapatybės (189) dešiniosios pus ės nariams šifruoti rasime vektoriaus r i pilną  ją  išvestinę laiko atžvilgiu: r r & i

r

r

∂r i

r

= vi =

q&1 +

∂q1

∂r i ∂q 2

r

q& 2 + ... +

∂r i ∂q n

q& n .

(190)

Paėmę  abiejų  (190) lygybės pusių  dalines išvestines apibendrinto grei čio q& k  atžvilgiu, gausime:

r

& ∂r  i

∂q& k 

r

=

∂r i ∂q k 

.

(191)

Antrasis (189) tapatyb ės narys duoda: r r & i

r

r

d  ∂r &i r& ∂r &i = r  . dt  ∂q k  i ∂q k 

(192)

Įrašę (191) ir (192) išraiškas į (189) tapatybės dešini ą  ją  pusę , turėsime: &r& r  i

r

r

r

d   r& ∂r &i   r& ∂r i . =  r  − r i i ∂q k  dt   ∂q& k   ∂q k  ∂r i

(193)

ą  į raš ę į  (187) lygties pirmą  ją  sumą  gausime: Gautą išraišką į  rašę į  r

r

r

 N  & &     d   N  r& ∂r    ∂r  r& ∂r i   r i i  & &  − mi r i  = − ∑ mi r i . − m r  ∑ ∑ i i   & ∂ q dt  ∂ q ∂ q i =1   i =1 k   k  k     i =1  N 

(194)

Tolesniam priklausomyb ės (194) pertvarkymui panagrin ėsime sistemos kinetin ę energiją : r 2 r r 1  N  1  N  1  N  T  = ∑ mi (vi ) = ∑ mi (vi ⋅ v i ) = ∑ mi vi2 , 2 i =1 2 i =1 2 i =1

arba r 2 1  N  T  = ∑ mi (r &i ) . 2 i =1

115

r

Kaip matyti iš (190), funkcija r &i priklauso nuo vis ų  kintamų  jų  q k  ir q& k . Apskai čiuosime šių  kintamų  jų  kinetinės energijos dalines išvestines: i švestines: r

& ∂T   N  r& ∂r  = ∑ mi r i i , ∂q& k  i =1 ∂q& i

(195)

r

& ∂T   N  r& ∂r  = ∑ m i r i i . ∂q k  i =1 ∂q i

`

(196)

Matome, kad (195) ir (196) išraiškos atitinka (194) lygyb ės dešiniosios pus ės sumas. Lygybę  (194) dabar galime užrašyti taip: r

    d  ∂T  ∂T   ∂r i   &r&   − m r  = − ∑ i i    dt  ∂q& − ∂q . ∂ q i =1   k    k  k      N 

(197)

ę  į (187), gausime: Išraiškas (188) ir (197) į raš rašę į     d  ∂T  ∂T      − − + Q   ∑ k  δq k  = 0.  & dt  ∂ q ∂ q   k =1    k  k    n

(198)

apibendrint ų  Lygtis (198) vadinama bendr ą ja dinamikos lygtimi apibendrint  ų j  ų  koordinač ių  sistemoje. Virtualieji apibendrintų  jų  koordinačių  poslinkiai δq k  yra tarpusavyje nepriklausomi ir bendruoju atveju nelyg ūs nuliui. Todėl (198) lygtis visada bus tenkinama, kai koeficientai esant δq k  bus lygūs nuliui:   d  ∂T  ∂T    + Qk  = 0, − & dt  ∂ q ∂ q k  k      k  = 1, 2, ..., n,

− 

arba   d  ∂T  ∂T     = Qk  , − & dt  ∂ q ∂ q k  k     k  = 1, 2, ..., n.

(199)

Lygčių  sistema (199) vadinama  Lagranžo antrojo tipo lygtimis. Kai sistemą  varžo holonominiai ryšiai, Lagranžo lyg čių  skai čius yra lygus sistemos laisvės laipsniui n. Kitas didelis ši ų  lygčių  privalumas – esant sistemai, kurios ryšiai idealieji, eina sistemos ryši ų reakcijos. į  lygtis neį eina Pavyzdys Masės m1 slankiklis A gali slysti horizontaliu strypu, o ilgio l ir masės m2 švytuoklė AB  A. Sudarykime sistemos jud ė jimo diferencialines lygtis (54 pav.). sukasi apie lankst ą  A

116

δ x r

 A

v1

r

 x

G1 δϕ

ϕ

r

vr 

 B

r

G2

r

v2

r

v1

54 pav. Slankiklio ir švytuoklės judė jimas

Tariame, kad sistemos ryšiai yra idealieji, o visa švytuokl ės masė sukoncentruota taške  B. Nagrinė jama sistema yra su dviem laisv ės laipsniais n = 2 , todėl ją  apibrėžia dvi apibendrintosios koordinat ės. Apibendrintosiomis koordinat ėmis pasirenkame slankiklio koordinatę   x ir švytuoklės kampą  ϕ , t. y. q1 = x ir q 2 = ϕ , atitinkamai turėsime apibendrintus grei čius q&1 = x& = v1 ir q& 2 = ϕ& = ω . Nagrinė jamos sistemos Lagranžo Lagranžo lygtys bus tokios: d   ∂T   ∂T  =Q 1 ,  − dt   ∂ x&   ∂ x d   ∂T   ∂T  =Q 2 .   − dt   ∂ϕ&   ∂ϕ

Sistemos kinetinė energija: T  = T 1 + T 2 ,

1 1 T 1 = m1 v12 = m1 x& 2 , 2 2 1 T 2 = m 2 v 22 ; 2 čia v 2 – švytuokl ės taško B absoliutusis greitis:

v 22 = v12 + v r 2 + 2v1v r  cos ϕ, v r  = ω ⋅ l = ϕ& ⋅ l , v1 = x&,

1 T 2 = m 2 ( x& 2 + ϕ& 2 l 2 + 2 x&ϕ& cos ϕ). 2 Visa sistemos kinetin ė energija: 117

1 1 T  = (m1 + m2 ) x& 2 + m 2 l (ϕ& 2 l + 2 x&ϕ& cos ϕ). 2 2 Kiekvieną  Lagranžo lygčių  narį  apskai čiuojame atskirai: ∂T  = 0, ∂ x ∂T  & sin ϕ, = − m 2 l x&ϕ ∂ϕ ∂T  = (m1 + m 2 ) x&& + m 2 lϕ& sin ϕ, ∂ x&

d   ∂T   2 && cos ϕ − ϕ sin ϕ),   = (m1 + m2 ) x&& + m 2 l (ϕ dt   ∂ x&   ∂T  = m 2 l (ϕ& l +  x& cos ϕ), & ∂ϕ

d   ∂T   && +  x & sin ϕ). && cos ϕ − x &ϕ   = m 2 l (lϕ dt   ∂ϕ&  

Suteikę  apibendrintosioms koordinat ėms  x apskai čiuojame apibendrintas j ėgas:

ir

ϕ

virtualiuosius poslinkius,

δ A1 (m1 + m 2 )g ⋅ δ x ⋅ cos 90 o Q1 = = = 0, δ x δ x

Q2 =

δ A2 − m 2 gl sin ϕδϕ = = − m 2 gl sin ϕ. δϕ δϕ

Apskai čiuotas reikšmes į rašysime rašysime į  Lagranžo lygtis: 2 && cos ϕ + ϕ & sin ϕ) = 0, (m1 + m2 ) x&& + m2 l (ϕ

&& + x && cos ϕ + g sin ϕ = 0 . lϕ

Kaip matyti, kai poslinkiai x ir ϕ yra nemaži, gauname netiesines diferencialines lygtis. Kai poslinkiai maži, galima imti: cos ϕ = 1 ,

sin ϕ = ϕ , 118

ϕ& 2 sin ϕ = 0 .

Šiuo atveju gauname tiesines diferencialines lygtis: && = 0, (m1 + m2 ) x&& + m2 lϕ && +  x && + gϕ = 0 . lϕ

Atskyrę  kintamuosius, galima apskai čiuoti pirmuosius ir antruosius ši ų  diferencialinių  lygčių  integralus.

119

4.

SMŪGIS

Jeigu susidūrimo metu dviejų  kūnų  greičiai są ly lyčio vietoje nelyg ūs ir nėra bendroje lietimosi plokštumoje, matome reiškin į , kuris vadinamas smūgiu. Šis reiškinys ypatingas tuo, kad per be galo maž ą  laiko tarpą  (nuo 0,0001 iki 0,00001 s) k ūnų  greičiai ir judesio kiekiai pasikeičia baigtiniu dydžiu. Smūgio reiškinio pavyzdžiai: kamuolio arba rutulio sm ūgis žaidžiant; poliakal ės  judamosios dalies sm ūgis į  polį ; plaktuko sm ūgis į  vinį , kalamą į  ą  į  sieną ; k ū jo sm ūgis į  detalę , kalamą ant priekalo, ir pan. Smūgio metu svarbi yra k ūnų  fizinė charakteristika – k ūnų  tamprumas. Smūgio procesą  galima išskaidyti į dvi pagrindines fazes: 1) pirmosios fazės metu kūnai deformuojasi ir susispaudžia iki tol, kol j ų  suartė jimo greitis tampa lygus nuliui, šios faz ės metu kūnų  tamprumo jėgos pasieka maksimali ą sias sias reikšmes; 2) antrosios faz ės metu veikiant tamprumo j ėgoms kūnų  geometrinė forma atkuriama, k ūnai į gyja gyja tam tikrus grei čius ir fazės pabaigoje j ų kontaktai nutraukiami. Kai kūnai yra visiškai netampr ūs, jų  smūgis pasibaigia pirm ą  ja faze. Toks sm ūgis vadinamas absoliuč iai iai netampriu. r Kadangi smūgio metu kinetin ės energijos dalis virsta šilumine energija, tai k ūno greitis u r į vykus vykus smūgiui bus mažesnis nei k ūno greitis v iki smūgio.

4.1. Judesio kiekio teorema smūgiui Užrašysime vieno k ūno judesio kiekio poky čio teoremą , pagal kurią  judesio kiekio pokytis per nagrin ė jamą  jį  laiko tarpą  lygus visų  veikiančių  jų  jėgų  impulsų  sumai per tą  patį  laiko tarpą , t. y. r

τ

r

r

mu − mv = ∑ S k ;

(200)

t 0 = 0

r

r

čia u – kūno greitis po sm ūgio; v – kūno greitis iki sm ūgio, τ – smūgio laiko tarpas. Tariant, kad k ūną  veikia žinomos išorin ės jėgos (pavyzdžiui, sunkis) ir kontaktuojan čių  kūnų  są veikos veikos j ėgos, judė jimo kiekio pokyčio teoremos (200) dešini ą  ją  pusę  galime pateikti r r kaip išorinių  F k i ir smūgio metu atsiradusi ų jėgų  F  impulsų  sumą , t. y. τ

r

τ

r

τ

r

∑ S k  = ∑ F k i dt + ∑ F dt . t 0 = 0

t 0 = 0

(201)

t 0 = 0

Įvertinę  tai, kad sm ūgio laikas τ yra labai mažas dydis ir veikian čių  išorinių  jėgų  impulsas bus labai mažas, galime jo nepaisyti. Judesio kiekio teorem ą  (200) galime užrašyti taip:

120

r

r

τ

r

t  r

mu − mv = ∑ S k  = ∫ F ⋅ dt , t 0 =0

0

arba, imant atsiradusi ą  smūgio metu j ėgą kaip pastovi ą  jėgą , galutinę teoremos išraišk ą galime užrašyti taip: r

r

r

mu − mv = F ⋅ τ.

(202)

Kairioji lygties pus ė yra baigtinis dydis, tod ėl ir dešinioji jos pus ė turi būti baigtinis dydis. Tačiau jeigu smūgio laikas τ yra labai mažas, k ūnų  smūgio są veikos veikos j ėga, arba smūgio r  jėga, F  turi būti labai didelė. Smūgio metu atsiradusioms j ėgoms matuoti negalime taikyti statinio matavimo b ūdo, t. y. naudoti dinamometr ą , nes mechaniniai prietaisai yra inertiški. Tod ėl atsiradusi ą  smūgio metu r  jėgą  F  patogiau matuoti jos impulsu: t  r

r

S  = ∫ F dt ,

(203)

0

kuris vadinamas smūgio impulsu arba tiesiog – smūgiu. Pagrindinė lygtis smūgio teorijoje turės tokią išraišką : r

r

r

mu − mv = S ,

(204)

t. y. materialiojo taško judesio kiekis, įgytas smūgio metu, lygus sm ūgio impulsui. Projektuodami į Dekarto koordina čių ašis, turėsime:  mu x − mv x = S  x ,  mu y − mv y = S  y ,  mu − mv = S  ,  z  z   z

(205)

arba materialiojo taško judesio kiekio projekcija į bet kurią aš į lygi smūgio impulso  projekcijai į t ą pač ią aš į. Iš (204) formulės galime rasti materialiojo taško greit į  po smūgio: 1 r u = v + S . m r

r

r

(206)

Matome, kad judan čio taško greitis v po smūgio keičia savo reikšm ę  dydžiu, kuris priklauso nuo sm ūgio impulso reikšm ės ir krypties (55 pav.).

121

r

v

r

u

 M  r

 M 1

r

F k i

r

F 

F k i

 M 0 55 pav. Smūgio reiškinys r

r

Tarkime, judant į  dėl išorinių  jėgų  F k i poveikio grei čiu v materialų  jį  tašką , esant į  padėtyje  M , paveikė smūgio impulsas (55 pav.). Materialusis taškas per akimirksn į  pakeit ė r kryptį  ir judė jimo greitį , kuris į gijo gijo reikšmę  u . Kadangi sm ūgio laikas yra be galo mažas, laikoma, kad taško poslinkis per š į  laiko tarpą  taip pat yra be galo mažas. Tod ėl tariame, kad taško koordinat ės smūgio metu nesikei čia. Tuo atveju kai mechanin ės sistemos materialiuosius taškus vienu metu veikia išorin ės ir vidinės sm ūgio jėgos, išreikštos impulsais, judesio kiekio teorem ą  užrašome vienam sistemos r taškui, tardami, kad bet kurio mas ės m k  taško greitis sm ūgio veikimo pradžioje yra v k  , o r veikimo pabaigoje u k . Taigi turėsime: r

r

r

r

m k u k  − m k v k  = S k i + S k v .

(207)

Susumavę  tokias lygtis pagal visus sistemos taškus, gausime: n

n

r

n

r

r

n

r

m k u k  −∑ mk v k  = ∑ S  + ∑ S k v . ∑ k  1 k  1 k  1 k  1 =

=

i k 

=

=

Tariame, kad mechanin ės sistemos tašk ų  judesio kieki ų  geometrinė suma smūgio jėgų  r

n

r

veikimo pabaigoje lygi sistemos judesio kiekiui, t. y. K  = ∑ mk u k  , o pradžioje – k =1

r

n

n

r

K 0 = ∑ m k v k  , be to, pagal vidini ų  jėgų  savybes

r

S k v = 0 . ∑ k  1

k =1

Todėl mechaninės sistemos

=

 judesio kiekio teorem teoremą  smūgiui galime užrašyti taip: r

r

n

r

K  − K 0 = ∑ S k i ,

(208)

k =1

t. y. mechaninės sistemos judesio kiekio pokytis per sm ūgio laiko tarpą lygus visų  sistemos taškus veikianč ių  išorinių  smūgio impulsų  geometrinei sumai . Projektuodami į Dekarto koordina čių ašis, gauname:

122

n  − = K  K  S kxi , ∑ 0 x   x k =1  n  i K  y − K 0 y = ∑ S ky , k =1   K  − K  = n S i . ∑ 0 z kz   z k =1

(209)

Iš lygčių  matyti, kad mechaninės sistemos judesio kiekio projekcijos į bet kokią aš į  pokytis per smūgio laiko tarpą lygus visų  sistemos taškus veikian č ių  išorinių  smūgio impulsų   projekcijų  algebrinei sumai. Iš (208) priklausomyb ės gausime, kad jeigu vis ų  sistemos taškus veikian čių  išorinių  smūgio impulsų  geometrinė suma lygi nuliui, t. y.

n

r

r

r

r

r

∑ S k i = 0 , tai K  = K 0 ir u C  = v0 . Iš čia k =1

išplaukia išvada, kad kai mechanin ę  sistemą  veikia vien vidiniai sm ūgio impulsai, sistemos  judesio kiekis nekinta. nekinta. Pavyzdžiui, artilerijos sviedinys sprogsta skrisdamas ore. Jo mas ės centras jud ės toliau taip pat, kaip ir iki sprogimo. Atsižvelgdami į  (24) formulę , išreiškiame sistemos judesio kiekius iki ir po sm ūgio r r r r sistemos mase  M  ir sistemos mas ės centro grei čiais, t. y. K  = M u C  ir K 0 = M v C  . Tuomet mechaninės sistemos judesio kiekio teorem ą  smūgiui galime užrašyti taip: r

n

r

r

 M u C  − M vC  = ∑ S k i .

(210)

k =1

Lygtis (210) parodo mechanin ės sistemos mas ės centro grei čio kitimą dėl smūgio.

4.2. Kinetinio momento teorema smūgiui Kiekvienam mechanin ės sistemos materialiajam taškui  M i pagal (207) formul ę  užrašysime judesio kiekio teorem ą  smūgiui: r

r

r

r

i k 

m k u k  − m k v k  = S  + S k v .

Lygties narius vektoriškai padaugin ę  iš taško padėties vektoriaus laisvai pasirinkto centro r O atžvilgiu r k  , turėsime: r

r

r

r

r

r

r

r

r k  × m k u k  − r k  × mk v k  = r k  × S k i + r k  × S k v .

(211)

Sistemos taškui  M i gautą  lygtį  (211) perrašome visiems mechanin ės sistemos taškams ir  jas sudedame: sudedame: n

r

r

n

r

r

n

r

r

n

r

r

∑ (r k  × mk u k  ) − ∑ (r k  × mk v k  ) = ∑ (r k  × S k i ) + ∑ (r k  × S k v ); k =1

k =1

123

k =1

k =1

(212)

čia

n

r

r

r

∑ (r k  × mk u k  ) = L – sistemos kinetinis momentas centro O atžvilgiu smūgio pabaigoje; k =1

n

r

r

r

∑ (r k  × mk v k  ) = L0 – sistemos kinetinis momentas centro O atžvilgiu smūgio pradžioje; k =1 n

r

r

n

r

r

(r k  × S  ) = ∑ M 0 (S k i ) – visų  sistemos taškus veikian čių  išorinių  smūgio impulsų  suminis ∑ k  1 k  1 =

i k 

=

vektorinis momentas centro O atžvilgiu;

n

r

r

n

r

r

∑ (r k  × S  ) = ∑ M 0 (S k v ) v k 

k =1

– visų  sistemos taškus

k =1

veikiančių  vidinių  jėgų  smūgio impulsų  suminis vektorinis momentas centro O atžvilgiu; n

r

r

∑ M 0 (S k v ) = 0 – pagal vidinių jėgų savybes. k =1

Todėl galime užrašyti: r

r

n

r

r

 L − L0 = ∑ M 0 (S k i ).

(213)

k =1

Taigi gavome mechanin ės sistemos kinetinio momento teorem ą  smūgiui, pagal kuri ą  mechaninės sistemos kinetinio momento pokytis bet kurio nejudamo centro atžvilgiu sm ūgio atveju yra lygus vis ų  išorinių  smūgio impulsų  vektorinių  moment ų  ų  geometrinei sumai to paties centro atžvilgiu. Projektuodami vektorin ę  lygtį  (213) į  Dekarto koordinačių  ašis, turėsime skaliarines lygtis: n r  i − = (  L  L  M  S  ∑  x k  ), 0 x   x k =1  n r  i  L y − L0 y = ∑ M  y (S k  ), k =1  r  L − L = n  M  (S  i ∑ 0 z  z k  ).   z k =1

(214)

r

r

Jeigu išoriniai sm ūgio impulsai lyg ūs nuliui, tai iš (213) išraiškos išplaukia, kad  L = L0 , t. y. jeigu mechanin ės sistemos taškus veikia vien vidiniai sm ūgio impulsai, tai sistemos kinetinis momentas bet kokio centro atžvilgiu nekinta.

4.3. Atsistatymo koeficientas į  į  nejudamą  paviršių  (56 pav.). Tarkime, Nagrinėsime kūno, pavyzdžiui, kamuolio sm ūgį į  r kad kamuolio mas ės centro greitis sm ūgio pradžioje v sutampa normale kontakto paviršiui. r Toks smūgis yra tiesioginis centrinis smūgis. Po smūgio kamuolys į gyja gyja greitį  u , kuris r r nukreiptas ta pa čia normale, bet priešinga kryptimi. Grei čio u ir greičio v santykis vadinamas atsistatymo koeficientu, t. y.:

u k  = . v

124

(215)

ų  į  normalę  išraiškas pirmajai Užrašysime k ūno judesio kiekio poky čio teoremos projekcij ų į  smūgio fazei:

m ⋅ 0 − m ⋅ v = − S 1 ,

antrajai smūgio fazei: − m ⋅ u − m ⋅ 0 = S 2 .

Iš čia gausime sm ūgio fazių impulsų  projekcijas: S 1 = mv, S 2 = −mu,

arba absoliu čiaisiais dydžiais: S 1 = mv, S 2 = mu.

Tuomet atsistatymo koeficientas gali b ūti užrašytas taip: k  =

u m ⋅ u S 2 = = , v m ⋅ v S 1

(216)

todėl galime pabr ėžti, kad atsistatymo koeficientas lygus antrosios sm ūgio fazės impulso santykiui su pirmosios sm ūgio fazės impulsu. n

r

u

r

v

56 pav. Tiesioginis centrinis smūgis

Atsistatymo koeficientas priklauso tik nuo kamuolio ir nejudamo paviršiaus medžiagos, tačiau specializuotoje technin ė je literatūroje yra nurodoma, kad atsistatymo koeficientui tam tikrą  nežymi ą  į tak taką  turi pradinis smūgio greitis, kūnų  kontakto ploto forma ir k ūnų  masių  santykis. Praktikoje pasitaiko toki ų atvejų : 1) k  = 0 , t. y. kai kamuolio greitis po sm ūgio u = 0; šiuo atveju tur ėsime absoliu čiai 125

netamprų smūgį ; 2) k  = 1; šiuo atveju tur ėsime tamprų smūgį , kurio metu teoriškai u = v ; 3) 0 < k < 1 ; šiuo atveju tur ėsime ne visai tampr ų smūgį  ir u < v .

Atsistatymo koeficiento skaičiavimas Tarkime, kad kamuolys (57 pav., a) iš aukš čio h1 laisvai krinta nejudamo paviršiaus link. Iki kontakto su paviršiumi kamuolio į gytas gytas greitis skai čiuojamas pagal žinom ą  kinematikos formulę  v = 2 gh1 . Po kamuolio kontakto su paviršiumi prasideda pirmoji sm ūgio fazė. Pirmosios fazės metu kamuolys susispaus iki tol, kol jo suart ė jimo greitis pasidarys lygus nuliui. Šios faz ės metu kamuolyje atsiranda did ė jančios tamprumo j ėgos ir fazės pabaigoje jos pasieka maksimali ą sias sias reikšmes.

r

h1

h2

u

r

v

a) b) 57 pav. Atsistatymo koeficiento skaičiavimas

Antrosios fazes pradžioje, veikiant tamprumo j ėgoms, atkuriama geometrin ė kamuolio forma, kamuolio mas ės centras pradeda jud ėti į  viršų  ir į gyja gyja greitį . Antrosios faz ės pabaigoje r kamuolio kontaktas su paviršiumi nutraukiamas ir kamuolys grei čiu u juda į  viršų , kol pakyla r į  aukšt į  h2 (57 pav., b). Tarp kamuolio pradinio jud ė jimo greičio u ir judė jimo aukščio h2 yra kinematikoje išvesta priklausomyb ė, pagal kuri ą  u = 2 gh2 . Tuomet atsistatymo koeficientui skai čiuoti skirta formulė (207) bus tokia: k  =

h2 . h1

(217)

Eksperimentiškai gautos kai kurios atsistatymo koeficiento reikšm ės yra tokios: medis į  medį  k  = 0,50; plienas į  plieną  k  = 0,56; dramblio kaulas į  dramblio kaul ą  k  = 0,89; stiklas į  stiklą  k = 0,94; varis į  varį  k = (0,3 – 0,4).

4.4. Ekscentrinis kūno smūgis į nejudantį glotnų paviršių r

Tarkime, judantis kamuolys sm ūgio metu pasiekia glotn ų  paviršių  greičiu v , kuris sudaro r su normale kritimo kamp ą  α. Po smūgio judančio kamuolio greitis u su normale sudaro atšokimo kamp ą  β (58 pav., a).

126

n

n β

α

r

r

r

u

un β

u r

uτ r vτ

r

 N 

r

r

v a)

vn

τ

α r

v

b) 58 pav. Ekscentrinis kūno smūgis

Skaičiavimo schemoje (58 pav., b) parodome visus grei čius smūgio kontakto vietoje, paviršiui statmen ą  ir į  liestinę  nukreiptus normalinę  ir tangentinę  ašis, kritimo ir atšokimo greičių dedam ą sias sias pagal šias ašis ir atsiradusi ą  smūgio kontakto vietoje reakcijos j ėgą . Žinome, kad materialiojo taško judesio kiekis, į gytas gytas smūgio metu, lygus sm ūgio impulsui. Užrašysime judan čiam kamuoliui judesio kiekio poky čio teoremos išraišk ą : r

r

r

t  r

mu − mv = S  = ∫ N dt , 0

ę  į  normalinę ir tangentinę ašis, gausime: kurią suprojektavę į  mu n + mv n = S ,   mu τ − mv τ = 0.

(218)

Iš antrosios lygties išplaukia, kad u τ = v τ , t. y. greičių  tangentinės dedamosios iki smūgio ir po jo yra lygios. Kai turime tiesiogin į  centrinį  smūgį , atsistatymo koeficientas randamas pagal (215) formulę . Esant ekscentriniam sm ūgiui galime užrašyti, kad atsistatymo koeficientas lygus normalės kryptimi išdėstytų  greičių santykiui, t. y. k  =

un . vn

(219)

Iš čia išplaukia, kad u n = k ⋅ v n . Iš (58 pav., b) galime užrašyti, kad v τ = v ⋅ sin α ir v n = v ⋅ cos α. Be to, turė jome u τ = v τ , todėl galime rasti kamuolio mas ės centro greit į  po smūgio: u = u τ2 + u n2 = v τ2 + k 2 v n2 = (v sin α )2 + (kv cos α )2 , arba galiausiai tur ėsime: 127

u = v ⋅ sin 2 α + k 2 cos 2 α .

(220)

Taip pat galime užrašyti: vτ . vn

tgα =

uτ vτ 1 = = tgα. u n k ⋅ v n k 

tgβ = Gausime, kad

1 tgβ = tgα. k 

(221)

Jeigu atsistatymo koeficientas k  < 1, turėsime tgβ > tgα . Todėl išplaukia išvada, kad β > α,

(222)

t. y. smūgio metu atšokimo kampas didesnis negu kritimo kampas . Tuo atveju, kai turime absoliu čiai tamprų  smūgį , atsistatymo koeficientas k  = 1 . Gausime: tgβ = tgα ir β = α, (223) iai tampraus smūgio metu atšokimo kampas lygus kritimo kampui . t. y. tik absoliuč iai

4.5. Tiesioginis centrinis dviejų kūnų smūgis  A ir B, kurių  masės m1 ir m 2 , į vyksta Tarp dviej ų  kūnų  A vyksta tiesioginis centrinis sm ūgis. Tokį  atvejį  turime, kai k ūnų  masių  centrai yra vienoje normal ė je, pagal kurią  yra nukreipti kūnų  masių  centrų  greičiai (59 pav., a). m1 m2 r

v1 O

r

r

v1

v2

S 1′

S 1

r

r

a)

r′ C 1 S  1

r

r

r

S 1 v2 C 2

 x

u

u1

u2

S 2′

S 2

u r

r

S 1′

S 1

b) 59 pav. Tiesioginis centrinis smūgis

128

r

r

r

r

r

c)

Tegul pirmojo kūno greitis v1 yra didesnis už antrojo k ūno greitį  v 2 , t. y. pirmasis k ūnas paveja antrą  jį  ir jį  smūgiuoja. Prasideda pirmoji sm ūgio fazė, kurios metu k ūnai deformuojasi, atstumas tarp k ūnų  masės centrų  mažė ja, tamprumo jėgos didė ja. Pirmosios fazės pabaigoje, kai kūnų  deformavimasis pasibaigia, tamprumo j ėgos bus maksimalios, o k ūnų  masių  centrai  judės vienodu grei čiu u (59 pav., b). Toliau prasideda antroji sm ūgio fazė, kurios metu veikiant tamprumo j ėgoms kūnų  geometrinės formos atkuriamos, o k ūnų  masių  centrai į gyja gyja tam tikrus greičius. Antrosios faz ės pabaigoje, kai kontaktas tarp k ūnų  nutraukiamas, pirmasis kūnas į gyja gyja greitį  u1 , o antrasis u 2 (59 pav., c). Užrašysime sm ūgio pagrindines lygtis (205) kiekvienam k ūnui: m1u1 − m1v1 = − S ,   m2u2 − m2v2 = S .

(224)

Šiose lygtyse S  – smūgio impulso, kuris veikia kiekvien ą  kūną , projekcija į  ašį  Ox arba tiesiog smūgio impulsas. Sudėsime abi lygtis ir gausime m1u1 − m1 v1 + m 2 u 2 − m 2 v 2 = 0. Todėl: m1u1 + m 2 u 2 = m1v1 + m 2 v 2 .

(225)

Galime padaryti išvad ą , kad kūnų  sistemos vidinės j ėgos smūgio metu nekei čia sistemos  judesio kiekio, t. y. k ūnų  sistemos judesio kiekis po sm ūgio lygus sistemos judesio kiekiui iki smūgio. Lygtyse (224) yra daug nežinom ų  jų  dydžių , tai kūnų  greičiai po smūgio ir smūgio impulso reikšmė. Nagrinėsime pirmą  ją  smūgio fazę . Įvertinę  tai, kad smūgio metu k ūnų  sistemos judesio kiekis nekinta, užrašysime sistemos  judesio kiekio išraiškas faz ės pradžioje ir pabaigoje. Laikome, kad sm ūgio pabaigoje k ūnai  judės vienodais grei čiais u, ir palyginsime sistemos judesio kiekius: m1 v1 + m 2 v 2 = (m1 + m 2 )u;

(226)

iš čia gausime u=

m1v1 + m 2 v 2 . m1 + m 2

(227)

Galime padaryti išvad ą , kad tuo atveju, kai sm ūgis yra visiškai netamprus, po susid ūrimo kūnai judės kartu vienodu grei čiu u. Užrašysime sm ūgio impulsų  reikšmes kiekvienam k ūnui pirmosios faz ės laikotarpiui, į vertin vertinę  tai, kad smūgio impulsai, veikiantys kiekvien ą  kūną , yra lygūs ir nukreipti viena tiese priešingomis kryptimis. m1u − m1v1 = − S 1′ ,   m2 u − m 2 v 2 = S 1 .

129

(228)

Rasime smūgio impulsą , veikiantį  pirmosios fazės laikotarpiu, imdami greit į  po smūgio pagal (227) formulę . Turėsime:  m v + m 2 v 2    − m 2 v 2 . S 1 = m 2 u − m 2 v 2 = m 2  1 1 m + m 2     1

Atlikę  nesud ėtingus matematinius skai čiavimus gausime sm ūgio impulsą , veikiantį  pirmosios fazės laikotarpiu: S 1 =

m1 m 2 (v1 − v 2 ) . m1 + m 2

(229)

Antrosios smūgio fazės metu, kai veikiant tamprumo j ėgoms kūnų  geometrinės formos atsikuria, jų  masių  centrai, fazės pradžioje tur ė ję  vienodus grei čius u , į gyja gyja greičius u1 ir u 2 . Užrašykime antrosios faz ės laikotarpiui sm ūgio impulsų  reikšmes kiekvienam k ūnui atskirai: m1u1 − m1u = − S 2′ ,   m 2 u 2 − m 2 u = S 2 .

(230)

Laikydami, kad sm ūgio atsistatymo koeficientas pagal (216) formul ę  lygus ne tik grei čių , bet ir antrosios faz ės smūgio impulso santykiui su pirmosios faz ės smūgio impulsu, t. y. S  k  = 2 , galime užrašyti, kad S 2 = k ⋅ S 1. Tuomet smūgio impulsų  teoremos išraiška bus S 1 tokia: m1u1 − m1u = −k ⋅ S 1′ , (231)   m2 u 2 − m 2 u = k ⋅ S 1 . Padaliję (228) lygtis iš (231) lyg čių , gausime: m 2 u 2 − m 2 u kS 1 m1u1 − m1u k S 1′ = = ir . m1u − m1v1 S 1′ m 2 u − m 2 v 2 S 1

Atlikę matematinius veiksmus, tur ėsime dvi atsistatymo koeficiento išraiškas: k  =

u1 − u u −u ir k  = 2 , u − v1 u − v2

iš kurių galime rasti k ūnų greičius po sm ūgio, t. y.  u1 = u + k (u − v1 ),  u 2 = u + k (u − v 2 ),

130

(232)

arba galiausiai tur ėsime:  u1 = u (1 + k ) − kv1 ,  u 2 = u (1 + k ) − kv 2 .

(233)

Įvertinę  kūnų  bendro grei čio reikšmę  u pirmosios fazės pabaigoje pagal (227) formul ę  ir atlikę  nesudėtingus skaičiavimus, gausime, kad po sm ūgio kūnų  greičiai bus:

m2  ( ) (v − v ), u = v − + k  1 1 1  m1 + m 2 1 2  m1 u 2 = v 2 + (1 + k ) (v − v ).  m1 + m 2 1 2

(234)

Iš formulių  (233) galime rasti grei čių  skirtumą  u 2 − u1 = −kv 2 + kv1 = k (v1 − v 2 ), iš kurio gausime galutin ę  atsistatymo koeficiento reikšm ę : k  =

u 2 − u1 . v1 − v 2

(234 a)

Galime padaryti išvad ą , kad dviej ų  kūnų  smūgio atsistatymo koeficientas lygus j ų  reliatyvių  jų  greičių prieš ir po sm ūgio santykiui. Iš smūgio pagrindinės lygties (205) galime užrašyti sm ūgio impulsą , kuris veikia kiekvieną  kūną per visą  smūgio laikotarpį , pavyzdžiui, antrajam k ūnui: m 2 u 2 − m 2 v 2 = S .

(235)

Žinodami iš (234) formul ės antrojo kūno greitį  po smūgio, iš (235) formul ės galime rasti visą  smūgio impulsą , veikiantį  kiekvieną kūną smūgio metu:   m1 mm (v1 − v 2 ) − v 2  = (1 + k ) 1 2 (v1 − v 2 ). S  = m 2 (u 2 − v 2 ) = m 2 v 2 + (1 + k ) m1 + m 2 m1 + m 2  

Taigi gavome sm ūgio impulso, kuris veikia kiekvieną kūną  smūgio metu, reikšm ę : S  = (1 + k )

m1 m 2 (v − v ). m1 + m 2 1 2

(236)

Gavome skai čiavimo formules, kurias taikant galima rasti pagrindini ų  smūgio charakteristikų dydžius. iai netampr ų  Pavyzdžiui, jeigu turime absoliuč iai ų  smūgį, kurio atsistatymo koeficientas k  = 0 , tai iš (234) formuli ų rasime kūnų greičių reikšmes po sm ūgio: 131

m2 m1v1 + m 2 v 2  ( ) u = v − v − v = = u, 1 1 1 2  m1 + m 2 m1 + m 2  m1 m v + m2 v2 u 2 = v 2 + (v1 − v 2 ) = 1 1 = u.  m1 + m 2 m1 + m 2

(237)

Galime padaryti išvad ą , kad jeigu sm ūgis yra absoliu čiai netamprus, tai jo pabaigoje k ūnų  greičiai bus vienodi ir k ūnai judės kartu. Šiuo atveju sm ūgio impulso reikšm ė, išreikšta (236) formule, bus skai čiuojama pagal toki ą formulę : S  =

m1 m 2 (v − v ). m1 + m 2 1 2

(238)

 Absoliuč iai iai tampraus smūgio atveju, kai atsistatymo koeficientas k  = 1 , kūnų  greičių  reikšmės po sm ūgio randamos iš (234) pagal tokias t okias formules:

2m 2  u = v −  1 1 m + m (v1 − v 2 ), 1 2  m1 2 u 2 = v 2 + (v − v ),  m1 + m 2 1 2

(239)

o smūgio impulso reikšm ė gali būti skaičiuojama pagal toki ą formulę : S  =

2m1 m 2 (v − v ). m1 + m 2 1 2

(240)

Matome, kad sm ūgio impulsas, kai sm ūgis absoliučiai tamprus, bus du kartus didesnis, negu tuo atveju, kai sm ūgis absoliučiai netamprus. Tai paaiškinama tuo, kad prie sm ūgio impulso deformacijos faz ės prisideda sm ūgio impulsas deformacijai atkurti. Kai smūgis absoliučiai tamprus ( k  = 1 ) ir kai kūnų  masės yra vienodos ( m1 = m 2 = m ), iš (239) gausime, kad u1 = v 2 ir u 2 = v1 , t. y. kūnai „apsikei čia“greičiais.

4.6. Karno teorema Kai smūgis nėra absoliučiai tamprus, kūnų  sistemos kinetin ė energija po sm ūgio yra mažesnė negu prieš sm ūgį , nes dalis k ūnų  kinetinės energijos virsta šilumine energija ir yra r r sunaudojama k ūnams virpinti. Tod ėl kūno greitis u po smūgio bus mažesnis už jo greit į  v iki smūgio. Vadinasi, ir po tampriojo, ir po plastiškojo sm ūgio kūnų kinetinė energija maž ė ja. Kai smūgis tiesus, centrinis ir plastiškasis, k ūnų  sistemos kinetinė energija prieš sm ūgį : m1 v12 m 2 v 22 T 0 = + , 2 2

po smūgio: 132

(241)

1 T  = (m1 + m 2 )u 2 ; 2

(242)

čia m1 ir m 2 – kūnų  masės; v1 ir v 2 – kūnų  greičiai prieš sm ūgį ; u – bendras k ūnų  greitis į vykus vykus smūgiui. Dėl smūgio prarastos kinetin ės energijos dydis gali b ūti rastas kaip energij ų  skirtumas, t. y. ∆T  = T 0 − T .

(243)

ę  į  bendr ą  ją  kūnų  greičio išraišką  (227) pirmosios faz ės pabaigoje po nedideli ų  Atsižvelgę į  matematinių perskai čiavimų gausime, kad ∆T  =

1 1 m1 (v1 − u )2 + m 2 (v 2 − u )2 . 2 2

(244)

iais, jie nustato, kiek sumaž ė jo Skirtumai (v1 − u ) ir (v 2 − u ) vadinami  prarastais greič iais kūnų  greičiai smūgio metu. Išvesta formul ė (244) yra Karno teoremos matematin ė išraiška:  plastiškojo sm ūgio metu prarasta metu prarasta k ūnų  kinetinė energija lygi tai energijai, kuri ą k ūnai tur ėt ų  ų ,   jud ėdami prarastais greič iais. iais. Pavyzdžiui, jeigu mas ės m1 kūnas, judė ję s greičiu v1 , atsitrenka į  m 2 masės nejudantį  kūną , tai bendras k ūnų greitis po plastiškojo sm ūgio bus: u=

m1v1 . m1 + m 2

Abiejų  kūnų sistemos kinetin ė energija prieš sm ūgį : 1 T 0 = m1 v12 , 2 po smūgio m1 1 1 T  = (m1 + m 2 )u 2 = ⋅ v12 . 2 2 m1 + m 2

Taigi gauname galutin ę kinetinės energijos išraišk ą : T  =

m1 m1 + m 2

T 0 .

(245)

Galime teigti, kad jeigu sm ūgiuojančio kūno masė m1 yra daug didesn ė už kūno, į  kurį  smūgiuoja, masę  m 2 , t. y. m1 >> m 2 , tai iš formul ės (245) matyti, kad T  ≈ T 0 . Iš čia išplaukia, kad po sm ūgio sistema juda, tur ėdama beveik t ą  pačią  kinetinę  energiją , kaip ir prieš smūgį . Taip smogti patariama kalant vin į  arba polius. Pavyzdžiui, dyzelinio k ū jo, kuriuo 133

kalamos sijos į  gruntą , masė turi būti kuo didesn ė tam, kad sija nesideformuot ų . Arba, jei kūno, esan čio rimties būsenos, masė m2 daug didesn ė už smūgiuojančią  masę  m1 , t. y. m 2 >> m1 , iš formulės (245) gausime, kad T  ≈ 0 . Galime padaryti išvad ą , kad beveik visa  judančio kūno kinetinė energija sunaudojama k ūnams deformuoti. Tod ėl priekalas ir kalamoji detalė turi būti gerokai sunkesni nei k ū jis. Tada visa kū jo kinetinė energija bus sunaudota kalamai detalei deformuoti.

4.7. Smūgio jėgos poveikis besisukančiam apie nejudamą ją ašį kūnui Tarkime, kad standusis k ūnas sukasi apie nejudam ą  ją  ašį  Oz. Tuo momentu, kai kampinis greitis buvo ω0 , kūną  veikė išorinis smūgio impulsas. Užrašysime kūno kinetinio momento teorem ą : n

r

 L z − L0 z = ∑ M  z (S k i ), k =1

pagal kurią  kinetinio momento pokytis sukimosi ašies atžvilgiu sm ūgio atveju lygus vis ų  išorinių smūgio impulsų momentų geometrinei sumai tos pa čios ašies atžvilgiu. Žinome, kad pagal (28) esant sukamajam jud ė jimui standžiojo k ūno kinetinis momentas sukimosi ašies atžvilgiu lygus k ūno inercijos momento sukimosi ašies atžvilgiu ir k ūno kampinio grei čio sandaugai. Tuomet kinetinio momento teorem ą galime užrašyti taip: n

r

 I  z ω − I  z ω 0 = ∑ M  z (S k i ); k =1

iš čia gausime: n

ω − ω0 =

 M  z (S k i ) ∑ k  1 =

 I  z

.

(246)

Padarome išvad ą , kad besisukan čio apie nejudam ą  ją  ašį  standžiojo kūno kampinio grei čio pokytis, kai veikia išorinis sm ūgio impulsas, lygus sm ūgio impulsų  momentų  sumai sukimosi ašies atžvilgiu, padalytai iš k ūno inercijos momento tos pa čios ašies atžvilgiu.

4.8. Smūgio centras Turime kietą  jį  kūną , galintį  suktis apie aš į  Oz, kuri yra statmena br ėžinio plokštumai. Ši ą  plokštumą laikome kūno simetrijos plokštuma. K ūno masės centras taške C (60 pav.). r Tarkime, kūno simetrijos plokštumoje k ūną  veikia smūgio impulsas S , kurio poveikį  patiria visi kūno taškai, taip pat k ūno guolių  į tvirtinimo tvirtinimo taškai. Nustatysime s ą lygas, lygas, kada kūną  veikiantis smūgis nebus perduotas k ūno guoliams. Parenkame tašk ą  O kaip koordinačių  pradžią ir nukreipiame ašis Ox ir Oy taip, kad ašis Ox eitų per kūno masės centrą C .

134

 y O

ω

C 

uC 

h

r

r

S   x 60 pav. Smūgio centras

Tariame, kad prieš sm ūgį  kūnas nejud ė jo, t. y. jo kampinis greitis ω 0 = 0 . Po smūgio impulso poveikio sm ūgio pabaigoje k ūnas į gijo gijo kampinį  greitį  ω , o kūno masės centras į gijo gijo linijinį  greitį  u C  = ω ⋅ r , kuris esant sukamajam jud ė jimui yra statmenas judė jimo spinduliui arba lygiagretus su ašimi Oy. Taikydami formulę  (210), užrašysime k ūnui judesio kiekio teoremos išraišką  smūgiui: r

r

r

 M u C  = S  + S O ;

(247)

r

čia S  – k ūną  veikiantis sm ūgio impulsas, kurio projekcijos į  koordinačių  ašis yra S  x ir S  y ; r

S O – kūno guolių  reakcijos sm ūgio impulsas, veikiantis k ūno simetrijos plokštumoje, kurio projekcijos į  koordinačių  ašis yra S Ox ir S Oy ; M – kūno masė.

Projektuodami į  koordinačių ašis teoremos išraišk ą (247), gausime:  0 = S  x + S Ox ,  Mu = S  + S  .  y Oy  C  r

Pagal są lyg lygą  guolių  reakcijos sm ūgio impulsas yra lygus nuliui, t. y. S O = 0 . Tuomet gausime, kad ir jo projekcijos S Ox = S Oy = 0. Galime užrašyti:  S  x = 0, S  = Mu . C    y

Iš čia išplaukia, kad sm ūgis turi būti nukreiptas statmenai ašiai Ox, t. y. statmenai tiesei, kuri jungia kūno sukimosi aš į  ir jo masės centrą . Tuomet smūgio impulso projekcija į  Oy ašį  bus lygi sm ūgio impulsui, t. y. 135

S  y = S  = Mu C .

Atsižvelgę  į  tai, kad masės centro greitis u C  = ω ⋅ r , gausime tokio pavidalo sm ūgio impulso reikšmę : S  = M ωr . (248) Pagal (246) užrašysime besisukan čio apie nejudam ą  ją  ašį  kūno kampinį  greitį  sukimosi ašies atžvilgiu po sm ūgio impulso poveikio, tardami, kad sm ūgio pradžioje k ūnas nejud ė jo. Turėsime: n

r

∑ M  z (S k i ) ω=

k =1

 I  z

=

S ⋅ h ;  I  z

(249)

čia  I  z – kūno inercijos momentas apie sukimosi aš į ; h – atstumas nuo k ūno pakabinimo vietos iki smūgio impulso veikimo ties ės. Iš (249) formulės gauname:

h=

 I  z ω  I  z ω  I  z . = = S   M ωr   Mr 

Vadinasi, ties ė, kuria kūną  veikia smūgio impulsas, turi b ūti nutolusi nuo k ūno sukimosi ašies atstumu:  I  h =  z . (250)  Mr  Tašką  K , esantį  šios tiesės ir Ox ašies sankirtos taške, vadiname smūgio centru. Dirbantys su k ū jais, plaktukais ir kitais smogiamaisiais į rankiais rankiais žmonės renkasi tokio dydžio į rankio rankio kot ą , kad neb ūtų  smūgio impulso reakcijos į  ranką . Teniso raket ė yra sukonstruota taip, kad taisyklingai mušant kamuoliuk ą , pataikius į tinkliuko centrą , są nariuose nariuose nebūtų  jaučiama smūgio reakcija. K 

1 l 2

C 

2 l 3

l

ω

61 pav. Strypo smūgio centras

136

O

Apskai čiuosime homogeninio tiesaus strypo OA, kurio ilgis l, smūgio centrą  (61 pav.).  Ml 2 Jeigu strypo inercijos momentas  I  z = , o masės centras strypo vidurio taške C , tai 3 atstumas iki sm ūgio centro randamas pagal (250) formul ę :  Ml 2  I  2 OK  =  z = 3 = l.  Mr  ⋅ M  ⋅ 1 3 2

2 l nuo sukimosi ašies, t. y. jeigu sm ūgio metu strypo 3 kontakto su paviršiumi vieta bus taškas K , tai strypą laikanti ranka nepajus sm ūgio poveikio. Strypo smūgio centras yra atstumu

137

5.

SVYRAVIMAI

Svyravimai – tai jud ė jimas, kurio vaidmuo inžinerijoje itin svarbus. Mašin ų , transporto priemonių , mechanini ų  prietaisų  ir mechanizmų  judė jimas visada susij ę s su svyravimais. Kai svyravimai viršija leidžiam ą sias sias ribas, gali prasid ėti mechanizmo arba konstrukcijos irimas. Tačiau tam tikrų  mechanizmų  funkcionavimas yra pagr į stas stas tik svyravimo reiškiniu (pavyzdžiui, betono plakimo vibratoriai). Tod ėl svarbu žinoti svyruojan čių  objektų  charakteristikas ir priežastis, kurios sukelia svyravimus. Svyravimo procesams yra b ūdinga, kad objekto jud ė jimas yra kartotinis, t. y. po tam tikro laiko, kuris vadinamas  periodu, visos judė jimo charakteristikos pasikartoja. pasikartoja. Svyravimo teorija nagrin ė jama specialiojoje literat ūroje, todėl apsiribosime papras čiausių  svyravimo proces ų  analize. Nagrinėsime materialiojo taško tiesiaeigius svyravimus d ėl atstatomosios j ėgos poveikio. Tarp jėgų , veikiančių  materialų  jį  tašką , ypač svarbios yra atstatomosios jėgos, kurios, veikdamos tašk ą , priverčia jį  grį žti žti į  pusiausvyros pad ėtį . Šių  jėgų  reikšmės priklauso nuo taško nukrypimo nuo pusiausvyros pad ėties ir yra nukreiptos šiam nukrypimui priešinga kryptimi. Šių  jėgų  atsiradimo priežastys yra į vairios. vairios. Pavyzdžiui, atstatomoji j ėga atsiranda dėl spyruoklės standumo ir deformavimosi krypties kr ypties (62 pav.).

 x

a)  x

O

 x

b) − x

O

62 pav. Spyruoklės atstatomoji jėga

Atstatomoji jėga proporcinga poslinkiui arba spyruokl ės deformacijai, t. y. F  = c ⋅  x ;

(251)

čia c – spyruoklės standumo koeficientas. Atstatomosios j ėgos projekcija į  ašį  Ox 62 pav., a, pavaizduotu atveju lygi: l ygi:

F  x = − F  = −c ⋅ x,

(252)

F  x = F  = c ⋅ (− x ) = −c ⋅ x.

(253)

o 62 pav., b, pavaizduotu atveju:

138

Pavyzdžiui, ponton ą vandenyje (63 pav.) veikia vandens Archimedo j ėga, kuri šiuo atveju yra atstatomoji j ėga, nes yra nukreipta poslinkiui priešinga kryptimi. kr yptimi.  x O

r

F 

 x

63 pav. Vandens atstatomoji jėga

Dėl atstatomosios j ėgos poveikio materialusis taškas juda apie pusiausvyros pad ėtį  viena kryptimi, sustoja ir tuomet juda priešinga kryptimi. V ėliau judė jimas kartojasi. Matome, kad vyksta materialiojo taško svyravimai apie pusiausvyros pad ėtį . Jeigu judė jimas vyksta besipriešinančiojoje aplinkoje, tai tašk ą  be atstatomosios j ėgos veiks ir pasipriešinimo j ėga, kurį  priklauso nuo besipriešinan čios aplinkos ir taško jud ė jimo greičio. Judant į  tašką  gali veikti ir žadinan čios jėgos, suteikian čios šiam taškui papildom ų   judė jimo impulsų . Visais atvejais taško jud ė jimas aprašomas diferencialinėmis lygtimis, kuri ų  sprendimas ir yra taško jud ė jimo analizė. Pagal veikiančių  jų jėgų poveikį  materialiojo taško svyravimai skirstomi į : 1) laisvuosius; 2) gę stan stančiuosius; 3) priverstinius nesant slopinimui; 4) priverstinius esant slopinimui.

5.1. Laisvieji svyravimai Tarkime, materialusis mas ės m taškas, prikabintas prie neištemptos c standumo spyruokl ės galo (62 pav.), yra statin ės pusiausvyros pad ėtyje. Pastūmus šį  tašką  iš pusiausvyros pad ėties atstumu  x, spyruokl ė je atsiranda atstatomoji r  jėga F , kurios projekcija į  Ox ašį  pagal (252) arba (253) tur ės tokią reikšmę : F  x = −c ⋅ x.

Užrašysime šiam taškui diferencialin ę judė jimo lygtį : d 2 x m 2 = F  x , dt 

arba d 2 x m 2 = −c ⋅ x. dt 

139

Iš čia gausime toki ą išraišką : d 2 x c +  x = 0, dt 2 m

arba, pažym ė ję teigiamą  jį  dydį : c = k 2 , m

(254)

d 2 x 2 + k   x = 0. dt 2

(255)

galiausiai gausime:

Turime tiesinę  antrosios eiles diferencialin ę  lygtį  su pastoviaisiais koeficientais ir be laisvojo nario, kuri vadinama laisvų  jų  svyravimų  diferencialine lygtimi . Iš tiesinių  diferencialinių  lygčių  teorijos žinoma, kad šios lygties bendrasis sprendinys atitinka toki ą  išraišką :  x = C 1 cos kt + C 2 sin kt .

(256)

Pirmoji (256) lygties išvestin ė rodo taško greit į : v = −C 1 k sin kt + C 2 k cos kt .

(257)

Įrašę į  ę  į  judė jimo lygtį  (256) greičio bendrą  ją  išraišką  (257) ir judė jimo pradines s ą lygas, lygas, t. y. kai t = 0, taško padėtį  x0 ir greitį  v 0 , gauname:

C 1 = x 0 ,

v 0 = C 2 k ;

iš čia C 2 =

v0 . k 

Įvertinę  rastų  konstantų  reikšmes, gausime diferencialin ės lygties (255) sprendimo išraišką :

 x = x 0 cos kt +

v0 sin kt . k 

(258)

Jeigu laikysime, kad rastas konstantas C 1 ir C 2 galima išreikšti kitais pastoviais parametrais, pavyzdžiui, a ir α , t. y. C 1 = a sin α ir C 2 = a cos α, tai diferencialinės lygties (255) sprendimo išraiška bus tokia:  x = a sin (kt + α );

140

(259)

čia a ir α yra pastovūs dydžiai. Gautoji išraiška (259) yra harmonini ų  svyravimų  lygtis. Todėl, galime padaryti išvad ą , kad, veikiant atstatomajai j ėgai, kuri proporcinga atstumui nuo taško iki traukos centro, tiesiaeigiškai judan čio materialiojo taško svyravimai bus harmoniniai. Dydis a, t. y. taško didžiausias nuotolis nuo pusiausvyros pad ėties, vadinamas svyravimų  amplitude. Argumentas (kt + α ) vadinamas svyravimų  faze, o dydis α vadinamas  pradine svyravimų  faze (fazės reikšmė pradiniu laiko momentu, t. y. kai t = 0 ). Matome, kad harmoninių  svyravimų  grafikas yra sinusoid ė (64 pav.), kurios dviej ų  amplitudžių  dydis 2a yra vadinamas svyravimų  juosta.

 x T  a α

2a

t 

a

64 pav. Laisvieji svyravimai

Materialiojo taško greitis, kai jo svyravimai yra harmoniniai, randamas kaip pirmoji  judė jimo dėsnio išvestinė: v=

dx = ak cos(kt + α ). dt 

(260)

Išvestinės ženklas rodo taško jud ė jimo kryptį  konkrečiu laiko momentu. Svyravimo amplitudę  a ir pradinę  fazę  α randame pagal jud ė jimo pradines s ą lygas. lygas. Tegul pradiniu laiko momentu t = 0 taškas  M  yra padėtyje  x0 ir jo greitis šitame taške yra v 0 . Iš (259) ir (260) formulių , kai t = 0 , turėsime:  x 0 = a sin α ir v0 = ak cos α.

Iš čia po nesud ėtingų  matematinių skaičiavimų  gausime svyravim ų amplitudės ir pradinės fazės reikšmes: v02 a =  x + 2 k  2 0

ir

tgα =

kx 0 . v0

(261)

Rasime svyravim ų  periodą  T , t. y. mažiausi ą  laiko tarpą , kuriam praė jus taškas sugrį žta žta į  tą  pačią  padėtį  ir tuo pačiu greičiu. Sinuso ir kosinuso periodas yra 2π . Todėl, praė jus 141

laikotarpiui T , svyravimų  fazė didė ja dydžiu 2π. Galime užrašyti dviej ų  artimų  fazių  skirtumą : k (t + T ) + α − (kt + α ) = 2π,

iš čia rasime svyravim ų  periodą : T  =

2π . k 

(262)

k  =

2π . T 

(263)

Galime užrašyti:

Iš paskutinės formulės daroma išvada, kad dydis k  lemia svyravimų , kuriuos taškas atlieka per 2π seku sekund ndes es,, ska skaii čių . Dydis k  vadinamas ciklinių  svyravimų  dažniu. Ciklinį  svyravimų  dažnį  padalysime iš 2π sekundžių , gausime svyravim ų  skai čių  per vieną  sekund ę , arba dažnį hercais (Hz), t. y.  f  =

k  . 2π

(264)

Palyginę  (262) ir (264) formules, galime padaryti išvad ą , kad svyravim ų  dažnis hercais yra atvirkštinis svyravim ų periodui, t. y.  f  =

1 . T 

(265)

Iš (254) galime užrašyti, kad ciklinis dažnis skai čiuojamas pagal formul ę : k  =

c . m

(266)

Matome, kad ciklinis dažnis priklauso nuo spyruokl ės standumo ir svyruojan čio taško masės. Šis dydis taip pat vadinamas svyravimų  savuoju dažniu. Iš (262) formulės gausime: T  =

2π m = 2π . k  c

Galime teigti, kad svyravim ų  periodas nepriklauso nuo pradini ų judė jimo są lyg lygų .

142

5.2. Gęstantieji svyravimai r

Kai taško svyravimai vyksta besipriešinan čioje aplinkoje, be atstatomosios j ėgos F  ,  judantį  tašką  veikia dar ir aplinkos pasipriešinimo j ėga, kuri esant mažiems jud ė jimo greičiams yra proporcinga šiam grei čiui. r Tarkime, judant į  tam tikroje aplinkoje grei čiu v materialų  jį  tašką  (65 pav.) veikia r r atstatomoji jėga F  ir aplinkos pasipriešinimo j ėga  R, nukreipta priešinga taško jud ė jimui kryptimi, kurios dydis proporcingas grei čiui: r

r

 R = −µ ⋅ v ;

(267)

čia µ – aplinkos klampumo koeficientas.

r

r

 R

F 

r

v

 x

O  x 65 pav. Svyravimai esant pasipriešinimui

Užrašome taško diferencialin ę  judė jimo lygtį projekcijų į  ų į  ašį  Ox pavidalu: d 2 x m 2 = − F  x − R x . dt  Įvertinę  jėgų reikšmes ir tai, kad grei čio projekcija skai čiuojama kaip pirmoji jud ė jimo dėsnio išvestin ė, turėsime:

d 2 x dx m 2 = −cx − µ . dt  dt 

Po nesudėtingų  matematinių veiksmų gausime materialiojo taško gęstanč ių  jų  svyravimų  diferencialinę lygt į: d 2 x dx + + k 2 x = 0; 2 n 2 dt  dt  čia 2n =

µ

(268)

. m Diferencialinės lygties išraiška ir sprendinys priklauso nuo slopinimo atvejo. Galimas: a) mažo slopinimo atvejis, kai n < k ; b) didelio slopinimo atvejis, kai n > k ; c) kritinio slopinimo atvejis, kai n = k . 143

Nagrinėsime sprendimą  kiekvienam slopinimo atvejui: a) mažo slopinimo atvejis, kai n < k . Pagal diferencialini ų  lygčių  sprendimo teoriją  šiuo atveju diferencialin ės lygties (268) bendrasis sprendinys tur ės tokią išraišką :  x = ae − nt  sin (k 1t  + α );

(269)

čia ciklinis svyravim ų dažnis turės tokią išraišką :

k 1 = k 2 − n 2 .

(270)

Matome, kad k 1 < k , t. y. galime padaryti išvad ą , kad esant gęstantiesiems svyravimams  pasipriešinimo jėga mažina svyravim ų  ciklinį dažnį. Pagal gę stan stančių  jų  svyravimų  judė jimo bendr ą  jį  lygtį  (269) galime padaryti išvad ą , kad ši lygtis skiriasi nuo laisv ų  jų  harmoninių  svyravimų  judė jimo lygties daugikliu e − nt  . Tai reiškia, kad nagrinė jamas judė jimo atvejis yra svyravimas apie centr ą  O. Tačiau šių  svyravimų  mojai, t. y. maksimal ūs nuokrypiai viena arba kita kryptimi nuo taško O, nėra pastovieji dydžiai; iaisiais. Šių  svyravim ų  laikui bėgant jie maž ė ja. Todėl šie svyravimai ir vadinami gęstanč iaisiais grafikas parodytas (66 pav.).  x

T  ai −1

ai +1

α

t 

ai

stančių  jų  svyravimų  grafikas 66 pav. Gę stan

Pagrindinės gę stan stančių  jų svyravimų charakteristikos: – amplitud ė, kurios dydis randamas pagal formul ę :

(v 0 + nx 0 )2 , a =  x + 2 k 1

(271)

 x 0 k 1 , v0 + nx 0

(272)

2 0

– pradinė fazė, kuri nustatoma taip: tgα =

144

– svyravimų  periodas: T  R =

2π . k 1

(273)

Pertvarkę paskutinę išraišką , turėsime: T  R =

2π 2π = = 2 2 k 1 k  − n

2π 2

k  1 −

n k 2

.

Įvertinę tai, kad laisv ų  jų  harmoninių svyravimų periodas T  =

T  R =

1 2

1−

n k 2

2π , gausime: k 

T .

Iš čia išplaukia išvada, kad T  R > T , t. y. pasipriešinimo j ėga didina svyravim ų periodą . Vieno gę stan stančių  jų  svyravimų  periodo dviejų  vienos krypties gretim ų  amplitudžių  (66 pav.) santykis vadinamas g ę stan stančių  jų  svyravimų dekrementu:  D =

a i +1 . a i −1

(274)

i šraišk ą , galime užrašyti: Įvertinę diferencialinės lygties (268) bendrojo sprendinio išraišk a i +1 ae − n (t +T  R ) sin (k 1t + α + 2π) e − nt e −nT  R  D = = = = e − nT  R , − nt  − nt  ai −1 ae sin (k 1t + α ) e

t. y. gę stan stančių  jų svyravimų dekrementas tur ės tokią reikšmę :  D = e − nT  R .

(275)

Iš čia išplaukia, kad g ę stan stančių  jų  svyravimų  amplitudė mažė ja pastoviuoju, vienodu dydžiu, arba, kitaip sakant, kinta pagal geometrin ės progresijos dėsnį . Praktikoje dažnai taikoma ir kita charakteristika, apib ūdinanti laisvų  jų  svyravimų  silpimo spartumą , tai logaritminis gęstanč ių  jų  svyravimų  dekrementas: λ = ln D = nT  R .

145

(276)

b) didelio slopinimo atvejis, kai n > k . Svyravimo diferencialini ų lygčių  sprendinys tur ės tokį  pavidalą :  x = e −nt  C 1e

n 2 − k 2 t 

+ C 2 e −

n 2 − k 2 t 

t .

(277)

c) kritinio slopinimo atvejis, kai n = k . Svyravimo diferencialini ų lygčių  sprendinys tur ės tokį  pavidalą :  x = e − nt  (C 1 + C 2 t ).

(278)

Integravimo konstantos randamos pagal pradines jud ė jimo są lygas, lygas, o svyravimo grafikai gali būti tokie (67 pav.): 1)  x0 > 0 ir v0 > 0,  x

1

2)  x0 > 0 ir v0 ≤ 0, 3)  x0 > 0 ir v0 << 0.

 x0

2

3

67 pav. Didelių  slopinimų  grafikai

Pradiniu momentu taškas yra iškeltas į  padėtį   x0 > 0 ir jam suteiktas pradinis greitis v 0 . Taško judė jimas priklauso nuo greičio krypties ir dydžio. Jeigu taško greitis sutampa su  judė jimo kryptimi, tai taškas pradžioje nutolsta nuo rimties pad ėties, o vėliau, veikiant atstatomajai jėgai, laipsniškai art ė ja prie šios padėties (67 pav. 1 kreiv ė). 2 ir 3 judė jimo kreivės atitinka atvej į , kai taško pradinis greitis nesutampa su jud ė jimo kryptimi. Matome, kad, esant dideliam pradiniam grei čiui, taškas gali pereiti per rimties pad ėtį , o vėliau laipsniškai gr į žti žti į pusiausvyros pad ėtį .

5.3. Priverstiniai svyravimai nesant slopinimui Kai svyruojant į  materialų  jį  tašką  papildomai veikia periodiškai kintanti j ėga, turėsime taško priverstinius svyravimus. Tokia j ėga vadinama  žadinanč ią ja, turinčia svyravimo amplitudę , dažnį  ir pradinę  fazę . Tokia situacija pasitaiko technikoje tais atvejais, kai, pavyzdžiui, besisukan čio veleno mas ės centras n ėra sukimosi ašyje (68 pav.). 146

δ r

F 

O

ϕ ωt 

C 

r

r

Φn r

Q

an  x 68 pav. Žadinančioji jėga Q esant kūno priverstiniams svyravimams

Kai velenas sukasi pastoviuoju kampiniu grei čiu ω , masės centro C  normalinis pagreitis a n = ω 2 r  bus nukreiptas į  trajektorijos vidų . Pagal d’Alambero princip ą  normalinė inercijos  jėga Φ n = ma n nukreipta į  priešingą  pagrei čiui pusę . Šios jėgos projekcija į  ašį  Ox nustatoma taip: Φ nx = Φ n sin ϕ = Φ n sin (ωt  + δ ) = mω 2 r ⋅ sin (ωt  + δ),

arba, kitaip tariant, horizontali ą  ja kryptimi kūną  veikia žadinan čioji jėga, kurios bendroji išraiška bus tokia: Q = H sin (ωt  + δ);

(279)

čia  H  = mω 2 r  – žadinančiosios jėgos amplitudė; δ – žadinan čiosios jėgos veikimo pradin ė 2π fazė; ω – žadinančiosios jėgos ciklinis dažnis. Žadinan čiosios jėgos periodas T  = . ω

Žadinančioji jėga Q priverčia kūną  pasislinkti horizontali ą  ja kryptimi, tai sukelia spyruokl ės deformacij ą , todėl spyruoklė je atsiranda atstatomoji atstatomoji j ėga F  = −cx . Užrašysime k ūno diferencialinę  judė jimo lygtį : d 2 x m 2 = F  x + Q, dt 

rašysime visų  jėgų reikšmes. Gausime: į  kurią į  ą  į rašysime d 2 x m 2 = −cx + H sin (ωt + δ ). dt 

Po nesud ėtingų  matematinių  pertvarkym ų  gausime tokio pavidalo priverstini ų  svyravim ų  nesant slopinimui diferencialin ę  lygtį : d 2 x + k 2 x = h sin (ωt  + δ); 2 dt 

147

(280)

 H  . m Iš tiesinių  diferencialinių  lygčių  teorijos yra žinoma, kad lygties (280) piln ą  sprendinį   d 2 x   sudarys diferencialin ės lygties be dešiniosios dalies  2 + k 2 x = 0  bendrasis sprendinys ir   dt    čia h =

lygties dalinis sprendinys, t. y.  x = x1 + x 2 .

(281)

Bendrasis sprendinys yra laisv ų  jų harmoninių svyravimų lygtis:  x1 = a sin (kt + α ).

(282)

Diferencialinės lygties (280) dalinis sprendinys turi tok į  pavidalą :  x 2 =  A sin (ωt + δ).

(283)

d 2 x 2 = − Aω 2 sin (ωt  + δ ) ir į rašysime Rasime (283) lygties antr ą  ją  išvestinę  rašysime visus 2 dt  dydžius į (280) diferencialin ę lygtį . Gausime: −  Aω 2 sin (ωt + δ) +  Ak 2 sin (ωt + δ) = h sin (ωt  + δ).

Išsprendę  gautą  lygtį , turėsime: −  Aω 2 +  Ak 2 = h;

iš čia rasime priverstinių  svyravimų  amplitud ę:  A =

h k 2 − ω 2

.

(284)

Tuomet dalinio lygties (283) sprendinio išraiška bus tokia:  x 2 =

h k 2 − ω 2

sin (ωt  + δ ).

(285)

Taigi priverstinių  svyravimų  nesant slopinimui diferencialin ės lygties pilno sprendinio galutinė išraiška bus tokia:  x = a sin (kt + α ) +  A sin (ωt + δ).

(286)

Galima pastebėti, kad šiuo atveju k ūno svyravimai bus sud ėtiniai, juos sudarys laisvieji 148

harmoniniai ir priverstiniai harmoniniai svyravimai. Iš bendrojo sprendinio išplaukia išvada, kad priverstini ų  svyravimų  dažnis ω ir 2π priverstinių  svyravimų  periodas T ω = sutampa su žadinan čiosios jėgos keitimosi dažniu ir ω

periodu. Priverstiniai svyravimai, kai svyravim ų  dažnis mažesnis nei laisv ų  jų  svyravimų  dažnis (ω < k ) , vadinami mažo dažnio priverstiniais svyravimais . Priverstiniai svyravimai, kai svyravim ų  dažnis didesnis nei laisv ų  jų  svyravimų  dažnis (ω > k ) , vadinami didelių  dažnių  priverstiniais svyravimais. Nagrinėsime pagrindinius priverstini ų  svyravimų  parametrus:  fazę , amplitud ę , plakimą , rezonansą.

5.3.1. Priverstinių svyravimų fazė Esant mažo dažnio priverstiniams svyravimams, kai ω < k , pagal (285) gausime toki ą  priverstinių svyravimų lygtį :  x2 =

h k 2 − ω2

sin (ωt + δ) ,

svyravimų  fazė sutampa su žadinan čiosios jėgos faze. Priverstini ų  svyravimų  amplitudę  randame pagal (284) formul ę :  A =

h k 2 − ω 2

.

Jeigu ω > k , t. y. jeigu priverstiniai svyravimai yra didelio dažnio, priverstini ų  svyravim ų  h lygtį   x 2 = 2 sin (ωt + δ) pertvarkysime, nes šiuo atveju svyravim ų  amplitudė yra k  − ω 2 neigiama.  x 2 =

h k 2 − ω

sin (ωt + δ) = − 2

h ω 2 − k 2

sin (ωt + δ) =

Dabar turime priverstini ų  svyravimų  teigiamą  amplitudę   A =

h ω 2 − k 2

h ω 2 − k 2

sin(ωt + δ + π).

, ta t ačiau svyravimų 

fazė (ωt + δ + π) skiriasi nuo žadinan čiosios jėgos fazės (ωt + δ) dydžiu π . Tai reiškia, kad priverstinių svyravimų ir žadinančiosios jėgos fazės yra priešingos. Taigi galime padaryti išvad ą , kad, esant priverstiniams svyravimams mažu dažniu  judantis taškas visada pradeda jud ėti koordinačių  ašyje ta kryptimi, kuria tuo momentu yra nukreipta žadinan čioji jėga. Kai priverstiniai svyravimai yra didelio dažnio, judantis taškas koordinačių ašyje pradeda jud ėti priešinga žadinan čiajai jėgai kryptimi.

149

5.3.2. Priverstinių svyravimų amplitudė Ištirsime, kaip priverstini ų  svyravimų  amplitudė  A =

h

priklauso nuo k  − ω 2 žadinančiosios jėgos dažnio ω . Taikome taško statinio poslinkio, kuris atsiranda d ėl nekintančios jėgos poveikio, s ą vok voką . Tarkim, taškas yra neištemptos spyruokl ės gale (69 pav.) ir j į  pradeda veikti nekintanti  jėga H . r

2

r

F 

 H  O

 A0

 x

69 pav. Taško statinė pusiausvyra

Dėl jėgos H poveikio taškas pasislinks atstumu  A0 , kol sustos. Vadinasi, pastovi j ėga H ir spyruokl ė je atsiradusi atstatomoji jėga F  = cA0 susilygina, t. y. F  = H . Iš čia gauname cA0 = H . Galime rasti atstumo  A0 reikšmę :  H   H  h  A0 = = m = 2 ; c k  c m c  H  ir k  = . m m Gavome statinio poslinkio, arba statinės deformacijos, išraišką :

čia h =

 A0 =

h . k 2

(287)

Priverstinių  svyravimų  amplitudės  A santykis su statinio poslinkio didžiu  A0 vadinamas svyravimų dinamiškumo koeficientu : η=

 A .  A 0

(288)

Esant mažo dažnio priverstiniams svyravimams, kai ω < k , atlikę  nesudėtingus matematinius skai čiavimus, gausime toki ą  dinamiškumo koeficiento išraišk ą :

150

h

1  A k  − ω 2 k 2 η= = = 2 = , h  A0 ω2 k  − ω 2 1− 2 k 2 k  2

arba 1

η=

1−

ω2

.

(289)

k 2

Esant didelio dažnio priverstiniams svyravimams, kai ω > k  , atlikę  nesudėtingus matematinius skai čiavimus, gausime toki ą  dinamiškumo koeficiento išraišk ą : h  A ω 2 − k 2 k 2 1 η= = = 2 = 2 , 2 h  A0 ω − k  ω −1 k 2 k 2

arba η=

1 ω2

k 2

.

(290)

−1

Priverstinių  svyravimų  amplitudės priklausomybė nuo žadinan čiosios jėgos dažnio, charakterizuojama dinamiškumo koeficientu, pateikta grafike (70 pav.). η

3 2 1

0

1

2

ω

k  70 pav. Dinamiškumo koeficiento keitimosi grafikas

Matome, kad kai žadinan čiosios jėgos dažnis did ė ja nuo nulio, t. y. nuo ω = 0 iki ω = k , 151

dinamiškumo koeficientas did ė ja nuo vieneto iki begalybės. Tai reiškia, kad priverstini ų  svyravimų  amplitudė šitam žadinan čiosios jėgos dažnio keitimusi yra ne mažesn ė kaip statinė deformacija. Kai žadinan čiosios jėgos dažnis did ė ja nuo ω = k , dinamiškumo koeficientas mažė ja, o tai reiškia, kad priverstini ų  svyravimų  amplitudė laipsniškai maž ė ja ir gali būti mažesnė net už statinę deformaciją . Kai žadinančiosios jėgos dažnis lygus sistemos saviesiems dažniams, t. y. ω = k , tai dinamiškumo koeficientas padid ė ja iki begalybės. Šiuo atveju priverstini ų  svyravim ų  amplitudė taip pat padid ė ja iki begalybės. Toks svyravim ų  atvejis vadinamas rezonansu (jis bus nagrinė jamas atskirai). Iš (256) formulės matome, kad diferencialin ės lygties (280) bendr ą  jį  sprendinį  galime rasti taip:  x = C 1 cos kt + C 2 sin kt .

Tuomet priverstini ų svyravimų  judė jimo lygtis turės tokią išraišką :  x = C 1 cos kt + C 2 sin kt +

h k 2 − ω 2

sin (ωt + δ ).

(291)

Diferencijuodami (291) lygtį , gausime grei čio bendrą  ją išraišką : v = −kC 1 sin kt + kC 2 cos kt +

hω k 2 − ω 2

cos(ωt + δ).

(292)

Tarę , kad pradiniu laiko momentu, kai t  = 0, taško padėtis yra  x0 , o greitis v 0 , gausime:  x0 = C 1 +

h k 2 − ω 2

v 0 = kC 2 +

sin δ,

hω k 2 − ω 2

cos δ,

iš kurių  rasime integravimo konstantas: C 1 = x 0 −

C 2 =

h k 2 − ω 2

sin δ,

v0 h ω − 2 ⋅ cos δ. k  k  − ω 2 k 

Priverstinių svyravim ų judė jimo lygtys galiausiai gali gali būti užrašytos taip:

152

 x = x 0 cos kt + h k 2 − ω 2

v0 h   ω   δ ⋅ kt  + δ ⋅ kt  sin kt − 2 sin cos cos sin  + k  k  k  − ω 2    

(293)

sin (ωt  + δ).

Iš čia galime padaryti išvad ą , kad taško jud ė jimą  galime laikyti judė jimų suma: 1) taško laisvų  jų  svyravimų , kurie atsiranda d ėl atstatomosios j ėgos poveikio; šiuo atveju taškas yra išjudintas iš pusiausvyros pad ėties atstumu  x0 ir jam suteiktas greitis v 0 , t. y.  x1 = x 0 cos kt +

v0 sin kt ; k 

(294)

2) dažnio k priverstini ų  svyravimų , kurie atsiranda d ėl žadinančiosios jėgos poveikio, t. y.  x 2 = −

h

ω     δ ⋅ kt  + sin cos cos δ ⋅ sin kt ;  2 2 k  k  − ω    

(295)

3) dažnio ω priverstinių  svyravimų , kurie atsiranda d ėl žadinančiosios jėgos dažnio ω poveikio, t. y. h sin (ωt + δ). (296)  x3 = 2 k  − ω 2 Iš priverstinių  svyravimų  judė jimo lygties (293) išplaukia, kad net esant nulin ėms pradinėms są lygoms, lygoms, kai  x 0 = 0 ir v0 = 0 , taškas svyruos savaisiais dažniais pagal (295) ir (296) judė jimo lygtis, ir šių svyravim ų  amplitudė nepriklausys nuo jud ė jimo pradinių  są lyg lygų .

5.3.3. Plakimas Kai žadinančiosios jėgos dažnis yra artimas taško laisv ų  jų  svyravimų  dažniui ω ≈ k  , esant priverstiniams svyravimams atsiranda reiškinys, kuris vadinamas  plakimu. Tarkime, kad pradiniu momentu  x 0 = 0 ir v 0 = 0 . Nagrinėsime taško svyravimus, kurie atsiranda tik d ėl žadinančiosios jėgos poveikio, t. y. tokius, kurie aprašyti (295) ir (296) formulėmis. Turėsime:  x = x 2 + x3 = −

Atsižvelgę į  ę  į  tai, kad

ω

k 

h

ω h     sin (ωt + δ).  sin δ ⋅ cos kt + cos δ ⋅ sin kt  + 2 2 k  k  − ω     k  − ω 2

2

≈ 1, po nedideli ų matematinių pertvarkymų  gausime:

 x =

h 2

k  − ω 2

[sin (ωt + δ) − sin(kt + δ )].

153

Pritaikę trigonometrinę  sinusų  skirtumo formulę : sin α − sin β = 2 sin

α −β

2

cos

α+β

2

,

gausime:  x =

Įvertinę  tai, kad

ω + k 

2

h

ωt  + δ − kt − δ ωt  + δ + kt + δ   2 sin cos = 2 2   2 2 k  − ω   h   ω − k     ω + k    t  ⋅ t  + δ 2 sin cos    . k 2 − ω 2    2     2  

≈ ω, galime užrašyti:

 x =

  ω − k     ( ) t  ⋅ ω t  + δ sin cos   . k 2 − ω 2    2   

2h

(297)

Pažym ė ję   A(t ) =

2h k 2 − ω 2

 ω − k    t ,   2  

sin

(298)

gausime tokio pavidalo taško svyravim ų lygtį :  x =  A(t ) ⋅ cos(ωt + δ).

(299)

Šiuos judė jimus galime traktuoti kaip taško svyravimus dažniu ω ir periodu T  = kurių amplitudė  A(t ) yra funkcija, kurios dažnis yra

T  A =

2π ω − k 

=

ω − k 

2 4π

2π ω

,

, o keitimosi periodas:

.

ω − k 

2 Įvertinę  tai, kad ω ≈ k , galime padaryti išvad ą , kad amplitud ės svyravimo periodas T  A yra gerokai didesnis negu taško svyravimai dažniu T . Taško jud ė jimo grafikas, aprašytas (299) formule, pavaizduotas (71 pav.). Toks taško jud j ud ė jimas vadinamas plakimu.

154

 x

T 

0 T  A 71 pav. Priverstinių svyravimų  plakimas

Priverstinių  svyravim ų  grafike parodytas taško svyravimas, kuris vyksta žadinan čiosios 2π  jėgos dažniu ω ir periodu T  = , ši ų  svyravimų  amplitudė periodiškai kinta savuoju dažniu ω

ω − k 

2

ir jos keitimosi periodas T  A =

4π ω − k 

.

5.3.4. Rezonansas Kai taško laisv ų  jų svyravimų dažnis yra lygus priverstini ų svyravimų dažniui, t. y. k  = ω, atsiranda reiškinys, kuris vadinamas rezonansu. Rezonanso metu svyravim ų  amplitudė, skai čiuojama pagal (284) formul ę , padidė ja iki begalybės ir jos skai čiavimas netenka prasm ės. Priverstinių svyravim ų  diferencialinę  lygtį  (280), kai k  = ω, galime perrašyti taip: d 2 x + k 2 x = h sin (kt + δ). 2 dt 

(300)

Iš diferencialinių  lygčių  sprendimo teorijos žinome, kad lygties (300) pilnas sprendinys  d 2 x   bus sudarytas iš diferencialin ės lygties be dešiniosios dalies  2 + k 2 x = 0  bendrojo  x1 ir   dt    lygties dalinio sprendinio  x2 . Bendrą  jį  sprendinį   x1 galime užrašyti jau žinomu pavidalu (256) kaip taško jud ė jimo lygtį  esant laisviesiems svyravimams, t. y.  x1 = C 1 cos kt + C 2 sin kt .

Tačiau lygties (300) dalinis sprendinys  x2 turi būti tiesiniu poži ūriu nepriklausomas nuo sprendinio  x1 . Todėl lygties sprendinys ieškomas taip:  x 2 = Bt cos(kt + δ).

Ieškome nežinomo dydžio  B. Randame (301) išraiškos pirm ą  ją ir antrą  ją išvestines: 155

(301)

dx 2 = B cos(kt + δ ) − Btk ⋅ sin (kt + δ), dt  d 2 x 2 2 ( ) ( ) = −  Bk  kt  + δ −  Bk  ⋅ kt  + δ −  Btk  sin sin cos(kt + δ) = dt 2 − 2 Bk ⋅ sin (kt + δ) − Btk 2 cos(kt + δ).

(302)

(303)

Įrašę rastus dydžius į diferencialinę  lygtį (300) gausime: − 2 Bk ⋅ sin (kt + δ) − Btk 2 cos(kt + δ) + Btk 2 cos(kt + δ) = h ⋅ sin(kt + δ),

arba, atlikę  nesudėtingus matematinius skai čiavimus, gausime:  B =

h . 2k 

(304)

Pilnas lygties (300) sprendinys bus toks:  x = C 1 cos kt + C 2 sin kt +

h t ⋅ cos(kt + δ), 2k 

arba galiausiai galime užrašyti:  x = C 1 cos kt + C 2 sin kt +

π  h   t ⋅ sin  kt + δ − . 2k  2   

(305)

Iš čia išplaukia išvada, kad rezonanso metu, kai taško laisv ų  jų svyravim ų dažnis yra lygus priverstinių  svyravimų  dažniui, t. y. k  = ω, taško judė jimas susideda iš dviej ų  judė jimų : laisvų  jų  harmoninių  svyravimų  ir priverstinių  svyravimų . Laisvieji svyravimai vyksta dažniu 2π k ir turi T  = svyravimų periodą . Laisvieji svyravimai aprašomi jud ė jimo lygtimi: k   x1 = C 1 cos kt + C 2 sin kt .

Priverstiniai svyravimai nusakomi (305) tokia lygties dalimi:  x 2 =

h π    t ⋅ sin kt + δ − . 2k  2   

Priverstinių  svyravimų  dažnis k  ir periodas T  rezonanso metu sutampa su laisv ų  jų  π  svyravimų  dažniu ir periodu, ta čiau priverstinių  svyravimų  fazė    kt + δ −  atsilieka nuo 2   

156

žadinančiosios jėgos fazės (kt + δ) dydžiu

π

. 2 Priverstinių  svyravimų  amplitudė rezonanso met ų  didė ja proporcingai laikui, t. y. h  A = t , priverstinių svyravimų  grafikas pateiktas (72 pav.). 2k   x  x =

h t  2k 

0  x = −

h t  2k 

72 pav. Priverstinių svyravimų  amplitudės keitimasis rezonanso metu

h t  gauname, kad 2k  rezonanso metu laikas t  į  svyravim ų  lygtį  į eina eina kaip daugiklis. Vadinasi, šiuo atveju svyravimo amplitudė laikui bėgant neribotai did ė ja. Praktikoje šios išvados pasitvirtina iki tam tikros amplitudės padidė jimo ribos, nes svyruojantis k ūnas visuomet susiduria su tam tikru aplinkos pasipriešinimu ir amplitud ės keitimosi spartumas sumaž ė ja. Tačiau rezonanso atveju svyravim ų  amplitudė gali tiek padid ėti, kad kūno ryšiai gali neišlaikyti atsiradusi ų  poslinkių  ir suirti. Todėl svarbu nagrin ėti priverstinius svyravimus į vertinant vertinant ir aplinkos pasipriešinimo į tak taką .

Iš matematinės priverstinių  svyravim ų  amplitudės išraiškos  A =

5.4. Priverstiniai svyravimai esant slopinimui Tarkime, materialusis taškas, esantis neištemptos c standumo spyruokl ės gale (73 pav.), veikiant žadinan čiajai jėgai Q = H sin (ωt  + δ) , juda besipriešinan čioje aplinkoje, kurios klampumo koeficientas µ .

r

r

F   R O  x

r

v

r

Q  x

73 pav. Taško judė jimas esant pasipriešinimui

157

Įvertinę  jėgų  reikšmes, užrašysime taško diferencialin ę  judė jimo lygtį :

d 2 x m 2 = Q − F  − R. dt 

(306)

Įrašę  jėgų  reikšmes, turėsime:

d 2 x dx m 2 = H sin (ωt + δ) − cx − µ , dt  dt 

arba, padalij ę  visus narius iš mas ės m, gausime materialiojo taško  priverstinių  svyravimų  esant slopinimui diferencialin ę jud ė jimo lygt į tokio pavidalo: d 2 x dx + n + k 2 x = h sin (ωt  + δ); 2 2 dt  dt  čia 2n =

µ

m

; n – slopinimo koeficientas; k 2 =

(307)

c – laisvų  jų  svyravimų  dažnio kvadratas; m

 H  – žadinan čiosios jėgos amplitudės ir masės santykis. m Iš tiesinių  diferencialinių  lygčių  teorijos žinome, kad lygties (307) pilnas sprendinys bus   d 2 x   dx sudarytas iš diferencialin ės lygties be dešiniosios dalies  m 2 + 2n + k 2 x = 0  bendrojo dt    dt    h=

sprendinio ir lygties dalinio sprendinio, t. y.  x = x1 + x 2 .

(308)

Bendrasis sprendinys yra g ę stan stančių  jų  svyravimų  lygtis ir, atsižvelgiant į  n ir k  santykį , aprašomas (269), (277) arba (278) formul ėmis. Ieškomas diferencialin ės lygties (307) dalinis sprendinys:  x 2 =  A sin (ωt + δ − ε );

(309)

čia  A ir ε – nežinomi pastovieji dydžiai; laikome, kad dalinis sprendinys yra pastovios amplitudės svyravimai, kuri ų dažnis lygus žadinan čiosios jėgos dažniui. Dydžiams A ir ε skaičiuoti randame (309) lygties l ygties išvestines:

dx 2 =  Aω cos(ωt + δ − ε ), dt  d 2 x 2 2 = −  A ω sin (ωt + δ − ε ), dt 2

158

kurias ir į rašome rašome į  diferencialinę  lygtį (307). Turėsime: −  Aω 2 sin (ωt + δ − ε ) + 2n ⋅ Aω cos(ωt + δ − ε) + k 2 A sin(ωt + δ − ε) = h ⋅ sin(ωt + δ).

Po nesudėtingų  matematinių skaičiavimų gausime: h

 A =

(k 

2

−ω

tgε =

2 2

)

, 2

+ 4n ω

2nω k 2 − ω 2

(310)

2

.

(311)

Tuomet diferencialinės lygties (307) dalinis sprendinys tur ės tokią išraišką :  x 2 =

h

(k 

2

−ω

2 2

)

2

+ 4n ω

2

sin (ωt + δ − ε).

(312)

Priklausomai nuo n ir k  santykio diferencialin ės lygties (307) bendrasis sprendinys tur ės tokias išraiškas: mažo slopinimo atveju, kai n < k : h

 x = ae − nt  sin (k 1t + α ) +

(k 

2

−ω

2 2

)

2

+ 4n ω

2

sin (ωt + δ − ε ),

(313)

didelio slopinimo atveju, kai n > k :

(

 x = e − nt  C 1 e

n 2 − k 2 t 

+ C 2 e −

n 2 − k 2 t 

h

)t +

(k 

2

−ω

2 2

)

sin (ωt  + δ − ε ), 2

+ 4n ω

(314)

2

kritinio slopinimo atveju, kai n = k :  x = e −nt  (C 1 + C 2 t ) +

h

(k 

2

−ω

2 2

)

sin (ωt + δ − ε ). 2

+ 4n ω

(315)

2

Priverstinių  svyravim ų  lygtyse (314) ir (315) integravimo konstantos randamos pagal svyravimų pradines s ą lygas. lygas. Analizuodami (313), (314) ir (315) jud ė jimo lygtis, galime pasteb ėti, kad taško jud ė jimas susideda iš gę stan stančių  jų  ir priverstinių  svyravimų . Kadangi laikui b ėgant gę stantieji stantieji svyravimai išnyksta, lieka tik svyravimai d ėl žadinančiosios jėgos poveikio, kuri ų  amplitudės dydis randamas pagal (310) formul ę . Svyravimai d ėl žadinančiosios jėgos poveikio vyksta žadinančiosios jėgos dažniu ω ir yra aprašomi (312) formule: 159

 x =

h

(k 

2

−ω

2 2

)

sin (ωt  + δ − ε ). 2

+ 4n ω

2

Taip pat pasteb ėta, kad, esant pasipriešinimui, jud ė jimo priverstiniai svyravimai žadinančiosios jėgos atžvilgiu pasislenka dydžiu ε .

160

LITERATŪRA 1. MICHNEVIČ, E.; SYRUS, L.; BELEVI ČIUS, R. Teorinė mechanika. Statika : mokomoji knyga. Vilnius: Technika, 2004. 94 p. 2. PALIŪNAS, V. Teorinė mechanika . Vilnius: Žuvėdra, 1997. 482 p. 3. TARGAS, S. Trumpas teorinės mechanikos kursas . Vilnius: Mintis, 1970. 476 p. 4.  ЯБЛОНСКИЙ, А. А.; НИКИФОРОВА, В. М.  Курс теоретической механики теоретической  механики.  Часть 1. Москва: Высшая школа, 1966. 438 c. 5. VORONKOVAS, B.; REMIŠAUSKAS, M. Teorinė mechanika. Vilnius: VPMLL, 1961. 782 p. 6. MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Engineering Mechanics, Statics . 4th ed. John Wiley&Sons, Inc. Canada, 1998. 526 p. 7. HIBBLER, R. C. Engineering Mechanics : Statics and Dynamics . 6th ed. Macmillan Publishing Co. New York, 1992. 588 p. 8. BARADOKAS, P. Teorinė mechanika. Dinamika : mokomoji knygel ė. Vilnius, 1980. 158 p. 9. MERIAM, J. L.; KRAIGE, L.G. Engineering Mechanics, Dynamics . 4th ed. John Wiley&Sons, Inc. Canada, 1998. 725 p. 10.  ЯБЛОНСКИЙ, А. А.; НИКИФОРОВА, В. М.  Курс теоретической механики теоретической  механики.  Часть 2. Москва: Высшая школа, 1966. 412 c. 11. НЕКРАСОВ, А. И.  Курс теоретической  механики.  Динамика. Том II. Москва: Высшая школа, 1953. 420 c. 12. SYRUS, L.; BARADOKAS, P.; MICHNEVI Č, E.; ČIUČELIS, A. Teorinė mechanika. Kinematika: mokomoji knyga. Vilnius: Technika, 2006. 100 p. 13. BARADOKAS, P. Teorinė mechanika. Kinematika : paskait ų  konspektas. Vilnius, 1980. 76 p.

161

PRIEDAI 1 priedas. Klausimai savarankiškam darbui 1. Kaip formuluojami pagrindiniai dinamikos d ėsniai? 2. Kaip kūno svoris priklauso nuo k ūno padėties Žemė je? Kuriuose Žemės paviršiaus taškuose kūno sunkio reikšm ė didžiausia ir kuriuose mažiausia? 3. Kokios yra laisvojo materialiojo taško t aško diferencialini ų judė jimo lygčių  išraiškos? 4. Kokios yra nelaisvojo materialiojo taško diferencialini ų judė jimo lygčių išraiškos? 5. Kokie yra pagrindiniai materialiojo taško dinamikos uždaviniai? 6. Ką vadiname pradin ėmis judė jimo są lygomis? lygomis? 7. Pagal kokius d ėsnius juda materialusis taškas, mestas tuštumoje į vairiais vairiais kampais horizonto atžvilgiu? Kokiomis s ą lygomis lygomis taškas pasieks maksimal ų  aukštį ? Kada taško skridimo nuotolis bus maksimalus? 8. Ką vadiname materiali ų  jų taškų mechanine sistema? 9. Ką  vadiname materialiojo taško judesio kiekiu? Kaip jis ji s randamas? 10. Ką vadiname mechanin ės sistemos judesio kiekiu? Kaip jis ji s randamas? 11. Kaip dinamikoje klasifikuojamos j ėgos, veikian čios mechaninę sistemą ? 12. Mechaninės sistemos vidini ų  jėgų  suminio vektoriaus ir suminio momento bet kurio centro skai čiavimas. 13. Ką vadiname j ėgos impulsu? Kaip jis skai čiuojamas? 14. Kaip skamba materialiojo taško judesio kiekio poky čio teorema? 15. Kaip skamba mechanin ės sistemos judesio kiekio poky čio teorema? 16. Kada mechanin ės sistemos judesio kiekis yra pastovus? 17. Kuris mechanin ės sistemos taškas yra vadinamas mas ės centru (inercijos centru)? Kaip randama šio taško pad ėtis? 18. Kaip išreiškiamas mechanin ės sistemos judesio kiekis mas ės centro judesio kiekiu? 19. Kam lygus smagra čio, besisukan čio apie nejudam ą  ją  ašį , einančią  per smagračio masės centrą , judesio kiekis? 20. Kodėl šūvio metu patranka atšoka atgal? 21. Kokia yra sistemos mas ės centro jud ė jimo teoremos išraiška? 22. Kokios mechanin ę  sistemą  veikiančios jėgos neturi į takos takos sistemos mas ės centro  judė jimui? Kodėl? 23. Ką  vadiname materialiojo taško kinetiniu momentu centro atžvilgiu? 24. Ką vadiname mechanin ės sistemos kinetiniu momentu centro atžvilgiu, ašies atžvilgiu? 25. Kokios yra materialiojo taško kinetinio momento teoremos vektorin ė ir koordinatinė išraiškos? 26. Kaip mechaninės sistemos kinetinio momento teorema išreiškiama vektorine ir koordinatine forma? 27. Kada mechanin ės sistemos kinetinis momentas centro arba ašies atžvilgiu nesikei čia? 28. Kokia yra besisukan čio standžiojo k ūno kinetinio momento sukimosi ašies atžvilgiu išraiška? 29. Ką  vadiname ir kaip skai čiuojame standžiojo k ūno inercijos momentus ašies, plokštumos ir taško atžvilgiu? 162

30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62.

Kokia yra standžiojo k ūno inercijos momento ašies atžvilgiu fizikin ė prasmė? Ką vadiname standžiojo k ūno inercijos spinduliu? Kokia yra priklausomyb ė tarp į vairi vairių inercijos moment ų ? Kokia yra priklausomyb ė tarp standžiojo k ūno inercijos moment ų  lygiagrečių  ašių  atžvilgiu? Ką vadiname standžiojo k ūno išcentriniu inercijos momentu? Kokias ašis vadiname standžiojo k ūno svarbiausiosiomis inercijos ašimis tam tikrame taške? Kokioms są lygoms lygoms esant koordina čių  ašis Oz yra standžiojo k ūno svarbiausioji ašis koordinačių pradžioje? Kada standžiojo k ūno inercijos momento reikšm ė yra mažiausioji? Kokia yra j ėgos elementariojo darbo išraiška? Kaip skai čiuojamas j ėgos darbas kelio ruože? Kaip skai čiuojamas j ėgos elementarusis darbas esant k ūno sukamajam jud ė jimui? Kaip skai čiuojamas sunkio darbas? Kaip jis priklauso nuo jud ė jimo trajektorijos? Kada sunkio darbas yra teigiamas, neigiamas, kada lygus nuliui? Kaip skai čiuojamas galingumas esant į vairiems vairiems judė jimams? Ką  vadiname materialiojo taško kinetine energija ir kaip ji skai čiuojama? Kaip skai čiuojame sistemos kinetin ę energiją ? Kaip skai čiuojame standžiojo k ūno kinetinę  energiją  esant slenkamajam, sukamajam ir plokščiajam judė jimui? Kokia yra materialiojo taško kinetin ės energijos pokyčio teoremos išraiška? Kokia yra mechanin ės sistemos kinetin ės energijos pokyčio teoremos išraiška? Kada sistemos vidin ės jėgos neį eina eina į  mechaninės sistemos kinetin ės energijos poky čio išraišką ? Kodėl? Koks jėgų  laukas vadinamas potencialiniu? Kokia funkcija vadinama j ėgos funkcija? Kokia mechanin ės energijos tverm ės dėsnio išraiška? Kokia yra standžiojo k ūno slenkamojo jud ė jimo diferencialinių lygčių išraiška? Kokia yra standžiojo k ūno sukamojo jud ė jimo diferencialinių  lygčių išraiška? Kokioms są lygoms lygoms esant standusis k ūnas apie nejudam ą  ją  ašį  sukasi tolygiai, greitė jančiai arba lėtė jančiai? Kokia yra standžiojo k ūno plokščiojo judė jimo diferencialinių lygčių išraiška? Kuo ypatingas sm ūgio reiškinys? Kuo charakterizuojamos sm ūgio jėgos? Kas vyksta su k ūnais pirmosios ir antrosios sm ūgio fazės metu? Kaip randami dviej ų  rutulių  greičiai kiekvienos faz ės pabaigoje esant netampriajam, tampriajam arba absoliu čiai tampriam tiesioginiam centriniam sm ūgiui? Kodėl smūgio teorijoje vietoj sm ūgio jėgų taikomi smūgio impulsai? Kokia pagrindinė dinamikos formulė taikoma smūgio teorijoje? Kas esant sm ūgiui vadinama atsistatymo koeficientu? Kaip jis randamas bandymo b ūdu? Šio koeficiento skaitin ės reikšmės ribos. Kokia yra priklausomyb ė tarp kritimo ir atšokimo kamp ų smūgio metu? 163

Kaip smūgio teorijoje taikoma sistemos kinetinio momento teorema? Kaip kinta standžiojo k ūno kampinis greitis, kai k ūną veikia smūgio impulsas? Kokioms są lygoms lygoms esant sm ūgis neperduodamas į tvirtinimo tvirtinimo atramai? Kada susidūrę  du rutuliai sustoja ir kada jie „apsikei čia“ greičiais? Kas smūgio metu yra prarastasis greitis? Ką  smūgio metu vadiname prarast ą  ja kinetine energija? Kaip skamba Karno teorema? Prie kokio k ūno galima pridėti materialiojo taško inercijos j ėgą ? Kam lygus šios j ėgos modulis ir kokia jos kryptis? 71. Koks turi b ūti materialiojo taško jud ė jimas, kad jo tangentinė inercijos jėga būtų  lygi nuliui? 72. Koks turi būti materialiojo taško jud ė jimas, kad jo normalinė inercijos jėga būtų  lygi nuliui? 73. Į ką  redukuojamos standžiojo k ūno inercijos j ėgos esant slenkamajam k ūno judė jimui, sukamajam apie nejudam ą  ją  ašį  kūno judė jimui, plokščiajam kūno judė jimui? 74. Kokiai jėgai veikiant vyksta materialiojo taško laisvieji l aisvieji svyravimai? 75. Kokia yra materialiojo taško laisv ų  jų svyravim ų  diferencialinės judė jimo lygties išraiška? 76. Kaip užrašomas materialiojo taško harmonini ų svyravimų  dėsnis? 77. Ką vadiname harmonini ų svyravimų periodu? 78. Kaip harmonini ų  svyravimų  periodas priklauso nuo materialiojo taško jud ė jimo pradinių  są lyg lygų ? 79. Nuo ko priklauso materialiojo taško laisv ų  jų  svyravimų  dažnis, amplitud ė ir svyravimų  pradinė fazė? 80. Koks yra materialiojo taško laisv ų  jų svyravim ų  grafinis vaizdas? 81. Kokia yra materialiojo taško g ę stan stančių  jų  svyravimų  diferencialinės judė jimo lygties išraiška? 82. Kaip užrašomas materialiojo taško g ę stan stančių  jų svyravimų  dėsnis? 83. Kas apibūdina svyravim ų  silpimo spartumą ? 84. Koks yra materialiojo taško g ę stan stančių  jų svyravimų grafinis vaizdas? 85. Kaip užrašoma materialiojo taško priverstini ų  svyravimų  nesant slopinimui diferencialin ė  judė jimo lygtis? Koks jos bendrasis sprendinys? sprendinys? 86. Kurie priverstiniai svyravimai vadinami mažo dažnio svyravimais, o kurie didelio dažnio svyravimais? 87. Kokie veiksniai turi į takos takos materialiojo taško priverstini ų svyravimų amplitudei? 88. Ką  vadiname dinamiškumo koeficientu ir kaip šis koeficientas priklauso nuo santykio 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70.

ω

? k  89. Kokiomis są lygomis lygomis priverstinių  svyravim ų  metu atsiranda plakimo reiškinys? Kaip atrodo plakimo grafikas? 90. Kokiomis są lygomis lygomis priverstinių  svyravimų  metu atsiranda rezonanso reiškinys, kokios šiuo atveju yra materialiojo taško priverstini ų  svyravimų lygtys ir koks yra grafikas?

164

2 priedas. Pagrindinės dinamikos formulės Pirmoji dinamikos aksioma r

r

F  = 0;

v = const.

Antroji dinamikos aksioma – pagrindinis dinamikos d ėsnis r

r

F  = ma.

Trečioji dinamikos aksioma m A a B . = m B a A

Ketvirtoji dinamikos aksioma n

r

r

ma = ∑ F i . i =1

Pagrindinės dinamikos charakteristikos Masės centro koordinat ės: n

 xc =

m k  x k  ∑ k  1 =

n

m k  ∑ k  1

n

;

 y c =

=

m k  y k  ∑ k  1 =

n

mk  ∑ k  1

n

;

 z c =

=

mk  z k  ∑ k  1 =

n

m k  ∑ k  1 =

Standžiojo k ūno inercijos momentas: n

 I  = ∑ m k  ⋅ hk 2 . k =1

Inercijos momentai Dekarto koordina čių ašių atžvilgiu: n  2 2  I  x = ∑ m k  ⋅ ( y k  +  z k  ) ; k =1  n  2 2  I  y = ∑ m k  ⋅ ( z k  +  x k  ) ; k =1   I  = n m ⋅ ( x 2 +  y 2 ). k  k  k    z ∑ k =1

Polinis inercijos momentas: n

 I o = ∑ mk  ⋅ ( x k 2 +  y k 2 +  z k 2 ). k =1

165

.

Inercijos momentai plokštum ų  atžvilgiu: n  2  I  yOz = ∑ m k  ⋅ x k  ; k =1  n  2  I  xOz = ∑ m k  ⋅  y k  ; k =1  n  I  = m ⋅ z 2 . k  k    xOy ∑ k =1

Kūno inercijos momentas, išreikštas inercijos spindulu:  I  z = M  ⋅ i z2 .

Išcentriniai inercijos momentai: n   I  xy = ∑ m k  ⋅ x k  y k  ; k =1  n   I  yz = ∑ m k  ⋅ y k  z k  ; k =1  n  I  = m ⋅ x  z . k  k  k    xz ∑ k =1

Inercijos momentas lygiagre čių ašių atžvilgiu:  I  z1 = I  zC  + M  ⋅ d 2 .

Inercijos momentas bet kaip išd ėstytos ašies atžvilgiu:  I OL = cos 2 α ⋅ I  x + cos 2 β ⋅ I  y + cos 2 γ ⋅ I  z − 2 cos β cos γ ⋅ I  yz − 2 cos γ cos α ⋅ I  xz − 2 cos α cos β ⋅ I  xy .

Standžiojo k ūno inercijos momentas:  I OL = ∫ h 2 dm.  M 

Inercijos momento skaičiavimo formulės Plonas strypas:

1  I  A =  Ml 2 ; 3

 I C  =

Plonas žiedas ir vamzdis:

 I O = I  x = MR 2 ;

1  I  z = I  y =  MR 2 . 2

Plonas skritulys:

1  I  x = I O =  MR 2 ; 2

1  I  y = I  z =  MR 2 . 4

Storasienis vamzdis:

1  I  x = ⋅ M ( R 2 + R02 ). 2 166

1  Ml 2 . 12

Plonas keturkampis:

1  I  x =  Mb 2 ; 3

1  I  y =  Ma 2 . 3

Plonas trikampis:

1  I  x =  Mb 2 ; 6

1  I  y =  Mb 2 . 6

Judė jimo charakteristikos Materialiojo taško judesio kiekis: r

mv ; mv = (mv x )2 + (mv y )2 + (mv z )2 ; mv x = m

cos α =

dx ; dt 

mv y = m

mv x ; mv

cos β =

dy ; dt 

mv z = m

mv y ; mv

cos γ  =

dz ; dt 

mv z . mv

Materialių  jų taškų mechaninės sistemos judesio kiekis: r

n

r

r

K  = ∑ m k v k ;

r

K  = M  ⋅ vC .

k =1

Materialiojo taško kinetinis momentas centro atžvilgiu: r

r

r

r

r

l O = M O (mv ) = r  × mv .

Materialiojo taško kinetinis momentas koordina čių ašių atžvilgiu: r

l x = M  x (mv ) =  y ⋅ mv z − z ⋅ mv y ; r

l y = M  y (mv ) = z ⋅ mv x − x ⋅ mv z ; r

l z = M  z (mv ) = x ⋅ mv y −  y ⋅ mv x .

Materialių  jų taškų mechaninės sistemos kinetinis momentas centro atžvilgiu: r

n r

n

r

n

r

r

r

 LO = ∑ l O = ∑ M O (m k v k  ) = ∑ (r k  × m k v k  ) . k =1

k =1

k =1

Materialių  jų taškų mechaninės sistemos kinetinis momentas koordina čių  ašių  atžvilgiu: n

n

k =1

k =1

r

n

 L x = ∑ l x = ∑ M  x (m k v k  ) = ∑ ( y k  ⋅ mk v kz − z k  ⋅ m k v ky ) ; k =1

167

n

n

k =1

k =1

n

n

k =1

k =1

r

n

 L y = ∑ l y = ∑ M  y (m k v k  ) = ∑ ( z k  ⋅ m k v kx − x k  ⋅ m k v kz ) ; k =1

r

n

 L z = ∑ l z = ∑ M  z (m k v k  ) = ∑ ( x k  ⋅ m k v ky −  y k  ⋅ m k v kx ). k =1

Standžiojo k ūno kinetinis momentas: r

r

r

 LO = r C  × M  ⋅ v C ;

 L z = I  z ⋅ ω .

Materialiojo taško kinetin ė energija:

mv 2 . 2

Materialių  jų taškų mechaninės sistemos kinetin ė energija:

m k v k 2 . T  = ∑ 2 k =1

Standžiojo k ūno kinetinė energija esant slenkamajam jud ė jimui:

v C 2 T  = M  . 2

n

ω2

Standžiojo k ūno kinetinė energija esant sukamajam jud ė jimui:

T  =

Standžiojo k ūno kinetinė energija esant plokš čiajam judė jimui:

 Mv C 2 ω  I  zC  . T  = + 2 2

2 2

Potencinė energija Jėgos funkcija: U ( x, y, z ) .

Jėgos elementarusis darbas potencialiniame j ėgų lauke: dA =

∂U  ∂U  ∂U  dx + dy + dz; ∂ x ∂ y ∂ z

dA = dU ( x, y , z ) .

Jėgos pilnutinis darbas:  A = U  −U 0 .

Potencinė energija: V  =  A MM 0 = − A M 0 M  = U 0 − U  = C 0 − U ;

V  = −U .

168

⋅ I  z .

Jėgos poveikio matai Mechaninės sistemos vidini ų jėgų savybės: r

n r

 R = ∑F  = 0; v

v k 

r

n

k =1

Jėgos impulsas:

r

r

 M  = ∑ M o (F k v ) = 0 . v O

k =1

r

r

r

d S  = F ⋅ dt ;

S  =

t  r

r

∫ F dt ;

r

S  = F  ⋅ t .

t o = o  M 2

Jėgos darbas:

 A = ∫ F τ  ds;

dA = F τ  ⋅ ds;

 M 1  M 2

 A = ∫ F cos ϕds;

dA = F ⋅ cos ϕ ⋅ ds;

 M 1

r

 M 2

r

r r

 A = ∫ F d r ;

dA = F ⋅ d r ;

 M 1

r

t 

r

r r

 A = ∫ d S d v ;

dA = d S  ⋅ d v ;

t 0  M 2

dA = F  x dx + F  y dy + F  z dz;

 A = ∫ F  x dx + F  y dy + F  z dz.  M 1

Atstojamosios j ėgos darbas:  M 2

r r

n

r

n

r

 A = ∫  Rd r  = ∑ F k d r ;

 A = ∑ Ak .

k =1

 M 1

k =1

Sunkio darbas:  A = ± mg ⋅ h.

Tamprumo jėgos darbas:  A = −

c 2 (r 2 − r 12 ); 2

c  A = − ⋅ r 2 ; 2

c  A = − ⋅ λ2 . 2

Jėgos darbas esant k ūno slenkamajam jud ė jimui: r

 M 2

r

r r

 A = ∫ F d r c .

dA = F ⋅ d r c ;

 M 1

Jėgos darbas esant k ūno sukamajam jud ė jimui:

169

r

dA = M  z (F k  ) ⋅ d ϕ;

dA = M  z ⋅ d ϕ;

ϕ2

 A = ∫ M  z d ϕ;

 A = M  z ⋅ (ϕ 2 − ϕ1 ) .

ϕ1

Galingumas:  N  =

dA ; dt 

r

r

 N  = F ⋅ v ;

 N  = M  z ω.

Jėgos projekcijos potencialiniame j ėgų lauke: F  x =

∂U  ∂V  =− ; ∂ x ∂ x

F  y =

∂U  ∂V  =− ; ∂ y ∂ y

F  z =

∂U  ∂V  =− . ∂ z ∂ z

Diferencialinės judė jimo lygtys Materialiojo taško diferencialin ės judė jimo lygtys: n  v2 m = F in ; ∑  ρ i =1  2  d  s n m 2 = ∑ F iτ ;  dt  n i =1  0 = F  . ∑ ib  1 i = 

 d 2 x n  m 2 = ∑ F ix ; i =1  dt 2  d   y n m 2 = ∑ F iy ; i =1  dt 2  d   z n  m dt 2 = ∑ F iz ; i =1 

Pirmojo dinamikos uždavinio matematinė formuluotė materialiajam taškui  d 2 x  F  x = m 2 ; dt   d 2 y  F  y = m 2 ; dt   2  F  = m d   z ;   z dt 2

cos α =

F  x ; F 

F  = F  x2 + F  y2 + F  z2 ;

cos β =

F  y ; F 

cos λ =

F  z . F 

Antrojo dinamikos uždavinio matematinė formuluotė materialiajam taškui r

r

F  = F (t , x, y, z , v x , v y , v z ) ;

170

 d 2 x  m 2 = F  x (t , x, y, z , v x , v y , v z ) ;  dt 2  d   y m 2 = F  y (t , x, y , z , v x , v y , v z ) ;  dt 2  m d   z = F  (t , x, y , z , v , v , v ) ;  z  x  y  z  dt 2  v x = ϕ1 (t , C 1 , C 2 , C 3 ) ;  v y = ϕ 2 (t , C 1 , C 2 , C 3 ) ; v = ϕ (t , C  , C  , C  ) ; 3 1 2 3   z

 x =  f 1 (t , C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 5 , C 6 ) ;   y =  f 2 (t , C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 5 , C 6 ) ;  z =  f  (t , C  , C  , C  , C  , C  , C  ) ; 3 1 2 3 4 5 6 

 x =  f 1 (t , x 0 , y 0 , z 0 , v 0 x , v0 y , v0 z ) ;   y =  f 2 (t , x 0 , y 0 , z 0 , v 0 x , v 0 y , v0 z ) ;  z =  f  (t , x , y , z , v , v , v ). 3 0 0 0 0 x 0 y 0 z 

Reliatyvusis materialiojo taško judė jimas r

r

r

r

ma r  = F  + Φ k  + Φ c ;  d 2 x r   m 2 = F  x + Φ kx + Φ cx ;  dt  2  d   y r  m 2 = F  y + Φ ky + Φ cy ;  dt  2 m d   z r  = F  + Φ + Φ ;  zx kz cz  dt 2 

Keliamoji inercijos j ėga: Koriolio inercijos j ėga:

r

r

r

r

Φ k  = −ma k ; Φ c = − ma c .

Bendrosios dinamikos teoremos Materialiojo taško judesio kiekio teorema r

r

d (mv ) = F dt ;

r

r

r

mv − mv 0 = S ;

d (mv x ) = F  x dt ;  d (mv y ) = F  y dt ; d (mv ) = F  dt ;  z  z   mv x − mv 0 x = S  x ;  mv y − mv 0 y = S  y ;  mv − mv = S  . 0 z  z   z

171

Materialių jų taškų mechaninės sistemos judesio kiekio teorema

r

d K  r i = R ; dt 

n  d  n i  dt  ∑ m k v kx = ∑ F kx ; k =1  k n=1 n  d  i  ∑ m k v ky = ∑ F ky ; k =1  dt  k =n1 n d   mk v kz = ∑ F kzi .  dt  ∑ k =1 k =1

 dK  x i  dt  = R x ;  dK    y = R yi ;   dt   dK  z = R i ;  z  dt 

Materialių jų taškų mechaninės sistemos impulsų teorema r

r

i

d K  = R dt ;

r

r

r

r

r

K  − K 0 = S i ;

i

d K  = d S  ;

 K  x − K 0 x = S  xi ;  i  K  y − K 0 y = S  y ;  K  − K  = S i . 0 z  z   z

Materialiojo taško kinetinio momento teorema

r r d  r  M 0 (mv ) = M 0 (F ); dt 

r

 M  z (F ) = 0; r

r

 M O (F ) = 0;

r r  d  ( )  M  m v =  M  F   x ;  dt   x  d  r r ( )  M  m v =  M  F    y  y ; dt   r  d  M  z (mvr ) = M  z F ;  dt  r

l z = M  z (mv ) = const. r

r

r

l O = M O (mv ) = const.

Materialių jų taškų mechaninės sistemos kinetinio momento teorema

r

d  LO r i = M O ; dt 

r

n r  d  n r i ( ( )  M  m v =  M  F   dt  ∑  x k  k  ∑  x k  ); k =1  k n=1 n r r  d  i ( ) (  M  m v =  M  F   ∑  y k  k  ∑  y k  ); k =1  dt  k n=1 r  d   M  (m vr )) = n  M  (F  i ); ∑ ∑  z k  k   z k   dt  k =1 k =1

r

n

r

r

 LO = ∑ M O (m k v k  ) = const.

 M Oi = 0;

k =1 n

r

∑ M  z (F k i ) = 0; k =1

n

r

 L z = ∑ M  z (mk v k  ) = const. k =1

172

r

r

i O

d  LO = M  dt ;

r

t  n   L x − L0 x = ∫ ∑ M  x (F k i )dt ;  t 0 = 0 k =1 t  n  i  L y − L0 y = ∫ ∑ M  y (F k  )dt ; t 0 = 0 k =1  t  n  i  L z − L0 z = ∫ ∑ M  z (F k  )dt .  t 0 = 0 k =1

t  r

r

 L − L0 = ∫ M Oi dt ; t 0 = 0

Kinetinės energijos teorema  mv 2    = dA; d  2    

mv 2 mv02 − =  A; 2 2

T  − T 0 =  A i +  A v ;

T  − T 0 =  A i .

Mechaninės energijos tvermė Materialiajam taškui:

mv02 mv 2 + V  = + V 0 . 2 2

Mechaninei sistemai:

T  + V  = T 0 + V 0 .

Masės centro jud ė jimo teorema:

 d 2 x C  n i  M  2 = ∑ F ix ; dt  i =1  2  d   y C  n i  M  2 = ∑ F iy ; dt  i =1  2  d   z C  n i  M  dt 2 = ∑ F iz ; i =1  n

F ix i = 0; ∑ i 1 =

Standžiojo kūno dinamika

Slenkamasis jud ė jimas:

 d 2 x C  n i  M  2 = ∑ F ix ; dt  i =1  2  d   y C  n i  M  2 = ∑ F iy ; dt  i =1  2  d   z C  n i  M  dt 2 = ∑ F iz . i =1 

Sukamasis jud ė jimas:

d 2 ϕ  I  z 2 = M  zi . dt 

173

vCx = 0;

 x C  = const .

 d 2 x C  n i   M  2 = ∑ F ix ; dt  i =1  2 d   y C  n i    M  2 = ∑ F iy ; dt  i =1  2 n  d  ϕ i  I  =  M  F  ( ). ∑  z  z i  C  dt 2 i =1 

Plokštuminis judė jimas:

Suvaržytos mechaninės sistemos dinamika Holonominiai ryšiai kintamieji, arba nestacionar ūs:  f ( x i , y i , z i , t ) = 0 – dvipusiai,  f ( xi , y i , z i , t ) ≥ 0 – vienpusiai; pastovūs, arba stacionar ūs:  f ( x i , y i , z i ) = 0 – dvipusiai,  f ( x i , y i , z i ) ≥ 0 – vienpusiais.

Neholonominiai ryšiai ϕ( x i , y i , z i , x& i , y& i , z& i , t ) = 0.

Apibendrintosios koordinat ės:

q k ; čia k  = 1, 2, ..., n.  x i = x i (q1 , q 2 , ..., q n , t ) ;   y i =  y i (q1 , q 2 , ..., q n , t ) ;  z = z (q , q , ..., q , t ) ; 1 2 i n  i r

r

r i = r i (q1 , q 2 , ..., q n , t ) ; čia i = 1, 2, ..., n.

Virtualieji poslinkiai Elementarus poslinkis

δr .

Tikrasis elementarus poslinkis

d r . r

r

r

∂r i ∂r i  r ∂r i δ r  = ⋅ δ q + ⋅ δ q + + ⋅ δq n ; ... 1 2  i ∂q ∂ q ∂ q  1 2 n r  n ∂r i r δr  = ⋅ δq i . ∑ i  ∂ q i =1 i

Virtualusis jėgos darbas:

r

r

r

r

δ A = F ⋅ δr  = F  ⋅ δr  cos α; δ A = F ⋅ x δ x + F  y ⋅ δ y + F ⋅ z δ z .

174

 N  r

r

 Ri ⋅ δr i ≡ 0 . ∑ i 1

Idealieji ryšiai:

=

Apibendrintoji jėga:

Qk  =

   N     ∑ δ Ai    i =1   k  δq k 

 N 

n

=

=

r

∂r  Q k  = ∑ F i i ; ∂q k  i =1  N 

;

δ Ai = ∑ Qk δq k  =Q1δq1 + Q2 δq 2 + .. + Qn δq n ; ∑ i 1 k  1

  ∂ x ∂ y ∂ z   Qk  = ∑  F ix i + F iy i + F iz i  . ∂q k  ∂q k  ∂q k   i =1    N 

Virtualių jų poslinkių principas n

r

r

∑ δ AiF  = ∑ F i δr  = 0 ; i =1 n

(F ix δ xi + F iy δ yi + F iz δ zi ) = 0 . ∑ δ AiF  = ∑ i 1 =

d’Alambero principas Materialiajam taškui: r

r

r

r

F i + Ri − mi a i = 0;

r

r

F i + Ri + Φ i = 0; F ix + Rix + Φ ix = 0; F iy + Riy + Φ iy = 0; F iz + Riz + Φ iz = 0.

Mechaninei sistemai: n

r

n

r

n

r

n

r

r

n

r

r

n

r

r

∑ F i + ∑ Ri + ∑ Φ i = 0 ;

∑ M O (F i ) +∑ M O ( Ri ) +∑ M O (Φ i ) = 0 ;

i =1

i =1

i =1

i =1

i =1

i =1

n

n

n

i =1

i =1

i =1

n

n

n

i =1

i =1

i =1

n

n

n

i =1 n

i =1

i =1

∑ F ix + ∑ Rix + ∑ Φ ix = 0 ; ∑ F iy + ∑ Riy + ∑ Φ iy = 0 ; ∑ F iz + ∑ Riz + ∑ Φ iz = 0 ; r

n

r

n

r

 M  x (F i )+ ∑ M  x ( Ri )+ ∑ M  x (Φ i ) = 0 ; ∑ i 1 i 1 i 1 =

=

175

=

n

r

n

n

r

r

∑ M  y (F i ) + ∑ M  y ( Ri ) + ∑ M  y (Φ i ) = 0 ; i =1 n

i =1

r

i =1

n

n

r

r

∑ M  z (F i ) + ∑ M  z ( Ri ) + ∑ M  z (Φ i ) = 0 . i =1

i =1

i =1 n

r

r

Φ = ∑ Φi ;

Suminis inercijos j ėgų vektorius:

r

r

Φ = − M  ⋅ a C .

i =1

r

n

r

 M O = ∑ M O (Φ i ) .

Suminis inercijos j ėgų vektorinis momentas:

Φ

i =1

Esant kūno sukamajam jud ė jimui:

 M  zΦ = −ε ⋅ I  z .

Atraminių reakcijų  dinaminės dedamosios:

 R Bd  =

1 2 ε + ω 4 ⋅  I  yz2 + I  xz2 . a

Reakcijų dinaminių dedamų  jų pusiausvyros s ą lygos: lygos:  My C  + ω 2 Mx C  = 0 ; − ε ⋅ Mx C  + ω 2 My C  = 0 ; ε ⋅ I  xz − ω 2 I  yz = 0 ; ε ⋅ I  yz + ω 2 I  xz = 0 ;

čia  xC  = 0;  y C  = 0;  I  xz = 0;  I  yz = 0.

Bendroji dinamikos lygtis n

r

r

r

r

r

r

r

r ( ) F  +  R + Φ ⋅ δ r  ∑ i i i i = 0; i =1 n

r r ( ) F  +  R − m a ⋅ δ r  ∑ i i i i i = 0; i =1 n

r &r& ) ⋅ δr  ( F  +  R − m r  ∑ i i i i i = 0; i =1 n

{(F ix + Rix − mi x&&i ) ⋅ δ x i + (F iy + Riy − mi y&&i ) ⋅ δ y i + (F iz + Riz − mi z&&i ) ⋅ δ z i } = 0 ; ∑ i 1 =

n

r

r

r ∑ (F i + Φ i ) ⋅ δr i = 0 ; i =1 n

r

r r ∑ (F i − mi a i )⋅ δr i = 0 ; i =1

176

n

r

r r ∑ (F i − mi r &&i ) ⋅ δr i = 0 ; i =1 n

{(F ix − mi x&&i ) ⋅ δ xi + (F iy − mi y&&i ) ⋅ δ y i + (F iz − mi z&&i ) ⋅ δ z i } = 0 . ∑ i 1 =

Lagranžo antrojo tipo lygtis   d  ∂T  ∂T     = Qk  ; − &  dt  ∂q k  ∂q k  

čia k  = 1, 2, ..., n.

Smūgis Judė jimo kiekio teorema sm smūgiui:

r

r

r

v

t  r

mu − mv = F ⋅ τ . S  = ∫ F dt .

Smūgio impulsas arba tiesiog sm ūgis:

0

Smūgio judesio kiekio teorema taškui:

r

r

r

mu − mv = S ;  mu x − mv x = S  x ;  mu y − mv y = S  y ;  mu − mv = S  .  z  z   z

Mechaninės sistemos judesio kiekio teorema sm ūgiui: n

n

r

n

r

r

n

r

∑ mk u k  −∑ mk v k  = ∑ S k i +∑ S k v ; k =1

r

k =1 n

r

k =1

k =1

r

K  − K 0 = ∑ S k i ; k =1 n  i  K  x − K 0 x = ∑ S kx ; k =1  n  i K  y − K 0 y = ∑ S ky ; k =1   K  − K  = n S i . ∑ kz 0 z   z k =1

Mechaninės sistemos mas ės centro grei čio kitimas dėl smūgio: r

r

n

r

 M u C  − M v C  = ∑ S k i . k =1

Mechaninės sistemos sm ūgio kinetinio momento teorema: 177

r

r

n

r

r

 L − L0 = ∑ M O (S k i ); k =1

n r  i (  L −  L =  M  S  ∑ 0 x  x k  );   x k =1  n r  i  L y − L0 y = ∑ M  y (S k  ); k =1  r  L − L = n  M  (S  i ∑  z k  ). 0 z   z k =1

Taško greitis po sm ūgio: r

r

u =v+

1 r S . m

Atsistatymo koeficientas:

u k  = ; v

k  =

u m ⋅ u S 2 = = ; v m ⋅ v S 1

Taško greitis po ekscentrinio sm ūgio: u = v ⋅ sin 2 α + k 2 cos 2 α ,

1 tgβ = tgα, k 

Tiesioginis centrinis dviej ų  kūnų smūgis: m1 (u1 − v1 ) = −S ;   m 2 (u 2 − v 2 ) = S .

Taško greitis po ekscentrinio sm ūgio: u=

m1v1 + m 2 v 2 . m1 + m 2

Pagrindinė smūgio lygtis pirmajai fazei: m1 (u − v1 ) = −S 1′ ;   m 2 (u − v 2 ) = S 1 .

Pirmosios fazės smūgio impulsas: S 1 =

m1 m 2 (v1 − v 2 ) . m1 + m 2

Pagrindinė lygtis antrajai sm ūgio fazei: m1u1 − m1u = − S 2′ ;   m 2 u 2 − m 2 u = S 2 .

178

β > α.

k  =

h2 . h1

m1u1 − m1u = −k ⋅ S 1′;   m 2 u 2 − m 2 u = k ⋅ S 1 .

Kūnų greičiai po smūgio: m2  ( ) (v − v ) ; u = v − + k  1 1 1  m1 + m 2 1 2  m1 u 2 = v 2 + (1 + k ) (v − v ) .  m1 + m 2 1 2

Atsistatymo koeficiento reikšm ė: k  =

u 2 − u1 . v1 − v 2

Smūgio impulsas: S  = (1 + k )

m1 m 2 (v − v ) . m1 + m 2 1 2

Absoliučiai netamprus sm ūgis:  u = u; greičių reikšmės po smūgio:  1 u 2 = u;

smūgio impulso reikšm ė:

S  =

m1 m 2 (v − v ) . m1 + m 2 1 2

Absoliučiai tamprus smūgis: 2m 2  (v − v ) ; u = v − 1 1  m1 + m 2 1 2 greičių reikšmės po smūgio:  2m1 u 2 = v 2 + (v − v ) ;  m1 + m 2 1 2 smūgio impulso reikšm ė:

S  =

2m1 m 2 (v − v ) . m1 + m 2 1 2

Karno teorema ∆T  =

1 1 m1 (v1 − u )2 + m 2 (v 2 − u ) 2 . 2 2 n

r

∑ M  z (S k i ) Kampinio grei čio pokytis:

ω − ω0 =

k =1

 I  z

179

.

Svyravimai laisvų  jų svyravimų diferencialinė lygtis:

d 2 x 2 + k   x = 0; dt 2

laisvų  jų svyravimų lygtis:

 x = a sin (kt + α ) ;

svyravimų amplitudė:

a; v 02 a =  x + 2 ; k  2 0

svyravimų  juosta:

2a;

svyravimų fazė:

(kt + α ) ;

svyravimų pradinė fazė:

α;

tgα =

kx 0 ; v0

svyravimų  periodas:

T  =

2π ; k 

svyravimų savieji dažniai:

k  =

c ; m

svyravimų ciklinis dažnis:

k  =

2π ; T 

dažnis hercais (Hz):

 f  =

1 ; T 

gę stan stančių  jų svyravimų  diferencialinė lygtis:

d 2 x dx m 2 + 2n + k 2 x = 0; dt  dt 

gę stan stančių  jų svyravimų  lygtis, kai n < k :

 x = ae − nt  sin (k 1t  + α 1 ) ;

ciklinis gę stan stančių  jų svyravimų  dažnis:

k 1 = k 2 − n 2 ;

gę stan stančių  jų svyravimų  amplitudė:

(v 0 + nx 0 )2 a =  x + ; k 12

gę stan stančių  jų svyravimų  pradinė fazė:

tgα 1 =

2 0

180

 x 0 k 1 ; v0 + nx 0

svyravimų  periodas:

T  R =

2π ; k 1

gę stan stančių  jų svyravimų  dekrementas:

 D =

a i +1 = e − nT  R ; a i −1

gę stan stančių  jų svyravimų  logaritminis dekrementas: dekrementas:

λ = ln D = nT  R ;

gę stan stančių  jų svyravimų  lygtis, kai n > k :

 x = e − nt  C 1 e

n 2 − k 2 t 

n 2 − k 2 t 

+ C 2 e −

t ;

 x = e − nt  (C 1 + C 2 t ) ;

gę stan stančių  jų svyravimų  lygtis, kai n = k :

priverstinių svyravimų neį vertinant vertinant slopinimo diferencialin ė lygtis: d 2 x + k 2 x = h sin (ωt  + δ) ; 2 dt 

priverstinių svyravimų nesant slopinimui bendrasis sprendinys:  x = x1 +  x 2 ;

 x1 = a sin (kt + α );

 x 2 =  A sin (ωt + δ);

 x 2 =

statinė deformacija:

 A0 =

svyravimų dinamiškumo koeficientas:

η=

mažų  dažni ų svyravimų dinamiškumo koeficientas:

η=

h k 2 − ω 2 h ; k 2

 A ;  A 0

1 1−

didelių dažnių  svyravim ų  dinamiškumo koeficientas:

η=

sin (ωt  + δ) .

ω2

k 2

1 ω2

k 2

;

;

−1

priverstinių svyravimų judė jimo lygtis:  x = x 0 cos kt +

v0 h   ω h   sin kt − 2 sin cos cos sin sin (ωt  + δ) ; δ ⋅ kt  + δ ⋅ kt  +   2 2 k  k  k  − ω 2   k  − ω  

 x1 = x 0 cos kt +

v0 sin kt ; k 

181

 x 2 = −  x3 =

h

ω     δ ⋅ kt  + δ ⋅ kt  sin cos cos sin  ; k  k 2 − ω 2    

h 2

k  − ω 2

sin (ωt  + δ ) .

182