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Oposiciones Secundaria – Tecnología Flexión de vigas
1. VIGAS Se designa con el nombre de viga a todo elemento que forma parte de una estructura y cuya longitud es considerablemente mayor que sus dimensiones transversales. Las vigas se considerarán considerará n como estructuras estructur as planas y se supondrán sometidas sometida s a cargas (puntuales o uniformemente distribuidas) distribui das) que actúan en dirección perpendicular a su eje mayor. Las vigas que serán objeto de estudio son estáticamente determinadas, puesto que las reacciones en los apoyos pueden determinarse fácilmente aplicando aplicando las ecuaciones ecuacio nes de equilibrio de la Estática. 2. MOMENTO FLECTOR Y ESFUERZO CORTANTE Supongamos una viga AB simplemente apoyada, sobre la que actúan las cargas verticales que provocan una serie de esfuerzos y deformaciones internas.
Para calcularlas vamos a imaginar que la viga se divide en dos partes por medio de una sección recta 1-2 situada a una distancia x del apoyo A y que se prescinde del trozo situado a la l a derecha de dicha sección. Para analizar el equilibrio de la parte que conservamos consideraremos las fuerzas exteriores y las fuerzas interiores situadas en la sección 1-2, que representan las acciones del trozo de viga de la derecha sobre el de la izquierda y que deben equilibrar a las fuerzas exteriores. De acuerdo con los principios de la Estática, todas las fuerzas exteriores pueden sustituirse por una fuerza vertical F que actúa en el plano de la sección 1-2 y por un par de momento M. La fuerza F recibe el nombre de esfuerzo cortante en la sección recta 12, y su valor es igual a la suma de todas las fue fue rzas exteriores exterior es que actúan sobre el trozo de viga aislado. En el ejemplo que analiza analiza mos el esfuerzo cortante valdrá: 1/10
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F = R A - P 1 - P 2 El par M se conoce como momento flector en la sección recta 1-2 y su valor es igual a la suma de todos los momentos de las fuerzas exteriores que actúan sobre el trozo de viga aislado con respecto al centro de gravedad de la sección. En nuestro caso: M = R A · x - P 1 · ( x - d 1 ) - P 2 · (x - d 2 ) Relación entre el momento flector y el esfuerzo cortante : Para un trozo de viga (independientemente de que actúen cargas o no) el esfuerzo cortante es igual a la derivada del momento flector respecto a x. Sentido de los momentos flectores y de las fuerzas cortantes Para describir las ecuaciones de equilibrio correspondientes en el estudio de la flexión, hay que establecer los signos de los momentos flectores y de las fuerzas cortantes. Se consideran positivos los momentos flectores que tienen tendencia a curvar la viga hacia abajo, es decir, a formar una convexidad bajo la viga; en caso contrario se consideran negativos. Se consideran positivas aquellas fuerzas cortantes que a la izquierda se dirigen hacia arriba y a la derecha hacia abajo, y negativas las que van al contrario.
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3. DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLECTORES Y DE ESFUERZOS CORTANTES El esfuerzo cortante y el momento flector de una viga varían a lo largo de su eje longitudinal. Las representaciones gráficas del momento flector y del esfuerzo cortante en función de la distancia x de la sección considerada al extremo de la viga se denominan diagramas de momentos flectores y de esfuerzos cortantes, respectivamente. Veamos a continuación los diferentes casos que se nos pueden plantear: 3.1. Viga simplemente apoyada con una carga puntual centrada. En primer lugar se calculan las reacciones en los apoyos, aplicando las ecuaciones de equilibrio:
Σ F Y = 0; R A + R B - P = 0 Σ M B = 0; R A · L – P ·
L 2
= 0
Resolviendo el sistema, se obtiene: R A = R B =
P 2
Trazando una sección 1-2 a la izquierda del punto de aplicación de la L carga 0 ≤ x ≤ , el momento flector valdrá:
2
M X1 = R A · x =
P 2
· x
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L mientras que para otra sección 1-2 a la derecha de la carga ≤ x ≤ L
2
L P M X2 = R A · x – P · x - = · (L - x )
2
2
La representación gráfica del momento flector en función de x conduce al diagrama de la figura siguiente. Se observa que el momento flector es nulo en los extremos de la viga y alcanza un valor máximo en el punto donde está aplicada la carga P (punto medio). En cuanto a los esfuerzos cortantes, se pueden obtener aplicando la expresión F =
dM dX
Para 0 ≤ x ≤ Para
L 2
L 2
; F X1 =
≤ x ≤ L : F X2 =
dM X1 dX dM X2 dX
= R A =
P 2
= R A - P =
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P 2
- P = -
P 2
= R B
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La representación gráfica de F en función de x da lugar al diagrama de esfuerzos cortantes de la figura anterior. El esfuerzo cortante permanece constante desde A hasta el punto medio de la viga, donde esta aplicada la carga P. En este punto se produce un cambio brusco en el sentido del esfuerzo cortante, que pasa a valer F= -P/2. En el punto de aplicación de la carga P la pendiente del diagrama de momentos flectores cambia bruscamente: a la izquierda la pendiente es positiva e igual a P/2, y a la derecha negati va y de valor - P/2. 3.2. Viga simplemente apoyada con una carga puntual descentrada Sea la carga P que se encuentra a las distancias respectivas a y b de los extremos de la viga.
Las reacciones en los apoyos se calculan aplicando las ecuaciones de equilibrio:
Σ F Y = 0; R A + R B - P = 0 Σ M B = 0; R A · L – P ·b = 0 obteniendo: R A =
P · b L
; R B =
P ·a L
Los momentos flectores vendrán dados por: M X1 = R A · x =
P · b L
· x (para 0 ≤ x ≤ a)
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M X2 = R A · x – P · (x - a ) = carga.
P ·a L
· (L - x ) (para a ≤ x ≤ L)
El momento flector es máximo en la sección en la que está aplicada la
Su valor se obtiene haciendo x = a en cualquiera de las dos ecuaciones anteriores: M máx =
P · a · b L
Los esfuerzos cortantes se obtienen derivando respecto a x las expresiones de los momentos flectores. Para 0 ≤ x ≤ a; F X1 =
dM X1
Para a ≤ x ≤ L; F X2 =
dM X2
dX
dX
=
P · b L
= R A - P =
P ·a L
= - R B
3.3. Viga simplemente apoyada con una carga uniformemente distribuida.
Denominamos q a la densidad de la carga que actúa sobre la viga. Las reacciones en los apoyos se calculan por simetría:
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R A = R B =
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q·L 2
Al no existir discontinuidades de carga, la ecuación del momento flector es la misma para toda la viga: M = R A · x – q · x ·
x 2
=
q·L 2
· x -
q·x 2 2
(para 0 ≤ x ≤ L)
Para obtener el momento flector máximo igualamos a cero la derivada: dM dX
=
q·L 2
- q · x = 0; de donde despejamos que x = L/2
Sustituyendo en la ecuación del momento flector obtenemos el valor máximo: M máx =
q·L2 8
La ecuación de esfuerzos cortantes es: F=
dM dX
= R A - q · x =
q·L 2
- q · x
Si se hace F = 0, resulta x = L/2 (el esfuerzo cortante se anula en el punto medio de la viga) En el caso de que la carga se encuentre distribuida sobre una parte de la viga, ésta se divide en varios trozos y para cada uno de ellos se determinan las correspondientes expresiones de F y M. 3.4. Viga en voladizo con una carga puntual en su extremo libre No es necesario conocer previamente las reacciones en los apoyos cuando tengamos una viga en voladizo.
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La única fuerza que actúa a la izquierda de cualquier sección es Ia carga puntual P, por lo que la ecuación del momento flector es la misma para toda la viga: M = - P · x (para 0 ≤ x ≤ L) El momento flector máximo tiene lugar en el empotramiento (x=L) y su valor es: M máx = - P · L El esfuerzo cortante es constante en todas las secciones de la viga: F=
dM dX
= - P (para 0 ≤ x ≤ L)
3.5. Viga en voladizo con una carga uniformemente distribuida La ecuación del momento flector será:
M=-q ·x·
x 2
= -
q·x 2 2
(para 0 ≤ x ≤ L)
El momento flector máximo corresponde al empotramiento (x=L), y su valor es: M máx =
q·L2 2
La ecuación de esfuerzos cortantes es: F=
dM dX
= - q · x (para 0 ≤ x ≤ L)
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Ecuación válida para cualquier sección de la viga, correspondiendo su valor máximo a la sección de empotramiento. Este valor máximo se obtiene haciendo x=L en la expresión anterior: M máx = - q · L 4. DIMENSIONADO DE UNA VIGA Flecha de una viga La flecha de una viga es la deformación que experimenta el eje neutro y mide la posición de cualquier punto del eje neutro, desde su estado normal hasta la posición deformada. El valor de la flecha es un factor importante que hay que tener en cuenta en el cálculo de los elementos sometidos a flexión, ya que podría pasar que el elemento resistente soportase perfectamente la carga, pero que se produjera una flecha demasiado grande para las condiciones de trabajo. Equilibrio de momento flector Para que haya equilibrio, cada sección de la viga debe producir un momento resistente igual y de sentido contrario al momento flector que le corresponda. Esta resistencia depende de la forma y de la constitución de la viga. Por tanto, para que haya equilibrio en una determinada sección se deberá cumplir la ecuación siguiente: M f = σ adm · W
donde: Mf: Momento flector σ
adm
: Tensión de trabajo admisible por el material
W: Momento resistente de la sección considerada Momento resistente El momento resistente no depende del material, sino que es un valor constante para cada forma de la sección. Éste es el resultado de dividir el momento de inercia de la sección, referido al eje que pasa por su centro de gravedad, por la distancia del eje a la fibra más lejana referida en la sección.
Dimensionado Para dimensionar una viga, normalmente se parte del esfuerzo máximo que puede soportar el material, teniendo en cuenta los coeficientes de seguridad que adoptamos y partiendo de la base de que el esfuerzo de tracción es el mismo que el de compresión, aplicando un único tipo de esfuerzo.
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Primero se determinará el módulo resistente de la viga necesario a partir de la siguiente expresión: W=
M f máx σ adm
Una vez obtenido el momento resistente necesario, buscaremos la sección de la viga que tenga el momento resistente igual o superior al calculado. Este valor lo podemos encontrar en prontuarios que facilitan los fabricantes de vigas y perfiles laminados.
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