Facultad de Ingeniería Universidad Nacional de La Plata
ESTRUCTURAS IV
FLEXOTORSION
Autores: Ing. Juan Pablo Durruty Ing. Marcos D. Actis Ing. Alejandro J. Patanella
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INTRODUCCION: En los perfiles abiertos de paredes delgadas con dos ejes de simetría (centro de corte coincidente con el centro de gravedad), el pandeo puede darse según algunos de estos ejes o por torsión. En el caso de tener un sólo eje de simetría o ninguno, la pieza puede fallar por alguno de estos tres casos o por una combinación de flexión con torsión, lo que se denomina Pandeo por Flexotorsión.
ECUACIÓN GENERAL DE PANDEO: Cuando se estudia la flexión simple se obtiene que:
∂ M x ∂ z ∂ 2 M x ∂ z
2
= − Q y
= −q y
y el Mx está dado por:
M x
= − y′′EJ x =
∂ 2Y − 2 EJ x ∂ z
4
∴
∂ Y 4 EJ x ∂ z
(1)
= qy
análogamente para el otro eje:
∂ 4 X ∂ z
4
EJ y
= qx
(2)
Por otra parte, al estudiar el problema de estabilidad, se obtiene: según el eje y:
EJ x
2 ∂ Y 2 ∂ z
= − Pcr Y
(3) Página 2 de 21
según el eje x:
EJ y
∂ 2 X 2 ∂ z
= − Pcr X
(4)
Derivando (3) y (4):
EJ x
4 ∂ Y
∂ z
4
= − Pcr
2 ∂ Y
∂ z
EJ y
y
2
∂ 4 X ∂ z
4
= − Pcr
∂ 2 X ∂ z 2
Reemplazando en (1) y (2):
q y
= − Pcr
∂ 2Y ∂ z 2
(5)
q x
y
= − Pcr
∂ 2 X ∂ z
2
(6)
Luego para encontrar la ecuación general de pandeo, provocaremos una perturbación infinitesimal en las direcciones x e y, compuestas con una rotación θ. (figura 1) M’
α M(xM,yM)
θ
Y
β
β
G’
θ B’
B” F
D G” B(xB,yB)
β
ds Y
YG” t
α G
X X
Figura 1
XG” Como se observa en la figura 1, se dan a la sección, los desplazamientos X e Y, y un giro θ que se verifica alrededor del centro de corte de la misma (M); pero como éste también se ha desplazado el giro es alrededor de su nueva posición (M’). Las nuevas coordenadas del centro de gravedad (G) serán:
X G ′′
=
X
+ G ′D ≅
X
+ G ′ G ′′ senα Página 3 de 21
pero:
G ′ G ′′ ≅ G ′M ′θ
→ ∴
= G Mθ
= X + G M θ senα X G " = X + Y M θ
(7)
= Y − G ′′D ≅ Y − G ′G ′′ cosα = Y − G Mθ cosα = Y − X M θ
(8)
X G "
análogamente:
YG " YG " YG "
Como la carga está ubicada en el centro de gravedad, al desplazarse éste, se generan los momentos:
M x
= PYG " = P( Y − X M θ )
y
M y
= PX G" = P( X + Y M θ )
reemplazando en (3) y (4):
EJ x
EJ y
∂ 2 Y ∂ z 2
= − P( Y − X M θ ) = − M x
∂ 2 X ∂ z 2
= − P( X + YM θ ) = − M y
(9)
(10)
Considerando un punto cualquiera sobre la línea media de la sección, como por ejemplo el punto B (xB, yB), su desplazamiento será similar al de G:
Y B "
= YB + Y + B ′F ≅ YB + B ′B ′′ sen β
B ′B ′′ ≅ B ′M ′θ
= BM θ
Y B "
= YB + Y + BMθ sen β
Y B "
= YB + Y − θ ( X M − X B )
(11)
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X B"
= X B + X + B ′F cos β
X B
= X B + X + θ ( YM − Y B )
(12)
Reemplazando (11) y (12) en (5) y (6):
q y q x
= − Pcr = − Pcr
∂ 2 Y
= − Pcr
∂ z 2 ∂ 2 X
∂ 2
B
∂ 2
= − Pcr
∂ z 2
+ Y + θ ( X M − X B )] = − Pcr
[Y
∂ z 2 ∂ z 2
[ X
∂ 2
B
∂ z 2
+ X + θ ( YM − YB )] = − Pcr
∂ 2 ∂ z 2
[Y − θ ( X
M
− X B )]
M
− Y B )]
[ X + θ ( Y
Tomando Momento torsor con respecto al centro de corte y siendo:
∂q y ∂q x
= ∂ Pcr = ∂ Pcr
∂T ( z )
∂
2
∂ z
2
∂ 2 2 ∂ z
[Y − θ ( X
M
− X B )]
M
−Y B ) ]
[ X + θ (Y
= σ tds
∂ 2 ∂ z
− σ tds
2
[Y − θ ( X
∂
2
∂ z 2
M
∂Pcr = σ tds
y
∂Pcr = σ tds
y
− X B ) ]( X M − X B ) −
[ X + θ ( Y
M
− YB ) ]( YM − YB )
Integrando a lo largo de toda la línea media de la sección:
T ( z)
= ∫ σ t s
− ∫ σ t s
∂ 2 Y ∂ z
2
( X − X ) ds − ∫ σ t B
s
∂ 2 X ∂ z
M
2
B
∂ z
2
( X − X )
∂ 2θ σ t 2 ( YM ∂ z s
( Y − Y ) ds − ∫ M
∂ 2θ
M
− YB )
2
B
2
ds −
ds
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T ( z ) = σ X M
+ 2σ + σ
∂ 2 Y ∂ z 2
∂ 2θ ∂ z 2
∂ 2 X ∂ z
2
∂ 2 Y
∫ tds − σ ∂ z ∫ tX 2
s
B
∂ z 2
s
∫
X M tX B ds − σ S
∂ 2θ
∫ tY ds − σ ∂ z B
2
∂ 2θ ∂ z 2
(Y )
− σ ∂ 2 Y
− σ Y M
∂ z 2
2
M
∂ z 2
)
B
2
M
∂ 2θ ∂ z 2
∫
ds − σ
∂ 2θ
∫ tds + 2σ ∂ z
2
∂ 2 X ∂ z 2
∫
YM tds + s
∫
Y M tYB ds − S
2
t ( Y B ) ds
s
∂ 2θ ∂ z 2
A − σ
∫ tds + s
s
A − σ
∂ 2 X
∫ t( X
2
( X )
s
s
T ( z ) = σ X M
ds − σ
∂ 2θ
( X )
2
M
∂ 2θ ∂ z 2
(Y ) M
A − σ 2
∂ 2θ ∂ z 2
A − σ
J y
∂ 2θ ∂ z 2
−
J x
2 2 ⎛ ∂ 2 Y P ∂ θ ∂ X 2 2 T ( z ) = P⎜ X M 2 − Y M 2 ⎟− 2 ( X M A + J y + YM A + J x ) ∂ z ∂ z ⎠ A ∂ z ⎝
Llamando:
J 0
= ( X M2 + YM2 ) A + J y + J x
2 ⎛ ∂ 2Y ∂ 2 X P ∂ θ T ( z ) = P⎜ X M 2 − Y M 2 ⎟− 2 J 0 ∂ ∂ ∂ z z A z ⎝ ⎠
(13)
T(z) es un momento torsor distribuido en la longitud de la pieza. En la “referencia 1” se calculó el momento torsor que absorbe un perfil abierto de paredes delgadas con alabeo restringido, cuando el momento aplicado es constante a lo largo de la pieza.
T
= C M E
∂ 3θ 3 ∂ z
− GJ t
∂θ ∂ z
Por lo tanto para obtener la expresión correspondiente al caso de un momento distribuido se hace: Página 6 de 21
T(z) T
T + dT dz dz
dz Figura 2
T ( z ) dz = T +
dT dz
dz − T =
dT dz
4
= C M E
d θ dz
4
2
− GJ t
d θ dz
2
(14)
Reemplazando (13) en (14): 2 4 2 ⎛ ∂ 2 Y ∂ 2 X P ∂ θ d θ d θ P⎜ X M 2 − Y M 2 ⎟− 2 J 0 = C M E 4 − GJ t 2 A ∂ ∂ ∂ z z z dz dz ⎝ ⎠ 4
C M E
d θ dz
4
2 ⎛ P ⎞ d θ ∂ 2 Y ∂ 2 X − ⎜ GJ t − J 0 ⎟ 2 − PX M 2 + PY M 2 = 0 ⎝ A ⎠ dz ∂ z ∂ z
(15)
Resolvemos la ecuación general para el caso que presenta las siguientes condiciones de borde: en z = 0 y z = L : 2
o sea:
d Y dz 2
X = Y = 0; 2
=
d X dz 2
θ = 0 y además Mx = My = 0
2
=
d θ dz 2
=0
en z = 0 y z = L
Proponiendo la siguiente solución: X
=
⎛ π z ⎞ ⎟ ⎝ L ⎠
A1 sen⎜
Y
=
⎛ π z ⎟ ⎝ L ⎠
A2 sen⎜
⎛ π z ⎟ ⎝ L
θ = A3 sen⎜
Reemplazando en (9) y (10):
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⎛ π ⎞2 ⎛ π z ⎞ ⎛ π z ⎞ ⎛ π z ⎞ − EJ x ⎜ ⎟ A2 sen⎜ ⎟ = − PA2 sen⎜ ⎟ − PX M A3 sen⎜ ⎟ ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ ⎡ ⎛ π ⎞2 ⎤ (16) ⎢ P − EJ x ⎜⎝ ⎠⎟ ⎥ A2 − PX M A3 = 0 L ⎣ ⎦ ⎛ π ⎞2 ⎛ π z ⎞ ⎛ π z ⎞ ⎛ π z ⎞ − EJ y ⎜ ⎟ A1 sen⎜ ⎟ = − PA1 sen⎜ ⎟ − PYM A3 sen⎜ ⎟ ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ ⎡ ⎛ π ⎞2 ⎤ (17) ⎢ P − EJ y ⎜⎝ ⎠⎟ ⎥ A1 − PYM A3 = 0 L ⎣ ⎦ de la (15): 2 ⎛ π ⎞4 ⎛ π z ⎞ ⎛ P ⎞⎛ π ⎞ ⎛ π z ⎞ C M E ⎜ ⎟ A3 sen⎜ ⎟ + ⎜ GJ t − J 0 ⎟⎜ ⎟ A3 sen⎜ ⎟ + ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ ⎝ ⎝ L ⎠ A ⎠⎝ L ⎠ ⎛ π ⎞2 ⎛ π z ⎞ ⎛ π ⎞2 ⎛ π z ⎞ + PX M ⎜ ⎟ A2 sen⎜ ⎟ − PY M ⎜ ⎟ A1 sen⎜ ⎟ = 0 ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠
⎡ ⎛ π ⎞2 P ⎤ PY M A1 − PX M A2 − ⎢ C M E ⎜ ⎟ + GJ t − J 0 ⎥ A3 = 0 ⎝ L ⎠ A ⎦ ⎣
(18)
Se obtuvo entonces un sistema de 3 ecuaciones [(16), (17) y (18)] con tres incógnitas (A1, A2 y A3); para encontrar una solución única el determinante deberá ser nulo:
0
⎡ ⎛ π ⎞ 2 ⎤ ⎢ P − EJ x ⎜⎝ ⎠⎟ ⎥ L ⎦ ⎣
− PX M
⎛ π ⎞ 2 ⎤ P − EJ y ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ L ⎠ ⎦
0
PY M
− PX M
⎡P ⎤ ⎛ π ⎞ 2 ⎢ J 0 − C M E ⎜⎝ ⎠⎟ − GJ t ⎥ L ⎣ A ⎦
PY M
=0
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⎡ ⎡ ⎤⎫ ⎛ π ⎞2 ⎤⎧ 2 ⎛ π ⎞2 ⎤ ⎡ P ⎛ π ⎞2 ⎢ P − EJ x ⎜⎝ ⎠⎟ ⎥⎨( PYM ) − ⎢ P − EJ y ⎜⎝ ⎠⎟ ⎥ ⎢ J 0 − C M E ⎜⎝ ⎠⎟ − GJ t ⎥⎬ + L ⎦⎩ L ⎦ ⎣ A L ⎣ ⎣ ⎦⎭ 2⎡ ⎛ π ⎞2 ⎤ (19) + ( PX M ) ⎢ P − EJ y ⎜ ⎟ ⎥ = 0 ⎝ L ⎠ ⎦ ⎣ Considerando ahora el caso en que el centro de corte coincida con el centro de gravedad, de las ecuaciones (16), (17) y (18) se obtiene:
Pcrθ
⎛ π ⎞2 Pcrx = ⎜ ⎟ EJ x ⎝ L ⎠ ⎛ π ⎞2 Pcry = ⎜ ⎟ EJ y ⎝ L ⎠ ⎤ A ⎡ ⎛ π ⎞2 = ⎢ C M E ⎜ ⎟ + GJ t ⎥ ⎝ L ⎠ J 0 ⎣ ⎦
(20)
(21)
(22)
Estas ecuaciones dan las cargas críticas de pandeo por flexión en ambos ejes y por torsión. La menor de estas tres será la carga crítica de la columna y determinará entonces la forma de pandeo de la misma.
Considerando las (20), (21) y (22); y desarrollando (19) en P, se obtiene la ecuación general de pandeo por flexotorsión:
P
3
⎡ J x + J y ⎤ 2 ⎡ A ⎤ 2 2 ⎢ J ⎥ − P ⎢ Pcrx + Pcry + Pcrθ − ( Pcrx YM + Pcry X M ) J ⎥ + ⎣ o ⎦ ⎣ 0 ⎦ (23)
+ P[ Pcrθ ( Pcrx + Pcry ) + Pcrx Pcry ] − Pcrx Pcry Pcrθ = 0
Para el caso de tener un solo eje de simetría se debe resolver el determinante reducido, suponiendo Y M = 0, se obtiene:
⎤ 2 ⎛ π ⎞2 ⎤ ⎡ P ⎛ π ⎞2 P − EJ x ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ J 0 − C M E ⎜ ⎟ − GJ t ⎥ + ( PX M ) =0 ⎝ L ⎠ ⎦ ⎣ A ⎝ L ⎠ ⎦ J 0
[ P − P ] [ P − P ] A + P crx
crθ
2
2
X M
= 0 Página 9 de 21
P
2
⎛ 2 A ⎜1 − X M ⎟ − P( Pcrx + Pcrθ ) + Pcrx Pcr θ = 0 J 0 ⎠ ⎝
(24)
Para el caso de tener dos ejes de simetría, las cargas se calculan por las ecuaciones (20), (21) y (22). La carga crítica será entonces la menor de las tres.
EJEMPLOS DE PANDEO POR FLEXOTORSION: 1) Secció n con dos ejes de simetría: Datos:
t h
E = 75000 N/mm2 G = 21000 N/mm2 σp = 100 N/mm2 L = 5000 mm t = 2 mm h = 80 mm b = 40 mm A = 320 mm2
b Momentos de inercia:
Jx = 2.(40.23/12 + 40.2.402) + 2.803/12 = 341386 mm4 Jy = 2.2.403/12 =
21333 mm4
Condiciones de borde: En ambos ejes la condición es articulado - articulado, por lo tanto, C = 1 Página 10 de 21
2
λ p
=
Cπ E
σ p
ρx = 32,66 mm
λx = 153 > 86
ρy = 8,165 mm
λy = 612 > 86
= 86
Por lo tanto en ambos ejes, el pandeo será elástico CALCULO DE LAS CARGAS CRITICAS:
σcrx = C.π2.E / λx2 = 31,62 N/mm2
Pcrx = σcrx . A = 10118 N
σcry = C.π2.E / λy2 = 1,976 N/mm2
Pcry = σcry . A = 632,42 N
Coeficiente de torsión: CM = tf . h2 . b3 = 34133333 mm6, 24 El centro de corte coincide con el baricéntrico
tf = t
⇒ x0 = y0 = 0
Pcr θ = A(G Jt + E π2 CM) , donde: J0 = Jx + Jy + A(x02 + y02) = 362720 mm4 J0 L2
⇒
Jt = t3 (2b + h) = 426,66 mm4 3
Pcr θ = 8796,2 N
En secciones con dos ejes de simetría, la carga crítica por flexotorsión es la menor de las tres anteriormente calculadas,
⇒
Pcr = 632,42 N
2) Secció n con un eje de simetría: Datos:
t h
E = 70000 N/mm2 G = 27000 N/mm2 σp = 100 N/mm2 L = 800 mm t = 1 mm (tf = tw = t) h = 20 mm b = 15 mm A = 50 mm2
b CALCULO DEL CENTRO DE GRAVEDAD: La ordenada del baricentro se encuentra en el eje de simetría. Página 11 de 21
La abcisa es: xg = 2.15.7,5 / 50 = 4,5 (medida a partir del tabique vertical) CALCULO DE MOMENTOS DE INERCIA, COEFICIENTE DE TORSION Y UBICACION DEL CENTRO DE CORTE: Jx = 2.(15.13/12+15.1.102)+1.203/12 = Jx = 3669,16 mm4
Sistema C.G.
c.c
G
x
x
Jy = 2.(1.153/12+15.1.32)+20.13/12+20.1.4,52 = Jy = 1239,16 mm4 e = 3.b2.tf = 6,136 mm 6.b.tf +h.tw
e x0
x0 = xg + e = 10,636 mm,
y0 = 0
CM = tf .b3.h2 . (3.b.tf +2.h.tw) = 86931,8 mm6 12 (6.b.tf +h.tw)
ρx = 8,566 mm
λx = 93,4
ρy = 4,978 mm
λy = 160,7
Diagrama de área sectorial principal: w0 = 0 1 2 P - c.c
w1 = -10.e = 61,36 w2 = -61,36 + 10.b = 88,64
0 Se verifica que el punto donde w =0, en las alas está a una distancia “e” de 1.
CALCULO DE LAS CARGAS CRITICAS: Condiciones de borde:
Según el eje X (de simetría), la condición es articulado articulado ⇒ Cx = 1 Según el eje Y, la barra esta empotrada-empotrada ⇒ Cy = 4
λpx2 = Cx . π2 . E / σp ⇒ λpx = 83,12 < λx λpy2 = Cy . π2 . E / σp ⇒ λpy = 166,23 > λy Por lo tanto en el eje X el pandeo será elástico y en el eje Y será inelástico. Página 12 de 21
σcrx = Cx . π2 . E / λx2 = 79,2 N/mm2
⇒ Pcrx = 3960 N
σcry = σp = 100 N/mm2
⇒ Pcry = 5000 N
De datos y cálculos anteriores:
J0 = 10564,54 mm 4 Jt = 50/3 mm4 G = 27000 N/mm2
⇒ Pcr θ = 2574 N
Para secciones con un solo eje de simetría, la carga crítica la da la ecuación (24), en la que si reemplazamos los valores obtenidos de P crx y P cr θ, obtenemos la siguiente ecuación cuadrática: Pcr 2 - 14063,62. Pcr + 21939247,06 = 0 de donde surgen los valores:
Pcr1 = 12276,53 N Pcr2 = 1787 N
La carga crítica será la menor de todas las calculadas anteriormente: Pcr = 1787 N
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3) Cálculo de la carga crítica para los ejemplos anteriores, por el programa de elementos finitos MSC Nastran. Se cargaron los perfiles con tres cargas puntuales de valor P = 1N, en los puntos donde el área sectorial es cero. Estos son los puntos donde no hay alabeo de la sección. e Y
X
Analizando las barras a pandeo, el programa da un valor (Eigenvalue) el cual se multiplica por la carga aplicada. En nuestro caso: EV . 3 . 1N = Pcr
Ejemplo 1) Restricciones en ambos extremos: (T = traslaciones, R = rotaciones) Tx = 0 Ty = 0 Tz = libre Rx = libre Ry = libre Rz = 0 EV = 212,131
⇒
Pcr = 636,4 N
Ejemplo 2) Página 14 de 21
Restricciones en ambos extremos: (T = traslaciones, R = rotaciones) Tx = 0 Ty = 0 Tz = libre Rx = libre Ry = 0 Rz = 0 Ry = 0 considerando empotrado en el eje Y EV = 659,913
⇒
Pcr = 1980 N
La discrepancia de valores en este caso, puede deberse a que si bien se restringieron los nodos con Ry = 0, en el resultado del análisis se aprecia un giro del plano de la sección en el eje Y.
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VERIFICACION EXPERIMENTAL Se ensayaron cinco perfiles de chapa doblada de aluminio 5052, de geometría similar a la del ejemplo 2. Para obtener las condiciones de borde planteadas en dicho ejemplo, se construyeron un par de mordazas con las características que se describen en las siguientes figuras:
120 20 Medidas en mm
60 15
20
80 20
30 10
30
10
Como se aprecia en las figuras, mediante estas mordazas se permite el giro en un eje (condición articulado - articulado) mientras que en el otro, se encuentra impedido (empotrado - empotrado). Además en la plataforma de sujeción del perfil se encuentran dispuestos tres elementos que toman al perfil en los puntos donde el diagrama de área sectorial es nulo (condición de alabeo impedido), como se muestra en el siguiente diagrama:
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Los ensayos se realizaron en un pórtico sujetando una de las mordazas en la viga horizontal superior, mientras que sobre la otra se aplicó la carga por medio de un pistón hidráulico. La fuerza aplicada fue medida mediante un manómetro.
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Característic as de los perfiles ensayados: Sección:
t = 1 mm h = 20 mm b = 15 mm
Resultados obtenidos: Perfi l
Longitud (m)
Carga Crítica Kg (N)
2 3 5 1 4
0,8 0,8 0,8 1,0 1,0
117 (1146,6) 128 (1254,4) 112 (1097,6) 96 (940,8) 96 (940,8)
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CONCLUSIONES Las diferencias entre los valores calculados y los obtenidos en los ensayos se deben a problemas como centrado de carga, doblado de los perfiles (diferencias con la sección transversal teórica, y condiciones de borde reales no exactamente iguales a las teóricas. No obstante, se pudo apreciar el fenómeno de flexotorsión ya que los perfiles fallaron en la forma prevista por los cálculos. Debe señalarse que en las fotos anteriores se aprecia en los perfiles, fallas del tipo de pandeo local, esto se debe a que luego de haber fallado por flexotorsión, se les continuó aplicando carga hasta que se verificaron las fallas mencionadas.
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REFERENCIAS: 1- CALCULO DE TENSIONES NORMALES EN PERFILES DELGADOS ABIERTOS CON ALABEO IMPEDIDO, SOMETIDOS A TORSION, Ing. Pisoni, Ing. Actis.
BIBLIOGRAFIA: 1- STATIK UND STABILITAT DER BAUKONSTRUKTIONEN - Dr. Ing. Christian Petersen. 2- RESISTENCIA DE MATERIALES - V. I. Foedosiev. 3- DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE ACERO - Bresler, Lin y Scalzi.
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TABLA I : Ubicación del centro de corte y coeficiente de alabeo para varios perfiles delgados b tf tw o
CM = tf h2 b3 24
h h/2
b1 tf
tw o e
h
e=h
b13 b13 + b23
CM = tf h2 b13 b23 12 b13 + b23
b2 b e tf o
h
e=
3 b2 tf 6 b tf + h tw
CM = tf b3 h2 3 b tf + 2 h tw 12 6 b tf + h tw
tw
b tw
tf CM =
o
h
b3 h2 [ 2 tf (b2 + b h + h2) + 3 tw b h] 12 (2 b + h2)
h/2
a
a
e = 2 a sen(α) - α cos(α) α - sen(α) cos(α)
t
α α
o CM = 2 t a5 3
α3 - 6 [sen(α) - α cos(α)]2 α - sen(α) cos(α)
e
TABLA I : Continuación Página 21 de 21
t CM = b
e
A3 144
A = área de la sección
o
t CM = t3 (b13 + b23) 36
b2 b1
o
t2 CM = t13 b3 144
d c
+
t23 d3 36
t1 o b
b1 e=
√
c
b b12 (3 b - 2 b1) 2 [2b3 - (b - b1)3]
b e o t w o
e= h
3 (b2 - b12) (w/t) h + 6 (b + b1)
e t
b1
b1 < b
b
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