La finalidad de demostrar la sumatoria de k 2 es demostrar así mismo la identidad resultante
n
3
3
+
2
n
2
+ n6 así como
también dar una noción básica de la suma de areas rectangulares, la cual es muy utilizada en cálculo integral. tenemos que lo que queremos demostrar es n
i2 = 12 + 22 + 32 + ... + n2
i=1
3
para demostrar esto vamos a utilizar un producto notable de tercer grado, por tanto (k + 1) , de esta forma tendríamos
3k 2 + 3k + 1 = (k + 1) 3 − k 3 entonces, si hay n términos
3(1)2 + 3(1) + 1 = (1 + 1)3 − (1)3 3(2)2 + 3(2) + 1 = (2 + 1)3 − (2)3 .. . . = .. de esta forma vemos que se reducen los términos del segundo miembro de la ecuación cuando se suman los n términos y los del primer miembro se suman haciendo posible la existencia de un factor común.
3(12 + 22 + · · · + n2 ) + 3(1 + 2 + · · · + n) + n = n 3 + 3n2 + 3n para hacer claro el por qué la suma de los términos del segundo miembro de la ecuacion da ese resultado, podríamos hacer la siguiente operación n
Esto indica que la suma continua de la serie se determina por reducir términos y dejar sólo
(n + 1) 3 − 13 = n 3 + 3n2 + 3n + 1 − 1 (n + 1) 3 − 13 = n 3 + 3n2 + 3n por tanto, n
(i + 1) − i3 = n 3 + 3n2 + 3n
i=1
Ahora bien, ya sabemos que la suma del segundo miembro es n3 + 3n2 + 3 n y nuestra tarea, se centra en realizar la suma del primer miembro de la ecuación, utilizando las propiedades de la sumatoria, entonces teníamos.
1
3(12 + 22 + · · · + n2 ) + 3(1 + 2 + · · · + n) + n = n 3 + 3n2 + 3n n
