SUMATORIAS 1. Concepto de sumatoria.
A menudo menudo resulta resulta difícil difícil trabajar trabajar con todos los elementos elementos de una determinada sucesión, considerándolos como sumandos. Para facilitar este trabajo se a con!enido re"resentar la adición de los t#rminos en forma abre!iada mediante el si$no Σ acom"a%ado de la fórmula o t#rmino $eneral &ue define a la sucesión ' del ran$o de !alores &ue tomará la !ariable considerada en esa fórmula. Se denomina sumatoria de una sucesión a n a la forma abre!iada de escribir sus t#rminos e("resados como sumandos. Se anota) *+n
a - a - a/ - ... -an +
a*
*+
2. Propiedades de las sumatorias. a. Sumatoria de una constante.
Si c es una constante, entonces) n
c+ n •c *+
0emostración) n
0esarrollando la sumatoria
c , tenemos) *+ n
c + c + c - c - ... - c 1n !eces2 *+
"or lo tanto,
n
c+ n •c
&.e.d.
*+
b. Sumatoria de un producto de una constante por los términos de una sucesión. Si c es una constante, entonces n
n
c • a* + c • *+
a*
*+
Demostración:
n
0esarrollando la sumatoria
c • a* tenemos) *+
n
c • a* + c • a - c • a - ... - c • an *+
+ c 1a - a - ... - an 2 n
n
c • a* + c • *+
a*
&.e.d.
*+
c. Sumatoria de la suma o resta de términos de dos o más sucesiones.
Si a* ' b* son sucesiones, entonces se cum"le &ue n
n
1a* - b* 2 + *+
n
a* *+
0emostración)
b*
*+ n
0esarrollando la sumatoria
1a * - b* 2 tenemos) *+
n
1a* - b* 2 + a - b - a - b - ... - an - bn *+
+ 1a - a - ... - an2 - 1b - b - ... - bn2
n
n
n
1a* - b* 2 + *+
a* -
*+
b*
&.e.d
*+
d. Descomposición de una Sumatoria en dos sumatorias. n
*+
&
n
a* +
a* -
*+
a*
*+&-
3. Propiedad telescópica de las sumatorias.
3l desarrollo de al$unas sumatorias tiene la "articularidad de &ue casi todos sus t#rminos se anulan, &uedando #stas reducidas a solo dos t#rminos. 3sta "ro"iedad se denomina propiedad telescópica de las sumatorias . Obser!emos los si$uientes casos) n
1a*- 4 a* 2 + 1a 4 a2 - 1a/ 4 a2 - 1a5 4 a/2 - ... - 1a n 4 an42 - 1an- 4 an2 *+
n
de tal forma &ue)
1a*- 4 a* 2 + an- 4 a *+ n
Análo$amente)
1a * 4 a*-2 + a 4 an- *+
6a "ro"iedad telescó"ica de las sumatorias también es válida para la sumatoria de los recíprocos de los t#rminos !istos en los casos anteriores. n
n
17a *+
2
4 7a* + 7an - 4 7a o
*-
*+
17a 4 7a 2 + 7a 4 7a *
*-
n-
6a "ro"iedad telescó"ica es de $ran utilidad "ara allar una e("resión &ue "ermita calcular directamente el !alor de al$una sumatoria o "ara demostrar si una sumatoria es i$ual a una e("resión o fórmula dada, como !eremos des"u#s en al$unos ejem"los. . Sumatorias de una sucesión.
A !eces es "osible encontrar una fórmula o e("resión $eneral "ara la sumatoria de los t#rminos de una sucesión, lo &ue, como !eremos, sim"lifica notablemente el cálculo de dica sumatoria. A continuación, allaremos una fórmula "ara al$unas de las e("resiones más usuales. 4 Sumatoria de los n primeros n!meros naturales. Sea an + ,,/,5,8, ... , n 4 , n de modo &ue) n
- -/ - 5 - ... - 1n 4 2 - n +
*
12
*
12
*+
9onmutando los t#rminos del "rimer miembro) n
n - 1n 4 2 - 1n 4 2 - ... - - + *+
Aora, sumando miembro a miembro ' t#rmino a t#rmino las sumatorias 12 ' 12 , obtenemos) n
1n - 2 - 1n - 2 - 1n - 2 - ... - 1n - 2 + :::::::::::::::::: *+ n !eces :::::::::::::::::::
*
;erificamos &ue el sumando 1n - 2 se re"ite n !eces< "or lo tanto) n
* + n • 1n - 2 *+ n
* + n 1n - 2 7
7
•
7
*+
" Sumatoria de los n primeros n!meros naturales impares.
Sea
,/,8,=,>, ... , 1n 4 2 , de modo &ue) n
- / - 8 - = - > - ... - 1n 4 2 +
1* 4 2 *+
A"licando "ro"iedades de las sumatorias, obtenemos) n
n
n
1* 4 2 + *+
n
* 4 *+
+
*+
*4n
*+ n
Por lo tanto)
1* 4 2 + n *+
" Sumatoria de los cuadrados de los n primeros n!meros naturales.
Sea , , / , 5 , ... , n , de modo &ue) n
- - / - 5 - ... - n +
* *+
Para encontrar la fórmula o t#rmino $eneral de esta sumatoria, es necesario utili?ar sumatorias de n@meros naturales elevados a una potencia ma#or $ue 2 ) en este caso, * / ' 1* - 2 /. n
0e esta manera) / - // - 5/ - ... - 1n - 2 / +
1* - 2/ *+
n
12
/ - / - // - ... - n/ +
* / *+
Si la sumatoria 12 le restamos t#rmino a t#rmino la sumatoria 12 , obtenemos) n
n
1* - 2/ 4 *+
* / + 1n - 2/ 4
*+
n
n
1* / - /* - /* - 2 4 *+
* / + 1n - 2 / 4
*+
n
n
* / - / *+
*+
n
n
* - /
*-
*+
*+
n
4
* / + 1n - 2/ 4
*+
A"licando las fórmulas 'a conocidas, obtenemos) n
* - [/n 1n - 2 ] - n + 1n - 2 / 4
/ *+
0es"ejando) n
* + 1n -2/ 4 1n - 2 4 [/n 1n - 2 ]
/ *+ n
* + 1n -2 [1n - 2 4 4 1/n 2]
/ *+ n
* + 1n -2 [n - n7]
/ *+ n
* + n 1n -2 [n - 7]
/ *+
12
n
* + n 1n - 2 [1n - 2 ]
/ *+
n
inalmente, obtenemos)
* + n 1n - 21n - 2 B *+
3C3R9I9IOS 03 9OD93PTO 03 SUMATORIA, PROPI30A03S, SU93SIOD3S E AP6I9A9IFD 03 FRMU6AS. 9alcular las si$uientes sumatorias) 8G
1. *+
5 + 5 - 5 - 5 - 5 - ... - 5 + 8G • 5 + GG ::::::: 8G !eces :::::::
8
/ 1* - 2 + /
2.
1* - 2 + / 1 - 8 - G - = - B2 + / • BG + HG
*+ B
1* 4 /* - 2 +
3.
* 4 /
* -
*+
+ 1 - - ... - B2 4 / 1 - - ... - B2 - B • +
>
4/
•
- + 5G
8
* 1* - 2 5 + 75
.
1* - *2 + 75
[
* -
]
*
*+
+ 75 [1 - 5 - > - B - 82 - 1 - - ... - 82 ] +75 [88 - 8] + 75 • =G + /87
n
71* 1* - 22 +
%.
1 - * 4 *2 * 1* - 2 +
*+
[1* - 2
* 1* - 2 4 1* * 1* - 22] +
[7* 4 71* - 2] + 4 71n - 2 + 1n - 4 2
1n - 2 + n 71n - 2
n
71* 1* - 22 + n71n - 2 *+ n
&.
1* 4 2 +
1* 4 - * 4 * 2
[* 4 1* 4 2
+ n 4 G + n
*+
n
1* 4 2 + n *+ 8G
n
* + 8G 18G - 2 7 + 8G • 87 + .=8
'.
* + n 1n - 2
*+
*+
HG
n
1* 4 2 + 1HG2 + B.5GG
(. *+ 8
). *+
n
1* 4 2 + n *+
fórmula * + 8 18 - 21 • 8 - 2 B + 8 • B • 8 B + 8.88 de "a$. H
* * +
1*. *+
1* - 4 2 * +
[1* - 2 * 4 *] +
[1* - 2 4 *]
n
* * + 1n - 2 4 *+ n
* a* "ara cual&uier a ∈ IR
11. 9alcular S + *+
a2 Si a + G entonces S + G n
b2 Si a + entonces S +
* + n 1n - 2 *+
c2 Si a ≠ entonces "rocedemos de la si$uiente manera) a 4 1n - 2 a n- +
1* • a* 4 1* - 2 a *-2 +
1* • a* 4 * • a*- 4 a*-2 + a 4 1n - 2 an- + 1 4 a2
1 4 a2 * • a* 4 a
a*
* • a* 4 [a 1 4 an2 1 4 a2]
* • a* + 71 4 a2 [a 4 1n - 2 a n- - a 1 4 a n2 1 4 a2] n
* • a* + 1n • an- 4 1n - 2 • an- - a2 1 4 a2 *+
JUIA 03 3C3R9I9IOS 1. 9alcular las si$uientes sumatorias) =
H
a2
* 1* - 2
b2
*+
1/* 4 2
*+
G
d2
B
c2
* 1* - 2
*+ 5
1* 4 2 1* - 2 *+
H
142* 1* - 2
e2 *+
f2
142* 1* - 2 5*
*+
2. 3("resa como una sumatoria las si$uientes sumas.
a2 - / - /5 - ... - 8 8
b2 • - • / - / • 8 - ... - G • >
b2 - 8 - H - - ... - 55
d2 - 5 - = - ... - 5/
3. A"lica las "ro"iedades de las sumatorias ' calcula) 8
a2
G
57
G
=1* / - 2 8 c2
b2
*+5
/
*+
1* - 21* 4 2 d2
*+
1= - *2 /
*+
. Usa la fórmula corres"ondiente ' calcula cada una de las si$uientes
sumatorias) 5G
a2
/G
* *+
*
1* 4 2 c2 *+
=G
1*2 *+
b2 *+
HG
d2
B/
e2 *+
8
1* - *2
f2 *+
18 4 *2
SO6U9IOD3S 1.
a2 H5
b2 >
c2 >G.B>> =B.5GG
d2 H.BG> /.HBG e2 4 15 =B82 8G
2.
a2
G
* *- b2 *+
3.
a2 5
.
a2 HG
f2 .H= /./BG
8
* 1* 4 2
*+
c2
8
1/* 4 2
*+
b2 5.5> c2 /B./=8 d2 5/./B b2 >GG c2H8./55
d2 B>8.8G e2>.HG
f2 .>/8
d2 *+
1/* 4 2
PRO0U9TORIA Se define como el "roducto de los t#rminos a , a, a/, ... , an. 1Productoria sim"le2 n
ai + a • a • a/ • ... • an i+
9aso es"ecial) n
n
i + • • / • 5 • ... • n + n i+
n
i+
⇒ i+
Princi"ales "ro"iedades de la "roductoria) . Productoria de una constante n
c + cn i+
Si i + a < ⇒ n > a > ⇒ n
c + cn4a- i+a
2. Productoria de una constante "or una !ariable n
n
i + n i+
1* • (i2 + * n
[
i+
]
(i
i+
3. Productoria de dos !ariables n
n
(i 'i + i+
n
[
(i
i+
][
'i
]
i+
. Productoria doble. n
m
[ i+
j+
m
n
]
[
(i j + j+
(i j
]
i+
3C3R9I9IOS 03 PRO0U9TORIA . 9alcular las si$uientes "roductorias) B
a2
i + • • / • 5 • 8 • B + B + =G i+ 8
b2
1i 4 2 + 1 • 4 2 1 • / 4 2 1 • 5 4 2 1 • 8 4 2 + / • 8 • = • > + >58 i+
5
c2
/i + / • B • > • + .>55 i+
B
1 4 7j2 + /7 • 87/ • =75 • >78 • 7B + G./>87=G + 5 =7B
d2 j+
B
e2
/i 1i 4 2 + >7 • 7 • 87/ • H75 + .8 i+/
/
1/i 4 2 i/ + 1/ • 4 2 • / • 1/ • 4 2 • / • 1/ • / 4 2 • // +
f2 i+
+ • 8 • H • H • = + =.HG
B
$2
j 1j 4 2 + 7 • /7 • 57/ • 875 • B78 + B j+
JUIA 03 3C3R9I9IOS 9alcular los si$uientes ejercicios de sumatoria ' "roductoria) 5
/
a2
(* i 1(* - (i2 •
*+
B
i+ 5
b2
1i 4 j2 1* - i2 *+8 5
j+/
i+ /
1* 42*4 * 4
c2 *+
*+
1* - 21* - 2
n
d2
/
r *
=
e2
*+
/ • i • j • *
i,j,*+
n
i+8
8
/* 4 *
$2
f2
1i - j* 2
2
*+
i,j,*+ i > j >*
. Si i + {, } , j + {4, 4/} , calcular) a2
1i - j2
b2
1i , j2∈i • j
/i715 4 j2
1i , j2∈i • j
/. 0emostrar) B
a2
/
* 1* - 2 + *+/
*+G
H
b2
5
t 1t - 52 + t+8
1* - /2 1* - 82
t+
1t - 52 1t - H2
1i - 21i 4 21/ 4 i2