PDS 07 - A Transformada de Fourier de Tempo Discreto (TFTD)
• Defini¸c˜ cao. a ˜o. A transfor transformada mada de Fourier ourier de tempo tempo discret discretoo (TFTD (TFTD ou DTFT, DTFT, Discrete-Time jω (e ) de um sinal de tempo discreto h [n] ´e definid defi nidaa por po r Fourier Transform ) H ( ∞
= jω
H e
h [ n] e
jωn
−
.
(1 )
n=−∞
Conforme constatado na aula passada, H ( (e jω ) ´e uma um a fun¸ fu n¸c˜ cao a˜o peri´ odica odica em ω , sendo s endo o seu s eu per´ıodo ıodo 2π rad. A tranformada inversa de Fourier ´e dada por 1 h [ n] = 2π
π
H e jω e jω dω.
(2)
π
−
O par (1) e (2) pode ser aplicado a seq¨ uˆ uˆencias encias quaisquer, quaisquer, desde que esta seja absolutamente som´ avel , ou seja, ∞
|
h [n]| < ∞ .
n=−∞
O par (1) e (2) ´e conhecido como par de TFTD, sendo (1) a opera¸ c˜ao ao de an´ alise alise e (2) a opera¸c˜ cao a˜o de s´ınte ıntese se..
• Propr Propried iedades ades de TFTD. TFTD. Uma propriedade propriedade muito muito importante importante ´e que uma convolu¸ convolu¸ c˜ao a o no dom´ dom´ınio do d o tempo corresponde a uma multiplica¸ c˜ao ao no dom´ dom´ınio da freq¨ uˆ uˆencia. encia . Ou seja, s eja, se c [n] = jω jω jω a [n] ∗ b [n], ent˜ ao ao C ( (e ) = A (e ) B (e ). Isto pode ser escrito como TFTD
a [n] ∗ b [n] A e jω B e jω .
dim´ınio da freq¨ uˆ uencia ˆ encia de sistemas LIT. J´ a vimos que a resposta de um • Resposta no dim´ sistema LIT a` entrada x [n] ´e dada por y [n] = x [n] ∗ y [n], sendo h [n] a resposta impulsiva do sistema. siste ma. E, tamb´em, em, j´ a vimos que H ( (e jω ) = T F T D {h [n]} ´e a chamada resposta em freq¨ uˆ uˆenci en ciaa do sistema. Desta forma, usando a propriedade do item anterior, podemos escrever
Y e jω = X e jω H e jω .
Este importante resultado ´e resumido re sumido na figura a seguir. se guir.
Fig. Fig. 1 - A TFTD e sistemas LIT. [NABARRETE]
Ref.: [1] HAYKIN, HAYKIN, S.S. Sinais e sistemas , 1a Ed., Bookman Co., 2000, p´ag. ag. 188-196. [2] OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S. Signals & Systems, 2 a Ed. Prentice Hall, 1997, p´ag. ag. 358-367. [3] Notas de aula do Prof. M´arcio arcio Eisencraft (FEI, Aula 9T). 0
1
Exerc´ıcios 1.
Encontre a TFTD da seq¨ uˆencia x [n] = α n u [n], com α real e sendo |α| < 1.
[HAYKIN, p.191]
Resp: 1 / ( 1 - alfa * exp(-jw) ).
Obs.: Apenas a t´ıtulo de ilustra¸ ca˜o, apresentamos o gr´ a fico de X (e jω ) deste exerc´ıcio para α = 0.5. (Fig. 3.18 do HAYKIN)
2.
Encontre a TFTD inversa de
[HAYKIN, p.194]
= 1,
|ω| ≤ W 0, W < | ω | < π
X e jω
Resp: W/pi sinc pi (Wn / pi) = W/pi sinc (Wn) . Lembre-se que sinc(x) = sen(x) / x,
sinc pi(x) = sen(pi * x) / (pi * x).
aficos abaixo. Obs.: Novamente, ilustramos este exerc´ıcio com os gr´
(Fig. 3.20 do HAYKIN)
TFTD
.
3. Resp:
Encontre a TFTD de x [n] = δ [n].
[HAYKIN, p.195]
(Fig. 3.21 do HAYKIN)
TFTD
.
(Dica: basta calcular a express˜ ao X (e jω ) 4. Resp:
∞
x [ n] e
jω n
−
n=−∞
.)
Encontre a TFTD inversa de X (e jω ) = δ (ω ), −π < | ω| < π
[HAYKIN, p.195]
(Fig. 3.22 do HAYKIN)
TFTD
.
5. Encontre a TFTD inversa de X (e jω ) = 2 cos (2ω ).
(Dica:
π e j 2ω e jnω dω π
−
πn = 2 sin , isto se n = − 2.) 2+n
Resp: x[n]=1 para n=+/-2. x[n]=0, caso contr´ ario.
6. Encontre a TFTD de
2 , 0 ≤ [ ]= 0, basta desenvolver a express˜ ao de ( ) n
x n
(Dica: da “P.G.”)
n ≤ 9 caso contr´ario.
X e jω
Resp: X(eˆjw) = (1 -2ˆ10 eˆ-j10w) / (1 - 2 eˆ-jw).
2
∞
n=−∞
x [ n] e
jω n
−
e calcular a soma dos termos
