LISTA DE EXERCÍCIOS INTERVALO DE CONFIANÇA 1. Numa amostr amostra a de 100 estudant estudantes es foi encontrad encontrada a uma idade idade média de 23,2 23,2 anos. Sabendo-se que a variância das idades é 25, construa o intervalo de confiança a 95% de confiança para a média.
Estamos falando de distribuição da média amostral de AMOSTRA GRANDE (n > 30). A fórmula portanto será:
em que n = 100 estudantes = 23,2 anos = 25 e
= 0,5
= 5% e
= 1,96 (vide tabela de distribuição normal)
Assim, a margem de erro (E), será: E=
= 0,98
E o intervalo de confiança IC95% = [22,22;24,18] 2. Após entrevis entrevistar tar 49 membros membros de uma uma categoria categoria profiss profissional ional,, um pesquisador pesquisador encontrou um salário médio de $ 820,00. O desvio padrão dos salários dessa categoria, conhecido, é de R$ 140,00. Monte o intervalo de confiança a 20%, 10% e 1% de significância. Obtenha o tamanho da amostra necessário para que, a 90% de confiança, a margem de erro seja de, no máximo, 20.
Mais uma vez, trata-se de uma AMOSTRA GRANDE, com fórmula análoga à do exercício 1. As únicas variáveis afetadas pela mudança no nível de significância, erro, E.
, são o z-valor crítico,
, e a margem de
Logo para =20%,
=1,28, E = 25,60 e IC80% = [794,40;845,60]
=10%,
=1,645, E = 32,90 e IC90% = [787,10;852,90]
=1%,
=2,575, E = 51,5 e IC99% = [768,50;871,50]
Quando Quando =10% =10% e 132,59 ≤ n ou n ≥ 132,59 ~ 133.
=1,645 =1,645.. Para Para que E ≤ 20,00, 20,00,
≤ 20,00 20,00 ou
Logo, para que a margem de erro seja de, no máximo, 20, num teste a 90% de confiança, a amostra amos tra deverá ser, no mínimo, n = 133!
3. Uma amostra de 9 valores da variável aleatória X, com distribuição normal, apresentou os valores 1, 2, 4, 4, 5, 5, 7, 8, e 9. a. Determine as estimativas da média, da variância e do desvio padrão de X.
=5,00,
=7,00 e
b. Qual o intervalo de confiança a 95% para a média populacional?
Neste caso, a amostra é pequena e o desvio padrão é desconhecido, de modo que deveremos utilizar a distribuição t-student (pois X é normalmente distribuída). A fórmula utilizada será:
e E= O IC 95% será obtido por uma variável t com 9 – 1 = 8 graus de liberdade. Logo:
= 2,306, E =
= 2,034 e IC95% = [2,97;7,03]
c. Qual o tamanho que deveria ter a amostra para que a margem de erro fosse 1 a 99% de confiança?
= 3,355, E = 1 e 1 =
ou n = 78,79 ~ 79
4. Em outra amostra aleatória de 9 elementos de X – uma v.a. normalmente distribuída – foram obtidos os valores 4, 5, 9, 2, 3, 6, 7, 4 e 5. Determine: a. As estimativas da média e do desvio padrão de X.
=5,00,
=4,50 e
b. O intervalo de confiança, a 95% de confiança, para a media da população. AMOSTRA PEQUENA mesmo problema do exercício 3.b.
= 2,306, E = [3,37;6,63]
= 1,6305 e IC95% =
c. O tamanho que a amostra deveria ter para que a média amostral diferisse da média populacional em meia unidade (0.5) ou menos, ao nível de confiança de 90%.
Considerando
= E ≤ 0,5 e
= 1,86, então
≤ 0,5 ou 62,27 ~ 63 ≤ n ou n ≥ 63 5. Uma amostra de 4 valores da variável aleatória X, normalmente distribuída, apresenta os valores 2, 5, 3 e 8. Determine: a. As estimativas da média e do desvio padrão de X.
=5,00,
=7,00 e
b. O intervalo de confiança ao nível de 5% de significância para a média da população.
=
3,182,
E
=
=
4,2093
e
IC95%
=
[0,7907;9,2093] c. O tamanho que deveria ter a amostra para que a sua média diferisse da média verdadeira e uma unidade (1) ou menos, ao nível de 90% de confiança.
Considerando ou
=E≤1e
= 2,353, então
≤1
38,76 ~ 39 ≤ n ou n ≥ 39
6. Uma amostra aleatória de 900 cidadãos de uma comunidade mostrou que 400 desejavam fluoração da água de abastecimento público. Determine o intervalo de confiança, ao nível de 95% de confiança, para a proporção da população favorável à fluoração.
n = 400 S = 44,44% e F = 55,56% s2 = 0,4444*0,5556 = 0,2469 s = 0,4969 = 1,96
Considerando a fórmula
teremos:
Logo: IC95% = [0,4119;0,4768] 7. Uma amostra aleatória de 1.600 eleitores, antes da realização de um plebiscito, mostrou que 1.280 eram partidários do sim. Determine o intervalo de confiança, a 95% de confiança, para a proporção dos favoráveis ao “sim”.
n = 1.600 S = 80% e F = 20% s2 = 0,80*0,20 = 0,16 s = 0,40 = 1,96
Considerando a fórmula
teremos:
Logo: IC95% = [0,7804;0,8196] 8. Numa pesquisa eleitoral entre 1.000 eleitores, 240 declararam que pretendem votar no candidato A. Monte o intervalo de confiança com 95% de confiança para as intenções de voto para esse candidato.
n = 1.000 S = 24% e F = 76% s2 = 0,24*0,76 = 0,1824 s = 0,4270 = 1,96
Considerando a fórmula
Logo: IC95% = [0,2135;0,2665]
teremos: