Departamento Departamento de Ingeniería Eléctrica Sección Mecatrónica Ingeniería de Control Proyecto: Controlador PI
Alumnos: Raúl Dalí Cruz Morales Gonzalo Hedain López Mera Juan Carlos Serrano Orozco
CONTENIDO 1. RESPUESTA TRANSITORIA EN LAZO ABIERTO………………………………………………………….3 2. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL CONTROLADOR……………………………………………..….6 2.1. LUGAR DE RAICES DEL SISTEMA……………………………………………………………….…..….9 2.2. Kp PARA ζ=0.7………………………………………………………………………………………………...13 2.3. RESPUESTA EN EL TIEMPO CON ζ=0.7……………………………………………………………...17 2.4. DIAGRAMAS DE BODE Y NYQUIST…………………………………………………………..……….21 2.5. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST…………………………………………………..………25 2.6. MARGEN DE FASE Y GANANCIA………………………………………………………………….…..29 3. METODO DE ZIEGLER-NICHOLS……………………………………………………………………………...30 3.1. SISTEMA EN OSCILACIONES SOSTENIDAS…………………………………………………..…...33 3.2. VALORES DE Kp Y Ti……………………………………………………………………………………..….33 3.3. RESPUESTA EN EL TIEMPO CON CONTROLADOR AJUSTADO…………………………...34 4. CONCLUSIONES……………………………………………………………………………………….…………….36
2
CONTENIDO 1. RESPUESTA TRANSITORIA EN LAZO ABIERTO………………………………………………………….3 2. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL CONTROLADOR……………………………………………..….6 2.1. LUGAR DE RAICES DEL SISTEMA……………………………………………………………….…..….9 2.2. Kp PARA ζ=0.7………………………………………………………………………………………………...13 2.3. RESPUESTA EN EL TIEMPO CON ζ=0.7……………………………………………………………...17 2.4. DIAGRAMAS DE BODE Y NYQUIST…………………………………………………………..……….21 2.5. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST…………………………………………………..………25 2.6. MARGEN DE FASE Y GANANCIA………………………………………………………………….…..29 3. METODO DE ZIEGLER-NICHOLS……………………………………………………………………………...30 3.1. SISTEMA EN OSCILACIONES SOSTENIDAS…………………………………………………..…...33 3.2. VALORES DE Kp Y Ti……………………………………………………………………………………..….33 3.3. RESPUESTA EN EL TIEMPO CON CONTROLADOR AJUSTADO…………………………...34 4. CONCLUSIONES……………………………………………………………………………………….…………….36
2
Reporte 1. RESPUESTA EN EL TIEMPO EN LAZO ABIERTO Construya el circuito que se muestra en la Fig. A. Dicho circuito simula una planta de tercer orden. El primer amplificador operacional forma la suma de las dos señales de entrada de la planta: la entrada de la planta y la de perturbación sobre la entrada de la planta .
Figura A
Haciendo la señal de perturbación igual a cero volts ( entrada tipo escalón de amplitud igual a 6 volts ( transitoria de la planta ( ).
= 0), introduzca una señal de = 6) y obtenga la respuesta
Respuesta transitoria de la planta con la entrada tipo escalón de 6 volts (
= 6).
Fig.1.1 Respuesta transitoria en el osciloscopio. 3
7 6 5 4 3 2 1 0 -1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Fig.1.2. Datos de la respuesta transitoria graficados en MATLAB.
=
Una vez que la respuesta de la planta ha llegado a un estado estacionario (con ) introduzca una señal de perturbación tipo escalón de amplitud igual a 3 volts ( ) y obtenga la respuesta transitoria de la planta ( ).
6 = 3
Fig.1.3. Respuesta transitoria en el osciloscopio.
4
10
8
6
4
2
0
-2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Fig.1.4. Datos de la respuesta transitoria graficados en MATLAB.
5
2. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL CONTROLADOR Considere ahora los circuitos mostrados en la Figura B que representan un comparador y un controlador PI (proporcional integral), respectivamente. Suponiendo nuevamente amplificadores operacionales ideales y condiciones iniciales nulas, encuentre la relación entre y las señales y para el comparador ( es la señal de error, es la señal de referencia y es la salida de la planta simulada con el circuito de la Fig. 1). También encuentre la función de transferencia del controlador junto con las expresiones para las constantes y .
= ℒ
= ℒ = ℒ
Figura B
Función de transferencia del controlador.
= − = − + 1 = − + 1 Si la función de un controlador PI es:
! = "1 + 1 # se hará la función de transferencia del controlador lo más parecida posible a la función general de un PI.
= + 1 = + 1 = + 1 = "1 + 1# = "1 + 1# 6
De donde podemos ver que:
=
%
1= 1
Función de transferencia de la planta de tercer orden. La planta de tercer orden se puede dividir en tres partes iguales que constan de:
Fig.2.1 Componente de la planta
La función de transferencia de este sistema de un amplificador operacional es:
= + = & & = = 1 = 1 + + 1 +1 Parte 1
1 1 ' = 10×10&22×10 = * + 1 0.22+1 Parte 2
1 1 = '& ' = 4.7×10&22×10 = * + 1 0.1034+1 7
La función de transferencia de la planta completa se obtiene al multiplicar las 3 partes.
1 1 / = "0.22+1#"0.1034+1# 1 #" 1 = "0.22+1 10.691×10*& +0.2068+1# 1 / = 2.352×10*&& +56.187×10 *& +0.4268+1 Al interconectar los circuito de las figuras 1 y 2, y utilizando las funciones de transferencia encontradas arriba, se obtiene el sistema retroalimentado de la Fig. 3. Para este sistema, haciendo y con , encuentre el lugar de raíces del sistema con respecto a . A partir de este diagrama diga para que valores de , los polos del sistema en lazo cerrado se encuentran sobre el eje imaginario (estabilidad crítica). Utilizando también el lugar de raíces, encuentre el valor de que permite obtener un sistema en lazo cerrado con razón de amortiguamiento igual a 0.7.
= 0
1⁄ =2.0
Con .
1⁄ =2.0 podemos tener la función de transferencia del controlador en términos de
Si:
1= 1 entonces
2 = 1 y proponiendo un capacitor de 22 µF
1 1 2 = 22×10 → = 222×10* =22727.27≅22Ω * Siendo la función de transferencia del controlador.
+2.066 /;;<; = "1 + 22×10&122×10*# = "1 + 2.066 # = " # 8
Y la función de transferencia en lazo abierto del sistema completo es:
+2.066 /;;<; ∙ / = 2.352×10*&> +56.187×10 *& & +0.4268 + 2.1 Lugar de las raíces del sistema.
+2.066 / = 2.352×10*&> +56.187×10*&& +0.4268 + +2.066 / = +4.5455+9.7518 +9.5918 El sistema tiene 4 polos y 1 cero, todos reales y negativos.
? = 4, A = 1, ? − A = 3 Centro de Asíntotas.
Para
D ' − ∑ED ∑ B = − ? − A
0
− 2.066 =−7.2734 B = − 0+4.5455+9.7518+9.5918 3 Ángulos de Asíntotas.
180° H=0,1,…,?−A−1 G = 2H+1 ?−A Para el caso de este sistema H=0,1,2. Hay 3 asíntotas. G = 20 +31180° =60° G = 21 +31180° =180° 9
G& = 22 +31180° =300° Puntos de Ruptura.
E 1 K BL + ' = K BL +1 D D 1+ 1 + 1 + 1 = 1 BL BL +4.5455 BL +9.7518 BL +9.5918 BL +2.066
4BL& +71.6673BL +362.9263BL +425.1738 = 1 BL> +23.8891BL& +181.46361BL +425.1738BL BL +2.066 BL> +23.8891BL& +181.46361BL +425.1738BL = BL +2.0664BL& +71.6673BL +362.9263BL +425.1738 BL> +23.8891BL& +181.46361BL +425.1738BL = 4BL> +79.9313BL& +510.9909BL +1174.9795BL +878.40907 3BL> +56.0422BL& +329.52729BL +749.8057BL +878.40907=0 Las raíces de esta ecuación son los puntos de ruptura.
BL = BL = BL& = BL> =
−9.6724 −6.0883 −1.4550+M1.6873 −1.4550−M1.6873
Punto de ruptura en el L. de R.
Los ángulos de partida y llegada no se calcularon ya que todos los polos y ceros están sobre el eje real.
10
El diagrama de Lugar de Raíces queda de la siguiente forma.
Lugar de las raíces del sistema 15
10
) s d n o c e s ( s i x A y r a n i g a m I
1 -
5
0
-5
-10
-15 -20
-15
-10
-5
0
5
Real Axis ( seconds -1)
Fig.2.2. Lugar de Raíces del Sistema
Para encontrar el valor de en el cual los polos del sistema están en el eje imaginario utilizaremos el polinomio característico del sistema.
+2.066 /; L; = 2.352×10*&> +56.187×10*&& +0.4268 + /; <; = 2.352×10*&> +56.187×10*&+2.066 & +0.4268 + N + 1O +2.066 ' =2.352×10*&> +56.187×10*&& +0.4268 + N + 1O +2.066 11
' MP =2.352×10*& MP> +56.187×10*& MP& +0.4268 MP + MPN + 1O +2.066 ' MP =2.352×10*&P> −M56.187×10*&P& −0.4268P +MP +MP+2.066 Parte Real
2.352×10*&P> −0.4268P +2.066 Parte Imaginaria
MN−56.187×10*&P& + P + PO Construyamos un sistema de ecuaciones igualando ambas partes del PC a cero
2.352×10*&P> −0.4268P +2.066 = 0 −56.187×10 *&P& + P + P = 0
(1) (2)
de la ecuación (2)
= Q 56.187×10*&P& − P =56.187×10*&P − 1
(3)
Sustituyendo (3) en (1)
2.352×10*&P> −0.4268P +2.06656.187×10*&P − 1 = 0 2.352×10*&P> −0.3108P −2.066=0 Las raíces de esta ecuación son:
P = P = P& = P> =
-11.768 11.768 0+j2.5185 0-j2.5185
12
Aquí se utilizan
P y P que sustituidos en =56.187×10*&P − 1 nos da: =56.187×10*&11.768 −1=6.78
que es la ganancia crítica del sistema.
2.2 Kp PARA ζ=0.7 Para encontrar la ganancia a la cual el sistema tiene un factor de amortiguamiento igual a 0.7 se utilizará una aproximación de nuestro sistema a un sistema de segundo orden.
Lugar de las raíces del sistema 15 System: Gla 0.7 Gain: 0.612 Pole: -4.24 + 4.33i Damping: 0.7 Overshoot (%): 4.6 Frequency (rad/s): 6.06
10
) 5 s d n o c e s ( s 0 i x ASystem: Gla y rGain: 0.612 a n i gPole: -14.4 a -5 Damping: 1 m I
1 -
15
Overshoot (%): 0 Frequency (rad/s): 14.4 -10
-15 -20
-15
10
5
System: Gla Gain: 0.612 Pole: -4.24 - 4.33i Damping: 0.7 Overshoot (%): 4.61 0.7 Frequency (rad/s): 6.06
-10
-5
System: Gla Gain: 0.612 Pole: -0.984 Damping: 1 Overshoot (%): 0 Frequency (rad/s): 0.984
0
5
Real Axis ( seconds -1)
Fig.2.3. Ubicación de los polos para ζ=0.7 en un sistema de segundo orden
13
La ganancia para esta aproximación es de 0.612, sin embargo se observa que existe un polo dominante en el eje real para el valor de esta ganancia. Este polo ocasiona que la respuesta en el tiempo del sistema sea similar a la respuesta en el tiempo de un sistema de primer orden. La respuesta en el tiempo del sistema con esta ganancia es:
Respuesta en el tiempo del sistema 6
5
4 ) s t l o V (
3
r
V
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
Tiempo ( seconds )
Fig.2.4. Respuesta del sistema con la ganancia Kp=0.612
Este tipo de aproximaciones no son útiles en este caso ya que el sistema en este caso es de cuarto orden, no de segundo orden. Para tener una respuesta adecuada del sistema con un factor de amortiguamiento de 0.7 se busca la ganancia a la cual el sistema produzca un sobredisparo de 5% aproximadamente.
14
La ganancia a la cual se obtiene el 5% de sobredisparo de este sistema es 1.57. System: untitled1 Peak amplitude: 6.3 Overshoot (%):7 5.06 At time (seconds): 0.572
Respues ta en el t iempo del sis tema
6 System: untitled1 Final Value: 6
System: untitled1 Settling Time (seconds): 1.45 5
) s t l o V (
r
V
4
3
2
1
0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Tiempo (seconds)
Fig.2.5. Respuesta del Sistema con una Kp=1.57
En la siguiente figura se muestra como los polos complejos se vuelven dominantes a medida que la ganancia aumenta.
15
Lugar de las raíces del sistema 15
Sys tem: Gla Gain: 1.57 0.7 Pole: -2.86 + 6.63i Damping: 0.396 Overshoot (%): 25.8 Frequency (r ad/s): 7.22
10
) s d n o c e s (
1 -
5
s 0 i x Syste A m: Gla y r Gain: 1.57 a n Pole: - i 16.6 g a Damping: m 1 -5 I
15
Overshoot (%): 0 Frequency ( rad/s): 16.6
5
Sys tem: Gla Gain: 1.57 Pole: -2.86 - 6.64i 0.7 Damping: 0.395 Overshoot (%): 25.9 Frequency (r ad/s): 7.23
-10
-15 -20
10
-15
-10
-5
Sys tem: Gla Gain: 1.57 Pole: - 1.54 Damping: 1 Overshoot (%): 0 Frequency ( rad/s): 1.54
0
5
-1
Real Axis (seconds )
Fig.2.6. Ubicación de los polos para Kp=1.57 en el sistema
16
2.3 RESPUESTA EN EL TIEMPO CON ζ=0.7
Con el valor que permite tener un sistema en lazo cerrado con factor de amortiguamiento igual a 0.7 ( sigue siendo igual a 2.0): •
1 ⁄
Muestre la respuesta en el tiempo del sistema en lazo cerrado , a partir de la condición inicial cuando es una señal tipo escalón con magnitud igual a 6 v y con para toda .
0 = 0 = 0
≥0
Respuesta del sistema sin perturbación 7
6
5
) s t l o V (
4
V
3
r
2
1
0 0
2
4
6
8
10 12 Tiempo (s)
14
16
18
20
Fig.2.7. Simulación en MATLAB para una Kp=1.57
17
Fig.2.8. Datos obtenidos en el osciloscopio para una Kp=1.57
7 6 5 4 3 2 1 0 -1
0
5
10
15
20
25
Fig.2.9. Datos graficados en MATLAB para una Kp=1.57
18
•
= 3 = 10
Muestre nuevamente la respuesta en el tiempo del sistema en lazo cerrado , a partir de la condición inicial con la misma señal (una señal tipo escalón con magnitud inicial a 6 v) pero ahora haga en . Diga que pasa con la señal cuando aparece la señal de perturbación .
0 = 0
Respuesta del sistema con perturbación 8 7 6 5 ) s t l o V (
4
r
V
3 2 1 0
0
2
4
6
8
10 12 Tiempo (s)
14
16
18
20
Fig.2.10. Simulación en MATLAB para una Kp=1.57 y perturbación
19
Fig.2.11. Datos obtenidos en el osciloscopio para una Kp=1.57 y perturbación
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1
0
5
10
15
20
25
Fig.2.12. Datos graficados en MATLAB para una Kp=1.57 y perturbación
20
2.4 DIAGRAMAS DE BODE Y NYQUIST
Para el sistema retroalimentado de la Fig. C y haciendo •
= 0 y con 1⁄ =2.0:
Muestre el comportamiento en la frecuencia de la función de transferencia sinusoidal de lazo abierto. Considere que . Dibuje el diagrama de Bode asintótico para el U del módulo y para la fase, así como para el diagrama de Nyquist aproximado.
0
HST
Figura C
Diagrama de Bode. La función de transferencia del sistema en lazo abierto es la siguiente:
+2.066 /; L; = 2.352×10*&> +56.187×10 *& & +0.4268 + Tomando el valor de =1.57 +2.066 /; L; = +4.54551.57 +9.5918+9.7518 1.57+2.066 /; L; = 4.5455 V + 1W 9.5918 + 1W 9.7518 V + 1W V 4.5455 9.5918 9.7518 + 1W 0.00764V /; L; = V +1WV 2.066 + 1W +1WV 4.5455 9.5918 9.7518
21
Factor de Ganancia.
=0.00764 XYT?Z[\ = 20logU `Ya=0° Factor Integral.
* XYT?Z[\ = −20logU P ∠MP=−90° Factores lineales.
c + 1W V.U
XYT?Z[\ = 20logU 1 = 0 dYMY efa[a?ZY XYT?Z[\=20logU P YHY efa[a?ZY P = 1 =2.066 ∠MP=0° P=0 ∠MP=45° P=P ∠MP=90° P=∞ c + 1W* V>.j>jj
XYT?Z[\=−20logU 1 = 0 dYMY efa[a?ZY XYT?Z[\=−20logU P YHY efa[a?ZY P = 1 =4.5455 ∠MP=0° P=0 ∠MP=−45° P=P 22
∠MP=−90° P=∞ * c Vk.jk + 1W
XYT?Z[\=−20logU 1 = 0 dYMY efa[a?ZY XYT?Z[\=−20logU P YHY efa[a?ZY P = 1 =9.5918 ∠MP=0° P=0 ∠MP=−45° P=P ∠MP=−90° P=∞ c + 1W* Vk.mj
XYT?Z[\=−20logU 1 = 0 dYMY efa[a?ZY XYT?Z[\=−20logU P YHY efa[a?ZY P = 1 =9.7518 ∠MP=0° P=0 ∠MP=−45° P=P ∠MP=−90° P=∞ La siguiente figura es el diagrama de Bode para la magnitud y fase del sistema. Este diagrama se obtuvo con la ganancia que da al sistema un factor de amortiguamiento de 0.7.
=1.57
23
Diagrama de Bode en el factor de amortiguamiento de 0.7 50
) B d (
e d u t i n g a M
0
-50
-100
-150 -45 -90 ) g e d ( e s a h P
-135 -180 -225 -270 -1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/s)
Fig.2.13. Diagrama de Magnitud y Fase del sistema.
24
Diagrama de Nyquist en el factor de amortiguamiento de 0.7 10 8 6 4 s i x A y r a n i g a m I
2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Real Axis
2.5 CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST •
A partir del diagrama de Nyquist de la función de transferencia de lazo abierto, y utilizando el criterio de estabilidad de Nyquist, determine el rango el rango de que asegura que el sistema en lazo cerrado es estable. Diga si el valor de que permite tener una razón de amortiguamiento igual a 0.7 para el sistema en lazo cerrado está dentro de este rango.
El criterio de Nyquist es un método para determinar la estabilidad de sistemas lineales en tiempo continuo, sin involucrar la solución de las raíces. Este criterio es un método semigráfico que provee información sobre la diferencia entre el número de polos y ceros de la función de transferencia en lazo cerrado que están en semiplano derecho del plano s mediante la observación del comportamiento de la gráfica de Nyquist de la función de transferencia de lazo. Teniendo la función de transferencia en lazo que describe al sistema, como:
ps+2.006 ss= 2.352*&> +56.187 *&& +0.4268 + 25
La traza de Nyquist de G(s)H(s) obtenida con ayuda de la computadora a través del programa MATLAB es: Nyquist Diagram 10
8
6
4
System: a Real: -0.145 Imag: -3.77e-005 Frequency (rad/s): -11.9
2 s i x A y r a n i g a m I
0
-2
-4
-6
-8
-10 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Real Axis
Entonces aplicando la condición de magnitud el rango de kp, en el punto crítico (-1, j0) , evaluando:
= =6.875 p = |uvwx| U.>j Por lo tanto el valor de kp que asegura que el sistema en lazo cerrado es estable es kp< 6.875, el cual asegura una estabilidad absoluta de sistema. El siguiente diagrama muestra la traza de Nyquist evaluada en el valor kp obtenido para el punto crítico, en el cual se puede observar que la traza en ningún instante rodea al punto (-1, j0), en tal caso de que la traza rodeara al punto crítico, tendríamos que agregar un cero dentro del sistema el cual se encuentre en el plano derecho s el cual nos permita mantener la estabilidad del sistema, por tal nos limitaremos a no utilizar un kp mayor al obtenido anteriormente.
26
Nyquist Diagram 25
20
15
10
System: Gk Real: -0.999 Imag: -0.00049 Frequency (rad/s): -11.9
5 s i x A y r a n i g a m I
0
-5
-10
-15
-20
-25 -2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Real Axis
Diagrama de Nyquist al bor de de la es tabilidad
0.6
0.4
0.2 s i x A y r a n i g a m I
0
-0.2
-0.4
-0.6
-1.05
-1.04
-1.03
-1.02
-1.01
-1
-0.99
-0.98
-0.97
-0.96
-0.95
Real Axis
27
=1.57
Como se observa en el diagrama de Nyquist que sigue, el valor de que permite tener una razón de amortiguamiento de 0.7, se encuentra dentro del rango de que permite que el sistema sea estable.
Diagrama de Nyquist en el factor de amortiguamiento de 0.7 10 8 6 4 s i x A y r a n i g a m I
2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Real Axis
28
2.6 MARGEN DE FASE Y GANANCIA •
Con el valor de que permite tener una razón de amortiguamiento igual a 0.7 encuentre le margen de fase y el margen de ganancia del sistema en lazo cerrado. Bode Diagram Gm = 12.8 dB (at 11.8 rad/s) , Pm = 61.2 deg (at 4.52 rad/s) 50
) B d ( e d u t i n g a M
0 System: Glakp Frequency (rad/s): 11.8 Magnitude (dB): -12.8
-50
-100
-150 -45 -90 ) g e d ( e s a h P
-135
System: Glakp Frequency (rad/s): 4.52 Phase ( deg): -119
-180 -225 -270 -1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/s)
M. de Fase y Ganancia para el sistema con razón de amortiguamiento de 0.7
29
3. METODO DE ZIEGLER-NICHOLS De acuerdo a la gráfica obtenida en el punto 2, y con ayuda del método de Ziegler-Nichols, ajuste el controlador PI. Es decir, obtenga y , y a partir de estos últimos, valores , y . Conecte los circuitos de las figuras 1 y 2 en lazo cerrado como se muestra en la figura 4 y haga los mismos experimentos que en el punto 2. Compare y discuta los resultados obtenidos en los puntos 2 y 3.
Método Ziegler-Nichols para sintonizar controladores.
Este es un método experimental que sugirieron Ziegler y Nichols después de analizar el comportamiento de los controladores, basados en las respuestas escalón o en el valor de Kp que produce estabilidad marginal cuando sólo se usa la acción de control proporcional. A pesar de que este es un método experimental, que es más conveniente usar cuando no se conocen los modelos matemáticos de la planta también se puede aplicar al diseño de sistemas de modelos matemáticos conocidos. Ziegler y Nichols propusieron reglas para determinar los valores de la ganancia proporcional Kp, del tiempo integral Ti y del tiempo derivativo Td, basándose en las características de respuesta transitoria de una planta dada. Tal determinación de los parámetros de los controladores o sintonía de los controladores, se realiza experimentalmente sobre la planta. El objetivo de esta sintonización, es obtener con un sobre paso máximo de un 25% a una respuesta escalón unitario de la planta. Hay dos métodos los cuales se pueden usar para determinar estos valores, los cuales explicaremos brevemente y diremos porque escogimos uno en lugar de otro. Primer Método de sintonización. En el primer método se debe introducir a la planta una entrada escalón unitario para obtener una respuesta de manera experimental. Si la planta no contiene integradores ni polos dominantes complejos conjugados, la curva de respuesta al escalón unitario se asemeja a la forma de una S. La curva en forma de S se caracteriza por dos parámetros: el tiempo de retardo L y la constante de tiempo T. El tiempo de retardo y a constante de tiempo se determinan dibujando una recta tangente en el punto de inflexión de la curva con forma de S y
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determinando las intersec ciones de esta tangente con el eje del tie mpo y con la línea c(t)=K.
Punto de inflexión
Al tomar esos valores e perimentalmente, se sustituyen en la ta bla siguiente y se encuentran los valores de p, Ti y Td. Tipo de controlador P PI PID
Kp
y
0.9
Ti ∞
Td 0
y
0
y
0.3
1.2
2L
0.5L
y
Segundo método de sinton ización. En el segundo método, bá icamente se lleva al controlador al punto d estabilidad crítica, donde la salida presente scilaciones sostenidas, al tener las oscilaci ones sostenidas, se mide experimentalmente el periodo de oscilación Pcr y se puede o btener la ganancia crítica Kcr midiéndola dire tamente.
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Ziegler y Nichols establecieron valores de los parámetros Kp, Ti y Td de acuerdo con las fórmulas de la siguiente ta la: Tipo de controlador P PI
Kp 0.45gf
PID
0.6gf
Ti ∞
0.5gf 1
'gf 1.2 0.5'gf
Td 0 0 0.125'gf
Después de analizar estos métodos, tomamos la decisión de utilizar el segundo método para sintonizar nuestra pl nta, ya que ésta si presentaba oscilacione sostenidas con un valor de Kp a la entrada.
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3.1 SISTEMA EN OSCILACIONES SOSTENIDAS
Se conectó la planta al osciloscopio y se presentó la siguiente oscilación, de la cual se tomó el periodo por medio de las mediciones que el propio osciloscopio nos permite tomar.
Figura 3.3: Gráfica obtenida de la planta con oscilaciones sostenidas
3.2 VALORES DE Kp Y Ti
Al obtener esto se midió el periodo de oscilación Pcr y se obtuvo un valor de: 0.579 seg. Con lo cual sustituimos en la fórmula de la tabla para obtener el valor de Ti por lo t anto:
Z: 1.21 0.580aT = 0.4833aT. Además tomamos el valor de la resistencia para el cual la planta empezó a oscilar sostenidamente y la lectura que obtuvimos fue de: 1.47 KΩ. Con este valor se calculó la Kcr, de la siguiente forma:
f = 22{Ω =14.9659 f= 1.47{Ω Con este valor ocupamos la fórmula de la tabla antes mencionada y obtenemos:
=0.45{f=0.45 14.9659 =6.73469 Teniendo estos nuevos valores para nuestra Kp y Ti, debemos volver a calcular las resistencias necesarias en nuestra planta y al obtenerlas ver el comportamiento de la misma.
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Para esto tenemos que:
1 = 1 ∴ f = 0.4833 =22{Ω Z f 22~10* Teniendo ya el valor de Rr podemos ahora obtener el valor de RR el cual está dado por:
f ∴ = 22{Ω =3.25{Ω = 6.73 3.3 RESPUESTA EN EL TIEMPO CON CONTROLADOR AJUSTADO
Con estos nuevos valores se volvió a poner en operación la planta y se obtuvo la siguiente gráfica.
Respuesta del sistema sintonizado por Ziegler-Nichols
Se puede ver una respuesta más rápida pero se comprometió el tiempo de estabilización del sistema ya que al obtener un tiempo de respuesta más rápido, el sobredisparo que se presenta es de aproximadamente un 20%. Aunque el controlador ajustado mediante el método de Ziegler-Nichols cumple con la función de estabilizar la respuesta del sistema, es claro que no es un controlador muy eficiente, comparado con el control diseñado para el factor de amortiguamiento de 0.7. Esto se debe a que el método de Ziegler-Nichols es completamente experimental
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Respuesta del sistema sintonizado por Ziegler-Nichols con perturbación.
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4. CONCLUSIONES. Mediante el uso de las herramientas teóricas del control clásico, se obtuvo el modelo del circuito propuesto para una planta de tercer orden y un controlador PI, el cual describe el funcionamiento del mismo mediante la función de transferencia. De igual forma fue posible obtener las características del sistema mediante herramientas tales como diagramas de lugar de raíces, diagramas de magnitud y fase y diagramas de Nyquist, los cuales permitieron identificar claramente los parámetros de funcionamiento del sistema, principalmente para definir el punto en el cuál el sistema se encuentra al borde de la inestabilidad o el tipo de respuesta que se desea del sistema. El parámetro que más se utilizo durante la realización del proyecto y en el cual se basa el diseño del controlador del sistema fue la ganancia ya que este parámetro fue utilizado para el diseño del controlador requerido en el punto 2 de la práctica y a su vez, para el diseño del controlador mediante el método de Ziegler-Nichols. En la sintonización por medio del método de Ziegler-Nichols, por ser experimental, puede ser complicado encontrar el punto en que el sistema se vuelve oscilatorio, debido a la precisión de los componentes electrónicos utilizados y a la apreciación de la persona que realice el ajuste. Lo importante es conocer en qué momento puede servirnos este método o un método analítico para sintonizar el controlador de acuerdo a las necesidades que existan y se obtenga una respuesta satisfactoria para la aplicación deseada. Durante la realización del proyecto fue posible notar las diferencias que hay entre cada etapa del sistema, desde el de lazo abierto, utilizado para obtener los diagramas necesitados o sintonizar mediante Ziegler-Nichols hasta el comportamiento del sistema en lazo cerrado y el tipo de respuesta transitoria que se puede obtener al variar los parámetros del sistema, principalmente la ganancia del mismo.
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