CONTENIDO DE LA ASIGNATURA DE MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS PARA INGENIERÍAS Unidad I V: RELA CIONES Y FU NCIONES
4. RELACIONES Y FUNCIONES A las Relaciones y Funciones se le puede dar muchos usos en la “vida diaria” ya que generalmente se hace uso de las funciones reales, (aun cuando el ser humano no se da cuenta), en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los números reales.
Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.
VIDEO
4.1.
RESEÑA HISTÓRICA
LECTURAS Y BÚSQUEDA DE INFORMACIÓN HISTORIAL DE LA EVOLUCIÓN DE RELACIONES Y FUNCIONES. Orígenes remotos del concepto de función
Irakion (Creta) 2.500 a.c.: Tablillas de cálculo de las matemáticas babilónicas. 225 a.c.: Teoría de cónicas de Apolonio de Perga. 150 d.c.: Tablas astronómicas del Almagesto, Ptolomeo de Alejandría.
Edad Media y tránsito del siglo XVI al XVII 1.360: Las latitudes de las formas del pensador francés Nicolas de Oresme. De las magnitudes estáticas de Vieta, a unas matemáticas de las variables de Descartes y Fermat. Nacimiento de la geometría analítica.
Cálculo infinitesimal 1687: Principia de Issac Newton. Magnitudes fluyentes y desarrollo en serie de potencias. 1673: Leibniz, primero en usar el término función. Relación entre orde nadas y abscisas. 1694: Johann Bernouilli, magnitudes que se construyen a partir de magnitudes constantes e indeterminadas.
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Primeras definiciones de función 1748: Leonhard Euler, en su “Introductio in analysin infinitorum”, función de magnitud variable es una expresión analítica construida con estas misma magnitud variable y con números o magnitudes constantes. Primero en usar la expresión f(x) para designar a una función.
Siglo XIX, llega la crisis ¿Toda curva que se puede dibujar se puede entender como la gráfica de una función? Funciones continuas, continuas, no continuas. Funciones Funciones continuas y derivables. derivables. 1822: Fourier, en su obra Teoría del calor, considera que no es posible mantener la idea de asociar la definción de función a expresión analítica.
Finales del XIX: Se establece el concepto de función El matemático alemán Hermann Haenkel , da una definición de función que se util iza aún: “Una función se dice y de x si a cada valor de la magnitud variable x que se mueve de dentro de un cierto intervalo, le corresponde un determinado valor de y ”. Bibliografía: Lecciones de Historia de las Matemáticas, H. Wussing. Siglo veintiuno editores, 1998. http://www.slideshare.net/jefedo61/brev http://www.s lideshare.net/jefedo61/breve-historia-del-concepto-de-funcin-mat e-historia-del-concepto-de-funcin-matemtica emtica
PAR ORDENADO. En matemáticas matemáticas,, un par ordenado es una pareja de objetos matemáticos, en la que se distingue un primer elemento y un segundo elemento. El par ordenado cuyo primer elemento es a y cuyo segundo elemento es b se denota como (a, b). Un par ordenado (a, b) no es el conjunto que contiene a a y b, denotado por {a, b}. Un conjunto está definido únicamente por sus elementos, mientras que en un par ordenado el orden de estos es también parte de su definición definición.. Por ejemplo, los conjuntos {0, 1} y {1, 0} son idénticos, pero los pares ordenados (0, 1) y (1, 0) son distintos. Los pares ordenados también se denominan 2-tuplas o vectores 2-dimensionales. La noción de una colección finita de objetos ordenada puede generalizarse a más de dos objetos, dando lugar al concepto de n-tupla -tupla.. El producto cartesiano de conjuntos, las relaciones binarias, binarias, las coordenadas cartesianas, cartesianas , las fracciones y lassfunciones se definen en términos de pares ordenados. la La propiedad característica que define un par ordenado es la condición para que dos de ellos sean idénticos idénticos:: Dos pares ordenados (a, b) y (c, d ) son idénticos si y sólo si coinciden sus primer y segundo elemento respectivamente:
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Primeras definiciones de función 1748: Leonhard Euler, en su “Introductio in analysin infinitorum”, función de magnitud variable es una expresión analítica construida con estas misma magnitud variable y con números o magnitudes constantes. Primero en usar la expresión f(x) para designar a una función.
Siglo XIX, llega la crisis ¿Toda curva que se puede dibujar se puede entender como la gráfica de una función? Funciones continuas, continuas, no continuas. Funciones Funciones continuas y derivables. derivables. 1822: Fourier, en su obra Teoría del calor, considera que no es posible mantener la idea de asociar la definción de función a expresión analítica.
Finales del XIX: Se establece el concepto de función El matemático alemán Hermann Haenkel , da una definición de función que se util iza aún: “Una función se dice y de x si a cada valor de la magnitud variable x que se mueve de dentro de un cierto intervalo, le corresponde un determinado valor de y ”. Bibliografía: Lecciones de Historia de las Matemáticas, H. Wussing. Siglo veintiuno editores, 1998. http://www.slideshare.net/jefedo61/brev http://www.s lideshare.net/jefedo61/breve-historia-del-concepto-de-funcin-mat e-historia-del-concepto-de-funcin-matemtica emtica
PAR ORDENADO. En matemáticas matemáticas,, un par ordenado es una pareja de objetos matemáticos, en la que se distingue un primer elemento y un segundo elemento. El par ordenado cuyo primer elemento es a y cuyo segundo elemento es b se denota como (a, b). Un par ordenado (a, b) no es el conjunto que contiene a a y b, denotado por {a, b}. Un conjunto está definido únicamente por sus elementos, mientras que en un par ordenado el orden de estos es también parte de su definición definición.. Por ejemplo, los conjuntos {0, 1} y {1, 0} son idénticos, pero los pares ordenados (0, 1) y (1, 0) son distintos. Los pares ordenados también se denominan 2-tuplas o vectores 2-dimensionales. La noción de una colección finita de objetos ordenada puede generalizarse a más de dos objetos, dando lugar al concepto de n-tupla -tupla.. El producto cartesiano de conjuntos, las relaciones binarias, binarias, las coordenadas cartesianas, cartesianas , las fracciones y lassfunciones se definen en términos de pares ordenados. la La propiedad característica que define un par ordenado es la condición para que dos de ellos sean idénticos idénticos:: Dos pares ordenados (a, b) y (c, d ) son idénticos si y sólo si coinciden sus primer y segundo elemento respectivamente:
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Los elementos de un par ordenado también se denominan componentes.
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PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS. Dados dos conjuntos X e e Y , la colección de todos los pares ordenados ( x, x, y y)), formados con un primer elemento en X y un segundo s egundo elemento en Y , se denomina el producto cartesiano de X e e Y , y se denota X × funciones.. × Y . El producto cartesiano de conjuntos permite definir relaciones y funciones Es habitual trabajar con colecciones ordenadas de más de dos objetos, sin más que extender la definición del par ordenado. Por ejemplo, un trío ordenado oterna ordenada es una terna de objetos matemáticos en la que se distinguen un primer, segundo y tercer elemento. La propiedad principal de un trío ordenado es entonces:
En general se puede adoptar una definición similar para un número cualquiera de elementos n, dando lugar así a una n-tupla.
En matemáticas matemáticas,, el producto cartesiano de dos conjuntos es una operación operación,, que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados, ordenados , que pueden formarse tomando el primer elemento del par, del primer conjunto, y el segundo elemento, del segundo conjunto. Por ejemplo, dados los conjuntos A A = = {1, 2, 3, 4} y B B = = {a {a, b}, su producto cartesiano es:
El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, Descartes , cuya formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto. Construcción
La propiedad característica de igualdad entre pares ordenados es su única propiedad relevante para su uso en matemáticas. matemáticas .1 Sin embargo, en teoría de conjuntosse conjuntos se construyen todos los objetos matemáticos a partir de conjuntos conjuntos:: números, funciones, etc. En este contexto, se utiliza una definición de par ordenado como un tipo particular de conjunto. La definición conjuntista más habitual, debida a Kuratowski Kuratowski,, es:
Mediante el axioma de extensionalidad y el axioma del par puede par puede demostrarse que este término define un conjunto, con la propiedad característica del par ordenado.
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Ejercicio
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http://es.wikipedia.org/wiki/Par_ordenado http://es.scribd.com/doc/8305783/Relaciones-y-Funciones#download RELACIONES BINARIAS. En matemáticas, una relación binaria es una relación matemática R entre los elementos de dos conjuntos A y B.
Esta relación se puede denotar de diversas formas: 1- Como pares ordenados (a, b). 2- Indicando que aRb. 3- Como una mezcla entra los dos anteriores R(a,b).
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Al conjunto de todos los elementos relacionados mediante la relación R en un conjunto lo denotamos como R(M)
Ejemplos: 1. A={0, 1, 2, 3}, B={0, 1, 2, 3, 4, 5}, RA,B={<0,1>, <0,2>, <0,3>, <0,4>, <0,5>, <1,2>, <1,3>, <1,4>, <1,5>, <2,3>, <2,4>, <2,5>, <3,4>, <3,5>} . 2. A={0, 1, 2, 3} , , RA,B={<0,{}>, <1,{0}>, <1,{1}>, <1,{2}>, <1,{3}>, <2,{0,1}>, <2,{0,2}>, <2,{0,3}>, <3,{0,1,2}>, <3,{0,1,3}>, <3,{0,2,3}>, <3,{1,2,3}>} . 3. A={0,1,2,3}, RA2=A2={<0, 0>, <0, 1>, <0, 2>, <0, 3>, <1, 0>, <1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 0>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 0>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>} .
FORMAS DE REPRESENTACIÓN Para representar las relaciones binarias podemos utilizar dos tipos de gráficos: a) El diagrama cartesiano: donde representaremos los ejes cartesianos, y en cada eje los elementos de cada conjunto. Representaremos las relaciones por medio de puntos ( si el eje es similar al eje de coordenadas) o por medio de cruces si lo representamos mediante cuadrículas.
b) Diagrama sagital o flechas (mediante diagramas de Venn): representaremos los elementos del conjunto dentro del círculo y representaremos las relaciones mediante flechas.
Ejemplo: Representar la siguiente relación: 7
R(M)={(a,b), (b,c), (d,b)} a) Lo representaremos en primer lugar utilizando el diagrama cartesiano, en este caso utilizando la cuadrícula:
b) Utilizando el diagrama sagital, (la punta de la flecha indica la dirección de la relación):
PROPIEDADES DE LAS RELACIONES BINARIAS Las relaciones binarias pueden cumplir las siguientes propiedades (no tienen porque cumplir todas, pueden cumplir sólo algunas e incluso ninguna). Dado el conjunto M, y una relación R sobre el conjunto MxM 1. Propiedad reflexiva: Esta propiedad se da cuando todo elemento del conjunto está relacionado consigo mismo: para todo elemento de M x, entonces → xRx.
2. Propiedad simétrica: Dados dos elementos cualesquiera del conjunto M se cumple que si el primer elemento está relacionado con el segundo, entonces se cumple también la relación al contrario, es decir, el segundo está relacionado con el primero: si xRy → yRx.
3. Propiedad antisimétrica: Dados dos elementos del conjunto si el primer elemento está relacionado con el segundo, entonces, el segundo no está relacionado con el primero: si xRy → y noR x.
4. Propiedad transitiva: Dados tres elementos del conjunto, si el primer elemento está relacionado con el segundo, y el segundo relacionado con el tercero, entonces el primero también está relacionado con el tercero: si xRy e yRz → xRz.
5. Propiedad conexa: Dados dos elementos cualesquiera del conjunto estos están relacionados. O bien xRy o bien yRx.
http://matematicasparacomputadora.weebly.com/512-relacion-binaria.html http://www.taringa.net/posts/ciencia-educacion/16710104/Matematicas-Relaciones-binarias.html
GRÁFICA DE RELACIONES DE R EN R.
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Introduccion: El Par Ordenado (a,b) Satisface la Relación Se dice que (a,b) satisface una relación si al sustituir x=a y y=b en ésta, el enunciado resultante es verdadero. Si el par ordenado satisface la relación se dice que el punto correspondiente a las coordenadas (a,b) en el sistema de coordenadas cartesianas pertenece a la gráfica de la relación. Pasos para determinar si (a, b) pertenece a la gráfica de una relación:
y y=b en la relación. Paso 1: Sustituir x=a Paso 2: Simplificar. Paso 3: Determinar si la expresión resultante es cierta.
En caso afirmativo, el punto (a, b) pertenece a la gráfica de la relación. Si la expresión es falsa, entonces el punto (a, b) no pertenece a la gráfica de la relación.
Ejemplo 1.- Dada la relación y = 1 − x 2 , determine si el punto (2,-3) pertenece a la relación. y y=-3 en la relación. Paso 1: Sustituir x=2 -3= 1-22 Paso 2: Simplificar. − 3 = 1 − 4 − 3 = 3 Paso 3: Determinar si la expresión resultante es cierta. Sí .
Conclusión: El punto (2, -3) pertenece a la gráfica de la relación. Conclusión: El punto (2, -3) pertenece a la gráfica de la relación que satisface la formula
DEFINICIÓN.- Una gráfica es el conjunto de todos los puntos xy en el plano xy que satisfacen una relación dada. Un punto a es un intercepto en x de una relación si el punto (a,0) pertenece a su gráfica. Nota: Todos los puntos donde y es igual a cero pertenecen al eje de x. Como consecuencia, si el punto (a,0) pertenece a la gráfica y al eje de x entonces es un intercepto con el eje de x o un intercepto en x. Un punto a es un intercepto en y de una relación si el punto (0,a) pertenece a su gráfica. Nota: Todos los puntos donde x es igual a cero pertenecen al eje de y. Como consecuencia, si el punto (0,a) pertenece a la gráfica y al eje de y entonces es un intercepto con el eje de y o un intercepto en y.
Paso 1: Construir una tabla de valores para x . x y
-2
-1
0
1
2
encontrar el valor y que satisfaga la relación. Paso 2: Para cada valor de x Paso 3: Completar la tabla.
9
Paso 4: Graficar todos estos puntos en el plano xy Paso 5: ¿Puedes hacer la curva que forman estos puntos?
En caso afirmativo, dibuja la gráfica (ubicar la curva de forma adecuada a través de los puntos dados). Si no, vuelva al paso 1 y añada más valores x en la tabla.
Ejemplo 1.- Construir la gráfica de: y=-2 x -1 Paso 1: Construir una tabla de valores para x . -2 -1 x y
0
1
2
Paso 2: Para cada valor de x encontrar el valor y que satisfaga la relación.
Si x=-2, entonces y=-2 -2-1=3 Si x=-1, entonces y=-2 -1-1=1 Si x=0, entonces y=-2 0-1=-1 Si x=1, entonces y=-2 1-1=-3 Si x=2, entonces y=-2 2-1=-5 Paso 3: Completar la tabla. x y
-2 3
-1 1
0 -1
1 -3
2 -5
Paso 4: Graficar todos estos puntos en el plano xy
Paso 5: ¿Puedes hacer la curva que forman estos puntos?
Ya hay suficientes puntos para reconocer que es es una recta con intercepto en x igual a -0.5 y intercepto en y igual a -1.
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Ejemplo 2.- Construir la gráfica de: y=x2- 2 Paso 1: Construir una tabla de valores para x . -2 -1 x y
0
1
2
encontrar el valor y que satisfaga la relación. Paso 2: Para cada valor de x
Si x=-2, entonces y=- 22-2=2 Si x=-1, entonces y=- 12-2=-1 Si x=0, entonces y= 02-2=-2 Si x=1, entonces y= 12-2=-1 Si x=2, entonces y= 22-2=2 Paso 3: Completar la tabla. x y
-2 2
-1 -1
0 -2
1 -1
2 2
Paso 4: Graficar todos estos puntos en el plano xy
Paso 5: ¿Puedes hacer la curva que forman estos puntos?
Ya hay suficientes puntos para reconocer que es una parábola con interceptos en x igual a 2 y -2 y 11
intercepto en y igual a -2.
http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/graph/graph_right.xhtml http://matematica1.com/category/grafica-de-relaciones-definidas-por-inecuaciones/
4.2.
FUNCIONES DE VARIABLE REAL
DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN. Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le co rresponde un único valor de la segunda, llamada imagen.
El precio de un viaje en taxi viene dado por: y = 3 + 0.5 x Siendo x el tiempo en minutos que dura el viaje. Como podemos observar la función relaciona dos variables. x e y. x es la variable independiente . y es la variable dependiente (depende de los minutos que dure el viaje)
Las funciones se representan sobre unos ejes cartesianos para estudiar mejor su comportamiento.
x y= 3 + 0.5x
10
20
30
8
13
18
12
Ejemplo 1
Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos Conjunto X
Conjunto Y
Ángela
55
Pedro
88
Manuel
62
Adrián
88
Roberto
90
Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso. Ejemplo 2
Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3". x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3
Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son: Conjunto X
Conjunto Y
Desarrollo
−2
−1
f(−2) = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1
−1
1
f(−1) = 2(−1) + 3 = −2 + 3 =
0
3
f(0)
1
= 2(0) + 3 = 0 + 3 = 3
13
1
5
f(1)
= 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5
2
7
f(2)
= 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7
3
9
f(3)
= 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9
4
11
f(4)
= 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11
Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de func ión: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto(X) están asociados a uno, y s ólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y.
FUENTES: http://www.vitutor.com/fun/1/a_6.html http://www.disfrutalasmatematicas.com/conjuntos/funcion.html http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Funciones_matematicas.html DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN. Son todos los valores que se pueden entrar a una función. Son todos los valores que pueden salir de una función. El rango es también conocido como el recorrido, alcance o campo de valores de una función.
Cuando se ingresan valores del dominio en una función se obtienen valores del rango.
Para ilustrar los conceptos de dominio y rango consideremos lo siguiente: A una tienda le quedan 5 manzanas a un costo de 50 c entavos cada una. Si se describe una función de venta, encuentre el dominio y el rango para esta función. El problema se resume a pensar lo siguiente: suponga que tiene una máquina que dado el numero de manzanas nos devuelve el costo de las mismas. El dominio viene dado por el numero de manzanas que podemos entrar en la maquina y el rango por los costos que salen de la misma (ver la siguiente figura).
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Asi que el dominio y el rango vienen dados por: Dominio={0,1,2,3,4,5}
,
Rango={0,0.5,1,1.5,2,2.5}.
Para encontrar el dominio y el rango de una función si tenemos su fórmula debemos recordar sus definiciones. En palabras sencillas, el dominio es el conjunto de todos los valores que se pueden entrar en la función y el rango es el conjunto de todos los valores que pueden salir la misma. Para c larificar los conceptos consideremos los siguientes ejemplos. 1. f(x)=x a. (Dominio) ¿Qué valores se pueden entrar a f? En este caso podemos entrar cualquier valor a f, asi que concluimos que Dominio de f ={x de manera que x es un numero real } De hecho el dominio de cualquier polinomio es todo número real. b.
(Rango) ¿Qué valores pueden salir de f? En este caso cualquier número real, y puede salir de f si x=y, asi que concluimos que Rango de f ={y de manera que y es cualquier numero real }
2. g(z)=z-1+2 a. (Dominio) ¿Qué valores se pueden entrar a g? En este no podemos entrar cualquier valor a g debido a que la raíz cuadrada de un número negativo no está definida en el conjunto de los números reales. Asi que investigamos para que valores de z el radicando es no negativo. Para esto hacemos lo siguiente: z-1≥0⇒z≥1 con esta información concluimos que Dominio de g ={z de manera que z≥1} b. (Rango) ¿Qué valores pueden salir de g? En este caso no todo valor real, y, puede salir de g. Para el dominio encontrado z-1 es siempre mayor que o igual a cero, por lo tanto,g(z)=z-1+2 es siempre mayor que o igual a dos. Con esta información concluimos que Rango de g ={z de manera que z≥2} 3. h(x)= 1 u - 3 a. (Dominio) ¿Qué valores se pueden entrar a h? En este caso no podemos entrar cualquier valor a h debido a que la división entre cero no está definida. Asi que investigamos para que valores de u el denominador de ésta expresión racional es cero. Para esto hacemos lo siguiente: 15
u-3=0⇒u=3 Encontrados estos valores los excluimos del dominio, en e ste caso tan solo excluimos u=3. Con esta información concluimos que Dominio de h ={u de manera que u es diferente de 3}
b.
(Rango) ¿Qué valores pueden salir de h? Al igual que en el caso anterior h no puede tomar cualquier valor. No existe un valor u en el dominio para el cual h(u)=0. Cualquier otro valor, y, puede salir de h con u= 1 y +3. Con esta información concluimos que Rango de h ={u de manera que u es diferente de 0}
Es posible encontrar el dominio y el rango de una función si se nos provee su gráfica. Para encontrar el dominio de una función utilizando su gráfica se debe prestar particular atención al eje de x, observando para que valores de x podemos encontrar un valor asociado de la función. El rango se encuentra utilizando el eje de y, observando para que valores de y la función está definida. La siguiente aplicación interactiva nos permite ver el dominio y el rango de una función radical. El dominio de esta función es ilustrado en la gráfica utilizando una línea de color rojo, del mismo modo el rango es ilustrado utilizando una línea de color verde. En este caso la línea de color rojo comienza en 4 y se extiende indefinidamente, esto nos indica que Dominio de f ={x de manera que x≥4} Del mismo modo la línea de color verde comienza en 0 y se extiende indefinidamente, por lo tanto Rango de f ={y de manera que y≥0}
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Los valores de a, h y k pueden ser cambiados en la aplicación anterior arrastrando el punto que aparece en la parte inferior de cada letra hacia la izquierda o la derecha. Utiliza la aplicación anterior, para investigar el dominio y el rango de las siguientes funciones.
g(x)=x-2+1
,
g(x)=-x+1-2
http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_dom_range/DomyRang_home.html
4.3.
TIPOS DE FUNCIONES
CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES.
Funciones algebráicas Una función es algebraica si la variable independiente x solo tiene operaciones algebraicas: suma, resta, multiplicación, elevar a potencias y extraer raíces.
Caraterísticas
Gráficas
17
Función afín o de primer grado
Función cuadrática o de segundo grado
18
Función cuadrática completa
19
Función cúbica o de tercer grado
Función racional del tipo: y = k / x
20
Función irracional o función radical
Funciones transcendentes Una función es transcendente si no es algebraica.
Caraterísticas
Gráficas
Función exponencial: y = ax
21
Función logarítmica: y = log a x
Función seno:
y = sen x
22
Función coseno: y = cos x
Función tangente: y = tg x
23
Función cotangente: y = cotg x
Función secante: y = sec x
24
Función cosecante: y = cosec x
Función arcoseno:
y = arc sen x
25
Función arcocoseno: y = arc cos x
Función arcotangente:
y = arc tg x
Funciones a trozos
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Caraterísticas
Gráficas
Función valor absoluto: y = |x|
Función parte entera de x: y = E(x) y = [x]
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Funciones explícitas e implícitas Una función es explícita si viene dada como y = f(x) , es decir, la variable dependiente y está despejada. Una función es implícita si viene dada de la forma f(x, y) = 0 , es decir, si la función se expone como una expresión algebraica igualada a 0. Toda función expresada en forma explícita se puede poner en forma implícita y viceversa.
Ejemplo de funciones explícitas e implícitas
1) La función y = 7x - 3 está expresada en forma explícita y la podemos transformar en implícita haciendo las transformaciones algebraicas adecuadas. La función y - 7x + 3 = 0 estaría expresada en forma implícita. 2) La función y + 3x2 - 8x + 5 = 0 está expresada en forma implícita y si despejamos la variable y obtenemos la forma explícita. Es decir, y = - 3x2 + 8x - 5 sería la forma explícita. http://www.ditutor.com/funciones/funcion_clasificacion.html http://calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones/teoria/clasificaci on.html
4.4.
TÉCNICAS DE GRAFICACIÓN
PROCESO DE GRAFICACIÓN DE UNA FUNCIÓN. Las vimos en ejercicios anteriore.
4.5.
OPERACIONES CON FUNCIONES
IGUALDAD DE FUNCIONES.
28
http://www.marcelrzm.comxa.com/CalcDif/13IgualdadFunciones.pdf SUMA DE FUNCIONES.
Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g , a la función definida por Ejercicio: Sean
las funciones f ( x ) = 3 x + 1, y g ( x ) = 2 x - 4. Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5. Resolución:
La función f + g se define como (f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) = 3 x + 1 + 2 x - 4 = 5 x - 3.
(f + g ) (2) = 5 · 2 - 3 = 7 (f + g ) (-3) = 5(-3) - 3 = -18 (f + g ) (1/5) = 5 · 1/5 - 3 = -2
Obsérvese que si se calculan las imágenes de f y g por separado y se suman, el resultado es el mismo. Por ejemplo, para la imagen del 2, 29
DIFERENCIA DE FUNCIONES.
Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define l a resta de dos funciones reales de variable real f y g , como la función Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo. Ejercicio:
las funciones f ( x ) = x 2 - 3, y g ( x ) = x + 3, definir la función ( f - g )( x ). Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f - g .
Dadas
Resolución:
Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado. Ejercicios de Suma y Resta de Funciones A continuación se tienen las siguientes funciones, realizar la suma y resta de las funciones 1.- f(x)= x-8 g(x)= χ ²+2x-5 2.- f(x)= -x+1 g(x)= 5x-8 3.- f(x)= 7x-1 g(x)= 8x+3 4.- f(x)=3x+6 g(x)= 3χ²-5 5.- f(x)= 3χ²-2x+5 g(x)= χ²-4
PRODUCTO O MULTIPLICACIÓN DE FUNCIONES.
Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por Ejercicio:
Resolución: 30
Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y multiplicando después, se obtienen los mismos resultados. COCIENTE DE FUNCIONES.
Dadas dos funciones reales de variable real, f y g , y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por
(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.) Ejercicio: Dadas
las funciones f ( x ) = - x - 1, y g ( x ) = 2 x + 3, definir f/g.
Resolución:
La función f/g está definida para todos los números reales, salvo para x = -3/2, donde la función g se anula.
Calculando por separado las imágenes de los números mediante las funciones f y g , y después efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados. Producto de un número por una función Dado un número real a y una función f , el producto del número por la función es la
función definida por
Obtener las imágenes de los números 2, 1 y 0 mediante la función 3 · f . Resolución:
31
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]. Veamos un ejemplo con las funciones f(x) = 2x y g(x) = 3x + 1.
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
(g o f) (1) = 6 · 1 + 1 = 7 Ejemplos 1 Sean las funciones:
1
Calcular (f o g) (x)
2
Calcular (g o f) (x)
2
1
2
32
3
1
2
FUNCIÓN INYECTIVA Una función es inyectiva si a cada elemento del rango o imagen se le asocia con uno y solo un elemento del domino.
Ejemplo 1: Sea A={1,2,3} B={1,2,3};
f: A.B: f={(1,2), (2,1), (3,3)} Es decir, gráficamente queda:
Nótese que cada elemento del conjunto B recibe solamente una línea. ENTONCES ES INYECTIVA. Una función f: " X Y", es inyectiva si a cada valor del conjunto "X" (dominio) le corresponde un valor distinto
en el conjunto "Y "(imagen) de "f", es decir a cada elemento del conjunto "Y" le corresponde un solo valor de "X" tal que, en el conjunto "X" no puede haber dos o mas elementos que tengan la misma imagen.
Representación: función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y . EJEMPLO 1 : Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: f(x) = x 2 – 2 Asignando valores a "x" y representándolos en la tabla resulta: x -3 -2 -1 0 1
2
3
33
f(x)
5
2
-1
-2
-1
2
5
:Donde su gráfica será
3
EJEMPLO 2: Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: g(x) = 1 – x . Asignando valores a "x" y representándolos en la tabla resulta: x -3 -2 -1 0 1 f(x)
28
9
2
1
0
2
3
-7
-26
Donde su gráfica seráa:
FUNCIÓN SUPRAYECTIVA Una función f (de un conjunto A a otro B) es suprayectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en Aque cumple f ( x ) = y , en otras palabras f es suprayectiva si y sólo si f(A) = B. Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos. al de los Ejemplo: la función f ( x ) = 2x del conjunto de los números naturales números pares no negativos es sobreyectiva. Sin embargo, f ( x ) = 2x del conjunto de los números naturales a no es va al 3 por esta función. sobreyectiva, porque, por ejemplo, ningún elemento de Otras formas de definirse:
34
Una función f: X
Y
es sobreyectiva(epiyectiva, suprayectiva, suryectiva, exhaustiva o subyectiva), si esta
aplicado sobre todo el codominiio, es decir , cuando a cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X"
De manera complementaria: Funciones suprayectivas. Cuando el rango y el codomino son iguales la función es suprayectiva.
Ejemplo 1: Sean los conjuntos: A = {1,2,3} y B = {2,4} y la función f = {(1,2), (2,2), (3,4)}
Gráficamente queda:
Al conjunto B = {2,4} se le llama codominio. El rango de la función también es I = {2,4},. Como el codominio y el rango son iguales la función es SUPRAYECTIVA
Ejemplo 2. Sean los mismos conjuntos anteriores PERO con la función: f = {(1,2), (2,2), (3,2)}. Gráficamente
El codomino B = {2, 4} El rango o imagen es: I = {2} Como el codominio y el rango NO son iguales la función es NO ES SUPRAYECTIVA En términos de funciones debe ocuparse todo el eje Y, es decir, la imagen deben ser todos los reales.
FUNCIÓN BIYECTIVA.
Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que f ( x ) = y 35
Alternativamente, f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva. Ejemplo: La función f ( x ) = x 2 del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva.
(Pero no desde el conjunto de todos los números reales porque podrías tener por ejemplo
f (2)=4 y f (-2)=4)
Otra forma de definirse: Una función f: X Y, es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva(suprayectiva), es decir si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada y a acada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.
Funciones Biyectivas. Para que una función sea biyectiva se requiere que sean al mismo tiempo inyectiva y suprayectiva. Ejemplo 1. La función f(x)=y = x-1 es al mismo tiempo, inyectiva y suprayectiva; por lo tanto es biyectiva.
FUNCIÓN CRECIENTE, DECRECIENTE Y MONÓTONA. Sea f(x) una función definida en [a, b]. i.
f es creciente en [a, b]
si y solo si se cumple que:
.
. ii.
f es decreciente en [a, b]
si y solo si se cumple que:
.
. iii. f es monótona en [a, b] si y solo si f es creciente ó decreciente en [a, b].
Las gráficas siguientes ilustran las definiciones anteriores.
Función Creciente
Fucnción Decreciente
No es ni creciente ni decreciente
FUNCIÓN INVERSA.
36
http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funoper.htm https://sites.google.com/a/itmazatlan.edu.mx/huerta/servicios-institucionales-1 http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/7.4.html
4.6.
APLICACIONES
APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS. Aplicación de las funciones cuadráticas en la vida real El puente Golden Gate enmarca la entrada a la bahía de San Francisco. Sus torres de 746 pies de altura están separadas por una distancia de 4200 pies. El puente está suspendido de dos enormes cables que miden 3 pies de diámetro: el ancho de la calzada es de 90 pies y ésta se encuentra aproximadamente a 220 pies del nivel del agua. Los cables forman una parábola y tocan la calzada en el centro del puente.
37
El Golden Gate (en español, Puerta Dorada) es un puente colgante situado en California, Estados Unidos, que une la península de San Francisco por el norte con el sur de Marin. "Golden Gate" es también el nombre delestrecho en el cual el puente está construido, y recibe su nombre del estrecho en Constantinopla, llamado también la Puerta Dorada, ya que comunicaba Europa con Asia. El Golden Gate es el puente más famoso de San Francisco a pesar de no ser el mayor en esta ciudad, ya que elBay Bridge es la vía principal. En la década posterior a la Primera Guerra Mundial el tráfico rodado en la región de la bahía de San Francisco se multiplicó por siete, de modo que el sistema de ferris fue incapaz de absorber ese crecimiento. Catalogado comopuente colgante, construido entre 1933 y 1937, con una longitud aproximada de 1.280 metros, está suspendido de dos torres de 227 m de altura. Tiene una calzada de seis carriles (tres en cada dirección) y dispone de carriles protegidos accesibles para peatones y bicicletas. El puente se utiliza para el cruce de tendidos eléctricos yconducciones de combustible. Bajo su estructura, deja 67 m de altura para el paso de los barcos a través de labahía. El Golden Gate constituyó la mayor obra de ingeniería de su época. Fue pintado con urgencia para evitar la rápida oxidación producida en el acero de su estructura por el océano Pacífico.
Determinar la altura de los cables a una distancia de 1000 pies del centro del puente.
•
Solución.
Empezarnos seleccionando la ubicación de los ejes de coordenadas de modo que el eje x coincida en la calzada y el origen coincida en el centro del puente. Como resultado de esto, las torres gemelas quedarán a 746-220=526 pies arriba de la calzada y ubicadas a 42002=2100 pies del centro. 38
Los cables de forma parabólica se extenderán desde las torres, abriendo hacia arriba, y tendrán su vértice en (0,0) como se ilustra en la figura
• • •
• • • • • •
La manera en que seleccionamos la colocación de los ejes nos permite identificar la ecuación de una parábola como y =ax 2,a>0. Obsérvese que los puntos (−2100,526) y (2100,526) están en la gráfica parabólica. Con base en estos datos podemos encontrar el valor de a en y=ax2: y =ax 2 526=a(2100)2 a=526(2100)2 Así, la ecuación de la parábola es y =526(2100)2 x 2 La altura del cable cuando x =1000 es y =526(2100)2(1000)2≈119.3pies
Por tanto, el cable mide 119.3 pies de altura cuando se está a una distancia de 1000 pies del centro del puente.
Aplicación de Funciones Cuadráticas a la biología • Se estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas que fueron alimentadas con una dieta que contenía un 10% de proteína. La proteína consistía en levadura y harina de maíz. Variando el porcentaje P de levadura en la mezcla de proteína, se estimó que el peso promedio ganado (en gramos) de una rata en un período fue de f ( P ) , donde: • • Encuentre el máximo peso ganado. • f (P ) =- P 2+2P +20, 0£ P £ 100 • •
Solución: El máximo peso ocurre en el vértice V de la función cuadrática f ( P ) , donde:
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