Compensadores en Mathlab

1er curso de Ingeniería Industrial:

Ingeniería de Control

Práctica 10ª: Diseño de compensadores con MATLAB.

Departamento de Ingeniería electrónica, Telecomunicación y Automática. Área de Ingeniería de Sistemas y Automática.

Práctica 10ª. Diseño de compensadores con MATLAB

OBJETIVOS: •

Presentar los procedimientos para el diseño y la compensación de sistemas de control de una entrada y una salida invariantes con el tiempo utilizando el método del lugar de las raíces.

1. COMPENSACIÓN DE SISTEMAS. INTRODUCCIÓN Los sistemas de control se diseñan para realizar tareas específicas. Los requisitos impuestos sobre el sistema de control, se dan como especificaciones de comportamiento (una respuesta transitoria o estacionaria con unas características determinadas). Un primer paso para conseguir un comportamiento satisfactorio del sistema sería establecer su ganancia. Sin embargo, en muchos casos prácticos, ajustando únicamente la ganancia, no se proporciona una alteración suficiente para que el sistema pueda cumplir las especificaciones dadas, además si incrementamos la ganancia en exceso, conseguiremos una mejora en el comportamiento estacionario del sistema pero al mismo tiempo reduciremos su estabilidad. Para que el sistema cumpla con las especificaciones deseadas, se introduce un nuevo elemento denominado compensador, que modifica el comportamiento deficiente del sistema original. Normalmente los compensadores y controladores utilizados son los compensadores de adelanto, los de retardo, los de retardo-adelanto y los controladores PID. En esta práctica se analiza el método del lugar de las raíces para diseñar compensadores de adelanto, de retardo y de retardo-adelanto. El método del lugar de las raíces es una técnica gráfica que permite determinar las localizaciones de todos los polos en lazo cerrado a partir de las localizaciones de los polos y ceros en lazo abierto cuando algún parámetro (generalmente la ganancia) varía de cero a infinito. En muchas ocasiones un ajuste de la ganancia es insuficiente para conseguir que nuestro sistema cumpla con unos requisitos determinados, siendo necesario añadir polos y/o ceros (efecto del compensador), sobre el lugar de las raíces original. La adición de un polo a una función de transferencia en lazo abierto, tiene el efecto de desplazar el lugar de las raíces hacia le derecha, lo cual tiende a disminuir la estabilidad relativa del sistema y el tiempo de asentamiento de la respuesta. Al añadir un cero a la función de transferencia en lazo abierto, se consigue desplazar el lugar de las raíces hacia la izquierda, consiguiendo de esta forma hacer el sistema más estable y acelerar el tiempo de asentamiento de la respuesta. Los compensadores se pueden colocar en serie con la planta (compensación en serie) o en paralelo (compensación en paralelo o mediante realimentación). Nos centraremos en el primer tipo de compensación, compensación en serie.

2. COMPENSADORES DE ADELANTO. Existen muchas formas de obtener compensadores de adelanto, por ejemplo, redes electrónicas que utilizan amplificadores operacionales, redes RC eléctricas y sistemas amortiguadores mecánicos. + -

Gc(s)

G(s)

La función de transferencia de un compensador de adelanto sería:

Área de Ingeniería de Sistemas y Automática. Curso 2007/2008

1


Gc ( s ) = K cα

Ts + 1

α Ts + 1

s+

= Kc s+

1 T

1

(0 < α < 1)

α T

Veamos con un ejemplo cómo diseñar este tipo de compensador. Consideremos el siguiente sistema de la figura 1 donde:

Figura 1. Diagrama de bloques

G ( s) =

4 s( s + 2)

H ( s) = 1

Se pretende que el sistema cumpla con las siguientes especificaciones: • •

Frecuencia natural no amortiguada ωn=4 rad/seg. Factor de amortiguamiento relativo ξ=0.5.

Paso 1:

Hallar los polos en lazo cerrado del sistema original. Utilizando Matlab tendríamos: >> fun_g=tf([4],[1 2 0]); >> fun_h=tf([1],[1]); >> fun_m=feedback(fun_g,fun_h) Transfer function: 4 ------------s^2 + 2 s + 4

Para saber cuales son los polos en lazo cerrado escribimos: >> roots([1 2 4]) ans = -1.0000 + 1.7321i -1.0000 - 1.7321i

Paso 2:

Nos piden que: − ξ ⋅ ω n ± jω n 1 − ξ 2

donde ξ= 0.5 y ωn= 4 rad/seg.


2

Práctica 10ª. Diseño de compensadores con MATLAB Por lo tanto, el polo dominante ha de tener las siguientes coordenadas: s = −2 ± j 2 3 Si dibujamos el lugar de las raíces de nuestro sistema tenemos: >> fun_g=tf([4],[1 2 0]) Transfer function: 4 --------s^2 + 2 s >> rlocus(fun_g) >> v=[-5 2 -3 3]; >> axis(v)

Figura 2. Lugar de las raíces sin compensación.

Puede observarse que variando únicamente la ganancia no sería suficiente para obtener el polo en lazo cerrado deseado ( s = −2 ± j 2 3 ). Paso 3:

En este paso se hallarían los polos y ceros del compensador que modifiquen a la función de transferencia G(s) de forma que el polo en lazo cerrado sea el que se ha definido en el Paso 2. La función de transferencia del compensador será:

Gc ( s ) = K cα

Ts + 1

α Ts + 1

s+

= Kc s+

1 T

1

(0 < α < 1)

α T

Hay muchos valores de T y α que producirán la contribución de ángulo necesaria en los polos de lazo cerrado. En este paso, y mediante el procedimiento gráfico explicado a continuación, se determinarán las localizaciones del polo y cero del compensador de adelanto. En primer lugar definimos el punto P con las coordenadas del punto que nos interesaría tener en lazo cerrado s = −2 ± j 2 3 . También sabemos que θ es el ángulo con el que debe de contribuir el compensador de adelanto si el nuevo lugar de las raíces va a pasar por las localizaciones deseadas de los polos dominantes en lazo cerrado. Éste se determinará a partir de la condición de argumento. Gráficamente, el procedimiento es el siguiente: primero dibujamos una línea horizontal que pasa por el punto P, también unimos este punto con el origen O. El ángulo formado por estas dos líneas será α. Trazamos la bisectriz (PB) a este ángulo y tomamos ± θ con la bisectriz PB. Las intersecciones de PC y

2


3

Práctica 10ª. Diseño de compensadores con MATLAB PD con el eje real negativo proporcionan la localización necesaria para el polo y cero de la red de adelanto (ver Fig.3). Por tanto el compensador diseñado hará de P un punto sobre el lugar de las raíces del sistema compensado. La ganancia en lazo abierto se determina a partir de la condición de magnitud. Ψ/2

A

P

θ/2

θ/2

βC

γ

βD

C

B D

O

Figura 3. Determinación del polo y del cero de una red de adelanto.

De forma analítica, los cálculos a realizar serían: • •

γ = arctg

P y P x

= 60 donde Py = 2 3 y Px = 2;

= 180 − γ ; donde Ψ es el ángulo formado entre PA y PO.

El módulo de OP será: OP = P x2 + P y2 = 4 Por otro lado, el ángulo θ con el que debe de contribuir el compensador de adelanto para que la suma total de los ángulos sea de ± 180º(2k+1) se obtiene a partir del argumento de G(s) para el polo deseado:

4 s ( s + 2)

s = −2 + j 2

3

⎛ ⎞ 4 ⎟ = 30º = arctg ⎜⎜ ⎟ ⎝ − 12 − j 4 3 ⎠

Por tanto el compensador debe de contribuir con 30º, es decir, θ = 30º. El paso siguiente es calcular los siguientes ángulos: •

β C = 180 − γ −

/ 2 − θ / 2 = 45 ; sabiendo que ambos casos la suma de los ángulos que forman β D = 180 − γ − ψ / 2 + θ / 2 = 75. sus respectivos triángulos es de 180º.

Para determinar la posición del polo y el cero, aplicamos el teorema del seno obteniendo: sen β C OP

sen(

=

α

2

θ

+ )

sen β D

2

OC

OP

sen(

=

α

2

θ

− )

2

OD

Resultando el siguiente valor de los segmentos: OC = - 5.4. OD = -2.9 donde OC será el polo en s y OD el cero en s. Entonces: T =

1 = 0.345 2.9

α T =

1 = 0.185 5.4


4

Práctica 10ª. Diseño de compensadores con MATLAB Por tanto α=0.537. Finalmente, la función en lazo abierto del sistema compensado se convierte en: GC ( s)G ( s) = K C

s + 2.9

4

s + 5.4 s( s + 2)

=

K ( s + 2.9) s( s + 2)( s + 5.4)

Para calcular la ganancia K, utilizamos la condición de magnitud de la siguiente forma: K ( s + 2.9) =1 s( s + 2)( s + 5.4) s = −2 + j 2 3 Resolviendo obtenemos K=18.7. Por lo tanto, K c=18.7/4=4.68. Representando el lugar de las raíces se obtiene: >> den=conv([1 2 0],[1 5.4]) >> num=conv([18.7],[1 2.9]) >> fs=tf(num,den) Transfer function: 18.7 s + 54.23 ---------------------s^3 + 7.4 s^2 + 10.8 s >> rlocus(fs) >> axis(v)


5

Práctica 10ª. Diseño de compensadores con MATLAB Figura4. Lugar de las raíces del sistema compensado.

Por otro lado, la constante de error estático de velocidad sería de: s ⋅ 18.7( s + 2.9) = 5.02seg −1 K v = lim sGc ( s ) G ( s) = lim s − >0 s − > 0 s ( s + 2)( s + 5.4)

5. COMPENSADORES DE RETARDO. Si un sistema presenta características satisfactorias de respuesta transitoria, pero por el contrario no las tiene en régimen estacionario, para compensarlo bastaría con incrementar la ganancia en lazo cerrado, sin modificar notablemente las características de la respuesta transitoria. Esto quiere decir que no debe cambiarse de manera significativa el lugar de las raíces en la proximidad de los polos dominantes en lazo cerrado, sino que debe incrementarse la ganancia en lazo abierto tanto como se necesite. Esto se consigue colocando un compensador de retardo en cascada con la función de transferencia del sistema. Para evitar un cambio apreciable en el lugar de las raíces, la contribución del ángulo de la red de retardo debe limitarse a un valor pequeño por tanto se sitúan el polo y el cero relativamente cerca y cerca del origen del plano s. La ecuación de un compensador de retardo podría ser: s+ Gc ( s ) = K c

s+

1 T

1

β T

Veamos el cálculo de un compensador de retardo a través de un ejemplo: Sea el sistema: G ( s ) =

1.06 s( s + 1)(s + 2)

Se pretende incrementar la constante de error estático de velocidad hasta cerca de 5seg-1 sin modificar notablemente la ubicación de los polos en lazo cerrado. Paso 1:

Dibujar el lugar de las raíces y ubicar los polos en lazo cerrado. >> den=conv([1 1 0],[1 2]) % para calcular el denominador. >> fun=tf([1.06],den) Transfer function: 1.06 ----------------s^3 + 3 s^2 + 2 s >> rlocus(fun) >> fu=tf([1],[1]); >> fa=feedback(fun,fu) Transfer function: 1.06


6

Práctica 10ª. Diseño de compensadores con MATLAB -----------------------s^3 + 3 s^2 + 2 s + 1.06 >> roots([1 3 2 1.06]) ans = -2.3386 -0.3307 + 0.5864i -0.3307 - 0.5864i

Figura 5. Lugar de las raíces del sistema no compensado

Los polos dominantes en lazo cerrado son: s=-0.3307 +/- 0.5864i

del cual se obtendría un factor de amortiguamiento de 0.491 y una frecuencia natural no amortiguada de 0.673 rad/seg. Paso 2.

La constante de error estático de velocidad de G(s), será: K v = lim sG ( s ) = 0.53seg −1 s − >0

Paso 3.


7

Práctica 10ª. Diseño de compensadores con MATLAB Para cumplir las especificaciones del ejercicio, insertamos un compensador de retardo, que debe de incrementar el error estático de velocidad en un factor de aproximadamente 10 (5/0.53), por tanto β=10. Paso 4:

Para determinar la función de transferencia del compensador, situamos el polo cerca del origen (s = 0.005), por lo tanto, para un β=10, el celo del compensador estaría en s = 0.05: Gc ( s ) = K c

s + 0.05 s + 0.005

De esta forma comprobamos que la contribución de los polos y ceros del compensador al régimen transitorio será muy pequeña. La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado será: Gc ( s )G ( s ) =

K ( s + 0.05) s ( s + 0.005)( s + 1)( s + 2)

K=1.06K c

Paso 5.

La gráfica del lugar de las raíces para el sistema compensado puede verse en la figura 6.

Figura 6. Lugar de las raíces del sistema compensado.

Los nuevos polos dominantes en lazo cerrado se muestran en negrita: >> f_lc=feedback(fun_compensada,fu) Transfer function: 1.06 s + 0.053


8

Práctica 10ª. Diseño de compensadores con MATLAB -------------------------------------------s^4 + 3.005 s^3 + 2.015 s^2 + 1.07 s + 0.053 >> roots([1 3.005 2.015 1.07 0.053]) ans = -2.3339 -0.3082 + 0.5657i -0.3082 - 0.5657i

-0.0547

Paso 7. Ajuste de la ganancia.

La ganancia del sistema en lazo abierto es: s( s + 0.005)( s + 1)( s + 2) K = s + 0.05

= 1.0235 s = −0.31+ j 0.55

Donde, la ganancia del compensador es estimada como: K c=K/1.06=0.9656. Por tanto, la función de transferencia del compensador diseñado será: Gc ( s) = 0.9656

s + 0.05 s + 0.005

Finalmente, la función de transferencia del sistema compensado en lazo abierto es: G1 ( s) =

1.0235( s + 0.05) s ( s + 0.005)( s + 1)( s + 2)

Donde, si calculamos de nuevo K v. − K v = lim sG1 ( s ) = 5.12 seg .

1

s − >0

Vemos que se ha conseguido el objetivo de diseño que es incrementar la constante de error estático hasta cerca de K v=5seg-1.

6. COMPENSADORES DE RETARDO-ADELANTO. Como se ha visto anteriormente, la compensación de adelanto acelera la respuesta e incrementa la estabilidad del sistema. La compensación de retardo mejora la precisión en estado estacionario del sistema, pero reduce la velocidad de respuesta. Si se desea mejorar ambas respuestas, debe utilizarse de forma simultánea un compensador de adelanto y un compensador de retardo, siendo más económico utilizar un compensador de adelanto-retardo.


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EJERCICIO 1. Para el sistema de control de la figura, diseñar un compensador de retardo Gc(s) tal que la constante de error estático de velocidad K v sea 50 seg-1 sin modificar notablemente la localización original de los polos en lazo cerrado que están en: s = −2 ± j 6

Gc(s)

10 s ( s + 4)

Estudiar las respuestas del sistema (compensado y sin compensar) ante un entrada escalón unitario.

EJERCICIO 2 En el sistema de la figura, diseñar un compensador de adelanto para que los polos dominantes en lazo cerrado se localicen en s = −2 ± j 2 3 . Dibujar la respuesta a una entrada escalón del sistema diseñado con Matlab.

Gc(s)

5 s(0.5s + 1)


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Compensadores en Mathlab

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