UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE PANAMÁ FACULTAD DE INGENIERIA ELÉCTRICA ING. ELÉCTRICA Y ELECTÓNICA 1EE-141 TAREA #3 TEORIA DE CONTROL 1 PROF. DR IGNACIO CHANG ESTUDANTES: Cruz Karen 8-908-164, Hinestroza Alex 8-885-1611, Morales José 9-745-911. Pérez Dominick 8-886-1481, Pimentel Patricia 9-747-916 I Parte 1. METODOLOGIA PARA EL DISEÑO DE COMPENSADORES DE ADELANTO Este diseño presenta una solución a compensadores de adelanto de fase que no sea a prueba de error, más bien que proporcione una forma analítica de resolver el problema. Se emplea la ganancia y el margen de fase de la planta sin compensar para determinar la frecuencia de cruce de ganancia .
= +∠( +∠( ) + | | = |1 | = || = √ | | = |1 | = |1 | = √ = | 1| sin = 11 + → =sin− 11 + =si n− 11 + +∠( +∠( ) +
Esta solución se basa en encontrar
Y
Seleccionando
Y
Se tiene:
resolviendo las ecuaciones
a partir de las ecuaciones
Si despejamos tenemos
Por otro lado si despejamos
Ahora si sustituimos, y después algo de algebra
1 1 =si n− 1+ || 1||+∠( ) + Donde finalmente obtenemos
=si n− || || 1+1+∠( ) + = | 1| = 1√
Para un margen de fase deseado ( ), y asi vemos como la única incógnita es . Cuando se conoce la función de transferencia de la planta, pueden emplearse algoritmos de búsqueda de raíces de funciones no lineales para hallar . Seleccionando como condición inicial del algoritm o la frecuencia de cruce de ganancia de , y así por fin los parámetros de diseño del compensador pueden ser calculados de acuerdo a las siguientes fórmulas:
2. METODOLOGIA PARA EL DISEÑO DE UN COMPENSADOR DE ATRASO DE FASE
1 + +1 = ∗∗ ∗ +1 = ∗ + ∗1 >1 ∗−
1.
2. 3.
En serie con la planta, aporta un polo
que es dominante con respecto al cero
−
.
El efecto de reduccion del error en regimen permanente. Los pasos para el diseño mediante LR: Trazar el lugar de las raices e identificar los polos dominantes del sistema en bucle cerrado.
=1
Evaluar el coeficiente de error estatico que se desea mejorar y calcular el valor de necesario (Supongamos que con lo que el aporte lo hace todo beta). Colocar el polo y cero del compensador en las proximidades del origen del plano. Criterios:
0 a 1/10 de la distancia al polo o cero del sistema en BA más cercano al origen. Angulo menor a 5º desde los polos dominantes. Relacion de modulos proximo a 1.
4. 5.
Calcular para que los nuevos polos dominantes se situen lo mas cerca posible de los antiguos. Verificar el resultado mediante la respuesta temporal tanto del regimen permanente como del transitorio
6.
Se presenta como en el ejemplo siguiente.
3. METODOLOGÍA PARA DESARROLLAR COMPENSADORES DE ADELANTO-ATRASO DE FASE Un compensador atraso – adelanto se utiliza cuando no se pueden cumplir los requerimientos con un compensador simple, sabiendo que, la compensación de adelanto básicamente acelera la respuesta e incrementa la estabilidad del sistema y que la compensación de atraso mejora la precisión en estado estable del sistema, aunque reduce la velocidad de la respuesta. Si se desea mejorar tanto la respuesta transitoria como la respuesta en estado estable, debe usarse en forma simultánea un compensador de adelanto y un compensador de atraso; sin embargo, en lugar de introducir cada uno por separado, es más económico usar un compensador de atraso-adelanto. El método que estudiaremos consiste en utilizar una red pasiva de adelanto-atraso de fase, en lugar de redes separadas. La función de transferencia de una sola red pasiva de adelanto-atraso de fase es:
1 1 + + = =+ + 1
Donde >1. El primer término en paréntesis produce la compensación de adelanto de fase; el segundo la compensación de atraso de fase. La restricción que debemos seguir aquí es que el valor único de sustituye a la cantidad de por la red de atraso de fase en la ecuación:
1 + = + 1 1 + = + 1
y la cantidad , a la red de adelanto de fase de la ecuación:
nuestro diseño, y deben ser recíprocas entre sí. Ahora estamos listos para enumerar un procedimiento de diseño.
Procedimiento de diseño: 1.
2. 3. 4.
5. 6.
7.
Con el uso de una aproximación de segundo orden, encuentre el ancho de banda en lazo cerrado requerido para satisfacer el requerimiento de tiempo de asentamiento, tiempo pico, o tiempo de levamiento. Fije la ganancia K, al valor requerido por la especificación del error de estado estable. Grafique los diagramas de Bode en magnitud y fase para este valor de ganancia. Con el uso de una aproximación de segundo orden, calcule el margen de fase para satisfacer el requerimiento de factor de am ortiguamiento relativo o sobrepaso en porcentaje, usando la ecuación:
∅ =90tan− − 22 +√ 2 1 +4 =tan 2 +√ 1 +4
Seleccione una nueva frecuencia de margen de fase cerca de A la nueva frecuencia de margen de fase, determine la cantidad adicional de adelanto de fase necesaria para satisfacer el requerimiento de margen de fase. Agregue una pequeña aportación que será necesaria después de la suma del compensador de atraso de fase. Diseñe el compensador de atraso de fase al seleccionar la frecuencia de corte más alta una década debajo de la nueva frecuencia de margen de fase. El diseño del compensador de atraso de fase no es crítico, y cualquier diseño para el margen de fase apropiado estará relegado al compensador de adelanto de fase. El compensador de atraso de fase simplemente produce asentamiento del sistema con la ganancia requerida para la especificación de error en estado estable. Encuentre el valor de a partir de los requerimientos del compensador de adelanto de fase. Con el uso de la fase pedida desde el compensador de adelanto de fase, la curva de respuesta en fase de la figura N°1 se puede emplear para hallar el valor de
=
. Este valor, junto con la frecuencia de corte
superior de atraso de fase previamente hallada, nos perm ite encontrar la frecuencia de corte inferior de atraso de fase.
Figura N°1. Diagrama de bode Fase y magnitud. 8.
Diseñe el compensador de adelanto de fase. Con el uso del valor de desde el diseño del compensador de atraso de fase y el valor supuesto para la nueva frecuencia de margen de fase, encuentre las frecuencias de corte inferior y superior para el compensador de adelanto de fase, usando la ecuación y despejando T.
= 1
9.
Verifique el ancho de banda para asegurar que se haya satisfecho el requerimiento del paso 1. 10. Rediseñe si las especificaciones del margen de fase o transitorio no se hayan satisfecho, como se muestra por análisis o simulación.
II Parte Resuelva los siguientes problemas propuestos Problema 31 ¿En qué condiciones es necesario utilizar el modo de control proporcional en lugar del modo encendido-apagado? R: Podríamos decir que el modo On-Off, se utiliza para variables boleanas en donde solo importan dos estados, pero el control proporcional permite al usuario varios estados en dependencia del cambio de la variable medida.
Problema 33 Si el rango completo de control de un controlador de temperatura es 1000 °F y la banda proporcional se ajustó a 15%, ¿cuánto debe cambiar la temperatura medida para que accione el dispositivo corrector de la posición de un extremo al otro? R:La temperatura debe bajar 925°F para que el dispositivo corrector este a 100% abierto y para que el sistema esté totalmente cerrado es decir al 0% de apertura debe alcanzar 1,075°F.
Problema 35 El controlador de la pregunta 33 está exacto de ajuste (670°f) con la válvula de control final abierta al 50%, la banda proporcional está ajustada a 40%.temperatira media cae a 630 F y la valvula se abre al 100 por ciento ¿Qué tan amplia es la barra proporcional?
670630 100 =0.4=40%
Problema 37 El controlador de la pregunta 33 se encuentra controlando justo sobre el punto de ajuste de 780 °F con la válvula de control final 75% abierta. La banda proporcional se configura en 25%. ¿Qué temperatura medida ocasionará que la válvula de control se abra completamente?, ¿Qué se cierre completamente?
R: Temperatura sobre el punto de ajuste: 780ºF
= 25%
Para encontrar en temperatura nuestra banda proporcional:
78097.5=.º 780+97.5=.º
780°0.25=195°
Valor de la temperatura donde la válvula estará completamente abierta.
Valor de la temperatura donde la válvula estará completamente cerrada.
Problema 38 Un cierto controlador tiene un rango de contro l de 1500°F a 2200°F se encuentra controlado j usto en un punto de ajuste de 1690°F con la válvula de control 35% abierta. La banda proporcional es de 28%. ¿Qué temperatura causara el cierre completo de la válvula? ¿y su apertura completo?
R:
% =28% % ∗° ∗° 196° ∗° 2 =°
1592
/rango completo
= R.C *
1788 Figura N°1
Rango completo= 700°F =
1690
/ 100%
= 700°F * 0.20 /1= 196 °F
13.14%
41.14%
Finalmente la temperatura que causara el cierre completo de la válvula será de 1592°F y su apertura completa será de 1788°F.
Problema 39 El controlador de la pregunta 38 se encuentra controlando justo sobre un rango de 1690°F con la válvula de control 35% abierta, la banda proporcional es del 45%.¿Que temperatura ocasionara que la válvula de control se cierre completamente y que se habrá completamente?
R: Temperatura:
= 45%
1690
F
(1690°F)(0.45)= 760.5°F
1690°F-760.5°F= 929.5 °F
1690°F+760.5°F= 2450.5°F
válvula completamente abierta.
válvula completamente cerrada.
Problema 42 Un Controlador proporcional de temperatura se encuentra controlando en 1415 °F con el punto de ajuste en 1425°F. La válvula de control esta 80% abierta. Si el Punto de ajuste se eleva a 1430°F, ¿el offset crecerá o disminuirá? Explique su repuesta. R: El Offset se hace m ás grande, porque cuando el punto de ajuste se m odifica en la misma dirección (hacia arriba) que el primer offset, el nuevo punto de ajuste ocasionará un offset peor.
Problema 46 ¿Qué resultados positivos se obtienen del uso del control proporcional más integral en comparación con el control proporcional directo? R: Por que donde las cargas son grandes y rápidos y el punto de ajuste se puede variar considerablemente usamos el control proporcional más integral, y elimina el offset.
Problema 47 ¿Cuándo un control proporcional más integral tiende a corregir el offset más rápido, es cuando la constante de tiempo integral es grande o cuando es corto? R: El offset es corregido más rápido cuando la constante de tiempo es corto.
